ficha de aula - sequÊncias

MATEMÁTICA – ÁLGEBRA FICHA 2 (3os anos)

ASSUNTO: SEQUÊNCIASProf. Edvaldo Benjamim

SEQUÊNCIAS (ou SUCESSÃO)

1. Definição

SEQUÊNCIA ou SUCESSÃO é todo conjunto cujos elementos estão dispostos (arrumados) em uma determinada ordem.

Exs.: sequência dos dias da semana: (dom, seg, ter, qua, qui, sex, sáb) sequência dos meses do ano: (jan, fev, mar, ..., dez)

2. Termos de uma sequência

Os elementos de uma sequência são seus termos, que como visto nos exemplos acima, são indicados entre parênteses. Assim, como mais um exemplo, temos a sequência das notas musicais: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si) em que dó é o primeiro termo, que indicamos por a1

(a1 = dó); ré é o segundo termo, que indicamos por a2 (a2 = ré), e assim sucessivamente, até o termo a7 = si. De modo geral, uma sequência com n termos é indicada por:

Sendo {a1o primeirotermo dasequênciaa2osegundo termoda sequênciaa3o terceiro termoda sequência

……………………………………… ..anon−ésimotermo dasequência

O elemento an é denominado termo geral, pois pode representar qualquer termo da sequência.

Exemplo

Para n = 1, an representa o primeiro termo a1 e para n = 2, an representa o segundo termo a2, e assim por diante.

3. Sequências numéricas

Várias situações que ocorrem na natureza seguem padrões matemáticos denominados sequências numéricas.

Matemática – Prof. Edvaldo BenjamimPágina 1

(a1, a2, a3, ..., an)

Algumas dessas sequências podem ser observadas, por exemplo, em biologia quando estudamos o crescimento de bactérias, plantas e algas.

4. Classificação das sequências numéricas

Sequências numéricas são aquelas cujos termos são números reais.

Podemos classificá-las em:

Finitas: Quando o número de termos é finito. Por exemplo: (1, 3, 5, 7) é a sequência dos números ímpares positivos menores que 9.

Infinitas: quando há infinitos termos. Por exemplo: (0, 2, 4, 6, ...) é a sequência dos números pares positivos.

P1. Identifique os termos a2, a4 e a6 na sequência:

( 12,14,18,

116

,1

32,

164

,1

128 ).P2. Calcule o valor de 3 a2 -

a5

2 na sequência (4, 8, 12, 16, 20, 24).

P3. Dada a sequência (-3, -5, -7, -9), calcule o valor de: a1 – a4 + a3.

P4. Dada a sequência (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21), determine:

a) o quociente entre o sexto e o terceiro termo;

b) a média aritmética entre os termos extremos.

5. Lei de formação de uma sequência

Nesse estudo, daremos maior importância às sequências que obedecem a uma LEI DE FORMAÇÃO, por meio da qual podemos determinar qualquer elemento da sequência, bem como sua posição.

Geralmente, as leis de formação são indicadas pelo TERMO GERAL an.

As Leis de Formação (L.F.) podem aparecer de três maneiras:

1º) Cada termo é expresso em função de sua posição

É dada uma fórmula que exprime an em função de n.

Exemplo: Seja a sequência cujos termos são dados por an = 1 + 4 n, n N *.

Temos: n = 1 a1 = 1 + 4 1 = 5


n = 2 a2 = 1 + 4 2 = 9 n = 3 a3 = 1 + 4 3 = 13 n = 4 a4 = 1 + 4 4 = 17 n = 100 a100 = 1 + 4 100 = 401

Assim, a sequência é (5, 9, 13, 17, ..., 401, ...).

2º) Fórmula de recorrência

São dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo a1 e outra para calcular cada termo an a partir do anterior an – 1 (termo que antecede an).

Exemplo:

Seja a sequência cujos termos obedecem às condições:

{ a1=3an=an−1+4 , n∈N ,n≥2

Vamos calcular o 2º, o 3º e o 4º termos:

n = 2 a2 = a1 + 4 a2 = 7n = 3 a3 = a2 + 4 a3 = 11n = 4 a4 = a3 + 4 a4 = 15

Logo, a sequência é (3, 7, 11, 15, ...).

3º) Propriedade dos termos

É dada uma propriedade que caracteriza somente os termos da sequência.

Exemplo:

Vamos escrever a sequência de seis termos em que cada um é a soma dos divisores positivos do respectivo índice.

o divisor positivo de 1 é 1 a1 = 1;os divisores positivos de 2 são 1 e 2 a2 = 1 + 2 = 3;os divisores positivos de 3 são 1 e 3 a3 = 1 + 3 = 4;os divisores positivos de 4 são 1, 2 e 4 a4 = 1 + 2 + 4 = 7;os divisores positivos de 5 são 1 e 5 a5 = 1 + 5 = 6;os divisores positivos de 6 são 1, 2, 3 e 6 a6 = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.

Portanto, a sequência é (1, 3, 4, 7, 6, 12).

6. Termos eqüidistantes dos extremos de uma sequência


Consideremos uma sequência finita de n termos:

(a1, a2, ..., ap, ..., aq, ..., an – 1, an)

Os termos ap e aq são equidistantes dos extremos a1 e an se o número de termos que antecedem ap e o número de termos que sucedem a aq são iguais, isto é:

p – 1 = n – q p + q = n + 1

Exemplo:

Numa sequência de 20 termos, o 3º e o 18º são eqüidistantes dos extremos, pois 3 + 18 = 20 + 1.

Observação

Se n é ímpar, o termo ap, equidistante dos extremos, é denominado termo central.

O índice p satisfaz a condição p=n+1

2.

P5. Escrever os quatro primeiros termos de uma sequência que satisfazem a condição:

a) an = 10n – 1, n N * c) an = 1n

, n N * e) an = 2n – 1 , n N *

b) an = 1 + 1n

, n N * d) an = ( 13 )

n

, n N * f) an = n2 – n, n N *

P6. Escreva os seis termos iniciais das sequências dadas pelas seguintes leis:

a) an = 3n – 2, n 1 c) cn = n (n + 1), n 1 e) en = n3, n 1

b) bn = 2 3n, n 1 d) dn = (-2)n, n 1 f) fn = √n , n 1

P7. Escrever os seis termos iniciais das sequências dadas pelas seguintes fórmulas de recorrência:

a) a1 = 5 e an = an – 1 + 2 , n 2

b) b1 = 3 e bn = 2 bn – 1 , n 2

c) c1 = 2 e cn = (cn – 1)2, n 2


d) d1 = 4 e dn = (-1)n dn – 1, n 2

e) e1 = -2 e en = (en – 1)n, n 2

f) f1 = -2 e fn = fn – 1 + n, n 2

g) g1 = 1 e gn = gn – 1 + 10n – 1 , n 2

P8. Escrever a sequência de:

a) cinco termos na qual cada termo é igual à soma dos números naturais menores que o índice;

b) seis termos na qual cada termo é igual à quantidade de divisores positivos do índice.

P9. Descreva por meio de uma fórmula de recorrência cada uma das sequências abaixo:

a) (3, 6, 9, 12, 15, 18, ...) c) (1, -1, 1, -1, 1, -1, ...) e) (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)

b) (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...) d) (5, 6, 7, 8, 9, 10, ...) f) (1, 7, 17, 31, 49, 71 ...)

P10. A definição por recorrência { a1=4e

ap=ap−1+5 , com p N, pode definir uma sequência.

Determine essa sequência.

P11. Determine o segundo e o quarto termo da sequência dada pela lei an = 1 + n2, com n N *.

P12. Escreva a sequência cuja lei de formação é an = an – 1 - 13 , com n N * e n > 1, sendo

a1 = 2.

P13. A lei de formação de uma sequência é an=n−1

2 , com n N *. Qual é o termo dessa

sequência cujo valor é 4 ?

P14. Dada a sequência an=22n−1

2 , com n N *, determine: a1 + a5.

P15. Escreva a sequência cujos termos são definidos por:

{ a1=12

an+1=an

2, sen∈ {1 ,2 ,3 ,4 }


P16. Escreva a sequência definida por an={2n+3 , se né par3n , se né ímpar

, sendo n {1, 2, 3, 4, 5}.

P17. Escreva a sequência definida por:

a) an = 3n – 5 e n {1, 2, 3, 4}

b) an = 5n2 – 3n + 1 e n N *

c) an = n (-2)n e n N * e n 4

P18. Ache o 5º termo da sequência definida por:

an=n∙ (n−3)

2 , com n N *.

P19. Escreva a sequência definida por:

{ a1=2

an+1=3an−1 ,comn∈N ¿ en≤5

P20. Considere a sequência definida por: f(n) = (-1)n, com n N.

a) Ache os 6 primeiros números da sequência, para valores pares de n;

b) Calcule a soma dos p primeiros números da sequência dada, para valores pares de n;

c) Escreva os 7 primeiros números da sequência dada, para valores ímpares de n;

d) Calcule a soma dos p primeiros números da sequência dada, para valores ímpares de n.

P21. A sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) é chamada de sequência de Fibonacci. Ela é definida pela função:

f (n )={ f (1 )=f (2 )=1f (n+1 )=f (n−1 )+f (n ) , sen>2

Calcule f(10).

P22. Dadas as sequências an = 5n – 4 e bn = 3n2 – 2n + 1, com n N *, determine o valor de a5 + b4.


1. an é usado para indicar o enésimo elemento, isto é, o termo de posição n;

2. an representa o termo geral da sequência;

3. an representa um termo qualquer da sequência;

4. an – 1 representa o termo anterior a an, e an + 1 o termo posterior a an.

5. Uma sequência é um conjunto de números ordenados de tal forma que possamos dizer qual é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante.

6. Uma sequência pode ser denominada também como uma SUCESSÃO.

7. Soma e produto de uma sequência

A soma dos termos de uma sequência (somatório) pode ser escrita condensadamente utilizando-se o símbolo (somatório).

Exemplos:

a. ∑i=1

3

(2 i) (lê-se: somatório de i de 1 até 3 de 2i). Assim:

∑i=1

3

(2 i)=2 ∙1+2∙2+2 ∙3=2+4+6=12.

b. ∑i=4

6

(i¿¿2)¿ (lê-se: somatório de i de 4 até 6 de i2). Assim:

∑i=4

6

(i¿¿2)=42+52+62=16+25+36=77 .¿

Observação:

A soma dos termos de uma sequência denomina-se uma SÉRIE.

Analogamente, define-se produtório, . Assim, dada a sequência aj, j N *, o produto dos termos desta sequência é simbolizado por:

∏j=1

n

(a¿¿ j)=a1∙ a2 ∙a3∙⋯ ∙ an .¿

Exemplos:


a. ∏i=1

6

(2 i+1) (lê-se: produtório de i de 1 até 6 de 2i + 1). Assim:

∏i=1

6

(2 i+1)= (2∙1+1 ) ∙ (2 ∙2+1 ) ∙ (2∙3+1 ) ∙ (2 ∙4+1 ) ∙ (2∙5+1 ) ∙ (2 ∙6+1 )=¿3 ∙5 ∙7 ∙9 ∙11 ∙13=135135.

b. ∏i=3

5

( i2 ) (lê-se: produtório de i de 3 até 7 de i/2). Assim:

∏i=3

7

( i2 )=32∙

42∙52∙

62∙72=2520

32.

P23. Calcule os seguintes somatórios e produtórios:

a¿∑i=1

4

(2 i+2 )=¿¿

b¿∑i=3

6

( i+1 )=¿¿

c ¿∑i=2

5

(i2+1 )=¿¿

d ¿∑i=1

4

(10i )=¿

e ¿∑i=0

6 [( i2 )2]=¿

f ¿∑i=1

6

( i3 )=¿¿

g¿∏i=1

4

(2 i )=¿¿


h¿∏i=1

5

(i2)=¿¿

i ¿∏i=0

6

(i+1 )=¿¿

j ¿∏i=2

7

(2i )=¿¿

l ¿∏i=1

3

[ (i+1 )2 ]=¿¿

m ¿∏i=1

5

(ii )=¿¿

T1. (PUC – SP) Na sequência (a0, a1, a2, ...), onde a0 = 1 e an + 1 = an + n, para todo n N, a soma dos sete primeiros termos é:

a) 41 b) 42 c) 43 d) 63 e) 64

T2. Na sequência an = 2 + 3n, com n N *, o valor de a20 – a8 é:

a) 88 b) 42 c) 36 d) 84 e) n.d.a.

T3. (Uneb – BA) Os termos de uma sequência são definidos por an + 1 = an (2n – 1 + 1). Se a3 = 3, então a5 é igual a:

a) 105 b) 459 c) 119 d) 135 e) 384

T4. Os termos da famosa sequência de Fibonacci são definidos por an + 1 = an + an – 1, em que a1 = a2 = 1, com n N * e n 2. O valor do termo a11 é:

a) 55 b) 76 c) 89 d) 144 e) n.d.a.

T5. Encontre o quinto termo da sequência:

{ a1=−3

an=(−1 )n ∙ an−1 , comn∈N ¿e n>1

a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5


T6. Em uma sequência cujo termo geral é an=n2

10−n , com n N *, n < 10, qual a posição do

número 32 ?

a) 5ª b) 6ª c) 7ª d) 8ª e) 9ª

T7. (PUC – RS – 80) Na sequência ( 12,58,

34,78, x , y z ,…), os valores de x, y e z são,

respectivamente:

a) 1 ,98,

54

c) 54,

98,

74

e) 114

,98,

134

b) 14,38,

54

d) 94,138

,114

T8. (U.F. SE – 84) O 30º termo da sequência (1 ,−13,15,−1

7,…) é:

a) −161

b) −159

c) 1

30 d)

159

e) 1

61

T9. (U.C. SALVADOR – 92) Considere a sequência (1 ,−12,13,−1

4,15,…) na qual um termo e

seu sucessor têm sinais opostos e denominados consecutivos. O décimo terceiro termo dessa sequência é:

a) −114

b) −113

c) −112

d) 1

12 e)

113

T10. (U.E. CE – 81) Os termos da sucessão a1, a2, ..., an estão relacionados pela fórmula an + 1 = 1 + 2an , onde n = 1, 2, 3, ... . Se a1 = 0, então a6 é:

a) 25 b) 27 c) 29 d) 31 e) 35

T11. (PUC – SP – 81) Na sequência (a1, a2, ..., ...) tem-se: a1 = 1 e an + 1 = 2+an

2

2an

. Qual dos

números abaixo está mais próximo de a3 ?

a) 1 b) 2 c) √2 d) √3 e) √5

T12. (U.F. BA – 81) Sejam as sequências { a1=4

an+1=2an

+1 e { b1=5

bn+1=1

1+bn

. Se P = a4 b4, tem-se:

a) P < 0 b) 0 P < 1 c) 1 P < 2 d) 2 P < 3 e) P 3


T13. (U.E. CE – 80) Considere a sequência de números reais definida por

an={n+12

, se né ÍMPAR

an−1 , se né PAR n {1, 2, 3, ... }

Então o produto dos seis primeiros termos da sequência é igual a:

a) 48 b) 30 c) 36 d) 42 e) 48

T14. (F.C.M. STA – CASA – 80) Considere uma sucessão de 46 termos tal que cada termo é da forma P + n, com P igual ao produto de todos os números primos menores ou iguais a 53, ou seja: P = 2 3 5 ... 53, e n assumindo sucessivamente os valores 2, 3, 4, 5, 6, ..., 47.

Seja N o número de termos da sucessão P + n que são primos; então N é igual a:

a) 15 b) 1 c) 16 d) 0 e) 2

T15. A soma dos termos que são números primos da sequência cujo termo geral é dado por an = 3n + 2, para n natural, variando de 1 a 5, é:

a) 10 b) 16 c) 28 d) 33 e) 36

P1. a2=14, a4=

116

e a6=1

64

P2. 14

P3. -1

P4. a) 2 b) 12

P5. a) (9, 99, 999, 9999, ...) c) (1 ,12,13,14,…) e) (1, 2, 4, 8, …)

b) (2 ,32,

43,54,…) d) ( 1

3,

19,

127

,1

81,…) f) (0, 2, 6, 12, …)


P6. a) (1, 4, 7, 10, 13, 16) c) (2, 6, 12, 20, 30, 42) e) (1, 8, 27, 64, 125, 216)

b) (6, 18, 54, 162, 486, 1458) d) (-2, 4, -8, 16, -32, 64) f) (1 ,√2 ,√3 ,2 ,√5 ,√6 )

P7. a) (5, 7, 9, 11, 13, 15) d) (4, 4, - 4, - 4, 4, 4) g) (1, 11, 111, 1111, 11111, 111111)

b) (3, 6, 12, 24, 48, 96) e) (-2, 22, 26, 224, 2120, 2720)

c) (2, 22, 24, 28, 216, 232) f) (-2, 0, 3, 7, 12, 18)

P8. a) (0, 1, 3, 6, 10) b) (1, 2, 2, 3, 2, 4)

P9. a) a1 = 3 e an = an – 1 + 3, n 2 d) d1 = 5 e dn = dn – 1 + 1, n 2

b) b1 = 1 e bn = 2 bn – 1, n 2 e) e1 = 0 e en = en – 1 + 1, n 2

c) c1 = 1 e cn = (-1)n – 1, n 2 f) f1 = 1 e fn = 2 n2 – 1 , n 2

P10. (4, 9, 14, 19, 24, ...)

P11. a2 = 5 e a4 = 17

P12. (2 ,53,

43,1 ,

23,…)

P13. O nono termo

P14. 17√2

P15. ( 12,14,18,

116

,1

32 )P16. (3, 7, 9, 11, 15)

P17. a) (-2, 1, 4, 7) b) (3, 15, 17, ...) c) (-2, 8, -24, 64)

P18. 5

P19. (2, 5, 14, 41, 122)

P20. a) 1, 1, 1, 1, 1 e 1 b) p c) -1, -1, -1, -1, -1, -1 e – 1 d) –p

P21. 55

P22. 62

P23. a) 28 b) 22 c) 58 d) 11110 e) 914

f) 441 g) 384 h) 14400 i) 5040

j) 134217728 l) 576 m) 86400000


T1. B T8. B

T2. C T9. E

T3. D T10. D

T4. C T11. C

T5. C T12. C

T6. D T13. C

T7. A T14. D

T15. D


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