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A��A� F.C.; MORAES, M. S. S. O Livro Didático de Matemática e a Formação para a cidadania: mitos ou desafio? Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Utilizando os conhecimentos adquiridos com a educação escolar, os indivíduos

terão condições de compreender muitas questões que são postas pela sociedade. Para

tanto é necessário que os conteúdos, bem como os instrumentos e materiais utilizados

no processo de ensino-aprendizagem desses indivíduos e a maneira que o professor fará

uso destes, sejam muito bem articulados.

No caso específico da Matemática, é importante que o conhecimento clássico

dessa disciplina, seja propiciado aos indivíduos, preocupando-se com a formação para a

cidadania e possibilitando a esses, perceberem que a Matemática não tem um fim nela

mesma, mas sim proporciona a capacidade de pensar, estabelecer relações, justificar,

analisar e discutir o que a realidade social apresenta.

Sob esse aspecto que uns dos instrumentos mais utilizados em sala de aula está

sendo discutido neste trabalho, ou seja, buscou com este artigo verificar o que as

literaturas discutem sobre o que é o Livro didático? Qual sua função e lugar em sala de

aula? Como foi a avaliação dos livros didáticos de Matemática efetuada pelo MEC para

o PNLD de 2005? e O que foi analisado em relação a formação para a cidadania nas

coleções de forma geral?

O Livro Didático Contexto Geral

Os Livros Didáticos são materiais que no Brasil, de acordo com Romanatto

(2004), sempre foram considerados de qualidade duvidosa, não cumprindo seu papel de

apoio ao processo educacional, pois são autoritários e fechados com exercícios que

pedem respostas padronizadas, não permitindo aos alunos e professores um debate

crítico e criativo.

Ainda de acordo com esse autor, os livros didáticos diluem e simplificam as

fontes de conhecimentos de maneira a torná-los acessíveis aos alunos, o que com

raríssima exceção é feito com competência.

Críticas como essas feitas por Romanatto são comuns quando se trata do livro

didático, que durante muito tempo foi considerado como uma produção menor, mas que

sempre esteve presente em sala de aula.

Embora discussões e críticas, esse material sempre foi considerado como um

instrumento que não pode faltar no processo de escolarização, pois são auxiliares

importantes da atividade docente.

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De acordo com Bittencourt (2004), os livros didáticos, também podem assumir

funções diferentes que dependem da seleção, lugar e momento que são utilizados nas

diferentes situações escolares, essa autora ainda ressalta que, as pesquisas sobre o livro

didático mostram que esse instrumento nos últimos tempos tem sido considerado como

o principal e/ou o único referencial do trabalho em sala de aula, o que torna este, um

fato preocupante, pois, esse instrumento deveria ser mais um recurso auxiliar ao

professor no preparo e melhoria das aulas.

Romanatto (2004), expressa que a maior preocupação, diz respeito ao fato que

muitas vezes esse material está atuando como um substituto do professor, sendo assim,

os conteúdos e métodos que o professor utiliza em sala de aula ficam na dependência

dos livros didáticos.

Há uma certa importância no uso desses materiais em sala de aula, pois eles

carregam em si, ou deveriam carregar o conteúdo científico, sistematizado,

historicamente acumulado das diferentes disciplinas curriculares, conteúdos que

compõem a cultura erudita. No entanto, não devem ser considerados como o único

referencial no auxílio dos docentes e alunos, mas sim aliados a outros materiais e sob os

devidos cuidados do professor em selecioná-los, poderão contribuir para a

aprendizagem dos conteúdos clássicos do saber acumulado necessários para

participação efetiva do indivíduo como cidadão e ser consciente de sua sociedade.

O Edital de Convocação para Obras Didáticas (ECOD, 2002), ressalta que é

necessária a reversão da situação do livro didático como material principal em sala de

aula. Para tanto, esse documento propõe que sejam garantidos parâmetros curriculares

nacionais básicos em todo o país, acompanhados de orientação metodológica, para

nortear o trabalho docente, assegurando uma boa formação dos professores. Dessa

forma, esses instrumentos poderão assumir sua função de auxiliar em sala de aula.

Sem dúvida, o livro didático guarda grande importância em seu aspecto

pedagógico. Porém para Oliveira (1984), esse é apenas mais um aspecto que o livro

didático possui, essa autora defende, que é necessário também observar seu aspecto

político e cultural, pois esse instrumento reproduz e representa os valores da sociedade

em relação a sua visão de ciência, da história, da interpretação dos fatos que estarão

sendo apresentados, como também é importante observar o próprio processo de


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transmissão do conhecimento que o livro didático estará possibilitando aos alunos e

professores que dele utilizam.

Observando os itens mencionados por Oliveira (1984), é importante que o

professor ao selecionar o livro que irá trabalhar, analise seus aspectos, pedagógicos,

ideológicos, políticos, bem como a sua preocupação com a formação para a cidadania,

tanto dos alunos quanto dos professores.

Segundo as Recomendações para uma Política Pública dos Livros Didáticos

(RPPLD, 2002), a preocupação com a formação do cidadão, previstas na LDB 9394/96,

tem nas Diretrizes Curriculares e nos Parâmetros Curriculares, novas orientações que

indicam revisões importantes que vêm se dando na legislação e nas práticas escolares e

precisam, portanto estarem refletidas nos livros didáticos.

Sendo assim, para que o uso desse instrumento reforce o vínculo com as práticas

sociais atendendo as novas demandas das escolas,

[...] é necessário que seja um instrumento que favoreça a aprendizagem do aluno, no sentido do domínio do conhecimento e no sentido da reflexão na direção do uso dos conhecimentos escolares para ampliar sua compreensão da realidade e instigá-los a pensar em perspectiva, formulando hipóteses de solução para os problemas atuais. Isso significa colocar o livro didático como subsídio da escola para a consecução do objetivo de promover o exercício da cidadania [...]. (RPPLD, 2002, p. 27).

Essa preocupação com o exercício da cidadania torna-se um critério para a

avaliação do Livro Didático feita pelo MEC, nas diferentes disciplinas curriculares, que

aliado a outros critérios selecionou as coleções para o ensino fundamental 3º e 4º ciclos.

Avaliação essa que atendeu aos critérios estabelecidos pelo edital de convocação de

forma geral e específica a cada disciplina curricular.

O Livro Didático de Matemática

A importância do Livro Didático no processo de ensino-aprendizagem da

Matemática é indiscutível, já que esse instrumento apresenta o conteúdo clássico que

requer essa disciplina, porém a utilização desses acaba sendo feita de forma incorreta,

tornando esse o único material instrucional e auxiliar durante as aulas.


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Richaudeau (apud OLIVEIRA, 1984, p. 11), define, “o livro didático é um

material impresso, estruturado, destinado ou adequado a ser utilizado num processo de

aprendizagem ou formação”.

Lopes (2000) faz comentário sobre a definição de Richaudeau no contexto da

Matemática, levantando a questão que, por ser um material impresso o livro didático de

Matemática é limitado para a aprendizagem e essa limitação, oriunda das várias formas

de linguagens somado ao fato desse material impresso expressar concepções e

competências do autor em determinado meio social, sendo que este material estará à

disposição de realidades distintas.

O autor ressalta ainda que o livro didático de Matemática, ou das demais

disciplinas, terá sua eficiência se considerar também o uso que o professor possa fazer

dele, por si só ele não presta a obtenção de uma aprendizagem eficaz, é necessário uma

boa escolha e utilização, dessa forma, esse instrumento será um recurso instrucional

auxiliar tanto para os alunos, quanto para os professores.

Tanto para professor, quanto para alunos, o livro didático poderá, de acordo com

Pfromm Netto (1974 apud LOPES, 2000, p. 53), aumentar a capacidade de leitura,

integrar e sistematizar a matéria, facilitar revisões periódicas e desenvolver o hábito de

independência e autonomia.

Na Matemática, segundo Romanatto (2004), ao adotar um livro, deve-se verificar

se está de acordo com os objetivos propostos para o nível a que se destina, se atende o

nível de maturidade dos alunos e se o conteúdo está adequado ao nível de escolaridade e

série ao qual será destinado.

Portanto, a escolha desse material deve ser feita com muita cautela, pois o ensino

da Matemática já enfrenta inúmeros problemas. É preciso que o livro didático auxilie o

professor de forma positiva, sendo estruturado e elaborado para que juntamente com

esse profissional e outros recursos, possa preparar o cidadão para utilizar a Matemática

em suas atividades, organizando pensamentos, sabendo lidar com dados expressos em

gráficos ou tabelas e os interpretando.

Para tanto, o livro didático de Matemática, além de abordar os conteúdos clássicos

que requer essa disciplina, deveria se preocupar com questões de esferas sociais,

culturais e políticas, principalmente na sociedade contemporânea marcada pela,

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[...] afirmação da diversidade e flexibilidade das formas de organização escolar, originadas pela necessidade de atender aos diferentes interesses e expectativas gerados por fatores de ordem cultural, social e regional. Para isso, é necessário dispor de um livro didático também diversificado e flexível, sensível à variação das formas de organização escolar e dos projetos pedagógicos, assim como à diversificação das expectativas e interesses sociais e regionais. (RPPLD, 2002, p. 30).

Lopes (2000), assim como este trabalho, defende que os livros didáticos de

Matemática deveriam preocupar-se com a questão crítica e social dos conteúdos, pois

quando esses são apresentados nos livros didáticos preocupados com a crítica social,

poderão conciliar os interesses e experiências dos alunos, possibilitando aos mesmos

compreenderem sua realidade. Dessa forma, segundo Lopes (2000), há necessidade de

incorporar nesses materiais, novos contextos para que as reflexões sobre eles façam os

alunos progredirem tanto em nível de conteúdo, quanto em espírito crítico, Lopes

conclui.

Neste sentido, o livro didático poderá ser um grande auxiliar do professor se conduzido a temas que dizem respeito a questões sociais ou culturais, de grande repercussão para o cidadão brasileiro de um modo geral, com algum reflexo na vida do aluno ou do seu meio (LOPES, 2000, p. 202).

Essa conciliação fará do livro didático, além de um instrumento auxiliar ao

professor no preparo e condução de suas aulas, também um instrumento que conduzirá

os alunos à apropriação dos conteúdos clássicos da Matemática, além de permitir aos

mesmos enxergarem essa disciplina com finalidade que vai além dos cálculos feitos em

sala de aula, mas sim, como uma disciplina que contém um caráter político-social, que

proporciona um conhecimento para a vida, longe de um caráter apenas prático e

utilitário.

Dessa forma, o livro didático possibilitará, juntamente com os demais recursos

auxiliares e principalmente o professor, a formação para a cidadania, a busca de uma

educação que concilie questões da sociedade com questões científicas e culturais, além

da preocupação com a seleção dos conteúdos, seus objetivos, a seqüência lógica e o

nível de escolaridade que pretenda atingir.

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A Avaliação dos Livros Didáticos de Matemática – PNLD 2005

O MEC promove uma avaliação sobre os livros didáticos, que é indispensável e

caracteriza suas qualidades. E mesmo com essa avaliação, ainda há livros que pouco se

preocupam com a formação para a cidadania e vinculação do que se aprende com a vida

cidadã.

A intenção deste trabalho não é julgar os critérios de avaliação levantados pelo

MEC nem discutir esses critérios, mas acredita ser necessário levantar como e quais

foram os critérios utilizados, por esse órgão governamental para a escolha das obras

didáticas que são distribuídas nas escolas brasileiras.

A avaliação dos livros didáticos de Matemática foi feita pelo MEC de acordo com

diretrizes propostas pelo edital de convocação para inscrição no processo de avaliação e

seleção de obras didáticas, para todas as áreas de conhecimento, como também foi

complementada por diretrizes e considerações específicas da Matemática.

De acordo com o Guia dos Livros Didáticos de Matemática (GLDM) 5ª a 8ª

séries (2005), a Matemática no período de escolaridade 5ª a 8ª séries se caracteriza pela

solidificação dos conhecimentos que foram adquiridos nas primeiras quatro séries,

como também nesta etapa de escolarização introduzem-se novos conceitos, inicia-se a

sistematização dos conhecimentos matemáticos pela aplicação da Matemática em

situações problemas mais complexas. É nessa fase, portanto que a explicitação da

instrução da Matemática fica mais clara para os alunos.

Esse documento ainda afirma que o ensino, nessa fase, não é apenas um pré-

requisito para as fases posteriores, mas sim tem a função de preparar os alunos como

cidadão para atuarem em uma sociedade complexa, marcada por desigualdades,

injustiças, como também repleta de tecnologias e inovações.

É sob esse aspecto que o livro didático não deve ser um instrumento que apenas

apresente conceitos de forma desconexa, seguidos de aplicações e exercícios rotineiros.

É necessário também que se preocupe com os objetivos do ensino da Matemática nessa

fase.

Segundo Prado (1999 apud LOPES, 2000, p. 93), o Estado democrático deve

garantir a todos o desenvolvimento de suas capacidades e o conhecimento necessário

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para que possam compreender a realidade social, cultural e política e nela intervir como

cidadão.

Prado ressalta ainda:

É preciso que todos os alunos aprendam a valorizar o conhecimento e os bens culturais e ter acesso a eles automaticamente; que aprendam a selecionar o que é relevante, a investigar, questionar e pesquisar, a construir hipóteses, compreender raciocinar com lógica; a comparar estabelecer relações, inferir e generalizar; a adquirir confiança na própria capacidade de pensar e encontrar soluções. É preciso que todos os alunos aprendam a relativizar, a confrontar e respeitar diferentes pontos de vista, discutir divergências, exercitar o pensamento crítico e reflexivo. É preciso que saibam ler criticamente diferentes tipos de textos, utilizar diferentes recursos tecnológicos, expressar-se em várias linguagens. (PRADO apud LOPES, 2000, p. 93).

Para essa autora, é sob essas competências desejáveis que se justificam os projetos

do MEC nos quais se inclui a avaliação qualitativa dos Livros Didáticos e a elaboração

de um Guia de Avaliação.

As avaliações feitas pelo MEC nos livros didáticos de matemática para o 3º e 4º

ciclos do ensino fundamental favoreceu a melhora desse material nos últimos anos,

porém, espera-se que os livros didáticos possam tornar-se ainda melhores,

principalmente na vinculação dos conteúdos de Matemática com questões sociais,

culturais e políticas.

No que diz respeito aos conteúdos específicos e a elaboração desses conteúdos, à

avaliação segundo o GLDM 5ª a 8ª série (2005) torna-se satisfatória:

A avaliação de um livro de Matemática baseia-se na comparação dos objetivos implícitos ou explícitos da obra com os objetivos gerais do ensino dessa saber para a faixa de escolaridade visada. Esses objetivos gerais, por sua vez, refletem, em graus variados, pressupostos sobre o ensino de Matemática no atual contexto social, o papel do professor e as características do aluno dessa fase escolar.

Sob esse aspecto o MEC levantou alguns critérios para a avaliação desses

instrumentos, buscando atingir todos os objetivos do ensino de Matemática para essa

fase do ensino.

Os critérios levantados foram de natureza eliminatória e não eliminatória esses

critérios foram apresentados no Edital para convocação de obras didáticas, bem como

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nos GLDM, para que os professores ao escolherem suas coleções estivessem mais

conscientes de como foram feitas às seleções das obras que lhes foram apresentadas.

Os Critérios Eliminatórios foram:

- Correção dos conceitos e informações básicas

- Adequação didático-metodológica das relações de Matemática;

- Construção da Cidadania.

Além desses critérios eliminatórios o MEC elaborou uma ficha de avaliação com

critérios não eliminatórios.

De acordo com os GLDM 5ª a 8ª série (2005), “promover a apropriação do

conhecimento implica escolha de alternativas metodológicas que contribuam para um

bom processo de ensino-aprendizagem”.

Dessa forma, esse documento afirma que essas escolhas devam incluir estratégias

que mobilizem e desenvolvam várias competências cognitivas básicas, podendo

comprometer o desenvolvimento cognitivo do educando, aquele livro didático que

deixar de contemplar o trabalho adequado dessas competências.

Para que o livro atenda essas exigências é necessário que atenda também a dois

requisitos básicos:

- não deve privilegiar, entre as habilidades e competências que deve mobilizar e desenvolver, uma única, mas propiciar o desenvolvimento equilibrado de várias habilidades e competências;

- deve ser coerente com a proposta que explicita, respeitando os preceitos que lhe dão identidade e permitem não só identificá-la, mas compreender seu alcance. No caso de o livro didático recorrer a mais de um modelo metodológico, deve indicar claramente sua articulação. (GLDM 5ª a 8ª série, 2005, p. 202-203).

Sendo assim, a avaliação desses materiais deve preocupar-se com a forma de

apresentar a metodologia, se está de acordo e articulada aos objetivos, se contemplam as

competências cognitivas básicas dos alunos.

O último critério de avaliação, a construção da cidadania, exige para essa

construção que se obedeça alguns subsídios para a elaboração dos livros didáticos.

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Esses subsídios estão de acordo com o Guia do Livro Didático de Matemática e também

com o Edital para Convocação de Obras Didáticas referentes à Matemática.

Portanto é importante os livros:

- Não veicular, nos textos e nas ilustrações, preconceitos que levem a discriminações de qualquer tipo;

- Não ser instrumento de propaganda e doutrinação religiosas;

- Não violar os preceitos legais constantes do Estatuto da Criança e do Adolescente no que diz respeito ao estímulo ou indução ao consumo de fumo, álcool, drogas de qualquer tipo, armas de fogo e à indução de práticas socialmente nocivas;

- Não ser veículo de propaganda de qualquer tipo de bens ou serviços. (GLDM 5ª a 8ª série, 2005, p. 203-204).

Os GLDM 5ª a 8ª série (2005), ainda recomendam que os livros didáticos ao

formularem suas figuras, sua apresentação gráfica, não se baseiem em estereótipos e

preconceitos, bem como é importante preocupar-se com os papéis do homem, da

mulher, da família na sociedade e no trabalho, é preciso que os livros não mostrem uma

figura totalmente diferente da realidade encontrada hoje para não despertar o

preconceito ou mesmo não discriminar os usuários desse material.

Considerações

O professor ao adotar um livro de Matemática, deverá perceber que esses

materiais necessitam ser um auxiliar que contenha os conteúdos que deverão ser

aprendidos no processo escolar de forma sistematizada, organizada e coerente, pois é na

escola que se constitui o principal meio pelo qual os alunos obterão os princípios da

construção histórica dos conhecimentos matemáticos.

Esses conteúdos devem possibilitar aos alunos compreenderem os conhecimentos

adquiridos além da esfera escolar e levá-los para vida social, não apenas fornecer

métodos e procedimentos que visam à memorização de esquemas insignificantes, o que

fará com que os alunos esqueçam rapidamente.

Portanto, além dos conteúdos clássicos específicos da Matemática, é necessário

que a escola forneça outros conteúdos que propicie aos alunos a formação para a

cidadania e possibilite a construção de uma consciência crítica.

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Essa preocupação com a formação para a cidadania requer que sejam feitos em

sala de aula, estudos de questões que vão além dos conteúdos específicos que cada

disciplina de base nacional comum requer, desde os primeiros anos de escolarização.

Ela necessita ser entendida como um exercício de direitos e deveres, sendo assim a

cidadania será entendida como uma prática social no desenvolvimento do aluno tendo

como base o ensino.

Sendo o livro didático, na maioria das vezes uma das principais fontes de consulta

do professor, de acordo com Ruggiero (2000) ele necessita que os conteúdos

apresentados a eles sejam um auxiliar na construção do conhecimento e dos conceitos

matemáticos e não um mero material feito de misturas de idéias, filosofias e

apresentação de procedimentos.

A análise feita nas coleções de livros didáticos possibilitou perceber que embora

as coleções de livros didáticos proponham o trabalho com os temas que discutem

questões sociais, políticas e culturais, muitas vezes esse trabalho é confundido com uma

contextualização simplista, na utilização prático-utilitária do conteúdo matemático

através de um problema ou outro, sem que haja discussão ou mesmo conexão do

conteúdo visto com questões da prática social dos alunos, o que não contribui para a

formação da cidadania integral.

Embora o MEC nos últimos anos tenha feito a avaliação dos livros didáticos de

Matemática, tenha se preocupado em construir o Guia do Livro Didático de Matemática

(GLDM) e a escolha desse material instrucional seja feita pelo conjunto de professores

em suas unidades escolares, o livro didático ainda apresenta muitas falhas tanto em

conteúdos específicos, forma de apresentação, metodologia, quanto na vinculação

desses conteúdos com conteúdos que refletem a realidade social dos alunos.

Quando estudados os documentos como as Diretrizes Curriculares Nacionais, Lei

de Diretrizes e Bases da Educação nº 9394/96, Guia dos Livros Didáticos de

Matemática 5ª a 8ª séries, Recomendações para uma Política Pública dos Livros

Didáticos, Edital de Convocação para Obras Didáticas, foi possível concluir que há uma

preocupação dos órgãos governamentais da educação, com a formação para a cidadania.

Porém essa cidadania almejada nesses documentos, que também defendem a educação

escolar como o caminho para este tipo de formação, encontra nos livros didáticos de

Matemática, um desafio, pois esses materiais ainda não encontraram o caminho para a

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contextualização adequada dos conteúdos matemáticos vinculados aos conteúdos da

realidade social. Quando contextualizam algo, é de forma simplista e artificial não

propiciando a formação plena do cidadão.

Referências

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BRASIL. Ministério da Educação. Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Edital de Convocação para Inscrição no Processo de Avaliação e Seleção de Obras Didáticas a Serem Incluídas no Guia de Livros Didáticos de 5ª A 8ª Séries do PNLD/2005. 21 de junho, 2002. Disponível em: http://www.fnde.gov.br/home/livro_didatico/fndeeditalpnldconvocacao21062005preinscricao.pdfM FNOPPQ ORS ZT VO WX^]QL ZTT[M

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_`abcd_e F.C.; MORAES, M. S. S. O Livro Didático de Matemática e a Formação para a cidadania: mitos ou desafio? Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

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klmnokp qr lr sr t quvwp xr o yzyt{ |} y~}�t��}~ �z institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru:SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 4: Formação de Professores

O PAPEL DO PROFESSOR NA INSTITICIONALIZAÇÃO DAS NOÇÕES DE

ÁREA E PERÍMETRO EM RELAÇÃO A ATUAL PROPOSTA CURRICULAR

DO ESTADO DE SÃO PAULO

Cintia Ap. Bento dos SANTOS-UNICSUL ([email protected]�Edda CURI -UNICSUL ([email protected]�

Resumo: O presente trabalho tem por objetivo apresentar alguns resultados de nossa investigação durante as pesquisas realizadas para o desenvolvimento de nossa dissertação de mestrado, assim apresentamos uma análise estruturada na didática francesa da atual Proposta Curricular do Estado de São Paulo, dessa forma reconhecemos aspectos encontrados neste documento curricular oficial que mesmo de forma implícita fazem referência aos quadros ou domínios de Douady (1992), aos registros de representação semiótica segundo Duval (1993) e aos níveis de conhecimento esperados dos educandos de acordo com abordagem teórica de Robert (1997), levando ainda em consideração a aprendizagem significativa de acordo com Ausubel (1980). Após a apresentação da análise do documento oficial referido, abordamos alguns autores que contribuem para formação de professores, a fim de elucidar o fato de que, as mudanças em educação só são possíveis e reais quando se considera a questão da formação de professores, materiais potencialmente significativos ou alunos pré-dispostos a uma aprendizagem podem não ser suficientes se a formação inicial de professores não contempla os reais aspectos do processo ensino-aprendizagem. Outra constatação com base na análise deste documento é o fato de que pode ocorrer uma possível mudança no forte papel atribuído na cultura matemática ao livro didático, da mesma forma que se vislumbra um reconhecimento da linguagem própria existente na Matemática, o que de certa forma pode vir a contribuir para se detectar as reais dificuldades dos educandos. Dessa forma verificamos a necessidade da formação inicial e continuada de professores, bem como a importância do conhecimento não apenas do conteúdo matemático pelo professor, mas também do conhecimento didático e curricular do conteúdo.

Palavras-chave: Formação de Professores, Área e Perímetro, Aprendizagem Significativa, Documentos Curriculares Oficiais.

Introdução

Este artigo é parte do estudo que vem sendo desenvolvido para a elaboração de

uma dissertação1 de mestrado sobre o estudo de teorias didáticas e a formação de

�� institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo.

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Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru:SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

professores no que diz respeito às noções de área e perímetro. Para responder as

questões de pesquisa realizamos um estudo teórico embasado na didática francesa e em

alguns autores que abordam a formação de professores e ainda realizamos análises de

documentos curriculares oficiais, a fim de verificarmos como se apresentam estas

noções aos professores para que institucionalizem estes saberes.

Contudo, a análise da atual Proposta Curricular do Estado de São Paulo, que

entrou em vigor em 2008, configura como parte relevante da nossa pesquisa, uma vez

que no início dos estudos do referencial teórico que constitui a referida pesquisa esse

documento ainda não se encontrava vigente, o que traz um novo olhar para as

orientações fornecidas pelos documentos que servem de diretrizes ao trabalho docente.

Sua implementação modifica aspectos da cultura da educação matemática, como por

exemplo, a aprendizagem centrada na utilização do livro didático, a constituição dos

planos anuais de ensino apoiados nos índices dos livros adotados. Sendo assim,

conhecer mais profundamente esse documento é de nosso grande interesse, uma vez que

muda de certa forma o papel do professor que até mesmo foi constituído em sua própria

formação.

Dessa forma optamos por apresentar uma análise deste documento no que diz

respeito às noções de área e perímetro, com uma fundamentação embasada na didática

francesa e mais adiante apresentando aspectos da formação inicial e continuada de

professores, assim verificar como o professor atua como ator deste jogo.

Cabe lembrar que esforços têm sido feitos pela Secretaria da Educação visando

uma mudança nos rumos que a Educação Pública tem tomado, porém podemos iniciar

este artigo levantando as seguintes questões para reflexão: A formação do professor de

matemática contempla estas mudanças? Os esforços para o sucesso de uma

aprendizagem devem ser voltados somente para os alunos, ou inicialmente deveria

haver um trabalho diferenciado de formação inicial e continuada com professores?

Sobre a atual Proposta Curricular do Estado de São Paulo

Nesse documento podemos verificar um respeito às diretrizes dos documentos

anteriores, como a Proposta Curricular do Estado de São Paulo (1997) e os PCNs2

(1998), porém este novo documento difere em relação a suas diretrizes que deixam de

ser sugestões e passam a ser orientações que devem ser efetivamente trabalhadas em

�� ¡ �¡ ¢¡ £ ¤¥¦� §¡ � ¨©¨£ª «¬ ¨¬®£¯¯¬ °© institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo.

3


sala de aula. Para tanto, além da própria Proposta Curricular de Matemática para o

ensino fundamental, existem os cadernos de apoio ao professor que apresentam tarefas a

serem trabalhadas em sala de aula, cadernos estes que têm sua publicação

bimestralmente.

Mesmo de forma implícita, a Proposta Curricular apresenta indícios de

preocupação com uma aprendizagem em que se beneficia a articulação de noções

matemáticas, uma vez que ela descreve que os alunos devem ter: “A autonomia para

gerenciar a própria aprendizagem (aprender a aprender)” [...] (PROPOSTA

CURRICULAR, 2008, p.11).

Outro enfoque deste documento é a preocupação com as capacidades leitoras e

escritoras. Entendemos que mesmo sem fazer referências às representações

semióticas3, este documento admite a linguagem própria existente na matemática e a

necessidade de aprendizagem significativa4 para que alunos possam transpor os níveis

esperados em cada situação e que estes conceitos são importantes a serem aplicados

mesmo em tarefas fora do ambiente escolar. As considerações aqui realizadas se

evidenciam de acordo com o texto apresentado:

[...] esta Proposta Curricular tem como princípios centrais: a escola que aprende, o currículo como espaço de cultura, as competências como eixo de aprendizagem, a prioridade da competência de leitura e de escrita, a articulação das competências para aprender e a contextualização no mundo do trabalho (PROPOSTA CURRICULAR, 2008, p.11).

Diferente dos documentos anteriores a Proposta Curricular assume a importância

da representação simbólica articulada com a língua natural e mesmo que de forma

implícita, podemos entender como uma indicação as representações semióticas e aos

quadros5 e domínios existentes para que se constituam os saberes escolares, pode-se

constatar esta preocupação conforme descrito abaixo:

Nesta proposta, a Matemática é apresentada como um sistema simbólico que se articula diretamente com a língua materna, nas formas oral e escrita, bem como com outras linguagens e recursos de representação da realidade. (PROPOSTA CURRICULAR, 2008, p. 44)

±²³´µ±¶ ·¸ ²¸ ¹¸ º ·»¼½¶ ¾¸ µ ¿À¿ºÁ ÂÃ ¿ÄÃÅºÆÆÃÄ ÇÀ institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo.

4


O eixo espaço e forma, assim como era caracterizado nos PCNs, continua

configurando como articulador entre as outras noções matemáticas, esta consideração

pode ser realizada com base no texto que segue:

O par grandezas e medidas parece especialmente adequado para favorecer a interdisciplinaridade, e mesmo a transdisciplinaridade, uma vez que suas conexões com os eixos de números e geometria se dão quase naturalmente. No Ensino Fundamental, sua ligação com números, especialmente os decimais e as frações, pode ser feita por meio da contextualização da necessidade dos múltiplos e submúltiplos de uma unidade de medida na resolução de problemas concretos. Com a geometria, a referida ligação se dá pelo estudo do cálculo de áreas e volumes, iniciando a partir da contagem em malhas quadriculadas até mesmo a formalização de expressões literais para o cálculo dessas medidas (PROPOSTA CURRICULAR, 2008, p. 46).

Um aspecto importante e que distingue a atual Proposta Curricular do Estado de

São Paulo é que este documento, apresenta orientações metodológicas, que se

encontram nos cadernos bimestrais destinados aos professores, dessa forma verificamos

uma preocupação da Secretaria da Educação em direcionar o trabalho docente, diferente

dos PCNs que apresentavam apenas sugestões didáticas, esta preocupação pode ser

verificada uma vez que:

As sugestões que serão apresentadas nos Cadernos dos Professores, para o desenvolvimento dos trabalhos em cada bimestre letivo, buscarão explicitar formas de tratamento dos diversos temas consentâneas com a visão geral desta proposta (PROPOSTA CURRICULAR, 2008, p. 48).

Para o conteúdo específico de área e perímetro, o documento indica a abordagem

destas noções da seguinte forma:

5a série do ensino fundamental: as noções de área e perímetro devem ser abordadas no

terceiro bimestre do ano letivo.

6a série do ensino fundamental: não é especificada a abordagem para estas noções nesta

série.

7a série do ensino fundamental: as noções de área devem ser trabalhadas através do

estudo dos polígonos no quarto bimestre do ano letivo.

8a série do ensino fundamental: a abordagem das noções de área e perímetro se refere

apenas ao estudo dos círculos.

ÈÉÊËÌÈÍ ÎÏ ÉÏ ÐÏ Ñ ÎÒÓÔÍ ÕÏ Ì Ö×ÖÑØ ÙÚ ÖÛÚÜÑÝÝÚÛ Þ× institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo.

5


Verificamos que neste documento as noções relativas à área e perímetro são

enfocadas em todas as séries do ensino fundamental exceto na 6a série deste ciclo,

apesar da importância dada ao tema observa-se que o quadro algébrico continua sendo

mais enfatizado durante os bimestres. Uma outra verificação é o fato das noções aqui

em jogo serem tratadas de forma segmentada, ou seja, na 8a série não é proposta

nenhuma releitura dos temas abordados nas séries anteriores, propondo o cálculo de

área do círculo, este papel fica a cargo do professor que deve indicar aos alunos as

articulações possíveis e o resgate dos conhecimentos anteriores. Aqui entra a

importância da formação do professor, como ator neste jogo, sabendo o momento de

realizar suas escolhas em relação à passagem dos níveis6 que exigem dos alunos a

leitura das representações semióticas e a articulação de quadros ou domínios.

Sobre a formação de professores

Segundo TARDIF (2002) os saberes aprendidos na Universidade geralmente não

engloba o “como fazer”. Dessa forma professores necessitam desenvolver estratégias

em plena atividade profissional, criando e utilizando assim sua “pedagogia”, que não

pode ser outra coisa senão a prática de um profissional, que deve agir com autonomia

através da ética do trabalho e confrontada diariamente com problemas para os quais não

existem receitas prontas. Com base nas considerações deste autor fica evidente a

necessidade de adaptação de professores com a finalidade de assumir o papel de ator

deste jogo, trabalhando com autonomia as dificuldades que surgem em sala de aula. Até

este momento no decorrer de nossa pesquisa ficou evidente que apesar das noções de

área e perímetro serem consideradas como um conteúdo de pouco grau de dificuldade,

existem ainda muitas dificuldades conceituais e seu tratamento até mesmo pelos livros

didáticos dificulta este esclarecimento. Assim, cabe ao professor encontrar recursos que

facilitem esta aprendizagem, cabe a ele a articulação entre os conteúdos matemáticos e a

condução dos educandos através dos níveis que se espera deles. Cabendo ao professor

inclusive a adaptação aos documentos oficiais curriculares propostos pelas Secretarias.

Para entender melhor a formação de professores CURI (2008) apresenta três

concepções de formação para ensinar Matemática: Uma delas defende que o

conhecimento matemático amparado em sua técnica é suficiente para ensinar

matemática; uma segunda, que tenta contrapor a anterior, coloca sua ênfase na formação

ßàáâãßä åæ àæ çæ è åéêëä ìæ ã íîíèï ðñ íòñóèôôñò õî institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo.

6


pedagógica, considerando que um professor não necessita de grandes conhecimentos

matemáticos para ensinar; a terceira entende a formação de professores de matemática,

como uma articulação entre conhecimentos matemáticos e conhecimentos didáticos

pedagógicos.

Em nossa pesquisa temos a intenção de ampliar os horizontes da prática docente,

para que pesquisas acadêmicas cheguem aos professores, desta forma a terceira corrente

de pensamento sobre a formação matemática de professores apresentada por CURI

(2008) vai ao encontro dos objetivos deste trabalho. Esta concepção, de certa forma,

aproxima-se dos estudos de Shulman (1986).

Segundo Shulman (1986) existem três vertentes no conhecimento do professor

quando se refere ao conhecimento da disciplina para ensiná-la: o conhecimento do

conteúdo da disciplina; o conhecimento didático do conteúdo da disciplina e o

conhecimento do currículo.

Shulman (2005)7 amplia as categorias de base dos conhecimentos do professor e

destaca:

Conhecimento do conteúdo.

Conhecimento didático, levando em consideração os princípios e estratégias de organização das aulas e da disciplina.

Conhecimento do currículo, em especial o domínio dos materiais e programas que servem de ferramenta para prática docente.

Conhecimento didático do conteúdo, nesta esfera ocorre justaposição entre dois elementos importantes da prática docente, a matéria e a pedagogia.

Conhecimento dos educandos e de suas características.

Conhecimento dos contextos educativos, que envolve desde o funcionamento do grupo de alunos e a gestão escolar até o caráter cultural das comunidades.

Conhecimento dos objetivos, das finalidades e os valores educativos e seus fundamentos filosóficos e históricos.

Para Shulman (2005), o conhecimento didático do conteúdo representa uma

mistura entre conteúdo e didática para se chegar a uma compreensão de como

determinados temas e problemas se organizam, se representam e se adaptam aos

diversos interesses e capacidades do educando, se articulando para sua aprendizagem. O

conhecimento didático do conteúdo é a categoria que com maior probabilidade permite

distinguir entre a compreensão do especialista em uma área do saber e do pedagogo.

ö÷øùúöû üý ÷ý þý ÿ üS��û �ý ú ��ÿ� �� ÿ�� institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo.

7


Existem pelo menos quatro fontes principais que constituem a base do

conhecimento de acordo com Shulman (2005), e são eles: Formação acadêmica na

disciplina a ensinar, no caso a matemática; os materiais e o contexto do processo

educativo institucionalizado, por exemplo, os documentos oficiais curriculares e os

livros didáticos; a investigação sobre a escolarização, as organizações sociais, a

aprendizagem humana, o ensino e o desenvolvimento e os demais fenômenos sócio-

culturais que influi no que faz o professor; o saber que atribui à mesma prática.

Para formação acadêmica da disciplina de Matemática, a primeira fonte do

conhecimento base é o conhecimento dos conteúdos: o saber, a compreensão, as

habilidades e as disposições que devem adquirir os estudantes. Este conhecimento se

apóia em duas bases: a bibliografia e os estudos acumulados durante a docência, e o

saber acadêmico, histórico e filosófico sobre a natureza do conhecimento nestes campos

de estudo. No caso do professor de matemática este deve dominar não somente a

aplicação técnica de sua disciplina, porém deve-se embasar em todo o conhecimento

anterior sobre os conceitos da disciplina.

De acordo com os estudos de Shulman (2005), o professor deve compreender as

estruturas da matéria ensinada, dos princípios da organização conceitual, como também

os princípios de indagação que ajudam a responder dois tipos de perguntas em cada

âmbito: Quais são neste âmbito do saber, as idéias e as aptidões importantes? De que

maneiras se geram conhecimentos nesta área, incorporando-se novas idéias e

descartando as defeituosas? Isto é, quais são as regras e os procedimentos de um bom

saber acadêmico e da investigação? Essas perguntas podem comparar-se com o que

Schwab (1964) tem definido como conhecimento de estruturas e sintáticas. Esta visão

das fontes do conhecimento e dos conteúdos da Matemática implica necessariamente

que o professor não só deve compreender a fundo a matéria específica que ensina como

deve possuir uma ampla formação humanista, que deve servir como marco para a

aprendizagem adquirida anteriormente e como mecanismo que facilita a aquisição de

uma nova compreensão.

Para estruturas e materiais didáticos, Shulman (2005) apresenta esta fonte como o

objeto de promover os objetivos da escolarização organizada em que se criam materiais

e estruturas para o ensino e aprendizagem. Entre eles se incluem currículos com seus

âmbitos e suas seqüências; testes e materiais para sua aplicação; instituições com suas

� �� !!�� "� institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo.

8


hierarquias, seus sistemas explícitos e implícitos de regras e funções; organizações de

sindicatos de professores com suas funções de negociação, cambio social e proteção

mutua; entidades governamentais desde o nível de distrito até os níveis estatal e federal;

e mecanismos gerais de gestão e financiamento. Dessa forma para Shulman (2005) os

professores atuam inevitavelmente dentro de uma estrutura formada por estes

elementos, utilizando-os e sendo utilizados por eles, enfatizando os princípios, as

políticas e as circunstâncias de seu funcionamento configuram uma importante fonte do

conhecimento base. Assim se o professor tem que conhecer o “território” do ensino,

então é a paisagem composta de tais estruturas, como instituições, organizações e

mecanismos, algo que ele deve estar familiarizado. Estes constituem as ferramentas da

docência e as circunstâncias contextuais que facilitarão ou inibirão as iniciativas do

ensino.

Para literatura educativa especializada, Shulman (2005) define esta terceira fonte

como importante e em crescente quantidade de pesquisas acadêmicas dedicadas à

compreensão dos processos de escolarização, de ensino e aprendizagem. Nestas obras se

incluem as conclusões e os métodos de investigação empírica nas áreas de docência,

aprendizagem e desenvolvimento humano, assim como também, os fundamentos

normativos, filosóficos e éticos da educação.

Segundo Shulman (2005) os aspectos normativos e teóricos dos conhecimentos

acadêmicos sobre o ensino são talvez os mais importantes. Infelizmente os responsáveis

pelas políticas educativas e os encarregados da formação docente tendem a considerar

somente os resultados das investigações empíricas sobre ensino-aprendizagem como

elementos pertinentes da base de conhecimentos acadêmicos. Assim estas considerações

das investigações são importantes e merecem ser objeto de um estudo exaustivo,

representam uma só faceta da contribuição do mundo acadêmico, cujas influências mais

perduráveis e poderosas sobre os professores são provavelmente as que enriquecem a

imagem que se forma do que é possível desejar: suas visões do que constitui uma boa

educação, ou de como se desenvolveria um aluno bem educado se lhe oferecerem

oportunidades e estímulos adequados.

Com base nestas considerações pode-se verificar que para as noções de área e

perímetro o trabalho no nível técnico depende apenas de um professor que tenha o

conhecimento do conteúdo, porém quando se espera que professores passem com seus

#$%&'#( )* $* +* , )-./( 0* ' 121,3 45 1657,8856 92 institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo.

9


alunos do nível técnico aos níveis mobilizáveis e disponíveis, ocorre necessidade de

articulação de quadros ou domínios e nesse momento surge a dificuldade associada “não

ao que ensinar” e sim a “como ensinar”, desta forma observa-se a necessidade da

formação inicial e continuada contemplar não apenas o conhecimento de conteúdos e do

currículo, mas também o conhecimento didático do conteúdo da disciplina, que aqui

neste contexto é o fator que faz toda a diferença na formação de professores, pois

considera-se que um professor atua como ator neste jogo com autonomia quando

conhece os conceitos didáticos da sua disciplina.

Em relação a estes conhecimentos didáticos dos conteúdos da disciplina pode-se

ainda dizer que os cursos de licenciatura atualmente há um grande número de horas nas

grades curriculares destinado à formação pedagógica do professor, no entanto, ainda há

poucas pesquisas e práticas desenvolvidas que possam subsidiar discussões a esse

respeito (CURI, 2008).

Imaginamos que não só o aluno deve aprender, o professor também tem esta

necessidade, fato que pode ser melhor explicitado por CABRAL (2007):

Há uma preocupação das reformas em definir um conjunto de princípios explicativos de como as crianças devem aprender para alcançar os objetivos da reforma, no entanto, na ótica de Shulman, não só os alunos devem aprender, mas também os professores. Vai além, e considera que os princípios que explicam o aprendizado das crianças devem da mesma forma, explicar a aprendizagem dos professores, e acrescenta: “Não há segredos na aprendizagem dos professores: sejam novatos em estágio ou veteranos aprendendo ao longo da carreira, devemos criar condições comparáveis de ensino para os professores, assim como os estudantes. Não há atalhos. As únicas escolas eficazes são as instituições que são educativas para os professores, e não somente para os alunos”. (p. 2)

Fica evidente ainda que a formação de professores deva contemplar as

necessidades de articulação necessárias à prática docente e que estes só se efetivam se o

professor tiver conhecimento do conteúdo que vai ensinar, mas também o conhecimento

didático desse conteúdo.

Nesse sentido podemos citar CURI (2006) que afirma:

[...] os saberes do professor devem incluir os objetos de ensino, mas devem ir além, tanto no que se refere à profundidade dos conceitos como à sua historicidade e articulação com outros conhecimentos e tratamento didático, ampliando assim seu conhecimento da área. (CURI, 2006, p. 3)

:;<=>:? @A ;A BA C @DEF? GA > HIHCJ KL HMLNCOOLM PI institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo.

10


Com base nas considerações realizadas até o momento podemos perceber a

importância dos elementos que estruturam a formação inicial de professores, porém

consideramos essencial a prática docente os aspectos de formação continuada, pois este

processo está associado a “transformação” do professor, indicando que a estagnação

docente gera dificuldades na institucionalização dos saberes.

Considerações finais

Com base nas análises realizadas até o momento podemos perceber que a nova

Proposta Curricular do Estado de São Paulo implantada neste início de 2008, aponta

para um novo papel do professor, em que de fato ele deve atuar como ator deste jogo,

pois o foco do desenvolvimento escolar deixa de ser o ensino e passa a ser a

aprendizagem. Dessa forma não é mais importante a quantidade do que se ensina e sim

a qualidade com que se aprende, quando se estabelece que o estudo deve estar centrado

nas competências, percebe-se uma preocupação da Secretária da Educação, mesmo que

de forma implícita, com a necessidade da flexibilidade cognitiva e das articulações

necessárias para que o processo de aprendizagem se efetive com eficiência. Outro

caráter que pode ser atribuído à nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo é o

fato de descentralizar o foco da aprendizagem dos domínios matemáticos conforme

descrevem os livros didáticos, estes passam a ser uma ferramenta de auxílio e não um

meio delimitador de conteúdos por séries.

Apesar das diversas críticas que tem sofrido a atual Proposta Curricular do Estado

de São Paulo, observa-se que como até o presente momento os documentos oficiais

curriculares representavam apenas diretrizes de sugestões que poderiam ser seguidas ou

não, acabou-se por não constituir um sistema educacional com uma “marca” da

Secretaria da Educação, dessa forma não havia um trabalho homogêneo das escolas

quanto aos conteúdos trabalhados, o que pode gerar um prejuízo quanto ao direito de

acesso ao saber escolar para educandos que precisam ir de uma escola para outra. A

atual Proposta tenta sanar esse problema trazendo uma diretriz a ser seguida

obrigatoriamente pelos professores.

Levando em consideração que no início de 2008 o papel do livro didático nas

escolas de rede pública de educação do Estado de São Paulo sofreu uma considerável

mudança, uma vez que, deixou de ser o instrumento principal do trabalho docente e

QRTUVQW XY RY ZY [ X\]^W _Y V `a`[b cd `edf[ggde ha institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo.

11


passou a ser uma ferramenta complementar, devido à implementação da Proposta

Curricular que se tornou obrigatória nas escolas e forneceu, pelo menos no primeiro

bimestre material com atividades propostas para o aluno.

Porém esta mudança de categoria em relação à forma de utilização do livro

didático e da forma como conduzir os conteúdos institucionais não é algo tão simples

para os professores, uma vez que sua formação se apóia nos saberes experiênciais. Fato

este que pode ser melhor explicado segundo FIORENTINI, NACARATO e PINTO

(1999):

O saber experiencial está relacionado a outro tipo de saber que Gauthier e Tardif (1997) denominam de saber da tradição pedagógica e que o influencia fortemente. Esse saber começou a ser elaborado a partir do século XVII e estruturou-se com base em pressupostos divinos ou religiosos produzidos pela escolástica, uma maneira de fazer escola e de ensinar que se disseminou pelo mundo. Os saberes da tradição pedagógica compreendem prescrições/orientações, regulamentações, normas disciplinares e ritos quase sagrados, que devem ser seguidos e reproduzidos pelos professores e alunos. Alguns desses ritos e regulamentações disciplinares são: o uso disciplinar do tempo e do espaço (o tempo de duração das aulas e a disposição da classe em fileiras); a disciplina da classe e do corpo de cada estudante (código de posturas para ler, escrever e ouvir a lição); disciplina nos deslocamentos (filas); disciplinarização do comportamento (pela vigilância e punição); a matéria como uma disciplina escolar (a ser ensinada e avaliada) para formar um indivíduo dócil e culto. Assim, segundo Gauthier (1998) surgem códigos de conduta das práticas pedagógicas. (FIORENTINI; NACARATO; PINTO, 1999, p. 37)

Assim, observa-se que para mudança de prática de professores ou ainda para a

aceitação de novas condutas pedagógicas relacionadas à docência existe muitas vezes

um forte fator de resistência a novas tendências devido aos saberes cristalizados na

tradição pedagógica.

Com base nos estudos dos autores apresentados no item anterior sobre a formação

de professores podemos concluir que a atividade docente não depende apenas de um

profundo conhecimento do conteúdo, mas também é necessário o conhecimento do

currículo e, sobretudo o conhecimento didático do conteúdo a ser ensinado. Estas

considerações nos remetem as idéias de Shulman (2005), apresentadas inicialmente,

pois verificamos que quando se deseja que o aluno desenvolva o domínio dos conteúdos

de forma significativa e trabalhe com autonomia em relação à compreensão da

linguagem matemática, ou seja, de suas representações articulando diversos quadros

ijklmin op jp qp r ostun vp m wxwry z{ w|{}r~~{| �x institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo.

12


mesmo que a noção seja implícita, se faz necessário uma formação inicial e também

continuada de professores que contemple o domínio do conteúdo matemático, o

conhecimento do currículo e o conhecimento didático do conteúdo da disciplina.

Dessa forma nos parece que de pouco valem materiais potencialmente

significativos, documentos oficiais curriculares que prescrevam uma aprendizagem

significativa e pistas didáticas e metodológicas que visem à linguagem matemática ou

ainda um aluno pré-disposto à aprendizagem, se a formação inicial de professores não

contempla estes aspectos e nem fornece subsídios para que em situações futuras

professores possam fazer suas escolhas de forma a se adaptar a novas metodologias e

exercer seu papel com autonomia neste jogo.

Notas

1 O estudo aqui referido faz parte de uma pesquisa qualitativa desenvolvida no Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul sob a orientação da Profa. Dra. Edda Curi.

2 Parâmetros Curriculares Nacionais.

3 Representações semióticas: são produções constituídas pelo emprego de signos [sinais] pertencentes a um sistema de representação que têm suas dificuldades próprias de significância e de funcionamento. Uma figura, um enunciado em língua natural, uma fórmula algébrica, um gráfico, são representações semióticas que salientam sistemas semióticos diferentes. Consideram-se geralmente as representações semióticas como um simples meio de exteriorização das representações mentais para fins de comunicação, ou seja, para deixá-las visíveis ou acessíveis a outrem. (DUVAL, 1993, p.39)

4 Aprendizagem significativa: Segundo AUSUBEL (1980) é a aprendizagem que leva em consideração os conhecimentos prévios dos educandos no momento da introdução de novos conceitos, de forma que ocorra de uma maneira não mecanizada.

5 Quadros ou domínios: Um quadro é constituído de objetos de um ramo da Matemática, de relações entre esses objetos, de suas formulações eventualmente diversas e de imagens mentais associadas a esses objetos e essas relações. Essas imagens têm um papel essencial no funcionamento dos objetos do quadro como ferramentas. Dois quadros podem comportar os mesmos objetos e diferir pelas imagens mentais e a problemática desenvolvida. (Douady, 1992, p. 135)

6 Níveis: Os níveis aqui tratados se referem à abordagem teórica de Robert (1997) sobre os níveis de conhecimento esperados dos educandos e são eles: nível técnico, nível mobilizável e nível disponível.

7 Shulman (2005): O texto original é de 1987.

�� institucionalização das noções de área e perímetro em relação a atual proposta curricular do Estado de São Paulo.

13


Referências

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14

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Eixo-temático 7: Resolução de Problemas e Investigação Matemática

O REGISTRO GRÁFICO DOS SISTEMAS LINEARES COM TRÊS

EQUAÇÕES E TRÊS INCÓGNITAS NA SEGUNDA SÉRIE DO ENSINO

MÉDIO

Carla S. Moreno BATTAGLIOLI - PUC – SP ([email protected]) Barbara Lutaif BIANCHINI - PUC – SP ([email protected])

Resumo: O presente trabalho é parte da dissertação de mestrado, intitulada Sistemas lineares na segunda série do ensino médio: um olhar sobre os livros didáticos e tem por objetivo apresentar os resultados preliminares dessa investigação. Segundo Raymond Duval (apud Damm et al, 2002) a matemática trabalha com conceitos abstratos e por isso necessita ser representada por gráficos, registros numéricos, etc. Esses diferentes tipos de representação são estudados e designados por Duval, de “registros de representações semióticas”. O foco desse artigo é o registro gráfico dos sistemas lineares com três equações e três incógnitas. Acreditamos que esse registro possa contribuir para uma aprendizagem mais significativa desse tema, possibilitando ao aluno uma maior compreensão da solução, da classificação e da discussão desses sistemas lineares. Nesta pesquisa qualitativa documental analisamos três livros da segunda série do ensino médio de autores que possuem coleções de Matemática aprovadas pelo Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio – PNLEM (BRASIL, 2005). Decidimos analisar o livro didático, pois acreditamos que, muitas vezes, ele assume o papel de único norteador, pois muitos professores planejam suas aulas unicamente baseados nos conteúdos do livro didático. Os resultados mostraram que dois dos três livros apresentam um texto explicativo sobre os sistemas lineares no registro gráfico, porém, nos exercícios resolvidos e propostos, tanto os que buscam resolver, classificar ou discutir os sistemas lineares, este registro está sendo pouco explorado. Alertamos que a classificação de um sistema linear apenas no registro algébrico pode gerar interpretações incorretas. Concluímos que o registro gráfico deveria ser mais explorado para que os alunos tivessem maior facilidade para entender o conjunto solução de um sistema linear, classificar e discutir esses sistemas. Acreditamos que os softwares gratuitos existentes, que trabalham em três dimensões, possam auxiliar o aluno a melhor compreender esse tema.

Palavras-chave: Sistemas Lineares, Registro Gráfico, Livro Didático


2

Introdução

Pertencemos ao Grupo de Pesquisa para Educação Algébrica (GPEA) da PUC-SP,

que visa investigar o ensino e a aprendizagem de Álgebra Linear. Levando em conta os

objetivos desse projeto, as discussões com professores do ensino superior que

vivenciamos neste grupo sobre as dificuldades que os alunos apresentam para resolver

sistemas lineares nas aulas de Álgebra Linear e por acreditarmos na hipótese de que

estas dificuldades poderiam estar relacionadas com a forma mecânica que o tema estaria

sendo trabalhado no ensino médio atualmente, decidimos investigar se sistemas lineares

estão sendo abordados no registro gráfico nos livros didáticos do ensino médio.

Problemática

A álgebra tem mais destaque que a geometria nos currículos de matemática

atualmente, porém para muitos alunos ela ainda é considerada “dificílima, abstrata”. Em

muitas aulas de álgebra, alunos continuam apenas armazenando informações e

manipulando algoritmos, reproduzindo modelos, provavelmente sem compreender

realmente os conceitos algébricos e possivelmente sem conseguir usar seus

conhecimentos em situações do dia-a-dia.

Lellis e Imenes (2001, p. 42-43) afirmam que em muitas escolas o ensino da

matemática é tratado como um conjunto de técnicas, de aplicações de fórmulas, com

uma grande quantidade de exercícios que se resumem em “calcular”, “obter”, “efetuar”,

em contextos exclusivamente matemáticos, com o objetivo de buscar resultados. O que

importa é “como” fazer, sem se preocupar com ”porque fazer assim” ou “para que

fazer”.

Acreditamos que ao abordar o tema sistemas lineares com três equações e três

incógnitas no ensino médio, o enfoque também seja algébrico, no qual valoriza-se os

processos (técnicas) de resolução no registro algébrico (escalonamento, regra de Cramer,

método da adição, entre outros) sem grandes preocupações com a análise do resultado

obtido e que esse fato ocorra tanto para resolver os sistemas, quanto para discuti-os ou

classificá-los como sistema possível e determinado (S.P.D), Sistema possível e

indeterminado (S.P.I.) ou sistema impossível (S.I.).

Pesquisas realizadas anteriormente e que relacionaremos a seguir, enfatizam a

importância de abordarmos os sistemas lineares no registro gráfico.


3

Karrer (2006) afirma que a dificuldade no estudo de conteúdos de Álgebra Linear

não é um problema especificamente brasileiro. A autora cita em seu trabalho pesquisas

como a de Dias (1998) e a de Pavlopoulou (1993) que evidenciam que os livros de

Álgebra Linear privilegiam o registro simbólico e que as dificuldades dos alunos nesta

disciplina estão relacionadas à deficiência na coordenação dos diversos registros de

representação semiótica.

Machado (1996) afirma que uma das causas das dificuldades que os alunos

enfrentam na disciplina Álgebra Linear é a falta de conhecimento de vários

conhecimentos prévios essenciais. Segundo a autora, uma das dificuldades dos alunos é

a passagem do registro algébrico para o gráfico e vice-versa. Ela enfatiza a necessidade

de se abordar essas conversões de registros antes do ensino superior, caso contrário, os

alunos continuarão resolvendo sistemas lineares sem dar sentido algum a eles.

Freitas (1999, p. 10) afirma que o grande problema para o aluno não é resolver um

sistema linear, desde que ele esteja familiarizado com algum método de resolução (a

autora cita substituição, comparação e escalonamento). Para a autora, o problema está

na interpretação da solução encontrada e ela conjectura que a dificuldade de

interpretação poderia estar relacionada ao fato que os alunos decoram as técnicas de

resolução dos sistemas lineares sem compreender o significado das respostas, isto é,

realizam o algoritmo de maneira mecânica e não interpretam a resposta encontrada.

Documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN+

(BRASIL, 2002) e Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL., 2006),

entre outros, também recomendam a abordagem do registro gráfico dos sistemas

lineares.

Com relação à álgebra, há ainda o estudo de equações polinomiais e de sistemas lineares. Esses dois conteúdos devem receber um tratamento que enfatize sua importância cultural, isto é, estender os conhecimentos que os alunos possuem sobre a resolução de equações de primeiro e segundo graus e sobre a resolução de sistemas de duas equações e duas incógnitas para sistemas lineares 3 por 3 [...] (BRASIL, 2002, p. 122)

Pesquisas e recomendações de documentos oficiais como as citadas anteriormente

enfatizam a relevância de analisarmos se os sistemas lineares estão sendo abordados no

registro gráfico nos livros didáticos do ensino médio.


4

Apresentação dos livros didáticos analisados

O primeiro livro analisado, doravante denominado L 1 é o volume 2 da coleção

Matemática, Contexto e Aplicações, cujo autor é Luiz Roberto Dante, foi editado em

2007 pela editora Ática, está na 4º edição.

O segundo livro analisado, doravante denominado L 2 , é o volume 2 da coleção

Matemática Ensino Médio, cujas autoras são Kátia S. Smole e Maria Inez Diniz, foi

editado em 2003 pela editora Saraiva, está na 3º edição.

O terceiro livro analisado, doravante denominado L 3 , é Matemática Completa -

Vol. Único, cujos autores são José R. Giovanni, José R. Bonjorno e José R. Giovanni Jr.,

foi editado em 2002 pela editora FTD.

Numa primeira análise, pudemos observar que os três livros didáticos apresentam

propostas de trabalho distintas: enquanto os livros L1 e L3 apresentam o conteúdo de

sistemas lineares num único capítulo intitulado Sistemas lineares (organização linear de

conteúdos), o L2 aborda esse conteúdo em espiral: os sistemas são abordados no

capítulo intitulado Sistemas lineares e posteriormente, no estudo das matrizes e no

estudo dos determinantes.

Os sistemas lineares e o registro gráfico nos livros didáticos

O estudo dos sistemas lineares no ensino médio é apresentado com maior

freqüência no registro algébrico. Por este motivo, o seu aprendizado requer uma

abstração para a qual a aluno talvez não tenha muita habilidade. Acreditamos que, sem

relacionar o estudo no registro algébrico com o registro de representação gráfico, este

pode tornar-se um estudo com pouco significado, apenas um roteiro de regras a serem

seguidas e resoluções mecânicas, sem nenhuma interpretação.

Analisaremos aqui se os livros didáticos analisados abordam os sistemas lineares

no registro gráfico.

Os livros L1 e L2 apresentam a interpretação geométrica dos sistemas lineares com

três equações e três incógnitas (três planos no espaço) em textos explicativos, mas estas

abordagens são feitas de maneiras distintas. O L2 apresenta uma explicação mais geral,

abordando seis possíveis casos, sem relacionar cada representação gráfica com

exemplos no registro algébrico (Figura 1). Já o L1 faz uma apresentação mais detalhada


5

apresentando oito casos possíveis e relacionando-os com exemplos no registro de

representação algébrico. Além dos casos abordados no L2, este autor aborda também o

caso com dois planos coincidentes e um terceiro plano que intercepta estes dois segundo

uma reta e caso de dois planos coincidentes e um terceiro plano paralelo e distinto dos

anteriores (Figura 2).

Figura 1- Representação no registro gráfico de sistemas lineares com três equações e três incógnitas

(seis possíveis casos). Fonte: L2, pp. 137 e 138


6

Figura 2- Dois dos oito possíveis casos de classificação de sistemas lineares com três equações e três incógnitas no registro de representação algébrico com conversão para o registro de representação

geométrico do L1 e que não foram abordados em L2. Fonte: L1, pp. 186 – 187

Observamos que o tema: posições relativas entre planos no espaço (geometria de

posição), que consideramos um conhecimento prévio para o estudo dos sistemas

lineares com três equações e três incógnitas no registro de representação gráfico, é

discutido em capítulo posterior ao que apresenta o registro de representação gráfico dos

sistemas, no L1 e no L2.. Acreditamos que esse fato enfatize a importância do professor

preparar suas aulas antecipadamente e ter autonomia para selecionar a ordem dos

conteúdos a serem trabalhados, sem precisar seguir estritamente a seqüência que é

apresentada nos livros didáticos.

Já o livro L3 não aborda o registro de representação gráfico (a representação

gráfica) dos sistemas lineares, aborda o tema somente no registro de representação

algébrico.


7

Os livros didáticos e a classificação de sistemas lineares com mais de duas

incógnitas

Durante o nosso trabalho, ao analisarmos o registro de representação gráfico dos

sistemas lineares, deparamo-nos com a questão da classificação dos sistemas com mais

de duas incógnitas. Verificamos o quanto esse registro de representação é importante

para a classificação desses sistemas, inclusive como a falta desse registro pode levar a

classificação equivocada de um sistema linear.

Autores como Lima (1993, p. 8-18) e Ferreira e Gomes (1996, p. 9-16), entre

outros, advertem que a regra de Cramer só pode ser utilizada para resolver sistemas

lineares no caso em que o determinante da matriz dos coeficientes do sistema não é nulo,

isto é, (D ≠ 0), neste caso os três planos se interceptam num único ponto e o sistema tem

solução única, isto é, trata-se de um sistema possível e determinado (S.P.D.).

Eles afirmam também que quando D=0, só podemos concluir que o sistema linear

não é possível determinado, ou seja, podemos afirmar apenas ou que ele é possível

indeterminado (S.P.I.) ou que é impossível (S.I.). Entretanto alguns livros didáticos

afirmam, de maneira equivocada, que se um sistema linear possui todos os

determinantes da regra de Cramer iguais a zero (D=0, Dx=0, Dy=0 e Dz=0) então ele é

possível indeterminado (S.P.I.), isto é, os três planos que os representam possuem

infinitos pontos em comum e se D=0 e um dos seus determinantes (ou o Dx, ou o Dy,

ou o Dz) for diferente de zero, então o sistema linear é impossível, isto é, os planos que

os representam não possuem pontos em comum ( planos paralelos).

Abaixo apresentamos um contra-exemplo para esta afirmação. Neste caso, a

conversão do registro de representação algébrico para o registro geométrico dos

sistemas lineares possibilita perceber claramente que esta afirmação não é verdadeira.

Considere o sistema S1 abaixo:

��

��

�

=++

=++

=++

2

8222

1

:1

zyx

zyx

zyx

S

Observe que os determinantes obtidos a partir de S1 são todos iguais a zero:


8

De acordo com o conteúdo apresentado em muitos livros didáticos, trata-se de um

sistema possível e indeterminado (SPI), cuja representação geométrica é formada por

três planos que possuem infinitos pontos em comum. Porém, utilizando o software

Winplot, podemos observar (Figura 3) que estes três planos não possuem nenhum ponto

em comum, logo, se trata de um sistema impossível (SI) e não de um sistema possível e

indeterminado (SPI).

Também podemos aplicar a regra do escalonamento (Regra de Gauss) no sistema

linear S1 e obtermos um sistema linear equivalente ao primeiro e que é impossível,

vejamos:

Em virtude dos fatos que acabamos de relatar, consideramos relevante se verificar

os livros didáticos abordam a classificação e a discussão dos sistemas lineares com três

equações e três incógnitas no registro gráfico.

Os livros L1 e L2 abordam a classificação dos sistemas lineares com três equações

e três incógnitas, apresentando inicialmente um texto explicativo dos possíveis casos


9

nos registros de representação algébricos e gráficos (ver Figuras 1e 2) . Os seus

exercícios resolvidos e propostos trabalham a classificação dos sistemas lineares apenas

no registro de representação algébrico, propondo o inicialmente o escalonamento do

sistema linear para classificá-lo.

Figura 4- Três dos cinco sistemas lineares propostos (classificação e sistemas lineares no registro de representação algébrico) Fonte: L1, p. 194.

Posteriormente apresentam também outra forma para discutir os sistemas lineares

que alia o cálculo do determinante da matriz dos coeficientes ao escalonamento do

sistema, sem recair no erro anteriormente mencionado (Figuras 5 e 6). Porém

consideramos este método muito restrito visto que ele é indicado apenas aos sistemas

lineares que possuem o número de equações igual ao número de incógnitas.

Figura 5- Discussão de um sistema linear (caso particular de sistemas nxn) que associa o determinante ao escalonamento ou a outro processo.


10

Fonte: L2, p. 180.

Figura 6- Exercício resolvido mostrando a discussão de um sistema linear (caso particular de sistemas nxn) que associa o determinante ao escalonamento. Fonte: L2, p. 195

O terceiro livro analisado apresenta as possíveis classificações dos sistemas

lineares num texto informativo e em seguida apresenta uma única maneira de classificar

e de discutir os sistemas lineares: utilizando a Regra de Cramer, da maneira equivocada

citada por Lima (1993).


11

Figura 7- Discussão de um sistema linear apresentado no L3.

Fonte: L3, pp. 203 e 204 Considerações finais

A proposta desse trabalho é analisar se os sistemas lineares com três equações e

três incógnitas - tema geralmente trabalhado na segunda série do ensino médio - estão

sendo abordados no registro de representação gráfico. Para alcançar este objetivo

analisamos três livros didáticos. Após esta investigação, podemos afirmar que em

apenas dois deles (denominados L1 e L2) o registro de representação gráfico está

presente. Porém observamos que este registro de representação esteve presente apenas

em textos explicativos. Nos exercícios resolvidos e propostos ainda predomina o

registro de representação algébrico. Talvez este fato ocorra devido à dificuldade que o

aluno poderia apresentar para representar graficamente estes sistemas lineares, visto que

eles estariam representando planos no espaço. Para sanar esta dificuldade, podemos

utilizar softwares gráficos. Atualmente já existem esses programas gratuitos, de fácil

manuseio, que trabalham em três dimensões e que podem ser baixados em máquinas

simples. Podemos citar o Winplot, disponível em

http://www.rc.unesp.br/igce/pgem/home/frames/download.htm, entre outros.

Acreditamos que o registro de representação gráfico deveria ser mais explorado,

pois ele poderia contribuir para que os alunos tivessem maior facilidade não só para

entender o conjunto solução de um sistema linear, mas também para classificá-lo e


12

discuti-lo quando necessário. Assim sendo, a abordagem desse tema não ficaria apenas

no desenvolvimento dos algoritmos, mas o aluno poderia analisar e melhor

compreender os resultados obtidos.

Essa pesquisa alterou, de maneira positiva, nossa prática docente. Além de

encontrar resultados, incentivamos os nossos alunos a refletir sobre eles. Sempre que

possível, recorremos ao registro de representação gráfico para validar, discutir e melhor

compreender os resultados obtidos no registro de representação algébrico. Um exemplo

disso é que após discutir um sistema linear, algebricamente, vamos para o laboratório de

informática para que o aluno possa compreender melhor os resultados obtidos.

Tomemos como exemplo o exercício resolvido apresentado na figura 6 deste trabalho.

Depois de discuti-lo no registro de representação algébrico, partimos para a

interpretação no registro de representação gráfico e encontramos com a ajuda do

software Winplot, as representações gráficas a seguir.


13

Figura 8 - Discussão de um sistema linear no registro gráfico, utilizando o software Winplot

Como professoras de matemática, buscamos constantemente novas alternativas de

atividades que levam os alunos a realmente interpretar resultados e construir novos

conhecimentos. Acreditamos que atividades diversificadas possam contribuir para uma

aprendizagem mais significativa dos sistemas lineares.

Referências

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais+ (PCN+): ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília, DF, 2002.

____________ Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações curriculares para o ensino médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Volume 2, Brasília, DF, 2006.


14

____________. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio (PNLEM): matemática. Brasília, DF, 2005. Disponível em ftp://ftp.fnde.gov.br/web/livro_didatico/guia_livro_didatico_pnlem_2006_mg.pdf Acesso em: 23 de dezembro, 2007.

DAMM, R. F. et al. Educação Matemática: uma introdução.. SP, EDUC, 2002, p. 135-153.

DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações. Vol. 2. São Paulo: Ática, 2007.

FERREIRA, M. C. C.; GOMES, M. L. M. Sobre o Ensino de Sistemas Lineares. In: Revista do Professor de Matemática (RPM), nº. 32. Sociedade Brasileira de Educação Matemática. São Paulo, 1996.

FREITAS, I. M. Resolução de Sistemas Lineares Parametrizados e seu Significado para o Aluno. 1999. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUC-SP.

KARRER, M. Articulação entre álgebra Linear e Geometria: um estudo sobre as transformações lineares na perspectiva dos registros de representação semiótica. Tese (Doutorado em Educação Matemática). PUC-SP, 2006.

GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; JR J. R. G. Matemática Completa: ensino médio. Vol. Único. São Paulo: FTD, 2002.

LELLIS, M.; IMENES, L. M. A Matemática e o Novo Ensino Médio. In: Educação Matemática em Revista. Sociedade Brasileira de Educação Matemática. nº. 9, RS, 2001, p. 40-47.

LIMA, E. L. Sobre o Ensino de Sistemas Lineares. In: Revista do Professor de Matemática (RPM), nº. 23. São Paulo, 1993. Sociedade Brasileira de Educação Matemática.

MACHADO, S. D. A, O Universitário principiante x Significado dos Sistemas de Equações In: Anais do IV EPEM. São Paulo: SBEM, 1996, p. 241 – 248.

SMOLLE, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática: Ensino Médio. Vol. 2. São Paulo: Saraiva 2003.

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Matemática: Que formação?. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)


O USO DAS TIC EM CURSOS DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA: QUE

FORMAÇÃO?

Jediane Teixeira de SOUZA – PUC/SP ([email protected]ÚAna Lúcia MANRIQUE – PUC/SP ([email protected]Ú

Resumo: É perceptível a grande dificuldade dos professores de Matemática em lidar com o uso das tecnologias na Educação Básica. Investigar em que condições os cursos de formação inicial contemplam atividades, tanto do domínio técnico das tecnologias ou softwares e suas potencialidades, quanto o modo como essas ferramentas podem ser usadas em sala de aula são questões pertinentes de pesquisa. O objetivo deste trabalho é investigar instituições de ensino superior que possuem cursos de licenciatura em Matemática, relativamente ao oferecimento de recursos tecnológicos, as oportunidades de inclusão digital e a preparação dos futuros professores de Matemática para utilizarem as TIC como recurso pedagógico. Foram realizadas entrevistas com um professor que utiliza as tecnologias em suas aulas e o coordenador de curso de duas instituições privadas, uma universidade e uma faculdade. Realizamos também análise documental dos Projetos Pedagógicos dos Cursos de Licenciatura em Matemática e das ementas das disciplinas das duas instituições que fazem referência às novas tecnologias. Os resultados mostram que as duas instituições oferecem recursos materiais e tecnológicos. O curso da universidade oferece disciplinas da área de Informática e Computação e de Informática na Educação. O curso da faculdade oferece disciplinas de formação matemática que usam as TIC como ferramenta educacional para a construção dos conhecimentos geométricos e gráficos. Apesar de não possuir disciplinas que se caracterizem com a Informática na Educação, algumas disciplinas de Matemática oferecem momentos em que se propõem a investigar as TIC aplicadas à Educação por meio de leitura de artigos que enfatizam as vantagens e desvantagens do uso de softwares e a orientar os licenciandos de como utilizar as tecnologias na prática docente. Entretanto, questionamos se é suficiente o oferecimento de recursos tecnológicos e disciplinas que contemplem as categorias mencionadas para que os licenciandos utilizem as tecnologias pedagogicamente.

Palavras-chave: Formação de Professores, Licenciatura em Matemática, Novas Tecnologias da Informação e da Comunicação.

Financiamento: FAPESP

Introdução

A sociedade atual sofreu uma série de mudanças sociais, culturais e tecnológicas que

exigem dos cidadãos competência para inovar, produzir novos conhecimentos e buscar

ÛÜÝÞßà áâ ãâ äßåæçèÝéà ßâ êâ Ü ëìí îïì ãçð ñò ðëóìíì de Licenciatura em Matemática: Que formação?. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

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soluções para as questões que surgem conforme as necessidades sociais que aparecem.

Segundo Flecha e Tortajada (2000), a sociedade informacional é uma realidade econômica

e cultural que surgiu com o avanço das tecnologias. Nessa nova sociedade a informação é a

matéria-prima e o seu processamento é a base do sistema econômico. Com isso, essa

sociedade prioriza o domínio de certas habilidades como a seleção e o processamento da

informação, a autonomia, a capacidade para tomar decisões, o trabalho em grupo, a

polivalência, a flexibilidade etc.

Cabe à escola, portanto, preparar seus alunos a esse contexto social e isso é proposto

por meio das disciplinas lecionadas, todas possuindo como função e objetivo educá-los

para a sociedade atual. Uma delas é a Matemática que, segundo os Parâmetros Curriculares

Nacionais (BRASIL, 1998, p. 27), pode contribuir com:

[...] a formação do cidadão ao desenvolver metodologias que enfatizam a construção de estratégias, a comprovação e justificativa de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios.

O impacto que a informática provocou na adequação da sociedade moderna foi muito

intenso. Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 87):

Por um lado, tem-se a inserção dessa tecnologia no dia-a-dia da sociedade, a exigir indivíduos com capacitação para bem usá-la; por outro lado, tem-se nessa mesma tecnologia um recurso que pode subsidiar o processo de aprendizagem da Matemática. É importante contemplar uma formação escolar nesses dois sentidos, ou seja, a Matemática como ferramenta para entender a tecnologia, e a tecnologia como ferramenta para entender a Matemática.

A atividade de uso do computador pode ser feita tanto para continuar transmitindo a

informação para o aluno, quanto para criar condições de o aluno construir seu

conhecimento.

Objetivos e questão de pesquisa

Este trabalho é um dos produtos do projeto de pesquisa “Formadores de Professores

de Matemática: Concepções, saberes e práticas docentes”, financiado pela FAPESP, sob

coordenação da Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique, e está inserido no grupo de pesquisa

“Professor de Matemática: formação, profissão, saberes e trabalho docente” do Programa

de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica

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de São Paulo, Brasil. O objetivo deste trabalho é investigar “se” e “como” o professor

formador no curso de licenciatura em Matemática está preparando os futuros professores

de matemática para utilizar as TIC como recurso pedagógico.

As questões de pesquisa que nortearam o trabalho foram:

As instituições de ensino estão oferecendo formação com TIC nos cursos de

licenciatura?

Como as TIC estão sendo utilizadas nos cursos de licenciatura?

Professores e coordenadores consideram importantes as TIC no contexto de

formação docente?

Iremos analisar duas instituições de ensino superior (IES) privadas, sendo uma

universidade e uma faculdade, ambas oferecendo curso de Licenciatura em Matemática. O

estudo foi realizado em três etapas: a primeira consistiu em um levantamento bibliográfico

a fim de obter uma base teórica para nossa análise; a segunda incidiu em uma análise

documental dos Projetos Pedagógicos das Instituições e em suas ementas; e, por fim, a

terceira etapa contemplou a realização de visitas às instituições de ensino e de entrevistas

semi-estruturas com os coordenadores e dois professores.

Categorias de Análise

O trabalho de Barcelos (2004, p.10) foi realizado na Região Sudeste do Brasil, por

concentrar a maior quantidade de Instituições de Ensino Superior públicas que oferecem a

licenciatura em Matemática presencias no Brasil e teve como objetivo geral analisar como

a formação inicial faz uso das TIC como recurso pedagógico no processo de ensino e

aprendizagem.

A pesquisa de campo possibilitou que a autora classificasse as disciplinas, de alguma

forma relacionadas as TIC, em três categorias, isto para melhor compreensão das diferentes

abordagens das mesmas, nas licenciaturas em Matemática.

Categoria 1: Disciplinas da área de Informática e Computação - usar computadores

de forma competente, para produzir coisas simples como pôsteres e desenhos; utilizar

processadores de texto, editores de textos matemáticos, bem como criar e usar um banco de

dados ou uma planilha eletrônica; usar serviços oferecidos pelas redes de computadores e

produzir páginas a serem disponibilizadas na Internet; projetar, programar e avaliar

algoritmos simples para problemas orientados a tarefas elementares.

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Categoria 2: Disciplinas da área de Informática na Educação - investigar TIC

aplicadas à Educação Matemática, identificando suas vantagens e desvantagens; provocar a

mudança de postura didática do professor face às ferramentas tecnológicas de apoio e ao

sincronismo com o mundo atual; avaliar e utilizar softwares educacionais de Matemática

voltados para o Ensino Fundamental e Médio; avaliar sites que envolvam conteúdos

matemáticos; criar projetos que utilizem TIC na construção de conhecimentos

matemáticos.

Categoria 3: Disciplinas de formação Matemática que usam as TIC como ferramenta

educacional - utilizar softwares para cálculos algébricos e aproximados, visualizações

gráficas e experimentos computacionais, ligados ao cálculo diferencial, funções reais de

uma variável e construções geométricas.

Assim, Barcelos (2004) diagnosticou que a quantidade de disciplinas obrigatórias

que contemplam o uso pedagógico das TIC ainda é pequeno. Aproximadamente 50% das

25 IES públicas dão grande ênfase à aprendizagem de computação e/ou informática, o que

foi apurado através da presença de disciplinas da categoria 1, ou seja, ocorre a

aprendizagem das TIC com fim em si mesmas. Pela análise das respostas dos

coordenadores ao questionário, verificou-se, ainda, que, na maioria das IES pesquisadas

não ocorre interdisciplinaridade dessas disciplinas com as de formação Matemática.

Analisando as ementas, a pesquisadora constatou que a carga horária destinada a

disciplinas da categoria 1 e 2 é pequena comparada à carga horária total.

Consideramos o estudo de Barcelos (2004) realizado com as instituições de ensino

superior públicas pertinente e para somar a ele iremos estudar duas IES privadas no intuito

de confrontarmos alguns resultados. Utilizaremos, então, essas mesmas categorias a fim de

categorizar nossos dados.

Análise dos Resultados

A primeira instituição contatada foi uma Universidade situada no Grande ABC,

região que compreende as cidades de Santo André, São Bernardo do Campo e São Caetano

do Sul do Estado de São Paulo, a qual nomeamos como Instituição-A.

O curso de Licenciatura em Matemática tem 184 alunos matriculados, sendo

distribuídos em: 37 alunos no 1º semestre, 20 alunos no 3º semestre, 18 alunos no 4º

semestre, duas turmas de 34 alunos cada no 5º semestre e 41 alunos no 6º semestre.

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Essa instituição ressalta que a inserção de novas tecnologias exige do professor o

domínio do uso do computador e a potencialidade deste como ferramenta para o ensino.

Um dos procedimentos adotados como princípio fundamental é “utilizar novas ferramentas

como auxiliares na construção do saber, tais como: computadores, softwares específicos e

recursos audiovisuais” (PROJETO PEDAGÓGICO DA INSTITUIÇÃO-A, 2007, p. 8).

Nesse contexto a Instituição-A oferece algumas disciplinas que, de alguma forma

citam em sua ementa, o uso das TIC, tais como: Introdução à Informática Básica, Prática

III: Prática de Ensino em Matemática, Prática IV: Prática de Ensino em Matemática

Financeira, Métodos Computacionais e Informática Aplicada à Educação.

Quanto aos recursos materiais específicos do curso, ou seja, os laboratórios

disponíveis, o Projeto Pedagógico da Instituição-A destaca os Laboratórios de Ensino de

Matemática, de Informática e de Física. No curso de Matemática, os laboratórios de

informática servem de apoio ao aluno em estudo e pesquisa e como sala-ambiente das

disciplinas Introdução à Informática Básica e Informática Aplicada à Educação. Porém, o

laboratório também é disponível para os outros docentes do curso.

Com esses resultados podemos inferir que a instituição oferece estrutura e recursos

tecnológicos de boa qualidade, facilitando o acesso dos licenciandos à cultura digital.

Constatamos, também, que a Instituição-A possui disciplinas que contemplam o uso das

TIC e que essas possuem alguns objetivos compatíveis como os propostos nas categorias 1

e 2 apresentadas por Barcelos (2004), ou seja, a disciplina “Introdução à Informática

Básica” e “Métodos Computacionais” fazem parte da categoria 1 e as disciplinas

intituladas “Informática aplicada à Educação” e “Prática de Ensino III e IV” da categoria 2.

Por meio da entrevista realizada com o coordenador da Instituição-A, podemos

entender que cabe a esse coordenador um trabalho chamado por ele de “burocrático”, que

consiste em verificar dispensa de alunos que se transferem para a Instituição, autorizações

de materiais e aparelhos solicitados por professores, etc. O momento que o Coordenador-A

tem mais contato com alunos é quando os orienta em relação a horários das disciplinas e

aos estágios. Já os professores são orientados quanto às atividades e, se for preciso, o

coordenador os auxilia. Ainda, participa de reuniões ao longo do curso, geralmente, com a

reitoria e diretoria. Seu trabalho pedagógico é na organização dos projetos pedagógicos,

atualização das ementas e revisão bibliográfica de acordo com a legislação.

Quanto ao uso das tecnologias nessa instituição, o coordenador explicita as duas

disciplinas de Informática, sendo que a primeira disciplina relaciona-se ao ensino da

>?@ABC DE FE GBHIJK@LC BE ME ? NOP QRO FJT UV TNWOPO de Licenciatura em Matemática: Que formação?. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

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utilização do computador, desenvolve atividades com o intuito de ensinar alguns softwares

básicos, como: Word e Excel. Afirma, ainda, que muitos alunos não sabem usá-los e, por

isso, a disciplina Introdução à Informática está alocada no primeiro semestre. A segunda

disciplina, Informática Aplicada à Educação, que ocorre no último semestre, é direcionada

à aplicação da informática nas aulas de Matemática, que seus licenciandos podem vir a

lecionar.

Para obtermos maiores informações sobre as disciplinas que, de alguma forma,

utilizam as tecnologias entrevistamos o professor que atualmente leciona a disciplina,

Informática Aplicada à Educação, e que, anos anteriores, já lecionou a disciplina

Introdução à Informática Básica.

O Professor-A declara que gostaria que o curso de licenciatura ensinasse a

Matemática na prática, apresentasse aos alunos onde uma fórmula Matemática pode ser

aplicada. Acredita que facilitaria o processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos

matemáticos. O professor afirmou:

[...] a licenciatura deveria ser uma matemática na prática, a gente deveria ensinar os nossos futuros professores a ensinar matemática na prática (Entrevista com o Professor-A, 07 de março de 2008).

As dificuldades enfrentadas pelo Professor-A, em seu trabalho como formador, estão

em fazer com que seus alunos se interessem por aprender a lecionar utilizando as

tecnologias como recurso pedagógico e compreender que esse recurso possa auxiliá-los na

sua formação como docente.

O Professor-A, que atua nesta instituição somente na licenciatura em Matemática,

afirma que desenvolve seu trabalho no curso procurando conscientizar os alunos de que o

computador é um recurso tecnológico excelente para ajudá-los e para apoiá-los nas aulas

de matemática.

Quanto a sua opinião em relação à importância do uso das TIC na formação inicial

do professor de Matemática, declara que a informática é importante em qualquer área, não

só na formação de professores, na formação de qualquer profissional.

A segunda instituição analisada foi uma Faculdade Integrada situada em Guarulhos,

cidade da Grande São Paulo. O Projeto Pedagógico da Instituição-B (2006, p. 5) afirma

que os objetivos do curso de Licenciatura em Matemática são os mesmos da instituição, e

que:

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[...] garantem um ensino de excelência e propõem uma estreita articulação com as dimensões teóricas e práticas, considerando os conhecimentos específicos, os pedagógicos, os curriculares e as políticas educacionais, como base para a formação de seus alunos.

A instituição tem vários laboratórios instalados em ambientes modernos,

climatizados com equipamentos de alto desempenho e grande versatilidade de uso,

preparados para situações que viabilizam a prática eficaz das áreas a que se destinam, entre

eles o laboratório de ensino de matemática, o de física, o de informática e o de tecnologias

educacionais.

O Projeto Pedagógico afirma que essa instituição busca desenvolver habilidades no

emprego da tecnologia como ferramenta no processo ensino-aprendizagem da matemática

e fazer com que os alunos compreendam, critiquem e utilizem novas idéias e tecnologias

para a resolução de problemas.

O Curso de Licenciatura em Matemática tem duração de três anos. O regime é

semestral, portanto o curso é composto de seis períodos. Atualmente, o curso de

Licenciatura em Matemática tem 219 alunos matriculados, sendo que 63 alunos estão no 1º

ano, 76 no 2º ano e 80 no 3º ano.

Quanto ao uso da Informática, o Projeto Pedagógico da Instituição-B (2006, p. 15)

destaca que:

É importante ressaltar que a informática estará presente desde o início do curso sendo utilizada como ferramenta para o desenvolvimento das disciplinas, assim como conhecimento de leitura e escrita que será desenvolvido em todas as disciplinas, tendo uma ênfase especial nas disciplinas de Prática e Metodologia da Pesquisa.

Verificando as ementas das disciplinas do curso Licenciatura em Matemática da

Instituição-B, percebemos que não há uma disciplina específica com ênfase no uso das TIC

na educação, mas disciplinas que mencionam, em sua ementa, o uso das TIC como recurso

pedagógico, tais como: Geometria – I, II, III e IV, Cálculo Diferencial e Integral – I, II e

III, Matemática Financeira e Fundamentos da Matemática I e II.

Segundo as categorias descritas por Barcelos (2004) e mediante as ementas das

disciplinas, podemos inferir que essa instituição oferece apenas disciplinas que se

enquadram na categoria 3.

O Coordenador-B, sendo também professor do curso de Licenciatura em

Matemática, tem uma visão muito próxima dos desafios e progressos que seu grupo de

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professores enfrenta. Na entrevista, o coordenador afirma que as reuniões com os

professores são, geralmente, no começo e no fim do semestre, mas sempre que avaliam a

necessidade, se encontram e discutem assuntos referentes ao curso e a Educação

Matemática.

Quanto a número de alunos por sala, o coordenador considera viável e quanto a

equipamentos disponíveis, a instituição fornece equipamentos excelentes, como

laboratórios de informática, equipamentos de multimídias, materiais de manipulação,

laboratório de física e enfatizou o laboratório de ensino da matemática, onde os alunos têm

oportunidade de planejar aulas de forma contextualizadas.

O coordenador foi questionado quanto ao uso das tecnologias durante o curso e

afirmou que um dos momentos em que os alunos têm contato com a informática é em uma

atividade acadêmico-científica-cultural, entre as 200 horas exigidas, quando é oferecido o

curso de informática básica com ênfase na Matemática, e que isso ocorre no primeiro

semestre. Neste curso de 20 horas, os alunos têm a oportunidade de aprender a editar textos

matemáticos com a utilização do aplicativo Equation e também aprendem a construir

gráficos utilizando o software Winplot.

Um segundo momento que o coordenador destacou são as aulas de Geometria, em

que o laboratório de informática é utilizado, por cada turma, pelo menos uma vez por

semana para fazer uso de um software de geometria dinâmica. As aulas de Geometria são

dividas em uma aula na sala com exposição do conteúdo e outra no laboratório de

informática para vivenciar a geometria em um recurso tecnológico. Diz ainda que a

disciplina de Geometria tem prioridade na utilização do laboratório.

A calculadora é utilizada nas aulas de Prática de Ensino também como recurso

pedagógico. Outra visão de uso de tecnologia discutida entre os professores refere-se a

alguns momentos que são usados para ensinar a utilizar softwares de apresentação como o

PowerPoint. Menciona também que nas aulas de Cálculo o professor promove discussões

de artigos sobre as tecnologias e a importância do uso de calculadora gráfica. Na análise do

Projeto Pedagógico da Instituição-B, não encontramos na ementa da disciplina Prática de

Ensino nenhuma referência quanto à utilização das tecnologias.

Quando questionado sobre como é a articulação entre a teoria e prática, o

Coordenador-B afirma que o intuito de proporcionar a seus alunos aulas no laboratório de

informática é de ensiná-los a utilizar o computador para aprender Geometria e para ensiná-

los a lecionar usando o Cabri Géomètre.

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Na Instituição-B optamos em realizar a entrevista com o Professor-B, já que ele

leciona as disciplinas Geometria I, II, III e IV e utiliza as TIC em suas aulas. Atualmente

também leciona a disciplina Prática de Ensino.

O professor alega que não enfrenta nenhuma dificuldade para utilizar as tecnologias,

afirma que todo ano reserva o laboratório de informática três dias por semana, apesar de

ocorrer algumas divergências com os outros cursos, mas sempre chegam a um acordo. E

enfatiza que o curso de Licenciatura em Matemática é o único que o utiliza o laboratório de

informática semanalmente na disciplina de Geometria e durante o semestre nas disciplinas

de Cálculo Diferencial e Integral, Fundamentos da Matemática, entre outros.

Todo ano eu já reservo três dias para o uso do laboratório. [...] outros cursos reclamam publicamente que nós da matemática monopolizamos o laboratório. [...] as nossas aulas são preparadas, tem embasamento, [...]. Mas todos os cursos quando precisam, [...] A gente cede [...] eu combino com os meus alunos que aquele dia nós não usaremos, dobraremos a nossa aula em sala de aula ou aqui nesse ambiente e numa próxima a gente repõe. [...] Matemática é o único curso que tá usando direto, dois, três dias. E é usado não só por mim: com o pessoal de Cálculo, com o pessoal de Fundamentos, é amplamente utilizado. (ENTREVISTA COM O PROFESSOR-B, 10 de março de 2008).

O Professor-B afirma que desenvolve seu trabalho direcionando suas aulas não só

para o conteúdo da Geometria, mas também para ensinar os futuros professores como

lecionar Geometria utilizando os recursos tecnológicos.

O uso das tecnologias está presente em suas aulas nos quatro semestres que trabalha

Geometria com os licenciandos em Matemática. O professor divide suas quatro aulas

semanais em: duas aulas para os alunos trabalharem com teoria e exercícios no laboratório

de Matemática trabalhando com manipulação de objetos concretos, e as outras duas aulas

no laboratório de informática trabalhando com software de geometria dinâmica.

O Professor-B encaminha suas aulas primeiramente apresentando o software Cabri

Géomètre para adaptação de suas ferramentas. Depois acontece uma discussão do papel do

software com o intuito de diferenciar os conceitos de desenho e construção. Os alunos

desenvolvem atividades seqüenciais com conceitos geométricos, como lugares

geométricos, funções, entre outros. O professor enfatiza que trabalha com seus alunos não

só o conceito de geometria, mas também a utilização do software na Educação Básica.

Propõe leituras de artigos para validar o uso desses softwares educacionais na Educação

discutindo o papel do ambiente informatizado na sala de aula.

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Eles lêem também artigos para validar o uso desses softwares na educação; qual é o papel do ambiente informatizado na sala de aula. Qual a contribuição, a idéia do ambiente colaborativo, de interação, de integração. [...] Então, é bem nesse sentido, usa o ambiente, cria seqüência pedagógica, didática e, ao mesmo tempo, vai discutindo textos (ENTREVISTA COM O PROFESSOR-B, 10 de março de 2008).

Os softwares utilizados nas aulas ministradas pelo Professor-B são o Cabri

Géomètre, o Poly, entre outros, mas ele não se restringe a esses, ensina seus alunos a

pesquisar os softwares e seus manuais de uso na Internet. Ressalta que os licenciandos têm

a oportunidade de adquirir ótimos conhecimentos do software Cabri Géomètre.

As aulas são desenvolvidas visando uma discussão das atividades seqüências. Os

licenciandos levantam as dúvidas que seus futuros alunos poderiam apresentar com certa

atividade.

Considerações Finais

Podemos perceber mudanças que estão acontecendo em nossa sociedade. Segundo

Moran (2000), ela está mudando nas suas formas de se organizar, de produzir bens, de

comercializá-los, de se divertir, de ensinar e de aprender. Estamos na era da sociedade do

conhecimento e, segundo Valente (1999, p. 31), “o conhecimento e, portanto, seus

processos de aquisição assumirão um papel de destaque, de primeiro plano”. Essa

valorização do conhecimento faz com que a Educação também passe por mudanças, pois

muitas formas de ensinar não se justificam mais.

A mudança pedagógica que todos almejam é a passagem de uma Educação totalmente baseada na transmissão da informação, na instrução, para a criação de ambientes de aprendizagem nos quais o aluno realiza atividades e constrói o seu conhecimento. (VALENTE, 1999, p. 31).

Neste contexto, o papel do professor sofre mudanças, ele deixa de ser um mero

transmissor de informações e passa a ser um facilitador, mediador, condutor do aluno no

processo de construção do seu conhecimento. Para tanto, o professor precisa estar muito

bem preparado para enfrentar essas mudanças.

As Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) estão presente em todos os

aspectos de mudança e constituem instrumentos de trabalho essenciais no mundo de hoje,

desempenhando papel fundamental na Educação. Segundo Ponte, Oliveira e Varandas

(2002), as tecnologias constituem um meio privilegiado de acesso à informação; são um

instrumento fundamental para pensar, criar, comunicar e intervir sobre numerosas

¼½¾¿ÀÁ ÂÃ ÄÃ ÅÀÆÇÈÉ¾ÊÁ ÀÃ ËÃ ½ ÌÍÎ ÏÐÍ ÄÈÑ ÒÓ ÑÌÔÍÎÍ de Licenciatura em Matemática: Que formação?. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

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situações; constituem uma ferramenta de grande utilidade para o trabalho colaborativo e

representam um suporte do desenvolvimento humano nas dimensões pessoal, social,

cultural, lúdica, cívica e profissional.

A Informática na Educação pode ser utilizada tanto para continuar transmitindo

conhecimento como também para auxiliar na construção do conhecimento. Segundo

Valente (1999), o computador assume o papel de máquina de ensinar quando ele é

utilizado meramente para transmissão de informação e o método de ensino continua a ser o

tradicional, mas quando o computador passa a ser uma máquina para ser ensinada, ou seja,

quando o aluno o utiliza resolvendo problemas, utilizando linguagem de programação,

refletindo sobre os resultados obtidos, utilizando softwares para realizar tarefas como

desenhar, escrever, calcular, etc., ele passa a ser utilizado para construir o conhecimento.

Valente (1999) afirma que a Informática na Educação enfatiza o fato de o professor

ter conhecimento sobre os potenciais do computador. Para que o professor se sinta seguro

em utilizar as tecnologias é muito importante que ele esteja preparado para dominar os

conhecimentos digitais e saber adequar as atividades de maneira que o computador seja

uma máquina para ser ensinada.

Neste contexto, analisamos “se” e “como” a utilização das TIC está colocada nas

matrizes curriculares e ementas das licenciaturas em Matemática das instituições de ensino

que fazem parte desta pesquisa e podemos perceber que as duas IES oferecem recursos

materiais para o uso das tecnologias e que existem disciplinas que tem, em suas ementas,

objetivos que enfatizam o uso das TIC.

As disciplinas que mais correspondem aos objetivos da Categoria 1 descrita por

Barcelos (2004) são: Introdução à Informática Básica e Métodos Computacionais da

Instituição-A.

E as disciplinas que mais correspondem aos objetivos da Categoria 2 apresentada por

Barcelos (2004) são: Informática Aplicada à Educação e Prática de Ensino III e IV da

Instituição-A.

Ao comparar os objetivos da Categoria 3 proposta por Barcelos (2004) e os objetivos

e metodologias referentes ao uso das TIC, podemos perceber que as disciplinas que estão

nessa categoria são: Geometria I, II, III e IV, Cálculo Diferencial e Integral, Matemática

Financeira e Fundamentos da Matemática Elementar I e II da Instituição-B.

A Instituição-A oferece tanto disciplinas da categoria 1 como da categoria 2 e a

Instituição-B oferece apenas a disciplina da categoria 3, mas na análise da entrevista com o

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Professor-B percebemos que mesmo sendo aula de Geometria, o professor consegue atingir

alguns dos objetivos da categoria 2, pois ele propõe a investigação das TIC aplicadas à

Educação por meio de leitura de artigos que enfatizam as vantagens e desvantagens do uso

do software Cabri Géomètre e orienta os licenciandos a utilizar as tecnologias na prática

docente e em suas atividades usando o software, voltadas para o Ensino Fundamental e

Médio.

Segundo Valente (1999), a formação do professor deve prover condições para o

licenciando construir conhecimento sobre as técnicas computacionais, entender por que e

como integrar o computador na sua prática pedagógica e ser capaz de enfrentar

dificuldades administrativas e pedagógicas. E ainda afirma que:

[...] deve-se criar condições para que o professor saiba recontextualizar o aprendizado e a experiência vivida na sua formação para sua realidade de sala de aula, compatibilizando as necessidades de seus alunos e os objetivos pedagógicos que se dispõe a atingir. (VALENTE, 1999, p. 113).

Barcelos (2004) considera que, do ponto de vista pedagógico, o ideal é que as

categorias 1 e 2 fossem contempladas, entretanto, com maior ênfase na categoria 2.

Contudo, acreditamos que a presença das disciplinas de formação Matemática, da categoria

3, que utilizam as TIC como ferramenta educacional, também é essencial. Essas disciplinas

permitem que os futuros professores vivenciem e provem como alunos, que o uso

pedagógico das TIC no ensino da matemática pode facilitar a construção do conhecimento

trabalhado.

Com esse estudo, entendemos que as três categorias têm papel fundamental na

formação inicial de professor, pois os licenciandos precisam saber manipular a máquina,

utilizar softwares de edição de texto, de planilhas eletrônicas, de apresentação e fazer

pesquisas pela Internet para ter segurança em frente ao uso das tecnologias. Precisam,

também, aprender a utilizar os recursos em sua prática docente, pois não adianta dominar a

máquina se não souber aplicar atividades com o uso do computador, objetivando a

construção do conhecimento, pois, segundo Valente (1999), deve-se utilizar o computador

como máquina para ser ensinada. Não podemos descartar que o professor deve ter um

conhecimento matemático sólido, que pode ser obtido por meio da utilização da tecnologia

como recurso de aprendizagem, como defendemos em nosso estudo.

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Analisando as duas Instituições de Ensino Superior do escopo dessa pesquisa,

acreditamos que essas IES parecem oferecer condições para os licenciandos serem capazes

de utilizar as tecnologias numa perspectiva inovadora para que aconteça uma

aprendizagem verdadeira, buscando a construção dos conhecimentos matemáticos nos seus

futuros alunos. As instituições oferecem recursos materiais e tecnológicos, além de

disciplinas que contemplem categorias que analisamos, mas a Instituição-A precisa

envolver os professores de formação Matemática para utilizarem as TIC como ferramenta

educacional em suas aulas. Já a Instituição-B poderia colocar em sua grade disciplinas que

contenham explicitamente objetivos das categorias 1 e 2.

Uma possível solução para a inclusão de disciplinas das categorias 1 e 2 na grade

curricular, sem alterar a carga horária dos cursos, é proposta por Kenski (2003, p. 74):

[...] na ampliação das possibilidades de aprendizagem em outros espaços, não-escolares; na possibilidade de oferecimento de ensino de qualidade em espaços, tempos e lugares diferenciados (presenciais e a distância); no oferecimento do ensino ao aluno, a qualquer momento e onde quer que ele esteja.

A autora refere-se a um ensino via redes que pode acontecer de forma dinâmica e

motivadora. Essa possibilidade de acesso à informação e à interação proporcionada pelas

novas tecnologias viabiliza a modalidade de ensino a distância para todos os níveis e todos

os assuntos.

Quanto à metodologia utilizada pelos professores entrevistados, podemos inferir que

eles direcionam suas aulas vinculando teoria e prática, propondo projetos que façam os

licenciandos vivenciarem a prática docente.

É claro que, como educadores, devemos oferecer a todos as condições para que os

licenciandos sejam capazes de enriquecer suas aulas usando as tecnologias. Mas será que,

mesmo se as IES oferecerem recursos tecnológicos e disciplinas que contemplem as

categorias mencionadas, estaremos garantindo que os licenciandos vão utilizar as

tecnologias pedagogicamente?

Valente (1993) discute alguns argumentos céticos em relação ao uso do computador

na Educação. O autor destaca a pobreza do nosso sistema educacional, tanto no aspecto

físico, de valorização do salário do professor, como no processo pedagógico. Outra

dificuldade é o medo que muitos professores têm de serem substituídos pela máquina. O

�� de Licenciatura em Matemática: Que formação?. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

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maior desafio está relacionado à dificuldade de adaptação da administração escolar, dos

professores e dos pais a uma abordagem educacional que eles mesmos não vivenciaram.

Os futuros professores estão propícios a enfrentar todas essas dificuldades e, por esse

motivo, a formação do professor não pode acabar com a formatura de sua graduação, pois,

segundo Kenski (2003, p. 30), “é preciso estar em permanente estado de aprendizado e de

adaptação ao novo.”

Para contribuir com essa formação continuada, Valente (1999) afirma que a

Informática na escola deve ser integrada às atividades desenvolvidas em sala de aula. Para

tanto, quando o professor estiver em sua prática docente deverá continuar adquirindo

conhecimentos sobre a Informática e desenvolvendo, juntamente com os seus alunos,

atividades relativas ao conteúdo da sua disciplina.

Referências

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� !"#$ %& '& (#)*+,!-$ #& .& /01 230 '+4 56 4/7010 de Licenciatura em Matemática: Que formação?. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

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R89:8R;< => ?> ;@ ABCDE@EFGEHEIJKL@ KM MNBJOPLQ TLssibilidades para a formação do professor de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)


OS MULTISIGNIFICADOS DE EQUAÇÃO: POSSIBILIDADES PARA A

FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA.

Alessandro Jacques RIBEIRO – UNIBAN ([email protected]

Resumo: Fundamentado nos resultados da tese de doutoramento do autor (Ribeiro, 2007), o presente trabalho tem por objetivo apresentar os multisignificados de equação e discutir as possibilidades que tal abordagem pode trazer para a Formação do Professor de Matemática. A partir de um estudo epistemológico e didático-matemático desenvolvido em sua tese, diferentes formas de conceber e utilizar a noção de equação foram identificadas e categorizadas no referido trabalho. Estas diferentes maneiras de conceber e utilizar equação – multisignificados de equação – contemplam diferentes registros de representação semiótica e se fundamentam na teoria desenvolvida por Raymond Duval (Duval, 1993). A abordagem dos multisignificados de equação, a saber: intuitivo-pragmático; dedutivo-geométrico; estrutural-generalista; estrutural-

conjuntista; processual-tecnicista; axiomático-postulacional; na Formação do Professor de Matemática visa contribuir para a ampliação das concepções de equação de professores em formação inicial ou continuada, uma vez que propõe: a) uma discussão epistemológica desta importante idéia matemática; b) uma discussão didático-matemática que procure superar um simples caráter de revisão de um conteúdo da Educação Básica; c) a utilização de forma integrada dos diferentes significados que podem ser atribuídos à noção de equação, bem como a discussão articulada entre os multisignificados de equação e os diferentes tipos de equação (como algébrica, trigonométrica, matricial, diferencial, entre outras). Assim, com estas e outras possibilidades de abordagem na Formação do Professor de Matemática, acredito que os professores poderão se utilizar desse novo repertório em suas aulas de Matemática, o que de certa forma permitirá uma (re) construção das concepções de equação entre os alunos.

Palavras-Chave: Equação. Educação Algébrica, Multisignificados de Equação, Formação do Professor de Matemática.

Introdução

O presente trabalho tem o objetivo de apresentar os diferentes significados que

podem ser atribuídos à noção de equação no ensino e aprendizagem de Matemática e

discutir suas potencialidades para a Formação do Professor de Matemática. É

VWXYWVZ[ \] ^] Z_ `abcd_defdgdhijk_ jl lmainokp qkssibilidades para a formação do professor de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:

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IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

desenvolvido e fundamentado nos resultados da tese de doutoramento “Equação e seus

multisignificados no ensino de Matemática: contribuições de um estudo

epistemológico”, de Alessandro Ribeiro, defendida em 2007, na Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo, Brasil.

Este artigo foi desenvolvido na perspectiva de um trabalho de caráter teórico, uma

vez que retoma a discussão abordada em Ribeiro (2007), ampliando-a no sentido de

colocar em discussão as possibilidades e potencialidades que a abordagem dos

multisignificados de equação, concebidos na tese de doutorado do autor, podem trazer

para o processo de ensino e aprendizagem da Álgebra.

Ao longo de minha carreira como professor e pesquisador, pude perceber que na

maior parte das vezes em que a idéia de equação é evocada, seja como ferramenta intra

ou extra matemática, ou como objeto de estudo, dá-se uma excessiva ênfase nos

procedimentos e técnicas de resolução das equações, em detrimento de outras

discussões que possam contribuir para a construção desse conhecimento de forma mais

ampla.

A fim de corroborar as constatações sobre a ênfase que é dada ao transformismo

algébrico, quando se trabalha com equação, apresento a seguir algumas pesquisas na

área de Educação Matemática que despertou minha atenção e me motivou a trazer tais

reflexões para a discussão que estou propondo.

Em minha pesquisa de mestrado pude constatar algumas das conjecturas que

levanto no que se refere à ênfase dada ao procedimental quando se trabalha com as

equações. Em Ribeiro (2001) observei um desempenho pouco satisfatório em alunos de

13-14 anos, mesmo quando esses estão trabalhando com situações que requerem

somente uma manipulação de técnicas e procedimentos “mecânicos” de resolução de

equações. Os resultados obtidos naquela época levaram-me a refletir sobre uma

ineficiência do ponto de vista instrumental, ainda que haja uma super valorização do

aspecto procedimental.

Outra pesquisa interessante é a de Dreyfus e Hoch (2004), que discutem uma

abordagem estrutural para as equações. No trabalho desenvolvido com alunos de idade

equivalente aos alunos do nosso ensino médio, aqueles autores pediam aos alunos que

falassem sobre o que pensavam a respeito da noção de equação. Dentre os resultados

dessa pesquisa, o que mais me chamou a atenção foi a constatação que eles obtiveram

no que se refere à pouca capacidade daqueles alunos em reconhecer a estrutura interna

rstusrvw xy zy v{ |}~��{��{ �� }�� ssibilidades para a formação do professor de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:

3


de uma equação, caracterizando a idéia de equação, na maioria das vezes, como um

processo de resolução, i.e., relacionando equação com o processo de sua resolução.

Com relação aos professores, meu foco neste trabalho, observa-se que, muitas

vezes, suas concepções de equação também supervalorizam o procedimental. A

pesquisa que Attorps (2003) desenvolveu com 10 professores secundários sobre suas

concepções de equação, traz resultados relevantes para esta discussão. Em seu trabalho

Teachers’ Images of the ‘Equation’ Concept, Attorps discute a insegurança que alguns

professores têm em afirmar, por exemplo, que ayx ! 52 é uma equação, por não

saberem como encontrar a solução. Ela apresenta também, que grande parte de seus

professores têm uma concepção de equação muito ligada à questão procedimental.

Afirma ainda que, durante as entrevistas, os professores freqüentemente relacionaram

suas concepções de equação à forma como eles aprenderam – suas experiências

enquanto alunos – a trabalhar com o processo de resolução de equações.

Costa (2007) entrevistou seis professores de matemática do ensino médio com o

objetivo de investigar se e como esses professores abordavam, em suas aulas,

problemas cujo equacionamento recaia em uma equação diofantina linear com duas

incógnitas. Em seus resultados, o autor observou que todos indicaram como melhor

abordagem a da tentativa e erro. Dentre eles, alguns sugeriram que um simples calculo

mental era suficiente e outros, embora equacionassem o problema por meio da equação

adequada, com duas incógnitas, disseram que não dava para usá-las, pois era necessário

obter mais uma equação para a resolução. Somente um dos professores admitiu que o

fato de haver uma única equação linear sugeria haver mais de uma solução. Esses

resultados levaram Costa a concluir que nenhum dos professores entrevistados deu

indícios de trabalhar com seus alunos utilizando conhecimentos das propriedades da

equação linear com duas incógnitas para verificar se a mesma tinha solução, e quais

eram elas.

Tais pesquisas, assim como outras que foram analisadas por mim durante o

desenvolvimento de minha tese, parecem sinalizar que a ênfase excessiva que é dada ao

aspecto procedimental das equações, não permite se quer que alunos e professores

conheçam e utilizem corretamente esta idéia em situações especificas da Álgebra, ou

mesmo em situações gerais da Matemática ou da vida cotidiana.

�� ¡¢£� ¢¤ ¤¥�¡¦§£¨ ©£ssibilidades para a formação do professor de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:

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Com isso, as discussões propostas no presente trabalho têm a preocupação de

buscar formas de contribuir para a ampliação dessa visão, dessas concepções acerca da

noção de equação, uma vez que apresenta diferentes significados que podem ser

atribuídos à noção de equação, quando do ensino e aprendizagem de Álgebra.

Apresentando os diferentes significados de equação

Visando à condução de nossas discussões para o objetivo principal desse trabalho,

quer seja, a apresentação de diferentes formas de conceber a noção de equação, acredito

ser relevante contextualizar o ambiente no qual esses diferentes significados foram

surgindo durante o desenvolvimento da pesquisa que fundamenta tal artigo.

Em Ribeiro (2007), é apresentado o desenvolvimento epistemológico da noção de

equação e, em seguida, a análise de livros didáticos com o objetivo de reconhecer

nesses, as diferentes formas como a noção de equação foi sendo concebida/construída

ao longo da história da Matemática.

Tendo em vista o foco dado e as limitações referentes ao presente trabalho, a

análise feita nos referidos livros não será aqui colocada em discussão (ver Ribeiro,

2008). Entretanto, irei me referir a tais livros para exemplificar situações em que pude

reconhecer indícios dos multisignificados de equação.

A trajetória histórica utilizada por mim em minha tese de doutoramento iniciou-se

com os Babilônios, os Egípcios e os Gregos. Desses povos, obteve-se às seguintes

concepções:

A noção de equação utilizada por essas civilizações, principalmente pelos egípcios, tinha um caráter pragmático e procurava, de forma intuitiva, igualar duas quantidades, com a finalidade de encontrar o valor da quantidade desconhecida. Percebe-se durante essa fase da história das equações, que na maior parte das vezes, a busca pelas soluções relacionava-se à equações particulares, para resolver problemas específicos. Os métodos utilizados, em sua maior parte, estavam ligados à idéias aritméticas e não tinham como preocupação a busca por soluções gerais para esses tipos de equações (RIBEIRO, 2007, p. 55) (...)Por outro lado, os gregos não estavam procurando resolver equações que tinham sido originadas de problemas de ordem prática. A noção de equação utilizada pelos gregos contemplava um caráter geométrico e, de forma dedutiva, suas resoluções repousavam em manipulações geométricas, como percebemos no método das proporções, por exemplo. (RIBEIRO, 2007, p. 60)

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Prosseguindo o estudo epistemológico, fui investigar como os Árabes e os Hindus

concebiam essa noção, observando que:

(...) tanto árabes como hindus trabalhavam com equações originárias de problemas de ordem prática, assim como os babilônios e os egípcios já tinham feito, além de situações que recaiam em interpretações e manipulações geométricas, como os gregos já o faziam. Contudo, é notório que as questões investigadas por árabes e hindus parecem dar à noção de equação, cada vez mais, um caráter algébrico. O catálogo de expressões que se sabe resolver passa do específico – constituído pela acumulação de problemas resolvidos, técnicas e procedimentos de resolução particularizadas – para um catálogo de todas as formas canônicas possíveis. (RIBEIRO, 2007, p. 67)(...)A noção de equação utilizada pelos árabes e hindus já apresenta uma concepção mais estrutural, no sentido de se observar as características e propriedades definidas em uma classe de equações e não mais em equações relacionadas a situações particulares. (RIBEIRO, 2007, p. 68)

Finalizando meu trabalho, levantei como e com quais finalidades os Europeus

utilizavam e discutiam a noção de equação, concluindo que:

(...) nesse período da história das equações, assim como já havia ocorrido com os árabes e hindus, principalmente com al-Khwarizmi, as equações eram vistas dentro de um sistema estrutural com propriedades e características definidas. A noção de equação nesse período, até a resolução das cúbicas e quartícas, é considerada um objeto de investigação, pois as operações são levadas a cabo sobre elas mesmas, debruçando-se na busca de soluções gerais para esses tipos de equações. Isso é uma característica que diferencia a maneira que a mesma era concebida pelos babilônios ou egípcios, por exemplo. (RIBEIRO, 2007, p. 79)

Dentre os resultados obtidas naquele momento, vale a pena destacar que (...)

“emerge desse estudo ao menos três formas diferentes de se enfocar equação: uma

relacionada a um caráter pragmático, outra relacionada a um caráter geométrico e uma

terceira relacionada a um caráter estrutural”. (RIBEIRO, 2007, p. 82)

Contudo, além das diferentes formas de conceber a noção de equação que foram

observadas no estudo epistemológico, percebeu-se ainda que pesquisas em Educação

Matemática, dentre estas as que foram apresentadas na introdução deste trabalho,

conduzem-nos a identificação de uma outra maneira de conceber equação, quer seja, a

noção de equação entendida como sua própria resolução. Por essa maneira de entender

ÆÇÈÉÇÆÊË ÌÍ ÎÍ ÊÏ ÐÑÒÓÔÏÔÕÖÔ×ÔØÙÚÛÏ ÚÜ ÜÝÑÙÞßÛà áÛssibilidades para a formação do professor de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:

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equação, alunos e professores, nas pesquisas retratadas anteriormente, concebem a

noção de equação enquanto um processo, uma técnica.

Por fim, baseado num estudo feito na obra de Chevallard (1991), no que se refere

aos objetos do saber, observei que, segundo esse autor, equação não é uma noção

matemática, mas sim, uma noção paramatemática, não podendo assim, tomar lugar

junto aos objetos de ensino. Nestes estudos, pude concluir que um dos argumentos que

estão subjacentes à postura de Chevallard parece ser o fato de não ser possível definir

equação, excluindo-a assim da “categoria” de noção matemática e, conseqüentemente,

dos objetos do ensino.

Entretanto, considerando-se todos os significados identificados em Ribeiro

(2007), parece existir sim uma grande necessidade de se discutir a noção de equação no

processo de ensino e aprendizagem da Matemática, contrapondo assim as idéias

apresentadas por Chevallard. Para isso, em Ribeiro (2007) é apresentada mais uma

forma de conceber a noção de equação, além daquelas que emergiram do estudo

epistemológico e bibliográfico.

Por esta outra forma de conceber a noção de equação é dispensada a necessidade

de defini-la, possibilitando assim sua abordagem como uma noção matemática, e

colocando-a dentre aos objetos de ensino no processo didático. Penso que com isso

consegui me desvencilhar do paradoxo que me ocorreu durante o desenvolvimento da

tese de doutoramento: se por um lado equação não é uma noção matemática, pois

aparentemente não podemos defini-la, e ela assim não pode tomar lugar juntos aos

objetos de ensino; por outro, todos os significados concebidos para ela e sua

importância intra e extra Matemática, apontam justamente a necessidade de considerar

sim esta noção no processo de ensino e aprendizagem de Matemática.

Finalmente, após a construção desse cenário que procurou discutir as fontes

geradoras dos diferentes significados concebidos para a noção de equação em Ribeiro

(2007), apresento a seguir os multisignificados de equação que proponho estar presente

no ensino e na aprendizagem de Matemática.

Concebendo os Multisignificados de Equação

Os multisignificados apresentados neste trabalho foram concebidos e amplamente

discutidos no trabalho de doutoramento já citado anteriormente. Minha principal

motivação neste trabalho é enfatizar as potencialidades que os multisignificados de

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equação têm para a construção desse conhecimento matemático no processo de ensino e

aprendizagem de Álgebra e, em especial, na Formação do Professor de Matemática.

A apresentação dos multisignificados de equação neste trabalho irá obedecer a

uma ordenação histórica da forma como os quais, na minha leitura, foram aparecendo e

sendo utilizados, implícita ou explicitamente, na história da Matemática. Procurarei

ainda exemplificar cada um deles, recorrendo à história da Matemática, a pesquisas em

Educação Matemática, e a livros didáticos de Matemática.

Imagino ser relevante, antes de iniciar a apresentação das diferentes formas de

conceber a noção de equação – que estou optando por chamar de multisignificados de

equação – ressaltar que as diferenças entre esses multisignificados são, às vezes,

bastante sutis e que é tênue a linha que separa um significado de outro. Assim, vamos à

apresentação desses multisignificados:

Intuitivo-Pragmático: a noção de equação é concebida como uma noção intuitiva,

ligada à idéia de igualdade entre duas quantidades. Sua utilização está relacionada à

resolução de problemas de ordem prática, os quais são originários de situações do dia-a-

dia. Alguns exemplos de situações que caracterizam esse significado podem ser

encontrados:

" Nos Babilônios e Egípcios: problemas de origem prática envolvendo questões da

agricultura, por exemplo;

" No livro didático de Bourdon (1897).

Dedutivo-Geométrico: a noção de equação é concebida como uma noção ligada às

figuras geométricas, aos segmentos. Sua utilização está relacionada às situações quem

envolvem cálculos e operações com segmentos, ou com medida de lados de figuras

geométricas, ou com intersecções de curvas. Alguns exemplos de situações que

caracterizam esse significado podem ser encontrados:

" Gregos: utilização do método das proporções e o da aplicação de áreas. O método

das proporções permite que se construa um segmento de reta x dado por a : b = c : x ou

por a : x = x : b, em que a, b, c são segmentos de reta dados. Em relação ao método da

aplicação de áreas, pode-se recorrer aos Elementos de Euclides, utilizando-se a

Proposição 44 do Livro I, e as Proposições 28 e 29 do livro VI;

þÿR�ÿþ�� ssibilidades para a formação do professor de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:

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" Geometria das Curvas: Khayyam encontrou uma solução geométrica para a

equação cúbica do tipo x3 + ax = b, utilizando a intersecção do círculo x2 + y2 = qx e a

parábola x2 = py, e também trabalhou com a cúbica do tipo x3 = ax +b, utilizando a

intersecção da parábola yax 2

e a hipérbole eqüilátera

2yxa

bx #

$

%&'

(!

.

Estrutural-Generalista: a noção de equação é concebida como uma noção estrutural

definida e com propriedades e características próprias. A equação aqui é considerada

por si própria, operando-se sobre ela mesma na busca de soluções gerais para uma

classe de equações de mesma natureza. Alguns exemplos de situações que caracterizam

esse significado podem ser encontrados:

" al-Khwarizmi: embora as equações com que ele trabalhava eram originárias de

problemas de ordem prática, sua atenção estava focada para a determinação da

resolução de qualquer equação quadrática. Estabeleceu duas operações fundamentais al-

jabr e al muqabalah, que reduziam as equações tratadas por ele em seis tipos, em sua

forma canônica;

" Descartes: quando da utilização de seu método cartesiano passa a tomar as próprias

equações não mais como um meio de organização de fenômenos, mas como um campo

de objetos que necessita de novos meios para sua organização: seria a resolução de

equações utilizando-se a forma canônica;

" Demais matemáticos a partir de Descartes, como Abel e Galois, que passaram a

investigar a estrutura do processo de resolução das equações, visando encontrar, ou

mostrar que não existia, um algoritmo capaz de resolver, por meio de radicais, as

equações de grau superior a quatro.

Estrutural-Conjuntista: a noção de equação é concebida dentro de uma perspectiva

estrutural, que está diretamente ligada à noção de conjunto. É vista como uma

ferramenta para resolver problemas que envolvam relações entre conjuntos. Alguns

exemplos de situações que caracterizam esse significado podem ser encontrados em

Bourbaki (1970), Rogalski (2001) e Warusfel (1969).

�� ! �" #$%&'"'()'*'+,-." -/ /0$,12.3 4.ssibilidades para a formação do professor de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:

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Processual-Tecnicista: a noção de equação é concebida como a sua própria resolução –

como os métodos e técnicas que são utilizadas para resolvê-la. Diferentemente dos

estruturalistas, não enxergam a equação como um ente matemático sobre o qual as

operações e manipulações que são realizadas atendem à regras bem definidas. Alguns

exemplos de situações que caracterizam esse significado podem ser encontrados em

pesquisas realizadas na área de Educação Matemática que indicam a presença desse

significado, como em Cotret (1997) ou em Dreyfus e Hoch (2004).

Axiomático-Postulacional: concebe equação como uma noção da Matemática que não

precisa ser definida, uma idéia a partir da qual outras idéias, matemáticas e não

matemáticas, são construídas. Por essa concepção, a noção de equação é utilizada no

mesmo sentido de Noção Primitiva, como ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana.

Um exemplo desse significado pode ser observado com a partir dos trabalhos de:

" Chevallard, o qual, de forma indireta concebe equação com esse significado em seu

trabalho sobre a Transposição Didática, ao se referir às noções matemáticas e

paramatemáticas, pois a noção de equação não pode ser concebida como uma noção

matemática, por não ter uma “definição” única, aliás, nem precisa, afinal, ela é uma

noção paramatemática, servindo como um saber auxiliar quando se trabalha com

alguma noção matemática propriamente dita.

Esse último significado apresentado, o axiomático-postulacional, no meu modo de

ver, deve ser entendido como subjacente a todos os outros, pois ele permite que não nos

preocupemos em definir a noção de equação, podendo priorizar a discussão da idéia

central da noção de equação, quer seja – a idéia de igualdade e de equivalência.

Conclusões e considerações finais

Levanto nesta parte do trabalho, algumas conclusões e orientações que acredito

serem pertinentes e importantes para o ensino e aprendizagem de Álgebra,

principalmente na Formação do Professor de Matemática, lócus no qual entendo que a

abordagem dos multisignificados de equação ganha relevância.

Por essa maneira diversificada de poder conceber a noção de equação, imagino

colocar em pauta uma discussão sobre a necessidade de trabalhar com estes

multisignificados de maneira integrada, buscando relacionar um significado a outro. Tal

5678659: ;< =< 9> ?@ABC>CDECFCGHIJ> IK KL@HMNJO PJssibilidades para a formação do professor de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:

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perspectiva é corroborada pelas reflexões apresentadas por Duval (1993, 2003) em sua

teoria dos registros de representação semiótica, uma vez que este autor defende a

importância da articulação entre diferentes registros de representação para a construção

do conhecimento matemático.

Aceitando-se a importância de utilizar diferentes registros de representação

semiótica para a construção do conhecimento matemático, levanto a conjectura que

articulando o intuitivo-pragmático com o dedutivo-geométrico, por exemplo, podemos

propiciar situações em que a idéia de equação, ainda entendida como um problema entre

igualdade de quantidades, possa ser interpretada e representada de diferentes formas

gráficas, seja por meio de diagramas, de esquemas gráficos, ou mesmo, posteriormente,

pela intersecção de duas curvas, gerando a solução para o problema apresentado.

Uma outra possibilidade, dentre as muitas possibilidades que podem ser

exploradas quando da utilização da perspectiva dos multisignificados de equação em

sala de aula, é a articulação entre o dedutivo-geométrico e o estrutural-conjuntista. Ao

trabalhar com situações envolvendo equações onde as incógnitas não são números, mas,

por exemplo, funções, é possível discutir outros tipos de equações, como é o caso das

equações diferenciais, sem perder de vista a idéia central de equação, quer seja, a de

igualdade. Nesse sentido, podemos explorar a idéia de igualdade, ampliando a

concepção que os alunos têm de equação, para além daquela em que se deve encontrar é

o número desconhecido.

Considerando que conhecemos um objeto matemático quando somos capazes de

interpretá-lo e concebê-lo por meio de diferentes registros de representação semiótica

(DUVAL, 1993), acredito que o trabalho com os multisignificados em sala de aula de

forma articulada poderá possibilitar a ampliação da concepção de equação para além de

um “simples” conjunto de regras e técnicas.

Com isso, minhas pesquisas atuais visam elaborar, aplicar e avaliar os impactos

que situações de aprendizagem, que contemplem os multisignificados de equação,

possam ter entre alunos e professores de Matemática. Essas situações privilegiam a

articulação desses diversos significados, levando em consideração o nível de ensino e os

objetivos propostos para a educação matemática que quero praticar.

Pesquisas como a desenvolvida em Ribeiro (2007) e apresentada neste trabalho

podem trazer para o ambiente da Formação do Professor de Matemática discussões de

temas da Educação Básica – como é o caso das equações. Tais discussões devem ir além

QSTUSQVW XY ZY V[ \]^_`[àb`c`defg[ fh hi]ejkgl mgssibilidades para a formação do professor de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:

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de um simples caráter de revisão e retomada de conteúdos “básicos”, mas sim,

possibilitar discussões epistemológicas e didático-pedagógicas desses conhecimentos

elementares, o que deverá contribuir para a ampliação das concepções que os futuros

professores e os professores em atuação possam ter dessas noções matemáticas.

Referências

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BOURBAKI, N. Elements de Mathématique: Algèbre I. Paris: Hermann, 1970

BOURDON, M. Éléments dÁlgèbre. Paris: Gauthier-Villars et Fils, 1897

CHEVALLARD, Y. La Transposition Didactique. Grenoble: Ed. La Pensee Sauvage, 1991.

COTRET, R. S. Problématique à propos de la mise en équation de problèmes écrits. In: IX Séminaire Franco-Italien de Didactique de lÁlgèbre. 1997, p. IX-23 – IX-37.

COSTA, E. S. As equações diofantinas lineares e o Professor de Matemática do Ensino Médio. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2007.

DREYFUS, T., HOCH, M. Equations: a structural approach. In: Proceedings of the 28th Conference of Internatoinal Group for the PME, 2004, p. 1-152 – 1-155.

DUVAL, R. Registres de Représentations sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. In: Annales de Didactique et Sciences Cognitives. ULP, IREM Strasbourg 5, 1993, p. 37-65.

_______________ Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, S. D. A. (Org) Aprendizagem em Matemática: Registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003, p. 11-33.

RIBEIRO, A. J. Analisando o desempenho de alunos do Ensino Fundamental em Álgebra, com base em dados do SARESP. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2001.

______________ Equação e seus multisignificados no ensino de Matemática: contribuições de um estudo epistemológico. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2007.

qrstrquv wx yx uz {|}~�z��z �� |�� ssibilidades para a formação do professor de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática:IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

12

______________ Equação: noção matemática ou paramatemática? (artigo aceito para publicação na Revista Unión-FISEM, 2008.

ROGALSKI, M. Carrefours entre Analyse, Algèbre et Géomètrie. Paris: Ellipses, 2001.

WARUSFEL, A. Dictonnaire Raisoné de Mathématiques. Paris: Éditions du Seuil, 1969.

��ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)


POR QUE É IMPORTANTE ENSINAR CONTEÚDOS MATEMÁTICOS

PROVENIENTES DE ABSTRAÇÕES DAS ABSTRAÇÕES?

Richael Silva CAETANO – UNESP, Bauru ([email protected]�

Resumo: A presente pesquisa – de cunho teórico-bibliográfica – visa ressaltar ao professor de matemática a importância de/em (também) abordar os conteúdos tidos como abstratos, ou seja, àqueles que não possuem aplicação direto-prática com a vida cotidiana. Buscando subsídios na Pedagogia Histórico-Crítica (Saviani), contributos da Psicologia Soviética (Leontiev, Markus e Vigotski) e considerações sociológicas de Agnes Heller e Karl Marx, o presente trabalho defende o ensino de conteúdos matemáticos – proveniente das abstrações das abstrações – como uma das condições necessárias à formação de alunos-indivíduos conscientes com relação à sociedade ao qual pertencem. Nesta formação (do indivíduo-consciente) a aprendizagem dos conteúdos matemáticos abstratos é tida como importante ao desenvolvimento das Funções Psicológicas Superiores, isto é, funções psíquicas que permitem ao sujeito – por meio de um processo de abstração – abstrair e generalizar as idéias acerca de si mesmo e do mundo. Generalizando, ou seja, compreendendo a realidade de modo conceitual/formal, o indivíduo torna-se capaz de pensar sobre a sociedade de um modo reflexivo (e não pragmático). Nesse sentido, este estudo objetiva-se contra a concepção prático-utilitarista aos quais os conteúdos matemáticos vêm sendo abordados nas últimas décadas (de 1990 à atual) pelo/no ideário pedagógico brasileiro. Concepção essa decorrente da alienação e conseqüente (e proposital) má-interpretação das teorias de aprendizagem construtivistas, reduzindo-as em simples jargões educacionais superficiais e equivocados, como por exemplo: aprender a aprender, ensinar somente aquilo que é necessidade/cotidiano do aluno. Faz-se conveniente ressaltar a não negação dos conhecimentos matemáticos decorridos do cotidiano, ou seja, àqueles que apresentam aplicação direta na vida pragmática dos indivíduos, mas sim que, a escola deve utilizá-los como ponto de partida para a aquisição dos conteúdos matemáticos não cotidianos (isto é, os provenientes de abstrações das abstrações). Assim, tal aquisição/aprendizagem deve valer-se da lógica da superação por incorporação e jamais da lógica da negação.

Palavras-chave: Formação de Professores, Ensino de Matemática, Pedagogia Histórico-Crítica.

��ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação

2


I - Introdução

Esta pesquisa é proveniente de discussões/reflexões realizadas durante a disciplina

– oferecida pelo Programa de Pós-Graduação em Educação Para A Ciência,

UNESP/Bauru – intitulada: Contribuições da Pedagogia Histórico-Crítica para a

Fundamentação da Prática Docente, de responsabilidade do Prof. Dr. José Roberto

Boettger Giardinetto (no 2º semestre de 2007). Após uma considerável revisão de

literatura acerca das bases teóricas da Pedagogia Histórico-Crítica (PHC): 1. Psicologia

Soviética: Leontiev, Markus, Vigotski, 2. Considerações sociológicas de Agnes Heller e

Karl Marx, o docente solicitou a elaboração de um trabalho monográfico/final que

respondesse a seguinte pergunta: “Professor, para quê serve aprender isso? – Desafios

para ensinar ciência(s) frente à concepção prática utilitária do aprender.”.

Devido o interesse no Ensino de Matemática, houve um ‘direcionamento’ da

pergunta acima, culminando no questionamento a seguir: “Por que é importante

ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações?”. Porém,

para refletir sobre a importância do ensino de conteúdos matemáticos abstratos, fez-se

necessário ater-se em alguns tópicos. Os mesmos apresentam abaixo:

1) Para que ensinar conteúdos matemáticos abstratos aos alunos dos diversos

níveis educacionais? Os conteúdos matemáticos imediatamente observados e utilizados

no cotidiano [ou seja, prático-utilitários] não são suficientes para a formação do

aluno/indivíduo? Decorrentes desta questão fez-se necessário o pensar sobre:

1.1) Qual o papel da escola para a PHC?

1.2) O que são conteúdos matemáticos abstratos e, o que se constitui a

abstração?

1.3) O que são os conteúdos matemáticos do cotidiano? A partir desta foi

imprescindível refletir: 1.3.1) O que é cotidiano, e, em oposição, o que se constitui o

não-cotidiano?

1.4) O que é necessário à formação do indivíduo? A fim de respondê-la tornou-

se imperioso pensar: 1.4.1) O que é indivíduo e, subjacente a esta: como o homem se

faz homem?

2) Quais fatores / ideologias externas que promovem / defendem o ensino de

conteúdos matemáticos prático-utilitários em detrimento dos provenientes de sucessivas

abstrações?


3


No decorrer desta investigação, procurou-se responder os questionamentos

explicitados acima, para, a partir da PHC, defender a seguinte idéia/hipótese: “A

formação do verdadeiro homem, ou “homem inteiramente” torna-se possível graças a

um ensino que possibilite ao aluno vir-a-ser em todas suas possibilidades intelectuais,

àquele que não restrinja [o estudante] à sua vida cotidiana, mas que a supere por

incorporação.”.

A ordem utilizada para responder (argumentar sobre) as questões (1.1 a 2)

sugeridas, acima, far-se-á diferente da ordem à qual as mesmas foram apresentadas,

devido a discussão inicial sobre: “O que é o homem e o que o diferencia dos outros

animais”.

II. Desenvolvimento

Quantas vezes nós professores, de matemática nesse caso, não fomos

questionados por nossos alunos, do seguinte modo: “Professor, porque é importante

aprender Números Complexos se eu não vou utilizar isso na vida?”. As respostas para

tal aluno, de imediato não se constitui tão simples e óbvio como parece ser, pois,

“simplesmente o porquê sim, não é uma resposta convincente e fundamentada”. Para

buscar responder tal pergunta, não só aos alunos, mas aos demais profissionais

envolvidos com o ensino é que este trabalho se objetiva. Os tópicos a seguir buscam

responder a pergunta 1) [p. 2] explicitada na Introdução, procurando defender a

idéia/hipótese [p. 2] apresentada no mesmo item.

II. 1 - O Que é Necessário à Formação do Indivíduo?

Pensando de um modo simplista/pragmático, à formação do indivíduo é

necessário que ele seja criado/ajudado/ensinado por outro indivíduo. Esse modo

imediatista era suficiente no Período Feudal, onde a grande maioria da sociedade (os

dominados/proletários) formava-se indivíduo com o ‘simples’ viver junto com as

gerações mais velhas. Assim, o camponês aprendia a plantar olhando seu pai cultivar a

terra; e desse modo a escola ocupava uma Função Secundária na educação, sendo

somente destinada aos proprietários de terras (os nobres). Porém, mudou-se o eixo do

processo, ou seja, na Idade Burguesa (Moderna), a concentração que antes era no

campo, passou a ocorrer na cidade (devido o surgimento dos burgos, das feiras de


4


comércio). Assim, não foi mais possível educar-se somente trabalhando (vivendo junto),

e a escola passou a assumir a Função Primária da educação. Conforme Saviani (1991):

Sendo a cidade um dado artificial, daí decorre não apenas uma sociedade contratual, mas também a exigência de generalização daqueles elementos que integram a vida da cidade; a generalização da escrita é posta como exigência deste tipo de sociedade moderna. E é aí que a forma escolar da educação deixa de ser uma forma secundária e subordinada e passa a ser a forma dominante da educação. É a partir da modernidade que educar passa a ser, fundamentalmente, escolarizar. (p. 30, grifo nosso)

Logo, à formação do indivíduo, hoje (no mundo atual), é necessária a escola -

cumprindo a sua Forma Primária de educação. Complementando, Saviani (2003):

Esta passagem de escola à forma dominante de educação coincide com a etapa histórica em que as relações sociais passaram a prevalecer sobre as naturais. (...) Em conseqüência, o saber metódico, sistemático, científico, elaborado, passa a predominar sobre o saber espontâneo, “natural”, assistemático, resultando daí que a especificidade da educação passa a ser determinada pela forma escolar. (p. 8, grifo nosso)

Não significa que a formação do indivíduo faça-se somente pela via escolar, tendo

em vista a necessária convivência em seu meio social, familiar; mas que, por meio da

escola ele [o indivíduo] aprende mecanismos intelectuais [tais como escrever, ler,

contar, entre outros] que o possibilite viver em sociedade e transformá-la [assunto a ser

discutido em itens posteriores].

Até o momento defendeu-se a existência da escola em sua Forma Primária

propiciando a formação do indivíduo ‘apto’ a viver em nossa sociedade. Mas, o que é

indivíduo? O item a seguir busca responder esta indagação.

II. 2 - O Que é Indivíduo e, Subjacente a Esta: Como o Homem se faz Homem?

Para compreender – segundo os pressupostos teóricos adotados – o que é o

homem, torna-se necessário recorrer à esfera social. Segundo Leontiev (1978):

(...) o homem é um ser de natureza social, que tudo o que tem de humano nele provem da sua vida em sociedade, no seio da cultura

criada pela humanidade. (p. 261, grifo nosso)

�� ¡ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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(...) Podemos dizer que cada indivíduo aprende a ser um homem. O que a natureza lhe dá quando nasce não lhe basta para viver em sociedade. É lhe ainda preciso adquirir o que foi alcançado no decurso do desenvolvimento histórico da sociedade humana. (p. 267, grifo nosso)

Daí, para explicar o que é o homem faz-se imprescindível comentar sobre o

processo que permitiu – e permite – a construção do social. E tal processo deu-se pelo

trabalho. Mas, o que é trabalho, para este referencial teórico? Em Markus, (1974), o

trabalho:

(...) em primeiro lugar, é um processo que se desenvolve entre o homem e a natureza, no qual o homem – através de sua própria ação – mediatiza, regula e controla o intercâmbio orgânico entre ele mesmo e a natureza. (p. 51, grifo nosso)

Através do trabalho o homem foi modificando a si e concomitante a natureza,

construindo coisas (materiais: artefatos e não-materiais: idéias), enfim, constituindo a

cultura humana. A construção destas ‘coisas’ materiais e não-materiais só foi possível

graças à dinâmica entre objetivação x apropriação. As objetivações são os produtos

provenientes da modificação da realidade natural (modificada via trabalho) em realidade

humanizada (cultural). Logo, podemos considerar as “coisas materiais e não-materiais”

como sendo as objetivações. Já a apropriação é o meio do homem assimilar (através de

um processo racional) as objetivações. Contudo, este processo de

assimilação/apropriação da cultura não pode ser considerado como passiva ou ‘pura

reprodução’, ‘cópia do real’, mas: “(...) uma atividade do indivíduo destinada a dominar

o mundo dos objetos da cultura humana e suas transformações”. (FACCI, 2004, p. 231)

Assim, o acesso à cultura é aquilo que forma o indivíduo em sua genericidade, sendo

este um processo de apropriação por incorporação e não por negação.

Como ressaltado acima, através da dinâmica apropriação x objetivação o homem

foi/continua modificando/construindo a realidade natural em humanizada, assim como

continua ‘se fazendo’ homem. Com relação às objetivações, é possível classificá-las em

dois níveis qualitativamente distintos. Existem as EM-SI (costumes, linguagem,

artefatos) e PARA-SI (ciência, filosofia, moral, arte). Ambas, constituem o gênero

humano em sua universalidade. Gênero humano, então, constitui-se tudo que é

construído pelo homem, seja material ou imaterial (idéias, teorias, reflexões).

¢£¤¥ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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Em suma, a partir da apropriação das objetivações (em-si e para-si) é que o

homem se fez (e se faz) homem. É por meio deste processo – social e histórico – que o

homem foi se constituindo enquanto gênero humano, alcançando complexos níveis de

raciocínio.

II. 3 - O Que é Cotidiano, e, em Oposição, o que se Constitui Não-Cotidiano?

No item anterior, definiu-se o indivíduo como sendo um ser de natureza social; e

através do trabalho (donde por meio de uma dinâmica infindável entre apropriação x

objetivação) o homem construiu/constrói a realidade humanizada. Assim como as

objetivações apresentam níveis qualitativamente distintos, isto é, diferentes relações de

intencionalidade durante o processo de trabalho, a realidade humanizada também o

possui. Desse modo, é possível classificá-la como sendo constituída pela esfera

cotidiana e não-cotidiana. A primeira é formada pelas objetivações em-si, sendo

constituída pela consciência em-si. A consciência em-si é caracterizada por apresentar

aspectos pragmáticos, de não intencionalidade/reflexão no momento da apropriação das

objetivações em-si. Imagine se tivéssemos que refletir sobre cada ato de nossa vida

cotidiana? Provavelmente, não cumpriríamos nem um décimo dos afazeres dessa esfera

social.

Em contrapartida, o não-cotidiano é constituído pelas objetivações para-si,

estando presente aí a consciência para-si. Nesta, o sujeito estabelece uma relação de

intencionalidade/reflexão, culminando assim na elaboração de raciocínios altamente

abstratos, como o matemático, por exemplo. A partir da apropriação das objetivações

para-si (não-cotidianas) o sujeito pode atingir o máximo de suas potencialidades, do seu

vir-a-ser enquanto homem inteiramente, ou seja, como representante do máximo

conhecimento atingido pelo gênero humano.

Para finalizar, faz-se necessário salientar a relação entre cotidiano e não-cotidiano.

Para a constituição deste último foi/é necessário a existência do cotidiano; como aponta

Giardinetto (1999):

O modo de pensamento processado no cotidiano lança elementos para se trabalharem os conceitos formais, isto é, o saber cotidiano fornece elementos para a apropriação do saber escolar. Mas isso se dá na forma de uma relação de superação por incorporação, isto é, o saber escolar supera o modo de pensamento presente no cotidiano, a partir

¦§¨©ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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de elementos, gérmens presentes no cotidiano e que são incorporados pelo saber escolar. (p. 50, grifo nosso)

II. 4 - O Que São os Conteúdos Matemáticos do Cotidiano?

Decorre do tópico anterior que, os conteúdos matemáticos do cotidiano são

constituídos pelas objetivações em-si, ou seja, apresentadas ao indivíduo sobre a lógica

da consciência em-si (não-intencional, pragmática).

Inúmeros exemplos da matemática do cotidiano podem ser evidenciados. Uma

delas ocorre quando, o menino, no campo de futebol de areia, fixa a ponta do dedão na

areia e gira o pé (seu corpo) em 360º, ou seja, uma volta inteira. Ao fazê-lo, ‘constrói’

um ‘monte’ de areia cujo centro representa uma circunferência. O menino não sabe o

porquê do surgimento da circunferência, mas o faz, pois, certamente imitou a

ação/comportamento de outrem. Assim, houve a apropriação de um conhecimento

matemático, mas em sua característica/finalidade em-si – objetivação em-si. Não há

como a criança, nesse exemplo compreender a gênese explicativa do “surgimento” da

circunferência. Somente conseguirá explicar esta ação (de fazer circunferências na

areia) quando tiver já apropriado o conhecimento matemático escolar – constituído

pelas objetivações para-si. Através do conhecimento sistematizado de lugar geométrico

(um conteúdo matemático escolar, portanto, sistematizado), o menino conseguirá

explicações lógicas sobre o porquê do desenho da circunferência na areia.

O exposto no parágrafo acima, de modo algum deprecia o conhecimento

matemático do cotidiano (e nenhum outro conhecimento dessa esfera), mas denota os

limites destes conhecimentos, devido seu caráter prático-utilitário (sendo este

imprescindível à vida cotidiana). Porém, salienta-se a possibilidade do conhecimento

matemático do cotidiano (não-intencional) lançar germens para a apropriação – através

de um processo de superação por incorporação – do conhecimento sistematizado (em

sua versão escolar). Para o menino do exemplo anterior, apre(e)nder o tema lugar

geométrico (e em especial a circunferência) poderia tornar-se mais significativo, com

um maior significado, caso o professor – intencionalmente – utilizasse o conhecimento

do cotidiano (do aluno), propiciando ao mesmo um pensar por incorporação e não por

negação.

ª«¬ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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II. 5 - O Que São Conteúdos Matemáticos Abstratos e, O Que Se Constitui a

Abstração?

Os conteúdos matemáticos abstratos são aqueles relacionados com as objetivações

para-si, apropriados por meio da consciência para-si, intencional/reflexivo-abstrata.

Com já exposto, a apropriação destas objetivações permite ao indivíduo atingir o

máximo de suas potencialidades, constituindo-se enquanto homem inteiramente, ou

seja, capaz de pensar/refletir de modo organizado (intencional) sobre a sociedade.

Assim, a aprendizagem dos conteúdos matemáticos abstratos (não-cotidianos) contribui

ao máximo desenvolvimento do pensar do homem, superando por incorporação o

pragmatismo presente na vida cotidiana. É fato que, além dos conteúdos matemáticos

são necessários a apropriação das outras objetivações para-si (moral, filosofia, ciências

físico-químico-naturais, arte, etc.).

Sobre o processo de abstração, inerente à apropriação dos conteúdos matemáticos

não-cotidianos, torna-se oportuno recorrer ao estudo das Funções Psicológicas

Superiores (FPS). Conforme Facci (2004), as funções psicológicas (processos

característicos de todo homem que possui condições biológico-sociais favoráveis)

dividem-se em elementares e superiores.

Os processos psicológicos elementares – tais como reflexos, reações automáticas, associações simples, memória imediata, etc. – são determinados fundamentalmente pelas peculiaridades biológicas da psique; já os processos psicológicos superiores – tais como atenção voluntária, memorização ativa, pensamento abstrato, planejamento – nascem durante o processo de desenvolvimento cultural, representando uma forma de conduta geneticamente mais complexa e superior. (FACCI, 2004, p. 205, grifos da autora)

As Funções Psicológicas Superiores (FPS) regulam o comportamento do homem e o diferencia dos animais por meio da tomada de consciência. (FACCI, 2004, p. 206, grifo nosso)

Deste modo, é graças ao processo de desenvolvimento cultural que o homem foi

desenvolvendo ‘condutas superiores’ de raciocínio, atingindo assim o pensamento

abstrato. Assim, ao apropriar-se (por meio da consciência para-si) dos conteúdos

matemáticos abstratos (as objetivações para-si) o indivíduo desenvolve suas FPS.

Durante este processo, a linguagem desempenhou/desempenha um papel primordial.

Para Facci (2004):

®¯°±ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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É a partir da linguagem que se formam os complexos processos de regulação das próprias ações do ser humano. (...) A linguagem, sendo um sistema simbólico, constitui-se então como um instrumento psicológico fundamental na interiorização das FPS. (p. 211, grifo nosso)O signo e a palavra é que permitem ao indivíduo dominar e dirigir suas próprias operações psíquicas, controlando o curso de sua atividade e orientando-a de forma que resolva a tarefa proposta pelo meio em que vive. (...) Os conceitos envolvem um sistema de relações e generalizações contido nas palavras e determinado por um processo histórico. (...) Todo conceito é sempre uma generalização. (p. 212, grifo nosso)

Do exposto acima, observa-se a necessária abordagem escolar dos conteúdos

matemáticos abstratos, e não somente aqueles vinculados à esfera cotidiana (os prático-

utilitários). Assim, para finalizar, é possível definir a abstração como a “capacidade de

concentrar toda atenção em alguma atividade”; isto, já que a mesma relaciona-se com

as objetivações para-si – presentes em maior ênfase nas esferas não-cotidianas (por

exemplo, na escola). Não que na vida cotidiana os indivíduos não abstraiam; só que aí

este processo é realizado de modo não intencional, pragmático e difuso; portanto, uma

abstração ‘de menor grau’.

II. 6 - Qual o Papel da Escola para a Pedagogia Histórico Crítica?

Os itens anteriores, fundamentados em pesquisas científicas correlatas às

temáticas enunciadas na introdução, indicam (indiretamente) que, a escola cumpre o seu

papel quando: “Permite ao aluno apropriar-se das objetivações para-si (mediado

inicialmente por um processo de superação por incorporação das ‘em-si’), fazendo

com que este atinja sua máxima humanização, gerando assim novos

carecimentos/necessidades que impliquem em novas objetivações”. Em se tratando do

ensino de matemática (foco desta pesquisa), a função da escola é oferecer ao aluno a

possibilidade do seu vir-a-ser, ou seja, fazer com que este se aproprie da matemática

abstrata (aprenda as objetivações para-si, sendo estas provenientes das abstrações das

abstrações), para assim superar por incorporação a matemática do cotidiano.

Duarte (1993), expôs o seguinte:

(...) a prática pedagógica não pode ser concebida apenas enquanto aquela que possibilita ao indivíduo o acesso àquilo que das objetivações genéricas apresente como imediatamente relacionado aos carecimentos já apropriados pela individualidade, mas sim, enquanto

²³´µANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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aquela que, ao mediar a relação do indivíduo com as objetivações genéricas, gere o carecimento cada vez maior de apropriação dessas objetivações. (p. 190, grifo nosso)

Newton Duarte, a partir desta citação, apontou que a prática pedagógica não deve

oferecer ao aluno a apropriação das objetivações em-si (ou seja, as que estão

imediatamente relacionadas com a esfera da vida cotidiana), mas a partir delas, gerar

nos alunos novas necessidades/estímulos para aprenderem as objetivações que fujam da

realidade imediata (ou seja, as para-si).

Dermeval Saviani, um dos precursores (ou o precursor) da PHC, elaborou

reflexões oportunas sobre a prática pedagógica. Segundo ele, o trabalho educativo

constitui-se o:

(...) ato de produzir, direta e intencionalmente, em cada indivíduo singular, a humanidade que é produzida histórica e coletivamente pelo conjunto dos homens. (SAVIANI, 2003, p. 7, grifo nosso)

Devida tal intencionalidade, sublinhada acima, há necessidade de estabelecimento

de objetivos educacionais, pois a formulação dos mesmos permitem a

sistematização/organização do trabalho educativo. Sobre isto, tal autor salientou que os

objetivos da educação deviam/devam visar a:

(...) identificação dos elementos culturais que precisam ser assimilados pelos indivíduos da espécie humana para que eles se tornem humanos e, (...) concomitantemente, a descoberta das formas mais adequadas para atingir esse objetivo. (SAVIANI, 2003, p. 13, grifo nosso).

Estes “elementos culturais” são garantidos na escola através da apropriação dos

conteúdos clássicos. Conforme Saviani (2003):

O clássico é aquilo que se firmou como fundamental, como essencial. O clássico não se confunde com o tradicional e também não se opõe, necessariamente, ao moderno e muito menos ao atual. (p. 13, grifo nosso)

Assim, o clássico refere-se às máximas objetivações que se tornaram

fundamentais à plena humanização do indivíduo, ou seja, permitindo a constituição do

homem inteiramente. Ao falar de conteúdos, remete-se a questão do saber escolar;

logo, defini-los torna-se necessário:

¶·¸¹ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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(...) o saber escolar pressupõe a existência do saber objetivo (e universal). Aliás, o que se convencionam chamar de saber escolar não é outra coisa senão a organização seqüencial e gradativa do saber objetivo disponível numa etapa histórica determinada para efeito de sua transmissão-assimilação ao longo do processo de escolarização”. (SAVIANI, 2003, p. 62, grifo nosso)

Sobre os conteúdos escolares, segundo Giardinetto (2007):

A escola é o espaço próprio em que se realiza o processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos das ciências bem como promover a sensibilidade artística, a postura filosófica, a análise política, etc, a partir de atividades intencionalmente dirigidas pelo professor.(GIARDINETTO, 2007, p. 3, grifo nosso)

Conforme a citação é justamente a escola o espaço destinado ao ensino da

matemática, mas não qualquer manifestação da matemática, e sim aquela que se

constituiu como um saber universal, histórico e sistematizado (fruto das abstrações das

abstrações).

Deste modo, as argumentações expostas neste tópico indicaram os

apontamentos/considerações da Pedagogia Histórico-Crítica à escola, ou seja, uma

instituição social responsável pela formação de indivíduos autônomos, “conscientes

para-si” de seus papéis frente à sociedade.

II. 7 - Quais Fatores/Ideologias Externas que Promovem/Defendem o Ensino de

Conteúdos Matemáticos Prático-Utilitários em Detrimento dos Provenientes de

Sucessivas Abstrações?

Em síntese, os fatores que defendem o exclusivo ensino de conteúdos

matemáticos prático-utilitários (as objetivações em-si do cotidiano) operam sobre a

lógica da alienação. A alienação priva o indivíduo de se constituir enquanto homem

inteiramente, já que este processo não permite ao mesmo apropriar-se das objetivações

para-si. Como apontou Leontiev (1978):

O processo de alienação económica, produto do desenvolvimento da divisão social do trabalho e das relações de sociedade privada, não tem portanto por única conseqüência afastar as massas da cultura intelectual, mas também dividir esta em elementos de duas categorias,umas progressistas, democráticas, servindo o desenvolvimento da humanidade, e as outras que levantam obstáculos a este progresso, se penetram nas massas, e que forneçam o conteúdo da cultura declinante das classes reaccionárias da sociedade. (p. 276, grifo nosso)

º»¼½ANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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Uma das maneiras de não permitir ao indivíduo apropriar-se do pensamento

abstrato, foi à propagação proposital dos slogans (dito como construtivistas) tais como:

aprender a aprender, ensinar somente visando a necessidade/interesse do aluno. Como

não cabe a esse artigo discutir as proposições construtivistas, de modo breve, ressalta-se

que nem todas as abordagens construtivistas operam sobre essa lógica prático-

utilitarista. Uma delas são as propostas educacionais decorrentes da Epistemologia

Genética de Jean Piaget, já que, interpretada de modo ‘profundo’ (ou seja, utilizando a

consciência para-si) defende um ensino que leve ao aluno à construção das operações

lógico-formais, ou seja, do pensamento hipotético-dedutivo.

Assim, a redução da escola ao cotidiano (desconstituindo-a de seu papel na

sociedade) é decorrente da tentativa de dominação das classes burguesas sobre os

proletários (dominados), como bem pontuou Karl Marx. Logo, nós professores – e de

matemática – devemos lutar contra a propagação destes slogans reducionistas,

oportunizando aos nossos alunos a apropriação das objetivações para-si.

III. Conclusão

Por meio das considerações realizadas no Desenvolvimento, acredita-se ter

justificado/defendido a hipótese salientada na Introdução. Ou seja, a escola é o local

destinado à aprendizagem de conteúdos escolares sistematizados que contribuam à

máxima humanização do indivíduo através da apropriação das objetivações para-si [da

matemática proveniente das abstrações das abstrações]. Logo, a questão: “Professor,

porque preciso aprender isso, se não vou usar na vida?” deve ser superada por

incorporação, no qual o professor mostre aos alunos [e a si mesmo] a importância de

construir FPS que vão além da lógica prática-utilitária presente na esfera cotidiana. Se à

escola fosse dado o papel de reproduzir o cotidiano, estar-se-ia perdendo tempo e

dinheiro público, pois para isso viver o dia-a-dia (de modo espontâneo, assistemático) já

seria suficiente!

Com o intuito de oferecer ao leitor futuras reflexões sobre o assunto em pauta, a

citação abaixo torna-se válida:

(...) contra uma educação centrada na cultura presente no cotidiano imediato dos alunos que se constitui, na maioria dos casos, em resultado da alienante cultura de massas, devemos lutar por uma educação que amplie os horizontes culturais desses alunos, contra uma

¾¿ÀÁANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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educação voltada para a satisfação das necessidades imediatas e pragmáticas imposta pelo cotidiano alienado dos alunos, devemos lutar por uma educação que produza nesses alunos necessidades de nível superior, necessidades que apontem para um efetivo desenvolvimento da individualidade como um todo; contra uma educação apoiada em concepções de conhecimento humano como algo particularizado, fragmentado, subjetivo, relativo e parcial que, no limite, negam a possibilidade de um conhecimento objetivo e eliminam de seu vocabulário a palavra verdade, devemos lutar por uma educação que transmita aqueles conhecimentos que, tendo sido produzidos por seres humanos concretos em momentos históricos específicos, alcançaram validade universal e, dessa forma, tornam-se mediadores indispensáveis na compreensão da realidade social e natural o mais objetivamente que for possível no estágio histórico no qual encontra-se atualmente o gênero humano. (DUARTE, 2000, p. 10)

Enfim, a sociedade, e nós professores em especial, devemos lutar por uma

educação que transforme a consciência em-si dos alunos em consciência para-si. Que

este processo faça-se mediado pela superação por incorporação, preconizando a

formação de indivíduos ‘inteiramente’ libertos do processo alienador que atualmente

domina a nossa sociedade.

Referências

DUARTE, N. A individualidade para-si: contribuição a uma teoria histórico-social da formação do indivíduo. Campinas: Autores Associados, 1993. (Coleção Educação Contemporânea).

DUARTE, N. Vigotski e o “aprender a aprender”. São Paulo: Autores Associados, 2000.

FACCI, M. G. D. O trabalho do professor na perspectiva vigotskiana. In: Valorização ou esvaziamento do trabalho do professor?: um estudo crítico-comparativo da teoria do professor reflexivo, do construtivismo e da psicologia vigotskiana. Campinas, SP: Autores Associados, 2004, p. 195-250.

GIARDINETTO, J. R. B. Matemática Escolar e Matemática da Vida Cotidiana.Campinas: Autores Associado, 1999. (Coleção Polêmicas do Nosso Tempo, nº. 65).

GIARDINETTO, J. R. B. Reflexões de Jean-Claude Forquin sobre as concepções relativista e universalista do conhecimento: provocações para um debate da questão cultural na educação matemática. In: Anais do IX Encontro Nacional de Educação Matemática, Belo Horizonte, Minas Gerais (IX ENEM), 2007.

ÂÃÄÅANO, R. S. Por que é importante ensinar conteúdos matemáticos provenientes de abstrações das abstrações? Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

14

LEONTIEV, A. “O homem e a cultura”. In: O desenvolvimento do psiquismo. Lisboa: Livros Horizonte, 1978, p. 261-277.

MARKUS, G. Marxismo y Antropologia. Barcelona: Grijalbo, 1974.

SAVIANI, D. “Educação e pós-modernidade”. In: Educação e questões da atualidade.São Paulo: Tatu, Cortez Editora, 1991, p. 17-40.

SAVIANI, D. Pedagogia Histórico-crítica. São Paulo: Cortez/Autores Associados, 2003. (Coleção Educação Contemporânea).

ÆÇÈÉÊÆË ÆÌ ÇÌ Í ÎÏÐÐÊË ÆÌ ÏÌ ÐÌ ÑÒÓÔÕÖ×ØÒ ÙÍ ÚÛÓÍÜÙizagem: experiências narradas no ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)


PORTFOLIO DE APRENDIZAGEM: EXPERIÊNCIAS NARRADAS NO

CIBERESPAÇO

Suelen Assunção SANTOS – UFRGS ([email protected]Ý

Samuel Edmundo López BELLO – UFRGS ([email protected]Ý

Resumo: Este trabalho tem como objetivo apresentar algumas reflexões acerca do meu projeto de pesquisa de mestrado intitulado: “Experiências Narradas no Ciberespaço: Um olhar para a educação matemática na EAD', o qual vem sendo desenvolvido no Programa de Pós Graduação em Educação da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (PPGEDU/UFRGS). O referido trabalho tem o objetivo de, a partir de uma perspectiva pós-estruturalista, analisar a experiência com as tecnologias da informação e comunicação (TIC's) na fabricação de múltiplas possibilidades de sujeitos pedagógicos, no caso docentes que ensinam matemática, a partir do instrumento de auto-narração denominado Portfólio de Aprendizagem do curso de Pedagogia, no Programa de Educação a Distância (PEAD), da UFRGS. As diferentes identidades de ser professor, principalmente àquelas vinculadas à constituição do sujeito como efeito do discurso da matemática e de seu ensino serão analisadas sob à luz das teorizações sobre as tecnologias do eu vinculadas à estudos de Foucault e Larrosa. As narrativas a serem problematizadas referem-se àquelas produzidas na disciplina de “Representações do Mundo pela Matemática”, ativa no quarto semestre do curso de pedagogia a distância (2008/01). O discurso pedagógico que orienta esta disciplina, assim como o PEAD, é o discurso da pedagogia crítica fundamentados, principalmente, em Piaget e Freire. A análise preliminar do material empírico mostrou que, ao serem “convidadas” à narrar-se – por meio de descrições/relatos de aprendizagens no portfólio de aprendizagem – os sujeitos pedagógicos [no caso, docentes que ensinam matemática] aprendem o que significa o jogo de linguagem e como jogá-lo legitimamente.

Palavras-Chave: Educação Matemática a Distância, Tecnologias do Eu, Sujeitos Pedagógicos

PEAD – Pedagogia a Distância

A licenciatura em Pedagogia, na modalidade a distância, foi especialmente criada

para formar professores em exercício que atuam nas Séries Iniciais do Ensino

Fundamental e na Educação Infantil. A FACED/UFRGS, neste sentido,

dispõe-se a implementar sua primeira experiência de formação acadêmica inicial em nível de graduação de professores se valendo,

ÞßàáâÞã Þä ßä å æçèèâã Þä çä èä éêëìíîïðê ñå òóëåôñizagem: experiências narradas no 2ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

para isso, do ensino a distância, qual seja, o Curso de Pedagogia: Licenciatura para os Anos Iniciais no Ensino Fundamental, oferecidos a docentes em exercício nas escolas públicas. (NEVADO, 2007, p. 18)

O curso é desenvolvido em oito eixos temáticos, sendo que cada eixo ocorre em

um semestre acadêmico. “Dentro de um eixo, que tem um grande tema norteador, as

atividades se desdobram em interdisciplinas.” (NEVADO, 2007, p. 20) A proposta do

curso é que as várias interdisciplinas que compõem os semestres prevejam atividades

integradas e atividades específicas.

A questão da interdisciplinaridade, conceitualmente inacabada e longe de ser

evidente, apresenta-se - em algumas análises – como um mito, visto ser cheia de

obstáculos. “A própria história das ciências evidencia que cada disciplina, uma vez

emancipada da filosofia, subdivide-se em setores autônomos, constituindo uma

linguagem própria, que encerra o conhecimento num espaço fechado sem comunicação

com outras linguagens (obstáculo epistemológico). Tal separação do saber é consagrada

pelas instituições de ensino e pesquisa (obstáculo institucional) que criam uma

multiplicidade de compartimentos estanques cada vez mais restritos, fomentando a

concorrência e conflitos de poder que esterilizam o avanço da produção científica

(obstáculo sociológico). A separação rígida das disciplinas é, ainda, agravada pelas

diferenças culturais e legitimadas por determinadas correntes filosóficas”(p. 6). O nível

de explicação acima nos permite entender que as tentativas de integração entre

diferentes disciplinas “esbarram-se em dificuldades inerentes à própria constituição das

ciências e das relações burocráticas de poder, agravadas pelos obstáculos psicossociais e

culturais, além das exigências metodológicas, pedagógicas e materiais. Tal explicação,

mesmo sendo contundente e esclarecedora como constatação dos problemas inerentes à

implantação de um trabalho interdisciplinar, pouco contribuem para sua solução, pois

constata-se como causa do fracasso da proposta interdisciplinar os próprios obstáculos

que esta pretende superar” (FLEURI, 1993, p. 8).

Para fortalecer a intenção da interdisciplinaridade e, desta forma, o

entrelaçamento entre as interdisciplinas, desenvolve-se, em cada semestre letivo, o

Seminário Integrador de eixo. Este, por sua vez, ocorrerá dentro da seguinte dinâmica:

haverá um momento presencial para apresentação e discussão das atividades integradoras, bem como oficinas de apropriação

õö÷øùõú õû öû ü ýþÿÿùú õû þû ÿû S�� ü ��ü�izagem: experiências narradas no 3ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

tecnológica e outras atividades planejadas pelo coletivo do eixo; atividades desenvolvidas a distância, através de ambiente virtual e videoconferência, em continuidade às proposições do momento presencial; um momento presencial final para o fechamento das atividades do eixo, incluindo a discussão do portfolio de aprendizagens do semestre (NEVADO, 2007, p.22)

Para atender a demanda do curso, o PEAD disponibiliza, em cinco pólos fora de

Porto Alegre – Pólo de Gravataí, Alvorada, São Leopoldo, Três Cachoeiras e Sapiranga

– salas informatizadas, acervo bibliográfico e materiais didáticos que, na realidade do

curso, são exclusivamente digitais. A cada pólo foram atribuídas 80 vagas para alunos-

professores (O PEAD adotou a denominação “alunos-professores” para dar evidência ao

exercício de docência que estes alunos estão inseridos), no entanto, aconteceram

algumas desistências e, atualmente, o número se reduziu um pouco.

O desenvolvimento dos materiais pedagógicos – que devem ser materiais

interativos na web – em todos os eixos da matriz curricular foi orientado para

“promover situações de aprendizagem interativas, utilizando-se criativamente das

TIC's.” (NEVADO, 2007, p. 24) Este material é produzido por professores do curso de

pedagogia, voluntários e técnicos.

O material pedagógico é virtualmente disponibilizado em ambientes virtuais

adotados pelo PEAD e, nestes, encontram-se textos de estudos, atividades a serem

realizadas pelos alunos-professores, assim como “local” de publicação e prazo final

para postagem das atividades.

Os alunos-professores também disponibilizam suas tarefas/atividades em

ambientes virtuais previamente especificados pela interdisciplina.

O ambiente virtual oficial do curso é o ambiente ROODA

(http://www.ead.ufrgs.br/rooda) ��ü �� ü�ü �� ü�ü �ü

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Os ambientes escolhidos como complementação ou “agregados” ao Rooda tem

um fator de grande importância no PEAD: são públicos e gratuitos, ao contrário do

Rooda. Assim, esses ambientes poderão ser utilizados, pelos alunos-professores do

�� !!�� !� "#$%&'(*# +� ,-$�.+izagem: experiências narradas no 4ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Pead, com os seus alunos de 1ª a 4ª séries como alternativas de trabalho docente diário.

Em nível de interação com os alunos, o Pead disponibiliza tutores e professores.

Dentro da categoria tutores existem os tutores de pólo e tutores de sede. Os primeiros

realizam o atendimento aos alunos-professores nos pólos, ou ainda, no âmbito

presencial. Os segundos atuam no âmbito virtual, por meio dos ambientes virtuais de

aprendizagem, nas interdisciplinas específicas [ou não] da sua área de formação inicial.

O tutor de sede “deve facilitar e acompanhar o acesso dos estudantes aos enfoques

temáticos e às atividades relacionadas.” (GUIA DO TUTOR, 2006, p. 27). Realizam,

desta forma, intervenções diretas nas atividades dos alunos-professores.

Portfólio de Aprendizagem

Eu sou, particularmente, tutora da sede do Pólo de São Leopoldo. A cada novo

semestre/eixo, novas interdisciplinas são oferecidas e, desta forma, novas organizações

de tutoria são efetivadas. Por exemplo: no primeiro e segundo eixos do curso, fiquei

responsável pela interdisciplina Seminário Integrador e, portanto, responsável por

tutoriar as atividades dos alunos-professores nesta especificidade. No terceiro eixo

fiquei responsável por duas interdisciplinas: Seminário Integrador e Artes Visuais. No

quarto e atual eixo, sou responsável pela interdisciplina “Representações do Mundo pela

Matemática”.

A organização e escolhas das interdisciplinas oferecidas em cada eixo, pelo tutor

de sede e pela equipe do PEAD, se estabelece por meio do seguinte critério:

proximidade da temática com a formação do tutor. Para melhor entendimento do meu

leitor, disponibilizo minha formação acadêmica: Graduada em Matemática Licenciatura,

Mestranda em Educação e estou cursando a Especialização em tutoria em Ead, todos

pela UFRGS.

No terceiro eixo do curso o Seminário Integrador propôs uma atividade que

permeará todo processo educacional: O Portfólio de Aprendizagens. Essa atividade do

Portfólio de Aprendizagem está como foco central do eixo e continuará como tal até o

final do curso. Nesse material deverão ser produzidos relatos de aprendizagens que

contenham evidências e argumentos sustentáveis. A idéia de argumento e evidência foi

explorada a partir do filme Doze Homens e Uma Sentença (DOZE HOMENS E UMA

/0123/4 /5 05 6 789934 /5 85 95 :;<=>?@A; B6 CD<6EBizagem: experiências narradas no 5ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

SENTENÇA. Direção: Sidney Lumet . Produção: Henry Fonda; Reginald Rose

.Roteiro: Reginald Rose. Intérpretes: Henry Fonda; Lee J. Cobb, Ed. Begley; Jack

Klugman e outros. [EUA, Orion-Nova], 1957. 1 cd (96 min)). Após a tarefa inicial de

assistir o filme, os alunos-professores do PEAD foram divididas em pequenos grupos

para discutir – no Fórum do Rooda – sobre o que é argumento e evidência.

Assim, o Portfólio de Aprendizagens constitui-se por um documento que deverá

ser construído por meio do acúmulo de descrições das aprendizagens dos alunos. Essas

descrições devem contemplar as noções de evidência e argumentação para que, assim,

não se tornem superficiais. Foi decidido pelo PEAD que o Portfólio de Aprendizagem

seria construído por meio de um blog (página na web), visto que este tipo de ambiente é

público e gratuito, e ainda possibilita a interação por meio de comentários. Desta forma,

semanalmente, os alunos devem registrar um relato de aprendizagem “significativa” e,

ao longo do semestre, os relatos de aprendizagens devem contemplar todas as

interdisciplinas do eixo.

As intervenções dos tutores – tutores do Seminário Integrador - , em relação às

postagens nos Portfólios de Aprendizagem, seguem três âmbitos ou critério para

análise: 1) a relação entre a prática pedagógica e o que a aluna aprende no curso; 2)

tecnologias da informação e comunicação; 3) Linguagens e Integração das

Aprendizagens – interdisciplinaridade.

FC@6 GC@A6E=C< HI64 G6JIEB; 16KCB; LMNNOP Q ;<JCEARCB;<C B; :6CB Q

este curso vem reforçar não só a importância atribuída à articulação dos componentes curriculares entre si [...], mas também sua ligação com as experiências docentes, ou seja, com a prática pedagógica realizada nas escolas e classes onde os professores-alunos desenvolvem a docência. (p. 21)

T6G=C >;<UC4 ;G ;VW6=AK;G4 ;I CAEBC4 CG AE=6EXY6G Bo curso são reforçados pela

D<;D;G=C B; D;<=>?@A;4 CGGAU p;U; D6@CG AE=6<K6EXY6G BA<6=CG 6 AEBA<6=CG B;G tutores de

G6B64 B6 D?@;4 D<;>6GG;<6G 6 p;;<B6ECB;<6G5

8 6G=CG AE=6EXY6G 6 ;VW6=AK;G B6AZC<[; UC<pCG Q K6G=\JA;G Q EC p;EG=A=IAX[; B;

GIW6A=; D6BCJ?JAp; HI6 6EGAEC UC=6Us=ApC4 KAG=; HI6 este está imerso e enredado pelo

:80T 6U GIC 6ZD6<A]EpAC B6 >;<UCX[;^ T6 HI6 U;B; D;demos, então, esboçar outras

AE=6EXY6G 64 B6G=C >;<UC4 D<;BIRA< ;I=<CG D;GGAVA@Adades de identidades docentes a partir

_`abc_d _e `e f ghiicd _e he ie jklmnoqrk tf uvlfwtizagem: experiências narradas no 6ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

tu vlxmryu vftuzozryu f{mu|fqfyrtu wk vklmnoqrk tf uvlfwtrzagem?

}~�� ~ ��~��

julu ��fl� k vklmnoqrk tf uvlfwtr�uzf� f uwuqr{x�qk, coloco uma lente teórica

��rmk f{vfy�nryu� qfwmf vo{�f{ml�m�luqr{mue `{{r�d o sentido que estou dando para ele é

uvfwu{ ��u vk{{r|rqrtutf tfwmlf muwmk{ kq�ulf{ vk{{��fr{e

iullk{ud f� {f�{ f{m�tk{ {k|lf u{ mfywkqkzru{ tk f�, analisou práticas

vftuzozryu{ wk{ ��ur{ k{ rwtr��t�k{ {�k �ykw�rtutk{” a elaborar uma relação

�lfnqf�r�u� ykw{rzk �f{�k{e `nrl�u ��f mur{ vlxmryus são consideradas em seu estudo

�r{mk ��f zuluwmf� vlkt��rl f mluw{nkl�ul u f�vflr�ncia que as pessoas têm de si

�f{�u{e �fwmlf fqu{d u�qu{ tf ft�yu��k �kluqd u�qu de educação de adultos, encontros

tf nkl�u��k tf vlknf{{klf{e

c ykw��wmk tf vlxmryu{ vftuzozryu{ f{ykq�rtu{ vkl iarrosa assumem um fator

yk�� k r�vklmuwmf w�k � ��f {f uvlfwtu uqzk �f�merior', um corpo de conhecimentos,

�u{ ��f {f fqu|klf k� lffqu|klf uqz��u nkl�u tf lfqação reflexiva do “educando”

ykw{rzk �f{�ke� �i` c_`d ¡¢¢£d ve ¤ ¥¦

`{ mfklr�u�§f{ {k|lf u{ mfywkqkzru{ tk f� {�k ykw{rderadas por Larrosa visto que

k �f{�k vlfmfwtf ��k{mlul u qozryu zfluq tk{ tr{vk{rmr�k{ vftuzozryk{ ��f ykw{mroem

f �ftfru� u lfqu��k tk {��frmk ykw{rzk �f{�k� �¨|rtem, p. 36). A “história do eu

yk�k {��frmk ©eeeª � u �r{molru tu{ mfywkqkzru{ ��f produzem a experiência de si.”

�¨|rtf�d ve «¥¦ �f{mu nkl�ud k {��frmkd {�u �r{molra e sua constituição seriam

rw{fvulx�fr{ tu{ mfywkqkzru{ tk f�e

¬k�yu�qm �¡¢¢¦ tfnrwf u{ mfywkqkzru{ tk f� yk�k u��fqu{ vlxmryu{

®¯° ±°²³´µ°¶ · ¸¹º ´¶»´¼´»¯¹º °½°¾µ¯·²¿ ±¹² ¾¯°¶µ· propia o con la ·À¯»· »° ¹µ²¹º¿ ¾´°²µ¹ ¶Á³°²¹ »° ¹±°²·¾´¹¶°º º¹Â²° su cuerpo y su ·¸³·¿ ±°¶º·³´°¶µ¹º¿ ¾¹¶»¯¾µ·¿ ¹ ¾¯·¸®¯´°² ½¹²³· »° ser, obteniendo ·ºÃ ¯³· µ²·¶º½¹²³·¾´¹¶ »° ºÃ ³°º³¹º ¾¹¶ °¸ ½´¶ »° ·lcanzar cierto °ºµ·»¹ »° ½°¸´¾´»·»¿ ±¯²°Ä·¿ º·Â´»¯²´· ¹ ´¶³¹²µ·¸´»ad. (p. 48)

c� urwtud mfywkqkzru{ yk�k

±²¹¾°»´³°¶µ¹º¿ µ·¸ ¾¹³¹ °Å´ºµ°³ º°³ »Á¼´»· °³ ®¯·¸®uer civilização, ®¯° ºÆ¹ ±²¹±¹ºµ¹º ¹¯ ±²°º¾²´µ¹º ·¹º ´¶»´¼Ã»¯¹º ±·²· fixar sua ´»°¶µ´»·»°¿ ³·¶µÇÈ¸· ¹¯ µ²·¶º½¹²³ÉÈ¸· °³ ½¯¶ÊÆ¹ »° um certo número »° ½´¶º¿ ° Ë²·Ê·º · ²°¸·ÊÌ°º »° ·¯µ¹»¹³Ã¶´¹ Ímaitrise de soi sur soi) ou »° ·¯µ¹¾¹¶Î°¾´³°¶µ¹ Íconnaissance de soi par soi). (FOUCAULT,

ÏÐÑÒÓÏÔ ÏÕ ÐÕ Ö ×ØÙÙÓÔ ÏÕ ØÕ ÙÕ ÚÛÜÝÞßàáÛ âÖ ãäÜÖåâizagem: experiências narradas no 7ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

æçèçé êëìí îïððñòïé æççóé ëô õö÷

ÐøøáùÔ úÛåøáâÖÜãÜÖá Ûø äÛÜÝÞßàáÛø âÖ ãäÜÖåâáûãüÖåø como uma prática pedagógica

ýþÖ úÛåøÝÜßá Ö ùÖâÖáã ã ÜÖàãÿqÛ âÛ øþ�ÖáÝÛ úÛåøáüÛ mesmo, ou seja, como uma

ÝÖúåÛàÛüáã âÛ Öþ ýþÖ áåúáÝã Û åãÜÜãÜtøÖÔ �þàüãÜtøÖÔ dominar-se, decifrar-se, observar-se.

ÏÖüþåâÛ ÙãÜÜÛøã S��Ô �Û øþ�ÖáÝÛ úÛåøÝáÝþátøÖ åÛ que é por meio das práticas

äÖâãüßüáúãø ÖpÛþ ÝÖÜãä�þÝáúãøÕ� SäÕ �� ØÔ øÖ ýþÖÜÛ analisar a constituição do sujeito

äÖâãüßüáúÛÔ åÛ úãøÛ âÛúÖåÝÖø ýþÖ Öåøáåãù ùãÝÖùÝáúã, cabe a mim analisar as práticas

äÖâãüßüáúãø Ö ùÖúãåáøùÛø ýþÖ úÛåøÝÜÛÖù øþãø áâÖåÝáâades docentes e constituem sua

øþs�ÖÝááâãâÖÕ

Ó äÛÜÝÞßàáÛÔ âÖøÝã ÞÛÜùãÔ åqÛ øÖÜ úÛåøáâÖÜãâÛ úÛùÛ um mero espaço de

äÛøøásáàáâãâÖøÔ úÛùÛ þù ùÖÜÛ ÖøäãÿÛ ùÖâáãâÛÜ åÛø ýþais as pessoas encontram os

ÜÖúþÜøÛø äãÜã Û äàÖåÛ âÖøÖåÛàáùÖåÝÛ âÖ øþã ãþÝÛúÛnsciência e sua autodeterminação.

Ó äÛÜÝÞßàáÛ øÖÜ úÛåøáâÖÜãâÛ úÛùÛ þù ùÖúãåáøùÛ âÖ ärodução da experiência que os

âÛúÖåÝÖø Ý�ù âÖ øá ùÖøùÛøÔ åãø ýþãáø øÖ �ÖøÝãsÖàÖúÖm, se regulam e se modificam as

ÜÖàãÿrÖø âÛ øþ�ÖáÝÛ úÛåøáüÛ ùÖøùÛ Ö åãø ýþãáø øÖ úÛnstitui a experiência de si” (Ibidem,

äÕ �� Ó äÛÜÝÞßàáÛ øÖÜ úÛåøáâÖÜãâÛ úÛùÛ þù ùÖúãåáømo que produz pessoas, seus

ùÛâÛø âÖ äÖåøãÜÔ âÖ ãüáÜÔ âÖ øÖÜ äÜÛÞÖøøÛÜÖø m åÛ úaso de minha pesquisa, professores

ýþÖ Öåøáåãù ùãÝÖùÝáúãÕ ÏÖüþåâÛ ��ãû S��

n�� ì�� ë�íê�� ê í� í��ì�� ë�íêgógico, nem fora í�� ë�� dì� í��n�� ìê� ë�� n�� n��cados. A ��en��ê í� ì� �ì�� ë�íê�� n�� êí� a vontades ou �ní�i�íìê��íêí�� êì� n��ê� � ��i��n�� ìníêí��ê� de suas práticas. ñ �ì�� ë�íê�� n��ìOí�é ! ��êí� � regulado no í��ì�� ë�íê��é ë��ê ��í��é ë��ê� ë�� íiferenças que esse í��ì�� ê"��ô ñ �ì�� ë�íê�� ! ì�ê �ìnção do discurso n� �n�� íê ��ê �é ��n��ë��ên�ê��n��é n� �n�erior de agência de ��n�� cëô æõ÷

Ñã äÖÜøäÖúÝáã âÖ ùáåNã ãåãà�ÝáúãÔ Û øþ�ÖáÝÛ # úÛåøtituído por meio da linguagem.

Ð �áÜãâã� àáåüA�øÝáúã âÖøáüåã Û äÜÖâÛù�åáÛ âã àáåüuagem sobre o pensamento como

þù âÛø Ûs�ÖÝÛø âã áåÖøÝáüãÿqÛ ÞáàÛøßÞáúã Su$%&ÐÙ�ØÙÙ%Ô '��(�Õ ÐøøáùÔ ã àáåüþãüÖù

äãøøã ã øÖÜ úÛåøáâÖÜãâã úÛùÛ úÛåøÝáÝþáâÛÜã âã ÜÖãàáâade na filosofia contemporânea –

âáÞÖÜÖåÝÖùÖåÝÖ âãø ÞáàÛøÛÞáãø âã úÛåøúá�åúáãÕ Ðø äãlavras, desta forma, determinam o

åÛøøÛ äÖåøãùÖåÝÛÔ âÖÝÖÜùáåãù Û ýþÖ ã üÖåÝÖ úÛåøáâÖÜa que somos, “porque não

äÖåøãùÛø úÛù äÖåøãùÖåÝÛøÔ ùãø úÛù äãàãÜãøÕÕÕ� SÙÐ&&ÓÏÐÔ '002, p. 21)

)*+,-). )/ */ 0 1233-. )/ 2/ 3/ 456789:;5 <0 =>60?<izagem: experiências narradas no 8ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Q@=?<5 =8;6B5 C@0 D5B5D >65<@75 <5 <;DE@6D5 F 0 ?G5 autores -, que nosso

>0?D=B0?75 H E5?D7;7@I<5 >56 >=:=J6=D. H >56C@0 5 ?osso pensamento está determinado

>56 0D7=D B0DB=D >=:=J6=D/ +9D KL ?=DE0B5D ?@B B@?<o em que as palavras estão a

B@;75 70B>5 E;6E@:=?<5/ MPDD5 D;R?;8;E= C@0 0D7=B5D sozinhos com nós mesmos,

<0>0?<0?70D <=C@;:5 C@0 >65<@T;B5D D5E;=:UE@:7@6=:Ulingüisticamente.” (VEIGA-NETO;

3-42). VWWX. >/ YZ 4567=?75. >0?D=6 = 60=:;<=<0 >=6a além do nosso entendimento não

8=T D0?7;<5 >=6= 0D7= >06D>0E7;J=. >5;D M?G5 fL >0?samento fora da linguagem, isto é, o

C@0 ?G5 >5<0 D06 <;75 ?G5 >5<0 D06 >0?D=<5[ \P];<0B, p. 5). Veiga-Neto e Lopes (2007)

@7;:;T=B @B= B07L856= B@;75 D@R0D7;J= ?0D70 D0?7;<5: “não há ganchos no céu onde

0?R=?Ef=6Bos” (p. 4). Desta forma, a virada lingüística renuncia a ambição da

76=?DE0?<^?E;= 0 <0D0K= D06 ]0B B=;D B5<0D7= C@0 =D _;:5D58;as da Consciência.

- >56789:;5 <0 =>60?<;T=R0B E=660R= @B <;DE@6D5 >0<agógico que é anterior às

?=66=7;J=D <5D =:@?5D`>6580DD560D/ 4=6= +0J=<5 \VW07), é

um instrumento de auto-avaliação e de avaliação coletiva. Dessa forma, a avaliação incorpora-se ao processo de construção do conhecimento, abandonando o seu caráter controlador, punitivo ou mesmo reforçador e passa a ser um elemento favorecedor das tomadas de consciência. (p. 31)

406E0]0`D0. >567=?75. C@0 = 75B=<= <0 E5?DE;^?E;=. assim como a auto-reflexão

>56 >=670 <5D =:@?5D`>6580DD560D DG5 >6;?EI>;5D ?56teadores do Portfolio de

*>60?<;T=R0B. 0 60856a=<5D. >567=?75. pelas intervenções dos tutores.

2D7= >6L7;E= 0<@E=7;J= =5 ;?E;7=6 5 ?=66=6`D0. 5 60conhecer-se, “transmite também a

0b>06;^?E;= C@0 =D >0DD5=D 7^B <0 D; B0DB=D[ \3*gg-SA, 1994, p. 45) e, assim,

8@?E;5?= E5B5 >570?70 B0E=?;DB5 <0 >65<@aG5 0 60R@:ação das identidades dos

D@K0;75D/ h5?856B0 3=665D=. M5 <;D>5D;7;J5 >0<=R9R;co produz e regula os textos e as

;<0?7;<=<0D[ 0 =DD;B. M= >0DD5= <08;?0 0 0:=]56= = >69>6;= identidade” (ibidem, p. 47)

h5B5 <;D>5D;7;J5 >0<=R9R;E5 E5B>=67;:f5 E5B 5 60806ido autor que seja

MC@=:C@06 :@R=6 ?5 C@=: D0 E5?D7;7@; 5@ D0 76=?D856ma a experiência de si.” (Ibidem, p.

jXZ 46L7;E=D >0<=R9R;E=D C@0 DG5 56;0?7=<=D k E5?D7ituição ou à transformação da

B=?0;6= >0:= C@=: =D >0DD5=D D0 <0DE60J0B. D0 ?=66=B. D0 K@:Ram.

*DD;B. M*7;J;<=<0D E5B5 =70?<06 kD >=:=J6=D. E6;7;Ear as palavras, escolher as

>=:=J6=D. E@;<=6 =D >=:=J6=D. ;?J0?7=6 >=:=J6=D. ;Bpor palavra, proibir palavras, etc, não

lovwxly lz oz { |}~~xy lz }z ~z �� { ��{��izagem: experiências narradas no 9ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

�� {� �{��y �� y {�� zem pensar, perceber e sentir.”

�|}~~x� w�o�}�l�v�y ��y �z �� x ��y �� citar os relatos de

��{��{�� {� �{ �� {��zagens), também produz

�{��{��y �{��{��{� { �{��{� �{y ��{ �{ �erem autoconscientes, são

�� {�� { ¡{�� { ��¢z

o ��{�� £ �� ¤¥{��{ �� ¦��{��{� �� {�� { ��

��{�z A auto-narração, segundo Larrosa (1994), “não é o lugar onde a

��¤¥{��{ {��§ �{��y �� {�� { � ��¥{�� { constitui nas próprias

�{�� { �¨{ �§ �� {��{ { �¨{ impõe uma direção” (p. 72) É a

��¤¥{��{ �{ {��§ �{ �� £� �{ �{canismos de narrações. “É contando

�� próprias histórias, o que nos acontece e o sentido que damos ao que nos

��{�{y �{ �� {��{ �� {�po” (ibidem, p.68)

©ª«¬®¯°¬« ±«²ª«³´ ³µ¶¯²«³ ·¶¬¸¹º¹¯»«³

¼½½½¾¿ ÀÁÂÃÄÅÂ¿ Æ Ã¿ÇÀÁÈÉ¿ ÀÊ Ë¿ÂÂÁÌÁÍÁÀÎÀÊ ÏÎÇÏ¿ Ào mundo de coisas ÐÄÎÇÏ¿ ÀÎ Ã¿ÇÂÏÁÏÄÁÈÉ¿ ÀÊ ÄÑ ÒÎÍÎÇÏÊ ÂÁÇÓÄÍÎÅ ¼½½½¾ (LARROSA, 1994, Ë½ ÔÔÕ

o ��{�� {�� Ö�� }o× �� {�{�� ¦

��{� �� ¦��{��{�z ��{�� {� �{ �� {�� { definem as

teorias críticas do currículo são: “ideologia, reprodução cultural e social, poder, classe

social, capitalismo, relações sociais de produção, conscientização, emancipação e

��¤{��y ��Ö�� y �{��Ø��z¢ �l�~�oy ��0, p. 17). Por meio do portfólio de

��{��{�y �{Ù�� { ��{��{� ��{��{� �{��uzem constantemente e

�{��{��{�{��{ {Ù��{��{� ��Ú ¡�� hecimento”, o “sujeito racional”,

� ¡��¥{�� Û��¢y � ¡��¥{�� {��{¢y �� { ¡��{�� {�o”, a

¡�{��{ do aluno”, etc. Sensos comuns que, provavelmente, estão circulando há

�£��z

o� ��{� �� {y ��¤ �� {��{�� consciência, são textos que

{Ù��{�� {��{ �� ¥{��y �{� �� {flexivo e consciente de se ver, para

{�� Ü��¦{��Ý �� { {�{�� scurso pedagógico psicológico do

�}o× { �{ �� { �� ¤ �� linguagens. O que os

ÞßàáâÞã Þä ßä å æçèèâã Þä çä èä éêëìíîïðê ñò óôõòöñizagem: experiências narradas no 10ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

ôõ÷íòøø÷õòø íùúòõóû óïù üí÷ù óôõòöñòõ ó ýòõþøò ò ó ñùúòõþøò òû íÿöção dos critérios

ö÷õûóìùý÷ø ôõîôõù÷ø ñó ôòñón÷nùó òû �ÿ�ó ïînù�ó òøìavam se introduziram.”

(�� ô� � � �ø óïÿö÷øþôõ÷íòøø÷õòø óôõòöñem o que significa o jogo de

ïùönÿónòû ò �÷û÷ �÷nóõ ïònùìùûóûòöìò�

�Aóù�÷� ÿû ò��òõì÷ �ÿò ñòøìó�óû� ñò û÷ñ÷ Aóøìóöìò òxplícito, a relevância dada à

�÷öøìùìÿùc�÷ ñò ÿû øÿ�òùì÷ üóÿì�ö÷û÷�� ÷öø�ùòöìò ò õócional.

Sugeri pra minha filha que conversasse com o professor e colocasse o

que ela pensa, que relatasse que não gosta de decorar, que prefere

entender; quis com isso faze-la entender que ela já pode resolver os

seus problemas, que com certeza a família está presente, mas que

nossas frustrações precisam ser resolvidas , é preciso ter

AUTONOMIA - agir por si, assumir os riscos de suas ações.

Assim será que damos oportunidade para nosso aluno desenvolver

sua autonomia, completar o seu processo passando da Anomia, a

Heteronomia e finalmente nosso objetivo maior a Autonomia.

Com certeza ainda reproduzimos muito do que nossos professores e

sociedade nos incutiu, é preciso muita reflexão e um passo de cada

vez para conseguirmos progredir e transformar o nosso pensamento. (http://peadportfolio156766.blogspot.com/search/label/Matem%C3%A1tica)

Matemática para mim sempre foi um bicho papão. Com esta

interdisciplina passei a gostar de Matemática.

Apesar das muitas atividades semanais elas foram muito importantes

para mim.

As atividades matemáticas propostas ajudaram a desenvolver a

observação, atenção, o raciocínio lógico, com as possibilidades de

classificação, seriação, seqüência, etc

(http://peadportfolio156768.blogspot.com/search/label/Matematica)

Os números têm um papel muito importante em nossa vida e a

Matemática, muito além de ensinar a fazer cálculos, colabora para a

estruturação do pensamento e desenvolve o raciocínio lógico,

habilidades necessárias também em outras áreas do conhecimento

como História, Geografia e Ciências.

(http://peadportfolio164275.blogspot.com/search/label/MATEM%C3%81TICA)

Esta semana pude por em prática algumas das atividades que

desenvolvi para disciplina de matemática.

Foi surpreendente, meus alunos não só adoraram como foram agentes

de muitas construções. As aulas correram e o tempo foi pouco para

tanto envolvimento e entusiasmo.

S��S� S� �� S� �� !"#$%� &� '* �+&izagem: experiências narradas no 11ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

http://peadportfolio156788.blogspot.com/search/label/MATEM%C3%81TICA,

�E-� !�.� '/'%E�� 01� &�2�+.! '2 12' * ��-1*'34� �2 “dar voz ao aluno” para

01�� '..%2� � -�+q�-%2�+!� &� �&1-'+&� .�5' 6'$� %7ado e, desta forma, possibilitar

'* �+&%7'a�+. 82'%. .%a+%"%-'!%6'.9�

Dar voz ao aluno, escutar suas idéias e dúvidas, acolher opiniões e

ansiedades, me parece ser o caminho mais coerente a seguir,

possibilitar assim ao aluno o estabelecimento de novas relações

consigo mesmo, com o outro e com o conhecimento, buscando

garantir uma aprendizagem mais significativa em sala de aula.

(http://peadportfolio164275.blogspot.com/search/label/MATEM%C3%81TICA,

Hoje, felizmente, consigo ver e levar para a sala de aula,

oportunidades de aprendizagem onde o aluno possa interagir, propor,

experimentar e abstrair.

Tenho consciência também que as operações lógico-matemáticas têm

amplitude e não se restringem em somar e ordenar, mas que em uma

atividade pode e deve ser explorada pelos alunos todas as

possibilidades de resolução de uma situação-problema.

Passei a acreditar mais na bagagem dos meus alunos, no potencial

que possuem e aprendi que não sou transmissora de conteúdos

“engessados” e a “dona da verdade”.

(http://peadportfolio156770.blogspot.com/,

�..%2 -�2� �E-� !�. 01� &4� 6%.%/%$%&'&� '� �+.%+� “prazeroso” e lúdico da

2'!�2m!%-'�

A matemática foi sempre um grande desafio pra mim dentro de sala

de aula. Indagações como: "Como meu aluno aprende?"; "Como

desenvolver os conteúdos sem tornar-se massante para meu aluno?",

dentre outros. Essas questões são e sempre estarão presentes

enquanto exercer meu ofício, porém agora lendo os artigos e textos

pedidos vejo o quanto posso fazer para que meu aluno aprenda de

uma forma lúdica e prazerosa pra ele.

(http://peadportfolio164272.blogspot.com/search/label/MATEM%C3%81TICA,

Foi excelente, porque nesta atividade conseguiram visualizar o

"menos, o tirar , o ir embora, o sobrar" de uma forma lúdica e

prazerosa proporcionada pelo computador que atrai total atenção de

todas as crianças. Comprovei mais uma vez que o visul e o concreto

para crianças desta idade são realmente necessários para que

compreendam os processos de adição e subtraçao para depois

:;<=>:? :@ ;@ B CDFF>? :@ D@ F@ GHIJKLMNH OB PQIBROizagem: experiências narradas no 12ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

partirem para os mais complexos, como multiplicação, divisão,

fração, etc. Que o computador é um atrativo para as crianças eu já

sabia, mas neste ano com o Laboratório da escola funcionando

estamos possibilitando que ele seja um aliado valioso na construção

do conhecimento de todos os alunos.(

http://peadportfolio164269.blogspot.com/search/label/Matem%C3%A1tica)

TUVU WXY Z[[\ U]\^_Y`U b ^Y]Y[[dVZ\ WXY ^e[ fV\gY[[oras, esqueçamos

um pouco das regras que aprendemos no curso do magistério e dentro

das próprias escolas que trabalhamos, dando espaço para

interiorizarmos o novo, uma nova aprendizagem, mais flexível e

prazerosa para nós e para nossos alunos.

Sempre procuro inovar meus recursos para aplicação das atividades,

porém na área da matemática, busco, busco, e acabo nos tradicionais

cálculos, as vezes variando um pouco em sua aplicação, um bingo, um

jogo de memória ou outrem.A obrigatoriedade de realizar um

trabalho diferenciado, com quadrinhos em matemática, na atividade

quatro, me levou a refletir sobre o quanto nos acomodamos, apoiadas

nas tradições, em que a matemática tem que se resumir em cálculos, e

mesmo acreditando no poder da atividade interdisciplinar, deixamos

de utilizar recursos maravilhosos no desempenho de nossa prática

por não observarmos seu real valor para a aprendizagem de nossos

alunos.

(http://peadportfolio156760.blogspot.com/search/label/MATEMATICAh

ijk loprk pstrur sov vkvpstk wp xuykruz{p|} pv w~�ktomias como bom/ruim,

oytru�u||uwk�rpskxuwk} xpy�k�skxk} pt� �ut� �krlop as valorações são historicamente

�ks|t~to�wu| p} �krtustk} �u�r~�uwu| �kr rpyuz{p| we saber/poder), mas quero exercitar o

vpo �ps|uvpstk sk |pst~wk wp �k||~�~y~tur ovu kotru formação de sujeito pedagógico

su vkwuy~wuwp u w~|t�s�~u � lop sjk p|tu lop �� w��adas se institui. Para pensar em

�kotru� �krvuzjk} �rk�ks�k �ps|ur k��pt~xuvpstp lop tipo de sujeitos docentes [que

ps|~suv vutpv�t~�u� p|tuvk| loprpswk �rkwo�~r p u�k~uwk| |k� lou~| mecanismos?

�||~v} �kotru|� rpwp| w~|�or|~xu| �p sjk w~|�or|~xus] se formarão, e “outras” palavras e

|~�s~�~�uwk| �uru �ps��pr� k �ps|uvpstk |p �rkwo�~rão, e outros modos de ser

�rk�p||krp| |p �u�r~�ur��

� �krt��y~k wp u�rpsw~�u�pv} u vpo xpr} �kwp |pr vuis produtivo positivivamente

�su �rkwozjk wp |o�p~tk| �pwu��~�k|� louswk} tuyxpz, propor “ensinar que nosso olhar é

tuv��v vu~| y~xrp wk lop �ps|uvk|�� } ��} �� op �kwpvk| �ps|ur

wp kotru vusp~ru u pwo�uzjk} k ps|~sk} u vutpv�t~�u. E, assim, possibilitar falar de

¡¢£¤ ¥ ¦ ¡¦ § ¨©ªª¤¥ ¦ ©¦ ª¦ «¬®¯°±²¬ ³§ ´µ§¶³izagem: experiências narradas no 13ciberespaço Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

¬·®¬ ¸¬³¬¥ ¹·±º´ ³§ ¬·®¬ ¸¬³¬¥ »¬¶³·¼² ´ ¶°½ ¸§½¸¬½ ³e outra maneira.

¾¬¸¬ µ¬µ¬½®´ µ§³´º°º²»´ ³§ ¯¬¸´¿À¬ ³§ ½·¹§²®¬½ µ§dagógicos que ensinam

¸´®§¸Á®²»´¥ µ¬½½²Â²±²®´ µ¬Â±§¸´®²¼´ ´ ±²¶º·´º§¸¥ os sensos comuns, e, porque não, a

µ°µ²´ ¸´®§¸Á®²»´ §½»¬±´¦ ¡½ ®§¬²¼´¿Ã§½ ¶¬ »´¸µ¬ da etnomatemática podem auxiliar

¶´½ ³§½»¬¶½®·¿Ã§½ ³§ ÄÅ§³´³§½Æ ¸´®§¸Á®²»´½ Ç·§ §½tão há muito tempo circulando.

«¬½½²Â²±²®´ µ§¶½´ ´ §³·»´¿À¬ ¸´®§¸Á®²»´ »¬¸ ¬·®´s redes discursivas – que não

½¬¸§¶®§ ÈÇ·§±´½ µ¬µ¬½®´½ µ§±¬ »¬¶½®·®²Å²½¸¬¦

¡ µÁ®²»´ µ§³´º°º²»´ ³¬ «©¡É¥ µ¬³·®¬´ ³§ ½·¹§²®¬½ pedagógicos por meio de

®§»¶¬±¬º²´½ ³¬ §· Ê ¸§»´¶²½¸¬½ ³§ ´·®¬Ë¶´´¿À¬¥ ¶¬ caso, o portfólio de aprendizagem

Ê µ¬³·¼ ®§Ì®¬½ ³§ ²³§¶®²³´³§½ §¥ µ¬®´¶®¬¥ ²³§¶®²³ades docentes que dependerá do

³²½»·½¬ Ç·§ »²»·±´¥ Ç·§ ´ ²¶½®²®·²¦ ¡½½²¸¥ »´Â§ ´ nós (re)pensar o discurso, ou melhor,

Í§Îµ§¶½´ ¬½ ½·¹§²®¬½ µ¬¯§½½¬§½ Ç·§ Ç·§§¸¬½ µ¬³·¼²¦

ÏÐÑÐÒÓÔÕÖ×Ø

¨©ªª¤¥ ´¸·§± ©³¸·¶³¬ ª°µ§¼Ù £Ú¡Û©Ú Ü¢Ü¥ ¾±´²»§ ´±§®§¦ ª§²®·´¥ §scrita e ¬´±²³´³§ »¬¸¬ §Ìµ§²Ý¶»²´ ¶¬ ©¶½²¶¬ Þß³²¬à ¬ Ç·§ ´s metodologias de ensino têm a Å§ »¬¸ ²½½¬á Ü¶¦à «©Ú©ÜÚ¡¥ ¢¦Þ¦Ù âãä©Ú¥ ¢¦¤¦Ù ¨©ªª¤¥ ¦©¦ª¦Ù §® ´±¦ Í¤º½¦Î¦ Ler Ð åØÕÒÐæÐÒ: Compromisso no Ensino Médio. Porto Alegre: Editora da UFRGS e ¢Üç©èçäÚé ¥ êëëì¥ µ¦ íîËïê¦

Éð¡ñ¥ Þ´²¬¦ ä¬·»´·±®¥ ³¬»§¶®§½ § ³²½»·½¬½ µ§³´º°ºicos. In: SILVA, T.T. (Org.) òÖóÐÒô×ôÐØ ÒÐõö÷×ô×Øø a pedagogia construtivista e outras formas de governo do eu. «§®°µ¬±²½à Û¬¼§½¥ ùîîì¥ µ¦ ùíËêî¦

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14

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M@BC@DEF GH BH I MCJKLOCDF BH PH JH QRTUVWXY YZWVXVs de professores de Matemática: indícios da presença da Internet em um curso online. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–10. (ISBN 978-85-98092-07-2)


PRÁTICAS SOCIAIS DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: INDÍCIOS DA

PRESENÇA DA INTERNET EM UM CURSO ONLINE

Carla Regina MARIANO – PPGEM-UNESP, RIO CLARO ([email protected][

Rosana Giaretta Sguerra MISKULIN – IGCE-UNESP, RIO CLARO ([email protected][

Resumo: A escola consiste em um espaço sócio-cultural composta por professores, alunos e demais funcionários no qual práticas sociais são negociadas e influenciam a constituição do ambiente escolar. Assim, as situações vivenciadas pelos diversos atores dentro e fora da escola são de extrema importância para o desenvolvimento do ambiente educacional. Esse fato requer que um olhar cultural seja lançado sobre a escola e, conseqüentemente sobre essas práticas. Este artigo consiste em um excerto de uma pesquisa de Mestrado, intitulada: Indícios da Cultura Docente revelados em um contexto online no processo da Formação de Professores de Matemática e tem como objetivo apontar alguns indícios da presença das TICs, mais especificamente da Internet, nas práticas sociais de professor de Matemática. O ambiente analisado constitui-se em um curso à distância que teve como tema a inserção das Tecnologias da Informação e Comunicação (TICs) na Educação Matemática e que contou com a participação de professores de Matemática de vários estados do Brasil. Dentre as práticas sociais referentes ao uso da Internet e apontadas neste texto estão aquelas relacionadas à busca de materiais didáticos, a utilização de blogs, a utilização da Internet como meio para a aquisição de informações, a utilização da Internet em cursos para a formação continuada, além da utilização da Internet para seu entretenimento. Não só a utilização da Internet, como também outras TICs se mostraram presentes nas falas dos participantes do curso bem como os problemas na utilização dessas em sala de aula.

Palavras-chave: Educação Matemática, Tecnologias, Práticas Sociais.

Introdução

A escola pode ser concebida como o resultado de um confronto de interesses nos

quais, sujeitos com determinado tipo de experiência agem e interferem no cotidiano

escolar levando para a sala de aula distintos pressupostos, conceitos e convicções sobre

a educação. De um lado, segundo Dayrell (1996), encontra-se a organização oficial do

sistema escolar e, de outro, os sujeitos que compõem a escola – alunos, professores e

\]^_]`ab cd ^d f \_ghjk_`b ^d ld gd mnopqrst turqsqs de professores de Matemática: indícios da presença da Internet em um curso online. Anais do IX

2

Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–10. (ISBN 978-85-98092-07-2)

funcionários. A organização oficial é a responsável por definir os conteúdos, as normas

e regras que buscam unificar e delimitar a ação dos sujeitos, os quais, por sua vez, criam

uma trama própria de inter-relações, com alianças, conflitos, imposições de normas e

estratégias individuais e/ou coletivas de transgressão e de acordos. Conceber os sujeitos

que constituem a escola como sujeitos sócio-culturais, torna possível que um olhar

cultural seja lançado sobre o cotidiano escolar, permitindo-nos entender cada indivíduo

como único e complexo.

Esse “olhar” sobre a escola, como o resultado de um “confronto de interesses”,

torna possível também, segundo Dayrell (1996), aprofundar-se na análise do fenômeno

educativo, buscando o que realmente ocorre no cotidiano escolar, bem como a

importância e a influência de cada sujeito que dele faz parte. No entanto, a própria

escola muitas vezes não reconhece os sujeitos enquanto indivíduos que possuem uma

historicidade, com visões de mundo, escalas de valores, sentimentos e hábitos que lhe

são próprios, enfim não os considera enquanto sujeitos sócio-culturais que se

constituem em grupos sociais, com regras e normas, aceitas ou não por eles.

Neste artigo, por entender o professor enquanto um sujeito sócio-cultural, que

vivencia situações que serão posteriormente “levadas” por ele para a sala de aula, busca-

se, dentre suas práticas sociais, aquelas referentes ao uso da Internet como um meio

propício ao compartilhamento de experiências, como um meio propício à busca por

novas ações docentes por meio de materiais didáticos, entre outros recursos, além é

claro da utilização da Internet como um meio para buscar informações ou

entretenimentos.

Essas práticas sociais observadas consistem em um excerto de uma pesquisa de

Mestrado intitulada: Indícios da Cultura Docente revelados em um contexto online

no processo da Formação de Professores de Matemática. Esse estudo teve como

objetivo investigar os indícios da presença das TICs nas práticas sociais de professores

de Matemática por acreditar ser essa uma presença fundamental para a sobrevivência do

docente na sociedade informatizada.

O curso de extensão online intitulado: A Inserção das TICs na Educação

Matemática oferecido para professores de Matemática, atuantes ou que venham a

atuar nos diversos níveis de ensino foi o cenário de investigação da pesquisa supracitada

e o ambiente em que as práticas sociais foram observadas. O curso abordou textos e

vwxzw{|} ~� x� � vz��z{} x� �� s de professores de Matemática: indícios da presença da Internet em um curso online. Anais do IX

3


software matemáticos com o objetivo de oferecer subsídios teórico-metodológicos para

a reflexão sobre as potencialidades e limites da implementação e da disseminação das

TICs no contexto da Educação Matemática.

Mas o que são práticas sociais?

As práticas sociais consistem no conjunto de ações de um determinado grupo de

indivíduo que por persistirem por certo tempo são valorizadas por determinados

segmentos sociais e se realizam com regularidade (MIGUEL, 2004). Assim, as ações

realizadas por trabalhadores rurais no cultivo de determinada espécie agrícola são

práticas culturais desses indivíduos.

Quando se estuda o professor de matemática, suas práticas escolares constituem-

se no âmbito de suas práticas sociais. A maneira como o professor trabalha determinado

conteúdo em sala de aula foi adquirida e desenvolvida durante toda a vida profissional e

pessoal. Enquanto ainda aluno, o docente, ao observar retrospectivamente a atitude de

seus professores, pode espelhar-se nelas como um contra-exemplo ou como exemplo a

ser seguido.

O professor consiste em um sujeito sócio-cultural que vivencia e experiencia

muitas situações dentro e fora da escola e que algumas dessas situações vivenciadas

influenciam o espaço social no qual ele está inserido. As práticas sociais vivenciadas

pelo professor dentro e fora do ambiente escolar se confundem uma vez que ao adentrar

a sala de aula ele continua sendo o mesmo indivíduo com seus pressupostos e

conhecimentos pré-adquiridos.

Fullan e Hargreaves (2000) afirmam que o tornar-se professor está associado “à

sua vida, à sua biografia, ao tipo de pessoa que eles se tornam” (p. 42). Esses mesmos

autores reiteram: “Você não pode compreender o professor ou o ensino sem

compreender a pessoa que o professor é” (FULLAN; HARGREAVES, 2000, p. 42).

Apoiando-se nesses autores buscou-se, a partir de pistas (Na referida pesquisa o

conceito de pistas, indícios foi utilizado de acordo com o Paradigma Indiciário

(GINZBURG, 1990), esse paradigma se baseia em sinais ou indícios que são

imperceptíveis para a maioria dos indivíduos, mas que não escapam a um exame

cuidadoso de um indivíduo atento) deixadas por professores de matemática em um

ambiente online, aspectos referentes à utilização da Internet na Educação.

�� ¡¢£¤¥ ¥¦£¢¤¢s de professores de Matemática: indícios da presença da Internet em um curso online. Anais do IX

4


Essas pistas foram deixadas no ambiente online no qual o curso estava inserido;

era composto por Fóruns de Discussão, Portfólios, Bate-Papos, entre outras

ferramentas que se tornaram um local propício ao compartilhamento de experiências e

conhecimentos. Assim, as pistas foram deixadas nessas ferramentas, evidenciadas e

analisadas posteriormente. Além do ambiente, o Questionário (Inicial e Final) enviado

aos participantes do curso também fez parte do objeto de análise, desta pesquisa.

As pistas deixadas...

Umas das práticas sociais reveladas nas falas consistiu na utilização da Internet

como meio para a aquisição de informações. O Questionário, enviado aos

participantes no final do curso, continha a pergunta disparadora: Qual é o meio mais

utilizado por você, ou de sua preferência para a aquisição de informações de uma

maneira geral? (livros, revistas, jornais, TV, Internet, entre outros). A escolha da

Internet como um meio propício a isso foi apontado por praticamente todos os

participantes. Veja algumas das falas referentes a esse aspecto,

Vou tentar descrever uma ordem: Internet seria a primeira e pra a mais importante, pois é através dela que encontro livros e revistas com informações interessantes, além de sites muito bons, professores e amigos muito dispostos e cursos (Breno, Questionário Final, Grifo nosso).

Para acesso a conteúdos matemáticos costumo utilizar livros da biblioteca da universidade, no entanto quando estou à procura de conteúdos computacionais recorro a Internet. A vantagem que vejo em estudar utilizando a Internet como ferramenta para levantamento de materiais é a grande oferta de fontes (assim temos visões críticas diferentes sobre o mesmo tema), formatos variados (o material encontrado pode estar em formato de texto, som ou vídeo), além do grande volume de informações gerado pelo trabalho voluntário de pessoas (que elaboram e disponibilizam apostilas, livros e artigos em formatos Livres e Gratuitos). Os textos técnicos computacionais comercializados pelas editoras nacionais possuem valores incompatíveis com a renda da maioria dos brasileiros, além do fato de nós educadores não querermos um livro de 600 páginas que custa R$ 200,00 sobre uma linguagem de programação, por exemplo, quando nosso objetivo não é ser um programador profissional (pelo menos não a priori) (Edson, Questionário Final, Grifo nosso).

§¨©ª¨«¬ ®¯ ©¯ ° §ª±²³´ª« ©¯ µ¯ ±¯ ¶·¸¹º»¼½ ½¾»º¼ºs de professores de Matemática: indícios da presença da Internet em um curso online. Anais do IX

5


Quando Breno diz ser essa a primeira e mais importante fonte de aquisição de

informações, ou quando Edson fala sobre a grande oferta de fontes, fica clara a

importância dada por eles à Internet quando se trata da busca à informação.

Outro indício pode ser observado no momento em que se questionou aos

participantes do curso qual era a opinião deles a respeito do uso da Internet para

cursos de Formação de Professores. A resposta de um dos participantes reforça a idéia

do professor como um sujeito sócio-cultural ao enfatizar a complexidade da vida e da

formação dele, uma vez que esse tem “[...] uma vida social, profissional e familiar

muito intensa [...]” (Alex, Questionário Final),

Como nós temos uma vida social, profissional e familiar muito intensa, a utilização de e-mail’s, bate-papos, fóruns e acesso a páginas cientificas contribui positivamente na articulação da “mecânica desvairada” do nosso cotidiano, onde uma pessoa às vezes tem que quase se multiplicar para honrar com seus compromissos a tempo e a hora (Alex, Questionário Final).

Ver o professor como um sujeito que possui outros interesses além daqueles

existentes na cultura escolar (entendida como o entrelaçamento de diversas culturas

presentes no cotidiano escolar – cultura crítica, acadêmica, institucional, social e

experiencial, PÉREZ GÓMEZ, 2001) torna-se necessário, uma vez que o professor se

constitui enquanto profissional da educação, devido a todas as experiências vividas

dentro e fora do ambiente escolar. As práticas sociais extra-escolares do professor

também constituem e definem o ambiente escolar, no qual ele está inserido. A cultura

escolar é definida e constituída pelos sujeitos que tramitam por esse espaço cultural, ou

seja, por professores, alunos e outros funcionários da escola. É exatamente nesse ponto

que reside a importância em estudar esses sujeitos enquanto sujeitos sócio-culturais

(DAYRELL, 1996, Grifo nosso).

Indícios da presença da Internet nas práticas sociais dos participantes também

puderam ser observados, em alguns dos Perfis, como um meio de entretenimento.

Observe algumas das falas,

[...] Me considero uma pessoa alegre, otimista, criativa, sensível e adoro novidades. Sou de Porto Alegre/RS, mas quando casei vim morar em General Câmara/RS que é muito pequena (8.000 hab). Isto vai fazer 20 anos. Se ou for falar sinceramente, não gosto muito de morar aqui, pois a maioria das pessoas não tem ambição e não valorizam muito a Educação. Graças a Deus exista a internet que

¿ÀÁÂÀÃÄÅ ÆÇ ÁÇ È ¿ÂÉÊËÌÂÃÅ ÁÇ ÍÇ ÉÇ ÎÏÐÑÒÓÔÕ ÕÖÓÒÔÒs de professores de Matemática: indícios da presença da Internet em um curso online. Anais do IX

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me deixa perto do resto do mundo [...] (Clara, Ferramenta Perfil, 03/03/2007, Grifo nosso).

[...] Tenho dois irmãos e muitos amigos, em sua maioria distanciados geograficamente pelas escolhas profissionais, mas graças a internet sempre muito próximos. Gosto de andar de kaiake, passear com minha rottweiler, jogar xadrez on-line e ler, ler muito! [...] (Edson, Ferramenta Perfil, 01/03/2007, Grifo nosso).

[...] Acredito na importância e na necessidade da inserção das TICs nas aulas de Matemática e estou escrevendo a minha monografia relacionada a este tema. Adoro cinema, internet e me divertir com minha família e meus amigos! [...] (Karen, Ferramenta Perfil, 28/02/2007, Grifo nosso).

[...] Gosto muito de tudo que se relaciona a tecnologia, internet, música. Sou tecladista e cantor nos fins de semana. Sou santista. (Ricardo, Ferramenta Perfil, 28/02/2007, Grifo nosso).

Quando Clara diz se sentir mais perto do mundo com o uso da Internet ou

quando Edson diz sentir seus familiares mais próximos, torna-se óbvia a importância

desta em suas vidas extra-escolares. Ricardo é mais abrangente e diz que gosta muito de

tudo que se relaciona a tecnologia. Como os perfis foram escritos logo no início do

curso, as concepções dos participantes referentes à tecnologia e ao uso da Internet não

haviam sido influenciadas pelas leituras e discussões do curso e por esse motivo, esses

indícios representam algumas práticas sociais destes professores anteriores ao início das

aulas.

Além disso, os participantes deixam claro que sempre que possível estimulam

seus alunos a adquirirem familiaridades e conhecimentos requeridos pela sociedade

tecnológica e que utilizam blogs, por exemplo. Veja uma fala que retrata isso,

em minha disciplina os alunos são estimulados criarem blogs para publicar textos, opiniões e tudo mais... o resultado muitas vezes surpreende, veja um exemplo http://pedrosinop.blogspot.com/ (Edson, Ferramenta Bate-Papo, 07/03/2007).

Nessa fala há vestígios da criatividade de Edson buscando, no uso de blogs, uma

maneira de preparar seus alunos para viver na sociedade informatizada. Ao fazer isso,

Edson assume um dos papéis da profissão docente em uma sociedade informatizada,

conforme enfatiza Hargreaves (2001, apud Freitas et al, 2005), o papel de catalisador.

Hargreaves (2001) considera a profissão docente uma profissão paradoxal “presa” em

×ØÙÚØÛÜÝ Þß Ùß à ×ÚáâãäÚÛÝ Ùß åß áß æçèéêëìí íîëêìês de professores de Matemática: indícios da presença da Internet em um curso online. Anais do IX

7


um triângulo cujos vértices consistem em alguns papéis que o professor pode assumir,

ou seja, o papel de catalisador, de contraponto e de vítima.

A utilização de blogs para preparar seus alunos para a sociedade informatizada faz

com que Clara, assim como Edson, assuma também o papel de catalisadora como pode

ser observado na fala abaixo,

É isto q é legal Edson. Trocar idéias. Vou olhar teu blog. Já trabalhei blog com meus alunos tb. (...) Trabalhei blog numa época q não tinha pc na escola. Eles escreviam no papel e uma aluna digitava pra mim postar. Deu muito certo... (Clara, Ferramenta Bate-Papo, 07/03/2007, Grifo nosso).

Já tive a experiência de trabalhar com blog numa disciplina que fiz na especialização da católica, foi muito bom (Elza, Ferramenta Bate-Papo, 07/03/2007).

O uso de Blogs para acompanhamento em aulas presenciais consiste em uma

prática docente criativa que pode ser utilizada como apoio a qualquer disciplina.

Quando Edson diz ter conseguido muitas vezes um resultado surpreendente isso mostra

que sua experiência em relação ao uso de Blogs foi positiva, e que por isso ele vê a

possibilidade de repeti-la.

O uso de Blogs também pode auxiliar uma disciplina presencial como relatado por

Breno quando diz cursar uma disciplina em que o professor faz uso desse instrumento

para comentar trabalhos e postar notas de aula. Essa prática social surgiu em outras

discussões no decorrer do curso sem que isso fosse tema de algum encontro, o que nos

dá indícios do uso de Blogs nas práticas sociais de alguns participantes,

olha esse q tenho, comecei agora numa disciplina do mestrado: http://redes-lactea.blogspot.com/ ïðððñ ò óôõö ÷ø ÷ùúùûùóüùýø ÷õ

mestrado acompanha os trabalhos pelo blog e depois por mediações em sala de aula e através de comentários postados no blog por ele e por outros alunos (Breno, Ferramenta Bate-Papo, 21/03/07).

A Internet torna-se um “mar desconhecido”, no qual o professor pode navegar à

procura dos mais variados recursos e metodologias que o auxiliem em sua prática

docente. Assim, evidencia-se uma pista, deixada por um participante, que traz

referências sobre o uso da Internet, na busca por materiais didáticos,

Alguém trabalha com planilha eletrônica? (Edson, Ferramenta Bate-Papo, 07/03/2007).

þÿM�ÿ�� M� � þ�� M� �� s de professores de Matemática: indícios da presença da Internet em um curso online. Anais do IX

8


eu trabalhei Edson, pra ensinar equação uma vez (Breno, Ferramenta Bate-Papo, 07/03/2007).

vocês montaram as funções para que ela mostrasse os gráficos? (Edson, Ferramenta Bate-Papo, 07/03/2007).

Edson, encontrei um material na Internet: o uso de planilhas eletrônicas para o ensino de equações [...] achei bem interessante, depois disponibilizo o material (Breno, Ferramenta Bate-Papo, 07/03/2007, Grifo nosso).

Nessa interlocução, Edson questiona os demais para saber se alguém possui algum

material didático sobre o Excel (programa de planilha eletrônica distribuído pela

Microsoft para computadores com o sistema operacional Windows. Existem softwares

semelhantes como o OpenOffice org. Calc com licença aberta. O Excel é um software

instalado em qualquer máquina que tenha Windows. http://office.microsoft.com/pt-

br/excel/default.aspx)� � �� o de uma busca

na Internet reafirmando as potencialidades pedagógicas dessa, no preparo de aulas

devido à quantidade de materiais disponíveis na rede. Assim, a prática de utilizar a

Internet como um meio para a busca de materiais didáticos pode vir a se consolidar

como uma importante prática docente para o preparo de aulas, para os mais variados

níveis de ensino.


De um modo ou de outro, os participantes do curso, buscaram superar muitas das

dificuldades encontradas, na cultura escolar ou fora dela, com o auxílio da Internet.

Muitos deles vêem as TICs como parte de seu dia-a-dia, uma vez que as TICs estão

presentes em todos os lugares, desde os relógios de pulso, passando por utensílios

domésticos (fogão, geladeira, TVs), até satélites potentes que informam a previsão da

temperatura para a semana, ou seja, fazem parte do cotidiano das pessoas, influenciando

muitas vezes, os modos de ser e conhecer dos seres humanos (MISKULIN, 1999, p. 89).

Além de indícios percebidos nas falas, a própria participação em um curso online

é um indício de que os participantes utilizam as TICs em suas práticas sociais

escolares e extra-escolares. O curso foi divulgado apenas via e-mail o que torna

provável que ele tenha chegado ao conhecimento dos participantes por esse mesmo

meio. No decorrer do curso, a observação dos indícios tecnológicos nas práticas

� !" #$% &' !' ( �"*+,-"#% !' .' *' /0123456 674353s de professores de Matemática: indícios da presença da Internet em um curso online. Anais do IX

9


sociais dos participantes se pautou na maneira como cada participante “se mostrou” no

decorrer do curso, como realizou atividades, participou dos Fóruns de Discussão e do

Bate-Papo, enfim, como vivenciou o ambiente online no qual o curso estava inserido.

A presença das TICs nas falas dos professores, participantes do curso, faz com

que os professores assumam o papel de catalisadores conforme aponta Hargreaves, uma

vez que formam indivíduos globais com habilidades requeridas pela sociedade

tecnológica.

Além disso, para enfrentar os desafios da sociedade tecnológica o professor

necessita, conforme Ponte (2004 apud KENSKI, 2007, p. 104), ser um explorador,

O professor, em suma, tem de ser um explorador capaz de perceber o que lhe pode interessar, e de aprender, por si só ou em conjunto com os colegas mais próximos, a tirar partido das respectivas potencialidades. Tal como o aluno, o professor acaba por ter de estar sempre a aprender. Desse modo, aproxima-se dos seus alunos. Deixa se ser a autoridade incontestada do saber para passar a ser, muitas vezes, aquele que menos sabe (o que está longe de constituir uma modificação menor de seu papel profissional) (PONTE, 2004 apud KENSKI, 2007, p. 104).

Quando se trata de ser um explorador a Internet consiste em um meio propício e

rico a essa busca. Corroborando com Ponte (2004), as falas dos participantes

demonstraram que esses agem muitas vezes como um explorador ao ir à busca de

informações na Internet, ou à busca de materiais didáticos, por exemplo.

É fato que os participantes do curso são uma minoria privilegiada, pois quase

todos lecionam em colégios privados ou em Universidades e que ser um explorador em

situações precárias é praticamente impossível. Mesmo assim, acredita-se que essas falas

trazem à tona algumas experiências que são iniciativas importantíssimas na busca a

melhoria do ensino.

Referências

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FREITAS, M. T. M et al. O desafio de ser professor de matemática hoje no Brasil. In: FIORENTINI, D; NACARATO, A. M. Cultura, formação e desenvolvimento

89:;9<=> ?@ :@ A 8;BCDE;<> :@ F@ B@ GHIJKLNO OPLKNKs de professores de Matemática: indícios da presença da Internet em um curso online. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–10. (ISBN 978-85-98092-07-2)

10

profissional de professores que ensinam matemática: investigando e teorizando a partir da prática. Campinas, Sp: Musa Editora, 2005, p. 89-106.

FULLAN, M; HARGREAVES, A. A escola como organização aprendente: buscandouma educação de qualidade. Trad. Regina Garcez. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 2000.

GINZBURG, Carlo. Sinais: raízes de um paradigma indiciário. In: GINZBURG, Carlo. Mitos, emblemas, sinais: Morfologia e História. 1ª reimpressão. São Paulo: Companhia das Letras, 1990.

KENSKI, V. M. Educação e Tecnologia: O novo ritmo da informação. Campinas, Sp: Papirus, 2007.

MIGUEL, A. O Projeto de Disciplinarização da Prática Social em Educação Matemática. In: Educação Matemática: Uma Área de Conhecimento em consolidação. O papel da Constituição de um Grupo de Trabalho dessa Área na ANPED. Núcleo de Estudos e Pesquisa, 2004.

MISKULIN, R. G. S. Concepções Teórico-Metodológicas sobre a Introdução e a Utilização de Computadores no Processo Ensino/Aprendizagem da Geometria.Tese de doutorado. Faculdade de Educação, UNICAMP, 1999.

PÉREZ GÓMEZ, A. I. A Cultura Escolar na Sociedade Neoliberal. 1.ed. Porto Alegre: Artmed, 2001.

QRSTURVWXXYZ [\ T\ ]\ T^_`âb^c cdef^ g hî^ccjkgk^ de apropriação da matemática escolar diante da valorização da matemática presente em contextos sociais diversos. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM, Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp.1-13. (ISBN 978-85-98092-07- 2)

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�{� �oy� �o�r{qo �orqq�r{ ��l�� }��lp��l��

�[email protected]�

�ry�sow O debate cultural na Educação Matemática tem evidenciado a produção da g¡^ ¢¡jig ^ idh¡â¡dc cdijgjc kj£^fcdc\ Y de¤^¡j£o desta Comunicação é tecer f^_`âb^c ¥¦gh¡d § hî^ccjkgk^ k^ h¨d c^ ^c¥¦î^f ka importância da apropriação da g¡^ ¢¡jig ^cid`gf\ ©gfg jccdZ k^_^hk^ªc^ g f^g`j«gção de relações entre a matemática ¬f^c^h¡^ ^ idh¡â¡dc cdijgjc kj£^fcdc ^ g g¡^ ¢¡jca escolar de forma a garantir a g¬fd¬fjg¨d kg g¡^ ¢¡jig ^ c¦g â¬f^cc¨d cjc¡^ g¡izada.

�|~|®{|ypu¯|®rw Cultura, Escola, Matemática Escolar, Matemática A-Escolar.

�°q{o±�²³o

Y de¤^¡j£d k^c¡^ ¡fgeg`´d µ g¬f^c^h¡gf g`¶¦ gc idhciderações que evidenciam a

hî^ccjkgk^ k^ c^ ¶gfgh¡jf g g¬fd¬fjg¨d kg g¡^ ¢¡ica escolar.

Xfg¡gªc^ k^ f^_`âb^c kg ¬^c¥¦jcg idhi`¦·kgZ id d kdi^h¡^Z na Universidade

Wc¡gk¦g` ©g¦`jc¡g\ S ¬^c¥¦jcg f^_^f^ªc^ gd ©fd¤^¡d k^ ©^c¥¦isa realizado no triênio 2005-

¸¹¹º ^ jh¡j¡¦`gªc^ "A relação entre produção e sistematização do conhecimento

»¼½¾»¿½ÀÁÂÃ ÁÂÄÅÀÆ¾Ç¼ÈÉ¾Å ÅÂÊÇ¾ ¼ ¼ËÇÂËÇÀ¼ÈÌÂ Æ¼ »¼temática escolar face à questão

ÁÍÎ½ÍÇ¼ÎÏÐ

Sc f^_`âb^c gedfkg idhcjk^fgb^c ¥¦^ ¬^f ^jg g ¥uestão da formação escolar

gdc jhkj£·k¦dc ^ _gi^ §c k^ ghkgc ´jc¡Ñfjigc kg cdciedade globalizada industrializada.

V^cc^ c^h¡jkdZ g`¶¦ gc de¤^b^c id f^`g¨d g kjci¦rsos multiculturais são

g¬f^c^h¡gkgc hg ^kjkg ^ ¥¦^ ¡gjc kjci¦fcdc c^ idhcentram, e muito, em valorizar a

¬fdk¦¨d kg g¡^ ¢¡jig ^ idh¡â¡dc cdijgjc kj£^fcds sem, entretanto, se ater a

^£jk^hijgf g f^`g¨d ¬gfg id g g¡^ ¢¡jig cjc¡^ g¡izada presente na esfera escolar. A

¬dcj¨d kd g¦¡df k^c¡^ ¡fgeg`´dZ id d c^f¢ ^£jk^hijada a seguir, é que a valorização da

g¡^ ¢¡jig ¬fdk¦«jkg ^ idh¡â¡dc cdijgjc µ hî^cc¢fjgZ ^h¡f^¡gh¡dZ k^£^ c^f ^`^ ento

ÒÓÔÕÖÓ×ØÙÙÚÛ ÜÝ ÕÝ ÞÝ Õßàáßâãßä äåæçß è éßêßääëìèìß de apropriação da matemática escolar diante da valorização da matemática presente em contextos sociais diversos.

2

Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM, Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp.1-13. (ISBN 978-85-98092-07- 2)

íîß êåéïçëæîè ðèçè è èðçåðçëèñòå ìè óèïßóôïëêè äëäïematizada por entender aqui que

ßäïè äîðßçè ðåç ëéêåçðåçèñòå èíîßáè ß õ ëóðçßäêëéìövel à formação cultural de todo

ëéìë÷öìîåÝ

Ú ïçèæèáøå èðçßäßéïåî êåóå óåïë÷èñòå è éßêßääëìèìß de desenvolver algumas

çßàáßâãßä è ðèçïëç ìß îó àèïå íîß äß çß÷ßáåî ëéíîëßtante: em mesas redondas e/ou

èðçßäßéïèñãßä ìß ïçèæèáøåä åçùèéëúèìèä ßó ïåçéå ìè reflexão “Educação Matemática e

ûîáïîçèü ÷ßçëàëêèçèóýäß øè÷ßç îóè ùçèéìß þéàèäß éè exposição de pesquisas em

êåéïßâïåä äåêëèëä ßäðßêöàëêåäÛ êåó ùçèéìß ìßäïèíîß de pesquisas realizadas em

êåóîéëìèìßä ëéìöùßéèäÝ ×ßääßä ïçèæèáøåäÛ å ðßäíîëäèìåç ßâðãß è áÿùëêèÛ åä êåéêßëïåä da

óèïßóôïëêè ðçåìîúëìè ßó ìßïßçóëéèìå êåéïßâïå äåêëèá. A exposição é freqüentemente

èêåóðèéøèìè ìß îó àåçïß ìëäêîçäå êåéïçôçëå a ìßéåóënada “matemática ocidental”

ðçßäßéïß éè óèïßóôïëêè ßäêåáèç ß éèìè äß èðåéïè íîènto ao que fazer com relação à

èðçåðçëèñòå åî éòå ìè óèïßóôïëêè ßäêåáèçÝ

Ô ëéíîëßïèñòå çßäëìß éå àèïå ìß íîß å ðAæáëêå èá÷å dessas mesas redondas e/ou

èðçßäßéïèñãßä ìß ïçèæèáøåä äòåÛ ßó äîè óèëåçëèÛ ðçåfessores que atuam na sociedade

êèðëïèáëäïè ëéìîäïçëèáëúèìè ßÛ êåóå ïèáÛ éòå äòå ßìucadores (de matemática) para

êåéïßâïåä äåêëèëä ßäðßêöàëêåäÛ êåóå åä ìß ðå÷åä ëéìígenas. Nesse sentido, a inquietação

çßäëìß éè éßêßääëìèìß ìß esclarecer dois aspectos:

1� äß è �éåääèü óèïßóôïëêè éòå õ �ëóðåçïèéïß� a ìßïßçminada comunidade indígena

(åî åîïçåä êåéïßâïåä äåêëèëä ßäðßêöàëêåä� äåæ íîèëä pressupostos se encontra a

jîäïëàëêèïë÷è ìßäïè êåéäïèïèñòå �

2� äß è �éåääèü óèïßóôïëêè õ �ëéAïëá� èå êåéïßâïå äåêiais investigado, sobre quais

ðçßääîðåäïåä äß ßéêåéïçè è jîäïëàëêèïë÷è ðèçè çßäðèldar a idéia de que a exposição da

éèïîçßúè ß ßäðßêëàëêëìèìß ìè óèïßóôïëêè ìß ðå÷åä ëédígenas (ou outros contextos

äåêëèëä� ðåìß äßç ðèçè éÿäÛ ðçåàßääåçßäÛ íîß áßêëånamos a matemática escolar,

ëóðåçïèéïß �

ÙçèïèýäßÛ äßó ìA÷ëìèÛ ìß äß çßàáßïëç äåæçß è èðçåðçëèñòo da matemática escolar.

Öß èéïßóòåÛ êîóðçß ßäêáèçßêßç å äßùîëéïßD å åæjßïë÷o deste trabalho não é buscar

ìßäóßçßêßç èä ðßäíîëäèä äåæçß è óèïßóôïëêè ðçåìîúëìa em contextos sociais específicos,

íîßç äßjèó ðå÷åä ëéìöùßéèäÛ êåçïèìåçßä ìß êèéèýìßýèçúcar, trabalhadores do jogo bicho,

G�� de apropriação da matemática escolar diante da valorização da matemática presente em contextos sociais diversos.

3


�� !�� "�� #�� $��

� O%� �� O%�� O%� �&�� ' O%� �� )�� %! ��o, são relevantes que se

��r�! �� )��O%�� )�� %�� ! O%� !��ida essas pesquisas entendem a

O%�� q �� )��)��$ � da matemática sistematizada ?. Se tal

�)��)��$ � � � ' ��*�� O%�� +%��ativas para tal posição e em que

!�� )��)��$ � �� !��!*�� )�� parte dos indivíduos destes

�� c�� %!� )�*�� !)��dora de formação cultural?

P�� %�� "� � �)��)��$ � �� !��!ática escolar, assim como dos

��!�� "��!�� d�� !�� '�� rtísticos contemplados nas

��)�� ' �!)��d&�� q ��!�$ � �a individualidade. Tal compreensão

��)��,�� )��)��&� �-��,"��-�� %��ção, perspectiva de fundamentação

!�� m� )�� "�� .��/ O%� ��+%ga considerações quer sejam do

â!�� )��c�� -��,"��-�� % "��-��,�ultural (a partir dos trabalhos de

V�c��0� 3%�� 3��&/ O%�� +�! �� â!�� a denominada pedagogia histórico-

��d�� m� )�� "�� 4�&��/�

C�!� �� ! �� !��!*�� )��%r�� m contextos sociais

��&�� ' �!)��d&�� !��!*�� a-escolar como ponto de partida

)��d&�� )�� c�� !��r�$ � �� !��!*��

�� )��$ � ��&��&� � ��)��$ � �� %!� �'�� O%�� os limites da

C�!%��$ � �� O%�� "�� ' � +* ��)��itada reflexão, a partir de aspectos

�� %�"� "��-�� -�� propriação da matemática escolar

m��! O%� �� +� �� !� ��c�$ � �� !�s a-sistemáticas de manifestação

�� !��!*�� )��O%�� &��&�� /�

M567896:;5 7<;=>5?@ B5?5 EFHI

� ��!)�� c�� )�� e no crescente progresso

��O%�� !)�� %��$ � ��)�� às demandas do progresso social

��c�� 3��& mJKLK )� NK/ ��rma:

QRSTUW XYZ [\W]\^ZS _S `RXSTbeSef gRSTUW XYZ \bgWZ son los \^ZR_USeWZ SgRXR_SeWZ [W\ _S [\YgUbgS ZWgbS_h`bZUi\ica, tanto más crece ^_ [^ZW ^Z[^gklbgW e^ _S êRgSgbiT n USTUW Z^ gWX[_ican las tareas que Z^ [\^Z^TUST ^X ZR SsSTgô pW\ ^ZUWf gSeS TR^sS ÛSpa en el desarrollo e^ _S `RXSTbeSef SZk gWXW ^X ^_ e^ZS\\W__W e^ gb^\Uos pueblos, plantea

tuvwxuyz{{|} ~� w� �� w�� de apropriação da matemática escolar diante da valorização da matemática presente em contextos sociais diversos.

4


�� la educación de �� ¡ �� ¢�� la sociedad le �� £��¤�¡ �� docentes, la ��£��¤� ��¢�� ¥�� ¤�� y em relación �� ¥�� ¡ �� ¡ �� diferencia; los �� £��¤� �� ¦� § �¦� ��¡ �� perfeccionan �� ¨�� § �� ©a. Esta ligazión �� ª�� § �� es tan íntima, que �� ©�� ª�� sociedad podemos ��¡ �� ¢�� ¡ �� o de la educación y, �� ¡ �� ción, determinar �� § ��ral de la sociedad.

«�� ¬� � ��®�� } ¯��°±� (1974, p. 54) afirma o

��²±��®�³

´�� µ�¡ � �� ª�� ¨ �� ¡ �� não os objetos �� qualidade humana: esses, enquanto objetos humanos, são �� indicados como uma tarefa a levar a cabo. Para que o menino �� µ¶� �� ·�� ¢�� objetivações das ¥��µ�� ª��¡ �� ¢�� utilizá-los de um �� ª��¡ �� ¨� �� as mesmas ¥�� ¥��µ��¸ ¹��¡ �� caso, ocorre um �� ¢�� ·¦ �¶� ¨ �� º��¡ �� iza apenas através �� µ¶� �� ¡ �� ¡ �� edade: o que �»�� ¢�� se processo pode ��¸

v ®�� ¼ ��¬� �� ½�®��®� �� ®� ± ²��±

�� ½��½��¬¾� ±�®� �� ¿±� � ��¬� �� uma determinada sociedade

��À²��} ½�� ½��} �� ½�� das objetivações (os produtos da

®��¬¾� �� Á±��Â�� – MARX(1985)) atingidas por

�� Ã� � �ÀÄ�� ®��¬¾� �� tureza pela comunidade indígena, é

�� ¿±� � �ÀÄ�� ®��¬¾� �� ustrializada, menor é a quantidade

�� Å�®�� Á±�� ½��®�� ÄÀ�±� ��ngular desta comunidade para

�� ½��½��} �� Æ®�� Ä�� Ç �� palavras de Markus (1974, p. 54).

z�®��®��®�} �� È��®� �� ¬¾� ��®�� ÄÀ�±� singular e as objetivações (os

½��±®�� Á±��Â��É ¿±� �� ¼ sua vida, não importa de qual

��ÄÀ�±� ��®�Å�� } ¿±�� Å� �� ±� ��dade mais complexa que de outra, a

½��®��±�� Æ®�� Ä�� Ç} ��²��Ê o desenvolvimento de ‘faculdades’ e

�� Ë��¬��Ì ��½�� ½��À�� ½�� ½��½��¬¾o da função social implícita às

��Å�®�Ä�¬��

ÍÎÏÐÑÎÒÓÔÔÕÖ ×Ø ÐØ ÙØ ÐÚÛÜÚÝÞÚß ßàáãÚ ä åÚæÚßßçèäèÚ de apropriação da matemática escolar diante da valorização da matemática presente em contextos sociais diversos.

5


ÒÚßßÚ ßÚåéçèàÖ à éÚãêà ëêäçß æàêìÜÚÝàí åîà Úßéï äðñi depreciando o grau

ÚßìÚæòÛçæà èÚ æàêìÜÚÝçèäèÚ äéçåóçèà ìÚÜä ßàæçÚèäèÚ indígena (as relações entre os

çåèçôòèñàßÖ ßÚñß ìãàèñéàßÖ ßñä ÜçåóñäóÚêÖ ßÚñß æàßéumes etc). É ‘menos’ complexa com

ãÚÛÚãõåæçä ö éãäåßÛàãêä÷îà èÚ ßñä ãÚäÜçèäèÚ åäéñãäÜ em realidade humanizada. O nível

èÚ éãäåßÛàãêä÷îà èäß Ûàã÷äß ìãàèñéçôäß ø èÚ êäçàã órau na sociedade industrializada que

Úê èÚéÚãêçåäèä ßàæçÚèäèÚ çåèòóÚåäÖ èäò à éÚãêà ëêäçs complexo” com referência à

ßàæçÚèäèÚ çåèñßéãçäÜçùäèä æàê ãÚÜä÷îà ö ßàæçÚèäèÚ çndígena. Para isso, basta observar o

óãäñ èÚ éãäåßÛàãêä÷îà èä ãÚäÜçèäèÚ åäéñãäÜ Úê ãÚäÜçzada humanizada imprimida em

åàßßä ßàæçÚèäèÚ çåèñßéãçäÜçùäèä Ú åñêä èÚéÚãêçåäèä ßàæçÚèade indígena.

Ï æãçäå÷ä çåèòóÚåä åîà éÚãï ðñÚ ßÚ äìãàìãçäã èäß ðñalidades sociais implícitas aos

àáúÚéàß èà êñåèà óÜàáäÜçùäèà çåèñßéãçäÜ åÚê ö äìãàìriação de comportamentos sociais,

êàãäçß Ú øéçæàß èÚßßä ßàæçÚèäèÚØ Òîà ßÚ éãäéä èÚ æàêìÚéõåæçä àñ åîà ìäãä ßÚ apropriar

èçßßàØ ÔãäéäûßÚ èÚ äÜóà èÚßåÚæÚßßïãçà ìäãä à çåèçôòduo deste contexto social, pois seu

êÚçà ßàæçäÜ åîà ø à êÚçà ßàæçäÜ èä åàßßä ßàæçÚèäèÚ óÜobalizada industrial.

Ï æãçäå÷ä åà êñåèà êàèÚãåà åîà éÚãï ðñÚ ßÚ äìãàìãçär das qualidades sociais

çêìÜòæçéäß äàß àáúÚéàß èà æàåéÚÝéà ßàæçäÜ çåèòóÚåäØ Não se trata de ter competência ou

åîà ìäãä ßÚ äìãàìãçäã èçßßàØ ÔãäéäûßÚ èÚ ßÚã àñ åîà necessário (na perspectiva da relação

ßàæçäÜü ö æãçäå÷ä ßçéñäèä Úê åàßßä ßàæçÚèäèÚ çåèñßérializada.

Ñäèä à ÚåàãêÚ äôäå÷à èäß Ûàã÷äß ìãàèñéçôäßÖ à æàåýÚcimento em nossa sociedade

óÜàáäÜçùäèä æàêìÜÚÝçÛçæäûßÚ Úê ÚßæäÜäß çåÛçåçéäßØ

þàê ä æàêìÜÚÝçèäèÚ èà æàåýÚæçêÚåéà Ûàç ßÚ æãçäåèà ä åÚæÚßßçèäèÚ èÚ èçôñÜóä÷îà

Ú äìãàìãçä÷îà èÚßßÚ æàåýÚæçêÚåéàØ Ï Ûàãêä æäìçéäÜçßta hoje desenvolvida requer hoje

ñê èàêòåçà èÚ æàåýÚæçêÚåéà êòåçêà ìäãä éàèàßÖ èÚ óãau de complexidade muito maior

ðñÚ à åÚæÚßßïãçà åä øìàæä êÚèçÚôäÜÖ ìàã ÚÝÚêìÜàØ Ï necessidade de alfabetização

æçÚåéòÛçæä ÿåîà ßc ä êäéÚêïéçæäü Ú èÚ äÜÛäáÚéçùä÷îà da língua materna é um resultado de

åàßßà éÚêìàØ Ï çåßéçéñç÷îà ÚßæàÜäã ßñãóÚ æàêà ñêä åecessidade de escolarização para

éàèàßØ Ôàèàß àß çåèçôòèñàß èä ßàæçÚèäèÚ æäìçéäÜçßéä. Todos da sociedade dita

ëêàèÚãåäíØ

ÏßßçêÖ ìäãä à äÜñåà çåßÚãçèà åä ßàæçÚèäèÚ óÜàáäÜçùäda, a formação escolar aí

åÚæÚßßïãçä é aquela que responde às necessidades de sua inserção nesta sociedade

óÜàáäÜçùäèä çåèñßéãçäÜçùäèä Ú çåÛàãêäéçùäèäØ

Ó à çåèçôòèñà èäß ìàìñÜä÷ÞÚß çåèòóÚåäß ëçßàÜäèäßí ÿou de outros contextos


6


��s� A sociedade do indivíduo indígena lhe faz exigências próprias de seu modo de

p�� !�� produtivas alcançado. Neste caso

��p�� e�� !�� "�� !� �� no âmbito da vida cotidiana. A

�� # �$�� %�� & � ��#� �� criança nas atividades dos adultos.

�� "�� %� �� & �� diferencia da escola enquanto

%�� & �! �� '��o da relação do indivíduo para com

�� a� �� a( � ��'�� p�)p�� de institucionalização da escola é

�� r*�+�� ,--,� p ..s

�� quanto à questão da necessidade de apropriação das objetivações, essas

� ��'��! �!��/� ��p�� $�� '�� 0��r (2002, p. 381), se apresentam em

�� d �� a� �� !e�� r� ��'��'�!� �� costumes e os utensílios) e as

��a� �� p��e�� r� �� e, a moral).

�� !�� %�!e��& � %p��e��& �� ! � �� indivíduo para com as

��a� ��

�� a� �� %�!e��& ��! ��! �� !��ção porque a relação do

�� p�� ! �� ( �� !� ��e�� pontânea.

�� a� �� %p��e��& ��! ��! �� !�nação porque a relação do

�� p�� ! �� ( �� !� �� e��p�ntânea.

� �� p�� # p��p�� às objetivações para-si e, dado

$�� !p��!� �� !� ��ção intencional, não-espontânea

p�� p��p�� a� �� ucativa escolar é intencional,

�� !( ��

À �� # �!p��!�� a: a de apropriação, via

�� a� �� p��e�� r� �� sofia, a arte, a moral e a ética).

À �� '�� /� ��!p� � ��"�� refa. Seria, portanto, óbvio

p�� $�� 1� %��ssas” objetivações, pois, a sociedade

� $�� p�� p�� a� �� ordem. Como tal, é impróprio que

�� $��! �� $�� %!� �!( �� dental” é inútil para determinada

��!�� '�� %��& �� '� a( devidamente compreendido sem

!�� '�� $�� $�� # ��$m�� !��

�� e�� (�� $�� toda a linha de argumentação

�$�� p�� p�� $�� ndígena vive isolado de nossa

2345637899:; <= 5= >= 5?@A?BC?D DEFH? I J?K?DDLMIM? de apropriação da matemática escolar diante da valorização da matemática presente em contextos sociais diversos.

7


DEKL?MIM? LJMNDOHLIALPIMI= : QN? R NS @IOE KIMI T?P SILD HIHE; T?HMIM?LHID exceções.

7UE se considera a possibilidade dos indivíduos desta comunidade ser obrigado a

KEJTLT?H KES JEDDI DEKL?MIM? ? ID LSVALKIWC?D MIX Mecorrentes quanto à suas

@EHSIWC?D= 8DDI VEDDLFLALMIM?; KIMI T?P SILD H?IA ? inevitável, dado o fenômeno da

gAEFIALPIWUE ME KIVLOIA YLJM?V?JM?JO?S?JO? M? IK?LOá-lo ou não), remete ao indivíduo

DLJgNAIH LJMXg?JI I OIH?@I M? D? IVHEVHLIH; OISFRS; das objetivações produzidas por

JEDDI DEKL?MIM?= :D KEJn?KLS?JOED MI ?DKEAI MI DEKLedade moderna seriam também a

?DD? LJMLTXMNE; LSVH?DKLJMXT?LD= 4 MLJZSLKI OHIJD@Ermadora que garante a crescente

KESVA?BLMIM? M? JEDDI DEKL?MIM?; D?N VHEgH?DDE; D?N nível de transformação da

JIONH?PI ? MI DEKL?MIM?; R @?LOI IOHITRD ME KEJn?KLS?JOE KL?JOX@LKE e tecnológico

IOLJgLME; LJDOHNS?JOED SEOEH?D VIHI I H?IALPIWUE M?ssa complexidade. Para o indivíduo

M? NSI M?O?HSLJIMI KESNJLMIM? LJMXg?JI VEM?H NDN@HNir dos resultados imprimidos

V?AI KH?DK?JO? OHIJD@EHSIWUE MI JIONH?PI V?AE nES?S 'moderno', ele precisa fazer parte

ME g[J?HE nNSIJE= : M?DI@LE ?DO\ ?S S?MLIH E KEJO?BOE AEKIA KES E KEJtexto universal

M? DEHO? I gIHIJOLH; LJKANDLT?; QN? E LJMLTXMNE LJMígena se defenda da exploração que

O?S DLME TXOLSI= tIHI E INOEH M?DO? OHIFIAnE; ?DDI mediação é o maior desafio para os

V?DQNLDIMEH?D QN? OHIFIAnIS KES I @EHSIWUE ME VHE@?ssor de matemática para atuação

?DV?KX@LKI ?S ?DKEAID LJMXg?JID=

: S?DSE TIA?; ? SNLOE SILD, para contextos sociais como os de cortadores de

KIJI]M?]IW^KIH; KIHVLJO?LHED; KLHNHgLC?D; OHIFIAnIMores de fábricas etc uma vez que a

?DO?D JUE D? VEM? J?S KEJK?F?H I LMRLI M? KEJO?BOED “isolados” uma vez que compõem,

?DOUE LJD?HLMED, na sociedade capitalista moderna.

_LKI; VEHOIJOE; H?DVEJMLMI I VHLS?LHI QN?DOUE YD? I “nossa” matemática não é

�LSVEHOIJO?` b M?O?HSLJIMI KESNJLMIM? LJMXg?JI DEF quais pressupostos se encontra a

jNDOL@LKIOLTI M?DOI KEJDOIOIWUEfh=

iNIJOE à segunda questão, isto é, a busca de justificativas para respaldar a idéia

M? QN? I ?BVEDLWUE MI JIONH?PI ? ?DV?KL@LKLMIM? MI educação indígena é para nós

LSVEHOIJO?; Kn?gIJME S?DSE I D?H VHLEHLO\HLE; VELD; se torna, na prática, o assunto mais

IVH?D?JOIME J?DDID S?DID]H?MEJMID ?kEN OHIFIAnED IKadêmicos nesses Grupos de

9HIFIAnED; KNSVH? EFD?HTIH E D?gNLJO?l

tEH VIHO? M? QN?S EHgIJLPI ED 2HNVED M? 9HIFIAnE DEbre a temática “Matemática

? oNAONHIq YVELD KEJTLMIS V?DQNLDIMEH?D QN? ?S DNI SILEHLI; OHIFIAnIS KES I

uvwxyvz{||}~ �� x� �� x�� de apropriação da matemática escolar diante da valorização da matemática presente em contextos sociais diversos.

8


�� ~ �� arte de quem expõe, não há para

�� A exposição de trabalhos que versam

�� enas (ou em outros contextos) é

�� ~ �� em si mesma. Esse fato é para

��

} �� ¡ �� ¢�� £¤��¥ ¦ELLO,1996), pois, como

�� §�� £¨©©¨~ �� ª«� ¬�� ¡ �� contecer com tudo o que é obvio, ele

�� ~ �� simplicidade, problemas que

�� ® �� ¯�

y� ��~ ¡ �� s investigações matemáticas

�� £�� a relevância. Não se trata aqui,

��~ �� ~ �� °�as.

±�� ²�~ �� educação indígena deveriam

�� a relação possível para com a matemática escolar (fato esse, que infelizmente,

¡ ��

w �� ¡ �� ¢�� da matemática em contexto

�� zação do “cerne fundamental”, da

¬�� ²��¢�ica e socialmente” (Cf.:

uvwxyvz{||}~ ¨©©©~ �� ¨³´� �� ¡ ��µ�� ersão escolar. É a

��µ�� dessa “estrutura básica” que pode, e deve, quando possível, ser elemento

��

{��°�� ¶��¶ �� £�� caso, da matemática) de

¶��µ��¶ �� £�� ~ ��µ�� da matemática, diferenciação muito

�� §�� £¨©©¨~ �� ·¨� �� ¥

¸¹º»¼½º¾¿¼ Á¼ Âº»Ã½ Ä¿¼ Å ÂÆÄÇÄÆÈ¼ ÁÃ É½¼ÁÊ¾¿¼ Á¼ Âaber. A É½¼ÁÊ¾¿¼ Á¼ Âº»Ã½ Å Â¼ËÆº¹Ì ÂÃ ÁÍ Ä¼ ÆÄÎÃ½Æ¼½ ÁºÂ ½elações sociais. A Ã¹º»¼½º¾¿¼ Á¼ Âº»Ã½ ÆÈÉ¹ÆËº ÃÈ ÃÏÉ½ÃÂÂº½ ÁÃ Ð¼½Èº Ãlaborada o saber ÑÊÃ ÂÊ½ÒÃ Áº É½ÍÎÆËº Â¼ËÆº¹Ó ¸ÂÂº ÃÏÉ½ÃÂÂ¿¼ Ã¹º»¼½ºda supõe o domínio Á¼Â ÆÄÂÎ½ÊÈÃÄÎ¼Â ÁÃ Ã¹º»¼½º¾¿¼ Ã ÂÆÂÎÃÈºÎÆÔº¾¿¼Ó Õºí a importância da ÃÂË¼¹ºÖ ÂÃ º ÃÂË¼¹º Ä¿¼ ÉÃ½ÈÆÎÃ ¼ ºËÃÂÂ¼ º ÃÂÂÃÂ ÆÄstrumentos, os Î½º»º¹×ºÁ¼½ÃÂ ÐÆËºÈ »¹¼ÑÊÃºÁ¼Â Ã ÆÈÉÃÁÆÁ¼Â ÁÃ ºÂËÃÄderem ao nível Áº Ã¹º»¼½º¾¿¼ Á¼ Âº»Ã½Ì ÃÈ»¼½º Ë¼ÄÎÆÄÊÃÈÌ ÉÃ¹º ÂÊº atividade prática ½Ãº¹Ì º Ë¼ÄÎ½Æ»ÊÆ½ Éº½º º É½¼ÁÊ¾¿¼ Á¼ Âº»Ã½Ó

v�� µ�� ²��ento, se faz presente um

ØÙÚÛÜÙÝÞßßàá âã Ûã äã Ûåæçåèéåê êëìíå î ïåðåêêñòîòå de apropriação da matemática escolar diante da valorização da matemática presente em contextos sociais diversos.

9


óíëðåêêë êôïõåêå òîê ö÷íñîê æëíøîê òå óíëòùúûë òåêêå ðëïüåðñøåïõë îo longo do

ýþÿþd��þd�� ÿ�� ý ��þ�� INETTO, 2003). Assim, sem

pþ�ýþ� ýþ ��ÿ� dþþÿÿ�� þ� ýþ p��p�� da matemática escolar, é

��p�þÿ�dýi�þ� p�� dÿ ý��þ�þd�þÿ p��ý��þÿ ý matemática, aquilo que é o cerne, “o

dn�þ� ��ý�� ! "� p�þÿþd�þ d ��þ�� escolar.

��p��d�þ �Iÿþ�� #�þ � ýþÿþd��þd�� ÿ�� se deu por embates entre

�ÿÿþÿ ÿ��ÿ �� þ�þ�cd� ýþ ��þÿ� �ý$�ÿ ýa classe dominadora. Isso traz uma

ÿ$��þ ýþ �þ��þs�þÿ p� �ý�� þ p� �ý��ão Matemática) que, por conta dos

��þÿ ýþ �� d�� l�� d�� ÿþ�� #�� I��dada, ficando para uma outra

�p��d�ýýþ� o�� p�þ �Iÿþ�� #�þ� ÿþ p�� um lado, os conteúdos escolares

pþ�pÿÿ� �ýþ��%� ý��dd�þ� p�� ý�� þÿÿe fato não é absoluto, e, além

ý�ÿÿ�� ÿþ� þÿÿ� $ ��p�þÿ�dýi�þ� p� �i�� þ superação do seu caráter ideológico

�$ þd�� þ%þ�ad�� &�ÿ #�þ ýþd�d�� ÿ �d�þnýos como próprios de uma

ýþ�þ��dý ��'�� $ p�þ�ÿ� ÿÿ�� #�þ ÿ�� s formas de conhecimento mais

��p�þsÿ �I��ýÿ þ dþþÿÿ�� ÿþ� p��p��ýÿ þ þÿta apropriação não significa

dþþÿÿ��þd�þ �� þcd� �þp��ý�� ýþ��%� ý �þ%emonia de classe.

V��dý� ( #�þÿ�� ý ÿ�ÿ�þ��'�� ý ��þ�� a importância da escola está

d ýþ�ý�� ÿ�ÿ�þ��'�� ý p��ý�� ýo saber em contextos sociais

ý��þ�ÿ�ÿ� � ��p��cd� ýþ p��p�� ýþÿÿ ÿ�ÿ�ematização coloca uma perspectiva

�d��þ�ÿ��'d�þ ýþ �� d� pþ�ÿpþ�� þÿ#�ecida nos debates culturais na

�þý�ý þ� #�þ pþ�ÿpþ�� þ%þ�ad� ýþ�þdý�ý d� ideário multicultural é restrita à

�dÿ�� ýÿ ý��þ�þd�þÿ p��ý��þÿ ÿþ� þd�þdý)*� enquanto “partes” de um “todo”, a

ÿ� �d��þ�ÿ��ýýþ� + p�þ�ÿ� þd�þdýþ� ��þ�� como um elemento do gênero

��d�� ÿ�� $� �� p��þ �dÿ�� ý h�I,þ��idade das características humanas

��ÿ��þd�þ ��ýÿ� � �� -� p� �!". Trata-se de promover o que

F��#��d �.//�� p� �." ýþd��d ýþ h�d��þ�ÿ��ÿ�� Iþ�� þ tolerante”:

[0001 234564 789:48; 878< =4 =>?@:<;3A?;48 :B>8CD>Brico e 984?>398< 3 =4 =>?@:<;3A?;48 35:<B8 : B8A:<3>B:0 E;te último é 7:<G:?B34:>B: C8473BH@:A C84 8 <:C8>J:C?4:>B8 : 3 @alorização das 9?G:<:>K3;L 7<:C?;34:>B: >3 4:9?93 :4 M=: ;N ;: 789e reconhecer e <:;7:?B3< 3M=?A8 M=: ;: 7:<C:5: C848 =43 8=B<3 4893lidade ou uma 8=B<3 :O7<:;;P8 78;;H@:A 98 J=43>80

l #�þ þsp�� ýþ ��þ� d�ÿ ��p� ýþ ��I�� “Matemática e Cultura”, em

QRSTURWXYYZ\ ]^ T^ _^ T`be`fg`j jkmq` r tù`jjvwrw` de apropriação da matemática escolar diante da valorização da matemática presente em contextos sociais diversos.

10


jxr yrvkqvr\ zqrmre{kj w` |`j}xvjrj `y uktz`fzkj jkciais diversos é o caráter de

~�� dado a essas “matemáticas”. Os trabalhos dessa natureza, ganham destaque

|kq}x` ruq`wvzry j`q tù`jj�qvk q`j�rzrq k }x` � `jquecido, negado, a saber, a

yrz`y�zvur w` uktz`fzkj jkuvrvj wv�`qjkj �uky yrvkq w`jzr}x` |rqr r yatemática em

uktz`fzkj vtw��`trj�\ bq`tz` � �kxzqr� yrz`y�zvur }ue para a maioria deles, é entendida

ukyk j`twk xyr yrz`y�zvur �vy|kjzr�\ r wvzr yrz`y�zvua “ocidental”.

Ao contrário da perspectiva desses trabalhos, não se trata de apresentar “mais

uma” matemática, mas sim se trata de buscar evidenciar possíveis relações dessa forma

distinta de produção (daí a importância dessas pesquisas) com a forma sistematizada

apresentada na versão escolar na medida em que o ponto de chegada da atividade

escolar é a apropriação da matemática escolar.

O objetivo do professor de matemática que trabalha em nossas escolas é ensinar

yrz`y�zvur rkj vtwv��wxkj }x` `jz�k vtj`qvwkj tr jkciedade globalizada. A exposição

w` `f|`qv�tuvrj uky �r yrz`y�zvur� vtw��`tr �kx `y kxzqkj uktz`fzkj jkuvrvj�\ só tem

j`tzvwk j` qèruvktrwr uky r yrz`y�zvur `jukerq �kuidental”. O pesquisador expositor

wkj zqrmre{kj jkmq` r |qkwx��k wr yrz`y�zvur vtw��`na (ou em outros contextos sociais)

w`�`qvr |kjjvmvevzrq rkj |qkb`jjkq`j\ kj vtjzqxy`tzos relacionais entre “essa matemática”

}x` |kjjvmvevzrqvry `tz`tw`q r r|qk|qvr��k wr yrz`yática escolar como uma supera por

vtukq|kqr��k ��vr �t�ue`k ��evwkj�� wr yrz`y�zvur ekure\ a indígena.

S yrz`y�zvur `jukerq � xyr bkqyr yrvj uky|e`fr w` uonhecimento que a

yrz`y�zvur |qkwx�vwr tk �ymvzk wr �vwr ukzvwvrtr `y contextos sociais diversos porque

r yrz`y�zvur `jukerq\ |kq j` wrq tk |ertk wr jvjz`yatização, permite atingir níveis de

rmjzqr�g`j yrvj uky|e`fkj }x` r yrz`y�zvur ekure\ yatemática cuja lógica não é a da

jvjz`yrzv�r��k\ yrj wr |qkwx��k� |qkwx��k }x` |kq je realizar no âmbito da vida

ukzvwvrtr\ urqq`�r uktjv�k r e��vur w` |`tjry`tzk vnerente a esfera da vida cotidiana

�|`tjry`tzk |qr�y�zvuk\ |kq rtrek�vrj\ |kq {v|`q�`teralização, por similaridade etc

��b^� �èe`q\ �� ^ Rjjk vtuexjv�` `f|evur a necessidade do pesquisador ter que

j` j`q�vq wr jvjz`yrzv�r��k wr yrz`y�zvur |rqr wùkdificar a matemática “escondida”

`y w`z`qyvtrwr rzv�vwrw` `y uktz`fzk jkuvre `j|ù�bvuk vt�`jzv�rwk |kq è`^

�`y q`rev�rq k w`jrbvk w` mxjurq zrvj qèr�g`j\ �r matemática” em contextos

jkuvrvj wv�`qjkj r|rqù` rk |qkb`jjkq w` yrz`y�zvur que assiste tais Congressos como

re�k yrvj r �u{ryrq r rz`t��k� wkj rextkj\�uxqvkjvwrw`j� r j`q km�`zo de comentário

¡¢£¤¡¥¦§§¨© ª« £« ¬« £®¯°±² ²³´µ ¶ ·¸²²¹º¶º de apropriação da matemática escolar diante da valorização da matemática presente em contextos sociais diversos.

11


» ²¼¶² ¶¼¯¶²« ¦·½¼¶·¾³ ½¼ ¿¶µ¶ ³ ¿²½¼¹²¶º³µ© ²¼¶ °¿³²¹ÀÁo é “obviamente” de suma

µ¯ÂÃ·¸¹¶© ¿³¹²© Ä ²¼ objeto de pesquisa, a produção da matemática no contexto

¹·ºÅÆ·¶ Ç³ ²¼ ¶¯¼·³ Ä ³ ¶¯¼·³ ¹·ºÅÆ·¶ÈÉ ¿¶µ¶ ³ ¿rofessor de matemática, nem tanto. A

¿µ³¸¼¿¶ÀÁ³ º³ ¿µ³®²²³µ º »¶¾»Ê¾¹¸¶ ·Á³ Ä ¶ Ë»¶¾emática” indígena, pois ele não

¯¸¹³·¶ ¿¶µ¶ ¹·º¹ÂÅº¼³² º²²¶ ¸³»¼·¹º¶º«

§³º¶ ¶ º¹·Ã»¹¸¶ µ¹½¼Ì¶ º¶ µ¯¶ÀÁ³ ·¾µ ¶ »¶¾»Êtica sistematizada presente

·¶ Âµ²Á³ ²¸³¯¶µ ¶ »¶¾»Ê¾¹¸¶ ¿µ³º¼Ì¹º¶ » ¸³·¾xtos sociais diversos é perdida.

Í³µ ¸³·¾¶ º ·Á³ ² ¿µ¸´µ ½¼ ³ ¶¸²²³ Î »¶¾»Ê¾ica escolar possibilita o

¶¸²²³ ¶ ®³µ»¶² »¶¹² ¸³»¿¯°¶² º µ¶¸¹³¸Å·¹³© ¶ Ï·®ase na matemática produzida em

¸³·¾°¾³² ²³¸¹¶¹² º¹Âµ²³² » º¾µ¹»·¾³ º¶ µ¯¶ÀÁ³ com a matemática escolar pode vir

¶ ¹»¿µ¹»¹µ ¼»¶ ¿µÊ¾¹¸¶ ¿º¶ÆÐÆ¹¸¶ »¿³´µ¸º³µ¶« §µata-se de um processo de

²Â¶Ì¹¶»·¾³ º¶ ®¼·ÀÁ³ ¿º¶ÆÐÆ¹¸¶© ¿³¹²© » ÂÌ º se garantir da apropriação dos

¸³·¾Ñº³² ²¸³¯¶µ²© ¿µ³¸²²¶Ò² ¼» °¸²²³ º Â¶¯³rização do conhecimento cotidiano

» ¸³·¾°¾³² ²³¸¹¶¹² º¹Âµ²³² ÇÓ®«Ô ¡¢£¤¡¥¦§§¨© ÕÖÖ×© ÕÖÖÖÈ º¾µ»¹·¶·º³ ¼»¶

º²Â¶¯³µ¹Ì¶ÀÁ³ º³ °µ¸Å¸¹³ ¾Ðµ¹¸³Ò¶´²¾µ¶¾³ ÇÓ®«Ô ABRANTES, 2006), exercício

·¸²²Êµ¹³ ²¿¸Å®¹¸³ Î ¶¾¹Â¹º¶º ²¸³¯¶µ ÇÓ®«Ô ¤¢Ø¡¤¨Ø© ÕÖÙÙÈ ·³ º¸³µµµ º¶

¶¿µ³¿µ¹¶ÀÁ³ º³ ¸³·Ú¸¹»·¾³ ²¸³¯¶µ«

Í¶µ¶ Û³µ¶² ÇÜÝÝÕÈ ¾µ¶¾¶Ò² º ¼» Ëµ¸¼³ º¶ ¾³µ¹¶ÞÔ ³² ¸³·¾Ñº³² ²¸³¯¶µ²

¿¶²²¶µ¶» ¶ ²µ µ®Ä» º³ ®Ï»µ³© º³ ¹»º¹¶¾³ ·¼»¶ ºimensão empobrecedora do papel

º¶ ²¸³¯¶ º ¸¹Ï·¸¹¶ Çº ¶µ¾ ¾¸È« Í¶µ¶ ²²¶ ¶¼¾ora, o que determinou esse processo

²Â¶Ì¹¶º³µ ®³¹ ³ ²¼µÆ¹»·¾³ º¶ ¸µÅ¾¹¸¶ Î Ëµ¶ÌÁ³ »³ºerna de corte iluminista” (Ibidem, p.

ÝßÈ gerando uma forte desestruturação “de tudo o que referenciava a soberania de tal

¸³·¸¿ÀÁ³ º µ¶¸¹³·¶¯¹º¶ºÞÇ¡´¹º»© ¿« ÝßÈ« ¢®¹µ»¶Ô

àáááâ ãäåä æçèéêéë ìíæëîçï çìéïðçåäñòóéôäïõ çæöôíôéonais, éticos ou ìäñ÷ðéôäï ïç êøä ïç æéïìîç åíéï æí ôùíêôçñí æí ôäêôepção moderna e éñöåéêéïðí æç ëíôéäêíñéæíæç ú ãäåä ìçêïíë í ûðéôí äu o conhecimento ïçå ä ïöìäëðç æç öåí ïöüýçðéþéæíæç ñéþëçõ ëíôéäêíñõ consciente e ëçïìäêïÿþçñõ ôíìír æç ýöïðéèéôíë ïçöï íðäï ç ëçïìäêder por eles ? Como ç ä eöç çêïéêíë ïç ðäæíï íï éêðçëìëçðí�îçï ç ìçëïìçctivas são éóöíñåçêðç þÿñéæíï ç ïçå ëçèçëçêðç ú ãäåä ç ä eöç çnsinar se a åöæíê�í ôäêôçéðöíñ ëçìäöïí êí ìçëïöíïøä ç êøä êí ëízão ? Se ôäêôçéðäï ôéçêð÷èéôäï ïøä íìçêíï åíéï öå çêðëç åcñðiplos jogos de ñéêóöíóçå úl �ááá� �ëäôçæçö�ïçõ çêðøäõ í öåí þçëæíæeira sanitarização êí ðíñ nëíôéäêíñéæíæç åäæçëêí ç éñöåéêéïðílá �õ çå tal nível, que se þçëðçö èäëí êøä ïò íï éåìöëçríï æçðçôðíæíï ìçñí éêïpeção crítica. Mas ä ìëòìëéä äüýçðä æí éêïìç�øäo êøä íìçêíï äï åûðäæäï empregados para þíñéæíë ä ôäêùçôéåçêðä ïéïðçåÿðéôä ç íëëíräíæäõ åíï junto com a água


12


! "#$% & # ' (%#% & ! (#)*!+#$& # !", -*'*%#% & +fim, a própria p!..*"*$*%#% % )!/+*01! %! ( #$2 3+.-#4(!45. & +tão, um mal-estar p*.- 6!$7/*)! 84 & 6 . 4 p(!94+%! ) -*)*.6! % .encanto, 6!-*'!45. # . p +.#( #$m6 % .* 6 .6!& p(!p!+%! 4ma agenda que #"(*/# -!%!. !. ap7.:& !. a+ !:& !. a#+-*: 84 -#is, que infestam a *+- $ )-4#$*%#% % +!..!. %*#. a i3"*% 6& p2 ;<=

��A� � >��?�@B� �� C�� >�� C��D� deste processo de esvaziamento

�� C�dD�� B� C��A�>�� @B� C�� om a forma sistematizada do

��E��A��D� A�D�AdD�� A� C��D� � ��F>�� na esfera escolar.

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Eixo-temático 2: Currículo

SÃO PAULO FAZ ESCOLA? MUDANÇAS CURRICULARES NO ÂMBITO

ESTADUAL E A PARTICIPAÇÃO DOS PROFESSORES ESCOLARES

Fernando Luis Pereira FERNANDES – GdS-UNICAMP ([email protected]

Resumo: Este artigo trata de uma pesquisa em andamento, realizada por mim e compartilhada com os integrantes do Grupo de Sábado (GdS), da FE - Unicamp. Os objetos de análise são: material disponibilizado pela Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (SEESP) no processo de implantação da nova Proposta Curricular (PC), Jornal do Aluno e Cadernos do Professor, a Recuperação Intensiva nos 42 primeiros dias letivos e a não participação dos professores da rede na elaboração da mesma. A partir de análise preliminar, observamos nos Cadernos do Professor e Jornal do Aluno, disponibilizado na recuperação inicial, atividades e situações-problema muito semelhantes àqueles encontrados em materiais elaborados pela própria SEESP e em livros didáticos comercializados no país. Na Recuperação Inicial, o tempo disponível para o desenvolvimento e conclusão de todas as atividades do Jornal do Aluno com qualidade se mostrou insuficiente, apresentado num modelo de aula muito semelhante ao utilizado em escolas privadas que utilizam material apostilado. Diante disso, questionamos os modos como essa proposta curricular está sendo concebida e implementada. Afinal, os saberes docentes e experiências de sala de aula não estão sendo valorizados nas situações de aprendizagem, nem mesmo o contexto e a diversidade sócio-cultural em que os alunos se encontram e da comunidade em que vivem, além de uma revisão grosseira de atividades, exercícios e problemas que constam em materiais existentes. A nova PC, apesar de trazer menção à importância da formação de alunos críticos e a valorização da diversificação do trabalho pedagógico provoca um engessamento do trabalho pedagógico do professor em uma lista de conteúdos programáticos por série e dificulta o uso de propostas diferenciadas, por exemplo, de projetos interdisciplinares, modelação e investigações. Podemos inferir que uma possível saída seria a constituição de grupos colaborativos nas escolas, em conjunto, professores escolares, universitários e Equipe Gestora.

Palavras-Chave: Currículo, Políticas Curriculares, Ensino de Matemática, Colaboração.

Uma Breve Introdução

Este artigo apresenta parte de um estudo iniciado por mim no Grupo de Sábado

(GdS), a respeito da nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo. O texto busca

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Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

trazer elementos para discussão e análise do processo de mudança curricular ocorrido

dentro das escolas e a implementação da proposta, a Recuperação Intensiva nos

primeiros quarenta e dois dias letivos do ano de 2008, a análise das situações de

aprendizagem presentes nos Cadernos do Professor, aos quais têm sido distribuídos

bimestralmente e, olhar para um dos principais sujeitos dessa trama e a sua participação:

os professores escolares.

Além da análise das atividades propostas pelas situações de aprendizagem e a

crítica aos modos como essa proposta está sendo implementada, procuro trazer algumas

reflexões acerca dos grupos colaborativos como forma de promover a valorização dos

saberes didáticos pedagógicos dos professores, a formação continuada e

desenvolvimento profissional, tendo como exemplo o GdS.

O Grupo de Sábado é um sub-grupo do PRAPEM – Prática Pedagógica em

Matemática, grupo de pesquisa em Educação Matemática da Faculdade de Educação da

Unicamp. O GdS tem como integrantes professores escolares da rede pública e privada

de Campinas e região, professores universitários, alunos da graduação e pós-graduação,

reunindo-se geralmente a cada quinze dias, aos sábados pela manhã.

Dessa maneira, parte da análise dos resultados presentes foi compartilhada com os

demais integrantes do grupo colaborativo.

Os Vários Currículos e a Nova Proposta Curricular

Ao iniciar uma discussão a respeito de currículo, sentimos a necessidade de

definir esse conceito. Entretanto, Pacheco (2005) aponta que currículo se define,

essencialmente, pela sua complexidade e ambigüidade (p. 34), por se tratar de um

conceito que possui múltiplos significados e concepções construídas histórica e

culturalmente. Apesar de não haver consenso no que concerne ao seu significado, o

termo currículo, como objeto de estudo, possui entre suas características a natureza

prática e comum da educação. Em relação ao aspecto metodológico, mostra-se de

natureza interdisciplinar.

Para Carvalho (2005), ao estudar e discutir currículo é necessário passar pelos

processos e produtos presentes nos discursos em relação à diferença e à

heterogeneidade presente na sala de aula. Ela trata dos diversos currículos e suas inter-

relações, dividindo em currículo concebido, vivido e multicultural. Os PCN e Diretrizes

�� F. L. P. São Paulo faz escola? Mudanças curriculares no âmbito estadual e a participação dos professores escolares. Anais do IX Encontro Paulista de

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Curriculares Nacionais (ou a própria Proposta Curricular de São Paulo) seriam

exemplos de currículo concebido, pois se referem aos documentos oficiais. O currículo

vivido trata daquele currículo que não é prescritivo, não está escrito em lugar algum. Ele

acontece dentro da sala de aula, é a concretização, ou não, do currículo concebido. Trata

das relações de poder presentes nas relações interpessoais dos sujeitos envolvidos na

atividade escolar.

Há, ainda o currículo multicultural. Esse currículo contempla as experiências e

esforços da escola e dos educadores em superar as dificuldades existentes na realidade

social daquela comunidade em que ela está inserida. Esse currículo pode estar presente

em documentos oficiais, como recomendações de um ideal de uma boa escola e de um

bom professor, os quais exercem a cidadania e trazem à tona a discussão sobre a

diferença.

Entretanto, ao analisar propostas e diretrizes curriculares, vemos a incipiência

dessas em colaborar para uma efetiva mudança da realidade escolar. Em geral, são

elaboradas e confeccionadas por cientistas da educação e pesquisadores afastados da

realidade escolar. Conceber currículo como sendo apenas o documento oficial, no qual

trata dos conteúdos a serem trabalhados nos diversos níveis de ensino não seria a forma

mais conveniente e significativa em promover mudanças e transformações das práticas e

da cultura escolares. Acreditamos que as demais formas de currículo são tão

importantes quanto os documentos oficiais.

Nesse ponto, a maneira como a nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo

e os Cadernos do Professor de Matemática estão sendo elaborados, sem considerar as

diferenças sociais, culturais, de raça, gênero e regional, mostram-se, de início,

insuficientes em problematizar e buscar soluções para a melhoria da educação paulista.

Dentro da Escola: O Planejamento Escolar e a Recuperação Intensiva

Após as mudanças apresentadas pela SEESP iniciadas no final do ano de 2007,

com a criação do Projeto São Paulo Faz Escola, muita expectativa foi criada,

especialmente dos professores da rede (e me incluo nesse grupo). Enquanto professor da

rede pública estadual, sempre estive acompanhando as propostas de projetos e

mudanças promovidas pela Secretaria de Educação.


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Com o início do ano letivo, no planejamento escolar, os professores receberam

uma surpresa: uma Recuperação Intensiva de 42 dias. Dentre seus objetivos, o principal

deles era resgatar conteúdos, habilidades e competências de leitura, escrita, raciocínio

lógico e matemático com o envolvimento de todas as componentes curriculares, visando

preparar o alunado para as séries em que se encontravam e, como conseqüência, obter

um maior sucesso na implementação da nova Proposta Curricular.

Enfim, tudo estava pronto! Era só executar! Isso é bom? Promove reflexão dos

professores acerca do trabalho pedagógico realizado por eles?

Segundo Melo (2005),

o problema da inovação curricular versus produção de saberes apresenta-se em diferentes contextos, nos quais os professores são vistos como meros “implementadores” do que é pensado e elaborado por especialistas. Estes últimos apresentam um conjunto de prescrições que, segundo suas concepções e crenças. Constituem as melhores soluções ou alternativas para enfrentar os problemas gerados pela prática de sala de aula. (p. 34)

No contexto do Estado de São Paulo, os professores da rede não foram

consultados sobre as mudanças curriculares. Vemos que o tratamento dado ao

professorado é o de mero implementador dos projetos da SEESP. Não houve e não tem

havido espaço para discutir, debater e refletir sobre as experiências de sala de aula.

Na tentativa de estabelecer uma interlocução com os professores, foi criado um

site, o São Paulo Faz Escola. Nota-se que há nesse site, na verdade, orientações para o

desenvolvimento do trabalho, segundo a Proposta Curricular e a apresentação dos

projetos desenvolvidos pela Secretaria de Educação.

A partir desse contexto, faço a seguinte questão: Será que o material

disponibilizado na recuperação inicial foi suficiente para suprir as dificuldades dos

alunos e nivelá-los à série em que estão matriculados?

No Jornal do Aluno, material elaborado com atividades de todas as disciplinas,

buscando a recuperação de habilidades de leitura, escrita e conhecimentos matemáticos,

os assuntos foram divididos em fichas, no Ensino Fundamental (12 fichas por jornal).

No Jornal disponibilizado aos alunos do Ensino Médio havia, na parte de Matemática,

um total de 30 aulas. Note que a quantidade de aulas semanal no Ensino Médio é menor

que no Ensino Fundamental.


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Em geral, no Ensino Fundamental, cada classe possui seis aulas semanais de

Matemática e, no Ensino Médio, cerca de cinco aulas (no período noturno, em geral, são

quatro aulas por semana). Note que, tornou-se inviável desenvolver com qualidade

todos os conteúdos exigidos na recuperação, tendo em vista a proposta inicial e o tempo

disponível para o desenvolvimento da recuperação. Esse fato não se restringiu apenas

aos professores de Matemática.

O intuito de iniciar o ano letivo com uma recuperação merece elogios, por ser um

período importante ao promover um diagnóstico da realidade escolar e o ponto em que o

professor iniciará o seu trabalho. Porém, o que nos intrigou, foram os modelos de

atividades e problemas presentes no Jornal do Aluno, consideradas pelos responsáveis

pela sua elaboração suficientes para suprir as dificuldades do alunado (em quarenta e

dois dias).

Seria ingenuidade (ou muita prepotência?) em acreditar que alunos com déficit de

aprendizagem pudessem recuperar toda uma quantidade de conteúdos que, em geral,

levariam um semestre, ou quem sabe, um ano, a ser desenvolvido com qualidade.

Algumas dessas atividades constavam em cadernos do Projeto Ensinar e Aprender,

elaborados para alunos com defasagem idade-série (SÃO PAULO, s/d) de escolas

estaduais do Paraná e cedidas ao governo de São Paulo para impressão e distribuição.

Esse material foi elaborado por professores da rede estadual paranaense, para a

realidade de seus alunos. Em São Paulo, não houve qualquer tipo de adaptação ou

mudança do material à nossa realidade. (CRISTOVÃO, 2007)

Trazemos, a seguir, um exemplo dessa transposição. A atividade abaixo é uma

ficha do material do Projeto Ensinar e Aprender, sobre estimativas. Essa mesma

atividade foi encontrada, com pouquíssimas diferenças no Jornal do Aluno, na

recuperação intensiva. Para visualisar a ficha presente no Projeto Ensinar e Aprender

veja em Anexos - Figura 1. Para a ficha do Jornal do Aluno, veja Anexos - Figura 2.

Não seria possível promover uma recuperação dos alunos de todo o Estado, com

orientações vindas da SEESP, as quais trariam os requisitos mínimos exigidos para o

aluno que se encontra em uma determinada série e os educadores elaborariam e

aplicariam uma avaliação diagnóstica baseada nessas orientações ou diretrizes? Nessa

perspectiva, não haveria a necessidade de investir verbas na confecção do Jornal do


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Aluno, afinal, as atividades que ali constam estão presentes em materiais de apoio da

própria Secretaria de Educação e em livros didáticos.

Os Cadernos do Professor

O caderno do professor, elaborado bimestralmente, traz situações de

aprendizagem que o professor pode fazer uso na busca de contextualização ou aplicação

de certos conteúdos, em situações-problema que necessitam de modelação ou situações

que propiciem a generalização e demonstração, por exemplo.

A seqüência dos conteúdos programáticos, em geral, mostrou-se inalterada,

quando comparada à antiga proposta curricular e à maioria dos livros didáticos

disponíveis nas escolas estaduais, salvo raras exceções, quando se optou por trocar a

ordem dos conteúdos dentro da mesma série. Como exemplo, cito a mudança na ordem

dos conteúdos da 1a série do Ensino Médio. Na nova Proposta Curricular, inicia-se o

estudo no primeiro bimestre, com Conjuntos Numéricos, seguido das Progressões

Aritmética e Geométrica. No bimestre seguinte, inicia-se o estudo de Funções.

Essa mudança é justificada por Pietropaolo (2008) da seguinte maneira: “o estudo

das seqüências é importante, pois, além da larga aplicação em problemas (em contextos

matemáticos e de outras áreas do conhecimento), pode favorecer o desenvolvimento do

pensamento algébrico” (p. 8).

Em uma das situações de aprendizagem referente à Progressão Aritmética, consta

a explicação da demonstração da fórmula da soma de uma PA. Para Pietropaolo (2008),

são estratégias que devem ser incentivadas e valorizadas, a fim de que a discussão com

a classe permita a compreensão da demonstração da fórmula.

Ao nosso ver, é justificável a explicação do autor, tendo em vista que os processos

de prova e demonstração tornaram-se quase inexistentes nas aulas de matemática.

Entretanto, não se justifica a presença, no caderno do professor, de uma situação (a

demonstração da fórmula da soma de uma P.A. finita) que está presente em vários livros

didáticos do Ensino Médio comercializados no país. Onde há inovação nisso?

Veja algumas das situações de aprendizagem presentes no Caderno do Professor

em relação à Progressão Aritmética:

B7. Calcule a soma dos termos da progressão (10, 16, 22, ..., 70)

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B8. Calcule a soma dos termos da progressão (13, 20, 27, ...) desde o 21º termo até o 51º termo, inclusive.

B9. Calcule a soma dos números inteiros, divisíveis por 23, existentes entre 103 e 850. (PIETROPAOLO, 2008, p. 21)

No livro didático de Barreto Filho e Silva (2000), encontramos alguns exercícios

do mesmo conteúdo:

(690). Determine a soma dos dezoito primeiros termos da PA (1,4,7, ...) ... (693). Qual é a soma dos cinqüenta primeiros números ímpares?... (695). Qual é a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 20 e 1000?...(697). Escreva a PA em que o primeiro termo é igual a razão e o vigésimo é igual a -100. Determine, também, a soma de seus vinte primeiros termos. (p. 291-292)

Nota-se que, na situação de aprendizagem sugerida pelo Caderno do Professor, as

atividades são semelhantes aos dos livros didáticos.

Em um contexto da 6a série, também há em situações de aprendizagem, propostas

muito semelhantes às dos livros didáticos.

Em Imenes e Lellis (2006) a multiplicação de números inteiros é explicada por

meio de um problema. (vide Anexos - Figura 3)

No Caderno do Professor, a situação é apresentada conforme consta em Anexos –

Figura 4).

No Jornal do Aluno, elaborado para ser utilizado durante os primeiros 42 dias

letivos, num processo de recuperação, também aparece uma atividade semelhante no

jornal preparado para as 7a e 8a séries. (vide Anexos – Figura 5)

Em relação às propostas apresentadas no Caderno do Professor, essas têm se

mostrado aquém daquilo que os professores esperavam. Espera-se inovação e

criatividade em propostas de trabalho que possam, de fato, acrescentarem aos saberes

dos professores escolares e, principalmente, dos alunos. As propostas são copiadas na

íntegra ou alteram os seus enunciados.

Contraponto às Reformas Educacionais e os Professores como Autores

A crítica a ser feita à nova Proposta Curricular paulista não se refere à qualidade

ou ao modelo de atividades e situações propostas aos professores, nos cadernos

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entregues bimestralmente. Afinal, muitas delas são interessantes. Criticamos, sim, a

ausência de criatividade de copiar (ou até mesmo plagiar) propostas já existentes, afinal,

essas atividades e situações são acessíveis à maioria dos professores em livros didáticos

e materiais elaborados pela própria Secretaria da Educação. Além disso, a não

consideração do regionalismo e o engessamento do currículo em uma lista de conteúdos

que não possibilita a diversificação do trabalho didático-pedagógico docente, no

desenvolvimento de projetos, mostram-se como empecilhos nesse processo.

Vemos ocorrer um processo de homogeneização do ensino.

A justificativa dada pelos integrantes da SEESP na criação e implementação da

proposta curricular é de que na falta de um currículo organizado e sistematizado, os

professores não tinham o que seguir e ensinavam os conteúdos que achassem

conveniente.

Será que professores experientes, a maioria deles aprovados e efetivados na

função de professor de educação básica por concurso público, não saberiam o que

ensinar aos seus alunos? Não seriam capazes de gerir suas aulas com responsabilidade e

competência? As mazelas e o fracasso da educação paulista, em especial, da disciplina

Matemática, seriam resultado da ausência de uma lista de conteúdos a serem

desenvolvidos nas séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio?

Pode-se dizer que a Proposta Curricular, elaborada num espaço de tempo

relativamente curto, a qual não passou por discussões e reflexões pelas pessoas que a

elaboraram, muito menos por aqueles que a estão “implementando”, mostra-se incapaz

de obter sucesso e bons resultados a longo prazo. Pode ser que, num futuro muito

próximo vejamos os índices de avaliações de rendimento como Saresp e Prova Brasil

denotem melhoria da aprendizagem dos alunos. Mas, até quando?

Experiências de mudanças curriculares trazidas por Goodson (2007), quando o

autor relata a experiência do governo britânico na implementação de um novo currículo

nas escolas, visando a inclusão social. Como o próprio autor descreve, o resultado foi o

inverso, provocando uma exclusão ainda maior. “Espera-se com urgência que, da

próxima vez que as políticas forem formuladas, as pesquisas relevantes na área de

educação sejam, pelo menos, consultadas e consideradas” (p. 247). Para ele, o currículo

prescritivo segue as “regras do jogo e os financiamentos e recursos estão atrelados a

essas regras”.

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O contexto neoliberal, no qual estamos inseridos, é o pano de fundo de toda a

situação experienciada. Há o risco de estarmos caminhando para o mesmo destino das

mudanças realizadas na Inglaterra.

Diante de todos esses fatores que interferem no trabalho do professor e

acompanhando a degradação desse profissional, reforçamos a seguinte idéia: é

necessário que haja uma valorização do professor. Sua prática didático-pedagógica, sua

experiência são fundamentais nesse processo, é ele que se encontra todos os dias nas

salas de aula, que está em contato com os seus alunos.

Como uma forma possível de promover a formação continuada e a valorização

dos saberes docentes, trazemos as experiências de colaboração e a constituição de

grupos de professores que contemplam essa prática, as quais têm se tornado cada vez

mais freqüentes e oportunas na busca de interlocução entre professores escolares. No

GdS, os professores que ali estão voluntariamente e dispõem de um período do final de

semana para se reunirem,mostram que, a partir de uma “liderança compartilhada”

(FIORENTINI, 2006b) podem aprender junto com seus pares, no desenvolvimento e

discussão de propostas de trabalho diferenciadas e significativas para seus alunos.

O professor como protagonista de sua prática pedagógica. Nessa perspectiva,

Fiorentini (2006a) diz que o GdS tornou-se um “espaço de formação e de constituição

profissional do professor e de construção de sua identidade” (p. 34). É no contato, no

compartilhar de experiências com o outro em que ele se transforma e se torna

continuamente professor.

Sabemos, entretanto, que ao tentar desenvolver essa proposta de trabalho

colaborativo dentro das escolas não é uma tarefa tão simples para os professores. São

vários os empecilhos e obstáculos que surgem no contexto escolar: a falta de apoio da

equipe gestora e coordenação pedagógica, o mau uso das reuniões pedagógicas, (muitas

vezes, esse momento é utilizado apenas para dar recados vindos da Diretoria de Ensino);

a ausência de pessoas ligadas à universidade para uma possível orientação e discussão

de projetos e propostas de trabalho interdisciplinares; a não valorização dessa proposta

pela Secretaria de Educação; a própria visão de alguns professores, que não se

consideram capazes de produzirem saberes.

Essa poderia ser uma maneira de trazer aos professores a oportunidade de se

atualizarem e promoverem uma formação continuada, onde esses seriam os autores do

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seu desenvolvimento profissional, na companhia de outros professores com o mesmo

ideal, compartilhando experiências didáticas, dificuldades e problemas da realidade

escolar, lendo e discutindo textos e artigos que possam, de alguma maneira, promover

uma reflexão sobre o seu trabalho pedagógico.

A busca de qualidade na educação passa pela valorização de seus educadores, nem

entraremos na questão salarial que esses sofrem há tempos, mas do resgate desses

profissionais que têm sido vistos como meros “implementadores” de uma proposta

curricular que se mostra pronta e acabada.


Nas últimas considerações, não buscamos responder a todas as questões postas no

texto, tendo em vista que o estudo realizado ainda não foi finalizado, além de

considerarmos fundamental promover o questionamento e a problematização da

situação em que se encontra a educação no estado de São Paulo. As críticas realizadas

não deveriam ser vistas sob um olhar político-partidário, pois não é esse o fim do

presente texto. São análises realizadas a partir do material disponibilizado pela própria

Secretaria de Educação por professores que lidam e utilizam o Caderno do Professor e

procuraram olhar com outros olhos, com criticidade e observação, a imposição do

sistema, à subserviência.

A elaboração de um material como esse, de fato, não veio acrescentar e colaborar

numa efetiva mudança da qualidade da educação e das práticas dos professores. Mas,

ainda é cedo para tomarmos conclusões mais amplas.

As causas e as mazelas desse modelo de educação são diversas, inclusive a

Progressão Continuada, também entendida por parte da sociedade como Promoção

Automática. A criação de uma nova proposta e o investimento feito, a logística aplicada

na elaboração, edição e distribuição do material trarão melhorias ao ensino? O que os

professores esperam para melhorar o ensino? Que tal dar voz a esses que se encontram

nas salas de aula? Acreditamos que não seja apenas dar voz, é preciso que eles sejam

ouvidos.

A realidade de boa parte das escolas estaduais, em especial àquelas localizadas

nas periferias das grandes cidades, é bem diferente dessa apresentada pela proposta, a

qual nem considera a diversidade sócio-cultural. Consideramos importante a

¿ÀÁÂÃÂÄÀÅÆ F. L. P. São Paulo faz escola? Mudanças curriculares no âmbito estadual e a participação dos professores escolares. Anais do IX Encontro Paulista de

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organização de um currículo comum à rede. Porém, atrelar a bonificação de professores

ao rendimento dos alunos em avaliações como Saresp, índices de reprovação e evasão

são inadmissíveis. Como ficarão as escolas e seus funcionários que nelas trabalham,

como cumprir o currículo prescritivo elaborado pela SEESP se são vários os problemas

que ali apresentam? Ao seguir esse raciocínio, vemos que esses profissionais jamais

receberão melhorias em seus salários.

Enfim, buscamos saber a quem está sendo benéfico esse modelo que está sendo

instituído, pois nem mesmo o caderno do professor e a recuperação intensiva têm se

mostrado capazes de colaborar na mudança da realidade escolar. É preciso, cada vez

mais união, diálogo, comunicação e a constituição de parcerias entre os professores e a

equipe gestora para que, juntos, possam elaborar um projeto de escola que seja própria à

sua realidade, a criação de um currículo que não abandone os conteúdos e saberes das

disciplinas, mas que contemple uma gama de possibilidades formativas aos alunos, que

o conhecimento não apenas passe por eles, mas que lhes passe, lhes transforme

(Larrosa, 2002). Acredito que seja essa a missão do educador e da escola, quando

pensamos na palavra cidadania, tão usada e abusada nos últimos tempos e com

significado desgastado e distorcido.

Referências

BARRETO FILHO, B., SILVA, C. X., Matemática Aula por Aula: volume único: ensino médio. São Paulo, Editora FTD, 2000.

CARVALHO, J. M. Pensando o currículo escolar a partir do outro que está em mim, In: FERRAÇO, C. E. (Org.) Cotidiano escolar, formação de professores(as) e currículo,Série Cultura, Memória e Currículo. São Paulo: Cortez, 2005.

CRISTOVÃO, E. M. Investigações Matemáticas na recuperação de Ciclo II e o desafio da inclusão escolar. 2007. 158p. Dissertação. (Mestrado em Educação – linha pesquisa Educação Matemática). Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

FIORENTINI, D. Grupo de sábado: Uma história de reflexão, investigação e escrita sobre a prática escolar em matemática, In: FIORENTINI, D., CRISTOVÃO, E. M. (Org). Histórias e Investigações de/em Aulas de Matemática. Campinas, Alínea, 2006a, p.13-36;

ÇÈÉÊËÊÌÈÍÎ F. L. P. São Paulo faz escola? Mudanças curriculares no âmbito estadual e a participação dos professores escolares. Anais do IX Encontro Paulista de

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FIORENTINI, D. Pesquisar práticas colaborativas ou pesquisar colaborativamente? In: BORBA M. C., ARAÚJO, J. L. (Org) Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. 2ª Edição. Belo Horizonte, Autêntica, 2006b, p.49-78;

GOODSON, I. Currículo, narrativa e futuro social. Revista Brasileira de Educação,v.12, nº 35, Maio/Agosto 2007.

LARROSA, J. Notas sobre a experiência e o saber de experiência. Revista Brasileira de Educação, nº 19, Jan/Abr 2001.

IMENES, L. M.; LELLIS, M. C. Matemática Paratodos: 6ª série: 7º ano do Ensino Fundamental. São Paulo: Scipione, 2006;

MELLO, J. L. P., Caderno do professor. Matemática: Ensino Fundamental 6ª série 1º bimestre. São Paulo: SEE, 2008;

MELO, G. F. A. Saberes docentes de professores de matemática em um contexto de inovação curricular, In: FIORENTINI, D.; NACARATO, A. M. (Orgs.). Cultura, formação e desenvolvimento profissional de professores que ensinam Matemática.São Paulo. Musa Editora; Campinas, SP: GEPFPM – PRAPEM -FE/UNICAMP, 2005, p. 33-48;

PACHECO, J. A. Escritos Curriculares. São Paulo: Cortez, 2005;

PIETROPAOLO, R. C. Caderno do professor. Matemática: ensino médio 1ª série 1º bimestre. São Paulo: SEE, 2008;

SÃO PAULO (Estado) Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Jornal do Aluno – São Paulo Faz Escola. Edição Especial da Proposta Curricular. Ensino Fundamental 5ª série/ 6ª série e 7ª /8ª série, Fevereiro de 2008;

SÃO PAULO (Estado) Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas/ CENPEC. Projeto Ensinar e Aprender: construindo uma proposta. São Paulo: SEE/CENP. Matemática, 4 volumes, s/d.

ÏÐÑÒÓÒÔÐÕÖ F. L. P. São Paulo faz escola? Mudanças curriculares no âmbito estadual e a participação dos professores escolares. Anais do IX Encontro Paulista de

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ANEXOS

Figura 1 (Extraído de São Paulo (s/d))

Figura 2 (Extraída do Jornal do Aluno, 5ª/6ª Série, p. 45)

×ØÙÚÛÚÜØÝÞ F. L. P. São Paulo faz escola? Mudanças curriculares no âmbito estadual e a participação dos professores escolares. Anais do IX Encontro Paulista de

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Figura 3 (Extraído de Imenes e Lellis, 2006, p. 211)

Figura 4 (Extraída de Mello, 2008, p. 27)

ßàáâãâäàåæ F. L. P. São Paulo faz escola? Mudanças curriculares no âmbito estadual e a participação dos professores escolares. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

15

Figura 5 (Extraída do Jornal do Aluno, 7ª/8ª Série, p. 36)

çèéêëèì íî ïðëñðòì íî éî íèóèôõöì éî ÷î öõñøùúõû øî üî òýþÿýT��

Didáticas e o Ensino-Aprendizagem de Conteúdos de Análise Combinatória. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-10. (ISBN 978-85-98092-07-2).


SEQÜENCIAS DIDÁTICAS E O ENSINO-APRENDIZAGEM DE CONTEÚDOS

DE ANÁLISE COMBINATÓRIA

Camila TORINO – PUC Campinas – ([email protected])Dra. Clayde Regina MENDES – PUC Campinas – ([email protected])

Raphael Zen COVOLAM – PUC Campinas – ([email protected])Renata Fernandez MADRUGA – PUC Campinas – ([email protected])

Resumo: Trabalhar com seqüências didáticas que envolvam conceitos de análise combinatória é uma idéia bastante interessante, pois possibilita que os alunos da Educação Básica desenvolvam habilidades que os auxiliem na análise, na interpretação e na crítica de informações retiradas de situações cotidianas e que chegam até eles através dos mais variados meios de comunicação. Em vista disso, é extremamente importante que os professores de Educação Básica estejam preparados para não apenas compreender a linguagem estatística, mas também para levar seu aluno a desenvolver o pensamento combinatório e probabilístico. Infelizmente, ainda se observa uma certa carência de material didático para o desenvolvimento do raciocínio combinatório e probabilístico e, por isso, o objetivo deste trabalho é propor tarefas e atividades que propiciem o desenvolvimento do raciocínio combinatório na Educação Básica através de materiais de manipulação, buscando, quando possível, estabelecer relações com acontecimentos do cotidiano. Espera-se, com isso, dar aos alunos desafios cada vez maiores para que eles desenvolvam algumas de suas habilidades cognitivas, ou seja, aquelas necessárias para a alfabetização quantitativa, especialmente no que diz respeito ao raciocínio combinatório e probabilístico e, também, auxiliar os professores de Educação Básica apresentando algumas maneiras de trabalhar esses conteúdos em suas salas de aula.

Palavras-chave: Raciocínio Combinatório e Probabilístico, Formação de Professores de Matemática, Habilidades Cognitivas.

Financiamento: FAPIC- Reitoria PUC-Campinas/PIBIC-CNPq.

Introdução

A Estatística surge como uma forma organizada de realizar a contagem dos

elementos, dispondo seus resultados em tabelas e gráficos para serem visualizados de

forma clara e compreendidos mais facilmente, auxiliando na tomada de decisões através

da análise quantitativa e qualitativa de dados, abrangendo as relações intrínsecas entre

��

Didáticas e o Ensino-Aprendizagem de Conteúdos de Análise Combinatória. Anais do 2

IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-9. (ISBN 978-85-98092-07-2).

variáveis, o que torna a Probabilidade uma ferramenta indispensável em estudos

estatísticos que envolvam inferências sobre uma população através de uma amostra. Os

primeiros conceitos de probabilidade datam do século XVII, e os encontramos no

interior da Matemática. Era uma tentativa dos matemáticos da época de quantificar a

incerteza. Motivados pelos jogos de azar, que movimentavam uma elevada soma de

dinheiro, o desenvolvimento do conceito de probabilidade deu margem à criação de um

campo específico denominado de Teoria dos Jogos.

A Teoria das Probabilidades concentra-se no estudo teórico de fenômenos

envolvendo a possibilidade de ocorrência, utilizando ferramentas básicas e sofisticadas

do Cálculo Matemático. Tais eventos, denominados aleatórios, estocásticos ou não-

determinísticos, são aqueles que, dada sua repetição experimental, em condições

semelhantes, produzem resultados diferenciados, isto é, não é possível determinar, com

exatidão, qual o seu resultado. Esses fenômenos, na verdade, são predominantes em

todas as áreas do conhecimento. O início do estudo das probabilidades se efetuou com a

observação de fenômenos e situações que ocorriam no dia-a-dia, em que algumas vezes

foram julgadas como desejo de ordem divina. Pinturas em tumbas egípcias feitas em

3500 a.C. mostram pessoas jogando uma forma primitiva de dados feitos de um osso do

calcanhar de nome astrágalo e este osso era dotado de quatro faces (BAYER et al,

2005).

Conta-se que o primeiro problema de Probabilidade foi proposto a Pascal pelo

Cavaleiro De Méré e tratava da busca por compreender um determinado jogo com três

dados, onde Méré não conseguia entender os resultados observados. A teoria relativa às

probabilidades surgiu através da correspondência entre Pascal e Fermat, porém

encontraram a solução para o problema separadamente, por caminhos diferentes.

Jacques Bernoulli inicia a visão freqüentista de probabilidade em sua obra Ars

Conjectandi (1713), onde estabelece que a probabilidade de um evento, dada a sua

freqüência observada quando a experiência é repetida um grande número de vezes tende

a um valor constante quando o número de ensaios desse evento tende para o infinito.

Esta teoria ficou conhecida como Lei dos Grandes Números ou Teorema de Bernoulli.

A Estatística e a Probabilidade foram, por muito tempo, duas áreas distintas do

conhecimento, entretanto, compartilhavam preocupações com a contagem; a Estatística

na contagem do certo e a Probabilidade na contagem do incerto. Com a tentativa da

� !"# $ %& '(#*(+$ %& !& % , -.'$ !& /& '.*!01.$ !& 2& +34536789:



utilização da contagem do incerto, como uma referência na contagem do certo que

possibilitou a integração destas duas áreas. Andrei Kolmogorov em 1933 adaptou a

nova definição de probabilidade que atualmente designamos por "Definição

freqüentista", dando início ao desenvolvimento da Teoria Moderna de Probabilidade.

Nos dias atuais, no entanto, não é mais possível pensar em estatística sem pensar em

probabilidade.

A probabilidade constitui a base da estatística indutiva, permitindo a tomada de

decisões e ao quantificar o erro cometido subsidia o estudo dos fenômenos aleatórios. A

conceituação de Probabilidade se aperfeiçoou com o passar dos anos e, atualmente,

conforme apresentado por Bayer et al (2005) são consideradas três diferentes

abordagens:

Clássica: primeiramente publicada pelo italiano Girolamo Cardano no livro

Liber de ludo alea (Livro dos jogos de azar) em 1525, apresenta probabilidades na

forma de frações;

Freqüentista: estabelece o cálculo de probabilidades por meio de observações

sucessivas de um experimento aleatório, sendo a probabilidade estimada de maneira

empírica experimental, podendo ser encontrada quando o número de experimentações

tende ao infinito;

Axiomática: as bases dessa teoria se devem ao russo Andrei Kolmogorov com

uma publicação de 1933.

Os PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) propõem que o

ensino da probabilidade e da estatística tenha por objetivo desenvolver no aluno

posicionamentos críticos sobre as informações provenientes de estudos estatísticos, bem

como a capacidade de fazer previsões e tomar decisões à luz de informações estatísticas,

e, nesse sentido, Bayer et al (2005) complementam que esses conteúdos têm a

finalidade de promover a compreensão de grande parte dos acontecimentos do cotidiano

que são de natureza aleatória, possibilitando a identificação de resultados possíveis

desses acontecimentos.

Além disso, autores como Machado (2000), acreditam que a introdução da

Estatística e das probabilidades no currículo pode também ser justificada por constituir

um meio de abordar, de uma forma natural, diferentes temas e aplicações da

Matemática.

;<=>?<@ AB CD?EDF@ AB =B A<G<HIC@ =B JB CIE=KLI@ =B MB FNOPNQRSUV



Em meio a essas preocupações, verificamos que em avaliações educacionais de

grande porte, neste trabalho especificamente o SARESP - Sistema de Avaliação de

Rendimento Escolar do Estado de São Paulo dos anos de 2004, 2005 e 2007, aparecem

questões relacionadas à probabilidade, à análise combinatória e à interpretação de

gráficos e tabelas.

Daí surge uma pergunta importante: como podemos auxiliar os professores de

Educação Básica no trabalho com conteúdos de probabilidade?

Uma idéia é que esses conteúdos sejam apresentados aos alunos através de

seqüências didáticas, pois como destaca Machado (2000, p. 07)

a seqüência didática é uma unidade de trabalho escolar, constituída por um conjunto de atividades que apresentam um número limitado e preciso de objetivos e que são organizadas no quadro de um projeto de apropriação de dimensões constitutivas de um gênero de textos, com objetivo de estruturar as atividades particulares em uma atividade global, de tal forma que essas atividades tenham um sentido para os aprendizes.

Então, tomando por base os conceitos propostos nos livros didáticos da Educação

Básica, foi nosso objetivo propor tarefas e desenvolver atividades que propiciem o

desenvolvimento do raciocínio combinatório e o ensino/aprendizagem de conteúdos de

probabilidade nesse nível de ensino.

Algumas Seqüências Didáticas Propostas

Atividade 1: Os Uniformes De Futebol

A questão 20 da prova do 4º ano do Ensino Fundamental do SARESP 2005,

abordou o tema de análise combinatória (Figura 1).

WXYZ[X\ ]^ _`[a`b\ ]^ Y^ ]XcXde_\ Y^ f^ _eaYghe\ Y^ i^ bjkljmnopq



Figura 01: Questão 20 da prova do 4º ciclo do Ensino Fundamental do SARESP 2005.

Como o professor pode trabalhar em sala de aula?

Sugerimos que o professor divida a sala em duplas, preferencialmente uma

menina e um menino, pelo fato de que os meninos demonstram maior empolgação por

se tratar de uma atividade ligada ao futebol. Após essa divisão o professor daria uma

pequena introdução sobre a questão que estaria sendo discutida. Cada aluno deve

receber os diagramas (desenhados) ou modelos de manipulação confeccionados em

papel colorido (os alunos também podem participar da confecção desses modelos).

Essa atividade tem por objetivo desenvolver o raciocínio probabilístico através da

visualização das possibilidades e/ou da manipulação de materiais. A mobilização pode

ser conseguida com a contextualização do trabalho matemático relacionado ao futebol, o

que instiga a interdisciplinaridade do trabalho pedagógico à medida que o professor de

matemática poderá levantar juntos aos alunos outras questões referentes aos benefícios

do esporte em nossas vidas.

A partir daí, dependendo do nível da turma em que esses conceitos estejam sendo

trabalhados, o professor pode escolher os caminhos que levem à solução das perguntas

apresentadas a seguir.

Figura 02: Modelos propostos de calções, camisetas e chuteiras

rstuvsw xy z{v|{}w xy ty xs~s��zw ty �y z�|t��w ty �y }��



Para instigar os alunos na solução desses problemas, o professor pode, por

exemplo, propor uma gincana, mas, o mais importante, é que os alunos manipulem o

material e busquem chegar a uma solução sozinhos, mesmo que inicialmente ela seja

errada!

1. No terceiro conjunto temos duas chuteiras, sendo uma de cada cor, e no segundo

temos duas camisetas, também uma de cada cor. Quantos elementos haverá na união

desses dois conjuntos?

2. Se você estiver vestido com o calção preto, quantas opções de combinações com

as camisetas você tem? (o professor pode sugerir o uso de árvores de possibilidades,

para auxiliar o aluno).

3. Quantos uniformes diferentes podemos formar utilizando um calção, uma

camiseta e um par de chuteiras?

4. Se você possuir apenas o calção vermelho, as duas camisetas e os dois pares de

chuteiras, quantos uniformes diferentes podem ser formados?

5. Se você possuir apenas o calção preto, as duas camisetas e os dois pares de

chuteiras, quantos uniformes diferentes podem ser formados? (Nesse ponto professor

deve instigar o aluno a perceber que se juntarmos os resultados das questões 7 e 8

obtemos o da questão 6)

6. Se você tiver apenas o calção vermelho e a camiseta azul, mas as duas opções de

pares de chuteiras, quantos uniformes distintos você pode formar?

7. Se você tiver apenas a camiseta azul e as chuteiras pretas, mas temos as duas

opções de calção, quantos uniformes distintos você pode formar?

Atividade 2: Os Números

A questão 12 da prova do 3º ciclo do Ensino Fundamental do SARESP 2005,

abordou conceitos de análise combinatória (Figura 3).

Figura 03: Questão 12 da prova do 3º ciclo do Ensino Fundamental do SARESP 2005

�� ¡¢ £¤¥¦§



Para facilitar o desenvolvimento desses conceitos em sala de aula, sugerimos que

o professor divida a sala em grupos de quatro alunos e proponha uma gincana, por

exemplo. Cada grupo deve receber cartões numerados (Figura 4) e ir realizando as

atividades propostas “concretamente” e, à medida que os diferentes resultados das

questões vão surgindo, eles devem fazer o registro desses resultados.

Esta seqüência didática possibilita que os alunos tenham seus primeiros contatos

com análise combinatória e, adaptada à forma de utilização e ao material, ela pode ser

utilizada desde as séries iniciais até as séries finais da Educação Básica.

Figura 04: Modelo dos cartões numerados

1. Quantos números de dois algarismos é possível formar usando 1, 2 e 3 sem

repetir?

2. Começando pelo 2, quantos números diferentes de três algarismos podemos

formar?

3. Começando pelo 3, quantos números diferentes de três algarismos podemos

formar?

4. Quantos números três algarismos é possível formar usando 1, 2 e 3 sem repetir?


Trabalhar com seqüências didáticas que envolvam conceitos de análise

combinatória é uma idéia bastante interessante, pois possibilita que alunos da Educação

Básica desenvolvam habilidades que os auxiliem na análise, na interpretação e na crítica

de informações retiradas de situações cotidianas e que chegam até eles através dos mais

variados meios de comunicação.

Em vista disso, é extremamente importante que os professores de Educação

Básica estejam preparados para não apenas para compreender a linguagem estatística,

mas também para levar seu aluno a desenvolver o pensamento combinatório e

¨©ª«¬© ®¯ °±¬²±³ ®¯ ª¯ ®©´©µ¶° ª¯ ·¯ °¶²ª¸¹¶ ª¯ º¯ ³»¼½»¾¿ÀÁÂ



probabilístico. Infelizmente, o que ainda se observa é a existência de carência de

material didático para o desenvolvimento do raciocínio combinatório e probabilístico e

o uso de tarefas e de atividades que tragam para a sala de aula acontecimentos do

cotidiano, podem motivar um pouco mais os alunos para a aprendizagem de conceitos

probabilísticos que podem ser inseridos nas aulas de Matemática.

Espera-se, com isso, dar ao aluno desafios cada vez maiores para que ele

desenvolva algumas de suas habilidades cognitivas, ou seja, aquelas necessárias para a

alfabetização quantitativa, especialmente no que diz respeito ao raciocínio combinatório

e probabilístico e propiciar aos professores de Educação Básica algumas formas de

trabalhar conceitos de análise combinatória a partir das séries inciais.

Referências

BAYER, A. et al. Probabilidade na Escola. In: Anais do III Congresso Internacional de Ensino de Matemática, Canoas/Rio Grande do Sul: Universidade Luterana do Brasil (ULBRA), 2005.

BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): Matemática. Brasília, DF, 1998. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/index.php?option=content&task=view&id=264&Itemid=254Ã¯ ¶¿»ÂÂÄ »ÅÆ ÇÈ É» ÅÁÀÄ ÇÊÊË¯

DIOGO, M.A. Probabilidade Através de Problemas Geradores: Dados, Cartas, Loterias e outros jogos. In: Anais do III Congresso Internacional de Ensino de Matemática,2005, Canoas/Rio Grande do Sul: Universidade Luterana do Brasil (ULBRA), 2005.

MACHADO, A.R. Uma Experiência de Assessoria Docente e de Elaboração de Material Didático para o Ensino de Produção de textos na universidade. D.E.L.T.A.Vol.16, N. 1, 2000, p. 01–26.

SÃO PAULO (Estado) Secretaria de Estado da Educação. Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo 2005 (SARESP): Versões das provas por séries. Disponível em:<http://saresp.edunet.sp.gov.br/2005/subpages/versoes_provas_séries.htmlÃ¯ ¶¿»ÂÂÄ

em: 30 de maio, 2007.

SÃO PAULO (Estado) Secretaria de Estado da Educação. Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo 2007 (SARESP): Versões das provas por séries. Disponível em: <http://saresp.edunet.sp.gov.br/2007/subpages/provas.htmlÃ¯Acesso em: 04 de março, 2008.

ÌÍÎÏÐÍÑ ÒÓ ÔÕÐÖÕ×Ñ ÒÓ ÎÓ ÒÍØÍÙÚÔÑ ÎÓ ÛÓ ÔÚÖÎÜÝÚÑ ÎÓ ÞÓ ×ßàáßâãäåæ

Didáticas e o Ensino-Aprendizagem de Conteúdos de Análise Combinatória. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-9. (ISBN 978-85-98092-07-2).

9

SÃO PAULO (Estado) Secretaria de Estado da Educação. Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP). Disponível em: <http://www.educacao.sp.gov.br>. Acesso em: 30 de maio, 2007.

çèéêëçì J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica nas séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 7: Resolução de Problemas e Investigação Matemática

SINAL DE IGUALDADE, PRODUÇÃO DE SIGNIFICADOS E EDUCAÇÃO

ALGÉBRICA NAS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL

Ms. João Ricardo Viola dos SANTOS – UNESP, Rio Claro ([email protected]í

Resumo: Para grande parte dos alunos o estudo da Álgebra se restringe apenas ao simbolismo algébrico, na resolução de expressões, equações e funções por meio de procedimentos mecânicos e pré-definidos. Há, em grande parte dos professores, uma visão dicotômica entre o conhecimento aritmético e o algébrico, sendo que na maioria das vezes eles são trabalhados de maneira isolada, na qual o primeiro antecipa o segundo, como se não fosse possível alguma relação das idéias matemáticas que permeiam essas áreas. Para a implementação da Educação Algébrica nas séries iniciais do Ensino Fundamental ainda necessita-se de trabalhos que ofereçam discussões sobre como trabalhar aspectos desse conhecimento. O presente trabalho tem por objetivo discutir uma tarefa, que envolve o sinal de igualdade, modos de produzir significados de alunos e possíveis maneiras para os professores interagirem e intervirem no processo de produção de significados dos alunos em sala de aula. Para isso, tomamos uma tarefa e modos de produção de significados de alunos, de trabalhos que têm a perspectiva de iniciar a Educação Algébrica já nas séries iniciais do Ensino Fundamental e que discutem aspectos do sinal de igualdade. Constituímos dois alunos fictícios para discussão e um diálogo no qual o professor oportuniza uma mudança do que significa o sinal de igualdade. Utilizamos como referência o Modelo dos Campos Semânticos (Lins, 1999) para nossas discussões. Neste trabalho oportunizamos um contexto para professores elaborarem tarefas na perspectiva de iniciar a Educação Algébrica nas séries iniciais do Ensino Fundamental.

Palavras-chave: Sinal de Igualdade, Produção de Significados, Educação Algébrica.

Cenas de um contexto escolar

Ainda hoje nos deparamos com alunos que apresentam dificuldades, como essa1

ao se depararem com tópicos do conhecimento algébrico.

Será que esse aluno não sabe resolver uma adição de frações na qual se tem letras

ao invés de números? Será que ele se equivocou no procedimento utilizado? Essas e

outras seriam justificativas que apenas caracterizariam esse aluno pela falta e pouco nos

possibilitariam conhecê-lo. Em relação a isso, o que geralmente é feito nas escolas, é o

îïðñòîó J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica nas séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de

2

Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

professor chamar esse aluno, mostrar como se faz uma adição de fração e não se

importar com o que ele pensou para resolver a tarefa proposta. Com isso, o aluno apenas

reproduz aquilo que o professor mostra.

Em outra perspectiva podemos pensar que para esse texto2 o aluno produziu um

significado diferente do que aquele relacionado à adição de frações. Pode ser que ele

operou com as letras da mesma forma que se opera com os números naturais. Assim,

adiciona as duas letras que se encontram na parte de cima e utiliza o mesmo

procedimento para as letras que se encontram na parte de baixo. Possivelmente para

esse aluno, os numeradores e os denominadores, objetos3 constituídos por nós aos quais

produzimos certos significados sistematizados, para ele são apenas letras que estão em

cima e letras que estão em baixo. Ao olharmos sua justificativa para a tarefa

percebemos que esse foi, um possível, modo pelo qual esse aluno produziu significados

e constituiu um objeto4.

Vemos com isso que não se trata de uma dificuldade no procedimento ou uma

falta para aluno, mas sim que para ele, possivelmente, o objeto constituído foi o de uma

adição de números naturais que estão colocados de uma forma diferente (um em baixo

do outro), sendo que como ao invés de números, temos letras na tarefa, e assim

adicionamo-las.

Na escola, geralmente, são poucas as discussões, oportunizadas por professores,

sobre as diferenças entre a adição de números naturais e racionais. Geralmente se pauta

uma regra e esta é seguida com poucos debates. Em um momento se trabalha com os

números naturais, em outro desarticulado com este, com os números racionais.

Esse exemplo ilustra que podem ser diferentes os modos de produzir significados

para um texto matemático e em muitos casos a maneira pela qual o aluno resolve uma

determinada tarefa tem regras sistematizadas por ele que não mostra uma falta de

conhecimento ou equívoco na resolução.

O objetivo desse trabalho é discutir uma tarefa, que envolve o sinal de igualdade,

produções de significados de alunos do Ensino Fundamental e possíveis maneiras para

professores interagirem e intervirem no processo de produção de significados dos

alunos em sala de aula. Discutimos aspectos da dinâmica de processos de negociação de

significados entre professores e alunos, nos quais os professores não se reduzem ao eu

mostro como faz e você copia, mas sim na perspectiva do vamos conversar sobre o que

ôõö÷øôù J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica nas séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de

3


você fez, talvez possamos falar sobre outras coisas. Para isso, tomamos a tarefa e os

modos de produção de significados de alunos, de trabalhos que têm a perspectiva de

iniciar a Educação Algébrica dos alunos já nas séries iniciais do Ensino Fundamental e

que oportunizam discussões entre professores e alunos. Constituímos dois alunos

fictícios para discussão e um diálogo no qual o professor oportuniza uma mudança do

que significa o sinal de igualdade para um aluno.

Sobre a Educação Algébrica nas Séries Iniciais do Ensino Fundamental

Grande parte dos professores da Educação Básica tem uma visão dicotômica entre

o conhecimento aritmético e o algébrico, e com isso, dão um tratamento em sala de aula

de maneira isolada, na qual o primeiro antecipa o segundo, como se não fosse possível

alguma relação das idéias matemáticas que permeiam essas áreas. Nas primeiras séries

do Ensino Fundamental, inicia-se na escola a aprendizagem dos sistemas de numeração,

as quatro operações, um pouco de geometria, entre outros conteúdos. Apenas na 6ª ou 7ª

série eles têm o primeiro contato com a álgebra que, geralmente, é tratada como uma

linguagem simbólica e mecanizada. As discussões focam a resolução de equações,

sistemas de equações, nas quais a ‘historinha’ do passa pra lá e passa pra cá ainda é

presente.

Nas práticas dos professores da Educação Básica aulas em que estejam presentes

tarefas que oportunizem o estabelecimento de padrões matemáticos, reconhecimento de

regularidades nos conjuntos numéricos ou em figuras geométricas (em processo de

generalização por meio de alguma linguagem algébrica5), discussão dos diferentes

significados para o sinal de igualdade, o desenvolvimento do pensamento relacional, é

algo a ser instaurado.

Para uma perspectiva das aulas de matemática que oportunizem uma visão das

idéias matemáticas que estão presentes, tanto na álgebra quanto na aritmética e também

na geometria e estatística, é necessária uma abordagem integradora, interdependente e

relacional entre essas áreas de conhecimento. Esta pode ser construída com o intuito de

que, na escola, a meta seja ampliar os modos de produção de significados dos alunos

trazendo outros elementos para suas vidas. O que acontece se tentarmos generalizar uma

situação particular? Como podemos construir uma linguagem abstrata que sirva para

vários casos particulares? Será que podemos produzir outros significados para o sinal de

úûüýþúÿ J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica nas séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de

4


igualdade, a não ser aquele da aritmética: é o mesmo que? Será que podemos adicionar

números sem fazer tantas contas, mas pensando sobre a estrutura na qual se constitui o

contexto em que eles estão presentes? Esses são questionamentos que podem nortear a

prática dos professores que educam seus alunos por meio da matemática. Nesse artigo

propomos algumas situações nas quais questionamentos surgem na perspectiva de

ampliar os modos de produção de significados.

No relato de Lins, em Kendal e Stacey (2004), a Educação Algébrica no Brasil

segue o modelo tradicional da manipulação de símbolos. Não se oportuniza

estabelecimento de padrões em figuras geométricas ou em seqüências numéricas e nem

mesmo tarefas que envolvam uma busca de generalizações. Os alunos, em grande parte,

apenas resolvem equações lineares e sistema de equações, manipulam expressões

algébricas e se apropriam de um “jogo” de regras algébricas. A cultura entre os

professores de matemática no Brasil está ancorada no “ensino de conteúdos”

(KENDAL; STACEY, 2004). Apesar de vários documentos nacionais e vários trabalhos

apresentarem alternativas mais promissoras para possíveis aprendizagens dos alunos, o

que acontece na escola é pautado nas aulas tradicionais: conteúdo; explicação do

professor; exemplos; e, exercícios para os alunos resolverem.

De acordo com Kieran (2006) as pesquisas sobre a Educação Algébrica já nas

séries iniciais da Educação Básica, começaram a estar mais presente nos interesses dos

pesquisadores da Educação Matemática a partir de 1995, sendo que os principais temas

são: o pensamento relacional entre as equações numéricas; relação de simbolização

entre as quantidades; trabalho com equação; desenvolvimento do pensamento funcional

e a criação de um entendimento sobre as propriedades matemáticas. Entretanto, para a

realidade brasileira são poucos os trabalhos que tratam dessa temática e oferecem

possibilidades para os professores instaurarem a Educação Algébrica em suas práticas.

Ainda necessitamos de trabalhos que oportunizem outras maneiras de pensar a

Educação Algébrica.

Carpenter, Franke e Levi (2003), propõem que algumas das questões principais

para o desenvolvimento do raciocínio algébrico são as discussões das diferenças do

sinal de igual tanto no campo aritmético quanto no algébrico, o desenvolvimento do

pensamento relacional entre as expressões numéricas, a construção de conjecturas

matemáticas e suas representações simbólicas, o trabalho com equações com diversas

S��S� J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica nas séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de

5


variáveis sendo elas repetidas, a justificação e prova de algumas conjecturas

matemáticas, as construções de igualdades de múltiplas operações e as relações de

implicações tanto da aritmética quanto da álgebra. No trabalho desses pesquisadores são

apresentados exemplos de atividades realizadas por alunos e discussões para

professores.

Carraher et al (2006) apresenta resultados de estudos em que crianças de sete anos

de idade utilizam idéias algébricas para resolver seus problemas. Por meio de uma

abordagem adequada e da valorização das maneiras idiossincráticas dos alunos ao se

depararem com as idéias da álgebra, mostra que a Educação Algébrica deve se iniciar

desde muito cedo na escola e que isso traz vários benefícios para os alunos nas séries

superiores.

No estudo de Viola dos Santos e Buriasco (no prelo) com a produção escrita de

alunos da 4ª série do Ensino Fundamental encontramos na resolução dos alunos a

expressão de aspectos do pensamento algébrico, tais como o pensamento relacional com

informações do enunciado e a expressão de processos que envolvem relações entre as

estruturas aritméticas6 por meio de ações sintáticas, que sigam regras procedimentais e

formais, e, semânticas, que atribuam algum sentido lógico para a relação dessas

estruturas, ao resolverem uma tarefa.

Esses, entre outros trabalhos, mostram que é possível os alunos lidarem com

elementos da Álgebra já nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Ela pode trazer

várias contribuições para as futuras aprendizagens dos alunos em relação a outros

conteúdos dentro e fora do domínio da matemática. Como afirma Lins e Kaput (2004)

“ela oportuniza criar um tipo particular de generalidades no pensamento dos alunos (p.

47)”. Por conseguinte, “iniciar Educação Algébrica nas séries iniciais não é somente

possível, mas também necessário (p. 47)”. Como Viola dos Santos e Buriasco (no prelo)

afirmam,

parece não existir motivos outros que não sejam de cunho político e de tradição pedagógica, para não começarmos colocar nos currículos tópicos que tratam do desenvolvimento do pensamento e da atividade algébrica dos alunos.

�� J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica nas séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de

6


O sinal de igualdade e produção de significados de alunos

Discussões dos diferentes modos de produzir significado para o sinal de igualdade

ainda é algo a ser instaurado nas práticas dos professores. Explicitar essas diferenças e

ampliar suas possibilidades de significação pelos alunos, em diversos contextos deve

fazer parte das experiências escolares. Como afirmam Carpenter, Frank e Levi (2003)

/.../ discussões com os alunos sobre suas concepções do que o sinal de igual significa oferece uma oportunidade ideal para engajá-los em discussões que ilustram como as idéias matemáticas emergem e como os impasses matemáticos são resolvidos (p.10)

Propiciar que os alunos produzam significados para sinal de igualdade enquanto

relação entre sentenças numéricas é uma possibilidade para o início do desenvolvimento

do pensamento algébrico. A partir dessa concepção temos um contexto para que eles

olhem as estruturas dessas sentenças e desenvolvam o pensamento relacional, que

também é um aspecto do pensamento algébrico.

Apresentamos a seguir uma tarefa para a Educação Algébrica de alunos das séries

iniciais, produções de significados de alunos e possíveis maneiras do professor interagir

e intervir no processo de produção de significados dos seus alunos. Com isso,

discutimos algumas características específicas de cada modo e oportunizamos outro

para produzir significado para o sinal de igualdade7.

Um modo de produzir significado para o sinal de igualdade

Professor: Luzia, que número você colocaria nessa caixinha, para a sentença ser verdadeira?

8 + 4 = + 5

L�� Hum...doze.Professor: Por que você respondeu doze?Luzia: Ué, porque oito mais quatro é igual a doze.Professor: E o número cinco, o que tem a ver com a sentença? Luzia: Nada. Ele apenas esta aí. Não tem nada a ver com a sentença.

Para Luzia tanto faz se o número cinco está ou não, na sentença. O significado que

ela produziu para o sinal de igual é adicionar o número quatro com o número oito, que

estão antes do sinal, e apresentar como resposta doze. (8 + 4 é o mesmo que).

Possivelmente se na sentença estivesse o sinal da subtração ao invés do sinal da adição,

�� J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica nas séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de

7


ela subtrairia 4 de 8 e apresentaria a resposta. Esse é o modo de Luzia produzir

significado para o sinal de igualdade, “opero os números que estão antes dele e

apresento a resposta de operação”.

Esse modo de produzir significado para o sinal de igual é comum em alunos das

primeiras séries do Ensino Fundamental, para os quais as experiências vividas se

restringem ao campo da aritmética. Várias são as tarefas propostas aos alunos as quais

tem por objetivo operação de números (2 + 8 =___ ). Para Luzia o sinal de igual é isso.

Nossa perspectiva, enquanto estratégia de ensino, é que ela possa produzir outros

significados para o sinal de igualdade.

Outro modo de produzir significado para o sinal de igualdade

Professor: Fernando, que número você colocaria nessa caixinha para a sentença ser verdadeira?

8 + 4 = + 5 F�� É dezessete.Professor: Por que você acha que é dezessete?Fernando: Ora! Eu somei todos os números. Professor: Por que você somou todos os números?Fernando: Porque ta dizendo que é pra eu somar. Olha (aponta a sentença); oito mais quatro; mais cinco; (aponta o sinal de igual) igual a dezessete! Simples.

A produção de significados de Fernando para esse texto (a sentença) é o de

adicionar 8 com quatro; depois o resultado com cinco e apresentar a resposta. Para ele o

sinal de igual também é um comando o qual ele tem que operar com os números. Este é

o objeto que ele constitui. Porém, neste caso ele opera todos os números que estão na

situação e não apenas com os que antecedem o sinal. O sinal de igualdade para

Fernando é diferente do que é para Luzia.

Nesses dois diálogos apresentados notamos que tanto Luzia quanto Fernando

constituem o sinal de igual como um comando que lhes indicam a ação de operar com

números e apresentar a resposta. A produção de significado para essa tarefa se

assemelha ao contexto das calculadoras simples, nas quais se digitam o primeiro

número, a operação e depois o sinal de igualdade. Ressaltamos que para Fernando todos

os números da sentença participam do processo.

�� !�" J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica nas séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de

8


Para que Luzia e Fernando produzam outros significados para o sinal de igualdade

e com isso constituam outros objetos, temos pelo menos duas opções. Uma, seria

mostrar um exemplo e dizer que em contextos, como o da sentença apresentada, para o

sinal de igual, produzimos tal significado, o de relação entre números. Essa opção se

assemelha ao Ensino Tradicional, no qual o professor mostra como faz, e o aluno

reproduz o que o professor mostrou. Outra opção seria apresentar um contexto que

oportunizasse ao aluno constituir outro objeto e produzisse outro significado para o

sinal de igualdade na sentença. Nesse caso o papel do professor seria o de elaborar

estratégias para interagir com o aluno e intervir no processo de produção de significado.

Apresentamos um exemplo dessa segunda opção e com isso, uma maneira dos

professores se engajarem com seus alunos em uma interação produtiva.

Ampliando os modos de produzir significado para o sinal de igualdade

Continuaremos o diálogo entre Luzia e seu professor e com isso oportunizaremos

uma maneira de se ampliar os modos de produzir significados para o sinal de igualdade.

Professor: Luzia, que número você colocaria nessa caixinha, para a sentença ser verdadeira?

8 + 4 = + 5

#$zia: Hum...doze.

Professor: Por que você respondeu doze?

Luzia: Ué, porque oito mais quatro é igual a doze.

Professor: E o número 5, o que tem a ver com a sentença?

Luzia: Nada. Ele apenas esta ai. Não tem nada a ver com a sentença.

Professor: Luzia o que você me diz sobre essas sentenças. Elas são verdadeiras ou falsas?

a) 8 = 5 + 3 b) 3 + 5 = 8 + 0 c) 13 + 5 = 12 + 7 d) 12 = 6 + 6

Luzia: A letra a e b são verdadeiras, porque oito é igual a cinco mais três e três mais oito também é igual a oito. Só não entendo porque tem o zero na sentença. A gente pode tirar ele, não pode? Porque 8 mais 0 é igual a 8. Eu acho que pode tirar sim o zero.

Professor: E a letra c?

Luzia: Agora a letra c, deixa eu fazer a conta. [faz a conta nos dedos] É falsa!!! Treze mais cinco é igual a dezoito, mas doze mais sete é igual a dezenove. Então é falso, não é verdadeiro.

%&'()%* J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica nas séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de

9


Luzia: A letra d é verdadeira. Essa foi fácil. Eu já sabia que seis mais seis é igual a doze.

Professor: Luzia vamos voltar à letra c? Tudo bem? Que número a gente pode colocar, no lugar do sete para que a sentença fique verdadeira?

Luzia: Você ta me dizendo pra eu trocar o número sete por um que fique verdadeiro e não falso?

Professor: Isso.

Luzia: Ta bom. Como treze mais cinco é dezoito, doze mais: [conta nos dedos] um, dois, três, quatro, cinco, seis é igual a dezoito. Consegui!!! Seu trocar o número sete pelo número seis, daí a sentença fica verdadeira.

Professor: Muito bem. Agora vamos voltar à primeira questão que eu te coloquei.

8 + 4 = + 5

P+,-.//,+0 Que número você colocaria na caixinha para que a sentença fique verdadeira?

Luzia: Hum!!!! Deixa eu ver. [fala baixinho] Oito mais quatro é doze; cinco mais sete é doze. Já sei, eu coloco o número sete.

Professor: O que você fez?

Luzia: Eu sei que agora eu tenho que encontrar um número que quando eu somo ele com cinco o resultado fica igual a doze.

Professor: Na primeira vez você me disse que o número era doze e não sete. E também que o cinco não tinha nada a haver com a sentença.

Luzia: É que aquela hora eu somei oito com quatro, e deu doze. Eu não sabia que era desse jeito que eu tinha que fazer. Agora eu já sei. O cinco não tinha nada a ver mesmo aquela hora, mas agora tem.

Professor: E para essas sentenças, que número você colocaria na caixinha?

a) 10 + 6 = + 7 b1 23 4 3 5 - 5

67zia: Sem problemas. Na letra a eu tenho que colocar nove e na letra b eu tenho que colocar quinze

Notamos que houve uma ampliação da maneira de produzir significado para o

sinal de igualdade por Luzia. Na fala com seu professor, ela diz que no primeiro

momento, somou oito com quatro e apresentou o resultado. Agora ela sabe que tem que

encontrar um número que adicionado com cinco fique igual a doze. Em relação ao

modo como o professor organizou suas perguntas, vemos que em nenhum momento ele

mostrou como Luzia deveria fazer. Ele foi questionando-a e colocando a falar sobre

outras situações as quais levariam a constituir outro objeto, produzindo outro

89:;<8= J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica nas séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de

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significado para o sinal de igualdade. No primeiro momento o sinal de igualdade, para

Luzia, significava operar com os números que o antecede e apresentar a resposta. No

segundo, ele significa uma relação de equivalência entre os dois lados da sentença.

Em uma inferência estreita, muitas vezes feita por professores, é que Luzia

aprendeu o verdadeiro significado para o sinal de igualdade ou mesmo que ela tinha

uma concepção errônea e agora sabe tem a correta. A cada momento que Luzia

produziu significado para o sinal de igualdade, ela constitui um modo de pensar e operar

com esse objeto. Assim, no primeiro momento o sinal de igualdade para ela é um

objeto, com suas características sintáticas e semânticas; no segundo momento o sinal de

igualdade era outro, com outras características.

A estratégia de apresentar sentenças numéricas e pedir para os alunos

investigarem se são verdadeiras ou falsas é promissora e oportuniza que produzam

outros significados para o sinal de igualdade. Nessas tarefas os alunos têm oportunidade

de encontrar um número que deixe a sentença verdadeira e dessa maneira podem olhar

na direção da equivalência do sinal de igualdade na sentença. Os estudos de Carpenter,

Frank e Levi (2003) e Molina e Ambrose (2008) apresentam justificativas nessa direção

e trazem discussões sobre os modos de produzir significado dos alunos.

Poderíamos continuar o diálogo com Luzia, na perspectiva de oportunizar

contextos nos quais ela falasse em outras direções, no que diz respeito ao modo como

ela opera os números. Assim, ela poderia ampliar sua maneira de produzir significado

em relação à maneira como encontra o número que deve colocar na caixinha. Ao invés

dos cálculos (o modo como ela fez), pensar nas relações entre os números, outro modo

que ela poderia fazer. Com isso estaria desenvolvendo o pensamento relacional, outro

aspecto importante do pensamento algébrico.

Algumas considerações

Explicitar as diferenças dos modos de produzir significado para o sinal de

igualdade por meio da perspectiva de ampliação de significados e não da substituição

pode ser uma estratégia pedagógica dos professores em sala de aula. Essas discussões

podem se constituírem como um disparador para o início da Educação Algébrica dos

alunos nas séries iniciais do Ensino Fundamental.

>?@AB>C J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica nas séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de

11


Podemos ampliar os modos de produção de significados dos alunos por meio de

intervenções que oportunizem os alunos constituírem outros objetos. O diálogo entre o

professor e Luzia ilustra essa possibilidade e aponta para uma maneira de pensar o

processo de ensino e de aprendizagem, neste caso o processo de produção de

significados.

A Educação Algébrica no Ensino Fundamental precisa ser instaurada desde as

primeiras séries e concatenada com a Aritmética, Geometria e a Estatística. O

pensamento algébrico assim como o aritmético, geométrico e o estatístico precisam ser

desenvolvidos em suas diferenças e semelhanças para que os alunos possam utilizá-los

nas situações problemas. Como colocam Lins e Gimenez (1997)

/.../ numa proposta para Educação Matemática, a álgebra, a aritmética e a geometria [e também a estatística], devem ser vistas não como conteúdos justificados por sua própria existência, mas como instrumentos que participam da organização da atividade humana (p. 28).

Esse artigo contribui para essa meta em relação a oportunizar um contexto para os

professores elaborarem tarefas sobre o sinal de igualdade.

Referências

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12

LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI.Campinas: Editora Papirus, 1997.

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Notas

1

KMNOQR T U VQWXOYZW [\]QM^R X[ O_R R`OaW XR cXO]RYZo Básica

2 Segundo Lins (1999) texto se caracteriza por resíduos de enunciações.

3 Por significado podemos entender tudo o que se pode e efetivamente se diz de um objeto (Lins, 1999) e objeto é “algo a respeito de que se [diz] algo” (LINS, 2004a, p. 114).

defghdi J. R. V. Sinal de igualdade, produção de significados e educação algébrica nas séries iniciais do ensino fundamental. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

13

4

Figura 2 – Produção escrita de uma aluno da Educação Básica

5 Estamos entendendo por linguagem algébrica uma linguagem constituída por meio de uma notação simbólica na qual os símbolos representam generalizações de invariâncias, padrões, regularidades.

6 Por estruturas aritméticas entendemos resultado da construção do procedimento utilizado na realização de uma operação por meio de um enunciado (VIOLA DOS SANTOS; BURIASCO, no prelo)

7 Constituímos alunos fictícios baseados em trabalhos que apresentam discussões de sobre o sinal de igualdade. Esses trabalhos foram Kieran (1981); Carpenter, Frank e Levi (2003); Molina e Ambrose (2008).

jklmO, J. F. Sistemas semióticos de significação cultural e as tecnologias da inteligência no ensino de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 5: História e Filosofia

SISTEMAS SEMIÓTICOS DE SIGNIFICAÇÃO CULTURAL E AS

TECNOLOGIAS DA INTELIGÊNCIA NO ENSINO DE MATEMÁTICA

João Fábio PORTO – FE - USP ([email protected]

Resumo: Este trabalho apresenta um estudo sobre a relação entre história e educação envolvendo os conceitos da teoria de Sistemas Semióticos de Significação Cultural (Radford) e das Tecnologias da Inteligências (Lévy). Iremos analisar, utilizando estes conceitos, a interatividade em vídeo-aulas do programa PEC – Formação Continuada Municípios. Lévy considera a interatividade como um diálogo entre uma ou mais pessoas. Tendo isso em mente, iremos analisar diferentes tipos de obras matemáticas ( ou que a matemática como uma de suas temáticas) de autores como Platão, Galileu Galilei, Imre Lakatos, George Polya, Yves Chevallard entre outros, que tenham como forma de sua composição o diálogo, identificando algumas características definidas por Lévy dos diferentes tipos de interatividade e, em seguida, fazendo um contraponto dessas idéias discutidas com alguns trechos de vídeo-aulas de matemática do programa PEC – Formação Universitária Municípios. Procuraremos então estabelecer, com base nos conceitos da teoria dos SSSC , uma proposta de adoção de critérios abrangentes para avaliar os cursos semi-presenciais de formação de professores de matemática. Particularmente, iremos propor uma avaliação dos modelos como o do PEC – Formação Universitária Municípios.

Palavras-chave: Ensino Semi-Presencial, Informática no Ensino, Tecnologias da Inteligência, História da Matemática, Sistemas Semióticos de Significação Cultural

Financiamento: CNPq

Apresentação

Neste trabalho, iremos propor a criação de um referencial de avaliação destes cursos

com base nas teorias de Sistemas Semióticos de Significação Cultural (SSSC) de Luis

Radford e nas teorias das Tecnologias da Inteligência (TIs) de Pierre Lèvy. Começaremos

fazendo um estudo histórico da matemática sobre um ponto de vista que proponha uma

interpretação conjunta das teorias de Radford e de Lèvy. Em um primeiro momento

opqrO, J. F. Sistemas semióticos de significação cultural e as tecnologias da inteligência no ensino de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

2

EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-12. (ISBN 978-85-98092-07-2)

analisaremos cada uma das TIs separadamente e posteriormente analisaremos todas juntas

no caso particular da Grécia Antiga, em ambos os casos, utilizando a metodologia dos

SSSC. Acreditamos que o caso particular da matemática grega seja um exemplo de uma

mistura bem sucedida de SSSC e TIs, o que possibilitou um grande desenvolvimento da

matemática em tão pouco tempo.

Nossa hipótese é a de que esta mistura bem sucedida pode ocorrer novamente no

caso do programa PEC – Formação Universitária Municípios, possibilitando grandes

avanços no processo de ensino e aprendizagem no Estado de São Paulo. O presente

trabalho pretende fazer uma análise deste projeto, nos atendo particularmente nas vídeo

aulas de matemática que foram desenvolvidas para a formação de professores. Nosso foco

de atenção nestas vídeo aula estará voltado para a questão da interatividade, tal como a

definiu Lévy (1999), ou seja, como o diálogo entre uma ou mais pessoas. Tendo isto em

mente iremos analisar diversas obras matemáticas (ou que tenham a matemática como uma

de suas temáticas), que tenham como forma de composição o diálogo, assim analisaremos

obras de autores como Platão, Galileu Galilei, Imre Lakatos, George Polya, Yves

Chevallard entre outros, e faremos um contraponto das idéias discutidas com alguns trechos

das vídeo aulas de matemática. Com isso procuraremos então estabelecer, com base nos

conceitos da teoria dos SSSC, uma proposta de adoção de critérios abrangentes para avaliar

os cursos semi-presenciais de formação de professores de matemática. Particularmente,

iremos propor uma avaliação dos modelos como o do PEC – Formação Universitária

Municípios.

Sistemas Semióticos de Significação Cultural

Uma das diversas linhas de pesquisa da história da matemática é aquela que busca

entender as influências sócio-político-culturais e tecnológicas sobre a produção matemática

de uma sociedade. Esta linha de pesquisa é chamada de História Sócio Cultural da

Matemática. Mais do que ser influenciada por fatores sócio-culturais, a matemática é, em

si, uma manifestação cultural de um povo, que por estar inserida em um contexto, terá um

significado referente a este. “De fato, a concepção de matemática de uma cultura determina

não apenas a função social do conhecimento matemático, mas também (em um nível mais

stuvO, J. F. Sistemas semióticos de significação cultural e as tecnologias da inteligência no ensino de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

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abstrato) a concepção dos próprios conceitos matemáticos”. (RADFORD, 1997, tradução

nossa).

Para entender melhor a influência do contexto sócio-cultural sobre a produção

matemática, Radford desenvolveu o conceito de Sistemas Semióticos de Significação

Cultural (SSSC). Este, nada mais é do que um sistema de crenças, costumes, tradições e

interesses de uma dada sociedade, que condicionam a maneira de entender e dar significado

ao mundo, e em particular a matemática, dos indivíduos desta sociedade. “SSSC são

aqueles sistemas culturais que disponibilizam diversas fontes para a produção de sentido

através de práticas sociais específicas” (RADFORD, 1998, tradução nossa).

Podemos citar inúmeros casos da influência da SSSC na produção matemática. Por

exemplo, a maneira de se representar contas aritméticas, como a utilização dos Quipos

pelos povos Incas (MANGIN, 2005) ou o uso de tabletas de barro pelos mesopotâmicos,

estas escolhas não fora aleatórias, mas tinham um significado para estes povos. Há também

os exemplos que a língua exerce, como é o caso dos gregos, em que o verbo ser

desempenhou importante papel no nascimento da lógica e das demonstrações, e há ainda o

caso dos árabes, cujo sistema língua/pensamento (LAUAND, 2005) desempenhou

importante papel no nascimento da álgebra.

As Tecnologias da Inteligência

Em 1991 Pierre Lèvy desenvolveu o conceito de Tecnologias da Inteligência (TIs),

que nada mais são que algumas técnicas desenvolvidas pelo ser humano para entender o

mundo. Ao mesmo tempo que são fruto da inteligência humana, as TIs ajudam a moldá-la.

Para Lèvy, existem três TIs fundamentais, que condicionaram a maneira de pensar do ser

humano, que ele chamou de Oralidade, Escrita e Informática. (LÈVY, 1993).

Antes de falarmos sobre cada uma destas TIs vamos citar algumas de suas

características gerais. Primeiro, a sucessão delas não se dá por simples substituição, mas

por um processo de complexificação e deslocamentos de centros de gravidade. Isto

significa que elas sempre estiveram presentes na história da evolução da humanidade,

sendo que em cada época algumas características de uma das Tecnologias se destacavam

mais do que as outras. Em segundo lugar, não existe nenhum tipo de hierarquia entre as

wxyzO, J. F. Sistemas semióticos de significação cultural e as tecnologias da inteligência no ensino de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

4


Tecnologias da Inteligência. Elas se complementam, se influenciam e não há uma fronteira

bem definida entre elas.

Oralidade

A Oralidade remete à importância que a palavra falada tem para o ser humano, seja

como forma de expressão e comunicação ou como uma maneira de representar o mundo

que nos cerca. Lévy divide a Oralidade em duas fases: a primária e a secundária. A primária

remete ao papel da palavra antes que uma sociedade tenha desenvolvido a escrita, já a

secundária esta relacionada ao papel da palavra oral como um complemento à escrita, da

maneira que estamos acostumados (LÈVY, 1993).

Numa sociedade oral primária, quase toda a cultura e o conhecimento estão

relacionados com a lembrança de cada indivíduo, assim, nestas sociedades, a inteligência

está muito identificada com a memória. Desta maneira, os indivíduos ou as sociedades que

retêm (ou memorizam) um número maior de informações úteis, terão maior chances de

sucesso em se desenvolverem. Mas nossa memória não é um equipamento de recuperação

de informações muito confiável, portanto, as sociedades orais primárias têm que

desenvolver estratégias para que suas tradições e conhecimentos não se percam ao longo

das gerações. As representações que têm mais chances de sobreviverem são aquelas que

atendem melhor aos seguintes critérios (LÈVY, 1993):

1) As representações serão ricamente interconectadas entre elas;

2) As conexões entre representações envolverão sobretudo relações de causa e efeito;

3) As proposições farão referência a domínios dos conhecimentos concretos e familiares

para os membros das sociedades em questão;

4) Finalmente, estas representações deverão manter laços estreitos com “problemas da

vida.

Os sistemas de contagem de certas sociedades orais obedecem a estes critérios de

representação citados por Lèvy, como é o caso da tribo Luli, encontrado em (GROZA,

1968).

{|}~O, J. F. Sistemas semióticos de significação cultural e as tecnologias da inteligência no ensino de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

5


A Oralidade Secundária remete ao papel que a palavra falada tem quando começa a

dividir espaço com a Escrita. Estas duas modalidade passam a se complementarem, e a

memória, que era tão importante na Oralidade, perde um pouco de sua importância, pois

não é mais necessário memorizar um grande número de informações, basta consultá-las em

um livro.

Como grande exemplo de Oralidade Secundária podemos citar o exemplo do teatro

medieval. Este tipo de arte era comum na Idade Média e tinha um caráter muito popular

(LAUAND, 1986), e por isso se tornou um meio um meio importante para a transmissão de

conhecimentos e ensinamentos, tanto científicos quanto religiosos. Este é o caso da peça do

século X da monja Rosvita, que utiliza este tipo de arte para passar alguns ensinamentos

religiosos e também dar uma pequena aula de aritmética (LAUAND, 1986).

Escrita

Com a Escrita abordamos aqueles que ainda são nossos modos de conhecimento e de

relação com o tempo majoritários. A escrita nasceu nas diversas civilizações da

antiguidade, que na medida em que cresciam, precisavam cada vez mais de leis, arquivos

administrativos, e dados astronômicos para as colheitas e rituais religiosos. Assim, estas

civilizações foram se dando conta que a capacidade do homem de memorizar dados e

informações é muito limitada. Agora a memória deixa de ter a importância que tinha na

oralidade primária. Com a escrita as informações e os conhecimentos de uma civilização

estão gravados em pedras, tabletas de argila, papiro etc., e é possível consultá-las a

qualquer momento, não sendo tão necessárias as estratégias de memorização.

Como exemplo da grande influência da Escrita no desenvolvimento da matemática

podemos citar dois episódios. O primeiro é o grande desenvolvimento da álgebra

proporcionado pelos árabes. Segundo Boyer, “embora [a álgebra] viesse de fontes gregas,

hindus e babilônicas, tomou nas mãos dos árabes uma forma caracteristicamente nova e

sistemática” (BOYER, 1996). Um dos possíveis motivos de tanta inovação se deve ao

esquema Língua/pensamento árabe (LAUAND, 2005), mais especificamente, a ausência do

verbo ser na língua árabe, isso possibilitou que trabalhassem com incógnitas sem grandes

problemas. Além do mais “os árabes gostavam de uma boa e clara apresentação [de um

��O, J. F. Sistemas semióticos de significação cultural e as tecnologias da inteligência no ensino de Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX

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resultado matemático] indo da premissa à conclusão” (BOYER, 1986), fato que podemos

comprovar na álgebra de Al-Khwarizmi que era inteiramente retórica e não empregava

símbolos (LAUAND, 2005), o que só ressalta a importância que a Escrita teve no

desenvolvimento da álgebra árabe.

A segunda grande influência da Escrita na matemática é encontrada no nascimento

das notações algébricas. Podemos encontrar traços deste nascimento em trabalhos de alguns

matemáticos italianos no período da renascença, como é o caso da Summa Arithmetica de

Luca Pacioli, onde já pode ser encontrado o símbolo ce, que é a abreviação de census,

quadrado; co de cosa, ou incógnita e ae para a igualdade (KLINE, 1990).

Informática

Ao abordar a Informática, Lèvy não está falando sobre a importância dos

computadores na vida moderna. Na verdade, ele aborda algumas TIs que são

potencializadas pelos computadores (LÈVY, 1993). Por este motivo é possível fazer uma

abordagem histórica da informática. Estas TIs potencializadas pela Informática são o

hipertexto, o virtual, o trabalho cooperativo, as simulações e a interatividade. No presente

trabalho iremos abordar apenas as duas últimas, pois consideramos que elas são mais

significativas para a história da matemática.

Para Lèvy, a simulação está muito ligada a um processo de tentar prever o que

acontece se uma ação for executada. A simulação estaria, assim, próxima da imaginação,

pois para Lèvy esta “nada mais é do que a condição de escolha ou da ação deliberada (o que

aconteceria se fizéssemos isso ou aquilo?)” (LÈVY, 1997).

A Simulação desempenhou, e desempenha, papel importantíssimo no

desenvolvimento da matemática, principalmente no nascimento do Cálculo. As primeiras

curvas a serem estudadas nos primórdios do Cálculo foram as chamadas curvas mecânicas,

nome cunhado por Descartes (BOYER, 1996), que são curvas que simulam movimentos,

ou que são obtidas através de movimentos, como é o caso da Ciclóide estudada por Galileo.

Para Lèvy, existem três tipos de interatividade (LÈVY, 1999), e uma delas é a que

eles denomina de Diálogo ou Reciprocidade. As características deste tipo de interatividade

são a troca de correspondência entre duas ou mais pessoas e o diálogo através de mundos


7


virtuais. Um personagem emblemático da história da matemática foi o frade minimista

Marin Mersenne (1588-1648). Durante muitos anos, Mersenne serviu de elo de ligação

entre os maiores matemáticos de sua época, sendo um verdadeiro “centro de distribuição de

informação matemática” (BOYER, 1996). Devido a sua amizade com alguns dos grandes

nomes da matemática do século XVII, este monge recebia diversas correspondências

relatando novas descobertas ou a proposição de novos problemas a serem estudados, em

seguida ele repassava estes relatos ao seu círculo de amigos ilustres. Portanto muitos anos

antes do surgimentos das primeiras organizações de matemáticos, Mersenne já representava

o papel de difusor desta ciência, possibilitando a interação entre os matemáticos de sua

época.

O Equilíbrio entre SSSC e TIs: A Matemática Grega

Entendemos que um bom exemplo para se aplicar conjuntamente o Sistema

Semiótico de Significação Cultural (SSSC) e as Tecnologias da Inteligência (TIs) seja a

matemática grega. Esta mistura bem sucedida de SSSC e TIs pode ter possibilitado o

enorme desenvolvimento da matemática em um período de tempo relativamente pequeno,

principalmente no período chamado de Idade Heróica que vai de 600 a.C. à 300 a.C.

aproximadamente.

Segundo Kline o início do desenvolvimento da matemática grega pode ser explicado

por dois fatores: a adoção do alfabeto e o fato do papiro se tornar disponível na Grécia

durante o sétimo século antes de Cristo. O surgimento da Escrita se juntou a uma tradição

oral, que remonta aos tempos de Homero, possibilitou que os gregos desenvolvessem suas

idéias (Kline, 1990). Mas a Escrita, somente, não explica o fato da matemática, com fortes

influências egípcias e babilônicas com fortes tendências empíricas, de até então se

transforme em uma matemática dedutiva.

A explicação para este fato pode ser encontrada no modo de pensar e de entender o

mundo dos gregos. Um dos grandes assuntos recorrentes da tradição cultural grega é o da

recusa das aparências. Este tema já era abordado nas obras de Homero, mas é mais

lembrado por causa de Platão, que escreve sobre o mundo das aparências no famoso Mito

da Caverna que está no livro VII de A República (PLATÃO, 2006). Para fugir deste mundo


8


da aparências, onde algo que parece ser verdadeiro pode ser falso, os gregos buscavam

formas de tentar convencer a todos, inclusive a si mesmos, a veracidade de algo, assim, eles

criavam argumentos, ou série de argumentos, que pudessem convencer a todos,

independentemente do contexto, da veracidade de uma afirmação, fazendo uma distinção

clara do que era um conhecimento verdadeiro de uma opinião (RADFORD, 1998). Nascia,

assim, a demonstração, que desempenhou importante papel na filosofia grega, e

principalmente na matemática, que passa a se diferenciar de todas as outras até então

existentes.

Outra explicação do desenvolvimento da matemática grega pode ser encontrado na

estrutura de sua língua, mais precisamente a figura central que do verbo ser e de sua

negativa. Esta oposição é fundamental no sistema língua/pensamento grego, que “busca

estabelecer uma exata correspondência entre pensamento e realidade” (LAUAND, 2005).

Assim, para caracterizar um objeto, ele será ou não será uma cadeira, por exemplo, este

objeto não poderá ser classificado como algo entre o ser e o não-ser uma cadeira. Para um

grego, era impossível conceber um objeto que seja e não seja algo ao mesmo tempo, ou

mesmo que ele venha a ser algo. Isto pode ter impossibilitado que os gregos aprofundassem

seus estudos em álgebra. E esta barreira lingüística só será superada pelos árabes com seu

sistema língua/pensamento sem o verbo ser (LAUAND, 2005). O sistema

língua/pensamento grego irá possibilitar o nascimento de uma dos princípios mais

importantes da lógica clássica, o Princípio do Terceiro Excluído (RADFORD, 1998).

O Princípio do Terceiro Excluído irá desempenhar um papel preponderante no

desenvolvimento da matemática grega, e em particular da geometria. Somente a partir deste

princípio é que os gregos puderam criar um dos mais importantes métodos de

demonstração, que ainda é muito usado na matemática atual, o método de demonstração

por absurdo ou Reductio ad absurdum (RADFORD, 1998).

Já vimos alguns exemplos de como o SSSC influenciou a matemática grega, agora

vamos examinar a influência das TIs. Para isso escolhemos um exemplo que consideramos

o mais significativo, OS Elementos de Euclides. Entendemos também que Os Elementos

traz todas aquelas influências do SSSC que citamos anteriormente, ou seja, este livro é fruto

da cultura clássica grega, que remonta à uma tradição oral.


9


Euclides escreveu Os Elementos quando trabalhava na Universidade de Alexandria,

onde também funcionava a famosa Biblioteca de Alexandria. Ptolomeu, imperador do

Egito, mandou construir a Universidade com a intenção de atrair “homens de saber” para a

sua cidade (EVES, 2006). Estes homens vieram em peso de todas as partes do mundo, a

maior parte veio de Atenas, para trabalharem na nova Universidade, a grande maioria

atraída pelos tesouros da grande Biblioteca. Portanto, foi neste centro intelectual e em

constante contato e interação com outros pesquisadores e alunos, que Euclides escreveu sua

obra mais famosa.

Os Elementos contêm 465 proposições, 23 noções comuns e 5 postulados distribuídos

e 13 livros, ou capítulos (HEATH, 1956). É quase inconcebível pensar no conjunto que

forma o livro sem a Escrita, além da grande quantidade de informação, algumas

demonstrações de proposições se utilizam de resultados já demonstrados anteriormente,

sem contar o freqüente uso dos postulados. Portanto, Os Elementos é um livro para ser

consultado no mesmo momento de sua leitura, retomando alguns resultados já provados.

Desta maneira, Euclides soube muito bem se aproveitar do suporte da Escrita.

Diálogos

Em um trabalho de 1999, Lévy diz que a interatividade utilizada na informática é

apenas uma de muitas outras, que são utilizadas a muito tempo. A interatividade pode ser

assim dividida em três tipos: Difusão Unilateral (imprensa, televisão, cinema); Diálogo

(correspondência postal entre duas pessoas, conversa por telefone ou pessoalmente);

Diálogo entre vários participantes (conferências eletrônicas, bate-papos on-line). Porém é

importante ressaltar que esta divisão, assim como a divisão das Tecnologias da Inteligência,

não é hierárquica e que uma substitui a outra, existe um processo de complexificação em

que um tipo influencia o outro e as três podem estar presentes em um mesmo evento, em

momentos diferentes. Estes três tipos de diálogo se complementam e se influenciam

mutuamente.

Desta maneira iremos realizar um estudo de várias obras matemáticas (ou que tenham

entre uma de suas temáticas a matemática) que tenham como forma de composição o

diálogo. Com isso em mente iremos realizar um estudo em horas de autores como Platão,


10


Galileu Galilei, Imre Lakatos, George Polya, Yves Chevallard, analisando a forma como os

diálogos são conduzidos nestas obras.

Da mesma maneira que Lévy identifica três tipos diferentes de interatividade, nosso

estudo identificou diferentes tipos de diálogos, se diferenciando entre um e outro não

apenas com relação aos diferentes estilos dos autores e das épocas em cada um viveu, mas

na própria maneira de conduzir os diálogos e aos papéis que os interlocutores presentes

nestes assumem. Temos diálogos desde o que ocorre entre Pepino e Alcuíno

(LAUAND,1986), em que o segundo, o mestre, se limita a responder, de maneira direta, as

perguntas de seu jovem discípulo. Trata-se de um diálogo medieval que retrata bem as

concepções de ensino daquela época.

Outro estilo de diálogo é o desenvolvido por Galileo Galilei em Diálogo sobre os dois

máximos sistemas do mundo ptolomaico e copernicano (2004), em que este autor coloca

suas idéias sobre ciência na boca de Salviati que as irá defender e opor às idéias de

Simplício, um defensor das idéias aristotélicas. Galileo não só defenderá suas idéias, mas

tentará, com base nelas, construir argumentos para derrubar as idéias de seus opositores. Na

análise sobre diálogo não poderia faltar um trabalho de Platão. Escolhemos para estudo o

diálogo Ménon, que contém o trecho em que Sócrates ensina a um escravo um pouco de

matemática. Neste trecho podemos ver em prática o método socrático da maiêutica e uma

referência a teoria das reminiscências.

Um estilo de diálogo que consideramos bem interessante é o de Imre Lakatos na obra

A lógica do descobrimento matemático: Provas e refutações (1978). Neste diálogo Lakatos

simula uma sala de aula, possivelmente em um curso de pós-graduação, onde os alunos,

instigados por um professor, tentarão demonstrar que a famosa fórmula de Euler para

polígonos, V-A+F=2, também será válida para poliedros. Trata-se de uma grande discussão

e reflexão sobre os métodos de demonstração usados em matemática. O interessante deste

trabalho é que Lakatos atribui a cada um dos alunos uma postura que matemáticos como

Cauchy, Lagrange, Forder ente outros que discutiram e tentarem demonstrar este mesmo

problema que esta sendo discutido em sala de aula. Inclusive as algumas falas dos alunos

presentes são falas dos próprios matemáticos na discussão deste problema e sobre o que

seria uma demonstração matemática. Este trabalho de Lakatos é um grande trabalho


11


histórico em que o autor cria um grande diálogo entre matemáticos de diferentes épocas.

Lakatos, neste trabalho, faz da história da matemática e da história de um problema

matemático, um grande diálogo.

Após feita e aprofundada esta discussão sobre os diálogos faremos um contraponto

destas idéias com uma análise de alguns trechos de vídeo aulas de matemática do programa

PEC – Formação Universitária Municípios. Escolhemos para esta análise as vídeo aulas de

um único professor por entendermos, baseados na metodologia indiciária de Ginzburg

(1990), que elas são as mais significativas para o nosso estudo, não sendo assim, necessária

uma análise de uma amostra maior de vídeo aulas de matemática.

Referências

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«¬¬®¬¯¬° ±² ³ ¬´µ®¬° ¶² ·¸ ³¹º»¼½ ¼¾ ¿³¾ÀÁÂ ¾ÁÃ³bra” sob a luz da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-15. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 6: Psicologia

UM ESTUDO DA “EARLY ALGEBRA” SOB A LUZ DA TEORIA DOS

CAMPOS CONCEITUAIS DE GERARD VERGNAUD.

Otávio YAMANAKA - SEE/SP e PUC-SP ([email protected]Ä Sandra MAGINA - PUC-SP ([email protected]Ä

Resumo: Este artigo tem o objetivo de apresentar uma discussão teórica sobre a possibilidade de iniciar o ensino de álgebra já nas séries iniciais, a partir de considerações teóricas advindas dos estudos realizados pelo Grupo Early Algebra (EA), criado na Conferência: Algebra: Gateway to a Technological Future. Trata-se, portanto de um estudo bibliográfico, já que se propõe a responder a um problema a partir de referências teóricas, publicadas em documentos; os dados são coletados em materiais impressos (livros, revistas, periódicos, etc.), (Gil, 1998, Lakatos, 2007). A idéia é apresentar alguns dos seus principais resultados de pesquisa, a luz dos fundamentos teóricos propostos por este grupo e, na seqüência relacionar tais resultados com a visão da psicologia cognitiva de Gerard Vergnaud, em sua Teoria dos Campos Conceituais. Assim, o artigo apresenta resultados importantes obtido pelo grupo EA, tais como o de que a generalização é o centro do raciocínio algébrico e a introdução da álgebra nas séries iniciais está focada na generalização algébrica. Neste caso, ela pode ser entendida como generalização dos números e das quantidades se constituiu quais são suas principais idéias para o ensino da álgebra. Na seqüência, apresentaremos, em linhas gerais, as contribuições da Teoria dos Campos Conceituais, direcionando nosso olhar para o ensino da álgebra. Por fim, concluímos o artigo estabelecendo conexões entre esses dois olhares teóricos, não excludentes, de se pensar sobre o ensino da álgebra. O artigo conclui que os estudantes das séries iniciais podem aprender conceitos matemáticos e representações, além da notação algébrica, pode desempenhar um papel importante no apoio ao conhecimento matemático.

Palavras-chave: Generalização Algébrica, Raciocínio Aritmético, Relações Funcionais, Campos Conceituais, Estudo Bibliográfico.

Financiamento: Secretaria de Estado da Educação – São Paulo- Programa “Bolsa Mestrado”

Questões preliminares e opção metodológica

Este estudo tem por objetivo discutir a possibilidade de se introduzir a álgebra nas

séries iniciais do Ensino Fundamental. Para subsidiar tal discussão buscamos

desenvolver uma pesquisa de caráter teórico, baseados nos textos publicados pelo grupo

ÅÆÇÆÈÆÉÆÊ ËÌ Í ÇÆÎÏÈÆÊ ÐÌ ÑÒ ÍÓÔÕÖ× ÖØ ÙÍØÚÛÜ ØÛÝÍbra” sob a luz da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

2

Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-15. (ISBN 978-85-98092-07-2

Early Algebra e no aporte cognitivo da teoria dos campos conceituais. É um estudo

bibliográfico, ou de fontes secundárias (LAKATOS, 2007), já que sua coleta de dados

voltou-se para leitura e interpretação de documentos públicos relacionados ao tema do

estudo. Uma pesquisa bibliográfica almeja abordar “teorias, conceitos, idéias,

ideologias, polêmicas, tendo em vista, em termos imediatos, aprimorar fundamentos

teóricos (FIORENTINI; LORENZATO, 2006, p. 69), oferecendo assim meios para

resolver não apenas problemas já conhecidos, bem como explorar novas áreas em que

os conhecimentos não estão ainda cristalizados (MARCONI; LAKATOS, 2007).

Assim, nossa pesquisa contribui para o debate sobre em que momento já se é possível

pensar na introdução da álgebra para os alunos do Ensino Fundamental.

Nessa direção, iniciaremos o artigo apresentando as idéias do grupo Early

Algebra no que tange ao ensino da álgebra para as séries iniciais.

A Conferência: “Álgebra: Uma ligação para um futuro tecnológico”

Esta conferência surgiu em resposta a uma petição do Congresso Norte

Americano, para a Academia Nacional de Ciências (NAS), em 2006, em que solicitava

a determinação de dez ações principais (“top 10 actions”), a serem tomadas para elevar

o desenvolvimento da ciência e da tecnologia, de modo que os Estados Unidos

pudessem competir com êxito na comunidade global do século XXI. Ao final da

conferência foram feitas várias recomendações e entre estas estavam o fortalecimento

do conhecimento profissional de 250.000 professores em atividade, particularmente

para aqueles que ensinam Matemática e Ciências para as séries K-12, e refere-se a toda

educação básica Norte Americana, que compreende: Kindergarten (Jardim da Infância),

Elementary School (1ª até 5ª série) e High School (6ª até 12ª série). O documento

propunha, como subsídio, a elaboração do “Material curricular para as séries K-12”

entre outros, em que incluíam recomendações para que os estudantes alcançassem níveis

específicos em álgebra.

É neste contexto que a Mathematical Association of America, (M.A.A).

financiada pela NAS, convocou para uma Conferência, representantes da comunidade

de Matemática e de Educação Matemática, com o intuito de examinar o que se tem

pesquisado sobre o ensino da álgebra e também verificar os princípios comuns que

Þßàßáßâßã äå æ àßçèáßã éå êë æìíîïð ïñ òæñóôõ ñôöæbra” sob a luz da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

3


podem servir como modelo para sua conseqüente melhora, direcionando pesquisas

futuras.

A conferência aconteceu em novembro de 2006, quando aproximadamente 50

participantes foram divididos em cinco grupos de trabalho, que corresponderam a cinco

diversos níveis de instrução da álgebra:

Grupo 1 – Early Algebra (Álgebra Inicial);

Grupo 2 – Introductory Algebra (Álgebra Introdutória);

Grupo 3 – Intermediate Algebra (Álgebra Intermediária);

Grupo 4 – Algebra for Teachers ( Álgebra para Professores);

Grupo 5 – College Algebra (Álgebra para Faculdade).

Cada um dos cinco grupos produziu um relatório, em que podemos destacar as

seguintes características:

Os primeiros três grupos fizeram a suposição geral de que os estudantes serão

introduzidos nas idéias algébricas já em graus elementares. Depois passam para o curso

da álgebra introdutória formal na escola secundária (talvez depois de um ano de

geometria). E, por fim, por um curso de álgebra intermediária, visando a preparação

para a Matemática ensinada na Universidade. O objetivo, então, da álgebra nesses três

níveis é, não só suprir todos com a álgebra necessária para vencer em qualquer carreira,

mas também preparar um número crescente de estudantes para as carreiras de ciências e

tecnologia (KATZ, 2007).

O grupo de trabalho sobre a Álgebra para os Futuros Professores trata da

educação daqueles que irão trabalhar nos primeiros três níveis de instrução. Já o grupo

de trabalho de álgebra na faculdade dirige suas recomendações para uma instrução

proveitosa que atinja um grande número de estudantes desde o ensino básico, passando

por aqueles que nunca aprenderam álgebra na escola secundária, mesmo que tenham

sido expostos a ela. As pesquisas mostram que, em geral, esses estudantes não entram

nas carreiras cientificas ou técnicas. No entanto, esses estudantes também necessitam de

habilidades em álgebra para que consigam ter sucesso em qualquer carreira que eles

adentrem (KATZ, 2007).

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4


Ainda, segundo Katz (2007), os trabalhos realizados pelos cinco grupos

apontaram recomendações explícitas para a pesquisa e ação, agrupadas nos seguintes

modos:

1. Pesquisa para determinar as idéias centrais de um currículo de álgebra para o

século XXI em cada nível de instrução.

2. Pesquisa sobre a compreensão da natureza do pensamento algébrico dos

estudantes e de como eles reagem aos diferentes tipos de instrução.

3. Desenvolvimento profissional intensivo para assegurar que a equipe de ensino

possa comunicar as idéias descritas nos itens 1 e 2.

4. Esforços colaborativos entre todos os membros da noosfera – responsáveis,

incluindo professores, matemáticos, administradores, oficiais públicos e pais, para

assegurar que as três recomendações prévias possam ser implantadas.

Apresentaremos na seção seguinte, um resumo dos estudos desenvolvidos pelo

grupo Early Algebra, cujos autores foram: Maria Blanton, Deborah Schifter, Vickie

Inge, Paty Lofgren, Cassandra Willis, Frank Davis e Jere Confrey.

Early Algebra (Álgebra Inicial):

Segundo os autores, nas séries elementares, a Matemática tem se baseado na

aritmética e na fluência calculatória, seguindo-se uma abordagem procedimental. Essa

abordagem porém não tem mostrado sucessos em termos de realizações estudantis.

Atualmente, a preparação dos estudantes requer uma abordagem diferente, que é

a de cultivar os hábitos da mente, visando o aprofundamento das estruturas subjacentes

da Matemática (KAPUT, 1999; ROMBERG, KAPUT, 1999 apud BLANTON, 2007). O

objetivo é implantar essa forma de pensamento longitudinal nas experiências escolares

dos estudantes, iniciando-se nas séries elementares.

Esse trabalho requer um exame dos tópicos matemáticos desde o Pre – K

(corresponde à nossa Creche) até o nível K8 (corresponde aos 6º ao 8º anos do EF

brasileiro), que são os anos verdadeiramente básicos para a álgebra (ex. números

inteiros, números racionais, e outros poucos tópicos), assegurando que os blocos da

construção da álgebra nesses tópicos sejam enfatizados em todos os níveis.

�� ! " #�"$%& "%'�bra” sob a luz da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

5


Segundo Kaput (2007), apud Blanton (2007), os objetivos pretendidos com a

Early Algebra, compreendem: (1) generalização, ou identificação, expressando e

justificando estruturas, propriedades e relações matemáticas e (2) raciocínio e ações

baseadas em formas de generalizações.

Embora as características acima citadas façam referência a uma determinada área

da Matemática, elas são críticas para as demais áreas desta ciência. Assim, o foco da

pesquisa em Early Algebra é delineado da seguinte maneira: (1) o uso da aritmética

como um domínio para expressar e formalizar generalizações (aritmética generalizada)

e (2) generalização de padrões numéricos ou geométricos para descrever relações

funcionais (pensamento funcional) (Blanton et al, 2007).

Blanton et al (2007, p. 7), complementa esse foco de pesquisa, enfatizando que:

Adicionalmente - e igualmente importante - a álgebra inicial não é um re-empacotamento de habilidades e procedimentos algébricos, como tipicamente ensinados em cursos de “pré–álgebra” dos middle grades para os elementary grades. Enquanto crianças nos elementary grades podem desenvolver algumas habilidades nas manipulações simbólicas, o objetivo é ao contrario, que eles aprendam a raciocinar algebricamente e que comecem a adquirir a linguagem simbólica, algébrica para expressarem e justificarem suas idéias (Tradução de MACHADO, S. D. A., 2008, para o texto original: Early Algebra)

De acordo com o National Research Council (Conselho Nacional de

Pesquisa/EUA), a Álgebra Inicial compreende cinco elementos das proficiências em

Matemática, que são: compreensão conceitual, fluência procedimental, competência

estratégica, raciocínio adaptivo e disposição produtiva. (KILPATRICK et al, 2001,

apud BLANTON et al, 2007).

Sobre este aspecto, Blanton et al (2007, p. 8 ), afirma que:

Um aspecto fundamental da Early Algebra é o desenvolvimento de uma compreensão conceitual profunda de operações e relações. Através da aritmética generalizada, por exemplo, a Álgebra Inicial, supre as oportunidades de os estudantes generalizar propriedades matemáticas, como a comutatividade, de compreender como as operações afetam os números, e entender uma visão relacional da igualdade. Com o pensamento funcional, os estudantes, tornam-se proficientes em expressar como as quantidades co-variam em relação uma às outras. Por outro lado, estas atividades requerem e apóiam o desenvolvimento da fluidez processual das crianças (tradução de YAMANAKA, O. Y., 2008, do texto original: Early Algebra )

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6


Assim, ao desenvolver a fluência procedimental, elas também desenvolvem as

habilidades aritméticas, isto é as crianças precisam da habilidade aritmética para

encontrarem relações funcionais ou explorar cálculos que as permitam desenvolver as

generalizações sobre as operações e consecutivamente enriquecem a compreensão das

crianças sobre as operações básicas.

Podemos considerar que a Early Algebra está baseada em problemas, pois

desenvolvem a competência estratégica e a capacidade de raciocínio adaptivo das

crianças e o objetivo não é de desenvolver habilidades isoladas ou procedimentos, mas

explorar situações que exerçam influência nos conhecimentos dos alunos sobre

habilidades e procedimentos, como explica Blanton et al (Ibidem, p. 8):

Em particular as crianças desenvolvem um sistema de linguagem algébrico - enraizado com significado em suas expressões da linguagem natural - para descrever generalizações. Elas adquirem a primeira linguagem de prova, incluindo formas de raciocínio indutivo e dedutivo e uma apreciação de argumentos gerais e das limitações de argumentos empíricos (tradução de YAMANAKA, O. Y., 2008, do texto original: Early Algebra)

As pesquisas do grupo Early Algebra tem verificado que a criança pode:

Descrever, simbolizar e justificar propriedades aritméticas e relações;

Desenvolver uma visão relacional e algébrica da igualdade;

Usar ferramentas representacionais apropriadas na primeira série, que apoiarão a

exploração de relações funcionais nos dados;

Identificar e simbolizar relações funcionais;

Progredir a partir da construção de argumentos empíricos para construir

justificações usando problemas contextualizados e aprendendo a raciocinar com

generalizações para construir argumentos gerais; e

Aprender a comparar quantidades abstratas de medidas físicas (por exemplo:

comprimento, área, volume), a fim de desenvolver uma relação geral ( por exemplo:

propriedade transitiva da igualdade).

ABCBDBEBF GH I CBJKDBF LH MN IOPQRS RT UITVWX TWZIbra” sob a luz da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

7


A Early Algebra e o processo de formação de Professores

Sobre o processo de formação de professores o grupo Early Algebra, enfatiza que

os professores estão no cerne da mudança sistêmica proposta pelo projeto. Porém

argumentam que a maioria deles tem pouca experiência com a Matemática da Early

Algebra, já que são o produto do tipo de instrução algébrica, da qual o projeto visa

substituir. O grupo propõe que se providenciem formas apropriadas de suporte

profissional que promovam mudanças efetivas de metodologias de ensino e

conhecimento matemático do professor, o que implica em um desenvolvimento

profissional.

É importante ressaltar que a preocupação com a Early Algebra já havia sido

expressa no artigo de James J. Kaput e Maria Blanton, em 1999, intitulado: Algebraic

Reasoning in the Context of Elementary Mathematics: Making it Implementable a

Massive Scale.

Nesse artigo (Ibidem), os autores apontam três dimensões algébricas em que os

professores devem atentar. Elas foram chamadas de “algebrafy”, que consistem em:

O processo de construir oportunidades, especialmente em generalização e

oportunidades progressivas da formalização;

A construção dos “olhos e ouvidos da álgebra” dos professores, de modo que

eles possam reconhecer as oportunidades para a generalização e a expressão sistemática

desta generalidade e então atuar sobre, na medida que ocorrem;

O processo de criar a prática e a cultura de sala de aula, para apoiar a ativa

generalização e formalização do aluno, dentro do contexto da conjectura e de discussões

úteis, de modo que as oportunidades da álgebra ocorram com freqüência e sejam viáveis

quando ocorrem.

Dessa forma, Blanton et al (2007) consideram necessário que se evidencie

qualitativamente e quantitativamente o impacto da educação algébrica inicial. Mas isso

requer que os alunos recebam uma educação algébrica compreensiva ao longo do K-5

(equivalente brasileiro: creche) e que os professores tenham recebido a devida

orientação técnica, tendo suporte no local de trabalho.

[\]\^\_\` ab c ]\de^\` fb gh cijklm ln ocnpqr nqscbra” sob a luz da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

8


Existe também uma preocupação com os licenciandos, os quais são orientados

pelos professores em serviço. Para ele Blanton e Kaput, (1999) direciona as seguintes

questões:

Que capacidades os licenciandos tem para fazer e expressar generalizações,

formalizações e discussões úteis e como estas construções emergem em seu discurso

matemático?

Como o raciocínio algébrico dos licenciandos emerge através da experiência de

campo? (Particularmente, estudaremos a partir da perspectiva da primeira forma de

raciocínio algébrico: a álgebra, generalizando e formalizando padrões e restrições,

especialmente, mas não exclusivamente, álgebra como Aritmética Generalizada e

Raciocínio Quantitativo).

Que conhecimento essencial ou experiências os licenciandos necessitam para

raciocinar algébricamente e produzir aulas que fomentem o pensamento algébrico dos

alunos?

Em que medida a pesquisa de campo, transforma os licenciandos em futuros

professores em serviço, e assim como quem pensa algebricamente cultivam este tipo de

pensamento em sua aula?

Que tipos de estratégias instrucionais, ou pedagogias, que o professor educador

pode usar para estimular os licenciandos?

Segundo Blanton et al (2007), a pesquisa em Álgebra Inicial forneceu importantes

provas de que existem diferentes tipos de conhecimentos algébricos que as crianças

podem formular. Afirmam, ainda, que, como em qualquer aprendizagem, o

conhecimento que as crianças acumulam de uma “conversação algébrica” variará a

cada instante e a compreensão dos tipos de conhecimentos que elas deduzem dessa

conversa, suas trajetórias e seus momentos críticos, são passos importantes para

identificar a natureza universal do conhecimento algébrico.

Tendo exposto as linhas centrais do projeto Early Algebra, delinearemos na seção

a seguir, alguns aspectos teóricos principais da Teoria dos Campos Conceituais,

construída por Gerard Vergnaud. Pretendemos apresentar as características da Early

Algebra que vão ao encontro dessa teoria.

tuvuwuxuy z{ | vu}~wuy �{ �� |�� |�� |bra” sob a luz da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

9


A Teoria dos Campos Conceituais.

Carraher et al (2006), propõe que a instrução em álgebra ou pré-álgebra, inicie-se

ao nível da escola elementar, para preparar melhor os estudantes, do ponto de vista

epistemológicos, para a transição da aritmética à álgebra. Sua teorização sobre campos

conceituais proporciona uma análise razoável para uma Educação Matemática, em que

os conceitos são tratados como intimamente ligados, em vez de separados.

Um campo conceitual é definido como um conjunto de situações, cujas

propriedades exigem o domínio de vários conceitos, de diferentes naturezas, por

exemplo, o campo conceitual das estruturas multiplicativas consiste em todas as

situações que podem ser analisadas como problemas de proporções múltiplas e para o

qual geralmente é necessário multiplicar ou dividir. (VERGNAUD, 1988)

O quadro de campos conceituais e a definição de um conceito são apontados para

melhorar o entendimento das seguintes observações:

1- Conceitos matemáticos estão enraizados em situações e problemas.

2- Precisamos analisar e classificar estas situações e o procedimento que os alunos

usam para lidar com eles. Matemática é uma ferramenta.

3- As idéias dos alunos e competências se desenvolvem em um longo período de

tempo. Ensinar alunos de uma série particular exige que tenhamos uma idéia justa dos

passos que eles possam ou não possam ter obtidos através dos últimos passos que

gostaríamos que eles atingissem.

4- Símbolos (significantes) não se referem diretamente à realidade, mas para os

componentes cognitivos de conjunção (significados) subjacentes aos procedimentos

comportamentais dos alunos. Chamo estes componentes cognitivos de invariantes. Nós

devemos prestar atenção às distinções entre situações, invariantes e símbolos.

O desenvolvimento de um conceito está ligado à tríade: C = (S,I,R), onde S é um

conjunto de situações, que tornam o conceito significativo, I é o conjunto de invariantes

(objetos, propriedades e relacionamentos), que podem ser reconhecidos e usados como

sujeitos para análise e planejamento dessas situações e R é um conjunto de

representações simbólicas destas invariantes e portanto representa as situações e os

procedimentos para lidar com eles (VERGNAUD, 1988, 1997).

�� ¡� ¢£¤ £¥�bra” sob a luz da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

10


Em termos psicológicos, Magina et al (2001), explica que S é a realidade, e a

dupla (I, R), identifica a Representação, que pode ser considerada por dois aspectos

interativos do pensamento: o significado (I) e o significante (R).

Vergnaud (1996), ainda enfatiza que a Teoria dos Campos Conceituais oferece

um eficiente quadro para a compreensão da relação entre as diferentes situações

apresentadas aos estudantes e as capacidades desses em resolvê-las. Tal compreensão

oferece ao educador uma ferramenta poderosa para analisar as diferentes funções

cognitivas do aprendiz que, muitas vezes, se apresentam implicitamente, por meio de

teoremas-em-ação e nos conceitos-em-ação. os quais se mostram relevantes para

selecionar a informação. Esses dois termos centrais da teoria serão discutidos neste

artigo.

Antes de tal discussão, porém, precisamos primeiro procedermos a uma discussão

sobre a idéia do conceito de esquema, proposto por Vergnaud (1998), já que o

teorema-em-ação e o conceito-em-ação são elementos constitutivos do esquema e este,

por sua vez, do conceito.

Esquemas

Vergnaud, em seu artigo “A Comprehensive Theory of Representation for

Mathematics Education” (1998), dedica uma seção inteira para discutir o conceito de

esquema. Esta seção, intitulada “What are schemes made of”, ele argumenta que os

esquemas são classes especiais de algoritmos e define algoritmo como:

Um algoritmo é uma regra eficaz e um sistema de regras eficazes, para solucionar certas classes de problemas. Este sistema permite encontrar uma solução a qualquer categoria de problema em um número finito de passos, se tal solução existe ou para mostrar que não existe solução. (tradução de YAMANAKA, O. Y., 2008, do texto original: A Comprehensive Theory of Representation for Mathematics Education)

Vergnaud (1998) argumenta que a eficácia dos algoritmos pode ser testada e que

ela conta com o estabelecimento de limites das propriedades dos assuntos a serem

tratados e de operações realizadas nestes assuntos. Isto é, necessitam de conceitos e

teoremas. Nas palavras de Vergnaud (Ibidem, p. 171):

Esquemas não são normalmente algoritmos, apenas alguns deles são eficazes, mas apenas eficientes; nunca se está seguro quanto a

¦§¨§©§ª§« ¬ ® ¨§¯°©§« ± ²³ ®´µ¶·¸ ·¹ º®¹»¼½ ¹¼¾®bra” sob a luz da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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alcançar o objetivo, e certamente incapaz de provar que se alcançará um número finito de passos. Ainda que a maior parte de nossa atividade física e mental seja feita de esquemas. (tradução de YAMANAKA, O. Y., 2008, do texto original: A Comprehensive Theory of Representation for Mathematics Education)

Para esse autor, esquema é o conceito mais importante da psicologia cognitiva,

quando se trata em teorizar sobre ação e atividade, pois a maior parte de nossas

atividades cognitivas é efetuada através de esquemas. Pensar é um gesto, sob o aspecto

de produzir seqüências de ações, ou operações sob certas circunstâncias, com objetivos,

ou sub-objetivos, de agrupar informações e processá-las.

Esquemas são totalidades dinâmicas e funcionais. Contudo, alunos

freqüentemente enfrentam situações sem ter nenhum esquema disponível.

Conseqüentemente, eles não têm outra maneira a não ser o de chamar esquemas na

vizinhança, na tentativa de decompor e recombiná-los, a fim de formar novos esquemas,

com ou sem a ajuda do professor ou de outros alunos.

Vergnaud, (1998), destaca quatro características principais em um esquema:

1. Objetivos e antecipações;

2. Regras de ação, procura de informação e controle;

3. Invariantes Operacionais;

4. Possibilidades de Inferências;

Vergnaud (1998, p173) é enfático ao criticar modelos behavioristas de

aprendizagem:

Hoje, não é tão difícil para psicólogos e pesquisadores em educação matemática concordar que, em uma atividade matemática, normalmente há uma meta usual a ser alcançada e alguns sistemas gerais de ações e operações ocorrem. Mesmo encontrando alguns poucos pesquisadores que ainda consideram que metas devem ser perseguidas linearmente e que o processo de tentativa-e-erro deve ser predominante no processo de generalização do comportamento. (tradução de YAMANAKA, O. Y., 2008, do texto original: A Comprehensive Theory of Representation for Mathematics Education)

Assim, a proposta de Vergnaud é que se identifique, valorize e estude as ações dos

estudantes no momento em que eles estão resolvendo problemas, pois é nesse momento

¿ÀÁÀÂÀÃÀÄ ÅÆ Ç ÁÀÈÉÂÀÄ ÊÆ ËÌ ÇÍÎÏÐÑ ÐÒ ÓÇÒÔÕÖ ÒÕ×Çbra” sob a luz da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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que conceitos e conhecimentos, traduzidos em invariantes implícitos,

aparecem,formando assim os elementos constitutivos dos esquemas desses estudantes.

Teoremas em Ação e Conceitos em Ação:

Em cada ação selecionamos uma pequena parte da informação disponível, todavia

precisamos de uma variedade mais ampla de categorias para essa seleção ocorrer.

Conceitos em Ação são relevantes ou não ou são parcialmente relevantes para

identificar e selecionar a informação, porém relevância ou irrelevância não significam:

verdadeiro ou falso, não há significado em dizer que os conceitos do triângulo, ou

número, ou simetria ou operação escalar, ou transformações são, elas mesmas,

verdadeiras ou falsas; e ainda estes conceitos são conceitos matemáticos relevantes para

caracterizar representação e ação em tarefas matemáticas.

Teoremas em Ação podem ser verdadeiros ou falsos, esta é uma forte propriedade,

assim como ela possibilita a concretizar a idéia de computabilidade e representação

computável. Uma teoria de representação deve conter a idéia que a representação

oferece possibilidades de inferências. A representação nos capacita para antecipar

eventos futuros, e gerar comportamentos para alcançar resultado positivo ou evitar

alguns negativos.

Teoremas em Ação são definidos como relações matemáticas que devem ser

levados em consideração pelos alunos quando eles escolhem uma operação ou uma

seqüência de operações para resolver um problema. Estas relações geralmente não são

expressas verbalmente pelos alunos. Assim, Teoremas em Ação não são teoremas de

senso convencional porque a maioria deles não são explícitos. Eles subjazem o

comportamento dos alunos, e o alcance da validade deles é geralmente menor do que o

âmbito dos teoremas. Eles até mesmo podem estar errados. Contudo, um Teorema em

Ação pode ser visto na aplicação de um conjunto de problemas. Para estudar o

comportamento matemático das crianças é necessário expressar os teoremas em ação

em termos matemáticos.

Portanto, teoremas em ação, são formas de analisar as estratégias intuitivas dos

alunos e conseqüentemente ajudá-los à transformar conhecimento intuitivo em

conhecimento explícito e também oferecer um caminho para diagnosticar o

ØÙÚÙÛÙÜÙÝ Þß à ÚÙáâÛÙÝ ãß äå àæçèéê éë ìàëíîï ëîðàbra” sob a luz da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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conhecimento do aluno e assim oferecer situações que permitirão consolidar seu

conhecimento.

Finalizando este tópico, citando Vergnaud (1998, p. 181):

Nem Piaget nem Vygotsky, perceberam quanto o desenvolvimento cognitivo depende das situações e das conceitualizações exigidas para lidar com elas. A Teoria dos Estágios, não é por ela mesma útil para os professores, porque ela não lhes oferece nenhuma orientação para o ensino. Esta é a razão principal de ter desenvolvido a Teoria dos Campos Conceituais com base nos legados de Piaget e Vygotsk. (tradução de YAMANAKA, O. Y., 2008, do texto original: A Comprehensive Theory of Representation for Mathematics Education)

Após a apresentação das principais propostas do grupo Early Algebra para o

ensino desta disciplina e na seqüência, as idéias centrais da Teoria dos Campos

Conceituais, apresentaremos, na próxima seção, as possíveis pontes e convergências

entre esta teoria e o grupo acima citado.

Paralelos entre a Early Algebra e a Teoria dos Campos Conceituais.

Quando o grupo Early Algebra ressaltou a importância da generalização e a

identificação, expressando e justificando as estruturas matemáticas, na Early Algebra,

podemos realizar um paralelo com os conceitos-em-ação, os quais são objetos e

categorias formalizadas e em vias de serem explicitamente apropriadas pelos estudantes.

Da mesma forma, quando o grupo Early Algebra aponta as propriedades

algébricas e suas conexões com o raciocínio e ações baseadas em formas e

generalizações, referem se, do ponto de vista da Teoria dos Campos Conceituais, aos

Teoremas-em-Ação, que são proposições consideradas verdadeiras sobre o real.

Outra característica algébrica que o grupo Early Algebra levanta sobre o ensino é

o desenvolvimento de uma relação visual de igualdade algébrica e o uso apropriado de

ferramentas representacionais, as quais apoiarão a exploração de relações funcionais.

Essas características podem ser entendidas, na Teoria dos Campos Conceituais como

regras para gerar ações de acordo com as diferentes variáveis da situação.

Por fim, os Invariantes Operacionais (compreender e selecionar informações

relevantes: conceitos em ação, bem como tratar esta informação: teorema em ação),

podem ser detectados na Early Algebra, através das seguintes características: Identificar

e simbolizar relações funcionais e desenvolvimento a partir da construção de

ñòóòôòõòö ÷ø ù óòúûôòö üø ýþ ùÿY�� ù�� ùbra” sob a luz da teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

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argumentos empíricos e efetuar justificativas usando problemas contextualizados e um

aprendizado para raciocinar com generalizações e construir argumentos gerais.

Considerações Finais:

Mostramos, ao longo deste artigo, que os estudantes das séries iniciais podem

aprender conceitos matemáticos e representações, além da notação algébrica, pode

desempenhar um papel importante no apoio ao conhecimento matemático.

Uma característica importante apresentada por nós, foi a informação de que a

pesquisa, no nível da Álgebra Inicial, tem mostrado que a generalização é o centro do

raciocínio algébrico. E mais, que a introdução da álgebra nas séries iniciais está focada

na generalização algébrica. Neste caso, ela pode ser entendida como generalização dos

números e das quantidades.

Por fim, com este artigo procuramos mostrar a relevância de um dos tópicos

centrais da matemática, e a sua conseqüente aplicação no currículo das séries iniciais,

verificando a existência cada vez maior de pesquisas que integrem a álgebra na

educação inicial da Matemática. Esta por sua vez, pode ser mediatizada através das

teorias advindas da psicologia cognitiva, nomeadamente a Teoria dos Campos

Conceituais, proposta por Gerard Vergnaud.

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L67898: ;< 6< => ?@ABCD C? EF@D @DGH? F H?@DIBJKD Ce problemas e a modelagem matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 3: Etnomatemática e Modelagem

UM ESTUDO DE CASO SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E A

MODELAGEM MATEMÁTICA

Cláudia de Oliveira LOZADA -GT Modelagem Matemática (SBEM) ([email protected]

Resumo: Neste artigo tecemos considerações acerca da relação entre a resolução de problemas e a Modelagem Matemática, asseverada com a publicação das Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Apresenta-se um estudo de caso com alunos da 3ª série do Ensino Médio de uma escola pública da rede estadual paulista na disciplina Matemática. Constatamos que as práticas em Modelagem sempre estão agregadas à instrumentalização da resolução de problemas e à aquisição de conceitos matemáticos, privilegiando as correntes pragmática e científica de Modelagem e desconsiderando a formação cidadã preconizada pelos documentos oficiais da Educação Nacional. Propomos, então que os docentes revejam sua prática pedagógica, visando contribuir para a formação de um aluno crítico e reflexivo.

Palavras-chave: Resolução de Problemas, Modelagem Matemática, Educação Matemática.

IntroduçãoA preocupação com a formação cidadã do educando deveria ser prioridade em nossas

escolas, constituindo-se objetivo de cada disciplina, tornando-se uma questão interdisciplinar,

inter-relacionando os conteúdos das disciplinas em torno de uma temática, trabalhando os

conteúdos de maneira indagadora e não linear, como se vê hodiernamente em nossas escolas.

A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (BRASIL, 1996), em seu art. 2º,

estabelece que a educação escolar deve vincular-se ao mundo do trabalho e à prática social, bem

como “tem por finalidade o pleno desenvolvimento do educando, seu preparo para o exercício da

cidadania e sua qualificação para o trabalho”. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,

1999, p. 27) seguindo esta diretriz, pontuam que:

(...) a Matemática pode dar sua contribuição à formação do cidadão ao desenvolver metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a comprovação de justificativa de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios.

NOPQRQS TU OU VW XZ[\]^ ]X _`Z^ Z^abX ` bXZ^c\de^ ]e problemas e a modelagem 2matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Este é o âmbito da Educação Matemática de cunho crítico sugerida por Skovsmose (2001)

e corroborada por Barbosa (2003, p. 6): “Mais do que informar matematicamente, é preciso

educar criticamente através da matemática”.

No entanto, como afirma Muzzi (2004), a Educação Matemática tradicional segue o

“paradigma do exercício”. O que se observa, é que não há um trabalho efetivo que enfoque uma

perspectiva sócio-crítica de Modelagem agregada à resolução de problemas, o que encontra

dissonância com os documentos oficiais, que apontam a formação de um aluno crítico.

A prática da resolução de problemas em Matemática no contexto escolar muitas vezes

restringe-se aos “problemas – tipo” cujo objetivo é a fixação de determinado conteúdo, bem

como instrumentalizar os mecanismos de resolução por meio da repetição desses problemas. Os

problemas são vistos como exercícios de aplicação de teoria, centrando-se no domínio de

operações e algoritmos, uma tendência fortemente disseminada nas décadas de 1960 e 1970.

Este processo descaracteriza o caráter de investigação e de exploração que a resolução de

problemas sugere, certamente limitando o desenvolvimento de heurísticas pelos próprios alunos.

Pozo (1998) assevera que a resolução de problemas contribui para o aprender a aprender,

levando o aluno a autonomia de pensamento, autonomia na tomada de decisões, desenvolvendo

competências e habilidades.

Embora, os livros didáticos tragam problemas contextualizados relacionados ao cotidiano

dos alunos, há a necessidade de os professores reverem sua prática pedagógica com o objetivo de

tornar a resolução de problemas uma atividade desafiadora que mobilize o processo cognitivo

dos alunos, levando-os a desenvolver sua capacidade crítica, voltando-se para problemas com

referência na realidade, possibilitando a formação social do conhecimento, aumentando a

percepção de que o aluno atua como sujeito da produção do conhecimento, uma vez que

desenvolvimento do indivíduo constitui-se como resultado de um processo sócio-histórico, como

preconiza Vygotsky (1987, 1991).

É o que nos coloca Freire (2004, p. 41): “Assumir-se como ser social e histórico, como ser

pensante, comunicante, transformador, criador...” Essas idéias já eram defendidas por Freinet

(1985), pedagogo francês, que enfatizava que as contradições da sociedade se refletiam também

na escola. Sendo assim, a educação mostra-se como processo dinâmico, determinada pelas

condições sociais, estando voltada para a preparação para a vida social, daí a importância de se

formar para a cidadania.

Dessa maneira, fomentando-se que os professores disseminem a perspectiva sócio-crítica

da Modelagem Matemática, propomos reflexões sobre a interface entre a Modelagem

fghijik lm gm no pqrstu tp vwqu quxyp w ypquzs{|u te problemas e a modelagem 3matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Matemática e a resolução de problemas, por meio de um estudo de caso com alunos da 3ª série

do Ensino Médio.

As concepções e perspectivas sobre Modelagem Matemática

Diferentemente de outros documentos oficiais, as Orientações Curriculares para o Ensino

Médio (BRASIL, 2006) citam expressamente a Modelagem Matemática, ou seja, a destacam no

bojo de seu texto, demonstrando a sua relevância nas pesquisas em Educação Matemática.

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 84) colocam a

Modelagem Matemática “como um caminho para se trabalhar a Matemática na escola” e

prosseguem afirmando que a Modelagem Matemática “pode ser entendida como a habilidade de

transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas

soluções na linguagem do mundo real.”

Para Bassanezi (2002, p.16) “a Modelagem Matemática consiste na arte de transformar

problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na

linguagem do mundo real”.

Almeida e Dias (2004, p.25) pontuam que a Modelagem pode “proporcionar aos alunos

oportunidades de identificar e estudar situações-problema de sua realidade, despertando maior

interesse e desenvolvendo um conhecimento mais crítico e reflexivo em relação aos conteúdos

matemáticos”.

Barbosa (2001, p. 3) corrobora esta idéia afirmando que a Modelagem “é um ambiente de

aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da

Matemática, situações com referência na realidade.” Este ambiente de aprendizagem, contém um

“cenário de investigação”como nos coloca Skovsmose (2000, p. 69).

Para Machado Jr. e Santo (2004, p. 1) Modelagem Matemática “é o processo de criar

modelos por hipóteses e aproximações simplificadoras, para obter múltiplas respostas com suas

respectivas justificativas.”

Santo1 (2007) repensando a Modelagem Matemática recentemente a definiu “como um

processo gerador de um ambiente de aprendizagem onde é possível trabalhar os conteúdos

matemáticos e não matemáticos de forma indissociável num processo dialógico onde o

conhecimento como um todo vai se construindo sem a necessidade de fragmentação de sua

aprendizagem.”

Bean (2000, p. 1) aduz que a Modelagem Matemática “consiste em um processo no qual as

características pertinentes de um objeto ou sistema são extraídas, com a ajuda de hipóteses e

}~�� ~� �� e problemas e a modelagem 4matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

aproximações simplificadoras, e representadas em termos matemáticos (o modelo matemático).

As hipóteses e as aproximações significam que o modelo criado através deste processo é aberto à

crítica e à aperfeiçoamento.”

Araújo (2002, p. 39) por sua vez, entende que a Modelagem consiste (...) “na abordagem

por meio da Matemática, de um problema não matemático da realidade, escolhida pelos alunos

reunidos em grupo, de tal forma que as questões da Educação Matemática Crítica embasem o

desenvolvimento do trabalho.” Essa escolha de que trata Araújo, é defendida por Borba,

Meneghetti e Hermini (1999, p. 76) com o auxílio do professor como adiante se vê, ao

descreverem que a Modelagem: “(...) pode ser vista como um esforço de descrever

matematicamente um fenômeno que é escolhido pelos alunos com o auxílio do professor.” Essa é

uma tendência encontrada nos trabalhos desenvolvidos em Modelagem Matemática, nos quais o

professor figura como mediador (BASSANEZI, 1990, 1994; BIEMBENGUT, 1990, 1999),

baseada na Teoria da Atividade, na qual as atividades são mediadas.

No entanto, dependendo do objetivo que se pretende alcançar com as atividades de

Modelagem Matemática, esta pode apresentar-se segundo uma das três perspectivas, como

aponta Barbosa (2006, p. 1): “a pragmática, com ênfase no desenvolvimento de habilidades de

resolução de problemas, a científica, com ênfase na aprendizagem dos conceitos matemáticos e a

sócio-crítica, que sublinha a análise do papel dos modelos matemáticos na sociedade.”

As perspectivas pragmática e científica são usuais em nossas escolas, seja, no Ensino

Fundamental ou Médio, agregada à resolução de problemas e à aprendizagem de conceitos

matemáticos. As atividades de Modelagem Matemática constituem um “veículo” para o domínio

de ferramentas matemáticas, como se pôde constatar no estudo de caso que adiante será exposto.

Kaiser-Messmer (1991, p. 85) afirma que a perspectiva científica “considera a ciência

matemática e sua estrutura como um guia indispensável para ensinar matemática, a qual não

pode ser abandonada.”

O citado autor apresenta uma outra classificação para as perspectivas de Modelagem

Matemática, segundo exposta por Barbosa2 (2007): realística (comporta situações mais abertas,

mais complexas), epistemológica (situações mais estruturadas para gerar teoria matemática),

educacional (integração de problemas autênticos com o propósito de gerar teoria matemática),

sócio-crítica (natureza dos modelos matemáticos e seu papel na sociedade), contextual (situações

voltadas à construção da teoria matemática, porém sustentadas em estudos de Psicologia).

As perspectivas de Modelagem que enfatizam a aprendizagem de conteúdos matemáticos

não devem associar-se às práticas que visam à mecanização de procedimentos matemáticos,

�� ¡¢£ ¢� ¤¥�£ �£¦§� ¥ §��£¨¡©ª£ ¢e problemas e a modelagem 5matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

numa referência à herança do ensino tecnicista, mas propiciar uma aprendizagem significativa

dos conceitos matemáticos. Recomendamos também que os professores, possibilitem a

introdução da perspectiva sócio-crítica propiciando aos alunos compreender o papel da

Matemática na sociedade.

Assim, a Matemática cumprirá seu papel na formação social do conhecimento, como

preconizam muitos documentos oficiais da Educação Nacional. Por conseguinte, a Modelagem

Matemática sob a perspectiva sócio-crítica torna-se uma alternativa de ensino que poderá

conduzir à formação do cidadão, desenvolvendo a criticidade, o respeito aos saberes dos

educandos, a curiosidade, a criatividade, a autonomia... (FREIRE, 1994).

Muitos autores como Barbosa (2001), Malheiros (2004), Bassanezi (2002), Araújo (2002)

discutem a Modelagem como estratégia de ensino de Matemática, sendo que a mesma é apontada

também como ambiente de aprendizagem, apresentando em suma, os seguintes argumentos para

incluí-la no currículo segundo Barbosa (2003, p. 2): “Motivação, facilitação da aprendizagem,

preparação para utilizar a matemática em diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades gerais

de exploração e compreensão do papel sócio-cultural da Matemática.”

A perspectiva sócio-crítica como bem coloca Barbosa (2003), dá ênfase ao conhecimento

reflexivo (SKOVSMOSE, 1990 apud BARBOSA 2003, p. 3-4), uma vez que oportuniza aos

alunos a discussão das “implicações dos resultados matemáticos, decorrentes da resolução da

situação-problema, na sociedade.” Além do mais, possibilita o educar pela pesquisa (DEMO,

2003).

Há uma proximidade da perspectiva sócio-crítica com a teoria das representações sociais

de Moscovici (1961, 1976 apud SOUSA; MOREIRA, 2001, p. 70): “A inserção social do sujeito

incide sobre a formação de representações. O campo social orienta, a partir de uma realidade

material e objetiva, a construção do objeto.”

Isto é perceptível quando se adota a perspectiva sócio-crítica da Modelagem, ao

analisarem-se as rotas de modelagem e o gênero discursivo utilizado pelos alunos. As crenças ou

ideologias coletivas podem produzir soluções específicas para as questões, configurando o que

Moscovici (1981 apud SOUSA; MOREIRA, 2001, p. 71) denominou de universos consensuais:

Nos universos consensuais (...) cada indivíduo é livre para se comportar como um amador ou um observador curioso, manifestando suas opiniões, apresentando suas teorias e tendo uma resposta para todos os problemas. A conversação cria gradualmente núcleos de estabilidade e maneirais habituais de fazer coisas, um conjunto de significados entre aqueles que participam dela.

«¬®¯®° ±² ¬² ³´ µ¶·¸¹º ¹µ »¼¶º ¶º½¾µ ¼ ¾µ¶º¿¸ÀÁº ¹e problemas e a modelagem 6matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Ademais, a perspectiva sócio-crítica pode desencadear a denominada Aprendizagem

Significativa Crítica defendida por Moreira (2005), na qual o aluno passa a ser perceptor

posicionando-se criticamente sobre o objeto de aprendizagem.

A relação entre a resolução de problemas e Modelagem Matemática

No final dos anos 70, desponta o interesse pela resolução de problemas, em virtude da

falha dos programas para o ensino de Matemática que haviam sido elaborados. Nos anos 80, o

National Council of Teachers of Mathematics, elabora um documento chamado “Agenda for

Action”, que prioriza e recomenda que a resolução de problemas seja o principal escopo do

ensino de matemático (HUETE; BRAVO, 2006).

Em diversas passagens dos PCN do Ensino Médio (BRASIL, 1999), a resolução de

problemas é citada como uma prática a ser desenvolvida em nossas escolas, inclusive, esta

postura é reforçada, na seção de competências e habilidades. Outro aspecto a ser considerado em

relação à resolução de problemas refere-se a alguns conceitos que o envolvem. Diversos teóricos

discutem acerca do conceito de problema e da resolução de problemas, sendo que várias

correntes apontam os requisitos para se considerar um problema e sua resolução

(KILPATRICK,1985; SCHOENFELD, 1985). Outros autores (RABELO, 2004) explicitam que

o conceito de problema é relativo ao sujeito a que se destina.

Schoenfeld (1985), destacado autor nesta área, aponta quatro categorias de habilidades

necessárias para se resolver problemas: recursos, heurísticas, controle e convicções. Polya (1995)

por sua vez, coloca quatro fases para a resolução de problemas: compreensão do problema,

concepção de um plano, execução do plano e visão retrospectiva. Acreditamos, contudo, que

independente da área de ensino, estas quatro fases deveriam ser ensinadas aos alunos visando

facilitar o processo de resolução de problemas. Por outro lado, Krulik e Reys (1997), enfocam a

resolução de problemas como meta, processo e habilidade básica.

Diante do exposto, percebe-se que a Modelagem Matemática está diretamente ligada à

resolução de problemas e em geral, envolve as seguintes etapas: (1ª) definição do problema, (2ª)

simplificação e formulação de hipóteses, (3ª) dedução do modelo matemático, (4ª) resolução do

problema matemático, (5ª) validação e (6ª) aplicação do modelo.

É o que observa Gustineli (1990, p. XIII – apresentação), em sua Dissertação de Mestrado,

esclarecendo que tem por objetivo "(...) encarar a Modelagem Matemática e a Resolução de

Problemas globalmente relacionados e ressaltar como a criatividade emerge ao se trabalhar com

ÂÃÄÅÆÅÇ ÈÉ ÃÉ ÊË ÌÍÎÏÐÑ ÐÌ ÒÓÍÑ ÍÑÔÕÌ Ó ÕÌÍÑÖÏ×ØÑ Ðe problemas e a modelagem 7matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

essas duas linhas de pesquisa, como metodologias do ensino da Matemática, tendo em vista o

processo de ensino e aprendizagem”.

Esta relação entre a resolução de problemas é enfatizada pelas Orientações Curriculares

(BRASIL, 2006, p. 84-85):

(...) A Modelagem Matemática percebida como estratégia de ensino, apresenta fortes conexões com a idéia de resolução de problemas (...) Ante uma situação problema ligada ao mundo real, com sua inerente complexidade, o aluno precisa mobilizar um leque de competências: selecionar variáveis que serão relevantes para o modelo a construir; problematizar, ou seja, formular o problema teórico na linguagem do campo matemático envolvido; formular hipóteses explicativas do fenômeno em causa; recorrer ao conhecimento matemático acumulado para a resolução do problema formulado, o que, muitas vezes, requer um trabalho de simplificação quando o modelo originalmente pensado é matematicamente muito complexo; validar, isto é, confrontar as conclusões teóricas com os dados empíricos existentes; e eventualmente ainda, quando surge a necessidade, modificar o modelo para que esse melhor corresponda à situação real, aqui se revelando o aspecto dinâmico da construção co conhecimento. (grifo nosso)

Barbosa (2004a, p. 3), ao referir-se ao contato inicial do professor com a Modelagem

lembra que: ”Em geral, eles podem não ter tido oportunidades de desenvolver atividades de

Modelagem anteriormente ou de resolução de problemas com referência na realidade.” E

observa que “por problema com referência na realidade, estou entendendo aqueles, de natureza

aberta3, que nascem em outras áreas que não a Matemática ou no dia-a-dia”.

Em relação aos tipos de problemas, as Orientações curriculares para o Ensino Médio

(BRASIL, 2006, p. 83-84) alertam sobre a questão da contextualização que está presente em

muitos deles e sua influência direta no processo ensino - aprendizagem:

A contextualização pode ser feita por meio de resolução de problemas, mas aqui é preciso estar atento aos problemas fechados, porque esses pouco incentivam o desenvolvimento de habilidades. Nesse tipo de problemas, já de antemão o aluno identifica o conteúdo a ser utilizado, sem que haja maiores provocações quanto à construção de conhecimento e quanto à utilização de raciocínio matemático.

Os alunos, dessa forma, como o documento referido coloca, operam com os números que

estão presentes no problema e não refletem sobre o resultado a que chegam, seja qual for. E o

escopo de formar um aluno reflexivo torna-se insipiente.

Cabe ressaltar, inclusive, que, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL,

2006, p. 81) referem-se à corrente sócio – construtivista na resolução de problemas, o que de

certo modo, relaciona-se com a perspectiva sócio-crítica da Modelagem Matemática,

esclarecendo que a mesma ainda é pouco explorada em nossos sistemas de ensino. Prosseguem,

ÙÚÛÜÝÜÞ ßà Úà áâ ãäåæçè çã éêäè äèëìã ê ìãäèíæîïè çe problemas e a modelagem 8matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

afirmando que o professor tem o papel de mediador, ou seja, “gerador de situações que

propiciem o confronto de concepções, cabendo ao aluno o papel de construtor de seu próprio

conhecimento matemático.” Aqui, o contrato didático assume um importante papel no processo

ensino-aprendizagem.

Análise de um estudo de caso com alunos da 3ª série do Ensino Médio

No mês de outubro de 2006, realizamos uma pesquisa qualitativa com 57 alunos da 3ª série

do Ensino Médio, do período noturno, de uma escola da rede pública estadual de SP. Os

procedimentos utilizados constituíram-se em aplicação de quatro problemas contextualizados

que deveriam ser resolvidos pelos alunos em grupos formados por 3 ou 4 componentes.

A opção por realizar a atividade em grupo visou oportunizar a discussão coletiva e a

reflexão acerca da resolução de problemas propiciando analisar como os alunos desenvolvem os

modelos matemáticos, além de desenvolver valores e atitudes, tais como a socialização e o

respeito pela opinião do próximo. Esta prática enfatiza o trabalho cooperativo defendido por

Freinet (1985).

Formaram-se, então 7 grupos com 3 alunos cada e 9 grupos com 4 alunos. Após a

resolução dos problemas, os grupos responderam um questionário, cujo objetivo era levantar

dados acerca do ensino de Matemática. Além do mais, a observação dos grupos, possibilitou uma

visão geral não só da integração de seus componentes, mas também das rotas de resolução dos

problemas.

Ressalte-se que 3 problemas baseavam-se em conteúdos já vistos pelos alunos em séries

anteriores (2 problemas sobre função polinomial do 1º grau e um sobre Teorema de Pitágoras) e

apenas um deles, que versava sobre análise combinatória não fôra estudado pelos alunos, uma

vez que havia uma pequena defasagem no desenvolvimento do conteúdo programático. No

entanto, não haveria, em princípio, maior dificuldade para resolução deste problema de análise

combinatória, uma vez que os alunos poderiam utilizar o princípio fundamental da contagem,

que costumeiramente, chamam de “método das tentativas” ou “procedimento longo” ou

“resolver do meu jeito”. A escolha por problemas sobre função polinomial do 1º grau foi a

possibilidade de se elaborar o modelo matemático utilizando-se a linguagem simbólica.

A atividade e o questionário

Os problemas propostos para os alunos foram selecionados de livros didáticos da 8ª série

do Ensino Fundamental e da 1ª série do Ensino Médio, os quais o professor costumava utilizar

ðñòóôóõ ö÷ ñ÷ øù úûüýþÿ þú L�ûÿ ûÿ��ú � �úûÿ�ý��ÿ þe problemas e a modelagem 9matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

para preparar suas aulas. A seleção dos problemas procurou priorizar situações contextualizadas,

mais próximas da realidade dos alunos. Os problemas selecionados foram os seguintes:

1) Márcia ligou seu computador à Internet. Para fazer uso dessa rede, ela paga uma mensalidade fixa de R$ 30,00, mais 15 centavos a cada minuto de uso. Se ela gasta 20 minutos acessando a Internet, quanto pagará? 2) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano horizontal, conforme a figura. Se o ponto A está a 15 m da base B da torre e o ponto C está a 20 m de altura, qual será o comprimento do cabo AC? 3) C

A 4) Num hospital existem 3 portas de entrada que dão para um saguão onde há 4 elevadores. Um visitante deve se dirigir ao 5º andar utilizando-se de um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? 5) Uma corrida de táxi tem um custo fixo de R$ 2,40 e outro variável de R$ 0,80 por km rodado. A) Qual é a fórmula matemática dessa função? B) Quanto custará uma corrida de 8 km?

Pela análise dos protocolos de pesquisa, constatou-se que dos 16 grupos apenas 4

utilizaram a linguagem simbólica para resolver o problema 4, que propiciava a elaboração do

modelo matemática, como se pode ver:

1: f(x) = 2,40 + 0,8. x

2: y = 2,40 + 0,80.x

3: 2,40 + (x. 0,80)

4: 2,40 + 0,80 por km

As demais resoluções do problema 4 foram efetuadas em forma de operações de

multiplicação e adição: 0,80 x 8 = 6,40 => 6,40 + 2,40 = 8,80

Para o problema 1, todos os grupos não utilizaram a linguagem simbólica, resolvendo este

problema também em forma de operações: 0,15 x 2 = 3,00 => 30,00 + 3,00 = 33,00.

Para o problema 2, todos os grupos resolveram conseguiram resolver a questão, inclusive

escrevendo corretamente o modelo matemático do Teorema de Pitágoras: a² = b² + c².

No entanto, em relação ao problema 3, afirmaram encontrar dificuldades para resolvê-lo,

alegando que: “Não vimos essa matéria!”, “Tem uma fórmula para resolver?”. Apenas 3 grupos

�� e problemas e a modelagem 10matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

resolveram a questão, sendo que um deles desenhou as portas de entrada e os elevadores,

associando-os com setas e por fim chegando à resposta (12 maneiras). Os outros dois grupos

utilizaram o princípio fundamental da contagem: 3 x 4 = 12 maneiras. Os demais grupos

deixaram a questão em branco.

Em seguida, os grupos responderam ao questionário (vide Anexo).

As respostas dadas ao questionário foram às seguintes:

a) Para a pergunta 1, dois grupos deixaram de respondê-la, alegando não ter encontrado

dificuldades em resolver os problemas; 2 grupos apontaram que os dados não estavam evidentes;

6 grupos apontaram que havia necessidade de uma leitura mais aprofundada; 2 grupos

assinalaram a alternativa c, relativa a elaboração do modelo matemático e da linguagem

simbólica e 4 grupos assinalaram a alternativa d, no entanto, não apontaram quais seriam essas

outras dificuldades.

b) Para a pergunta 2, 8 grupos assinalaram a alternativa a, 5 grupos assinalaram a alternativa

b, 2 grupos assinalaram a alternativa c e apenas um grupo assinalou a alternativa d.

c) Para a pergunta 3, 4 grupos afirmaram que apresentam dificuldades em relação à leitura e

interpretação do enunciado; 6 grupos apontaram que possuem dificuldades em operações

matemáticas e 6 grupos assinalaram que sua dificuldade está relacionada à elaboração do modelo

matemático.

d) Para a pergunta 4, 2 grupos assinalaram que pouco resolveram problemas nas séries

anteriores; 10 grupos afirmaram que a resolução de problemas foi de intensidade média; 2

grupos afirmaram que resolveram muitos problemas e 2 grupos assinalaram que raramente

resolviam problemas.

e) Para a pergunta 5, todos os grupos foram unânimes em afirmar que a resolução de

problemas é importante. E apontaram os motivos dessa importância foram apontados na pergunta

6: 11 grupos assinalaram que a resolução de problemas permite o desenvolvimento do raciocínio

lógico e abstrato; 5 grupos assinalaram que a resolução de problemas permite o contato com

situações cotidianas; 2 grupos assinalaram que a resolução de problemas contribui para o

desenvolvimento da cidadania; 3 grupos assinalaram que a resolução de problemas permite o

desenvolvimento do senso crítico e 2 grupos assinalaram a alternativa e, mas não a

especificaram.

��!"!# $% �% &' ()*+,- ,( ./)- )-01( / 1()-2+34- ,e problemas e a modelagem 11matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

f) Para a pergunta 7, 12 grupos afirmaram que durante a resolução de problemas costumam

imaginar a situação que está relacionada ao problema e apenas 4 grupos assinalaram que não

imaginam a situação - problema.

g) Para a pergunta 8, 15 grupos afirmaram que os problemas contextualizados contribuem

para a assimilação de conteúdos de Matemática e apenas 1 grupo assinalou que não há

contribuição para a assimilação de conteúdos de Matemática.

h) Para a pergunta 9, 15 grupos assinalaram que os trabalhos em grupo contribuem para uma

melhor assimilação dos conteúdos de Matemática e somente um grupo afirmou que não.

Análise dos resultados

Pela análise dos protocolos de pesquisa pudemos concluir que os alunos não possuem o

domínio da linguagem simbólica, constituinte do formalismo matemático e, portanto, este fato

pode ser um obstáculo à elaboração dos modelos matemáticos, como se pudemos verificar pelos

problemas 1 e 4. Percebemos também que a “cultura das fórmulas” e o “paradoxo do exercício”

ainda é prática dominante em nossas escolas, como visto pela memorização e mecanização do

procedimento de resolução do problema 2, que envolvia o Teorema de Pitágoras.

Outro aspecto evidente refere-se ao hábito do aluno relacionar a resolução de problemas

com conteúdos dados, o que enfatiza a cultura dos “problemas-tipo”, como constatado pelo

problema 3. Em relação à análise do questionário, as dificuldades ou facilidades apontadas para a

resolução de problemas estão ligadas a evidência de dados no enunciado, à leitura e interpretação

de enunciados, à elaboração do modelo matemático (como constatamos relaciona-se ao domínio

da linguagem simbólica) e à operações matemáticas presentes na resolução do modelo

matemático.

Inferimos que embora a intensidade de resolução de problemas tenha sido média, como

apontada pela maioria dos grupos, a mesma não se constituiu em atividade desafiadora e

investigativa, mas apenas como atividade de fixação de conteúdos e mecanismos matemáticos.

Ao responderem sobre a importância da resolução de problemas, a maioria dos grupos assinalou

que esta é relevante para o desenvolvimento do raciocínio lógico, aspecto ligado

preponderantemente ao desenvolvimento bio-psicológico, sendo que poucos grupos assinalaram

o desenvolvimento da cidadania e do senso crítico, o que demonstra que não há a percepção por

parte dos alunos do papel da Matemática na sociedade e que a mesma possibilita desenvolver a

criticidade, não estando restrita apenas a conteúdos de História.

567898: ;< 6< => ?@ABCD C? EF@D @DGH? F H?@DIBJKD Ce problemas e a modelagem 12matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Embora, em sua maioria, apontassem que costumam imaginar a situação-problema, é

necessário um trabalho efetivo com modelagem mental para que saibam como a imaginação

destas situações seguida de discussões podem ser extremamente positivas na resolução de

problemas. Os grupos apontaram a relevância dos problemas contextualizados, o que demonstra

que o cotidiano é um fator a ser considerado no processo ensino – aprendizagem de Matemática,

bem como apontaram em sua maioria que o trabalho realizado em grupo contribui para a

aprendizagem. Neste ponto, salientamos que é necessário estimular que os componentes do

grupo participem ativamente, discutam, desenvolvam a argumentação e o confronto de idéias.

Haja vista que o objetivo fosse desenvolver a Modelagem Matemática por meio da

elaboração dos modelos matemáticos relacionados aos problemas, esta não mostrou-se tão

efetiva em virtude do perfil dos alunos, habituados a uma outra concepção de resolução de

problemas, ligada ao mecanicismo.

Considerações finais

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) demonstram

claramente que há uma relação entre Modelagem Matemática e resolução de problemas, além de

destacarem a importância da Modelagem Matemática como estratégia de ensino, o que não se vê

em outros documentos oficiais anteriormente publicados. Além do mais a Modelagem

Matemática “melhora a qualidade da ação docente e discente” como pontuam Machado Jr e

Santo (2004).

No entanto, há a preponderância das perspectivas pragmática e científica, ligadas à

mecanização de procedimentos matemáticos desfigurados de uma aprendizagem significativa

como se pode ver neste estudo de caso, em detrimento um trabalho conjunto com a abordagem

sócio-crítica, que possibilitaria a formação cidadã e a percepção do papel da Matemática na

sociedade, desenvolvendo valores e atitudes. Oliveira e Barbosa (2006, p. 1) asseveram que a

“Modelagem Matemática busca salientar a importância da integração de situações reais na sala

de aula para instrumentalizar os alunos a intervirem em sua realidade.”

Além do mais, observar as rotas de resolução de problemas que conduzem à elaboração do

modelo matemático permite constatar não só conhecimentos anteriormente assimilados pelos

alunos, mas também a influência sócio-cultural que trazem para a escola, evidenciada em suas

argumentações, em suas discussões acerca da solução viável para o problema.

MNOPQPR ST NT UV WXYZ[\ [W ]^X\ X\_`W ^ `WX\aZbc\ [e problemas e a modelagem 13matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-17. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Barbosa (2006) aponta inclusive as modalidades de discussão que ocorrem num espaço de

interação no qual está ocorrendo a Modelagem Matemática, a saber: discussões técnicas,

discussões matemáticas, discussões reflexivas e discussões paralelas.

Também é preciso deixar claro aos alunos que os modelos matemáticos não são neutros,

eles dependem dos pressupostos que se assume. Já se a situação for estruturada, ela não gerará

pressupostos.

De outra ponta, o desenvolvimento desta atividade com os alunos do 3ª série do Ensino

Médio, permitiu ao professor investigar sobre sua própria prática (PONTE, 2002; SERRAZINA;

OLIVEIRA, 2002), levando-o refletir com vistas a buscar outras alternativas para a construção

do conhecimento matemático, desapegando-se da “cultura dos problemas – tipos” e do

“paradoxo do exercício”.

Possibilitou também ao professor compreender o que de fato é a Modelagem Matemática,

uma atividade dinâmica que não se reduz a mera aplicação de problemas contextualizados. Sobre

contextualização, Barbosa (2004b) expõe que o termo é usado indevidamente, que o ensino de

Matemática já está contextualizado e cabe apenas escolher o contexto (SKOVSMOSE apud

BARBOSA, 2004b).

Notas

1 Definição transcrita de uma transparência apresentada pelo Prof Dr Adilson O. do Espírito Santo durante a palestra “A Modelagem Matemática em sala de aula”. IX ENEM, Belo Horizonte, 2007. 2 Definições colhidas durante a explanação do Prof. Dr. Jonei Cerqueira Barbosa ao longo da palestra “A Modelagem Matemática em sala de aula”. IX ENEM, Belo Horizonte, 2007. 3 Esses problemas de natureza aberta que não estão restritos à Matemática, dão margem à interdisciplinaridade (FAZENDA, 2001), outro aspecto importante a ser trabalhado pelos professores.

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17

Anexos

1) Nos problemas que tiveram dificuldade em resolver apontam que:

a) os dados não estavam evidentes; b) havia necessidade de uma leitura mais aprofundada; c) havia necessidade de se elaborar um modelo matemático para resolver o problema e há dificuldade com a linguagem simbólica; d) outros.

2) Nos problemas que tiveram facilidade em resolver, apontam que:

a) os dados do problema estavam evidentes e não houve necessidade de uma leitura mais aprofundada do enunciado; b) os problemas estão relacionados ao seu cotidiano; c) não havia necessidade de se elaborar um modelo matemático; d) outros.

3) Em relação à resolução de problemas o grupo apresenta dificuldade em relação:

a) leitura e interpretação do enunciado; b) operações matemáticas; c) elaboração do modelo matemático; d) outras.

4) Durante as aulas de Matemática nas séries anteriores, a quantidade de problemas para se resolver foi:

a) Pouca b) média c) muita d) raramente e) nunca b)

5) O grupo acha a resolução de problemas importante? a) sim b ) não

6) Se sim, aponte os motivos:

a) desenvolvimento do raciocínio lógico e abstrato; b) permitem o contato com situações cotidianas; c) contribuem para o desenvolvimento da cidadania, colaborando para o crescimento ao lidar com determinadas situações nas quais se tenha que apontar uma solução;

d) desenvolver o senso crítico; e) outras.

7) Durante a resolução de um problema, o grupo costuma imaginar a situação que está relacionada ao problema, para tentar solucioná-lo? a) sim b) não

8) Os problemas contextualizados relacionados ao cotidiano podem contribuir para assimilação de conteúdos de Matemática? a) sim b) não

9) Os trabalhos realizados em grupo podem contribuir para melhorar sua compreensão de conteúdos em Matemática? a) sim b) não

ëìíîïìð M. A. V. M. P. e CARVALHO, D. L. Um grupo do tipo colaborativo: buscando alternativas para transformação da prática pedagógica dos professores. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 2: Currículo

UM GRUPO DO TIPO COLABORATIVO: BUSCANDO ALTERNATIVAS

PARA TRANFORMAÇÃO DA PRÁTICA PEDAGÓGICA DOS PROFESSORES

Maria Aparecida Vilela Mendonça Pinto COELHO-UNICAMP ([email protected]ñ

Dione Lucchesi de CARVALHO – UNICAMP ([email protected]ñ

Resumo: Este trabalho se refere a uma pesquisa de doutorado em andamento, inserida na vertente de Desenvolvimento Profissional de Professores e que tem como foco a Educação Estatística. Nosso objetivo é compreender a produção do conhecimento-da-

prática em um grupo de professores interessados em problematizar suas práticas pedagógicas, visando implementar mudanças avaliadas por eles como necessárias em sala de aula. Essas mudanças se referem principalmente à atitude dos alunos frente ao conhecimento matemático, à autonomia e à argumentação. A possibilidade de tal produção baseia-se no pressuposto de que o conhecimento que os professores precisam para ensinar bem é gerado quando eles consideram suas próprias salas de aula como locais de uma investigação intencional. Para orientar a nossa análise usamos as abordagens que privilegiam a dimensão histórico-cultural, podendo citar aquelas baseadas em Vygotsky (2002) e Bakhtin (2004), que consideram o conhecimento e o pensamento humano como fundamentalmente culturais, derivados de atividades sociais, da linguagem, do discurso e de outras formas culturais. Contamos também com os aportes teóricos de Fiorentini (2004), Cochran-Smith e Lytle (1999) e Hargreaves (2004), entre outros. Trata-se de uma pesquisa de natureza qualitativa, que busca uma abordagem histórico-dialética, em uma vertente interpretativa. A nossa experiência mostrou que um grupo do tipo colaborativo, formado por professores, com o objetivo de problematizar suas práticas, pode ser um instrumento de grande valor para a produção de conhecimento, para apoio às necessidades individuais dos professores, e, principalmente, para servir de apoio a uma cultura colaborativa nas escolas.

Palavras-chave: Educação Estatística, Desenvolvimento Profissional de Professores, Educação Matemática.

Introdução

As idéias iniciais deste projeto surgiram a partir das conclusões da Dissertação de

Mestrado: A Resolução de Problemas: da dimensão técnica a uma dimensão

problematizadora (COELHO, 2005). Os objetivos desse trabalho foram compreender as

significações sobre a Resolução de Problemas como prática pedagógica, produzidas

òóôõöó÷ øù úù ûù øù üù ý òúþûúõöó÷ ÿù õù C� �� o tipo colaborativo: buscando alternativas para transformação da prática pedagógica dos professores. Anais

2

do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

pelos professores nas reuniões da área de Matemática e estudar as condições de

produção dessas significações quando elas extrapolavam o próprio problema, dando

origem a significações em dimensões mais amplas. O estudo nos levou a concluir que a

Resolução de Problemas como prática pedagógica ainda era considerada pelos

professores como uma prática inovadora, difícil de ser aplicada nas salas de aula da

Escola Básica, devido às condições adversas do contexto escolar.

Em relação aos problemas estatísticos pudemos concluir que, apesar das

recomendações dos parâmetros curriculares nacionais (BRASIL, 1998, 1999), poucos

professores tratavam o tema de maneira problematizadora. A Estatística, de maneira

geral, quando é trabalhada em sala de aula, o é em uma abordagem técnica, ou seja,

através da aplicação de fórmulas matemáticas e com um enfoque determinista, o que

elimina a incerteza e desconsidera o erro embutido no modelo. Nesses casos o aluno se

encontra diante de exercícios abstratos, tratados analogamente aos matemáticos. Nossa

hipótese é que a priorização do processo de análise poderá contribuir para que os alunos

tenham condições para tratar e interpretar a informação bruta oferecida pelos resultados

estatísticos. Estes não são “dados” propriamente ditos, mas produtos complexos que têm

por trás suas leis de produção.

A Formação Continuada dos professores

Nossa dissertação de Mestrado (COELHO, 2005) contou com a colaboração de

grupos de professores da rede pública que se reuniam mensalmente, coordenados

também por um professor de Matemática. O clima de abertura proporcionado pelos

coordenadores instigou a produção de significados sobre a Matemática, seu ensino, as

funções da escola na sociedade e as condições de trabalho. Os professores colocaram as

dificuldades e dilemas enfrentados no exercício da sua profissão e declararam que essas

dificuldades se tornavam maiores em função da escassez de tempo e de condições para

participarem da vida da comunidade, o que os impedia de também participar de decisões

de sua classe profissional. Ao se omitirem, eles deixavam de exercer seus direitos

democráticos, o que lhes dificultava auxiliar seus alunos a conseguirem o acesso a tais

direitos. Alguns autores, entre eles Cochran-Smith e Lytle (1999), Hargreaves (2004) e

Kincheloe (1997) defendem que reformas educacionais não funcionarão, a não ser que

�� o tipo colaborativo: buscando alternativas para transformação da prática pedagógica dos professores. Anais

3


os professores sejam fortalecidos em poder e produzam conhecimentos a partir de suas

práticas.

De acordo com Cochran-Smith e Lytle (1999) no ensino, o termo prática tem sido

normalmente usado tanto para se referir ao fazer, desempenhar o trabalho da profissão,

como para se justapor a teoria e pesquisa. Destacam três concepções de aprendizado de

professores: o “conhecimento-para-a-prática” o “conhecimento-em-prática” e o

“conhecimento-da-prática”.

A concepção de conhecimento-para-a-prática tem como pressuposto que os

pesquisadores no nível universitário geram o conhecimento formal e as teorias para que

os professores os usem para melhorar suas práticas de sala de aula. Assumir o

conhecimento-em-prática implica pressupor que os professores iniciantes aprendem

com os professores mais experientes, uma vez que é valorizado o chamado

“conhecimento prático”. A terceira concepção, o conhecimento-da-prática, procura

romper com a dualidade entre o conhecimento formal e o conhecimento prático,

considerando as salas de aula dos professores como locais para uma investigação

intencional, usando a sua própria prática e a teoria produzida por outros como material

para questionamento e interpretação.

Nesse sentido, os professores aprendem quando geram conhecimento local “de” prática trabalhando dentro do contexto de comunidades de investigação, teorizando e construindo seu trabalho de forma a conectá-lo às questões sociais, culturais e políticas mais gerais. (COCHRAN-SMITH; LYTLE, 1999, p. 2)

Nessa perspectiva, a geração de conhecimento e seu uso são problematizados e

sempre abertos à discussão, inseparáveis do sujeito que conhece. O princípio básico

desta concepção está em o professor considerar suas salas de aula como locais de

investigação, conectando seu trabalho a questões políticas, intelectuais e sociais mais

amplas e assumindo um ponto de vista crítico com relação à teoria e à pesquisa de

outros. A concepção de conhecimento-da-prática parte do pressuposto que o

conhecimento que os professores devem ter para ensinar bem emana de uma

investigação sistemática do ensino, construído coletivamente dentro de comunidades

locais e conectados a agendas políticas e sociais mais amplas.

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4


A idéia central neste trabalho é de que o conhecimento da prática ao longo de toda a vida profissional é gerado pela transformação da sala de aula e das escolas em locais de pesquisa, através do trabalho colaborativo em comunidades de investigação, para compreender a co-construção do currículo, o desenvolvimento do conhecimento local, e a tomada de uma perspectiva crítica com relação a teorias e pesquisas de outros. (Ibidem, p. 30)

A proposta do conhecimento-da-prática abre espaço para uma relação diferente

dos professores em relação ao conhecimento, baseada fundamentalmente em uma

postura crítica em relação ao currículo e aos objetivos do processo escolar. Essa relação

com o conhecimento depende de vários fatores e experiências e o que ocorre dentro da

sala de aula é profundamente alterado e transformado quando o enfoque da prática do

professor está baseado em um contexto investigativo, no âmbito intelectual, social e

cultural do ensino.

Isso significa que os professores aprendem ao desafiar suas próprias suposições; identificando questões importantes da prática; propondo problemas; estudando seus próprios estudantes, salas de aula e escolas; construindo e reconstruindo currículo; e assumindo papéis de liderança e ativismo na busca da transformação das salas de aula, das escolas e das sociedades. (Ibidem, p. 34)

Nesse sentido, os professores vêem o ensino como aprendizado e o aprendizado

como ensino. Hargreaves (2004) destaca que em muitos casos fica difícil mudar as

culturas escolares sem ampliar as oportunidades de colaboração entre os professores.

Kincheloe (1997) defende a postura investigativa do professor quando destaca que

pesquisar é um ato cognitivo, porque nos ensina a pensar em um nível mais elevado.

Aponta que a pesquisa dirigida apenas por acadêmicos reforça o status autoritário que

diminui o poder dos professores e destaca: A reforma educacional de qualquer estirpe

não funcionará a menos que os professores sejam fortalecidos em seu poder (p. 182).

Hargreaves (2004) instiga os professores a lutarem para ocupar novamente um

lugar entre os intelectuais mais respeitados da sociedade – abandonando o refúgio da

sala de aula para se tornarem cidadãos do mundo e para prepararem os seus alunos para

esse fim. Defende a necessidade de reinventar a educação pública na sociedade do

conhecimento:

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Ensinar para a sociedade do conhecimento dos nossos dias é tecnicamente mais complexo e mais vasto do que alguma vez o foi no passado: implica que os docentes assentem a sua prática numa base de pesquisa e de experiência sobre o ensino eficaz, base essa que está sempre a mudar e a expandir-se. Os professores de hoje precisam, portanto, de se empenhar e de se envolver continuamente na atualização profissional. Isto implica: a participação em redes face a face e virtuais de aprendizagem profissional. (p. 46)

Hargreaves se refere também ao poder da colaboração entre os professores,

destacando que o local de trabalho é uma arena onde deve ocorrer a luta pelo

aperfeiçoamento. Cochran-Smith e Lytle (1999) apontam o trabalho colaborativo em

comunidades de investigação como fundamentais para que seja gerado o “conhecimento

da prática” através de um processo reflexivo que possa permitir a produção de

significados em um longo período de tempo através de comentários, tensões, diferenças

e oposições. Nesse sentido, a sala de aula e a escola são transformadas em locais de

pesquisa, com base no contexto intelectual, social e cultural do ensino. A concepção

subjacente é bem diferente daquela que propõe que os professores em início de carreira

aprendam com os professores experientes. Aqui novas relações colaborativas se

estabelecem para substituir a relação perito-novato e na base se encontra o compromisso

em relação ao aprendizado dos estudantes e de suas chances de vida, A comunidade de

investigação é entendida como sendo o contexto central do desenvolvimento

profissional do professor.

O trabalho colaborativo

A análise das relações dialógicas dos professores nas reuniões pedagógicas que

constaram do trabalho de campo de nossa dissertação de Mestrado nos levaram a

concluir que mudanças significativas nas práticas pedagógicas são difíceis de ocorrer e

que a formação continuada dos professores deve ser um processo constante e contínuo,

inseparável do processo de ensinar. Em uma sociedade em constantes e rápidas

mudanças, as relações em sala de aula passaram a se constituir em um problema

complexo, com variáveis múltiplas. Acreditamos que uma tentativa para enfrentarmos

os desafios que nos são apresentados devem ter como ponto de partida a união dos

esforços de muitas pessoas em trabalhos colaborativos.

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6


O trabalho colaborativo ou cooperativo, entendido como uma alternativa ao

trabalho individual vem de encontro às necessidades de encontrar possíveis soluções

para problemas complexos, com muitas variáveis envolvidas, e que exigem soluções

criativas em situações imprevisíveis. Fiorentini (2004) tem trabalhado de forma

colaborativa com pesquisadores e professores que investigam suas práticas e que,

embora de lugares e perspectivas diferentes, suas vozes são enunciadas do lugar que

cada um ocupa. Destaca que na colaboração, todos trabalham conjuntamente (co-

laboram) e se apóiam mutuamente, visando atingir objetivos comuns negociados pelo

coletivo do grupo (p. 50). Um trabalho ou grupo colaborativo pode ser objeto de vários

estudos e de natureza diversa e uma de suas características básicas é que ele seja

constituído por pessoas voluntárias, que valorizam o trabalho conjunto e escolhem o

grupo como uma forma de crescimento, facilitada pelas significações produzidas nas

interações sociais. Nesse sentido, o autor estabelece diferenças entre o trabalho

colaborativo e o trabalho cooperativo, destacando que embora ambos tenham o mesmo

prefixo co que significa ação conjunta, elas se diferenciam pelo fato de que a palavra

colaborar é derivada do verbo latino operare, que significa operar, executar, fazer

funcionar de acordo com o sistema, e cooperar é derivada do verbo latino laborare que

significa trabalhar, produzir, desenvolver atividades tendo em vista determinado fim.

Enquanto que na cooperação uns ajudam os outros (co-operam), podendo haver

entre os membros do grupo relações desiguais ou hierárquicas, na colaboração todos

trabalham conjuntamente (co-laboram) e se apóiam mutuamente, visando atingir

objetivos comuns negociados pelo coletivo do grupo. É um grupo formado por pessoas

dispostas a compartilhar espontaneamente algo de interesse comum e, neste caso, as

relações tendem a ser não-hierárquicas, havendo liderança compartilhada e co-

responsabilidade, podendo os participantes ter diferentes interesses e pontos de vista.

Quando isto acontece, as distintas contribuições e os diferentes níveis de participação

oferecem condições satisfatórias para a geração de conhecimento e crescimento pessoal

dos participantes.

A complexidade do trabalho docente tem levado os professores a buscar apoio e

parceiros que possam oferecer ajuda no processo de superação do sentimento de

incompletude que os aflige ao tentarem compreender as contradições do mundo da

prática, em uma época na qual se percebe a necessidade de uma análise mais profunda

`abcdae fg hg ig fg jg k `hlihcdae mg cg no pqrst uo tipo colaborativo: buscando alternativas para transformação da prática pedagógica dos professores. Anais

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sobre as funções da escola e do conhecimento na sociedade. Este apoio, que pode ser

intelectual, técnico ou afetivo, pode oferecer melhores condições de trabalho para todos

e é especialmente importante quando o objetivo é desenvolver alguma prática

inovadora.

A dimensão histórico-cultural do conhecimento

Dentre as abordagens que privilegiam a dimensão histórico-cultural podemos citar

aquelas baseadas em Vygotsky (2002) e Bakhtin (2004) que consideram o

conhecimento e o pensamento humano como fundamentalmente culturais, derivados de

atividades sociais, da linguagem, do discurso e de outras formas culturais. Estudar

alguma coisa historicamente não significa estudar algum evento do passado, mas

estudá-la no processo de mudança. Este é o requisito básico do método dialético:

Numa pesquisa, abranger o processo de desenvolvimento de uma determinada coisa, em todas as fases e mudanças – do nascimento à morte – significa, fundamentalmente, descobrir a natureza, sua essência, uma vez que “é somente em movimento que um corpo mostra o que é”. Assim, o estudo histórico do comportamento não é um aspecto auxiliar do estudo teórico, mas sua verdadeira base. (VYGOTSKY, 2002, p. 86).

O desenvolvimento humano é intrinsecamente social e educacional no sentido

amplo. É um produto, não um pré-requisito da educação. É uma aquisição da cultura,

que torna possível o pensamento criativo e a atividade.

As diferentes vozes de um grupo apresentam condições especiais para a geração

de conhecimento novo pelo fato de contarem com pessoas dotadas de pontos de vista

diferentes, que podem ser complementares ou apresentarem questões que levem a

reflexões importantes. Bakhtin (2004) valoriza a fala, a enunciação, e destaca sua

natureza social; dessa forma, a palavra está sempre carregada de um conteúdo

ideológico.

Para nos tornarmos conscientes de uma operação, ela deve ser recriada na imaginação, de uma forma que possa ser expressa, transferida do plano da ação para o plano da linguagem, que pode ser falada, escrita, simbólica, etc. Todas as esferas da atividade humana estão relacionadas com a linguagem, efetuada em forma de enunciados orais e escritos. As palavras constituem a imaginação e vão configurando os conceitos. A forma lingüística é um signo mutável no qual: “a entonação expressiva, a modalidade apreciativa sem a qual não

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haveria enunciação, o conteúdo ideológico, o relacionamento com uma situação social determinada, afetam a significação. (BAKHTIN, 2004, p. 15).

Assim, ele define relação dialógica como dois tipos de produções verbais, dois

enunciados confrontados um com o outro, que entabulam uma relação de sentido: dessa

forma, só a dialética pode resolver a contradição aparente entre o signo que é, por

natureza, vivo e móvel e a unicidade da significação. A palavra, signo ideológico, é

capaz de registrar as fases transitórias das mudanças sociais e por esse motivo pode ser

considerada como um material privilegiado na comunicação.

Os enunciados não são indiferentes uns aos outros, mas refletem-se mutuamente,

guardam lembranças de outros enunciados individuais e dos outros. Sendo assim, eles

são uma resposta ao que já foi dito sobre o mesmo objeto; essas respostas poderão ser

reveladas na expressividade. Nosso pensamento nasce e forma-se em interação com o

pensamento dos outros. A formação de sentido se realiza nessa relação:

O fato de ser ouvido, por si só, estabelece uma relação dialógica. A palavra quer ser ouvida, compreendida, respondida e quer, por sua vez, responder à resposta, e assim ad infinitum. Ela entra num diálogo em que o ‘sentido’ não tem fim (entretanto ele pode ser fisicamente interrompido por qualquer um dos participantes). (Ibidem, p. 357)

Nos grupos constituídos de professores escolares e acadêmicos, os acadêmicos

aprendem com os professores escolares os saberes experienciais que eles produzem no

contexto adverso e complexo da prática escolar e podem re-significar seus saberes

profissionais e aumentar seus recursos para desempenhar melhor a função de

formadores de professores. Por outro lado, os professores escolares têm oportunidades

de refletir sobre sua prática tendo por base a teoria disponível sobre o tema em questão e

podem contar com interlocutores interessados em descobrir junto com eles soluções

para os problemas discutidos.

A perspectiva colaborativa, embora complicada na sua implementação, por

esbarrar em uma tradição de trabalho individual, competitivo e sujeito a uma liderança,

que vem sendo realizado nas escolas, necessita de mais estudos e pesquisas, segundo os

autores que vêm estudando a questão.

�� ¡o tipo colaborativo: buscando alternativas para transformação da prática pedagógica dos professores. Anais

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No próximo item apresentaremos os aspectos metodológicos da investigação que

tem seu foco em Estatística e conta com a colaboração de professores em grupos

cooperativos e colaborativos.

Aspectos metodológicos da investigação

Esta pesquisa é de natureza qualitativa, buscando uma abordagem histórico-

dialética, em uma vertente interpretativa. De acordo com Fiorentini e Lorenzato (2006)

esta abordagem questiona fundamentalmente a visão estática da realidade, procurando

apreender o caráter dinâmico, contraditório e histórico dos fenômenos educativos.

Alguns professores da rede pública municipal se mostraram receptivos para

formarem um grupo informal para realizarmos um trabalho com o objetivo de

problematizar as práticas pedagógicas. Este grupo, que se reúne há pouco mais de um

ano quinzenalmente, conta com quatro professoras e a pesquisadora, sendo que uma

delas está inserida em programa de Mestrado. Em princípio, todos os componentes

estão empenhados em buscar soluções para os problemas complexos da sala de aula e da

educação em nosso país e têm suas questões, que buscam compreender com a ajuda do

grupo. Podemos encontrar algumas aproximações deste grupo com os grupos

colaborativos, caracterizados por Fiorentini (2004).

O trabalho desenvolvido é baseado na concepção de conhecimento-da-prática dos

professores, tendo a investigação como princípio (COCHRAN-SMITH; LYTLE, 1999).

Os professores trabalharam com seus alunos em aulas de Matemática nas quais foram

abordados temas da Estatística. As aulas foram planejadas conjuntamente, filmadas e

assistidas pelo grupo, gerando debates nos quais foram problematizadas as práticas de

sala de aula.

Os resultados esperados são que possamos, com essa parceria, realizar uma

investigação que nos permita contribuir com o ensino da Estatística na Escola Básica,

com mudanças que se fazem necessárias nas práticas pedagógicas e com subsídios para

a formação continuada de professores através da compreensão de como os professores

produzem conhecimento a partir da investigação sistemática e da problematização de

suas práticas pedagógicas.

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10


Ensaiando as primeiras análises

Neste primeiro ano de funcionamento, o grupo de professores, que foi

denominado GCOEM (Grupo Colaborativo em Educação Matemática), se reuniu

quinzenalmente, durante duas horas. No início nos preocupamos mais com a

constituição do grupo e em estudar o seu funcionamento, com base no GDS (Grupo de

Sábado da Unicamp) e em Fiorentini (2004) através do seu artigo Pesquisar práticas

colaborativas ou pesquisar colaborativamente? Nessas primeiras análises colocaremos

em evidência a constituição do grupo, e não as aulas de Estatística. Estas serão

focalizadas em momentos posteriores.

Algumas questões em relação ao grupo me instigaram desde o início: Se o

professor não tivesse interesse acadêmico, se fosse simplesmente pela prática

pedagógica, será que ele teria também interesse em participar do grupo? E porque o

professor não pode ser também pesquisador? Será que isso abriria as portas para o seu

interesse em participar de práticas colaborativas? Ele seria também mais valorizado

profissionalmente? De que forma? A professora Tânia (os nomes dos professores são

fictícios) produziu um discurso que nos permitiu refletir um pouco melhor sobre estas

questões.

TÂNIA: Eu percebi assim, que a Cida no doutorado dela pode utilizar o que for discutido aqui com a gente. Todas nós... Eu acho assim, que não é idéia só para pesquisa, mas é ganho para a prática também. Eu aprendi esse ano que não existe prática sem teoria e nem teoria sem a prática. Então, estão presentes e associáveis. Nós estaríamos trabalhando isso aqui. Eu estou fazendo mestrado, mas isso não significa, por exemplo, que se alguém do grupo não estiver fazendo mestrado não vai ganhar com o grupo.

CIDA: Pelo contrário, é importante que o grupo seja heterogêneo, porque se ele for homogêneo, não existe tanta possibilidade de troca entre todos...

Neste episódio eu atuei como estímulo auxiliar para o grupo, formulando

explicitamente a minha concepção sobre as características de um grupo do tipo

colaborativo. Correndo o risco de tomar as rédeas do grupo, resolvi lançar mais alguma

idéia que pudesse ajudar as colegas a perceberem a importância de um grupo do tipo

colaborativo para enfrentarmos hoje os problemas complexos que encontramos em sala

de aula. A monologização do meu discurso ocorre devido à minha função de

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organizadora do grupo. Embora eu tivesse consciência de que um grupo do tipo

colaborativo não deve contar com coordenadores, nesses primeiros passos percebi a

necessidade de atuar como incentivadora de algumas reflexões.

CIDA: A idéia é essa. Alguns autores estão escrevendo sobre o que eles chamam de sociedade do conhecimento. Eu até tirei copia de um capítulo do livro que eu trouxe na reunião passada, se vocês quiserem ... O Hargreaves está escrevendo muito sobre isso, a sociedade do conhecimento. Ele explica mais ou menos assim: hoje em dia não adianta você ter receitar prontas, porque os problemas são muito complexos. Então, o conhecimento tem que ser produzido por diversas pessoas pensando ao mesmo tempo, na interação, naquele momento... De uma forma assim, colaborativa... O grupo colaborativo agora está muito em alta por esse motivo, porque os problemas estão muito complexos e as pessoas estão se sentido incapazes de resolver sozinhas, então estão precisando da ajuda dos outros, de discutir. Não é como antigamente, que existiam regras imutáveis, tudo mais rígido.

ANA: É uma coisa impressionante mesmo, você detecta o problema, você sabe exatamente qual é, mas sozinha você não consegue resolver... Às vezes você até acha uma idéia diferente, mas quando você vai colocar na pratica, você tenta e ai falha. Faltou um embasamento, faltou a troca...

CIDA: Faltou troca... exatamente, uma pessoa sozinha se perde.

A professora Ana interrompeu a minha colocação, fazendo sua intervenção no

transcurso da fala, e pareceu tentar me colocar dentro da sua realidade, mostrando que

as coisas não são tão simples assim. Os limites impostos pelas relações de poder e pela

distância que existe entre querer e fazer são enfrentados pelo professor no seu dia a dia

de sala de aula. Podemos perceber aqui a sabedoria da prática “jogando um balde de

água fria” nas idéias abstratas do pesquisador, que está fora da sala de aula. Outro ponto

importante levantado pela professora é que se o professor tenta algo em sala de aula e o

resultado não é o esperado, o grupo oferece oportunidade de problematização e de

resignificação da prática. Há também a possibilidade de tentar a prática novamente,

depois da produção de novas significações.

Pensei também que talvez fosse melhor que não ficássemos discutindo sobre

grupos do tipo colaborativo, mas deixássemos o grupo fluir. Por outro lado, ele poderia

se tornar um grupo como qualquer outro. A professora Tânia começou a falar sobre a

leitura que havia feito do capítulo de Fiorentini (2004).

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TÂNIA: Então, algumas coisas eu grifei. Existe uma diferença entre cooperação e colaboração. Cooperação você faz junto, fazer junto não significa que está fazendo alguma coisa para. É um trabalho coletivo, mas pode haver subserviência de um em relação aos outros. E na colaboração não. É viver buscando objetivos comuns, negociados pelo coletivo do grupo. Então, é de interesse de todos, não prevalece uma idéia. Na medida em que os integrantes vão se conhecendo, vão adquirindo autonomia e passam a se auto regular, e fazer valer seus próprios interesses, tornando-se assim grupo efetivamente colaborativosANA: Porque não é fácil.

TÂNIA: Ele [o autor] coloca aqui que não é fácil, porque...

CIDA: Porque é agora que a gente esta começando, e, por exemplo, a gente ouve falar por ai... o problema das relações de poder dentro do grupo, tem algumas questões...

ANA: sempre um colega de trabalho a gente tem, para fazer as coisas juntas. Um parceiro... E eu acho que a gente sente a necessidade de estar no grupo, porque a gente no final fica sozinho, você fica sozinho...

O referente do discurso da professora Tânia é o artigo de Fiorentini (2004) que,

nesses primeiros momentos do grupo, estava funcionando como um estímulo auxiliar

para os nossos trabalhos. As professoras discutiam as dificuldades encontradas pelas

pessoas de trabalhar em grupos, e principalmente do professor de se relacionar com os

pares no ambiente de trabalho. Penso que se houvesse uma comunicação maior entre os

professores parceiros de uma escola, poderia haver uma integração das diversas

disciplinas no currículo, o que facilitaria a aprendizagem dos alunos. Se as regras

adotadas em sala de aula fossem discutidas por todos os professores da classe

juntamente com os alunos, talvez fosse mais fácil conseguir que elas fossem

observadas. Por que será que o trabalho do professor é tão solitário? Isso dificulta

bastante as coisas. Tentei prosseguir no meu discurso monológico.

CIDA: Você não tem um interlocutor para te ouvir, nem mesmo para você tentar elaborar uma questão ou para resumir e sintetizar um problema seu. Houve algum problema na sala de aula, você percebeu alguma coisa, só que você sabe que não vai ter ninguém para contar, e então, você nem elabora nem sintetiza aquilo. Se a gente tivesse que passar para o grupo essa questão, eu acho que a gente acabaria sintetizando mais as coisas.

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13


O meu discurso tinha como objetivo instigar uma reflexão sobre a possibilidade

de o professor olhar a sua sala de aula como um investigador, procurando ajuda na

teoria e nos grupos do tipo colaborativos. Mas, não aconteceu neste episódio uma

interlocução real, não houve interação nem apropriação de significados nesta forma de

enunciação. O meu dito não foi assumido pelas demais professoras.

Conclusões

A nossa experiência neste primeiro ano de funcionamento do grupo mostrou que

um grupo colaborativo, formado por professores, com o objetivo de problematizar suas

práticas, pode ser um instrumento de grande valor para a produção de conhecimento,

para apoio às necessidades individuais dos professores, e, principalmente, para servir de

apoio a uma cultura colaborativa nas escolas. Pode representar uma alternativa à

Formação Continuada de professores, no sentido de não apresentar propostas que são

impostas aos professores, mas oportunidades de apoio e crescimento a partir das

necessidades deles próprios.

Referências

BAKHTIN, M. M. Marxismo e Filosofia da Linguagem. São Paulo: Hucitec, 2004.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): Matemática. Brasília, DF, 1998.

BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília, DF, 1999.

COCHRAN-SMITH, M.; LYTLE, S. L. Relationsships of Knowledge and Practice: teacher learning in communities. In: Review of Research in Education. USA, 24, 1999, p. 249-305.

COELHO, M.A.V.M.P. A Resolução de Problemas: da dimensão técnica a uma dimensão problematizadora. Dissertação (Mestrado em Educação). 2005. Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas/SP.

FIORENTINI, D. Pesquisar práticas colaborativas ou pesquisar colaborativamente? In: Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004, p. 47-76.

úûüýþûÿ C� �� C� �� ú��ýþûÿ �� ý� �� o tipo colaborativo: buscando alternativas para transformação da prática pedagógica dos professores. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-14. (ISBN 978-85-98092-07-2)

14

FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percuros teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.

GIROUX, H. A escola crítica e a política cultural. São Paulo: Cortez: Autores Associados, 1987.

HARGREAVES, A. O ensino na sociedade do conhecimento: a educação na era da insegurança. Porto, Portugal, 2004.

VIGOTSKI, L. S. A Formação Social da Mente. São Paulo: Martins Fontes, 2002.

M�� M�� !�M� R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-22. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 1: Avaliação

UM OLHAR SOBRE OS CONTEÚDOS DE ESTATÍSTICA NAS AVALIAÇÕES

DO ENEM E DO SARESP

Renata Fernandes MADRUGA - PUC-Campinas ([email protected])Dra. Clayde Regina MENDES - PUC-Campinas ([email protected])

Camila TORINO – PUC-Campinas ([email protected])Raphael Zen COVOLAM – PUC-Campinas ([email protected])

Resumo: A utilização de instrumentos de medida para avaliar e acompanhar o conhecimento adquirido pelos alunos cada vez mais se torna necessário e este fato tem motivado pesquisadores de diversas áreas, entre elas da Estatística e da Educação Estatística, a buscarem ferramentas mais sofisticadas para serem utilizadas nos processos quantitativos de análise dessas avaliações. Em vista disso, é extremamente importante que os professores de Educação Básica estejam preparados para compreender a linguagem estatística para, posteriormente, entrarem em contato com formas diferenciadas de análise de dados e terem oportunidade de estabelecer comparações com os resultados divulgados acerca das avaliações educacionais oficiais, melhorando sua compreensão acerca dos mesmos, que, em muitos casos, apresentam-se em uma linguagem técnica altamente sofisticada e, por vezes, incompreensível. No bojo dessas discussões, nosso objetivo geral foi realizar uma pesquisa bibliográfica e documental acerca de avaliações educacionais e apresentar uma breve retrospectiva do ENEM (Exame Nacional de Ensino Médio, aplicado em todo Brasil) e do SARESP (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) e alguns dados referentes ao conteúdo de Tratamento da Informação. Esperamos com este trabalho contribuir para a formação do futuro professor de Matemática, auxiliando-o na decodificação de alguns resultados estatísticos referentes a avaliações educacionais de grande porte.

Palavras-Chave: Avaliação Educacional, Formação de Professores de Matemática, Habilidades Cognitivas.

Financiamento: FAPIC Reitoria-PUC Campinas/PIBIC-CNPq.

Introdução

Cada pessoa constrói seu conhecimento na dinâmica das relações do diálogo,

através de argumentações e contradições e a avaliação do ensino-aprendizagem é

importante tanto para o aluno quanto para o professor, pois para o aluno é importante

"#$%&'#( %*+*, "-.$-/( 0* %*, 12%3.2( 0* 4 02526#"( R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

2

Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)

saber o que e como está aprendendo e para o professor a importância se dá no exercício

de sua pedagogia e na verificação de onde estão suas falhas.

Os mecanismos de avaliação da Educação Básica têm sido uma das principais

causas da situação de fracasso escolar que atinge uma parte considerável dos alunos. A

avaliação torna-se sinônimo de classificar, selecionar e julgar a aquisição de

conhecimentos e habilidades utilizando-se dos mesmos instrumentos para todos, o que,

muitas vezes, é um grande erro. O objetivo de uma avaliação é quase sempre entendido

de maneira errada e Soares, Lima e Sauer (2005) sustentam que:

A avaliação vem se constituindo, ao longo dos anos, como um problema na aprendizagem, pois os resultados da forma como vem sendo conduzida são evidentes: alunos mais preocupados com respostas do que com o processo de pensar e de elaborar alternativas de resolução; alunos buscando “receitas” de resolução ao invés de procurar compreender os procedimentos; alunos que aprendem a dar respostas imediatas ao invés de se focar nos conceitos, e tantos outros.

Para o aluno, uma avaliação deve representar seus ganhos e onde estão suas

dificuldades a fim de melhorar seu conhecimento; para o professor, ela deve levá-lo a

perceber onde sua pedagogia é falha e, em seguida, estar pronto para modificá-la.

Assim,

A avaliação, como processo orientador, está baseada no conceito de avaliação formativa, assim entendida por estar relacionada à sua função de diagnosticar como está acontecendo a aprendizagem: quais as dificuldades, quais os obstáculos, quais os avanços e quais aspectos precisam ser aperfeiçoados. Concebida dessa maneira a avaliação não é apenas a aplicação de instrumentos a partir dos quais se contabiliza quanto o aluno sabe ou não sabe, mas integra o processo de aprendizagem de forma contínua, constituindo-se em fonte de (re)elaboração da prática pedagógica. (SOARES; LIMA; SAUER, 2005)

A avaliação educacional de grande porte tem que ser exigida, mas, ainda, precisa

ser melhorada tanto na sua maneira de formular as questões, como na divulgação dos

seus resultados, pois é ela que mostra onde estão os problemas na educação de nosso

país; além disso, como o cenário mundial está em constante transição, especialmente

por conta dos avanços tecnológicos, a avaliação deve acompanhar estas mudanças.

Costa (2003) assevera que:

789:;<8= :>?>@ 7AB9AD= E> :>@ FG:HBG= E> I EGJGK87= R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

3


As transformações aceleradas no processo de produção, decorrentes do atual estágio de desenvolvimento tecnológico mundial, produziram impacto não somente nas relações econômicas, mas também nas relações sócio-culturais das sociedades industrializadas. Novas formas de organização do processo de trabalho são utilizadas pelas empresas capitalistas na garantia da sua competitividade nos mercados nacional e internacional. Novos parâmetros de desempenho e de qualificação estão colocados pelo capital quanto às habilidades, aos conhecimentos, às atitudes e às relações de trabalho. A idéia da substituição do trabalhador formado no contexto Taylorista/Fordista,

pelo chamado trabalhador cognoscente vincula-se de vez à chamada sociedade do conhecimento que, junto à revolução tecnológica, formam os dois grandes eixos da chamada nova ordem. (...)

A educação destaca-se neste cenário como atividade central e organizadora na formação da chamada sociedade do conhecimento. Tal fato constitui-se, portanto, como ponto fundamental da maioria das propostas contidas na reforma curricular brasileira.

Quando nos debruçamos sobre os objetivos e os conteúdos propostos para o

ensino de Matemática nos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (Brasil, 1998)

observamos que sobre os conceitos de Estatística e de Probabilidade encontramos:

Com relação à Estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem freqüentemente em seu dia-a-dia. Além disso, calcular algumas medidas estatísticas como média, mediana e moda com o objetivo de fornecer novos elementos para interpretar dados estatísticos.

Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que muitos dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e que se podem identificar possíveis resultados desses acontecimentos e até estimar o grau da possibilidade acerca do resultado de um deles. As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em situações em que o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis).

Relativamente aos problemas de contagem, o objetivo é levar o aluno a lidar com situações que envolvam diferentes tipos de agrupamentos que possibilitem o desenvolvimento do raciocínio combinatório e a compreensão do princípio multiplicativo para sua aplicação no cálculo de probabilidades. (BRASIL, 1998, p. 52)

Apesar disso, tanto no Exame Nacional de Ensino Médio – ENEM, quanto nas

avaliações do Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo –

LNOPQRNS PTUTV LWXOWYS ZT PTV [\P]X\S ZT ^ Z\_\`NLS R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

4


SARESP, raramente foram encontradas questões que tratassem de freqüência,

freqüência relativa, amostra e medidas de tendência central.

Uma análise sobre o ENEM

O ENEM foi aplicado pela primeira vez em 1998, em caráter voluntário e na

ocasião foram duas provas: uma redação e uma de conhecimentos gerais, composta de

63 questões objetivas e interdisciplinares. A prova de conhecimentos gerais exigiu do

aluno o exercício do domínio de diferentes linguagens, a solução de problemas do dia-a-

dia, a compreensão de fenômenos sociais e naturais, a construção de argumentos, a

organização de informações e a elaboração de propostas de intervenção na realidade.

Seu principal objetivo foi avaliar o desempenho do aluno sobre o desenvolvimento das

competências fundamentais no exercício da cidadania ao término da Educação Básica e,

sobre isso, o Relatório Final do ENEM de 2001 assegura:

(...) a competência de ler, compreender, interpretar e produzir textos, no sentido amplo do termo não se desenvolve unicamente na aprendizagem de Língua Portuguesa, mas em todas as áreas que estruturam as atividades pedagógicas da Escola. (...) O aluno deve, portanto, demonstrar concomitantemente que possui instrumental de comunicação e expressão adequada tanto para a compreensão de um problema matemático quanto da descrição de um processo físico (...). (MARIANO, 2004, p. 40)

Além disso, outros objetivos do ENEM, citados pelo INEP (1998) são:

oferecer uma referência para que cada cidadão possa proceder à sua auto-avaliação com vistas às suas escolhas futuras, tanto em relação ao mundo de trabalho quanto em relação à continuidade dos estudos; estruturar uma avaliação ao final da educação básica que sirva como modalidade alternativa ou complementar aos processos de seleção nos diferentes setores do mundo de trabalho; estruturar uma avaliação ao final da educação básica que sirva como modalidade alternativa ou complementar aos exames de acesso aos cursos profissionalizantes pós-médios e à Educação Superior; possibilitar a participação e criar condições de acesso a programas governamentais.

Esta avaliação, a princípio, surgiu também como uma proposta de ser referência

no mercado de trabalho e até substituir o vestibular, o que, INEP (1998) apresenta

como:

abcdefbg dhihj aklckmg nh dhj opdqlpg nh r npsptbag R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

5


Todas as instituições de ensino superior, públicas e privadas, poderão utilizar os resultados do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) para selecionar alunos, sugere o ministro Paulo Renato. "Quando resolvemos criar o ENEM, pensamos em fazer um exame para avaliar não só o desempenho individual dos alunos, mas que viesse a ser referência ao mercado de trabalho e para seleção de alunos à universidade", sustenta. (...) Resolução aprovada recentemente pelo Conselho Nacional de Educação (CNE) definiu as regras de ingresso ao ensino superior. De acordo com essas novas regras, as instituições não poderão reservar vagas para alunos de escolas conveniadas, mas poderão, por exemplo, fazer a seleção pelas notas obtidas no ENEM ou, ainda, por meio de programas de avaliação seriada. A análise do histórico escolar dos alunos também pode ser uma alternativa.

Quanto à maneira de apresentar as questões, o Ministro da Educação, na época,

acrescentou que:

Os resultados são positivos em função da estrutura da prova, que avaliou as habilidades e as competências básicas desenvolvidas pelos alunos ao longo da escolaridade básica. Foi um desafio novo para os alunos. Normalmente, as provas são formuladas para cobrar apenas conteúdos específicos. No ENEM foi diferente: os alunos não precisaram decorar fórmulas e macetes para fazer a prova, pois o que cobramos deles foi a capacidade de aplicar o que aprenderam para resolver problemas do seu cotidiano, ressalta o ministro da Educação, Paulo Renato Souza. (INEP, 1998)

Logo após o seu surgimento, várias instituições de Ensino Superior tomaram o

ENEM como mais uma forma de avaliar o seu aluno ingressante e a maioria delas usou

o resultado do ENEM valendo um pequeno percentual em seus vestibulares, sendo a

primeira adesão da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Em junho de

1999, o INEP divulgou as 25 instituições que adotaram seus resultados já neste ano e

entre elas estavam a USP, UNICAMP, UNESP, PUC-Campinas e PUC/PR.

O primeiro ENEM teve a participação de 184 municípios (hoje a participação é

bem maior) e teve 157.221 inscritos e junto à prova foi entregue um questionário de

pesquisa previamente preenchido pelos participantes.

Quando os resultados da avaliação de 1998 foram publicados, eles confirmaram

alguns já observados em avaliações anteriores realizadas pelo INEP, tais como:

1. quanto maior é a distorção série-idade dos alunos pior é o desempenho; 2. as moças vão melhor em redação e os rapazes, em conhecimentos gerais;

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6


3. o desempenho de alunos cujos pais possuem nível superior fica bem acima dos alunos cujos pais possuem pouca ou nenhuma escolaridade;4. os alunos que cursaram toda a educação básica em escola pública apresentam rendimento inferior ao dos alunos que estudaram sempre em escolas privadas; 5. os alunos provenientes de famílias com renda mensal acima de 10 salários mínimos têm desempenho muito superior ao daqueles em que as famílias possuem renda de um a seis salários mínimos; 6. embora não seja significativa a diferença, os alunos que estudam no período noturno e que trabalham durante o dia rendem menos do que aqueles que estudam no período diurno e não trabalham. (INEP, 1998)

Fixando-nos nos conteúdos de Estatística, verificamos que em todas as avaliações

do ENEM eles estão presentes, caracterizando-se, em sua maioria, por interpretação de

gráficos e tabelas.

Em quase todos os anos faltam questões referentes a medidas de tendência central

e poucas questões sobre análise combinatória aparecem em suas provas (estão apenas

nos ENEM de 2002, 2003, 2004 e 2005). Também é escassa a presença de perguntas

sobre probabilidade (nos anos de 1999, 2002, 2003, 2004 não há questão alguma). Esses

dados podem ser melhor observados nas Tabelas 1 e 2 que apresentam a distribuição do

tipo de questão e o tipo de interpretação solicitado nas diferentes provas.

Tabela 1: Número de questões sobre o tratamento da informação do ENEM, entre os anos de 1998 a 2007. (Fonte: MEC/INEP/ENEM)

Tipos de Questões ENEM

Análise Combinatória Probabilidade Gráficos e Tabelas Total

1998 0 3 6 91999 0 0 4 42000 0 3 4 72001 0 3 7 102002 1 0 4 52003 1 0 2 32004 1 0 5 62005 1 1 2 42006 0 1 4 52007 0 2 1 3Total 4 13 39 56

�� R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

7


Tabela 2: Tipos de questões de Interpretação de Gráficos e Tabelas no ENEM, entre os anos de 1998 e 2007. (Fonte: MEC/INEP/ENEM)

Interpretação (na mesma questão) ENEM

De Tabela De Gráfico De Ambos Total

1998 2 3 1 61999 1 3 0 42000 2 0 2 42001 1 6 0 72002 0 2 2 42003 0 1 1 22004 0 4 1 52005 0 2 0 22006 0 4 0 42007 0 1 0 1Total 6 26 7 39

Explorando mais os relatórios do ENEM, encontramos o grau de dificuldade e o

percentual de acertos de cada questão selecionada e esses resultados foram compilados

nas Tabelas 3 a 7.

Tabela 3: Características das questões sobre o Tratamento da Informação do ENEM de 1998. (Fonte: MEC/INEP/ENEM)

Questão Tipo de Questão Nível de Dificuldade % de acertos

15 Gráfico e Tabela Fácil 6120 Probabilidade Difícil 4021 Probabilidade Difícil 1622 Gráfico e Tabela Fácil 7223 Gráfico e Tabela Difícil 1024 Gráfico e Tabela Difícil 2836 Probabilidade Difícil 3450 Gráfico e Tabela Média 3451 Gráfico e Tabela Difícil 17



6 Gráfico e Tabela Média 6918 Gráfico e Tabela Média 5052 Gráfico e Tabela Fácil 6961 Gráfico e Tabela Média 46

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8




8 Probabilidade Difícil 639 Gráfico e Tabela Média 66

26 Gráfico e Tabela Difícil 5231 Gráfico e Tabela Média 5839 Probabilidade Média 4840 Probabilidade Média 1658 Gráfico e Tabela Média 40



5 Probabilidade Difícil 2914 Probabilidade Difícil 2116 Gráfico e Tabela Média 4917 Gráfico e Tabela Difícil 2829 Probabilidade Difícil 2136 Gráfico e Tabela Difícil 2137 Gráfico e Tabela Média 1443 Gráfico e Tabela Média 2944 Gráfico e Tabela Fácil 7050 Gráfico e Tabela Média 29



3 Gráfico e Tabela Difícil 326 Gráfico e Tabela Fácil 27

13 Gráfico e Tabela Fácil 4725 Gráfico e Tabela Fácil 3127 Análise Combinatória Fácil 25

Fazendo-se uma rápida leitura nas Tabelas 3 a 7, destacamos que a questão 22 de

1998, sobre Gráfico e Tabela, considerada de nível fácil, foi a que teve maior percentual

de acertos (72%); por outro lado, a de menor percentual (10%), também foi sobre

Gráfico e Tabela na prova de 1998 (questão número 23), considerada difícil.

Infelizmente não há relatórios dos ENEM de 2003 a 2007 que se refiram ao nível

de dificuldade e percentual de acertos de cada questão individualmente, por isso nossa

compilação foi até 2002.

Mesmo assim, podemos observar que, em geral, há um percentual baixo de

acertos nas questões referentes ao Tratamento da Informação.

±²³´µ¶²· ´¸¹¸º ±»¼³»½· ¾¸ ´¸º ¿À´Á¼À· ¾¸ Â ¾ÀÃÀÄ²±· R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

9


Uma análise sobre o SARESP

O SARESP é o Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São

Paulo e foi criado em meados da década de 90; avaliando o rendimento escolar dos

alunos de diferentes séries e períodos e identificando os fatores que interferem no

rendimento do ensino na Educação Básica. Ele é aplicado desde 1996; primeiro apenas

com a participação de algumas séries do Ensino Fundamental e, a partir de 2003, passou

a avaliar todos os alunos do Ensino Fundamental e Ensino Médio. Apenas em 2005 os

alunos passaram a ser avaliados com provas de português e de matemática; até então,

avaliava-se a leitura, escrita e interpretação de textos. Em 2004, foram inseridas

questões de interpretação de gráficos em meio a uma interpretação de texto, o que na

época a Folha de São Paulo destacou:

Os alunos que participarem do Saresp (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) neste ano deverão ter de responder a questões de matemática. Em 2003, foram avaliadas leitura e escrita. (...) Se o exame se restringir à rede pública, os alunos farão prova de matemática. "Não adiantaria aplicar a mesma avaliação do ano passado [com matérias ligadas à língua portuguesa] porque o quadro ainda não teria mudado", disse a coordenadora da Cenp (Coordenadoria de Normas Pedagógicas da secretaria de Educação), Sonia Maria Silva. (FOLHA DE SÃO PAULO, 2004)

Assim, o SARESP 2004 apresentou nas provas do 3º e 4º ano do Ensino

Fundamental três questões (28, 29 e 30) de interpretação de gráfico, conforme mostra a

Figura 1.

ÅÆÇÈÉÊÆË ÈÌÍÌÎ ÅÏÐÇÏÑË ÒÌ ÈÌÎ ÓÔÈÕÐÔË ÒÌ Ö ÒÔ×ÔØÆÅË R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

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Figura 1: Questões 28, 29 e 30 da prova do 3º ano do Ensino Fundamental do SARESP 2004. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)

Nas avaliações seguintes (2005 e 2007), o SARESP avaliou os alunos tanto em

Português, quanto em Matemática e foram inseridas várias questões sobre o Tratamento

da Informação.

A Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP) e a Fundação para o

Desenvolvimento da Educação (FDE) fornecem material de apoio aos professores e são

responsáveis pela elaboração técnico-pedagógica das provas. É compulsória para todas

as escolas estaduais administradas pela SEE/SP a participação no SARESP e nas demais

redes de ensino (municipal e particular) ela ocorre por adesão.

ÙÚÛÜÝÞÚß Üàáàâ ÙãäÛãåß æà Üàâ çèÜéäèß æà ê æèëèìÚÙß R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

11


São dois os instrumentos de avaliação usados pelo SARESP (2004) para atingir

seus objetivos:

O primeiro consiste na aplicação de provas para medir o desempenho dos alunos em Leitura/Escrita e Matemática, constituída cada uma de questões objetivas, tanto no Ensino Fundamental (3ª a 8ª séries), quanto no Ensino Médio. Essas provas apresentam também um tema para Redação do tipo narrativo-descritivo para o Ensino Fundamental. No Ensino Médio o tema é dissertativo-argumentativo. Já para a 1ª e 2ª séries do Ensino Fundamental, as provas serão constituídas de questões predominantemente abertas. Para cada série e período, serão construídos instrumentos diferentes, mas com questões equivalentes. O segundo instrumento consiste em questionário aplicado aos alunos, por meio do qual são coletadas informações sobre suas características pessoais, o contexto socioeconômico e cultural em que vivem, sua trajetória escolar, suas percepções acerca dos professores e da gestão da escola e, também, sua participação nos projetos da SEE/SP. Objetiva-se, com este questionário, traçar os perfis dos alunos nos diferentes níveis de escolaridade e verificar as possíveis interferências desses fatores na aprendizagem. (SÃO PAULO, 2004)

Seu principal propósito é obter indicadores educacionais que possam

subsidiar a elaboração de propostas de intervenção técnico-pedagógica no sistema de

ensino, visando a melhorar a sua qualidade e a corrigir eventuais distorções detectadas.

Como destaca a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo em nota sobre o

SARESP (2004):

Os resultados individuais de cada aluno são remetidos às escolas no início do ano, tornando-se um importante instrumento para o planejamento do ano letivo. É um mecanismo adicional para orientar a necessidade de recuperações paralelas, oferecidas durante o ano, de capacitação ampla de professores ou específica para alguma habilidade que possa ter sido pouco trabalhada. A discussão, em reuniões na escola, do desempenho do aluno com o próprio estudante e seus pais é outro fator fundamental. (SÃO PAULO, 2004)

A seleção e a definição de habilidades necessárias para a prova estão

fundamentadas nas Propostas Curriculares da Coordenadoria de Estudos e Normas

Pedagógicas - CENP/SEE e nos PCN.

Observando a composição das questões de Matemática nas provas de 2004, 2005

e 2007, percebemos uma grande quantidade de questões sobre Tratamento da

Informação em relação ao total de questões das provas, como mostra a Tabela 8.

íîïðñòîó ðôõôö í÷øï÷ùó úô ðôö ûüðýøüó úô þ úüÿüMîíó R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

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Tabela 8: Número de questões sobre o tratamento da informação do SARESP, entre os anos de 2004 a 2007. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)

Tipos de Questões SARESP


2004 0 0 6 62005 8 4 27 392007 7 9 34 50Total 15 13 67 95

É importante observar a ausência de vários conteúdos exigidos nos PCN, como

por exemplo: freqüência, freqüência relativa, amostra e medidas de tendência central.

Há, apenas, uma questão que contempla um desses conteúdos (a mediana) e merece

destaque; é a questão 25 da prova do 8º ano do Ensino Fundamental do SARESP 2005

(Figura 2).

F�� Fundamental do SARESP 2005. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)

Analisando as questões de provas do SARESP de 2004, 2005 e 2007 segundo seu

tipo e ano; percebemos a ausência de questões sobre Probabilidade nos SARESP de

2005 e 2007, do 1º ao 7º ano do Ensino Fundamental (EF). Há também poucas questões

sobre Análise Combinatória e, assim como no ENEM, a maioria das questões é sobre

análise de Gráficos e Tabelas, como podemos perceber nas Tabelas de 9 a 16.

Tabela 9: Número de questões sobre o tratamento da informação do SARESP 2005. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)



EF 4 1 17 22EM 4 3 10 17

Total 8 4 27 39

�� !� "� �� #$�% $� "� & "$'$(�� R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

13


Tabela 10: Número de questões sobre o tratamento da informação do SARESP 2007. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)



EF 4 3 28 35EM 3 6 6 15

Total 7 9 34 50

Tabela 11: Número de questões sobre o tratamento da informação do SARESP 2005 em cada ano do Ensino Fundamental. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)

Tipos de Questões SARESP 2005


1º ano 0 0 1 12º ano 0 0 1 13º ano 0 0 1 14º ano 1 0 1 25º ano 1 0 4 56º ano 1 0 3 47º ano 1 0 3 48º ano 0 1 3 4Total 4 1 17 22

Tabela 12: Número de questões sobre o tratamento da informação do SARESP 2005 em cada ano do Ensino Médio. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)

Tipos de Questões SARESP2005 Análise Combinatória Probabilidade Gráficos e Tabelas

Total

1º ano 0 0 4 42º ano 4 2 2 83º ano 0 1 4 5Total 4 3 10 17

Tabela 13: Número de questões sobre o tratamento da informação do SARESP 2007 em cada ano do Ensino Fundamental. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)

Tipos de Questões SARESP 2007


1º ano (manhã) 0 0 1 11º ano (tarde) 0 0 1 12º ano (manhã) 0 0 2 22º ano (tarde) 0 0 2 24º ano (manhã) 1 0 2 34º ano (tarde) 1 0 2 36º ano (manhã) 1 0 2 36º ano (tarde*) 1 0 2 38º ano (manhã) 0 1 5 68º ano (tarde) 0 1 5 68º ano (noite) 0 1 4 5

Total 4 3 28 35* tarde e noite

)*+,-.*/ ,0102 )34+35/ 60 ,02 78,948/ 60 : 68;8<*)/ R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

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Tabela 14: Número de questões sobre o tratamento da informação do SARESP 2007, aplicado no 3º ano do Ensino Médio. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)

Tipos de Questões SARESP2007 Análise Combinatória Probabilidade Gráficos e Tabelas

Total

Manhã 1 2 2 5Tarde 1 2 2 5Noite 1 2 2 5Total 3 6 6 15

Tabela 15: Tipos de questões de Interpretação de Gráficos e Tabelas no SARESP, aplicadas no Ensino Fundamental, em 2004, 2005 e 2007. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São

Paulo, 2007) Interpretação (na mesma questão)

SARESPDe Tabela De Gráfico De Ambos

Total

2004 0 6 0 62005 4 9 4 172007 14 12 2 28Total 18 27 6 51

Tabela 16: Tipos de questões de Interpretação de Gráficos e Tabelas no SARESP, aplicadas no Ensino Médio, em 2005 e 2007. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007)

Interpretação (na mesma questão) SARESP

De Tabela De Gráfico De Ambos Total

2005 2 7 1 102007 3 3 0 6Total 5 10 1 16

Há uma dificuldade em pesquisar os resultados do SARESP, pois apenas o

SARESP 2007 tem seus resultados disponíveis ao público geral; em relação aos

resultados dos anos anteriores, o acesso se restringe à escola, à diretoria de ensino e à

secretaria municipal.

O nível de cada questão foi estabelecido segundo o Sistema de Avaliação da

Educação Básica – SAEB e é representado por uma escala onde cada total de pontos

representa um conjunto de proficiências (conteúdos, competências e habilidades)

demonstradas pelos alunos por meio de ações e tarefas de matemática (SÃO PAULO,

2007).

Para a correção da avaliação o SAEB determinou uma escala para o nível de cada

questão; por exemplo, a questão 26 do 8º ano do Ensino Fundamental foi determinada

de nível 275. Se um aluno acertou esta questão, conclui-se que ele tem domínio dos

conteúdos de questões com nível inferior a 275. A escala começa em 125 (Os alunos

com proficiência menor do que 125 não dominam os conteúdos e as habilidades básicos

=>?@AB>C @DEDG =HI?HJC KD @DG LN@OINC KD P KNQNR>=C R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

15


que a Prova de Matemática do SARESP 2007 objetivou mensurar). Esse tipo de escala

foi utilizado para todos os conteúdos de matemática e, em particular para aqueles com

conteúdo de Tratamento da Informação, a pontuação dessa escala abrange as seguintes

proficiências:

150: Interpreta dados apresentados em gráficos de coluna.

175: Lê e interpreta informações contidas em tabela de dupla entrada e em

gráfico de coluna.

200: Resolve problema envolvendo os dados apresentados em tabela e em

gráfico de colunas.

225: Interpreta dados apresentados em gráfico de colunas, associa os dados de

uma tabela com o correspondente gráfico de colunas e vice versa.

250: Resolve problema com dados apresentados em um gráfico setorial.

275: Identifica o um gráfico de colunas associado a uma tabela de dupla entrada,

a classe correspondente a uma determinada freqüência, em uma distribuição de

dados e resolve problemas envolvendo dados obtidos da leitura de um gráfico de

linha.

300: Interpreta dados apresentados em intervalos em uma tabela de freqüências e

infere a freqüência, em porcentagem, de resultados de uma pesquisa,

apresentados em classes e em um gráfico setorial.

325: Reconhece a classe correspondente a uma determinada freqüência, em uma

distribuição de dados, interpreta informações a partir de dados apresentados em

gráfico de colunas e em tabela e resolve problema envolvendo dados

apresentados em um histograma, a partir de um exemplo de leitura de um dado

desse gráfico.

350: Identifica a variável que apresenta maior aumento percentual dentre dados

outras variáveis apresentados em dois gráficos de colunas e resolve problema

envolvendo informações apresentadas em tabela.

375: Identifica a tabela que apresenta a variação de duas grandezas, dada a

relação entre elas, resolve problema envolvendo a seleção de dados de um

gráfico de colunas e cálculo de porcentagem.

400: Interpreta os resultados de uma pesquisa cujos dados são apresentados em

um gráfico de linha e, em gráfico setorial.

STUVWXTY VZ[Z\ S]^U]_Y `Z VZ\ abVc^bY `Z d `bebfTSY R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

16


Os resultados do SARESP 2007 estão publicados pelo nível de cada questão; mas

em cada nível há apenas dois exemplos, não contemplando todas as questões sobre

Tratamento da Informação. Dos exemplos temos a questão 25 do 6º EF (sobre Gráficos

e Tabelas) com maior percentual de acerto (89%) e, com 30% de acertos, o menor

percentual, temos uma questão sobre Probabilidade (questão 28 do 3º Ensino Médio –

EM) . A Tabela 17 apresenta o resumo de algumas dessas informações.

Tabela 17: Nível, tipo e percentual de acertos de algumas questões sobre o tratamento da Informação do SARESP 2007. (Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, 2007) Questão Série Nível Tipo Percentual de Acertos

29 4º EF 175 Gráficos e Tabelas 6830 4º EF 225 Análise Combinatória 6025 6º EF 150 Gráficos e Tabelas 8926 8ª EF 275 Gráficos e Tabelas 4730 8ª EF 300 Probabilidade 4828 3º EM 375 Probabilidade 3029 3º EM 325 Gráficos e Tabelas 46


A utilização de instrumentos de medida para avaliar e acompanhar o

conhecimento adquirido pelos alunos cada vez mais se torna necessário e este fato tem

motivado pesquisadores da Educação Estatística a buscarem ferramentas mais

sofisticadas para serem utilizadas nos processos quantitativos de análise dessas

avaliações.

Ainda é um desafio apresentar resultados de avaliações educacionais de uma

forma compreensível para os gestores escolares, professores e demais membros da

comunidade. Além disso, não há relatórios dos ENEM de 2003 a 2007 que se refiram ao

nível de dificuldade e percentual de acertos de cada questão individualmente, oferecidos

pelo MEC/INEP/ENEM; já o SARESP não tem seus resultados disponíveis ao público

geral, excetuando o SARESP 2007, onde há apenas dois exemplos em cada nível e,

assim, não contemplando todas as questões.

Assim, como nos dias atuais ainda não se encontra suficiente literatura que se

proponha a tratar dessa temática, esperamos contribuir para a melhoria da escola de hoje

e do futuro, ao buscar aproximar e integrar o conhecimento acadêmico às experiências e

aos anseios dos professores no cotidiano da escola e à formação do futuro professor,

especialmente o de Matemática.

ghijklhm jnonp gqriqsm tn jnp uvjwrvm tn x tvyvzhgm R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX

17


Referências

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SÃO PAULO (Estado) Secretaria de Estado da Educação. Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo 2007 (SARESP): Versões das provas por séries. Disponível em: <http://saresp.edunet.sp.gov.br/2007/subpages/provas.html{nAcesso em: 04 de março, 2008.

SÃO PAULO (Estado). Secretaria de Estado da Educação. SARESP. Disponível em: <http://www.educacao.sp.gov.br{n h|x}}~ x�� x ��~m ��n

�� R.Z. Um olhar sobre os conteúdos de Estatística nas avaliações do ENEM e do SARESP. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-18. (ISBN 978-85-98092-07-2)

18

SOARES, E. M. S.; LIMA, I. G.; SAUER, L. Z. Refletindo Sobre a Avaliação Formativa no Processo de Aprendizagem de Matemática. In: Anais do III Congresso Internacional de Ensino de Matemática. Canoas/RS: Universidade Luterana do Brasil (ULBRA), 2005.

�� ¡¢£¡¤ ¥¦ �¦ §¦ ¨ ¡©�ª«©ª«£¤ ¬¦ ¡¦ « ®¯®°¨± ²±seado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anaisdo IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1- 16. (ISBN 978-85-98092-07-2

Eixo-temático 8: Tecnologias de Informação e Comunicação

UM SISTEMA BASEADO EM CONHECIMENTO COM INTERFACE EM

LÍNGUA NATURAL PARA O ENSINO DAS TRANSFORMAÇÕES

GEOMÉTRICAS

Gina Magali Horvath MIRANDA – PUC-SP ([email protected]³Prof. Dr. Saddo Ag. ALMOULOUD – PUC-SP ([email protected]³

Resumo: O objetivo de nossa pesquisa é desenvolver uma ferramenta computacional utilizando técnicas de PLN (Processamento de Línguas Naturais) e inserir nesta ferramenta seqüências didáticas no campo da Geometria das Transformações utilizando como embasamento a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau e os Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval. Considerando os avanços tecnológicos e o interesse cada vez maior por parte dos alunos pela tecnologia, formam, ao que tudo indica, um cenário ideal dentro deste processo de construir uma ferramenta que possa ser utilizada como instrumento de ajuda no ensino e na aprendizagem no contexto da educação matemática. A pesquisa será desenvolvida utilizando os princípios da engenharia didática em que uma das funções é analisar situações dentro do quadro teórico da didática matemática. Para desenvolver o sistema computacional usamos a semântica ontológica a qual suporta aplicações como traduções e extração da informação entre outras. Acreditamos que a simples utilização de uma ferramenta computacional não pode proporcionar o aprendizado, mas associada a atividades cuidadosamente construídas e apoiadas em teorias como as de Brousseau e de Duval, que se dedicam a estudar fenômenos que interferem no processo de ensino e de aprendizagem da matemática, cremos que nossa hipótese é possível.

Palavras-Chave: Processamento de Línguas Naturais, Geometria das Transformações.

IntroduçãoEste trabalho representa parte da minha dissertação de mestrado, que tem por

objetivo o desenvolvimento de uma ferramenta computacional para o ensino e a

aprendizagem de geometria das transformações. Para elaboração desta pesquisa

tomamos como base a Inteligência Artificial, mais especificamente o Processamento de

Línguas Naturais (PLN).

A escolha realizada na área de geometria, focando a geometria das

transformações, se dá ao fato de acreditarmos que conceitos, como rotação e

´µ¶·¸¹·º »¼ ´¼ ½¼ ¾ ·¿´ÀÁ¿ÀÁ¹º Â¼ ·¼ ÁÃ ÄÅÄÆ¾ÃÇ ÈÇseado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

2

do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16. (ISBN 978-85-98092-07-2

translação, permitirão ao aluno maior facilidade na verificação de relações de

semelhança e congruência, por exemplo. Acreditamos, também, que a simples

utilização de uma ferramenta computacional não propiciará o aprendizado, mas deve

estar ligada a atividades preparadas com a intenção de introduzir o conhecimento na

produção do saber.

Uma segunda inspiração para a escolha foi a tese de doutorado de Weber (2003,

Modelisation Informatique de l’apprenant – une basse sur le modèle ckc et la

Thèorie de l’émergence). Seu trabalho foi desenvolvido sobre uma plataforma

computacional chamada Baghera escrita em Java (é um sistema multi-agentes) e possui

link com software “CABRI”. O conteúdo abrangido em geometria é a simetria.

Questão de Pesquisa

O presente trabalho tem como objetivo a inserção de um modelo computacional

para ser utilizado com alunos do curso de licenciatura em Matemática, centrando-se em

Geometria das Transformações, com o propósito de contribuir no processo de ensino e

de aprendizado. Focamos nossos estudos em reflexão, translação e rotação aplicadas ao

Ensino Fundamental II, com intenção de gerar uma seqüência didática imersa em um

sistema computacional para ser utilizada na formação inicial de professores do curso de

Licenciatura em Matemática.

O modelo computacional tem como base o Processamento de Línguas Naturais

(PLN), que é um ramo da Inteligência Artificial (IA), o qual tem por objetivo interpretar

e gerar textos em uma língua natural (português, inglês, espanhol, etc). Podemos dividir

a pesquisa em PLN em: interpretação e geração de textos.

Focaremos nossos estudos na interpretação de textos para busca de similaridade e

fundamentaremos nossa pesquisa na Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau e

na Teoria dos registros de Representação Semiótica de Raymond Duval.

Manrique, Silva e Almouloud escrevem no artigo “Semelhanças e diferenças:

análise de atividades envolvendo objetos de diferentes dimensões” que “a formação

inicial dos professores em relação à Geometria é muito precária, pois os cursos não

integram uma reflexão profunda a respeito desse ensino e as modalidades de formação

contínua ainda não são suficientes para atender a esses objetivos” e citam Lorenzato

(1995) no texto que diz:

ÉÊËÌÍÎÌÏ ÐÑ ÉÑ ÒÑ Ó ÌÔÉÕÖÔÕÖÎÏ ×Ñ ÌÑ ÖØ ÙÚÙÛÓØÜ ÝÜseado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

3


Presentemente, está estabelecido um círculo vicioso: a geração que não estudou Geometria não sabe como ensiná-la.[...], é preciso um amplo e contínuo esforço de diferentes áreas educacionais para que mudanças se efetivem no atual quadro do ensino da Geometria elementar. (p. 4)

Com o movimento da Matemática Moderna, tivemos um direcionamento maior

para a Álgebra, deixando para segundo plano a Geometria. De modo geral os livros

didáticos, tratavam conteúdos desse campo, somente nos últimos capítulos. Porém,

salientamos aqui, que os livros didáticos mais recentes estão com propostas mais

atualizadas e notamos que a geometria não é colocada apenas no final dos livros. A

geometria, pouco a pouco, está se tornando presente nas práticas pedagógicas atuais.

Para os PCNs a geometria desempenha papel fundamental no currículo, uma vez

que possibilita desenvolver um pensamento particularmente voltado a compreender,

descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive (p. 122).

As transformações de figuras são vistas como atividades que devem ser

privilegiadas, pois, segundo os PCNs, permitem o desenvolvimento de conceitos

geométricos de forma significativa (p. 124).

Diante dos fatos relatados, a intenção deste trabalho é construir uma ferramenta

computacional interativa, que contenha seqüências didáticas do campo da geometria, e

verificar como esta ferramenta pode ajudar na formação inicial de professores e

conseqüentemente no processo de ensino e de aprendizagem.

Como base nesta proposta, a questão de pesquisa é:

Em quais condições uma ferramenta computacional, com interface PLN, pode

ajudar no processo ensino e de aprendizagem da Geometria das Transformações na

formação inicial de professores?

Nossas hipóteses são:

Uma seqüência didática criada segundo padrões da Teoria das Situações Didáticas

de Guy Brousseau e que utilize mais de um registro de representações é capaz de

promover conhecimentos necessários para que o aluno enfrente uma situação

geométrica desafiadora apresentada.

A aplicação desta seqüência didática inserida em uma plataforma computacional,

com interface interativa, é capaz de promover um novo saber.

Þßàáâãáä åæ Þæ çæ è áéÞêëéêëãä ìæ áæ ëí îïîðèíñ òñseado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

4


Aspectos epistemológicos das Transformações Geométricas

Mabuchi (2000), em seu trabalho, cujo objetivo era uma contribuição para uma

reflexão sobre o processo ensino-aprendizagem de transformações geométricas, faz uma

explanação sobre pesquisas realizadas em diferentes países, como na Inglaterra com a

pesquisa realizada por Hard em 1981; na França com a pesquisa realizada por Gras

entre 1979 e 1983; descreve também o trabalho de Grenier (França, realizado em 1985);

uma pesquisa comparativa, também realizada na França por Bernadette Denys e Denise

Grenier, entre alunos japoneses residentes na França e alunos franceses; e uma pesquisa

realizada na Espanha por Gutieres e Jaime que envolvem alunos do magistério e por

último fez um estudo de uma Seqüência Didática aplicada , por ela em alunos de São

Paulo.

Depois realiza uma síntese das pesquisas analisando os seguintes pontos: posição

relativa eixo-objeto, posição do eixo de simetria na folha, o uso da malha quadriculada,

complexidade da figura, paralelismo entre a figura e seu simétrico, entre outros.

No final desta análise, a referida autora conclui que as concepções e dificuldades

apresentadas por alunos no Brasil são semelhantes a apresentadas por alunos das

pesquisas analisadas, e que as escolhas das variáveis didáticas, como a posição do eixo

de simetria, influenciam de modo significativo as concepções do aluno.

Sangaré (2006) realiza um trabalho, na República do Mali (África), com

transformações geométricas de uma maneira peculiar. Primeiro apresentando questões

de como alunos lidam com a figura objeto e sua imagem decorrente de uma

transformação, depois apresentando um estudo teórico da didática matemática

propondo uma modelagem das transformações geométricas, e por último, resultados

obtidos de um estudo de caso realizado em Mali.

O trabalho realizado por Sangaré está apoiado em estudos como o de Bautier

(1988) sobre modelagem de atividades para o ensino de simetria ortogonal, no trabalho

de Grenier e Laborde (1988) em níveis de apreensão das transformações, trabalho de

Laborde e Capponi (1995) também sobre modelagem e a tese de doutorado de Jahn

(1995) sobre a ruptura epistemológica em relação à transição do aluno entre o

“college/lycée” (correspondente à passagem do nosso ensino fundamental ao ensino

médio), sobre as transformações geométricas no plano (p. 227).

óôõö÷øöù úû óû üû ý öþóÿMþÿMøù �û öû M� ��ý�� seado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

5


O autor relata uma pesquisa realizada por Métrégiste (1984) que durante dois anos

trabalhou seqüências utilizando três variáveis didáticas: papel e lápis, máquinas

mecânicas que realizam transformações e calculadoras pré-programáveis. Seus

objetivos em relação à aprendizagem dos alunos era utilizar diferentes métodos de

construção para transformar figuras, reconhecer e classificar as transformações,

localizar as propriedades e as invariantes de cada transformação e confrontar diferentes

modos de representação com a realidade física (MÉTRÉGISTE, 1984, p. 234 apud

SANGARÉ, 2006).

A relevância do trabalho de Métrégiste na pesquisa de Sangaré são as respostas

colocadas por alunos que utilizam traçar um segmento de reta entre um ponto da figura

objeto e o ponto correspondente de sua imagem obtida por uma transformação, traço

este que no decorrer de seu trabalho é analisado como fator primordial nas concepções

dos alunos.

Sangaré (2006) coloca as seguintes questões em seu trabalho: Quais são os tipos

de problemas nos quais os alunos utilizam estes “traços” de construção? Quais papéis

desempenham na resolução de problemas? Estes “traços” de construção são

significativos do estado de conhecimento dos alunos a propósito das transformações

geométricas do plano? Pode-se modelar estes “traços” em termo de objeto de

conhecimento para novas configurações ligadas a transformações geométricas?

(SANGARÉ, 2006, p. 233).

Segundo Sangaré (2006), estes “traços” de construção desempenham diferentes

papéis na resolução de problemas, como por exemplo, instrumento de construção de

uma figura dada por uma transformação, ou ainda, instrumento de controle de uma

conjectura feita sobre a identificação de uma figura.

A modelagem abrange isometria (simetria axial e central, translação e rotação) e

homotetia, o que torna esta pesquisa de grande interesse no desenvolvimento deste

trabalho. Na fase de experimentação e análise dos resultados obtidos, o autor apresenta

detalhes sobre o tipo de atividade, as variáveis didáticas e como foram aplicadas as

atividades. Suas conclusões revelam que a utilização dos “traços” ou marcas são pontos

importantes na caracterização das concepções de alunos sobre as transformações de

figuras, permitindo a dissociação entre a figura objeto e sua imagem e o estatuto da

marca (segmentos que ligam os pontos correspondentes entre figura e imagem).

�� seado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

6


Segundo Sangaré (2006, p. 262), os alunos souberam construir conhecimentos ao

redor desta noção que lhes permitiu consolidar e reorganizar as suas concepções sobre

as transformações.

Fundamentação teórica

A teoria das situações didáticas busca a interação entre o professor, o aluno e o

saber, e o “milieu” no qual o aprendizado se desenrola. Esta teoria foi desenvolvida por

Guy Brousseau (1986) pesquisador francês da Universidade de Bordeaux.

O objetivo da teoria das situações didáticas é estudar os fenômenos que interferem

no processo de ensino e de aprendizagem da matemática, e propor um modelo teórico

para a construção, análise e a experimentação de situações-problemas. Então podemos

dizer que ela propõe um modelo teórico constituindo-se uma base de apoio didático

para criar situações que conduzem à aquisição de um determinado conjunto de

conhecimentos/saberes matemáticos.

Para que haja um processo de ensino e aprendizagem eficiente, a teoria das

situações sugere quatro fases distintas: Dialética da ação, dialética da formulação,

dialética da validação e dialética da institucionalização.

Dialética da ação: fase em que se coloca para o aluno um problema no qual o

conhecimento a ser ensinado faz parte da solução do problema e o aluno possa utilizar

seus saberes anteriormente adquiridos.

Dialética da formulação: fase em que o aluno expõe por escrito ou oralmente sua

solução. Enfim, nesta fase há a formulação de seqüências lógicas para a generalização

da solução.

Dialética da validação: nesta fase a solução é submetida à validação, podendo

haver debate entre o professor e o aluno com a finalidade de justificar a solução.

Dialética da institucionalização: fase em que o professor formaliza o

conhecimento e permite ao aluno que a partir desta fase, este conhecimento possa ser

utilizado na resolução de outros problemas matemáticos.

Nas três primeiras fases o saber é personalizado e também socializado, pois no

momento da formulação e validação o aluno poderá compartilhar informações com seus

colegas e até com o professor. Na fase didática (última fase) o saber é

�� !�" #$ �$ %$ & �'�()'()!" *$ �$ )+ ,-,.&+/ 0/seado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

7


descontextualizado, o objeto de estudo é mostrado, e é despersonalizado, pois o saber é

reconhecido institucionalmente por uma comunidade científica.

Raymond Duval, filósofo e psicólogo, desenvolveu um modelo de funcionamento

cognitivo do pensamento, em termos de mudança de registros de representação

semiótica em que as maneiras de visualizar e raciocinar em matemática estão

intrinsecamente ligada á utilização das representações semióticas.

Segundo Raymond Duval (2005, p. 21) os objetos matemáticos não são

diretamente acessíveis à nossa percepção, sendo necessário uma representação para

esses objetos. Um mesmo objeto matemático possui várias formas de representações

que foram construídas durante o desenvolvimento da matemática. A maneira de

raciocinar em matemática, depende dessas representações semióticas.

Para Duval (2005, p. 21) a coordenação entre vários registros de representação é

condição necessária para o aprendizado e para que o objeto matemático não seja

confundido com suas representações ou seja, a compreensão da matemática só é efetiva

no momento em que distingue o objeto matemático da sua representação. A

compreensão de um conteúdo depende da coordenação de, no mínimo, dois registros.

Duval classifica em 4 os tipos de registros: a representação discursiva que divide

em dois tipos de registros, a língua natural e os sistemas de escritas (registro numérico,

algébrico e simbólico), e a representação não discursiva que é também dividida em dois

tipos de registros, os registro figurais e os registros gráficos.

Existem dois tipos de transformações de representações semióticas: o Tratamento

e a Conversão. O Tratamento é a transformação da representação numa outra

equivalente, porém permanecendo no mesmo registro, (exemplo completar uma figura

segundo critérios de simetria). A Conversão é a transformação da representação numa

outra equivalente, porém não permanecendo no mesmo registro, (exemplo passar de

escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica).

Segundo Duval, é a atividade de conversão que aparece como atividade de

transformação representacional fundamental, a que conduz aos mecanismos subjacentes

á compreensão, segundo o ponto de vista cognitivo.

Duval destaca quatro maneiras de apreender uma figura: apreensão perceptiva

(está relacionada com a primeira visão e interpretação das formas da figura), apreensão

discursiva (está relacionada com notação em língua natural até uma legenda ou

12345647 89 19 :9 ; 4<1=><=>67 ?9 49 >@ ABAC;@D EDseado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

8


símbolos, convenções matemáticas como, por exemplo, o símbolo para denotar 90º),

apreensão seqüencial (está relacionada com a construção da figura, quais propriedades

estão envolvidas na construção) e a apreensão operatória (corresponde a transformar a

figura dada em outras figuras para obter novos elementos que poderão nos levar à idéia

da solução de um problema ou de uma prova).

Desenvolvimento Do Material Didático

Esta pesquisa iniciou-se com os estudos de Processamento de Língua Natural que

abrangeram o histórico (como vem se desenvolvendo suas aplicações até os dias atuais),

tipos de gramáticas (regulares, livres de contexto e sensíveis ao contexto) e semântica.

Optamos por semântica ontológica e os estudos delimitaram as diversas

ferramentas para gerar a ontologia, tais como Protégé, Ontolingua, Oiled, entre outros.

As pretensões do sistema são: o aluno possui uma dúvida e elabora uma pergunta

ao sistema, em língua natural (o professor pode interferir); o sistema faz a análise

semântica e gera uma forma lógica a partir do questionamento, utilizando-se do léxico;

a forma lógica é passada para ontologia que tenta localizar as relações dos termos

empregados pelo aluno e os existentes na ontologia; o sistema tentará buscar a situação-

problema mais adequada e devolverá para o aluno a responsabilidade pela construção do

seu saber, caso contrário, pedirá que o aluno reformule a pergunta.

Na construção da plataforma computacional optamos por iniciar pela Base de

Dados das seqüências didáticas (o repositório de fatos). Utilizamos para

desenvolvimento o Visual Pascal (Delphi) e para auxílio nas construções geométricas

optamos por utilizar o GeoGebra que é um software gratuito, criado por Markus

Hohenwarter que pode ser utilizado para geometria, pois possui as ferramentas de um

software de geometria dinâmica, podendo também ser utilizado para álgebra e cálculo.

Para finalizar as figuras geradas pelo GeoGebra e torná-las dinâmicas dentro de nossa

plataforma, utilizamos o HTML (HyperText Markup Language - Linguagem de

Formatação de Hipertexto).

Nossas seqüências didáticas foram segregadas pelos temas: figuras com simetria,

simetria axial, simetria central, rotação e translação. Ao final de cada uma das

seqüências encontramos a institucionalização que, segundo Brousseau, é o momento em

que o professor formaliza o conhecimento para o aluno utilizá-lo na resolução de outros

FGHIJKIL NO FO PO Q IRFSTRSTKL UO IO TV WXWYQVZ [Zseado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

9


problemas matemáticos. Neste momento apresentamos ao aluno atividades de

demonstração que, após a sua realização são conferidas pelo sistema que aponta os erros

e/ou acertos.

Nas figuras abaixo mostraremos fragmentos do tema “figuras com simetria”, o

que representa uma pequena parte de nossa proposta com a criação das seqüências

didáticas.

Esta seqüência de atividades será apresentada pelo sistema ao interpretar questões

como figuras simétricas, eixo de simetria, segmentos proporcionais, bissetriz de um

ângulo, Mediatriz de um segmento, entre outras (estas palavras estão relacionadas na

ontologia). Dependendo da formulação do questionamento o sistema deverá mostrar

toda a seqüência ou apenas separar uma das atividades da seqüência.

Uma vez que o sistema selecionou a atividade completa, o usuário deverá escolher

entre fazer todas as atividades ou o sistema lhe fornece uma segunda opção, contendo a

opção: “Click em sair caso já conheça: figuras simétricas, eixo de simetria e as

propriedades de simetria”.

No caso de nosso usuário optar por sair, isto não nos garante que seu

conhecimento abranja as referências, então o sistema apresentará a institucionalização.

No caso do usuário optar por fazer as atividades, então o sistema exige que as atividades

sejam realizadas na ordem proposta e finalizadas por completo.

A primeira atividade é uma atividade de percepção, com o objetivo de introduzir

a noção de figura simétrica e de eixo de simetria. Mostramos uma figura animada e

figuras estáticas que possuem simetria, e também, um pentágono sendo dobrado por um

de seus eixos de simetria (figura 1).

\]^_ à_ bc bcbc d]cca_e ]

e_ce] m]feb^]g h]e] c_

_cîj_cc_e f_mk_îlbc _e ae

_cd_kn]o

pqrstuv wxyx zv{u |xt|x}z{u~ �uv �suqv z�qv{z syu �obradura que faz com que as duas partes obtidas coincidam, são denominadas figuras com simetria e a reta que passa pelo vinco da dobradura é chamada de eixo de simetria.

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A figura (borboleta) é um gif encontrado em http://www.uniblog.com.br/img/posts/imagem26/269347.gif��

�� ¡¢ £ ¤¥ �¥ ¦¥ § ¨�©ª¨©ª¢£ «¥ ¥ ª¬ ®¯§¬° ±°seado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

10


A segunda atividade é de manipulação e percepção, mantendo o mesmo objetivo

da primeira atividade (figura 2). Apresentamos figuras com simetria e utilizamos como

variáveis didáticas à escolha da malha quadriculada e a posição do eixo de simetria

(vertical, horizontal e inclinado).

Movimente um dos pontos da figura e observe o que acontece:

²³´µ¶· ¸¹ º»³¼³½·½¾ ¸

O objetivo da terceira atividade é a utilização dos conhecimentos adquiridos nas

atividades anteriores, as variáveis didáticas escolhidas são a complexidade das figuras

(uma simples e outra complexa) e a malha quadriculada.

O sistema está programado para aceitar e mudar para “cor de rosa” (figura 3)

qualquer quadradinho da malha (lado direito do eixo de simetria), porém a um segundo

toque retorna a cor original. Este problema tem como intenção fazer o aluno agir,

refletir e evoluir por iniciativa própria, segundo a Teoria das situações didáticas de

Brousseau. O sistema faz, no final, a conferência de possíveis erros e/ou acertos.

apontando-os para o usuário.

²³´µ¶· ¿¹ º»³¼³½·½¾ ¿

ÀÁÂÃÄÅÃÆ ÇÈ ÀÈ ÉÈ Ê ÃËÀÌÍËÌÍÅÆ ÎÈ ÃÈ ÍÏ ÐÑÐÒÊÏÓ ÔÓseado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

11


O objetivo da atividade quatro é introduzir as propriedades de figuras simétricas.

Esta atividade mostra a conservação das medidas dos ângulos opostos pelo eixo de

simetria e o conceito de ângulos congruentes, a conservação das medidas de segmentos

opostos pelo eixo de simetria e o conceito de segmentos congruentes e por fim o

conceito de “bissetriz de um ângulo”, induzindo ao aluno elaborar os conceitos

matemáticos destes objetos. Todas as tarefas desta atividade envolvem a manipulação

das figuras (figura 4).

Movimente o ponto azul das figuras abaixo e observe as medidas de seus ângulos:

ÕÖ×ØÙÚ ÛÜ ÝÞÖßÖàÚàá Û

A quinta atividade tem como objetivo a aplicação dos conhecimentos adquiridos e

a introdução da noção de figuras assimétricas, para tanto, mostramos uma série de

figuras simétricas e assimétricas de diferentes níveis de dificuldade, e solicitamos que

seja apontado o número de eixos de simetria (figuras 5 e 6). A tarefa é verificada pelo

sistema: se a resposta estiver correta, o sistema mostrará a figuras com os devidos eixos

de simetria (como mostra parte da atividade abaixo). Caso contrário, pedirá uma nova

resposta.

ÕÖ×ØÙÚ âÜ ÝÞÖßÖàÚàá â

ãäåæçèæé êë ãë ìë í æîãïðîïðèé ñë æë ðò óôóõíòö ÷öseado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

12


Figura 6: Atividade 5

O objetivo da sexta atividade é a utilização e verificação dos conhecimentos

adquiridos nas atividades anteriores, como eixo de simetria, segmentos congruentes,

bissetriz de um ângulo, entre outros. É uma atividade de simples escolha entre

verdadeiro ou falso, porém se a resposta estiver incorreta o sistema buscará atividade

anterior que condiz com a pergunta e pedirá ao aluno para resolver novamente, pois

entendemos que o objetivo da atividade não foi alcançado.

A sétima atividade tem como objetivo introduzir o conceito de mediatriz. É uma

atividade de manipulação e observação da figura e as variáveis didáticas são o

comprimento do segmento e sua posição (horizontal, vertical e inclinado).

Após o término das atividades mostramos uma tela com quatro guias que é a

institucionalização dos objetos matemáticos trabalhados na respectiva atividade (figuras

7, 8, 9 e 10).

Figura 7: Institucionalização

øùúûüýûþ ÿM øM �M � û�ø��ýþ �M ûM �� seado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

13





Ao final de cada tema criamos um link para um módulo complementar do sistema,

o qual é denominado módulo de demonstração. Esse módulo tem como objetivo

principal introduzir a demonstração matemática que, segundo Balacheff, “é uma prova

aceita pela comunidade matemática. A demonstração fundamenta-se em explicações

apresentadas numa seqüência de enunciados, organizados conforme regras

determinadas. Um enunciado é conhecido como verdadeiro, ou é deduzido a partir

� �� seado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

14


daqueles que o precederam, graças a uma regra de dedução.” (APPUD HARUMA,

2000, p. 5).

Para Duval, “a aprendizagem da demonstração consiste primeiramente na

consciência do tipo de discurso (é diferente do discurso realizado pelo pensamento

natural) ...a dedução é uma forma de cálculo cuja organização não é evidente e, ainda, a

tomada de consciência do que é uma demonstração somente ocorre numa articulação de

dois registros, dos quais uma é a utilização pelo aluno da linguagem natural (registro

discursivo)” (ALMOULOUD, 2005, p. 128).

O nosso módulo de demonstração tem início por um tutorial com o objetivo de

explicar a utilização da ferramenta e os passos de uma demonstração. Esse tutorial

aponta a importância da leitura do enunciado e sua compreensão antes de iniciar a

tarefa, explica a diferença da hipótese e da tese e traça um rápido relato sobre cada

passo da demonstração ser dependente dos passos anteriores. Esse tutorial é automático

e se dá sobre um exemplo.

A primeira atividade de demonstração é bem simples (figura 11).

Figura 11: Demonstração

Temos um “Guia de Demonstração” à disposição na interface, onde o usuário deve

fazer, entre vários itens, a escolha da tese e da hipótese. Para cada passo da

demonstração ele deverá escolher um item e uma justificativa, e o sistema se encarrega

de colocar suas escolhas nas caixas de edição corretas sem interferir em sua resposta.

!"#$%&$' () !) *) + $,!-.,-.&' /) $) .0 1213+04 54seado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anais

15


Apenas após terminar a tarefa é que o sistema fará a correção de item por item

apontando os erros e/ou acertos.


Nossa plataforma computacional e nossas seqüências didáticas ainda não estão

terminadas e, embora nossa maior preocupação no momento é desenvolver uma

ferramenta que possa ser utilizada sem treinamentos prévios e as seqüências didáticas

possam exercer o seu objetivo de ensino e de aprendizagem, acreditamos que obteremos

uma resposta satisfatória a nossa questão de pesquisa, ou seja, que a união de duas

Teorias (Registros de Representação Semiótica, Duval e Teoria das Situações Didáticas,

Brousseau) já comprovadamente eficientes à tecnologia pode promover e construção do

conhecimento.

Referências

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6789:;9< => 6> ?> @ 9A6BCABC;< D> 9> CE FGFH@EI JIseado em conhecimento com interface em Língua natural para o ensino das transformações geométricas. Anaisdo IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-16. (ISBN 978-85-98092-07-2

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KLNOLPQRS TU V W XQYZPTS RU TU L[\ \]^_`aW bca decfedimentos alternativos utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

(TTUU

Eixo-temático: Resolução de Problemas e Investigação Matemática

UMA ANÁLISE DOS PROCEDIMENTOS ALTERNATIVOS

UTILIZADOS NA RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS E DAS DEFINIÇÕES

SOBRE FRAÇÕES

Andresa Maria JUSTULIN- UNESP, Bauru [email protected]

Nelson Antonio PIROLA – UNESP / Bauru ([email protected]

Resumo: Esse trabalho buscou analisar os diversos procedimentos utilizados pelos alunos do Ensino Médio (1ª, 2ª e 3ª séries) para resolver exercícios e definir frações. Através de uma prova matemática aplicada em 95 sujeitos de uma escola pública da região de Jaú/SP, constatou-se que existe certa dificuldade em conceituar e resolver exercícios sem o auxílio da técnica (MMC). A metodologia utilizada foi qualitativa, buscando analisar os procedimentos e respostas fornecidas pelos alunos. Um estudo posterior pretende relacionar desempenho na solução de problemas e exercícios envolvendo frações, as atitudes em relação à matemática e o gênero.

Palavras-chave: Atitudes, Matemática, Frações, Procedimentos.

O Ensino Médio, etapa final da Educação Básica, de acordo com a LDB 9394 de

1996, tem duração mínima de três anos e deve aprofundar os conhecimentos adquiridos

no Ensino Fundamental, possibilitando o prosseguimento dos estudos e pode prepará-lo

para o exercício profissional. A matemática no Ensino Médio tem um valor formativo

que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, sendo também uma

ferramenta para a vida cotidiana e para outras atividades diárias.

Uma análise das avaliações governamentais sobre o desempenho em matemática

de alunos do Ensino Fundamental e Médio, mostra baixos índices das escolas públicas

nas provas de matemática do SARESP (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar

do Estado de São Paulo) e SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica).

Essas avaliações são baseadas em situações-problema e não em questões objetivas que

valorizam apenas a memorização de fórmulas, regras e esquemas. Os resultados dessas

hijkilmno pq r s tmuvlpo nq pq iwx xyz{|}s ~�} ��edimentos alternativos utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX

2


provas são preocupantes: os índices médios de acerto não têm variado muito, raramente

ultrapassam 40% de acerto nas mais diversas regiões do país.

Pesquisas na área da Educação Matemática, como as de Brito (1996), mostram

que um fator que tem influenciado a aprendizagem dos alunos em matemática diz

respeito ao fator afetivo. A autora compilou referências importantes ao tema gênero,

atitudes e a aprendizagem de matemática. Essa autora estudou e fez um vasto

levantamento bibliográfico sobre as atitudes em relação à matemática; validou e testou a

escala de atitudes elaborada por Aiken e Dreger (1961) e liderou um Grupo de Pesquisa

– Grupo de Pesquisa em Psicologia da Educação Matemática – a partir do qual foram

desenvolvidos vários trabalhos enfocando as atitudes em relação à matemática.

No documento introdutório dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN),

verifica-se que existe uma preocupação com o ensino de atitudes:

A transmissão de valores e atitudes ocorre mesmo que não faça parte explicitamente de conteúdos a serem ensinados, por isso a reflexão que já ocorre por parte de alguns profissionais envolvidos com educação precisa ser ampliada de forma a promover a incorporação consciente e sistemática dessa discussão do trabalho pedagógico. (1999, p. 20)

Um dos eixos metodológicos da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo

(2008) e dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (1999) e que não tem

apresentado bons resultados em avaliações oficiais é a solução de problemas.

Na psicologia educacional, diversos autores analisaram a solução de problemas

(MAYER, 1992; POZO, 1998; STERNBERG, 1992, 1994, 2000; HUNT, 1994,

PIROLA, 2000; BRITO, 2006) e afirmaram a importância desse conteúdo nos

currículos escolares. �y��s�xy��o � ��s x|y~x ��s~�w|yx y� sy}|y� ~x rx�smática são os

exercícios descontextualizados que funcionam como uma espécie de treino para os

alunos. A solução de problemas fica em segundo plano ou na seção de aplicações do

livro didático e não configuram na prática, como uma metodologia de ensino.

Outro conteúdo que apresentou baixos índices nas avaliações oficiais, além de

uma “quase” ausência nas pesquisas acadêmicas ao compararmos com outros temas

abordados é o ensino de Frações.

Muitos trabalhos apontam dificuldades dos alunos com o conceito de fração

(CATALANI, 2002; OLIVEIRA, 1996). Algumas das falhas no entendimento dos

�� ¡edimentos alternativos utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX

3


alunos desse conceito devem-se à complexidade e à forma de abordagem, que muitas

vezes é mecanicista, pronta e acabada.

Este trabalho faz parte de uma dissertação de mestrado em andamento e busca

analisar os principais procedimentos utilizados pelos estudantes do Ensino Médio

durante a solução de alguns exercícios ou problemas envolvendo o conceito de frações.

Além das definições apresentadas pelos sujeitos sobre o que entendem por fração.

O Ensino de Frações

A palavra Fração tem origem do latim Frangere e significa quebrar, ou seja, uma

parte de um todo. A idéia inicial que as crianças aprendem já nas séries iniciais do

Ensino Fundamental é que a fração é uma parte do todo. Com isso, não importa o

tamanho das partes, se os pedaços foram divididos de maneira igual.

O ensino das frações de acordo com Prado (2000 apud CATALANI, 2002) deve

ser centrado “na (re)criação dos conceitos matemáticos, destacando como elemento

importante para esta o caminho do movimento da história do conceito” (p. 56).

As crianças parecem passar pela mesma lógica do desenvolvimento do conceito

de fração. Assim, a experiência com situações envolvendo frações é importante e ao

longo da escolaridade, o aluno vai compreendendo a linguagem, os símbolos e torna

esses elementos significativos.

Os livros didáticos em sua maioria, entretanto, trazem ainda um grande

formalismo e apresentam uma matemática mecanicista. Dessa forma, pouco exploram o

movimento da história do conceito.

A notação para as frações que usa uma barra separando, horizontalmente ou de

maneira oblíqua dois números ou letras, data do século XVI. Muitas vezes, essa

representação, essa notação matemática adotada, não é significativa para o aluno, mas

isso não implica que ele não entendeu o conceito de fração. Dessa forma, o estudante

pode conceituar frações, mas não compreender os símbolos e suas operações.

O ensino e a aprendizagem do conceito de fração têm sido bastante limitados e

muitas vezes, fora da realidade do educando. Com isso, o estudante cria certa aversão a

esse conceito e à matemática, o que muitas vezes o impede de tentar compreender e

desenvolver raciocínios e buscar solucionar um determinado problema proposto.

¢£¤¥£¦§¨© ª« ¬ ®§¯°¦ª© ¨« ª« £±² ²³´µ¶· ¸¹· º»¹¼edimentos alternativos utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX

4


Existem algumas abordagens que podem ser encontradas nos diversos trabalhos,

de acordo com Catalani (2002), que investigam esse conceito: a ênfase no ensino por

meio de materiais manipulativos, pesquisa experimental, seqüências ou metodologias de

ensino e formação de professores.

Na primeira forma de abordagem do ensino de frações, a aprendizagem ocorreria

através da percepção, do contato dos alunos com objetos que representariam frações e, a

partir disso, o estudante compreenderia o conceito de fração.

Com o passar do tempo, essa forma de ensino começou a ser bastante criticada e

volta-se a atenção para a lógica e a linguagem.

Na tentativa de evitar o enfoque experimental sobre o ensino e com o avanço das

pesquisas construtivistas, novas metodologias, métodos, modelos e seqüências didáticas

que buscavam a melhoria do ensino de frações começaram a ser adotadas.

A partir dessas pesquisas, alguns autores dão indícios de que o conhecimento do

professor a respeito de frações e a forma de ensiná-lo podem levar a uma aprendizagem

fragmentada ou pautada em aspectos mecânicos.

Assim, destaca-se a importância da formação do professor, principalmente de 1ª a

4ª séries que possuem uma formação não específica da matemática e que, são os

responsáveis pela formação inicial do aluno. Sem dúvida, é uma questão que merece ser

discutida buscando novos rumos e soluções que favoreçam a aprendizagem.

Estudo Preliminar

Foram sujeitos da pesquisa 95 alunos de uma escola pública estadual de uma

cidade da Diretoria de Ensino – Região Jaú. A escola foi selecionada aleatoriamente,

considerando o número de alunos e o fato de possuir o Ensino Médio. Os sujeitos

distribuíram-se pelas três séries, sendo que 32 alunos cursavam o 1º Ano do Ensino

Médio, 37 o 2º Ano e 26 o 3º

A coleta dos dados foi realizada em duas etapas distintas após a autorização do

diretor da unidade escolar e de alguns professores que cederam suas aulas para a

aplicação dos instrumentos de pesquisa.

Após a autorização do diretor e dos professores, iniciou-se a aplicação dos

instrumentos de coleta de dados. Essa primeira etapa foi dividida em dois dias. No

½¾¿À¾ÁÂÃÄ ÅÆ Ç È ÉÂÊËÁÅÄ ÃÆ ÅÆ ¾ÌÍ ÍÎÏÐÑÒÈ ÓÔÒ ÕÖÔ×edimentos alternativos utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX

5


primeiro, os alunos deveriam responder o questionário pessoal, a escala de atitudes em

relação à matemática e realizar a prova de matemática através do recurso do MMC.

Os alunos respondiam cada instrumento e somente depois que todos terminassem

era distribuído outro. O professor da sala acompanhou a aplicação das provas e auxiliou

na ordem da sala, pois os alunos não deveriam comunicar-se durante a realização das

avaliações. A duração das atividades do primeiro dia era de cerca de 50 minutos.

No segundo dia, os estudantes realizavam a Prova de Matemática onde era

solicitado que os participantes resolvessem operações com frações sem utilizar o MMC.

Foi requerido também que eles resolvessem problemas envolvendo frações. A duração

das atividades também era de cerca de uma aula (50 minutos).

Para a segunda etapa, foi selecionado um aluno com média de aproximadamente

cinco e chamado para realizar uma entrevista. O sujeito, aluno do 1º Ano, concordou em

participar da pesquisa.

A entrevista foi audiografada e solicitou-se que o aluno explicasse cada

procedimento que realizava, como se estivesse “pensando em voz alta” e se fosse

preciso, o pesquisador iria interrogá-lo para obter da forma mais precisa o modo como

estava raciocinando e realizando o procedimento.

Nesta etapa da pesquisa, possivelmente, serão entrevistados novos sujeitos

selecionados a partir de seus desempenhos. Pretende-se escolher aleatoriamente um

aluno que obteve nota maior que 5 (cinco) e outro com conceito inferior a 5 (cinco).

Breve análise dos resultados

Este trabalho buscou analisar qualitativamente os procedimentos utilizados no

segundo dia da 1ª etapa da pesquisa, em que os alunos definiram e resolveram

exercícios sobre frações sem o uso do MMC.

No primeiro exercício da prova foi solicitado que os alunos procurassem novas

maneiras de resolver os exercícios de fração. Composto por três alternativas, o exercício

exigia que o sujeito realizasse soma e subtração de frações.

Na análise dos procedimentos, encontrou-se na divisão de frações, a denominada

Regra do Peixinho. Muitos alunos escreveram ou indicaram essa maneira de resolver

que consiste em multiplicar o numerador da 1ª fração pelo denominador da 2ª. O

número obtido será o numerador da nova fração. Em seguida, multiplica-se o

ØÙÚÛÙÜÝÞß àá â ã äÝåæÜàß Þá àá Ùçè èéêëìíã îïí ðñïòedimentos alternativos utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

6

denominador da 1ª pelo numerador da segunda, obtendo-se o denominador da nova

fração. O desenho formado durante esse processo é o de um peixePPA.

A alternativa A )4

1

10

3( foi classificada em acertou/errou e o procedimento

utilizado. Neste exercício esperou-se que o aluno utilizasse as frações equivalentes ou

representação gráfica para chegar à reposta. Entretanto, apenas 12 alunos acertaram o

resultado e desenvolveram o procedimento de maneira adequada. Seis estudantes

transformaram em decimais, 3 (três) utilizaram as frações equivalentes e o restante não

indicou o procedimento claramente.

Deixaram a questão em branco, 23 alunos, o que representa cerca de 25% do total.

Quanto aos erros, foram encontrados os seguintes:

1. O estudante somou os numeradores e denominadores (16,84%)

2. O estudante realizou o MMC, mesmo não sendo permitido – o que pode significar que não entendeu o solicitado ou não sabe fazer de outra forma (14,74%)

3. O estudante obteve uma resposta errada, mas não indicou o procedimento (11,58%)

4. O estudante utilizou desenho, mas os inteiros eram diferentes ( 7,37%)

5. O estudante somou os numeradores e multiplicou os denominadores/ utilizou a regra do peixinho/ Utilizou representação inadequada (como somar bolinhas com quadradinhos) (2,11% cada)

6. O estudante descreveu um procedimento sem lógica/ Multiplicou em cruz e somou/ Somou os numeradores e subtraiu os denominadores/ Somou o numerador, fatorou os denominadores e somou/ Somou os numeradores e conservou o maior denominador/ Multiplicou a 1ª fração por 3 e a 2ª por 4. (1,05% cada)

Em anexo, pode-se visualizar os gráficos de acertos A e dos principais erros B.

A questão B (3

2

5

4! ) solicitou que os alunos fizessem a subtração de frações sem

utilizar o recurso do MMC. O número de acertos novamente foi de 12 (doze). O número

de brancos aumentou, representando 27,37% do total.

Os erros encontrados assemelham-se aos apresentados no exercício 1A

(anterior). A tabela A indica os seguintes:

1. O estudante subtraiu os numeradores e denominadores (17,89%)

2. O estudante utilizou o recurso do MMC (15,79%)

óôõöô÷øùú ûü ý þ ÿøJ�÷ûú ùü ûü ô�� þ �� edimentos alternativos utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX

7


3. O estudante utilizou desenho, mas os inteiros eram diferentes/ Não indicou o procedimento (5,26%)

4. O estudante subtraiu os numeradores e multiplicou os denominadores/ Tentou desenhar, mas não concluiu as idéias (3,16%)

5. O estudante utilizou a “Regra do Peixinho”/ Utilizou procedimento incorreto (2,11%)

6. O estudante subtraiu os numeradores, fatorou os denominadores e somou/ Subtraiu os numeradores e somou os denominadores/ Não concluiu/ Multiplicou em cruz e somou tudo (1,05%)

O exercício 1C (5

2

25

3 ) apresentou resultados semelhantes ao 1A que solicitava

adição de frações. Entretanto, apenas 9 (nove) alunos acertaram a resposta, indicando

que o índice de acertos diminuiu.

Aproximadamente 24 % dos sujeitos deixaram o exercício em branco.

Em relação aos principais erros, 16,84 % dos alunos, somou numeradores e

denominadores e 14,37 % utilizaram o MMC. Os demais erros podem ser visualizados

na tabela A.

A 2ª questão (Escreva o que você entende por fração e dê exemplos) apresentou

respostas que evidenciaram a falta de domínio do conceito de fração. Muitos alunos não

conseguiram dar exemplos satisfatórios e outros, apenas descreveram o procedimento

técnico utilizado nos problemas ou exercícios que envolvem frações.

Um número relativamente alto de sujeitos (21) deixou a questão em branco.

Outros 4 (quatro) alunos escreveram que não lembravam o conceito de fração e 5

(cinco) estudantes apenas deram exemplos ou realizaram uma representação.

Uma grande parte dos alunos (11) relacionou a fração com uma divisão. Um

sujeito entendeu que as frações são razões, o que se reporta a idéia de divisão. O mesmo

participou da 2ª parte da pesquisa (entrevista) e complementou:

Aluno: Por exemplo, a gente tem o numerador e o denominador. Então, a gente sabe que o denominador é em quantas partes foi dividido o inteiro e o numerador o tanto que foi retirado dessa divisão. E como a gente sabe a razão é uma divisão e por isso que eu falei que a fração era uma razão.

Outra idéia de fração refere-se ao todo e suas partes. 25 (vinte e cinco) sujeitos

afirmaram que “Fração é uma parte de um todo”, o que pode levar a alguns equívocos

se o inteiro não for dividido em partes iguais. Somente 5 (cinco) alunos indicaram que

�� !"� #$" %&$'edimentos alternativos utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX

8


“é o todo dividido em partes iguais”. Outro aluno respondeu que fração “É uma parte

pequena de um número”.

Outros sujeitos indicaram que as frações representam “partes quebradas” cuja

divisão resulta em número decimal. Essa idéia foi apontada por 8 (oito) alunos.

Quatro estudantes indicaram que “Fração é uma conta que faz MMC” e outro

afirmou ser uma conta que subtrai.

Alguns alunos parecem não ter conseguido se expressar ou apresentaram

dificuldades para definir ou conceituar frações. 4 (quatro) sujeitos responderam que

“pode representar muitas coisas”. 2 (dois) afirmaram não entender nada

O instrumento de avaliação aplicado no 2º dia da 1ª etapa da pesquisa era

composto ainda, de um 3ºexercício em que o aluno deveria indicar a fração

correspondente às figuras destacadas.

O primeiro desenhoB apresentou um todo dividido em partes não iguais. Diante da

definição de frações, somente um aluno apontou que não seria possível indicar a fração

correspondente à área hachuarada, já que as partes não são iguais.

O restante dos sujeitos participantes da pesquisa, ou seja, 94 (noventa e quatro

estudantes) responderam de maneira equivocada essa questão. 17% dos estudantes não

consideraram as duas regiões da figuras, mas, somente, a parte em preto. 11%

responderam3

2 justificando de maneira parecida com a do aluno que participou da

entrevista:

Aluno: Então seria 2/3, porque ele dividiu em 3 e pegou 2.

Alguns alunos tentaram subdividir a figura de maneira a deixar as partes iguais,

mas como a forma era oval isso não seria possível.

Deixaram em branco o exercício 3A, 26% dos sujeitos.

Já a alternativa BC apresentava um retângulo dividido em 4 (quatro) partes e

destacadas apenas 2 (duas).

O número de sujeitos que acertaram essa questão foi de 73 (setenta e três). Destes

41 (quarenta e um) responderam 4

2, não fornecendo a resposta de modo simplificado

(fração irredutível).

()*+),-./ 01 2 3 4-56,0/ .1 01 )78 89:;<=3 >?= @A?Bedimentos alternativos utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX

9


Nove alunos deixaram a questão em branco e um sujeito escreveu “Não Sei”. A

figura D indica a porcentagem de alunos e suas respectivas respostas no exercício 3B.

Algumas considerações

A pesquisa de Mestrado do qual esse trabalho é integrante, busca investigar

possíveis relações entre as atitudes em relação à Matemática, o gênero, o desempenho e

os procedimentos utilizados na solução de problemas/ exercícios envolvendo frações.

Alguns resultados preliminares evidenciaram que os alunos, em geral, têm melhor

desempenho na resolução de exercícios do que na solução de problemas.

É importante ressaltar que essa parte da pesquisa foi abordada de maneira

qualitativa com objetivo de verificar os principais procedimentos alternativos

apresentados pelos alunos quando não se pode utilizar a técnica – a regra do MMC -

mas sim o conceito de fração.

Os resultados parecem evidenciar que os alunos do Ensino Médio não apresentam

um conceito adequado de fração. Esses dados corroboram com as idéias de Lins e Silva

(2007) que apontam para uma abordagem no ensino de frações contemplando este

conteúdo de diversas maneiras com base nas várias situações. Assim, o educando

poderá entender frações não apenas como medidas ou razões, mas avaliar a ocasião para

obter a resposta adequada.

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SÂO PAULO. Secretaria de Estado de Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta Curricular para o Ensino de Matemática. São Paulo, 2008.

STERNBERG, R. J. Psicologia Cognitiva. Tradução de: BORGES, Maria Regina. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 2000.

_`ab`cdef gh i j kdlmcgf eh gh `no opqrstj uvt wxvyedimentos alternativos utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

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Anexos

A

Figura A: Regra do Peixinho, de acordo com os alunos

A

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25%

50%

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Figura B – Gráfico dos procedimentos corretos no exercício 1A

A

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8%

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1%

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1%

1%

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Figura C – Gráfico dos principais erros no exercício 1A

A

Acertou/ Errou - Principais Procedimentos 1B Errou. Subtraiu os numeradores e denominadores 17

Errou. Subtraiu os numeradores e multiplicou os denominadores 3

Errou. Tentou desenhar, mas não concluiu as idéias 3

ÁÂÃÄÂÅÆÇÈ ÉÊ Ë Ì ÍÆÎÏÅÉÈ ÇÊ ÉÊ ÂÐÑ ÑÒÓÔÕÖÌ ×ØÖ ÙÚØÛedimentos alternativos utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

12

Errou. Utilizou MMC 15

Errou. Subtraiu os numeradores, fatorou os denominadores e somou 1

Errou. Utilizou desenho, mas os inteiros eram diferentes 5

Errou. Subtraiu os numeradores e somou os denominadores 1

Errou. Não concluiu 1

Errou. Não indicou o procedimento 5

Errou. Procedimento incorreto 2

Errou. Utilizou a regra do peixinho 2

Errou. Multiplicou em cruz e somou tudo 1

Em branco 26

Acertou, mas não indicou o procedimento 6

Acertou. Transformou em decimais 3

Acertou. Utilizou frações equivalentes 3

Acertou parcialmente. Transformou em decimais, mas errou a resposta 1Tabela D – Principais erros e acertos no exercício 1B

A

Acertou/ Errou - Principais Procedimentos 1C Errou. Somou numeradores e denominadores 16

Errou. Somou os numeradores e multiplicou os denominadores 2 Errou. Somou os numeradores e dividiu os denominadores 1

Errou. Somou os numeradores e conservou o maior denominador 2Errou. Somou os numeradores, fatorou os denominadores e somou 1

Errou. Multiplicou em cruz e somou tudo 1 Errou e não indicou o procedimento 12

Errou. Utilizou MMC 14 Errou. Utilizou desenho, mas os inteiros eram diferentes 7

Errou. Utilizou a regra do peixinho 3 Errou. Utilizou representação (bolinhas, quadrados, etc) 1

Errou. Subtraiu numeradores e denominadores 1Errou. Transformou em decimais, mas errou a soma 1

Errou. Procedimento incorreto 1Acertou. Utilizou frações equivalentes 4

Acertou. Transformou em decimais 5Deixou em branco 23

Tabela E – Principais procedimentos realizados no exercício 1C

A

ÜÝÞßàá Ü â ãäåäæçè éè äêäàëìëÝè íî

ïðñòðóôõö ÷ø ù ú ûôüýó÷ö õø ÷ø ðþÿ ÿJ��ú �� edimentos alternativos utilizados na resolução de exercícios e das definições sobre frações. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

13

A

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A

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9%

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1% 2%

1%

1%

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Figura H – Respostas freqüentes apresenta

A

Acertou/ Errou - Principais Procedimentos 1C Errou. Somou numeradores e denominadores 16

89:;<=> ?@ B@ C <G?9HG9HI> =@ <@ HKL MNOMOPQL SC CTsino a distância para o aprendizado da Geometria hiperbólica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-15. (ISBN 978-85-98092-07-2)


UMA PROPOSTA DE ENSINO A DISTÂNCIA PARA O APRENDIZADO DA

GEOMETRIA HIPERBÓLICA

Marília Valério ROCHA – PUC-SP ([email protected]

Prof. Dr. Saddo Ag. ALMOULOUD – PUC-SP ([email protected]

Resumo: O presente artigo apresenta uma proposta para o estudo a distância da geometria hiperbólica, com o suporte do software de geometria dinâmica Cinderella. Nosso material foca o estudo axiomático dos principais teoremas dessa geometria e foi concebido a partir da teoria das situações didáticas, de Guy Brousseau (1986) e dos estudos com a compreensão das demonstrações, desenvolvido por Raymond Duval (1993). Pretendemos investigar se “o conhecimento de outras geometrias poderá contribuir para a formação do professor de matemática?”, através de uma seqüência didática a ser aplicada em alunos de licenciatura em matemática. A idealização do projeto prevê a aplicação das atividades em uma plataforma de ensino a distância.

Palavras-Chave: Geometria Hiperbólica, Demonstrações, Ensino a Distância, Geometria Dinâmica, Cinderella.

Introdução

Na maioria dos cursos de licenciatura em Matemática, o estudo das geometrias

não-euclidianas não é uma realidade freqüente, obrigando o futuro professor de

matemática a, caso seja de seu interesse, buscar esse conhecimento fora da graduação.

Reconhecendo a importância histórica do surgimento das outras geometrias, além

da euclidiana, no desenvolvimento da própria matemática e também na oportunidade de

conhecer outro estudo axiomático da geometria, elaboramos uma proposta didática

sobre o estudo da geometria hiperbólica.

Idealizamos a apresentação, numa página da Internet, de uma seqüência didática

sobre o tema, orientados pelos estudos de Duval (1993) e Brousseau (1986). A

investigação será centrada na questão de pesquisa “o conhecimento de outras

geometrias poderá contribuir para a formação do professor de matemática?”

Acreditamos que a compreensão dos dados extraídos dessa pesquisa poderá ser

relevante para a comunidade de educadores no sentido de levantar alternativas didáticas,

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2


contribuindo assim com a prática pedagógica do professor e também para a sua

formação específica.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Raymond Duval publicou vários textos sobre a importância da demonstração no

ensino de matemática, em particular na geometria, e defende que, cognitivamente, a

demonstração requer uma maneira de raciocinar específica. O termo demonstração deve

ser entendido como uma prova matemática formal, na qual a validação de um resultado

é obtida pela aplicação de uma regra da lógica proposicional.

Estudando o comportamento de alunos com idade entre 13 e 14 anos, Duval

(1990) cita os passos que marcam o funcionamento desse processo de raciocínio: a

inferência e o encadeamento. Uma demonstração apresenta uma estrutura ternária

(figura 1), devendo contemplar uma premissa (hipótese), regras de inferência (axiomas,

teoremas, definições) que permitem concluir uma afirmação (tese).

Regras de Inferência

Verificação das condições

Premissa Inferência Conclusão

Figura 1: Estrutura Ternária de um passo da demonstração

Zi mhlknop`i ke fg`dniie iqh r`gnsnmekei tjnunvelkh uma determinada regra de

inferência e, somente então é possível se inferir para se chegar a uma conclusão, ou seja,

a conclusão é obtida pela implicação da regra de inferência. Essa estrutura (premissa,

regra de inferência e conclusão) terá um “estatuto operatório” definido no interior de

uma demonstração e, à medida que o encadeamento de inferências é feito, seu papel

pode se alterar. Exemplificando, o que foi uma conclusão num passo da demonstração

(numa estrutura ternária) pode se tornar uma premissa no passo seguinte.

Duval (1993) propõe que somente a partir do entendimento de tal encadeamento é

que o aluno se apropria desse conhecimento, a partir do qual a demonstração passa a ser

compreendida como um encadeamento de passos válidos.

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3


Guy Brousseau (1986) desenvolveu a Teoria das Situações Didáticas (TSD), que

tem como objetivo analisar as interferências que ocorrem no ensino da matemática, e

posteriormente modelar estratégias vencedoras, considerando as relações entre o

professor, aluno e o saber almejado. O papel inicial do professor é a elaboração de uma

situação em que o aluno, considerando seus conhecimentos anteriores, consiga elaborar

estratégias de resolução a partir de sua ação com um meio propício ao processo de

ensino e aprendizagem. Segundo Almouloud (2007),

Na teoria das situações, o milieu é um sistema antagonista ao sujeito, sendo o milieu adidático um sistema sem intenção didática, exterior ao sujeito, que, por suas retroações às ações do sujeito, permite sua reflexão a respeito de suas ações e sua aprendizagem. Ou seja, o aprendiz é o responsável pelo processo de sua aprendizagem (ALMOULOUD, 2007, p. 35)

O aluno deve assumir a responsabilidade de seu aprendizado, devendo se

comprometer com a tentativa de criar alternativas de resolução à situação proposta. “O

professor tem, pois, de imaginar e propor aos alunos situações que eles possam viver e

nas quais os conhecimentos apareçam como a solução ótima e passível de ser

descoberta para os problemas colocados” (BROUSSEAU, 1986, p. 38).

A TSD sugere quatro fases distintas para o processo de ensino e aprendizagem,

que resumidamente apresentamos:

1. Situação de Ação: momento em que se espera que o aluno se articule,

individualmente ou em grupo, na tentativa de solucionar um problema proposto. Agindo

com o meio, o aluno deve buscar uma solução, provocando uma aprendizagem por

adaptação. Nessa fase o professor deve observar o desenvolvimento das estratégias

elaboradas.

2. Situação de Formulação: momento em que o aluno deve formular suas estratégias

de resolução, socializando-as com o grupo, justificando as soluções propostas.

3. Situação de Validação: momento em que o aluno utiliza mecanismos de provas

para a solução de um problema, divulgando suas descobertas. O professor deve mediar

as apresentações no sentido de valorizar as estratégias vencedoras e uniformizar os

avanços conquistados pelos alunos.

�� ¡¢� £� �¤sino a distância para o aprendizado da Geometria hiperbólica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

4


4. Situação de Institucionalização: após a exploração da situação proposta, quando o

saber em questão emergiu na situação de validação, o professor finalmente deverá expor

o conteúdo pretendido, o que terá mais significado para o aluno, que então poderá

utilizar esse saber na resolução de outras situações.

Entendemos que o TSD pode ser utilizada no ensino a distância, uma vez que o

professor cria as situações antecipadamente. Pensamos também em incluir na proposta

os pré-requisitos necessários para o início das atividades.

A dialética da ação propicia ao aluno momentos individuais de investigação, em

que o professor não deverá interferir. A socialização pode ocorrer em momentos

síncronos. As formulações poderão ser validadas pelos alunos através do confronto de

suas respostas com as soluções que serão divulgadas e ainda através da troca de

informações, por meio de e-mails ou fóruns.

Observando a teoria de Duval, pensamos em produzir as demonstrações,

evidenciando, passo a passo, em três colunas (número do passo, passo e justificativa) de

maneira a tornar explícito o raciocínio lógico empregado. Elaboramos também um

quadro Resumo da Geometria Absoluta, com a numeração dos axiomas, definições e

teoremas, que poderão ser utilizados nas justificativas das demonstrações. A cada

atividade esse Resumo foi atualizado com os axiomas, definições e teoremas estudados,

compondo o Resumo da Geometria Hiperbólica.

Tecnologia e Ensino à Distância

O uso da Internet é uma realidade que, num mundo globalizado, possibilita acesso

às informações nunca antes imaginado. Embora esse acesso seja imediato, ainda é

grande a carência de materiais de ensino, que sejam apresentados numa linguagem

apropriada e que fundamentalmente sejam capazes de produzir um novo saber.

O acesso às mídias pode ser aproveitado como mais uma possibilidade de

contribuição à educação tradicional, ou ainda como um veículo que viabiliza o ingresso

de muitos estudantes a uma formação, ou especialização. O Ensino a distância oficial,

ou mesmo a disponibilização de material didático na rede é crescente e ocupa hoje um

lugar relevante.

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5


Questão de Pesquisa

O problema central de nossa pesquisa é “o conhecimento de outras geometrias

poderá contribuir para a formação do professor de matemática?”.

Nossa pesquisa se apóia em três hipóteses:

Os conhecimentos da geometria hiperbólica devem influenciar positivamente a

prática do professor de geometria euclidiana.

Considerando as dificuldades apresentadas pelos graduandos, amplamente

discutidas no meio acadêmico, na apreensão dos conceitos da geometria euclidiana e na

compreensão das demonstrações formais, entendemos que a perspectiva de uma nova

geometria, confrontada com a geometria euclidiana, poderá contribuir para que o

professor termine por assimilar melhor também esta última.

Conhecer o desenvolvimento histórico e epistemológico da geometria, sua

repercussão em vários campos da ciência, entre eles na filosofia, na física, e na própria

concepção de Ciência, se torna fundamental na formação do professor, tornando-o mais

crítico e ampliando suas possibilidades nas escolhas futuras das variáveis didáticas, que

serão utilizadas na sua produção como professor.

Seqüências didáticas aplicadas a distância podem contribuir para a apreensão de

um novo saber.

O ensino a distância cada vez mais será o responsável pelo aprimoramento

contínuo dos futuros profissionais. Propiciar uma aprendizagem efetiva através desse

recurso torna-se uma preocupação central do atual professor. Segundo Lévy

Se olharmos, ao mesmo tempo, a velocidade na qual os conhecimentos se desenvolvem, a extensão da capacidade cognitiva individual mediante as tecnologias, a as novas possibilidades de aprendizagem cooperativa e de colaboração entre as pessoas, no nível intelectual, eu acredito que nos deparamos com uma paisagem completamente nova na relação com o saber e somos obrigados a constatar que muitas de nossas concepções pedagógicas a respeito do ensino e aprendizagem, muitas das nossas instituições de ensino e dos nossos métodos para reconhecer ou validar competências foram elaboradas num período em que a relação com o conhecimento era muito diferente do atual. Então, há muito trabalho a fazer para que os nossos conceitos, as nossas instituições, os nossos modos de organização se adaptem a essa nova fase. (LÉVY, 1997, p. 2, traduzido por nós do original italiano).

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6


Entendemos que os recursos das atuais plataformas de ensino, aliado a elaboração

de seqüências didáticas que valorizem a descoberta do aprendiz e otimize as qualidades

de uma ferramenta didática, podem contribuir para um efetivo aprendizado.

A apresentação das demonstrações em três colunas (número do passo, passo,

justificativa) favorece a aprendizagem do raciocínio lógico.

Nossa pesquisa tem o interesse de averiguar se essa exposição é eficaz no

processo de aprendizagem das demonstrações. Acreditamos que a explicitação de todos

os passos de uma demonstração, feita em três colunas, favoreça o entendimento,

minimize as eventuais dúvidas e incentive os estudantes a elaborar suas próprias

demonstrações.

Desenvolvimento do Material Didático

Elaboração da página

Para a idealização de nossa página, foram realizadas as seguintes análises a priori:

I. Estudos preliminares sobre o uso da internet na educação, em que pesquisamos a

importância e os cuidados necessários para o emprego deste veículo no ensino.

Após tais estudos, consideramos alguns aspectos construtivistas e ergonômicos

propostos por Kalinke (2003) na elaboração de nossa página, pois entendemos que uma

abordagem construtivista se alinha à teoria das situações didáticas.

As primeiras pesquisas em Didática da Matemática se apoiaram em alguns aspectos fundamentais do construtivismo de Piaget, como a noção de desenvolvimento cognitivo e o papel central da ação no desenvolvimento. De acordo com essa concepção, o conhecimento está, de fato, intimamente ligado à ação e à experimentação do sujeitoe tem sua origem na atividade do sujeito em relação aos objetos. (ALMOULOUD, 2007, p. 24, grifo do autor).

1. Quantos aos aspectos construtivistas:

Ferramentas de Interação

Idealizamos a disponibilização de nossa página em uma plataforma de ensino a

distância, que apresenta as ferramentas síncronas e assíncronas, favorecendo a interação

do aluno tanto com os outros alunos como com o mediador.

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7


Exploramos uma ferramenta síncrona, o chat, e planejamos a utilização de uma

ferramenta assíncrona, o fórum de discussões, além da troca de e-mails.

Tratamento do Erro

Outro ponto comum entre as teorias Construtivista e a proposta por Brousseau é o

tratamento do erro. Elas consideram um erro como uma oportunidade de aprendizagem,

como uma constatação de que um determinado conteúdo deva ser trabalhado

novamente.

Propusemos situações didáticas que permitam aos alunos a retomada do conteúdo

após a verificação de um desempenho não satisfatório. Decidimos pela entrega completa

das respostas, que serão visualizadas após a entrega do exercício, para que o aluno possa

identificar suas deficiências específicas, retomar o conteúdo proposto e posteriormente

seguir em seu aprendizado. O material a ser colhido dos fóruns e do correio eletrônico

devem contribuir para a identificação dos momentos críticos da aprendizagem.

Ambiente Dinâmico

Em nossas atividades constam momentos de investigação dinâmica das

construções geométricas disponibilizadas e de outras construídas pelo aprendiz, que

devem contribuir para que o aluno se aproprie do conhecimento em questão.

2. Quantos aos aspectos ergonômicos:

Legibilidade

Procuramos utilizar cores claras, letras grandes e disposição de links sem que os

mesmos possam poluir visualmente o texto ou levar o indivíduo a uma navegação

cansativa. Dispusemos o conteúdo por tópicos, criando assim atividades mais curtas e

específicas o que também contribui para a conclusão das tarefas.

Optamos por criar seções específicas para listar os softwares relacionados com

nossa proposta, bem como o site do software Cinderella. Entendemos que os acessos

podem ser feitos em momentos pontuais, sem concorrer com a leitura e execução das

atividades.

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8


Documentação

Incluímos duas seções na página inicial voltadas a esclarecer o aluno:

Mapa do Site: apresenta a disposição dos tópicos na página, contribuindo para

uma navegação satisfatória.

Apresentação: as intenções de nossa proposta são explicitadas, por meio de três

quadros que apresentam respectivamente a descrição do curso, sua dinâmica e o seu

conteúdo programático.

Navegabilidade

Incluímos seções específicas na página inicial com a intenção de segregar os

conteúdos:

Tópicos Históricos: apresenta um resumo histórico do desenvolvimento das

geometrias não-euclidianas (figura 3).

F��

Demonstrações: apresenta um histórico do desenvolvimento da demonstração

matemática, tendo como objetivo a apresentação da linguagem que será utilizada nas

atividades.

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9


Atividades: contém as treze atividades que tratam do conteúdo a ser estudado

(figura 4).

Figura 4: Descrição das Atividades

Outros: apresenta os questionários inicial e final, as atividades que serão propostas

nos dois fóruns e a delineação do conteúdo do chat.

Atividade Final: apresenta uma atividade a ser elaborada no término do curso,

onde constam questões sobre o conteúdo proposto.

II. Pesquisa nas Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática,

Bacharelado e Licenciatura (DCN), sobre as orientações pertinentes ao estudo das

geometrias.

Como competências a serem desenvolvidas pelo graduando em matemática, nas

Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática, Bacharelado e

Licenciatura (DCN), são citadas “o raciocínio lógico, a postura crítica e a capacidade de

resolver problemas” (DCN, BRASIL, 2001, p. 1). Entendemos que atividades que

proponham trabalhos com as demonstrações podem contribuir para o desenvolvimento

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10


do raciocínio lógico-dedutivo do aluno, preparando-o melhor para entender e interagir

criticamente com a sociedade em que vive.

Nas Diretrizes Curriculares Nacionais, além da indicação para o estudo de

Fundamentos de Geometria, é recomendada a necessidade de conhecimentos de “Física

Geral e noções da Física Moderna, como forma de possibilitar ao bacharelando o estudo

de uma área na qual historicamente o uso da matemática é especialmente significativo”

(Ibidem, p. 5). Entendemos que o conhecimento da geometria hiperbólica contribua para

o entendimento das noções da Física Moderna, sendo essencial para a compreensão de

seu desenvolvimento histórico.

Após nossa análise optamos pela inclusão em linhas gerais, na seção Tópicos

Históricos, das influências que a física moderna sofreu após a nova concepção do

espaço, que surgiu com a apresentação das novas geometrias.

III. Levantamento da literatura publicada a respeito da geometria hiperbólica, nos

livros e dissertações.

As leituras dos livros e das dissertações, na área de Matemática, nos foram

essenciais para a seleção do conteúdo a ser apresentado.

As leituras das dissertações, na área de Educação, possibilitaram verificar a

crescente importância dada no meio acadêmico em se introduzir as outras geometrias no

currículo do professor de matemática, tanto no enfoque histórico como no geométrico.

Nosso levantamento também nos permitiu analisar as diferentes estratégias

didáticas adotadas por cada autor.

IV. Análise dos principais softwares que permitem a exploração dinâmica das

construções geométricas.

Dentre os softwares de geometria analisados1, optamos pelo uso do Cinderella,

considerando a divulgação de um software pouco conhecido, e principalmente por três

fatores:

A facilidade de salvar as figuras em html;

A possibilidade de incluirmos instruções passo a passo nos exercícios de

construção geométricas, fato que permite ao aluno a validação de suas construções;

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11


Pelo modelo de Poincaré ser nativo, o que permite o recurso de exploração uma

mesma figura nas duas geometrias: euclidiana e hiperbólica.

V. Levantamento histórico do surgimento das geometrias não-euclidianas.

Realizamos um levantamento histórico que nos ajudou a compreender o ambiente

que possibilitou o desenvolvimento das outras geometrias. O resultado desse estudo foi

incluído em nossa página, além de uma seção sobre o desenvolvimento das

demonstrações e do raciocínio lógico com o objetivo de familiarizar o aprendiz com os

termos que empregamos no decorrer de nossa seqüência didática. Expusemos o

desenvolvimento histórico da geometria, apresentamos em linhas gerais a influência das

principais correntes filosóficas nesse processo e também o impacto do surgimento das

outras geometrias na Física Moderna.

Após os estudos preliminares criamos nosso material didático, cuja tela inicial

apresentamos na figura 2.

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Elaboração da seqüência didática

Quanto às atividades elaboradas, procuramos proporcionar momentos em que as

diferentes dialéticas da Teoria das Situações Didáticas pudessem ser vivenciadas. Nos

preocupamos também em incluir situações em que esperamos analisar as dificuldades

apresentadas pelos aprendizes na elaboração de suas demonstrações e no entendimento

defghij kl ml n hokepoepqj il hl prs tuvtvwxs yn nzsino a distância para o aprendizado da Geometria hiperbólica. Anais do IX Encontro Paulista de Educação

12


das demonstrações apresentadas em nosso material, com a intenção de melhor

compreender o processo de apreensão desse saber.

Por questão de brevidade, extraímos algumas situações de nosso material a fim de

ilustrar tais momentos:

Investigações dinâmicas (figura 5): momento em que as construções geométricas

previamente elaboradas são apresentadas e se propõe que o aluno investigue um

determinado teorema, proporcionando momentos de ação, validação e formulação.

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Construções geométricas (figura 6): são solicitadas construções geométricas

através de exercícios previamente construídos com esse recurso do software, onde o

aluno pode verificar de imediato se a construção está correta. Em caso negativo é

possível validar passo a passo da construção para a retomada da atividade. Exploramos

também outro recurso do software, onde uma mesma construção geométrica pode ser

visualizada nos dois planos: euclidiano e hiperbólico.

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13


Figura 6: Cópia Parcial da Atividade de Introdução

Exercícios de demonstrações (figura 7): com a evolução das atividades e a

familiarização com a metodologia empregada nas demonstrações o aluno é convidado a

elaborar suas próprias demonstrações. Temos a intenção de pesquisar as dificuldades e

os avanços conquistados pelo aprendiz.

Figura 7: Cópia parcial da Atividade 8

Comparação entre as geometrias (figura 8): algumas investigações dinâmicas são

apresentadas nos dois modelos, permitindo que o aluno compare o comportamento de

alguns entes geométricos.

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14


Figura 8: Cópia Parcial da Atividade 2

Análise de Situações (figura 9): após a apresentação de uma determinada

definição ou teorema, o aprendiz é convidado a analisar uma determina situação, cuja

solução exige o resgate de um conteúdo da geometria euclidiana e a aplicação dos novos

conhecimentos. Pretendemos nesse momento colher evidências de um aprendizado

efetivo.

Figura 9: Cópia Parcial da Atividade 7

Conclusão Parcial

No momento atual, terminados os estudos a priori e a elaboração da página,

pretendemos aplicar nossa seqüência, num projeto piloto, com alunos de graduação que

tenham cursado a disciplina de geometria euclidiana a fim de testar nossas intenções

didáticas e colher elementos para melhorar nosso material.

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15

Acreditamos que tal proposta permitirá ao aprendiz uma reflexão que possibilite

avançar em seus conhecimentos, e repensar o ensino de geometria, porém somente após

a experimentação estaremos aptos a validar nossos questionamentos.

Notas1 Introduzimos uma breve apresentação dos softwares: Cabri-Géomètry, Cinderella, Geometer’s

Sketchpad, NonEuclid, Poincaré Disc e PoincaréDraw.

Referências

ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da Didática da Matemática. Paraná: Editora UFPR. 217p., 2007.

BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação - Câmara de Educação Superior. Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura. Brasília: 2001.

BROUSSEAU, Guy. Fundamentos e Métodos da Didática da Matemática. In: BRUM, Jean (direção). Didáticas das Matemáticas. Tradução de Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget,1986, Cap.1, p. 35-113. (Coleção Horizontes Pedagógicos).

DUVAL, Raymond. Quels sont les éléments constitutifs d'un raisonnement. In : IREM de Strasbourg. Strasbourg, 1993, p.195-221.

KALINKE, Marco Aurélio. Internet na Educação. 143p., Curitiba: Chain, 2003.

LÉVY, Pierre. Evoluzione del concettto de sapere nell’era telematica. Veneza, 1997.Disponível em: http://www.mediamente.rai.it/home/bibliote/intervis/l/LÉVY02.htmÅ

Acesso em: 10 de novembro, 2006.

ÔÕÖÕ×ØÙÚ ÛÜ ÝÜÞ ÙßàáßâÚ ÔÜ ÛÜÞ ãÕÛäàÕÚ ÔÜÞ ÙØáÛåæØÚ R. F. Uma re-leitura de questões com conteúdos estatísticos no SARESP. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1– 7. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Eixo-temático 1: Avaliação

UMA RE-LEITURA DE QUESTÕES COM CONTEÚDOS ESTATÍSTICOS NO

SARESP

Raphael Zen COVOLAM – PUC Campinas – ([email protected]çDra. Clayde Regina MENDES – PUC Campinas – ([email protected]ç

Camila TORINO – PUC Campinas – ([email protected]ç

Renata Fernandes MADRUGA – ([email protected]è

éêëìíîï Apesar de todas as deficiências existentes, a utilização de instrumentos de medida para avaliar e acompanhar o conhecimento adquirido pelos alunos, como também o desenvolvimento de habilidades básicas e de competências, faz-se cada vez mais necessário. Infelizmente, mesmo concordando com a importância que o erro assume para a compreensão do que o aluno assimilou do conhecimento e os conteúdos que necessitam serem retomados, estamos cientes de que nas avaliações educacionais de larga escala isso acaba sendo inviável, uma vez que as questões são normalmente propostas em forma de múltipla escolha. Dada essa forma de apresentação, é preciso lembrar que as questões de múltipla escolha devem estar bem formuladas, com enunciados claros e simples, abordagem de idéias relevantes e apresentação de todas as informações necessárias para a sua resolução; contudo, às vezes encontramos algumas falhas e por isso nos propusemos a analisar o enunciado de algumas questões envolvendo conteúdos de Estatística das avaliações do SARESP de 2005 e 2007.

Palavras-chave: Avaliação, Formação de Professores de Matemática, Pensamento Estatístico.

Financiamento: FAPIC/Reitoria PUC-Campinas e PIBIC/CNPq

Introdução

A sociedade contemporânea vive imersa em uma profusão de dados sobre os quais

escolhe que atitudes tomar. Entretanto, para tomarmos uma atitude correta sob

determinado ponto de vista, precisamos compreender claramente o que nos está sendo

apresentado. Acreditamos na importância do cidadão possuir ferramentas estatísticas

com as quais possa ponderar a respeito do que lhe é dito, o quê nos Parâmetros

Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1997) é estabelecido no fato de que uma

ðñòñóôõö ÷ø ùøú õûüýûþö ðø ÷øú ÿñ÷Cüñö ðøú õôý÷��ôö R. F. Uma re-leitura de questões com conteúdos estatísticos no SARESP. Anais do IX Encontro Paulista 2de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1– 7. (ISBN 978-85-98092-07-2)

pessoa só pode ser considerada alfabetizada se a mesma é capaz de compreender e

estabelecer vínculos e relações entre informações provenientes de fontes variadas.

Contemplando o método pelo qual é aferido o estágio de construção do

conhecimento dos discentes, tornam-se necessários instrumentos para quantificarem e

qualificarem a maneira como as informações disponibilizadas são manipuladas, o

método de resolução da situação-problema, a atribuição de significados, o modo de

comparar e ordenar quantidades interpretando os resultados e expressando-os de

maneira organizada, ao que os PCN (BRASIL, 1997, p. 95) estipulam “que o aluno

saiba coletar, organizar e registrar informações por meio de tabelas e gráficos,

interpretando essas formas de registro para fazer previsões”.

Para uma correta aferição desses conhecimentos os instrumentos de avaliação

precisariam considerar os acertos e os erros, pois estes se traduzem em “informações

relevantes sobre o processo ensino-aprendizagem” (SILVA; BURIASCO, 2006, p. 3),

não ignorando desta maneira as estratégias que os alunos utilizam para resolverem os

problemas que lhes são propostos.

Infelizmente, apesar de concordarmos com a importância que o erro assume para a

compreensão do que o aluno assimilou do conhecimento e os conteúdos que necessitam

serem retomados, estamos cientes de que nas avaliações educacionais de larga escala

isso acaba sendo inviável, uma vez que as questões são normalmente propostas em

forma de múltipla escolha.

Nesse ponto nos deparamos com alguns dos cuidados necessários para que as

questões de múltipla escolha sejam bem formuladas: enunciados claros e simples,

abordagem de idéias relevantes e apresentação de todas as informações necessárias para

a sua resolução.

Assim, enquanto estávamos realizando uma pesquisa documental acerca das

questões com conteúdos de Estatística propostas nas provas do SARESP (Sistema de

Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) de 2005 e 2007, começamos

a perceber algumas falhas que, não sabemos se de fato ocorreram nas provas aplicadas,

ou se apareceram apenas nas provas divulgadas online. Daí, podemos dizer que o

objetivo deste trabalho foi analisar algumas falhas encontradas em algumas questões

envolvendo conteúdos de Estatística das avaliações do SARESP de 2005 e 2007.

�� R. F. Uma re-leitura de questões com conteúdos estatísticos no SARESP. Anais do IX Encontro Paulista 3de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1– 7. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Metodologia

Em primeiro lugar, verificamos o tipo de questão apresentado nessas duas

avaliações e constatamos que eram privilegiados os de análise de gráficos e/ou de

tabelas (Tabela 1)

Tabela 1: Distribuição de questões de avaliações do SARESP relacionadas com o conteúdo de Estatística nos anos de 2005 e 2007.

Tipo de questão Quantidade

Análise de gráficos 32

Análise de tabelas 22

Análise de gráficos e tabelas 10

Total 64

Fonte: Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. (SÃO PAULO, 2005, 2007)

Contudo, sabemos que a interpretação de gráficos e/ou tabelas não é suficiente

para considerar uma pessoa alfabetizada quantitativamente, além do que os PCN

(BRASIL, 1997) já evidenciam a necessidade do desenvolvimento de habilidades de

leitura e interpretação de textos, coleta e organização de informações criando registros

para a comunicação das mesmas, interpretação e elaboração de listas, capacidade para

produção de texto escrito para a interpretação de dados extraídos de fontes variadas de

informação.

Começando nossa análise, vemos na Figura 1 a Questão 14 proposta na avaliação

do ciclo III do SARESP 2005 (SÃO PAULO, 2005).

Figura 1: Questão 14, avaliação do ciclo III do SARESP 2005 (SÃO PAULO, 2005).

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Na questão 14, o enunciado cita que seis alunos escolheram a cor amarela,

entretanto o gráfico apresenta uma dúbia interpretação, pois existem duas colunas

amarelas: a primeira com seis quadradinhos pintados e a segunda com mais três, o que

nos dá um total de nove quadradinhos para seis alunos respondentes. Se essa for a forma

correta de se raciocinar, então a pergunta sobre a cor preferida fica sem sentido, pois já

seria a amarela... Outro problema é a mudança de cor nas colunas, mas, considerando a

faixa etária em que essa questão foi aplicada, podemos desconsiderar o rigor na

formatação em função da facilidade de visualização.

Encontramos o uso de cores distintas em um gráfico de colunas com apenas uma

variável pesquisada na questão 19 da avaliação do ciclo IV do SARESP de 2005e na

questão 14 da prova da manhã do ciclo III do SARESP 2007: vários tons de cinza na

questão 19 para representar a quantidade de óleo derramado no mar e cores diferentes

na questão 14 para representar os animais que haviam nascido no zoológico. Podemos

assinalar o fato de na questão 19 do ciclo IV do SARESP 2005 as colunas em vários

tons de cinza irem clareando em decorrência da passagem dos anos e não em função da

quantidade de óleo derramada, o que poderia configurar uma tentativa de expressar

pictograficamente, através do clareamento dos tons de cinza, que a quantidade de óleo

derramado foi maior ou menor.

Outra questão aplicada na avaliação do ciclo III do SARESP de 2005 que nos

chamou a atenção foi a questão 13 (Figura 3)

Figura 3: Questão 13, da avaliação do Ciclo III - SARESP 2005 (SÃO PAULO, 2005).

A questão fundamenta-se na relação entre porcentagem e a área preenchida em

um círculo, mas verificamos que as alternativas (B) e (C) apresentam áreas preenchidas

()*)+,-. /0 102 -34536. (0 /02 7)/84). (02 -,5/9:,. R. F. Uma re-leitura de questões com conteúdos estatísticos no SARESP. Anais do IX Encontro Paulista 5de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1– 7. (ISBN 978-85-98092-07-2)

bastante próximas, o que pode gerar confusões nos alunos que estão sendo avaliados;

apesar de na alternativa (C) parecer que estão representados os 70% solicitados.

Figura 4: Questão 26, da avaliação do ciclo III - SARESP 2005 (SÃO PAULO, 2005).

A questão 26 da prova do ciclo III do Ensino Fundamental do SARESP 2005

(apresentada na Figura 4) apresenta no enunciado três estilos musicais: samba, rock e

romântica, todavia a tabela apresenta somente dois estilos musicais, samba e romântica

e todos os gráficos também apresentam apenas esses dois estilos, não havendo qualquer

referência sobre o que possa ter ocorrido com o rock.

Figura 5: Questão 27, da avaliação da tarde do ciclo IV do SARESP 2007 (SÃO PAULO, 2007).

;<=<>?@A BD EDF @GHIGJA ;D BDF K<BLH<A ;DF @?IBMN?A R. F. Uma re-leitura de questões com conteúdos estatísticos no SARESP. Anais do IX Encontro Paulista 6de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1– 7. (ISBN 978-85-98092-07-2)

A questão 27 da avaliação do ciclo IV do SARESP 2007 (Figura 5) apresenta a

distribuição de analfabetos no território brasileiro e novamente utiliza um gráfico de

barras simples empregando duas cores (verde e vermelho), para designar as diferentes

regiões do Brasil. Se desconsiderarmos essa falha, imaginando que o uso de cores foi

apenas um recurso para “melhorar” a apresentação estética do gráfico, um outro ponto

aparece: no título do gráfico é salientado que se trata do analfabetismo por região e a

primeira barra tem o rótulo de Brasil, como se o país todo fosse uma das suas regiões!


Os mecanismos de avaliação da Educação Básica têm sido uma das principais

maneiras de diagnosticar a situação de fracasso escolar que atinge parte considerável

dos discentes, sendo estes usados para classificar a aquisição de conhecimentos e

habilidades, porém ao utilizar os mesmos instrumentos para todos desconsidera-se “que

cada pessoa tem o seu tempo para a aprendizagem, é dotada de identidade própria,

visões de mundo e padrões culturais próprios” (DISTRITO FEDERAL, 2006, p. 7).

Sobre estas questões, Bastos (2001, p. 125) já alertava que “a avaliação saiu das

salas de aula das escolas e está se tornando um instrumento para medir apenas

resultados e não processos educacionais”.

Mas, é importante lembrar que o diagnóstico do conhecimento construído pelos

alunos constitui importante ferramenta à prática pedagógica à medida que conduz a

necessidade de “repensar o como avaliar e as funções atribuídas à avaliação escolar é

um dos grandes desafios daqueles que ensinam matemática” (SILVA; BURIASCO,

2006, p. 2), pois “uma avaliação mal conduzida pode ser, ela mesma, um dos fatores

causadores do fracasso escolar” (BURIASCO, 2000 citado por SILVA; BURIASCO,

2006, p. 2).

Sobre isso Nascimento (2006, p. 4) adverte que “quem elaborou estava na sua sala

confortável, tranqüilo e com bastante tempo para pensar, enquanto a criança que vai

responder só teve a si e um tempo pré-fixado” e com tais pressupostos de vigilância

estruturando a elaboração de um método para quantificar e qualificar o que cada

discente absorve significativamente de conhecimento, julgamos ser da máxima

importância a elaboração de questões com objetivos específicos, enunciados precisos e

claros, substituindo falhas e situações dúbias.

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Referências

BASTOS, João Batista. Resenha do livro Políticas Educativas e Avaliação Educacional Resenha de: AFONSO, Almerindo Janela. Políticas Educativas e Avaliação Educacional. Revista Brasileira de Educação. São Paulo, n. 016, 2001, p. 125-128.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): Matemática. Brasília, DF, 141p., 1997.

DISTRITO FEDERAL. Secretaria de Estado de Educação do Distrito Federal. Diretrizes para Avaliação da Aprendizagem. 2. Ed., Brasília, Secretaria de Estado de Educação, 2006. Disponível em: <www.se.df.gov.br/gcs/file.asp?id=8984bW Scdeef dgh15 de janeiro, 2007.

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SAMESHIMA, D. C. T. Compreendendo a Avaliação da Aprendizagem Matemática. In: Anais do III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM). Águas de Lindóia/SP: SIPEM, 2006, 14p.

SÃO PAULO (Estado) Secretaria de Estado da Educação. Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo 2005 (SARESP): Versões das provas por séries. Disponível em:<http://saresp.edunet.sp.gov.br/2005/subpages/versoes_provas_séries.htmlbW Scdeef

em: 30 de maio, 2007.

SÃO PAULO (Estado) Secretaria de Estado da Educação. Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo 2007 (SARESP): Versões das provas por séries. Disponível em: <http://saresp.edunet.sp.gov.br/2007/subpages/provas.htmlbWAcesso em: 04 de março, 2008.

SILVA, M. C. N.; BURIASCO, R. L. C. Produção escrita em Matemática: Algumas Reflexões. In: Anais do III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM) Águas de Lindóia/SP, 2006.

SILVA, N. M. A. Matemática e educação matemática: re(construção) de sentidos com base na representação social de acadêmicos. In: Anais da XXVII Reunião Anual da Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação (ANPEd),Caxambu/MG: 2004.

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WEBQUEST: BOLA DE FUTEBOL E SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS,

ALGUMA COISA EM COMUM? UMA EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO

ENSINO MÉDIO

Clarice Silva FERNANDES – PUC /SP ([email protected]�Elen Gomes Leite Santiago da SILVA – PUC /SP ([email protected]�

Fábio do PRADO – PUC /SP ([email protected]�

Resumo: Este artigo tem por objetivo apresentar parte de nossa pesquisa a respeito de uma atividade WebQuest sobre Geometria Espacial cuja finalidade foi analisar suas possibilidades e dificuldades em desenvolvê-la com o recurso Internet nas aulas de Matemática do Ensino Médio. Na construção dessa WebQuest – que intitulamos por “Bola de futebol tem a ver com Matemática?” e disponível no site www.webquestboladefutebol.com.br � ��

potencialmente rico para a abordagem do tema Sólidos Arquimedianos. Embora este conteúdo não conste explicitamente do currículo da escola básica, ele possibilita a aplicação de noções geométricas notadamente às relativas aos poliedros regulares; além disso, esses sólidos têm larga aplicação em outras áreas do conhecimento como Química, Física, Artes, Arquitetura, entre outras. Na construção dessa WebQuest evidenciamos as características propostas por Bernie Dodge – professor de Tecnologia Educacional da San Diego State University, nos EUA, e criador desta metodologia de trabalho – em cada fase da atividade. Já ao analisar os resultados desta atividade, procuramos confrontar as evidências observadas em cada fase de aplicação com o que Bernie Dodge propõe que seja realizada em cada fase. Ressaltamos que nossa WebQuest, utilizada no ensino dos Sólidos Arquimedianos, favoreceu o trabalho em grupo, a criatividade e o uso direcionado da Internet, possibilitando a obtenção de informações atuais e verídicas uma vez que os sites pesquisados foram previamente selecionados. A metodologia WebQuest foi criada em 1995 e atualmente é utilizada em diversos países como Estados Unidos, Canadá, Islândia, Austrália, Portugal e Brasil, entre outros. Nossa pesquisa encontra-se em fase de conclusão.

Palavras-chave: WebQuest, Bola de Futebol, Geometria, Sólidos Arquimedianos, Internet.

Financiamento: Secretaria de Educação do Estado de São Paulo.

Atualmente, é nítida a presença das diversas tecnologias na vida de todo

indivíduo. Seja nos códigos de barras no supermercado, na evolução dos aparelhos em

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um hospital ou mesmo dentro de casa, na facilidade e economia de tempo ao utilizar um

caixa eletrônico, nas diversas possibilidades de comunicação com pessoas que estão do

outro lado do mundo, ou mesmo de saber, em tempo real, o que acontece em qualquer

parte do mundo.

Diante de todas essas possibilidades, originadas das tecnologias, é impossível o

professor fechar os olhos e não utilizá-las em suas aulas, pois somente “parando no

tempo”, ele pode ignorá-las. O educador deve acompanhar essas evoluções, pois os

alunos, em suas buscas incessantes de saber, não deixam escapar nenhuma destas

inovações, tendo em vista que nasceram na sociedade da informação.

Embora haja discursos retrógrados a respeito do uso da Informática como tornar

alunos e professores meros repetidores de tarefas, é importante que, por outro lado, não

nos prendamos a argumentos que apontam o “computador” como a solução para os

problemas educacionais. Borba e Penteado (2005) esclarecem que sempre há uma mídia

envolvida na produção de conhecimento e que o acesso à informática deve ser visto

como um direito do estudante, devendo esse ter a oportunidade de usufruir de uma

educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”.

Tal alfabetização deve ser vista não como um mero curso de informática, mas sim,

como um aprender a ler essa nova mídia.

Acreditamos que o uso destas mídias em sala de aula, desperte o interesse dos

alunos e possibilite que estes vivenciem situações que seriam impossíveis sem o uso do

computador, como por exemplo, visualizar objetos tridimensionais, visto que os alunos

têm muita dificuldade nesse sentido, quando contam somente com o recurso dos livros

didáticos, o que acaba acarretando muitas dificuldades no ensino da Geometria

Espacial, tanto para o aluno quanto para o professor.

A decisão de utilizar a atividade WebQuest neste trabalho, deu-se por ser uma

atividade que, segundo Silva (2006), propicia ao aluno a construção do conhecimento,

num ambiente colaborativo de aprendizagem e sob a orientação do professor, utilizando

todos os benefícios destas novas tecnologias e, em especial, a Internet. Esta metodologia

foi criada por Bernie Dodge (1995), segundo quem “WebQuest é uma atividade

investigativa, em que alguma ou toda a informação com que os alunos interagem

provém da Internet”.

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Já a decisão por trabalhar o conteúdo Sólidos Arquimedianos, deu-se por ser um

assunto pouco trabalhado nas escolas de educação básica e porque quase não há

trabalhos de pesquisas nesta área. Talvez a falta de trabalhos sobre o conteúdo “Sólidos

Arquimedianos” justifique o fato de muitos professores com quem temos conversado e

que lecionam no Ensino Médio, desconhecerem a existência destes sólidos. Os “Sólidos

Arquimedianos” são poliedros semi-regulares obtidos por meio de secções feitas nos

Poliedros Regulares, portanto faz parte do conteúdo de Geometria Espacial.

Embora este conteúdo não conste explicitamente do currículo da escola básica, ele

possibilita a aplicação de noções geométricas notadamente às relativas aos poliedros

regulares.

Para nosso estudo, escolhemos a bola de futebol como tema gerador da

WebQuest, porque este é o Sólido Arquimediano que está presente em diferentes

situações do cotidiano.

A análise da atividade WebQuest, será feita na tentativa de responder a questão de

pesquisa que norteará este trabalho: Quais as principais dificuldades e possibilidades

que o uso da atividade WebQuest pode ter no ensino dos Sólidos Arquimedianos?

A escolha deste tema de pesquisa deve-se à preocupação com a desmotivação que

temos notado na maioria dos alunos em nossas vivências educacionais, e também temos

percebido que muitos deles não sabem efetuar uma pesquisa de qualidade na Internet,

lêem de maneira superficial as informações, não se preocupam com a veracidade das

mesmas e nem sempre respeitam e creditam as fontes utilizadas. Acreditamos que por

meio da atividade WebQuest, muitas dessas dificuldades possam ser amenizadas, o que

é confirmado por Moran (2007) quando diz que: “além do acesso aos grandes portais de

busca e de referência na educação, uma das formas mais interessantes de desenvolver

pesquisa em grupo na Internet é a WebQuest.”

Um dos problemas encontrados com o uso da Internet é a resistência de alguns

professores para utilizá-la, pois com a sua utilização, o professor passa a não ser mais o

dominador do saber, pois nem sempre tem respostas prontas para as mais diferentes

situações encontradas com esta tecnologia. Por outro lado, o professor aberto a estas

tecnologias, tem a oportunidade de favorecer o trabalho em grupo, o diálogo entre os

alunos e aprender com este constante processo de aprendizagem, no qual, muitas vezes

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o aluno tem mais facilidades para aprender, pois anseia navegar pelas infindáveis

informações encontradas na Internet.

Atualmente devido a Internet, é possível que os alunos possam em ambientes

virtuais de aprendizagens, além de pesquisar em várias páginas, participar e expor suas

idéias em fóruns, sala de bate-papos e emails, entre outros. Moran (2000) não ignora

que é muito comum e fácil a dispersão dos alunos perante as tantas figuras, links e

hiperlinks. Portanto, acreditamos que o professor deve buscar um equilíbrio em sua

metodologia, ou seja, nem impor demais o processo, que amarra o aluno e nem deixar

que a aula e pesquisa aconteçam livres demais, a ponto de o aluno desviar o foco de sua

pesquisa.

Compete ao professor selecionar as informações autênticas, que são as fontes

confiáveis que serão utilizadas pelos alunos. Entretanto, deve estar atento, pois segundo

Moran (2000), há uma quantidade de informação quase inesgotável acessível pela

Internet, portanto o professor deve saber gerenciar essa quantidade de informação e,

selecionar apenas as que têm qualidade e que sejam significativas para o assunto

relacionado e por meio das informações adquiridas dessas fontes, o aluno poderá usar

sua criatividade e interagir com seus colegas para desenvolver um produto pré-definido.

Normalmente a WebQuest é elaborada por um professor e, deve partir de um

tema. Deve-se propor uma tarefa que envolve consultar fontes de informação

selecionadas anteriormente pelo professor.

Segundo Burnier (2001), a WebQuest é uma maneira de garantir acesso a

informações autênticas e atualizadas, promover aprendizagem cooperativa, desenvolver

habilidades cognitivas, transformar ativamente informações, incentivar a Criatividade,

favorecer o trabalho de autoria de professores e compartilhar os saberes pedagógicos.

½ ËÈÌÍÎÈÏÐ Ñ ÒÓÔÏÐÕÎÖ×Ø ÏÈÙÎÔ×Ó ÎÚØ ÈÏÐÕÎÐÎÕØ ÛÎÈ Òontém os seguintes

ÈÜÈÚÈÔÐÓÏÝ introdução, tarefa, processo, recursos, orientações, avaliação e conclusão.

¼ÓÏÏØ ËÈÌÍÎÈÏÐ ÐÈÚ ÒÓÚÓ ÐÈÚØ ÙÈÕØ×ÓÕ ÞßÓÜØ ×È àÎÐÈbol tem a ver com a

áØÐÈÚâÐãÒØäå È ÈÏÐâ ×ãÏæÓÔÖçÈÜ ÔÓ ÏãÐÈÝ www.webquestboladefutebol.com.br Â

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ÚØãÏ æÕÈÒãÏØÚÈÔÐÈÀ ÓÏ Þ¿êÜã×ÓÏ ½ÕÛÎãÚÈ×ãØÔÓÏå æØÕØ alunos do Ensino Médio, de uma

ÈÏÒÓÜØ æëÌÜãÒØ ×Ø Òã×Ø×È ×È ¿ìÓ ÉØÎÜÓÀ ÌÎÏÒØÔ×Ó ×ÈÏenvolver noções relativas a esse

ÐêæãÒÓ ×È ÇÈÓÚÈÐÕãØÀ ÌÈÚ ÒÓÚÓ ØÜÙÎÚØÏ ÒÓÚæÈÐíÔÒãØÏ æara o trabalho geométrico tais

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c�� ý�� ý ��ý��ý�� ý �ý��õ ý��ý� em Matemática, princípios das

c��ý� �ý��c�� c�� ý c��õ ý��ý outras.

ï� �ý�� ý ��õ �� c�� Eý�� explicativo respondendo às

ý�� p�ý cE�� ý �ý�� ý� �� pue evidenciam qual a relação

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e�� ý ��ýe��õ �� ý� c�� ý ý�ýE� � �s figuras geométricas que as

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ý��eý�ýc� �� ý��c�� c�Eýc��ý�� c��ídos, ou não, por eles.

ÿ �e�ý�� ý�� ý��ý ��e��E� � ��ý�� c�� ýssa metodologia de ensino

W�� pode colaborar para o desenvolvimento de conteúdos de Matemática junto a

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-!1!-201)3!$'% #.! !2)4)'!'0 '0 50&6#)&! 0 0"!/%1!78%9

A WebQuest: Bola de futebol tem a ver com Matemática resume-se em:

na Introdução é feita uma motivação para que os alunos tenham o desejo e

interesse em resolver a atividade WebQuest. Esta motivação é feita por meio da

contextualização do conteúdo com as mais diferentes áreas. Ao clicar nos nomes das

áreas, uma nova página da Internet será aberta sobre o assunto específico.

nas tarefas, alma da WebQuest, são os produtos finais que os alunos apresentarão

ao professor e demais alunos da classe. A atividade 1 tem por objetivo a elaboração de

um panfleto contendo informações, que os alunos julgarem mais importantes,

relacionando o modelo da bola de futebol com os Sólidos Arquimedianos e as suas

características.

a atividade 2 tem por objetivo a construção do Icosaedro Truncado, mais

conhecido como “modelo da bola de futebol”, por meio de papel cartão e a divisão de

segmentos realizada com o auxílio de régua não graduada e compasso, propiciando que

os alunos descubram por meio dos recursos, em quantas partes devem dividir cada lado

:;<=>=?;@A BC @CD @GHI>A ;C JC HC @C K L<>?MA :C N;BQUEST: bola de futebol e sólidos arquimedianos, alguma coisa em comum? Uma experiência com alunos do Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-10. (ISBN 978-85-98092-07-2)

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dos polígonos do icosaedro que originarão pentágonos e hexágonos do modelo da bola

de futebol. Em seguida, deve-se dividir, no mesmo número de partes, os lados de um

triângulo eqüilátero. Para finalizar esta tarefa, os alunos devem elaborar um “Programa

de construção” (passo a passo) de como dividir um segmento em partes iguais (na

quantidade encontrada para dividir os hexágonos e pentágonos da bola de futebol).

a atividade 3 tem por objetivo propiciar condições para os alunos construírem um

jogo, chamado “Sólidos Arquimedianos”. Por meio deste jogo, os alunos têm a

oportunidade de construir os seus conhecimentos brincando, tornando assim a

Matemática prazerosa e atrativa.

o processo de avaliação deverá considerar todo o decorrer da atividade WebQuest

e, deverá ser realizada pelos alunos e pelo professor, por meio das rubricas de avaliação

por nós criadas. Nestas rubricas de avaliação serão considerados aspectos como

criatividade, coerência e estética, em todas as atividades realizadas e, a participação,

desempenho e interesse individual e do grupo na realização das tarefas.

A WebQuest: “Bola de futebol tem a ver com Matemática?” foi desenvolvida com

alunos da segunda série do Ensino Médio, em uma Escola da rede pública da cidade de

São Paulo. O laboratório de informática possuía dez computadores e a classe tinha 32

alunos freqüentes. Devido à capacidade do laboratório de informática, dividimos

inicialmente a sala em dois grupos de 16 alunos e trabalhamos com 2 alunos por micro.

Enquanto estávamos com um grupo no laboratório fazendo a pesquisa e anotando as

informações o outro grupo estava na sala de aula, separados em grupos com quatro

pessoas e fazendo as atividades propostas na WebQuest: folheto explicativo

relacionando a bola de futebol com os Sólidos Arquimedianos, construção do modelo

da bola de futebol com o papel cartão e a construção do jogo “Sólidos

Arquimedianos”. Para cada encontro foram gasto duas aulas (100 minutos).

No primeiro encontro explicamos para os alunos o que é uma atividade

WebQuest e porque estávamos interessados no desenvolvimento dessa atividade com

eles. Depois, os alunos acompanharam a introdução da WebQuest, na qual observaram a

relação de Sólidos Geométricos na Biologia, na Química, na Arquitetura, na Física e nas

Artes. Tiveram contato também com a primeira tarefa: elaborar um folheto explicativo

OPQRSRUPVX YZ VZ[ V\]^SX PZ _Z ]Z VZ ` bQSUdX OZ fPBQUEST: bola de futebol e sólidos arquimedianos, alguma coisa em comum? Uma experiência com alunos do Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-10. (ISBN 978-85-98092-07-2)

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relacionando a bola de futebol com a matemática. Alguns grupos conseguiram até

observarem o processo com os passos detalhados de como realizar a primeira tarefa.

A partir do segundo encontro dividimos a classe em dois grupos de 16 alunos. Os

alunos navegaram no processo mais detalhadamente para a realização da tarefa 1.

Fizeram as suas anotações e traçaram estratégias de como eles fariam o seu folheto

seguindo as questões norteadoras e entraram nos sites propostos.

O terceiro encontro foi realizado na sala de aula. Os grupos apresentaram para os

colegas os seus respectivos folhetos. Logo após, fizemos uma discussão sobre quais

informações eram importantes e relevantes para colocar no folheto único da sala.

Pedimos para que um grupo voluntário ficasse responsável pela confecção desse

folheto.

No quarto encontro os alunos acessaram a tarefa 2: construção de um modelo da

bola de futebol utilizando papel cartão. Os grupos assistiram a um vídeo que está

disponível no site sobre os sólidos geométricos e sobre a montagem de um dodecaedro

nos moldes da nossa atividade. Os alunos também traçaram no papel cartão solicitado

no encontro anterior, os modelos dos sólidos que compõem a bola de futebol, que são

12 modelos de pentágono regular de aresta 10 cm e 20 modelos de hexágono regular de

aresta 10 cm. Recortaram esses modelos e deixamos para montarmos no próximo

encontro.

No quinto encontro montamos o modelo da bola de futebol no papel cartão com

os modelos recortados anteriormente. Em seguida, continuamos a pesquisa no

laboratório de informática para descobrir como seccionar a face do triângulo eqüilátero

que compõe o icosaedro, na sua terça parte, com régua não graduada e compasso.

O sexto encontro aconteceu no laboratório de informática e começamos a

trabalhar a terceira e última tarefa: construir o jogo “Sólidos Arquimedianos”. Os alunos

pesquisaram nos sites selecionados como é esse jogo, a composição de suas cartas,

quais as regras para as jogadas, seguindo os modelos propostos das cartas. A tarefa foi

concluída fora da escola e apresentada no encontro seguinte.

No sétimo encontro os alunos apresentaram o jogo pronto e pedimos que eles

jogassem algumas partidas para testarem os conhecimentos adquiridos no decorrer da

atividade WebQuest sobre os Sólidos Arquimedianos.

ghijkjlhmn oq mqr mtuvkn hq wq uq mq x yiklzn gq {hBQUEST: bola de futebol e sólidos arquimedianos, alguma coisa em comum? Uma experiência com alunos do Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-10. (ISBN 978-85-98092-07-2)

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No oitavo encontro foram entregues aos alunos as rubricas de avaliação que

constam no site para que respondessem. Depois, solicitamos que os alunos

respondessem individualmente o que mais lhe chamou atenção nessa atividade

WebQuest, o que lhe acrescentou, o que mais gostou de fazer, o que não apreciou,

enfim, uma avaliação pessoal da nossa WebQuest.

O processo de aplicação da WebQuest foi observado por nós professores que a

construímos. Por meio destas observações foram nítidas as vantagens e desvantagens de

trabalhar com esta atividade e, da própria WebQuest por nós construída.

Na tentativa de responder a questão de pesquisa deste trabalho –Quais as

principais dificuldades e possibilidades que o uso da atividade WebQuest pode ter

no ensino dos Sólidos Arquimedianos?–, algumas observações podem ser feitas com

relação ao que foi observado e sobre a análise que estamos realizando sobre a

construção e aplicação da atividade. Com relação à utilização da atividade WebQuest,

acreditamos que o fato da utilização da Internet realmente proporcionou em

determinados momentos, certa distração e dispersão entre as duplas, o que foi sanado

com a mediação do professor. Por outro lado, foi por meio do recurso Internet que os

alunos conseguiram visualizar as figuras tridimensionais, situação esta que os alunos

têm muita dificuldade ao observar em livros, por terem apenas duas dimensões.

Embora alguns pensadores acreditam que a WebQuest é uma atividade que o

aluno consegue desenvolvê-la sozinho, sem o apoio e a presença do professor, foi nítida

a importância da mediação pedagógica do professor na atividade, inclusive há um site

que os alunos deveriam pesquisar que está em inglês, o qual eles não precisam

necessariamente ler o conteúdo, bastava que observassem as figuras sobre a evolução da

bola de futebol, mas uma dupla quando abriu a página e viu que estava em inglês,

disseram que iriam fechá-la, pois não tinham condições de pesquisar naquela fonte,

bastou que o professor dissesse que eles deveriam apenas observar as figuras para eles

abrirem o site novamente e realizar a pesquisa com muito interesse.

Alguns dos alunos não haviam percebido, a princípio, que a bola de futebol era

composta por pentágonos e hexágonos, novamente foi devido a mediação pedagógica

do professor que possibilitou que todos chegassem a esta conclusão. Sendo que os

componentes de uma dupla especifica, necessitaram contar as figuras para perceber a

|}~��}�� }� �� ~�� |� �}BQUEST: bola de futebol e sólidos arquimedianos, alguma coisa em comum? Uma experiência com alunos do Ensino Médio. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1-10. (ISBN 978-85-98092-07-2)

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presença de mais de uma figura geométrica, porém esta situação serviu para motivá-las

em responder as questões norteadoras para a composição do folheto.

Uma das dificuldades encontradas na aplicação da WebQuest: Bola de futebol tem

a ver com Matemática? foi a quantidade de tarefas propostas aos alunos, o que a tornou

um pouco cansativa, principalmente porque eram poucos computadores e eles tiveram

que revesar-se entre sala de aula e laboratório de informática. Talvez se ainda não

tivéssemos aplicado esta atividade, seria conveniente excluir a última tarefa, que é o

jogo.

A maior dificuldade que vivenciamos na elaboração de nossa WebQuest foi

construir tarefas que realmente fossem criativas, nas quais os alunos precisassem agir

como construtor de seu conhecimento, e que não pudessem copiar e colar as

informações sem antes transformá-las, sem dar suas reais contribuições.

Assim como sugere Bernie Dodge, nossa WebQuest: Bola de futebol tem a ver

com Matemática? tem um link chamado “ajuda ao professor”, o qual contém

informações sobre a aplicação e futuramente, os resultados que obtivemos nesta

atividade.

Referências

BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática. 3ª ed., 1ª reimp., Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: MEC/SEMT, 1999.

BURNIER, Suzana. Pedagogia das Competências: conteúdos e métodos. In: Boletim Técnico do SENAC, Vol 27, n° 3, setembro/dezembro de 2001. Disponível em: <http://webquest.sp.senac.br/� ��

FERNANDES, Clarice Silva; PRADO, Fábio do; SILVA, Elen Gomes Leite Santiago. WebQuest: Bola de futebol tem a ver com Matemática? Disponível em: <http://www.webquestboladefutebol.com.br/ ��

MORAN, José Manuel. A Internet na Educação. Entrevista dada ao PortalEducacional, em 15 de junho, 2000. Disponível em: <http://www.eca.usp.br/prof/moran/entrev.htm ��

MORAN, José Manuel. Como utilizar as tecnologias na escola. Disponível em: <http://www.eca.usp.br/prof/moran/utilizar.htm ��

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SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática. São Paulo: SEE, 2008

SILVA, Maurício Barbosa da. A Geometria Espacial no ensino Médio à partir da Atividade WebQuest: Análise de uma experiência. 2006, 126p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: PUC-SP

´µ¶·¸¹º »¼ ½¼¾ ¿¹¸¿ÀÁ¹º Â¼ ´¼ Ã ÄÅ¶µÀ¸º ¹¼ Ä¼ Á¼ ´Æmo vou produzir minha Webquest? Estudo sobre uma ferramenta de autoria. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–13. (ISBN 978-85-98092-07-2)


COMO VOU PRODUZIR MINHA WEBQUEST?

ESTUDO SOBRE UMA FERRAMENTA DE AUTORIA.

Vanessa de Paula CINTRA – UFU ([email protected]ÇFernando da Costa BARBOSA – UFU ([email protected]Ç

Arlindo José de Souza JUNIOR – UFU ([email protected]Ç

Resumo: Neste artigo apresentamos a nossa reflexão sobre um trabalho colaborativo desenvolvido a partir de uma parceria da Universidade Pública com uma Instituição privada em busca de criar/implementar um software gerador de WebQuest,desenvolvida por Bernie Dogde(1995), o qual a define como sendo uma sistemática de pesquisa orientada, na qual algumas ou todas as bases de conhecimento com as quais os aprendizes interagem são originadas de recursos da Internet. É uma pesquisa orientada, na forma de páginas na Web, que busca nesses novos avanços da comunicação e da tecnologia fazer melhor uso da rede mundial de computadores no processo de ensino e aprendizagem. No presente artigo, abordaremos discussões teórico-metodológicas sobre o processo de elaboração da ferramenta de autoria Author. Em busca de descobrir o perfil dos professores que utilizam tecnologias em sala de aula, investigamos, problematizamos e articulamos nossos interesses e objetivos, por meio de diálogos, questionários e histórias compartilhadas por participantes de uma Comunidade Virtual sobre o tema WebQuest. Com base nos dados obtidos na pesquisa foi possível linear o formato do software de autoria Author, uma ferramenta geradora de WebQuest que satisfaz as necessidades dos criadores de WebQuest, oferece além de um layout e recursos de fácil manuseio ajudas de utilização do software e também constitui-se em um tutorial sobre WebQuest com apoio teórico, tudo fundamentado na opinião de professores/autores de WebQuest. Entendemos que o grande desafio é continuar aprimorando permanentemente a ferramentas educativas que possibilitem tornar os professores produtores de saberes em diferentes ambientes com Tecnologias da Informação e Comunicação.

Palavras-chave: Webquest, Comunidade Virtual, Formação de Professores, Tecnologia, Software de Autoria (Author).

Financiamento: CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico)

ÈÉÊËÌÍÎ ÏÐ ÑÐÒ ÓÍÌÓÔÕÍÎ ÖÐ ÈÐ × ØÙÊÉÔÌÎ ÍÐ ØÐ ÕÐ ÈÚmo vou produzir minha Webquest? Estudo sobre uma ferramenta de autoria. Anais do IX Encontro Paulista

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de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEM-SP, 2008, pp. 1–13. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Com a informatização, programas de ensino através do computador e as mudanças

exigidas pela sociedade colocam os professores – de matemática - frente a desafios que

exigem respostas rápidas e posturas inovadoras. As mudanças ocorreram tão

rapidamente que pouco se pensou no impacto possível, seja ele social ou educacional.

Tão pouco se pensou na necessidade de modificar a abordagem educacional posto que

tenta-se utilizar o método de ensino tradicional em um ambiente não tradicional. Nesse

sentido, Penteado (2005), diz que

O movimento, a velocidade, o ritmo acelerado com que a Informática imprime novos arranjos na vida fora da escola caminham para a escola, ajustando e transformando esse cenário exigindo uma revisão dos sistemas de hierarquias e prioridades tradicionalmente estabelecidos na profissão docente. (p. 284)

O presente artigo apresenta resultados de pesquisa a partir de reflexões e

investigações no processo de produção e elaboração de um software gerador da

metodologia de ensino denominada WebQuest desenvolvida por Bernie Dogde (1995), o

qual a define como sendo uma sistemática de pesquisa orientada, na qual algumas ou

todas as bases de conhecimento com as quais os aprendizes interagem são originadas de

recursos da Internet. É uma pesquisa orientada, na forma de páginas na Web, que busca

nesses novos avanços da comunicação e da tecnologia fazer melhor uso da rede mundial

de computadores no processo de ensino e aprendizagem.

Em nossas escolas, estas páginas estão sendo criadas com as ferramentas

disponíveis no mercado tais como os editores de HTML e programas para edição de

imagens. Isto é um grande complicador, pois é cada vez mais fundamental que nossos

alunos tenham acesso ao universo web e nossos professores, pouco habituados com o

uso da informática, infelizmente, não possuem as habilidades necessárias para criar, eles

próprios, suas WebQuest.

A partir dessa reflexão elaboramos um projeto que possibilitasse o

desenvolvimento de uma Ferramenta de Autoria para Criação de Webquest – Author,

que através de uma interface amigável, procurasse orientar a construção de uma

determinada WebQuest. Essa ferramenta possibilita aos usuários, sem requisitar

conhecimentos avançados em informática, a criação de Webquest e apresenta a seguinte

estrutura:

Um módulo que ofereça toda a teoria e metodologia da Webquest;

ÛÜÝÞßàá âã äãå æàßæçèàá éã Ûã ê ëìÝÜçßá àã ëã èã Ûímo vou produzir minha Webquest? Estudo sobre uma ferramenta de autoria. Anais do IX Encontro Paulista

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Um módulo com exemplos de Webquest;

Um módulo para a criação, editoração das páginas web que compõem a Webquest;

Módulo para publicação da Webquest criada;

Um banco de dados com figuras para ilustrar a Webquest;

Um banco de dados com técnicas e estratégias de ensino;

A trajetória deste projeto teve início no segundo semestre de 2005 a partir da

estruturação de um grupo constituído por um professor da Universidade Federal de

Uberlândia, uma empresa privada, uma equipe pedagógica formada por dois alunos do

curso de licenciatura em Matemática e uma equipe tecnológica formada por dois alunos

do curso de Ciências da Computação da Universidade Federal de Uberlândia e dois

graduados em Ciência da Computação. Diante disso, é importante de ressaltar que este

artigo pretende apresentar o percurso percorrido pelos alunos do curso de licenciatura

em Matemática, equipe pedagógica.

Para a construção e elaboração da tecnologia software Author, dividimos em

etapas nossa pesquisa, tomando por base as palavras de KENSKI (2007, p. 24), que

define e exemplifica tecnologia como sendo

îïðñòóô õö ÷öø ùóòùúûóô üö îö ý þÿðïúòô óö þö ûö îCmo vou produzir minha Webquest? Estudo sobre uma ferramenta de autoria. Anais do IX Encontro Paulista

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um conjunto de conhecimentos e princípios científicos que se aplicam ao planejamento, à construção e a utilização de um equipamento em um determinado tipo de atividade. Para construir qualquer equipamento – uma caneta esferográfica ou um computador – os homens precisam pesquisar, planejar e criar o produto, o serviço, o processo. Ao conjunto de tudo isso, chamamos de tecnologias.

Iniciando a primeira fase do projeto, aprofundamos teoricamente sobre a

metodologia WebQuest em busca de um maior aprendizado sobre o tema. Em seguida

apresentamos para toda equipe com o intuito de socializar nosso conhecimento.

As fases seguintes retratam nossa busca em definir o ambiente de aprendizagem a

ser elaborado, pois sabemos que o desenvolvimento de um software educacional possui

características específicas e os requisitos de qualidade incluem o modelo

ensino/aprendizagem a ser utilizado pelo professor. A noção de ambiente de

aprendizagem é definida por Skovsmose (2000) quando se refere às condições postas

pelo professor para que os alunos possam desenvolver as suas atividades. A Resolução

de problemas, a História como recurso didático, a Modelagem e as TICs na Educação

Matemática são alguns exemplos.

A segunda fase da pesquisa se concretizou a partir de uma análise crítica de

alguns geradores de WebQuest disponíveis na Web. A Terceira fase, uma das mais

relevantes que será foco desse artigo, foi a análise critica de questionários realizados

com professores, que delineou o processo de construção do Author.

O contato com professores em diferentes localidades do Brasil que conhecem e

utilizam a metodologia de ensino, foi possível através da Comunidade Virtual

“WebQuest” disponível no Site de Relacionamento Orkut.

Na seguinte fase do projeto, trabalhamos em parceria com a equipe técnica,

realizando testes em busca de oferecer um feedback sobre o desempenho, limites e

potencialidades do software, aos programadores.

A quinta fase consistiu em escrever a Ajuda do Author, ou seja, escrever a ajuda

de como utilizar cada item disponível em cada tela e também a ajuda didática sobre a

metodologia WebQuest.

A sexta fase se deu a partir de buscas feitas em sites livres, imagens livres com

intuito de gerar um banco de imagens gratuitas para uso dos autores de WebQuest.

�� mo vou produzir minha Webquest? Estudo sobre uma ferramenta de autoria. Anais do IX Encontro Paulista

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A sétima e última fase, foi o acompanhamento durante o desenvolvimento de

WebQuest, dos alunos da disciplina Oficina I de Matemática da Universidade Federal de

Uberlândia, sob orientação do professor responsável pela referida disciplina.

A partir das análises dos geradores de WebQuest disponíveis na Web, percebemos

a necessidade de uma pesquisa mais aprofundada, a cerca de entender e perceber quais

as potencialidades e as dificuldades que os professores enfrentam ao construir uma

WebQuest. Foi então que tivemos a idéia de reunir um grupo de professores que já

conhecesse/utilizasse essa metodologia. Pensamos que a melhor maneira de isso ocorrer

seria através do site de Relacionamento Orkut, que disponibiliza uma Comunidade

Virtual nomeada WebQuest. Essa Comunidade Virtual possui diversos professores

como participantes e um fórum de discussão.

Com o uso da metodologia de 'fóruns', disponível na Comunidade Virtual, foi

possível estimular e manter discussões tematizadas e encadeadas sobre o tema

WebQuest. Ao mesmo tempo em que se pode preservar de forma organizada e

facilmente acessível todo o conteúdo discutido, a Comunidade Virtual oferece um

ambiente colaborativo de discussões e troca de saberes, de forma a tecer uma

rede/malha virtual. Segundo LÉVY (1998, p. 2)

(...) a rede é, antes de tudo, um instrumento de comunicação entre pessoas, um laço virtual em que as comunidades auxiliam seus membros a aprender o que querem saber. Os dados não representam senão a matéria-prima de um processo intelectual e social vivo, altamente elaborado. Enfim, toda inteligência coletiva do mundo jamais dispensará a inteligência pessoal, o esforço individual e o tempo necessário para aprender, pesquisar, avaliar e integrar-se-á diversas comunidades, sejam elas virtuais ou não.

Diante de todo o entrosamento e retorno dos professores, percebemos uma grande

oportunidade de cadastrarmos os professores que utilizam novas tecnologias para o

auxílio do processo de ensinar e aprender.

Em uma das discussões apresentadas no fórum da Comunidade Virtual,

apresentamos perguntas em busca de respostas significativas e relevantes capazes de

nos auxiliar na estruturaçao do gerador de WebQuest. Abaixo apresentamos algumas

dessas falas:

Faço parte de um grupo de pesquisa sobre WebQuest.

Pretendemos criar um gerador de WebQuest e gostaria de contar com a ajuda de vocês. Deixe comentários do tipo: Onde encontra

�� !� �� " #$�� #� � �%mo vou produzir minha Webquest? Estudo sobre uma ferramenta de autoria. Anais do IX Encontro Paulista

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maior dificuldade ao criar uma WebQuest? O que não poderia faltar em um gerador de WebQuest? Acha importante um banco de dados? Gostaria de trabalhar online ou offline com o gerador? Sinta-se a vontade em dar sugestões construtivas, serão bem vindas!!! (Vanessa)

Obtivemos ótimas contribuições, como pode ser visto abaixo nas falas que não

foram alteradas, de alguns participantes da Comunidade Virtual os quais tem sua

identidade mantida em sigilo:

Ótima idéia. Sou tutora de um curso EAD sobre WebQuest e vamos usar o PHPWEBQUEST para criação e publicação dos trabalhos. PHPWebquest é um programa educativo criado pelo professor espanhol Antonio Temprano e traduzido para o português pelo professor Eziquiel Menta (EscolaBR) para criar Webquest, Miniquest e Caças ao Tesouro sem a necessidade de escrever o código HTML ou utilizar programas de edição de páginas web. O usuário pode editara ou apagar as atividades criadas por ele. Estou aguardando mais esta ferramenta, pois a principal dificuldade dos professores está na construção de páginas para web e sua publicação. Uma ferramenta que dispense o conhecimento de HTML e de fácil publicação é o ideal. O PHPWebquest é bastante intuitivo e simples. A simplicidade é o principal neste tipo de ferramenta. Estou aguardado novidades e torcendo pelo sucesso. Parabéns pela iniciativa! Abraços. (Participante 1)

Bom, respondendo a Vanessa, a aplicação geradora de webquest a meu ver deve ter sim um banco de dados que armazene as webquests prontas e os recursos (figuras, sons, textos, etc.) para serem eventualmente reaproveitadas em outras webquests.Também acredito que deva funcionar em rede, online, que pode ser na intranet da escola ou disponível via internet, a questão é fazer com que vários alunos e professores tenham acesso, o que já nos leva a pensar que tem que usar a web. (...) Fico feliz em ver esta Comunidade Virtual bem ativa todos interessados em trocar idéias, expor projetos, parabéns a todos! Abraços. (Participante 2)

Diante da abertura e do feedbak que recebemos dos professores participantes da

Comunidade Virtual, efetuamos contatos com todo os participantes através de conversas

informais, solicitamos o email e nome completo dos participantes. Obtivemos um

grande retorno e assim seguimos em frente com nosso objetivo.

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Com todos esses contatos recolhidos, elaboramos um questionário virtual, o qual

conseguiamos enfocar diferentes aspectos como: faixa etária, nível escolar,

conhecimento em informática etc. Enviamos emails a todos, explicando sobre nossa

pesquisa e pedindo a participação de todos.

Ainda em busca de maiores informações e sugestões, enviamos o mesmo

questionário para professores conhecidos e indicados por outros professores da nossa

Região de Uberlândia –MG os quais conhecem/utilizam informática em sala de aula.

A partir de uma pesquisa aprofundada dos dados coletados efetuamos uma análise

dos mesmos em busca de elaborar o perfil do futuro usuário do Author. A seguir os

dados coletados das principais questões do questionário enviado aos professores –

nossas amostras são, na maioria, da idade de 20-30 anos, como se pode perceber no

gráfico 1.

Esse resultado não implica que a metodologia WebQuest seja conhecida apenas

por profissionais jovens. As faixas etárias 31-40 e 41-50, por exemplo, são de mesma

quantidade, sua soma é superior ao grupo de 20-30, ou seja, WebQuest também é de

conhecimento de profissionais mais experientes, com diversas bagagens de

conhecimento teórico e prático, encontrando-se em constante aprendizado em busca de

se aperfeiçoar e atualizar com as novas “tendências” de ensino. Isso contraria muito a

opinião geral de que profissionais com muitos anos de experiência não costumam

procurar crescimento profissional.

Os professores em questão possuem, além da graduação, alguma pós-graduação,

somente uma parcela pequena ainda não concluiu a graduação, como se pode ver no

gráfico 2. Esse tipo de informação nos aponta para um grupo de pesquisadores que se

preocupam com sua formação e com a qualidade de ensino.

Ao questionar os professores se atuam em rede pública e/ou particular (Gráfico 3),

descobrimos que quase sua totalidade atua na rede pública e o nível de maior atuação é

o ensino fundamental (Gráfico 4).

Uma esmagadora quantidade de profissionais utiliza o computador como sendo

para o trabalho. Considerando assim, questionamos quais softwares eram mais usados

por eles, os quais destacamos o Power Point e Word, como demonstra o gráfico 5.

A disponibilidade de computadores (Gráfico 6) com acesso a internet foi uma

surpresa, cerca de 73% dos entrevistados confirmaram o acesso a internet. A maioria

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das escolas utiliza com os alunos para a liberação do uso dos computadores (Gráfico 7)

a identificação através de usuário e senha, o que, muitas vezes limita o professor, pois

tanto aluno como educador utilizam a mesma senha padrão que não dá suporte a

instalação de softwares ou alteração de configuração colocando o professor a mercê do

técnico de laboratório.

Aos programadores uma visão das estruturas físicas dos laboratórios oferece o

subsidio inicial para estabelecer o nível de programa suportável por essas escolas.

Quanto à metodologia WebQuest, os questionários respondidos apontaram que a

maioria conhece, e os que não conheciam estavam interessados em conhecer. Ninguém

demonstrou não ter interesse em conhecer, como demonstra o gráfico 8.

Outras questões sobre a metodologia foram abordadas, revelando que, por incrível

que pareça, a maioria conheceu a mesma por links na web. Cerca de 69% dos

entrevistados afirmaram já ter criado alguma WebQuest, e suas maiores dificuldades

estavam na criação do conteúdo da WebQuest e na montagem de layout ou modelo.

Quanto aos que não fizeram uma WebQuest, ainda tinham seu maior problema

relacionado ao tempo e domínio das ferramentas próprias para o desenvolvimento da

metodologia. Se o domínio de ferramentas computacionais é um problema na hora de

desenvolver uma WebQuest, então temos uma justificativa para o desenvolvimento de

um gerador.

Agora, falando sobre gerador de WebQuest tivemos algumas questões que

apontaram que 37% das pessoas utilizaram um gerador de WebQuest sendo que 42%

conhecem algum gerador de WebQuest. Uma das perguntas mais importantes sobre

gerador dizia respeito a quais as funcionalidades que um gerador deveria possuir.

Observe o gráfico 9.

Sem esquecer de um ponto importante, os usuários gostariam de utilizar o gerador

online, seguido de instalado no computador e depois rede local. A realização desta

pesquisa foi de extrema importância para compreender as dificuldades dos professores

em criar/elaborar uma WebQuest.

Conclusão

O Author, como ferramenta geradora de WebQuest, satisfaz as necessidades dos

criadores de WebQuest, oferece, além de um layout e recursos de fácil manuseio, ajuda

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de utilização do software e também constitui-se em um tutorial sobre WebQuest com

apoio teórico, tudo fundamentado na opinião de professores/autores de WebQuest.

Dentre os geradores existentes no mercado, o software disponibiliza as funções mais

importantes encontradas em geradores com avançados recursos de comunicação e

armazenamento das produções dos alunos, só encontrados em plataformas de EAD.

Kenski (2007), sobre os projetos e propostas de ensino mediados pelas TICs,

comenta sobre o grande desafio de inventar e descobrir usos criativos da tecnologia

educacional capazes de inspirar professores e alunos a gostar de aprender para sempre.

E indica que projetos educacionais não devem ser pensados apenas como uma forma

diferenciada de promover o ensino.

Entendemos a pesquisa cientifica como sendo uma investigação metódica a cerca

de um determinado assunto com o objetivo de esclarecer aspectos do objeto de estudo.

Um trabalho, para ser caracterizado pesquisa, segundo BEILLEROT (2001 apud

FIORENTINI; LORENZATO, 2006, p. 60) deve produzir conhecimento novo, possuir

uma metodologia rigorosa e tornar-se público. A partir de tais conceitos podemos

concluir que nosso trabalho apresentado aqui se caracteriza uma pesquisa científica.

No âmbito da pesquisa cooperativa, houve algumas deficiências quando

analisamos a relação grupo/empresa, a partir da elaboração e construção deste software.

O grande desafio é continuar aprimorando permanentemente a ferramenta Author.

A partir desta etapa de construção de uma ferramenta de produção de WebQuest

passamos a realizar investigações sobre a constituição de ambientes de aprendizagem,

no qual se desenvolveu trabalhos educativos com WebQuest. Atualmente, estamos

desenvolvendo estudos sobre como os alunos do curso de licenciatura em Matemática

passaram a se ver como produtores de materiais pedagógicos digitais. Segundo Ponte,

Oliveira e Varandas (2003, p. 190)

As TICs não são apenas ferramentas auxiliares de trabalho. São um elemento tecnológico fundamental que dá forma ao ambiente social, incluindo o ensino da Matemática. Como tal, influenciam a evolução do conhecimento e da identidade profissional do professor de Matemática. Os futuros professores precisam desenvolver confiança no uso dessas tecnologias e uma atitude crítica em relação a elas. Precisam integrá-las nas finalidades e nos objetivos do ensino de Matemática. A tarefa dos programas de formação não é ajudar os futuros professores a aprender a usar essas tecnologias de um modo instrumental, mas considerar como é que elas se inserem no

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desenvolvimento de seu conhecimento e de sua identidade profissional.

Entendemos que o grande desafio é continuar aprimorando permanentemente a

ferramentas educativas que possibilitem tornar os professores produtores de saberes em

diferentes ambientes com Tecnologias da Informação e Comunicação. Esta pesquisa nos

revelou o quanto é importante envolver os alunos do Curso de formação de professores

de Matemática neste processo.

Referências

FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática:percursos teóricos e metodológicos. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.

DODGE, Bernie. Webquest: uma técnica para aprendizagem na rede internet.Disponível em: http://www.webquest.futuro.usp.br/artigos/textos_bernie.htmlh esottrem: 30 de abril, 2005.

LÉVY, Pierre. A inteligência coletiva. São Paulo, SP: Loyola, 1998.

PENTEADO, M. G. Redes de Trabalho: Expansão das Possibilidades da Informática na Educação Matemática da Escola Básica. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (Orgs.). Educação Matemática: Pesquisa em Movimento. São Paulo, SP: Cortez, 2005, p. 283-295.

PONTE, J. P.; OLIVEIRA, H.; VARANDAS, J. M. O contributo das tecnologias de informação e comunicação para o desenvolvimento do conhecimento e da identidade profissional. In: FIORENTINI, D. (Org.). Formação de professores de Matemática:explorando novos caminhos com outros olhares. Campinas, SP: Mercado das Letras, 2003, p. 159-190.

SKOVSMOSE, O. Cenários de investigação. In: (Bolema) Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, n. 14, 2000, p. 66-91.

KENSKI, V. M. Educação e tecnologias, o novo ritmo da informação. Campinas, SP: Editora Papirus, 2007.

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Softwares educacionais: Cabri Geometre, Logo, Modellus, Winplot, Real Draw, etc.

Outros: Linguagem de programação (Clipper, xHarbour), autocad, editores de imagens

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Outros: Professor é o único que possui senha e libera sites de pesquisa para os alunos;

estar matriculado, ser aluno do curso; Livre acesso; Alunos/as utilizam o laboratório

apenas com a presença de professores; Somente horário de aula.

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+,-./01 Possibilidade de Criação de Layout próprio e inserção de páginas a mais;

Recursos de comentários e interação, como em um Blog; Inserção de

animações/arquivos; Dicas a respeito de abordagens de conteúdos; Mais opções de

Layouts.

ñòóôõö÷ 9 – Sobre ferramentas que gostariam de encontrar em um gerador

f.c.; moraes, m. s. s. o livro didático de matemática e a...

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