FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título: “Geoplano: um aliado na resolução de problemas”
Autor Amarildo de Paula Leite
Escola de Atuação Colégio Estadual Jardim Consolata
Município da escola Cascavel
Núcleo Regional de Educação Cascavel
Orientador Fabiana Garcia Papani
Instituição de Ensino Superior UNIOESTE- Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Disciplina/Área (entrada no PDE) Matemática
Produção Didático-pedagógica Unidade Didática
Relação Interdisciplinar
Público Alvo As duas últimas séries do Ensino Médio
Localização Rua Adoniran Barbosa, 620
Apresentação:
A presente produção didática surgiu a partir da observação dos baixos índices apresentados pelos alunos nos diversos instrumentos de avaliação da aprendizagem, tais como a Prova Brasil e o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), e das dificuldades de aprendizagem que ocorrem na área de matemática. Acredita-se que um dos fatores que desencadeia esse “fracasso” é o pouco interesse demonstrado pelos alunos em aprender matemática, uma vez que a grande maioria não percebe a aplicabilidade da disciplina em questão e encontra muita dificuldade de abstração. Uma tentativa de alterar esse quadro de fracasso é elaborar formas alternativas de abordar o conteúdo matemático presente nos currículos das escolas brasileiras. O uso do instrumento denominado geoplano como recurso didático pode ser uma interessante opção de encaminhamento metodológico. A partir da resolução de alguns problemas os alunos podem fazer descobertas, e esta compreensão possibilita a resolução de novos problemas e aí está o grande objetivo: a abstração dos conteúdos. A ideia, portanto, é utilizar o geoplano na resolução de diversos problemas.
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSuperintendência da Educ
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional
GEOPLANO: UM ALIADO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Superintendência da Educação
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional
UNIDADE DIDÁTICA
GEOPLANO: UM ALIADO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
AMARILDO DE PAULA LEITE
CASCAVEL 2011
GEOPLANO: UM ALIADO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
GEOPLANO: UM ALIADO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Trabalho apresentado ao PDE, como projeto de intervenção pedagógica, pelo Professor de Matemática Amarildo de Paula Leite sob a orientação da Professora Ms. Fabiana Magda Garcia Papani da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, (UNIOESTE) Campus de Cascavel.
CASCAVEL
2011
TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE
Uma abordagem metodológica para o ensino de matemática utilizando o geoplano e
a metodologia resolução de problemas.
TÍTULO
“Geoplano: um aliado na resolução de problemas”.
INTRODUÇÃO
A presente produção didática surgiu a partir da observação dos baixos índices
apresentados pelos alunos nos diversos instrumentos de avaliação da aprendizagem, tais como
a Prova Brasil e o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), e das dificuldades de
aprendizagem que ocorrem na área de matemática. Acredita-se que um dos fatores que
desencadeia esse “fracasso” é o pouco interesse demonstrado pelos alunos em aprender
matemática, uma vez que a grande maioria não percebe a aplicabilidade da disciplina em
questão e encontra muita dificuldade de abstração.
Uma tentativa de alterar esse quadro de fracasso é elaborar formas alternativas de
abordar o conteúdo matemático presente nos currículos das escolas brasileiras. O uso do
instrumento denominado geoplano como recurso didático pode ser uma interessante opção de
encaminhamento metodológico.
Outra opção metodológica eficiente, segundo a literatura e relato de experiências de
colegas educadores, é a “resolução de problemas”. A partir da resolução de alguns problemas
os alunos podem fazer descobertas, e estas descobertas possibilitam a resolução de novos
problemas e dessa forma podemos atingir o grande objetivo: a compreensão dos conteúdos.
A proposta desenvolvida nessa unidade didática é, portanto, abordar diversos
conteúdos, utilizando o geoplano na resolução de problemas. Pretendemos introduzir
conteúdos matemáticos por meio de problemas interessantes e motivadores, buscando
estimular o estudo da matemática e estimular a resolução de problemas utilizando material
manipulável, no caso o geoplano, uma vez que a manipulação e a visualização favorecem a
compreensão e a abstração dos conceitos.
Quanto à escolha do conteúdo desenvolvido nesta produção didática deu-se com
intuito de mostrar que o geoplano tem ampla aplicação no ensino da matemática, não se
restringindo ao ensino de geometria.
Sendo assim, conteúdos como contagem e frações, serão abordados, com o auxílio
deste material.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA / REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Segundo Fiorentini e Miorin (1993), muitas dificuldades são encontradas no processo
de ensino-aprendizagem na disciplina de matemática. O aluno não consegue entender o
conteúdo explicado e não o relaciona com a realidade, então no intuito de mudar esse quadro,
os professores tentam buscar, em cursos, oficinas, congressos e em literaturas alternativas que
possam melhorar a sua prática pedagógica.
Segundo um conjunto de professores pesquisadores preocupados com essa
problemática, dentre as diversas opções metodológicas, a utilização de materiais
manipulativos e da tendência em educação matemática “resolução de problemas” têm muito a
contribuírem.
De acordo com D'Ambrosio (2007), a resolução de problemas sempre foi
considerada uma parte importante do ensino de matemática e os educadores George Pólya e
John Dewey ofereceram grandes contribuições para a reflexão a respeito dessa tendência.
Ainda segundo D’Ambrósio (2007), o trabalho de Pólya resultou em propostas
curriculares que (nos anos 1960 a 1990) transmitiam aos alunos uma visão da resolução de
problemas como um procedimento seguindo quatro passos determinados: (i) compreender o
problema, (ii) desenvolver um plano, (iii) implementar o plano e (iv) analisar a solução.
Porém o trabalho de Pólya restrito simplesmente a estes quatros passos é uma interpretação
muito limitada sobre resolução de problemas. Dewey propunha que os projetos curriculares
fossem organizados a partir de enfrentamentos de problemas baseados nas experiências dos
alunos. Segundo sua proposta, a criança deveria enfrentar problemas reais e resolver os
mesmos sem uma preocupação em acumular regras.
Tanto Pólya, em 1981, quanto Dewey, em 1933, sugeriam que o professor optasse
por envolver seus alunos na resolução de poucos problemas bem escolhidos, ao invés de
carregar o currículo com vários conceitos e procedimentos.
D’Ambrosio (2007) atesta ainda que no século XIX educadores acreditavam que a
resolução de problemas deveria ocorrer como a aplicação de princípios aprendidos, o objetivo
era exercitar e fortalecer os músculos do cérebro, o professor ensinava o conteúdo e o aluno
praticava o que aprendeu resolvendo problemas. Essa visão perdurou até o início dos anos
1990. A partir dos anos 90, a resolução de problemas se tornou uma parte mais integrante da
sala de aula de matemática e surgiram propostas curriculares que situavam o ensino de
matemática via a resolução de problemas, porém, a proposta era propor problemas a partir dos
quais um novo conteúdo pudesse ser desenvolvido. Surgiram várias propostas interessantes,
como o uso de modelagem, que podemos dizer que é a resolução de problema segundo a ótica
de Dewey, e o uso de problemas de investigação, a serem resolvidos individualmente ou em
pequenos grupos.
Quanto ao uso do material manipulativo, segundo Piaget (apud Alves 2011), a
aprendizagem da Matemática envolve o conhecimento físico e o lógico-matemático. O
conhecimento físico ocorre quando o aluno manuseia, observa, analisa, identifica e opera com
o material. O lógico-matemático se dá quando ela usa seus atributos ou opera sem ter o
material em mãos. Assim a utilização de materiais manipulativos como ferramenta de ensino
facilita o aprendizado e favorece o desenvolvimento do pensamento abstrato.
Porém, é preciso ter em mente que, para a utilização de qualquer material didático, é
preciso muito planejamento e são necessários conhecimentos teóricos acerca do conteúdo em
questão por parte do professor e conceitos básicos por parte dos alunos. O material concreto
deve ser um instrumento de auxílio e o encaminhamento não deve deixar o material encerrar-
se em si mesmo, pois ele deve ampliar a visualização do tema abordado e não ser mais um
fator complicador.
Na maioria das vezes, uma aula com a utilização desses materiais dá muito mais
trabalho do que a aula expositiva, sendo, às vezes, cansativo e desgastante, mas acreditamos
baseados na literatura e na experiência de sala de aula, que o resultado final é compensatório.
Não basta abrir uma caixa cheia de pecinhas coloridas e deixar os alunos quebrarem a cabeça sozinhos. Alguns professores acreditam que o simples fato de usar o material concreto torna suas aulas ‘construtivistas’ e que isso garante a
aprendizagem. Muitas vezes o estudante, além de não entender o conteúdo trabalhado, não compreende porque o material está sendo usado. (MONTEIRO apud MARTINS).
Dentre os materiais manipulativos destaca-se o geoplano, um material simples, de
fácil manejo, que, quando bem utilizado, se transforma num poderoso aliado na resolução de
problemas, além de ser de baixo custo.
[...] o Geoplano é um modelo matemático que permite traduzir ou sugerir idéias matemáticas.
[...] o Geoplano constitui um suporte concreto da representação mental, um recurso que leva à realidade ideias abstratas. (SABBATIELLO, 1967).
DESENVOLVIMENTO DAS ATIVIDADES
A implementação se dará nas duas últimas séries do Ensino Médio no Colégio Estadual
Jardim Consolata.
A escolha por esse público se deu pelo fato de que nesta etapa de escolarização é possível
trabalhar todos os conteúdos pretendidos, seja por estarem presentes no currículo do colégio
para esta série, ou na forma de revisão de conteúdos, abordados em séries anteriores,
necessários para introdução de novos conteúdos.
Desenvolveremos a implementação executando as seguintes ações:
Ação 1: Apresentação, histórico e construção de geoplanos
Tempo previsto para a execução: 4 aulas.
Objetivos da ação
• Conhecer a história do geoplano;
• Identificar os tipos de geoplanos bem como sua utilização;
• Manipular o geoplano de forma livre e Estudar as propriedades das figuras
criadas livremente.
Execução
De início vamos fazer um breve histórico do geoplano: falar sobre sua idealização, os
tipos de geoplanos e suas aplicações. Por meio de uma apresentação como a que segue:
O Geoplano é um material didático muito simples, barato e de fácil construção,
formado por uma base quadrada (no caso do Geoplano tradicional) de madeira com pregos
igualmente espaçados na horizontal e na vertical de forma a obter uma malha quadriculada
semelhante ao Plano Cartesiano. Foi criado pelo professor Caleb Gattegno, do Institute of
Education, London University em 1961.
Nos dias atuais encontramos geoplanos nas seguintes versões:
Geoplano tradicional: este geoplano tem vasta aplicação no ensino da geometria
plana e da álgebra.
Geoplano Isométrico: construído de forma a possibilitar que o triângulo eqüilátero
possa ser representado, coisa que não é possível no geoplano tradicional.
Figura 1
Figura 2
Geoplano circular: utilizado para o aprendizado de diversos conteúdos, entre eles
trigonometria e conceito de ângulos.
Geoplano trigonométrico: sua utilização é de grande importância no ensino da
trigonometria, como sugere seu nome.
Geoplano virtual: geoplano disponível na tela de um computador. Com ele podemos
realizar todas as atividades que realizamos utilizando o geoplano concreto manipulando um
computador.
Figura 3
Figura 4
No site http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_282_g_3_t_3.html?open=activities
pode ser encontrado uma forma de geoplano virtual.
Em seguida procederemos à construção, ou pelo menos daremos início à construção
que pode ser finalizada em casa, de um geoplano com dimensões 5x5. O passo a passo dessa
atividade é importante para que o aluno construa-o corretamente e entenda suas propriedades.
Ainda nesta etapa desenvolveremos uma atividade em grupos formados por quatro
alunos munidos de um tipo de geoplano:
Pediremos aos alunos que façam desenhos livres. Com esta atividade os alunos terão
um primeiro contato com o material e poderemos explorar as figuras que surgirão nos
diversos grupos, destacando suas propriedades.
Ação 2: Encontrar o perímetro e/ou áreas de figuras
Tempo previsto para a execução: 4 aulas.
Objetivos da ação
• Resgatar os conceitos de medida, perímetro e área preparando o aluno para o estudo de geometria métrica espacial.
Execução.
Proporemos que os alunos, em grupos de 4, resolvam os seguintes problemas. Em
seguidas as resoluções serão socializadas e discutidas com toda a turma.
Problema 1 – Quatro formigas atravessam o piso de uma sala coberto de lajotas retangulares
(todas de mesmo tamanho), segundo os trajetos indicados na figura. Qual é o comprimento do
trajeto percorrido por Biloca?
Trajeto de Pipoca (TP) = 25 dm
Trajeto de Tonica (TT) = 37 dm
Trajeto de Cotinha (TC) = 32 dm
Figura 5
Trajeto de Biloca (TB) =
Problema 2 – As formiguinhas Maricota e Nandinha passeiam numa varanda cujo chão é
formado por lajotas retangulares de 4 cm de largura por 6 cm de comprimento, conforme
indicado na figura. Maricota parte do ponto M, Nandinha parte do N e, ambas, andam apenas
pelos lados das lajotas, percorrendo o trajeto no sentido indicado na figura.
(a) As duas formiguinhas se encontram depois de andarem uma mesma distância. Qual foi
essa distância?
(b) Em que ponto elas se encontraram?
Problema 3 – A figura mostra a planta de um jardim de uma cidade, feita num papel
quadriculado. O jardim tem a forma de um polígono de oito lados com uma roseira quadrada
no centro, cercada de grama. A área total do jardim é de 700 m2. Para colocar uma cerca em
volta do jardim e da roseira, o prefeito dispõe de, no máximo, R$ 650,00. Qual é o maior
preço que o prefeito poderá pagar pelo metro dessa cerca?
6 cm 4 cm
M
N
Figura 6
Figura 7
Problema 4 – A figura dada representa um gramado retangular em que foram marcados sete
quadrados numerados de 1 a 7. Se a área do menor desses quadrados é 1 m², qual a área total
do gramado?
Problema 5 – Com seis retângulos idênticos formamos um retângulo maior, com um dos
lados medindo 21 cm, como na figura. Qual é a área do retângulo maior, em cm²?
Ação 3 – Teorema de Pitágoras
Tempo de execução: 2 aulas
Objetivos da ação
Outro conteúdo fundamental para o estudo da geometria espacial métrica é o teorema
de Pitágoras. Assim no decorrer dessa ação pretendemos:
• Resgatar o conceito de triângulo retângulo;
• Recordar o Teorema de Pitágoras;
• Justificar, utilizando recursos visuais, o Teorema de Pitágoras.
21 cm
2.x
x
1
2
3
5
6 7
4
A C
D F G
Figura 8
Figura 9
Execução
Iniciaremos relembrando os conceitos de ângulo, ângulo reto, triângulo retângulo,
cateto e hipotenusa.
Na sequência enunciaremos o Teorema de Pitágoras:
“Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
dos catetos”. Exploraremos a interpretação do Teorema e faremos, buscando a participação
dos alunos, a justificação do referido teorema, apresentada abaixo:
Inicialmente constrói-se um triangulo retângulo no geoplano tradicional.
Na sequência constroem-se três quadrados, apoiados nos catetos e na hipotenusa do
triângulo retângulo: um cujo lado tenha a mesma medida do cateto maior, outro cujo lado
tenha mesma medida do cateto menor e um terceiro cujo lado tenha mesma medida da
hipotenusa, como na figura abaixo.
Figura 10
Figura 11
Observemos primeiramente que as áreas dos quadrados construídos sobre os catetos
são, respectivamente, A1 = 9 u.m.1 e A2 = 16 u.m., logo a soma das duas áreas é A1 + A2 = 9 +
16 = 25 u.m..
Para calcular a área do quadrado construído sobre a hipotenusa, procede-se como
abaixo:
Constroem-se dois retângulos como os azuis indicados na figura.
Podemos observar que a área destes retângulos é 12 u.m. e que a metade dessa área
(6 u.m.) esta sobreposta ao quadrado.
Constrói-se então, outros dois retângulos como os verdes indicados na figura a
seguir. E assim como no caso anterior, suas áreas medem 12 u.m. e metade dessa área
também estão sobrepostas ao quadrado.
1 Unidade de medida, neste caso é a área de um quadradinho de lado unitário.
Figura 12
Assim tem-se, que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é:
6 + 6 + 6 + 6 + 1, totalizando 25 u.m. Conclui-se então que a soma das áreas dos
quadrados construídos sobre os catetos é igual à área do quadrado construído sobre a
hipotenusa.
Lembrando que a área de um quadrado é (lado)x(lado) concluímos a justificativa.
Ação 4: Geometria analítica
Tempo de Execução: 2 aulas
Objetivos da ação
• Propor problemas para a introdução do conteúdo de geometria analítica;
• Perceber que uma reta fica bem determinada por dois pontos;
• Utilizar o software Geogebra2 para construir um geoplano virtual e utilizá-lo
na resolução de problemas.
2 Geogebra é um programa livre de geometria dinâmica criado por Markus Hohenwarter para ser utilizado em
ambiente de sala de aula.
Figura 13
Execução
Vamos utilizar as seguintes atividades:
Atividade 1 – Quantas retas são determinadas por dois quaisquer dos nove pontos marcados
no quadriculado dado?
Atividade 2 – Um ponto P está no centro de um quadrado de 10 cm de lado. Quantos pontos
da borda do quadrado estão a uma distância de 6 cm de P? Determine a menor distância de
um vértice do quadrado a um ponto de intersecção da circunferência com o quadrado.
No laboratório de informática, considerando o Geogebra como um geoplano virtual, construir
um quadrado 10 cm x10 cm com auxílio da ferramenta polígono (ver figura 15 abaixo), a
seguir construa um circulo de raio 16 cm com centro no centro do quadrado, utilizando a
ferramenta “círculo dados centro e raio” (ver figura 6 abaixo).
Figura 15 Figura 16
O
Q P M
Figura 14
Figura 17
Com esse procedimento, pode-se ver que o círculo corta a borda do quadrado em 8. pontos.
Vamos agora determinar a distância PQ, para isto observemos que OQ = 6 cm, OM é metade
do lado do quadrado, portanto mede 5 cm. O triângulo OMQ é retângulo, logo pelo Teorema
de Pitágoras temos:
OQ2 = OM2 + QM2 � 62 = 52 + QM2 � 36 – 25 = QM2 � QM = √11.
Logo: PQ = PM – QM � PQ = 5 – √11.
Ação 5: Frações (duração: 2 aulas):
Tempo de execução: 2 aulas
Objetivos da ação:
• Revisar o conteúdo de fração;
No planejamento da segunda série do ensino médio está previsto a abordagem do
conteúdo de probabilidade. Daí a importância de se fazer um resgate do conteúdo de fração.
Execução
Serão propostos problemas como o apresentado a seguir para resolução utilizando o
geoplano, numa abordagem similar a apresentada.
Problema 1 – figura mostra um retângulo formado por 18 quadrados iguais com algumas
partes sombreadas. Qual é a fração da área do retângulo que está sombreada?
Liga-se os pregos com elástico até se obter uma figura semelhante à acima.
Figura 18
Figura 19
Observa-se que podemos cobrir toda a figura com 18 quadrados ou 36 triângulos, a área
sombreada pode ser coberto com 16 triângulos ou 8 quadrados, portanto a fração da área do
retângulo que esta sombreada é: �
��=
�
�
Ação 6: Teoria da contagem
Tempo de execução: 3 aulas
Objetivo da ação
• Desenvolver um estudo da teoria da contagem.
Nessa etapa se trabalhará a resolução de vários problemas para a introdução e o
desenvolvimento da teoria da contagem.
Problema 1 – Uma formiguinha vai caminhar de A até C, podendo passar apenas uma vez
pelo ponto B e usando somente os caminhos indicados na figura.
Qual é o número de maneiras diferentes que ela pode escolher para caminhar de A até C?
Problema 2 – Qual dos seguintes desenhos não pode ser feito sem cortar ou sobrepor fios?
a) b) c)
d) e)
Ação
Figura 20
7: Trigonometria
Tempo de duração: 3 aulas
Objetivos da ação
• Resolver problemas utilizando os geoplanos circular e trigonométrico,
introduzir os conceitos inerentes à trigonometria.
• Perceber que a partir do conhecimento dos senos e cossenos dos ângulos
situados no primeiro quadrante, pode-se determinar os senos e cossenos dos
demais ângulos;
• Estabelecer relações entre as funções seno e o cosseno.
Execução
Serão abordados os seguintes problemas com o auxílio do Geoplano Circular:
Problemas 1 – Na figura, O é o centro do semicírculo de diâmetro PQ, R é um ponto sobre o
semicírculo e RM é perpendicular a PQ. Se a medida do arco PR é o dobro da medida do arco
RQ, qual é a razão entre PM e MQ?
Para auxiliar na resolução deste problema, utilizaremos do geoplano trigonométrico.
Inicialmente construímos com auxilio das borrachinhas a figura ao lado.
Como o triângulo PRQ está inscrito em um semicírculo o ângulo PRQ( coloque um
circunflexo sobre R) mede 90º. Desta forma temos:
PR2 = PQ.PM (1) e
RQ2 = PQ.MQ (2)
Como por hipótese a PR = 2RQ, a expressão (1) fica assim:
(2RQ)2 = PQ.PM � 4RQ2 = PQ.PM (3)
Dividindo ambos os membros de (3) por (2), teremos:
Figura 21
��
�=
�.�
�. �
�
= 4.
Problema 2 – A partir dos dados da tabela abaixo e com o auxílio do geoplano
trigonométrico, preencha os espaços que faltam na tabela.
0
30
ou
6
π
45
ou
4
π
60
ou
3
π
90
ou
2
π
120
ou
3
.2π
135
ou
4
.3π
150
ou
6
.5π
180
ou
π
210
ou
6
.7π
225
ou
4
.5π
240
ou
3
.4π
270
ou
2
.3π
300
ou
3
.5π
315
ou
4
.7π
330
ou
6
.11π
360
ou
π.2
Sen
0 2
1 2
2
2
3
1 0 -1 0
Cos
1 2
3
2
2
2
1 0 -1 0 1
30
45
60 90
120
135
150
180
210
225
240 270
300
315
330
360
0
P O
M
Q
R
Figura 22
Figura 23
REFERÊNCIAS
D’AMBROSIO , Beatriz 5, Miami University, Ohio EUA. Disponível em: <http:// www.rc.unesp.br/serp/trabalhos_completos/completo1.pdf>. Acesso em: 30 mar. 2011, 18:05. EDUCAÇÃO DE INFÂNCIA . Disponível em: <http://educacaodeinfancia.com/material-concreto-um-bom-aliado-nas-aulas-de-matematica/>. Acesso em: 20 out. 2010, 10: 20. FIORENTINI, Dario e MIORIM, Maria Ângela, Uma refle xão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da Matemática. 1990 pag. 01 Disponível em: < http://ebookbrowse.com/umareflexao-sobre-o-uso-de-materiais-concretos-e-jogos-no-ensino-da-matematica-doc-d45742524 >. Acesso em: 20 out. 2010, 10:40. GIOVANNI JR , José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 2009.
MARTINS, Raquel. Material Concreto: um bom aliado nas aulas de Matemática Disponível em: <http:// matconcretos1.blogspot.com/>. Acesso em: 17 abr 2011, 14:00. MORAES, Ivanise Zem de, Os Materiais Manipuláveis no Ensino de Matemática com Ênfase na Formação de Docentes, 2008, Pág. 17. Disponível em < http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/977-4.pdf>. Acesso em 08 mai. 2011, 18:00. UFSC. O que é "geoplano”? Disponível em: <http:// www.inf.ufsc.br/~edla/projeto/geoplano/ oquee.html>. Acesso em: 17 set. 2010, 15:00. ALVES, Rubem, EDUCAR, EDUCANDO! Disponível em http://vamos-educar-educando.blogspot.com/2011/04/blocos-logicos-geometria-exige-uma.html>. Acesso em 01 ago. 2011 15:45. OBRAS CONSULTADAS FREITAS , Rony Cláudio de Oliveira. PAIVA , Maria Auxiliadora Vilela. Um novo ambiente para apoiar a aprendizagem da matemática nas séries iniciais do ensino fundamental, 1994. Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo (CEFETES), Disponível em: < http://ronyfreitas.tripod.com/producao/Dissertacao.pdf>. Acesso em: 14 abr 2011, 16:30. NATIONAL LIBRARY. Geoplano Virtual, Disponível em: < http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_166_g_2_t_3.html?open=activities&from=topic_t_3.html >. Acesso em: 17 abr. 2011, 15:55. SERRAZINA , Lurdes; MATOS, Jose Manuel. O geoplano na sala de aula, Lisboa, Portugal Associação de Professores de Matemática, 1988.