ficha para catÁlogo€¦ · considerada uma parte importante do ensino de matemática e os...

FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título: “Geoplano: um aliado na resolução de problemas”

Autor Amarildo de Paula Leite

Escola de Atuação Colégio Estadual Jardim Consolata

Município da escola Cascavel

Núcleo Regional de Educação Cascavel

Orientador Fabiana Garcia Papani

Instituição de Ensino Superior UNIOESTE- Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Disciplina/Área (entrada no PDE) Matemática

Produção Didático-pedagógica Unidade Didática

Relação Interdisciplinar

Público Alvo As duas últimas séries do Ensino Médio

Localização Rua Adoniran Barbosa, 620

Apresentação:

A presente produção didática surgiu a partir da observação dos baixos índices apresentados pelos alunos nos diversos instrumentos de avaliação da aprendizagem, tais como a Prova Brasil e o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), e das dificuldades de aprendizagem que ocorrem na área de matemática. Acredita-se que um dos fatores que desencadeia esse “fracasso” é o pouco interesse demonstrado pelos alunos em aprender matemática, uma vez que a grande maioria não percebe a aplicabilidade da disciplina em questão e encontra muita dificuldade de abstração. Uma tentativa de alterar esse quadro de fracasso é elaborar formas alternativas de abordar o conteúdo matemático presente nos currículos das escolas brasileiras. O uso do instrumento denominado geoplano como recurso didático pode ser uma interessante opção de encaminhamento metodológico. A partir da resolução de alguns problemas os alunos podem fazer descobertas, e esta compreensão possibilita a resolução de novos problemas e aí está o grande objetivo: a abstração dos conteúdos. A ideia, portanto, é utilizar o geoplano na resolução de diversos problemas.

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSuperintendência da Educ

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional

GEOPLANO: UM ALIADO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Superintendência da Educação

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional

UNIDADE DIDÁTICA


AMARILDO DE PAULA LEITE

CASCAVEL 2011


PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA


Trabalho apresentado ao PDE, como projeto de intervenção pedagógica, pelo Professor de Matemática Amarildo de Paula Leite sob a orientação da Professora Ms. Fabiana Magda Garcia Papani da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, (UNIOESTE) Campus de Cascavel.

CASCAVEL

2011

TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE

Uma abordagem metodológica para o ensino de matemática utilizando o geoplano e

a metodologia resolução de problemas.

TÍTULO

“Geoplano: um aliado na resolução de problemas”.

INTRODUÇÃO

A presente produção didática surgiu a partir da observação dos baixos índices

apresentados pelos alunos nos diversos instrumentos de avaliação da aprendizagem, tais como

a Prova Brasil e o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), e das dificuldades de

aprendizagem que ocorrem na área de matemática. Acredita-se que um dos fatores que

desencadeia esse “fracasso” é o pouco interesse demonstrado pelos alunos em aprender

matemática, uma vez que a grande maioria não percebe a aplicabilidade da disciplina em

questão e encontra muita dificuldade de abstração.

Uma tentativa de alterar esse quadro de fracasso é elaborar formas alternativas de

abordar o conteúdo matemático presente nos currículos das escolas brasileiras. O uso do

instrumento denominado geoplano como recurso didático pode ser uma interessante opção de

encaminhamento metodológico.

Outra opção metodológica eficiente, segundo a literatura e relato de experiências de

colegas educadores, é a “resolução de problemas”. A partir da resolução de alguns problemas

os alunos podem fazer descobertas, e estas descobertas possibilitam a resolução de novos

problemas e dessa forma podemos atingir o grande objetivo: a compreensão dos conteúdos.

A proposta desenvolvida nessa unidade didática é, portanto, abordar diversos

conteúdos, utilizando o geoplano na resolução de problemas. Pretendemos introduzir

conteúdos matemáticos por meio de problemas interessantes e motivadores, buscando

estimular o estudo da matemática e estimular a resolução de problemas utilizando material

manipulável, no caso o geoplano, uma vez que a manipulação e a visualização favorecem a

compreensão e a abstração dos conceitos.

Quanto à escolha do conteúdo desenvolvido nesta produção didática deu-se com

intuito de mostrar que o geoplano tem ampla aplicação no ensino da matemática, não se

restringindo ao ensino de geometria.

Sendo assim, conteúdos como contagem e frações, serão abordados, com o auxílio

deste material.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA / REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Segundo Fiorentini e Miorin (1993), muitas dificuldades são encontradas no processo

de ensino-aprendizagem na disciplina de matemática. O aluno não consegue entender o

conteúdo explicado e não o relaciona com a realidade, então no intuito de mudar esse quadro,

os professores tentam buscar, em cursos, oficinas, congressos e em literaturas alternativas que

possam melhorar a sua prática pedagógica.

Segundo um conjunto de professores pesquisadores preocupados com essa

problemática, dentre as diversas opções metodológicas, a utilização de materiais

manipulativos e da tendência em educação matemática “resolução de problemas” têm muito a

contribuírem.

De acordo com D'Ambrosio (2007), a resolução de problemas sempre foi

considerada uma parte importante do ensino de matemática e os educadores George Pólya e

John Dewey ofereceram grandes contribuições para a reflexão a respeito dessa tendência.

Ainda segundo D’Ambrósio (2007), o trabalho de Pólya resultou em propostas

curriculares que (nos anos 1960 a 1990) transmitiam aos alunos uma visão da resolução de

problemas como um procedimento seguindo quatro passos determinados: (i) compreender o

problema, (ii) desenvolver um plano, (iii) implementar o plano e (iv) analisar a solução.

Porém o trabalho de Pólya restrito simplesmente a estes quatros passos é uma interpretação

muito limitada sobre resolução de problemas. Dewey propunha que os projetos curriculares

fossem organizados a partir de enfrentamentos de problemas baseados nas experiências dos

alunos. Segundo sua proposta, a criança deveria enfrentar problemas reais e resolver os

mesmos sem uma preocupação em acumular regras.

Tanto Pólya, em 1981, quanto Dewey, em 1933, sugeriam que o professor optasse

por envolver seus alunos na resolução de poucos problemas bem escolhidos, ao invés de

carregar o currículo com vários conceitos e procedimentos.

D’Ambrosio (2007) atesta ainda que no século XIX educadores acreditavam que a

resolução de problemas deveria ocorrer como a aplicação de princípios aprendidos, o objetivo

era exercitar e fortalecer os músculos do cérebro, o professor ensinava o conteúdo e o aluno

praticava o que aprendeu resolvendo problemas. Essa visão perdurou até o início dos anos

1990. A partir dos anos 90, a resolução de problemas se tornou uma parte mais integrante da

sala de aula de matemática e surgiram propostas curriculares que situavam o ensino de

matemática via a resolução de problemas, porém, a proposta era propor problemas a partir dos

quais um novo conteúdo pudesse ser desenvolvido. Surgiram várias propostas interessantes,

como o uso de modelagem, que podemos dizer que é a resolução de problema segundo a ótica

de Dewey, e o uso de problemas de investigação, a serem resolvidos individualmente ou em

pequenos grupos.

Quanto ao uso do material manipulativo, segundo Piaget (apud Alves 2011), a

aprendizagem da Matemática envolve o conhecimento físico e o lógico-matemático. O

conhecimento físico ocorre quando o aluno manuseia, observa, analisa, identifica e opera com

o material. O lógico-matemático se dá quando ela usa seus atributos ou opera sem ter o

material em mãos. Assim a utilização de materiais manipulativos como ferramenta de ensino

facilita o aprendizado e favorece o desenvolvimento do pensamento abstrato.

Porém, é preciso ter em mente que, para a utilização de qualquer material didático, é

preciso muito planejamento e são necessários conhecimentos teóricos acerca do conteúdo em

questão por parte do professor e conceitos básicos por parte dos alunos. O material concreto

deve ser um instrumento de auxílio e o encaminhamento não deve deixar o material encerrar-

se em si mesmo, pois ele deve ampliar a visualização do tema abordado e não ser mais um

fator complicador.

Na maioria das vezes, uma aula com a utilização desses materiais dá muito mais

trabalho do que a aula expositiva, sendo, às vezes, cansativo e desgastante, mas acreditamos

baseados na literatura e na experiência de sala de aula, que o resultado final é compensatório.

Não basta abrir uma caixa cheia de pecinhas coloridas e deixar os alunos quebrarem a cabeça sozinhos. Alguns professores acreditam que o simples fato de usar o material concreto torna suas aulas ‘construtivistas’ e que isso garante a

aprendizagem. Muitas vezes o estudante, além de não entender o conteúdo trabalhado, não compreende porque o material está sendo usado. (MONTEIRO apud MARTINS).

Dentre os materiais manipulativos destaca-se o geoplano, um material simples, de

fácil manejo, que, quando bem utilizado, se transforma num poderoso aliado na resolução de

problemas, além de ser de baixo custo.

[...] o Geoplano é um modelo matemático que permite traduzir ou sugerir idéias matemáticas.

[...] o Geoplano constitui um suporte concreto da representação mental, um recurso que leva à realidade ideias abstratas. (SABBATIELLO, 1967).

DESENVOLVIMENTO DAS ATIVIDADES

A implementação se dará nas duas últimas séries do Ensino Médio no Colégio Estadual

Jardim Consolata.

A escolha por esse público se deu pelo fato de que nesta etapa de escolarização é possível

trabalhar todos os conteúdos pretendidos, seja por estarem presentes no currículo do colégio

para esta série, ou na forma de revisão de conteúdos, abordados em séries anteriores,

necessários para introdução de novos conteúdos.

Desenvolveremos a implementação executando as seguintes ações:

Ação 1: Apresentação, histórico e construção de geoplanos

Tempo previsto para a execução: 4 aulas.

Objetivos da ação

• Conhecer a história do geoplano;

• Identificar os tipos de geoplanos bem como sua utilização;

• Manipular o geoplano de forma livre e Estudar as propriedades das figuras

criadas livremente.

Execução

De início vamos fazer um breve histórico do geoplano: falar sobre sua idealização, os

tipos de geoplanos e suas aplicações. Por meio de uma apresentação como a que segue:

O Geoplano é um material didático muito simples, barato e de fácil construção,

formado por uma base quadrada (no caso do Geoplano tradicional) de madeira com pregos

igualmente espaçados na horizontal e na vertical de forma a obter uma malha quadriculada

semelhante ao Plano Cartesiano. Foi criado pelo professor Caleb Gattegno, do Institute of

Education, London University em 1961.

Nos dias atuais encontramos geoplanos nas seguintes versões:

Geoplano tradicional: este geoplano tem vasta aplicação no ensino da geometria

plana e da álgebra.

Geoplano Isométrico: construído de forma a possibilitar que o triângulo eqüilátero

possa ser representado, coisa que não é possível no geoplano tradicional.

Figura 1

Figura 2

Geoplano circular: utilizado para o aprendizado de diversos conteúdos, entre eles

trigonometria e conceito de ângulos.

Geoplano trigonométrico: sua utilização é de grande importância no ensino da

trigonometria, como sugere seu nome.

Geoplano virtual: geoplano disponível na tela de um computador. Com ele podemos

realizar todas as atividades que realizamos utilizando o geoplano concreto manipulando um

computador.

Figura 3

Figura 4

No site http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_282_g_3_t_3.html?open=activities

pode ser encontrado uma forma de geoplano virtual.

Em seguida procederemos à construção, ou pelo menos daremos início à construção

que pode ser finalizada em casa, de um geoplano com dimensões 5x5. O passo a passo dessa

atividade é importante para que o aluno construa-o corretamente e entenda suas propriedades.

Ainda nesta etapa desenvolveremos uma atividade em grupos formados por quatro

alunos munidos de um tipo de geoplano:

Pediremos aos alunos que façam desenhos livres. Com esta atividade os alunos terão

um primeiro contato com o material e poderemos explorar as figuras que surgirão nos

diversos grupos, destacando suas propriedades.

Ação 2: Encontrar o perímetro e/ou áreas de figuras

Tempo previsto para a execução: 4 aulas.

Objetivos da ação

• Resgatar os conceitos de medida, perímetro e área preparando o aluno para o estudo de geometria métrica espacial.

Execução.

Proporemos que os alunos, em grupos de 4, resolvam os seguintes problemas. Em

seguidas as resoluções serão socializadas e discutidas com toda a turma.

Problema 1 – Quatro formigas atravessam o piso de uma sala coberto de lajotas retangulares

(todas de mesmo tamanho), segundo os trajetos indicados na figura. Qual é o comprimento do

trajeto percorrido por Biloca?

Trajeto de Pipoca (TP) = 25 dm

Trajeto de Tonica (TT) = 37 dm

Trajeto de Cotinha (TC) = 32 dm

Figura 5

Trajeto de Biloca (TB) =

Problema 2 – As formiguinhas Maricota e Nandinha passeiam numa varanda cujo chão é

formado por lajotas retangulares de 4 cm de largura por 6 cm de comprimento, conforme

indicado na figura. Maricota parte do ponto M, Nandinha parte do N e, ambas, andam apenas

pelos lados das lajotas, percorrendo o trajeto no sentido indicado na figura.

(a) As duas formiguinhas se encontram depois de andarem uma mesma distância. Qual foi

essa distância?

(b) Em que ponto elas se encontraram?

Problema 3 – A figura mostra a planta de um jardim de uma cidade, feita num papel

quadriculado. O jardim tem a forma de um polígono de oito lados com uma roseira quadrada

no centro, cercada de grama. A área total do jardim é de 700 m2. Para colocar uma cerca em

volta do jardim e da roseira, o prefeito dispõe de, no máximo, R$ 650,00. Qual é o maior

preço que o prefeito poderá pagar pelo metro dessa cerca?

6 cm 4 cm

M

N

Figura 6

Figura 7

Problema 4 – A figura dada representa um gramado retangular em que foram marcados sete

quadrados numerados de 1 a 7. Se a área do menor desses quadrados é 1 m², qual a área total

do gramado?

Problema 5 – Com seis retângulos idênticos formamos um retângulo maior, com um dos

lados medindo 21 cm, como na figura. Qual é a área do retângulo maior, em cm²?

Ação 3 – Teorema de Pitágoras

Tempo de execução: 2 aulas

Objetivos da ação

Outro conteúdo fundamental para o estudo da geometria espacial métrica é o teorema

de Pitágoras. Assim no decorrer dessa ação pretendemos:

• Resgatar o conceito de triângulo retângulo;

• Recordar o Teorema de Pitágoras;

• Justificar, utilizando recursos visuais, o Teorema de Pitágoras.

21 cm

2.x

x

1

2

3

5

6 7

4

A C

D F G

Figura 8

Figura 9

Execução

Iniciaremos relembrando os conceitos de ângulo, ângulo reto, triângulo retângulo,

cateto e hipotenusa.

Na sequência enunciaremos o Teorema de Pitágoras:

“Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados

dos catetos”. Exploraremos a interpretação do Teorema e faremos, buscando a participação

dos alunos, a justificação do referido teorema, apresentada abaixo:

Inicialmente constrói-se um triangulo retângulo no geoplano tradicional.

Na sequência constroem-se três quadrados, apoiados nos catetos e na hipotenusa do

triângulo retângulo: um cujo lado tenha a mesma medida do cateto maior, outro cujo lado

tenha mesma medida do cateto menor e um terceiro cujo lado tenha mesma medida da

hipotenusa, como na figura abaixo.

Figura 10

Figura 11

Observemos primeiramente que as áreas dos quadrados construídos sobre os catetos

são, respectivamente, A1 = 9 u.m.1 e A2 = 16 u.m., logo a soma das duas áreas é A1 + A2 = 9 +

16 = 25 u.m..

Para calcular a área do quadrado construído sobre a hipotenusa, procede-se como

abaixo:

Constroem-se dois retângulos como os azuis indicados na figura.

Podemos observar que a área destes retângulos é 12 u.m. e que a metade dessa área

(6 u.m.) esta sobreposta ao quadrado.

Constrói-se então, outros dois retângulos como os verdes indicados na figura a

seguir. E assim como no caso anterior, suas áreas medem 12 u.m. e metade dessa área

também estão sobrepostas ao quadrado.

1 Unidade de medida, neste caso é a área de um quadradinho de lado unitário.

Figura 12

Assim tem-se, que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é:

6 + 6 + 6 + 6 + 1, totalizando 25 u.m. Conclui-se então que a soma das áreas dos

quadrados construídos sobre os catetos é igual à área do quadrado construído sobre a

hipotenusa.

Lembrando que a área de um quadrado é (lado)x(lado) concluímos a justificativa.

Ação 4: Geometria analítica

Tempo de Execução: 2 aulas

Objetivos da ação

• Propor problemas para a introdução do conteúdo de geometria analítica;

• Perceber que uma reta fica bem determinada por dois pontos;

• Utilizar o software Geogebra2 para construir um geoplano virtual e utilizá-lo

na resolução de problemas.

2 Geogebra é um programa livre de geometria dinâmica criado por Markus Hohenwarter para ser utilizado em

ambiente de sala de aula.

Figura 13

Execução

Vamos utilizar as seguintes atividades:

Atividade 1 – Quantas retas são determinadas por dois quaisquer dos nove pontos marcados

no quadriculado dado?

Atividade 2 – Um ponto P está no centro de um quadrado de 10 cm de lado. Quantos pontos

da borda do quadrado estão a uma distância de 6 cm de P? Determine a menor distância de

um vértice do quadrado a um ponto de intersecção da circunferência com o quadrado.

No laboratório de informática, considerando o Geogebra como um geoplano virtual, construir

um quadrado 10 cm x10 cm com auxílio da ferramenta polígono (ver figura 15 abaixo), a

seguir construa um circulo de raio 16 cm com centro no centro do quadrado, utilizando a

ferramenta “círculo dados centro e raio” (ver figura 6 abaixo).

Figura 15 Figura 16

O

Q P M

Figura 14

Figura 17

Com esse procedimento, pode-se ver que o círculo corta a borda do quadrado em 8. pontos.

Vamos agora determinar a distância PQ, para isto observemos que OQ = 6 cm, OM é metade

do lado do quadrado, portanto mede 5 cm. O triângulo OMQ é retângulo, logo pelo Teorema

de Pitágoras temos:

OQ2 = OM2 + QM2 � 62 = 52 + QM2 � 36 – 25 = QM2 � QM = √11.

Logo: PQ = PM – QM � PQ = 5 – √11.

Ação 5: Frações (duração: 2 aulas):


Objetivos da ação:

• Revisar o conteúdo de fração;

No planejamento da segunda série do ensino médio está previsto a abordagem do

conteúdo de probabilidade. Daí a importância de se fazer um resgate do conteúdo de fração.

Execução

Serão propostos problemas como o apresentado a seguir para resolução utilizando o

geoplano, numa abordagem similar a apresentada.

Problema 1 – figura mostra um retângulo formado por 18 quadrados iguais com algumas

partes sombreadas. Qual é a fração da área do retângulo que está sombreada?

Liga-se os pregos com elástico até se obter uma figura semelhante à acima.

Figura 18

Figura 19

Observa-se que podemos cobrir toda a figura com 18 quadrados ou 36 triângulos, a área

sombreada pode ser coberto com 16 triângulos ou 8 quadrados, portanto a fração da área do

retângulo que esta sombreada é: �

��=

�

�

Ação 6: Teoria da contagem


Objetivo da ação

• Desenvolver um estudo da teoria da contagem.

Nessa etapa se trabalhará a resolução de vários problemas para a introdução e o

desenvolvimento da teoria da contagem.

Problema 1 – Uma formiguinha vai caminhar de A até C, podendo passar apenas uma vez

pelo ponto B e usando somente os caminhos indicados na figura.

Qual é o número de maneiras diferentes que ela pode escolher para caminhar de A até C?

Problema 2 – Qual dos seguintes desenhos não pode ser feito sem cortar ou sobrepor fios?

a) b) c)

d) e)

Ação

Figura 20

7: Trigonometria

Tempo de duração: 3 aulas

Objetivos da ação

• Resolver problemas utilizando os geoplanos circular e trigonométrico,

introduzir os conceitos inerentes à trigonometria.

• Perceber que a partir do conhecimento dos senos e cossenos dos ângulos

situados no primeiro quadrante, pode-se determinar os senos e cossenos dos

demais ângulos;

• Estabelecer relações entre as funções seno e o cosseno.

Execução

Serão abordados os seguintes problemas com o auxílio do Geoplano Circular:

Problemas 1 – Na figura, O é o centro do semicírculo de diâmetro PQ, R é um ponto sobre o

semicírculo e RM é perpendicular a PQ. Se a medida do arco PR é o dobro da medida do arco

RQ, qual é a razão entre PM e MQ?

Para auxiliar na resolução deste problema, utilizaremos do geoplano trigonométrico.

Inicialmente construímos com auxilio das borrachinhas a figura ao lado.

Como o triângulo PRQ está inscrito em um semicírculo o ângulo PRQ( coloque um

circunflexo sobre R) mede 90º. Desta forma temos:

PR2 = PQ.PM (1) e

RQ2 = PQ.MQ (2)

Como por hipótese a PR = 2RQ, a expressão (1) fica assim:

(2RQ)2 = PQ.PM � 4RQ2 = PQ.PM (3)

Dividindo ambos os membros de (3) por (2), teremos:

Figura 21

��

�=

�.�

�. �

�

= 4.

Problema 2 – A partir dos dados da tabela abaixo e com o auxílio do geoplano

trigonométrico, preencha os espaços que faltam na tabela.

0

30

ou

6

π

45

ou

4

π

60

ou

3

π

90

ou

2

π

120

ou

3

.2π

135

ou

4

.3π

150

ou

6

.5π

180

ou

π

210

ou

6

.7π

225

ou

4

.5π

240

ou

3

.4π

270

ou

2

.3π

300

ou

3

.5π

315

ou

4

.7π

330

ou

6

.11π

360

ou

π.2

Sen

0 2

1 2

2

2

3

1 0 -1 0

Cos

1 2

3

2

2

2

1 0 -1 0 1

30

45

60 90

120

135

150

180

210

225

240 270

300

315

330

360

0

P O

M

Q

R

Figura 22

Figura 23

REFERÊNCIAS

D’AMBROSIO , Beatriz 5, Miami University, Ohio EUA. Disponível em: <http:// www.rc.unesp.br/serp/trabalhos_completos/completo1.pdf>. Acesso em: 30 mar. 2011, 18:05. EDUCAÇÃO DE INFÂNCIA . Disponível em: <http://educacaodeinfancia.com/material-concreto-um-bom-aliado-nas-aulas-de-matematica/>. Acesso em: 20 out. 2010, 10: 20. FIORENTINI, Dario e MIORIM, Maria Ângela, Uma refle xão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da Matemática. 1990 pag. 01 Disponível em: < http://ebookbrowse.com/umareflexao-sobre-o-uso-de-materiais-concretos-e-jogos-no-ensino-da-matematica-doc-d45742524 >. Acesso em: 20 out. 2010, 10:40. GIOVANNI JR , José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 2009.

MARTINS, Raquel. Material Concreto: um bom aliado nas aulas de Matemática Disponível em: <http:// matconcretos1.blogspot.com/>. Acesso em: 17 abr 2011, 14:00. MORAES, Ivanise Zem de, Os Materiais Manipuláveis no Ensino de Matemática com Ênfase na Formação de Docentes, 2008, Pág. 17. Disponível em < http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/977-4.pdf>. Acesso em 08 mai. 2011, 18:00. UFSC. O que é "geoplano”? Disponível em: <http:// www.inf.ufsc.br/~edla/projeto/geoplano/ oquee.html>. Acesso em: 17 set. 2010, 15:00. ALVES, Rubem, EDUCAR, EDUCANDO! Disponível em http://vamos-educar-educando.blogspot.com/2011/04/blocos-logicos-geometria-exige-uma.html>. Acesso em 01 ago. 2011 15:45. OBRAS CONSULTADAS FREITAS , Rony Cláudio de Oliveira. PAIVA , Maria Auxiliadora Vilela. Um novo ambiente para apoiar a aprendizagem da matemática nas séries iniciais do ensino fundamental, 1994. Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo (CEFETES), Disponível em: < http://ronyfreitas.tripod.com/producao/Dissertacao.pdf>. Acesso em: 14 abr 2011, 16:30. NATIONAL LIBRARY. Geoplano Virtual, Disponível em: < http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_166_g_2_t_3.html?open=activities&from=topic_t_3.html >. Acesso em: 17 abr. 2011, 15:55. SERRAZINA , Lurdes; MATOS, Jose Manuel. O geoplano na sala de aula, Lisboa, Portugal Associação de Professores de Matemática, 1988.

ficha para catÁlogo€¦ · considerada uma parte importante do ensino de matemática e os...

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