138

6. Transferência de Massa

6.1 Analogia entre Transferência de Massa e Transferência de Calor

Neste capítulo considera-se a transferência de massa, ou transporte de alguma

espécie química através de um meio em que a espécie atua como um contaminante. Os

processos de transferência de massa são abundantes na natureza e em muitos processos.

Um exemplo bem familiar é a secagem de uma superfície molhada exposta ao vento. A

lamina de ar que faz contato com a superfície da camada de água se torna saturada de

vapor d’água. O vapor é a espécie de interesse na mistura de gás ideal representada por

ar úmido.

A concentração de vapor d’água no próximo a superfície, 0,wρ , é geralmente

diferente da concentração na corrente livre, ∞,wρ . A diferença de concentração

0,0, >− ∞ww ρρ faz com mais vapor deixe a superfície de camada de água. Este

processo de evaporação pode ser aumentado a medida que a velocidade longitudinal da

corrente livre varre a superfície molhada, como ilustrado na Figura 6.1

Figura 5.1 Camada limite de concentração próximo a uma superfície molhada varrida

por ar.

Mesmo que não ocorra escoamento, pode ocorrer transferência de massa por

difusão como ilustrado na Figura 6.2. Um vaso cilíndrico de paredes impermeáveis

contém um líquido i. O vapor i difundirá para cima na coluna de ar estacionária. Ar

úmido de água é menos denso que ar seco. Se a coluna é larga o bastante, ar úmido sobe

139

por convecção natural através do centro da coluna, enquanto ar seco toma seu lugar

descendo ao das paredes.

Figura 6.2 Difusão vertical de vapor i através de uma coluna unidimensional de ar

acima de um líquido i.

O processo de transferência de massa por difusão (meios estacionários) é

análogo ao processo de condução ou difusão de energia e a convecção tem analogia com

a convecção térmica. O gradiente de concentração 0=∂

∂

y

w

yρ

tem comportamento similar

a 0=∂

∂

yyT .

6.2 A Conservação das Espécies Químicas

6.2.1 Velocidade das Espécies Versus Velocidade Média

Se ),,( tyxiρ é a concentração de espécies químicas i num meio bidimensional,

então a densidade do meio, ρ , é a soma das densidades individuais:

140

∑=

=N

ii

1

ρρ (6.1)

Pode-se demonstrar através de balanço de massa que

( ) ( )i

iiiii my

vx

ut

′′′=∂

∂+

∂∂

+∂∂ ρρρ

(6.2)

Na qual ii vu , são as velocidades das espécies i relativas ao volume de controle e im ′′′

resulta de reações químicas. Se não há reações químicas 0=′′′im , e mesmo no caso de

ocorrer reações químicas a soma de todas as criações de espécies se anula 01

=′′′∑=

N

iim .

Aplicando o operador somatório a Eq. (6.2) resulta

0111

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂ ∑∑∑

===

N

iii

N

iii

N

ii v

yu

xtρρρ (6.3)

ou pelo uso da Eq. (6.1) obtém-se a conservação da massa ou equação de continuidade

( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

+∂∂

yv

xu

tρρρ (6.4)

na qual ρ é a densidade do meio fluido composto pelas espécies i e vu, são os

componentes de velocidade do meio fluido relativas ao mesmo volume de controle onde

estão as espécies i. Por comparação das Eqs. (6.3) e (6.4) pode-se concluir que

∑ ∑= =

=N

i

N

iiiii vuu

1 1

1,1 ρρ

ρρ

(6.5)

A velocidade média difere das velocidades das espécies como ser ilustrado na

Figura 6.3. No instante 0=t , uma coluna vertical de ar seco a é colocada sob uma

coluna de ar saturado com vapor d’água v . Ao longo do tempo, vapor d’água difunde

141

para baixo dentro da coluna de mistura (ar-vapor) relativamente seca, enquanto ar seco

difunde para cima dentro da mistura úmida. Em cada seção da coluna, a velocidade de

cada espécie é finita, uma positiva ( )0>av e a outra negativa ( )0<vv . A velocidade

média do meio, no entanto, é nula, porque as extremidades da coluna são vedadas.

Pode-se concluir que a componente de velocidade das espécies iv na Eq. (6.4) é, em

geral, diferente da componente de velocidade média v . Ou seja, as espécies podem se

mover em relação ao meio como um todo.

Figura 6.3 Coluna com ambas extremidades fechadas: difusão de vapor de água para

baixo e difusão de ar seco para cima num meio estacionário.

6.2.2 Fluxo de Massa por Difusão

A diferença de velocidade vvi − é reconhecida como velocidade de difusão da

espécie i na direção y. O grupo ( )vvii −ρ representa a taxa de escoamento da espécie i

na direção y e relativa ao movimento médio do meio. Um nome para este grupo é fluxo

de massa por difusão iyj , . Assim pode-se definir

( )uuj iiix −= ρ, (6.6)

142

( )vvj iiiy −= ρ, (6.7)

e usando a Eq. (6.2) resulta

( ) ( )i

iyixiii my

jx

jy

vx

ut

′′′+∂

∂−

∂

∂−=

∂∂

+∂

∂+

∂∂ ,,ρρρ

(6.8)

ou na forma não conservativa

( ) ( )i

iyixiii my

jx

jy

vx

ut

′′′+∂

∂−

∂

∂−=

∂∂

+∂

∂+

∂∂ ,,ρρρ

(6.9)

6.2.3 Lei de Fick

Numa mistura binária (espécie 1 e espécie2) pode-se seguir o que foi proposto

por Fick:

xDjx ∂

∂−= 1

121,ρ (6.10)

yDjy ∂

∂−= 1

121,ρ (6.11)

nas quais a constante de proporcionalidade 12D é difusividade de massa da espécie 1 na

espécie 2 ou coeficiente de difusão de 1 em 2. A dimensão de 12D é a mesma de

viscosidade cinemática (difusão de quantidade de movimento) e difusividade térmica

(difusão de calor) m2/s. A equação de concentração para DD =12 , ou seja, difusividade

constante, será da forma:

( ) ( )i

iiiii myx

Dy

vx

ut

′′′+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂∂

+∂∂

2

2

2

2 ρρρρρ (6.12)

143

Compare a Eq. (6.13) com a equação de energia:

( ) ( )pc

qyT

xT

yTv

xTu

tT

ρα

′′′+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

(6.13)

|As equações (6.12) e (6.13) mostra a analogia entre transferência de massa e

transferência de calor.

6.2.4 Concentração Molar e Fluxo Molar

No estudo de misturas e soluções, define-se fração molar e fração em massa. As

seguintes relações são definidas, em termodinâmica, para uma mistura de N

componentes i

nn

x ii = (6.14)

∑=

=N

iix

1

1 (6.15)

Vmi

i =ρ (6.16)

Mm

n ii = (6.17)

Mmn = (6.18)

i

N

ii MxM ∑

=

=1

(6.19)

144

ii

i MMx ρρ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (6.20)

Num meio estacionário 3D:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

2

2

2

2

zx

yx

xx

Dtx iiii (6.21)

A concentração molar é definida como

Vn

C ii = (6.22)

Da definição de concentração molar resulta

ii xM

C ρ= (6.23)

iii CM=ρ (6.24)

Pode-se definir também o fluxo por difusão molar

xC

Dj iix ∂

∂−=,

ˆ (6.25)

As relações definidas acima se aplicam para qualquer mistura unifásica gasosa, líquida

ou sólida. No caso de mistura de gases ideais tem-se que a fração molar e proporcional a

pressão parcial

pp

x ii = (6.26)

145

6.3 Difusão através de um Meio Estacionário

6.3.1 Difusão em Regime Permanente

A classe mais simples de transferência de massa por difusão é aquela em que a

mistura é estacionária e já tenha se passado tempo suficiente desde a imposição de

condições de contorno, de modo que, a difusão da espécie seja independente do tempo.

Considere o caso de um meio unidimensional de espessura L como mostrado no

lado esquerdo da Figura 6.4

(a)

(b)

Figura 6.4 Difusão unidirecional permanente através de um meio estacionário; (a)

espessura constante, (b) anel formado entre cilindros ou esferas concêntricos

Considerando a geometria do lado esquerdo da Figura 6.4 a Eq. (6.21) se reduz

a

02

2

=dy

xd i (6.27)

com as condições de contorno

Ly em

0y em0

==

==

Li

i

xx

xx (6.28)

A solução da Eq. (6.27) com as condições de contorno (6.28) é da forma:

146

( ) 00 xLyxxx Li +−= (6.29)

A partir de (6.29) pode-se calcular os fluxos de difusão molar e em massa como

LCC

D

Lxx

MD

dydx

MD

dydC

Dj

L

L

iiiy

−=

−=

−=−=

0

0

,

ˆ

ρ

ρ

(6.30)

LD

Lxx

MM

D

dydx

MM

Ddy

DDj

L

Li

iiiiy

ρρ

ρ

ρρ

−=

−=

−=−=

0

0

,

(6.31)

No caso de uma região anelar entre dois cilindros concêntricos a equação de

fração molar no meio será

( ) ( )( )0

000 /ln

/lnrrrr

xxxxL

Li −−= (6.32)

Os fluxos molar e de massa por unidade de comprimento serão:

- fluxo molar

( )

( ) ( )LL

rr

irriri

CCrr

D

drdC

Drjrn

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==′

==

00

0,0

/ln2

2ˆ20

0

π

ππ (6.33)

- fluxo em massa

147

( )

( ) ( )LL

rr

irriri

rrD

drd

Drjrm

ρρπ

ρππ

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==′

==

00

0,0

/ln2

220

0

(6.34)

A relação entre os fluxos é: iii nMm ′=′ .

No caso de duas esferas concêntricas tem-se

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

+= −−LL

Li rrrr

xxxx 11

110

00 (6.35)

Os fluxos molar e de massa por unidade de comprimento serão

- fluxo molar

( )

( )LL

rr

irriri

CCrr

D

drdC

Drjrn

−−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==

−−

==

0110

20,

20

4

4ˆ40

0

π

ππ (6.36)

- fluxo em massa

( )

( )LL

rr

irriri

rrD

drd

Drjrm

ρρπ

ρππ

−−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==

−−

==

0110

20,

20

4

440

0

(6.37)

6.3.2 Difusividades de Massa

Para calcular a transferência de massa, deve-se primeiro identificar valores de

dois itens: (6.29)-(6.37):

(a) a difusividade de massa da espécie de interesse, D

(b) a concentração das espécies em duas superfícies ou contornos

148

No caso de uma mistura gasosa binária a difusividade ou coeficiente de difusão

independe do sentido de difusão se de 1 em 2 ou de 2 em 1. Em outras palavras

2112 DDD == (6.38)

Demonstração:

A difusão da espécie 1 na 2 será

dydx

MDjy

1121,

ˆ ρ−= (6.39)

e a difusão da espécie 2 em 1 será

dydx

MDjy

2212,

ˆ ρ−= (6.40)

Somando as Eqs. (6.39) e (6.40)

0ˆ2,1, =+ yy jj ; em qual quer plano ctey = onde 121 =+ xx (6.41)

A influência da temperatura e pressão sobre a difusividade pode ser levada em

consideração em relações do tipo:

( )( ) p

pTT

pTDpTD 0

75,1

000 ,,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅ (6.42)

No caso de misturas líquidas, os componentes da mistura são chamados de soluto e

solvente (espécie 2). A difusividade é função da temperatura na forma:

( )( ) )(

)(

2

02

00 TT

TT

TDTD

μμ

≅ (6.43)

149

6.3.3 Condições de Contorno

Os quatro casos principais de condições de contorno são ilustrados na Figura

6.5.

Figura 6.5. Possíveis contornos de meios difusivos e maneiras de especificar condições

de contorno.

O caso Fig. 6.5(a) é uma ilustração de uma interface entre uma mistura de gases

ideais e fase líquida de um de seus componentes. Se a espécie 1 é uma substância pura

na fase líquida então 1 é também um componente na mistura gasosa acima. A pressão

de vapor da espécie 1 na interface do lado do gás é igual a pressão de saturação na

temperatura da interface líquida:

)(,11 Tpp sat= (6.44)

O caso Fig. 6.5(b) é uma ilustração de uma interface entre um meio líquido e

uma mistura de gasosa. A espécie 1 difunde através do líquido e está presente como um

componente na mistura gasosa. A condição de contorno de interesse é a fração molar da

espécie 1 do lado do líquido. A fração molar na fronteira Lx será maior quanto maior a

quantidade da espécie 1 na mistura gasosa, ou seja quando a pressão parcial 1p é alta.

No caso de mistura diluída, na qual apenas pequenas quantidades de solvente são

150

encontradas no líquido, Lx e 1p estão relacionados através de uma proporcionalidade

conhecida como lei de Henry:

HpxL

1= (6.45)

Na qual H é a constante de Henry que depende da temperatura e da substância gasosa.

O caso da Fig. 6.5(c) ilustra uma mistura líquida binária em que o soluto é a

espécie 1. Um exemplo deste tipo de mistura pode ser um bloco de laCN acima da

interface de água salgada ( )OHeCN la 2 . A concentração de laCN do lado líquido pode

ser determinada por equações termodinâmicas e dados de solubilidade.

O caso da Fig. 6.5(d) ilustra uma interface entre um meio sólido e um gás. A

espécie que difunde através do sólido (espécie 1) é também um componente na mistura

gasosa. Neste caso, a concentração na fronteira é dada por

1pSCL ⋅= (6.46)

na qual S é o coeficiente de solubilidade da espécie 1 no sólido.

Ex. 6.1 Difusão permanente, sólido entre dois planos paralelos. Uma membrana de

borracha fina (neoprene) separa um volume de nitrogênio gasoso a alta pressão (5 bares)

de um volume de nitrogênio gasoso a baixa pressão (1 bar). A espessura da membrana é

05 mm e a temperatura do sistema inteiro é de 300 K. Calcule os fluxos molar e de

massa de nitrogênio que difundem através da membrana.

6.3.4 Difusão Dependente do Tempo

Um processo de difusão transiente é ilustrado na Figura 6.6. Inicialmente a

concentração da espécie de interesse é uniforme e igual a inC . No instante 0=t , a

concentração em 0=y é mantida a 0C por contato com outro meio. Quando 0C é

maior que inC a espécie difunde para dentro do meio semi-infinito e forma uma camada

151

limite de concentração, cuja espessura aumenta com o tempo. A equação governante do

problema é:

tC

DyC

∂∂

=∂∂ 1

2

2

(6.47)

com as condições inicial e de contornos

0, == tCC in (6.48)

0CC = , em 0=y (6.49)

inCC → , em ∞→y (6.50)

Figura 6.6 Camada limite de concentração num meio semi-infinito com uma

concentração diferente imposta na superfície.

A solução da Eq. (6.47) com a condição inicial (6.48) e condições de contornos

(6.49 e (6.50) é da forma (fica como exercício obter a solução)

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅=

−−

2/10

0

2 tDyerf

CCCC

in

(6.51)

Na Eq. (6.51) erf é denominada de função erro definida como

152

( )∫ −=x

dmmxerf0

22/1 exp2)(

π (6.52)

Com seguintes propriedades:

[ ] 2/102)(

1)(0)0(

π=

=∞=

=xxerfdxd

erferf

(6.53)

No caso de uma parede plana, o tempo adimensional é

tLD

2 (6.54)

e para cilindros ou esferas o tempo adimensional é

trD

o2 (6.55)

Resultados gráficos da Eq. (6.51) são apresentados na Figura 6.7. No caso em que a

abscissa na Fig. 6.7 for maior que 0,1, as correlações aproximadas pode ser usadas:

Placa:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−≅

−−

tLD

CCCC

in

o22

0 4exp8 π

π (6.56)

Cilindro:

405,2,exp412

212

10

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

−−

btrDb

bCCCC

oin

o (6.57)

153

Figura 6.7. Concentração média no volume em corpos com concentração constante

imposta no contorno.

Esfera:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅

−−

trD

CCCC

oin

o2

22

0

exp4 ππ

(6.58)

Ex. 6.2: Difusão dependente do tempo de ar em água. Uma camada fina de água pura é

colocada em contato com ar a pressão atmosférica e 20 oC. Ar começa a difundir para

dentro da água. Deseja-se saber qual é a fração molar de ar x a 1 mm para dentro da

interface água-ar. Calcule o tempo para x atingir ½ da fração molar doar na interface

0x , isto é 2/0xx = . Calcule também o valor real da fração molar x no tempo.

154

6.4 Convecção

6.4.1 Convecção Forçada em Escoamento de Camada Limite Laminar

A analogia entre transferência de massa e transferência de calor também pode

ser feita no caso de convecção. A Figura 6.8 ilustra uma camada limite de convecção no

caso de transferência de massa

Figura 6.8 Transferência de massa de uma superfície plana para um escoamento em

camada limite por convecção forçada laminar

O fluxo molar na superfície é definido como

0

ˆ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=y

w yCDj (6.59)

e o coeficiente de transferência de massa por convecção para o escoamento externo

pode ser definido como

∞−=

CCj

hw

wm

ˆ ou (6.60)

( )∞

=

−

∂∂−

CCyCD

hw

ym

0/ (6.61)

A distribuição de concentração no escoamento é governada pela seguinte

equação:

155

2

2

yCD

yCv

xCu

∂∂

=∂∂

+∂∂ (6.62)

com as condições de contorno

wCC = em 0=y (6.63)

∞→ CC em 0→y (6.64)

O campo de concentração é determinado da mesma maneira que no caso da

camada limite térmica. A Analogia entre transferência de calor e de massa nos permite

fazer a seguinte equivalência de variáveis nas camada limite de temperatura (C.L.T) e

camada limite de concentração (C.L.C):

Dkjq

DCTCTCT

ww

ww

ˆ

massade Transf. calor de Transf.

→→′′

→→→→→

∞∞

α (6.65

No caso da camada limite térmica laminar tem-se a correlação para o coeficiente

de transferência de calor:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−′′

= ∞

∞

5,0;332,02/13/1

αν

ναν xu

kx

TTq

Nuw

wx (6.66)

Por analogia pode-se escrever

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−∞

∞

5,0;332,0ˆ 2/13/1

Dxu

DDx

CCj

w

w νν

ν (6.67)

w no caso de transferência de massa se define o número de Sherwood:

156

( ) ( ) ( )5,0;Re332,0 2/13/1 ≥= cxcx SSSh (6.68)

na qual

( ) Dxh

DCCxj

Sh m

w

wx =

−=

∞

ˆ (6.69)

e cS é o número de Schmidt definido como

DSc

ν= (6.70)

A analogia entre transferência de calor e massa leva a equivalência:

cr

xx

SPShNu

massa de Transf. calor de Transf.

→→→

(6.71)

No caso de escoamentos com baixo número de Prandtl a correlação de cálculo

do coeficiente de transferência de calor é:

( ) ( ) ( )5,0;Re564,0 2/13/1 ≤=−′′

=∞

rxrw

wx PP

kx

TTq

Nu (6.72)

De maneira análoga pode-se obter

( ) ( ) ( )5,0;Re564,0ˆ 2/13/1 ≤=−

=∞

cxcw

wx SS

Dx

CCj

Sh (6.73)

O coeficiente de transferência de massa pode ser calculado como

∫=L

mm dxhL

h0

1 (6.74)

157

e o número de Sherwwod baseado neste coeficiente é definido na forma:

DLh

hS mL = (6.75)

A partir das Eqs. (6.68) e (6.73) pode-se obter

( ) ( ) ( )5,0;Re664,0 2/13/1 ≥= cLcL SShS (6.76)

( ) ( ) ( )5,0;Re128,1 2/13/1 ≤= cLcL SShS (6.77)

O coeficiente de transferência de massa baseado no fluxo de massa pode ser

avaliado como

∞−=

ρρw

wm

jh (6.78)

Desta forma, as vazões molar e de massa podem ser calculadas como

( )∞−=′ CCLhn wm (6.79)

( )∞−=′ ρρwm Lhm (6.80)

( )∞−= CCAhn wm (6.81)

( )∞−= ρρwm Ahm (6.82)

6.4.2 O Modelo de Superfície Impermeável

O caso de parede impermeável, 0=v , só é justificado quando a concentração da

espécie de interesse é baixa, menor do que um valor crítico. O fluxo de massa pode ser

calculado como

158

( )⎩⎨⎧

≤=≥=

−≈ ∞ 5,0;2/15,0;3/1

Re 2/1

c

cncxww Sn

SnS

xDj ρρ (6.83)

No caso de camada limite com 0≠v ou linhas de corrente não paralela a 0=y ,

2/1Re−

∞≈ xuv ρρ (6.84)

A transferência de massa através da parede só pode desprezada quando o

movimento transversal induzido por ela é pequeno relativo ao movimento natural

transversal (sempre presente) da camada limite, isto é,

vjw ρ< ou (6.85)

nc

w S −∞ <− 1

ρρρ

(6.86)

A hipótese de parede impermeável só é válida a baixas concentrações ∞− ρρw que

satisfaz a eq. (6.86).

Ex. 6.3 C.L. laminar, escoamento de ar úmido. A chuva deixa um filme de água sobre

uma telha de um telhado. O vento a 10 km/h varre a telha ao longo de seus 10 cm de

comprimento exposto. O ar atmosférico e a superfície da telha estão a 25 oC. A umidade

relativa do ar é: %40=φ .

a) Calcule o coeficiente médio de transferência de massa entre a superfície da telha

e ao ar úmido.

b) Determine a taxa de transferência de massa de água que deixa a superfície da

telha.

c) Verifique se a hipótese de superfície impermeável é justificada neste caso.

6.4.3 Convecção Externa Forçada Sobre Outras Configurações

De maneira similar ao que foi para transferência de calor, pode-se analisar a

transferência de massa em outras configurações. Um caso de interesse é a camada limite

159

turbulenta sobre uma superfície plana, que no caso de transferência de calor leva a

correlação:

( )⎩⎨⎧

<<

≥−=

855/43/1

10Re105,5

5,023550Re037,0

x

PPuN r

LrL (6.87)

Por analogia, pode-se definir o número de Sherwood na forma

( )⎩⎨⎧

<<

≥−==

855/43/1

10Re105,5

5,023550Re037,0

x

SS

DLh

hS cLc

mL (6.88)

Pela analogia de Colburn, o número de Stanton foi definido na forma para altos

Reynolds

( )5,0;21 3/2

, ≥= −rrxfx PPCSt (6.89)

em que o coeficiente de atrito local e definido como

5/1

, 0296,021 −

∞ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ν

xuC xf (6.90)

e portanto,

( )5,0;Re0296,0 5/13/2 ≥= −−rxrx PPSt (6.91)

O número de Stanton é definido como

( ) ∞∞∞∞ −′′

===kuTT

qkuh

uch

Stw

wx

p

xx

ααρ

(6.92)

Por analogia entre transferência de massa e transferência de calor

160

( ) ( ) ∞∞∞∞ −→

−′′

DuCCDj

kuTTq

w

w

w

wˆα

(6.93)

então, pode-se definir o número de Stanton local para transferência de massa como

∞

=uh

St mm (6.94)

( )5,0;Re0296,0 5/13/2 ≥= −−cxcm SSSt (6.95)

o que leva ao coeficiente médio

( )5,0;Re037,0 5/13/2 ≥= −−cLcm SStS (6.96)

Em outras configurações também estão cilindros e esferas em escoamentos

cruzados, Figura 6.9. Para um cilindro em escoamento cruzado, o numero de Nusselt foi

definido como

Figura 6.9. Cilindro ou esfera em escoamento cruzado com transferência de massa.

( )[ ]5/48/5

4/13/2

3/12/1

282000Re

1/4,01

Re62,03,0

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

++= D

r

rDD

P

PuN (6.97)

Se definir o número de Sherwood baseado no diâmetro externo como

161

DDh

hS mD

00= (6.98)

obtém-se por analogia

( )[ ] ( )2,0Re;282000

Re1/4,01

Re62,03,0

00

5/48/5

4/13/2

3/12/1

>⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

++= cD

D

c

cDD S

S

ShS (6.99)

Para uma esfera em escoamento cruzado, a correlação para se calcular o

coeficiente de transferência de massa é da forma

( ) ( )44,03/22/1 106,7Re5,3;Re06,0Re4,020000

xShS DcDDD <<++= (6.100)

6.4.4 Convecção Forçada Interna

Um escoamento com transferência de massa em convecção forçada interna é

ilustrado na Figura 6.10. O coeficiente de transferência de massa pode ser definido

como

bw

w

bw

wm

jCC

jh

ρρ −=

−=

ˆ (6.101)

na qual a concentração média é definida como

∫=Ab uCdA

UAC 1 (6.102)

No caso de escoamento laminar o comprimento de desenvolvimento da

concentração é

νh

DcDh

c UDS

DX

hh=≅ Re;Re05,0 (6.103)

162

Para escoamento laminar num tubo num tubo o número de Sherwwod baseado no

diâmetro interno é

DDh

hS imDi= (6.104)

Na região de escoamento completamente desenvolvido na velocidade e concentração

66,3=DDh im (6.105)

Figura 6.10. Escoamento num tubo com transferência de massa.

No caso de escoamento turbulento, o comprimento de desenvolvimento é

estimado como

10≅i

c

DX

(6.106)

No caso do escoamento turbulento completamente desenvolvido, por analogia pode

calcular o número de Sherwood como

( )643/15/4 10Re102;5,0;Re023,0 <<≥=iii DccDD xSSSh (6.107)

Ex. 6.4. Escoamento laminar completamente desenvolvido num duto com condições e

contorno assimétricas. O espaço ente dois painéis paralelos de vidro é 0,4 cm e o

comprimento do canal é 1,5 m. Uma película de água cobre uma das supefícies. A outra

163

superfície não contém qualquer água líquida sobre ela. A temperatura do sistema todo é

25oC. Ar é forçado através do canal para secar a neblina na superfície. A velocidade

média é 0,5 m/s. Calcule o coeficiente de transferência de massa entre a parede molhada

e a corrente de ar.

6.4.5 Convecção Natural

A transferência de massa também pode ocorrer em convecção natural. Neste

caso a massa específica da mistura pode ser definida como uma função da temperatura,

pressão e da massa específica das espécies componentes da mistura, iρ , na forma:

( )ipT ρρρ ,,= (6.108)

Assumindo uma expansão para a massa específica da mistura na forma:

( )+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+≅ ∞∞ ,,

iipTi

ρρρρρρ ou

( )[ ]+−−= ∞∞ ,1 iic ρρβρρ (6.109)

na qual ∞ρ é uma massa específica de referência da mistura correspondendo ∞,iρ e

pTic

,

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=ρρ

ρβ (6.110)

é o coeficiente de expansão de composição da mistura.

No caso de camada limite sobre uma superfície plana vertical, Figura 6.11, as

equações governantes são:

( )∞−+∂∂

=∂∂

+∂∂

,2

2

iicgxv

yvv

xvu ρρβν (6.111)

164

2

2

xD

yv

xu iii

∂∂

=∂∂

+∂∂ ρρρ

(6.112)

Figura 6.11. Transferência de massa em convecção natural numa superfície plana

vertical

O número de Rayleigh pode ser definido por analogia na forma:

( ) ( )ym

iwicwy Ra

DygyTTg

Ra ,

3,,

3

=−

→−

= ∞∞

νρρβ

ναβ

(6.113)

Analogia entre os processos de transferência de calor e massa permite fazer a

seguinte equivalência entre variáveis

( ) ( )

yy

cr

ymy

iwicw

i

ShNuSPDk

RaRaD

TTT

massa de Transf.calor de Trans.

,

,,

→→→

→→

−→−→→

∞∞

αρρββ

ρ

(6.114)

165

O número de Sherwood global pode ser calculado como

( )[ ] ( )12,

1

2

27/816/9

6/1, 1010;

/492,01

387,0825,0 <

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++= −

ym

c

ymy Ra

S

RahS (6.115)

O Sherwood global é definido como

( ) ( )DCCyj

Dyj

Dyh

hSiwi

w

iwi

wmy

∞∞ −=

−==

,,,,

ˆ

ρρ (6.116)

166

Bibliografia BEJAN, A., Transferência de Calor, Edgard Blücher, ISBN 8521200269, 1ª edição, 540 p.,1996.

INCROPERA, F.P., Fundamentos de Transferência de Calor e Massa, Editora: LTC,

ISBN 8521613784, 5ª edição, 698 p., 2003. TAINE, J., PETIT, J.P. Heat Transfer, ISBN 0-13-387994-1, Prentice Hall, 584 p.,1993.

ROLLE, K.C. Heat and Mass Transfer, ISBN 0-13-919309-X, Prentice Hall, 547 p.,2000.

ÖZISIK, M.N., Transferência de Calor: Um Texto Básico, Editora LTC, ISBN 852770160X,

1ª Edição, 662 p., 1990. KREITH, F., BOHN, M. S., Princípios de Transferência de Calor, Editora Thomson Pioneira,

ISBN 8522102848, 1ª edição, 623 p., 2003. HOLMAN, J.P., Heat Transfer, McGraw-Hill Science, ISBN: 0072406550, 9ª edição, 688 p.,

2001. ARPACI, V.S., Conduction Heat Transfer, Pearson Custom Pub., ISBN: 0536580162, 490 p.,

1991. ISMAIL, K.A.R., Fenômenos de Transferência - Experiências de Laboratório, Ed. Campos,

1982. BENEDICT, R.P., Fundamentals of Temperature, Pressure and Flow Measurements, John

Wiley & Sons, 1977. DOEBLIN, E.O., Measurement Systems, Applications and Design, Tokio, McGraw-Hill, 1975. OBERT, E.F., GYOROG, A.D., Laboratório de Engenharia Mecânica - Projetos e

Equipamentos, UFSC, Departamento de Engenharia Mecânica, 1976.