exercícios resolvidos.distribuição normal

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Exercícios Resolvidos

Alexandre Schuler

Sétima Edição

2007

i

INTRODUÇÃO

Este Caderno de Exercícios destina-se a auxiliar o estudante na compreensão do conteúdo

teórico explicitado no texto básico elaborado para as seguintes disciplinas: Estatística Aplicada

aos Processos Químicos, Controle Estatístico (do curso de Química Industrial) e Controle

Estatístico de Qualidade (do curso de Engenharia Química).

São quarenta e cinco exercícios, sendo quatro sobre Probabilidade, treze sobre Testes

Estatísticos, vinte e quatro sobre Gráficos de Controle e quatro sobre Inspeção de Qualidade.

Todos os exercícios estão resolvidos, mas recomenda-se ao Leitor que tente resolvê-los

antes de ver a resposta e que ao fazê-lo acompanhe atentamente as explicações. Especial atenção

deve ser dada ao último exercício, que é resolvido por tentativas, podendo ter outras soluções.

Além disso, recomenda-se fortemente o conhecimento de aplicativos como o Excel e o Origin,

que podem facilitar grandemente na solução de problemas estatísticos em geral.

O Autor ficará bastante agradecido por qualquer crítica, correção ou sugestão, que o

Leitor poderá enviar para o endereço eletrônico [email protected].

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ÍNDICE

1. Probabilidade, 1

2. Testes Estatísticos, 3

3. Gráficos de Controle, 10

4. Inspeção de Qualidade, 24

5. Tabelas Úteis, 29

Obs.: Os Capítulos 1 e 2 são destinados à disciplina Estatística Aplicada aos Processos

Químicos. Os Capítulos 3 e 4 são específicos para as disciplinas: Controle Estatístico (Química Industrial) e Controle de Qualidade Industrial (Engenharia Química), a cujos alunos o Autor recomenda rever o assunto dos capítulos anteriores.

1. PROBABILIDADE (uso da Tabela1 de Distribuição Normal)

Estes quatro exercícios pretendem auxiliar na compreensão dos conceitos relacionados com a curva de distribuição normal. Observem a gradativa mudança no texto, aproximando-se do objetivo final (aplicação em controle industrial).

Exercício 1.1. A variável X tem distribuição normal com µ = 150 e σ = 30. Determinar as probabilidades:

a) P(X ≤ 202,5); b) P(120 < X < 165); c) P(180 < X < 210). Resposta: Calcular o valor da variável z (= (X - µ)/σ; equação 1.1) e encontrar na Tabela 1 o valor correspondente de A (área sob a curva normal delimitada pelos valores limites de X). a) Para X = 202,5 ⇒ z1 = (202,5 – 150)/30 = 1,75. Na tabela 1 encontra-se A(z=1,75) = 0,4599 ≈ 0,46. Como cada metade da curva vale 0,50 (50%), fica: 0,50 + 0,46 = 0,96 = 96% (figura 1). b) Para X = 120 ⇒ z1 = (120 – 150)/30 = 1 ⇒ A ≈ 0,34 Para X = 165 ⇒ z2 = (165 – 150)/30 = 0,5 ⇒ A ≈ 0,19 TOTAL: 0,34 + 0,19 = 0,53 = 53% (figura 2) c) Para X = 180 ⇒ z1 = (180 – 150)/30 = 1 ⇒ A ≈ 0,34 Para X = 210 ⇒ z2 = (210 – 150)/30 = 2 ⇒ A ≈ 0,48 TOTAL: 0,48 - 0,34 = 0,14 = 14% (figura 3)

Exercício 1.2. Para a distribuição normal com µ = 200 e σ = 50, determinar os valores de X tais que se tenha a probabilidade α = P(|x≥X|) = 0,05 (5%). Resposta: Deseja-se, em outras palavras, determinar um par de valores para X, simétricos em relação à média, de modo a se ter P = 1 - α = 0,90 (figura 4).

Os dois termos, em módulo, são iguais, cada um, a 0,50 – 0,05 = 0,45. Examinando a Tabela 1, encontra-se, para A = 0,4505 (o valor mais próximo de 0,45), z = 1,65. Como x = µ ± zσ, fica: X = 200 ± 1,65x50 = 200 ± 82,5. Finalmente, X1 = 117,5 e X2 = 282,5.

1 Ver Tabela 1, no Capítulo 5, página i.

Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler

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Exercício 1.3. Verificar se a média amostral X = 5,75 mm, de n = 5 diâmetros de eixos representa diferença estatisticamente significativa em relação à média da população normal, com µ = 5,60 mm e σ = 0,10 mm. Resposta: OBSERVAÇÃO: Em outras palavras, pretende-se verificar se o valor 5,75 pertence à população representada pelo par µ,σ.

Agora, a equação 1.1 toma a forma da equação abaixo, por se tratar de uma média. Logo, z = (5,75 – 5,60).√5/0,10 = 3,36 (equação 1.2) Como o valor 5,75 está distante de 5,60 em mais de 3σ, conclui-se que a diferença d = 5,75 – 5,60 = 0,15 mm, para n = 5, é estatisticamente significativa. De fato, consultando a Tabela 1, observa-se que a probabilidade de 5,75 pertencer àquela população é muito baixa (P = 1 – 0,9996 = 0,0004 ou 0,04%). Exercício 1.4. Num processo industrial tem-se µ = 10,00 com σ = 0,02. Qual é a probabilidade de se encontrar, numa amostra retirada aleatoriamente desse processo, um resultado igual ou maior que: a) 10,03 ? b) 10,04 ? Resposta (comparar com a figura 1): a) P(X >10,03) ⇒ z = (10,03 – 10,00)/0,02 = 1,5 ⇒ A = 0,4332 Resultado: 0,50 – 0,4332 = 6,68% b) P(X >10,04) ⇒ z = 2 ⇒ A = 0,4772

Resultado: 0,50 – 0,4772 = 2,28%.

Exercício 1.5. Numa panificadora admite-se que um pacote de 1 kg pode ter uma variação de ± 10 g. Qual é a probabilidade de ser encontrado um pacote com:

a) 1015 g? b) Mais de 1015 g?

Resposta: a) A probabilidade de ocorrência de um pacote com exatamente 1015 g é dada pela equação:

2

2

2

)(

)(

2

1 σµ

πσ

−−

=x

x ef

Logo, P(X =1015) %3,1013,03244,004,004,004,0210

1 125,1200

225

102

)10001015(2

2

==×=×=×=⋅ −−−−

eee x

π

σ

nµ)X(z

−=


iii

iii

b) A probabilidade de se encontrar um pacote com qualquer peso maior que 1015 g é dada pela integral (área sob a curva normal) no intervalo colorido de cinza da figura 1. O cálculo é realizado como segue: P(X >1015) ⇒ z = (1015 – 1000)/10 = 1,5 ⇒ A = 0,4332 Resultado: 0,50 – 0,4332 = 6,68%

Figura 1

Exercício 1.6. Calcular os coeficientes da reta e o coeficiente de correlação do fenômeno abaixo (a correlação entre concentração do analito e o sinal de um instrumento analítico). Verificar onde termina a linearidade, admitindo que o coeficiente de correlação não pode ser menor que 0,999.

# 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Conc. 1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 Sinal 321 643 1597 3207 6394 16054 32090 64268 142250 228456

Resposta: a) Para calcular os coeficientes da reta de regressão e o coeficiente de correlação, preenche-se o quadro abaixo:

Ponto no x y x*y x2 y2

1 x1 y1 x1.y1 x12 y1

2 2 x2 y2 x2.y2 x2

2 y22

••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• N xn yn xn.yn xn

2 yn2

Totais Σxi Σyi Σ(xi.yi) Σxi2 Σy2

Fazendo X = Concentração e Y = Sinal, fica:

Ponto no Conc. (mg/L) Sinal x*y x2 y2

1 1 321 321 1 103041 2 2 643 1286 4 413449 3 5 1597 7985 25 2550409 4 10 3207 32070 100 10284849 5 20 6394 127880 400 40883236 6 50 16054 802700 2500 2,58E+08 7 100 32090 3209000 10000 1,03E+09 8 200 64268 12853600 40000 4,13E+09 9 500 142250 71125000 250000 2,02E+10

10 1000 228456 2,28E+08 1000000 5,22E+10 Totais 1,8880E+03 4,9528E+05 3,1662E+08 1,3030E+6 7,7899E+10

Seja y = b.x + a a equação da reta de regressão. Nesse caso, os valores de a e b são dados por:


iv

iv

b = (Σx.Σy - nΣx.y)/[(Σx)2 - nΣx2] = {[(1,888 × 103) × (4,9528 × 105)] – 10 × 3,1662 × 108)}/[(1,888 × 103)2 – 10 × 1,303 × 106)] b = (9,3509 × 108 – 3,1662 × 109)/(3,5645 × 106 – 1,303 × 107) = - 2,2311 × 109/- 9,4658 × 106 b = 2,357 × 102 = 235,7 a = (Σy - bΣx) / n = [(4,9528 × 105) – (2,3559 × 102 × 1,888 × 103)]/10 = [(4,9528 × 105) – (4,4500 × 105)]/10 a = 0,5028 × 104 = 5028 Equação da reta: y = 235,7x + 5028

O Coeficiente de correlação (r) é calculado com auxílio da equação:

2/12i

2i

2i i

iiii

]})y( - yn][)x(-x{[n

yx - .yxn r

2 ΣΣΣΣΣΣΣ

=

Resolvendo, fica: r = [(10 × 3,1662 × 108) - (1,8880 × 103 × 4,9528 × 105)]/{[10 × 1,303 × 106 – (1,8880 × 103)2][10 × 7,7899 × 1010 – (4,9528 × 105)2]}1/2

r = [(3,1662 × 109) - (9,3509× 108)]/{[10 × 1,303 × 106 – (1,8880 × 103)2][10 × 7,7899 × 1010 – (4,9528 × 105)2]}1/2

r = (2,2311 × 109)/[(9,4655 × 106)(5,3369 × 1011)]1/2

r = 2,2311 × 109/2,2476 × 109 r = 0,9927

Removendo o último ponto (1000; 228456) e recalculando tudo, fica: Equação da reta: y = 287,0 x + 1325 Coeficiente de correlação: r = 0,9987. Como o r ainda ficou menor que 0,999 devemos remover agora o penúltimo ponto (500; 142250). Recalculando mais uma vez, fica: Equação da reta: y = 17,8x – 12 Coeficiente de correlação: r = 0,9999. Conclusão: a relação somente pode ser considerada linear até a concentração de 200 mg/L.


v

v

2. TESTES ESTATÍSTICOS Exercício 2.1. Antes de realizar um tratamento estatístico de dados experimentais, é necessário ordená-los e aplicar o teste Q para eliminação de eventuais erros grosseiros. Examine o seguinte conjunto de dados: 1,752; 1,760; 1,758; 1,762; 1,757; 1,761 e 1,759. Resposta:

Ordenando, fica: 1,752; 1,757; 1,758; 1,759; 1,760; 1,761 e 1,762. O dado aparentemente discrepante é o menor (1,752). Aplicando o Teste Q, fica:

1

121

XX

XXQ

n −

−= ⇒ 50,0

010,0

005,0

752,1762,1

752,1757,11 ==

−

−=Q

Para n = 7, Qtab = 0,56 (Tabela 2). Conclusão: o dado 1,752 não pode ser rejeitado. Como a diferença Xn – Xn – 1 é menor que X2 – X1, não há necessidade de aplicar o teste Q para o valor mais alto. Obs.: só os extremos podem estar discrepantes (dotados de erro grosseiro). Exercício 2.2. Em relação à questão anterior, se mais leituras fossem realizadas, encontrando-se todos os novos valores entre 1,757 e 1,762, determinar a partir de qual valor de n poder-se-ia concluir que 1,752 é dotado de erro grosseiro ? Resposta:

Com n – 1 = 8, tem-se que Qtab = 0,390. Logo, se mais duas leituras fossem efetuadas e seus valores se situassem entre 1,757 e 1,762 (para que R não aumente nem diminua a diferença X2 – X1), o valor 1,752 deveria ser descartado. Exercício 2.3. As análises de uma amostra de minério de ferro deram os seguintes resultados (n=10): 7,08; 7,21; 7,12; 7,09; 7,16; 7,14; 7,07; 7,14; 7,18 e 7,11. Calcular a média, a mediana, a primeira estimativa do desvio padrão (s) e a segunda estimativa (sR). Resposta: Ordenando: 7,07; 7,08; 7,09; 7,11; 7,12; 7,14; 7,14; 7,16; 7,18; 7,21.

i) Média: X = 7,13

ii) Mediana: M = (7,12 + 7,14)/2 = 7,13

iii) Primeira estimativa do desvio padrão:

Para calcular s é sugerido que se monte o seguinte quadro:

xi 7,07 7,08 7,09 7,11 7,12 7,14 7,14 7,16 7,18 7,21 di 0,06 0,05 0,04 0,02 0,01 0,01 0,01 0,03 0,05 0,08 Σdi

2

di2 0,0036 0,0025 0,0016 0,0004 0,0001 0,0001 0,0001 0,0009 0,0025 0,0064 0,0182

1

2

−= ∑

n

ds

i = 002022,09

0182,0= = 0,045.


vi

vi

iv) Segunda estimativa do desvio padrão (procurar o valor de Kn na Tabela 3):

sR = kn.R = 0,3249 X (7,21 – 7,07) = 0,3249 X 0,14 = 0,04549 (comparar com s)

Exercício 2.4. Numa análise de cádmio, realizada por dois analistas, foram encontrados os seguintes resultados:

Analista 1 Analista 2 3,88 3,83 3,90 3,84 3,92 3,86 3,94 3,87

91,31 =X 85,32 =X R1 = 0,06 R2 = 0,04

Comparar a exatidão e a precisão relativa entre eles (como n = 4 << 10, usar a segunda estimativa do desvio padrão). Como seria a exatidão absoluta de cada analista se o valor verdadeiro (µ ) fosse 3,95? Resposta: a) Precisão:

sR = Kn.R, onde K(n = 4) = 0,4857

=1Rs 0,06 x 0,4857 = 0,029142 ⇒ =1

2Rs 0,000849

=2Rs 0,04 x 0,4857 = 0,019428 ⇒ =2

2Rs 0,000377

25,2000377,0

000849,02

2

2

1 ===R

r

calcs

sF

Ftab = 9,9 > 2,25

Obs.: O valor de Ftab é encontrado na Tabela 4.

Conclusão: ambos são igualmente precisos. b) Exatidão relativa:

967,202022,0

06,0

000409,0

06,0

3

001227,0

06,0

3

000377,0000849,0

85,391,3

1

22

21

21

===+

−=

−

+

−=

n

SS

XXtcalc

ttab = 3,182 > 2,967

Obs.: O valor de ttab é encontrado na Tabela 5.

Conclusão: Os analistas são igualmente exatos.


vii

vii

c) Exatidão absoluta: i) do analista 1

745,2029142,0

08,0

029142,0

204,0

029142,0

4)91,395,3(1

===−

=−

=x

s

nXt

R

µ

Conclusão: Como ttab = 3,182 > tcalc = 2,74, o Analista 1 é exato. ii) do analista 2:

294,10019428,0

20,0

019428,0

210,0

019428,0

4)85,395,3(2

===−

=−

=x

s

nXt

R

µ

Conclusão: Como ttab = 3,182 < tcalc = 10,294, o Analista 2 é inexato. Exercício 2.5. Em uma amostra contendo cromo foram encontrados os seguintes resultados:

4,0; 4,3; 3,2; 4,1 Pergunta-se: algum desses resultados está dotado de erro grosseiro ?

Resposta:

a) ordenando, fica: 3,2; 4,0; 4,1; 4,3.

Aparentemente, o valor 3,2 pode estar dotado de erro grosseiro.

b) Aplicando o teste Q, fica:

727,01,1

8,0

2,33,4

2,30,41 ==

−

−=Q

Qtab = 0,941 > Qcalc (Q1)

Conclusão: Como Qtab = 0,941 > Qcalc (Q1), o resultado 3,2 não pode ser rejeitado. Exercício 2.6. Foram realizadas mais três repetições da análise do exercício anterior, encontrando-se 4,2; 3,9 e 4,0. Aplicar novamente o teste Q. Resposta:

a) Ordenação: 3,2; 3,9; 4,0; 4,0; 4,1; 4,2; 4,3

b) Aplicando o teste Q para 3,2:

636,01,1

7,0

2,33,4

2,39,31 ==

−

−=Q

Conclusão: Agora, Qtab = 0,560 < Qcalc. Apesar de haver diminuído a diferença (X2 – X1) e

conseqüentemente também o valor de Q1 (já que a amplitude se manteve constante), o valor máximo

para Q (Qtab) diminui bastante. Como conseqüência, agora é possível verificar que o resultado 3,2 deve

ser eliminado.


viii

viii

Exercício 2.7. Calcular os limites de confiança (LC) com 95% de probabilidade para os seguintes

resultados experimentais (análise de cobre): n = 4; X = 8,27%; s = 0,17%. Resposta:

A relação a ser utilizada é n

stXLC

.±=

Para n = 4, com 95% de probabilidade, ttab = 3,182. Logo,

4

17,0182,327,8

×±=LC

⇒±= 27,027,8LC (8,008,54)

Exercício 2.8. Se houvessem sido realizadas 12 repetições, quais seriam os limites de confiança do exercício anterior ? Resposta: Para n = 12, ttab =2,201. Logo,

LC = 8,27 ± 2,201 x 12

17,0 ou LC = 8,27 ± 0,11 ⇒ (8,16 – 8,38)

Exercício 2.9. Aplicar o teste t para o exercício anterior, sabendo que µ = 7,91. Resposta:

s

nXt

µ−=

( )34,7

17,0

1291,727,8=

−=calct

201,2=tabt

Conclusão: com ttab < tcalc, existe um erro sistemático nessa análise. Exercício 2.10. Dois analistas analisaram uma mesma amostra diversas vezes, encontrando os resultados abaixo. Existe uma diferença significativa entre suas precisões?

Analista 1: n1 = 9 e s1 = 0,210 ⇒ s1 = 0,0441

Analista 2: n2 = 8 e s2 = 0,641 ⇒ s2 = 0,4109 Resposta:

3,95,3

3,90441,0

4109,0

<=

==

tab

calc

F

F

Conclusão: O analista 1 é mais preciso.


ix

ix

Exercício 2.11. Dois analistas foram avaliados durante um procedimento de credenciamento do laboratório, encontrando-se os seguintes resultados:

Analista No de repetições Média desvio-padrão 1 4 83,88 0,24 2 6 83,13 0,11

Sabendo que o valor verdadeiro (µ) é 83,54%, pergunta-se:

a) Quem foi mais preciso? b) Quem foi mais exato?

Resposta: Como somente pode ser realizada uma comparação em termos de exatidão quando dois conjuntos de dados possuem a mesma precisão, é necessário primeiro responder à pergunta (a): Aplicando o teste F aos dois analistas, encontra-se:

F = 76,40121,0

0576,0

)11,0(

)24,0(

s

s2

2

22

21 ===

Como o Ftabelado é 5,4 a maior probabilidade é de que ambos sejam igualmente precisos. Prosseguindo, aplicando agora o teste t (pergunta b), comparando cada um com o valor verdadeiro, fica: Analista 1:

83,224,0

4)54,8388,83(

s

nµX t A =

−=

−=

Analista 2:

13,911,0

6)13,8354,83(

s

nµX t A =

−=

−=

O ttabelado para n = 4 (Analista 1) é 3,182. Comparando esse valor com o tcalculado (2,83), conclui-se que o analista 1 é exato. Para o analista 2 o ttabelado é 2,571 (n = 6). Comparando esse valor com o tcalculado (9,13), conclui-se que o analista 2 é inexato. Exercício 2.12. Uma amostra sintética com µ = 7,91 foi analisada por um mesmo analista em dois equipamentos, encontrando-se os resultados abaixo. Que conclusões podem ser tiradas desses resultados ?

Equipamento 1 Equipamento 2 8,35 8,37 8,36 8,38 8,37 8,40 8,38 8,41 8,39 8,43


x

x

Resposta: a) Cálculo da média e da dispersão

Equipamento 1 Equipamento 2

X 8,37 8,40 R 0,04 0,06 SR 0,01720 0,02579

Obs.: Kn = 0,4299 b) Comparação entre os equipamentos: i) Exatidão relativa (ttab = 2,776)

( ) ( )

94,10155,0

03,0

4

02579,00172,0

37,840,822

==+

−=t

Conclusão: Como ttab > tcalc, os dois equipamentos apresentam a mesma exatidão. ii) Precisão (Ftab = 6,4)

( )( )

25,200029584,0

00066512,0

0172,0

02579,02

2

===F

Conclusão: Como Ftab > Fcalc, ambos os equipamentos apresentam a mesma precisão. Exatidão absoluta (ttab = 2,776).

Equipamento 1: ( )

8,5901720,0

591,737,81 =

−=t

Equipamento 2: ( )

5,4202579,0

591,740,82 =

−=t

Conclusão: ambos os equipamentos estão descalibrados.

Exercício 2.13. Um laboratório de perícias criminais recebeu um fragmento de vidro (amostra A) supostamente pertencente a um vaso (amostra B) encontrado quebrado no local de um crime. Análise por espectrofotometria de absorção atômica forneceu os seguintes resultados:

Conc. (µg/g) Elemento A B desvio-padrão

As 132 122 2 Co 0,54 0,61 0,026 La 4,01 3,60 0,20 Sb 2,81 2,77 0,26 Th 0,62 0,75 0,044


xi

xi

Realizando as análises em triplicata, o perito encarregado do caso, trabalhando com um nível de confiança de 95% como critério de dúvida, concluiu que as duas amostras diferem em composição, pois dois elementos apresentam-se em A com concentrações estatisticamente diferentes das encontradas em B (padrão). Quais são esses elementos? Dica: Trabalhar com limites de confiança. Não esquecer de aplicar corretamente as regras de arredondamento. Resposta:

LC = X ± t.s/ n ; X é o valor verdadeiro, ou seja, do padrão (o vaso; amostra B). Como n = 3, n = 1,732 e t = 4,303. Aplicando à equação acima, fica: Calculando para cada elemento: As: LC = 122 ± 4,303 x 2/1,732 = 122 ± 5 � (117 – 127). Co: LC = 0,61 ± 4,303 x 0,026/1,732 = 0,61 ± 0,06 � (0,55 – 0,67). La: LC = 3,60 ± 4,303 x 0,2/1,732 = 3,60 ± 0,50 � (3,1 – 4,1). Sb: LC = 2,77 ± 4,303 x 0,26/1,732 = 2,77 ± 0,65 � (2,12 – 3,42). Th: LC = 0,75 ± 4,303 x 0,044/1,732 = 0,75 ± 0,11 � (0,64 – 0,86). Confrontando-se as médias dos elementos na amostra com seus intervalos de confiança, observa-se que o As e o Co encontram-se fora dos limites. Portanto, suas concentrações diferem estatisticamente do padrão. Outra forma de resolver essa questão é por aplicação do teste t: Aplicando para os elementos As e Co, encontra-se: As:

s

nµX t A −

= = 66,82

3122132 =

−=

Co:

s

nµX t A −

= = 55,10,026

30,540,61 =

−=

Como o ttabelado é 4,303 (para ambos os elementos), chega-se à mesma conclusão acima. Exercício 2.14. Calcular o número ideal de repetições para a determinação do teor de um agrotóxico numa amostra de água cujo conteúdo esperado (µ) é 1 ppb, a partir dos seguintes resultados:


xii

xii

Xi di di

2

0,89 0,12 0,0144 0,94 0,07 0,0049 1,01 0,00 0,0000 1,02 0,01 0,0001 1,11 0,10 0,0100 1,07 0,06 0,0036 0,92 0,09 0,0081 1,08 0,07 0,0049 0,95 0,06 0,0036 1,11 0,10 0,0100

X = 1,01 ∑ = 0596,02id

Resposta:

a) 08138,09

0596,0

1

2

==⇒−

= ∑s

n

ds

i

Fórmulas a empregar:

erro absoluto = nst ⋅=∆ ; erro relativo percentual (coeficiente de variação) = µ∆= 100L b) Cálculo (montagem do quadro com a memória de cálculo):

n n t ∆ L Dif.

2 1,414 12,706 0,7313 73,13 — 3 1,732 4,303 0,2022 20,22 52,91 4 2,000 3,182 0,1295 12,95 7,27 5 2,236 2,776 0,1010 10,10 2,85 6 2,450 2,571 0,0854 8,54 1,56 7 2,646 2,447 0,0753 7,53 1,01

Conclusão: A 3a repetição diminui o erro em 52,91 pontos percentuais, a 4a repetição diminui em 7,27 p.p., enquanto que a 5a repetição diminui em apenas 2,85 p.p. Usando esse raciocínio, chega-se à conclusão que 3 repetições são suficientes. Um outro critério a se adotar seria o de estabelecer um erro máximo (por exemplo 10%). Nesse caso, o ideal seria efetuar 5 repetições. Exercício 2.15. Um analista coletou duas amostras de minério de ferro, encontrando os resultados abaixo (5 leituras de cada amostra; Kn = 0,43). Dizer se as duas amostras são estatisticamente iguais, em teor.

Leitura Am. 1 Am. 2 1 17,6 18,6 2 17,3 18,3 3 18,1 18,9 4 17,7 18,6 5 17,8 18,1


xiii

xiii

Resposta: Leitura Am. 1 Am. 2

X 17,7 18,5 R 0,8 0,8 SR 0,344 0,344

( ) ( )29,3

2432,0

8,0

4

344,0344,0

7,175,1822

==+

−=t > ttab = 2,776

Conclusão: as duas amostras são estatisticamente diferentes, em teor de ferro.

Entretanto, se ambas as amostras são provenientes de um mesmo lote (sub-amostras), deve-se concluir que a homogeneização não foi bem feita. Nesse caso, para haver uma maior representatividade, é necessário extrair-se um número maior de sub-amostras e calcular a média aritmética dos teores encontrados nas n sub-amostras. Como achar o número ideal de sub-amostras? Solução: Aplicar o raciocínio empregado no exercício anterior.


xiv

xiv

3 – GRÁFICOS DE CONTROLE Exercício 3.1. Os valores de x observados em amostras de n = 4 itens constam do quadro abaixo.

Construir o gráfico da média X (GC-X), empregando a amplitude R para o cálculo dos limites de controle (norma desconhecida; sistema americano).

MEDIDAS INDIVIDUAIS AMOSTRA

x1 x2 x3 x4 X R

1 40 44 39 45 42,00 6 2 49 46 48 44 46,75 5 3 39 41 39 44 40,75 5 4 41 42 43 36 40,50 7 5 47 45 46 46 46,00 2 6 48 43 44 36 42,75 12 7 45 42 37 40 41,00 8 8 42 42 36 37 39,25 6 9 40 42 40 36 39,50 6

10 42 39 41 37 39,75 5 11 35 45 39 38 39,25 10 12 39 40 41 38 39,50 3 13 41 45 42 46 43,50 5 14 40 44 38 38 40,00 6 15 40 36 37 39 38,00 4 16 39 41 42 40 40,50 2 17 46 46 46 45 45,75 1 18 44 45 41 43 43,25 4 19 43 45 41 42 42,75 4 20 38 44 38 42 40,50 4 21 40 39 39 40 39,50 1 22 45 44 48 46 45,75 4 23 40 40 35 42 39,25 7 24 42 36 39 37 38,50 6 25 42 39 40 42 40,75 4

MÉDIAS 41,40 5,08 Resposta:

LM = X = 41,40; R = 5,08; n = 4 LC = LM ± A2 R; A2 = 0,729 (procurar na Tabela 6, para n = 4) LC = 41,40 ± 0,729 x 5,08 = 41,40 ± 3,70 LIC = 37,70; LSC = 45,10

Analisando os valores individuais X , observam-se 4 amostras com média fora dos limites (no caso, acima do LSC): 2, 5, 17 e 22. Eliminando-as, fica (vide quadro na página seguinte): Resposta final:

LM = X = 40,55; R = 5,46; n = 4

LC = LM ± A2 R; A2 = 0,729 (procurar na Tabela 6, para n = 4) LC = 40,55 ± 0,729 x 5,46 = 40,55 ± 3,96 LIC = 36,59; LSC = 44,51


xv

xv

MEDIDAS INDIVIDUAIS AMOSTRA

x1 x2 x3 x4 X R

1 40 44 39 45 42,00 6 3 39 41 39 44 40,75 5 4 41 42 43 36 40,50 7 6 48 43 44 36 42,75 12 7 45 42 37 40 41,00 8 8 42 42 36 37 39,25 6 9 40 42 40 36 39,50 6

10 42 39 41 37 39,75 5 11 35 45 39 38 39,25 10 12 39 40 41 38 39,50 3 13 41 45 42 46 43,50 5 14 40 44 38 38 40,00 6 15 40 36 37 39 38,00 4 16 39 41 42 40 40,50 2 18 44 45 41 43 43,25 4 19 43 45 41 42 42,75 4 20 38 44 38 42 40,50 4 21 40 39 39 40 39,50 1 23 40 40 35 42 39,25 7 24 42 36 39 37 38,50 6 25 42 39 40 42 40,75 4

MÉDIAS 40,55 5,46

Exercício 3.2. Com os valores do exercício anterior, construir o gráfico da amplitude (GC-R). Resposta: Como foram eliminados quatro pontos no exercício anterior, deve-se começar com os vinte e um restantes. Nesse caso, tem-se: LM = 5,46; LIC = 5,46.D3 e LSC = 5,46.D4 (valores de D3 = 0,000 e D4 = 2,282 tirados da Tabela 8 para n = 4). Logo: LIC = 0,0 e LSC = 12,46 Como o maior valor de R é 12, todos os pontos devem ser mantidos. Em caso contrário, como este GC trabalha em conjunto com o GC-X, o mesmo também deveria ser alterado. Exercício 3.3. Construir os GC’s da média e da amplitude a partir das seguintes informações:

X1 X2 X3 X4 X5 R

250,5 249,6 248,2 249,7 251,0 249,8 2,8 249,5 251,2 248,4 250,3 249,3 249,7 2,8 248,2 249,6 249,2 250,7 251,1 249,8 2,9 249,8 251,3 250,3 248,7 249,3 249,9 2,6 251,1 248,4 249,2 248,9 250,6 249,6 2,7

∑ 249,8 2,8


xvi

xvi

Resposta: Como n=5, temos: Equações: Média: LM = ; LC = ± A2 (A2 = 0,577) Amplitude: LM = ; LIC = D3 e LSC = D4 (D3 = 0 e D4 = 2,115) Cálculos: Média: LM = 249,8; LC = 249,8 ± 0,577 X 2,8 = 249,8 ± 1,6 ⇒ LIC = 248,2 e LSC = 251,4 Amplitude: LM = 2,8; LIC = 0 e LSC = 2,115 X 2,8 = 5,9 Conclusão: o processo está sob controle. Exercício 3.4. Construir o GC da fração defeituosa de um processo que forneceu os seguintes resultados, tendo sido examinados n = 100 itens em cada lote (amostra):

Resposta: Como n = 100 e N = Σn = n × k Σn = n × k = 100 X 25 lotes = 2500 itens. Equações: LM = = ∑d/∑n LM = 270/2500 = 0,108 Como LM > 0,1 ⇒ empregar a fórmula geral2: LC = ± 3 [ (1- )/n]1/2

LC = 0,108 ± 3 [0,108 (1-0,108)/100]1/2 LC = 0,108 ± 3 (0,108 X 0,892/100)1/2 LC = 0,108 ± 3 X 0,031 LC = 0,108 ± 0,093 LIC = 0,015; LSC = 0,201 Na Figura 5 verificamos que os pontos 5 e 20 estão acima do LSC; logo, devem ser removidos. Recalculando, fica:

LM = (270-43)/(2500-200) = 0,099; LC = 0,099 ± 3 [0,099 (1-0,099)/100]1/2 LC = 0,099 ± 3 (0,099 X 0,901/100)1/2 LC = 0,099 ± 3 X 0,0299 LC = 0,099 ± 0,0897 ⇒ LIC = 0,009; LSC = 0,189

2 Ver Seção 4.7.2.a do Livro Controle Estatístico, do mesmo autor.

Lote d d/n 1 11 0,11 2 9 0,09 3 15 0,15 4 11 0,11 5 22 0,22 6 14 0,14 7 7 0,07 8 10 0,10 9 6 0,06

10 2 0,02 11 11 0,11 12 6 0,06 13 9 0,09 14 18 0,18 15 7 0,07 16 10 0,10 17 8 0,08 18 11 0,11 19 14 0,14 20 21 0,21 21 16 0,16 22 4 0,04 23 11 0,11 24 8 0,08 25 9 0,09 ∑d 270


xvii

xvii

A Figura 6 mostra que agora todos os pontos encontram-se dentro dos novos limites.

0 5 10 15 20 25

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

LIC

LM

LSC

pontos fora de controle

Gráfico de Controle da Fração Defeituosa

Leitura

Número da amostra

0 5 10 15 20 25

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

LIC

LM

LSC

Gráfico de Controle da Fração Defeituosa

Leitura

Número da amostra

Figura 5 Figura 6

Exercício 3.5. Construir o GC de defeituosos de um processo que forneceu os seguintes dados (tamanho da amostra = n = 100):

Resposta: Como n = 100, ∑n = 100 X 10 amostras = 1000. Equações: LM = n = n ∑d/∑n LC = n ± 3 [n (1- )]1/2

Cálculos:

= 98/1000 = 0,098 ⇒ LM = 100 X 0,098 = 9,8 LC = 9,8 ± 3 [9,8 (1-0,098)]1/2 LC = 9,8 ± 3 (9,8 X 0,902)1/2 LC = 9,8 ± 3 (8,8396)1/2 LC = 9,8 ± 3 X 2,973 LC ≅ 9,8 ± 8,9 LIC = 0,9; LSC = 18,7. Como d = número de defeituosos, os limites devem ser números inteiros. Logo, LIC = 1 e LSC = 19. Conclusão: o processo está sob controle. Exercício 3.6. Aplicar o sistema inglês ao exercício anterior. Resposta: No sistema inglês, temos dois limites: LC1 (±1,96 σ) e LC2 (±3,09 σ). Como LC2 > LC (sistema americano), basta examinar a região de advertência:

Amostra d 1 8 2 7 3 12 4 5 5 18 6 2 7 10 8 16 9 14

10 6 ∑ 98


xviii

xviii

LC1 = 9,8 ± 1,96 X 2,973 = 9,8 ± 5,827. Logo: LIC = 3,973 ≅ 4 e LSC = 15,627 ≅ 16. Examinando a distribuição normal, vemos que 34% dos 10 pontos (3 pontos) podem estar entre LC1 e LC2. Examinando os dados, vemos que exatamente 3 pontos (amostras 5, 6 e 8) estão na região de advertência. Logo, temos uma distribuição normal. Exercício 3.7. Numa fábrica de sabonetes foram colhidas do processo k = 25 amostras com n = 50 itens. Dizer, usando o gráfico da fração defeituosa: a) o processo está sob controle? b) se o comprador aceitar partidas com no máximo 2,5% de defeituosos, o processo atende a isso? Dados: nas 25 amostras foram encontrados os seguintes números de defeituosos: 1, 2, 5, 6, 3, 5, 2, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0. Resposta:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d 1 2 5 6 3 5 2 1 1 0 0 1

d/n 0,02 0,04 0,10 0,12 0,06 0,10 0,04 0,02 0,02 0,00 0,00 0,02

x 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 d 0 1 0 2 1 0 0 1 1 0 0 1 0

d/n 0,00 0,02 0,00 0,04 0,02 0,00 0,00 0,02 0,02 0,00 0,00 0,02 0,00

O total de defeituosos nas 25 amostras é 34. Logo, LM = = ∑d/∑n = ∑d/n.k = 34/50 X 25 LM = 0,0272 < 0.1, Logo, emprega-se a relação simplificada3:

LIC p 3 p / n e LSC p 3 p n ==== ==== ++++ ////− LIC = 0,0272 – 3 (0,0272/50)1/2 = 0,0272 – 3 X 0,0233 LIC = 0,0272 – 0,0699 LIC = 0 LSC = 0,0272 + 0,0699 LSC = 0,0971 Conclusões: a) As amostras 3, 4 e 6 estão acima do LSC. Logo, o processo está fora de controle.

b) Se o consumidor aceita partidas com até 2,5% de defeituosos e o número total de defeituosos em 1250 itens foi 34, ou seja, se a fração defeituosa é 0,0272, basta constatar que isso corresponde a 2,72%, que é maior que 2,5%. Logo, o processo atual não permite atender a essa exigência. Entretanto, ao colocarmos o processo sob controle (por exemplo, eliminando as amostras 3, 4 e 6), ficamos com uma fração defeituosa de (34 – 16)/(1250 – 150) = 18/1100 = 0,016, que corresponde a 1,6%. Exercício 3.8. Numa fábrica de transistores, a produção diária é de n = 2800 peças. Controle exaustivo realizado durante oito dias revelou a existência do seguinte número de defeituosos. Dizer se o processo está sob controle.

3 Ver Seção 4.7.2.a do Livro Controle Estatístico, do mesmo autor.


xix

xix

Resposta: Equações: LM = n = n ∑d/∑n = n ∑d/(nk) LC = n ± 3 [n (1- )]1/2

Cálculos: LM = n = 2800 X 926/(2800 X 8) = 926/8 = 115,75⇒ = 115,75/2800 LM = 0,0413

LC = 115,75 ± 3 [115,75 (1-0,0413)]1/2 = 115,75 ± 3 (115,75 X 0,9587)1/2 = 115,75 ± 3 X 10,53 LC = 115,75 ± 31,59 LIC = 84,16 LSC = 147,34 Conclusão: examinando os dados, observamos que todos estão abaixo do Limite Superior de Controle. Logo, o processo está sob controle. Exercício 3.9. Numa determinada indústria existem duas linhas de produção. Após análise com 5 repetições de um total de 10 amostras de cada linha, foram obtidos os seguintes resultados. Interprete-os.

Resposta:

1 = 5,63; 1 = 7,20

2 = 5,62; 2 = 7,60 Equações: Média: LM = ; LC = ± A2 (A2 = 0,577) Amplitude: LM = LIC = D3 e LSC = D4 (D3 = 0 e D4 = 2,115)

Cálculos: Média: LM1 = 5,63 LC1 = 5,63 ± 0,577 X 7,20 = 5,63 ± 4,15 LIC1 = 1,48 LSC1 = 9,78 LM2 = 5,62 LC2 = 5,62 ± 0,577 X 7,60 = 5,62 ± 4,38 LIC2 = 1,24 LSC2 = 10,00 Amplitude: LM1 = 7,2; LIC = 0 e LSC = 2,115 X 7,2 = 15,2

dia defeituosos 1 110 2 117 3 112 4 105 5 130 6 120 7 119 8 113 ∑ 926

LINHA 1 LINHA 2 AMOSTRA

LEITURA R LEITURA R 1 5,67 8 5,50 3 2 5,90 7 5,58 8 3 5,52 9 5,66 5 4 5,60 6 5,76 9 5 5,55 8 5,68 7 6 5,39 8 5,65 8 7 5,79 7 5,61 14 8 5,67 8 5,59 7 9 5,51 5 5,51 9

10 5,66 6 5,64 6


xx

xx

LM2 = 7,6; LIC = 0 e LSC = 2,115 X 7,6 = 16,1 Conclusões: Média e Amplitude: Ambos estão sob controle e ambos os conjuntos de dados também estariam sob controle se usados os limites de controle trocados. Observe-se que aplicação dos testes t e F mostra que suas diferenças (média e desvio-padrão) são estatisticamente insignificantes: sR

1 = 7,2 X 0,4299 = 3,095; sR1 = 7,6 X 0,4299 = 3,267

F = (3,267)2/(3,095)2 = 10,67/9,58 = 1,11 < Ftabelado = 3,0 t = (5,63 – 5,62)/[(10,67+9,58)/9] = 0,01/0,12 = 0,08 < ttabelado = 2,228 Exercício 3.10. Numa fábrica de lâmpadas foi examinado um grande lote, encontrando-se uma vida média de 1627 horas. com um desvio padrão de 230 horas. Sabendo que a partir de então o processo vai ser controlado por exame de amostras com n = 4 lâmpadas, calcular os limites de controle. Resposta: LC = LM ± 3 σ / n½ LM = 1627; σ = 230 LC = 1627 ± 3 X 230/41/2 = 1627 ± 345 LIC = 1282 e LSC = 1972

Exercício 3.11. Amostras de 5 itens foram analisadas e os valores de X e R foram calculados para cada amostra. Para as 25 primeiras amostras foram encontrados Σ X = 358,50 e Σ R = 9,80. Calcular os limites de controle para GC-X e GC-R. Resposta:

a) GC-X:

LM = 358,50/25 = 14,34 e R = 9,80/25 = 0,39 LC = 14,34 ± 0,39.A2; A2 = 0,577 LC = 14,34 ± 0,22 LIC = 14,12 e LSC = 14,56

b) GC-R:

LM = R = 9,80/25 = 0,39 LIC = 0 e LSC = 2,115 x 0,39 = 0,82

Exercício 3.12. Se os limites de especificação para o processo do exercício anterior fossem dados por 14,40 ± 0,45, que conclusões poderiam ser tiradas dos dados, para o GC-X?


xxi

xxi

Resposta:

LSE = 14,85 > LSC = 14,56 LIE = 13,95 < LIC = 14,12

Logo, o processo, enquanto sob controle, atende à especificação (seus limites ficam dentro dos limites de especificação).

Exercício 3.13. Da inspeção de 30 amostras com n = 4 obtiveram-se Σ X = 12660 e Σs = 945. Supor o processo sob controle. Pede-se: a) os limites do GC-X; b) os limites do GC-s; c) a estimativa do desvio-padrão do processo; d) a porcentagem das amostras que ficarão fora da especificação, se LIE for igual a 400. Respostas: a) LC = 12660/30 ± 1,88.945/30 = 422 ± 59; LIC = 363 e LSC = 481 (A1 = 1,88; Tabela 6). b) LIC = 0 e LSC = 2,266.945/30 = 71 (B3 e B4; Tabela 7) c) s = c2.σ (ver Tabela 7) ⇒ σ = s/c2 = 31,5/0,7979 = 39,5 d) Obs.: confrontar com o exercício 1.1. i) Cálculo do σ:

z = ( X -xi)/ σ = (422-363)/ σ = 3 ⇒ σ = 59/3 = 19,7

ii) Cálculo de P(x>400): z = (422-400)/ 19,7 = 22/ 19,7 = 1,12

Na tabela de distribuição normal (Tabela 1), para z = 1,10, encontra-se A = 0,3643. Como é pedido o percentual que fica abaixo de 400, resulta:

A = 0,50 –0,3643 = 0,1357 ou ≅ 13,6% Exercício 3.14. São usados gráficos de controle em uma fábrica de resistências elétricas. Os valores

X (Ohm) e R são calculados a partir de amostras com 3 itens. Para um total de 20 amostras foram encontrados Σ X = 8620 e Σ R = 910. Calcular: a) os limites de controle de GC-X e GC-R; b) a probabilidade de serem produzidas resistências dentro da especificação 430 ± 30. Respostas: a) Limites de controle:

No GC-X:

LC = 431 ± 45,5 x 1,023 = 431 ± 46,5 LIC = 384,5 e LSC = 477,5


xxii

xxii

No GC-R:

LIC = 0 e LSC = 117,2

b) σ = (431-384,5)/3 = 15,5 LIE = 400; LSE = 460 z1 = (431-400)/15.5 = 2 ⇒ 47,72% Logo, P1 = 50 – 47,72 = 2,28% de probabilidade de sair abaixo do LIE. z2 = (460-431)/15.5 = 1,87 ⇒ 46,78% Logo, P2 = 50 – 46,78 = 3,22% de probabilidade de sair acima do LSE.

Conseqüentemente, há uma probabilidade de 2,28% + 3,22% = 5,5% de saírem produtos fora da especificação. Exercício 3.15. Construir, para amostras com 5 itens, o GC-s de um processo com µ = 5,60 e σ = 0,05. Resposta:

LM = µs = c2.σ = 0,8407 x 0,05 = 0,042 LIC = B1.σ = 0 LSC = B2.σ = 1,745 x 0,05 = 0,089

Exercício 3.16. Uma fábrica tem 6 linhas de produção. Análise das mesmas forneceu os seguintes resultados (n = 50):

LINHA X s 1 2,34 0,11 2 2,39 0,16 X = 2,345 3 2,25 0,18 s = 0,12 4 2,34 0,11 5 2,38 0,09 6 2,37 0,08

Comparar as linhas, em termos de exatidão (com auxílio do GC-X) e de precisão (GC-s). Resposta: a) GC-X:

LM = 2,345

LC = 2,345 ± A1. s ; A1 = 3/c2. n

(Obs.: não podem ser usadas as tabelas porque n é maior que 10)

Como n é muito grande, c2 ≅ 1

A1 = 3/ n = 3/ 50 = 3/7,071 = 0,424264 LC = 2,345 ± 0,12 x 0,424264

LC = 2,345 ± 0,051 LIC = 2,294 e LSC = 2,396

b) GC-s: LM = 0,12


xxiii

xxiii

LIC = B3. s ; LSC = B4. s

(Obs.: não podem ser usadas as tabelas porque n é maior que 10)

B3 = 1 - 3/ n2 = 1 - 3/ 100 = 1 – 0,3 = 0,7

B4 = 1 + 3/ n2 = 1 + 3/ 100 = 1 + 0,3 = 1,3 LIC = 0,7 x 0,12 = 0,084 LSC = 1,3 x 0,12 = 0,156

Comparando os dados com os limites de controle: a) do GC-X: A linha 3 está produzindo com um valor médio inferior a LIC. b) do GC-s: As linhas 2 e 3 estão com uma variabilidade muito grande. Exercício 3.17. Sabe-se que um GC(X) tem um LSC = 3,4 e um LIC = 0,6 e que um GC(R) tem um LSC

= 4,6 e um LIC = 0. As respectivas linhas médias valem X = 2 e R = 2 e os referidos gráficos servem para o controle de um processo no qual se tiram amostras de tamanho 4. No controle posterior do processo, obtiveram-se os resultados abaixo: Localizar esses valores no GC-X e no GC-R. O que está ocorrendo? Resposta: Como o ponto 4 está fora de controle (abaixo de LIC), é preciso recalcular os limites. Os novos valores são: a) GC-X:

LC = 1,72 ± 0,729 x 1,63 LC = 1,72 ± 1,19; LIC = 0,53; LSC = 2,91

Na nova situação, em que a linha média caiu, encontram-se os pontos 4 e 12 fora dos limites. Eliminando-os, fica (ver quadro na página seguinte):

X = 1,72 e R = 1,59 LC = 1,80 ± 0,729 x 1,59

LC = 1,80 ± 1,16; LIC = 0,64; LSC = 2,96 b) GC-R:

LIC = 1,59 x 0 = 0; LSC = 1,59 x 2,282 = 3,63

Como agora o processo está sob controle, é possível analisar a situação: a) Existe um grande percentual de valores de xi abaixo da linha média anterior (2), sugerindo que o

valor médio do característico em análise diminuiu estatisticamente. Se, por exemplo, trata-se do teor de uma impureza em um dado produto, isso é bom. Mas pode ser o contrário.

b) Por outro lado, o GC-R, também com diminuição da linha média, indica que houve uma melhora na variabilidade do processo.


xxiv

xxiv

MEDIDAS INDIVIDUAIS HORA

x1 x2 x3 x4 X R

1 1,7 2,2 1,9 1,2 1,75 1,0 2 0,8 1,5 2,1 0,9 1,33 1,3 3 1,0 1,4 1,0 1,3 1,18 0,4 4 0,4 -0,6 0,7 0,2 0,18 1,3 5 1,4 2,3 2,8 2,7 2,3 1,4 6 1,8 2,0 1,1 0,1 1,25 1,9 7 1,6 1,0 1,5 2,0 1,53 1,0 8 2,5 1,6 1,8 1,2 1,78 1,3 9 2,9 2,0 0,5 2,2 1,9 2,4

10 1,1 1,1 3,1 1,6 1,73 2,0 11 1,7 3,6 2,5 1,8 2,4 1,9 12 4,6 2,8 3,5 1,9 3,2 2,7 13 2,6 2,8 3,2 1,5 2,53 1,7 14 2,3 2,1 2,1 1,7 2,05 0,6 15 1,9 1,6 1,8 1,4 1,68 0,5 16 1,3 2,0 3,9 0,8 2 3,1 17 2,8 1,6 0,6 0,2 1,3 2,6 18 1,7 3,6 0,9 1,5 1,93 2,7 19 1,6 0,6 1,0 0,8 1 1,0 20 1,7 1,0 0,5 2,2 1,35 1,7

MÉDIAS 1,72 1,63 Exercício 3.18. De um processo foram colhidas 25 amostras de tamanho 50, encontrando-se os resultados abaixo. Calcular os limites de controle para o GC-p. Resposta:

064,01250

80

5025

80===

xp

AMOSTRA d p AMOSTRA d p

1 1 0,02 14 5 0,10 2 2 0,04 15 4 0,08 3 3 0,06 16 4 0,08 4 3 0,06 17 5 0,10 5 5 0,10 18 1 0,02 6 4 0,08 19 5 0,10 7 4 0,08 20 2 0,04 8 4 0,08 21 0 0,00 9 2 0,04 22 5 0,10

10 2 0,04 23 3 0,06 11 3 0,06 24 3 0,06 12 3 0,06 25 1 0,02 13 3 0,06 TOTAL 80

LC = 0,064 ± 3 50/)064,01(064,0 − = 0,064 ± 0,104

LIC = 0; LSC = 0,168

Como o maior valor de p é 0,10, o processo está sob controle.


xxv

xxv

Exercício 3.19. Calcular os limites de controle para o GC-np com os mesmos dados acima.

Resposta: LM = n p ; LC = n p ± 3 )1( ppn − = 50 x 0,064 ± 3 936,02,3 x = 3,2 ± 5,2

LIC = 0 e LSC = 8,4 e o processo está sob controle. Exercício 3.20. Na inspeção de 25 veículos foram encontrados os defeitos tabelados abaixo. Calcular os limites de controle do GC-u (n = 1). Resposta:

12,1125

278==u ; LM = 11,12 e LC = 11,12 ± 3 12,11 = 11,12 ± 10,00

LIC = 1,12 e LSC = 21,12

O veículo 20, com 27 defeitos, deve voltar à linha de montagem. Recalculando os limites:

46,1024

251==u ; LM = 10,46 e LC = 10,46 ± 3 46,10 = 10,46 ± 9,70

LIC = 0,76 e LSC = 20,16

Agora, o veículo 15, com 21 defeitos, também deve voltar à linha de montagem. Recalculando mais uma vez os limites:

00,1023

230==u ; LM = 10,00 e LC = 10,00 ± 3 00,10 = 10,00 ± 9,49

LIC = 0,51 ≅ 0 e LSC = 19,49 ≅ 19

VEÍCULO c VEÍCULO c 1 7 14 8 2 14 15 21 3 13 16 12 4 17 17 8 5 7 18 9 6 11 19 5 7 6 20 27 8 11 21 9 9 16 22 15

10 13 23 3 11 17 24 7 12 10 25 5 13 7 TOTAL 278

Exercício 3.21. Construir o GC-c com os dados obtidos de uma fábrica de fio de cobre, onde se faz um inventário do número de falhas na película do esmalte isolante em peças com 30 metros de comprimento. Foram examinadas 20 peças. Os dados encontram-se na página seguinte.

Resposta: 70,620

134==c ; LC = 6,70 ± 3 70,6 = 6,70 ± 7,76; LIC =

0 e LSC = 14,46 Eliminando o item 2, fica:

PEÇA c PEÇA c PEÇA c 1 7 8 0 15 4 2 15 9 11 16 11 3 9 10 13 17 0 4 5 11 0 19 12 5 0 12 5 19 3 6 4 13 8 20 10 7 11 14 6 TOTAL 134


xxvi

xxvi

26,619

119==c ; LC = 6,26 ± 3 26,6 = 6,26 ± 7,50; LIC = 0 e LSC = 13,76

Exercício 3.22. É muito importante a definição da dimensão da amostra (não confundir com tamanho,

n). Se, por exemplo, houvessem sido examinados 20 peças de fio com apenas 10 metros de comprimento, poderiam ter sido encontrados os seguintes resultados:

Resposta: 25,220

45==c ; LC = 2,25 ± 3 25,2 = 2,25 ± 4,5; LIC = 0 e LSC =

6,75 Nesse caso, o item 2 passaria pelo teste!

Exercício 3.23. Uma fábrica começou com uma produção muito baixa, aumentando-a com o tempo. O Controle de Qualidade registrou o tamanho do refugo ao longo de todo esse tempo (Quadro abaixo). Interpretar os resultados. Notação: Pt = prod. total; Pu = prod. útil; Ref = refugo; Pmin = prod. mínima; Po = prod. ótima e Pmax = prod. máxima.

Pt Pu Ref Ref% Pu/Ref 0 0 0 0 0

10 2 8 80 0,25 20 5 12 60 0,42 30 15 15 50 1,00 40 30 10 25 3,00 50 45 5 10 9,00 60 50 10 17 5,00 70 55 15 21 3,67 80 60 20 25 3,00 90 58 32 36 1,81

100 55 45 45 1,22 110 50 60 55 0,83 120 45 75 63 0,60

O gráfico abaixo (Figura 7) mostra que a produção ótima se dá com Pt = 50 , que a partir de Pt = 80 a produção útil começa a cair em termos absolutos, que a fábrica só tem rentabilidade na faixa compreendida entre Pmin e Pmax e que abaixo de Pmin o custo de produção é exageradamente alto.

PEÇA c PEÇA c 1 2 12 2 2 5 13 3 3 3 14 2 4 2 15 1 5 0 16 4 6 1 17 0 7 4 19 4 8 0 19 1 9 4 20 3

10 4 TOTAL 45 11 0


xxvii

xxvii

Figura 7


xxviii

xxviii

4. INSPEÇÃO DE QUALIDADE Exercício 4.1. Numa partida de N = 50, com D = 2, qual a probabilidade de aceitação (PA) e a probabilidade de rejeição (PR), inspecionando-se uma amostra com n = 10 e a = 1 ?: Resposta: A equação pode ser escrita como abaixo:

que pode ainda ser escrita como:

onde as letras maiúsculas indicam valores do lote e as letras minúsculas indicam valores da amostra. A probabilidade de aceitação (PA) é dada pela relação:

F (a) = P (0 ≤ d ≤ a)

e a probabilidade de rejeição (PR) é dada pela relação:

1 – F(a) = P (d > a)

Para calcular F(a) para um dado valor de a deve ser efetuado o somatório:

onde f(d) representa o modelo de distribuição escolhido (no caso, a hipergeométrica, pois n/N = 0,2 > 0,1). Para efeito de simplificação, doravante serão omitidos os símbolos acima e abaixo do sinal de somatório. Cálculos: Como N = 50, D = 2 e n = 10, temos: Para a = 0: f(d) = [2!/0!(2 – 0)!] X {(50 – 2)!/[10![(50 – 2) – (10 – 0)!]} X [10!(50 – 10)!/50!] f(d) = 1 X [48!/10!(48 – 10)!] X 10!40!/50! f(d) = (48!/10!38!) X (10!40!/50!) com outra apresentação:


xxix

xxix

Refazendo o cálculo para a = 1, fica f (d) = 0,326. Logo, PA = 0,637 + 0,326 = 0,963 ou 96,3%. Finalmente, PR = 1 – 0,963 = 0,037 ou 3,7%. Exercício 4.2. Foram extraídas 50 amostras de um lote de tamanho 1000, cuja fração defeituosa conhecida é P = 0,04. Calcular PA e PR para a = 2, a = 3 e a = 6. Usar a distribuição binomial. Resposta: equações: F(d) = ∑ n!/d!(n-d)! x Pd x Q(n-d), onde Q = 1 – P Cálculos: Para d = 0: f(d) = 50!/0!(50-0)! x (0,04)0 x (1 – 0,04)(50 – 0) = 1 x 1 x (0,96)50 = 0,130 Para d = 1: f(d) = 0,270 Para d = 2: f(d) = 0,276 Para d = 3: f(d) = 0,184 Para d = 4: f(d) = 0,090 Para d = 5: f(d) = 0,034 Para d = 6: f(d) = 0,010 Fazendo o somatório, fica: Para a = 2: F (a) = 0,130 + 0,270 + 0,276 = 0,676 Para a = 3: F (a) = 0,676 + 0,184 = 0,860 Para a = 6: F (a) = 0,860 + 0,090 + 0,034 + 0,010 = 0,994 Logo, considerando que PA = F (a) e PR = 1 – F (a), temos: Para a = 2: PA = 0,676; PR = 0,324 Para a = 3: PA = 0,860; PR = 0,140 Para a = 6: PA = 0,994; PR = 0,006 Exercício 4.3. Recalcular o exercício anterior, usando a distribuição de Poisson. Resposta: equações: m = n.P F (a) = ∑ md/(em.d!) Cálculos: m = 50 X 0,04 = 2 em = e2 = (2,72)2 = 0,07344 ⇒ 1/e2 = 1/7,3984 = 0,135 Para d = 0: f(d) = 20 x 0,135/0! = 0,135 Para d = 1: f(d) = 21 x 0,135/1! = 0,270 Para d = 2: f(d) = 22 x 0,135/2! = 0,270 Para d = 3: f(d) = 23 x 0,135/3! = 0,180 Para d = 4: f(d) = 24 x 0,135/4! = 0,090


xxx

xxx

Para d = 5: f(d) = 25 x 0,135/5! = 0,036 Para d = 6: f(d) = 26 x 0,135/6! = 0,012 Somatórios: Para a = 2: PA = 0,135+0,270+0,270 = 0,675; PR = 0,325 Para a = 3: PA = 0,675+0,180= 0,855; PR = 0,145 Para a = 6: PA = 0,855+0,090+0,036+0,012= 0,993; PR = 0,007 Sugestão: comparar estes resultados com os anteriores. Exercício 4.4. São dados:

N = 5000 P1 = NQA = 1% P2 = NQI = 8% α = 5% β = 10%

O Plano empregado é o de inspeção simples, com Nível de Inspeção I. Determinar n e a. Em seguida, empregando a distribuição de Poisson, recalcular o plano. Resposta: a) Na Tabela 9 encontra-se a Letra J; na Tabela 10: n = 80 e a = 2. Recalculando: Tentativa 1 Para o fabricante: PA = {[(80 x 0,01)0/e(80 x 0,01)] x 1/0!} + {[(80 x 0,01)1/e(80 x 0,01)] x 1/1!} + {[(80 x 0,01)2/e(80 x 0,01)] x 1/2!} = 1/e0,8 + 0,8 x 1/e0,8 + 0,82 x 1/e0,8 x ½! PA = 0,4504 + 0,8 x 0,4504 + 0,64 x 0,4504 x1/2 = 0,4504 + 0,3603 + 0,1441 = 0,9548 = 95,5% ⇒ α = 100 – 95,5 = 4,5% < 5% Para o comprador: PA = {[(80 x 0,08)0/e(80 x 0,08)] x 1/0!} + {[(80 x 0,08)1/e(80 x 0,08)] x 1/1!} + {[(80 x 0,08)2/e(80 x 0,08)] x 1/2!} = 1/e6,4 + 6,4 x 1/e6,4 + 6,42 x 1/e-6,4 x ½ = 0,001694 + 6,4 x 0,001694 + 40,96 x 0,001694/2 PA = 0,001694 + 0,01084 + 0,03469 = 0,047 = 4,7% ⇒ β = 4,7% < 10%. Tentativa 2 Se diminuirmos o valor de n para 60, por exemplo, fica: Para o fabricante: PA = {[(60 x 0,01)0/e(60 x 0,01)] x 1/0!} + {[(60 x 0,01)1/e(60 x 0,01)] x 1/1!} + {[(60 x 0,01)2/e(60 x 0,01)] x 1/2!}= 1/e0,6 + 0,6 x 1/e0,6 + 0,36 x 1/e0,6 x ½! PA = 0,5498 + 0,6 x 0,5498 + 0,36 x 0,5498/2 = 0,5498 + 0,3299 + 0,09896 = 0,9787 = 97,9% ⇒ α = 100 – 97,9 = 2,1% < 5% Para o comprador: PA = {[(60 x 0,08)0/e(60 x 0,08)] x 1/0!} + {[(60 x 0,08)1/e(60 x 0,08)] x 1/1!} + {[(60 x 0,08)2/e(60 x 0,08)] x 1/2!} = 1/e4,8 + 4,8 x 1/e4,8 + 23,04 x 1/e4,8 x ½ PA = 0,00835 + 0,04008 + 0,0962 = 0,1446 = 14,5% ⇒ β = 14,5% > 10%.


xxxi

xxxi

Comparemos os resultados encontrados até agora com os valores desejados: Situação Valor de a Valor de n Valor de α Valor de β esperada 2 80 5 10

tentativa 1 2 80 4,5 4,7 tentativa 2 2 60 2,1 14,5 A tentativa 1 forneceu um valor para α muito próximo do desejado. Além disso, forneceu um valor de β muito menor, o que deveria agradar ao comprador. Entretanto, com um tamanho de amostra igual a 80, o custo poderá ficar muito alto. Por isso foi feita a tentativa 2. Infelizmente, ela elevou o valor de β consideravelmente, levando-nos a tentar trabalhar com um valor de n intermediário (70). Para o fabricante: PA = {[(70 x 0,01)0/e(70 x 0,01)] x 1/0!} + {[(70 x 0,01)1/e(70 x 0,01)] x 1/1!} + {[(70 x 0,01)2/e(70 x 0,01)] x 1/2!} PA = 1/e0,7 + 0,7 x 1/e0,7 + 0,49 x 1/e0,7 x ½ PA = 0,4976 + 0,7 x 0,4976 + 0,49 x 0,4976/2 = 0,4976 + 0,3483 + 0,1219 = 96,8% ⇒ α = 100 – 96,8 = 3,2% < 5% Para o comprador: PA = {[(70 x 0,08)0/e(70 x 0,08)] x 1/0!} + {[(70 x 0,08)1/e(70 x 0,08)] x 1/1!} + {[(70 x 0,08)2/e(70 x 0,08)] x 1/2!} PA = 1/e5,6 + 5,6 x 1/e5,6 + 31,36 x 1/e5,6 x ½ PA = 0,00376 + 0,021056 + 0,05896 = 0,0838 = 8,4% ⇒ β = 8,4% < 10%. Plano: N = 5000; n = 70; a = 2; P1 = 1%; P2 = 8%; α = 3,2% e β = 8,4%. Exercício 4.5. Uma amostra de tamanho n = 100 é retirada da produção. Admite-se que NQ pode variar entre 0% e 20%. Calcular e construir a CCO para a = 10, empregando a equação de Poisson. Dica: quanto mais pontos, mais bem definida fica a curva. Resposta: Atribuir vários valores para P (porcentagem de defeituosos), entre 0,0 e 0,2 (0% e 20%) e calcular o correspondente valor de PA. A CCO é construída colocando-se P na abcissa e PA na ordenada. Equações:

m = n.P; PA = ∑ md/(em.d!) Desenvolvimento: calcular m e PA para cada valor de P. 1) P = 0% = 0 m = 100 x 0 = 0 PA = (00/e0) x 1/0! + (01/e0) x 1/1! + (02/e0) x 1/2! + (03/e0) x 1/3! + (04/e0) x 1/4! + (05/e0) x 1/5! + (06/e0) x 1/6! + (07/e0) x 1/7! + (08/e0) x 1/8! + (09/e0) x 1/9! + (010/e0) x 1/10! PA = (1/1) x 1/1 + (0/1) x 1/1 + (0/1) x 1/2 + (0/1) x 1/6 + (0/1) x 1/24 + (0/1) x 1/120 + (0/1) x 1/720 + (0/1) x 1/5040 + (0/1) x 1/40320 + (0/1) x 1/362880 + (0/1) x 1/3628800 PA = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 PA = 1 = 100%


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2) P = 0,5% = 0,005 m = 100 x 0,005 = 0,5 PA = (0,50/e0,5) x 1/0! + (0,51/e0,5) x 1/1! + (0,52/e0,5) x 1/2! + (0,53/e0,5) x 1/3! + (0,54/e0.5) x 1/4! + (0,55/e0,5) x 1/5! + (0,56/e0,5) x 1/6! + (0,57/e0,5) x 1/7! + (0,58/e0,5) x 1/8! + (0,59/e0,5) x 1/9! + (0,510/e0,5) x 1/10! PA = (1/1,649) x 1/1 + (0,5/1,649) x 1/1 + (0,25/1,649) x 1/2 + (0,125/1,649) x 1/6 + (0,0625/1,649) x 1/24 + (0,03125/1,649) x 1/120 + (0,015625/1,649) x 1/720 + (0,0078125/1,649) x 1/5040 + (0,00390625/1,649) x 1/40720 + (0,001953125/1,649) x 1/362880 + (0,0009765625/1,649) x 1/3628800 PA = 0,6064 x 1 + 0,3032 x 1 + 0,1516 x 0,5 + 0,0758 x 0,1667 + 0,0379 x 0,04167 + 0,01895 x 0,008333 + 0,009475 x 0,001389 + 0,0047375 x 0,0001984 + + (0,00390625/1,649) x 1/40320+ 0,001184375 x 0,000002756 + 0,0005921875 x 0,0000002756 PA = 0,6064 + 0,3032 + 0,0758 + 0,01264 + 0,001579 + 0,0001579 + 0,00001316 + 0,0000009399 + 0,00000005875 + 0,000000003264+ 0,0000000001632 PA = 1,00 = 100,00% 3) P = 1% = 0,01 m = 100 x 0,01 = 1 PA = (10/e1) x 1/0! + (11/e1) x 1/1! + (12/e1) x 1/2! + (13/e1) x 1/3! + (14/e1) x 1/4! + (15/e1) x 1/5! + (16/e1) x 1/6! + (17/e1) x 1/7! + (18/e1) x 1/8! + (19/e1) x 1/9! + (110/e1) x 1/10! PA = (1/2,72) x 1/1 + (1/2,72) x 1/1 + (1/2,72) x 1/2 + (1/2,72) x 1/6 + (1/2,72) x 1/24 + (1/2,72) x 1/120 + (1/2,72) x 1/720 + (1/2,72) x 1/5040 + (1/2,72) x 1/40320 + (1/2,72) x 1/362880 + (1/2,72) x 1/3628800 PA = 0,36765 + 0,36765 + 0,18382 + 0,061274 + 0,01532 + 0,003064 + 0,0005106 + 0,00007294 + 0,000009118 + 0,000001013 + 0,0000001013 PA = 0,9994 = 99,94% Obs.: Como o leitor deve ter observado, o cálculo manual é bastante trabalhoso, verdadeiramente exaustivo. Para facilitar, é importante o conhecimento de aplicativos (programas computacionais) que façam esse trabalho braçal por nós. Uma vez calculados vários valores de PA, os mesmos são colocados num gráfico (na ordenada) e correlacionados com os correspondentes valores de P (na abcissa). Este gráfico pode, por exemplo, ser construído manualmente, em papel milimetrado, mas também com auxílio de algum aplicativo (o próprio Excel ou o Origin, entre outros tantos disponíveis no mercado especializado).


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5. TABELAS ÚTEIS

As tabelas apresentadas a seguir deverão ser utilizadas para a melhor compreensão dos exercícios, bem como a resolução de exercícios equivalentes.


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TABELA 1 (Capítulo 1)

ÁREAS )z z (0)(z oo P A ≤≤= para zo = (x - µ)/σ (ramo positivo da curva)4

zo A zo A zo A zo A zo A zo A 0,00 0,0000 0,60 0,2257 1,20 0,3849 1,80 0,4641 2,40 0,4918 3,00 0,4987 0,01 0,0040 0,61 0,2291 1,21 0,3869 1,81 0,4649 2,41 0,4920 3,01 0,4987 0,02 0,0080 0,62 0,2324 1,22 0,3888 1,82 0,4656 2,42 0,4922 3,02 0,4987 0,03 0,0120 0,63 0,2357 1,23 0,3907 1,83 0,4664 2,43 0,4925 3,03 0,4988 0,04 0,0160 0,64 0,2389 1,24 0,3925 1,84 0,4671 2,44 0,4927 3,04 0,4988 0,05 0,0199 0,65 0,2422 1,25 0,3944 1,85 0,4678 2,45 0,4929 3,05 0,4989 0,06 0,0239 0,66 0,2454 1,26 0,3962 1,86 0,4686 2,46 0,4931 3,06 0,4989 0,07 0,0279 0,67 0,2486 1,27 0,3980 1,87 0,4693 2,47 0,4932 3,07 0,4989 0,08 0,0319 0,68 0,2517 1,28 0,3997 1,88 0,4699 2,48 0,4934 3,08 0,4990 0,09 0,0359 0,69 0,2549 1,29 0,4015 1,89 0,4706 2,49 0,4936 3,09 0,4990 0,10 0,0398 0,70 0,2580 1,30 0,4032 1,90 0,4713 2,50 0,4938 3,10 0,4990 0,11 0,0438 0,71 0,2611 1,31 0,4049 1,91 0,4719 2,51 0,4940 3,11 0,4991 0,12 0,0478 0,72 0,2642 1,32 0,4066 1,92 0,4726 2,52 0,4941 3,12 0,4991 0,13 0,0517 0,73 0,2673 1,33 0,4082 1,93 0,4732 2,53 0,4943 3,13 0,4991 0,14 0,0557 0,74 0,2704 1,34 0,4099 1,94 0,4738 2,54 0,4945 3,14 0,4992 0,15 0,0596 0,75 0,2734 1,35 0,4115 1,95 0,4744 2,55 0,4946 3,15 0,4992 0,16 0,0636 0,76 0,2764 1,36 0,4131 1,96 0,4750 2,56 0,4948 3,16 0,4992 0,17 0,0675 0,77 0,2794 1,37 0,4147 1,97 0,4756 2,57 0,4949 3,17 0,4992 0,18 0,0714 0,78 0,2823 1,38 0,4162 1,98 0,4761 2,58 0,4951 3,18 0,4993 0,19 0,0753 0,79 0,2852 1,39 0,4177 1,99 0,4767 2,59 0,4952 3,19 0,4993 0,20 0,0793 0,80 0,2881 1,40 0,4192 2,00 0,4772 2,60 0,4953 3,20 0,4993 0,21 0,0832 0,81 0,2910 1,41 0,4207 2,01 0,4778 2,61 0,4955 3,21 0,4993 0,22 0,0871 0,82 0,2939 1,42 0,4222 2,02 0,4783 2,62 0,4956 3,22 0,4994 0,23 0,0910 0,83 0,2967 1,43 0,4236 2,03 0,4788 2,63 0,4957 3,23 0,4994 0,24 0,0948 0,84 0,2995 1,44 0,4251 2,04 0,4793 2,64 0,4959 3,24 0,4994 0,25 0,0987 0,85 0,3023 1,45 0,4265 2,05 0,4798 2,65 0,4960 3,25 0,4994 0,26 0,1026 0,86 0,3051 1,46 0,4279 2,06 0,4803 2,66 0,4961 3,26 0,4994 0,27 0,1064 0,87 0,3078 1,47 0,4292 2,07 0,4808 2,67 0,4962 3,27 0,4995 0,28 0,1103 0,88 0,3106 1,48 0,4306 2,08 0,4812 2,68 0,4963 3,28 0,4995 0,29 0,1141 0,89 0,3133 1,49 0,4319 2,09 0,4817 2,69 0,4964 3,29 0,4995 0,30 0,1179 0,90 0,3159 1,50 0,4332 2,10 0,4821 2,70 0,4965 3,30 0,4995 0,31 0,1217 0,91 0,3186 1,51 0,4345 2,11 0,4826 2,71 0,4966 3,31 0,4995 0,32 0,1255 0,92 0,3212 1,52 0,4357 2,12 0,4830 2,72 0,4967 3,32 0,4995 0,33 0,1293 0,93 0,3238 1,53 0,4370 2,13 0,4834 2,73 0,4968 3,33 0,4996 0,34 0,1331 0,94 0,3264 1,54 0,4382 2,14 0,4838 2,74 0,4969 3,34 0,4996 0,35 0,1368 0,95 0,3289 1,55 0,4394 2,15 0,4842 2,75 0,4970 3,35 0,4996 0,36 0,1406 0,96 0,3315 1,56 0,4406 2,16 0,4846 2,76 0,4971 3,36 0,4996 0,37 0,1443 0,97 0,3340 1,57 0,4418 2,17 0,4850 2,77 0,4972 3,37 0,4996 0,38 0,1480 0,98 0,3365 1,58 0,4429 2,18 0,4854 2,78 0,4973 3,38 0,4996 0,39 0,1517 0,99 0,3389 1,59 0,4441 2,19 0,4857 2,79 0,4974 3,39 0,4997 0,40 0,1554 1,00 0,3413 1,60 0,4452 2,20 0,4861 2,80 0,4974 3,40 0,4997 0,41 0,1591 1,01 0,3438 1,61 0,4463 2,21 0,4864 2,81 0,4975 3,42 0,4997 0,42 0,1628 1,02 0,3461 1,62 0,4474 2,22 0,4868 2,82 0,4976 3,44 0,4997 0,43 0,1664 1,03 0,3485 1,63 0,4484 2,23 0,4871 2,83 0,4977 3,46 0,4997 0,44 0,1700 1,04 0,3508 1,64 0,4495 2,24 0,4875 2,84 0,4977 3,48 0,4997 0,45 0,1736 1,05 0,3531 1,65 0,4505 2,25 0,4878 2,85 0,4978 3,50 0,4998 0,46 0,1772 1,06 0,3554 1,66 0,4515 2,26 0,4881 2,86 0,4979 3,54 0,4998 0,47 0,1808 1,07 0,3577 1,67 0,4525 2,27 0,4884 2,87 0,4979 3,58 0,4998 0,48 0,1844 1,08 0,3599 1,68 0,4535 2,28 0,4887 2,88 0,4980 3,62 0,4999 0,49 0,1879 1,09 0,3621 1,69 0,4545 2,29 0,4890 2,89 0,4981 3,66 0,4999 0,50 0,1915 1,10 0,3643 1,70 0,4554 2,30 0,4893 2,90 0,4981 3,70 0,4999 0,51 0,1950 1,11 0,3665 1,71 0,4564 2,31 0,4896 2,91 0,4982 3,74 0,4999 0,52 0,1985 1,12 0,3686 1,72 0,4573 2,32 0,4898 2,92 0,4982 3,78 0,4999 0,53 0,2019 1,13 0,3708 1,73 0,4582 2,33 0,4901 2,93 0,4983 3,82 0,4999 0,54 0,2054 1,14 0,3729 1,74 0,4591 2,34 0,4904 2,94 0,4984 3,86 0,4999 0,55 0,2088 1,15 0,3749 1,75 0,4599 2,35 0,4906 2,95 0,4984 3,90 0,5000 0,56 0,2123 1,16 0,3770 1,76 0,4608 2,36 0,4909 2,96 0,4985 0,57 0,2157 1,17 0,3790 1,77 0,4616 2,37 0,4911 2,97 0,4985 0,58 0,2190 1,18 0,3810 1,78 0,4625 2,38 0,4913 2,98 0,4986 0,59 0,2224 1,19 0,3830 1,79 0,4633 2,39 0,4916 2,99 0,4986

4 Ver figura na próxima página.


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Valores Críticos de Q para Eliminação de Erros Grosseiros

P(%) n – 1

90 95 99

3 0,886 0,941 0,988

4 0,679 0,765 0,889

5 0,557 0,642 0,760

6 0,482 0,560 0,698

7 0,434 0,507 0,637

8 0,330 0,390 0,550

9 0,275 0,320 0,490

10 0,230 0,270 0,435


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Valores de Kn para Cálculo da Segunda Estimativa do Desvio Padrão (sR)

n Kn eficiência*

2 0,8862 1,00 3 0,5908 0,99 4 0,4857 0,98 5 0,4299 0,96 6 0,3946 0,93 7 0,3698 0,91 8 0,3512 0,89 9 0,3367 0,87 10 0,3249 0,85

(*) Eficiência com que Kn estima o desvio padrão.


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Valores de F para Avaliação da Precisão Relativa de Dois Conjuntos de Dados

(n - 1) PARA O MÉTODO A (n -1) de B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 2 18,5 19 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 3 10,1 8,6 9,9 9,1 9,0 8,9 8,8 8,8 8,8 8,8 4 7,7 6,9 6,6 6,4 6,3 6,2 6,1 6,1 6,0 6,0 5 6,6 5,8 5,4 5,2 5,1 5,0 4,9 4,8 4,8 4,8 6 6,0 5,1 4,8 4,5 4,4 4,3 4,2 4,2 4,1 4,1 7 5,6 4,7 4,4 4,1 4,0 3,9 3,6 3,7 3,6 3,6 8 5,3 4,5 4,1 3,8 3,7 3,6 3,5 3,4 3,3 3,3 9 5,1 4,3 3,9 3,6 3,5 3,4 3,3 3,2 3,1 3,1

10 5,0 4,1 3,7 3,5 3,3 3,2 3,1 3,1 3,0 3,0


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Valores de t para Avaliação da Exatidão

P(%) n - 1 90 95 99

1 6,314 12,706 63,657 2 2,920 4,303 9,925 3 2,353 3,182 5,841 4 2,132 2,776 4,608 5 2,015 2,571 4,032 6 1,943 2,447 3,707 7 1,895 2,365 3,499 8 1,860 2,306 3,355 9 1,833 2,262 3,250

10 1,812 2,228 3,169 11 1,796 2,201 3,106 12 1,782 2,179 3,055 13 1,771 2,160 3,012 14 1,761 2,145 2,977 15 1,753 2,131 2,947 16 1,746 2,120 2,921 17 1,740 2,110 2,891 18 1,734 2,101 2,878 19 1,729 2,093 2,861 20 1,725 2,086 2,845 25 1,708 2,060 2,787 30 1,697 2,042 2,750

∞ 1,645 1,960 2,576


xl

xl


Valores para Cálculo dos Limites de Controle em GC da Média

n A A1 A2 Fórmulas: 2 2,121 3,760 1,880 3 1,732 2,394 1,023 a) Norma conhecida: 4 1,500 1,880 0,729 LM = µ 5 1,342 1,596 0,577 LC = LM + Aσ 6 1,225 1,410 0,483 7 1,134 1,277 0,419 b) Norma desconhecida: 8 1,061 1,175 0,373 LM = X 9 1,000 1,094 0,337 LC = LM + A1.s ou

10 0,949 1,028 0,308 LC = LM + A2.R


Valores para Cálculo dos Limites de Controle em GC do Desvio Padrão

n c2 B1 B2 B3 B4 Fórmulas: 2 0,5642 0,000 1,843 0,000 3,267 3 0,7236 0,000 1,858 0,000 2,568 a) Norma conhecida: 4 0,7979 0,000 1,808 0,000 2,266 LM = s = c2.σ 5 0,8407 0,000 1,745 0,000 2,089 LIC = B1.σ 6 0,8686 0,026 1,711 0,030 1,970 LSC = B2.σ 7 0,8882 0,105 1,672 0,118 1,882 8 0,9027 0,167 1,638 0,185 1,815 b) Norma desconhecida 9 0,9139 0,219 1,609 0,239 1,761 LM = s

10 0,9227 0,262 1,584 0,284 1,716 LIC = B3. s LSC = B4. s


xli

xli


Valores para Cálculo dos Limites de Controle em GC da Amplitude

n d2 D1 D2 D3 D4 2 1,128 0,000 3,686 0,000 3,267 3 1,693 0,000 4,358 0,000 2,575 4 2,059 0,000 4,698 0,000 2,282 5 2,326 0,000 4,918 0,000 2,115 6 2,534 0,000 5,078 0,000 2,004 7 2,704 0,205 5,203 0,076 1,924 8 2,847 0,387 5,307 0,136 1,864 9 2,970 0,546 5,394 0,184 1,816

10 3,078 0,687 5,469 0,223 1,777

Fórmulas:

a) Norma conhecida: LM = d2.σ; LIC = D1.σ; LSC = D2.σ b) Norma desconhecida: LM = R; LIC = D3. R; LSC = D4. R


xlii

xlii


Código de letras dos níveis de inspeção, para uso das Tabelas 9, 10 e 11.a,b,c.

Níveis de Inspeção Tamanho do lote (N)

I II III S-1 S-2 S-3 S-4 000.002 a 000.008 B B B B B B B 000.009 a 000.015 B B C B B B B 000.016 a 000.025 B C D B B B B 000.026 a 000.050 C D E B B B C 000.051 a 000.100 C E F B B C C 000.101 a 000.150 D F G B B C D 000.151 a 000.300 E G H B C D E 000.301 a 000.500 F H J B C D E 000.501 a 001.000 G J K C C E F 001.001 a 003.000 H K L C D E G 003.001 a 010.000 J L M C D F G 010.001 a 035.000 K M N C D F H 035.001 a 150.000 L N P D E G J 150.001 a 500.000 M P Q D E G J

500.001 acima N Q R D E H K


xliii

xliii


Planos de Inspeção com Amostragem Simples.

Nível de qualidade aceitável, NQA (% defeituosos ou defeitos por 100 unidades)

0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 1,0 1,5 2,5 4,0 6,5 10,0 15,0 25,0 40,0 65,0 100,0 150,0 250,0 400,0 650,0 1000,0 Letra

de código

Tamanho

da amostra

a r a r a r a r a r a r a r a r a r A r

a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r

A 2 | | | | | | | | | | | | | | | | ⇓ 0 1 | | ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31

B 3 | | | | | | | | | | | | | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31 44 45

C 5 | | | | | | | | | | | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31 44 45 ⇑

D 8 | | | | | | | | | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31 44 45 ⇑ | | E 13 | | | | | | | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31 44 45 ⇑ | | | | F 20 | | | | | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ ⇑ ⇑ | | | | | | G 32 | | | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | H 50 | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | J 80 ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | K 125 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | L 200 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | M 315 ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | N 500 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | P 800 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Q 1250 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | R 2000 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

⇓ = Empregue o primeiro plano abaixo da seta. Quando o tamanho da amostra (n) for igual ou maior do que o tamanho da partida (N), realize inspeção completa. ⇑ = Empregue o primeiro plano acima da seta. a = Número de Aceitação. r = Número de Rejeição.


xliv

xliv


Planos de Inspeção com Amostragem Dupla. Letra Ordem Tamanho Nível de qualidade aceitável, NQA (% defeituosos ou defeitos por 100 unidades)

de d a da amostra 0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 1,0 1,5 2,5 4,0 6,5 10,0 15,0 25,0 40,0 65,0 100,0 150,0 250,0 400,0 650,0 1000,0

código Amostra simples acumul. a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r

A

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | ⇓ *

| | | |

| | ⇓ * * * * * * * * *

B 1a 2a

2 2

2 4

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | ⇓ *

⇑ | |

| | ⇓

0 2 1 2

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

17 22 37 38

25 31 56 57

C 1a 2a

3 3

3 6

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | ⇓ *

⇑ | |

| | ⇓

0 2 1 2

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

17 22 37 38

25 31 56 57

⇑ | |

D 1a 2a

5 5

5 10

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | ⇓ *

⇑ | |

| | ⇓

0 2 1 2

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

17 22 37 38

25 31 56 57

⇑ | |

| | | |

E 1a 2a

8 8

8 16

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | ⇓ *

⇑ | |

| | ⇓

0 2 1 2

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

17 22 37 38

25 31 56 57

⇑ | |

| | | |

| | | |

F 1a 2a

13 13

13 26

| | | |

| | | |

| | | |

| | ⇓ *

⇑ | |

| | ⇓

0 2 1 2

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

⇑ | |

⇑ | |

⇑ | |

| | | |

| | | |

| | | |

G 1a 2a

20 20

20 40

| | | |

| | | |

| | ⇓ *

⇑ | |

| | ⇓

0 2 1 2

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

⇑ | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

H 1a 2a

32 32

32 64

| | | |

| | ⇓ *

⇑ | |

| | ⇓

0 2 1 2

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

⇑ | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

J 1a 2a

50 50

50 100

| | ⇓ *

⇑ | |

| | ⇓

0 2 1 2

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

⇑ | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

K 1a 2a

80 80

80 160 *

⇑ | |

| | ⇓

0 2 1 2

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

⇑ | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

L 1a 2a

125 125

125 250

⇑ | |

| | ⇓

0 2 1 2

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

⇑ | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

M 1a 2a

200 200

200 400

| | ⇓

0 2 1 2

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

⇑ | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

N 1a 2a

315 315

315 630

0 2 1 2

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

⇑ | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

P 1a 2a

500 500

500 1000

0 3 3 4

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

⇑ | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

Q 1a 2a

800 800

800 1600

1 4 4 5

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

⇑ | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

R 1a 2a

1250 1250

1250 2500

2 5 6 7

3 7 8 9

5 9 12 13

7 11 18 19

11 16 26 27

⇑ | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

| | | |

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* = Empregue o correspondente plano de amostragem simples, ou o plano duplo imediatamente abaixo, se existir.


xlv

xlv


Planos de Inspeção com Amostragem Múltipla (Códigos de Tamanho do Lote de A a G)

Letra Ordem Tamanho Tamanho Nível de qualidade aceitável, NQA (% defeituosos ou defeitos por 100 unidades) de da da da amostra 0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 1,0 1,5 2,5 4,0 6,5 10,0 15,0 25,0 40,0 65,0 100,0 150,0 250,0 400,0 650,0 1000,0

código amostra amostra acumulada a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r

A B C

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

D

1 2 3 4 5 6 7

2 2 2 2 2 2 2

2 4 6 8

10 12 14

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | ⇓

*

⇑ | | | | | | | |

| | | | | | | | ⇓

# 2 # 2 0 2 0 3 1 3 1 3 2 3

# 2 0 3 0 3 1 4 2 4 3 5 4 5

# 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

4 12 11 19 19 27 27 34 36 40 45 47 53 54

6 12 17 27 29 39 40 49 53 58 63 68 77 78

⇑ | | | | | | | |

⇑ | | | | | | | |

E

1 2 3 4 5 6 7

3 3 3 3 3 3 3

3 6 9

12 15 18 21

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | ⇓

*

⇑ | | | | | | | |

| | | | | | | | ⇓

# 2 # 2 0 2 0 3 1 3 1 3 2 3

# 2 0 3 0 3 1 4 2 4 3 5 4 5

# 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

4 12 11 19 19 27 27 34 36 40 45 47 53 54

6 16 17 27 29 39 40 49 53 58 65 68 77 78

⇑ | | | | | | | |

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | | |

F

1 2 3 4 5 6 7

5 5 5 5 5 5 5

5 10 15 20 25 30 35

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | ⇓

*

⇑ | | | | | | | |

| | | | | | | | ⇓

# 2 # 2 0 2 0 3 1 3 1 3 2 3

# 2 0 3 0 3 1 4 2 4 3 5 4 5

# 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

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G

1 2 3 4 5 6 7

8 8 8 8 8 8 8

8 16 24 32 40 48 56

| | | | | | | | ⇓

| | | | | | | | ⇓

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*

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# 2 # 2 0 2 0 3 1 3 1 3 2 3

# 2 0 3 0 3 1 4 2 4 3 5 4 5

# 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

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* = Empregue o correspondente plano de amostragem simples, ou o plano de amostragem múltipla imediatamente abaixo, se existir.

# = Aceitação não é permitida com este tamanho de amostra.


xlvi

xlvi


Planos de Inspeção com Amostragem Múltipla (Códigos de Tamanho do Lote de H a L)



H

1 2 3 4 5 6 7

13 13 13 13 13 13 13

13 26 39 52 65 78 91

| | | | | | | | | |

| | | | | | | | ⇓

*

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# 2 # 2 0 2 0 3 1 3 1 3 2 3

# 2 0 3 0 3 1 4 2 4 3 5 4 5

# 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

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J

1 2 3 4 5 6 7

20 20 20 20 20 20 20

20 40 60 80

100 120 140

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*

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# 2 # 2 0 2 0 3 1 3 1 3 2 3

# 2 0 3 0 3 1 4 2 4 3 5 4 5

# 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

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K

1 2 3 4 5 6 7

32 32 32 32 32 32 32

32 64 96

128 150 192 224

*

⇑ | | | | | | | |

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# 2 # 2 0 2 0 3 1 3 1 3 2 3

# 2 0 3 0 3 1 4 2 4 3 5 4 5

# 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

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L

1 2 3 4 5 6 7

50 50 50 50 50 50 50

50 100 150 200 250 300 350

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# 2 # 2 0 2 0 3 1 3 1 3 2 3

# 2 0 3 0 3 1 4 2 4 3 5 4 5

# 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

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* = Empregue o correspondente plano de amostragem simples, ou o plano de amostragem múltipla imediatamente abaixo, se existir.

# = Aceitação não é permitida com este tamanho de amostra.


xlvii

xlvii


Planos de Inspeção com Amostragem Múltipla (Códigos de Tamanho do Lote de M a R)



M

1 2 3 4 5 6 7

80 80 80 80 80 80 80

80 160 240 320 400 480 560

| | | | | | | | ⇓

# 2 # 2 0 2 0 3 1 3 1 3 2 3

# 2 0 3 0 3 1 4 2 4 3 5 4 5

# 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

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N

1 2 3 4 5 6 7

125 125 125 125 125 125 125

125 250 375 500 625 750 875

# 2 # 2 0 2 0 3 1 3 1 3 2 3

# 2 0 3 0 3 1 4 2 4 3 5 4 5

# 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

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P

1 2 3 4 5 6 7

200 200 200 200 200 200 200

200 400 600 800

1000 1200 1400

# 2 0 3 0 3 1 4 2 4 3 5 4 5

# 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

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Q

1 2 3 4 5 6 7

315 315 315 315 315 315 315

315 630 945

1260 1575 1890 2205

# 3 0 3 1 4 2 5 3 6 4 6 6 7

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

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R

1 2 3 4 5 6 7

500 500 500 500 500 500 500

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

# 4 1 5 2 6 3 7 5 8 7 9 9 10

0 4 1 6 3 8 5 10 7 11 10 12 13 14

0 5 3 8 6 10 8 13 11 15 14 17 18 19

1 7 4 10 8 13 12 17 17 20 21 23 25 26

2 9 7 14 13 19 19 25 25 29 31 33 37 38

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⇓ = Empregue o primeiro plano abaixo da seta. Quando o tamanho da amostra (n) for igual ou maior do que o tamanho da partida (N), realize inspeção completa. ⇑ = Empregue o primeiro plano acima da seta. a = Número de Aceitação. r = Número de Rejeição. # = Aceitação não é permitida com este tamanho de amostra.

exercícios resolvidos.distribuição normal

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