No caso dessas frações algébricas, antes de realizarmos a soma devemos aplicaro cálculo do mmc, no intuito de igualar os denominadores, pois sabemos que somente adicionamos frações com denominadores iguais. Para determinarmos o mmc de polinômios, fatoramos cada polinômio individualmente, e logo em seguida multiplicamos todos os fatores sem repetição dos comuns. A utilização dos casos de fatoração é de extrema importância para a determinação de algumas situações envolvendo mmc. Observe o cálculo do mmc entre polinômios nos exemplos a seguir: 

Exemplo 1 mmc entre 10x e 5x² – 15x 10x = 2 * 5 * x 5x² – 15x = 5x * (x – 3) mmc = 2 * 5 * x * (x – 3) = 10x * (x – 3) ou 10x² – 30x Exemplo 2 mmc entre 6x e 2x³ + 10x² 6x = 2 * 3 * x 2x³ + 10x² = 2x² * (x + 5) mmc = 2 * 3 * x² * (x + 5) = 6x² * (x + 5) ou 6x³ + 30x² Exemplo 3 mmc entre x² – 3x + xy – 3y e x² – y² x² – 3x + xy – 3y = x(x – 3) + y(x – 3) = (x + y) * (x – 3) x² – y² = (x + y) * (x – y) mmc = (x – 3) * (x + y) * (x – y) Exemplo 4 mmc entre x³ + 8 e do trinômio x² + 4x + 4. x³ + 8 = (x + 2) * (x² – 2x + 4). x² + 4x + 4 = (x + 2)² 

mmc = (x + 2)² * (x² – 2x + 4)

Fatoração de Polinômios

Polinômios

Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números primos. Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os números 2 * 2 * 3 * 3. Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto entre outros polinômios.As fatorações mais conhecidas são: fator comum em evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e trinômio soma e produto.

Fator comum em evidência 

Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:

No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.

x² + 2x → x * (x + 2)x² : x = x2x : x = 2

Veja mais exemplos de fatoração por evidência:

4x³ – 2x² → 2x² * (2x – 1)4x³ : 2x² = 2x2x : 2x = 1

16x² + 8 → 8 * (2x² + 1)16x² : 8 = 2x²8 : 8 = 1

Fatoração por Agrupamento 

Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:

2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.

2yx – x → x * (2y – 1)

–6y + 3 → –3 * (2y – 1)

2yx – x – 6y + 3 → x * (2y – 1) – 3 * (2y – 1) → (x – 3) * (2y – 1)

Observe mais exemplos:

bx – 2b + x – 2 → bx + x – 2b – 2 → x * (b + 1) – 2 * (b + 1) → (x – 2) * (b + 1)

10x² + 15xy + 4x + 6y → 10x² + 4x + 15xy + 6y → 2x * (5x + 2) + 3y * (5x + 2) → (2x + 3y) * ( 5x + 2)

Diferença entre dois quadrados 

Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:

4x² – 16 → (2x + 4) * (2x – 4) √4x² = 2x√16 = 4

25x² – 100 → (5x + 10) * (5x – 10) √25x² = 5x√100 = 10

81x4 – 144 → (9x² + 12) * (9x² – 12) √81x4 = 9x²√144 = 12

400x² – 49 → (20x + 7) * (20x – 7) √400x² = 20x

√49 = 7

Trinômio quadrado perfeito

Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:

x² + 18x + 81 → (x + 9)²√x² = x√81 = 9(x + 9)² = (x + 9) * (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81

4x² – 48x + 144 → (2x – 12)² √4x² = 2x√144 = 12(2x + 12)² = (2x + 12) * (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144

Trinômio Soma e Produto 

São as fatorações envolvendo trinômios do tipo x² + Sx + P, que podem ser fatorados e escritos da seguinte forma (x + a) * (x + b). Nessa situação temos que Soma = a + b e Produto = a * b. Observe:

x² + 10x + 16 → (x + 8) * (x + 2) Soma = 10Produto = 16Os números são 8 e 2, pois:8 + 2 = 108 * 2 = 16

x² – 13x + 42 → (x – 6) * (x – 7) Soma = –13Produto = 42Os números são –6 e –7, pois:– 6 – 7 = – 13(–6) * (–7) = 42

x² + 3x – 10 → (x – 2) * (x + 5) Soma = 3Produto = –10Os números são 3 e –10, pois:– 2 + 5 = 3(–2) * 5 = – 10

x² – 2x – 63 → (x – 9) * (x + 7) Soma = –2Produto = – 63Os números são –9 e 7, pois:– 9 + 7 = – 2(–9) * 7 = – 63