explorando a ideia da função

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Coordenadas cartesianas

Para localizar pontos em um plano, usamos o referencial cartesiano.

Indicamos um par ordenado de números reais a e b como:

(a, b)primeira coordenada

(abscissa)segunda coordenada

(ordenada)

Sistema de eixos ortogonais

Um sistema de eixos ortogonais

é constituído por dois eixos

perpendiculares, Ox e Oy, que

têm a mesma origem O.

Um plano munido de um sistema

de eixos ortogonais é chamado

de plano cartesiano.

P(a, b)

y

x

(0, y)

1º quadrante2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

(x, 0)

b

a

Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função

x

1 2 3 4‒4 ‒3 ‒2 ‒1

4

3

2

1

‒1

‒2

‒3

0

B

Cada par ordenado de números reais corresponde a um ponto do plano

cartesiano e, reciprocamente, a cada ponto do plano corresponde um par

ordenado de números reais.

Vamos localizar no plano cartesiano abaixo os pontos:

A(4, 1)

B(1, 4)

C(‒2, ‒3)

D(2, ‒2)

E(‒1, 0)

F(0, 3)

O(0, 0)

y

OE

C

D

A

F


Explorando intuitivamente a noção de função

A ideia de função está presente quando relacionamos duas

grandezas variáveis.

Exemplo

Número de litros Preço a pagar (R$)

1 2,90

2 5,80

3 8,70

4 11,60

40 116,00

x 2,90x

MM

O preço a pagar é dado

em função do número de

litros comprados, ou seja,

o preço a pagar depende

do número de litros

comprados.

O preço (p) a pagar é igual a 2,60 vezes o número de litros comprados.

p = 2,60x

Relação entre o número de litros

de gasolina e o preço a pagar


Observe os conjuntos A e B. Devemos associar cada elemento de A

a seu triplo em B.

Todos os elementos de A têm

correspondentes em B.

Cada elemento de A corresponde

a um único elemento de B.

A noção de função por meio de conjuntos

‒2 •

‒1 •

0 •

1 •

2 •

• ‒8

• ‒6

• ‒4

• ‒3

• 0

• 3

• 6

• 7

A B

Temos uma função de A em B, expressa pela função y = 3x.


Observe esses conjuntos.

Não é uma função de A em B,

pois ao elemento 0 de A

correspondem 3 elementos de B.

Não é uma função de A em B,

pois há elementos de A que não

têm correspondentes em B.

Cada elemento de A é menor do

que um elemento de B.

Cada elemento de A tem o mesmo

valor que um elemento de B.

0 •

4 •

• 2

• 3

• 5

A B

‒4 •

‒2 •

0 •

2 •

4 •

• 0

• 2

• 4

• 6

• 8

A B


Todos os elementos de A têm

correspondente em B.

Cada elemento de A corresponde a

um único elemento de B.

A correspondência entre A e B é dada pela fórmula y = x4.

Portanto, essa correspondência é uma função de A em B.

‒2 •

‒1 •

0 •

1 •

2 •

• 0

• 1

• 4

• 8

• 16

A B


Definição e notação

Usamos a seguinte notação:

Lê-se: f é uma função de A em B.

A função f transforma x de A em y de B.

y = f(x) Lê-se: y é igual a f de x.

x • • yf

Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra

que indica como associar cada elemento x A a um único elemento y B.

f: A B ou A B f

A B


Domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função

Dada uma função f de A em B.

O conjunto A chama-se

domínio (D) da função.

O conjunto B chama-se

contradomínio (CD) da função.

Para cada x de A, o elemento y

de B chama-se imagem de x

pela função f.

O conjunto de todos os y é

chamado conjunto imagem da

função f e é indicado como Im(f).

x • • yf

A B


Gráficos de funções

O gráfico de uma função ajuda a analisar a variação de grandezas, uma

dependendo da outra.

Construção de gráficos de funções

Vamos construir o gráfico de uma função.

• Construir uma tabela com valores x escolhidos convenientemente e seus

respectivos correspondentes y.

• A cada par ordenado (x, y) da tabela, associar um ponto do plano

determinado pelos eixos x e y.

• Marcar um número suficiente de pontos até que seja possível esboçar o

gráfico da função.


Exemplo

Função y = 2x + 1, com x real.

Como x varia no conjunto dos números

reais, escolhemos alguns valores

arbitrários para x e obtemos os valores

correspondentes para y.

Com os pares ordenados (x, y) obtidos,

podemos localizá-los no plano cartesiano.

x y = 2x + 1 (x, y)

‒2 ‒3 (‒2, ‒3)

‒1 ‒1 (‒1, ‒1)

0 1 (0, 1)

1 3 (1, 3)

2 5 (2, 5)

Unindo os pontos, obtemos a reta que

representa a função y = 2x + 1.

y

x

y = 2x +15

3

1

1 2‒1

‒3

‒1 ‒2 0

‒2


Reconhecendo se um gráfico é de uma função

Para uma função existir, é necessário que, para qualquer x de um conjunto de

valores, corresponda um único y, de outro ou do mesmo conjunto de valores.

Geometricamente, isso significa que, no gráfico de uma função, qualquer reta

perpendicular ao eixo x deve intersectar o gráfico sempre em um único ponto.

Exemplos

É uma função. Não é uma função.É uma função somente

para 1 ≤ x ≤ 4.


Função afim

Definição de função afim

Exemplos

y = ‒x + 6

y = 4x

a = ‒1 e b = 6

a = 4 e b = 0

y = 2x ‒ 7

a = 2 e b = ‒7

Função afim é toda função de em cuja lei de formação pode ser indicada

por y = ax + b, com a e b reais.

O gráfico de uma função afim

O gráfico de uma função afim é sempre uma reta não perpendicular ao eixo x.

Como dois pontos determinam uma reta, basta encontrar apenas dois de seus

pontos para traçá-la.


Exemplo

x y = 5x ‒ 6

1 ‒1

2 4

O gráfico “corta” o eixo y no ponto (0, ‒6), pois para:

y

x

y = 5x ‒ 6

11

4

2‒1

‒4

O gráfico (a reta) “corta” o eixo x no ponto ,

pois para:

y = 0 5x – 6 = 0 x =

x = 0 y = 5 . 0 ‒ 6 y = ‒ 6


Ângulo de declividade da reta de uma função afim

O ângulo correspondente a um giro no sentido anti-horário, partindo do eixo x

até a reta que corresponde ao gráfico de uma função afim, é chamado de

ângulo de declividade da reta.

• Quando a é positivo em y = ax + b, é um ângulo agudo e a função afim é

crescente.

y

x

y

x

• Quando a é negativo, é um ângulo obtuso e a função afim é decrescente.


Um caso particular de função afim: a função linear

y = 3x y = 2x + 5

É função afim que é função linear. É função afim mas não é função linear.

O gráfico de uma função linear também é uma

reta mas com uma característica própria: a reta

passa pela origem (0, 0).

Gráfico de uma função linear

Uma função, definida em e com valores em , com lei de formação do tipo

y = ax, com a real e a 0, é chamada de função linear.

A função linear é um caso particular da função afim, pois y = ax equivale a

y = ax + b, com a 0 e b = 0.

y = 2x

y

x

Exemplo


Função identidade

A função linear que faz corresponder a cada x (real) um y tal que y = x

é chamada de função identidade.

Ou seja, cada número real corresponde a ele próprio.

Função linear e proporcionalidade

As funções do tipo y = ax, com a 0, x e y reais, apresentam proporcionalidade

direta entre os valores de x e y.

y

y = x

x

1º quadrante

2º quadrante

3º quadrante

4º quadrante

CA

SA

DE

TIP

OS

/ A

RQ

UIV

O D

A E

DIT

OR

A


Estudo do sinal da função afim

Fazer um estudo sobre o sinal de uma função afim consiste em determinar os

valores de x do domínio para os quais f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0.

Zero da função afim

Para determinar esse valor, basta resolver a equação ax + b = 0.

Geometricamente, o zero da função afim é a abscissa do ponto de intersecção

do gráfico da função com o eixo x.

O valor de x para o qual a função f(x) = ax + b, a 0, se anula, ou seja, para

o qual f(x) = 0, denomina-se zero da função afim.

f(x) = 0 ax + b = 0 ax = ‒b x = ‒

O coeficiente b em y = ax + b

Na função afim y = ax + b, para x = 0, temos que y = b, ou seja, b é o valor da

função quando x = 0.

O gráfico intersecta o eixo y no ponto de ordenada b.


Estudo do sinal da função pela análise do gráfico

a < 0 (função crescente) a < 0 (função decrescente)

Dispositivo prático:

x

+

‒r

Dispositivo prático:

x

+

‒ r

y

x

(r, 0)

imagens

positivas

imagens

negativas

x

y

(r, 0)

imagens

positivas

imagens

negativas

x = r f(x) = 0

x > r f(x) > 0

x < r f(x) < 0

x = r f(x) = 0

x > r f(x) < 0

x < r f(x) > 0


Resolução de inequações do 1o grau

Você já viu esse conteúdo. Vamos relembrar com um exemplo.

Podemos também resolver por meio do estudo do sinal da função afim:

S = x | x >

2x – 5 > 0, em

f(x)

x > f(x) > 0

S = x | x >

x+

‒

2x ‒ 5 > 0 em

2x > 5 x >

2x – 5 = 0 2x = 5 x = (zero)


Função quadrática

Definição de função quadrática

Exemplos

y = 3x2 ‒ 2x + 5 y = ‒x2 + 5x + 6

a = 3, b = ‒2 e c = 5 a = ‒1, b = 5 e c = 6

y = ‒4x2 ‒ 3x

a = ‒4, b = ‒3 e c = 0

y = ‒6x2

a = ‒6, b = 0 e c = 0

Função quadrática é toda função de em cuja lei de formação pode

ser indicada por y = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a 0.


Valor de uma função quadrática em um ponto

Dada uma função y = ax2 + bx + c, pode-se ter um valor de x e determinar

o valor de y ou ter um valor de y e determinar o valor de x.

Exemplo

Dado x = 2, vamos calcular o valor de y.

y = 22 – 5 . 2 + 6

y = 4 – 10 + 6

y = 0

Então, para x = 2, y = 0.

Considere a função y = x2 ‒ 5x + 6.

Dado y = 0, vamos calcular x.

0 = x2 – 5 . x + 6

x2 – 5x + 6 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau,

temos que x′ = 3 e x″ = 2.

Então, para y = 0, x = 3 ou x = 2.


Zeros de uma função quadrática

Exemplo

Considere a função y = x2 ‒ 9x + 20.

Fazemos y = 0 e determinamos os valores reais de x que satisfazem a

equação do 2º grau obtida.

x = = =

x′ = 5

x″ = 4

Damos o nome de zeros de uma função quadrática dada por y = ax2 + bx + c

(a 0), aos valores reais de x que anulam y, quando existirem.

= b2 ‒ 4ac = (‒9)2 ‒ 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1

Os zeros da função quadrática y = x2 ‒ 9x + 20 são 5 e 4.


Gráfico de uma função quadrática

x 4 3 2 1 0 ‒1 ‒2

y 5 0 ‒3 ‒4 ‒3 0 5

Exemplo

• A parábola apresenta simetria.

• O eixo de simetria da parábola é

sempre perpendicular ao eixo x.

• O encontro da parábola com o

seu eixo de simetria é o vértice

da parábola.

O gráfico de uma função quadrática, ou seja, com y igual a um polinômio

do 2º grau da forma ax2 + bx + c, com a 0, é sempre uma curva chamada

parábola.

eixo de simetria

x

y

0

V(1, ‒4) vértice da parábola

= = = 1


Gráfico da função quadrática e os coeficientes a, b, c

Responsável pela concavidade e abertura da parábola.

• Se a > 0, a concavidade é para cima.

Coeficiente a

• Se a < 0, a concavidade é para baixo.

Quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola,

independentemente da concavidade.

x

a > 0

y y = 5x2

y = 2x2

y = x2

0

y = x2

y = x2

a < 0

x

y = ‒5x2 y = ‒2x2

y = ‒x2

0

y

y = ‒ x2

y = ‒ x2


Indica se a parábola cruza o eixo y no ramo crescente ou decrescente da

parábola, no sentido da esquerda para a direita.

• Se b > 0, a parábola cruza o

eixo y no ramo crescente.

Coeficiente b

• Se b < 0, a parábola cruza o

eixo y no ramo decrescente.

• Se b = 0, a parábola cruza o eixo y no vértice.

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y


Indica o ponto em que a parábola cruza o eixo y.

A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).

Coeficiente c

A parábola e suas intersecções com os eixos

Dada a equação y = x2 – 2x + 1, vejamos como calcular

algebricamente os pontos de intersecção com os eixos.

• Intersecção com eixo y:

A parábola intersecta o eixo y em (0,1).

• Intersecção com eixo x:

x

y

c

x

y

(1, 0)

(0, 1)

x = 0 y = 02 – 2 . 0 + 1 y = 1

y = 0 x2 – 2x + 1

x = = 1

= 4 – 4 = 0 = 0


V – , – = V(2, ‒8)

Vértice da parábola, valor máximo ou valor mínimo da função quadrática

Exemplo

Dada a equação y = 2x2 – 8x, vamos calcular o vértice da parábola.

A função quadrática y = 2x2 – 8x assume valor mínimo –8 quando x = 2.

Todos os valores da função

são maiores do que –8.

O vértice de uma parábola dada por y = ax2 + bx + c (a 0) é determinado por:

V – , –

= b2 – 4ac = (–8)2 – 4 . 2 . 0 = 64


Estudo do sinal da função quadrática

Estudar o sinal da função quadrática significa determinar os valores reais de x

para os quais: f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0.

• a função admite dois zeros reais diferentes, x′ e x″;

• a parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos.

a > 0 a < 0

f(x) = 0 para x = x″ ou x = x′

f(x) > 0 para x < x″ ou x > x′

f(x) < 0 para x″ < x < x′

f(x) = 0 para x = x″ ou x = x′

f(x) > 0 para x″ < x < x′

f(x) < 0 para x < x″ ou x > x′

1º caso: > 0

+

––x’x”+ +

– x’x”

Assim, quando > 0, f(x) tem sinal oposto ao de a quando x está entre as raízes

da equação, e tem o sinal de a quando x está fora do intervalo das raízes.


• a função admite um zero real duplo x′ = x″;

• a parábola que representa a função tangencia o eixo x.

a > 0 a < 0

f(x) = 0 para x = x′ = x″ f(x) = 0 para x = x′ = x″

2º caso: = 0

f(x) > 0 para x x′ f(x) < 0 para x x′

+ +

x’ = x”

– –

x’ = x”

Assim, quando = 0, f(x) tem o sinal de a para x diferente da raiz da equação.


• a função não admite zeros reais;

• a parábola que representa a função não intersecta o eixo x.

f(x) > 0 para todo x real f(x) < 0 para todo x real

3º caso: < 0

Assim, quando < 0, f(x) tem o sinal de a para qualquer valor real de x.

a > 0

+ + + + + + + + +

a < 0

– – – – – – – – –


Desigualdades como:

x2 – 5x + 6 > 0 3x2 < 0 (x ‒ 3)(x + 3) < 0

são denominadas inequações do 2º grau.

Vamos resolver a inequação x2 – 3x + 2 < 0.

Isso significa determinar os

valores reais de x para os quais

a função f(x) = x2 – 3x + 2

assume valores negativos. a = 1 > 0; a > 0

As raízes da equação x2 – 3x + 2 são

x′ = 1 e x″ = 2.

–

++

1 2

xComo queremos f(x) < 0 então

S = {x | 1 < x < 2}.

= (–3)² – 4 . 1 . 2 = 9 – 8 = 1 > 0 = 0

Inequações de 2o grau

Exemplo

explorando a ideia da função

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