ficha para catÁlogo - operação de migração para o ... · ficha para catÁlogo produÇÃo...
TRANSCRIPT
FICHA PARA CATÁLOGO
PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Tangram: desenvolvimento do pensamento geométrico para a resolução de problemas
Autor Edna Hideko Arita Okada
Escola de Atuação Colégio Estadual Reynaldo Massi – EFMP
Município da escola Diamante do Norte
Núcleo Regional de Educação Loanda
Orientadora Nelma Sgarbosa Roman de Araújo
Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual do Paraná – Campus de Paranavaí
Disciplina/Área Matemática
Produção Didático-pedagógica Unidade Didática
Relação Interdisciplinar Arte
Público Alvo Alunos de 6ª série/7º ano do ensino fundamental do Colégio
Estadual Reynaldo Massi - EFMP
Localização
Colégio Estadual Reynaldo Massi – EFMP R. Augusto Primo Negrini, 475 – Centro Diamante do Norte – Pr
Apresentação
Esta Unidade Didática foi elaborada com o intuito de trabalhar conteúdos de geometria plana de forma significativa e diferenciada. O objetivo principal dessa produção é possibilitar o desenvolvimento do pensamento geométrico e a construção do conhecimento matemático, relevantes na resolução de problemas por meio de material manipulável. Os conteúdos a serem abordados nessa produção são o cálculo de perímetro e de área e os polígonos. Como estratégia, será utilizado um material didático manipulável, o quebra-cabeça Tangram. Assim oportunizando a apropriação dos conceitos geométricos por meio da visualização, do manuseio, da construção e da reflexão sobre o material manipulável. Conforme o que consta nas Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática, os conteúdos trabalhados serão inseridos em contextos, tornando-os mais significativos. Para tanto, será utilizado a Resolução de Problemas que é uma das tendências metodológicas em Educação Matemática. Da constatação de que os alunos, já no Ensino Médio ainda encontram-se em defasagem nessa área do conhecimento matemático, justifica-se o trabalho com o conteúdo estruturante Geometrias. Espera-se, com esse trabalho, tentar minimizar essa defasagem.
Palavras-chave Geometria; Tangram; Resolução de Problemas.
1
Apresentação
Esta produção didático-pedagógica constitui-se numa das atividades
elaboradas no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE. Essa produção
foi elaborada no formato de Unidade Didática e está articulada ao Projeto de
Intervenção Pedagógica na Escola. Dentro da área de matemática, o tema abordado
é o desenvolvimento do pensamento geométrico de acordo com as tendências em
Educação Matemática.
Esta produção destina-se a alunos de 6ª série/7º ano do Ensino Fundamental
do Colégio Estadual Reynaldo Massi – EFMP e tem como objetivo geral, possibilitar
o desenvolvimento do pensamento geométrico e a construção do conhecimento
matemático, relevantes na resolução de problemas por meio de material
manipulável.
O intuito é o de trabalhar conteúdos de geometria plana de forma significativa
e diferenciada. Os conteúdos específicos a serem desenvolvidos são o cálculo de
perímetro e de área e os polígonos. Na busca por uma forma atrativa para
desenvolver esses conteúdos, optou-se por um material didático manipulável, o
quebra-cabeça Tangram. E dessa forma, oportunizar ao aluno a apropriação dos
conceitos geométricos por meio da visualização, da manipulação, da construção e
da reflexão sobre o material manipulável.
Em conformidade com as Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática, os
conteúdos trabalhados serão inseridos em contextos, tornando a aplicação da
matemática mais significativa. Para tanto, será adotada a Resolução de Problemas
que é uma das tendências metodológicas em Educação Matemática.
Da constatação de que os alunos dessa escola, já no Ensino Médio ainda
encontram-se em defasagem nessa área do conhecimento matemático, justifica-se o
trabalho com o conteúdo estruturante Geometrias.
Espera-se, com esse trabalho, tentar minimizar essa defasagem, bem como
compartilhar informações e propor sugestões para subsidiar o trabalho dos
professores que atuam em sala de aula.
2
UNIDADE DIDÁTICA
TANGRAM: DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO PARA
A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Esta Unidade Didática não foi elaborada com a intenção de ser uma receita
milagrosa nem algo extraordinário. Ao contrário, a busca foi por algo viável e
condizente com a realidade em que a escola está inserida. As pesquisas foram
realizadas, buscando alternativas para ensinar o conteúdo de geometria plana e
proporcionar ao aluno uma aprendizagem significativa, bem como fornecer um
material de apoio ao professor que atua em sala de aula. O objetivo desse trabalho é
possibilitar o desenvolvimento do pensamento geométrico para a resolução de
problemas. Para isso propõe-se a utilização do quebra-cabeça Tangram e situações-
problema. O Tangram é utilizado na revisão dos conteúdos que, com certeza, já
foram estudados em séries anteriores.
Esta Unidade Didática está organizada em cinco etapas. Na primeira etapa os
alunos conhecem o Tangram, o constroem e realizam algumas tarefas para
oportunizar o contato com as formas geométricas. Na segunda etapa, os alunos
revisam o conceito de polígonos e realizam tarefas com o Tangram. Na terceira
etapa são revistos os conteúdos de área, inicialmente com o Tangram, usando
medidas não padronizadas. Na quarta etapa, os conceitos de perímetro e área são
trabalhados com as medidas padronizadas. Na quinta etapa, são apresentadas
diversas e variadas situações-problema geométricas, pelas quais os alunos têm a
oportunidades de ampliar o raciocínio geométrico e aplicar os conhecimentos
matemáticos.
A professora de Artes pode ser convidada a se envolver com o Projeto de
Intervenção Pedagógica na Escola, trabalhando com a criação de mosaicos a partir
das formas das peças do Tangram. A sugestão é a confecção de mosaicos por meio
de recorte e colagem ou desenho e pintura. É um momento para se oportunizar a
criatividade dos alunos e, ao mesmo tempo, o manuseio e a visualização das formas
geométricas.
Este Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola será desenvolvido com 15
alunos e o tempo estimado para o trabalho proposto neste material didático é de 32
horas/aulas, em turno oposto ao de estudo dos alunos.
3
Resolução de Problemas
Os conteúdos de geometria plana são explorados em situações-problemas. A
resolução de problemas é uma das tendências em Educação Matemática
apresentadas nas Diretrizes Curriculares Estaduais do Paraná – DCE.
A tendência de Ensino-Aprendizagem de Matemática por meio da Resolução
de Problemas se constitui “num caminho para se ensinar Matemática através da
Resolução de Problemas e não apenas para se ensinar a resolver problemas”
(ONUCHIC e ALLEVATO, 2005, p.220 - adaptado).
Pensando desta forma, deve-se considerar o que escreveu Charnay (1996,
p.38): “o aluno deve ser capaz não só de repetir ou refazer, mas também de re-
significar em situações novas, de adaptar, de transferir seus conhecimentos para
resolver novos problemas”.
A Resolução de Problemas exige uma dinâmica em que os alunos trabalhem
em grupo, discutam e exponham suas idéias para confrontá-las entre si ou com o
professor. Assim, estão ativando processos internos que o leva ao desenvolvimento
do pensamento matemático (VILA e CALLEJO, 2006).
Dante (1994, p.30) lembra que, ao adotar a tendência da resolução de
problemas para suas aulas, o professor deve estar ciente de que se “envolve uma
variedade de processos de pensamento que precisam ser cuidadosamente
desenvolvidos pelo aluno com o apoio e incentivo do professor”. Para isso, Dante
(1994, p.31) orienta o professor a fazer várias perguntas para que os alunos possam
compreender o problema. Os alunos devem ser encorajados a fazer perguntas ao
professor e entre eles mesmos. Assim, vão compreendendo melhor o que o
problema pede e encontrando os dados necessários para resolvê-lo.
Nessa tendência, o mais importante é analisar os procedimentos utilizados
para a resolução de um problema e os progressos que o aluno possa ter, não basta
que ele encontre a resposta. É durante esse processo que o aluno reflete, busca na
sua mente, conteúdos adquiridos, relaciona, faz conjecturas e questionamentos para
criar estratégias de solução. É aí que ele tem a possibilidade de desenvolver e
construir seu conhecimento matemático.
Na tendência da resolução de Problemas, de acordo com Brito (2006, p.48),
“ao final, os estudantes devem ser solicitados a justificar oralmente ou por escrito,
4
individualmente ou em grupo, os diferentes procedimentos empregados, as idéias
utilizadas e as descartadas e o que aprenderam na atividade”.
Para Vila e Callejo (2006, p.150), a interação do professor com os seus
alunos tem uma importância vital na abordagem da Resolução de Problemas. Em
função disso, eles comentam:
[...] pensamos que os professores devem ser um modelo de conduta metacognitiva. Seu papel deve ser:
orientar mais que “guiar por um caminho”;
perguntar, incitar e questionar para fazer refletir mais que proporcionar respostas;
duvidar, refletir, explorar, experimentar e conjecturar mais que informar.
No texto Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de
problemas, Onuchic (1999, p.216-217) esquematizou uma aula, contando com a
participação dos professores. Embasada nas suas leituras, chegou a uma proposta
básica:
Formar grupos – entregar uma atividade
Os alunos trabalham em grupos para terem a oportunidade de aprender uns
com os outros.
O papel do professor
O papel do professor muda de comunicador de conhecimento para o de
observador, organizador, consultor, mediador, interventor, controlador e incentivador
da aprendizagem.
Resultados na lousa
Com o trabalho dos alunos terminado, o professor anota na lousa os
resultados obtidos pelos diferentes grupos.
Plenária
Como todos trabalharam sobre o problema dado, estão ansiosos quanto a
seus resultados. Em assembléia procuram defender seus pontos de vista e
participam.
5
Análise dos resultados
Nesta fase, os pontos de dificuldade encontrados pelos alunos são
novamente trabalhados.
Consenso
A partir da análise feita, com a devida retirada das dúvidas, busca-se um
consenso sobre o resultado pretendido.
Formalização
É feito uma síntese do que se objetivava aprender a partir do problema dado.
São colocadas as devidas definições, identificadas as propriedades e feitas as
demonstrações.
6
CONTEÚDOS
Conteúdo Estruturante: Geometrias
Conteúdo Básico: Geometria Plana
Fundamentação Teórica dos conteúdos
Geometria
A palavra geometria significa “medida da terra”. Essa palavra de origem grega
é formada por geo=terra e metrein=medida. Na antiguidade, os conhecimentos
geométricos foram utilizados para demarcação de terras. A palavra é grega,
provavelmente porque foram os gregos que resolveram estudar a geometria como
ciência. No entanto, foram os babilônios e os egípcios os primeiros a utilizarem os
conhecimentos geométricos. Acredita-se que a geometria surgiu das necessidades
práticas das atividades ligadas à agricultura e à engenharia. Isso fica evidente ao
observar as grandes construções que existem até hoje, como as famosas pirâmides
de Giseh. Para erigir essas obras e outras, era preciso ter conhecimento de
geometria prática. Durante muitos anos, vários geômetras se dedicaram ao estudo
da geometria e muito contribuíram para a evolução dessa ciência. A grande obra de
Euclides “Os elementos”, formada por 13 volumes, é considerada a maior dessas
contribuições, tanto que até hoje, é a base das geometrias existentes.
Atualmente, a geometria é uma parte da matemática que tem por objeto o
estudo rigoroso do espaço e das formas (figuras e corpos) que nele se podem
conceber.
Consta no livro didático público de Matemática – Ensino Médio (2006, p.132,
adaptado) que Geometria é a ciência que tem por objetivo analisar, organizar e
sistematizar o conhecimento espacial. As representações geométricas estão a nossa
volta em forma de gráficos, figuras planas e espaciais. O ensino de geometria deve
se ater para questões que expressem o pensamento geométrico, ou seja, o ensino
precisa permitir que o estudante realize uma leitura que exija a percepção
geométrica, raciocínio geométrico e linguagem geométrica, fatores que influenciam
diretamente na relação que envolve a construção e apropriação de conceitos
abstratos e aqueles que se referem ao objeto geométrico em si.
7
Geometria Plana
Geometria plana é uma parte da Geometria que estuda as linhas e figuras
planas.
Quebra-cabeças geométricos
Kaleff et al (2005, p.16) mencionam que nos últimos anos têm sido
desenvolvidos recursos didáticos visando a motivar os alunos ao estudo das formas
e relacioná-los com a realidade à sua volta. Entre esses materiais destacam-se os
jogos geométricos, do tipo quebra-cabeça. Esses jogos estão sendo utilizados na
escola para motivar atividades que levem o aluno “a identificar, diferenciar,
reconhecer e comparar formas; comparar distâncias; visualizar figuras; analisar
características das figuras; conjecturar sobre relações entre figuras; observar
movimentos realizados no plano, etc.” Kaleff et al nos relatam que os quebra-
cabeças geométricos auxiliam na organização das imagens visuais, que se
transformam em imagens mentais, e que estas ”são fundamentais para a formação e
para a organização do pensamento lógico-abstrato necessário ao desenvolvimento
das idéias matemáticas e científicas”.
Tangram
O Tangram é um quebra-cabeça chinês formado por sete peças com as quais
é possível formar cerca de 1700 figuras (pessoas, animais, objetos, letras, números,
figuras geométricas e outros). O Tangram é um quadrado decomposto em sete
polígonos: dois triângulos grandes, um triângulo médio, dois triângulos pequenos,
um quadrado e um paralelogramo. A regra básica é usar todas as peças, sem
sobrepô-las, para montar as figuras.
Conforme as pesquisas de Souza et al ( 2008, p.2), o Tangram foi trazido da
China para o Ocidente por volta da metade do século XIX e em 1.818 já era
conhecido na América, Alemanha, França, Itália e Áustria. Existem várias versões
para a origem e o significado da palavra Tangram. Segundo uma dessas versões,
Tangram significa literalmente, “quebra-cabeça chinês”. Outra versão está ligada à
8
palavra chinesa para Tangram, “Tchi Tchao Pan”, cuja tradução é “Sete Peças da
Sabedoria”. Não existem registros históricos a esse respeito.
Existem ainda, algumas lendas sobre esse quebra-cabeça.
Devido ao formato das peças, o Tangram é utilizado como material didático
manipulável no trabalho com a geometria.
Segundo Souza et al, o Tangram é um interessante material de apoio para o
desenvolvimento do raciocínio geométrico. A autora ressalta que para tal
desenvolvimento, o aluno precisa ter a oportunidade de :
perceber formas geométricas (ver, tocar, ...);
representar figuras geométricas (desenhar, escrever sobre, interpretar
esquemas,...);
construir (fazer, modificar, ...);
conceber (criar objetos e formas, imaginar, ...);
Assim, segundo a autora, ele terá a chance de desenvolver habilidades de
visualização, percepção espacial, análise e criatividade.
9
http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/geometr/tangram.html. Acesso em: 24 jul. 2011. http://www.eb1-setubal-n17-amoreiras.rcts.pt/projectos/fotostangram/a_lenda_do_ tangram.htm. Acesso em: 24 jul. 2011 Abaixo estão algumas sugestões de vídeos de Matemática da Tv multimídia
do Portal Dia a dia Educação, que contêm animações com o Tangram.
1ª ETAPA: CONSTRUÇÃO E MANUSEIO DO TANGRAM QUADRADO
Informações sobre o Tangram:
O Tangram é um quebra-cabeça chinês formado por sete peças com as quais
é possível formar cerca de 1700 figuras (pessoas, animais, objetos, letras, números,
figuras geométricas e outros). O Tangram é um quadrado decomposto em sete
polígonos: dois triângulos grandes, um triângulo médio, dois triângulos pequenos,
um quadrado e um paralelogramo. A regra básica é usar todas as peças, sem
sobrepô-las, para montar as figuras.
Conforme as pesquisas de Souza et al ( 2008, p.2), o Tangram foi trazido da
China para o Ocidente por volta da metade do século XIX e em 1.818 já era
conhecido na América, Alemanha, França, Itália e Áustria. Existem várias versões
para a origem e o significado da palavra Tangram. Segundo uma dessas versões,
Tangram significa literalmente, “quebra-cabeça chinês”. Outra versão está ligada à
palavra chinesa para Tangram, “Tchi Tchao Pan”, cuja tradução é “Sete Peças da
Sabedoria”. Não existem registros históricos a esse respeito.
Existem ainda, algumas lendas sobre esse quebra-cabeça.
Professor: Nesses links há lendas sobre o Tangram:
Tangram animação 1
(http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/genre.php?genreid=45&letter=&start=120) Página 5. Acesso em: 26 jun. 2011.
Tangram luta (http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=14833) Página 5. Acesso em: 26 jun. 2011.
Tangram animação (http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=14832) Página 5. Acesso em: 26 jun. 2011.
Tangram
(http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=9609). Página 10. Acesso em: 26 jun. 2011.
10
Tarefa 1 – Confecção do Tangram quadrado.
1) No quadrado abaixo trace a diagonal AC. D C A B
2) Alinhe os pontos B e D com a régua e trace o segmento de D até o diagonal. D C E A B
3) Localize o ponto médio de AB e de CB. Ligue os pontos médios. D C G E A F B
PONTO MÉDIO: É o ponto
equidistante dos pontos
extremos de um segmento.
DIAGONAL - Segmento de
reta que liga um vértice a
outro não consecutivo de um
polígono.
Recomendações ao professor: Pode-se dar o quadrado já desenhado ou
construí-lo com os alunos. Na sequência, está o passo a passo da construção do
Tangram quadrado, baseado no livro “A Matemática das Sete Peças do
Tangram” (2008, p.76).
11
4) Com a régua alinhe os vértices D e B. Prolongue DE até interceptar FG. D C E G H A F B
5) Encontre o ponto médio de AE. Ligue-o ao ponto F.
D C E G I H A F B
6) Encontre o ponto médio de EC. Ligue ao ponto H. D C J E G I H A F B
12
O Tangram Quadrado está pronto!
Tarefa 2 – Recorte o Tangram que você construiu.
Tarefa 3 – Crie uma figura, colando ou desenhando todas as formas das peças do
Tangram numa folha. Nomeie essa figura e se desejar, faça um pequeno comentário
sobre ela.
Tarefa 4 – Agora, crie novas figuras com as peças. Contorne as silhuetas das
figuras numa folha de papel. Passe a folha para os outros grupos montarem as suas
figuras com o Tangram.
Tarefa 5 – Utilizando todas as peças do Tangram monte as figuras sugeridas.
Contorne as figuras com lápis, construindo a silhueta numa folha de papel.
Recomendações ao professor: O aluno pode riscar e recortar as peças em papel
colorido ou pode desenhar as formas e pintar.
13
(Disponível em: <http://www.matematica.seed.pr.gov.br/arquivos/File/Silhuetas_do_ tangram.pdf>.Acesso em: 05 fev. 2011).
14
2ª ETAPA: TANGRAM E GEOMETRIA PLANA
A palavra geometria significa “medida da terra”. Essa palavra de origem grega
é formada por geo= terra e metrein=medida.
Apesar da palavra ser grega, os egípcios e os babilônios foram os primeiros a
utilizar os conhecimentos de geometria para fazer construções e dividir as terras. Os
gregos foram os primeiros a iniciarem os estudos sobre a geometria.
Há construções antigas que comprovam a existência desse conhecimento de
geometria em tempos muito remotos.
Atualmente, a geometria é uma parte da matemática que tem por objeto o
estudo rigoroso do espaço e das formas (figuras e corpos) que nele se podem
conceber.
Geometria plana é a parte da Geometria que estuda as linhas e figuras
planas.
Tarefa 6 – Observe as figuras de polígonos e de figuras que não são polígonos.
Polígonos Não são polígonos Que diferenças você percebeu entre as figuras que são polígonos das que não são
polígonos?
___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
15
Polígonos
Para entendermos a definição de polígonos, é preciso que saibamos o que
são segmentos consecutivos e linha poligonal.
Segmentos consecutivos são aqueles em que a extremidade final do primeiro
segmento é a extremidade inicial do segundo e a extremidade final do segundo é a
extremidade inicial do terceiro e assim por diante.
Uma linha poligonal aberta é formada por segmentos de reta consecutivos e
não colineares, ou seja, segmentos de reta que não estão alinhados na mesma reta
e que não se fecham.
(Os conteúdos acima citados foram resumidos de Scalzo e Sodré, 2005).
A palavra Polígono é proveniente do grego - "poli" muitos + "gono" ângulo.
Assim, definimos polígono como “uma figura plana constituída por uma linha
poligonal fechada”. (http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/ dg_11t.php).
Os segmentos de reta são denominados lados do polígono. Os pontos de
intersecção são denominados vértices do polígono.
Dependendo do número de lados, um polígono recebe os seguintes nomes de
acordo com a tabela:
SEGMENTO DE RETA – Parte de uma reta limitada entre dois pontos.
COLINEAR – Um número qualquer de pontos são colineares se todos estiverem sobre uma mesma reta.
16
N. de lados Polígono
N. de lados Polígono
1 não existe 11 undecágono
2 não existe 12 dodecágono
3 triângulo 13 tridecágono
4 quadrilátero 14 tetradecágono
5 pentágono 15 pentadecágono
6 hexágono 16 hexadecágono
7 heptágono 17 heptadecágono
8 octógono 18 octadecágono
9 eneágono 19 eneadecágono
10 decágono 20 icoságono
Quadriláteros
Existem alguns quadriláteros especiais:
Trapézio é um quadrilátero que possui dois lados paralelos¹.
Paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.
Retângulo possui quatro ângulos congruentes entre si.
O losango possui quatro lados congruentes entre si.
Quadrado, possui quatro lados e quatro ângulos congruentes entre si.
Retângulos
1Paralelas: Linhas equidistantes em toda a sua extensão. Duas retas são paralelas quando não tem ponto em comum (somatematica: dicionário matemático. Disponível em: http://www.somatematica. com.br/dicionarioMatematico/p.ph. Acesso em: 05 fev. 2011).
2Congruentes: são os que têm a mesma medida.
17
Paralelogramos Losangos Quadrado Trapézios
Tarefa 7 – Desenhe as peças do Tangram, contornando-as com o lápis e escreva os
nomes dos polígonos que elas representam.
Tarefa 8 – Usando as peças que você quiser, monte o triângulo grande do Tangram.
Registre o que fez.
18
Tarefa 9 – Para cada tarefa a seguir, use apenas duas peças à sua escolha.
Construa um quadrado. Construa um paralelogramo. Construa um triângulo. Construa um trapézio.
Tarefa 10 – Para cada tarefa a seguir, escolha e use três peças.
Construa um triângulo. Construa um retângulo. Construa um trapézio. Construa um paralelogramo.
Tarefa 11 – Realize essas tarefas utilizando as três peças triangulares (1 média e 2
pequenas).
Construa um quadrado. Transforme o quadrado em retângulo. Transforme o retângulo em triângulo. Transforme o triângulo em paralelogramo.
Tarefa 12 – Com quatro peças construa:
Um quadrado Um retângulo Um trapézio Um paralelogramo
Tarefa 13 – Com cinco peças construa um quadrado.
Recomendações ao
professor: os alunos podem
registrar a solução,
contornando cada peça com o
lápis.
Ex.
19
Tarefa 14 – Utilizando todas as peças do Tangram, monte nas silhuetas um:
Quadrado; Retângulo; Trapézio; Hexágono; Paralelogramo.
(Disponível em: <http://www.matematica.seed.pr.gov.br/arquivos/File/Silhuetas_do_ tangram.pdf>. Acesso em: 5 fev. 2011).
Recomendações ao professor: Por
uma questão de tempo limitado,
pode-se entregar silhuetas prontas
para a realização dessa tarefa, pois
essas formas são difíceis de serem
montadas.
20
3ª ETAPA: TANGRAM E ÁREA
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida
dessa grandeza, portanto, um número.
Vamos medir uma superfície utilizando as peças do Tangram. Tarefa 15 – Recorte os triângulos maiores em papel colorido e cole quantos forem
necessários para recobrir a superfície do quadrado.
Quanto mede a superfície desse quadrado?
___________________________________________________________________
Tarefa 16 – Meça a mesma superfície utilizando triângulos médios. Recorte e cole
sobre o quadrado.
Agora, qual é a área desse quadrado?
___________________________________________________________________
Professor: Esse quadrado deverá ter as medidas do quadrado que deu origem ao Tangram que foi recortado na 1ª etapa.
Recomendações ao professor: Nessa etapa, os alunos utilizam o Tangram confeccionado inicialmente. O Tangram pode ser utilizado para demonstrar o conceito de área. As peças são utilizadas para medir, de forma não-padronizada, a superfície do quadrado que deu origem ao Tangram. Também pode-se utilizar uma das peças para medir as outras.
21
Tarefa 17 – Agora, utilize os triângulos pequenos. Recorte e cole.
Quantos triângulos pequenos são necessários?
___________________________________________________________________
A área desse quadrado é _______________________________________________
Tarefa 18 – Meça a superfície do quadrado utilizando como unidade de medida a
peça quadrada do Tangram. Diga qual é a medida da superfície do quadrado.
___________________________________________________________________
Tarefa 19 – Com os triângulos pequenos, tente construir as outras peças do
Tangram.
Represente em forma de desenho como fez esta tarefa.
Embaixo de cada desenho, escreva a medida da superfície de cada peça
construída.
22
4ª ETAPA: CONCEITO DE PERÍMETRO E ÁREA
Perímetro é a medida do comprimento de um contorno.
Para fazermos o cálculo do perímetro de um polígono devemos somar as
medidas de todos os seus lados.
A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de
medida de comprimento: metro, centímetro, quilômetro, etc. (http://www.mundo
educacao.com.br/matematica/area-perimetro.htm).
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida
dessa grandeza, portanto, um número.
A unidade de medida fundamental de superfície chama-se metro quadrado.
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um
quadrado com 1 metro de lado.
O dam2, o hm2 e o km2 são utilizados para medir grandes superfícies,
enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies
(http://www. somatematica.com.br/fundam/medsup.php).
Sugestão:
Pode-se construir o metro quadrado e o centímetro quadrado utilizando
folhas de jornal ou outro material qualquer. A seguir pode-se, com esse metro
quadrado e com o centímetro quadrado, medir superfícies como a do piso da sala
de aula, da lousa, da carteira, do corredor, da quadra, etc.
Utilizando o papel quadriculado em centímetros, também podemos
demonstrar a área das figuras geométricas.
Recomendações ao professor: Depois de feita a demonstração com o Tangram, pode-se mostrar as medidas padronizadas, bem como o cálculo da área de algumas figuras geométricas.
23
Área do retângulo
No cálculo da área de qualquer retângulo podemos dividí-lo em quadrados de
1 cm de lado:
Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de lado no retângulo.
Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figura, podemos dizer
que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.
Se observarmos, temos 6 x 4 ou 4 x 6:
6 x 4
4 x 6
24
Assim, o cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:
A = 6 . 4
A = 24 cm2
Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:
altura (h)
base (b)
A = b . h
Área do quadrado
A área do quadrado também é calculada com o produto da base pela altura.
Mas, como a medida da base e da altura são iguais, podemos escrever a fórmula:
lado (l ) lado (l )
Então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:
A = l . l
25
Área do triângulo
Por meio de um retângulo, demonstraremos como calcular a área de um
triângulo.
No retângulo a seguir foi traçada uma diagonal, dividindo a figura em duas
partes iguais.
Como podemos observar, a área de cada triângulo será igual à metade da
área total do retângulo:
A= b . h 2
Tarefa 20 – Calcule o perímetro do quadrado que originou o seu Tangram.
Tarefa 21 – Calcule o perímetro de cada peça do Tangram.
Perímetro do triângulo pequeno=
Perímetro do triângulo médio=
Perímetro do triângulo grande=
Perímetro do quadrado=
Perímetro do paralelogramo=
Qual desses polígonos tem o maior perímetro? E qual tem o menor?
___________________________________________________________________
Tarefa 22 – Desenhe três retângulos especificando suas dimensões, de modo que
todos tenham área igual a 24 cm².
26
Tarefa 23 – Calcule a área da superfície do quadrado que foi decomposto para
formar o seu Tangram.
___________________________________________________________________
Tarefa 24 – Sabendo qual é a área do grande quadrado, calcule a área da superfície
de cada peça do Tangram.
a) Triângulo grande: _______________________
b) Triângulo médio: ________________________
c) Triângulo pequeno: ______________________
d) Quadrado: _____________________________
e) Paralelogramo: _________________________
27
5ª ETAPA: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
1. (OBMEP 2010) O lugar dos amigos – Sete amigos traçaram um triângulo, um
quadrado e um círculo. Cada um marcou seu lugar com um número e pronunciou
uma frase.
Ana: “Eu não falo coisa alguma.”
Bento: “Eu estou dentro de uma única figura.”
Celina: “Eu estou dentro das três figuras.”
Diana: “Eu estou dentro do triângulo mas não do quadrado.”
Elisa: “Eu estou dentro do triângulo e do círculo.”
Fábio: “Eu não estou dentro de um polígono.”
Guilherme: “Eu estou dentro do círculo.”
Encontre o lugar de cada um.
Recomendações ao professor:
Na tendência da Resolução de Problemas a proposta é o trabalho em
grupo. A sugestão é dividir a turma em grupos de três ou quatro alunos. Dada
uma situação-problema, o primeiro passo é a leitura e a interpretação dela. É
necessário que se faça vários questionamentos para que os alunos
compreendam o seu enunciado, encontrem os dados e elaborem um plano para
resolvê-la. É imprescindível também perguntar se conhecem o significado de
todas as palavras, destacando algumas que ache necessário. É preciso circular
pela sala orientando os alunos. Nesse processo é preciso não ter pressa e saber
esperar. Peça para que revisem o que fizeram e vejam se é possível que o
resultado seja aquele que encontraram. Depois de resolvido o problema, os
resultados bem como o caminho que os alunos seguiram para chegar ao
resultado, são colocados na lousa e analisados. Os alunos entram num
consenso a respeito do(s) resultado(s) correto(s). Ao final de cada problema há
a formalização dos conteúdos que se pretendeu explorar.
28
1 2
3 7 4 6 5 (Disponível em: http://www.obmep.org.br/bq/banco.htm. Acesso em: 01 fev. 2011). Ana: _____________
Bento: ____________
Celina: ___________
Diana: ____________
Elisa: ____________
Fábio: ____________
Guilherme: ________
2. Seu Joaquim tem uma chácara com o formato e as medidas indicados na figura
abaixo. Quantos metros de arame farpado ele precisa comprar para cercar a
chácara com 6 fios paralelos, deixando um espaço de 2 m para um portão? Qual
figura geométrica lembra essa chácara?
300 m
200 m
3. Abaixo está representada a distância rodoviária, em quilômetros, entre as cidades
A, B, C, D e E.
100 m 130 m
29
Quantos quilômetros percorre um automóvel que:
vai de A até D, passando por B e C? ________________________
vai de A até D, passando por E?____________________________
vai de A até D passando por B e voltando até C?_______________
vai de B até E passando por D?_____________________________
Qual é o nome do polígono desenhado na figura?__________________________
4. Calcule a área da figura:
1,5 m 1,5m 1,5 m 1,5 m
2 m
Recomendações ao professor: Perguntar aos alunos se sabem o significado do termo “distância rodoviária” e explicá-lo.
230 km
120 km
70 km
190 km
115 km
30
5. (OBMEP 2010) Um cartão da OBMEP, medindo 11 cm por 18 cm, foi cortado para
formar um novo cartão, como na figura. Qual é a área da parte com as letras O e B?
18 cm 11 cm
(a) 77 cm²
(b) 88 cm²
(c) 99 cm²
(d) 125 cm²
(e) 198 cm²
(Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas.html. Acesso em: 01 fev. 2011).
6. Nessa figura, o perímetro do triângulo equilátero ABE é 15 cm. Qual é o perímetro
do quadrado ABCD?
Triângulo equilátero: é o triângulo
que possui os três lados e os três
ângulos iguais.
31
7. Uma sala retangular tem 21 m² de área e 3,5 m de largura. Calcule:
a) o comprimento dessa sala.
b) quantos metros de cordão de acabamento são necessários para colocar à volta
toda da sala como rodapé.
8. (OBMEP 2009) A figura abaixo mostra um quadrado de lado 12 cm, dividido em
três retângulos de mesma área. Qual é o perímetro do retângulo sombreado?
(a) 28 cm
(b) 26 cm
(c) 24 cm
(d) 22 cm
(e) 20 cm
(Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas.html. Acesso em: 05 fev. 2011).
9. (OBMEP 2010) Quatro formigas atravessam o piso de uma sala coberto de lajotas
retangulares, segundo os trajetos indicados na figura. Qual é o comprimento do
trajeto percorrido por Biloca?
Trajeto de Pipoca= 25 dm Trajeto de Tonica= 37 dm Trajeto de Cotinha= 32 dm Trajeto de Biloca=
(a) 35 dm
(b) 43 dm
(c) 55 dm
(d) 24 dm
(e) 48 dm
(Disponível em: http://www.obmep.org.br/bq/banco.htm. Acesso em: 05 fev. 2011).
32
10. A área total da figura abaixo é 40 cm². Baseado nessa informação, determine a
medida x indicada.
4 cm X 6 cm
11. Obtenha a área deste polígono:
7 cm
17 cm 12. (OBMEP 2006) A figura é formada por três quadrados, um deles com área de 25
cm² e o outro com 9 cm². Qual é o perímetro da figura?
(a) 20 cm
(b) 22 cm
(c) 24 cm
(d) 26 cm
(e) 38 cm
(Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas.html. Acesso em: 01 fev. 2011). 13. OBMEP 2010) A figura dada é formada por um triângulo e um retângulo, usando-
se 60 palitos iguais. Para cada lado do triângulo são necessários seis palitos. Se
cada palito mede 5 cm de comprimento, qual é a área (em cm²) do retângulo da
figura?
25 cm²
9 cm²
7 cm
12 cm
33
(a) 1 200
(b) 2 700
(c) 4 500
(d) 1 800
(e) 3 600
(Disponível em: http://www.obmep.org.br/bq/banco.htm. Acesso em: 05 fev. 2011). 14. A figura mostra a área de uma casa num terreno. Qual é a área do jardim,
representado pela cor verde?
2 m 144 m² 2 m 15. (OBMEP 2010) A figura mostra a planta da casa da Rosa. O quarto e o quintal
são quadrados. Qual é a área da cozinha?
(Disponível em: http://www.obmep.org.br/bq/banco.htm. Acesso em: 05 fev. 2011).
Sala
24m²
Quarto
16m²
Cozinha Quintal 4m²
34
Recursos materiais
Durante o desenvolvimento desta unidade didática, propõe-se a utilização dos
seguintes materiais:
cartolina americana
folhas de papel dobradura coloridos
folhas de papel A4
cola
tesoura
régua
lápis
jornal
pincel atômico
televisor multimídia
pendrive
35
Proposta de Avaliação
Nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná consta que em
todo processo educativo a avaliação deve estar presente, “tanto como meio de
diagnóstico do processo ensino-aprendizagem quanto como instrumento de
investigação da prática pedagógica”. Por meio da análise da ação pedagógica, a
intenção é buscar melhorias no processo de ensino-aprendizagem.
No início das atividades, propomos que seja feito um levantamento do
conhecimento dos alunos sobre os conteúdos a serem abordados por meio de uma
atividade individual e escrita. O resultado dessa atividade poderá dar um melhor
direcionamento aos trabalhos posteriores.
A proposta é que a avaliação dos alunos seja feita constantemente, por meio
da observação. Durante a realização das atividades e das mediações feitas a cada
grupo e a cada aluno, observar o interesse, a iniciativa de querer aprender, o
esforço, a colaboração no trabalho em grupo, as dificuldades e a aprendizagem dos
conteúdos abordados. Verificar também, se há, ao menos, progresso do
conhecimento trazido anteriormente.
Sugere-se fazer anotações diárias das observações mais relevantes. As
folhas com as atividades feitas são recolhidas e guardadas. Ao final dos trabalhos,
como no início, são propostas atividades individuais escritas para uma melhor
análise da aprendizagem. Essas atividades avaliativas são selecionadas dentre as
que forem realizadas.
Também se propõe que seja feito um seminário para que os alunos possam
expressar, oralmente, as suas impressões sobre o trabalho proposto. Após esse
intento, propor que escrevam um breve depoimento sobre esse trabalho, pois pode
haver aqueles que não se manifestem oralmente.
Ao término das atividades programadas, numa data determinada, sugere-se
que os quebra-cabeças fiquem à disposição dos demais alunos da escola para
montarem as figuras nas silhuetas confeccionadas. Os alunos envolvidos no projeto
orientam os demais sobre a montagem do quebra-cabeça. Nesta data também
podem ser expostos os trabalhos de colagem realizados. Se houver o envolvimento
e o consentimento da professora, os mosaicos confeccionados nas aulas de Arte
também podem ser expostos.
36
Sugestões de Atividades para fazer uma revisão de conteúdos.
Geometria Plana
Tarefa 1 – Em qual das alternativas abaixo há a idéia de ponto?
(a) O muro da escola. (b) A lousa. (c) Uma quadra de basquete. (d) Uma estrela no céu.
Tarefa 2 – Em qual das seguintes alternativas a forma indicada é mais próxima de segmento de reta?
(a) Uma quadra de vôlei. (b) Uma bola de futebol. (c) A linha que divide o campo de futebol ao meio. (d) A linha da meia-lua do campo de futebol.
Tarefa 3 – Escreva que elementos geométricos (ponto, reta ou plano) nos sugere: um fio de linha bem esticado? ___________________________________________ a marca deixada por uma ponta de lápis num papel? _________________________ o tampo de uma mesa? ________________________________________________ uma corda de violão esticada? __________________________________________ uma folha de papel sulfite? _____________________________________________ superfície de uma parede? ______________________________________________ superfície de um quadro-de-giz? _________________________________________ encontro de duas paredes? _____________________________________________ corda esticada? ______________________________________________________ um grão de areia? ____________________________________________________
Recomendações ao professor: Essas atividades podem ser feitas como dever
de casa, se houver necessidade.
37
Tarefa 4 – Marque somente as figuras que são polígonos.
Tarefa 5 – Entre as figuras abaixo, apenas uma é polígono. Identifique-a e justifique por que as outras figuras não são polígonos. a) b) c) d) e) ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Tarefa 6 – Escreva o número de lados e de vértices de cada polígono. LADOS: ............................ ................................... .................................. VÉRTICES: ...................... .................................. ...................................
38
LADOS: ............................ ................................... .................................. VÉRTICES: ...................... .................................. ................................... Tarefa 7 – As placas de trânsito lembram regiões planas. Veja o desenho de algumas placas e escreva a forma de cada uma delas.
_____________ _______________ _______________ ______________ Tarefa 8 – Escreva o nome de cada polígono desenhado, de acordo com o número de lados ou de vértices. A B C D E F G H I
J K L
39
A ___________________________ G ___________________________ B ___________________________ H ___________________________ C ___________________________ I ___________________________ D ___________________________ J ___________________________ E ___________________________ K ___________________________ F ___________________________ L __________________________ Tarefa 9 – Desenhe: um pentágono. um eneágono. Tarefa 10 – Conte as figuras.
Quantos triângulos são possíveis de se ver na figura acima? __________________________________________________________________ Quantos retângulos há na figura acima? __________________________________________________________________ Tarefa 11 – Pinte os triângulos que encontrar no quadro abaixo:
40
Tarefa 12 – Observando o mosaico abaixo, quais são as figuras geométricas que o
compõe?
__________________________________________________________________
(Disponível em: <http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/mylinks/ viewcat.php?cid=15>. Acesso em: 01 de fev. de 2011). Tarefa 13 – Quais são as figuras geométricas que se pode observar na
pavimentação abaixo?
___________________________________________________________________ Tarefa 14 – Quais são as figuras geométricas se pode observar nesse mosaico ?
__________________________________________________________________
41
Tarefa 15 – Que polígonos você vê nessa faixa ornamental de parede? __________________________________________________________________
Tarefa 16 – Dê o nome dos polígonos que compõem a imagem logo abaixo.
___________________________________________________________________
42
Tarefa 17 – Que polígono se repete nessa imagem abaixo? __________________________________________________________________
Tarefa 18 – Qual é a figura geométrica que compõe esse mosaico abaixo? __________________________________________________________________
Observação para o professor: Todos esses mosaicos estão disponíveis no
Portal Dia a dia Educação (TV Multimídia – Imagens – Matemática) para serem
exibidos na forma de slides.
43
Sugestões de mais algumas situações problemas
1. (OBMEP 2010) Seis retângulos – Com seis retângulos idênticos formamos um
retângulo maior, com um dos lados medindo 21 cm, como na figura. Qual é a área
do retângulo maior, em cm²?
(a) 210 (b) 280 (c) 430 (d) 504 (e) 588
21 cm
(Disponível em: http://www.obmep.org.br/bq/banco.htm. Acesso em: 02 fev.2011).
2. (OBMEP 2007) Duas formigas percorrem o trajeto da figura partindo, ao mesmo
tempo, uma do ponto A e outra do ponto B. Elas andam com a mesma velocidade e
no sentido indicado pelas flechas. Qual será a distância entre elas no momento em
que elas ficarem uma de frente para a outra?
(a) 30 m A B
(b) 40 m
(c) 50 m 30m 40m
(d) 60 m
(e) 70 m
60m
(Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas.html. Acesso em: 05 fev. 2011).
44
3. Calcule a área da figura abaixo.
6,5 cm
2 cm
3 cm
6cm
45
PROPOSTA DE AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO
A avaliação desta unidade Didática será essencial para o levantamento dos
dados para uma reflexão sobre as ações desenvolvidas. Será importante o parecer
dos alunos a respeito dos trabalhos que realizaram. Pretendemos fazer um
seminário para que os alunos possam expressar, oralmente, as suas impressões
sobre o trabalho proposto. Após esse intento, será proposto que escrevam um breve
depoimento sobre esse trabalho, pois pode haver aqueles que não se manifestem
oralmente.
Os Grupos de Trabalho em Rede - GTR constituem uma das atividades do
PDE e caracteriza-se pela interação à distância entre o Professor PDE e os demais
professores da Rede Pública Estadual, cujo objetivo é a socialização e discussão
das produções e atividades desenvolvidas.
A avaliação dessa Unidade Didática também será feita pelos professores
participantes do GTR, que irão discutir e analisar a sua viabilidade, além de
contribuir com as suas sugestões. Espera-se que essas discussões e análises
apontem os aspectos positivos e os que necessitam de melhoria.
46
SUGESTÕES DE LEITURA PARA APROFUNDAMENTO TEÓRICO FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação Matemática: Representação e Construção em Geometria. Porto Alegre: Artmed, 1999. FIORENTINI, Dario e MIORIM, Maria Ângela. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da Matemática. Boletim SBEM-SP: jul-ago de 1990, Ano 4, nº 7. Disponível em: <http://www.matematicahoje.com.br/telas/ sala/didaticos/recursos_didaticos.asp?aux=C>. Acesso em: 30 nov. 2010. LORENZATO, Sérgio. Por que não ensinar geometria? 2009. Disponível em: <http://professores-articulados.blogspot.com/2009/12/por-que-nao-ensinar-geometria-lorenzato.html>. Acesso em: 02 dez. 2010. ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de problemas. In BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: Concepções e Perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999. p.199-217. POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006. SOUZA, E. R.; Diniz, M. I. S. V.; Paulo, R. M.; Ochi, F. H. A Matemática das Sete Peças do Tangram. São Paulo: CAEM/ IME-USP, 2008.
47
REFERÊNCIAS BRITO, Marcia Regina Ferreira de. Alguns Aspectos Teóricos e Conceituais da Solução de Problemas Matemáticos. In BRITO, Márcia Regina Ferreira de. Solução de problemas e a Matemática Escolar. Campinas: Alínea, 2006. p. 13 – 53.
CHARNAY, Roland. Aprendendo (com) a resolução de problemas. In PARRA, Cecília e SAIZ, Irma. Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996. p.36-49. DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 1994. EVES, Howard. História da geometria (trad. Hygino H. Domingues). São Paulo: Atual, 1992. FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação Matemática: Representação e Construção em Geometria. Porto Alegre: Artmed, 1999. KALEFF, Ana Maria M. R.; REI, Dulce Monteiro; GARCIA, Simone dos Santos. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. Niterói: EdUFF, em convênio com a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de nível Superior, 2005.
ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de problemas. In BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: Concepções e Perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999. p.199-217. ONUCHIC, Lourdes de La Rosa e ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Novas Reflexões sobre o ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In BICUDO, Maria Aparecida Viggiani e BORBA, Marcelo de Carvalho (Org.).Educação Matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2005. p. 213–230. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Diretrizes Curriculares de Matemática. Curitiba: SEED, 2008. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação.Livro Didático Público – Matemática. Ensino Médio. Curitiba: SEED-PR, 2006.
48
SCALZO, M.L.V. e SODRÉ, U. Matemática Essencial. Ensino Fundamental. Geometria: Polígonos e Triângulos. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel. com.br/matematica/fundam/geometria/geo-poli.htm>. Acesso em 07 mar. 2011. SCALZO, M.L.V. e SODRÉ, U. Matemática Essencial. Ensino fundamental. Geometria: Conceitos básicos. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/ matematica/fundam/geometria/geo-basico.htm>. Acesso em: 18 mar. 2011. SOUZA, E. R.; Diniz, M. I. S. V.; Paulo, R. M.; Ochi, F. H. A Matemática das Sete Peças do Tangram. São Paulo: CAEM/ IME-USP, 2008. VILA, Antoni e CALLEJO, María Luz. Matemática para aprender a pensar: O papel das crenças na resolução de problemas. (tradução: Ernani Rosa). Porto Alegre: Artmed, 2006.