Mecânica dos Fluidos

Aula 03

Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

1

3.5- Força hidrostática sobre superfícies submersas

A determinação de forças na superfície de corpos submersos é

importante no projeto de tanques para armazenamento de fluidos,

navios, submarinos, barragens e de outras estruturas hidráulicas

que esteja sob ação de forças de superfície submersas.

Para determinar completamente a resultante da força atuando

sobre uma superfície submersa, devemos especificar:

1- A magnitude ou módulo da força resultante;

2- O sentido da força;

3- A linha de ação da força.

3.5.1- Força hidrostática sobre uma superfície plana submersa

A determinação das forças que atuam sobre superfícies planas

submersas é um problema frequente da estática dos fluidos. Essas

forças são devidas às distribuições de pressões nos fluidos, e a força

resultante é obtida através da integração da distribuição de

pressões sobre a superfície plana submersa.

2

a) Superfície plana submersa

A força total de contato superficial no corpo pode ser determinada

pela soma vetorial das forças superficiais em toda a área do corpo

submerso.

x y

z

y

x

dF

y’

x’

FR

CP

Centro de Pressão, CP

Ponto de aplicação

da força resultante

dA

(+) h

P0

P

líquido

(superfície livre)

O

3

g

A força de pressão agindo sobre o elemento de área, dA, no ponto O

é dado por:

onde o sinal menos indica que a força dF age sobre o elemento de

área dA, em sentido oposto ao da normal da área A. A força

resultante é dado por:

A pressão P no ponto O sobre superfície plana de área A é dado por:

onde P0 é a pressão na superfície livre (h = 0).

(escalar)PdA dF

(vetor) APd Fd

( 1 )

( 2 ) APd Fd F

A

R

gh ρ P P fluido0

( 3 )

4

Adρgh P F 0R ( 4 )

Portanto, a força resultante total aplicada a uma superfície plana

submersa horizontal é dado por:

Podemos escrever também:

onde FRx , FRy e FRz são as componentes escalares de FR nos

sentidos positivos de x, y e z, respectivamente.

kF jF iF F RRRR zyx ( 5 )

5

PdA k.APd k.Fd k.F F

PdA j.APd j.Fd j.F F

PdA i.APd i.Fd i.F F

AA

RR

AA

RR

AA

RR

z

y

x

zz

yy

xx

onde:

kF jF iF F RRRR zyx

6

b) Superfície plana inclinada

ysenθ h y

h senθ

dA

7

y

dA

8

ysenθ h k Wdy Ad

A

0R

AA

R

Adρgh P F

APd Fd F

9

W = largura da comporta

kWdyρysenθg P F

AdP

0R

k

2

y y Wsenθ γA P F

21

22

0R

k2

y y Wsenθ γ y yWP F

ksenθ2

yWρg Wy P F

kdyWysenθρg W P F

21

22

A

120R

y

y

2

γ

0R

y

yγ

0R

2

1

2

1

( 6 )

10

O momento, M, da força distribuída em relação ao eixo no ponto O

é dado por:

APd . r Fd . r F . r' M R ( 7 )

kF F

kdA Ad

j i r

j' i ' r'

RR

yx

yx

x'

y'

x

y

FdRF

o x

y

z

11

CP

( 8 )

ARA

R

ARA

R

PdA F

1 ' 0 PdA F' 0 M

PdA F

1 ' 0 PdA F' 0 M

yyyy

xxxx

x

y

Exemplo 01: A superfície inclinada mostrada, articulada ao longo de

A, tem 5 m de largura. Determine a força resultante, FR , da água e

do ar sobre a superfície inclinada.

12

h

P H

y

+h

H D h

ysen30 H y

H sen30

Solução: Para determinar o vetor FR , devemos especificar:

a) Sua magnitude;

b) Seu sentido;

c) Sua linha de ação.

Patm ( 0)

Dados:

W = 5m (largura da comporta)

água = 999kg/m3

13

Equações básicas:

APd Fd F

A

R gh ρ P P águaatm

a) Uma vez que estamos interessados na força resultante da água

sobre a comporta, desprezamos Patm ( 0) e obtemos:

ysen30 Dgρ P

ghρ gh ρ P P

água

águaáguaatm

14

kN 4,588011 kms

m

m

kg 4,588011 F

k2

1

2

4m 2mx4m5m

s

m9,81

m

kg999 F

k2

1

2

L DLρgW F

ksenθ2

y Dy ρgW F

kWdyysenθ Dρg F

3

23R

2

23R

2

R

L

0

2

R

AdP

R

kkN 01,588 F R

15

b) Os momentos em relação ao eixo x passando pelo ponto A:

0 M x

16

A

17

0 M x

PdA dF

WdydA

ysen30 Dgρ P água

L

0

2

R

água

A

água

R

ARA

R

A

R

sen30]dyy [DF

gWρ '

]Wdy ysen30 Dg[ρF

1 '

PdA F

1 ' 0 PdA F'

0 dF F' M

yy

yy

yyyy

yyx

6

64m

2

x16m2m

kg/m.s5,8810

5m

s

m9,81

m

kg999 y'

2

1

3

L

2

DL

F

ρgW y'

sen303

y

2

Dy

F

ρgW y'

32

2523

32

R

L

0

32

R

2,22m y'

Também considerando os momentos em relação ao eixo y passando

pelo ponto A, temos:

AR

A

R

A

R

PdA F

1 ' 0 PdA F'

0 dF F' M

xxxx

xxy

18

Como W é constante e a integração está sendo realizada sobre o

eixo y, temos que:

2,5m 2

m5

2

W

F2

FW PdA

2F

W '

PdA 2

W

F

1 '

PdA F

1 '

R

R

F

AR

AR

AR

R

x

x

xx

2,5m ' x

c) A linha de ação da força resultante é paralela ao eixo z,

passando sobre r’, ou seja:

j' i ' r' yx m j2,22 i2,5 r'

19

Exemplo 02: A porta lateral do tanque é articulada na borda inferior.

Uma pressão de 100 lbf/ft2 (manométrica) é aplicada na superfície

livre do líquido. Determine a força Ft necessária para manter a porta

fechada.

L = 3ft

b = 2ft

Articulação (eixo x) = 100 lbf/ft3

P = 100 lbf/ft2

Comporta

20

Solução: Aplicando os momentos em relação ao eixo x da

articulação, temos:

L

0dA

A

t

t

)(M)(M

t

bdPL

1 PdA

L

1 F

dFL

1 F

0 dF .LF M

zzz

z

z

x

x

x

z

z

x

dF

Ft

L

h (+)

Articulação (eixo x)

h = L - z

P0

21

o

L γ P P

L h

h γ P gh ρ P P

fluido0

fluido0fluido0

z

z

3

L

2

LL

L

γb

L2

bLP F

3

z

2

Lz

L

γb

L2

bP F

dz LL

γb dP

L

b F

d L γ PbL

1 F

3220

t

L

0

32L

0

20

t

L

0

2

L

0

0t

L

0

fluido0t

z

zzzz

zzz

22

lbf 600 F

6

ft 9ft x 2 x

ft

lbf 100

2

3ft2ft x x

ft

lbf100 F

6

γbL

2

bLP

3

1

2

1bL γ

2

bLP F

t

2

32t

2020

t

Este problema ilustrou:

a) A inclusão da pressão manométrica diferente de zero na

superfície livre do líquido;

b) O emprego direto do momento distribuído sem a avaliação da

força resultante e sua linha de ação em separado.

23

Exemplo 03: A medida que a água sobe no lado esquerdo da

comporta retangular de largura W, ela abrir-se-á automaticamente.

A que profundidade ‘D’ acima da articulação (A) isso ocorrerá?

Despreze a massa da comporta.

z

y

1,5 m

z dF2

D dF1

y

h1

P1

A P2

h2

líquido

24

D

0

m 1,5

0

m 1,5

0dA

D

0 dA

m 1,5

0

2

P

2

D

0

1

P

1

m 1,5

0

22

D

0

11

m 1,5

0

2

D

0

1A

Dd d D

dWDgρ dW Dgρ

dAρgh dAρgh

0 dAP dAP

0 dF dF M

21

21

zzyyy

zzyyy

zy

zy

zy

25

2

3

2

33

232

m5,1

0

2D

0

32

Dx1,125m 6

D

Dx1,125m 3

D

2

D

2

1,5mD

3

D

2

DD

2D

3

2

D

zyy

2,6m D

26

Exemplo 04: A comporta de 2 m de comprimento é articulada em H. Sua

largura de 2 m é normal ao plano da Figura. Calcule a força Ft requerida em

A para manter a comporta fechada.

Dado: água = 9810 N/m3

30

1 m

H

Ft

z

y

água

h

dF

h1

A

Patm ( 0)

30

27

L = 2m

yPd F

dLyPL

1 yPdA

L

1 ydF

L

1 F

0 ydF LF M

L

0

t

L

0

t

tH

y

y

ysen30 1m γ P

ysen30 1m h 1m h

h γgh ρ P P

0

água

0

1

águaáguaatm

28

2m L W

Wdy dA

N 32700 F

6

8m

2

4mm1

m

N9810 F

2

1

3

(2m)

2

(2m)1m. γ F

sen303

y

2

y1m. γ F

dsen30y 1m.y γ dysen30 1myγ F

t

32

3t

32

águat

2m L

0

0

32

águat

L

0

02

água

L

0

0

águat

yy

kN 32,7 F t

29

Exemplo 05: O nível de água é controlado por uma comporta plana de

espessura uniforme e articulado em A. A largura da comporta, normal ao

plano da Figura, é W = 10 ft. Determine a massa M, necessária para manter

o nível à profundidade H, ou menos, se a massa da comporta for desprezível.

Dado: água = 1,94 slug/ft3

M

z y

H = 4 ft

W

dF h

D

A

30

7,5ft

0

7,5ft

0

zA

yPwdy 2,5ft Mgcosθ

yPwdy yPdA ydF 2,5ft Wcosθ

0 ydF 2,5ft W M

ysenθ ft 4 γh γ P

32,23 θ 7,5)arcseno(4/ θ 0,53 7,5ft

4ft senθ

ysenθ 4ft D 4ft h

h γgh ρ P P

águaágua

0

águaáguaatm

31

slug 344 M

0

32

0

3

7,5ft

0

32

água

7,5ft

0

2água

7,5ft

0

água

sen32,233

(7,5ft) ft 4

2

(7,5ft)

cos32,232,5ft

t1,94slug/f10ft M

senθ3

y ft 4

2

y

cosθ2,5ft

wρ M

dysenθy ft 4ycosθg2,5ft

ρgw M

wdyysenθ ft 4γy 2,5ft Mgcosθ

32

Exemplo 06: A comporta AOC mostrada na Figura tem 6 ft de largura e é

articulada ao longo de O. Desconsiderando o peso da comporta, determine a

força na barra AB.

Dado: água = 1,94 slug/ft3 ; 1slug = lbf.s2/ft ; g = 32,2 ft/s2

33

Ft

z

y Ft

dF1

dF2

6 ft

8 ft

12 ft h2

h1

A

O C

B 3 ft

34

z

y

12ft γ P

12ft h

h γ ghρ P P

y 12ft γ P

y 12ft h

h γ ghρ P P

água2

2

2água2águaatm2

água1

1

1água1águaatm1

6ft

0

2

ft12

0

1t

2211t

21t

12tO

WdzzP WdyyP 15ft F

dAzP dAyP 15ft F

zdF ydF 15ft F

0 ydF zdF 15ft F M

35

2

z12ft

3

y 12ft

2

y Wγ15ft F

zdz12ft dyy y12ft Wγ15ft F

Wdz12ftz Wdyy 12ft yγ 15ft F

WdzzP WdyyP 15ft F

6ft

0

212ft

0

32

águat

6ft

0

ft12

0

2

águat

6ft

0

ft12

0

águat

6ft

0

2

ft12

0

1t

36

lbf 1797,6 F t

216ft 576ft 864ft ftft

lbf374,51 15ft F

2

6ft12ft

3

12ft 12ft

2

12ft

s

ft32,2

ft

lbf.s94,16ft 15ft F

2

z12ft

3

y 12ft

2

y g Wρ15ft F

333

4t

232

24

2

t

6ft

0

212ft

0

32

águat

37