Existência de soluções periódicas para uma equação de segunda ordem com

retardamento

Fábio Silva de Souza

Orientador: Profa. Dra. Sandra Maria Semensato de Godoy

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.

"VERSÃO REVISADA APÓS A DEFESA"

Data da Defesa: 20/04/2005

Visto do Orientador: jcvw(lfa Í ^ ^

USP - São Carlos Junho/2005

Ao meu pai o a Luiz.

Agradecimentos

A Deus. polo dom da vida e por me permitir concluir este trabalho apesar de todas as

dificuldades.

A meu pai. a pessoa que mais acreditou em mim e contribuiu de maneira decisiva para esta

conquista.

A Universidade de São Paulo.

A CAPES, pelo apoio financeiro.

A minha orientadora Profa. Sandra Ma,ria Semensato de Godoy, pelo auxílio e pela amizade

constante em todas as horas em que sua presença se fez necessária.

A todos os funcionários do ICMC-USP, que tornaram esta tarefa mais agradável.

Aos amigos de sempre, Everaldo de Mello Bonotto, Angela Leite Moreno e Profa Márcia

Pederson, pelo apoio nos piores momentos desta caminhada.

A Luiz Benedito Cézar que está sempre comigo e sempre me apoiou, mesmo nas horas

turbulentas, com seu mais sincero amor, carinho e afeto.

Mais que agradecer eu dedico este trabalho à meu pai: Altino, pelo incentivo, encorajamento

e principalmente por permitir esta oportunidade única de me desenvolver. Se cheguei tão longe

devo isso a você.

Abst rac t

In tliis work wc are interested iu deteriuiniiig coiiditions for tlie existcncc of nontrivial

pcriodic solutions of tlie rctardcd funetional difíerential (xiuat.ion:

m + f(4t)):m + í](*(i-r)) = o (i)

using tlie delay as parameter. The equatiou (1) is known as Lienard equation and nnuiy studics

about this equation have been made. The nrost general hypothesis used to a large extent of

these studies is xg{x) > 0 for ali x £ R \ {0}. Here we will use a weaker hypothesis to reach

onr results and later these will be applied in physical and biologieal models as tlie sunllower

ecination.

Resumo

Neste trabalho estamos interessados em determinar condições para a existência de soluções

periódicas não - triviais da equação diferencial funcional retardada de segunda ordem:

a-(t) + f(x(t))x(t) + g(x(t ~ r)) = 0 (2)

utilizando o retardo como parâmetro. A equação (2) 6 conhecida com equação de Lienard e

uma série de estudos a respeito desta equação foram feitos. A hipótese mais geral utilizada em

grande parte dos trabalhos a respeito desta equação é x 0. para todo x fc R \ {0}. Aqui

utilizaremos unia hipótese mais fraca para alcançar nosso resultados o posteriormente ast.es serão

aplicados em modelos físicos e biológicos como a equação do girassol.

vi

Sumário

Introdução 1

1 Pre l iminares 6

2 Exis tênc ia Local de Soluções Periódicas para a Equação de Liénard 11

3 Exis tênc ia Global de Soluções Periódicas 23

4 Apl icações a mode los Fís icos e Bio lógicos 47

1

In t rodução

Um dos fenómenos biológicos bom definidos c estudados em inúmeros trabalhos consiste

110 movimento do caule de algumas plantas durante o seu desenvolvimento. Este fenómeno foi

estudado em [7] e [8], Nestes trabalhos um fato observado é que estes movimentos variam de

planta para planta. Por exemplo, os caules de pés-de-íeijão fazem um movimento de torção

enquanto crescem. Já os caules da planta, do género Helianthus desenvolvem movimentos

oscilatórios durante o seu crescimento, sendo por isso chamadas de plantas da luz e da escuridão.

Este nome deve-se ao fato de que tais plantas sempre parecem estar voltadas para os locais de

maior luminosidade. Um exemplo deste género de planta é o girassol.

Eni relação às plantas do género Helianthus podemos ver em [16] um estudo interessante feito

sobre os movimentos que os caules desta planta desenvolvem durante seu crescimento. Neste

estudo, os biólogos D. Israelsson e A. Jolmsson observam que esto movimento é oscilatório e

depende da quantidade de auxilia existente no caule da planta. A auxilia é um hormônio de

crescimento responsável pelo desenvolvimento do caule.

Quanto à auxilia, durante os estudos feitos cm [16], foi concluído que a quantidade de auxilia

110 caule de tais plantas depende do tempo durante o qual ocorre a ação da gravidade e da

temperatura ambiente sobre o caule. O mecanismo para o desenvolvimento do caule, segundo

os autores de [16] se dá através do acúmulo de auxilia em um dos lados do caule, o qual se

desenvolve de maneira mais rápida que o outro. Por sua vez, o lado do caule que está com

menor quantidade de auxina tende a produzir este hormônio afim de equilibrar o crescimento do

caule. Porém, este lado quantidade tende a produzir auxilia em excesso e cresce mais fazendo

com que o caule da planta, se incline para o outro lado. Deste lado, o processo acima descrito

repot.o-se e a planta se desenvolve desta, maneira fazendo um movimento oscilatório.

Também em seu trabalho, Israelsson e Jolmsson elaboraram um modelo matemático para

controlar este crescimento através do ângulo de curvatura do caule. Este modelo foi novamente

trabalhado pelo matemático Alfredo Somolinos em [22]. Passamos agora a desenvolver este

modelo.

A figura acima mostra a parte superior do caule de uma planta lleliantlms. Os lados

denotados por 1 e 2 tem comprimento l \ e h respectivamente. Podemos perceber que:

2 a r = l\ —1.2

Como tanto o ângulo de curvatura o e o comprimento dos lados do caule dependem da

quantidade de auxina concentrada e esta, por sua vez, depende do tempo de exposição t do

caule da planta à ação da gravidade e da temperatura, faz sentido dizermos que

d d d. 2r — a = -r i - -r 9 dt dl dt

Ou seja

d d t a = 27

d d JlU Jt2 (3)

onde d = 2r é o diâmetro do caule. Quando o caule da planta está inclinado, ocorre o

transporte tranversal de auxina do lado maior para o lado menor do caule. Experiências descritas

em [1GJ justificam a hipótese da existência de uma relação linear entre o crescimento dos lados

do caule por unidade de tempo o a concentração de auxina neste lado, isto é

—/,• = KIC, + K. I = 1. 2. K constante (4) dl •

onde C\ e C-> são as concentrações de auxina nos lados 1 \ e lo respectivamente e K\ é uma

constante positiva.

3

Além disso foi constatado experimentalmente que o aumento 110 comprimento dos lados do

caule por unidade de tempo é logaritmicamente dependente da concentração de auxina neste

lado.

A equação (4) significa, portanto, que em unia concentração pequena de auxina, a curva

logarítmica está sendo aproximada por unia reta.

De (3) e (-1) obtemos:

Para enfatizar que a equação acima depende do tempo t. escreveremos a par t i r de agora

jt»(t) = ( - ^ y e m - a m (5)

A diferença da concentração de auxina nos lados do caule é chamada de gradiente de

concentração. Ainda podemos supor que o gradiente de concentração da auxina, no instante

t, cansando uma reação no mesmo instante t, é proporcional ao seno do ângulo formado pelo

caule com a linha vert ical. Entretanto, existe um intervalo de tempo entre o acúmulo de auxina

num dos lados do caule e a reação do caule (a sua inclinação). Seja t,Q o instante em que o

estímulo ocorre e t o instante da reação do caule. Então, pode - se verificai1 experimentalmente

que as posições da planta entro os instantes /.() e I, possuem alguma importância, para o gradiente

da concentração do auxina. Também é claro que o gradiente de concentração de auxina, depende

mais do instante t - l.0 do que do instante /.. De fato. para expressar uma relação verdadeira entre

a posição da planta e o gradiente de concentração, devemos introduzir uma função " 'peso"/, a

qual é zero para instantes infinitamente depois de t. Podemos expressar todos estes argumentos

na fórmula

r + oo CW) - Cl (I.) = K> I ./'(• s) sen n (t - st^ds (6)

onde K'2 o uma constante positiva, /( .s)b é unia, função "peso"tal que lim /(.s) = 0 e •S —' + oo

/ ( ! ) = 1 e .s é uma variável adimensional. Pa ra .s £ [0,1), /(.

4

A função "poso"'descrita acima pode ser qualquer uma que satisfaça as condições exigidas.

Porém uma função que mais se aproxima do modelo fisiológico descrito é a função / ( s ) =

g -a l s - i ^ o u t j c a Q uma constante positiva. Observe que / ( l ) = 1 e lim f(s) = 0. Além disso

esta função descreve o fato que a planta "lembra"de sua posição não apenas no instante t — íq,

mas também nos instantes posteriores, embora em um grau menor. Com isso posto, a equação

acima torna-se

r + oc

à(t) = —b exp(—a(s — f )) s ena ( i — st,o)ds (7)

Fazendo a mudança de variáveis w = st o — t obtemos o seguinte u; +1

s /()

-w = t- sta

I - ,s/.() - II!

dw = t()ds

Para s = 1 temos w = to — t

Para s —> -|-oc temos w —> +oo

Logo a equação (7) se torna

' O . / / , , - / ' ' ' V " V Í0

Então note que de (8) e lembrando agora que podemos escrever t = /(«') temos

á(t) = -•— I^ exp ) ] sen rv( — w)dw (8)

Resolvendo a integral acima por partes obtemos

b -rv(í) = - —

< o

W + t — to" exp | - a | j j senn(- ' iv

+ oo

~ I (.x]) ^ - a ^ 1 ^ t() ) ) sen a( — w)dw

Agora observe que

= -f C ' c x p t 0 (^T^)) —

((j)

Substituindo 11a equação acima temos

íi(/) = — lim t() «—>-t-oc

E, portanto.

ri(í) = sen n(t — í()) - ^ n ( í ) k k

E,logo,

ct(í) + + - sen a(t - r) = 0 (10) r v

A equação (10) c conhecida como equação do girassol, em virtude do girassol ser o principal

representante do género Helianthus. O matemático Sornolinos em [22] estudou a estabilidade e

a periodicidade das soluções de (10) utilizando o valor a como parâmetro.

A cqnação (10) é uma generalização da equação de Lienard, sendo conhecida como equação

diferencial funcional com retardamento de Lienard. Esta, equação foi estudada em diversos

trabalhos como [3], [4], [5], [G[. [10], [11]: [12], [13], [20], [21], [22], [24] e [27].

A forma mais geral da EDFR de Lienard é:

m + f w - ) ) - m - \ - < Á x { t - r ) ) = 0

Neste trabalho estudaremos em particular [24]. Faremos algumas modificações nas idéias

utilizadas pelos autores trazendo todos os detalhes dos resultados enunciados 110 referido

trabalho. Além disso para esta equação utilizaremos o retardo como parâmetro. Por fim,

modificaremos uma das hipóteses mais utilizadas no estudo desta equação. Em geral, a hipótese

mais comum na procura de soluções para esta equação é que xg(x) > 0 para todo x £ R \ {()}.

Entretanto, para esta hipótese, utilizaremos uma condição mais fraca a respeito da função g.

No capítulo 1 daremos alguns conceitos e resultados básicos da Teoria de Equações

Diferencias Funcionais com Retardamento e da Teoria das Equações Exponenciais que serão

utilizados posteriormente.

No capítulos 2 e 3 estudaremos a equação de Lienard quanto â sua estabilidade, dando

condições de existência de soluções periódicas para determinados valores de retardo. Por lim,

110 capítulo 4, aplicaremos os resulatados desenvolvidos em alguns modelos biológicos e físicos,

como o modelo acima proposto.

exp -a -1 - k k)

- n) — sen n (í — /, 0) - f " (O k)

6

Capítulo 1

Prel iminares

Neste capítulo, laremos algumas definições e enunciaremos alguns resultados básicos e outros

mais gerais da. teoria das equações diferenciais funcionais com retardamento, bem como da teoria

das equações exponenciais, as quais serão ut ilizadas 110 decorrer do nosso trabalho.

Seja r > 0 um número real dado, K = (—00, +oc), Rn o espaço vetorial linear n-dimensional

sobre o conjunto dos números reais com norma | • |, C([a, 6],RW) é o espaço de Banacli de funções

contínuas cujo domínio 6 o intervalo fechado [a,í>] com valores em R" c com a topologia da

convergência uniforme. Se [a, b] = [ - r, 0] então denotemos C = C( [--/•,()]. R") o designemos a

norma de um elemento 0 de (.' por

\ 0 tais que x e C{[a - r, a + A),R"), (í, xt) £ D e x(t) satisfaz a equação 1.1 para

t e [a, a I- A).

Def in ição 1.2. Para cr € R e £ C. dizemos que a Junção x(a: ;r° uniformcniente sobre [a0 - r.b\, entendemos que. para qualquer e > 0,

existe um k\ (c) tal que xk(t), k > k\(f). é definida sobre [ uniformemente

sobre [a° — r + e. b\.

Teorema 1.3. (Unicidade) Suponha que íí seja um eonjanto aberto em R x C. / : R x C IR"'

é contínua e f ( t , ) é Lipschitziana em em cada subconjunto comjmcto dc í í . Se }{o.(j>) £ Çl,

então existe uma única solução da equação (1.1) através de (

8

A seguir enunciaremos alguns resultados os quais serão utilizados no decorrer dest.e trabalho.

Teorema 1.4. Considere a. função matricial

ni Ett(s) = si - ^ Ajexp(—cxshj

o

onde a> 0, 0 < h\ < ... < hm e Aj c uma matriz n x ri complexa para j = 1. 2...., m.

Seja ainda a{Q) = sup{Re(s)\det(Q(s)) = 0} se, det(Q) 0 para, um conjunto finito de valores

de s e a{Q(S)) — — oe se det(Q(s)) ^ 0 para todo s.

Então, paru cada a > 0. a{Fa) é finito e define uma função continua em a, desde que a seja

um autovalor simples.

Este teorema encontra-se demonstrado em [9](Teorema 2.1).

Teorema 1.5. Seja / ( A . R ) = X2 + « A + b\e~XT + c + de~Xr, onde a. b, c. der são números reais

c r > 0. Então, à medida que r varia, a soma das multiplicidades dos zeros dc f no semi plano

aberto direilo pode mvdar somente se um zero de f ajHirece ou se existir um A neste semiplano

tal que / ( A , r ) = ÍUJQ, U>O 6 R .

O resultado acima pode ser encontrado em [G] (Lema 1).

Teorema 1.6. (Ascol i - Arzelá) Sejam K um espaço métrico compacto e E c C(K.W").

Suponhamos que exista N > d tal que |/(:r) | < N, para quaLstiutu- x ç- h\ f € /v e (jue JC seja

equicontínuo. Então E é relativamente comiísw.to.

Este resultado encontra-se demonstrado em [1],

Teorema 1.7. Sejam K c um suconjunlo fecha d, o. limitado, convexo e de dimensão infinita em

um espaço dc BanacJi X. A : K \ {:í'o} —> K uma aplicação completamente c.onthiu.a

9

T(h) = í J a

,-b V{6)h{0)d0, h e £!([tt,b],WL)

As considerações al)aixo referem -se à uma classe especial de equações diferenciais funcionais

lineares com retardamento:

onde L : C —-> R" é uma função linear contínua. Esta hipótese implica que existe uma função

matricial n x n. da forma »/(0), com —r R". cv € R} é de

uma raiz ca.rnctcristica A(rv) da EDFR(L(a)) de classe C1 para |rv| < evo 0.

2. Existem um subconjxmto K Ç C fechado c convexo com 0 £ K c S > 0, tal que:

8. Existe uma função completamente continua D : K \ {()} —> [cv. +oo), 0 < n tal que a

aplicação definida por:

Mt) = E(xt)

classe C]. Sc. Ao é uma raiz ciiracteristicti, simples da EDFR(L({))). então existe. um o 0 > 0 e

v = v(6)= rnf{\7rxeK. = 6} > 0

A(/) = xl)^{(P), 0tK\{0}

levando K \ {0} sobre K é completa,mente contínua.

Então 0 é um ponto ejetivo de A.

10

As considerações abaixo refercra-se ao Teorema da Bifurcação de Hopf.

Consideremos uma família a um parâmetro de equações diferenciais funcionais re tardadas

da forma:

x(t)= F(a,xt), (1.2)

onde F(a, (/>) tem primeira e segunda derivadas contínuas em relação a a e 0, para a € IR, G C

e F(n, 0) = 0 para todo a.

Definimos L : R x C ^ R " por:

L(cv)\I/ = FlJ{a,0)^.

onde Fa{«, (J) 6 a derivada de F(a. ô) com respeito a em 0 = 0.

Consideremos as seguintes hipóteses:

1. A EDFR(L(0) ) linear tem uma raiz característica imaginária pura simples Ao = ivo ^ 0 c

todas as raízes características A j Ao, Ao satisfazem A j ^ tííAq para qualquer inteiro m.

Como L(a) c continuamente diferenciável em relação a a. de acordo com (12](Lenia 2.2,

seção 7.2), existe no > 0 e uma raiz característica simples A(«) da equação EDFR(L(a ) )

linear, que possui derivada contínua A(n) em o, para | a | < no.

2. /?r(Á(0)) ± 0

T e o r e m a 1.11. (B i furcação de H o p f ) :

Suponhamos que F((\. ò) seja. continuarneiite diferenciável com respeito a a e | < 5q.

11

Capítulo 2

Existência Local de Soluções

Periódicas para a Equação de

Liénard

Consideremos a equação de Liénard com retardo finito

x(t) f(x(t))x(t) + ç,(x(t. - r)) = 0 (2.1)

onde r é uma constante positiva, / e g são funções de classe C2 c

12

Observe que x(t) 6 solução cia equação (2.1) se, e somente se X(T) for solução da equação

(2.2). Sendo assim, se desejarmos obter resultados a respeito da estabilidade da solução nula

para a equação (2.1) basta analisarmos o comportamento da solução nula para a equação (2.2).

Deste modo. determinemos a equação característica associada à equação (2.2). Notemos que

a parto linear daquela equação, desenvolvida através da série1 do Taylor ('tu torno do zero, é

X(R) + rf(i))X (r) + r2g(0) + r 2 r / (0)X(r - 1)

Donde, tendo em vista a igualdade (2.2) obtemos

X(t) r / ( 0 ) X ( r ) + + R2g(Q)X(T - 1) = 0

Ao considerarmos como solução da equação (2.2) a função X"(r) = CCXt, onde c é uma

constante não nula, então obtemos

X2CCXT + R / ( 0 ) C A C A R -I- r2n(0) + r2Á(0)eeA(r-b = 0

Como E 0. //(O) = 0. //(()) = II e /(()) = IH, segue que a equação característica da equação

(2.2) é

A2 + nirX + nr2e""x = 0

Para estudarmos a estabilidade da solução nula daremos alguns resultados a respeito da

equação característica (2.3).

L e m a 2.1. Existem ro G R+ e LJQ G R ta,IS que para r G (0, /'o), todas as raízes da equação

(2.3) têm partes reais estritamente negativas. Se r = >'o então a equação (2.3) tem um único

par de raízes imaginárias puras, a saber z\ = ÍLOo e z2 = -iu>o enquanto todas as outins raízes

têm parte real estritamente negativa e 0 < /• o < ,t((OK--

e 0 < ujo < f.

Dcmonsl raçao:

Suponha inicialmente que exista w ê R tal que z\ = ito e "-2 = —/o; sejam raízes da equação

(2.3). Então, observe que:

z2 + rrnzi + nr2e~~' = 0

Donde

13

-tu2 + rnriuj + nr2e = O

Isto é

—LO2 irniuo -| NR2 c:os(LO) — NR2isun(ui) = 0

Ou seja

-J2 -I- rir2 eos(w) ) I /I »/ru> - nr~ scn(^) ) = 0

Assim, obtemos o siste:

LO'2 = nr2 cos(w)

rwru; = / / / •2 sen (a;)

Da mesma forma, observe que se Z2 = —iu>, então zo também é raiz da equação (2.3).

Por outro lado. suponha que exista w é R tal que w satisfaça o sistema acima.

Deste modo, observe que se z\ = iw temos

z2 + wrz\ + nr2e~s> = —LO'2 + VIVÍLO + nr2 cos(w) — rnr2 sen (o;) = 0

Analogamente se c2 ~ "'huJ então z-2 satisfaz a, equação acima.

Desta maneira, a condição necessária e suficiente para que z\ ~ iu) e z-> — - iw sejam raízes

da equação característica (2.3) é que u> seja solução do sistema..

Do sistema (2.4) obtemos, elevando a segunda equação ao quadrado,

o o 2 1>"l" •>

LO = —íj- se i r LO m-

Substi tuindo a igualdade acima na primeira equação do sistema (2.4) obtemos

Isto é

= n 2 r 2 cos c

vi2 1 — COS2 LÚ = — COS LO (2.-r>)

II

0 2

E. logo. cos u,- cosu; - 1 = 0

Fazendo y = cos LO obtemos:

14

nr y + — fjf — 1 = O

71

E daí, obtemos os seguintes valores de y

. / m4 + árfi _ m2 _ y J = e y 2 =

Da primeira equaçao do sistema (2.4) temos que

a;2 r, = COSUJ

nr

Como ur > 0, n > 0 e r 2 > 0 segue que 0 < cosa; < 1.

Agora,, observe que para quaisquer coust.aut.es positivas vi e n temos

n r = Vm'1 < \ /n i 4 4 4n2 (2.G)

/7n1 +4Íi2 Donde < II

E, portanto. 1/2 < 0.

Por outro lado, observe que 0 < 4nni.

Donde w 1 + 4 / r < m* -I- Amir 4n2 = (m2 + 2n2)'2.

Portanto.

-m2 + \ / m r - f 4 n2

2ri < !

Isto ê y\ < 1.

Ainda, de (2.(i) segue que

-nr -I \/vr1 +- 4 ;;1

2n

E : portanto 0 < ,Í/I < 1.

Desta forma segue que

-rir + vímr+4n~ COSî ' =

27)

Definimos então / —rir + y/m'1 + 4n2 \

OJo = arccos I — I (2.7)

15

n> = ( 2 . 8 ) yjn cos lJo

Obsc]'veinos agora que

2 1 2 2 4/1 2 \

•n r0 scnwo = n r 0 ( l - cos u>o)

Substituindo (2.5) na equação aciuia obtemos

n2rq sen u>o = nr^m 2 cos u/o

Da primeira equação do sistema (2.4) segue que

n2?o seu2 ú-'o = m2o — mrou>u (2.9)

E, ainda.

ujf) = rir2 cosido ( 2 . 1 0 )

Desta maneira, de (2.9) e (2.10). vemos que o par ordenado (wo. n>) satisíaz as equaçòe,s do

sistema (2.4). Desta forma. z\ = IUo e z

1(5

Assim, concluímos que

uJQ 2Á'7T 2Á'7T ri = — H = ?'o H . para algum inteiro k.

^/n cosuj{) sjv cosnj() y/v/coscvi)'

Observe agora que se k = 0, então r\ = r 0 , o que é absurdo. Por outro lado, se /,: é um . . . . . 2KN inteiro positivo então r\ > rq. visto que - > 0.

^ í COS Ul>[)

Por outro lado observe que 0 < cos^o < 1

Donde, segue que 0 < u>o < f •

Daí.

0 < — < ^ eos í j n coswo

E, ])ortanto,

2kir (2k -f- l)ir 0 < 7*0 + < v

y/n cos U)Q Y

17

Então do Teorema 1.1 do Capítulo 1 sabemos que

a(Fr(A)) = sup{Rc(A) : dct(Fr(A)) = 0}

é finito e é uma função contínua de r. Em outras palavras, estamos afirmando que o supremo

da parte real das raízes da equação (2.3) varia continuamente com o parâmetro r. Observe que

para r = 0 temos a seguinte equação:

A 2 = 0

cuja raiz dupla e A = 0. Assim a (Fq(A)) = 0.

Consideremos agora a função

X\r) = o(7') i^(r) (2.12)

representando as raízes da equação (2.3) satisfazendo o(0) = o(•/•()) = u.'(0) = U e ^(/'o) = iJq.

Então ol)serve que

A2(t) + rmX(r) + nr2e~X(r) = 0

Daí, derivando a equação acima obtemos

H X ( r ) , , J M r ) \ , .Vo._-A(r) _ „2 2 A ( r ) — + /77 A(r) + + n 2re~Á(r} - r 2 e dr V dr j \ dr

Donde

dX(r) dr

2A(7'„) ' " ' ' o A(r„) r = r{]

Como A(/'o) = i.uJo obtemos

A('/'o) - 2n/•()(' Air,,)

dr [2ioJo + mro ~ nrQCo.swo + inrf -MIUJQ — 2nr'ncosu;o + 2INRQSENU>O

Tendo em vista as equações do sistema (2.4) obtemos

dX('r] dr |i(2a.'o + íuroiJo) T mro - Wq] = i(—mwo + 2mwo) -

,2

íílíl •''O

18

Donde

rZA(r) dr (?/)//o - u,'5) I Í(2U,'O -f mroun))]

Ou seja

d X (r dr' r=r0

I 2ro/ít.'o-ro)[(mro - - *(2u.'o -(•• mrw0)l •'•o[("wo - + (2u>0 + mr

Fazendo A = ro[(mro — w(2)2 + (2^o + mrujo)2] obtemos

dX(r) dr

- vii\)|- cjj' + 2/cjq + imro^j] + 2i^,o?,(2'"2 •• 'Zmiu^ro + iníu/pro + 2ni Ã

ií ,2,,.2

E. logo.

(ÍX(r) dr

SmujQVQ +o>,'J + 2 ,2U;q — twqWQ

'"'•o A + 7 -

A

Deste modo, como dr

da(r dr + /

riw(r) d/r

segue que

dr ('òmu>{\r{) bn^2r2)

A

Desta forma, existo 6 > 0 tal que para r d (m S, ro à), a função n( r ) é crescente.

Consequentemente a função a(Fr(X)) é crescente neste mesmo intervalo.

Como a(Fru(X)) — 0, segue que existe r\ < r 0 lai que a(Fr, (A)) < 0. Além disso. a(Fr(X)) /

0 para r 6 (0,ro). Desta maneira, pela continuidade de cr{Fr{A)) segue que a(Fr(A)) < 0 para

•/• £ (0, n))-

19

Portanto, para r £ (0,ro) todas as raízes da equação (2.3) tem partes reais estritamente

negativas, enquanto que para r = ro existem apenas duas raízes imaginárias puras e as demais

raízes também possuem partes reais estritamente negativas.

Por fim, observe que já mostramos que 0 < wo < — e além disso observe que rg = 0 2 y/v cos ujo

Donde segue que 0 < r0 < j ^ H T ^ r

E, portanto, o lema está provado. •

Definimos agora as seguintes constantes

2/7r RJ = 'o + , J J = 0, f, 2, ...

y/n cos u>o

onde a»o e ro são definidos por (2.7) e (2.8). Para r = r j está provado 110 lema acima que

z\ = Í.UJQ e zo — —WO é o único par de raízes imaginárias puras da equação (2.3).

Definimos aluda

A j ( r ) = (\j(r) + í^jj(r), j = 0, 1, 2,...

como sendo as raízes da equação (2.3) satisfazendo o ; ( r / ) = 0 e a»j(ry) = a>o-

Com isto, obtemos o seguinte resultado

L e m a 2.2. Sejam A,-(r) = j(r) como definido acima. Então:

d , > 0 R = RI

Demonstração:

dendo em vista que Xj(r) 6 raiz da equação (2.3), então para cada j = 0, 1. 2,... temos que

X2(r) + mr\j(r) +nr2c.x'{r) = 0

Deste modo, toniando-se a derivada em ambos os membros da equação acima obtemos

Isto é

2 A ( r ) ^ - + m U r ) + r ^ ) + n í2re~^ - ) = 0

2Xj (;•) I vir - vr2cX'(r^ = ~mXÁv) "" 2™-{r)

Donde

20

d w N -rn.X-Ar) - 2nre x>{r — A Ar) = -dr 2A j ( r ) + mr - nr2(Mr

Por hipótese, sabemos que A,- (r,-) = cvy (ry) + iujj (ry) = íw».

Desta forma, obtemos

Do lema anterior, segue que:

~rniuj{) — 2nro cosu;()2mro sen^o 2wo + " ' ''o — m-jj cosmo + '" ' 'o senwo

d Ih-

Xj(r) -

Portanto, segue: que

'3muj{jr() + w0 + 2í/ru.,Qí,õ . 2u,'{, — mrou>'Q I- 2muar A

onde A = ?'o[(mr0 - ujf})2 + (2w() + m r ^ o ) 2 } .

d , Tendo em vista que — XAr

dr

A

segue ([ue

T r ^ ' 'òmuQ-ro + wjj + 2m~u/0r0

à >

Agora, daremos um resultado importante a respeito das raízes da equação caraterístiea (2.3).

L e m a 2.3. Para r = r-)t j = 0, 1, 2 , . . . , a equação característica (2.8) tem um único par de

raízes imaginárias ptiras e 2j raízes com parte real positiva enquanto todas as outras raízes tem

parte real estritamente negativa.

Demonstração:

Para esta demonstração utilizaremos o primeiro princípio de indução finita sobre j .

Com efeito, note que para j = 0, ou seja, quando r = ro, a equação caraterístiea (2.3) têm

um único par de raízes imaginárias puras que são z\ = iu>O e z^ = —ÍCOQ, enquanto as demais

raízes desta equação possuem parte real negativa, como provado 110 Lenia 2.1.

Suponha agora que o lema seja válido para k 6 Z_ . ou seja. que para r = /'A- a equação (2.3)

tem um único par de raízes imaginárias punis. 2k raízes com parte real positiva enquanto todas

21

as outras raízes tem parte real estritamente negativa: e provemos que esta afirmaçao continua

válida para k + 1

De fato. observe que para r = r^ - j temos apenas um par de raízes imaginárias puras, como

foi mostrado na demonstração do Lema. 2.1. a saber: = /u.'o e z-j = - k d

> 0. Logo. teremos a Além disso, para r = ?>.| i temos, pelo Lenia 2.2 que — n j ( r dr partir de r = uma raiz com parte real positiva, ou seja uma raiz 110 semi - plano:

A = {(x,y) e K2 : > 0 e y G M}

Desta forma, a soma das multiplicidades das raízes da equação (2.3) 110 semi plano A se

alterou. Pelo Teorema 1.5. temos a existência de mais unia raiz da equação (2.3) com parte real

positiva,. Como as raízes desta equação vêm sempre aos pares, temos a, existência, dc: mais duas

raízes a partir de r = •/•*•+1 com respectivas partes reais positivas.

Como da hipótese de indução já tínhamos 2k raízes com parte real positiva, passamos agora

a ter 2 (k + 1) raízes com parte real positiva, duas raízes imaginárias puras e as demais raízes

com parte real estritamente negativa, isto completa a prova do lema. •

Por fim, apresentaremos uni resultado a respeito da estabilidade da solução nula da equação

( 2 . 2 ) .

Teorema 2.1. Para r 6 (0,ro). a solução nula da equação (2.2) é assinloticamente estável.

Para r > ro, a solução mda da equação (2.2) é instável e para r sufictciilt-uiente próximo a

r.j (J = 0. 1. .2 ....), a equação (2.1) apresenta bifurcações de Hopf.

Demonstração

Pelo Lema 2.1. todas as raízes da equação característica (2.3) têm respectivas partes reais

estritamente negativas para r £ [0,ro). Desta maneira se r e (O.ro), a solução nula da equação

(2.2) é assintoticamente estável.

Por outro lado. para. r > ro algumas raízes da, equação característica (2.3) passam a ter parte

real estritamente positiva. Assim a, solução nula, da equação (2.2) é instável para r e (''o, H-oc).

Por fim, para valores próximos de Tj{j = 0, 1, ,2 ,...) temos do Lema 2.3 a existência, de

um único par de raízes imaginárias puras da, equação característica (2.3) não nulas. Ainda, do

Uo. Lema 2.2 temos que RE ( —A;-(r) d í/7 Portanto, pelo Teorema de Bifurcação de Hopf, a equação (2.2) apresenta bifurcações de

Hopf para r suficientemente próximo de r j para j = 0, 1, 2

22

O teorema acima mostra que quando o retardo r está próximo de ry para j = 0. 1, 2. ....

a equação (2.1) apresenta bifurcações de Hopf e. portanto, apresenta soluções periódicas de

amplitude pequena.

Capítulo 3

Existência Global de Soluções

Periódicas

Para estudarmos a existência global de soluções periódicas para a equação (2.2), retomemos o

sistema associado a esta equação, isto 6:

X(r) = Y ( j ) (3.1)

Y(T) = -rf(X(r))Y(r)-r2g(X(T- 1))

Até agora assumimos que / e g são funções de classe C2, /(O) = in. g(0) = n e g{0) = 0.

Além disso assumiremos que:

1. m > n > 0:

71 11 2. Existe uma constante A tal que A > — | 7 c para todo x £ [-A, A] \ {0} temos as 2 711-

seguintes condições:

• /(-.r) = f(.v)

• /(.'•') > 771

• xg(x) > 0

• í ; Í » = -

Para o sistema (3.1) o espaço de fases definido é o espaço de fases usual, isto é

C = C ( [ -1 . 0] , l t2) = {92 : 9 : [-• 1, 0] > R2 contínua}

A norma de cada y j g C 6 definida por:

M = sup |^(0)| -1

25

Notemos então que G é o polígono fechado PQR.P\Q]R\P. Para demonstrarmos este lema.

basta provarmos que todas as trajetórias da solução z(r) que passam em algum ponto da fronteira

de G entram e permanecem 110 interior de G. Para isto, analisemos o comportamento da solução

em cada um dos segmentos que const ituem a fronteira, de G.

1. Segmento RP\

Se 7o é tal que está neste segmento então y(ro) > 0. De acordo com o sistema (3.1)

sabemos que A'(to) = l ' ( ro) . Portanto X(T) é não-decrescenfe em alguma vizinhança de

ro e, desta forma, a trajetória da solução deve entrar no interior de G.

2. Segmento RQ

Se ro c tal (jue Z{TQ) está neste segmento, então í/(to) = — . Pela. condição 2. sabemos que 111

f(X;) > IH e \ = 0 rii

Portanto Y(TO) < 0. Desta maneira a trajetória da solução deve entrar no interior de G-

3. Segmento QP

Note que as coordenadas do ponto Q são ' — j . Este ponto é o i)onto de int.erseção

das retas y = — e x + —y — A. Deste modo. observe que: rn rn'

•> vn x{) + —5- = A rrr

Donde segue que XQ = A —

Pela condição 1. n > 0. Assim, segue que 0 < xq < a. Consideremos agora a trajetória da

solução z(t) = (X(T),Y(T)) 11a região I. Nesta região segue do Teorema do Valor Médio

que:

\X(R) - X(T - 1)| - |A'(01 onde r 1 < £ <

Do sistema (3.1) e da condição 3 segue que;:

, / N, rn ( . r2n\ rn ri , r2n | AR - 1 - X T = 7 0 < - < ( A - — ) = >!- — = ,:„

111 V 111- ) N 111 711-

26

Se existe T\ e K tal que a tra.jetória z(T) = (X(T),Y(T)) intercepta o segmento PQ cm

algum ponto z ( n ) = (A'(ti), Y(TI)) então X(r 1 ) > XQ e então

E daí,

E, portanto,

|A'(n - i ) - A ' ( n ) | 0 para todo x e [-A. A] \ {0}. Desta forma, obtemos

que (j{x[t\ f)) > 0, pois 0 < x(ti — 1) < a.

Além disso, seja /j a inclinação do segmento PQ. Então:

u = rn < ^ ^

-rm A — zq m

Por outro lado. se a inclinação da trajetória z(T) = (X(T).Y(T)) em r = r j for H, então:

/•> = lim Y^-Y^ - h) Y(T,)- V(N - H)

= lim — h ,0 X(t\ ) - X(t| - h) /,- .() xí i lUX] h -/o

Y(r,)

Pelo sistema (3.1) obtemos

h = x w = ~rnx{Ti)) ~1 < - r i ( A ( r j ) )

Pela condição 2, f(X(Ti)) > m. Logo, l2 < —rm, isto é, 1-2 < l\. Portanto a trajetória

Z(T) entra no interior de G.

4. Segmento P R i

Se existe mu m tal que Z{TQ) = (À'(ro). Y(RO)) esteja neste segmento, então Y(TQ) < 0.

Do sistema (3.1) sabemos que A'(r(l) = l"(r()). e. então, segue que A'(r) é decrescente neste

segmento e, portanto, a trajetória da solução Z(T) entra no interior de (,'.

27

5. Segmento fí\Q\

Seja ro tal que ~(Vq) esteja neste segmento. Então Y(TQ) = - — . Da condição 2 sal)emos m

que f ( x ) > m e |t/U')| < n para todo x e [-A. A] \ {0}. Desta forma, pelo sistema (3.1)

obtemos:

Y(T) = -rf(X(T))Y(T)-,-2y{X(T-l))

= r f ( X ( r ) ) (-Y(T)) - r"tj(X(T - 1)) > rm j r2-» > 0

Desta maneira, segue que a função Y é não-decresccnte, e segue que a trajetória da solução

z(r) entra no interior de G.

6. Segmento Q\P\

Observe que Q i = (xo- ) c o ponto de iuterseçào das retas y = e x 4 ij = —A. V 777 / m 77? '

Portanto. :?:0 + - ( - - ) = - A " m V tu I

Donde

r2n •''o = — j -- A m-

Da condição 1 sabemos que n > 0. Assim, segue que XQ > —A.

Consideremos agora a trajetória da solução z(r) na região III. Pelo Teorema do Valor

Médio temos:

\X(r) - X ( r - l ) | = |y(0|. t--l

28

Pela condição 2 sabemos que xg(x) > 0 para todo x e [-A,A] \ {0}.

Como -A < X ( t i - 1) < 0, segue que fy(X(r, - 1)) < 0.

Seja então l\ a inclinaçao do segmento P\Q\. Então

/1 r-n

Porém, se a inclinação da trajetória da solução z(r) em r = t\ for l2 temos, do sistema

(3.1):

/ V TL FÍ Y( W r 2 g A T, - 1 H = -777—R = - ' ' . / W N ) ) 777-T < -R}{X[TI)) < —RM

A r , x(Ti)

Ou seja,

h

• é a solução corri dado inicial

30

Desta forma X ( r ) c estritamente crescente e F ( r ) é estritamente decrescente nesta região.

Portanto, existe um ponto TJ 6 R tal que Z(N) = (A(ri) .O) e a trajetória da solução Z(T)

entra na região ff para r > ri .

Por outro lado, observe que X(Ti) > 0 e A"(rj - 1) > 0. Desta forma, pelo sistema (3.1)

segue que

X ( r i ) = 0

e

F ( r , ) - - r / ( X ( r , ) ) y ' ( r l ) • R2G(X(T] - 1)) < -V2 0 tal que Y(T) < 0 para r G (ri , T\ + TF].

Quando a trajetória da solução Z(T) está na região 11 temos Y(T) < 0. Desta fornia, pelo

sistema (3.1) sabemos que X(R) < 0. Portanto X(T) é estritamente decrescente nesta

região.

Agora observemos que a trajetória da solução Z(T) não pode retornar à região I. Com

efeito, se isto acontecesse então existiria um r ' > ri tal que Y(T') = 0, Y(T') > 0 e

X ( r ' - 1) > 0.

P o r é m Y{T') = -RF(X(T'))Y(T') - V2 > T\ tal que s(r>) = (0,.i/(ro)), IJ(R>)) < 0

e para todo r > to, T em uma vizinhança, suficientemente próxima de TO temos a

trajetória da solução Z(T) na região III.

b) Existe T' tal que Y{T') > 0 e z(r) está na região II.

31

Sabemos que a t ra je tór ia da solução Z(T) não retorna à região II. Deste modo, para

assegurarmos que a t rajetór ia da solução Z(T) passa para a região III, devemos nos

considerar somente com a possibilidade de existir T2 > T\ tal que Z(T2) = (0,0) e a

solução Z(T) estai' na região II para r G {T\,T>). isto dev

caso pode haver a possibilidade de a t ra je tór ia da solução ir direto para a região IV.

Com efeito, se existir tal to então do sistema (3.1) sabemos que X(T->) = 0

e Y(T2) = -rf(X(r2))Y(T2) - r2g(X(r2 - f ) ) = -r2g(X(r2 - 1)) < 0.

Desta forma, observe que a tangente à t ra je tór ia da solução z(r) em R = T2 é

perpendicular ao eixo x.

Pela continuidade de Y existe 5 > 0 tal que Y ( t ) < 0 para r G (r2 — õ , r 2 ) . Desta

maneira, segue que X(T) < 0 para, r G (r2 - r2) .

Por outro lado Y{T2) < 0. Logo, pela continuidade dc Y existem ò' e r:< tal que

R-I G ( r 2 , r 2 + 5') e Y(T>,) < 0. Desta maneira, X( t3) < 0 e a t ra je tór ia da solução

Z(T) entra na região III a partir de ry.

Por out.ro lado. como X(T) = Y(R) e Y(T) < 0 para todo r tal que Z{T) esteja na

região 111. segue que x 6 decrescente nesta, região e. portanto, a trajet ória, da solução

Z(T) não retorna â região II nem sai do conjunto CL.

Alem disso, para r > T-,\ + 1 temos cine X(T — 1) < 0. Desta forma, pelo sistema (3.1)

temos que

Y(F) = -V}(X{T))Y{T) - R2g{X(R - 1)) > -R2g{X{R - 1)) > 0, p a r a r > r 3 + 1

Portanto, para t > v; + 1 a função Y 6 estri tamente crescente. Deste modo existe

7~4 > TI tal cjue 2( r j ) = (A'(r,i,0) e Z{T) está na região 111 para r G ^3,74).

Por iim, existe r5 G ( r y , r . 1] tal que A ( r 5 - 1) = 0 e Y(T5) < 0.

Definimos ent ão Tj () = 75. Como 75 - 1 > 0 segue que T\[ip) > 1- Pelo teorema da

dependência contínua segue ainda que Ti(

ii) Observe que:

Ou, equivalentemente:

rv — < Y{TS) < 0

M

0 < -Y(Tr,)) < — m

iii) A'(r;-, - 1) = 0

rn

ou, equivalentemente,

rn J

v) A função X(T-, + 9) é não - crescente para 9 G [—1.0]

P o r t a n t o ZTÍI^{ÍP) G - K .

2. Seja Z(T) a solução da equação (2.2) com dado inicial onde

33

Pelo teorema, da unicidade segue ainda que z{—y) = -z{y>).

Desta maneira, pelo item anterior segue que existe uma função

'I\{ip) : A" \ {0} ^ fe+oo)

tal que :

zTl^( (1,+oc)

tal que:

e -K

Porém:

z^-^H-ip') =

Observe ainda que —zT2^~v também é solução da equação (2.2) o z T 2 ^ v 6 K .

Por fim, como ç ' depende; continuamente de segue que T-> é urna função contínua de

Observe ainda que Ti(tp) < T2 ( K da seguinte maneira,:

B{p) =

onde z(p) é a solução da equação (2.2) satisfazendo 20 = yP o T\{

< A + —. 9 £ [-1.01 rn

Desta forma BKi é uniformemente limitado.

Sejam agora z ' ^ 1 ' e z 1 ^ ) elementos de BK{. Então para quaisquer t \ e T2 no intervalo

1,0], com n < rã c £ > 0 existe S > 0 tal que se | n — T2| ,) + - I- T2).y(T((pi)) - V(7 ' (^ 2 ) ) ) |

Ou seja

- zT'^(T2)\ < \X(T{^) + n ) - X(T(tp2) + r 2 ) | + \Y(T(^)) Y{T{^2))\

Pelo Teorema do Valor Médio segue que existem ^ e f;2 no intervalo [i~i, T2] tais que

\X(T(^) + ri)-X(T{^2)+T2)\ < | Á ' ( Í I ) [ | T 1 - T2\

|V(7Vi)) Y(T(^))\ < t2\

Logo

| A ' ( r ( ^ ) + r 1 ) - X ( T ( ^ ) + r 2 ) | + | F ( T ( ^ 1 ) ) - F ( r ( ^ ) ) [ < | Ã ' ( 6 ) | h - r 2 | + | y ( 6 ) | h - r 2 |

Por lim, observe que

VI

\Y(T)\ = \ - rf(X(r))y(t) - r2g(X(T - 1))| < \rf(X(r)Y(r)\ + \r2g(X(T - 1)[

Segue então q \ i e |F ( r ) | < r2 maxx e |_, i . . , i f(.r.) + ri).

Portanto.

z ^ ^ i r y ) - z t ^ ( t 2 ) \ < |X(Çi) | | r , - r 2 | + j F ( 6 ) l h - r 2

36

Ou seja,

RN

m + R m

N viuxx€[_AA]f(x) + n) ] | n - r 2 | < £ ))i

Deste modo, segue que BK\ c equieontímio. Assim, pelo Teorema dc; Arzelá-Áscoli (Teorema

1.6) sabemos que BK\ é relativamente compacto. Isto prova que o operador D é completamente

contínuo. •

L e m a 3.4. Seja r > ?•(). Então:

onde A é autovalor da, equação (2.,'i). Re{A) > 0, /'o é definido por (2.8), é a 'projeção

obtida relativamente à, decomposição de C citada no Teorema 1.9 (página 9) e ro c. o primeiro

valor onde encontramos bifurcação de Hopf paru a equação (2.2).

Demonstração:

Retomemos o sistema (3.1). isto é

u n f \ \ T T ç Ç- I\, ^ 1} > 0

A » = Y(T)

Y(T) = - r f ( X ( T ) ) - r 2 y ( X ( T - í ) )

Então, a parte linear das equações deste sistema é dada por

X(t) = Y(T)

Y(T) = -rmY{T) - V~VX(T - 1)

Escrevendo este sistema na forma matricial temos

í X(r) \ Denotemos V(T) =

V /

Deste modo temos a equação matricial

37

, O 1 \ / O O , V(r) = | V(T) + | V(r 1) (3.3)

O -tui J \ - r2n O Podemos reescrever a equação acima da. seguinte forma

, 0 1 \ / 0 0 , v » = I K(0 ) + ) VVC—D

(J —viu J y -r2n 0

Observe que neste caso temos uma equação diferencial funcional autónoma da forma,:

V(T) = L(VT)

onde:

, 0 1 \ / 0 0 , m = | U ( o ) + 1 0 ( - i )

0 —rm / \ -r2n 0

0(r)= |

38

, O 1 \ / O O H(T) = - H ( T ) | — H(T + 1) Í

O -mi J y -r2n O

Reescrevendo esta equação cm forma de sistema, obtemos

Ú (T) = V2NW (T + F)

\V{T) = -U{T) + rmW[r)

Sejam agora ç = (p.«) e ^ = (b, F). com

Consideremos agora uma sequência (

40

Isto é.

Donde.

( t f .^s) = nv , (0 ) + ?7Vs(0) - r-

4 rru j sen(rr((? | L))0w(0)r/0

II r •7(0 + 1 ) , . , eos(rr(fi» + I ))o6,s((9)f/(9

a ^ , ( 0 ) - r2n j e-~i[U+í} cos(a{9 +

/•O + i / V , ( 0 ) + r 2 n c

10+i)

Af>+]hcii{a(0 + Í))(!>.s(0)d0

E, portanto,

/•O = oí^,(0) - r2n j v ~>{0''1) cos(ct(0 + l))c/>,(0)

41

Por outro lado. lira = 0. Logo. lim,s._+oc

Donde

lim (A I - A 2 ) 0 S ( O ) + r 2 n e - A J ) _ e-Ai(^-l) = o

Observe que <

Portanto.

lim r~n e - A 2 ( 0 + l ) _ g — A i ( 0 + 1 ) ÓS{6)

43

(A I + rni)e~XiT - AJ [ (A I + rm)r + h]e~XíT = r2n(r + 1 + U ; ) E " A | ( R ^

CRX'T - A I ( R + U;)E~X[T = - [(AI + R M ) R + li.\E~X'T + VIII{T + U ' ) E " A , R

E, logo. para r = 0 temos

A] -+ rm - A = r " n ( l f u.>)r.~A|

1 — Ai w = —h + rnrw

Ou seja,

-A|/j — r2iiwe~x> = r2ne~Xl — A| — rm

-h + rnrw = 1 — A \w

Da secunda equação do sistema (3.6) obtemos

h = - 1 -I- (A, + rrn)w

Substituindo o valor de h na primeira equação do sistema (3.G) temos

—A|[—1 + (A, + rm)w] - r2nwc~M = r 2 w T A | - Ai - rm

Tendo em vista que Ai ó a.ut,ovalor da equação (2.3) segue que

r2ne A | = - A? - rm A.

Donde,

Ài f — 1 4- (Ai + rm)w] Ai (Ai + rm)u: = -X2 - mr\\ - Aj - rrn

Ou seja, Af + 2A| 4- rmXi 4- rm. = 0

Resolvendo a equação aeima obtemos:

^ -(rrn + 2)tVr2m2 + 4

(3.6)

Porém, note que —4rm < 0.

E, portanto, r'2rn2 + Arrn + 4 — 4 r m < r2rn2 + 4rrn + 4.

Isto é,

r 2 rn 2 + 4 < (rm + 2) '

E. logo, \j(r'2rii2 + 4) < (rrn + 2).

Deste modo A] < 0. o que contraria nossa hipótese.

Isto completa a prova do lenia. •

T e o r e m a 3.1 . Se as hipóteses 1, 2 e 3 são válidas, então o sistema (3.1) tem soluções

•periódicas não-triviais de período maior que 2; para r > ro, onde ro é definido por (2.8) e é o

primeiro valor de existência de bifurcação de Hopf da equação (2.2).

Demonstração :

Inicialmente observemos que:

i) I\ é fechado

Com efeito, sabemos que K G K. Consideremos então p — (ç>.p) C T\. Desta forma

existe uma sequencia = (

f{s) = (1 - s)ip 1 + S?2 = ( ( 1 - s ) 0 1 + S02. (1 - + sp2); S G [O, l j

M o s t r e m o s q u e f ( s ) e K p a r a s e [0,1] . D e fat.o, t e n d o e m v i s t a q u e 2 e s t ã o e m K

t e m o s :

rn rn 0 < Pi < — e 0 < p2 < — rn rn

Como s G [0.1] segue que (1 — .s) > 0. Logo,

Portanto.

Ou seja,

,rn rn rn 0 < (1 - s)pi sp2 < (1 - -s')— + -s— = — rn ni rn

(1 - s)çí>i(-l) + s 0 2 ( - l ) = 0 . para s e (0.1)

(0) + — < A e d>2(0) + — < A m rn

(1 - s ) 0 i ( O ) + (1 - s)— + s(p 2(0) + s — < (1 - s ) ^ + a A m rn

,s)(.ò,((.)) -I ,s)(0)J -!- — < A 111

— Sejam x e y elementos de [—1,0], com x < y. Então

(1 --*), (:;;) + scl>2(x) < (1 - s)0i (y) + sè2(y), se [0,1]

Portanto, f(s) € K, para s € [0, 1]. Desta forma, K é convexo,

iii) K é limitado.

Observe por fim que pelo Lema 2.2 a equação característica (2.3) possui autovalores com parte

real positiva para r > r(). Além disso, pelo Lema 3.3, o operador B é completamente contínuo.

Ainda, pelo Lema 3.4 segue que se A e autovalor da equação (2.3) com Re( A) > 0, então

mj{|tta(V?)|. ? G A". M = 1} > 0.

Logo. pelo Teorema, 1.10. segue que (•'',.//) = (0.0) é um ponto ejetivo de B.

46

Além disso, pelo Lema 1.7 segue que D possui um ponto fixo que não é ejetivo. Seja

ip íz K \ {()} este ponto. Então temos que

Ou seja Zf(ip) o periódica com período maior que 2T](ip). Como Ti( 1 segue que

27}((P) > 2. Isto prova o teorema. •

Por lim, note que a solução X*(r) da equação (2.2) tem período pj maior que 2. Seja então p2 o

período da solução ./:(/,) da equação (2.1). Como X(T) = x(t), onde /, = r r segue que

x(t+p2) =x(t)

Ou seja. x (r (r &)) = x(rr).

Donde. X (r -R >F) = X (r).

Logo, pi =

Ou, p2 = rp\.

Como pi > 2 então p2 > 2r. Deste modo, concluímos que para r > ro a equação (2.1) possui

soluções periódicas não - triviais de período maior que 2r se as condições do Teorema (3.1)

estiverem satisfeit.as.

47

Capítulo 4

Aplicações a modelos Físicos e

Biológicos

Neste capít ulo aplicaremos os resultados dos capítulos anteriores a alguns modelos físicos e

biológicos.

E x e m p l o 4.1. Já vimos no capítulo 1 a equação do girassol estudada por Somolinos em [22].

A equação referida é a seguinte:

x(t) + --x(/,) + l^sen{x{t - •/•)) = 0 (4.1)

onde a, b e r são constantes positivas.

Se fizermos a mudança de variável t = TT obtemos a seguinte equação:

X(T) + ARX(T) + r2bsev{x(l - r)) = 0

A equação característica então é:

A2 + arX + br2c~x = 0 (4.2)

Ainda, podemos observar que neste caso ternos:

A B B j(x) =

Pelo Lema 2.1. existem valores u>o e ro tais que a solução nula e assintoticamente estável para

r e [0, ro) e para r = ro a equação característica (4.2) possui somente duas raízes imaginárias

puras. Ai = iu>o c = —ÍWQ, enquanto todas as demais raízes possuem partes reais negativas.

Neste caso temos:

{ s/a4 + 4b2r2 - a2

«* = — 2òr

i V 2 ( / « ' -f 4l>2r2 - a2 r0 = r arccos —

/ a ' - I - A l > 2 r 2 - ,

Deste modo. pelo Teorema 2.1 segue (jue a solução nula da equação (4.1) é instável para r > ro

e para valores próximos de r ; onde

"\/2 í \/a4+4b2r2 - a2\ 2jTrr\/2 , arccos — ) H : r . j = 1, 2,

2 br a1 + 4b2r2 -a2)- \ / y/a1 + 4b2r2 - a2

a equação possui soluções de amplitude pequena uma vez que para estes valores de r ocorrem

bifurcações de Hopf.

Por lim observe que temos o seguinte resultado:

Teorema 4.2. Sc < r. r > r0 c r'1 + ar — an < 0 então a equação (4.1) possui soluções 7Tí7' com períodos maiores que 2r.

Demonstração:

Observe1 que:

i) a > b donde - > - . Logo m > n > 0; R R

ii) ry(0) = ^sen(O) = 0:

iii) Para todo x G [ - tt. tt] \ {0} temos que:

- /(-'•') = - = /(-x); r

í(x) = -> m; r b

- De acordo com o gráfico abaixo podemos perceber que xg(x) = x- sen(.r) > 0;

49

1.8-

1.6

1.4

1.2 -

1

\ 0.8

\ 0.6

\0.4 - l

Q,2

- 3 - 2 - 1 1 x 2 3

x) = — son (.;;) = -scn(-.-r) = //(-:?:); r R

b < - = n. R

-sen :r

2b iii) Note que. —^ < r.

NO „ . 7T b (Ju seja. — > —2 r.

7T Ò E. portanto, tt > — r̂

2 a.

Logo, 7T > 2 u~ >

7T Vi

> 2 m~2' E. portanto.

Por hipótese r > vq

Corno r 3 + ar — «7r < 0 segue que ar + R"I < a TT.

í r2n\ rn Segue que, r < tt T ~ • V ni- / n

Assim, pelo Teorema 3.1 a equação (4.1) possui soluções periódicas nâo-triviais para r > ro

com período maior cju 2r.

E x e m p l o 4.3. Considere a equação do posição angular do leme de um navio de guerra com

dispositivo de direção automática de Minorsky, estudada em [3]:

.i:(t) + MX(L) + ip{x{t - r)) = 0

50

T e o r e m a 4.4. Para a equação acima, suponha que ip £ C2, e:

1. Aí > 0(0) > 0.

2. P(0) = 0

•>'. Existe uma constante positiva H tal que II > ^ + e para todo x £ {- H, II) \ {0}

tenhamos:

• xy(x) > 0;

• booi < m-r 2

4• r o < r e — + r — H < 0. onde:

''o sjn cos ujq

-M2-\ / i l / - ' - ) - 4 ^ ( 0 ) UJQ = arccos

Então, a equação acima possui soluções periódicas com período menor que 2r.

Demonstração:

Observemos o seguinte:

Fazendo uma comparação com a forma geral da equação estudada 110 capítulo anterior

podemos perceber que f ( x ) = M. g(x) = n > 0 por hipótese;

• Para todo x £ [--II. H] \ {0} temos:

i) f ( x ) = C = f(-x):

n) /;(()) - ^(0) = 0

iii) f U ) = C > vr,

iv) xg{x) = x 0 por hipótese;

v) g(x) = ip(x) = -

51

vi) | — - r j r = T d P o r hipótese.

2 Al- 2 nr

• /'o < r. por hipótese.

r2 • Por hipótese — + •/• - H < 0. Daí:

7 r < H

M

Ou seja:

H AP

AI

E. portanto:

r < H nr2\ rn rn / n

Agora, tendo em vista o valor de ro e LJo segue do Teorema 2.1 que para r e (0, ro) a solução

nula é assintoticamente estável. Para r > ro segue do Teorema 3.1 que esta equação possui

soluções periódicas com valor de período maior que 2r. •

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