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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
Departamento de Estruturas
EXERCÍCIOS DE TORÇÃO MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia Bolsista PAD: Renato Saldanha Victor (Rev. 2009) Bolsista PED: Bruno Fernandes (Rev. 2017)
Campinas, Março - 2017
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
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EXERCÍCIO 1
Determinar a tensão nos tirantes, o cisalhamento máximo e o giro da
extremidade livre (giro entre B e A).
O binário, causado pelas reações das forças de tração nos tirantes, gera
um momento torçor T no disco de:
Eq. 1
Eq. 2
Onde: N é a força normal existente em cada tirante e D é o diâmetro do
disco.
Isso nos leva a uma situação hiperestática. Além do engaste, temos a
reação do momento T. A condição de contorno que usaremos será a relação
da deformação dos tirantes com o giro no ponto C, medido a partir do ponto B
(engaste) que terá variação nula do giro em relação à sua posição original,
conforme a figura:
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Assim, temos:
Eq. 3
Pela Lei de Hooke:
Eq. 4
Giro:
Eq. 5
Para a seção circular cheia:
Eq. 6
O exercício nos leva ao seguinte diagrama de momento torçor:
Assim, tem-se:
Eq. 7
Igualando as equações Eq. 3 e Eq. 7, tem-se:
Eq. 8
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Considerando:
Eq. 9
Eq. 10
Eq. 11
Assim:
Eq. 12
Tensão nos tirantes:
Eq. 13
Cisalhamento máximo (seção circular cheia):
Eq. 14
Substituindo, nas funções do diagrama de Mt, o valor de N encontrado na
Eq. 12, tem-se:
Assim, tem-se o momento máximo no trecho AC (Mt = 12 daN.m). Desta
forma, o cisalhamento máximo é:
Eq. 15
O giro entre B e A:
Eq. 16
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EXERCÍCIO 2
Determinar a tensão nos tirantes e o cisalhamento máximo.
Como no exercício anterior, tem-se uma situação hiperestática que será
contornada relacionando o giro no ponto B com a deformação nos tirantes. O
binário provocado pelos tirantes gera um momento torçor de:
Eq. 17
Em relação ao giro pela deformação, tem-se:
Eq. 18
Pela Lei de Hooke, sendo o raio do tirante = 1 cm:
Eq. 19
Giro:
Eq. 20
Para a seção circular cheia, temo a seguinte inércia polar:
Eq. 21
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O diagrama do momento torçor obtido é o seguinte:
Giro:
Eq. 22
Eq. 23
Assim, tem-se:
Eq. 24
Igualando Eq. 18 e Eq. 25, tem-se:
Eq. 25
Como o exercício nos diz que G = 0,4E, tem-se:
Eq. 26
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Obs: o sinal negativo para o momento torçor, no cálculo do giro existe
apenas para que o giro encontrado seja no sentido anti-horário (observando de
C para A), sentido da solicitação (momento de 700 daN.m) e sentido
concordante com o das deformações dos tirantes.
Tensão nos tirantes:
Eq. 27
Substituindo, nas funções do diagrama de Mt, o valor de N encontrado na
Eq. 26, tem-se:
Desta forma, o cisalhamento máximo (seção circular cheia) é:
Eq. 28
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EXERCÍCIO 3
Determinar o giro em A e o cisalhamento máximo.
A viga bi-engastada é hiperestática. Sabemos que, como o giro é nulo
nos engastes, o giro relativo entre os dois engastes também é,
necessariamente, nulo. E essa será a condição que usaremos para contornar a
hiperesticidade.
Considerando as reações como horárias (observando de D para A), tem-
se:
Eq. 29
E, assim, temos o diagrama de Mt:
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Sendo d = 0,04 m e G = 8 x 105 daN/cm2, tem-se:
Eq. 30
Para encontrar o giro em A, temos que relacioná-lo com algum ponto fixo
(um dos engastes). No caso, é mais simples calcular o giro entre A e D.
Giro em A:
Eq. 31
Cisalhamento máximo:
Como não tem-se uma seção constate, é preciso comparar os valores
obtidos para determinar o máximo.
Assim:
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Eq. 32
A comparação poderia também ter sido feita da seguinte forma. Tem-se
três trechos de seção constante e com valores de Mt diferentes. Porém, os dois
últimos (C e ) têm a mesma seção e, assim, podemos apenas comparar o
valor de Mt para esses dois casos. O que nos descarta a possibilidade de que o
2º trecho seja o máximo.
Como os dois trechos remanescentes possuem o mesmo valor de Mt,
podemos comparar o valor de Wt que, por sua vez, é determinado pelo
diâmetro (já que as duas seções em questão são do mesmo tipo - circular
cheia). Assim, temos que o cisalhamento máximo ocorre no trecho 3, que tem
diâmetro menor.
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EXERCÍCIO 4
Determinar o diâmetro “d” e o giro no ponto A (centro da viga).
Como no exercício anterior, usaremos o giro entre B e C (que sabemos
ser nulo) como condição de contorno para o problema. Como a figura acima
nos mostra, foi adotado o sentido horário para MB e anti-horário para MC
(ambos observando de C para B).
Assim, tem-se o seguinte diagrama de Mt:
Com as seguintes funções para os trechos:
Eq. 33
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Eq. 34
O giro entre B e C:
Eq. 35
O cisalhamento máximo ocorre no ponto B,C ou A. Porém todos possuem
Mt = 1 daN.m. Sendo assim, o diâmetro d é calculado desta forma:
Eq. 36
O giro em A:
Eq. 37