========================================================================= 1) Resolva cada equação seguinte no universo dos números complexos: a) x2 – 2x + 8 = 0 b) 2x2 – 5x + 7 = 0 c) –x2 + x = 8 d) x4 + 3x2 - 4 = 0 e) x4 + 13x2 = 36 f) (x2 + 4)(x – 5) = 0 g) ( 2 + x2)(-4x2 – 1) = 0 h) 4x – 3x3 = 0 i) 4x3 + 12x2 + x = -3 2) Em cada caso seguinte, determine o real k de modo que o complexo dado seja da forma indicada: a) z1 = k2 – 6k + 5 + ki – i seja um imaginário puro; b) z2 = (2k + 3)(1 – k) + (k2 – 1)i seja um real; c) z3 = k3 + k2(3 + i) + 3k(k – i) seja um imaginário puro; d) z4 = k2(k – 3 + i) = 2k(1 + i) seja um complexo com afixo fora dos eixos do plano complexo. e) z5 = k2(k + 3) + 3k( 1 + i) + k(k + 3) tenha seu afixo nos dois eixos do plano complexo. 3) Considere os complexos z1 = 2 + 5i, z2 = -1 + 3i, z3 = 5 - 2i, z4 = -3 + 5i, z5 = -3 -3i e

z6 = �� � ��

� . Calcule o complexo equivalente a

a) z1 – 2z2 + z3 b) z2 +32z3 - 2z4

c) -2z3 + z4 - 3z5

d) 5

� � + z6

e) z1.z2 + z3.z4 f) z2.z3 – 3z4.z5 g) (z1 + z2).(z3 – z4) h) 2z2 – 3(z3 –z4)(z5 – z6) i)

�

� +

�

�

j)

�

� +

�

�

EXERCÍCIOS DE REVISÃO - MATEMÁTICA 3a SÉRIE – ENSINO MÉDIO ASSUNTO : NÚMEROS COMPLEXOS

k) �

� +

�

�

4) Determine o complexo z = x + yi tal que a) (2 –i1)z = -1 -2i b) 3z + 2 = -3i c) (z + i) + 2 = -i d) 3z – 2iz = 1 – 3i e) (z + 2)( i + i) = 2z f) (1 – z)(2 – 3i) = 3 – 2i 5) Calcule o valor de cada expressão complexa a seguir: a) (2i56 – i12)/(3i99 – i50) b) (i602 + i121)/(2i909 –2i502) c) i0 + i1 + i2 + ... + i190 d) i + i3 + i5 + i7 + i9 + ....+ i243 + i245 + i246 e) i90 + i91 + i92 + ... + i193 f) 1 + i2 + i4 + i6 + i8 + ....+ i242 + i244 + i245 6) Um complexo z é tal que seu módulo é √13 e sua parte real tem 1 unidade a menos que sua parte imaginária. Determine z. 7) Dois complexos z1 e z2 são tais que Re(z2) = 2.Im(z1) e Im(z2) = 3. Re(z1). Se os módulos de z1 e z2 são, respectivamente, √5 e 5, determine a distância entre seus afixos, situados no 1o quadrante. 8) A soma de dois complexos z1 e z2 é o complexo 1 + i . Sabe-se que a parte real de z1 tem 5 unidade a mais que a de z2 e a parte imaginária de z1 tem 3 unidades a mais que a de z2 . Escreva z2 na forma trigonométrica. 9) Calcule as raízes quadradas do complexo a) z1 = 8i b) z2 = 8 + 6i c) z3 = -3 – 4i d) z4 = -5 – 24i 10) Escreva na forma trigonométrica cada complexo a seguir: a) z1 = 8i b) z2 = 8 + 8i c) z3 = -3 + i√3 d) z4 = -5 – 5i√3

e) z5 = -5 f) z2 = 3 – 3i g) z3 = -3i

h) z4 = -1 + i√3 i) z5 = 2 - 2i j) z6 = - 2√3 + 2i k) z7 = -1 - i√3 l) z8 = 5 – 5i√3 11) escreva na forma algébrica x + yi cada complexo a seguir: a) z1 = 2( cos135o + isen135o) b) z2 = √2( cos225o + isen225o) c) z3 = √3( cos330o + isen330o) d) z4 = 5( cos1200o + isen1200o) e) z5 = 4[ cos(-135o) + isen(-135o)] f) z2 = 2√3[ cós(-90o + isen(-90o)] g) z3 = 3√3( cos930o + isen930o) h) z4 = 32[ cos(7π/4) + isen(7π/4)] i) z5 = 25[ cos(5π/2) + isen(5π/2)] j) z6 = [ cos(5π/4) + isen(5π/4)] k) z7 = 9√3[ cos(5π/6) + isen(5π/)] l) z8 = 900[ cos(25π/3) + isen(25π/3)] 12) Usando os números do exercício 9, calcule cada complexo a seguir e, se possível, dê a resposta na forma algébrica: a) z1.z2 n) Raízes cúbicas de z7 b) z1.z3 o) Raízes quartas de z8 c) z3.z4 p) Raízes quintas de z4 d) z1.z2. z3 q) Raízes cúbicas de z6 e) z3/z4 r) Raízes quintas de z1

f) z3/z5 s) Raízes quadradas de z2 g) z5/z7 h) z6/z8 i) (z1)

5 j) (z5)

10 k) (z7)

8 l) (z2.z5)

9 m) (z5)

12/(z8)6

13) (UFMG) - Observe esta figura:

Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4. Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados

geometricamente pelos pontos P e Q. Considerando esses dados, ESCREVA o número complexo 5

11

.wi

z

na forma a + bi, em que a e b são números reais. ................................................................................................................................................................2)

14)(UFMG) - Seja z um número complexo. Considere este sistema:

=−

=

βiz

z 4 .DETERMINE β para

que esse sistema tenha solução única. ................................................................................................................................................................ 15) (UFMG) – DETERMINE todos os números complexos z que satisfazem estas condições:

• iz 632 3z +=−+−

e

• z < 4.

................................................................................................................................................................ 16) (UFMG) – Seja z =(a + i)3 um número complexo, sendo a um número real. 1. ESCREVA z na forma x + yi, sendo x e y números reais; 2. DETERMINE os valores de a para que z seja um número imaginário puro. ................................................................................................................................................................ 17) (UFMG) - Seja S o conjunto de números complexos z tais que | z – (2 + 4i) | = 2 . 1. No plano complexo, FAÇA o esboço de S, sendo z = x + iy, com x e y números reais. 2. DETERMINE o ponto de S mais próximo da origem. 18) (UFMG) – Constituída de dois itens: 1. ESCREVA na forma trigonométrica os números complexos ) i (1 22 e ) i 3 ( ++ em que i2 = = -1;

2. CALCULE os menores inteiros positivos m e n tais que nm )] i (1 22 [ ) i 3 ( +=+ .

19) (UFMG) – Constituída de dois itens: 1. Seja z = x + yi um número complexo, em que x e y são números reais. DETERMINE as partes real e

imaginária de w = 1

1

−+

z

z em função de x e y;

2. Seja S o conjunto dos números complexos z da forma w = 1

1

−+

z

z tais que .2 z = DETERMINE o

elemento de S de maior módulo. ................................................................................................................................................................ 20) (UFMG) – Seja n um número inteiro positivo e z um número complexo tal que 1 z = e 1 +

+ z2n ≠ 0. CALCULE a parte imaginária de n

n

z

z21+

.

................................................................................................................................................................ 21) (UFMG) – Constituída de dois itens:

1. Dado o número complexo na forma trigonométrica z = 2

+8

3sen i

8

3 cos

ππ, ESCREVA os números

complexos −z , z2 e

z

10 na forma trigonométrica;

2. No plano complexo, MARQUE e IDENTIFIQUE os números z, −z , z2 e

z

10 do item acima.

................................................................................................................................................................ 22) (CEFET-MG)- Os vértices de um polígono são os afixos dos números complexos z = x + yi, no plano complexo, tais que 2 z = e a parte real de z2 é -2. Calcule a área desse polígono.

................................................................................................................................................................

23) (CEFET-MG)- Determine o número complexo z, tal que .60)2)(5( =++−

izz ................................................................................................................................................................