Engenharia TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA Prof. Machado 2008/1

EXERCÍCIOS SOBRE FUNCÕES 1) Construa, no plano cartesiano, o gráfico das seguintes funções do 1º grau definidas pelas equações:

a) y = - 4x b) y = x + 2 c) y = - 3x + 2 d) y = x

e) y = - x – 1 f) y = 2x – 5

Respostas:

a) y = -4x

b) y = x + 2

c) y = -3x + 2

d) y = x

e) y = -x - 1

f) y = 2x - 5

2) Determine o zero (ou raiz) das seguintes funções de 1º grau definidas pelas equações:

a) y = 2x b) y = x + 3 c) y = - x + 4 d) y = 4x + 1

e) y = - 3x + 3 f) y = 5x – 4

Respostas:

a) y = 0 2x = 0 x = 0 ∴ V = {0}

b) y = 0 x + 3 = 0 x = - 3 ∴ V = {-3}

c) y = 0 - x + 4 = 0 x = 4 ∴ V = {4}

d) y = 0 4x + 1 = 0 4x = - 1 x = 4

1− ∴ V = −

1

4

e) y = 0 -3x + 3 = 0 3x = 3 x = 3

3 x = 1 ∴ V = {1}

f) y = 0 5x – 4 = 0 5x = 4 x = 5

4 ∴ V =

4

5

3) Determine os zeros (ou raízes) das funções quadráticas definidas pelas equações abaixo, fazendo o esboço do gráfico:

a) y = x2 - x – 6 b) y = x2 - 5x – 6 c) y = - x2 + x + 6

d) y = x2 + 5x + 8 e) y = - 4x2 + 4x -1 f) y = x2 – 9

2

a) 6xxy 2 −−=

V = {-2, 3}

b) 6x5xy 2 −−=

V = {-1, 6}

c) 6xxy 2 ++−=

V = {-2, 3}

d) 8x5xy 2 ++=

não existem raízes reais V = φ

e) 1x4x4y 2 −+−=

V = 1

2

f) 9xy 2 −=

V = {-3, 3}

4) Se f(x) = 5x + 1 e h(x) = 1 + 4x , calcule f(h(2)) + h(f(2)). Resposta: I) h(2) = 1 + 4.2 = 1 + 8 = 9 II) f(h(2)) = f(9) = 5.9 + 1 = 45 + 1 = 46 III) f(2) = 5.2 + 1 = 10 + 1 = 11 IV) h(f(2)) = h(11) = 1 + 4.11 = 1 + 44 = 45 Portanto, f(h(2)) + h(f(2)) = 46 + 45 = 91

5) Dadas as funções f(x) = x2 − 5x + 6 e g(x) = 2x + 1, resolva a equação:

)0(f

)2(f

))2(g(f

)x(g)1(f=

−

Resposta: I) f(1) = 11 – 5.1 + 6 = 1 – 5 + 6 = 2

II) f(2) = 22 – 5.2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0

III) f(0) = 02 – 5.0 + 6 = 6

IV) g(2) = 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5

V) f(g(2)) = f(5) = 52 – 5.5 + 6 = 25 – 25 + 6 = 6

Substituindo na equação dada temos: 6

0

6

1x22=

+− )( 2 – 2x – 1 = 0

1 = 2x x = 2

1 ∴ V =

2

1

6) Determine m na função y = 2x2 + 4x + 3m de modo que o conjunto imagem seja

Im(f) = { y ∈ℜ | y ≥ 5 }

3

Resposta: Do conjunto imagem dado, tiramos que yv = 5.

Sabemos também que yv = a4

∆− ou yv =

a4

ac4b2 )( −−.

Então, devemos ter: a4

ac4b2 )( −− = 5

24

m32442

.

)..( −− = 5

−(16 – 24m) = 40 −16 + 24m = 40 24m = 40 + 16

24m = 56 m = 24

56 m =

3

7

7) Determine o valor real de k para que a função f(x) = (k – 1)x + 2 seja crescente.

Resposta: A função f(x) = ax + b é crescente, se e somente se, o coeficiente a for positivo. Assim, devemos ter: k – 1 > 0 k > 1

Portanto: {k ∈ IR | k > 1}

8) Achar a equação da reta que passa pelos pontos (1; -1) e (-1; 5).

Resposta: Seja y = ax + b a equação procurada. O problema fica resolvido desde que determinemos os valores de a e b.

(1; -1) ∈ f quando x = 1, temos y = - 1, ou seja, -1 = a . 1 + b a + b = - 1

(-1; 5) ∈ f quando x = -1, temos y = 5, ou seja, 5 = a . (-1) + b - a + b = 5

Resolvendo o sistema formado pelos coeficientes a e b, temos:

=+

=+

5 b a -

1 - b a 2b = 4 b = 2 e a + 2 = – 1 a = – 1 – 2 a = – 3

Portanto, y = – 3x + 2 9) O custo total de um fabricante consiste em um custo fixo de R$ 200,00 e um custo variável de R$ 50,00 por unidade produzida. Expresse o custo total em função do número de unidades produzidas e desenhe o gráfico relacionado. Solução: Seja x o número de unidades produzidas e C(x) o custo total correspondente. Nesse caso, Custo total = (custo unitário).(nº de unidades) + custo fixo, onde: Custo unitário = 50 Nº de unidades = x Custo fixo = 200 Assim, C(x) = 50x + 200

700 −

600 −

500 −

400 −

300 −

200 −

100 − | | | | | | | 1 2 3 4 5

(3; 350) •

• (2; 300)

(0; 200)

x

C(x)

4

10) Dada a função f(x) = x2 – 6x + 5, pede-se: a) Determinar o vértice V b) Determinar as raízes. c) Esboçar o gráfico da função d) Determinar o conjunto-imagem da função.

Resposta: a) xv = =−−

=−

12

6

a2

b

.

)( 2

6 = 3

yv = f(xv) = f(3) = (3)2 – 6 .(3) + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4 Portanto, o vértice da função é V(3; – 4 ) b) Para obter as raízes, fazemos f(x) = 0 x2 – 6x + 5 = 0

x = 2

166

2

20366

12

51466

a2

ac4bb 22 ±=

−±=

−−±=

−±−.

..)(

x = 2

46 ±

==+

=

==−

=

52

10

2

46x

12

2

2

46x

2

1

c) Gráfico:

d) Im(f) = { y ∈ IR | y ≥ – 4 } Sabemos que a função quadrática (ou do 2º grau) y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, assume um valor máximo se a < o, ou um valor mínimo se a > o; que este valor máximo (ou mínimo) é

a ordenada yv = a4

∆− do vértice da parábola a qual representa graficamente a função

quadrática. Utilizando-se essas noções, podemos resolver problemas práticos em que se pretende determinar um valor máximo ou mínimo de certa grandeza. Exemplos: 11) Num certo planeta, uma bola é atirada para cima. Sua altura h, em metros, t segundos depois do lançamento é: h(t) = 48t – 8t2.

Qual é a altura máxima que a bola pode atingir? Resposta: A altura máxima corresponde ao yv, ou seja:

hmáx. = hv = a4

∆∆∆∆−−−− = −

)8.(4

)0).8.(448( 2

−−−−−−−−−−−−

= 32

2304

−−−−−−−−

= 72 metros.

12) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por L(x) = 100(10 – x)(x – 4)

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-2

2

4

6

5

Determine: a) O número de peças que devem ser vendidas por dia para se obter o lucro

máximo. b) O valor do lucro máximo.

Resposta: a) A função dada é uma função do 2º grau em que o lucro é uma função de x. L(x) = 100(10x – 40 – x2 + 4x) = 100(– x2 + 14x – 40) L(x) = –100 x2 + 1400x – 4000, que representa uma parábola com a concavidade voltada para baixo, então, o valor do yv corresponde ao lucro máximo obtido e o valor de x que me leva a esse ymáx. é o x do vértice, assim, o lucro será máximo

quando x = xv = ).( 1002

1400

a2

b

−−

=−

= 200

1400

−−

= 7

Portanto, devem ser vendidas 7 peças por dia para se obter o lucro máximo. b) O valor do lucro máximo diário corresponde ao yv, que pode ser obtido substituindo o valor do xv na equação do lucro, ou seja: L(7) = –100.72 + 1400.7 – 4000 = – 4900 + 9800 – 4000 = 900

13) O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de piquenique para motoristas à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000 metros quadrados, e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Expresse o comprimento da cerca, em metros, em função do comprimento do lado que dá para a rodovia. Solução: Começamos por definir duas variáveis, x e y, que representam os lados da área de piquenique. O comprimento F da cerca pode ser facilmente expresso em termos dessas duas variáveis: F = x + 2y Como o objeto é expressar o comprimento da cerca em função apenas de x, devemos encontrar um meio de expressar y em função de x. Para isso, usamos o fato de que a área deve ser 5.000 metros quadrados, escrevendo: x . y = 5000

Explicitando y, temos: y = x

5000

Substituindo esta relação na expressão de F, temos:

F(x) = x + 2.

x

5000 F(x) = x +

x

10000

14) Um fabricante produz uma fita de vídeo virgem a um custo de R$ 2,00 a unidade. As fitas vêm sendo vendidas a R$ 5,00 a unidade; por esse preço, são vendidas 4.000 fitas por mês. O fabricante pretende aumentar o preço da fita e calcula que para cada R$ 1,00 de aumento no preço, menos 400 fitas serão vendidas por mês.

(a) Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda das fitas;

7

V L(x)

10 x 4

Lmáx.=ymáx.=yv

área

x

Rodovia

Área de piquenique y y

x

6

(b) Faça um gráfico da função que expressa o lucro mensal. Para que preço o lucro é máximo? Qual é o lucro máximo?

Solução: (a) Para começar, expresse em palavras a relação desejada: Lucro = (número de fitas vendidas).(lucro por fita) Como o objetivo é expressar o lucro em função do preço, a variável independente é o preço e a variável dependente é o lucro. Seja x o preço de venda das fitas e P(x) o lucro mensal correspondente. O passo seguinte consiste em expressar o número de fitas vendidas em função da variável x. Sabemos que 4000 fitas são vendidas por mês quando o preço é de R$ 5,00 e que são vendidas menos 400 fitas por mês para cada aumento de R$ 1,00 no preço. Como o número de reais é igual à diferença x – 5 entre o novo preço e venda e o preço antigo, temos: Nº de fitas vendidas = 4000 – 400 (nº de aumentos de R$ 1,00) = 4000 – 400 (x – 5) = 6000 – 400x O lucro por fita é simplesmente a diferença entre o preço de venda, x, e o custo, R$ 2,00. Assim, Lucro por fita = x – 2 E o lucro total é dado por P(x) = (número de fitas vendidas).(lucro por fita) = (6000 – 400x).(x – 2)

P(x) = − 400x2 + 6800x – 12000 (b) O gráfico de P(x) é a parábola com concavidade voltada para baixo. O lucro é

máximo para o valor de x que corresponde ao ponto mais alto da curva. Esse ponto é o vértice da parábola, que, como sabemos, corresponde ao ponto cuja abscissa é dada por:

xv = a2

b− =

)400.(2

6800

−

−= 8,5

02000400060008000

1000012000140001600018000

0 5 10 15 20

Assim, o lucro é máximo quando o fabricante cobra R$ 8,50 por fita; O lucro máximo é:

Pmax = P(8,5) = − 400.(8,5)2 + 6800.8,5 – 12000 Pmax = R$ 16.900,00 15) Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que a água evaporasse lentamente. A experiência termina quando toda a água se evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água existente no recipiente (em litros) é dada pela expressão:

x P(x) 2 0 4 8.800 6 14.400 8 16.800 10 16.000 12 12.000 14 4.800 15 0

Lucro máximo

7

Q(t) = log10

+1t

10k

com k constante positiva e t em horas.

a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante k;

b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará? Solução: a) Para t = 0, devemos ter Q(t) = 1litro e, portanto:

log10

+1t

10k

= 1 log 10

k10 = 1 k = 1

b) A experiência terminará quando Q(t) = 0. Assim,

Q(t) = log10

+1t

101

log10

+1t

10 = 0

1t

10

+ = 010 t + 1 = 10

t = 9 horas 16) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente m0 gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática

m(t) = 0m . 70t10 /− , em que m(t) é a quantidade de massa

radioativa no tempo t (em anos). Usando a aproximação log 2 = 0,3, determine:

a) log 8; b) quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até

atingir um oitavo da massa inicial? Solução:

a) log 8 = log 32 = 3 . log 2 = 3 . 0,3 = 0,9 log 8 = 0,9

b) 0m . 70t

10−

= 8

m0 70t

10−

= 18− log 70t

10−

= log 18−

70

t− = −1. log 8

70

t− = − 0,9 t = 70 . 0,9 t = 63 anos

17) A intensidade I (em Ampère) da corrente que percorre um circuito elétrico em função

do tempo t (em segundos) é dada pela função I(t) = 4 – 4.e t5− . Determine a intensidade da corrente elétrica no instante t = 0,2 s.

Dado: 3701 ,e =−

Resolução: Sendo t = 0,2 s I(0,2) = 4 – 4.e 205 ,.− = 4 – 4.e 1− = 4 – 4.0,37 I(0,2) = 4 – 1,48 = 2,52 Ampére 18) Em São Paulo, a lentidão no transito é medida em quilômetros. Em uma determinada via de alto fluxo, estão sendo realizadas inúmeras obras visando à diminuição dos congestionamentos. Um engenheiro do departamento de trânsito prevê que o número de quilômetros de lentidão no trânsito dessa via

irá diminuir segundo a lei n(t) = n(0) . 4 3/t− , em que n(0) é o número de

8

quilômetros de lentidão no início das obras e n(t) é o número de quilômetros de lentidão existente t anos depois. Determine o tempo necessário para que o número de quilômetros de lentidão seja reduzido à metade daquele existente no início das obras. Solução: O número de quilômetros de lentidão será metade do existente no início das

obras quando n(t) = 2

)0(n. Assim:

n(0) . 4 3/t− = 2

)0(n 3/t2 )2( − = 2-1 2 3/t2− = 2 1−

13

t2−=− 2t = 3 t =

2

3 anos =

2

3 .12 meses = 18 meses.

19) Um cavalo se encontra num cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m

que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando π = 3,14, calcule

a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, por que está amarrado. Solução: Seja S a área procurada, então:

S = Aquadrado – 4

1. Acírculo

S = 502 – 4

1. π . R2 = 2500 –

4

1. 3,14 . 402

S = 2500 – 4

1. 3,14 . 1600 = 2500 – 3,14 . 400

S = 2500 – 1256 S = 1244 m2 20) O retângulo ABCD tem área 105 m². Qual a medida do lado do quadrado EFGC?

Seja x o lado do quadrado, assim:

(10+x).(2+x)=105

20 + 10x + 2x + x2 = 105

x²+12x–85=0 x=5m

x = 12

85141212 2

.

).(. −−±−=

2

34014412 +±− =

2

48412 ±− =

2

2212 ±−

x = 2

2212 −− = 17

2

34−=

− (não serve, pois x é medida de lado)

x = 2

2212 +− =

2

10 = 5m

Portanto, o lado do quadrado EFGC é 5 m

40

40

50

50 S