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M.H. Tabacniks FAP214-2007

FAP 0214 - LabFlex 2008/1Ótica Matricial

Manfredo Harri TabacniksIFUSP

Baseado no texto de Suaide, A., Szanto, E.M., Carlin, N. Lentes. Apostila deFísica Experimental 4, FAP214, 2007.http://sampa.if.usp.br:8080/~suaide/blog/files/fap214.2007/_lentes.pdf


Lentes: funcionamento

Luz incide em uma superfície

Ocorre refração nesta superfície

A luz se propaga para a segunda superfície

Ocorre nova refração


Ótica matricial

Um raio luminoso R

que parte do ponto P,

com ângulo ϕ pode

ser caracterizado por

DUAS coordenadas

generalizadas:

=ϕr

P

Aproximação paraxial

(Ok para ϕ < 10o)


Ótica matricial

O raio evolui de P1 paraP2 através de uma matrizde transformação M

21 PMP =

=

2

2

1

1

ϕϕrr

M


Ótica matricial

A matriz de transformaçãoé dada por:

=DC

BAM


Ótica matricial

2 1

2 1

r rA B

C Dϕ ϕ = ⋅ 112

112

ϕϕϕ

DCr

BArr

+=

+=

=

2

2

1

1

ϕϕrr

M

21 PMP =


Ótica matricial (propriedades)

Reversibilidade

Determinante unitário(Teorema de Liouville)

21

1 PMP ⋅=−

( ) 1det =M

Combinação de elementos ópticos 1211 PMMMP ⋅⋅⋅⋅⋅=+ nn


Ótica matricial: lente simples

A transformação do ponto P1 para P2 é dada por:

2 1P M P= ⋅


Exemplo: lente simples

M é a composição de três matrizes:

2 1B P A B P AM M M M→ → →= ⋅ ⋅


Exemplo: Espaço vazio ( drift line)

2 1ϕ ϕ=

2 1 1

2 1 1

tan

~

r r d

r r d

ϕϕ

= +

+

=

1

1

2

2

10

1

ϕϕrdr

1

1

0 1P A

dM →

=



Lente delgada (d=0)

1 0

11A BM

f→

= −



Assim, a transformação completa para umalente simples e delgada entre dois espaçosvazios vale:

Transporte doponto objeto (o) até a

lente (A)

Transporte dentro da lente

Transporte dasaída da lente (B) até

o ponto imagem (i)

⋅

⋅

−⋅

=

1

1

2

2

10

11

101

10

1

ϕϕro

f

ir



−−+−−

=

1

1

2

2

11

1

ϕϕr

f

o

f

if

ioo

f

ir

Transformação completa para uma lentesimples e delgada entre dois espaços vazios:

espessura da “lente”

f é o foco



112 1 ϕ

+−+

−= if

ioor

f

ir

112 11 ϕϕ

−+−=

f

or

f

−−+−−

=

1

1

2

2

11

1

ϕϕr

f

o

f

if

ioo

f

ir

Numa lente delgada,qualquer raio saindode r1 deve chegar ar2, independente deϕ1, ou seja, osegundo termo daexpressão se anula:

= 0

1 1 10

ioo i

f f i o

− + = ⇒ = + Equação de Gauss para lentes delgadas


Lente espessa: matriz de propagação

1

1 2 21 2

1

1

tP t

n nMtPP tP

P Pn n

− = − − −

t é a espessura da lente

P1 é a potência da superfície 1,

11

1nP

R

−=

( ) ( )

−+

−−=21

2

21

1111

1

RR

t

n

n

RRn

f

equação do fabricante de lentes


Lente espessa em ar: Determinação do foco e dos planos principais

−+=

n

Pt

P

Pn

th

1

2

1

1

1

−+=

n

Pt

P

Pn

th

2

1

2

2

1

R1

R2

t

h1 h2

( ) ( )

−+

−−=21

2

21

1111

1RR

t

n

n

RRn

f

( )1 2

1 1 1~ 1n

f R R

− −

cuidado com aconvenção de sinais

lente delgada, t~0

11

1

R

nP

−=

22

1

R

nP

−=

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