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Fenómenos de Transferência I 2º Ano-1º Semestre (2008-2009)

Principles of Unit Operations (S. Foust)

Capítulo 9 - Transporte Molecular e Turbulento

NOTAS:

“Praticamente todas as operações unitárias envolvem transporte de massa, calor e de momento. (…) A

velocidade de transporte de massa é um importante factor na determinação do estado eficientemente, o

qual deve ser conhecido para determinar o número de estados necessários para um processo de separação

dado.”

“O Transporte Molecular depende do movimento individual de moléculas. O Transporte Turbulento resulta

do movimento de grupos moleculares. (…) transporte é um termo habitualmente que se refere a um

mecanismo fundamental que decorre numa fase única; o termo transferência refere-se a mudanças de

fase.”

“Transporte Molecular – Cada molécula de um determinado sistema tem uma certa quantidade de massa,

energia térmica e momento associado. (…) Os gases contêm relativamente poucas moléculas por unidade de

volume. Cada molécula tem poucas “vizinhas” com quem interagir, e as forças intermoleculares são fracas;

os líquidos, por outro lado, contêm uma concentração muito maior de moléculas por unidade de volume –

as forças intermoleculares são mais fortes. Consequentemente, o movimento molecular é muito mais

restrito nos líquidos.”

“Quando um sistema contém mais do que uma espécie química, transporte de massa pode ocorrer. Se a

concentração de uma espécie é maior numa região do sistema do que noutra região, o movimento

molecular converge para uma rede de transporte da espécie cuja concentração é maior numa região para

uma outra região onde a concentração em causa é menor (Difusão Molecular).”

“O transporte molecular de calor ocorre na passagem de uma região de temperatura mais alta para uma

região de temperatura mais baixa (Condução). (…) A energia (térmica) transmite-se por colisão de moléculas

em vibração em fases líquidas e em fases sólidas onde pouca ou nenhuma migração molecular ocorre. (…)

muitos líquidos e sólidos são excelentes condutores de calor, enquanto que os gases são maus condutores

de calor. Um condutor pobre é, geralmente, um bom isolante.”

“O Transporte de Momento ocorre em gases fluidos e em líquidos. (…) Por exemplo, um fluido num tubo

apresenta uma velocidade máxima no centro do tubo e uma velocidade nula nas extremidades do mesmo. O

momento é transportado de uma região de velocidade do fluido superior para outra com velocidade inferior

por intermédio de mecanismos de migração e de colisão. Num gás as forças intermoleculares são fracas e,

portanto, o transporte de momento pode ocorrer por migração e, subsequentemente, por colisão das

moléculas. Num líquido, as forças intermoleculares são fortes, logo é imperativo que se aplique uma força

substancial de modo a induzir a passagem do fluido. O que resulta é que a variação de transporte de

momento seja superior nos líquidos do que nos gases para o mesmo padrão de velocidade. O transporte

molecular de momento ocorrer em regime laminar.”

Existe, portanto, 3 tipos principais de transporte molecular: T. Massa. T. Calor e T. Momento


Equação Geral de Transporte Molecular

Para determinar tal modelo matemático é necessário um modelo físico postulado. Usemos, então, o modelo

simples do gás que foi proposto por J. C. Maxwell em 1860. O mesmo é baseado numa teoria cinética dos

gases extremamente simplificada.

1) O gás é constituído por moléculas que se representam por uma esfera de diâmetro σ.

2) Não ocorrem forças repulsivas ou atractivas entre as moléculas de gás.

3) O volume das moléculas é insignificante comparado com o volume entre as mesmas.

4) Todas as colisões entre as moléculas são perfeitamente elásticas.

5) Cada molécula move-se numa direcção completamente aleatória a uma velocidade de c.

6) Cada molécula move-se uma distância l entre colisões de outras moléculas.

7) O tempo requerido para uma molécula viajar a distância l à velocidade c designa-se por θ.

Θ =

8) O número de moléculas é grande o suficiente para estatisticamente promover valores médios

acerca das propriedades que podem ser usadas para descrever todas as moléculas.

Pelo facto das moléculas de moverem em todas as direcções possíveis, simplifica-se o cenário de

“distribuição espacial” em direcções paralelas aos eixos x, y e z. Como tal, 1/6 do número total de moléculas

desloca-se no sentido +x, 1/6 no sentido –x ….e por aí diante. (Ver figura abaixo).

“Moléculas individuais têm determinadas propriedades associadas. Estas propriedades são transferidas de

uma região de maior concentração para outra região de menor concentração (da propriedade). Exemplos de

tal propriedade de transferência incluem a energia térmica das moléculas, o momento das mesmas ou as

identidades químicas das moléculas numa mistura de dois componentes. Uma pequena porção de volume

de um gás modelo possui uma determinada concentração de uma das propriedades a transferir, sendo

designada pela letra Г.”

Г – Concentração de propriedade a transferir, em dimensões de quantidade de propriedade

transferida por unidade de volume de gás modelo.


Deste modo podemos definir o aumento da concentração de propriedade transferida numa distância x sob a

forma:

Gradiente

Transporte de Massa

“Se o gás modelo consistir em dois tipos diferentes de moléculas, pode ocorrer transporte de massa.

Considerando que um volume de uma determinada mistura gasosa possui 2 gases diferentes (a e b)

verificar-se-á transporte de massa se a concentração da fase gasosa não for uniforme.

Se a quantidade maior de gás a estiver presente num dado volume, as moléculas de a em questão

tenderão a migrar, num movimento molecular aleatório, para uma região vizinha de menor concentração de

a. Caso a diferença de concentração seja constante, um fluxo estacionário de gás a mover-se-á de uma

região de maior concentração para uma região de menor concentração.

À partida, o engenheiro está interessado, de facto, nas propriedades médias dos grupos de

moléculas, e é mais conveniente expressar-se a concentração em termos de moles/volume

Número de moles de a =

Para o Transporte de Massa…

ca (concentração de a) [SI=mol/m3]

Notação Geral para

o Gás Modelo

Notação Especifica (com dimensões)

Transporte de Massa Transporte de Energia Térmica

Transporte de Momento

Fluxo da propriedade a

transferir

Ψ

Na /A

(M/LyLzθ)

q/A

(H/LyLzθ)

τygc

(MLy /θ)/(LYLzθ)

Concentração da propriedade a

transferir

Г

ca

(M/LxLyLz) cp T

(H/LxLyLz) vρ

(MLY/θ)/(LxLyLz)

Proporcionalidade constante,

difusividade de transporte

δ= *l*c

D

(LX2θ)

α=k/ρcp

(Lx2θ)

ν=μ/ρ (Lx

2θ)


Assuma-se que a concentração varia linearmente do plano 1 para o plano 3. Dito de outro modo,

parte-se do princípio que o gradiente de concentração é constante, existindo um estado estacionário.

ψ=

Na = número de moles de a

A = Área de Transporte

= gradiente de concentração

= Fluxo de Massa do componente a

Uma vez que a expressão anterior é aplicada para o gás modelo, impera-se que se extenda a mesma

para gases, líquidos e sólidos reais. Como tal, a constante de proporcionalidade, , já não se aplica; neste

caso, usa-se o conceito de difusividade de massa, D, valor que se determina experimentalmente ou por

correlações empíricas. Assim, tem-se a denominada Lei de Fick:

É de apontar que em casos reais, como esta equação traduz, diz-se que o gás, liquido, ou sólido

difunde-se dum meio de maior concentração para um meio de menor concentração

NOTA: O mesmo se aplica para o componente b

Para gases ou líquidos reais (diluídos), os coeficientes de difusão são iguais! As velocidades de

difusão para os gases a e b estão interligados. A concentração total para uma mistura gasosa é dada por:

ct=ca+cb

Se a temperatura e pressão total forem constantes, o número total de moles por unidade de volume

é constante.

Logo, se existir um gradiente de concentração em a, também existe um gradiente de concentração

em b. Consequentemente, também se verifica um fluxo de massa para o componente b. Assim temos:

Na = -Nb

Aplicando a equação dos gases perfeitos, pa V = Na R T, podemos expressar a Lei de Fick em termos

de pressão parcial de a.


ca=

a b

As velocidades de transferência das duas espécies por transporte molecular são iguais em módulo e

simétricas entre si.

Transporte de Calor

Se as moléculas de um gás numa região possuírem maior energia térmica do que na região

vizinha, parte da energia térmica é transportada por movimento molecular aleatório de uma região de maior

energia térmica para uma região de menor energia térmica (também usualmente designada por calor).

Quanto maior a temperatura, maior a concentração de energia térmica. Por conseguinte, o calor

será transportado de uma região de maior temperatura para uma região de menor temperatura.

Г (concentração da propriedade a transportar) »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» ρ.cpT (J/m3)

É de apontar que a concentração de energia térmica no plano 1 pode ser diferente no plano 2 e, por

conseguinte, no plano 3.

(ρ.cpT)1 (ρ.cpT)2 (ρ.cpT)3

Por outras palavras, o comprimento l (analogia à “espessura de uma parede”), onde a

capacidade térmica é constante, assim como a velocidade e propagação pode variar. Por esse facto assuma-

se um “valor médio” para l e para c. Daí resulta…

Da mesma forma que se aplicou para o transporte de massa, para o caso de gases, líquidos e sólidos

reais, aqui também participa o conceito de difusividade – neste caso, o de difusividade térmica, α. Assim

tem-se…

Para a energia térmica …


No entanto, o mecanismo de transporte de calor difere do mecanismo de transporte de massa;

deste modo, α, geralmente, não apresenta os mesmos valores de em materiais reais. Daí recorrer-se à

noção de condutividade térmica, k ( α = ).

= Fluxo Térmico

= Gradiente Térmico

A condutividade térmica pode variar entre gases, líquidos e sólidos, na medida em que existe uma

grande diferença no mecanismo de transporte de calor nestas 3 fases físicas.

Transporte de Momento

“Se a velocidade do fluxo fosse constante em todas as divisórias (slabs), a concentração de momento

em cada divisória seria a mesma, e não ocorreria transporte de momento em rede de divisória para divisória.

No gás representado, as velocidades de fluxo nas divisórias diferem, como é indicado pelo comprimento

setas que representam o momento fluxo.

(…) No gás modelo, mc é uniforme através do elemento de volume, e o somatório dos mesmos

vectores é zero. Consequentemente, esse factor não contribui para o excesso de momento necessário ao

transporte de momento. Caso as velocidades de fluxo das divisórias não sejam iguais, um excesso de

momento pode existir numa divisória, comparando com outra.

(…) O gás modelo é considerado por fluir de maneira regular na direcção +y. Grupos de moléculas

fluem paralelamente com os planos xy e yz. Como tal, não existe movimento aleatório desde que se tenha

em conta um fluxo de um gás. De facto, as moléculas podem, individualmente, mover-se aleatoriamente.

Contudo, o “momento médio global” descreve uniformemente o sentido do fluxo. Este movimento


macroscópico uniforme é designado de Fluxo Laminar; um fluxo macroscopicamente aleatório é referido

como Fluxo Turbulento.”

(para n moléculas)

=> Estado Estacionário (fluxo de momento constante); para o gás

modelo, a velocidade é constante!

Como, neste caso, tem-se…

A=

Contudo, o fluxo de momento não pode ser medido directamente, mas está relacionado com uma

força ou uma tensão de corte, actuando na fase do fluido.

v1>v2. Se as moléculas forem da divisória 1 para a divisória 2, assuma-se, em primeiro lugar, que as

mesmas têm de ser “desaceleradas” de modo que o momento seja distribuído para a divisória 2. A força em

questão actua no sentido de +y (Fy1) – força exercida na divisória 2 pela divisória 1. Reciprocamente, as

moléculas que efectuam o sentido div.2->div.1 são submetidas pela força –Fy2 de modo a serem aceleradas.

Fy1 = -Fy2 (Força de corte)


τy (Tensão de Corte)

τy.gc = => Tensão de Corte entre as divisórias!

É de apontar que a tensão de corte que actua num plano é igual ao fluxo de momento em rede ao

longo do mesmo plano. Em consequência, a tensão de corte na direcção +y (τy.gc) pode ser substituída pelo

fluxo de momento na direcção +x. Assim…

Para gases e liquidos reais, constante de proporcionalidade, , presente no gás modelo, é

substituída pelo factor empiricamente ν (difusividade de momento).

τy.gc =

=

Para uma viscosidade absoluta, μ=νρ temos…

τy.gc = => Lei de Newton

Fluido Newtoniano => μ é constante independentemente da variação do gradiente de velocidade

Fluido Não-Newtoniano => μ varia ao mesmo tempo que o gradiente de velocidade também varia.

Transporte nos Líquidos

“A teoria cinética dos gases tem sido tão positivamente desenvolvida que a informação disponível

correspondente pode ser facilmente generalizada; além disso, as previsões acerca das propriedades a

transportar podem ser determinadas com rigorosa coerência. No entanto, a teoria cinética dos líquidos não

é tão bem organizada, de tal modo que nenhuma teoria foi singularmente aceite pela comunidade

científica”. Um factor claramente responsável por tal facto, é o perfil que, geralmente, caracteriza um líquido

– onde a estrutura molecular do líquido é complexa e as moléculas estão, de tal modo próximas entre si que

as forças intermoleculares são fortes e, portanto, não são desprezáveis.

“(…) Os líquidos são muito menos compressíveis que os gases (por não apresentarem tão grande

número de espaços vazios entre as moléculas) porém, uma pequena concentração de espaços vazios pode

ser suportada sob pressões elevadas.”

“ Uma molécula pode migrar para um buraco (espaço vazio), o que promove força suficiente para

ultrapassa a “resistência” das forças intermoleculares (atractivas). Por migração, a molécula cria um novo


buraco, que pode ser preenchido por outra molécula. Daí, a migração molecular é possível, mas a uma

velocidade muito menor do que nos gases, devido à enorme resistência da migração nos líquidos”

Líquidos migração restrita dificulta o transporte molecular de massa

Na medida em que uma molécula pode colidir com uma vizinha, a primeira pode transmitir energia

térmica sem sair da sua posição. Isto é, portanto, um mecanismo de transporte de calor. Para causar um

fluxo num liquido, uma força relativa forte tem que ser aplicada para se sobrepor às forças intermoleculares

fortes. Como resultado, o coeficiente de transporte de momento é mais alto nos líquidos do que nos gases.”

Fluidos Não-Newtonianos

“A viscosidade newtoniana é independente do gradiente de velocidade, dv/dx, assim como o tempo

de aplicação de corte. Se a viscosidade variar com o gradiente ou com o tempo de corte, o fluido é

denominado de fluido não-newtoniano.” Em geral os líquidos, gases e, em geral, misturas de baixo peso

molecular entram na gama dos fluidos newtonianos; já as misturas que apresentam um elevado peso

molecular traduzem os fluidos não-newtonianos.

“Os fluidos não-newtonianos combinam características dos sólidos e dos líquidos.”

Transporte

de Massa

de Calor

de Momento

é transportado… de região de maior concentração p/região de menor

concentração

é transportado… de região de maior temperatura p/ região de menor

temperatura

é transportado… de região de maior velocidade p/ região de menor

velocidade

Lei de Fick

Lei de Fourier

Lei de Newton

τy.gc =


Unidades Típicas

Símbolo Definição Dimensões Unidades Britânicas

Métricas (cgs)

Sistema Internacional

Na Variação de transporte de

massa

M/θ lb mole / hr mol/s

q Variação de Transporte de

Calor

H/θ Btu/hr J/s

τy Tensão de Corte

F/LyLz lbf/ft2 N/m2

gc Constante Dimensional

MLj/θ2Fj 4.18x108 lb ft/hr2

lbf 1.0

A Área de transporte

LyLz ft2 kg m/Ns2

ca

Concentração M/LxLyLz

lb mole/ft3 m2

cp Capacidade Témica

H/MT Btu/lb ºF mol/m3

T Temperatura T ºF J/kg ºC

v Velocidade do fluido

Ly/θ ft/hr ºC ou K

k Condutividade Térmica

H/θLyLz(T/Lx) Btu/hr ft2 (ºF/hr) m/s

ρ Densidade M/ LxLyLz lb/ft3 J/s m2 (ºC/m)

μ Viscosidade MLx /LyLz θ lb/ft hr

δ Difusividade de transporte

generalizado

Lx2/ θ ft2/hr cm2/s m2/s

D

Difusividade de Massa


α Difusividade Térmica


ν Difusividade de Momento


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