UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA

QUÍMICA E DE PETRÓLEO – TEQ

FERRAMENTAS NUMÉRICO-COMPUTACIONAIS PARA ANÁLISE DO

COMPORTAMENTO DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO

MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PETRÓLEO

LORRAN SANTOS BASÍLIO

NITERÓI

2012

LORRAN SANTOS BASÍLIO

FERRAMENTAS NUMÉRICO-COMPUTACIONAIS PARA ANÁLISE

DO COMPORTAMENTO DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao

Curso de Graduação em Engenharia de Petróleo da

Escola de Engenharia da Universidade Federal

Fluminense, como requisito parcial para obtenção

do Grau de Bacharel em Engenharia de Petróleo.

Orientadores: Fernando Cunha Peixoto, D. Sc.

Sergio Henrique Guerra de Sousa, M. Sc.

NITERÓI

2012

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, a Deus por estar sempre ao meu lado, guiando meu caminho,

protegendo-me dos perigos e abençoando-me em todos os sentidos de minha vida.

A meus pais, Ana Marcia Rodrigues Santos Marcelino e Mauro César Viana Basílio,

por todos os cuidados a mim prestados, por toda a excelente educação provida, pelo

amor incondicional concedido e pela confiança prestada em todas as decisões tomadas.

A minha irmã, Débora Paula Santos Marcelino, por mostrar o exemplo de pessoa

dedicada, responsável e amorosa a ser com a família.

A todos os meus amigos que estiveram sempre ao meu lado em minha jornada até

conseguir finalizar minha graduação.

A Fernando Cunha Peixoto por além de ser um profissional exemplar, responsável e

competente, ser uma pessoa amiga e companheira em toda a minha vida acadêmica.

Aos amigos e companheiros de turma durante o período universitário que me

acompanharam nessa trajetória de vitórias e derrotas, mas sempre mantendo a cabeça

erguida para os próximos desafios.

iii

Noite a fora que me cobre

Negra como um breu de ponta a ponta,

Eu agradeço, a quem forem os deuses

Por minha alma incansável.

Nas cruéis garras da circunstância

Eu não fiz cara feia ou sequer gritei.

Sob as pauladas da sorte

Minha cabeça está sangrenta, mas não rebaixada.

Além deste lugar de raiva e lágrimas

É iminente o horror da escuridão,

E ainda o avançar dos anos

Encontra, e me encontrará, sem medo.

Não importa o quão estreito seja o portão,

O quão carregado com castigos esteja o pergaminho,

Eu sou o mestre de meu destino;

Eu sou o capitão de minha alma.

(Nelson Mandela)

iv

Resumo da Dissertação apresentada à UFF como parte dos requisitos necessários para

obtenção do grau de Graduado em Engenharia de Petróleo.

FERRAMENTAS NUMÉRICO-COMPUTACIONAIS PARA ANÁLISE

DO COMPORTAMENTO DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO

Lorran Santos Basílio

Junho/2012

Orientadores: Fernando Cunha Peixoto, D. Sc.

Sergio Henrique Guerra de Sousa, M. Sc.

Departamento: Engenharia de Petróleo

O estudo de reservatórios de petróleo é permeado por dificuldades de diversas

naturezas, tais como a previsão de propriedades físicas e/ou físico-químicas, a

reconciliação de balanços de materiais a dados de históricos de produção e a previsão da

contribuição de aquíferos. Este trabalho utilizou técnicas numéricas e computacionais

para auxiliar na solução de alguns destes problemas, tais como o critério estatístico de

Máxima Verossimilhança, métodos de otimização tipo Quasi-Newton (BFGS) e

metaheurístico de Simulated Annealing. Como cada ferramenta apresenta características

particulares, pretendeu-se estudar casos para correlacioná-los com tais características,

analisando seus pontos positivos e negativos. Em linhas gerais, todos envolveram

processos iterativos sobre a função objetivo obtida da Máxima Verossimilhança, obtida

a partir de balanços materiais do reservatório em questão ou de modelos empíricos de

ajuste de histórico. Contribuições inéditas foram feitas no que se refere à região de

busca bem como ao tratamento dos erros finais dos ajustes.

v

Abstract of essay presented to UFF as a partial fulfillment of the requirements for the

degree of graduated in Petroleum Engineering.

NUMERICAL AND COMPUTATIONAL TOOLS FOR ANALYSIS

OF PETROLEUM RESERVOIRS BEHAVIOR

Lorran Santos Basílio

June/2012

Advisors: Fernando Cunha Peixoto, D. Sc.

Sergio Henrique Guerra de Sousa, M. Sc.

Department: Petroleum Engineering

Petroleum reservoir study presents difficulties of various kinds, such as physical and/or

physicochemical properties prediction, reconciliation of material balances to production

historical data and aquifer contribution estimation. This work intends to use numerical

and computational techniques to assist the solution of some of these problems, like the

statistical criterion of Maximum Likelihood, optimization methods of Quasi-Newton

type (BFGS) and the Simulated Annealing metaheuristics. Once each tool presents its

own particular features, the work used case studies to correlate these features, analyzing

its positives and negatives aspects. Basically, all of the solutions involved iterative

procedures on the objective function obtained with the Maximum Likelihood criteria,

material balances of the reservoir in study or empiric models for historical adjustment.

Unpublished contributions have been made in search space aspects, as well as in the

treatment of fittings’ final errors.

vi

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Ciclo de vida de um reservatório (Satter et al., 2000).....................................1

Figura 2 – WLLN (Weak Law of Large Numbers).........................................................3

Figura 3 – Produção ao longo do tempo sob ação dos três tipos de taxas de declínio.....6

Figura 4 – Pontos de máximo e mínimo da função sen(x) com D=[0,2π].....................14

Figura 5 – Estimador coerente e não-tendencioso..........................................................19

Figura 6 – Gráfico da função exp(x) e ln(x)...................................................................21

Figura 7 – Resultado do ajuste do modelo do Caso 01 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)...............................................................................32

Figura 8 – Resultado do ajuste do primeiro modelo do Caso 02 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)......................................................34

Figura 9 – Resultado do ajuste do segundo do modelo do Caso 02 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)......................................................35

Figura 10 – Resultado do ajuste do Caso 03 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)..........................................................................................38

Figura 11 – Resultado do ajuste do modelo da Equação ( do Caso 04 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)......................................................40

Figura 12 – Resultado do ajuste do modelo da Equação ( do Caso 04 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)......................................................40

Figura 13 – Resultado do ajuste do modelo da Equação ( do Caso 04 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)......................................................41

vii

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Dados de produção do reservatório de óleo do estudo de caso 01...............30

Tabela 2 – Dados de produção do reservatório de gás do estudo de caso 02.................33

Tabela 3 – Dados de produção do reservatório do estudo de caso 03............................35

Tabela 4 – Dados de histórico de produção do poço do estudo de caso 04....................39

Tabela 5 – Resultados dos modelos ajustados para o Caso 04.......................................39

Tabela 6 – Valores da constate dos gases reais em diversas unidades...........................50

viii

NOTAÇÃO

gB → fator volume-formação do gás

ginjB → fator volume-formação do gás injetado

oB → fator volume-formação do óleo

tB → fator volume-formação total do óleo

tiB → fator volume-formação total do óleo inicial

wB → fator volume-formação da água produzida

winjB → fator volume-formação da água injetada

fc → compressibilidade da formação

wc → compressibilidade da águaCOV → matriz variância-covariância do modelo

1COV −→ matriz variância-covariância inversa do modelo

injG → volume acumulado de gás injetado (condições padrão)

pG → volume acumulado de gás produzido (condições padrão)

)(H kθ → matriz Hessiana do modelo na iteração kJ → índice de produtividade do aquífero

)(J kθ → matriz jacobiana do modelo na iteração kk → índice da iteraçãon → quantidade de parâmetros do modeloN → volume original de óleo (condições padrão)

pN → volume acumulado de óleo produzido (condições padrão)

0P → pressão de referência, equivalente a 14,7 psia (1 atm)

( ) MPSSaP → pressão média do aquífero, usando o modelo pseudopermanente modificado de Leung( ) PSSaP → pressão média do aquífero, usando o modelo pseudopermanente

iP → pressão inicial média do reservatório

ip → peso referente ao parâmetro i( )tP → pressão média do reservatório em função do tempo t

( )θP → função densidade de probabilidade de θ

tP → pressão média do reservatório no instante t

0q → vazão inicial de produção

pR → razão gás/óleo acumulada

sR → razão de solubilidade gás/óleo ou razão gás/óleo de solução

siR → razão de solubilidade gás/óleo ou razão gás/óleo de solução inicial

ix

wiS → saturação inicial de água ou de água conatat → tempo

0T → temperatura de referência, equivalente a 520R (60ºF)T → temperatura no instante t

iV → volume inicial no reservatório de óleo, gás e/ou água (condições de reservatório)

eW → influxo acumulado de água

pW → volume acumulado de água produzida (condições padrão)

injW → volume acumulado de água injetada (condições padrão)

x

LETRAS GREGAS

α → taxa de declínio instantânea (mês-1, ano-1)

β → taxa de declínio particular do declínio hiperbólico

( )θφ → função objetivo dos parâmetros do modeloθ → vetor de parâmetros a serem estimados

θ~ → vetor estimado dos parâmetros

θ → vetor médio dos parâmetroseθ → vetor experimental dos parâmetroseiθ → valor experimental do parâmetro ikθ → vetor obtido na iteração k

1k+θ → vetor obtido na iteração k+1mθ → vetor dos parâmetros calculados pelo modelomiθ → valor do parâmetro i calculado pelo modelo

iaθ → vetor de avanço do parâmetro i

irθ → vetor de retrocesso do parâmetro i

( )kθφ∇ → vetor gradiente da função objetivo na iteração k

xi

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 1

1.1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS 1

1.2 – ORIGEM DO MÉTODO DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 2

1.3 – AJUSTE DE HISTÓRICO 4

1.3.1 – ANÁLISE DE CURVAS DE DECLÍNIO DE

PRODUÇÃO 5

1.4 – REGRESSÃO POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA 7

1.5 – OTIMIZAÇÃO LINEAR E NÃO-LINEAR 9

1.6 – OUTROS MÉTODOS 11

CAPÍTULO 2 – CONTEXTUALIZAÇÃO METODOLÓGICA DO

PROBLEMA 13

2.1 – CONCEITOS BÁSICOS DE OTIMIZAÇÃO 13

2.2 – COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO 14

2.2.1 – MÉTODOS INDIRETOS 15

2.2.2 – MÉTODO SIMULATED ANNEALING 17

2.3 – OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS MULTIDIMENSIONAIS 17

CAPÍTULO 3 – METODOLOGIA 19

3.1 – CRITÉRIO DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA 19

3.2 – MÉTODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON 22

3.3 – MÉTODO QUASI-NEWTON – BFGS 23

3.4 – MÉTODO SIMULATED ANNEALING 25

CAPÍTULO 4 – ESTUDOS DE CASO 29

4.1 – ESTUDO DE CASO 01 29

4.2 – ESTUDO DE CASO 02 32

4.3 – ESTUDO DE CASO 03 35

4.4 – ESTUDO DE CASO 04 38

CAPÍTULO 05 – ANÁLISES E CONCLUSÕES 42

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 45

ANEXO A - GLOSSÁRIO 50

ANEXO B – LISTAGENS DOS PROGRAMAS 57

xii

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

1.1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A engenharia de reservatórios de petróleo e gás natural procura utilizar

informações a respeito das propriedades da rocha e dos fluidos contidos na formação, a

fim de determinar como este irá se comportar futuramente. Estes dados podem ser

utilizados para melhorar a caracterização do reservatório, caso tenha ocorrido produção.

Assim, o gerenciamento de reservatórios objetiva promover a identificação do potencial

da região, assim como maximizar seus ganhos em todos os setores da indústria de

petróleo (upstream, midstream e downstream).

Com base no ciclo de vida do reservatório, um empreendimento nesta área pode

ser separado, cronologicamente, em: exploração, descoberta, avaliação,

desenvolvimento, produção e abandono. O gerenciamento de reservatórios está

profundamente relacionado às etapas de desenvolvimento e produção, já que envolve a

aquisição de dados e análise destes e, seu constante monitoramento para verificação das

determinações propostas no desenvolvimento (Satter et al., 2000). Uma representação

esquemática destas etapas pode ser vista na Figura 1, abaixo:

Figura 1 – Ciclo de vida de um reservatório (Satter et al., 2000). Uma gestão de sucesso deve cumprir, necessariamente, cinco etapas: (1)

determinar um objetivo (maximizar a produção); (2) construir um plano (aquisição de

dados e análise, modelos numéricos e geológicos, previsão de produção e de reserva,

otimização econômica e etc); (3) instaurar as decisões tomadas, ou seja, o que foi pré-

1

estabelecido no plano; (4) monitorar os resultados, ou seja, comparar com o previsto e

verificar conformidades e, por fim, (5) avaliá-los no sentido de verificar como o

planejamento está de acordo com a performance atual (Satter et al., 2000). Tais etapas

visam fornecer estimativas do desempenho futuro do campo, com base em informações

de seu comportamento passado. Vários modelos e abordagens são passíveis de

aplicação, tais como: combinações de equações de balanços materiais, métodos

analíticos, heurísticos e empíricos. Curvas de declínio de produção, por exemplo, são

úteis caso os dados estejam restritos a informações da relação da vazão com o tempo e

métodos clássicos de ajuste são usados, ou em poços terrestres quando é necessário

apresentar uma estimativa da produção na área e outros métodos são muito caros e/ou

lentos ou, ainda, com elevado número de poços e outros métodos podem se tornar

excessivamente lentos. Balanços mais rigorosos podem ser erigidos quando existe um

detalhamento maior das características da formação, dos fluidos, dos aqüíferos

contíguos, etc. Contudo, todos os métodos compartilham a mesma metodologia geral,

que envolve a manipulação dos parâmetros desconhecidos até que o resultado do

modelo esteja, segundo o critério estatístico de máxima verossimilhança, o mais

próximo possível dos dados experimentais. É óbvio que a complexidade maior

demandará métodos numéricos mais robustos e eficientes, assim como maior

capacidade de processamento. Entretanto, a precisão e acurácia dos parâmetros, obtidos

a partir desses métodos, serão maiores.

Para atingir tais objetivos, o presente trabalho foi organizado na seguinte forma:

o presente capítulo, de introdução, tenta posicionar e contextualizar o problema; o

segundo capítulo proporciona uma contextualização dos elementos de otimização

necessários aos métodos que serão utilizados adiante; o terceiro capítulo descreverá a

metodologia utilizada, no que se refere às ferramentas, critérios e métodos efetivamente

escolhidos para implementação; o quarto capítulo mostrará os estudos de caso

realizados; e, o quinto capítulo efetuará as análises e tecerá as conclusões adequadas.

1.2 – ORIGEM DO MÉTODO DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

Já no século XVIII foram feitas as primeiras investigações sobre o método dos

mínimos quadrados, de maneira declaradamente empírica por parte de Gauss e de

maneira mais sistemática por parte de Legendre (Beck e Arnold, 1977). Tendo

postulado que a função densidade de probabilidade deve ser maximizada para uma 2

distribuição normal dos erros, Gauss forneceu fundamentos estatísticos ao método dos

mínimos quadrados e antecipou sua generalização, o método da máxima

verossimilhança (Bard, 1974).

A partir disso, trabalhos no âmbito dos aspectos computacionais do ajuste por

mínimos quadrados foram sendo desenvolvidos ao longo do século XIX. Gauss,

Cauchy, Bienaymé, Gram, Schmidt, Chebyshev são alguns dos estudiosos que se

destacaram por suas contribuições ao conceito da otimização e estimação de parâmetros.

(Seal, 1967; Himmelblau, 1970; Bard, 1974).

Chebyshev é conhecido por seu trabalho no campo da probabilidade, estatística e

teoria dos números, tendo formulado a desigualdade que leva seu nome e que postula

que se X é uma variável randômica com desvio padrão σ, a probabilidade do resultado

de X não ser menor do que (aσ) longe de sua média não é maior do que 1/a², onde a é

um número real e positivo (Chebyshev, 1850). Tal desigualdade é utilizada para

comprovar a WLLN (Weak Law of Large Numbers), que diz que quanto mais tentativas

são realizadas na busca do melhor valor, a média da amostra converge para este valor

procurado, o que também antecipa importante conceito: o de coerência e ausência de

tendência estatística. Esse comportamento pode ser observado na Figura 2 abaixo, para

o caso de lançamentos sucessivos de um dado não-viciado.

WLLN

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

1 12 23 34 45 56 67 78 89 100

111

122

133

144

155

166

177

188

199

Tentativas

Méd

ias

y=3,5Médias

Figura 2 – WLLN (Weak Law of Large Numbers)

A partir do início do século XX, Karl Pearson e Ronald Aylmer Fisher tiveram,

como objetivo de estudo, o desenvolvimento de métodos estatísticos de obtenção de

3

parâmetros. O desenvolvimento do método da máxima verossimilhança é creditado a

Fisher, incluindo análises de propriedades de estimação como, por exemplo, eficiência,

suficiência e consistência, mesmo tendo se baseado nas ideias de Gauss (Seal, 1967;

Himmelblau, 1970; Bard, 1974).

Geralmente, os exemplos reais resultavam em problemas de otimização não-

linear de porte, demandando a utilização dos métodos de otimização eficientes e

robustos. Até hoje, para alguns casos, são necessários algoritmos especificamente

desenvolvidos, mas, com o advento dos computadores, essa dificuldade tem sido

contornada, ainda que os tempos de processamento sejam elevados (Bard, 1974).

Com o passar dos anos, nota-se o aumento do número de artigos publicados na

área, fato que demonstra o grande impacto causado pelo desenvolvimento

computacional na área de estimação de parâmetros. Como uma exemplificação, de 1945

a 1954, apenas 0,001% do total de artigos eram referentes a estimação de parâmetros.

Mais recentemente, cerca de 0,115% do total de artigos são referentes à estimação de

parâmetros.

1.3 – AJUSTE DE HISTÓRICO

Neste procedimento, o objetivo é a determinação dos parâmetros do reservatório

e/ou aquífero, bem como a discriminação do modelo de influxo de água. Para uma

futura previsão do comportamento do reservatório, podem ser utilizados o modelo do

aquífero e o volume de óleo e/ou gás presentes originalmente no reservatório, estes

podendo ser objetos de ajuste.

Este ajuste é realizado a partir da aplicação de um modelo matemático descrito

por equações de balanço material ou ajuste de histórico de produção, até que o valor

calculado pelo modelo apresente variância fundamental mínima. Assim, é possível

encarar o processo de ajuste de histórico como um processo de otimização, onde se

procura determinar o ponto onde os desvios sejam os menores possíveis, ou seja, os

dados calculados e os experimentais apresentem a máxima verossimilhança.

As equações utilizadas podem atender modelos de gás, de gás condensado ou de

óleo, carbonáticos ou areníticos, modificando, assim, a expressão de sua equação, visto

que cada reservatório apresenta suas particularidades. A inclusão dessas expressões

garante uma maior confiabilidade no ajuste, pois utilizam características e parâmetros

da região estudada, resultando em elevada aplicabilidade na indústria.4

Em alguns casos, o modelo ajustado pode ser linear ou linearizável, tornando

analítica a solução, por regressão linear. Caso contrário, o estudo do modelo é realizado

a partir de um método de otimização numérica, onde os parâmetros são obtidos de

forma iterativa, alguns dos quais foram apontados neste trabalho.

1.3.1 – ANÁLISE DE CURVAS DE DECLÍNIO DE PRODUÇÃO

Trata-se de um método simplificado para previsão de comportamento de poços

isolados, bem como em análises de campos como um todo. Como demanda menos

tempo de processamento, é utilizado em estudos preliminares, como testes de longa

duração em poços exploratórios. Sua utilização é justificada pela inviabilidade dos

modelos analíticos, já que não há dados suficientes que promovam um modelo

adequado (Campbell, J.M., 1959; Slider, H.C., 1976). Por ser baseado em modelos

empíricos, o método apresenta dados facilmente ajustáveis, permitindo análise gráfica

trivial, bem como análises bastante simples.

Como dito, um modelo empírico para a taxa de declínio de produção deve ser

arbitrado. Este, por sua vez, serve tanto para a previsão do comportamento da vazão

como da recuperação de óleo do reservatório. Em linhas gerais, a taxa de declínio é

definida como o inverso da vazão multiplicado pela variação desta com o tempo:

dtdq

q1−=α (

Onde o sinal negativo é utilizado, convencionalmente, pelo fato da vazão ser

decrescente, conferindo, à taxa, um valor positivo. Outras formas de obter essa taxa são

a partir das análises do comportamento de poços e/ou campos semelhantes (poços de

correlação), ou mesmo do comportamento passado do poço.

Três modelos arbitrários e empíricos são tradicionalmente propostos (Cronquist,

2001). O primeiro é a taxa de declínio harmônica, no qual a taxa diminui contínua e

linearmente com a vazão, podendo voltar a aumentar caso seja empregado alguma

operação de estimulação no poço, aumentando, assim, sua vazão e, consequentemente,

diminuindo sua taxa de declínio de produção. É o tipo mais favorável, porém é o que

menos ocorre, exceto em reservatórios com mecanismo de influxo de água bastante

acentuado:

( ) ( )1t.q

tq 0

+α= (

5

Um segundo tipo é a taxa de declínio exponencial, que pode ser definida como o

declínio percentual efetivo ou constante, que, em termos matemáticos, expressa o

conceito de taxa de perda incremental. Geralmente, ocorre em reservatórios produzindo

sob o mecanismo de gás em solução, ou no final da vida produtiva de reservatórios. É

possível afirmar que reservatórios que seguem este padrão apresentam baixas

recuperações finais (Matthews e Lefkovits, 1956 apud Cronquist, 2001):

( ) t0eqtq α−= (

O último é a taxa de declínio hiperbólica, adequada à produção em poços onde a

razão água/óleo do reservatório diminui com o tempo, reservatórios de óleo com

drenagem gravitacional com capa de gás e na fase inicial de campos de gás (Matthews e

Lefkovits, 1956, apud Cronquist, 2000, Wong e Ambastha, 1995, apud Cronquist,

2000:

( )( ) βα β+

= 10

t.1

qtq (

A Figura 3, abaixo, apresenta uma comparação entre os tipos de taxa de declínio

de produção:

Curvas de declínio de produção

0100200300400500600700800900

10001100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20tempo (anos)

Vaz

ão (B

OPD

)

HarmônicoHiperbólicoExponencial

Figura 3 – Produção ao longo do tempo sob ação dos três tipos de taxas de declínio

6

1.4 – REGRESSÃO POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA

O objetivo de um procedimento de otimização é maximizar ou minimizar o valor

numérico de uma função. Esse valor pode ser o valor presente líquido esperado de um

projeto, seu custo, o número esperado de visitantes por dia em um parque, o número de

espécies perigosas que serão salvas, dentre outros.

Para tal, uma função chamada função objetivo, que é uma expressão numérica

direta ou indiretamente relacionada às variáveis da otimização, é tomada como índice de

mérito de uma determinada configuração gerada ao longo do processo iterativo de

busca. Tal função atende plenamente ao objetivo de estimação, no qual se deseja obter o

melhor conjunto de parâmetros para descrever um fenômeno. Contudo, é necessário

impor um critério comparativo, priorizando os que levem a resultados com

consequências estatísticas conhecidas, o que é conseguido com a utilização do critério

de máxima verossimilhança.

O critério será detalhado adiante, mas, de maneira geral, baseia-se em maximizar

a probabilidade dos desvios dos pontos experimentais em relação ao modelo aderirem

conjuntamente a uma distribuição de probabilidades arbitrária (Bard, 1974). A

substituição dos valores medidos e do modelo na distribuição (conjunta) dá origem à

função verossimilhança, cujo máximo, então, é procurado mediante manipulação dos

parâmetros presentes no modelo. Quando for obtido o vetor com os parâmetros

maximizantes da função verossimilhança, pode-se afirmar que foi obtido o elenco de

parâmetros que melhor descreve o fenômeno, frente aos dados experimentais e mediante

o critério adotado.

Apesar da aparente simplicidade, tal otimização, via de regra, é complexa e o

método necessita da definição arbitrária de uma função, que é denominada função de

distribuição de probabilidades dos desvios. O emprego dessa função, sendo ela normal

ou gaussiana, tem fundamento teórico considerável e vantajosas consequências

estatísticas (Ratkowsky, 1990).

Como justificativa adicional a esta escolha arbitrária, consideram-se as

características de uma distribuição normal, que são (Bard, 1974): apresentar atração da

média pela região de maior concentração de medidas experimentais; similaridade com

outras distribuições quando o número de medidas é aumentado e ser uma distribuição a

dois parâmetros.

7

Desta forma, a partir da consideração de que os desvios distribuem-se

normalmente, pode-se escrever a função verossimilhança da seguinte forma:

( ) ( )( ) ( ) ( )

θ−θθ−θ−π=θ −

−me1tme

2/n

COV21exp

COVdet2L (

Sabendo que o objetivo é a maximização da função anterior, é possível notar que

a maximização é realizada a partir da minimização da expressão que está no interior da

exponencial, que figura como a função objetivo a ser minimizada. Caso os pontos

experimentais sejam independentes, a matriz de variâncias e covariâncias é diagonal,

tornando a função objetivo uma soma ponderada dos quadrados dos desvios.

Geralmente, os desvios nas variáveis independentes podem ser descartados visto

que elas podem ser controladas com a precisão que for desejada. Entretanto, essas

variáveis podem apresentar desvios da mesma ordem de grandeza das variáveis

dependentes, como em problemas de reconciliação de dados em casos onde são

utilizadas plantas industriais, apresentando papel fundamental neste processo (Kim et

al., 1991a, 1991b).

Além disso, como são usadas médias das réplicas experimentais e a variância da

média é inversamente proporcional ao número de medidas, conclui-se que o método

“suaviza” a informação experimental disponível.

Somente com as hipóteses utilizadas é possível obter o formato final. Entretanto,

Gauss provou que os parâmetros assim obtidos tendem a ser coerentes e os menos

tendenciosos possíveis, não sendo rara a obtenção de parâmetros completamente

coerentes e não tendenciosos. É ainda possível sua extensão a casos multiresposta, mas

a forma de ponderação das várias saídas é ainda mais arbitrária, pois não existe critério

estatístico que embase qualquer proposta.

Quando é realizado o mesmo número de réplicas em todos os pontos

experimentais e não é possível especular sobre a importância relativa aos pontos

experimentais, recupera-se o método dos mínimos quadrados. Em casos em que seja

possível avaliar o erro de medida, pode-se usar um fator de escala (peso), característico

de cada ponto experimental, para estimar a variância fundamental e obter a variância de

cada ponto, a ser usada na posição diagonal correspondente da matriz que, como se

pode notar em (, é parte integrante da função objetivo. Uma prática também comum,

quando não se conhece o erro de medida, é utilizar, como fator de escala, o inverso do

quadrado do valor medido, uma vez que pontos de baixa ordenada estarão muito

8

próximos da precisão do equipamento e são, portanto, pouco confiáveis. Em casos

extremos, principalmente aqueles onde os dados são correlacionados, é possível incluir

os elementos da matriz de variância e covariância no elenco de parâmetros a ajustar,

sendo este um procedimento proibitivamente onerante sob o ponto de vista

computacional (Ricker, 1984).

Sabendo da necessidade de um novo modelo que atendesse essas discrepâncias,

Santos e Pinto (1998) desenvolveram um método iterativo de estimação. Nele, a matriz

de variância-covariância é substituída pela matriz variância-covariância de predição, ou

seja, é calculada uma nova matriz no final de cada iteração. Essa metodologia é repetida

quantas vezes forem necessárias, até que a matriz de predição atinja a convergência ou,

mesmo, esteja tão próximo disso quanto desejado.

Vários métodos podem ser utilizados na solução do problema de otimização

resultante. Dentre eles, o método Quasi-Newton Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

(BFGS), configura-se como bom candidato a ser utilizado em problemas sem grandes

chances de apresentar múltiplos mínimos locais, e o Simulated Annealing, usado em

casos que correm este risco, sendo escolhas adequadas à engenharia de reservatórios. A

começar pela seguinte, seções adiante esmiuçarão, com suficiente grau de detalhe, as

particularidades destas questões.

1.5 – OTIMIZAÇÃO LINEAR E NÃO-LINEAR

Com a utilização de um método de otimização, parece ser fácil a determinação

do ponto que maximiza a verossimilhança. Porém, como tais funções dependem de

várias variáveis, apresentam formas gráficas complexas, além de certas peculiaridades

como pontos de sela e mínimos e/ou máximos locais. Geralmente, isso ocorre em

otimizações de funções objetivo em reservatórios de petróleo, exigindo um estudo

detalhado do método a ser utilizado na determinação das propriedades procuradas.

Primeiramente, é interessante a descrição de pontos de sela e mínimos e

máximos locais. Pontos de sela apresentam esse nome devido ao fato de suas

vizinhanças apresentarem propriedades de máximo e mínimo, dependendo da direção de

busca seguida. Em contraposição a estes, máximos e mínimos locais são definidos como

pontos que apresentam valores superiores e inferiores, respectivamente, às suas

vizinhanças. Eles não são, necessariamente, nem os máximos, nem os mínimos globais

da função, pois, usualmente, em problemas de otimização encontrados na prática, não é 9

possível avaliar valores ótimos sem antes enumerar e avaliar todas as possibilidades de

combinação dos parâmetros de entrada.

São inúmeros os métodos de otimização existentes na engenharia atualmente.

Para uma breve exposição de alguns, podem ser divididos em (Himmelblau, 1972):

a) Métodos analíticos: com as técnicas do cálculo diferencial e, também, do

cálculo de variações, calculam-se os pontos onde as derivadas são nulas. Apresentam

problemas para sistemas não-lineares e de grande dimensão.

b) Métodos gráficos: são restritos a problemas de uma ou duas dimensões,

pois se baseia na observação de uma representação gráfica da função em análise e sua

inspeção direta, proporcionando a demonstração se este ponto ótimo realmente existe ou

não.

c) Métodos numéricos: são capazes de solucionar problemas de grandes

dimensões e não-lineares e utilizam informações prévias para efetuar a otimização, que

é realizada a partir de métodos iterativos.

d) Métodos de Estudo de Caso: a partir de um número considerável de

soluções é realizada uma análise e a melhor destas é considerada como ótima.

e) Métodos experimentais: são capazes de resolver problemas onde a

formulação matemática torna-se muito complexa, pois são baseados na busca, por meio

de experimentos sobre as variáveis do projeto, de um extremo para o problema ao invés

de sua manipulação matemática.

A otimização, quando possível, utiliza-se de recursos analíticos para sua

condução. Entretanto, essa é uma simplificação que, se não for realizada com cuidado,

pode gerar soluções com elevada incerteza em relação às medições experimentais do

problema. Em geral, esses recursos são utilizados quando desvios nas variáveis

independentes não são considerados e/ou quando as não linearidades não são severas.

Embora possua algumas restrições, possuindo resultados aproximados dos

parâmetros e excluindo alguns casos práticos de engenharia, sua utilização ainda é

bastante expressiva devido à base estatística que apresenta. Draper e Smith (1981) são

dois estudiosos que se dedicaram nessas análises e, forneceram uma descrição

esmiuçada do método de estimação de parâmetros.

10

1.6 – OUTROS MÉTODOS

Todos os métodos descritos anteriormente apresentam certas dificuldades em sua

formulação e aplicação. Assim, com o tempo, os métodos heurísticos de otimização

tornaram-se reconhecidos, pois, embora houvesse dificuldades associadas à formulação

do modelo, essas seriam contornadas facilmente por eles.

Esses obstáculos são superados por métodos heurísticos, que apresentam duas

características principais: independem das estimativas iniciais dos parâmetros no

processo iterativo (por seguirem uma cadeia, teoricamente, markoviana) e não calculam

os valores das derivadas da função objetivo de qualquer ordem.

Esses métodos apresentam soluções eficazes e de simples implementação

computacional, o que proporcionou a eles um maior reconhecimento no estudo da

otimização.

Muitas vezes, esses métodos podem ser divididos nas seguintes categorias:

a) Meta-heurísticas: utilizadas para solução de problemas gerais de

otimização, utilizando parâmetros obtidos a partir de certos procedimentos genéricos e

abstratos, esperando que sejam eficientes. São divididas nos seguintes subgrupos:

a.1) De busca por entornos: realiza as buscas com base na vizinhança da

solução que dispõe-se. Exemplos: GLS (Guide Local Search), Simulated Annealing,

Busca Tabu e Busca reativa.

a.2) De relaxação: reduzem a complexidade do problema e, com a solução

encontrada, obtém-se a solução do problema original. Exemplos: Relaxação

Lagrangeana.

a.3) Construtivas: definem de forma minuciosa o valor de cada componente.

Exemplos: GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure).

a.4) Evolutivas: trabalham com um conjunto de soluções que vai sendo

modelado conforme as iterações são realizadas. Exemplos: Algoritmos meméticos,

Algoritmos genéticos, Estimação de distribuição e busca dispersa e Path Relinking.

a.5) Outras meta-heurísticas: de decomposição, Iterated Local Search, Ant

Colony Optimization, Particle Swarm Optimization, Otimização extrema, dentre outros.

b) Hiper-heurísticas: opera com elevado nível de generalidade. Algoritmo

genético, cujo domínio é composto por uma série de heurísticas que, ao serem utilizadas

em conjunto, fornece soluções indiretamente. No total, existem oito versões desta

categoria.11

Neste trabalho, foi estudado o método Simulated Annealing, especificamente,

devido ao fato de ser bastante documentado sob o ponto de vista de implementação.

12

CAPÍTULO 2 – CONTEXTUALIZAÇÃO METODOLÓGICA DO PROBLEMA

Conforme descrito anteriormente, os modelos a serem estudados têm seus

parâmetros ajustados pelo critério de máxima verossimilhança. Este, por sua vez, pode

ser enquadrado num problema de otimização, fato que impulsionou, no presente

capítulo, a descrição de alguns conceitos clássicos desta área, bem como de alguns

métodos comumente utilizados na engenharia de reservatórios.

2.1 – CONCEITOS BÁSICOS DE OTIMIZAÇÃO

Otimização está relacionada com a presunção da existência de um ponto

estacionário de uma função, o qual pode ser tanto o máximo quanto o mínimo, a procura

de sua localização.

Para estabelecer alguns conceitos básicos de otimização, considera-se certa

função f(x) de uma variável. Um ponto estacionário dessa função será o valor de x que

anula a derivada da função:

( ) 0x'f = (

Com isso, encontra-se um valor que, contudo, não pode ser ajuizado como sendo

um máximo ou um mínimo. Para tal, calcula-se a derivada segunda da função f(x) no

ponto encontrado, ou seja:

( )optx''f (

onde xopt é valor de x no qual f’(x) = 0, ou seja, o ponto ótimo.

Essa segunda derivada informa se o ponto é mínimo ou máximo da seguinte

maneira: quando f’’(xopt) < 0 resulta em xopt ser ponto de máximo e f’’(xopt) > 0 resulta

em xopt ser ponto de mínimo, como pode ser observado na Figura 4

A fim de proporcionar uma melhor visualização e entendimento do componente

teórico, foi utilizado o caso onde a função f(x), também chamada de função objetivo,

dependia de apenas uma variável. Contudo, o valor de xopt pode ser um vetor, caso de

particular interesse ao trabalho.

O problema é que, frequentemente, na formulação de problemas de histórico de

produção em engenharia de reservatórios, a função, obtida para esse cálculo, não é

lograda analiticamente, sendo demandados métodos numéricos de busca.

13

Figura 4 – Pontos de máximo e mínimo da função sen(x) com D=[0,2π]

2.2 – COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

Como serão observadas ao longo deste trabalho, as funções objetivo em

engenharia de reservatórios de petróleo são não-lineares e, muitas vezes, obtidas como

resultado de um procedimento e não com uma expressão algébrica. Ou seja, as soluções

dos problemas não são obtidas analiticamente e, caso seja realizada uma aproximação

linear dos modelos utilizados para desenvolvimento da solução, conclusões equivocadas

podem ser obtidas, devido à qualidade questionável da aproximação em questão.

Os métodos de estudo de caso surgem como boas alternativas para a solução dos

problemas em engenharia de reservatórios de petróleo, já que sua descrição é realizada a

partir de métodos heurísticos de otimização. Tornou-se mais expressiva, entretanto, com

o advento de computadores modernos, que possuem elevada capacidade de cálculo, o

que é imprescindível para este tipo de estudo.

Métodos gráficos aparecem como alternativas inviáveis devido as suas

restrições, pois dependem da função objetivo ser representada em uma ou duas

dimensões. De fato, as funções objetivo em engenharia de reservatórios apresentam

diversos parâmetros a serem otimizados, como volume original de óleo e gás no 14

reservatório, porosidade, constante de influxo de água do aquífero, compressibilidade

total da formação, dentre outros.

Métodos experimentais apresentam certa inviabilidade no processo, pois buscam

obter o melhor resultado a partir da experimentação. Logo, como a quantidade de

parâmetros utilizados é extensa, é explicada a inviabilidade deste método.

Os métodos numéricos são, portanto, as melhores opções para o tratamento

desses problemas. A partir de processos iterativos para efetuar a minimização

necessária, podem ser divididos em dois subgrupos: métodos indiretos, os quais utilizam

cálculos de derivadas da função objetivo (por exemplo: Método do gradiente, Método

do gradiente conjugado, Método de Newton, Quasi-Newton); e, métodos diretos, os

quais prescindem do cálculo de derivadas (por exemplo: Hooke-Jeeves, Nelder-Meadou

Método Simplex, Método de Powell).

Com o passar dos anos, outros métodos foram sendo estudados e apresentaram

uma viabilidade considerável quando aplicados nessa área. Esses métodos são

denominados de métodos heurísticos de otimização, por tentarem mimetizar fenômenos

naturais de busca de um mínimo.

2.2.1 – MÉTODOS INDIRETOS

São caracterizados por demandar o cálculo das derivadas de primeira e/ou

segunda ordem da função objetivo em relação aos parâmetros. O mais simples é o

método do gradiente, pois se baseia no cálculo do gradiente da função objetivo, ou seja,

apenas das derivadas de primeira ordem. Como o vetor gradiente, em cada ponto, indica

a direção de maior aumento do valor da função objetivo, parece intuitivo fazer uso da

direção contrária em um problema de minimização, ou seja, o sentido contrário ao

proposto pelo gradiente. Tal método, em sua formulação mais trivial, calcula, a cada

iteração, o vetor gradiente da função, executando, então, um passo na direção contrária

a este (Himmelblau, 1972). As iterações são, então, executadas até que o módulo do

gradiente apresente valor dentro de um intervalo de tolerância previamente

especificado. A eficiência do método é bastante influenciada pelo passo utilizado a cada

iteração, o qual pode levar a oscilações ou a lentidão, tornando-o proibitivo. A fim de

evitar essas dificuldades, foram propostas alternativas que usam buscas unidimensionais

na direção definida pelo gradiente.

15

Uma segunda classe de métodos indiretos baseiam-se no método de Newton-

Raphson para solução do sistema não-linear de equações de ponto estacionário da

função objetivo. Ou seja, o problema de otimização pode ser encarado com uma busca

do ponto que torna nulo o vetor gradiente da função objetivo, formato este adequado a

aplicação do método citado. Entretanto, o cálculo analítico das derivadas da função

objetivo só é viável em problemas simples e aproximações, tanto para o gradiente

quanto para a matriz Hessiana, motivando a criação de sucedâneos conhecidos como

métodos tipo secante ou Quasi-Newton.

Os métodos Quasi-Newton mais comuns são: SR1, BHHH, BFGS (Broyden-

Fletcher-Goldfarb-Shanno) e L-BFGS (BFGS com memória limitada). Neste trabalho,

explorar-se-á o método BFGS mais em detalhes, visto que é uma das ferramentas

utilizadas para estudo do comportamento de reservatórios de petróleo.

Foi provado que o método de Newton apresenta convergência quadrática nas

proximidades da solução (a série de Taylor pode ser reduzida a uma função quadrática

sem prejuízo considerável nas medições), ou seja, o erro em uma iteração é o quadrado

do erro da iteração anterior. Assim, percebe-se que tal método é bastante sensível à

estimativa inicial e vulnerável a instabilidade inicial. Além disso, como é atraído por

ótimos locais, sua robustez é comprometida. Os métodos Quasi-Newton possuem ordem

de convergência entre 1 e 2 e carregam alguns dos problemas mencionados acima. O

teste de algumas estimativas iniciais e o consequente aumento do conhecimento da

função costuma contornar algumas destas dificuldades, restando, como saldo, a

velocidade final de convergência.

Ao invés de propor aproximantes para a matriz Hesseana, a abordagem BFGS

propõe uma aproximação da matriz Hesseana inversa, eliminando a necessidade de

inversão da matriz e diminuindo, consideravelmente, o tempo de processamento. Com a

utilização desta aproximação em diversos casos da engenharia, foi comprovada a

confiabilidade de suas simplificações e é cada vez mais utilizada nos estudos de

otimização não-linear.

Os métodos diretos não serão discutidos, já que não foram utilizados para os

cálculos de otimização nesse estudo.

2.2.2 – MÉTODO SIMULATED ANNEALING

16

Como visto anteriormente, Simulated Annealing é uma meta-heurística que

procura o ótimo global de uma função mimetizando processos encontrados na natureza

(Kirkpatrick et al., 1983): o espaço de busca representa, por analogia, um sistema físico,

sendo que cada ponto expressa um estado desse sistema e a função objetivo, que será

minimizada, é semelhante a energia do sistema em cada estado. O objetivo deste

método é obter o ponto deste sistema físico que apresenta energia interna mínima, em

analogia. Essas comparações são originárias da metalurgia, onde se desejava obter

estados de baixa energia em um processo térmico, chamado de recozimento (annealing)

de ligas metálicas fortes, com estruturas cristalinas sem falhas.

A cada ponto-estado gerado, o valor da função é calculado e, caso tal valor seja

menor do que o mínimo vigente, tal ponto é aceito e o procedimento iterativo continuará

a partir dele; caso a função objetivo seja maior nesse novo ponto, uma análise

probabilística é feita, a fim de decidir sobre a aceitabilidade desta transição. Essa análise

é realizada a partir do cálculo de uma probabilidade de aceitação que depende dos

pontos envolvidos e de um parâmetro T transiente nas iterações e totalmente análogo à

temperatura no processo de recozimento. Para uma maior exploração do espaço de

busca, valores altos para T são admitidos no início, provocando muitas aceitações das

transições para valores onde a função objetivo é maior.

Quanto mais iterações são promovidas, menor é o valor de temperatura utilizado

no cálculo das probabilidades. Quando os valores de T são suficientemente pequenos, o

problema torna-se um procedimento de transição para valores onde a função objetivo

diminui, apenas. Quando T = 0, o método é reduzido ao algoritmo de greedy, que

realiza transições apenas quando a função objetivo é menor no novo ponto.

Caso a opção seja não seguir para o ponto criado, um novo ponto é obtido e uma

nova análise é feita com base nesse novo ponto.

2.3 – OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS MULTIDIMENSIONAIS

Neste caso, a visualização gráfica é comprometida, visto a grande quantidade de

variáveis a representar. Outro fator comprometedor é que demanda mais cálculo

computacional, o que ocasiona um gasto maior de tempo na obtenção dos resultados.

Os métodos desenvolvidos para sua resolução são também classificados em

métodos diretos, que prescindem da avaliação das derivadas da função objetivo e,

métodos indiretos, nos quais essa avaliação é demandada.17

A fim de uniformizar a leitura, algumas entidades serão definidas, mormente

aquelas empregadas nos métodos indiretos. O gradiente de uma função é descrito como

o vetor que representa as variações em que a f(θ1, θ2,..., θn) é submetida a cada variação

em uma direção deste vetor, sejam elas quantas forem, ou seja, um conjunto das

derivadas parciais desta função. Dentre as representações deste vetor, é possível citar:

( )

∂

∂∂

∂∂∂=∇

n21

tθf,...,

θf,

θff (

Que é a forma transposta da expressão do gradiente de f. Euler propôs uma

expressão mais compacta deste gradiente:

( ) ∑ θ∂∂=∇

i

ii

t eff (

A procura de pontos estacionários no contexto multidimensional consiste,

portanto, em procurar o vetor ( )n21 ,...,, θθθ=θ que torne nulo o vetor do gradiente.

Nota-se que este conceito é bastante importante em problemas de engenharia.

Com ele, é possível afirmar qual direção apresenta maiores variações e, assim, o

caminho a ser seguido pode ser definido de maneira exata de acordo com o objetivo

inicial.

Analogamente ao caso unidimensional, é necessário, após a obtenção do ponto

estacionário da função, descobrir se este se trata de um ponto de máximo, de mínimo ou

de sela, que é feito através dos autovalores da chamada Matriz Hessiana de f.

( )fH t ∇∇= →ji

2ij θθ

fH∂∂

∂= (

Caso os autovalores da matriz sejam positivos no ponto estacionário em questão,

ele é um mínimo (pelo menos) local; se todos forem negativos, ele é um ponto de

máximo (pelo menos) local; com alguns positivos e outros negativos, o ponto é de sela.

18

CAPÍTULO 3 – METODOLOGIA

A ordem de apresentação dos assuntos da presente seção segue a hierarquia de

decisão do método: primeiro, o critério estatístico utilizado, máxima verossimilhança;

uma vez que este recai num problema de otimização, e que tal problema pode ser

resolvido pela busca do ponto que anula o gradiente, será abordado, em seguida o

método iterativo de Newton-Raphson; devido à inviabilidade de obtenção analítica das

derivadas, a aproximação BFGS é, a seguir, apresentada; por fim, como alternativa em

caso de possibilidade de existência de múltiplos ótimos locais, é apresentado o método

Simulated Annealing.

3.1 – CRITÉRIO DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA

Tendo sido apresentadas anteriormente a origem histórica deste método, bem

como seus conceitos básicos, cumpre detalhá-lo de forma mais operacional. Antes,

contudo, será melhor detalhado o fato de tal critério produzir estimadores coerentes e de

menor tendência do que outras propostas. Diz-se que um estimador é coerente e não

tendencioso quando seu valor tende para o valor correto quando se aumenta o número

de experimentos e tal se dá com uma variância que tende assintoticamente a zero,

conforme é exemplificado pela Figura 5, abaixo:

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

2 11 20 29 38 47 56 65 74 83 92 101

110

119

128

137

146

155

164

173

182

191

200

209

218

227

236

245

254

263

272

281

290

299

Quantidade de experimentos

Var

iânc

ia

CalculadoCorreto

Figura 5 – Estimador coerente e não-tendencioso

19

O princípio seguido é de que, considerando que os valores medidos

experimentalmente yij estejam distribuídos normalmente em torno do valor correto ξi

com variância σ²εi, as médias experimentais iy apresentam-se distribuídas

normalmente em torno de ξi com variância σ²εi/pi, onde pi é o número de replicas do

experimento i.

Desta forma, pode-se representar a função densidade de probabilidade de y :

( )( ) ( ) ( ) ( )

−−−

= − ξyRξy

21exp

Rdet

1

π2

1yP 1t2/12/n (

onde R é a matriz de variâncias e covariâncias de y .

Os valores corretos são desconhecidos e a verossimilhança do modelo (cujos

parâmetros são θ ) com tais valores pode ser medida substituindo-o no lugar daqueles,

dando origem à função verossimilhança:

( )( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

−−−

= − θyyRθyy

21exp

Rdet

1

π2

1θL 1t2/12/n (

A estimação, por este método, consiste em obter o máximo valor dessa função

verossimilhança, ou seja, procurar o conjunto de parâmetros que, ao ser comparado aos

valores experimentais, apresenta desvio tão baixo quanto desejado, segundo este

critério. Desta forma, busca-se maximizar a função ( )θL , o que pode ser simplificado

tomando seu logaritmo, uma vez que as variáveis encontram-se no interior da

exponencial e devido ao fato da função logarítmica ser monotônica, não alterando,

portanto, a posição do máximo, conforme se vê na Figura 6, abaixo:

Desta forma:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]θyyRθyy21RdetLnπ2LnθLLn 1t2/12/n −−−−−= − (

É fácil notar que o ponto que maximixa a verossimilhança é o ponto que

minimiza a última parcela da Equação (, uma vez que as demais parcelas são constantes:

( ) ( )[ ] ( )[ ]θyyRθyy21θ 1t −−=Φ − →

{ }( )θMinθ

θot Φ= (

20

Figura 6 – Gráfico da função exp(x) e ln(x)

Tradicionalmente, os trabalhos na área tentam evitar que as tentativas produzidas

pelos algoritmos de otimização assumam valores fisicamente inconsistentes (não-

negatividade, por exemplo) criando funções-penalidade, o que onera em muito os

algoritmos utilizados (Rosa et al., 2006). O presente trabalho utilizou um recurso

matemático mais eficaz para eliminar tal problema, o que constitui importante

contribuição. Esse recurso foi baseado na utilização, não dos parâmetros desejados

como variáveis de otimização, mas de variáveis auxiliares que, utilizadas em expressões

adequadas, produzirão os parâmetros procurados. Assim, se existir um valor mínimo

acessível a um determinado parâmetro - θmin - e um valor máximo - θmax – é possível

respeitar automaticamente este intervalo, iterando numa variável auxiliar α, no formato:22 αα e.maxθ)e1min(θθ −− +−= pois 1e0

2α << − ℜ∈∀ α (

Um caso particular, e que pode usar uma expressão mais simples, é a exigência

de não negatividade dos parâmetros, que pode ser atendida fazendo:

αeθ = pois 0eα > ℜ∈∀ α (

21

3.2 – MÉTODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON

Este método é voltado para a solução de sistemas de equações expressos por

( ) 0θF = , sendo ( )θF conhecida como função-resíduo, uma vez que seu módulo mede a

qualidade de uma determinada proposta de solução. Truncando a série se Taylor para

( )θF ao redor de uma estimativa kθ :

)θθ)(θ(J)θ(F)θ(F k1kkk1k −+= ++ (

onde a matriz ))(F()(J ktk θ∇=θ é chamada de Matriz Jacobiana. Esse processo

iterativo será efetuado até que seja obtido o zero da função ou até que o erro percentual

deste seja tão pequeno quanto desejado. Assim, a iteração será realizada até que o valor

de F no vetor 1kθ + seja nulo ou bem próximo. Compelindo este valor a 0, para obter o

resultado da iteração, ficamos com o lado esquerdo da Equação ( nulo que, rearranjada,

resulta em:

)(F)(J kk1k1k θθ−θ=θ −+ (

Constata-se que o lado direito da Equação ( depende apenas do ponto testado

anteriormente, resultando em um processo explícito de iteração a fim de obter a solução

de sistemas de equações. Similarmente, um caso de otimização de funções vetoriais é

estudado, baseando-se nas mesmas bases já apresentadas. Assim, considera-se uma

função Φ ( θ ), ou seja, uma função que apresenta um vetor como variável independente

e, um número real como variável dependente. Procura-se encontrar o mínimo desta

função, ou seja, ( )[ ]θMín Φ . Logo:

( ) )θ(F0θ ==Φ∇ (

que assume o mesmo formato demonstrado anteriormente. Portanto, realizando o

mesmo raciocínio, obtém-se:

[ ] )()( k1ktk1k θΦ∇θΦ∇∇−θ=θ−+ (

que, reescrita, pode ser expressa da seguinte forma:

)()(H kk1k1k θΦ∇θ−θ=θ −+ (

Assim, o processo iterativo será realizado até que o vetor obtido ( 1kθ + ) seja tão

próximo ao anterior ( kθ ) quanto desejado. Entretanto, como já foi mencionado 22

anteriormente, as funções objetivo apresentam-se sob formas onde as derivadas não são

triviais em engenharia de reservatórios de petróleo.

3.3 – MÉTODO QUASI-NEWTON – BFGS

O procedimento BFGS, descrito nessa seção, aproxima a matriz Hessiana com

base em valores do gradiente da função-objetivo. Como enunciado anteriormente, as

funções empregadas neste estudo não apresentam derivadas triviais. Logo, seu gradiente

deverá ser avaliado por substitutos de diferenças finitas, utilizando apenas valores da

função objetivo estudada.

Para tal, utilizam-se dois conjuntos de vetores com base nos parâmetros do

modelo: conjunto dos vetores de avanço e dos vetores de retrocesso. Uma representação

geral de suas características pode ser feita como segue:

( )

θ=θ⇒≠θ∆+θ=θ⇒=

=θmi

miia im

1im(

( )

θ=θ⇒≠θ∆−θ=θ⇒=

=θmi

miir im

1im(

onde, nesse trabalho, foi utilizado 410 −=θ∆ . Assim, a título de exemplo:

( )

θ

θθ+θ

=θ

−

n

3

2

41

a1

...

101

(

( )

θ

θθ−θ

=θ

−

n

3

2

41

r1

...

101

(

Com esses vetores obtidos, podem-se utilizar diferenças finitas no sentido de

calcular o gradiente da função objetivo, na forma:

23

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

⋅

Φ−Φ

⋅

Φ−Φ

⋅

Φ−Φ

⋅

Φ−Φ

=Φ∇

−

−

−

−

kn

4

knr

kna

k3

4

kr3

ka3

k2

4

kr2

ka2

k1

4

kr1

ka1

k

θ102

θθ...

θ102

θθθ102

θθθ102

θθ

θ (

O próximo passo é obter uma matriz Hessiana que esteja o mais próximo

possível da Hessiana real. O método BFGS faz uso dos valores das duas últimas

estimativas kθ e 1kθ − e dos gradientes nestes pontos, na forma:

1kkk θθθ −−=∆ (

( ) ( )1kkk θθg −Φ∇−Φ∇=∆ (

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 1k1k1kk111k1k HVθHHθHV−−−−−−− ∆+==⇒= (

onde o último termo da Equação ( é justamente o proposto pela ferramenta BFGS na

forma:

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) 2

ktk

tkkktk1kk

ktk

tk1kkktkk1kk1k

θg

θθggVθ

θg

gVθθθgVθH

∆∆

∆∆∆∆−∆−

+∆∆

∆−∆∆+∆∆−∆=∆

−

−−−

(

Desta forma, a matriz Hessiana é atualizada a cada iteração realizada, tendo sido

observadas as seguintes características:

1) A matriz Hessiana e/ou sua inversa permanecem positivas definidas,

quando a matriz Hessiana inicial ou sua inversa também o seja.

2) A matriz Hessiana ou sua inversa são matrizes simétricas.

Como últimas observações, menciona-se o fato de serem necessárias duas

estimativas iniciais do vetor manipulado e uma estimativa inicial para a Hessiana, em

geral, a matriz identidade. 24

3.4 – MÉTODO SIMULATED ANNEALING

Este método emula o fenômeno, observando a natureza, de minimização da

energia armazenada na estrutura cristalina durante a sinterização de corpos metálicos.

No método em questão, explora-se uma vizinhança do ponto vigente, através de

perturbações pseudo-aleatórias geradas segundo uma distribuição escolhida a priori. De

acordo com o valor calculado para a função objetivo neste ponto, tal transição pode ou

não ser aceita, segundo um critério baseado no análogo da temperatura no fenômeno de

sinterização (T) – se este valor for menor, a transição é sempre aceita; se for maior, um

número pseudo aleatório entre 0 e 1 é gerado e comparado com a probabilidade da

transição, dada pela estatística de Boltzmann:

( ) ( )

Φ−Φ−=+

TθθexpP

k1k(

sendo aceita a transição cuja probabilidade for maior que o número aleatório gerado no

sorteio.

Um elevado valor para o parâmetro T é arbitrado no inicio do algoritmo,

decaindo, ao longo de sua execução, de uma fração α. Uma boa estimativa inicial para a

ordem de grandeza do parâmetro é conseguida fazendo uma varredura inicial com um

determinado número de testes:

)fln(T

0

mínmáx0

Φ−Φ−= (

onde máxΦ e mínΦ são, respectivamente, o maior e o menor valor da função objetivo

conseguidos na varredura e 0f a fração de aceitação inicial. Neste trabalho, aceitou-se a

sugestão de Pinto e Schwaab (2007), tomando o valor igual a 95%.

Como último aspecto, destaca-se a geração da vizinhança, que será feita na

forma:

rDkk1k +θ=θ + (

sendo D uma matriz diagonal com valores aleatórios entre -1 e 1 e r um vetor com as

dimensões da vizinhança nas várias direções.

No algoritmo abaixo, RAND(n) é um vetor de números aleatórios entre 0 e 1,

com dimensão (n x 1) e DIAG(v) é uma matriz diagonal contendo os elementos de v.

25

ALGORITMO SIMULATED ANNEALING

Entrar o parâmetro de diminuição da temperatura – α

Entrar o raio que define a vizinhança da busca inicial = r1

Entrar o raio que define a vizinhança da otimização = r2

Entrar a fração de aceitação = f

Entrar o numero de estimativas da busca inicial = Ninic

Entrar o número de estimativas do loop interno = Nint

Entrar o número de estimativas do loop externo = Next

Entrar uma estimativa inicial para o vetor de parâmetros = θ

Calcular maior = ( )θφ

Definir menor = maior

Definir θ=θ ot

26

Para i de 1 até Ninic, calcular

( ) 1pRAND2Núcleo −=

Núcleor1+θ=θ

( )θφ=teste

Se teste > maior, então

Definir maior = teste

Fim

Se teste < menor, então

Definir menor = teste e θ=θ ot

Fim

Fim

Calcular )fln(

T menormaior Φ−Φ=

Definir otθ=θ e base = menor

27

Para i de 1 até Next

Calcular T = α.T

Definir aceita = Falso

Para j de 1 até Nint

Calcular ( ) 1pRAND2Núcleo −=

Calcular Núcleor2teste +θ=θ

Calcular teste = ( )testeθφ

Se teste < menor, então

Definir aceita = Verdadeiro

Definir base = teste

Definir testeθ=θ

Definir menor = teste

Definir testeot θ=θ

Caso contrário,

Calcular

−−=

TbasetesteexpE

Se E > RAND(1), então

aceita = Verdadeiro

base = testetesteθ=θ

Fim

Fim

Fim

Fim

28

CAPÍTULO 4 – ESTUDOS DE CASO

Neste capítulo, serão descritos e calculados os estudos de caso. Além disso,

serão calculadas suas matrizes variância-covariância para averiguar os erros associados

a cada parâmetro obtido pelo modelo. Por fim, uma análise sucinta de cada caso será

realizada.

4.1 – ESTUDO DE CASO 01

Nesta seção, foi estudado um reservatório de óleo conectado a um aquífero.

Algumas características dessa formação estão disponíveis, como se pode observar

abaixo. Com os dados fornecidos, procura-se estimar os parâmetros do aquífero e do

reservatório, a partir de iterações numéricas e da utilização do modelo de Leung para o

aquífero.

Dados:

Saturação inicial de água......................................................... 5%

Compressibilidade da formação.............................................. 56,9x10-6 kgf/cm²

Compressibilidade da água..................................................... 42,7x10-6 kgf/cm²

Histórico de produção............................................................. Tabela 1

Para um reservatório de óleo, a equação de balanço material pode ser escrita sob

a seguinte forma (Rosa et al., 2006):

( )[ ]( ) ewiwf

wi

titit

ginjinjwinjinjwpgsiptp

WPSccS1

BBBN

BGBWBWBRRBN

+

∆+

−+−=

=−−+−+

(

Já que, nesse caso, não há produção, nem injeção de água e injeção de gás, a

equação acima pode ser simplificada e, escrevendo-a no instante tn, tem-se:

( )[ ] ( ) ( ) enniwiwfwi

tititngnsipntnpn WPPScc

S1B

BBNBRRBN +

−+

−+−=−+ (

29

Tabela 1 – Dados de produção do reservatório de óleo do estudo de caso 01

t

(ano)

P

(kgf/cm²)

Np

(106 m³std)

Rp

(m³std/m³std)

Bo

(m³/m³std)

Rs

(m³std /

m³std)

Bg

(10-3

m³/m³std)0 192,7 0,00 115,8 1,404 115,8 5,22201 175,8 1,25 135,4 1,374 105,4 5,50272 161,0 2,93 150,4 1,349 97,1 6,00813 148,3 4,63 163,8 1,329 90,3 6,56964 137,1 6,47 173,6 1,316 83,9 7,18725 127,8 7,97 182,5 1,303 78,7 7,80496 119,7 9,29 189,7 1,294 74,4 8,42257 113,1 10,40 195,0 1,287 70,9 8,98408 107,9 11,25 199,5 1,280 68,2 9,54559 104,1 11,85 203,9 1,276 66,1 9,882410 101,3 12,31 206,6 1,273 64,8 10,2193

Como o modelo que rege o aquífero é o modelo de Leung, tem-se:

( )anii

eien PP

PW

W −= (

onde:

( ) ( ) ( ) ( ) PSSan1n1nMPSSaan PP1tPP β+β−== (

onde:

( ) ( ) ( )1etPPePPPP nn t

n

1nnt1n1annPSSan −

∆α−

+−+= ∆α−−∆α−−− (

onde:

ei

i

WJP

=α (

Assim, com a substituição dessas equações na equação de balanço material (,

obtemos a função modelo para esse estudo de caso, que é:

( ) ( )

( )[ ]{ }nPSSan1ni1

niwiwfwi

tititn

PPPPC

PPSccS1

BBBNycalcf

−β−−

+

−+

−+−=

(

onde:

( )[ ]gnsipntnpn BRRBNycalcf −+= (

i

ei1 P

WC = (

30

Desta forma, os parâmetros que se deseja obter a partir das iterações são quatro:

N, α, C1 e β1.

O resultado do ajuste de parâmetros foi:

=

β

α=θ

1.0096961176507.990.459679848332678

11C

N

(

Associados a uma variância fundamental do modelo dada por:

( ) 2382y m4,327.10S = (

E a uma matriz de variâncias e covariâncias dos parâmetros dada por:

=

0.0003234196.53919 -0.000355335702.882196.53919 -10 1.486228.73262 -10 2.742-0.0003553228.73262 -0.000404441547.74235702.88210 2.742-41547.74210 5.070

)θ(COV 810

1012

(

Cabe ainda ressaltar que as equações ( e ( relatam também importantes

contribuições do presente trabalho, uma vez que é incomum encontrar relatos de

incertezas associadas aos ajustes na literatura corrente.

Um gráfico com a resposta ajustada do modelo bem como as últimas estimativas

frustradas do método podem ser vistas na Figura 7.

A listagem dos programas utilizados neste estudo de caso pode ser conferida no

Anexo B. Cumpre dizer que este ajuste encontrou dificuldades de convergência com a

utilização do método Quasi-Newton, tendo sido o Algoritmo Simulated Annealing mais

adequado a este caso.

31

Figura 7 – Resultado do ajuste do modelo do Caso 01 (pontos – valores experimentais;

curvas contínuas – modelo ajustado)

4.2 – ESTUDO DE CASO 02

Agora, foi estudado um reservatório de gás, onde há influxo permanente, sob o

modelo de Schilthuis (Rosa et al., 2006), de um aquífero ligado ao reservatório. É

conhecido que a queda de pressão no reservatório apresenta comportamento parabólico

(função do 2º grau) em relação ao tempo. A partir das iterações do programa, desejava-

se obter o volume original de gás e a constante de influxo de água do modelo de

Schilthuis. Os dados de produção do reservatório foram fornecidos na Tabela 2.

A obtenção dos parâmetros requisitados foi dividida em duas partes: lograr a

equação da queda de pressão em função do tempo e regressão dos parâmetros da

equação de balanço material para o reservatório.

Sabe-se que a queda de pressão se comporta de acordo com uma função do 2º

grau em relação ao tempo. Assim, a forma geral de expressar tal relação é como segue:

CBtAtPPP 2ti ++=−=∆ (

onde A, B e C são constantes.

32

Tabela 2 – Dados de produção do reservatório de gás do estudo de caso 02

Data P (kgf/cm²) Gp (106 m³std) P/Z (kgf/cm²) Bg (m³/m³std)01/01/1955 232,01 0 281,23 0,0043101/01/1957 212,68 826,852 262,81 0,0046201/01/1959 198,97 1653,704 247,48 0,0049001/01/1961 187,72 2480,556 234,12 0,0051901/01/19563 177,52 3307,408 222,17 0,0054601/01/1965 168,03 4134,260 210,22 0,00577

Para determinar as constantes A, B e C, usam-se os dados experimentais para

este primeiro ajuste, quais sejam:

=−=∆=−=∆=−=∆=−=∆=−=∆

98,6303,16801,232P49,5452,17701,232P29,4472,18701,232P04,3397,19801,232P33,1968,21201,232P

5

4

3

2

1

(

Nota-se que o modelo é linear nos parâmetros, sendo trivial a obtenção das

constantes, cujos resultados seguem abaixo:

=

=θ

5.056-7.5710714-0.1694643

CBA

1 (

O resultado gráfico pode ser analisado na Figura 8.

Realizada essa etapa, o próximo passo foi utilizar a equação de balanço de massa

em conjunto com o modelo de Schilthuis, a fim de descrever o comportamento do

aquífero ao longo do tempo (Rosa et al., 2006):

( )∫ −=t

0tie dtPPJW (

Introduzindo a equação ( na equação (, resulta em:

( )

+++=++= ∫ DCtt

2Bt

3AJdtCBtAtJW 23

t

0

2e (

33

Figura 8 – Resultado do ajuste do primeiro modelo do Caso 02 (pontos – valores

experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)

Esse influxo acumulado é inserido na equação de balanço material para um

reservatório de gás que, por sua vez, pode ser expressa da seguinte forma (Rosa et al.,

2006):

−

+−= p

0

0

i

ii

wpei

GT

TPZVP

BWWV1

ZP

(

Como, não há produção de água nesse reservatório, a equação acima pode ser

simplificada para:

−

−= p

0

0

i

ii

ei

GT

TPZVP

WV1

ZP

(

Com base nos dados fornecidos e na observação da equação anterior, nota-se que

todos os dados foram fornecidos, a exceção de Vi e J, cujos valores ajustados foram:

=

=θ 9

i2 10 1.231

464797.87VJ

(

Associados a uma variância fundamental do modelo dada por:

( ) 222y cm/kgf10.778164S = (

34

E a uma matriz de variâncias e covariâncias dos parâmetros dada por:

152 10

23494.699.66282629.66282620.0039748

)(COV

=θ (

Um gráfico com a resposta ajustada do modelo bem como as últimas estimativas

frustradas do método podem ser vistas na Figura 9, abaixo:

Figura 9 – Resultado do ajuste do segundo do modelo do Caso 02 (pontos – valores

experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)

Novamente, as listagens de programação correspondentes podem ser

encontradas no Anexo B. Vale ressaltar que, neste caso, uma tentativa de ajustar,

conjuntamente, os cinco parâmetros foi realizada, ignorando a linearidade da primeira

etapa, com impacto negativo nas variâncias observadas.

4.3 – ESTUDO DE CASO 03

É analisado um reservatório de petróleo que possui um aquífero contíguo. O

volume original de óleo foi obtido pelo método volumétrico, os valores de influxo

acumulado ao longo do tempo foram obtidos a partir da equação de balanço material e,

foram listados na Tabela 3 abaixo:

Tabela 3 – Dados de produção do reservatório do estudo de caso 03

35

t (trimestres) Pressão no contato (kgf/cm²) Influxo acumulado (m³)0 266,67 01 266,32 7312 265,34 39433 263,51 120034 260,77 273465 258,73 491276 256,13 763147 252,75 1117688 249,38 1554899 247,34 20445810 245,02 25692311 241,64 31590812 240,17 37966213 237,57 445323

O objetivo nesse estudo de caso é obter a equação do comportamento do

aquífero contíguo ao reservatório, sabendo que seu histórico será ajustado de acordo

com o modelo de Hurst modificado. A expressão para esse modelo pode ser escrita da

seguinte forma (Rosa et al., 2006):

( )( )ctlog

PPCdt

dW ie −= (

onde C e c são as constantes do modelo a serem determinadas pelo ajuste de histórico.

Ao resolver a equação diferencial anterior, com base no influxo acumulado ao longo de

um tempo Δt e valores médios das propriedades presentes, tem-se:

( )( ) t

tclogPPCW i

e ∆−

=∆ (

Como os valores dos influxos acumulados são conhecidos, é possível definir a

seguinte variável:

( )PPtW

i

e

−∆∆

=ν (

Que, ao ser substituída na equação (, resulta em:

( )tclogC=ν (

Como os valores de influxo acumulado foram obtidos pela equação de balanço

material, é razoável dizer que estes sejam os valores corretos para os parâmetros. Assim,

com um rearranjo da equação (, tem-se:

36

( ) ( )clog1Ctlog −

ν= (

Que representa a equação de uma reta, onde:

bx.ay += (

( )tlogy = (

Ca = (

( )clogb −= (

ν= 1x (

Assim, a otimização efetuada procurava obter os valores das constantes C e c do

modelo de Hurst modificado, cujos valores ajustados foram:

=

=θ

870185,551049689,0

Cc

(

O resultado gráfico pode ser analisado na Figura 10.

Percebe-se que o próprio algoritmo detectou a presença de pontos atípicos,

diminuindo a importância relativa dos mesmos. Vale ressaltar que esse caso resultou em

uma otimização linear dos parâmetros do modelo do aquífero, obtida de maneira trivial

e não iterativa conforme pode ser verificado em detalhes no Anexo B.

37

Figura 10 – Resultado do ajuste do Caso 03 (pontos – valores experimentais; curvas

contínuas – modelo ajustado)

4.4 – ESTUDO DE CASO 04

Certo poço de petróleo apresenta os seguintes dados de histórico de produção,

listados na Tabela 4.

Deseja-se estimar os coeficientes de cada modelo de declínio de produção

(hiperbólico, exponencial e harmônico) a fim de comparar suas características, bem

como a proximidade aos dados experimentais obtidos durante a produção no

reservatório.

38

Tabela 4 – Dados de histórico de produção do poço do estudo de caso 04

t (anos) q ( )d/m3STD

0 100,01 77,02 61,03 49,54 41,05 34,5

Vale ressaltar que as equações para os modelos hiperbólico, exponencial e

harmônico podem ser escritas, respectivamente, por:

( )( ) βα β+

= 10

t.1

qtq (

( ) t0eqtq α−= (

( ) ( )1t.q

tq 0

+α= (

onde as constantes α e β serão obtidas ao final da otimização. Os resultados obtidos para

cada modelo são relatados na Tabela 5, bem como nas Figuras de 11 a 13:

Tabela 5 – Resultados dos modelos ajustados para o Caso 04

Modelo Resultado ( )23STD

2y d/mS

810).(COV θ

Equação (α = 0.2793941

β = 0.48879510.0011885

0.22397760.22439240.22439240.2297341

Equação ( α = 0.2292594 5.0731767 4.135 10-5

Equação ( α = 0.3415231 4.0193178 1.432 10-1

39

Figura 11 – Resultado do ajuste do modelo da Equação ( do Caso 04 (pontos – valores

experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)

Figura 12 – Resultado do ajuste do modelo da Equação ( do Caso 04 (pontos – valores

experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)

40

Figura 13 – Resultado do ajuste do modelo da Equação ( do Caso 04 (pontos – valores

experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)

Os três ajustes puderam fazer uso do método BFGS, tendo sido observada

convergência rápida, como era se esperar, dada a simplicidade dos modelos empíricos.

Mais uma vez, as listagens de programação correspondentes encontram-se no Anexo B.

41

CAPÍTULO 05 – ANÁLISES E CONCLUSÕES

O presente trabalho analisou métodos numéricos para ajustes de modelos em

engenharia de reservatórios, especificamente ajustes de histórico a curvas de declínio de

produção. Para tal, foi empregado o critério de máxima verossimilhança estatística que

resultou em problemas de otimização não-linear conduzida com métodos tipo Quasi-

Newton, proposta BFGS e Simulated Annealing, quando da suspeita de multiplicidade

de ótimos locais. A necessidade de não-negatividade dos parâmetros a serem estimados

foi atendida com o uso de mudanças de variáveis do modelo, dispensando o uso de

funções-penalidade. A estimativa de variâncias do modelo e de variâncias e

covariâncias dos parâmetros foi também uma contribuição do presente trabalho. Tal

metodologia foi testada frente a quatro casos estudados em detalhes.

Os resultados do estudo de caso 01 mostram que o modelo foi ajustado, usando o

algoritmo de Simulated Annealing, com resultados satisfatórios, uma vez que o método

BFGS insinuou a existência de multiplicidade de mínimos locais. Os valores obtidos

encontram-se em consonância com a literatura (Rosa et al., 2006), bem como

observados baixos valores das matrizes variância-covariância e da variância

fundamental do modelo, além de boa aderência aos dados experimentais.

O estudo de caso 02 trouxe à tela um subproblema de otimização linear,

resolvido analiticamente, sem necessidade de iterações. Além disso, evidenciou um

fator crítico para uma boa estimativa dos parâmetros de um modelo: deve haver

suficiente excesso estatístico no que se refere a quantidade de pontos experimentais para

o ajuste. Como, neste caso, havia uma quantidade espartana de dados experimentais, as

incertezas apresentadas pelo modelo e pelos parâmetros apresentaram valor elevado se

comparados aos valores ajustados para os parâmetros ou mesmo aos valores fornecidos

pela literatura (Rosa et al., 2006).

O estudo do caso 03 tratou um modelo linearizável, também resolvido

analiticamente, sem necessidade de iterações. A metodologia foi capaz de detectar

pontos atípicos e creditar baixa credibilidade estatística a estes. Cumpre dizer que a

análise de erros, nos modelos não lineares, não foi conduzida, por se tratar de

metodologia por demais consagrada e pelo fato dos parâmetros obtidos terem

concordado com os da literatura.

O estudo de caso 04 contemplou ajustes de histórico com base nas três taxas de

declínio que um poço pode apresentar: hiperbólica, exponencial e harmônica. Todas as 42

estimativas foram feitas usando a ferramenta BFGS, pois as constantes presentes nessas

taxas apresentam valor entre 0 e 1, podendo-se obter um bom valor para a estimativa

inicial, proporcionando convergência rápida ao algoritmo. A partir da observação dos

resultados, é possível afirmar que o comportamento hiperbólico é o que proporciona

melhores aderências aos dados experimentais, bem como baixos valores de incertezas

do modelo. Contudo, isto é feito com sacrifício da confiabilidade estatística dos

parâmetros, presente em maior número nos demais modelos, o que era de se esperar.

Isso ocorre, pois são manipuladas duas constantes em prol do melhor valor da função

em questão, diluindo a confiança depositada no valor ajustado para cada uma delas.

Desta forma, a qualidade do valor dos parâmetros é comprometida, a fim de que

resultados mais próximos dos valores experimentais sejam obtidos pelo modelo

ajustado.

Todas as análises foram feitas com base nas matrizes variâncias-covariâncias

dos parâmetros e das variâncias fundamentais dos modelos, sendo esta uma

contribuição do presente trabalho para o estudo de ajustes de modelos em engenharia de

reservatórios, uma vez que não foram encontrados, na literatura, relatos desta natureza.

Além disso, a inserção de funções penalidades para respeitar a região de busca -

caracterizada pela não-negatividade dos parâmetros - foi contornada. Essa técnica onera

os códigos computacionais correspondentes bem como dificulta, mas não impede, a

obtenção de parâmetros fisicamente implausíveis. A utilização de variáveis

manipuladas, cujas exponenciais produziram os parâmetros do modelo, mostrou-se uma

técnica eficaz, uma vez que não há nenhuma possibilidade de encontrar parâmetros fora

da região de validade. Assim, os valores dessas variáveis puderam assumir qualquer

valor real ao longo da otimização e, após exponenciação, eram obtidos parâmetros

necessariamente positivos. Essa técnica constitui outra importante contribuição do

presente trabalho.

Por último, o presente trabalho lançou mão de duas técnicas de otimização

(BFGS e Simulated Annealing), oferecendo alternativas para contornar as deficiências e

explorar as qualidades de cada um.

Como sugestões para trabalhos futuros, poderiam ser investigados outros

algoritmos de otimização, como o de Luus-Jaakola, que também segue uma cadeia

markoviana, mas numa lógica diferente do Simulated Annealing. Contudo, um trabalho

que pudesse analisar mais casos reais seria ainda de mais valia, fato que não pode ser

explorado no presente trabalho devido à escassez de relatos confiáveis. Esta seria uma 43

forma bastante concreta de iniciar parcerias mutuamente produtivas entre empresas e

Universidades, tão propaladas atualmente, mas conduzidas de maneira desconfiada e

tímida, com resultados muito aquém dos desejáveis e possíveis.

44

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Mestrado (Mestrado em Ciências em Engenharia Química) – Coordenação dos

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SCHWEINBERGER, Cristiane Martins. Aplicação do CEKF na Estimação de

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<http://mathworld.wolfram.com/ConjugateGradientMethod.html>. Acesso em: 20 de

Abril de 2012.

49

ANEXO A - GLOSSÁRIO

Alcanos ou parafinas: hidrocarbonetos, que estão presentes em elevada

quantidade no petróleo e no gás natural, se apresentam na forma CnH2n+2 e possuem

apenas ligações simples em sua molécula.

Alcenos ou olefinas: hidrocarbonetos, que estão presentes no petróleo como

contaminantes, se apresentam sob a forma CnH2n e possuem uma ligação dupla e o

restante simples em sua molécula.

Aquífero: é uma formação geológica que possui a capacidade de armazenar

água. Pode ser entendido como um reservatório onde a saturação de água é de 100%.

Atua, principalmente, na tentativa de manutenção de pressão do reservatório através do

fluxo de água para o interior desse. Pode ser poroso, fraturado ou cárstico.

Aromáticos: hidrocarbonetos cíclicos que apresentam o anel benzênico (C6H6)

em sua estrutura. Proporcionam elevada octanagem ao petróleo.

Asfaltenos: mistura sólida de hidrocarbonetos com elevado número de carbonos

apresentando anéis aromáticos. A maioria dos compostos inorgânicos presentes na

mistura do petróleo estão em sua composição. São insolúveis em hidrocarbonetos

alifáticos e solúveis em solventes aromáticos.

Black-oil: óleo que apresenta pequeno encolhimento quando submetido a

pressões cada vez menores que sua pressão de bolha. Isso ocorre devido ao grande

espaçamento presente entre suas linhas de qualidade próximas ao ponto de bolha.

Carbono (C): elemento químico, que apresenta massa atômica igual a 12 e é o

principal constituinte da mistura que forma o petróleo.

Compressibilidade (c): é definida como a razão entre a variação fracional do

volume e a variação de pressão.

Compressibilidade efetiva (cf): é definida como a razão entre a variação

fracional do volume poroso e a variação de pressão.

Constante dos gases (R): é uma constante que relaciona a quantidade de gás

com a pressão e a temperatura. Teoricamente, todo gás ideal obedece essa constante.

Alguns de seus valores e suas unidades estão listados na Tabela 6 a seguir:

Tabela 6 – Valores da constate dos gases reais em diversas unidades50

Valor Unidade8,314472 J/Kmol

0,0820574587 Latm/Kmol0,0000820574587 m³atm/Kmol

8,314472 cm³MPa/Kmol8,314472 LkPa/Kmol8,314472 m³Pa/Kmol62,3637 LmmHg/Kmol62,3637 LTorr/Kmol83,14472 Lmbar/Kmol

1,987 cal/Kmol6,132439833 lbfft/Kgmol

10,7316 ft³psi/ºRlbmol0,0000863 eV/Katom

0,7302 ft³atm/ºRlbmol1,987 BTU/ºRlbmol

Contaminantes: são substâncias que estão presentes na mistura de

hidrocarbonetos e são produzidas junto com essa mistura, porém não são

hidrocarbonetos, alterando as propriedades físicas e químicas dessa mistura. Algumas

dessas são: H2S e outros sulfetos, CO2, CO, RS (mercaptans), fenóis, ácidos

carboxílicos, organometálicos, HCl e outros cloretos, piridinas, quinoleínas e etc.

Densidade (γ): é a razão entre a massa específica de uma substância e a massa

específica da água, caso esta substância seja líquida nas condições em questão, ou a

massa específica do ar, caso esta substância seja gasosa nas condições em questão.

Drawdown: representa a queda de pressão observada conforme são produzidos

hidrocarbonetos (óleo e/ou gás) do reservatório.

Explotação: é o ato de explorar economicamente uma região dotada de reservas

de petróleo.

Fator de compressibilidade (Z): é a razão entre o volume ocupado por certa

massa de gás, considerado como gás real, a uma dada pressão e temperatura e, a mesma

massa de gás, considerado como gás ideal, na mesma pressão e temperatura.

Fator de recuperação (FR): é a fração do volume de hidrocarbonetos in-place

que pode ser recuperada.

Fator volume-formação de gás (Bg): pode ser definido como a razão entre o

volume da massa de gás livre, expresso nas condições de P e T nas quais está

submetido, e o volume dessa mesma massa, em condições padrão.

51

Fator volume-formação de óleo (Bo): pode ser definido como a razão entre o

volume de fase líquida (óleo + gás dissolvido), expresso nas condições de P e T nas

quais está sujeito, e o volume de óleo em condições padrão (ou standard).

Fator volume-formação total (Bt): pode ser definido como a razão entre o

volume de fluidos (óleo + gás dissolvido + gás livre), expresso nas condições de P e T

nas quais está submetido, e o volume de óleo, em condições padrão.

Fluxo fracionário de um fluido (f): é a razão entre a vazão de fluxo desse

fluido e a vazão de fluxo total.

Forças capilares (Fc): são forças resultantes do efeito combinado das tensões

superficiais e interfaciais da rocha e dos fluidos, do tamanho e geometria dos poros e,

das características de molhabilidade do sistema.

Gás retrógrado: é um gás contido em um reservatório onde sua temperatura é

maior que a crítica do gás e menor que sua cricondentérmica. Ou seja, ao efetuar um

processo de descompressão isotérmico, evidencia-se a formação de líquido a partir de

somente gás no início.

Gás seco: é um gás contido em um reservatório onde sua temperatura é maior

do que sua cricondentérmica. Ou seja, não importa quão intensa seja a descompressão

isotérmica do gás, ele nunca gerará líquido sob qualquer hipótese.

Gás úmido: é um tipo de gás que, depois de extraído do reservatório, pode gerar

líquido no vaso separador.

Grau API (ºAPI): é uma escala para medição da densidade dos líquidos

provenientes do petróleo. Foi criada pelo American Petroleum Institute e, apresenta a

particularidade de que quanto mais pesado for o óleo (quantos maior for a densidade),

menor será o seu valor.

Hidratos: compostos cristalinos formados por água e moléculas de gás

aprisionadas em cadeias formadas pelas moléculas de água. Altas pressões e baixas

temperaturas são necessárias, bem como o contato gás-água.

Hidrogênio (H): elemento químico que apresente massa atômica igual a 1 e é o

outro constituinte presente em grande quantidade no petróleo.

Incrustações: depósitos que são formados nas tubulações devido à precipitação

de substâncias em solução aquosa. Geralmente, são compostos por sais fracamente

solúveis na água, como o BaSO4 e o CaCO3, por exemplo. Sua formação pode ocorrer

devido a um decréscimo na pressão ou aumento da temperatura da água, mistura de

águas incompatíveis e evaporação de soluções salinas.52

Índice de produtividade (IP): é a razão entre a vazão de produção e a queda de

pressão observada no reservatório (Pe – Pwf).

Lâmina d’água: profundidade, cujo valor, em unidades de comprimento,

expressa a distância da superfície do mar ao leito dele, no local onde está sendo

perfurado o poço em questão.

Massa específica (ρ): é a quantidade, em unidades de massa, que um fluido

apresenta por unidade de volume.

Migração: processo que a mistura de subsuperfície está sujeita, onde é

deslocada desde sua zona de geração até a rocha reservatório, ao longo das trapas e

canais permeáveis presentes.

Molhabilidade: é a tendência de um fluido se espalhar ou aderir em uma

superfície sólida na presença de outros líquidos imiscíveis.

Net pay: compreende as seções do reservatório que estão saturadas de petróleo

e/ou gás.

Net-to-gross (NTG): é a fração de areia presente em todo o reservatório.

Óleo volátil: tipo de óleo que apresenta elevado encolhimento quanto sua

pressão diminui a partir do ponto de bolha. Isso ocorre, pois suas linhas de qualidade

estão bem juntas próximo desse ponto e bem espaçadas a menores pressões.

Permeabilidade (k): característica da formação que informa a capacidade dessa

no escoamento de fluidos em seu interior. Na engenharia de petróleo, geralmente, é

expressa em unidades Darcy (d e md).

Permeabilidade absoluta (ka): característica particular da formação no sentido

de escoamentos de fluidos. Também, é expressa em unidades Darcy geralmente.

Permeabilidade efetiva (kef): é definida como a capacidade com a qual uma

fase tem de escoar na presença de outras, de acordo com o meio em questão bem como

as características das fases presentes. Também, é expressa em unidades Darcy

geralmente.

Permeabilidade relativa (kr): é um valor de permeabilidade adimensional,

calculado pela razão entre a permeabilidade efetiva e a absoluta.

Ponto crítico: é a condição na qual não se distingue a transição entre a fase

gasosa e a líquida.

Porosidade (φ): é definida como a razão do volume de espaços vazios (poros),

presentes em uma determinada formação, em relação ao volume total.

53

Porosidade efetiva (φef): é a razão entre o volume de espaços vazios

interconectados presentes em uma formação e o volume total dessa.

Porosidade primária (φp): é a porosidade que foi desenvolvida na deposição

de sedimentos.

Porosidade secundária (φs): é a porosidade resultante de processos geológicos

subsequentes a conversão de sedimentos em rochas.

Pressão capilar (Pcap): é uma descontinuidade na pressão que existe entre dois

líquidos imiscíveis em contato. Depende da curvatura da interface separando os dois

fluidos.

Pressão de bolha (Pb): pressão registrada no momento em que é observada a

formação da primeira bolha de gás em uma substância líquida, sob um processo onde a

temperatura é mantida constante e a pressão decresce continuamente.

Pressão de orvalho (Po): pressão registrada no momento em que é observada a

formação da primeira gota de líquido em uma substância gasosa, sob um processo onde

a temperatura é mantida constante e a pressão cresce continuamente.

Pressão estática (Pest): é a pressão exercida pelo fluido que está no interior do

meio poroso.

Pressão reduzida (Pr): é a razão entre a pressão a que uma dada substância está

submetida e sua pressão crítica, em escalas absolutas.

RAO: significa razão água-óleo e é definida como a razão entre a vazão de água

e a vazão de óleo que é produzida.

Razão de dano (RD): é a razão entre o diferencial de pressão entre o

reservatório e a frente dos canhoneados com e sem dano.

Razão de produtividade (RP): é o inverso da razão de dano.

Razão de solubilidade (Rs): é a razão entre a quantidade de gás dissolvido,

expressa em condições padrão (ou standard), e a quantidade de óleo (fase líquida)

produzido, expresso em condições padrão (ou standard), em determinadas pressão e

temperatura.

Reserva: é a diferença entre o volume de hidrocarboneto recuperável e o

volume de hidrocarboneto produzido de fato, sendo expressa em condições padrão

(standard).

RGO: significa razão gás-óleo e é definida como a razão entre vazão de gás e a

vazão de óleo.

54

Rocha geradora: formação rochosa que gera a mistura de hidrocarbonetos a

partir da matéria orgânica.

Rocha reservatório ou zona de produção: formação permeável, situada na

região subterrânea (subsuperfície), que abriga certa quantidade de hidrocarbonetos, que

apresenta valor econômico que justifique sua exploração e capacidade de explotação de

acordo com a tecnologia vigente.

Rocha selante: formação rochosa que possui a finalidade de manter e preservar

a mistura de hidrocarbonetos na profundidade presente, devido as suas características de

porosidade e permeabilidade, que são bem fracas.

Saturação de água (Sw): é a fração do volume poroso que é preenchida com

água.

Saturação de água conata (Swi): é a fração do volume poroso, preenchida com

água, que não pode ser retirada do reservatório.

Saturação de gás (Sg): é a fração do volume poroso que é preenchida por gás.

Saturação de óleo (So): é a fração do volume poroso que é preenchida por óleo.

Saturação de óleo residual (Sor): é a fração do volume poroso, preenchida

com óleo, que não pode ser retirada do reservatório.

Skin (s): é uma alteração na permeabilidade, provocada nas vizinhanças de um

poço, devido à operação de perfuração ou de estimulação por água ou ácido. Essa

alteração pode ser um dano à formação (s>0), reduzindo a capacidade produtiva, ou ser

um estímulo (s<0), aumentando a capacidade produtiva.

Temperatura de bolha (Tb): temperatura registrada no momento em que é

observada a formação da primeira bolha de gás em uma substância líquida, sob um

processo onde a pressão é mantida constante e a temperatura cresce continuamente.

Temperatura de orvalho (To): temperatura registrada no momento em que é

observada a formação da primeira gota de líquido em uma substância gasosa, sob um

processo onde a pressão é mantida constante e a temperatura decresce continuamente.

Temperatura reduzida (Tr): é a razão entre a temperatura em que uma dada

substância se encontra e sua temperatura crítica, em escalas absolutas.

Tensão interfacial: é a força exercida nos limites de uma camada entre uma

fase líquida e uma fase gás por unidade de comprimento.

Tensão superficial (σ): é a força exercida nos limites de uma camada entre duas

fases líquidas por unidade de comprimento.

55

Trapas ou armadilhas: composição de rochas que apresentam a finalidade de

acumular os hidrocarbonetos, ou seja, são uma espécie de “barreira” ao fluxo dos

hidrocarbonetos ao longo da formação. Podem ser estruturais e/ou estratigráficas.

Transmissibilidade (Tf): é a capacidade que uma rocha possui em transmitir

um fluido qualquer.

Vazão (q): é a quantidade, em unidades de volume, que atravessa uma seção

reta por unidade de tempo.

Viscosidade (μ): expressa a resistência que um dado fluido apresenta para

escoar. Em engenharia de petróleo, é expressa em unidades Poise (p e cp) geralmente.

Viscosidade do óleo morto (μom): é a viscosidade do óleo cru em condições

atmosféricas.

Viscosidade do óleo saturado (μob): é a viscosidade do óleo cru submetido a

sua pressão de bolha e temperatura do reservatório.

Viscosidade do óleo sub-saturado (μa): é a viscosidade do óleo cru submetido

a uma pressão acima de sua pressão de bolha e temperatura do reservatório.

Volume de gás in-place (G): é o volume de gás que o reservatório possui

originalmente, expresso em condições padrão (standard).

Volume de óleo in-place (N): é o volume de óleo que o reservatório possui

originalmente, expresso em condições padrão (standard).

56

ANEXO B – LISTAGENS DOS PROGRAMAS

clearclcglobal dP P Pi dt yexp Bt Bti ct yexp texec('ycalc1.sci',-1)exec('res1.sci',-1)exec('cost1.sci',-1)// Regressão do modelo do Caso 01 por S.A.Swi=5/100;cf=56.9e-6;cw=42.7e-6;ct=(cf+cw*Swi)/(1-Swi);t=0:10;t=t';dt=1;P=[192.7175.8161148.3137.1127.8119.7113.1107.9104.1101.3];Pi=P(1);dP=0;for i=2:length(P) dP(i)=P(i)-P(i-1);endNp=[01.252.934.636.477.979.2910.411.2511.8512.31]*1e6;Rp=[115.8135.4150.4163.8173.6182.5189.7195199.5203.9206.6];Bo=[1.4041.3741.3491.3291.3161.3031.294

57

1.2871.281.2761.273];Rs=[115.8105.497.190.383.978.774.470.968.266.164.8];Rsi=Rs(1);Bg=[5.2225.50276.00816.56967.18727.80498.42258.98409.54559.882410.2193]*1e-3;Bt=Bo+(Rsi-Rs).*Bg;Bti=Bt(1);yexp=Np.*(Bt+(Rp-Rsi).*Bg);

par0=log([1e6 .5 1e4 .5]);// Simulated AnnealingProba_start = 0.7;It_Pre = 100;It_extern = 100;It_intern = 1000;par_test = neigh_func_default(par0);

comp_t_params = init_param();comp_t_params = add_param(comp_t_params,'neigh_func', neigh_func_default);

T0 = compute_initial_temp(par0, res1, Proba_start, It_Pre, comp_t_params);

[par_opt, f_opt, sa_mean_list, sa_var_list] = optim_sa(par0, res1, It_extern, It_intern, T0, Log = %T);par=exp(par_opt);

// Cálculo da resposta do modeloycalc=ycalc1(parot);

//Estimador da variância fundamental e da matriz de variâncias e covariânciasnexp=length(yexp);q=length(par);indices=1:nexp;

S2y=sum(sum((yexp-ycalc).^2));disp('Estimador da variância fundamental');

58

S2y=S2y/(nexp-q)

// Jacobiana do modelo em relação aos parâmetrosfor i=1:q para=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr=par; parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=ycalc1(log(para)); fr=ycalc1(log(parr)); J(:,i)=(fa-fr)/((2e-4)*par(i));end

A=J'*J;

B=inv(A);

disp('Estimador da matriz de variâncias e covariâncias');COV=S2y*B

function [f,g,ind] = cost1(par,ind)// Função auxiliar para a otimizaçãof=res1(par);for i=1:length(par) para=par; parr=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=res1(para); fr=res1(parr); g(i)=(fa-fr)/par(i)/2e-4;endendfunction

function resf=res1(par)// Função-resíduoglobal yexpycalcf=ycalc1(par);resf=ycalcf-yexp;resf=resf'*resf;plot(t,yexp,'bo',t,ycalcf,'r-')endfunction

function ycalcf=ycalc1(par)// Modelo a ser ajustadoglobal dP P Pi dt Bt Bti ct yexppar=exp(par);N=par(1);alfa=par(2);C1=par(3);beta1=par(4);Pa(1)=P(1);for i=2:length(P); Pa(i)=P(i)+(Pa(i-1)-P(i-1))*exp(-alfa*dt)+dP(i)*(exp(-alfa*dt)-1)/alfa/dt;endycalcf=N*(Bt-Bti+Bti*ct*(Pi-P))+C1*(Pi-P-beta1*(Pa-P));endfunctionclearclcglobal t Pi zi Gp Bg P_z yexp A B C

59

exec('ycalc2_.sci',-1)exec('res2_.sci',-1)exec('cost2_.sci',-1)// Regressão do modelo do Caso 02t=2:2:10;t=t';Po=0.967842;To=520;Pi=232.01;P=[212.68198.97187.72177.52168.03];Gp=[826.8521653.7042480.5563307.4084134.26]*1e6;yexp=[262.81247.48234.12222.17210.22];zi=Pi/yexp(1);Bg=[0.004620.00490.005190.005460.00577];

X=[t.^2 t ones(length(t),1)];dPe=P-Pi;bbeta=inv(X'*X)*X'*dPe;// Ajuste linearA=bbeta(1)B=bbeta(2)C=bbeta(3)

par0=log([206271e10]);// Quasi-Newton[fot,parot]=optim(cost2_,par0);par=exp(parot);

J=par(1)Vi=par(2)

// Cálculo da resposta do modeloycalc=ycalc2_(parot);

//Estimador da variância fundamental e da matriz de variâncias e covariânciasnexp=length(yexp);q=length(par);indices=1:nexp;

S2y=sum(sum((yexp-ycalc).^2));disp('Estimador da variância fundamental');S2y=S2y/(nexp-q)

60

// Jacobiana do modelo em relação aos parâmetrosfor i=1:q para=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr=par; parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=ycalc2_(log(para)); fr=ycalc2_(log(parr)); Jacob(:,i)=(fa-fr)/((2e-4)*par(i));end

aa=Jacob'*Jacob;

bb=inv(aa);

disp('Estimador da matriz de variâncias e covariâncias');COV=S2y*bb

function [f,g,ind] = cost2_(par,ind)// Função auxiliar para a otimizaçãof=res2_(par);for i=1:length(par) para=par; parr=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=res2_(para); fr=res2_(parr); g(i)=(fa-fr)/par(i)/2e-4;endendfunction

function res2f=res2_(par)// Função-resíduoglobal yexpycalcf=ycalc2_(par);res2f=(yexp-ycalcf).^2;res2f=sum(res2f);plot(t,ycalcf,'r-')plot(t,yexp,'bo')endfunction

function ycalcf=ycalc2_(par)// Modelo a ser ajustadoglobal t Pi zi Gp Bg P_z A B CJ=exp(par(1));Vi=exp(par(2));We=J*(A*t.^3+B*t.^2+C*t);ycalcf=Pi*Vi./(zi*(Vi-We));ycalcf=ycalcf./(1+Bg.*Gp./(Vi-We));endfunction

clearclc// Regressão do modelo do Caso 03t=90*(0:13)';P=[266.67

61

266.32265.34263.51260.77258.73256.13252.75249.38247.34245.02241.64240.17237.57];We=[0731394312003273464912776314111767155489204458256923315908379662445323];deltaWe=diff(We);Pi=P(1);Pbarra=P;Pbarra(length(Pbarra))=[];Pbarra=Pbarra+diff(P)/2;deltat=90;tbarra=t;tbarra(length(tbarra))=[];tbarra=tbarra+diff(t)/2;v=deltaWe./(Pi-Pbarra)./deltat;y=log10(tbarra);x=ones(length(v),1)./v;X=[ones(length(tbarra),1) x];W=diag(tbarra)/90;beta=inv(X'*W*X)*X'*W*y;c=10^(-beta(1))C=beta(2)

clearclcglobal t qi qexpexec('ycalc41.sci',-1)exec('res41.sci',-1)exec('cost41.sci',-1)// Regressão do modelo do Caso 04 - Modelo hiperbólicot=1:1:5;t=t';qi=100;qexp=[77;61;49.5;41;34.5];par0=[.4;.6];

// Quasi-Newton[fot,par,got]=optim(cost41,par0);

62

// Cálculo da resposta do modeloqcalc=ycalc41(par);plot(t,qcalc,'k-')

//Estimador da variância fundamental e da matriz de variâncias e covariânciasnexp=length(qexp);q=length(par);indices=1:nexp;

S2y=sum(sum((qexp-qcalc).^2));disp('Estimador da variância fundamental');S2y=S2y/(nexp-q)

// Jacobiana do modelo em relação aos parâmetrosfor i=1:q para=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr=par; parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=ycalc41(log(para)); fr=ycalc41(log(parr)); J(:,i)=(fa-fr)/((2e-4)*par(i));end

A=J'*J;

B=inv(A);

disp('Estimador da matriz de variâncias e covariâncias');COV=S2y*B

function [f,g,ind] = cost41(par,ind)// Função auxiliar para a otimizaçãof=res41(par);for i=1:length(par) para=par; parr=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=res41(para); fr=res41(parr); g(i)=(fa-fr)/par(i)/2e-4;endendfunction

function resf=res41(par)// Função resíduoglobal t qi qexpycalcf=ycalc41(par);resf=ycalcf-qexp;resf=resf'*resf;plot(t,qexp,'bo',t,ycalcf,'r-')endfunctionfunction ycalcf=ycalc41(par)// Modelo a ser ajustadoglobal t qiai=par(1);n=par(2);ycalcf=1+n*ai*t;ycalcf=ycalcf.^(1/n);

63

ycalcf=qi./ycalcf;endfunction

clearclcglobal t qi qexpexec('ycalc42.sci',-1)exec('res42.sci',-1)exec('cost42.sci',-1)// Regressão do modelo do Caso 04 - Modelo Exponencialt=1:1:5;t=t';qi=100;qexp=[77;61;49.5;41;34.5];par0=[.4];

// Quasi-Newton[fot,par,got]=optim(cost42,par0);

// Cálculo da resposta do modeloqcalc=ycalc42(par);plot(t,qcalc,'k-')

//Estimador da variância fundamental e da matriz de variâncias e covariânciasnexp=length(qexp);q=length(par);indices=1:nexp;

S2y=sum(sum((qexp-qcalc).^2));disp('Estimador da variância fundamental');S2y=S2y/(nexp-q)

// Jacobiana do modelo em relação aos parâmetrosfor i=1:q para=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr=par; parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=ycalc42(log(para)); fr=ycalc42(log(parr)); J(:,i)=(fa-fr)/((2e-4)*par(i));end

A=J'*J;

B=inv(A);

disp('Estimador da matriz de variâncias e covariâncias');COV=S2y*B

function [f,g,ind] = cost42(par,ind)// Função auxiliar para a otimizaçãof=res42(par);for i=1:length(par) para=par; parr=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr(i)=par(i)*(1-1e-4);

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fa=res42(para); fr=res42(parr); g(i)=(fa-fr)/par(i)/2e-4;endendfunction

function resf=res42(par)// Função-resíduoglobal t qi qexpycalcf=ycalc42(par);resf=ycalcf-qexp;resf=resf'*resf;plot(t,qexp,'bo',t,ycalcf,'r-')endfunction

function ycalcf=ycalc42(par)// Modelo a ser ajustadoglobal t qiai=par(1);ycalcf=qi*exp(-ai*t);endfunction

clearclcglobal t qi qexpexec('ycalc43.sci',-1)exec('res43.sci',-1)exec('cost43.sci',-1)// Regressão do modelo do Caso 04 - Modelo Harmônicot=1:1:5;t=t';qi=100;qexp=[77;61;49.5;41;34.5];par0=[.6];

// Quasi-Newton[fot,par,got]=optim(cost43,par0);

// Cálculo da resposta do modeloqcalc=ycalc43(par);plot(t,qcalc,'k-')

//Estimador da variância fundamental e da matriz de variâncias e covariânciasnexp=length(qexp);q=length(par);indices=1:nexp;

S2y=sum(sum((qexp-qcalc).^2));disp('Estimador da variância fundamental');S2y=S2y/(nexp-q)

// Jacobiana do modelo em relação aos parâmetrosfor i=1:q para=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr=par; parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=ycalc43(log(para)); fr=ycalc43(log(parr)); J(:,i)=(fa-fr)/((2e-4)*par(i));

65

end

A=J'*J;

B=inv(A);

disp('Estimador da matriz de variâncias e covariâncias');COV=S2y*B

function [f,g,ind] = cost43(par,ind)// Função auxiliar para a otimizaçãof=res43(par);for i=1:length(par) para=par; parr=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=res43(para); fr=res43(parr); g(i)=(fa-fr)/par(i)/2e-4;endendfunction

function resf=res43(par)// Função-resíduoglobal t qi qexpycalcf=ycalc43(par);resf=ycalcf-qexp;resf=resf'*resf;plot(t,qexp,'bo',t,ycalcf,'r-')endfunction

function ycalcf=ycalc43(par)// Modelo a ser ajustadoglobal t qiai=par(1);ycalcf=1+ai*t;ycalcf=qi./ycalcf;endfunction

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