exercicios de probabilidade livro gilberto de dandrade martins

5/13/2018 Exercicios de Probabilidade Livro Gilberto de Dandrade Martins

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88 E ST AT IS TIC A G ER AL E A PL IC AD A

EXERCicIOS - SERlE I 3.1 Lancar urn dado e uma moeda.

a) Construir 0 espaco amostral.b) Enumerar os seguintes eventos:

A = {coroa, marcado por mimero par}B = {cara, marcado por mimero impar}C = {multiples de 3}

c) Expressar os eventos:I. B;II. A ou B ocorrem;III. Bee ocorrem;IV. (A uB)

d) Verificar dois a dois os eventos A, Bee e dizer quais sao mutuamenteexclusivos.3.2 Se peA) = . ! ; PCB) = _ ! _ _ e A e B mutuamente exclusivos, calcular:2 4

a) peA)d) peA uB)

b) PCB)e) p(X (13)

c) peA n B)

3.3 1 1Se peA) = - ; PCB) = - e peA n )2 314

Calcule:a) peA u B);b) peA uB);c) peA nB);

3.4 Determinar a probabilidade de cada evento:a) um-mimero par aparecer no lancamento de urn dado nao viciado;b) urn rei aparecer, ao extrair-se uma carta de urn baralho;c) pelo menos uma cara aparecer no lancamento de tres moedas;d) pelo menos uma cara aparecer no lancamento de n moedas;e) duas copas aparecerem, ao retirarem-se duas cartas de urn baralho;f) uma carta de copas e uma de ouros aparecerem ao extrairem-se duascartas de urn baralho.



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3.5 Urnmimero inteiro e escolhido aleatoriamente dentre os mimeros 1, 2, 3,..., 50. Qual a probabilidade de:a) 0mimero ser divisivel por 5?b) 0mimero terminar em 3?c) 0mimero ser primo?d) 0 mimero ser divisivel por 6 ou 8?

3.6 Qual a probabilidade de sair urn rei ou uma carta de copas, quando reti-ramos uma carta de urn baralho?

..3.7 Doisdados sao lancados simultaneamente. Qual a probabilidade de:a) a soma ser menor que 4?b) a soma ser 9?c) 0 primeiro resultado ser maior do que 0 segundor

3.8 Numa uma, sao misturadas 10 bolas numeradas de 1 ~ 10. Duas bolassao retiradas (a, b) sem reposicao, Qual a probabilidade de a + b = 10?

3.9 Urn lote e formado por 10 pecas boas, quatro com defeitos e duas comdefeitos graves. Uma pec;ae escolhida ao acaso. Calcular a probabilidadede que:a) ela nao tenha defeitos graves;b) ela nao tenha defeitos;c) ela ou seja boa, ou tenha defeitos graves.

3.10 Considerar 0 mesmo lote do problema anterior.Retiram-se duas pecas ao acaso. Qual a probabilidade de que:a) ambas sejam perfeitas?b) pelo menos uma seja perfeita?c) nenhuma tenha defeito grave?d) nenhuma seja perfeita?

3.11 Uma urna contem cinco bolas brancas e seis pretas. Tres bolas sao retira-das. Calcular a probabilidade de:a) serem todas pretas;b) ser exatamente pma branca;c) ser ao menos uma preta.



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3.12 Em uma classe, existem cinco alunos do 4Qano, quatro do 2Qe tres do 3Qano. Qual a probabilidade de serem sorteados dois alunos do 2Qano, tresdo 4Qe dois do 3Q?3.13 Em uma urna, existem Nbolas assim distribuidas: Nv (quantidade de bo-las vermelhas); NA (quantidade de bolas azuis); eNp(quantidade de bolaspretas). Qual a probabilidade de retirarmos n bolas, sendo nv (nQde bolasvermelhas), nA (nQde bolas azuis) e np CnQde bolas pretas)?

t 3.14 Dado peA) = !; PCB)=!, peA n B) = _ ! _ , calcular:234a) peA u B); b) P(NB); c) P (B/A); d) P [(A u B)/B J .

111.. 3.15 Fazer A e B serem eventos com peA) = _. PCB) = _ e peA nB)2' 3 4Encontrar PCNB) e PCB/A).

3.16 Qual a probabilidade de que r pessoas facam aniversario em dias distin-tos?3.17 As probabilidades de tres jogadores marcarem urn penalti sao respectiva-mente:

247__e-3'5 10Se cada urn "cobrar" uma unica vez, qual a probabilidade de:a) todos acertarem?b) apenas urn acertar?c) todos errarem?

3.18. A probabilidade de fechamento de cada rele do circuito apresentado a se-guir e dada por p. Se todos os reles funcionarem independentemente,qual sera a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L e R?

R2



P R O BA BI L l D A D E S 91

3.19 Uma urna contem 12 bolas: cinco brancas, quatro vermelhas e tres pre-tas. Outra contern 18 bolas: cinco bran cas, seis vermelhas e sete pretas.Uma bola e retirada de cada uma. Qual e a probabilidade de que as duasbolas sejam da mesma cor?

3.20 Numa bolsa, temos cinco moedas de R$ 1,00 e quatro de R$ 0,50. Qual aprobabilidade de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50?> 3.21 Uma urna contern cinco bolas pretas, tres vermelhas e duas brancas. Fo-

ram extraidas tres bolas com reposicao. Qual a probabilidade de teremsido duas bolas pretas e uma vermelha?3.22 A uma nQ1 contern: uma bola vermelha e duas brancas. A uma nQ2 con-

tern: duas bolas vermelhas e uma branca. Tiramos aleatoriarnente umabola da uma nQ1, colocamos na uma nQ2 e misturamos. Em seguida, ti-ramos aleatoriamente uma bola da uma nQ2. Qual e a probabilidade detirarmos uma bola branca da uma nQ2?

3.23 A uma 1 contern x bolas brancas e y bolas vermelhas. A uma 2 contern zbolas brancas e v vermelhas. Uma bola e escolhida ao acaso da uma 1 eposta na uma 2. A seguir, uma bola e escolhida ao acaso da uma 2. Qual,sera a probabilidade de que esta bola seja branca?

3.24 Uma urria contern 10 bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Sao feitas reti-radas aleatorias, Cada bola retirada e reposta, juntamente com cinco bo-las da mesma cor. Qual e a probabilidade de safrern nessa ordem: umapreta, uma preta, uma vermelha, uma vermelha? E nesta ordem: umapreta, uma vermelha, uma preta, uma vermelha? Dado que a prime irabola e preta, qual e a probabilidade de que a segunda seja preta?

3.25 Uma caixa A contem oito pecas, das quais tres sao defeituosas, e uma cai-xa B contern cinco pecas, das quais duas sao defeituosas. Uma peca e reti-rada aleatoriamente de cada caixa. .a) Qual a probabilidade p de que ambas as pecas nao sejam defeituosas?b) Qual a probabilidade p de que uma peca seja defeituosa e a outranao?c) Se uma peca e d~feituosa e a outra nao, qual e a probabilidade p de

que a peca defeituosa venha da caixa A?



92 E ST A TIS TIC A G E RA L E A PL lC A DA

3.26 A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos e ~ e a de seu4id 3an 0-.5Calcular a probabilidade de:a) apenas 0 homem estar vivo;b) somente a mulher estar viva;c) ambos estarem vivos.

3.27 Uma uma A contem quatro bolas: duas brancas, duas pretas; uma umaB contem cinco bolas: tres brancas, duas pretas. Uma bola e transferidade A para B. Uma bola e retirada de B e verificada ser branca. Qual e aprobabilidade de que a bola transferida tenha sido branca?

3.28 Sao dadas duas umas A e B. A uma A contem uma bola preta e uma ver-melha. A uma B contem duas bolas pretas e tres vermelhas. Uma bola eescolhida ao acaso na uma A e colocada na uma B. Uma bola e entao ex-trafda ao acaso da uma B. Pergunta-se:a) Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor?b) Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, saben-

do-se que a segunda foi preta?3.29 Uma uma contern cinco bolas vermelhas e tres brancas. Uma bola e sele-

cionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas de outra cor saocolocadas na uma. Uma segunda bola e entao selecionada da uma.Encontre a probabilidade de que:a) a segunda bola seja vermelha; eb) ambas as bolas sejam da mesma cor.

3.30 Recorrendo-se ao problema precedente:a) Se a segunda bola e vermelha, qual e a probabilidade de que a pri-

meira bola seja vermelha?b) Se ambas sao da mesma cor, qual e a probabilidade de que sejam

brancas?3.31 A uma A contem x bolas vermelhas ey bolas brancas, e a uma B contemz bolas vermelhas e v bolas brancas.

a) Se uma uma e selecionada ao acaso e uma bola retirada, qual e aprobabilidade de que a bola seja vermelha?b) Se uma bola e retirada da uma A e colocada na uma B, e uma bola e

retirada da uma B, qual e a probabilidade



P R O B A B I L I D A D E S 933.32 Uma urna contem x bolas brancas e y bolas pretas. Extraem-se todas elas.Qual a probabilidade de que saiam primeiro as brancas e depois as pretas?3.33 Seja E: lancar dois dados, e

A = {(Xl, X2)jXI + X2 = 8}B {(Xl, X2)jXI = X2}C {Xl, X2)jXI + X2 = 10}D = {(Xl, X2)jXI > X2}E {Xl, X2)jXI = 2x2}Calcule: a) PCNB)

b) P(C/D)c) P(D/E)d) P(NC)

e) P(C/E)f) P(C/A)g) P(ND)h) PCB /C )

i) PCNE)j) P(B/E)1) P(NB n C)m) peA n.B IC nD)

3.34 Temos duas caixas: na prime ira ha tres bolas bran cas e sete pretas; e nasegunda, uma bola branca e cinco pretas. De uma caixa escolhida ao aca-so, seleciona-se uma bola e verifica-se que e preta. Qual a probabilidadede que a caixa de onde for extraida a bola seja a primeira? E a segunda?~~:?I b ' \ \ 3.35 A probabilidade de urn individuo de classe A comprar urn carro e ~ , de B4e _ ! _ e de C e _ _ ! _ _ . A probabilidade de oindividuo de classe A comprar urn6 10carro da marca D e _ _ ! _ _ ; de B comprar da marca D e ~ e de C e 2_. Em20 5 10certa loja, comprou-se urn carro da marca D. Qual a probabilidade deque 0 individuo da classe B 0 tenha comprado?

3.36 Em certo colegio, 5% dos homens e 2% das mulheres tern mais do que1,80 m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes sao homens. Se urnestudante e selecionado aleatoriamente e tern mais de 1,80 m de altura,qual a probabilidade de que 0 estudante seja mulher?3.37 Tres maquinas, A, B e C, produzem respectivamente 40%, 50% e 10% dototal de pecas de uma fabrica, As porcentagens de pecas defeituosas nasrespectivas maquinas sao 3%, 5% e 2%. Uma peca e sorteada ao acaso, everifica-se que e defeituosa. Qual a probabilidade de que a peca tenhavindo da maquina B ?



94 ESTATISTICA GERAL E APLlCADA

quanto apenas 30% dos que nao tern tuberculose reagem positivamente.Uma pessoa da populacao e selecionada ao acaso, e 0 teste Y e aplicado.Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagin po-sitivamente ao teste?3.39 Uma moeda e lancada tres vezes. Ache a probabilidade de se obterem:a) tres caras;

b) duas caras e uma coroa;c) uma cara;d) pelo menos uma coroa;e) nenhuma cara.

3.40 Sao lancados dois dados, Ache a probabilidade de:a) obter-se urn par de pontos iguais;b) obter-se urn par de pontos diferentes;c) obter-se um.par ern que 0 1Q < 2 Q ;d) a soma dos pontos ser urn mimero par;e) obter-se soma 7, se 0 par de pontos e diferente;f) obter-se soma 6, dado que 0 par de pontos e igual;g) a soma ser 14.

3.41 A probabilidade de 0 aluno X resolver esse problema e ~ e a do aluno Y e 4.5 7Qual a probabilidade de que 0 problema seja resolvido?

3.42 No Iancamento de urn dado, qual a probabilidade de sair 0 mimero 5 ouurn mimero par?,. 3.43 Urn grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composicao:

---Ho;;;;;s , Mulhe res = llMenore-s-----fl -- 5 ]--3 I-,;;---I_ 5_I_ 21) 5Urn elemento e escolhido ao acaso. Pergunta-se:

a) Qual a probabilidade de ser homem? i=t: :: t J . ! Z ?b) Qual a probabilidade de se: adulto? \ 1 / 1 { : ;c) Qual a probabilidade de ser menor ou mulher?

'< 2v ~ f'? ._ - . t : " " . . , _ - . , ~ ; ?//3



./[5 /3P R O B A B I LI D A D ES 95

d) Sabendo-se que 0 elemento escolhido e adulto, qual a probabilidadede ser homem?e) Dado que a escolhida e mulher, qual a probabilidade de ser menor?

3.44 Urn numero e escolhido ao acaso no conjunto {I, 2, 3, ..., 20}. Verificarse sao independentes os eventos:a) X: 0 numero e rmiltiplo de 3.

Y: 0 mimero e par.b) M: 0 nurnero e primo.

N: 0mimero e impar.w 3.45 'urn grupo de 100 pessoas apresenta, de acordo corn 0 sexo e filiacao par-tid aria, a seguinte composicao:

--- --- .-- ------;---,Partido X \. P a rtido Y . IIo m e n s -+- 2

1 41 _ ! - - . - 3 9 1

L . . M ~ l h e r e s L__ _ _ c _ i _ _ 2 6_ _ _ :

Ca1cular:a) a probabilidade de urn escolhido ser homem;b) a probabilidade de urn escolhido ser mulher do partido Y;c) a porcentagem dos partidarios do Y;d) a porcentagem dos hornens filiados a X;e) se 0 sorteado for do X, qual a probabilidade de ser mulher;f) se 0 sorteado for hornem, qual a probabilidade de ser do Y.

3.46 Provar: Se A e B sao eventos independentes e mutuamente exclusivos,entao peA) = 0 ou P.(B) = o .

3.47 Provar: Se A e B sao eventos independentes e de probabilidades nao nu-las, entao A e B nao sao mutuamente exclusivos, isto e, A n B ;f = 0.3.48 Provar: Os eventos A e S sao independentes.3.49 Provar: Os eventos A e 0 sao independentes.3.50 Provar: Os eventos Se 0 sao independentes.

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