Fenmenos de Transporte em Meios Porosos Escoamento Monofsico e Transporte de Massa

Dissertao de Doutoramento em

Engenharia Qumica por

Antnio Augusto Areosa Martins

Orientadores Jos Carlos Brito Lopes

Madalena Maria Gomes de Queiroz Dias

Laboratrio de Processos de Separao e Reaco

Departamento de Engenharia Qumica Faculdade de Engenharia

Universidade do Porto

Julho 2006

Agradecimentos

Ao concluir este trabalho desejo agradecer a todas as pessoas que, de diferentes formas, me

ajudaram a alcanar durante o trabalho de investigao que culminou nesta dissertao.

Em primeiro lugar, os meus orientadores, Professor Jos Carlos Brito Lopes e Professora

Madalena Maria Queiroz Dias, pela oportunidade e condies que me deram para a realizao

deste trabalho. As suas sugestes, apoio incondicional, disponibilidade permanente para

responder s minhas solicitaes, e a fora que me deram para passar os maus momentos foi

fundamental para concluir este trabalho com sucesso.

Aos restantes membros do LSRE, em particular o Professor Alrio Egdio Rodrigues, pelo

excelente ambiente de trabalho existente para a realizao de trabalhos de investigao e pela

disponibilizao dos recursos necessrios, em particular computacionais.

Aos meus colegas de doutoramento agradeo a camaradagem e a amizade ao longo deste

trabalho, em espacial aqueles que me acompanharam de mais perto: Vera Mata, Andr

Teixeira, Peter Spicka, Maria Isabel Nunes, Miroslav Panacek, Francisco Avelino Freitas, Rui

Soares, Paulo Laranjeira e a Susana.

Agradeo tambm Fundao da Cincia e da Tecnologia a concesso de uma bolsa, CICA a

possibilidade de utilizao dos recursos computacionais disponveis, e biblioteca da FEUP a

disponibilidade para tratar todos os meus pedidos com eficincia.

Finalmente, os meus agradecimentos minha famlia pelo seu suporte e apoio dados ao longo

deste trabalho, especialmente para a minha esposa Teresa Mata pelo sua compreenso,

conselhos, pacincia, sugestes, crticas construtivas e humor durante a escrita desta

dissertao.

Dedicatria

Esta dissertao dedicada minha Esposa Teresa Mata, pelo amor

e dedicao demonstrada durante a realizao deste trabalho.

This is not the beginning of the end,

it is just the end of the beginning

Winston Churchill, 1941

Resumo

Neste trabalho o escoamento e o transporte de massa atravs de um meio poroso so descritos,

caracterizados e simulados, com o objectivo de melhor compreender os mecanismos e a

influncia da estrutura de um meio poroso. Este estudo limitado ao caso de escoamento de

fluidos newtonianos incompressveis em estado estacionrio.

A estrutura de um meio poroso foi descrita com um modelo de redes formado por dois tipos

de elementos: as cmaras (esferas), representando os vazios de maiores dimenses e os canais

(cilindros), que interligam as cmaras entre si. Na gerao da rede as relaes entre os dois

tipos de elementos ao nvel local so tidas em considerao. proposto um modelo

geomtrico, baseado na caracterizao geomtrica de leitos de enchimento regulares de

esferas de dimetro constante, para prever as dimenses caractersticas dos elementos da rede

em funo das caractersticas do leito de enchimento. Este modelo adequado no caso em que

a distribuio dos dimetros equivalentes das partculas apertada.

O escoamento atravs dos elementos da rede descrito utilizando a analogia com um circuito

elctrico puramente resistivo. A existncia dos dois tipos de elementos de rede tida em

considerao de forma explcita. Os resultados mostram que apenas quando so considerados

os efeitos das ligaes entre cmaras e canais possvel descrever o escoamento num meio

poroso em qualquer regime de escoamento. O modelo proposto utilizado para caracterizar a

influncia das caractersticas geomtricas da rede e dos seus elementos. observada uma boa

concordncia entre os valores previstos de permeabilidade, as constantes da Equao de

MacDonald e dados experimentais disponveis na literatura.

O transporte de massa descrito simulando a resposta transiente da rede a uma perturbao de

traador aplicada na entrada do fluido. Os mecanismos de transporte de massa por conveco

so associados aos canais e os dispersivos s cmaras. O atraso devido ao escoamento nos

canais considerado de forma explcita nas equaes de balano material e sua resoluo

numrica. O modelo proposto permite caracterizar a influncia da estrutura da rede e dos seus

elementos, em particular quando a conveco o mecanismo de transporte de massa

dominante. Dois parmetros so propostos para avaliar a influncia relativa dos mecanismos

convectivos e dispersivos de transporte de massa. A comparao com dados experimentais

adequada desde que as previses do modelo sejam corrigidas usando um parmetro funo

apenas da porosidade.

Abstract

In this work the flow and mass transport through a porous medium are described,

characterised and simulated, with the objective of better understand the underlying

mechanisms and the influence of the medium structure. This study is limited to newtonian

fluids in steady state flow.

The structure of the porous medium is described using a network model with two types of

elements: chambers and cylinders. Chambers are modelled as spheres, representing the larger

voids and channels are modelled as cylinders, representing the smaller voids that interconnect

chambers. The interrelation between the two types of the network model elements is taken

into account at the local level. A geometrical model is proposed to predict values of the

particles size distribution of the network elements as a function of the characteristics of the

packed bed. It is based on the geometric characterization of a regular packed bed formed by

spheres of constant diameter. This model is adequate in the situation that the particles size

distribution is narrow.

The flow through the network elements is described using the analogy with a purely resistive

electrical circuit. The existence of two types of network elements is explicitly considered. The

results show that only when the influence of the connections between channel and chambers

is considered it is possible to describe any of the flow regimens. The proposed model is used

to characterise the influence of the geometry of the network and their elements. It is observed

a good agreement between the predicted values of permeability, the constants of

MacDonalds Equations and experimental data available in the literature.

The mass transport is described by simulating the transient response of the network to tracer

perturbation applied at the entrance of the fluid. The mass transport by convection and

dispersion is associated with the channels and chambers respectively. The delay due to the

flow in the channel is taken into account when writing and numerically solving the mass

transport equations. The proposed model allows one to determine the influence of the network

structure and their elements, especially when mass transport by convection is dominant. Two

parameters are proposed to assess the relative importance of the convection and dispersion

mechanisms. The comparison with experimental data shows is good only when a correcting

factor function only of the porosity.

Rsum

Dans ce travail lcoulement et le transport de masse travers dun milieu poreux sont dcrits,

caractriss et simuls, avec l'objectif de mieux comprendre les mcanismes au-dessous et

l'influence de la structure du moyen. Cette tude est limite aux fluides newtoniens

incompressibles dans coulement de l'tat stationnaire.

La structure du milieu poreux est dcrite en utilisant un modle de rseau constitu par deux

types d'lments: chambres et cylindres. Les chambres sont modells comme sphres,

reprsentant les plus grands vides et les canaux sont modells comme cylindres, reprsentant

les plus petits vides qui interconnectent les chambres. Les connexions entre ces deux types

d'lments sont prises en considration au niveau local pour la gnration du modle du

rseau. Un modle gomtrique est propos pour prdire les valeurs des dimensions des

lments du rseau comme une fonction des caractristiques du lit. Il est bas dans la

caractrisation gomtrique d'un lit fixe forme par sphres de diamtre constant. Ce modle

est adquat dans la situation que la distribution des diamtres des particules est troite.

Lcoulement travers des lments du rseau est dcrit en utilisant l'analogie avec un circuit

lectrique purement resistive. L'existence de deux types d'lments du rseau est consider de

faon explicite. Les rsultats montre qui seulement quand l'influence des connexions entre

canaux et les chambres sont considres c'est possible de dcrire lcoulement en milieu

poreux dans chacun des rgimes dcoulement. Le modle propos est utilis pour

caractriser l'influence de la gomtrie du rseau et de leurs lments. Il est observ un bon

accord entre les valeurs prvus par le modle et les valeurs exprimentaux.

Le transport de masse est dcrit en simulant la rponse transiente du rseau une perturbation

du traceur appliqu l'entre du fluide. Les mcanismes de transport de masse par convection

sont associs aux canaux et par dispersion sont associs aux chambres. Le retard d

lcoulement dans les canaux est considr explicitement pendant lcriture des quations du

transport de masse et sa rsolution numrique. Le modle propos permet caractriser

l'influence de la structure du rseau et de leurs lments, surtout quand la convection est le

mcanisme de transport de masse dominant. Deux paramtres sont proposs pour avalier

l'importance relative des mcanismes de convection et dispersion du transport de masse. La

comparison avec information experimentelle bonne seleument quand on utilize une facteur

de correction funcin de la porosit.

ndice Geral

Pg.

1. INTRODUO ................................................................................................................. 1 1.1 Importncia e motivaes .......................................................................................... 1 1.2 Objectivos .................................................................................................................. 2

2. REVISO BIBLIOGRFICA......................................................................................... 7 2.1 Introduo .................................................................................................................. 7 2.2 Caracterizao e Modelizao de Meios porosos .................................................... 10

2.2.1 Definio e Caractersticas Gerais ............................................................... 10 2.2.2 Parmetros Macroscpicos........................................................................... 11

2.2.2.1 Porosidade...................................................................................... 12 2.2.2.2 rea Superficial Especfica............................................................ 12 2.2.2.3 Caracterizao das Partculas em Leitos de Enchimento............... 13

2.2.3 Modelizao de Meios Porosos.................................................................... 14 2.2.4 Modelos de Redes ........................................................................................ 15

2.2.4.1 Modelos Unidimensionais.............................................................. 16 2.2.4.2 Modelos Bidimensionais e Tridimensionais .................................. 18 2.2.4.3 Outros Modelos.............................................................................. 23

2.2.5 Forma Geomtrica e Distribuio de Tamanhos de Poros........................... 24 2.3 Escoamento Monofsico em Meios Porosos ........................................................... 34

2.3.1 Caracterizao dos Regimes de Escoamento ............................................... 34 2.3.2 Parmetros Macroscpicos........................................................................... 37

2.3.2.1 Permeabilidade............................................................................... 37 2.3.2.2 Tortuosidade................................................................................... 39

2.3.3 Modelos Fenomenolgicos de Descrio do Escoamento ........................... 41 2.3.4 Modelos Baseados na Definio de Dimetro Hidrulico ........................... 44

2.3.4.1 Regime Laminar............................................................................. 44 2.3.4.2 Regime Turbulento ........................................................................ 47 2.3.4.3 Escoamento No-Linear - Equao de Ergun ............................... 48 2.3.4.4 Extenses Equao de Ergun ...................................................... 55

2.3.5 Modelos Baseados em Redes de Elementos Simples .................................. 61 2.3.5.1 Modelos Unidimensionais.............................................................. 62 2.3.5.2 Modelos de Redes Bidimensionais e Tridimensionais .................. 72 2.3.5.3 Aplicaes dos Modelos de Redes Bidimensionais e

Tridimensionais.............................................................................. 79 2.4 Transporte de Massa em Meios Porosos.................................................................. 88

2.4.1 Descrio Geral ............................................................................................ 88 2.4.2 Mecanismos de Transporte de Massa em Meios Porosos............................ 90

2.4.2.1 Descrio geral............................................................................... 90 2.4.2.2 Regimes de Disperso Hidrodinmica em Meios Porosos ............ 94

2.4.3 Modelos de Descrio da Disperso num Tubo........................................... 97 2.4.3.1 Modelo de Taylor-Aris................................................................... 97 2.4.3.2 Limitaes e Extenses do Modelo de Taylor-Aris..................... 102 2.4.3.3 Mtodo dos Momentos de Aris.................................................... 108

2.4.4 Modelo de Disperso.................................................................................. 111 2.4.5 Modelos de Redes ...................................................................................... 116

2.4.5.1 Descrio Geral............................................................................ 116 2.4.5.2 Particle Tracking .......................................................................... 117

NDICE GERAL ii

2.4.5.3 Anlise do Comportamento do Perfil de Concentraes..............122 Modelos de Redes Unidimensionais ...................................................... 122 Modelos de Tanques Agitados............................................................... 124 Modelos Baseados no Uso de Transformadas de Laplace..................... 128 Modelos Baseados em Balanos Materiais aos Elementos da Rede...... 133

2.5 Concluses..............................................................................................................139

3. MODELO DE REDES ..................................................................................................141 3.1 Introduo...............................................................................................................141 3.2 Escolha do Modelo .................................................................................................145 3.3 Descrio do Modelo de Redes ..............................................................................148 3.4 Descrio do Algoritmo de Gerao da Rede ........................................................155

3.4.1 Clculo do Nmero de Cmaras e Canais ..................................................156 3.4.2 Atribuio dos Dimetros das Cmaras......................................................157 3.4.3 Atribuio dos Dimetros dos Canais ........................................................158 3.4.4 Caso Especial - Alterao do Nmero de Coordenao.............................161 3.4.5 Atribuio dos Comprimentos dos Canais .................................................163 3.4.6 Determinao da Espessura da Rede ..........................................................165 3.4.7 Redes Especiais ..........................................................................................167

3.4.7.1 Rede com distribuies pontuais de tamanhos dos elementos .....167 3.4.7.2 Redes sem cmaras.......................................................................168

3.4.8 Anlise dos Parmetros de Entrada do Gerador da Rede ...........................168 3.4.8.1 Dependncia entre o comprimento mdio dos canais e ...........169 3.4.8.2 Valores limites do Dimetro Mdio das Cmaras e Canais .........172 3.4.8.3 Influncia da incluso ou no das calotes.....................................173

3.4.9 Diagrama de Fluxo do Gerador da Rede ....................................................174 3.5 Determinao dos Parmetros das Distribuies de Tamanhos .............................176

3.5.1 Enchimentos de Esferas Ideais ...................................................................177 3.5.2 Descrio e Caracterizao dos Enchimentos ............................................181 3.5.3 Determinao do Dimetro Mdio das Cmaras ........................................186 3.5.4 Determinao do Dimetro Mdio e Comprimento dos Canais.................187

3.5.4.1 Modelo T1 ....................................................................................191 3.5.4.2 Modelo T2 ....................................................................................201 3.5.4.3 Modelos T3 e T4 ..........................................................................205

3.5.5 Determinao de .....................................................................................208 3.5.6 Funes de Distribuio das Dimenses dos Elementos da Rede..............214

3.6 Anlise do Modelo Geomtrico..............................................................................214 3.6.1 Limitaes dos Modelos .............................................................................215 3.6.2 Influncia da Incluso do Enchimento Ortorrmbico ................................218 3.6.3 Influncia da Incluso das Calotes .............................................................224 3.6.4 Comparao entre os Modelos T2 e T2S....................................................229 3.6.5 Verificao dos Critrios e Restries Impostos no Gerador da Rede.......231 3.6.6 Seleco do Modelo....................................................................................236 3.6.7 Comparao com Valores Publicados ........................................................237

3.7 Anlise dos resultados do gerador da Rede............................................................241 3.7.1 Influncia das Caractersticas Geomtricas da rede ...................................244

3.7.1.1 Dimenses da rede........................................................................244 3.7.1.2 Estrutura da Rede .........................................................................246 3.7.1.3 Incluso das Calotes .....................................................................254

3.7.2 Influncia dos Parmetros Estatsticos da Rede .........................................256 3.7.2.1 Desvio Padro...............................................................................256

NDICE GERAL iii

3.7.2.2 Razo Entre os Dimetros Mdios das Cmaras e Canais........... 258 3.8 Anlise das Distribuies das Dimenses dos Elementos da Rede ....................... 260

3.8.1 Distribuies de Dimetros ........................................................................ 261 3.8.1.1 Influncia das Condies Impostas na Estrutura Local da Rede .261 3.8.1.2 Influncia dos Parmetros Estatsticos das Distribuies Iniciais267

3.8.2 Distribuies de Comprimentos dos Canais .............................................. 270 3.8.2.1 Influncia da Estrutura da Rede ................................................... 271 3.8.2.2 Influncia dos Parmetros Estatsticos das Distribuies Iniciais273

3.9 Concluses ............................................................................................................. 275

4. MODELIZAO E SIMULAO DO ESCOAMENTO ....................................... 279 4.1 Introduo .............................................................................................................. 279 4.2 Modelizao do Escoamento ................................................................................. 282

4.2.1 Descrio do Modelo ................................................................................. 283 4.2.2 Implementao do Modelo......................................................................... 285

4.3 Modelizao da Hidrodinmica dos Elementos da Rede....................................... 289 4.3.1 Modelizao da Hidrodinmica dos Canais ............................................... 289 4.3.2 Modelizao da Hidrodinmica das Cmaras ............................................ 293

4.3.2.1 Resistncia das interligaes em Regime Linear......................... 294 4.3.2.2 Resistncia das interligaes em Regime No Linear ................. 295

4.3.2.3 Discusso dos Vrios Modelos de Determinao de ET

jR .......... 298 4.3.3 Determinao da Resistncia Associada a um Ramo ................................ 299

4.3.3.1 Modelo FRIC ............................................................................... 300 4.3.3.2 Modelo ICAM.............................................................................. 300 4.3.3.3 Comparao dos Modelos ICAM e FRIC.................................... 302 4.3.3.4 Influncia dos Parmetros da Rede.............................................. 306

4.3.4 Clculo do Vector de Fontes de Corrente .................................................. 307 4.3.4.1 Rede com Distribuio Pontual de Tamanhos ............................. 308

4.4 Implementao do Algoritmo de Simulao.......................................................... 308 4.4.1 Caso geral................................................................................................... 309

4.4.1.1 Questes na Implementao do Algoritmo de Simulao ........... 312 4.4.2 Tratamento dos Resultados das Simulaes .............................................. 313 4.4.3 Rede Uniforme ........................................................................................... 316

4.4.3.1 Clculo dos Parmetros Conhecido o Valor de Caudal Volumtrico Total ............................................................................................. 323

4.4.3.2 Clculo dos Parmetros Conhecido o Valor da Queda de Presso Total ............................................................................................. 325

4.4.3.3 Expresses tericas dos parmetros macroscpicos para redes uniformes ..................................................................................... 327

4.5 Anlise de Sensibilidade ........................................................................................ 330 4.5.1 Anlise dos Modelos para o Clculo de jR ............................................... 331 4.5.2 Determinao das Constantes da Equao de MacDonald ........................ 336

4.5.2.1 Estratgia Baseada num Ajuste em Coordenadas Logartmicas..337 4.5.2.2 Estratgia Baseada num Ajuste em Coordenadas lineares........... 339 4.5.2.3 Comparao das Estratgias de Determinao de A e B ........... 340

4.5.3 Determinao das Dimenses da Rede Estatisticamente Vlidas.............. 343 4.5.3.1 Regime linear de escoamento ...................................................... 344 4.5.3.2 Regime no linear de escoamento................................................ 348

4.5.4 Influncia das Caractersticas Estruturais da Rede .................................... 351 4.5.4.1 Influncia do Tipo de Fronteiras da Rede.................................... 351 4.5.4.2 Influncia da incluso ou no canais horizontais......................... 353 4.5.4.3 Influncia do nmero de coordenao mdio da rede.................. 357

NDICE GERAL iv

4.5.4.4 Influncia do Valor do ngulo com a vertical ..............................360 4.5.4.5 Influncia do Valor do comprimento mdio dos canais...............361

4.5.5 Influncia da Incluso ou no das Calotes..................................................362 4.5.6 Influncia dos Parmetros Estatsticos .......................................................364

4.5.6.1 Influncia do Valor do Desvio Padro .........................................364 4.5.6.2 Influncia de D e d ....................................................................368

4.6 Anlise de Sensibilidade do Modelo Geomtrico ..................................................376 4.6.1 Anlise de Sensibilidade dos Modelos T1 e T2 .........................................378 4.6.2 Anlise de Sensibilidade dos Modelos T1S e T2S .....................................382 4.6.3 Comparao entre Modelos Completos e Simplificados............................387

4.7 Comparao com Correlaes e Dados Experimentais..........................................389 4.7.1 Validao do Modelo Proposto ..................................................................391 4.7.2 Comparao com correlaes publicadas...................................................392 4.7.3 Comparao com Resultados Experimentais .............................................398

4.8 Concluses..............................................................................................................407

5. MODELIZAO DO TRANSPORTE DE MASSA .................................................411 5.1 Introduo...............................................................................................................411 5.2 Modelo para o transporte de massa ........................................................................412

5.2.1 Descrio geral ...........................................................................................412 5.2.2 Modelizao do comportamento dos elementos da rede ............................413

5.2.2.1 Descrio do comportamento dos canais .....................................413 5.2.2.2 Descrio do comportamento das cmaras...................................414 5.2.2.3 Modelo completo..........................................................................416

5.3 Implementao do modelo de descrio do transporte de massa ...........................420 5.3.1 Descrio geral ...........................................................................................421 5.3.2 Resoluo das equaes de balano material das cmaras.........................424 5.3.3 Estratgia implementada para tomar em conta os atrasos dos canais.........426

5.3.3.1 Descrio geral .............................................................................426 5.3.3.2 Anlise do comportamento de uma rede simples .........................427 5.3.3.3 Extenso a uma rede geral............................................................429

5.3.4 Critrios de paragem do simulador de transporte de massa .......................430 5.3.5 Simplificao da resoluo do sistema de equaes diferenciais...............432

5.3.5.1 Cmaras na linha de topo da rede.................................................433 5.3.5.2 Reduo do nmero de equaes a resolver em alguns tipos de

perturbaes..................................................................................433 5.3.6 Estrutura geral do simulador de transporte de massa .................................434

5.3.6.1 Dados necessrios e preliminares.................................................434 5.3.6.2 Discretizao espacial dos canais.................................................436 5.3.6.3 Implementao computacional do modelo...................................439

5.3.7 Tratamento e verificao dos resultados obtidos pelo simulador...............440 5.3.7.1 Determinao das distribuies de tempos de residncia.............441 5.3.7.2 Validao dos resultados obtidos .................................................444 5.3.7.3 Parmetros qualitativos de caracterizao do transporte de massa446

5.3.8 Caso particular de rede uniforme................................................................447 5.3.8.1 Determinao da distribuio de tempos de residncia para uma

rede uniforme................................................................................449 5.3.8.2 Determinao dos parmetros que caracterizam a resposta de uma

rede uniforme................................................................................450 5.3.8.3 Anlise do comportamento de uma rede uniforme.......................457

5.4 Anlise de sensibilidade .........................................................................................460

NDICE GERAL v

5.4.1 Anlise do modelo proposto para a descrio do transporte de massa ...... 463 5.4.1.1 Influncia do tipo de perturbao na determinao da distribuio

de tempos de residncia ............................................................... 463 5.4.1.2 Exemplos de perturbaes ........................................................... 467 5.4.1.3 Influncia das condies fronteira entrada da rede ................... 470 5.4.1.4 Influncia do passo de integrao seleccionado .......................... 477 5.4.1.5 Influncia da aplicao das condies de saturao nos elementos

da rede .......................................................................................... 482 5.4.2 Influncia das caractersticas do escoamento............................................. 490

5.4.2.1 Influncia do regime de escoamento macroscpico na rede........ 490 5.4.2.2 Influncia das constantes associadas a entradas e sadas de fluido

nas cmaras .................................................................................. 499 5.4.3 Influncia das caractersticas da rede......................................................... 501

5.4.3.1 Influncia das dimenses da rede................................................. 502 5.4.3.2 Influncia do tipo de fronteiras da rede ....................................... 508 5.4.3.3 Rede uniforme versus rede no uniforme .................................... 512 5.4.3.4 Influncia da distribuio de nmeros de coordenao na rede...514 5.4.3.5 Outros parmetros ........................................................................ 520

5.4.4 Influncia dos parmetros das distribuies das dimenses caractersticas dos elementos da rede ................................................................................ 521 5.4.4.1 Influncia dos valores mdios das distribuies das dimenses

caractersticas dos elementos da rede........................................... 522 5.4.4.2 Influncia dos valores do desvio padro das distribuies das

dimenses caractersticas dos elementos da rede......................... 531 5.4.4.3 Influncia do comprimento mdio dos canais oblquos............... 535

5.5 Comportamento previsto usando os modelos geomtricos.................................... 539 5.5.1 Parmetros adimensionais em funo da porosidade................................. 540 5.5.2 Comportamento previsto para o coeficiente de disperso longitudinal ..... 544

5.6 Comparao com dados experimentais.................................................................. 548 5.7 Concluses ............................................................................................................. 556

6. CONCLUSES E SUGESTES DE TRABALHO FUTURO................................. 561 6.1 Concluses ............................................................................................................. 561

6.1.1 Modelo de redes ......................................................................................... 561 6.1.2 Modelo hidrodinmico ............................................................................... 562 6.1.3 Transporte de massa ................................................................................... 564

6.2 Sugestes de trabalho futuro .................................................................................. 566 6.2.1 Modelo de redes ......................................................................................... 566 6.2.2 Simulador hidrodinmico........................................................................... 568 6.2.3 Transporte de massa ................................................................................... 569

7. BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................... 573

ndice de Figuras

Pg.

Figura 1.1 Organizao da dissertao.................................................................................... 3

Figura 2.1 Estado inicial e final de um enchimento de partculas aps sinterizao por compresso e/ou aquecimento (Sahimi, 1995).................................................... 11

Figura 2.2 Exemplos de modelos de redes de capilares unidimensionais............................. 17

Figura 2.3 Exemplos de redes bidimensionais modelos de estrutura regular. ................... 19

Figura 2.4 Exemplos de redes bidimensionais modelos com estrutura irregular............... 21

Figura 2.5 Exemplos de modelos de redes tridimensionais regulares................................... 22

Figura 2.6 Exemplos de modelos de redes tridimensionais irregulares. ............................... 22

Figura 2.7 Exemplos de modelos de tanques agitados.......................................................... 23

Figura 2.8 Exemplo de leito de enchimento formado a partir de esferas com uma distribuio de dimetros. ................................................................................... 28

Figura 2.9 Clula utilizada por Dodds e Lloyd (1971) no modelo de enchimento de esferas.................................................................................................................. 32

Figura 2.10 Regimes de escoamento num meio poroso (Fand et al., 1987). .......................... 35

Figura 2.11 Evoluo da zona de transio ao longo do meio poroso com o tempo (Fried e Combarnous, 1971). ............................................................................................ 89

Figura 2.12 Diferentes mecanismos de disperso de partculas de tracer (Fried e Combarnous, 1971). ............................................................................................ 93

Figura 2.13 Regimes de disperso em funo do nmero de Peclet (Sahimi, 1995). ............. 95

Figura 2.14 Evoluo do perfil de concentraes num capilar em regime laminar; a) perturbao inicial b) sem difuso molecular; c) com difuso molecular (Kaviany, 1995)................................................................................................... 98

Figura 2.15 Zonas de validade das vrias solues aproximadas da equao geral de balano material num tubo cilndrico (Nigam e Saxena, 1986). ....................... 106

Figura 3.1 Trajecto de uma partcula de fluido atravs dos dois tipos de leitos de placas estudados por Seguin et al. (1998a e 1998b): a) orientao das placas perpendicular ao sentido de escoamento; b) orientao das placas paralela ao sentido de escoamento....................................................................................... 143

Figura 3.2 Leito bidimensional: a) esquema; b) esquema mostrando a rede de cmaras e canais; c) modelo de rede de poros. .................................................................. 147

Figura 3.3 Clula fundamental do modelo de redes............................................................ 149

Figura 3.4 Tipos de redes fundamentais que podem ser gerados: a) com canais horizontais e com fronteiras peridicas; b) com canais horizontais e sem fronteiras peridicas; c) sem canais horizontais e com fronteiras peridicas; d) sem canais horizontais e sem fronteiras peridicas........................................... 150

Figura 3.5 Esquema da calote formada na juno entre uma cmara e um canal............... 152

NDICE DE FIGURAS VIII

Figura 3.6 Diferentes pares de canais que devem ser verificados para a no interseco de canais para redes: a) sem canais horizontais; b) com canais horizontais......159

Figura 3.7 Estrutura local da rede de cmaras e canais: a) caso geral; b) limite superior, max ; c) limite inferior, min . .............................................................................169

Figura 3.8 Valor mnimo e mximo de em funo da razo DLO . ...............................170

Figura 3.9 Representao esquemtica dos casos limites de redes em funo de para 1=DLO . ..........................................................................................................170

Figura 3.10 Razo llh em funo da razo lhD )2( . .....................................................171

Figura 3.11 Valor limite mnimo de para que 0>OH ll em funo da razo lhD )2( .172

Figura 3.12 Valores limites da razo Dd em funo de .................................................173

Figura 3.13 Valores normalizados do comprimento e do volume das calotes esfricas. ......174

Figura 3.14 Diagrama de fluxo implementado no gerador da rede. ......................................175

Figura 3.15 Enchimentos regulares de esferas: a) CUB; b) ORT; c)HEX; d) TET; e) RBP; f) RBH. ..............................................................................................................178

Figura 3.16 Estrutura dos seis enchimentos regulares de esferas: a) CUB; b) ORT; c) HEX; d)TET; e) RBP; f) RBH...........................................................................179

Figura 3.17 Tipos de faces existentes nos enchimentos regulares: a) face quadrada; b) face triangular............................................................................................................181

Figura 3.18 Clulas fundamentais para cada um dos enchimentos regulares........................182

Figura 3.19 Obteno da estrutura do enchimento ortorrmbico a partir da estrutura do enchimento cbico. ............................................................................................183

Figura 3.20 Equivalncia entre os enchimentos ortorrmbico e hexagonal. .........................183

Figura 3.21 Obteno do enchimento tetragonal por modificao da estrutura do enchimento hexagonal. ......................................................................................184

Figura 3.22 Obteno de: a) enchimento rombodrico-hexagonal a partir do ortorrmbico; b) enchimento rombodrico-piramidal a partir do hexagonal. ..........................184

Figura 3.23 Situaes possveis para o clculo de D . ..........................................................186

Figura 3.24 Valores (pontos) e correlao (linha) de DK em funo de . .........................187

Figura 3.25 Relao entre as distncias entre filas de esferas e cmaras de uma rede para um enchimento cbico. ......................................................................................191

Figura 3.26 Diferentes estruturas geomtricas existentes nos enchimentos regulares entre duas linhas de esferas contguas. .......................................................................192

Figura 3.27 Valores e curva de correlao de FK em funo da porosidade. ......................196

Figura 3.28 Curvas de correlao lK em funo de para quatro valores de - Modelo T1. ......................................................................................................................197

Figura 3.29 Valores e curvas de correlao de dK em funo de para quatro valores tpicos de - Modelo T1. .................................................................................200

Figura 3.30 Razo Dd KK para o Modelo T1 para diferentes valores de .......................201

NDICE DE FIGURAS IX

Figura 3.31 Valores e curvas de correlao de dK em funo de para quatro valores de - Modelo T2. .................................................................................................. 202

Figura 3.32 Valores e curvas de correlao de lK em funo de para quatro valores de - Modelo T2. .................................................................................................. 203

Figura 3.33 Valores e curva de correlao de dK em funo de - Modelo T4. ............... 206

Figura 3.34 Valores e curva de correlao de dK em funo de - Modelo T3. ............... 207

Figura 3.35 Representao dos valores previstos de em funo de para as duas expresses de tortuosidade propostas................................................................ 210

Figura 3.36 Valores calculados e curvas de correlao de lK em funo de para o modelo T1S. ...................................................................................................... 211

Figura 3.37 Curvas de correlao de dK em funo de para o modelo T1S.................... 212

Figura 3.38 Valores calculados e curvas de correlao de dK em funo de para o modelo T2S. ...................................................................................................... 213

Figura 3.39 Curvas de correlao lK em funo de para o modelo T2S. ........................ 213

Figura 3.40 Corte de um leito de enchimento de esferas com uma distribuio larga de dimetros. .......................................................................................................... 216

Figura 3.41 Comparao das curvas de correlao de dK em funo de para o modelo T3 com ou sem o valor do enchimento ortorrmbico. ...................................... 219

Figura 3.42 Comparao das curvas de interpolao de dK em funo de para o modelo T1, para os valores limite de , com a incluso ou no do enchimento ortorrmbico...................................................................................................... 219

Figura 3.43 Comparao das curvas de interpolao de dK em funo de para o modelo T2, para os valores limite de com ou sem o valor do enchimento ortorrmbico...................................................................................................... 220

Figura 3.44 Comparao das curvas de correlao de lK em funo de para o modelo T2 para os valores limites de , com e sem o valor do enchimento ortorrmbico...................................................................................................... 221

Figura 3.45 Comparao das curvas de correlao de lK em funo de para o modelo T1 para os valores limites de , com e sem o valor do enchimento ortorrmbico...................................................................................................... 222

Figura 3.46 Comparao das curvas de lK em funo de para o modelo T1S, usando as equaes LM e CR. ........................................................................................... 223

Figura 3.47 Comparao das curvas de lK em funo de para o modelo T2S, usando as equaes LM e CR. ........................................................................................... 224

Figura 3.48 Comparao das curvas de correlao de dK em funo de dos modelos T1 e T2 para os valores limites de . .................................................................... 225

Figura 3.49 Comparao das curvas de correlao de lK em funo de dos modelos T1 e T2 para os valores limites de . .................................................................... 226

NDICE DE FIGURAS X

Figura 3.50 Comparao das curvas de correlao de dK em funo de obtidos pelos modelos T1S e T2S, usando a equao LM. .....................................................226

Figura 3.51 Comparao das curvas de correlao de dK em funo de obtidos pelos modelos T1S e T2S, usando a equao CR. ......................................................227

Figura 3.52 Comparao das curvas de correlao de lK em funo de obtidos pelos modelos T1S e T2S, usando a equao LM. .....................................................228

Figura 3.53 Comparao das curvas de correlao de lK em funo de obtidos pelos modelos T1S e T2S, usando a equao CR. ......................................................228

Figura 3.54 Comparao das curvas de correlao de dK em funo de para o modelo T2 completo e simplificado, usando quatro valores de tpicos de . Curvas a cheio correspondem aos valores determinados pelo modelo T2S. ....................229

Figura 3.55 Comparao das curvas de correlao de lK em funo de para o modelo T2 completo e simplificado, para quatro valores tpicos de . ........................231

Figura 3.56 Valores da razo entre dK e DK para o modelo T2, para = 4 . ..................232

Figura 3.57 Valores da razo entre dK e DK para o modelo T2, para 3 = ...................233

Figura 3.58 Comparao da razo Dd KK limite e as previses dos modelos T1S e T2S usando a equao LM. .......................................................................................234

Figura 3.59 Comparao da razo Dd KK limite as previses dos modelos T1S e T2S usando a equao CR.........................................................................................235

Figura 3.60 Distribuies dos dimetros das cmaras e dos canais para d D = 0.25. ..........243

Figura 3.61 Distribuies dos dimetros das cmaras e dos canais para d D = 0.75. ..........243

Figura 3.62 Valores de RE em funo de yN para diferentes valores de xN ......................245

Figura 3.63 Valores de RE em funo de yN para diferentes valores de xN ......................245

Figura 3.64 Comparao das razes dos valores de RE e do nmero de canais de rede tipo 10 e 00 em funo de yN , para 200=xN .. ......................................................247

Figura 3.65 Comparao das razes dos valores de RE e do nmero de canais de rede tipo 11 e 10 em funo de: a) yN , para 200=xN ; b) xN , para 200=yN . ...........248

Figura 3.66 Comparao dos valores previstos de RE em funo de yN , para 200=xN , e redes tipo 00 e 10. ..............................................................................................248

Figura 3.67 Comparao dos valores previstos de RE em funo de yN , para 200=xN e redes tipo 10 e 11. ..............................................................................................249

Figura 3.68 Comparao dos valores de RE previstos em funo de yN , RE para redes tipo 10, 200=xN e quatro valores de ..........................................................250

Figura 3.69 Comparao dos valores previstos de RE em funo de yN para redes tipo 10, 200=xN , e quatro valores de , considerando a restrio de no- interseco. ........................................................................................................251

NDICE DE FIGURAS XI

Figura 3.70 Comparao dos valores previstos de RE em funo de xN com 100=yN , para redes com 4=C , com e sem remoo de canais e/ou cmaras. ............... 252

Figura 3.71 Comparao dos valores previstos de RE em funo de xN com 100=yN , para trs valores de C , sem e com remoo de canais. .................................... 253

Figura 3.72 Comparao dos valores previstos de RE para redes com e sem a incluso das calotes usando distribuies pontuais para redes tipo 11, em funo de: a) yN para 200=xN ; b) xN para 200=yN . ............................................................ 254

Figura 3.73 Comparao dos valores previstos de RE para redes com e sem a incluso das calotes usando distribuies pontuais para redes tipo 10, em funo de: a) yN para 200=xN ; b) xN para 200=yN . ............................................................ 255

Figura 3.74 Comparao dos valores previstos de RE para redes com e sem a incluso das calotes usando distribuies no pontuais em funo de yN para 200=xN . . 255

Figura 3.75 Comparao das curvas de RE em funo de yN para diferentes conjuntos de valores dos desvios padro, para as mesmas condies dos resultados apresentados na Figura 3.62. ............................................................................. 257

Figura 3.76 Comparao das curvas de RE em funo de yN para diferentes conjuntos de valores dos desvios padro, usando a restrio de no interseco, para rede tipo 11................................................................................................................ 258

Figura 3.77 Comparao das curvas de RE em funo de yN para trs valores de Dd , usando a restrio ij Dd < , para redes tipo 11 para: a) desprezando as calotes; b) incluindo as calotes.......................................................................... 259

Figura 3.78 Comparao das curvas de RE em funo de yN para trs valores de Dd , usando a restrio de no interseco, para redes tipo 11. ................................ 259

Figura 3.79 Comparao das distribuies de dimetros dos canais para redes tipo 10 e 11 quando se assume apenas a restrio ij Dd < ao nvel local............................ 262

Figura 3.80 Comparao das distribuies de dimetros dos canais redes tipo 10 e 11, para a restrio ij Dd < . ........................................................................................... 262

Figura 3.81 Comparao entre as distribuies iniciais e finais do dimetros das cmaras para as duas restries entre os valores de iD e jd para redes tipo 10 e

750.Dd = ........................................................................................................ 263

Figura 3.82 Comparao das distribuies iniciais e finais do dimetros dos canais para as duas restries entre os valores de iD e jd ...................................................... 264

Figura 3.83 Comparao das distribuies iniciais e finais do dimetros das cmaras e dos canais quando so usadas as restries de no interseco: a) ( )iD Df ; b)

( )jd df ................................................................................................................ 265 Figura 3.84 Comparao das distribuies iniciais e finais do dimetros das cmaras e dos

canais para redes tipo 11, quando se utiliza a restrio de no interseco dos

NDICE DE FIGURAS XII

canais entrada de uma cmara, para dois valores de a) ( )jD Df , b) ( )jd df ................................................................................................................265

Figura 3.85 Comparao das distribuies iniciais e finais do dimetros das cmaras e dos canais para redes tipo 11, quando se utiliza a restrio de no interseco dos canais entrada de uma cmara, para dois valores de a) ( )jD Df , b)

( )jd df ................................................................................................................266 Figura 3.86 Comparao entre as distribuies iniciais e alteradas do dimetros de canais,

considerando apenas a restrio ij Dd < , em funo de: a) D para 200.d = ; b) d para 200.D = . ...................................................................268

Figura 3.87 Comparao entre as distribuies iniciais e modificadas do dimetro das cmaras em funo de Dd , considerando as restries de no interseco, para: a) 4 = ; 3 = .................................................................................269

Figura 3.88 Comparao entre as distribuies iniciais e modificadas do dimetro dos canais em funo de Dd , considerando as restries de no interseco, para 4 = ......................................................................................................269

Figura 3.89 Comparao entre as distribuies iniciais e modificadas do dimetro dos canais em funo de Dd , considerando as restries de no interseco, para 3 = ......................................................................................................270

Figura 3.90 Distribuies de ( )Ojl

lf e ( )hjl

lf para vrios de para redes tipo 11 usando

a restrio ij Dd < : a) sem influncia das calotes; b) com a influncia das calotes. ...............................................................................................................272

Figura 3.91 Distribuies dos comprimentos dos canais horizontais e oblquos para diferentes tipos de restries impostas entre os dimetros das cmaras e dos canais associados entre si...................................................................................273

Figura 3.92 Influncia dos valores dos desvio padro das distribuies ( )iD Df e ( )jd df quando se utiliza a restrio ij Dd < na distribuio ( )Ojl lf ...........................274

Figura 3.93 Influncia dos valores dos desvio padro das distribuies ( )iD Df e ( )jd df quando se utiliza a restrio ij Dd < na distribuio ( )hjl lf . ..........................275

Figura 3.94 Influncia dos valores dos desvio padro das distribuies ( )iD Df e ( )jd df quando se utilizam as restries de no interseco na distribuio ( )

Ojllf ....275

Figura 4.1 Anlogo elctrico usado na descrio do escoamento: a) circuito elctrico equivalente a uma rede com canais horizontais e fronteiras peridicas; b) analogia para o escoamento num canal. ............................................................283

Figura 4.2 Esquema de um canal genrico da rede, com definio dos eixos coordenados e das variveis mais importantes na descrio do escoamento atravs deste. ...290

Figura 4.3 Comparao das curvas de jf em funo de jRe na zona de transio para as duas formas de aproximao propostas. ............................................................293

NDICE DE FIGURAS XIII

Figura 4.4 Representao esquemtica da resitncia de um ramo e anlogo elctrico utilizado............................................................................................................. 294

Figura 4.5 Valores previstos de jK em funo de para os modelos simplificados T1S e T2S.......................................................................................................... 297

Figura 4.6 Curvas de resistncia associadas a um ramo, jR , em funo do nmero de Reynolds do canal, jRe , para os modelos FRIC e ICAM, variando jK neste ltimo modelo. ......................................................................................... 304

Figura 4.7 Curvas do factor de frico equivalente, eqf , em funo do nmero de Reynolds do canal, jRe , para os modelos FRIC e ICAM, variando jK neste ltimo modelo. ......................................................................................... 305

Figura 4.8 Diagrama de fluxo do algoritmo geral implementado. ...................................... 311

Figura 4.9 Exemplo de uma cmara e do respectivo anlogo elctrico com dois canais na linha de entrada do fluido na rede. .................................................................... 317

Figura 4.10 Estrutura local da rede e anlogo elctrico utilizado para mostrar que os caudais nos canais de entrada so todos iguais. ................................................ 318

Figura 4.11 Estrutura simplificada da rede de cmaras e canais utilizada para determinar a influncia dos canais horizontais no escoamento atravs de uma rede uniforme. ........................................................................................................... 319

Figura 4.12 Rede com uma linha de cmaras........................................................................ 321

Figura 4.13 Comparao das curvas de TP em funo de Tq entre os modelos FRIC e ICAM. ............................................................................................................... 332

Figura 4.14 Comparao das curvas de TXT qLP em funo de Tq para os para os modelos ICAM e FRIC. .................................................................................... 333

Figura 4.15 Comparao das curvas de vF em funo de *Re para os modelos ICAM e

FRIC. ................................................................................................................. 334

Figura 4.16 Comparao das curvas de *F em funo de *Re para os para os modelos ICAM e FRIC.................................................................................................... 335

Figura 4.17 Comparao das duas estratgias de determinao das constantes A e B da equao de MacDonald para o modelo ICAM, para as curvas de *F em funo de *Re , na zona no linear de escoamento. .......................................... 337

Figura 4.18 Comparao das duas estratgias de determinao das constantes A e B da equao de MacDonald para o modelo ICAM para valores elevados de *Re , para as curvas de *F versus *Re ...................................................................... 338

Figura 4.19 Comparao das duas estratgias de determinao das constantes A e B da equao de MacDonald para o modelo ICAM, com base na representao de

VF versus*Re . .................................................................................................. 339

Figura 4.20 Comparao entre os dados experimentais e os valores previstos para duas formas de representao consideradas neste trabalho. ...................................... 341

Figura 4.21 Ajuste linear para a determinao de B e dos valores de VF correspondentes a valores de *Re elevados................................................................................. 342

NDICE DE FIGURAS XIV

Figura 4.22 Curvas de permeabilidade, k , em funo de yN para quatro valores de xN . ..345

Figura 4.23 Comparao das curvas dos valores mdios de k em funo de yN para quatro valores de xN . ........................................................................................346

Figura 4.24 Curvas da permeabilidade k , em funo de xN para quatro valores tpicos de

yN . ....................................................................................................................347

Figura 4.25 Comparao das curvas dos valores mdios da permeabilidade em funo de yN para quatro valores de xN . .........................................................................348

Figura 4.26 Distribuio das velocidades nos canais da rede para escoamento linear e no linear para redes com as mesmas caractersticas geomtricas: a) 5.0=Dd ; b) 75.0=Dd ....................................................................................................350

Figura 4.27 Comparao das curvas dos valores mdios de k para redes de tipo 00 e 10 em funo de yN para 50=xN e 100=xN , para redes com e sem fronteiras peridicas. ..........................................................................................................352

Figura 4.28 Distribuies de velocidades nos canais oblquos e horizontais para redes tipo 11 (com canais horizontais) e redes tipo 10 (sem canais horizontais)...............354

Figura 4.29 Comparao das curvas dos valores mdios de k para redes do tipo 10 e 11 em funo de xN para dois valores constantes de yN , para redes com e sem canais horizontais, usando apenas o critrio ij Dd < . ......................................355

Figura 4.30 Comparao das curvas dos valores mdios de k para redes do tipo 10 e 11 em funo de xN para dois valores constantes de yN , para redes com e sem canais horizontais, usando os critrios de no interseco. ...............................356

Figura 4.31 Razo 6kkC para remoo s de cmaras, remoo s de canais e remoo s de canais horizontais. ....................................................................................358

Figura 4.32 Comparao das curvas dos valores mdios de k para redes tipo 10 considerando a restrio de no interseco em funo de yN para quatro valores de .......................................................................................................361

Figura 4.33 Comparao das curvas dos valores mdios de k para redes tipo 11 e trs valores de Dd usando a restrio de ij Dd < em funo de yN , considerando ou no o volume das calotes........................................................363

Figura 4.34 Comparao das curvas dos valores previstos de k em funo de yN , para redes tipo 11 e diferentes conjuntos de valores de desvio padro, usando a restrio ij Dd < . ...............................................................................................365

Figura 4.35 Comparao das curvas dos valores previstos de k em funo de yN .para redes tipo 11, para diferentes conjuntos de valores dos desvio padro, usando as restries de no interseco. ........................................................................366

Figura 4.36 Comparao das curvas de k em funo de yN , para trs valores de xN em redes tipo 11, usando dois conjuntos de valores de D e d : a)

050.dD == ; b) 400.dD == ..................................................................367

NDICE DE FIGURAS XV

Figura 4.37 Comparao das curvas de k em funo de yN , para trs valores de xN , em redes tipo 00 com 400.dD == .................................................................... 368

Figura 4.38 Comparao das curvas dos valores mdios de k em funo de yN , em redes tipo 11 e trs valores de Dd para a restrio ij Dd < (pontos cheios) e para as restries de no interseco (pontos vazios). .............................................. 370

Figura 4.39 Comparao das curvas dos valores mdios de k em funo de yN para redes tipo 11 e usando trs valores de Dd usando as restries de no interseco. ........................................................................................................ 371

Figura 4.40 Comparao dos valores tericos e previstos pelo simulador de escoamento da permeabilidade para D constante ou d constante, para dois pares de valores de D e D . ..................................................................................................... 372

Figura 4.41 Comparao dos valores tericos e previstos pelo simulador de escoamento da permeabilidade para D constante ou Dd constante, para dois pares de valores de D e D .......................................................................................... 374

Figura 4.42 Curvas de *F em funo de *Re para dois valores de Dd , sendo considerados dois pares de valores de D e d para cada Dd ........................ 375

Figura 4.43 Influncia de nas curvas de VF em funo de *Re previstas pelo modelo

T1 para dois valores de . ................................................................................ 379

Figura 4.44 Comparao dos valores previstos pelo modelo T1 das constantes A e B em funo de para vrios valores de porosidade. ............................................... 380

Figura 4.45 Comparao dos valores previstos pelo modelo T2 das constantes A e B em funo de para vrios valores de porosidade. ............................................... 381

Figura 4.46 Comparao dos valores previstos pelos dois modelos completos, das constantes A e B em funo de , para vrios valores de porosidade. Valores previstos pelo modelo T1 a cheio e valores previstos pelo modelo T2 a interrompido. .................................................................................................. 381

Figura 4.47 Comparao das curvas de VF em funo de *Re para o modelo T1S, em

funo de e para as duas expresses ( ) f= consideradas........................ 383

Figura 4.48 Comparao das curvas de VF em funo de *Re para o modelo T2S, em

funo de e para as duas expresses ( ) f= consideradas........................ 383 Figura 4.49 Comparao dos valores das constantes da equao de MacDonald previstas

pelo modelo T1S usando as duas equaes de ( ) f= propostas.................. 384 Figura 4.50 Comparao dos valores das constantes da equao de MacDonald previstas

pelo modelo T2S, usando as duas equaes de ( ) f= propostas................. 385 Figura 4.51 Comparao dos valores previstos de A e B em funo da porosidade para

os modelos T1S e T2S usando a equao LM. ................................................. 386

Figura 4.52 Comparao dos valores previstos de A e B em funo da porosidade para os modelos T1S e T2S usando a equao CR. .................................................. 387

Figura 4.53 Comparao dos valores previstos das constantes A e B pelos modelos T1 e T1S tendo-se usado a equao LM no modelo simplificado. .......................... 388

NDICE DE FIGURAS XVI

Figura 4.54 Comparao dos valores previstos das constantes A e B pelos modelos T2 e T2S tendo-se usado a equao LM no modelo simplificado. ............................388

Figura 4.55 Comparao dos valores previstos de k pela Equao 4.69 com os obtidos pelo simulador hidrodinmico em funo de , para dois valores de . Pontos correspondem aos valores previstos pelo modelo..................................392

Figura 4.56 Valores das constantes A e B em funo da porosidade previstas pelas quatro correlaes consideradas neste trabalho. ................................................394

Figura 4.57 Valores de A e B previstos pelo modelo T2S usando a Equao CR de A e B em funo de , e vrios valores de jK considerados no clculo de B .395

Figura 4.58 Valores previstos de jK em funo da porosidade para o modelo T1S usando a equao LM, para redes: a) tipo 10; b) tipo 11...................................396

Figura 4.59 Comparao dos valores previstos de jK em funo da porosidade para o modelo T1S usando a equao CR e redes tipo 11............................................397

Figura 4.60 Comparao entre os valores previstos de jK em funo da porosidade para o modelo T2S usando a equao CR e redes tipo 11.................................398

Figura 4.61 Comparao entre os valores previstos pelo simulador hidrodinmico e o conjunto de dados experimentais KIM2 para o modelo T2S em funo de C e jK ...............................................................................................................407

Figura 5.1 Exemplo de cmara da rede, sem canais horizontais, com dois canais de entrada e dois canais de sada de fluido. Os sentidos de escoamento nos canais em relao cmara so apresentados....................................................414

Figura 5.2 Algoritmo implementado para a resoluo do sistema de equaes de balano material nas cmaras da rede. ............................................................................425

Figura 5.3 Evoluo da concentrao de traador numa rede formada por duas cmaras e dois canais..........................................................................................................428

Figura 5.4 Algoritmo de actualizao dos valores de concentrao de traador nos canais da rede................................................................................................................438

Figura 5.5 Blocos principais do diagrama de fluxo do modelo de transporte de massa, tomando-se em conta o tempo de simulao. ....................................................440

Figura 5.6 Resposta tpica do modelo de redes a uma perturbao em degrau espacialmente uniforme, com indicao da rea cujo valor igual a GC 0 . .....445

Figura 5.7 Rede uniforme 44 e rede equivalente a usar na descrio do transporte de massa..................................................................................................................448

Figura 5.8 Valores de B previstos em funo da razo*ij , para vrios valores de

xN ......................................................................................................................453

Figura 5.9 Erro percentual cometido ao estimar o valor de Pe em funo de xN usando as Equaes 5.63 e 5.64. ....................................................................................456

Figura 5.10 Valores de Pe previstos para a rede uniforme em funo de para diferentes valores de xN . ...................................................................................................457

NDICE DE FIGURAS XVII

Figura 5.11 Curvas da distribuio de tempos de residncia adimensional em funo de , para: a) 10=xN ; b) 30=xN . ........................................................................... 459

Figura 5.12 Comparao das ( )E previstas e diferena percentual da resposta da rede a uma perturbao em degrau e em impulso para as mesmas caractersticas geomtricas da rede e de escoamento. .............................................................. 464

Figura 5.13 Comparao das curvas da distribuio de tempos de residncia adimensional obtidas para perturbaes em degrau com diferentes valores de PC ................ 466

Figura 5.14 Comparao das respostas no normalizadas a perturbaes em degrau com diferentes valores de PC . .................................................................................. 467

Figura 5.15 Evoluo espacial e temporal do perfil de concentraes na rede aps a imposio de uma perturbao pontual de soluto na rede................................. 468

Figura 5.16 Evoluo espacial e temporal do perfil de concentraes na rede aps a imposio de um pulso na concentrao de entrada de soluto na rede ............. 469

Figura 5.17 Comparao entre as respostas obtidas pelo simulador de transporte de massa para perturbaes de traador em pulso, para diferentes duraes, e uma perturbao em degrau . .................................................................................... 470

Figura 5.18 Distribuies de tempos de residncia normalizadas considerando os dois tipos de condies fronteira em funo de Dd para redes 520 com

40.0== dD . ............................................................................................... 472

Figura 5.19 Diferena percentual entre as curvas F adimensionais previstas pelo simulador de transporte de massa para trs valores da razo entre os valores mdios das cmaras e dos canais. ........................................................................................ 474

Figura 5.20 Diferena percentual em funo dos valores de D e d usando as duas formas de condies fronteiras entrada da rede para redes 1020 e

50.Dd = .......................................................................................................... 475

Figura 5.21 Diferena percentual entre os nmeros de Peclet previstos considerando os dois tipos de condies fronteira, em funo de xN para 3 valores de Dd e redes com 30=yN , para 20.0== dD .. .................................................... 476

Figura 5.22 Distribuies de tempos de residncia obtidas para diferentes valores de t para uma rede 2030, 50.Dd = e 20.0== dD . ...................................... 479

Figura 5.23 Distribuies de tempos de residncia obtidas para diferentes valores de t para uma rede 20x30, com fronteiras peridicas sem canais horizontais para

05.0== dD . ............................................................................................... 480

Figura 5.24 Valores de B em funo de t para trs valores de Dd em redes 2030 com 05.0== dD . ........................................................................................ 481

Figura 5.25 Erro observado no balano material observado para perturbaes em degrau uniforme para trs valores de Dd em redes 2030 com 05.0== dD . ..... 482

Figura 5.26 Desvio percentual do erro cometido no balano material em relao ao caso em que no considerada a saturao dos elementos da rede, para vrios valores de minF e de combinaes de valores de D e d . .............................. 483

NDICE DE FIGURAS XVIII

Figura 5.27 Comparao entre as curvas de ( )tF obtidas para diferentes valores de minF nas condies das simulaes apresentadas na Figura 5.26. .............................484

Figura 5.28 Desvio percentual do erro cometido no balano material em relao ao caso em que no considerada a possvel saturao dos elementos da rede, para vrios valores de Dd , usando 8min 10

=F e 05.0== dD . ........................485

Figura 5.29 Nmero de linhas activas normalizado por xN em funo do tempo adimensional de simulao para diferentes valores de xN , para redes com

10=yN e 05.0== DD . .............................................................................487

Figura 5.30 Nmero de linhas activas em funo do tempo adimensional de simulao para diferentes valores de xN , em redes com 10=yN e 05.0== DD ......488

Figura 5.31 Nmero de linhas activas normalizada por xN em funo do tempo adimensional de simulao para redes 100x30, para diferentes Dd , D e

d . .....................................................................................................................489

Figura 5.32 Distribuies de tempos de residncia normalizadas para diferentes regimes de escoamento em redes 2020, 5.0=Dd e 20.0== dD . ......................492

Figura 5.33 Comparao das curvas de VF , *Pe e *B em funo de

*Re . ........................493

Figura 5.34 Comparao das curvas de Pe e B em funo de *Re para trs valores de

Dd . Smbolos a cheio representam valores de Pe e restantes smbolos representam valores de B ...............................................................................494

Figura 5.35 Comparao das curvas de Pe e B em funo de *Re para diferentes

valores de D e d : a) Pe ; b) B ...................................................................495

Figura 5.36 Curvas da razo entre o coeficiente de disperso longitudinal e a difusividade molecular em funo do nmero de Peclet molecular.......................................497

Figura 5.37 Comparao das curvas da ( )E previstas pelo simulador de transporte de massa para vrios valores de jK , para redes 20x20, 5.0=Dd e

20.0== dD ..................................................................................................500

Figura 5.38 Comparao das curvas da ( )tF previstas pelo simulador de transporte de massa para vrios valores de jK , para redes 20x20, ( ) 50.Dd = e

20.0== dD .................................................................................................501

Figura 5.39 Comparao das curvas de ( )E em funo de xN para redes com 30=yN e 20.0== dD . .............................................................................................504

Figura 5.40 Comparao dos valores previstos de Pe em funo de xN para redes uniformes e no uniformes com diferentes valores de desvio padro das distribuies das dimenses caractersticas dos elementos da rede...................505

Figura 5.41 Comparao das respostas no normalizadas da rede em funo do tempo para redes com 30=yN para vrios valores de xN . ........................................505

NDICE DE FIGURAS XIX

Figura 5.42 Comparao dos valores de *Pe e *B previstos em funo de xN para yN constante: a) Pe ; b) B . .................................................................................. 506

Figura 5.43 Valores de LD e em funo de xN para yN constante................................ 507

Figura 5.44 Comparao das respostas normalizadas para uma perturbao em degrau em funo de para os dois tipos de fronteiras. ................................................... 509

Figura 5.45 Comparao da evoluo do perfil de concentraes em redes com e sem fronteiras peridicas, para a mesma perturbao considerada na Figura 5.44: a) sem fronteiras peridicas; b) com fronteiras peridicas. .............................. 510

Figura 5.46 Diferena percentual entre os nmeros de Peclet previstos para os dois tipos de fronteiras da rede, em funo de xN para 3 valores de Dd e redes com

30=yN , para 20.0== dD ........................................................................ 511

Figura 5.47 Comparao das curvas de Peclet e do tempo de breakthrough adimensional normalizados em funo do nmero de *Re para vrios valores de Dd : a) Pe vs. *Re ; b) *B vs.

*Re .............................................................................. 513

Figura 5.48 Comparao das curvas de Peclet e do tempo de breakthrough adimensional normalizados em funo do nmero de *Re para dois conjuntos de valores de desvio padro: a) Pe vs. *Re ; b) *B vs.

*Re . ................................................ 514

Figura 5.49 Comparao das distribuies de valores Ej e O

j para redes 100100, 40.0== dD e 50.Dd = . ........................................................................... 516

Figura 5.50 Distribuies de valores de Ej para redes tipo 11 (com canais horizontais) e tipo 10 (sem canais horizontais): a) completa; b) sem os valores associados aos canais horizontais........................................................................................ 516

Figura 5.51 Distribuies dos tempos de passagem para redes tipo 11 (com canais horizontais) e tipo 10 (sem canais horizontais): a) i ; b) j . ........................... 518

Figura 5.52 Distribuies de valores de Ej para redes tipo 11 (com canais horizontais) e tipo 10 (sem canais horizontais): a) completa; b) sem os valores associados aos canais horizontais........................................................................................ 519

Figura 5.53 Influncia de Dd nas distribuies de tempo de residncia do traador na rede aps a aplicao de uma perturbao em degrau....................................... 523

Figura 5.54 Comparao dos valores de Pe e B em funo de Dd para os resultados apresentados na Figura 5.53. ............................................................................. 525

Figura 5.55 Comparao dos valores de Pe e B ; em funo de Dd para dois conjuntos de valores de D e d . .................................................................... 526

Figura 5.56 Valores de Pe em funo de variando Dd para os dois casos possveis...527

Figura 5.57 Valores de LD em funo de variando Dd para D varivel mantendo d constante, e d varivel mantendo D constante ............................................... 529

Figura 5.58 Valores de Pe e B em funo de . Curvas a cheio representam as previses do modelo para redes uniformes. ...................................................... 530

NDICE DE FIGURAS XX

Figura 5.59 Comparao das distribuies das velocidades nos canais oblquos para dois conjuntos de valores dos desvios padro das distribuies das dimenses caractersticas dos elementos da rede: a) escoamento linear; b) escoamento no linear. ..........................................................................................................532

Figura 5.60 Comparao da evoluo do perfil de concentraes em redes com diferentes valores de desvio padro: a) valores baixos; b) valores elevados......................534

Figura 5.61 Comparao das distribuies de valores de Ej para diferentes valores de

D e d , para redes 100100 tipo 10 com 50.Dd = . ...................................535

Figura 5.62 Distribuies de tempos de residncia normalizadas para redes 2030, com 20.0== dD , para vrios valores de l . .......................................................536

Figura 5.63 Curvas ( )tF correspondentes s distribuies de tempos de residncia apresentadas na Figura 5.62...............................................................................537

Figura 5.64 Valores de: a) o nmero de Peclet normalizado; b)tempo de breakthrough adimensional normalizado; em funo de xN para trs valores de 0l . .............538

Figura 5.65 Valores de: a) o nmero de Peclet; b)tempo de breakthrough normalizado; em funo de xN para trs valores de 0l .................................................................539

Figura 5.66 Nmero de Peclet dividido pelo nmero de linhas de cmaras da rede em funo da porosidade para: a) modelo T1S; b) modelo T2S; para as duas equaes de ( )T consideradas neste trabalho..................................................542

Figura 5.67 Comparao dos valores previstos do nmero de Peclet dividido pelo nmero de linhas de cmaras da rede em funo da porosidade pelos modelos T1S e T2S para: a) equao LM; b) equao CR.........................................................543

Figura 5.68 Valores do tempos adimensional de Breakthrough em funo da porosidade para: a) modelo T1S; b) modelo T2S; para as duas equaes de ( )T consideradas neste trabalho. ..............................................................................544

Figura 5.69 Valores de coeficiente de disperso longitudinal em funo da dimenso segundo o sentido principal do escoamento para o modelo T2S usando a equao LM. ......................................................................................................545

Figura 5.70 Valores de PA em funo da porosidade para: a) modelo T1S; b) modelo T1S; usando as duas equaes de ( )T consideradas neste trabalho................547

Figura 5.71 Valores de em funo de usando o modelo T2S e a Equao CR para a tortuosidade para: pontos dados experimentais de Xu e Eckstein (1997); linha correlao de dados experimentais descrita em Sahimi (1995).........................554

ndice de Tabelas

Pg.

Tabela 2.1 Valores tpicos de permeabilidade para vrios materiais porosos (Kaviany, 1995).................................................................................................................... 39

Tabela 3.1 Nomenclatura usada para descrever as redes fundamentais geradas................. 151

Tabela 3.2 Expresses para o clculo do nmero de canais, HCanOCanCan NNN += , do

nmero de calotes, NCal , e do nmero de coordenao mdio, C . ................... 156

Tabela 3.3 Critrios de no interseco de canais entrada de uma cmara. ..................... 160

Tabela 3.4 Relaes limite da razo d D para redes uniformes. ........................................ 172

Tabela 3.5 Valores de para cada um dos enchimentos regulares. ................................... 179

Tabela 3.6 Nmero de faces para cada um dos enchimentos regulares de esferas.............. 185

Tabela 3.7 Classificao dos modelos propostos para a determinao dos valores mdios dos parmetros da rede. ..................................................................................... 190

Tabela 3.8 Valores de FK para os vrios tipos de estrutura geomtrica entre linhas. ........ 193

Tabela 3.9 Nmero de casos diferentes e valor da mdia pesada de FK para cada um dos enchimentos regulares. ...................................................................................... 194

Tabela 3.10 Valores de FK para os quatro enchimentos regulares....................................... 195

Tabela 3.11 Valores de eqcanN , eqcamN ,

eqcalN e CelK para cada uma das clulas fundamentais

dos enchimentos regulares. ............................................................................... 198

Tabela 3.12 Constantes dos funes de correlao de dK em funo de - Modelo T1....200

Tabela 3.13 Constantes das funes de correlao de dK em funo de - Modelo T2....203

Tabela 3.14 Constantes dos polinmios de interpolao de lK em funo de - Modelo T2. ..................................................................................................................... 204

Tabela 4.1 Valores mdios dos parmetros utilizados no caso de estudo. .......................... 303

Tabela 4.2 Clculo de TP para o modelo FRIC em funo do regime de escoamento nos canais. ................................................................................................................ 324

Tabela 4.3 Clculo de TP para o modelo ICAM em funo do regime de escoamento nos canais. ......................................................................................................... 325

Tabela 4.4 Expresses das constantes 1a , 2a , 3a e 4a para o modelo FRIC..................... 326

Tabela 4.5 Expresses das constantes 1a , 2a , 3a e 4a para o modelo ICAM. .................. 327

Tabela 4.6 Valores de A e B determinados pelo mtodo dos mnimos quadrados. .......... 342

Tabela 4.7 Valores experimentais e previstos pelo modelo para SK dos leitos de enchimento regulares RBP e CUB. ................................................................... 401

NDICE DE TABELAS XXII

Tabela 4.8 Caractersticas dos leitos de enchimento considerados e valores mdios previstos pelo modelo T2S para as dimenses caractersticas dos elementos da rede equivalente. ...........................................................................................403

Tabela 4.9 Valores experimentais e calculados da permeabilidade e das constantes da Equao de MacDonald para o modelo T2S usando a Equao CR. ................404

Tabela 5.1 Comparao dos nmeros de Peclet previstos considerando os dois tipos de condies fronteira, em funo de Dd para redes 520 com

40.0== dD .................................................................................................473

Tabela 5.2 Valores das constantes da relao nMLML PeADD = para os trs valores de Dd considerados na Figura 5.36. ....................................................................497

Tabela 5.3 Condies e resultados experimentais de Montillet et al. (1993), e valores previstos de L ..................................................................................................550

ndice Geral Apndices Captulo 3 (em CD)

Pg.

A. APNDICES DO CAPTULO 3.............................................................................. 613 A.1 Introduo .......................................................................................................... 613 A.2 Determinao dos Valores Mdios das Distribuies de Tamanhos................. 614

A.2.1 Introduo ...................................................................................................... 614 A.2.2 Determinao do valor mdio do dimetro das cmaras ................................... 614 A.2.3 Determinao do valor do dimetro mdio dos canais ...................................... 618

A.3 Determinao do Nmero de Cmaras, Canais e Calotes ................................. 621 A.3.1 Introduo ...................................................................................................... 621 A.3.2 Determinao do Nmero de Cmaras .............................................................. 622 A.3.3 Determinao do Nmero Total de Canais........................................................ 622 A.3.4 Determinao do Nmero Total de Calotes....................................................... 623

A.3.4.1 Rede Tipo 11 ............................................................................... 624 A.3.4.2 Rede Tipo 01 ............................................................................... 625 A.3.4.3 Rede Tipo 10 ............................................................................... 626 A.3.4.4 Rede Tipo 00 ............................................................................... 626

A.3.5 Influncia do nmero total de elementos da rede no valor da espessura equivalente da rede ...................................................................................................... 627 A.3.6 Determinao do Nmero de Coordenao Mdio............................................ 630

A.4 Funes Densidade de Probabilidade ................................................................ 631 A.4.1 Distribuio ULLN............................................................................................ 632 A.4.2 Anlise da Funo ULLN.................................................................................. 634

A.4.2.1 Anlise de sensibilidade.............................................................. 634 A.