FICHA PARA CATÁLOGO – PRODUÇÃO DIDÁTICA - PEDAGÓGICA

Título: Estimulando a curiosidade dos alunos por meio da Resolução de Problemas

Autor Aparecida Dias de Souza

Escola de Atuação Colégio Estadual Rodrigues Alves - Ensino Fundamental, Médio e EJA

Município da escola Maringá

Núcleo Regional de Educação Maringá

Orientador João Cesar Guirado

Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual de Maringá

Disciplina/Área (entrada no PDE) Matemática

Produção Didático-pedagógica Unidade Didática

Relação Interdisciplinar

Público Alvo Alunos

Localização Avenida Morangueira, 800, Vila Santo Antonio,

Maringá - Pr.

Apresentação:

De acordo com as Diretrizes Curriculares de Educação Básica do Estado do Paraná, os conteúdos devem ser abordados, por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática docente, e uma das propostas metodológicas é a Resolução de Problemas. Nesse sentido o objetivo deste trabalho é apresentar uma proposta metodológica para os conceitos e aplicações das operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão, por meio da Resolução de Problemas, a fim de melhorar a qualidade de ensino, permitindo, desta forma, promover o desempenho e o desenvolvimento da capacidade de pensar e compreender os conceitos matemáticos visando tornar as aulas de matemática mais dinâmicas, interessantes e criativas. Serão apresentados problemas interessantes, desafiadores, curiosos visando despertar nos alunos a curiosidade e

interesse pela descoberta da solução. As atividades elaboradas foram planejadas partindo das mais simples até as mais complexas, de modo a propiciar ao aluno a assimilação dos conceitos matemáticos pertinentes às operações fundamentais. A escolha desse tópico deu-se tendo em vista a constatação da enorme defasagem dos alunos nesses conteúdos, pois a maioria deles chega na 5ª série (6ºano) sem o domínio dos algoritmos, sem a compreensão do Sistema de Numeração Decimal e sem habilidades de raciocínio.

Palavras-chave Resolução de Problemas; Operações Fundamentais; Números; Raciocínio Matemático

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: Aparecida Dias de Souza

Área/Disciplina: Matemática

Professor orientador: Ms João Cesar Guirado

IES vinculada: Universidade Estadual de Maringá- UEM

NRE: Maringá

Escola de Implementação: Colégio Estadual Rodrigues Alves- EFM e EJA

Público Objeto da Intervenção: Alunos da 5ª série

Tema de estudo professor PDE:

Resolução de Problemas

Título:

Estimulando a Curiosidade dos Alunos por meio da Resolução de Problemas

1 APRESENTAÇÃO

O PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – foi instituído com o

objetivo de estabelecer o diálogo entre os professores da Educação Superior e os

professores da Educação Básica. Desenvolvido pela Secretaria de Estado de

Educação do Paraná, em convênio com as universidades paranaenses, o PDE,

integrado às atividades da Formação Continuada em Educação, disciplina a

promoção do professor para o Nível III da Carreira, conforme previsto no Plano de

Carreira do Magistério Estadual.

O objetivo do PDE é proporcionar aos professores da rede pública subsídios

teórico-metodológico para o desenvolvimento de ações educacionais sistematizadas,

e que resultem em redimensionamento de sua prática.

Nesta perspectiva surge então uma nova política educacional inovadora de

Formação Continuada em Educação da SEED-PR, um programa inovador, propondo

um conjunto de atividades teórico-práticas orientadas, definidas a partir das

necessidades da Educação Básica, que visa mudanças qualitativas na prática da

Educação Pública do Estado do Paraná.

A elaboração de um Plano de Trabalho, em conjunto com o Professor

Orientador João Cesar Guirado da Universidade Estadual de Maringá, constitui uma

das atividades propostas ao Professor PDE, o que resultou na presente elaboração

do Material Didático - Produção Didático-Pedagógica, em articulação com o Projeto

de Intervenção Pedagógica na Escola. Outra atividade proposta pelo Plano

Integrado de Formação Continuada é a participação do professor PDE no Grupo de

Trabalho em Rede – GTR, que se caracteriza pela interação a distância entre

professor PDE e os demais professores da Rede Pública Estadual, da Área de

Matemática, momento privilegiado para a socialização e discussões das produções e

das atividades desenvolvidas.

A presente produção didático–pedagógica se caracteriza como uma Unidade

Didática, direcionada aos alunos da Educação Básica, a qual se constitui como

estratégia de ação, elaborada para a implementação na escola de atuação do

professor PDE.

De acordo com as Diretrizes Curriculares de Educação Básica do Estado do

Paraná, os conteúdos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas

da Educação Matemática que fundamentam a prática docente, e uma das

alternativas metodológicas é a Resolução de Problemas. Por meio desta

metodologia, o processo de ensino aprendizagem torna-se mais dinâmico, pois as

diferentes formas de resolução de problemas oportunizam o estabelecimento de

conexões tanto de matemática como de comunicação, propiciando assim uma

melhoria para o ensino nas escolas da Rede Pública de Educação Básica do Estado

do Paraná.

Nesse sentido, o objetivo deste trabalho é apresentar uma proposta

metodológica para os conceitos e aplicações das operações fundamentais: adição,

subtração, multiplicação e divisão, por meio da Resolução de Problemas, a fim de

melhorar a qualidade de ensino aos alunos da Rede Pública de Educação Básica do

Estado do Paraná, permitindo, desta forma, promover o desempenho e o

desenvolvimento da capacidade de pensar e compreender os conceitos

matemáticos, visando tornar as aulas de matemática mais dinâmicas, interessantes

e criativas.

O ensino de matemática por meio de Resolução de Problemas é uma

proposta viável para o nível escolar proposto neste trabalho, onde serão

apresentados problemas interessantes, reais, desafiadores, e adequados à

idade/série, visando despertar nos alunos a curiosidade e o interesse pela

descoberta da solução, contribuindo assim com o ensino-aprendizagem das

operações fundamentais. Para isso, as atividades foram planejadas partindo das

mais simples até as mais complexas, de modo a propiciar ao aluno a assimilação

dos conceitos matemáticos pertinentes às operações fundamentais, uma matemática

que busca dar sentidos e significados para a sua linguagem, que promova e desafie

o raciocínio do aluno.

Esse será o momento em que o aluno terá a oportunidade de aplicar seus

conhecimentos matemáticos adquiridos e conhecidos em novas situações, assim

como descobrir e construir conceitos matemáticos fundamentais para compreender

as relações entre números, operações e utilizá-los na Matemática e em outras áreas

do conhecimento.

A escolha desse tópico dentro da grade curricular deu-se tendo em vista a

constatação da enorme defasagem dos alunos nesses conteúdos, pois a maioria

deles chega na 5ª série (6ºano) sem o domínio dos algoritmos, sem a compreensão

do Sistema de Numeração Decimal e sem habilidades de raciocínio. Dessa forma,

cada vez mais se precisa de uma Educação Matemática Básica que possibilite ao

aluno o domínio das operações elementares, pois elas são requisitos básicos na

matemática. De posse desses requisitos, o aluno avança em sua aprendizagem e,

assim, estaremos proporcionando-lhe um raciocínio mais elaborado e significativo,

contribuindo para formar o cidadão capaz de atuar na sociedade com discernimento

crítico e reflexivo.

A implementação se dará por meio da apresentação, aos alunos, de um breve

histórico dos números e das operações desde sua origem até os dias de hoje,

sempre com um olhar no passado e no presente para compreender a importância de

sua utilização e aplicabilidade em situações do cotidiano e, em seguida, serão

propostos aos alunos o rol de problemas selecionados.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Breve Histórico da Resolução de Problemas

Em 1858, um antiquário escocês, Alexander Henry Rhind, adquiriu, numa

cidade à beira do Nilo, um grande papiro, cujas dimensões aproximadas são 0,30

metros de altura e 5 metros de comprimento. Esse documento, conhecido como

Papiro Rhind, foi copiado em escrita hierática (escrita discursiva egípcia) da direita

para a esquerda, pelo escriba (escriturário egípcio) chamado Ahmes, por volta de

1650 a.C., embora haja referência de que fora copiado de um manuscrito, de cerca

de 200 anos antes. É também conhecido por papiro de Ahmes em honra ao escriba

que o copiou.

O papiro de Rhind (ou Ahmes) do antigo Egito é, sem dúvida, um dos mais

antigos e preciosos documentos relativos aos conhecimentos matemáticos, o qual

se intitula de “Instruções para conhecer todas as coisas Secretas”. Encontra-se

atualmente exposto no Museu Britânico de Londres.

Segundo Eves (2004, p.70), o papiro de Rhind é uma fonte primária rica sobre

a matemática egípcia antiga, deixando evidências de que sabiam fazer cálculos.

O Papiro de Rhind é composto de 85 problemas, com instruções para as suas

respectivas soluções, divididos em: algébrico, geométrico e problemas práticos de

natureza aritmética envolvendo o cotidiano dos egípcios como, por exemplo, divisão

do pão, alimentação do gado, armazenamento de cereais, quantidade de grãos de

trigo e cevada e problemas referentes a um número desconhecido a ser procurado

era representado pela letra montão. Esses problemas mostram conceitos que

caracterizavam as particularidades da matemática dos antigos egípcios, como o uso

constante do caráter aditivo, os métodos da multiplicação e divisão, cálculos com

frações chamadas unitárias. No entanto os antigos egípcios usavam um algoritmo

diferente do qual usamos atualmente, mas podemos nos valer das operações

fundamentais conhecidas por nós para resolver os problemas contidos nesse

documento.

Os egípcios desempenharam um papel essencial a respeito da preservação

de muitos papiros que contribuíram para o nosso conhecimento atual sobre a

matemática. Portanto, é interessante que os professores utilizem informações de

contextos históricos durante seu processo de ensino, para assim facilitar e satisfazer

as necessidades dos conteúdos escolares, contribuindo para a motivação e a

aprendizagem do aluno, levando-os a ver a matemática como uma criação humana,

propiciando condições para desenvolver atitudes e valores mais favoráveis diante do

conhecimento.

Podemos observar que, desde a antiguidade, muitos séculos antes de Cristo,

os povos se expressavam por meio de registros informativos. Essas informações

eram repassadas por meio de entalhe, isto é, marcas em conchas, ossos, paus,

rochas, pedras, troncas e, também, em manuscritos em placas de argila. Mas com o

passar dos tempos e com a evolução das civilizações essas informações passaram

a ser registradas em papiros. Mas o que venha a ser um papiro?

Papiro é um dos mais antigos ancestrais do papel. É nele que a antiga

civilização egípcia, que vivia à beira do rio Nilo, deixou uma preciosa contribuição

cultural para a humanidade: na literatura, na arte e conhecimento científico na área

da Astronomia, Medicina e Matemática. Os egípcios fabricavam artesanalmente este

material (papiro) para nele escrever os documentos, a fim de as informações

sobreviverem ao tempo.

Com o passar dos tempos surgiu um novo material no qual os registros da

escrita e dos desenhos ficavam com uma qualidade melhor. Este material, utilizado

até nos dias de hoje, é obtido de uma planta denominada Papiro (Cyperus papyrus).

É uma das mais belas plantas aquáticas, da família Cyperaceae, encontrada

principalmente à beira do rio Nilo. Esta planta é considerada sagrada pelo povo

egípcio, pelo fato de a flor ser composta de finas hastes verdes, lembrando os raios

da divindade máxima desse povo, o Sol.

Para Boyer (1974, p.12) “muitos dos cálculos no papiro de Rhind são

evidentemente exercícios para jovens estudantes. Embora uma grande parte deles

seja de natureza prática em algumas ocasiões o escriba parece ter tido em mente

enigmas ou recreações matemática”.

Apresentamos a seguir um versinho infantil, que possivelmente teve sua

origem no Egito Antigo.

“Quando eu ia a Sant Ives,

Encontrei um homem com sete mulheres;

Cada mulher tinha sete sacos,

Cada saco tinha sete gatos,

Cada gato tinha sete gatinhos.

Gatinhos, gatos, sacos, e mulheres,

Quantos iam para Sant Ives?”

O problema 79 do Papiro de Rhind cita apenas “sete casas, 49 gatos, 343

ratos, 2401 espigas de trigo, 16.807 hecates” (BOYER, 1974, p.12). Ele fornece um

conjunto de dados curiosos, e fazendo uso desses dados pode-se inventar um

problema, formulado e traduzido da seguinte forma:

Um homem tinha sete casas,

Cada casa tinha sete gatos,

Para cada gato havia sete ratos,

Para cada gato havia sete espigas de trigo,

Para cada espiga tinha sete medidas de grão.

Quantas coisas esse homem possuía

Casas, gatos, ratos, espigas e medidas de grão?

Provavelmente Ahmes estava referindo-se a um problema bem conhecido, em

cada casa há 7 gatos, cada gato comeu 7 ratos, cada rato comeu 7 espigas de trigo,

cada espiga produziu 7 medidas de grãos. Note que o problema quer saber qual é a

soma de todas as coisas citadas no problema de forma enumerada, ou seja, a soma

dos números de casas, gatos, ratos, espigas e medidas de grãos de trigo. Podia ser

também uma relação de bens, quanto possuía disso tudo. Observe a similaridade

desse problema com o antigo versinho infantil acima mencionado.

Não pode deixar de causar espanto que as características inusitadas dos

antigos versos ingleses também tivessem ocorrido num problema egípcio de mais de

4000 anos (EVES, 2004, p. 76).

2.2 Resoluções de Problemas na Matemática

Desde os tempos da antiguidade os conhecimentos matemáticos eram

baseados nas necessidades cotidianas do homem. Os primeiros homens tiveram

que desenvolver métodos para solucionar os problemas do cotidiano como, por

exemplo, contar, realizar trocas, elaboração dos calendários, a administração das

colheitas, localizarem-se no tempo e no espaço, a cobrança de impostos etc., se

estendendo até os dias de hoje.

Os números estão presentes na vida do homem desde os tempos “remotos

como os do começo da idade da pedra, o paleolítico” (STRUIK, 1997, p. 29).

Assim como os números, a resolução de problemas aparece na história por

meio de documentos antigos como é o caso do Papiro de Rhind (ou Ahmes), já

comentado, e também em outros registros efetuados pelos egípcios, chineses e

gregos.

É bem provável que resolver problemas já fazia parte da natureza humana

desde o homem primitivo.

Resolver problema é da própria natureza humana. Podemos caracterizar o homem como “animal que resolve problemas”; seus dias são preenchidos com aspirações não imediatamente alcançáveis. A maior parte de nosso pensamento consciente é sobre problemas; quando não nos entregamos à simples contemplação, ou devaneios, nossos pensamentos estão voltados para algum fim. (POLYA, 1997 apud KRULIK; REYS, 1997, p.2).

Até meados do século XX, a Resolução de Problemas era simplesmente em

resolver problemas, mas não como uma metodologia de Ensino e Aprendizagem em

Matemática.

Para conceber a ideia de que é possível ensinar Matemática por meio da

Resolução de Problemas, como uma metodologia de ensino, foi preciso percorrer

uma grande trajetória, no século XX, e, em especial, nos últimos 40 anos.

As reformas sociais e as reformas no Ensino de Matemática ajudam a

estender a ideia atual da Resolução de Problemas, pois para entendê-la é preciso

passar pela compreensão do Ensino de Matemática no início do século XX, cuja

ênfase se dava na repetição. Assim, resolver problemas era simplesmente resolver

exercícios.

Nas décadas de 60 e 70, com o movimento mundial da Matemática Moderna,

a Resolução de Problemas foi deixada de lado, porém os questionamentos

continuaram deixando preocupados os pesquisadores no mundo todo. Assim, houve

avanços e recuos em relação à adoção da Resolução de Problemas em todo

mundo, mas a sua essência sempre foi mantida, ou seja, ensinar o estudante a

resolver problema.

Em 1980, foi publicado pelo National Council of Theachers of Mathematics

(NCTM) a Agenda for Action: recommendations for school mathematics of the

1980’s. A primeira das recomendações dizia que “resolver problema deve ser o tema

central da Matemática, durante a década de 80”.

Em 1988, o National Council of Supervisors of Mathematics – NCSM

identificou doze áreas de competências que os alunos devem apresentar em

Matemática e uma delas é a Resolução de Problemas.

Para o NCSM, a resolução de problemas é um “processo de aplicação de

conhecimentos previamente adquiridos a novas e não familiares situações”. As

estratégias envolvem propor: a apresentação de questões; a análise de situações; a

transferências de resultados; a ilustração de resultados; o traçado de diagramas; o

uso da técnica de ensaio e erro.

Nesse sentido, a Resolução de Problemas passa a ter destaque nos

congressos de nível internacional, isto por volta da metade dos anos 80. É nesse

período que o Brasil acentua seu olhar para a Resolução de Problemas. Muitos

recursos foram criados nesse período, visando o trabalho em sala de aula, como

coleções de problemas, listas de estratégias, sugestões de atividades e como avaliar

o desempenho em resolver problemas.

Em termos históricos, Polya, educador matemático húngaro, foi um grande

incentivador da resolução de problemas. Isso ocorreu na metade do século XX. Sua

proposta era tornar os estudantes de matemática em bons solucionadores de

problemas. Foi um dos matemáticos mais importantes do século XX, por apresentar

uma heurística de resolução de problemas específica para a matemática. Polya é

considerado como referência no assunto, pois suas ideias representam uma grande

inovação em relação às existentes até então, suas obras servem de alicerce para o

trabalho desenvolvido por outros pesquisadores contemporâneos.

2.3 A Resolução de Problemas como uma Metodologia de Ensino na Educação

Matemática

Quando adultos dificilmente vamos nos deparar com uma situação do cotidiano em que temos que resolver um problema da fórmula quadrática ou de um teorema da geometria; mas o que os estudantes podem e deveriam ter, como conseqüência de sua educação, é a habilidade para raciocinar cuidadosamente e para usar inteligente e eficientemente os recursos à sua disposição quando confrontados com problemas em suas próprias vidas (SCHOENFELD, 1997 apud KRULIK; REYS, 1997, p.22).

Polya, grande estudioso do tema Resolução de Problemas, menciona que

resolver um problema exige “encontrar um caminho onde nenhum outro é conhecido

de antemão, encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, encontrar um

caminho que contorne um obstáculo, para alcançar um fim desejado, mas não

alcançável imediatamente, por meios adequados” (POLYA, 1997 apud KRULIK;

REYS, 1997, p. 1-2).

A inteligência é um dom inerente ao ser humano e, portanto, resolver

problemas é a realização específica da inteligência. A capacidade de dar soluções e

de contornar obstáculos onde nenhum caminho se apresenta, colocam os homens

acima dos mais inteligentes animais. Para Poya, resolver problemas é uma

característica intrínseca do ser humano. A educação é considerada incompleta

quando ela não contribui para o desenvolvimento intelectual. Contudo, a inteligência

é condição essencial para a habilidade em resolver problemas: problemas do

cotidiano, pessoais, sociais, científicos e quebra-cabeças. “O aluno desenvolve sua

inteligência usando-a; ele aprende a resolver problemas resolvendo-os” (POLYA,

1997, apud KRULIK; REYS, 1997, p. 2).

A partir dos anos 90, somos confrontados com uma nova proposta de ensino

com ênfase no uso da Resolução de Problemas no Currículo Escolar, a qual

explicitava: Ensinar Matemática por meio da Resolução de Problemas, porém

com o propósito de desenvolver a compreensão de Matemática nos alunos.

Dessa forma, a ênfase era ensinar Matemática por Meio da Resolução de

Problemas, mas não como um tópico, um padrão, ou parte de um conteúdo, mas

como uma Postura Pedagógica, ou seja, uma Metodologia de Ensino que contribua

para a prática docente.

A Secretaria de Estado da Educação do Paraná apresentou uma proposta de

Ensino Inovador: Currículo Básico para a Escola Pública do Estado do Paraná-

SEED, no ano de 1990. A presente proposta é que professores e alunos

desenvolvam uma concepção de Matemática que permita a todos o acesso aos

conhecimentos, condição necessária para participarem e interferirem na sociedade

em que vivem. Nesta proposta, aprender Matemática é

Muito mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x na resposta correta: é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível (CURRÍCULO BÁSICO PARA ESCOLA PÚBLICA DO ESTADO DO PARANÁ, 1990, p.66).

É importante compreendermos que os problemas não se tratam de

conteúdos, mas sim uma forma de trabalhar os conteúdos. Os conteúdos básicos

devem ser trabalhados a partir de problemas, e os mesmos utilizados também como

um desafio à reflexão dos alunos, devendo evitar o uso de problemas modelo, uma

vez que resolver problema implica no domínio que o aluno possui dos conteúdos

adquiridos e do raciocínio lógico. Esta proposta contribuiu para o trabalho dos

docentes que a usaram, tornando as aulas de matemática mais atraentes, fugindo

assim, do tradicional que até então era pautado principalmente de exposição oral e

de resolução de exercícios repetitivos.

O ensino da Matemática tem sido visto como algo complexo e desestimulante

para e muitos alunos. Isso pode ser justificado pelo próprio modo de como os

professores veem a Matemática, como ciência pronta, que reúne axiomas, teoremas

e fórmulas, que muitas vezes causam desinteresse aos alunos. Dessa forma, o

ensino passa a ser mecanicista e pouco do que é ensinado é realmente retido pelo

aluno. Assim, muitos não são capazes de aplicar os conceitos e habilidades no seu

cotidiano e isso ocorre porque não chegam à compreensão desses conhecimentos.

De modo geral, os conteúdos são fixados por meio de problemas,

caracterizando-se como meros exercícios repetitivos, não permitindo aos alunos a

identificação de importantes características que se repetem no processo de

resolução, criando, desta forma, procedimentos padronizados a serem repetidos em

situações similares. Essa forma de abordar os problemas não contribui para um

aproveitamento eficaz por parte do aluno. Nesse sentido, cabe mencionar que

[...] só há problema se o aluno percebe uma dificuldade; uma determinada situação “provoca problema” para um determinado aluno pode ser resolvida imediatamente por outro (e então não será percebida por este último como sendo um problema). Há então, uma ideia de obstáculo a ser superado. Por fim, o meio é um elemento do problema, particularmente as condições didáticas da resolução (organização da aula, intercâmbio, expectativas explícitas ou implícitas do professor) (CHARNAY, 1996, p.46).

Diante disso, para amenizar essa situação que está inserida na sociedade e,

ao mesmo tempo, modificar o que já se instalou durante décadas, é preciso muito

esforço, criatividade e responsabilidade. Não se pode ensinar matemática sem a

aquisição do significado da disciplina e sem o domínio dos conceitos fundamentais a

esta compreensão.

Compete à escola a tarefa de informar, porém não só no sentido cumulativo e

sim na formação integral do sujeito envolvido nesse processo. Nesse sentido, cabe

mencionar que

Os anos escolares são, no todo, o período ótimo para o aprendizado de operações que exigem consciência e controle deliberado; o aprendizado dessas operações favorece enormemente o desenvolvimento das funções psicológicas superiores enquanto ainda estão em fase de amadurecimento. Isso se aplica também ao desenvolvimento dos conceitos científicos que o aprendizado escolar apresenta à criança (VYGOTSKY, 1989, p. 90).

A política educacional, estabelecida no final da década de 1990, alterou a

função da escola e a proposta estadual vigente também sofria inadequações. Assim,

a partir de 2003 foi retomada pela SEED/PR o Programa de Reformulação Curricular

para reestruturar e nortear novos rumos para a Educação Pública no Paraná. Desta

forma, a proposta de reformulação passou por várias etapas até sua conclusão final

a qual foi intitulada de Diretrizes Curriculares da Educação Básica, documento que

fundamenta o trabalho pedagógico na Educação Pública Estadual do Paraná.

A Educação Matemática é uma área que engloba inúmeros saberes, em que

apenas o conhecimento da Matemática e a experiência de magistério não são

considerados suficientes para atuação profissional (FIORENTINI; LORENZATO,

2001), pois envolve o estudo dos fatores que influem, direta ou indiretamente, sobre

os processos de ensino e de aprendizagem em Matemática (CARVALHO, 1991). O

objeto de estudo desse conhecimento ainda está em construção, porém, está

centrado na prática pedagógica e engloba as relações entre o ensino, a

aprendizagem e o conhecimento matemático (FIORENTINI; LORENZATO, 2001), e

envolve o estudo de processos que investigam como o estudante compreende ou se

apropria da própria Matemática “concebida como um conjunto de resultados,

métodos, procedimentos, algoritmos etc.” (MIGUEL; MIORIM, 2004, p.70).

A Educação Matemática investiga, também, como o aluno, por intermédio do

conhecimento matemático, desenvolve valores e atitudes de natureza diversa,

visando a sua formação integral como cidadão. Além disso, aborda o conhecimento

matemático, sobre uma visão histórica, de modo que os conceitos são

apresentados, discutidos, construídos e reconstruídos, influenciando na formação do

pensamento do aluno.

De acordo com as Diretrizes Curriculares de Educação Básica de Matemática

do Estado de Paraná, (2008, p.48), “[...], almejam-se um ensino que possibilite aos

estudantes análises, discussões, conjecturas de conceitos e formulação de ideias.”.

Nestas diretrizes, um dos encaminhamentos metodológicos para o Ensino da

Matemática é que os conteúdos propostos devem ser abordados por meio de

tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática

docente, das quais destacamos a Resolução de Problemas. Portanto, um dos

desafios para o ensino da Matemática na Rede Pública Estadual do Paraná é a

abordagem de conteúdos por meio da Resolução de Problemas como Metodologia

de Ensino. Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de

aplicar conhecimentos previamente adquiridos na sala de aula em situações novas e

desconhecidos.

Segundo BRANCA (apud KRULIK; REYS, 1997, p. 10) “resolver problemas

de livros didáticos é uma maneira de resolver problemas, mas os alunos também

deveriam se defrontar com problemas de outras fontes”. É importante que o

professor proponha problemas que vão além da sala de aula, que despertem a

curiosidade e o interesse pela descoberta da solução. Todo e qualquer indivíduo

pode e deve se desfrutar e inflamar o prazer e a alegria da descoberta. Nesse

sentido, cabe mencionar que

A aprendizagem da Matemática não consiste apenas no desenvolvimento de habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios, mas visa à criação de estratégias que possibilitem ao aluno construir significados quanto às ideias matemáticas, de modo a tornar capaz de estabelecer relações, justificar analisar, discutir e criar. Uma das possíveis metodologias que permitem a consecução desses objetivos é a inserção da Resolução de Problemas no ambiente escolar (GUIRADO et al., 2010, p. 10).

Polya, educador matemático húngaro, foi um grande incentivador da

resolução de problemas. Sua proposta era tornar os estudantes de matemática em

bons solucionadores de problemas e em uma de suas obras ele faz uma citação

esplêndida sobre a Resolução de Problemas.

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter (POLYA, 2006, P. v).

É a partir da resolução de problemas simples que o aluno avança em sua

aprendizagem, podendo despertar o gosto pelo trabalho mental, desafiar a

curiosidade e descobrir o prazer na busca da solução.

Neste sentido, os problemas podem estimular a curiosidade do aluno,

despertando o gosto pela matemática e, em especial, pelas operações

fundamentais, de modo que, ao tentar resolvê-los, o aluno adquira criatividade e

aprimore o raciocínio, além de utilizar e ampliar seu conhecimento matemático. A

resolução de problemas com ênfase nas operações fundamentais (soma, subtração,

multiplicação e divisão), deveria ser uma prática presente durante todo o processo

de escolaridade.

No ensino fundamental, é importante o domínio dos conceitos e

procedimentos aritméticos básicos, pois é a partir desse domínio que se constroem

outros conhecimentos matemáticos mais complexos e elaborados. A resolução de

problemas é essencial ao desenvolvimento da Matemática e tem papel importante

em todos os níveis de escolaridade.

Ao aprender matemática por meio da Resolução de Problemas, o aluno

adquiri maneiras de pensar, hábitos de persistência e curiosidade, bem como

confiança em situações não familiares que o ajudarão, no seu dia a dia, a resolver

problemas do cotidiano, pessoais, sociais e científicos.

Ainda citando Polya, é interessante observar a relação que ele faz com a

resolução de problemas e a habilidade de nadar.

Adquirimos qualquer habilitação por imitação e prática. Ao tentarmos nadar, imitamos o que os outros fazem [...], aprendemos nadar pela prática da natação. Ao tentarmos resolver problemas, temos de observar e imitar o que fazem outras pessoas quando resolvem os seus e, por fim, aprendemos a resolver problemas, resolvendo-os (POLYA, 2006, p.4).

Ensinar Matemática utilizando a metodologia Resolução de Problemas não

significa simplesmente apresentar um problema e esperar um simples toque de

mágica para que isso aconteça. Pelo contrário, é necessária uma formação sólida

por parte do professor, uma vez que é impossível ensinar algo que não se tenha

nenhum conhecimento.

Ao desenvolver no aluno a capacidade de resolver problemas, devemos

incutir em sua mente certo interesse por problemas e ao mesmo tempo proporcionar

oportunidades de imitar e praticar, para que ele exercite o pensar matemático

muitas vezes.

Ao resolver um problema em sala de aula, o professor deve expor suas ideias

fazendo dramatizações, questionar a si mesmo o que questionaria ao seu aluno com

o objetivo de ajudá-lo. Esse tipo de orientação ajuda o aluno descobrir o uso correto

do questionamento, e ao conseguir chegar a esse questionamento e fazê-lo, obterá

algo valioso mais do que um simples conhecimento matemático.

Auxiliar o aluno é, para Polya (2006, p. 1), um dos deveres mais importantes

do professor; exige tempo, prática, dedicação e princípios firmes.

O estudante deve adquirir tanta experiência pelo trabalho independente quanto lhe for possível. Mas se ele for deixado sozinho, sem ajuda ou com auxilio insuficiente, é possível que não experimente qualquer progresso. Se o professor ajudar demais, nada restará para o aluno fazer. O professor deve auxiliar, nem demais nem de menos, mas de tal modo que ao estudante caiba uma parcela razoável do trabalho. Se o aluno não for capaz de fazer muita coisa, o mestre deverá deixar-lhe pelo menos alguma ilusão de trabalho independente. Para isto, deve auxiliá-lo discretamente, sem dar na vista (POLYA, 2006, p. 1).

Ao ajudar o aluno, a postura do professor é que seja de forma mais natural

possível, às vezes coloca-se no lugar do aluno, procurar e perceber o que se passa

com esse aluno.

Ministrar uma linguagem ilustrada com a qual o aluno possa registras as

informações é uma alternativa que pode ser abordada na fase inicial do ensino de

Resolução de Problemas. Este tipo de linguagem incentiva os alunos a passar as

informações do problema para o papel, registrando-as nas formas que acharem mais

úteis e fáceis de acordo com o seu entendimento. Portanto, tendo o aluno apropriado

de bons hábitos no processamento das informações, podemos então propor cada

vez mais problemas sofisticados, e à medida que o aluno for avançando, introduzir a

linguagem simbólica.

Os símbolos e gramática da matemática constituem uma linguagem não familiar, e os alunos diferem na rapidez e facilidade com que conseguem compreendê-los. Quando a linguagem das expressões numéricas não lhes é familiar, os alunos precisam se empenhar para compreender o enunciado do problema, escrito numa linguagem estranha para ele, em vez de se concentrar no problema propriamente dito (SCHNEIDER; SANDERS, 1997, apud KRULIK; REYS, 1997, p. 88).

Polya considera a resolução de problemas uma arte e apresenta em sua obra

quatro fases da Resolução de Problemas, a seguir explicitadas, tendo em mente que

o problema deve ser bem escolhido, nem muito difícil nem muito fácil, natural e

interessante ao aluno.

2.4 Fases da Resolução de Problemas, segundo George Polya

1ª Fase – Compreender o problema

Nessa fase, é importante perceber claramente o que é necessário. Portanto,

ler o enunciado é fundamental, ou seja, o enunciado verbal do problema deve ser

bem entendido pelo aluno. Ele deve também estar em condições de identificar as

partes principais do problema, a incógnita, os dados, as condições.

2ª Fase – Estabelecer um plano

Essa etapa pode constituir-se em um caminho muitas vezes penoso, pois nem

sempre é fácil estabelecer um plano para a solução. Por isso, é dever do professor

propiciar ao aluno, por meio de sugestões e indagações, mesmo que discretamente,

uma ideia que o leve a estabelecer estratégias e, finalmente, um plano para resolver

corretamente o problema proposto. Dessa forma, é preciso que sejam observados

como os diversos itens estão relacionados, para que se tenha um a ideia da

resolução.

3ª Fase – Executar o plano escolhido

O aluno deve estar convicto de que seu plano alcançou os objetivos. Dessa

forma, deve examinar cada passo e executar o plano traçado.

Se o aluno realmente elaborou um plano, mesmo com alguma ajuda, o

professor terá um período de tranquilidade. Mas o que não pode ocorrer é de o

aluno copiar a ideia do colega ou aceitar um plano de fora por influência do

professor, pois, desta forma, provavelmente terá grandes dificuldades em executar o

plano e encontrar a solução.

4ª Fase – Fazer um retrospecto da resolução

O que se percebe é que até mesmo os bons alunos, uma vez encontrada a

solução do problema, simplesmente passam para o próximo sem ao menos

comentar ou analisar seu resultado final, perdendo assim, uma fase importante e

instrutiva do trabalho da resolução. Se fizerem um retrospecto da resolução

completa, reconsiderando e reexaminando o resultado final e o caminho que o levou

até ele, poderão consolidar o seu conhecimento e aperfeiçoar a sua capacidade de

resolver problemas.

As etapas de resolução de problemas propostas por Polya não estabelece

uma regra mágica para resolver todo e qualquer problema de matemática, mas pode

facilitar para quem deseja ser bom em resolver problemas, ou também para aqueles

que se pretendem aprimorar nesta habilidade.

Nesse sentido, a proposta de Polya facilita em organizar as ideias, e quando

estamos organizados mentalmente, a solução de um problema pode se tornar

simples, se for comparado a uma situação onde as ideias são estão organizadas.

Portanto, o professor que conhece a heurística de resolução de problemas,

está diante de um recurso dito importante para desenvolver e executar a sua

metodologia, e assim facilitar e aprimorar o ensino e aprendizagem de matemática,

tornando os alunos mais dinâmicos, criativos, curiosos e o prazer de realizar novas

descobertas, e assim fazer com que eles tomem gosto pela matemática.

2.5 Números, operações e cálculos – registros notáveis na história da

matemática

[...], a história da matemática: é uma sucessão impecável de conceitos encadeados uns aos outros. Ao contrário, é a história das necessidades e preocupações de grupos sociais ao buscar recensear seus membros, seus bens, suas perdas, seus prisioneiros, ao procurar datar a fundação de suas cidades e de suas vitórias... (IFRAH, 1996, p. 10)

2.5.1 Breve históricos dos números

A placa de um carro, o número de sua casa ou apartamento, o valor do

cafezinho e do pão, o telefone do colega apresenta algo em comum: o uso dos

algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0). São tão evidentes no nosso dia a dia

que parecem ser inatos ao ser humano. Mas conhecendo a história da matemática

esse é o resultado de grandes desafios ao longo de séculos.

Há milhares de anos, o homem primitivo vivia em pequenos grupos, morava

em cavernas ou grutas, caçava animais para sua sobrevivência, contava pequenas

quantidades, como os objetos que fazia, os animais que caçava...

A princípio, a noção primitiva de número podia estar mais relacionada com

contraste e não com as semelhanças como, por exemplo, a diferença entre um

carneiro e um rebanho, uma árvore e uma floresta, mas as próprias diferenças

parecem indicar semelhança, pois o contraste entre um e muitos sugere que um

carneiro e uma árvore têm em comum a “unicidade”.

Da mesma forma, certos grupos pares podem se corresponder um a um,

como por exemplo: as mãos podem ser relacionadas com os pés. Essa percepção

abstrata que certos grupos têm em comum é que chamamos de número.

Com o passar do tempo, o homem primitivo começou a contar quando sentiu

a necessidade de registrar, por exemplo, as quantidades de animais mortos numa

caça. Surgem, então, as marcas em bastão, osso, madeira, pedra, que foram os

primeiros registros para “indicar” um número.

A partir do momento que o homem começou a criar animais e a plantar, e

como precisava controlar o que possuía, contar passou a ser valioso, ele não sabia,

por exemplo, quantas ovelhas possuía, associando uma pedrinha para cada ovelha.

E, assim, a origem do processo de contagem inicia-se quando o homem se

sentiu apto ao identificar a unicidade, o par e o muito.

Registrar, calcular e realizar operações aritméticas são manifestações que

tiveram origem desde a antiguidade, na história da humanidade. Conforme aponta

Ifrah (1996, p.339), “Para levantar a montanhas o espírito precisa de instrumentos

muito simples”.

2.5.2 Primeiras técnicas de contagem

2.5.2.1 As Mãos

A mão do homem é o mais antigo e difundido instrumento de contagem e de

cálculos, considerada a primeira “máquina de calcular” de todos os tempos,

conforme atesta Ifrah (1996, p.79). Provavelmente, esta é a causa de o sistema de

numeração decimal ter sido adotado como o sistema para a realização do registro

dos números e de suas operações. Até hoje os dedos são utilizados pelas crianças e

também por muitos adultos para contar. Fazendo uso das mãos, os povos

desenvolveram grandes habilidades em calcular.

2.5.2.2 Montes de Pedras

Quando os dedos das mãos não foram mais suficientes para contar e calcular,

a solução encontrada foi utilizar “monte de pedras” ou agrupamentos de pauzinhos,

conchas, frutos duros, bolinhas de argila. Esse método é um dos mais primitivos,

pois trata-se de uma prática rudimentar, que não exige nenhuma memória nem

conhecimento abstrato dos números, fazendo intervir somente o princípio da

correspondência um a um.

O método dos “montes de pedras” foi muito importante na história da

aritmética, pois permitiu ao homem iniciar-se na arte do cálculo e foi deu origem à

criação do ábaco.

A palavra cálculo e calcular tem origem latina calculus, que significa “pequena

pedra”.

2.5.2.3 Entalhe

O método mais universalmente comprovado na história da “contagem” é o do

osso ou do pedaço de madeira entalhado, sendo considerado um método pré-

histórico, datado de 35.000 a 20.000 a.C, pois foram encontrados, pelos

arqueólogos, inúmeros ossos, cada um com uma ou várias séries de entalhes

regularmente espaçados. Este método ainda é atual e prático em certas situações,

pois muitas vezes nos deparamos com crianças fazendo riscos em papel para

auxiliar na contagem e nos cálculos, jogadores para anotar seus pontos, além de

muitos outros exemplos.

2.5.2.4 Princípios: Cardinal e Ordinal

A base do princípio de contagem reside no processo conhecido como

correspondência um a um. Um exemplo bem prático, no nosso dia a dia, ocorre

quando o professor, ao entrar na sala, observa rapidamente o número de carteiras

que estão vazias e esta correspondência possibilita constatar o número de alunos

que faltaram, considerando-se que o número de carteiras é exatamente igual ao

número de alunos. Segundo Ifrah (1996, p.27), este artifício não oferece apenas um

meio de estabelecer uma comparação entre dois grupos: ele permite também

abarcar vários números sem contar nem mesmo nomear ou conhecer as

quantidades envolvidas.

Quando as duas coleções de seres ou objetos possuem a mesma

quantidade de elementos , da mesma natureza ou não, dizemos que há uma

equiparação, chamada de correspondência biunívoca, ou uma bijeção.

Desta forma, o homem primitivo fazia sua contagem, para atender suas

necessidades da época, mesmo sem ter o conhecimento da contagem abstrata. Ao

contar permitiu destinar a cada elemento um símbolo (uma palavra, um sinal gráfico,

um gesto) o qual correspondia a um número da sequência natural dos números

inteiros começando pela unidade até encerrar os elementos. Ao ser transformada

em sequência, cada símbolo será o “número de ordem” ao qual foi atribuído e assim

o número de ordem do último será o número de integrantes deste conjunto. Dessa

forma, a noção de número retoma dois aspectos complementares que são:

Cardinal – fundamentado no princípio da equiparação, representa unidade

por unidade.

Ordinal – exige o princípio da equiparação e da sucessão natural.

Para deixar bem claro a diferença entre esses dois aspectos, vejamos um

exemplo simples. O mês de junho tem 30 dias. Nesse caso, o número 30 indica que

nesse mês há 30 dias (número cardinal). Porém, se nos referirmos ao dia 30 de

junho, por exemplo, na sentença “Faço aniversário no dia 30 de junho”, o número 30

não está sendo empregado sob o aspecto cardinal, mas sim em seu aspecto ordinal,

uma vez que indica que o aniversário ocorre no trigésimo dia do mês de junho.

A partir do momento que o homem teve acesso à abstração dos números e aprendeu a distinção sutil entre o número cardinal e o número ordinal, ele retomou seus antigos “instrumentos” (pedras, conchas, pauzinhos, terços de contas, bastões, entalhados, nós de cordas etc.). Mas desta vez passou a considerá-los sob o ângulo da contagem. De simples instrumentos materiais eles tornaram-se, assim, verdadeiros símbolos numéricos, bem mais cômodos para assimilar, guardar, diferenciar ou combinar números inteiros (IFRAH, 1996, p. 52).

E assim, à medida que os tempos foram passando, o homem também foi

evoluindo até chegar à grande invenção dos algarismos de diversas e variadas

formas como: traços gravados, desenhados, esculpidos ou pintados em argila ou

pedra, ou ainda em lascas de rochas, cacos de cerâmica ou em folhas de papiro.

Outra dificuldade provavelmente encontrada pelo homem era como trabalhar

com grandes quantidades. Afinal, registrar essas quantidades juntando pedras,

pauzinhos, fazendo entalhes ou nós em cordas, marcas na madeira não era mais

viável, pois esse recurso não era nada prático.

Foi então que o homem se deparou com um desafio a ser resolvido: “como

designar (concretamente, oralmente ou, mais tarde, por escrito) números elevados

com o mínimo de símbolos possível?” Ifrah(1996, p. 53).

Para visualizar melhor as quantidades, o homem teve a brilhante ideia de

agrupá-las em dezenas, vintenas, dúzias, e outros, criando, para isso, símbolos

especiais e regras. Essa organização veio facilitar o registro de quantidades,

surgindo, então, a criação dos Sistemas de Numeração. E assim prossegue a

história dos números e da matemática. “Não houve torre de Babel dos números: a

partir do momento em que foram assimilados, eles foram compreendidos por toda

parte do mesmo modo” Ifrah (1996, p.323).

2.5.2.5 As operações aritméticas

O Sistema de Numeração Decimal, e o desenvolvimento dos algoritmos das

operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação, e divisão) têm origem na

Índia, por volta do século X ou XI; foram adotados pelos árabes, tempos depois

levados para a Europa Ocidental, onde sofreram modificações até chegar à forma

atual. Segundo Boyer (1974, p.158)

A adição e a multiplicação eram efetuadas na Índia de modo muito semelhante ao que usamos hoje, só que parecem a princípio ter preferido escrever os números como unidades menores à esquerda, portanto trabalhar da esquerda para a direita, usando pequenas lousas com tinta removível branca ou uma tábua coberta de areia ou farinha.

Porém a ideia inicial das operacionalidades, ou seja, os princípios: aditivo

(ideia de juntar); subtrativo (ideia de tirar); multiplicativo (ideia de adicionar

parcelas iguais) e o de divisão (ideia de partes iguais) foram utilizados de maneira

bem clara nos antigos métodos de contagem (mão, monte de pedras, entalhes e

outros).

2.5.2.6 Adição

É a primeira das operações que se tem conhecimento, era a base para

realizar as outras operações como a multiplicação e a divisão. Segundo Boyer

(1974, p.11) a operação aritmética fundamental no Egito era a adição, e nossas

operações de multiplicação e divisão eram efetuadas no tempo de Ahmes por

sucessivas “duplicações”.

Os egípcios da Antiguidade possuíam um sistema numérico decimal não-

posicional, ou seja, a posição ocupada pelos algarismos não tinha influência no valor

que representavam. Utilizavam símbolos para 1, 100, 1 000, 10 000, 100 000 e

1 000 000.

A seguir apresentamos a maneira como esses povos procediam para

encontrar a soma de dois números naturais, utilizando algarismos hieroglíficos. Por

exemplo, 27 + 5.

Note que o conjunto das unidades foi agrupado e, desses, 10 unidades foram

substituídas pelo seu símbolo correspondente.

Por outro lado, outros povos utilizaram outras maneiras para a adição de duas

parcelas. Para Eves (2004, p.253) “a adição hindu antiga talvez fosse efetuada da

esquerda para a direita, e não ao contrário como preferimos hoje”.

I I I I I

I I I I I + =

I I I I

27 + 5 = 32

Vejamos como os povos hindus procediam para a realização da adição. Por

exemplo, para efetuar 765 + 218.

8

9 7 3

7 6 5

2 1 8

1º Coloca-se um número sob o outro respeitando as ordens;

2º Efetua-se 7 + 2 = 9 e escreve o nove no topo da mesma coluna;

3º Efetua-se 6 + 1 = 7 e escreve o sete no topo da mesma coluna;

4º Efetua-se 5 + 8 = 13 e muda-se o sete por oito e acrescenta-se 3 na

coluna da unidades.

Eves também faz um comentário feito por Bhaskara em seu “Lilãvati”, a

respeito de outra maneira de somar. Por exemplo, para adicionar 679 + 136,

procediam como segue:

Soma das unidades 9 + 6 = 15

Soma das dezenas 7 + 3 = 10

Soma das centenas 6 + 1 = 7

Soma da somas = 815

2.5.2.7 Subtração

Inicialmente a subtração utilizou-se de método bem simples para realizar seus

cálculos, “monte de pedras”. Porém, outros meios curiosos e interessantes eram

empregados. Por exemplo, os egípcios da Antiguidade, agrupando e rearranjando os

símbolos, efetuavam subtrações como a inversa da adição.

Os símbolos que correspondiam ao valor a ser subtraído eram retirados do

valor original e, caso necessário, alguns símbolos do valor original podiam ser

“trocados” por 10 símbolos do valor imediatamente inferior a ele.

Utilizando algarismos hieroglíficos, vejamos como procediam para encontrar,

por exemplo, 32 – 5.

O número 32 era representado por

No papiro de Rhind, em vários problemas para indicar a adição e a subtração,

aparecem sinal representado por duas pernas, talvez, os primeiros sinais de

I I I I I

I I = I I I I I

I I

I I I I I I I I I I I I I I I

I I I I I – = I I

I I

32 – 5 = 27

operação usados na Matemática. No simbolismo egípcio, pernas caminhando para a

esquerda significavam “somar” e pernas caminhando para a direita, “subtrair”.

2.5.2.8 Multiplicação

Os Egípcios desenvolveram uma Aritmética de caráter essencialmente aditivo,

e estava presente na multiplicação e na divisão. “Assim, a multiplicação e a divisão

eram em geral efetuadas por uma sucessão de duplicações com base no fato de

que todo número pode ser representado por uma soma de potências de 2” Eves

(2004, p. 72).

Assim, no Antigo Egito, a técnica empregada para realizar uma multiplicação

e uma divisão, consistia em sucessivas duplicações binárias. Empregando essa

técnica, vamos multiplicar 13 e 35:

1º) Coloca-se o número 1 na coluna da esquerda e um dos dois números na

coluna da direita.

1 35

2º) Duplicam-se sucessivamente esses números até descobrir na coluna da

esquerda os números cuja soma corresponde ao outro número da multiplicação

(no caso, o 13).

1 35 *

2 70

4 140 *

8 280 *

16 560

Note que 1 + 4 + 8 = 13.

3º) Somando-se os múltiplos correspondentes aos números assinalados na

outra coluna ( 1, 4 e 8), chega-se ao resultado desta multiplicação.

35 + 140 + 280 = 455.

Portanto, a multiplicação de 13 por 35 é igual a 455.

A multiplicação egípcia é relativamente simples e pode ser feita sem utilizar as

tábuas de multiplicação como recurso.

Segundo Boyer (1974, p.158), entre os esquemas usados para a multiplicação

havia um que é conhecido sob vários nomes: multiplicação em reticulado,

multiplicação em gelosia, ou em célula ou em grade ou quadrilateral.

2.5.2.9 Divisão

O método mais antigo de efetuar divisões é, segundo, Ifrah, o encontrado na

cidade suméria de Shuruppak (atual Fara, no Iraque). Esse método consistia na

utilização de esferas perfuradas (ou cones perfurados) e consistia em “trocar” a cada

vez todo grupo de contas cujo número fosse inferior ao divisor. A conversão do

“resto”, quando havia, era feita por meio da conversão desse “resto” em múltiplos de

3.600 (a ordem de unidades imediatamente inferior no sistema sumério).

Os sumérios criaram um registro próprio, utilizando esferas perfuradas

(“36.000”), esferas não perfuradas (“3.600”), cones perfurados (“600”), cones não

perfurados (“60”), pequenas esferas (“10”) e pequenos cones (“1”). Esse material

encontra-se no Museu Arqueológico de Stambul e provém das escavações de

Shuruppak, datando aproximadamente do ano 2650 a.C., e constitui o mais antigo

testemunho arqueológico conhecido da prática de uma divisão e nos oferece mais

uma prova ao alto nível intelectual que os aritméticos do país de Sumer tinham

atingido na época (IFRAH, 1996, p.156).

Este documento poderia corresponder uma espécie de “página de um

escolar” ou uma peça administrativa resumindo uma operação de distribuição de

grãos, fornecendo claramente as características de uma divisão aritmética onde é

feita a referência a um dividendo, a um divisor, a um quociente e até mesmo a um

resto (IFRAH, 1996, p.156).

A divisão também é realizada de acordo com as sucessivas duplicações, mas

o processo se dá no sentido inverso. Vamos então resolver um problema que foi

encontrado nos escritos antigos.

“Próximo a Tebas, no vale dos reis, no tempo de faraó Ramsés II (1290 -1224 a.C.), pilhadores de túmulos acabam de roubar o túmulo real de um soberano da dinastia precedente. Eles furtaram diademas, brincos adagas, peitorais, pingentes etc., tudo trabalhado em ouro incrustado de pasta de vidro. São 1.476 objetos preciosos, e o chefe dos pilhadores propõe repartir o saque entre ele próprio e seus homens. Pega um caco de cerâmica e faz a divisão de 1.476 por 12”. (IFRAH, 1996, p. 170).

É certo que, após o roubo das jóias, os saqueadores necessitaram de

conhecimentos aritméticos para repartir os bens adquiridos. Naquela época, a

técnica empregada para realizar a divisão era diferente do que usamos hoje, mas é

semelhante ao da multiplicação já visto no exemplo anterior, isto é, utiliza-se também

a “duplicação”, o divisor é dobrado sucessivamente.

Vejamos a resolução do problema, utilizando-se dessa técnica, fazendo a

divisão de 1476 por 12 (o chefe dos pilhadores mais seus 11 homens).

1º) Coloca-se o número 1 na coluna da direita e, na coluna da esquerda, o número

12.

1 12

2º) Duplicam-se sucessivamente esses números até que, na coluna da direita, o

último dobro não seja superior ao valor da quantidade a ser repartida (no caso 1476

dado do problema) que é o dividendo.

1 12

2 24

4 48

8 96

16 192

32 384

64 768

3º) Escolhem-se, na coluna da direita, os números que somados resultem esse

dividendo 1476: (768 + 192 + 96 + 24 + 12 = 1476). Ao lado de cada um desses

números, faça um pequeno sinal, por exemplo, um asterisco.

1 12 *

2 24 *

4 48

8 96 *

16 192 *

32 384 *

64 768 *

4º) Adicione os valores correspondentes da coluna esquerda, obtendo-se, assim, o

resultado da divisão.

64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 123

Portanto, a divisão de:

1476 : 12 = 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 123.

Logo, cada um dos pilhadores de túmulos pega então 123 objetos preciosos

que lhe cabem.

É bem provável que essa seja a forma mais antiga de divisão usada pelos

egípcios, baseada no processo da duplicação. Este método só é aplicado quando o

dividendo é um múltiplo do divisor. Porém, quando o dividendo não é múltiplo do

divisor, o povo egípcio recorria a procedimentos mais complicados por meio de

frações de número.

3 SUGESTÕES DE PROBLEMAS

3.1 A foto dos animais.

Imagine uma situação curiosa em que os animais têm o poder de tirar fotos! Serena, uma cadela formosa, resolveu chamar seus amigos de 4 patas e também as galinhas para uma foto. Na foto tirada por Serena, há 48 patas. Mas Serena também quis sair em uma foto e pediu para a galinha Henriqueta tirar uma foto com todos os amigos. Nessa foto, há 18 cabeças. Com essas informações, quantos são os cachorros e quantas são as galinhas? Solução:

Como na foto tirada por Serena vê-se 48 patas, isso significa que há, no total, 52

patas, pois as quatro patas de Serena não saíram na foto. Por outro lado, na foto tirada

por Henriqueta, vê-se 18 cabeças e, portanto, há, no total, 19 cabeças.

Nessas condições, vejamos as possibilidades das quantidades de animais. Sendo

19 o total de cabeças, tem-se o seguinte quadro:

Nº de galinhas Nº de cachorros Total de patas

1 18 2 + 72 = 74

2 17 4 + 68 = 72

3 16 6 + 64 = 70

4 15 8 + 60 = 68

5 14 10 + 56 = 66

6 13 12 + 52 = 64

7 12 14 + 48 = 62

8 11 16 + 44 = 60

9 10 18 + 40 = 58

10 09 20 + 36 = 56

11 08 22 + 32 = 54

12 07 24 + 28 = 52

Portanto, há 12 galinhas e 7 cachorros.

Comentários

Note que o problema não foi resolvido por sistema de equações lineares, pois

esse conteúdo não é pertinente a alunos de 5ª série (6º ano) do Ensino Fundamental. A

riqueza do problema está na possibilidade de o aluno fazer as várias possibilidades para

a obtenção do resultado. É claro que não precisarão fazer todas as possibilidades, pois

se fizerem as primeiras, perceberão que a quantidade de patas será muito superior ao

desejado. Logo, poderão aumentar a quantidade de galinhas e fazer apenas algumas

possibilidades. O importante é exercitar não apenas o raciocínio, mas também os

cálculos envolvidos.

3.2 A compra na bomboniére

Numa bombonière, os bombons são vendidos em embalagens com 10, 5 ou 2

bombons. A professora Inês tem 123 alunos e pretende presentear cada um deles

com um bombom. No mínimo, quantas caixas de cada quantidade ela deverá

adquirir?

Solução

Note que a maior quantidade de caixas com 10 bombons será 10, ou seja, 100

bombons já serão adquiridos. Restam 23 bombons a serem adquiridos. Mas, para

adquiri-los, a maior quantidade de caixas com 5 bombons será 3, ou seja, mais 15

bombons serão adquiridos. Nesse caso, restam 8 bombons a serem adquiridos, ou seja,

4 caixas de 2 bombons. Portanto, no mínimo, a professora Inês deverá adquirir 10 caixas

de 10 bombons, 3 caixas de 5 bombons e 4 caixas de 2 bombons.

Comentários

O problema da forma proposta limita a solução, pois solicita a quantidade mínima

de caixas. A sugestão é propor uma redação que contemple várias possibilidades de

solução, para que o aluno exercite mais o raciocínio e perceba que os problemas em

matemática nem sempre apresentam uma única solução. Nesse caso, a pergunta ao

problema proposto pode ser: “Como a vendedora poderá fazer a entrega desses

bombons?”.

O aluno deverá ser capaz de perceber que qualquer que seja a opção da

vendedora, sempre terá que escolher 4 caixas de 2 bombons, pois escolhendo apenas

uma caixa de bombons restariam 121 bombons, que não é múltiplo de 5; escolhendo 3

caixas de 2 bombons, restariam 117 bombons, que também não é múltiplo de 5;

escolhendo 4 caixas de 2 bombons, restariam 115 bombons, que é múltiplo de 5. A partir

dessa constatação, pode fazer as possibilidades de escolha de caixas de 5 bombons, ou

seja, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 e 21 caixas, pois, necessariamente, deve-se ter um

número terminado em 5. A partir daí, pode-se concluir quais as opções para a escolha de

quantidades de caixa com 10 bombons.

A seguir apresentamos todas as opções que a vendedora poderá fazer para a

entrega dos 123 bombons, desde que tenha a quantidade de caixas em cada caso.

11x10 + 1x5 + 4x2 = 123

10x10 + 3x5 + 4x2 = 123

9x10 + 5x5 + 4x2 = 123

8x10 + 7x5 + 4x2 = 123

7x10 + 9x5 + 4x2 = 123

6x10 + 11x5 + 4x2 = 123

5x10 + 13x5 + 4x2 = 123

4x10 + 15x5 + 4x2 = 123

3x10 + 17x5 + 4x2 = 123

2x10 + 19x5 + 4x2 = 123

1x10 + 21x5 + 4x2 = 123

3.3 A costureira aborrecida!

Dona Lúcia, uma famosa costureira, tinha uma cliente muito exigente, que a

aborrecia com insistentes pedidos de descontos. Certo dia, ao confeccionar uma

roupa pela qual cobraria 120 reais, a costureira já cansada, disse à cliente: “Eu

faço a roupa, não vou cobrar, mas você me paga apenas a colocação dos 7

bordados, da seguinte forma: 1 real pelo primeiro bordado, 2 reais pelo segundo

bordado, 4 reais pelo terceiro, 8 reais pelo quarto e assim por diante até o sétimo

bordado”. A cliente ficou contente e aceitou a proposta. Quem saiu ganhando?

Solução

Nº de bordados 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º

Valor (R$) 1 2 4 8 16 32 64

Somando 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127.

A costureira saiu ganhando R$ 7,00 a mais do que ganharia se tivesse cobrado os

R$ 120,00 iniciais.

Comentários

É interessante que o aluno faça uma tabela onde ele possa registrar os dados do

problema, e assim terá mais clareza e perceberá que o valor cobrado pelos bordados

está sendo o dobro do valor anterior. Seguindo esse raciocínio, encontrará a solução do

problema completando a tabela e, portanto, chegará à resposta do problema,

concluindo com uma soma de todos os valores cobrados e descobrirá que a costureira

saiu ganhando.

O professor poderá aproveitar esse problema para suscitar no aluno como obter o

valor cobrado, caso houvesse 20 bordados. Nesse caso, embora duplicando sempre o

valor anterior pode-se chegar ao resultado, é importante que perceba que a sequência é

da forma 2n, sendo n a quantidade de bordados. Assim, o valor cobrado para o

centésimo bordado será 220 = 1 048 576 e, portanto, perceberá que a cliente terá um

enorme prejuízo por não saber matemática!

3.4 Reciclando alumínio!

Um trabalhador recolhe latinhas de alumínio para reciclagem. No final do dia, ele

conseguiu completar 31 caixas com 24 latinhas em cada uma e ficaram 17 latinhas

sem embalar. Quantas latinhas ele recolheu nesse dia?

Solução

Como ele conseguiu completar 31 caixas com 24 latinhas em cada uma delas,

então basta efetuar 31 x 24, para obter o total de latinhas. Como 31 x 24 = 745 e ainda

restaram 17 latinhas sem embalar, basta efetuar 745 + 17 = 762, para obter o total de

latinhas recolhidas nesse dia.

Comentários

Esse problema exige do aluno certo domínio das operações elementares. Nesse

caso, a adição e a multiplicação, mas não basta saber realizar os cálculos, sem que

perceba, primeiramente, quais as operações necessárias para solucionar o problema.

Um aspecto importante desse problema, a ser explorado em sala de aula, é a

conscientização do aluno na questão da reciclagem, pois isso é importante não apenas

por razões econômicas, mas, sobretudo, por ser uma questão de cidadania, uma vez

que o meio ambiente despoluído trará menos doenças à população.

Aqui o professor poderá solicitar que façam pesquisas relativas ao tema e, de

forma interdisciplinar, promover debates e enriquecer os conhecimentos dos alunos

sobre a temática em questão.

3.5 Escalando montanha!

Pedro é um alpinista e gosta de escalar sua montanha preferida seguindo uma

trilha da seguinte maneira: percorre 256 metros na primeira hora; 128 metros na

segunda hora; 64 metros na terceira hora, e assim por diante, ou seja, reduz a

distância percorrida, conforme a mesma regra. Determine o tempo, em horas,

necessário para que ele complete um percurso de 496 metros.

Solução

Observando as distâncias percorridas, percebe-se que elas estão diminuindo

numa mesma razão, ou seja, sempre a metade da distância anterior, isto é, ele começou

percorrendo 256 metros na primeira hora, depois mais 128 metros na segunda hora (a

metade de 256), ou seja, terá percorrido 384 metros; na terceira hora, terá percorrido

mais 64 metros (a metade de 128), e, portanto, terá percorrido 448 metros; em 4

horas,percorrerá mais 32 metros (metade de 64) e, portanto, já terá percorrido480

metros. Finalmente, na quinta hora, percorrerá mais 16 metros (metade de 32) e terá

percorrido o total de 496 metros. Portanto, o tempo necessário será de 5 horas.

Comentários

Para o aluno chegar à solução, é interessante que ele faça uma tabela onde

possa fazer as anotações necessárias de acordo com os dados estipulados no

problema, e assim ter uma visão mais clara. Nessa tabela, registrar-se-ão as distâncias

(em metros) e os respectivos tempos (em horas). Com os dados nessa disposição,

ficará bem mais fácil para ao aluno chegar ao resultado, pois esse dependerá mais da

sua atenção em observar a sequência dos números.

Distância percorrida Tempo gasto Total percorrido

256 1 256

128 2 256 + 128 = 384

64 3 384 + 64 = 448

32 4 448 + 32 = 480

16 5 480 + 16 = 496

3.6 Festa junina – colocação das bandeirinhas

A professora, com a ajuda de seus alunos, quer enfeitar a sala de aula para a festa

junina, utilizando bandeirinhas que eles mesmos confeccionaram. Os alunos

conseguiram fazer 64 bandeirinhas que serão colocadas em fileiras da seguinte

maneira: na primeira fila, uma bandeirinha e, nas demais, sempre duas

bandeirinhas a mais do que a quantidade de bandeirinhas da fila anterior. Diga

quantas fileiras serão necessárias para que a professora enfeite sua sala de aula.

Solução

Somando as todas as bandeirinhas colocadas, tem-se:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64.

Dessa forma, podemos concluir que as bandeirinhas serão colocadas em 8

fileiras, seguindo o proposto do problema.

Fileira Bandeirinhas Total

1ª 1 1

2ª 1 + 2 = 3 1 + 3 = 4

3ª 3 + 2 = 5 4 + 5 = 9

4ª 5 + 2 = 7 9 + 7 = 16

5ª 7 + 2 = 9 16 + 9 = 25

6ª 9 + 2 = 11 25 + 11 = 36

7ª 11 + 2 = 13 36 + 13 = 49

8ª 13 + 2 = 15 49 + 15 = 64

Comentários

Em problemas desse tipo, para um melhor entendimento, é aconselhável que o

aluno faça uma tabela onde ele possa fazer registros de acordo com o enunciado do

problema. Com isso, fica fácil perceber que a colocação das bandeirinhas começa com

uma (1) e que a quantidade das próximas fileiras é obtida sempre somando duas à

quantidade anterior. Fazendo as somas parciais, perceberá que o total de bandeirinhas

confeccionadas será colocado quando a oitava fileira estiver completada. O interessante

desse problema é que o resultado obtido se trata de uma sequência numérica.

3.7 O segredo das caixas!

Em um armazém há 10 caixas, cada caixa contém 10 sacos, e cada saco contém 10

chaves. Quantas chaves há no total?

Solução

Como em cada caixa há 10 sacos, então há 100 sacos no total, mas em cada saco

há 10 chaves e, portanto, há 1000 chaves, no total.

Comentários

O aluno poderá recorrer a um problema mais simples, para que possa perceber

que se trata de um problema de raciocínio multiplicativo.

Observe que se a quantidade de caixas for duas e em cada uma houver dois

sacos e em cada saco tiver duas chaves, então a quantidade de chaves será 8, ou seja,

2x2x2 chaves. Isso pode ser facilitado se o aluno fizer a representação por meio de uma

“árvore”. Essa experiência da ilustração faz o aluno incentivar a passar as informações

para o papel, além disso, ele registrará seu entendimento para a resolução do problema,

na forma que julgar mais favorável.

Seguindo o mesmo raciocínio, se a quantidade de caixas for três e em cada uma

houver três sacos e em cada saco tiver três chaves, concluirá que, no total, haverá 27

chaves, ou seja, 3x3x3 chaves.

Portanto, concluirá que a resposta ao problema proposto é obtida efetuando o

cálculo 10x10x10, ou seja, 1000 chaves.

3.8 Roupas no varal

Uma lavanderia, para diminuir o espaço e economizar pregadores, ao pendurar as

roupas no varal, prende as pontas de duas roupas com o mesmo pregador. Assim,

para pendurar 5 peças de roupa, ela usa apenas 6 pregadores. Logo, para

pendurar 70 peças de roupa, quantos pregadores serão necessários?

Solução

Se para pendurar 5 peças foram usados 6 prendedores (os dois das pontas mais

quatro pregadores, uma vez, que um único pregador prende as pontas de duas roupas),

então, seguindo o mesmo raciocínio, para pendurar 70 peças, serão necessários dois

pregadores para as pontas e mais 69 pregadores, ou seja, 71 prendedores.

Comentários

Esse problema exige do aluno o raciocínio lógico. Para resolvê-lo o aluno deve se

mostrar hábil em buscar suposições, checar situações e até mesmo fazer figuras

ilustrando a situação do problema envolvido, pois ele não fornece outros dados.

3.9 Vendinha de feijão

João, produtor de feijão bolinha, na sua última colheita, vendeu 50 sacos de feijão

para Augusto. Sabendo que cada saco equivale a 15 quilos, quantos pacotes de 2

quilos de feijão Augusto conseguirá montar?

Solução

Como João vendeu 50 sacos de feijão e cada saco equivale a 15 quilos, para

saber a quantidade de quilos de feijão, basta fazer a multiplicação 50 x 15 = 750. Mas

sabemos que essa quantidade de quilos de feijão será distribuída em pacotes de 2

quilos e, portanto, basta fazer a divisão 750 : 2, obtendo a solução do problema, ou seja,

350 pacotes.

Comentário

Esse problema insere-se no rol dos problemas tipo composto, pois envolve duas

operações elementares. Apesar de sua simplicidade, é muito importante que os alunos

exercitem esse tipo de problema, pois trata-se de esquemas de raciocínio comumente

empregado no cotidiano.

3.10 Balas de coco!

A professora Dalila fez uma encomenda de balas de coco e deseja distribuir a

mesma quantidade de balas em cada saquinho, para presentear seus 31 alunos.

Quando foi contar as balas, percebeu que só restavam 237 balas, pois seu filho

havia comido algumas. No mínimo, quantas balas ela terá que encomendar a mais

para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de balas?

Solução

Como há 237 balas para serem distribuídas a 31 crianças, se fizermos a divisão de

237 por 31, obteremos 7 no quociente e resto 20. Portanto, como ela tem 31 alunos,

precisará comprar mais 11 balas (31 – 20).

Comentários

Esse tipo de problema em que o resto da divisão tem um importante significado é

muito importante ser explorado em sala de aula. Note que, para encontrar a solução do

problema, não basta efetuar apenas a divisão, mas, sobretudo interpretar o significado

da expressão “no mínimo” e realizar a subtração ou pelo algoritmo convencional

(31– 20) ou pela ideia de completar (20 +11).

3.11 Magia da Dama da Noite!

“A Dama da Noite é uma flor lindíssima,

Floresce uma vez por ano,

Abre flor de madrugada,

E se fecha aos primeiros raios do Sol”.

Observe a planta e suas magias: no domingo, ela estava com 2 centímetros de

altura; na segunda-feira, a altura da planta dobrou e ela estava com 4 centímetros.

A cada dia, a planta ficava com o dobro da altura do dia anterior. Qual será a altura

dessa planta na sexta-feira?

Solução:

Comentários

Este é um problema de raciocínio lógico. Para chegar à solução, aconselha-se

que o aluno faça uma tabela, onde fará as anotações de acordo com o enunciado do

problema, que o levará à sua solução.

3.12 Ovos Caipiras

Um criador de galinha caipira tem somente 11 embalagens de ovos, com lugar

para 12 ovos em cada uma. Hoje, a colheita foi boa e ele colheu 162 ovos e deseja

Dias da semana

D S T Q Q S

Altura (cm)

2 4 8 16 32 64

distribuí-los nessas embalagens. Nessas condições, a quantidade de embalagens

será suficiente?

Solução

Como ele tem 11 embalagens com 12 lugares cada uma, fazendo a multiplicação

11 x 12 encontrará a quantidade de ovos que poderá ser embalada, ou seja, 132 ovos.

Como ele recolheu 162 ovos significa que ele não conseguirá embalar todos eles e,

nesse caso, sobrarão 30 ovos para serem embalados (162 – 132 = 30). Portanto, a

quantidade de embalagens não será suficiente.

Comentários

Os alunos que já sabem que 122 são 144 responderão prontamente que a

quantidade de embalagens é insuficiente, pois 11 x 12 < 12 x 12 < 162. Nesse caso, o

importante é o professor explorar que em muitos problemas não basta saber a resposta

que se pede, mas perceber, por exemplo, quantas embalagens a mais seriam

necessárias para ele embalar a maior quantidade de ovos colhidos.

3.13 Fita colorida!

Nas Festas Juninas, uma das brincadeiras é o pau-de-sebo. Em uma festa, além de

ele estar banhado de sebo, recebeu uma decoração para chamar mais a atenção

dos participantes da festa. O pau-de-sebo tem, em média, 8 metros de altura. No

topo dele foi colocada uma fita colorida, e como estava ventando muito se podia

ver somente o começo da fita. A única informação é que a fita tem 500 metros de

comprimento e 7 cores que se repetem sempre na mesma ordem: azul, verde,

vermelha, amarela, roxa, rosa e laranja. Com essas informações, é possível saber

qual é a cor da última parte dessa fita colorida? Se isso for possível, qual é essa

cor?

Solução

Fazendo a divisão 500 : 7, encontraremos quantas vezes 7 cabem em 500.

Como 500 : 7 apresenta quociente 71 e resto 3, conclui-se que a sequência de cores se

repete 71 vezes e restam, ainda, 3 cores. Agora, basta seguir a sequência e teremos

que a terceira e última cor é a vermelha.

Comentários

Note que esse problema aborda a importância do resto na análise da solução,

além de exercitar o conceito de sequência muitas vezes negligenciado no ensino

fundamental.

3.14 A romã e o damasco amigos de longa data!

O preço de 9 romãs e 7 damascos é 107 reais; e o preço de 7 romãs e 9 damascos

é 101 reais. Qual o preço de cada fruta?

Solução

Neste caso, tendo em vista que os alunos de 5ª série ainda não aprenderam

equações do 1º grau, a solução é obtida pelo método de tentativa e erro. Para isso serão

necessárias as operações de multiplicação e adição. Após algumas tentativas, espera-

se que concluam que se o preço da romã for R$ 8,00 e o preço do damasco for R$ 5,00,

teremos: 9 x 8 = 72 e 7 x 5 = 35, totalizando R$ 107,00; 7 x 8 = 56 e 9 x 5 = 45,

totalizando R$ 101,00.

Comentários

Esse tipo de problema é, em geral, abordado na 7ª série (8º ano), no ensino de

sistemas de equações do 1º grau, mas a intenção de apresentá-lo na 5ª série (6º ano) é

para que o aluno exercite os algoritmos da adição e multiplicação e desenvolva

habilidades de escolhas de possíveis preços para as frutas, em função de resultados

obtidos.

3.15 Personagem espetaculoso!

O dono de um circo criou um personagem espetaculoso para chamar a atenção

das crianças. No braço esquerdo, ele tem duas mãos com 5 dedos cada; no braço

direito, tem 3 mãos com 7 dedos cada. Esse personagem espetaculoso usa 2 anéis

em cada dedo das mãos esquerda e 3 anéis em cada dedo das mãos direita.

Quantos anéis usa esse personagem espetaculoso?

Solução

O problema quer saber o total de anéis. Como no braço esquerdo o personagem

tem duas mãos e cinco dedos em cada uma, usando a multiplicação obteremos o total

de dedos nas mãos esquerda (2 x 5 = 10). Como em cada dedo ele tem 2 anéis, o total

de anéis das mãos esquerda é 10 x 2 = 20. Da mesma forma procedemos para

encontrar a quantidade de anéis das mãos direita. Como no braço direito ele tem 3 mãos

e 7 dedos em cada uma, teremos 3 x 7 = 21 dedos nas mãos direta. Como em cada

dedo das mãos direita ele tem 3 anéis, no total, terá 21 x 3 = 63 anéis. Portanto, o total

de anéis será 20 + 63 = 83.

Comentários

Nesse tipo de problema, os alunos poderão representar graficamente o

personagem e, utilizando o esquema de “árvore”, concluir a quantidade de anéis por

meio da soma: (2 + 2 + 2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2 + 2 + 2) + (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3) + (3

+ 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3) + (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3) = 5 x 2 + 5 x 2 + 7 x 3 + 7 x 3 + 7 x 3

= 10 + 10 + 21 + 21 + 21 = 2 x 10 + 3 x 21 = 20 + 63 = 83.

3.16 As tampas trocadas

Um joalheiro colocou dois anéis em uma caixa, dois brincos em outra caixa e,

finalmente, um brinco e um anel, na terceira caixa. Para identificá-las, preparou

três etiquetas correspondentes: AA, BB, BA, mas seu funcionário distraído colou

as etiquetas de modo que nenhuma caixa ficou com sua respectiva etiqueta.

Retirando apenas uma jóia por vez de qualquer das caixas, sem olhar, qual é o

menor número de jóias a tirar para que se determine o conteúdo das três caixas?

Solução

O conteúdo das caixas pode ser determinado retirando apenas uma jóia. Como

todos os rótulos estão errados, basta que se retire uma jóia da caixa com a etiqueta BA.

Se a jóia retirada for o brinco, isso significa que nessa caixa há outro brinco, pois do

contrário, a etiqueta estaria certa. Encontrada a caixa que contém os dois brincos, fica

fácil determinar a que contém os dois anéis, pois a caixa com a etiqueta AA não pode

conter dois anéis, uma vez que as etiquetas foram trocadas. Logo, a caixa com a

etiqueta AA tem um anel e um brinco e a caixa com a etiqueta BB tem dois anéis.

Comentários

Esse problema não aborda nenhum conteúdo previsto para a 5ª série (6º ano),

mas é muito importante ser explorado, pois desenvolve o raciocínio lógico essencial na

resolução de problemas; além disso, os alunos gostam muito desse tipo de desafio e,

por isso, o professor deve, sempre que possível, propor a seus alunos.

3.17 Visitas às igrejas!

Marina foi visitar as igrejas históricas de Minas Gerais e deixou R$10,00 de

donativo em cada igreja que visitou e, ao fim das visitas sobraram-lhe R$ 40,00 do

dinheiro destinado às esmolas. Se tivesse deixado R$15,00 em cada igreja, teria

gasto R$ 80,00 a mais do que esperara gastar com os donativos. Quantas igrejas

Marina visitou e quanto pensara gastar com os donativos?

Solução

Deixando R$ 10,00 em cada igreja sobram R$ 40,00 e deixando R$ 15,00 em

cada igreja faltam R$ 80,00.

Assim um acréscimo de R$ 5,00 em cada donativo provoca um acréscimo de

R$ 120,00 nas despesas de Marina, pois, a sobra de R$ 40,00 e mais os R$ 80,00 que

despenderia resulta R$ 120,00.

Logo, as igrejas visitadas são 24 (120 : 5 = 24), obtendo a solução do problema.

Como Marina visitou 24 igrejas ela destinará seus donativos da seguinte maneira:

Se ela deixar R$10,00 em cada igreja que visitar, o total dos donativos

distribuídos será de 24 x R$ 10,00 = R$ 240,00; mas sobraram R$ 40,00, dando

um total de R$ 280,00, então Marina fez um donativo de R$ 240,00.

Se ela deixasse R$ 15,00 em cada igreja, gastaria 24 x R$15,00 = R$ 360,00,

ou seja, R$ 80,00 a mais do que previra, pois 280 + 80 = 360.

Comentários

Esse é outro problema tipo composto, pois envolve mais de uma operação

elementar. Apesar de parecer simples, vai exigir do aluno bastante atenção,

concentração, interpretação e um raciocínio mais elaborado para compreender as

relações entre os enunciados do problema, fazendo com crie estratégias para encontrar

sua solução. Nesse caso, é importante que o aluno perceba quais operações são

necessárias para solucionar o problema e, após obtê-la, é importante que verifique se é

coerente. Essa não tem sido uma prática em nossas escolas, pois em geral os

problemas propostos trazem as respectivas respostas, mas é importante que o aluno

tenha confiança naquilo que faz e a verificação da resposta encontrada não tira o mérito

de seu trabalho.

3.18 Figurinhas!

João Gabriel possuía certo número de figurinhas. Perdeu 27 e depois ganhou 12,

tendo ficado com 38 figurinhas. Quantas figurinhas possuía no início?

Solução

Como ele tinha certo número de figurinhas, perdeu 27, ganhou 12 e ficou com 38,

a solução do problema pode ser dada por meio das operações inversas, ou seja,

resolver o problema de trás para frente da seguinte maneira:

38 – 12 = 26 e 26 + 27 = 53.

Portanto, João Gabriel possuía no início 53 figurinhas.

Comentários

Observe que o problema não foi resolvido por equações do 1º grau, por se tratar

de uma 5ª série (6ºano) do Ensino Fundamental. Como resolver então esse problema?

O interessante neste caso é que o aluno utilize as operações elementares, mas de uma

maneira diferente, isto é, fazendo os cálculos de trás para frente, ou seja, fazendo as

operações inversas, conforme o enunciado do problema.

3.19 Lacopéia!

“Eu sou Lacopéia, uma cobra. Estou esperando a visita do meu príncipe. Ele mora

no brejo, distante 1000 metros de minha toca. Como é muito preguiçoso, arrasta-

se só 10 metros por dia! Também, coitado, faz muito esforço e precisa descansar”.

Quanto tempo Lacopéia vai esperar pela chegada do príncipe?

Solução

Como a distância é de 1000 metros e ele se arrasta 10 metros por dia, utilizando

a divisão encontraremos a solução do problema, logo 1000 : 10 = 100, isto é 100 dias.

Mas se tratando de tempo, podemos transformar os 100 dias em meses. Como a divisão

100 : 30 tem quociente 3 e resto 10, significa que em 100 dias tem-se 3 meses e 10

dias. Portanto, Lacopéia vai esperar pela chegada do príncipe 3 meses e 10 dias.

Comentários

É um problema simples, que exige do aluno o uso da operação de divisão. O

diferencial neste problema está na conclusão final, por se tratar de medidas de tempo e,

neste caso, se o aluno apresentar a resposta apenas em dias, o professor pode

questioná-lo se é possível apresentar a resposta em meses, pois dessa forma estará

exercitando a transformação das medidas de tempo. Essa é a oportunidade de o

professor recordar que em uma semana há 7 dias; em um mês, considera-se que há 30

dias; em um ano, considera-se que há 365 dias.

3.20 Formigas em busca de doce

Um grupo de 32 formigas entrou em um labirinto, esquematizado a seguir:

Sabe-se que em cada bifurcação, metade delas prossegue para a esquerda e a

outra metade prossegue para a direita. Ao final, cada grupo encontrará um pote

com um pedacinho de doce e sairão do labirinto carregando esse pedaço de doce.

Nessas condições, sabendo que todos os pedaços de doce têm a mesma massa,

qual o grupo que despenderá menos energia para levar o alimento, ou seja, qual o

grupo que terá mais formigas? Quantas formigas encontrarão o doce em cada um

dos potes?

Solução

A seguir, apresentamos a quantidade de formigas em cada fase do labirinto e

quantas chegam aos referidos potes de doce, representados pelas letras P1, P2, P3, P4,

P5.

Dessa forma, as formigas que chegaram ao pote P3 despenderão menos energia, pois são em maior número. A quantidade de formigas que chegam aos potes P1, P2, P3, P4 e P5 são, respectivamente, 2, 8, 12, 8 e 2.

Comentários

Nesse tipo de problema, é mais conveniente apropriar-se da representação

gráfica e, conforme os dados apresentados, registrar as quantidades em cada fase do

labirinto, atentando-se para somar as quantidades que se juntam novamente, em cada

bifurcação.

3.21 As pérolas escondidas

Um colar contém pérolas brancas e negras. Parte dele encontra-se dentro de um

porta-jóias não transparente. Em uma ponta do colar, a sequência de pérolas é: 1

branca, 1 negra, 1 branca, 2 negras, 1 branca, 3 negras, 1 branca, 4 negras, 1

branca e as outras estão escondidas; na outra ponta, a sequência de pérolas é: 1

branca, 8 negras, 1 branca e vê-se apenas 2 negras, pois as demais estão

escondidas.

Pergunta-se:

Quantas pérolas tem o colar?

Quantas pérolas estão escondidas?

Quantas pérolas negras tem o colar?

Solução

Observando a parte visível do colar de pérolas, percebe-se que se trata de uma

sequência lógica. Portanto, o problema das pérolas escondidas apresenta a seguinte

sequência: 1, 1 ; 1, 2 ; 1, 3; 1, 4 ; 1, ? ; 1, ? ; 1, ? ; 1, 8 e 1. Portanto, como se trata de

sequência que mantém a regularidade, conclui-se que os pontos de interrogação são: 5,

6 e 7. Agora, para saber quantas pérolas tem o colar, basta fazer a somatória (1 + 1 + 1

+ 2 + 1 + 3 + 1 + 4 + 1+ 5 + 1 + 6 + 1 + 7 + 1 + 8 + 1), ou seja, 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +

9 + 1 = 45. Identificada a sequência lógica das disposições das pérolas que formam o

colar, fica fácil saber quantas pérolas estão escondias, pois, seguindo a lógica, tem-se

então, 5 pérolas negras, 1 branca, 6 pérolas negras, 1 branca e 5 pérolas negras,

perfazendo um total de 18 pérolas que estão escondidas dentro porta-jóias.

Concluindo, esse colar de pérolas é composto de 45 pérolas, sendo 36 pérolas negras e

9 pérolas brancas.

Comentários

Além de os alunos resolverem situações-problema envolvendo as quatro

operações, é importante que sejam desafiados a resolver situações de lógicas, pois esse

tipo de atividade proporciona alguns divertimentos e são excelentes recursos para

exercitar o pensamento lógico, contribuindo para resolver, com prazer, as operações.

Neste problema, o aluno também pode fazer uso da representação gráfica,

desenhando o colar de pérolas negras e brancas.

3.22 Cor da fita!

Marília foi convidada para a festa de 15 anos de sua amiga Bibi. Como são muito

amigas, Marília, ao comprar o presente, embrulhou a caixa com uma fita colorida

bem longa, cujas cores são, azul, amarelo, azul, amarelo, azul, amarelo e assim

sucessivamente, conforme essa ordem de cores. Qual é a cor da 108ª parte dessa

fita? E a cor da 197ª parte?

Solução

O problema refere-se a uma sequência numérica. Como são duas cores que se

repetem sempre na mesma ordem, pode-se concluir que toda vez que o número for

ímpar a cor é azul e quando o número for par a cor é amarela. Portanto, a cor da 108ª

parte é amarela e a cor da 197ª parte é azul.

Comentários

Neste problema é interessante que o aluno faça a representação gráfica, por um

desenho, ou seja, desenhando uma fita e colorindo os pedaços de azul, amarelo, azul,

amarelo e assim sucessivamente, até que ele perceba que há uma associação da fita

com suas cores e a sequência dos números naturais. Sendo assim, chegará à solução

do problema associando as cores aos números pares e ímpares.

3.23 Montanha-russa!

Em um parque de diversões há uma fila de 28 crianças para a montanha-russa,

incluindo os dois irmãos que ficaram separados, Vinicius e Joana. Há 10 crianças

atrás de Vinicius e 7 na frente de Joana. Quantas crianças separam os dois

irmãos?

Solução

Vamos esquematizar a fila de crianças, iniciando da direita para a esquerda e

representar a posição de Vinícius e Joana pelas letras V e J, respectivamente.

. . . . . . . . . . V . . . . . . . . . J . . .

. . . .

Observe que Joana está na 8ª posição da fila, pois à sua frente há 7 crianças.

Como atrás de Vinicius há 10 crianças e a fila tem 28 crianças, sua posição na fila é,

portanto, a 18ª (28 – 10 = 18). Logo, Vinicius está atrás de Joana, e entre eles há 9

crianças.

Note que a informação de que na fila há 28 crianças é fundamental para a

solução apresentada.

Comentários

Observe que se o aluno optar por fazer a representação gráfica, com as

informações fornecidas pelo problema, conseguirá encontrar a solução com bastante

facilidade, pois o problema simplesmente apresenta uma fila que obedece a certas

condições.

3.24 A matemática de Mirele!

Mirele, uma estudante aplicada e dedicada aos seus estudos, tem preferência

por cálculos matemáticos e, logicamente, gosta de resolver problemas. Certo

dia, recebeu de seu pai a seguinte proposta: “A cada problema resolvido

corretamente, você receberá R$ 10,00 e a cada problema resolvido

erroneamente deverá pagará uma multa de R$ 7,00”. Mirele aceitou a proposta

e, após resolver 20 problemas, recebeu R$ 132,00. Quantos problemas ela

acertou e quantos ela errou?

Solução

Se Mirele acertasse todos os problemas ganharia R$ 200,00, pois 20

(problemas) x 10 (reais) = 200. Entretanto, Mirele recebeu apenas R$ 132,00, isto

significa que ela deixou de ganha R$ 200,00 – R$ 132,00 = R$ 68,00. Mas em cada

problema errado Mirele deixa de ganhar R$ 17,00, isto porque não ganha os R$

10,00 por acerto de cada problema e ainda paga R$ 7,00 de multa. Logo, tem um

prejuízo de R$ 17,00 por problema errado. E como o prejuízo total foi de R$

68,00 e o prejuízo por problema errado foi de R$17,00, então basta fazer a divisão

de R$ 68,00 por R$ 17,00 e encontramos quantos problemas ela errou. Como 68 :

17 = 4, conclui-se que Mirele errou 4 problemas e, portanto, acertou 16 problemas.

Fazendo a verificação, tem-se:

Problemas resolvidos corretamente R$ 10,00 x 16 = R$ 160,00;

Problemas resolvidos erroneamente R$ 7,00 x 4 = R$ 28,00.

Fazendo a subtração 160 – 28 = 132, comprova-se que foi esse o valor

recebido por Mirele, comprovando que o raciocínio e os cálculos apresentados estão

corretos.

Comentários

Observe que este problema envolve mais de uma operação elementar. Vai

exigir do aluno uma maior compreensão ao ler o enunciado do problema, para

identificar e compreender as relações existentes e, com isso, estabelecer estratégias

e decidir quais operações serão necessárias para solucioná-lo. Aparentemente

parece ser simples, mas exige muita atenção ao executar cada passo que foi

planejado para chegar à solução do problema. Neste caso, após encontrar a solução

do problema, deve-se fazer a comprovação do resultado.

3.25 A economia dos colegas!

Dois amigos Lucas e Vinicius resolveram fazer um passeio, mas tiveram que

fazer economia por certo período, para que ambos tivessem as mesmas

quantidades. Lucas ganha R$ 540,00 e economiza R$ 18,00 por mês, mas seu

amigo Vinicius ganha R$ 420,00 e consegue economizar R$ 24,00 por mês.

Após quantos meses as quantias economizadas serão iguais?

Solução

Sabe-se que Lucas ganha R$ 540,00 e economiza R$18,00, enquanto Vinicius ganha R$ 420,00 e economiza R$ 24,00. A diferença entre as economias é de R$ 120,00, pois 540 – 420 = 120. Entretanto, Vinicius que ganha menos, economiza R$ 6,00 a mais do que Lucas, pois 24 – 18 = 6. Logo, para perfazer o excesso de R$ 120,00 que Lucas tem sobre Vinicius serão necessários 20 meses, pois o excesso que Lucas possui dividido pelo excesso que Vinícius economiza resulta 20, uma vez que R$ 120,00 : R$ 6,00 = 20. Então, após 20 meses, Lucas terá R$ 540,00 + 20 x R$ 18,00 = R$ 540,00 + R$ 360,00 = R$ 900,00 e Vinicius terá R$ 420,00 + 20 x R$ 24,00 = R$ 420,00 + R$480,00 = R$ 900,00. Portanto, os dois amigos terão suas quantias iguais após 20 meses de economia.

Comentários

Para resolver este problema o aluno deve ter conhecimento das operações

elementares, neste caso há um envolvimento de todas as operações elementares:

soma, subtração, multiplicação e divisão. Note que é importante entender bem o

enunciado do problema para obter uma compreensão com maior clareza e, a partir

daí, organizar suas ideias criando estratégias para saber como aplicar as operações,

uma vez que se trata de um problema composto, exigindo do aluno bastante

atenção e um bom raciocínio para que possa chegar à resolução do problema com

êxito.

4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999.

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