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Física Eletromagnética - Lista de exercícios I

1

Lei de Coulomb

1) Calcule a força elétrica entre duas cargas de 1,0 C separadas por uma distancia de (a) 1,0 m; (b) 1,0 km.

Resposta: (a) 8,99 x 109 N; (b) 8990 N

2) Uma carga de + 3,0 x 10-6 C está afastada 12 cm de uma segunda carga de – 1,5 x 10-6 C. calcule o módulo da força elétrica

que atua em cada carga.

Resposta: 2,81 N

3) Qual deve ser a distância entre duas cargas pontuais q1 = 26 µC e q2 = -47 µC para que o módulo da força de atração elétrica

entre elas seja de 5,7 N?

Resposta: 1,39 cm

4) Durante uma tempestade um pára-raios recebe uma carga que faz fluir uma corrente de 2,5 x 104 A num período de 20 µs.

Qual é o valor da carga transferida?

Resposta: 0,5 C

5) A figura mostra duas cargas q1 e q2 que se mantém fixas e separadas por uma distância d.

(a) Qual é o módulo da força elétrica que atua em q1 ? Considere q1 = q2 = 20 µC e d = 1,5 m.

(b) Uma terceira carga q3 = 20 µC é trazida e colocada como nos mostra a figura 5b. Qual é, agora o módulo da força elétrica que

age em q1?

Resposta: (a) 1,6 N; (b) 2,77 N

6) Três partículas carregadas, localizadas sobre uma linha reta, estão separadas pela distância d (como mostra a figura). As

cargas q1 e q2 são mantidas fixas. A carga q3 que é livre para mover-se, encontra-se em equilíbrio sob a ação das forças elétricas.

Determine q1 em termos de q2.

Resposta: q1 = - 4q2

7) As cargas q1 e q2 encontram-se sobre o eixo dos x, nas coordenadas x = -a e x = +a, respectivamente.

(a) Qual deverá ser a razão entre q1 e q2 para que a força resultante na carga + Q situada em x = + a/2 seja nula?

(b) Qual será a razão entre q1 e q2 se a carga + Q estiver situada em x = + 3a/2 ?

Resposta: (a) q1 = 9q2; (b) q1 = - 25q2

8) Na figura, quais as componentes horizontal e vertical da força resultante que atuam na carga do canto esquerdo inferior do

quadrado? Considere q = 1,0 x 10-7

C e a = 5,0 cm. As cargas estão em repouso.

Resposta: Fx = 0,17 N Fy = - 0,046 N

-q

+2q -2q

+q

a a

a

a

q1 q2 q3

d d

q1 q1

q2 q2

q3 d d

d

d

(a) (b)

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9) Duas pequenas esferas estão positivamente carregadas. O valor total das duas cargas é de 5,0 x 10-5 C. As esferas repelem-se

com uma força de 1,0 N, quando estão separadas por uma distancia de 2,0 m. Sendo assim, calcule a carga em cada uma delas.

Resposta: 1,2 x 10-5 C e 3,8 x 10-5 C

10) Duas esferas condutoras idênticas possuem cargas de sinais opostos e se atraem mutuamente com uma força de 0,108 N,

quando separadas por uma distancia de 50,0 cm. Agora elas estão ligadas por um fio condutor que é, então, removido passando

desse modo a se repelirem com uma força de 0,036 N. Quais eram os valores iniciais das cargas sobre as esferas?

Resposta: (+) q2 = 1 x 10-6 C e q1 = 3 x 10-6 C

(-) q2 = 3 x 10-6

C e q1 = 1 x 10-6

C

11) Duas partículas carregadas são mantidas fixas no plano xy. Suas cargas e posições são: q1 = + 3,0 µC, x = 3,5 cm, y = 0,5 cm,

e q2 = - 4,0 µC, x = 2,0 cm, y = 1,5 cm.

(a) Determine o módulo e a direção da força elétrica sobre q2.

(b) Onde deverá estar localizada uma terceira carga q3 = + 4,0 µC para que a resultante das forças que atuam sobre q2 seja zero?

Resposta: (a) 333 N θ= - 10o; (b) x= - 8,3 cm y= 2,7 cm

12) Duas cargas pontuais livres + q e + 4q estão afastadas por uma distância L. Uma terceira carga é, então, colocada de tal

modo que todo o sistema fica em equilíbrio.

(a) Determine a posição, o módulo e o sinal da terceira carga.

(b) Mostre que o equilíbrio é instável.

Resposta: (a) – 4/9 q ; x= L/3

13) Uma carga Q é fixada em cada um dos dois vértices diagonalmente opostos de um quadrado. Uma carga q é colocada em

cada um dos outros dois vértices.

(a) Se a resultante, das forças elétricas que atuam em Q for nula, qual a relação entre as cargas Q e q?

(b) Poderíamos escolher um valor de q tal que a resultante sobre qualquer das outras cargas fosse nula? Explique a sua resposta.

Resposta: (a) Q = 22q ; (b) não

14) Uma certa carga Q deve ser dividida em duas: (Q – q) e q. Qual é a relação entre Q e q para que a repulsão coulombiana seja

máxima?

Resposta: q = Q/2

15) Duas pequenas esferas condutoras de massa m estão suspensas por fios de seda de comprimento L e possuem a mesma

carga q, como é mostrado na figura. Considerando que o ângulo θ é tão pequeno que a tg θ possa ser substituída por sen θ :

(a) Mostre que para esta aproximação no equilíbrio teremos:

Resposta: 2,4 x 10-8 C

( q

2L )

2πε0mg

Onde x é a distância entre as esferas. (b) Sendo L = 120 cm; m = 10 g e x = 5,0 cm, quanto vale q?

q

L L

θ θ

q x

1/3 x=

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3

Campo Elétrico

16) Um elétron é solto a partir do repouso, num campo elétrico uniforme de módulo 2,0 x 104 N/C. Calcule a sua aceleração.

(Ignore a gravidade.)

Resposta: 3,51 x 1015 m/s2

17) Um elétron é acelerado de 1,8 x 109 m/s

2, na direção leste, por um campo elétrico. Determine o módulo, a direção e o

sentido do campo elétrico.

Resposta: 1,02 x 10-2 N/C para oeste

18) O ar úmido sofre uma distância (suas moléculas são ionizadas) num campo elétrico de 3,0 x 106 N/C. Qual é o módulo da

força elétrica que atua sobre: (a) Um elétron (b) Um íon (com um único elétron faltando) neste campo?

Resposta: (a) 4,8 x 10-13 N; (b) 4,8 x 10-13 N

19) Perto da superfície terrestre, em um campo elétrico uniforme, uma partícula com carga – 2,0 x 10-9

C está sob efeito de uma

força elétrica descendente de 3,0 x 10-6

N.

(a) Qual o módulo do campo elétrico?

(b) Quais são o módulo, direção e sentido da força elétrica exercida sobre um próton colocado neste campo?

(c) Qual a força gravitacional que atua sobre o próton?

(d) Qual a razão da força elétrica para a força gravitacional nesse caso?

Resposta: (a) 1,5 x 103 N/C ; (b) 2,4 x 10-26 N ; (c) 1,6 x 10-36 N ; (d) 1,5 x 1010

20) Um campo elétrico E, com um módulo de aproximadamente 150 N/C, aponta para baixo na atmosfera terrestre. Desejamos

fazer “flutuar”, nesse campo, uma esfera de enxofre pesando 4,4 N, carregando-a.

(a) Que carga (sinal e módulo) deve ser usada?

(b) Por que esta experiência não pode ser realizada na prática?

Resposta: (a) Q = - 0,022 C.

Cálculo do Campo: uma carga pontual

21) na figura, as cargas estão localizadas nos vértices de um triangulo eqüilátero. Para que o valor Q (tanto em sinal como em

módulo) o campo elétrico total se anula em C, o centro do triangulo?

Resposta: + 1 µC

22) Calcule o módulo de uma carga pontual tal que o campo elétrico, a uma distancia de 50 cm, tenha um módulo igual a 2,0

N/C.

Resposta: 55,6 pC

23) Duas cargas pontuais de módulo 2,0 x 10-7 C e 8,5 x 10-8 c estão 12 cm distantes uma da outra.

(a) Qual é o campo elétrico que cada carga produz no local da outra?

(b) Que força elétrica atua sobre cada uma delas?

Resposta: (a) 1,3 x 105 N/C e 5,3 x 104 N/C; (b) 1,1 x 10-2 N

24) Duas cargas iguais e opostas (de módulo 2,0 x 10-7) estão 15 cm distantes uma da outra.

(a) Quais são o módulo, direção e sentido de E no ponto localizado a meia distância entre as cargas?

.c

+1,0 µC

Q

+1,0 µC

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(b) Que força (módulo, direção e sentido) agiria sobre um elétron ali localizado?

Resposta: (a) 6,4 x 105 N/C para baixo (-); (b) 1,1 x 10-13 N para baixo (+)

25) Na figura:

(a) Localize o ponto (ou pontos) onde o campo elétrico é zero?

(b) Esboce, qualitativamente, as linhas de força.

Resposta: 0,172 para a direita de +q

26) Duas cargas +q e -2q estão fixas e separadas por uma distância d, como mostra a figura abaixo. Determine o campo elétrico

nos pontos A, B e C?

Resposta: EA=

q EB=

3q EC=

7q 8πε0d2 πε0d2 16πε0d2

27) Duas cargas, q1 = 2,1 x 10-8 C e q2 = -4q1, estão fixas e distantes 50 cm uma da outra. Determine o ponto ao longo da linha

reta que passa através das duas cargas, no qual o campo elétrico é zero.

Resposta: a 50 cm de q1 e 100 cm de q2

28) Calcule E (direção, sentido e módulo) no ponto P na figura.

Resposta: EA=

q

8πε0d2 29) Quais são o módulo, direção e o sentido de E no centro do quadrado da figura? Considere q igual a 1,0 x 10-8 C e d = 5 cm

Resposta: 1,02 x 105 N/C

q2 q1

a

+q -2q

d

C B

d

A d/2 d/2

-2q

-q +2q

+q

a a

a

a

.p

+2q +q

+q

a

a

p

q2 q1

a

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Campo Produzido por um Anel Carregado

30) Uma barra de vidro fino é encurvada num semicírculo de raio r. Uma carga + Q está distribuída uniformemente ao longo da

metade superior, e uma carga – Q, distribuída uniformemente ao longo da metade inferior, conforme a figura. Determine o

campo elétrico E no ponto P que está no centro do semicírculo.

Resposta: EP=

Q

π2ε0r2

31) Uma barra fina, não condutora, de comprimento L, tem carga total q, distribuída uniformemente ao longo dela. Mostre que

E no ponto P da sua mediatriz, representada na figura, é dado por:

EP= q

. 1 Resposta: EEEEEEEEEE

2πε0y √ L2+4y2

32) Uma barra isolante “semi-infinita”, possui uma carga por unidade de comprimento, valor constante λ. Mostre que o campo

elétrico, no ponto P, forma um ângulo de 45º com a barra e que este resultado é independente da distância R.

Resposta: 2,4 x 10-8

C

33) Um elétron é projetado, conforme figura, a uma velocidade de 6,0 x 106 m/s, formando um ângulo θ de 45º ; E = 2,0 x 103

N/C (apontando de baixo para cima); d = 2,0 cm e L = 10 cm.

(a) Será que o elétron atingirá uma das duas placas?

(b) Se atingir, onde isso ocorrerá?

Resposta: (a) atinge ; (b) 2,72 cm

E d

L

θ

p

R

+ + + + + + + + +

_

+ .p

+

_ _

_ _

+ +

+

P

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6

Lei de Gauss

34) A carga sobre um condutor originalmente isolado e descarregado é separada pela aproximação de uma barra carregada

positivamente, conforme figura. Calcule o fluxo para as cinco superfícies gaussianas mostradas. Suponha que a carga negativa

induzida sobre o condutor seja igual, em módulo, à carga positiva q sobre a barra.

Resposta: φ1=

q φ2=

-q φ3=

q φ4= 0 φ5=

q

ε0 ε0 ε0 ε0

35) Uma carga pontual de 1,8 µC encontra-se no centro de uma superfície gaussiana cúbica com 55 cm de aresta. Calcule o valor

de φE através desta superfície.

Resposta: 2,03 x 105 N.m2/C

36) Uma carga pontual + q está a uma distância d/2 de uma superfície quadrada de lado d e encontra-se diretamente acima do

centro do quadrado, como é mostrado na figura. Determine o fluxo elétrico que passa através do quadrado. (Sugestão. Pense no

quadrado como se ele fosse uma das faces de um cubo com aresta d.)

Resposta: φ=

q ε0

37) Uma rede de caçar borboletas está num campo elétrico uniforme, como é mostrado na figura. A borda da rede, um círculo

de raio a, está alinhada perpendicularmente ao campo. Calcule o fluxo elétrico através da rede.

Resposta:

φ= πa2E

38) Uma carga pontual q é colocada num dos vértices de um cubo de aresta a. Qual valor do fluxo através de cada uma das

faces do cubo? (Sugestão: Use a Lei de Gauss e os argumentos de simetria.)

Resposta:

024

q

d

d/2

d

q

E

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7

Um Condutor Isolado Carregado

39) Uma esfera condutora uniformemente carregada, Ø de 1,2 m, possui uma densidade superficial de cargas de 8,1 µC/m2.

(a) Determine a carga sobre a esfera

(b) Qual o valor do fluxo elétrico total que está deixando a superfície da esfera?

Resposta: (a) 36,6 µC ; (b) 4,14 x 106 Nm2/C

Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica

40) A figura mostra uma seção através de dois longos e finos cilindros concêntricos de raios a e b. Os cilindros possuem cargas

iguais e opostas por unidade de comprimento de módulo igual a . Usando a Lei de Gauss, prove:

(a) Que E = 0 para r<a e r>b (b) Que entre os cilindros E é dado por:

E= 1

λ

2πε0 r

41) Carrega-se uniformemente um cilindro infinitamente longo de raio R. Mostre que E a uma distância r do eixo do cilindro

(r < R) é dado por: E=

ρr

2ε0

42) Uma esfera pequena, cuja massa m é de 1,0 mg, possui uma carga q = 2,0 x 10-8 C. Ela é suspensa no campo gravitacional da

terra por um fio de seda que faz um ângulo θ = 30º com uma extensa placa não condutora e uniformemente carregada. Calcule

a densidade de carga uniforme σ da placa.

Resposta: 5 nC/m2

m1q

+ + + + + + + + + + + + +

θ

σ

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43) Duas extensas placas metálicas, paralelas entre si, conforme figura, possuem densidades superficiais de carga +a e –a,

respectivamente, sobre as suas superfícies internas. Determine E para pontos.

(a) à esquerda das placas; (b) entre as placas; (c) à direita das placas;

Considere apenas os pontos afastados das bordas, cujas distâncias às placas sejam pequenas quando comparadas às dimensões

das mesmas.

Resposta: (a) zero ; (b) 2σ/ε0 ; (c) zero

Lei de Gauss: Simetria Esférica

44) A figura mostra uma casca esférica com densidade de carga ρ uniforme. Faça um gráfico da variação de E em r (distância do

ponto considerado ao centro da casca no intervalo de 0 a 30 cm). Suponha que ρ = 1,0 x 10-6 C/m3; a = 10 cm e b = 20cm.

45) A figura mostra uma carga pontual de 1,0 x 10-7

C, no centro de uma cavidade esférica de raio igual a 3,0 cm existente num

pedaço de metal. Use a Lei de Gauss para obter o valor do campo elétrico:

(a) no ponto P1, no meio da distância que vai do centro da cavidade à sua superfície;

(b) no ponto P2.

Resposta: (a) 4 x 106 N/C ; (b) zero

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

b a

/ / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / /

+ + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - -

P2

P1

q

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O Potencial Elétrico

46) A diferença de potencial elétrico entre pontos de descarga durante uma determinada tempestade é de 1,2 x 109 V. Qual é o módulo da

variação na energia potencial elétrica de um elétron que se move entre estes pontos?

Resposta: 1,26 GeV

47) Uma bateria de carro de 12 V é capaz de fornecer uma carga de 84 A.h.

(a) Quantos coulombs de carga isto representa?

(b) Se toda esta carga for descarregada a 12 V, quanta energia estará disponível?

Resposta: 3,2 MJ

48) Em um relâmpago típico, a diferença de potencial entre pontos de descarga é cerca de 109 V e a quantidade de carga

transferida é cerca de 30 C.

(a) Quanta energia é liberada?

(b) Se toda a energia que foi liberada pudesse ser usada para acelerar um carro de 1000 kg a partir do repouso, qual seria a sua

velocidade final?

(c) Que quantidade de gelo a 0ºC seria possível derreter se toda a energia liberada pudesse ser usada para este fim?

O calor de fusão do gelo é de 3,3 x 105 J/kg

Resposta: (a) 3 x 10 ; (b) 7,75 x 103 m/s; (c) 6,1 x 101 kg

Superfícies Equipotenciais

49) No movimento de A para B ao longo de uma linha de força, o campo elétrico realiza 3,94 x 10-19 J de trabalho sobre um

elétron, no campo que é ilustrado na figura, quais são as diferenças de potencial elétrico: (a) VB-VA ; (b) VC-VA ; (c) VC-VB?

Resposta: (a) 2,46 V ; (b) 2,46 V ; (c) zero

50) Duas grandes placas condutoras, paralelas entre si e afastadas por uma distância de 12 cm, têm cargas iguais e sinais

opostos nas faces que se confrontam. Um elétron colocado a meia distância entre as duas placas experimenta uma força de 3,9

x 10-15

N. (Despreze o efeito de borda.)

(a) Determine o campo elétrico na posição do elétron.

(b) Qual é a diferença de potencial entre as placas? Resposta: (a) 2,44 V/m ; (b) 2930 V

51) A densidade de carga de um plano infinito, carregado, é ρ = 0,10 µC/m2. Qual é a distância entre as superfícies

eqüipotenciais cuja diferença de potencial é de 50 V?

Resposta: 8,85 mm

Calculo do Potencial: Uma Carga Pontual

52) Uma carga pontual tem q = + 1,0 µC. Considere dois pontos A e B. O ponto A, que está a 2,0 m de distância, e o ponto B, que

está a 1,0 m de distância mas em direção diametralmente oposta, como nos mostra a figura a.

(a) Qual é a diferença de potencial VA - VB?

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(b) Qual é a diferença de potencial VA – VB, se A e B estão localizados na figura b?

Resposta: (a) 4500 V ; (b) 4500 V

53) Considere uma carga pontual com q = 1,5 x 10-8 C.

(a) Determine o raio de uma superfície equipotencial que tem um potencial de 30 V.

(b) Estão igualmente espaçadas as superfícies cujos potenciais diferem de uma quantidade constante, digamos, 1,0 V?

Resposta: (a) 4,5 m ; (b) não

54) Pode uma esfera condutora, de raio igual a 10 cm, manter no ar uma carga de 4 C, sem haver descarga?

A rigidez dielétrica (campo mínimo que é necessário para produzir uma descarga elétrica) no ar, a 1 atm, é de 3 MV/m.

Resposta: não

55) Localize os pontos na figura, se houver:

(a) Onde V = 0.

(b) Onde E = 0.

Considere apenas os pontos que estejam sobre o eixo e escolha uma distância d = 1,0 m

Resposta: (a) Não existe; (b) 11,4 cm da carga + 2q e entre as cargas

56) O potencial elétrico varia ao longo do eixo x, conforme o gráfico. Para cada um dos intervalos mostrados (ignore o

comportamento nas extremidades dos intervalos), determine o componente x do campo elétrico e represente Ex em função de

x.

+q +2q

d

B q

d2

(a)

A

d1

d2

d1

A

B

q

(b)

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Resposta:

Energia Potencial Elétrica

57)

(a) Determine a expressão VA – VB para a situação descrita na figura.

(b) Verifique se o resultado obtido se reduz aos valores esperados quando: d = 0; a = 0; q = 0.

Resposta:

58) Duas cargas q = + 2,0 x 10

-6 C estão fixas no espaço e separadas pela distancia d = 2,0 cm, conforme figura.

(a) Qual o potencial elétrico no ponto C?

(b) Uma terceira carga q = + 2,0 x 10-6

C é trazida lentamente do infinito até o ponto C. Quanto trabalho foi realizado?

(c) Qual é a energia potencial U da configuração quando a terceira carga está no lugar desejado?

Resposta: (a) 2,54 MV ; (b) 5,08 J ; (c) 6,884 J

59) Determine uma expressão para o trabalho necessário para colocarmos as quatro cargas reunidas como indicado na figura.

Resposta: W=

0,21q2

ε0

60) No retângulo da figura, os comprimentos dos lados são 5,0 cm e 15 cm, enquanto q1 = - 5,0 x 10-6 C e q2 = + 2,0 x 10-6 C.

(a) Qual o potencial elétrico no ponto A?

(b) Qual o potencial elétrico no ponto B?

(c) Que trabalho é necessário para mover uma terceira carga q3 = + 3,0 µC de B para A ao longo de uma diagonal do retângulo?

(d) Neste processo, o trabalho externo é convertido em energia potencial eletrostática ou vice-versa? Explique.

Resposta: (a) 0,6 x 105 V ; (b) -7,8 x 10

5 V ; (c) 2,5 J

+q -q d B A a a

q2

q1

B

A

-q

-q +q

+q

a a

a

a

+q +q 1/2d

C

1/2d

1/2d

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61) Duas esferas condutoras, idênticas, de raio r = 0,15 m, estão afastadas por uma distância a = 10 m. Qual é a carga de cada

esfera se o potencial de uma delas é + 1500 V e o da outra – 1500 V? Que suposições foram feitas?

Resposta: ± 25 nC

62) Uma esfera metálica carregada, de raio igual a 15 cm, tem uma carga líquida de 3,0 x 10-8 C.

(a) Determine o valor do campo elétrico na superfície da esfera.

(b) Calcule o potencial elétrico na superfície da esfera.

(c) A que distância da superfície da esfera o potencial elétrico decresce de 500 V.

Resposta: (a) 12000 N/C ; (b) 1500 V ; (c) 5,77 cm

Nota: Esta Lista de Exercícios está baseada no livro da Bibliografia Básica e não dispensa a utilização do mesmo.

Halliday, D., Resnick, Robert; Física – Eletromagnetismo. V3. LTC. 8ª ed. Rio de Janeiro.

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