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FGV – adm – discursiva – 24/outubro/2010

CPV o cursinho que mais aprova na GV

matemática aplicada

01. Ográficonoplanocartesianoexpressaaaltadospreçosmédiosdetelevisoresdetelaplanaealtadefinição,domodelo“LCD,fullHD,32polegadas”,antesdaCopadoMundonaÁfricadoSulesuaquedaapósoinício.OspontosA,A’eCsãocolineares.

Demonstrequeopreçomédiodessemodeloemagostode2010foi8,3%menor,aproximadamente,queopreçomédiodomesmomodeloemmaiode2010.

Resolução:

Aequaçãodareta↔AA édadapory=mx+n

m=∆∆yx=

−−

2500 23501 2 \m=–150Þy=–150x+n

SubstituindoopontoA,temos: 2500=–150.1+n\n=2650Þy=–150x+2650

Assim,nomêsdeagostoopreçoserá: yC=–150.3+2650\yC=2200

Sendopaporcentagemderedução,temos: 2400.(1–p)=2200\ p @ 8,3%

02. Nos últimos anos, o salário-mínimo tem crescido maisrapidamentequeovalordacestabásica,contribuindoparaoaumentodopoderaquisitivodapopulação.Ográficoabaixoilustraocrescimentodosalário-mínimoedovalordacestabásicanaregiãoNordeste,apartirde2005.

Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dosvaloresdosalário-mínimoedospreçosdacestabásica,naregiãoNordeste,possamseraproximadosmediantefunçõespolinomiaisdo1ºgrau,f(x)=ax+b,emquexrepresentaonúmerodeanostranscorridosapós2005.

a) Determineasfunçõesqueexpressamoscrescimentosanuaisdosvaloresdosalário-mínimoedospreçosdacestabásica,naregiãoNordeste.

Resolução: Paraosalário-mínimo(f(x)),ocoeficienteangulardaretaé

dadopor∆∆yx=

−−

510 3005 0

=42. Ocoeficientelineardaretaé300. Assim,f (x) = 42x + 300

Paraacestabásica(g(x)),ocoeficienteangulardaretaédado

por∆∆yx=

−−

184 1545 0

=6.

Ocoeficientelineardaretaé154.Assim,g(x) = 6x + 154.

b) Emqueano,aproximadamente,umsalário-mínimopoderáadquirircercadetrêscestasbásicas,naregiãoNordeste?Dêarespostaaproximandoonúmerodeanos,após2005,aointeiromaispróximo.

Resolução: Queremos: f(x)=3.g(x)Þ42x+300=3.(6x+154) 24x=162Þ x=6,75@ 7anos Portanto,osalárioserásuficienteparacompraraproximadamente

3cestasbásicasnoanode2012.

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03. a) Por volta de 1650 a.C., o escriba Ahmes resolviaequaçõescomox+0,5x=30,pormeiodeumaregradetrês,quechamavade“regradofalso”.Atribuíaumvalorfalsoàvariável,porexemplo,x=10,10+0,5. 10=15emontavaaregradetrês:

Valorfalso Valorverdadeiro 10 x 15 30

1015 30

=x→x=20

ResolvaesteproblemadoPapiroAhmespelométodoacima:

“Umaquantidade,suametade,seusdois terços, todosjuntossomam26.Qualéaquantidade?

Resolução: Doenunciadotemosaseguinteequação:

x+x x2

23

+ =26

Eutilizandoaregradofalsocomx=6,6+3+4=13: Valorfalso Valorverdadeiro 6 x 13 26

\ 613 26

=x Û x = 12

b) OmatemáticoitalianoLeonardodePisa(1170-1240),maisconhecidohojecomoFibonacci,propunhaeresolvia,pelaregradofalso,interessantesproblemascomoeste:

“Umleãocaiemumpoçode5017 pésdeprofundidade.

Pééumaunidadedemedidadecomprimento.Elesobeumsétimodeumpéduranteodiaecaiumnonodeumpéduranteanoite.Quantotempolevaráparaconseguirsairdopoço?”

Resolvaoproblemapelaregradofalsooudomodoquejulgarmais conveniente.Observe que, quando o leãochegaraumsétimodepédabocadopoço,nodiaseguinteeleconseguesair.

Resolução: Considerandoqueaosubir50pés,nopróximodiaoleãosairá

dopoço,temosaequação:

I. 17

19

x x- =50Ûx=1575dias Portanto,oleãolevará1576 diasparasairdopoço. Outra forma: Pelaregradofalsoeutilizandox=63naequaçãoI: Valorfalso Valorverdadeiro 63 x 2 50

632 50

=x

Ûx=1575dias.

Portanto,oleãolevará1576 diasparasairdopoço.

04. Aotentarencontraraintersecçãodográficodeumafunçãoquadráticacomoeixox,umalunoencontrouassoluções:2+ i e 2– i .Quais sãoascoordenadasdovérticedaparábola?Sabe-sequeacurvainterceptaoeixoynoponto(0,5).

Resolução:

Comotemossuasraízes,podemosexpressarf(x)naforma f(x)=a(x–(2+i)).(x–(2–i))Þf(x)=a.(x2–4x+5).

Comof(0)=5,temos:5=a.(02–4.0+5)Þa=1.

Logof(x)=x2–4x+5;xV=− −( )42 1. =2eyV=f(2)=1.

Destaforma,V = (2; 1).

05. Consideretrêstrabalhadores.Osegundoeoterceiro,juntos,podemcompletarumtrabalhoem10dias.Oprimeiroeoterceiro,juntos,podemfazê-loem12dias,enquantooprimeiroeosegundo,juntos,podemfazê-loem15dias.Emquantosdias,ostrêsjuntospodemfazerotrabalho?

Resolução: Tempoquecadaumdostrabalhadorescompletamaobra: 1otrabalhador–xdias 2otrabalhador–ydias 3otrabalhador–zdias

Definindo:rendimento=trabalhotempo ÞR=

Tt

Quandoostrabalhadoresproduzememdupla,podemossomarosrendimentos:

R1+R2=Rtotal Û Tt

Tt

Tttotal1 2

+ = Û

1 1 1

1 2t t ttotal+ =

Assim:

1 1 110

1 1 112

1 1 115

y z

x z

x y

+ =

+ =

+ =

Somandotodasasequaçõesmembroamembro,temos:

2 2 2 110

112

115x y z

+ + = + +

2 1 1 1 1560x y z

+ +

= \ 1 1 1 15

120x y z+ + =

\ 1 1 1 1

8x y z+ + =

\ juntos, os três completam o trabalho em 8 dias.

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06. a) Emumlaboratório,umacaixacontémpequenaspeçasde mesma forma, tamanho e massa. As peças sãonumeradas,eseusnúmerosformamumaprogressãoaritmética:5,10,15,...,500

Seretirarmosaoacasoumapeçadacaixa,qualéaprobabilidade,expressaemporcentagem,deobtermosumnúmeromaiorque101?

Resolução:

TemosaP.A.(5,10,15,20,...,500): an=a1+(n–1). r 500=5+(n–1).5\n=100termos

eumapartedela,outraP.A.(105,110,...,500): ak=a1+(k–1). r 500=105+(k–1).5\k=80termos

Portanto,aprobabilidadeserá:

P(an>101)=80100 \ P (an > 101) = 80%

b) Expliqueporquepodemosafirmarque101!+19nãoéumnúmeroprimo.

Resolução:

101!=1.2.3...19.20...101=19k,istoé,múltiplode19.

Então101!=19ke101!+19=19k+19=19(k+1) queémúltiplode19,portantonão é um número primo.

07. O serviçodecomprasvia internet temaumentadocadavezmais.Ográficoilustraavendaanualdeebooks,livrosdigitais,emmilhõesdedólaresnosEstadosUnidos.

SuponhaqueasvendasanuaisemUS$milhões,possaserestimadaporumafunçãocomoy=a.ekx,emquex=0representaoano2002,x=1,oano2003,eassimpordiante;eéonúmerodeEuler.

Assim,porexemplo,em2002avendafoide7milhõesdedólares.

ApartirdequeanoavendadelivrosdigitaisnosEstadosUnidosvaisuperar840milhõesdedólares?

Useasseguintesaproximaçõesparaesteslogaritmosneperianos:ln2=0,7;ln3=1,1;ln5=1,6

Resolução:

Sex=0,y=7\7=a.ek(0) \a=7entãoy=7.ekx

Em2009(x=7),temosque: 315=7.ek .7 \45=e7k

lne7k=ln45 7k.lne=ln(32 .5) 7k=2ln3+ln5\k=

3 87,

Paraquey>840devemoster

7.ekx>840 ekx>120

lnekx>ln(23 .3.5)\kxlne>3ln2+ln3+ln5

kx>4,8\x> 4 8,k

\x>4 83 87

,, \x>8,84,

istoé,avendairáexceder840milhõesdedólaresa partir de 2011.

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08. a) Determineoquartotermodasequência(a1,a2,a3,...an...)dadapor:an=2an–1+1ea1=1,comn>1.

Resolução: an=2.an–1+1ea1=1 a2=2.a1+1=2.1+1=3 a3=2.a2+1=2.3+1=7 a4=2.a3+1=2.7+1=15\ a4 = 15

b) Ojogo“AtorredeHanói”temsidojogadodesdeoséculodezenove.Éformadoportrêshastesdeplástico,metaloumadeira,diversosanéisdetamanhosdiferenteseconsisteemtransferirereconstruiratorreemtornodeumadasduashastesvazias,masseguindoasregras:

1aSomenteumanelpodesermovidodecadavez. 2aNenhumanelpodeficarsobreumanelmenor.

Paraumatorrecomdoisanéis,omenornúmerodemovimentosnecessáriosparatransferi-laé3.

Useodesenhoabaixoemostrecomotransferirumatorrede3anéisnomenornúmeropossíveldemovimentos.

Resolução:

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2

3

4

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c) Omenornúmerodemovimentosanparatransferirumatorredenanéis,n>1,satisfazarelação:

an + 1 = 2 (an–1 + 1). Qual é o menor número demovimentosnecessáriosparatransferirumatorrecom6anéis?

Resolução: Comoamenorquantidadedemovimentosanparatransferir

umatorredendiscossatisfazarelação:

an+1=2.(an–1+1)

an+1=2an–1+2

an=2an–1+1(I)

Ecomoomenornúmerodemovimentosparatransferirumatorrecomumúnicodiscoé1,temos:a1=1(II)

Por(I)e(II) temosqueomenornúmerodemovimentossegueasequênciaapresentadanoitema.

Portanto,a4=15e,apartirdaí: a5=2.15+1=31 a6=2.31+1=63Þ 63 movimentos

09. a) Demonstrequeasduasequaçõesabaixosãoidentidades. 1a(x+y)2–2xy=x2+y2 2a(x+y).[(x+y)2–3xy]=x3+y3

Resolução: 1a (x+y)2–2xy=x2+2xy+y2–2xy=x2 + y2

2a (x+y).[(x+y)2–3xy]=(x+y).(x2+2xy+y2–3xy) =(x+y).(x2–xy+y2)=x3–x2y+xy2+ +x2y–xy2+y3= x3 + y3

b) Umcavalheiro,tentandopôràprovaainteligênciadeum aritméticomuito falante, propôs-lhe o seguinteproblema:“Eutenho,emambasasmãos,8moedasnototal.Mas,seeucontooquetenhoemcadamão,osquadradosdoquetenhoemcadamão,oscubosdoquetenhoemcadamão,asomadissotudoéonúmero194.Quantasmoedastenhoemcadamão?”

Mesmoquevocêresolvaoproblemaporsubstituiçãoetentativa,façaoqueépedidonoitemC.

Resolução:

Temos: x:númerodemoedasemumadasmãos. 8–x:númerodemoedasnaoutramão.

Assim x+8–x+x2+(8–x)2+x3+(8–x)3=194 8+(x+8–x)2–2.x(8–x)+(x+8–x).[(x+8–x)2– –3.x(8–x)]=194 8+64–16x+2x2+8.(64–24x+3x2)=194 72–16x+2x2+512–192x+24x2=194 26x2–208x+390=0Þx2–8x+15=0 x=3oux=5

Logo,ele tem 3 moedas em uma mão e 5 moedas na outra mão.

c) Expresse o problemamediante um sistema de duasequaçõescomduasvariáveis.

Resolva o sistema de equações usando, se julgarconveniente,asidentidadesdoitemA.

Resolução:

Sendo x:númerodemoedasemumadasmãos y:númerodemoedasnaoutramão

temos:

x+y=8 (x+y)+(x2+y2)+(x3+y3)=194

x+y=8 (x+y)+(x+y)2–2xy+(x+y)[(x+y)2–3xy]=194

x+y=8 8+82–2x.(8–x)+8.(82–3x.(8–x))=194

x+y=8 x2–8x+15=0

x+y=8 x=3oux=5

x=3ey=5 ou x=5ey=3

S = {(3; 5), (5; 3)}

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10.

a) Calculeaáreado losangoABCDcujosvérticessãoos afixos dos números complexos: 3, 6i , –3 e –6i,respectivamente.

b) Quais são as coordenadas dos vértices do losangoA’B’C’D’queseobtémgirando90ºolosangoABCD,emtornodaorigemdoplanocartesiano,nosentidoanti-horário?

c) Por qual número devemos multiplicar o númerocomplexocujoafixoéopontoBparaobteronúmerocomplexocujoafixoéopontoB’?

Resolução:

a) Afiguraacima,consolidaque: AC=6eBD=12 Assim,aáreadolosangoABCDédadapor

AC BD. .2

6 122

= =36

b) AorotacionarmosolosangoABCDde90ºnosentidoanti-horário,obtemosolosangoA'B'C'D',cujascoordenadassãoA'(0;3),B'(–6;0),C'(0;–3)eD'(6;0)ouseja,sãoosafixosdosnúmeroscomplexos3i, –6, –3i e 6.

c) Sendoz=x+yionúmerocomplexoprocurado,temos:

z.6i=–6Þ(x+yi).6i=–6Þ–6y+6xi=–6Þ

6x=0 Þ x=0 \ z = i –6y=–6 y=1

A (3;0)C (–3;0) 0

C'

A'

D'x

B (0;6)

y

B'

D (0;–6)