Exercícios resolvidos: CONJUNTOS

1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;b) quando chove de manhã não chove à tarde;c) houve 5 tardes sem chuva;d) houve 6 manhãs sem chuva.Podemos afirmar então que n é igual a:a)7 b)8 *c)9 d)10 e)11Veja a solução AQUI.Depois de n dias de férias, um estudante observa que:

- choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; - quando chove de manhã, não chove à tarde; - houve cinco tardes sem chuva; - houve seis manhãs sem chuva.

Calcule o valor de n.

Solução:Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M' e T' os conjuntos complementares de M e T respectivamente, temos:

n(T') = 5 (cinco tardes sem chuva)n(M') = 6 (seis manhãs sem chuva)n(M T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à tarde)

Daí:n(M T) = n(M) + n(T) – n(M T)7 = n(M) + n(T) – 0Podemos escrever também:n(M') + n(T') = 5 + 6 = 11

Temos então o seguinte sistema:n(M') + n(T') = 11n(M) + N(T) = 7Somando membro a membro as duas igualdades, vem:n(M) + n(M') + n(T) + n(T') = 11 + 7 = 18

Observe que n(M) + n(M') = total dos dias de férias = nAnalogamente, n(T) + n(T') = total dos dias de férias = n

Portanto, substituindo vem:n + n = 18

2n = 18n = 9Resposta: Foram nove dias de férias ou seja n = 9 dias.

2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:*a)48b)35 c)36 d)47 e)37Para ver a solução clique AQUI

52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:SOLUÇÃO:Considere a figura abaixo, onde estão representados os conjuntos A e B, e a quantidade de elementos x, y, z e w.

Pelo enunciado do problema, poderemos escrever:x+y+z+w = 52y+z = 4yy+z = 2(x+y)y+z = w/2Desenvolvendo e simplificando, vem:x+y+z+w = 52 (eq.1)z = 3y (eq. 2)z = 2x + y (eq. 3)w = 2y + 2z (eq. 4)Substituindo o valor de z da eq. 2 na eq. 3, vem: x = yPodemos também escrever: w = 2y + 2(3y) = 8y

Expressando a eq. 1 em função de y, vem:y + y + 3y + 8y = 52 e, daí vem: 13y = 52, de onde vem y = 4.Temos então por simples substituição:z = 3y = 12x = y = 4w = 8y = 32A partir daí, é que vem a sutileza do problema. Vejamos:O problema pede para determinar o número de pessoas que não gostam dos produtos A e B. O conectivo e indica que devemos excluir os elementos da interseção A B. Portanto, a resposta procurada será igual a:w + x + z = 32 + 4 + 12 = 48 pessoas.A resposta seria 32 (como muitos acham como resultado), se a pergunta fosse:Quantas pessoas não gostam do produto A ou do produto B?Perceberam a sutileza da pergunta: quantas pessoas não gostavam dos dois produtos, ou seja, não gostavam de A e B?Resp: 48 pessoas

3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:*a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5Clique AQUI para ver a solução.

UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo foi:A) 29B) 24C) 11D) 8E) 5SOLUÇÃO:Observe o diagrama de VENN abaixo:

Podemos escrever:x + y + 5 = 16 ; logo, x + y = 11..................................................Eq. 1x + w + z + 3 = 16; logo, x + w + z = 13.....................................Eq. 2t + w + 5 = 11; logo, t + w = 6.....................................................Eq. 3x + y + z + w + t + 2 + 3 = 35; logo, x + y + z + w + t = 30........Eq. 4Substituindo as Eq. 1 e 3, na Eq. 4, vem:11 + z + 6 = 30; logo, z = 13.......................................................Eq. 5Substituindo o valor de z na Eq. 2, vem:x + w + 13 = 13; logo, x + w = 0, de onde se conclui que x = 0 e w = 0, já que x e w são inteiros positivos ou nulos.Substituindo o valor de x encontrado acima na Eq. 1, vem: 0 + y = 11; logo, y = 11.Observando que o número de elementos de M U SP é igual a x + y + z + w + 2 + 3, vem imediatamente, substituindo os valores: n(M U SP) = 0 + 11 + 13 + 0 + 2 + 3 = 29Observe que n(M U SP) representa o conjunto dos estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo, conforme foi solicitado no problema.Portanto, a alternativa correta é a letra A.FEI / SP) Um teste de literatura com cinco alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:A) século XIXB) século XXC) antes de 1860D) depois de 1830E) nenhuma das anterioresPode-se garantir que a resposta correta é:A) AB) BC) CD) DE) ESOLUÇÃO:Veja os seguintes comentários:As alternativas (A) e (B): não há elementos para se concluir por uma delas, inicialmente.A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois implicaria - pelo enunciado - que

o escritor nem teria nascido!Para visualizar isto, veja a figura abaixo.A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois implicaria concluir-se pelos séculos XIX ou XX e, pelo enunciado, só existe uma alternativa verdadeira.POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só pode ser a C.Veja o esquema abaixo, para ajudar no seu entendimento dos argumentos acima.

4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:a)século XIX b)século XX c)antes de 1860d)depois de 1830 e)nenhuma das anteriores Pode-se garantir que a resposta correta é:a)a b)b *c)c d)d e)eClique AQUI para ver a soluçãoUFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo foi:A) 29B) 24C) 11D) 8E) 5SOLUÇÃO:Observe o diagrama de VENN abaixo:

Podemos escrever:x + y + 5 = 16 ; logo, x + y = 11..................................................Eq. 1x + w + z + 3 = 16; logo, x + w + z = 13.....................................Eq. 2t + w + 5 = 11; logo, t + w = 6.....................................................Eq. 3x + y + z + w + t + 2 + 3 = 35; logo, x + y + z + w + t = 30........Eq. 4Substituindo as Eq. 1 e 3, na Eq. 4, vem:11 + z + 6 = 30; logo, z = 13.......................................................Eq. 5Substituindo o valor de z na Eq. 2, vem:x + w + 13 = 13; logo, x + w = 0, de onde se conclui que x = 0 e w = 0, já que x e w são inteiros positivos ou nulos.Substituindo o valor de x encontrado acima na Eq. 1, vem: 0 + y = 11; logo, y = 11.Observando que o número de elementos de M U SP é igual a x + y + z + w + 2 + 3, vem imediatamente, substituindo os valores: n(M U SP) = 0 + 11 + 13 + 0 + 2 + 3 = 29Observe que n(M U SP) representa o conjunto dos estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo, conforme foi solicitado no problema.Portanto, a alternativa correta é a letra A.FEI / SP) Um teste de literatura com cinco alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:A) século XIXB) século XXC) antes de 1860D) depois de 1830E) nenhuma das anterioresPode-se garantir que a resposta correta é:A) AB) BC) CD) DE) ESOLUÇÃO:Veja os seguintes comentários:As alternativas (A) e (B): não há elementos para se concluir por uma delas, inicialmente.A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois implicaria - pelo enunciado - que

o escritor nem teria nascido!Para visualizar isto, veja a figura abaixo.A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois implicaria concluir-se pelos séculos XIX ou XX e, pelo enunciado, só existe uma alternativa verdadeira.POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só pode ser a C.Veja o esquema abaixo, para ajudar no seu entendimento dos argumentos acima.

1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:

a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;b) quando chove de manhã não chove à tarde;c) houve 5 tardes sem chuva;d) houve 6 manhãs sem chuva.

Podemos afirmar então que n é igual a:

a)7b)8c)9d)10e)11

2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o

número de pessoas que gostavam de B era:

I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.

Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:

a)48b)35c)36d)47e)37

3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:

a) 29b) 24c) 11d) 8e) 5

4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:

a)século XIXb)século XXc)antes de 1860d)depois de 1830e)nenhuma das anteriores

Pode-se garantir que a resposta correta é:

a)ab)bc)cd)de)e

5) - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:

a) 5b) 6c) 7d) 9e)10

6) - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ?

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 0

7) PUC-SP - Se A = e B = { }, então:

a) A 0 Bb) A c B = ic) A = Bd) A 1 B = Be) B d A

FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A 1 B é 30, o número de elementos de A 1 C é 20 e o número de elementos de A 1 B 1 C é 15. Então o número de elementos de A 1 (B c C) é igual a:

a)35b)15c)50d)45e)20

9) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto

A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:

a)2 ou 5b)3 ou 6c)1 ou 5d)2 ou 6e)4 ou 5

RESULTADO

1) c 2) a 3) a 4) c 5) e 6) a 7) a a 9) a

Exercícios resolvidos sobre Conjuntos Numéricos e Diagramas

Exercícios resolvidos sobre Conjuntos Numéricos/Diagramas

01) Num grupo de 61 pessoas 18 gostam de seriados, mas não gostam de telenovelas; 5 pessoas não gostam de telenovelas e nem de seriados; 25% das pessoas que gostam de seriados também gostam de telenovelas.O total de pessoas do grupo que gostam de telenovelas, mas não gostam de seriados é:

a) 30b) 32c) 34d) 36

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02) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas 100 liam o jornal A, 150  liam o jornal B, 20 liam dos dois jornais e 110 não liam nenhum jornal.

Quantas pessoas foram consultadas?

a) 340b) 380c)170d)210

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03) Numa prova de vestibular, no qual concorreram 20000 candidatos, uma questão apresentava as afirmativas A. B e

C, e cada candidato devia classificá-las em verdadeira (V) ou falsa (F). Ao analisar os resultados da prova, observou-se que 10200 candidatos assinalaram V na afirmativa A; 6100 na afirmativa B; 7720 na afirmativa C. Observou-se ainda que 3600 candidatos assinalaram V nas afirmativas A e B; 1200 nas afirmativas B e C; 500 nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatos consideraram falsas as três afirmativas?

A questão fornece dados a partir de afirmativas verdadeiras (V), logo teremos em função dessas afirmativas:

Nisso, somando todas aos conjuntos acima temos o número de candidatos que marcam verdadeira para as afirmativas ou A, ou B, ou C, ou A e B, ou A e C, ou A, B

e c ou B e C. O número de candidatos que consideraram falsa as três afirmativas será o complementar desse conjunto para completar o número de candidatos que foi 20000:

20000 - 18920 = 1080

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04) Numa sala de aula existem 35 alunos, 22 jogam volei, 17 nadam e 8 jogam volei e nadam. Quantos alunos não praticam nenhum esporte? 

Assim, do total de 35 alunos temos que 14 + 8 + 9 = 31 praticam esporte, logo 4 não praticam esportes!=========================================

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05) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.a) quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei?b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?

Do exercícios segue que 20 jogam vôlei e xadrez, mas

desses 20 temos que 11 também jogam tênis, pois 11 do

total jogam as três modalidades, assim o conjunto VX será

20 – 11 = 9. Também do exercício temos que 18 jogam

vôlei e tênis, mas temos que desses 11 também jogam

xadrez, assim 18 – 11 = 7, logo o conjunto VT será 7.

Temos 22 que jogam xadrez e tênis, mas temos que 11

jogam as três modalidades, logo o conjunto XT será 22 –

11 =11. Os que jogam vôlei serão dos 40 menos  os 9 de

VX e menos os 7 de VT, e também menos 11 que fazem

as três modalidades, logo V = 40 – 9 – 7 -11 =13. Do

exercício segue que o número dos que jogam xadrez é

igual aos que jogam tênis, mas no total temos 99

esportistas, assim somando todos os conjuntos que

descobrimos aqui mais os dois conjuntos que são iguais  X

= T, temos:

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06) Numa escola de 630 alunos, 250 deles estudam matemática, 210 estudam física e 90 deles estudam asduas matérias. Pergunta-se:a) quantos alunos estudam apenas matemática?b) quantos alunos estudam apenas física?c) quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?

Do exercícios segue que FM = 90, mas 250 estudam matemática e desses 250 90 também fazem física, logo M = 250 - 90 = 160. Do exercício segue 210 fazem física, mas 90 desses também fazem matemática, assim F = 210 - 90 = 120. Na letra "c" temos que do total de 630, 370 ( 120 + 90 + 160) estudam matemática ou física, ou ambas, assim 630 - 370 = 260 não estuda nenhuma dessas duas matérias.

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07)  Em uma turma de 100 alunos, 63 sabem escrever apenas com a mão direita, 5 não sabem escrever, 25% dos restantes sabem escrever tanto com a mão direita quanto com a esquerda, e os demais alunos sabem escrever apenas com a mão esquerda. Dessa turma, a porcentagem de alunos que sabe escrever com apenas uma das duas mãos é de ?

Observe que do exercício segue que 63 escrevem APENAS com a mão direita, isso não inclui os que escrevem com as duas mãos, disso sabemos que 5 não sabem escrever desses dois grupos temos 68 alunos, restam 32, sendo 25% desses sabendo escrever com ambas as mãos, 25% de 32 é 8,  e os demais escrevem apenas com a esquerda, logo temos o diagrama

A porcentagem de alunos que sabe escrever apenas com uma das duas mãos será D + E = 87, logo 87 em 100 alunos escrevem apenas com uma das duas mãos, ou seja, 87%.=========================================

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08) Foi feita uma pesquisa com 50 pessoas sobre esportes. 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e basquete, 9 de futebol e vôlei, 8 de basquete e vôlei e 5 gostam das 3 modalidades.a) quantas não gostam de nenhum esporte?b) quantas gostam somente de futebol?c) quantas gostam somente de basquete?d) quantas gostam somente de vôlei?e) quantas não gostam nem de basquete e nem de vôlei?

F∩B∩V = 5F∩B = 10 - 5 = 5( como são 10 que gostam de F e B, mas 5 já foi contado em F∩B∩V, então faltam 5)F∩V = 9 - 5 = 4( como são 9 que gostam de F e V, mas 5 já foi contado em F∩B∩V , então faltam 4)B∩V = 8 - 5 = 3( como são 8 que gostam de B e V, mas 5 já foi contado em F∩B∩V , então faltam 3)As que gostam somente de futebol serão:23 - F∩V - F∩B - F∩B∩V = 23 - 4 - 5 - 5 = 9As que gostam de vôlei serão:14 - F∩V - V∩B -F∩B∩V = 14 - 4 - 5 - 3 = 2As que gostam de basquete serão:

18 -V∩B - F∩B -F∩B∩V = 18 - 3 - 5 - 5 = 5

a) Quantas não gostam de nenhum esporte?50 - (5 + 5 + 4 + 3 + 9+ 5+ 2)= 50 - 33 = 17 pessoas b) Quantas gostam somente de futebol?R: 9 pessoasc) Quantas gostam somente de basquete?R: 5 pessoasd) Quantas gostam somente de vôlei?R: 2 pessoase) Quantas não gostam nem de basquete e nem de vôlei?17 + 9 = 26 pessoas

http://meteorotica.blogspot.com.br/2012/01/exercicios-resolvidos-sobre-conjuntos.html