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Exercícios de exames e provas oficiais

1. Na figura, está representado, no plano complexo, um

quadrado cujo centro coincide com a origem e em que

cada lado é paralelo a um eixo.

Os vértices deste quadrado são as imagens geométricas

dos complexos 1z ,

2z , 3z e

4z .

Qual das afirmações seguintes é falsa?

(A) 3 1 4 2z z z z

(B) 1 4 12Rez z z

(C) 41

zz

i

(D) 1 2z z

matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2015

2. Em , conjunto dos números complexos, seja 6

1 1z i e 2

8

6

5

iz

cis

.

Sabe-se que as imagens geométricas dos complexos 1z e

2z são vértices consecutivos de um

polígono regular de n lados, com centro na origem do referencial.

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de n.


3. Na figura, está representado, no plano complexo,

um triângulo equilátero [OAB].

Sabe-se que:

o ponto O é a origem do referencial;

o ponto A pertence ao eixo real e tem abcissa

igual a 1;

o ponto B pertence ao quarto quadrante e é a

imagem geométrica de um complexo z.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) 11

36

z cis

(B) 11

6z cis

(C) 5

33

z cis

(D) 5

3z cis

matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2015


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4. Em , conjunto dos números complexos, seja 1

1

212

iz

cis

.

Determine os números complexos z que são solução da equação 4

1z z , sem utilizar a

calculadora.

Apresente esses números na forma trigonométrica.


5. Considere em , conjunto dos números complexos, a condição

3

4 4 3 arg2 4

z i z

No plano complexo, esta condição define uma linha.

Qual é o comprimento dessa linha?

(A) (B) 2 (C) 3 (D) 4


6. Em , conjunto dos números complexos, considere 192 2

2

iz

cis

.

Determine os valores de pertencentes ao intervalo 0,2 , para os quais z é um número

imaginário puro.

Na resolução deste item, não utilize a calculadora.


7. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco

números complexos: w, z1, z2, z3 e z4.

Qual é o número complexo que pode ser igual a 2 i w ?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4 matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2014


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8. Seja o conjunto dos números complexos.

Resolva os dois itens seguintes sem utilizar a calculadora.

8.1. Considere 1

1

1

2

iz i

i

e 2

4z cis

.

Averigue se a imagem geométrica do complexo 4

1 2z z pertence à bissetriz dos

quadrantes ímpares.

8.2. Considere o número complexo 2sin 2 2 cosw i , com 0,2

.

Escreva w na forma trigonométrica.


9. Na figura, estão representadas, no plano complexo,

duas semirretas OA e OB e uma circunferência de

centro C e raio BC .

Sabe-se que:

O é a origem do referencial;

o ponto A é a imagem geométrica do complexo

2 32

3i ;

o ponto B é a imagem geométrica do complexo

2 32

3i ;

o ponto C é a imagem geométrica do complexo 2i .

Considere como arg z a determinação que pertence ao intervalo , .

Qual das condições seguintes define a região sombreada, excluindo a fronteira?

(A) 2 3 3

2 arg3 4 4

z i z

(B) 2 3 2

2 arg3 3 3

z i z

(C) 2 3 2

2 arg3 3 3

z i z

(D) 2 3 3

2 arg3 4 4

z i z



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10.1. Considere 26

z cis

e

4

1

z iw

zi

.

No plano complexo, seja O a origem do referencial.

Seja A a imagem geométrica do número complexo z e seja B a imagem geométrica do

número complexo w.

Determine a área do triângulo [AOB], sem utilizar a calculadora.

10.2. Seja 0, .

Resolva, em , a equação 2 2cos 1 0z z .

Apresente as soluções, em função de , na forma trigonométrica.


11. Na figura, está representado, no plano complexo, um polígono regular [ABCDEF]

Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das n raízes de índice n de um número

complexo z.

O vértice C tem coordenadas 2 2,2 2 .

Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice E?

(A) 13

2 212

cis

(B) 13

412

cis

(C) 17

2 212

cis

(D) 17

412

cis



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12.1. Considere

3

1

1 3

1

iz

i

e 2z cis , com 0, .

Determine os valores de , de modo que 2

1 2z z seja um número imaginário puro, sem

utilizar a calculadora.

12.2. Seja z um número complexo tal que 2 2

1 1 10z z .

Mostre que 2z


13. Em , conjunto dos números complexos, considere 2013

1w i .

A qual dos conjuntos seguintes pertence w?

(A) : 1z z z (B) : 2z z

(C) :z z z (D) : Re Imz z z


14. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas dos

números complexos: z, z1, z2, z3, e z4.

Sabe-se que w é um número complexo tal que z i w .

Qual é o número complexo que pode ser igual a w?

(A) z4 (B) z3 (C) z2 (D) z1



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15. Seja o conjunto dos números complexos, considere

1

1 3

51 2

6

iz

i cis

e 2 212

z cis

15.1. Seja z cis , com pertencente a 0,2 .

Determine de modo que 1

z

z seja um número real negativo, sem utilizar a calculadora.

15.2. As imagens geométricas de 2z e do seu conjugado, 2z , são vértices consecutivos de um

polígono regular. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de

índice n de um certo número complexo w.

Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

Comece por calcular n.


16. Considere, em , conjunto dos números complexos, 2z bi , com 0b .

Seja 0,2

.

Qual dos números complexos seguintes pode ser o conjugado de z?

(A) 3

2cis (B) 3cis (C) 3cis (D)

3

2cis



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17. Considere, em , conjunto dos números complexos, a condição

3 2

3 3 arg 32 3 3

z i z i


Qual das opções seguintes pode representar, no plano complexo, o conjunto de pontos

definido pela condição dada?

(A)

(B)

(C)

(D)



18.1. Considere 22

1

1 3

2

iz i

e 2

1

2z

iz

Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que 2

nz é um número

real negativo.


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18.2. Seja , .

Mostre que

cos cos2

2cos sin

i

cisi

.


19. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro

números complexos: w1, w2, w3, e w4.

Qual é o número complexo que, com n , pode ser igual a 8 8 1 8 2n n ni i i ?

(A) w1 (B) w2 (C) w3 (D) w4


20. Em , conjunto dos números complexos, considere 8 6z i e

2i zw

z

.

Seja um argumento do número complexo z.

Qual das opções seguintes é verdadeira?

(A) 10 32

w cis

(B) 2 32

w cis

(C) 102

w cis

(D) 22

w cis



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21. Seja o conjunto dos números complexos, considere 1

32 2

4z cis

e 2 1z i .

21.1. Sabe-se que 1

2

z

z é uma raiz quadrada de um certo número complexo w.

Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

21.2. Seja 3z cis

Determine o valor de pertencente ao intervalo 2 , , sabendo que 3 2z z é um

número real.


22. Sejam k e p dois números reais tais que os números complexos 1z i e 111 2 w k p i

sejam inversos um do outro.

Qual é o valor de k p ?

(A) 1

4 (B)

1

2 (C)

5

4 (D)

7

4


23. Na figura, estão representadas, no plano

complexo, uma circunferência, de centro

na origem e de raio 1, e uma reta r, definida

por 1

Re2

z .

Seja 1z o número complexo cuja imagem

geométrica está no 1º quadrante e é o ponto

de intersecção da com a reta r.

Qual das opções seguintes apresenta uma

equação de que 1z é solução?

(A) 1z z i (B) 3

Im2

z (C) 1

12

z (D) 1 2z



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Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora.

24.1. Considere o número complexo 8 3 8z i .

Determine as raízes de índice 4 de z.

Apresente as raízes na forma trigonométrica.

24.2. Seja w um número complexo não nulo.

Mostre que, se o conjugado de w é igual a metade do inverso de w, então a imagem

geométrica de w pertence à circunferência de centro na origem e de raio 2

2.


25. Seja k um número real, e sejam 1 2z i e 2 3z ki dois números complexos.

Qual é o valor de k para o qual 1 2z z é um imaginário puro?

(A) 3

2 (B)

3

2 (C) 1 (D) 6


26. Na figura, está representado, no plano

complexo, um polígono regular

[ABCDEFGHI].

Os vértices desse polígono são as imagens

geométricas das raízes de índice n de um

número complexo z.

O vértice A tem coordenadas 0, 3 .

Qual dos números complexos seguintes

tem por imagem geométrica o vértice F?

(A) 7

318

cis

(B) 11

318

cis

(C) 2

33

cis

(D) 5

39

cis



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27.1. Seja n um número natural.

Determine

4 63 26

25

ni cis

cis

, sem recorrer à calculadora.

Apresente o resultado na forma trigonométrica.

27.2. Seja ,4 2

.

Sejam 1z e

2z dois números complexos tais que 1z cis e 2

2z cis

.

Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de 1 2z z , no plano complexo, pertence

ao 2º quadrante.


28. Na figura, estão representadas, no

plano complexo, as imagens

geométricas de cinco números

complexos: w, z1, z2, z3 e z4.

Qual é o número complexo que

pode ser igual a 3

w

i?

(A) z1

(B) z2

(C) z3

(D) z4



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29. Na figura, estão representadas, a sombreado, no

plano complexo, parte de uma coroa circular.

Sabe-se que:


o ponto Q é a imagem geométrica do

complexo 1 i ;

a reta PQ é paralela ao eixo real;

as circunferências têm centro na origem;

os raios das circunferências são iguais a 3

e a 6.


Qual das condições seguintes pode definir, em , conjunto dos números complexos, a região

a sombreado, incluindo a fronteira?

(A) 3

3 6 arg 14

z z i

(B) 3

9 36 arg 14

z z i

(C) 3

3 6 arg 14

z z i

(D) 3

9 36 arg 14

z z i


30. Seja o conjunto dos números complexos, considere 3

1 2z i e 2

1 28

2

iz

i

.

30.1. Resolva a equação 3

1 2z z z , sem recorrer à calculadora.

Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

30.2. Seja w um número complexo não nulo.

Mostre que, se w e 1

w são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então 1z

ou 1z .



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31. Sejam k e p dois números reais e sejam 1 3 2z k pi e 2 3 4 2 5z p k i dois

números complexos.

Quais são os valores de k e de p para os quais 1z é igual ao conjugado de 2z ?

(A) 1k e 3p (B) 1k e 3p

(C) 0k e 2p (D) 1k e 3p


32. Considere, em , um número complexo w.

No plano complexo, a imagem geométrica

de w é o vértice A do octógono

[ABCDEFGH], representado na figura.

Os vértices desse polígono são imagens

geométricas das raízes de índice 8 de um

certo número complexo.

Qual dos números complexos seguintes tem

como imagem geométrica o vértice C do

octógono [ABCDEFGH]?

(A) w (B) 1w (C) i w (D) 3i w



Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.

33.1. Considere 4 2014

1 2 3 , nz i i n .

Sabe-se que 1z é uma das raízes cúbicas de um certo complexo z. Determine z.

Apresente o resultado na forma algébrica.

33.2. Considere 24

z cis

.

No plano complexo, a região definida pela condição

2 21 arg 22

z z z z z z

está representada geometricamente numa das

opções I, II, III e IV, apresentadas na página seguinte.

(Considere como arg z a determinação que pertence ao intervalo 0,2 )

Sabe-se que em cada uma das opções:


C é a imagem geométrica de 2z ;


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OC é o raio da circunferência.

Apenas uma das opções está correta.

I

II

III

IV

Elabore uma composição na qual:

indique a opção correta;

apresente as razões que lhe levam a rejeitar as restante opções.

Apresente três razões, uma por cada opção rejeitada.



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34. Na figura abaixo, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.

Sabe-se que:

o ponto A é a imagem geométrica da número complexo 3 i ;

o ponto B tem abcissa negativa, ordenada nula, e pertence à circunferência de centro

na origem do referencial e raio igual a OA

Qual das condições seguintes define, em , a região sombreada, incluindo a fronteira?

(Considere como arg z a determinação que pertence ao intervalo 0,2 ).

(A) 2

2 arg3

z z

(B) 5

2 arg6

z z

(C) 2

4 arg3

z z

(D) 5

4 arg6

z z


35. Na figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de seis números

complexos: z1, z2, z3, z4, z5 e z6.

Qual é o número complexo que pode ser igual a 2 4z z i ?

(A) z1 (B) z3 (C) z5 (D) z6



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36.1. Considere 1 1 2z i e 4 3

1

52

4

nz i bw

cis

, com b e n .

Determine o valor de b para o qual w é um número real.

36.2. Seja z um número complexo tal que 1z

Mostre que 2 2

1 1 4z z .


37. Na figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro

números complexos: z1, z2, z3 e z4.

Qual é o número complexo que, com n , pode ser igual a 4 4 1 4 2n n ni i i ?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4



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38. Na figura seguinte, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.

Sabe-se que:

o ponto A está situado no 1º quadrante;

o ponto B está situado no 4º quadrante;

[AB] é um dos lados de um polígono regular cujos vértices são as imagens geométricas

das raízes de índice 5 do complexo 322

cis

;

o arco AB está contido na circunferência de centro na origem do referencial e raio igual

a OA .

Qual dos números seguintes é o valor da área do setor circular AOB?

(A) 5

(B)

4

5

(C)

2

5

(D)

8

5


39. Seja , o conjunto dos números complexos, considere:

1 1z , 2 5z i e 340

nz cis

, n


39.1. O complexo 1z é raiz do polinómio 3 2 16 16z z z .

Determine, em , as restantes raízes do polinómio.

Apresente as raízes na forma trigonométrica.

39.2. Determine o menor valor de n natural para o qual a imagem geométrica de 2 3z z , no plano

complexo, está no terceiro quadrante e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.



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40. A figura representa um pentágono [ABCDE] no

plano complexo.

Os vértices do pentágono são as imagens

geométricas das raízes de índice n de um

número complexo w.

O vértice A tem coordenadas 1,0

Qual dos números complexos seguintes tem por

imagem geométrica o vértice D do pentágono?

(A) 6

55

cis

(B) 6

5cis

(C) 5

cis

(D) 5

cis


41. Seja w o número complexo cuja imagem geométrica está representada na figura abaixo.

A qual das retas seguintes pertence a imagem geométrica de 6w ?

(A) Eixo real

(B) Eixo imaginário

(C) Bissetriz dos quadrantes ímpares

(D) Bissetriz dos quadrantes pares


42. Seja , o conjunto dos números complexos, considere 1 24

z cis

e 2 3z .

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

42.1. Determine o número complexo 4

1 4z iw

i

.


42.2. Escreva uma condição, em , que defina, no plano complexo, a circunferência que tem

centro na imagem geométrica de 2z e que passa na imagem geométrica de 1z .



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z cis

, com .

Para qual dos valores seguintes de podemos afirmar que z é um número imaginário puro?

(A) 2

(B)

2

(C)

8

(D)

5

8


44. Na figura abaixo, está representada, no plano complexo, a sombreado, parte do semiplano

definido pela condição Re 3z .

Qual dos números complexos seguintes tem a sua imagem geométrica na região representada

a sombreado?

(A) 36

cis

(B) 3 36

cis

(C) 32

cis

(D) 3 32

cis



z cis

e 2 2z i .

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

45.1. Determine o número complexo

7

1

2

3 i zw

z

.

(i designa a unidade imaginária, e 2z designa o conjugado de 2z ).


45.2. Mostre que 2

1 2 6 4cos 2sin7 7

z z



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46. Seja k um número real, e 1 3 2z k i i um número complexo.

Qual é o valor de k, para que 1z seja um número imaginário puro?

(A) 3

2 (B)

2

3 (C)

2

3 (D)

3

2


47. Na figura, está representada uma região do plano complexo. O ponto A tem coordenadas

2, 1 .

Qual das condições seguintes define em , conjunto dos números complexos, a região

sombreada, incluindo a fronteira?

(A) 1 2 Re 2 Im 1z z i z z

(B) 1 2 Re 2 Im 1z z i z z

(C) 1 2 Re 2 Im 1z z i z z

(D) 1 2 Im 2 Re 1z z i z z


48. No conjunto dos números complexos, seja

7

32

7

34

2

cis i

z

cis

.

Determine z na forma algébrica, sem recorrer à calculadora.



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49. Considere, em , um número complexo w, cuja imagem geométrica no plano complexo é

um ponto A, situado no 1º quadrante. Sejam os pontos B e C, respetivamente, as imagens

geométricas w (conjugado de w) e de ( w ).

Sabe-se que 8BC e que 5w .

Determine a área do triângulo [ABC].


50. Seja z um número complexo, em que um dos argumentos é 3

.

Qual dos valores seguintes é um argumento de 2i

z, sendo z o conjugado de z?

(A) 6

(B)

2

3 (C)

5

6 (D)

7

6


51. Seja b um número real positivo, e 1z bi um número complexo.

Em qual dos triângulos seguintes os vértices podem ser as imagens geométricas dos números

complexo 1z , 2

1z e 3

1z ?

(A)

(B)

(C)

(D)



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52. Em , conjunto dos números complexo, considere 18

11

iz i

i

e 2

5

6z cis

.

52.1. Determine 1z na forma trigonométrica, sem recorrer à calculadora.

52.2. Determine o menor valor de n , tal que 2 1n

i z .


53. Seja z um número complexo de argumento 6

.

Qual dos seguintes valores é um argumento de z ?

(A) 6

(B)

5

6 (C) (D)

7

6


54. Considere a figura abaixo, representada no plano complexo.

Qual é a condição, em , que define a região sombreada da figura, incluindo a fronteira?

(A) Re 3 arg 04

z z

(B) Re 3 0 arg4

z z

(C) Im 3 arg 04

z z

(D) Re 3 arg 04

z z



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55. Em , conjunto dos números complexos, considere 1 1z i (i designa a unidade

imaginária).

55.1. Sem recorrer à calculadora, determine o valor 18

12 3

1 2

z i

i

.


55.2. Considere 1z uma das raízes quartas de um certo número complexo z.

Determine uma outra raiz quarta de z, cuja imagem geométrica é um ponto pertence ao 3º

quadrante.

Apresente o resultado na forma trigonométrica. matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2008

56. Seja 3z i um número complexo.

Qual dos seguintes valores é um argumento de z?

(A) 0 (B) 1

2 (C) (D)

3

2


57. Considere, em , a condição 2z z .

Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjugado de

pontos definidos por esta condição?

(A)

(B)

(C)

(D)



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58. Em , conjunto dos números complexos, considere 1 1 3 z i e 2 8 0z cis (i designa a

unidade imaginária).

58.1. Mostre, sem recorrer à calculadora, que 1z é uma raiz cúbica de 2z .

58.2. No plano complexo, sejam A e B as imagens geométricas de 1z e de 46

3 1. z z i ,

respetivamente.

Determine o comprimento do segmento [AB].


59. Em , conjunto dos números complexos, seja i a unidade imaginária.

Seja n um número natural tal que ni i .

Indique qual dos seguintes é o valor de 1ni .

(A) 1 (B) i (C) 1 (D) i


60. Em , conjunto dos números complexos, sejam:

1 3z yi e 2 14 z i z

(i é a unidade imaginária e y designa um número real).

60.1. Considere que, para qualquer número complexo z não nulo, Arg z designa o argumento

de z que pertence ao intervalo 0,2 .

Admitindo que 1Arg z e que 02

, determine o valor de 2Arg z em função

de .

60.2. Sabendo que 1 2Im Imz z , determine 2z .



61. Qual das opções seguintes apresenta duas raízes quadradas de um mesmo número complexo?

(A) 1 e i (B) 1 e i

(C) 1 i e 1 i (D) 1 i e 1 i



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62. Em , conjunto dos números complexos, considere z cis , 0,2

.

62.1. Na figura está representado, no plano complexo, o paralelogramo [AOBC].

A e B são as imagens geométricas de z e z , respetivamente.

C é a imagem geométrica de um número complexo w.

Justifique que 2cosw .

62.2. Determine o valor de 0,2

para o qual 3z

i é um número real.


63. Na figura estão representadas, no plano complexo, duas circunferências, ambas com centro

no eixo real, tendo uma delas raio 1 e a outra raio 2.

A origem do referencial é o único ponto comum às duas circunferências.

Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?

(A) 1 1 2 2z z (B) 1 2 2 1z z

(C) 1 1 2 2z z (D) 1 2 2 1z z



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64. Em o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.

64.1. Considere 1 2 22

z i cis

e 2

1

5 7z cis

.

Sem recorrer à calculadora, escreva o número complexo 1

2

z

z na forma trigonométrica.

64.2. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A

situado no primeiro quadrante.

Seja B a imagem geométrica de z , conjugado de z.

Seja O a origem do referencial.

Sabe-se que o triângulo [AOB] é equilátero e tem perímetro 6.

Represente o triângulo [AOB] e determine z na forma algébrica.


65. Os pontoa A e B, representados na figura, são as imagens geométricas, no plano complexo,

das raízes quadradas de um certo número complexo z.

Qual dos números complexos seguintes pode ser z?

(A) 1 (B) i (C) 1 (D) i



66.1. Sem recorrer à calculadora, determine

6

4 26

3

i cis

i

apresentando o resultado final na

forma trigonométrica.

66.2. Considere que, para qualquer número complexo z não nulo, arg z designa o argumento

de z que pertence ao intervalo 0,2 .

Represente a região do plano complexo pela condição, em ,

1 3 5

1 arg2 4 4

z z

e determine a sua área. matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2006


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67. Em qual das opções seguintes estão duas raízes de um mesmo números complexo?

(A) 6

cis

e 5

6cis

(B)

3cis

e

2

3cis

(C) 4

cis

e 3

4cis

(D)

2cis

e

3

2cis


68. Em o conjunto dos números complexos, considere

1 1w i , 2 212

w cis

e 3 32

w cis

68.1. Sem recorrer à calculadora, determine o valor de 1 2

3

2w w

w

.


68.2. Represente, no plano complexo, a região definida pela condição

1 3Re Re 3z w z w


69. Em o conjunto dos números complexos, considere 1 24

z cis

e 2 2z i .

Sejam 1P e 2P as imagens geométricas, no plano complexo, de 1z e de 2z , respetivamente.

Sabe-se que o segmento de reta 1 2PP é um dos lados do polígono cujos vértices são as

imagens geométricas das raízes de índice n de um certo número complexo w.

Qual é o valor de n?

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10



70.1. Considere 2

1

iw i

i

.

Sem recorrer à calculadora, escreva w na forma trigonométrica.

70.2. Considere 1z cis e 22

z cis

.

Mostre que a imagem geométrica, no plano complexo, de 1 2z z pertence à bissetriz dos

quadrantes ímpares.



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71. Os quatro vértices de um dos quadriláteros seguintes são as imagens geométricas, no plano

complexo, das raízes quartas de um certo número complexo w.

Qual poderá ser esse quadrilátero?

(A)

(B)

(C)

(D)


72. Em o conjunto dos números complexos, considere

4 3w i (i designa a unidade imaginária)

72.1. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma algébrica, 2

2w

ii

.

72.2. Seja um argumento do número complexo w.

Exprima, na forma trigonométrica, em função de , o produto de i pelo conjugado de w.



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73. Na figura abaixo está representado, no plano complexo, um triângulo retângulo isósceles.

Os catetos têm comprimento 1, estando um deles contido no eixo dos números reais.

Um dos vértices do triângulo coincide com a origem do referencial.

Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?

(A) Re 0 Im 0 1z z z

(B) Re 0 Im 0 1z z z

(C) Re 1 Im 0 1z z z i z

(D) Re 1 Im 0 1z z z i z


74. Em , considere os números complexos: 1 6 3z i e 2 1 2z i .

Sem recorrer à calculadora, determine 23

1

2

z i

z

, apresentando o resultado final na forma

trigonométrica.


75. Seja z um número complexo, cuja imagem geométrica pertence ao primeiro quadrante (eixos

não incluídos).

Justifique que a imagem geométrica de 3z , não pode pertencer ao quarto quadrante.



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76. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco

números complexos: w, z1, z2, z3 e z4.

Qual é o número complexo que pode ser igual a 1 w ?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4


77.

é o conjunto dos números complexos;

i designa a unidade imaginária.

77.1. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raízes quartas do

número complexo 1 3 i , simplificando o mais possível as expressões obtidas.

77.2. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A

situado no segundo quadrante e pertencente à reta definida pela condição Re 2z .

Seja B a imagem geométrica de z , conjugado de z.

Seja O a origem do referencial.

Represente, no plano complexo, um triângulo [AOB], de acordo com as condições

enunciadas.

Sabendo que área do triângulo [AOB] é 8, determine, z, na forma algébrica.



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78. Considere, em , a condição:

3 0 arg Re 14

z z z

Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de

pontos definidos por esta condição?

(A)

(B)

(C)

(D)

matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003

79. é o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.

79.1. Sem recorrer à calculadora, determine

3

2

3 2 29

3

2

i cis

cis

apresentando o resultado

na forma algébrica.

79.2. Seja um número real.

Sejam 1z e

2z dois números complexos tais que:

1z cis ;

2z cis .

Mostre que 1z e

2z não podem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo número complexo.



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80. Seja w um número complexo diferente de zero, cuja imagem geométrica pertence à bissetriz

dos quadrantes ímpares.

A imagem geométrica de 4w pertence a uma das retas a seguir indicadas.

A qual delas?

(A) Eixo real. (B) Eixo imaginário.

(C) Bissetriz dos quadrantes pares. (D) Bissetriz dos quadrantes ímpares.


81. Em , conjunto dos números complexos, considere

1 2 2z i , 2

52

4z cis

e

3 1z i

81.1. Sem recorrer à calculadora, determine 1

2

z

z apresentando o resultado na forma algébrica.

81.2. Escreva uma condição em que defina, no plano complexo, a circunferência que tem

centro na imagem geométrica de 1z e que passa na imagem geométrica de

3z .


82. Na figura está representado um retângulo, de

comprimentos 4 e largura 2, centrado na origem do

plano complexo.

Seja z um número complexo qualquer, cuja imagem

geométrica está situada no interior do retângulo.

Qual dos seguintes números complexos tem também,

necessariamente, a sua imagem geométrica no

interior do retângulo?

(A) 1z (B) z (C)

2z (D) 2z



1 1z i (i designa a unidade imaginária).

83.1. Determine os números reais b e c para os quais 1z é raiz do polinómio

2x bx c .

83.2. Seja 2z cis .

Calcule o valor de , pertencente ao intervalo 0,2 , para o qual 1 2z z é um número

real negativo (2z designa o conjugado de

2z ).



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84. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do

conjunto : 1 2 Im 4z z z i z ?

(A)

(B)

(C)

(D)


85. De dois números complexos 1z e

2z sabe-se que:

um argumento de 1z é

3

;

o módulo de 2z é 4.

85.1. Seja 1 i

wi

.

Justifique que w diferente de 1z e de

2z .

85.2. 1z e

2z são duas das raízes quartas de um certo número complexo z.

Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de 2z pertence ao segundo

quadrante, determine 2z na forma algébrica.



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86. Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo imaginário?

(A) 0z z (B) Im 1z (C) 0z (D) 0z z


87. Em , conjunto dos números complexos: 1 1z i e 2

32

4z cis

87.1. Verifique que 1z e

2z são raízes quartas de um mesmo número complexo.

Determine esse número, apresentando-o na forma algébrica.

87.2. Considere, no plano complexo, os pontos A, B e O em que:

A é a imagem geométrica de 1z ;

B é a imagem geométrica de 2z ;

O é a origem do referencial.

Determine o perímetro do triângulo [AOB].


88. Qual das seguintes regiões do plano complexo (indicadas a sombreado) contém as imagens

geométricas das raízes quadradas de 3 4i ?

(A)

(B)

(C)

(D)



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2w i (i designa a unidade imaginária).

89.1. Determine 11 2

2 1 3w i na forma algébrica.

89.2. Averigue se o inverso de w é, ou não, 3

24

cis

.


90. Na figura está representado, no plano complexo, um heptágono regulas inscrito numa

circunferência de centro na origem e raio 1. Um dos vértices do heptágono pertence ao eixo

imaginário.

Os vértices do heptágono são, para um certo número natural n, as imagens geométricas das

raízes de índice n de um número complexo z.

Qual é o valor de z?

(A) 1 i (B) 1 i (C) i (D) i


91. Em , conjunto dos números complexos, seja

1 4z i (i designa a unidade imaginária).

91.1. No plano complexo, a imagem geométrica de 1z é um dos quatro vértices de um losango

de perímetro 20, centrado na origem do referencial. Determine os números complexos cujas

imagens geométricas são os restantes vértices do losango.

91.2. Sem recorrer à calculadora, resolva a equação

2

12 24

cis z z

.




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92. Seja w um número complexo diferente de 0, cuja

imagem geométrica, no plano complexo, está no

primeiro quadrante e pertence à bissetriz dos

quadrantes +impares.

Seja w o conjugado de w. Na figura estão

representadas, no plano complexo, as imagens

geométricas de quatro números complexos: z1, z2, z3 e

z4.

Qual deles pode ser igual a w

w?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4


93. Em , conjunto dos números complexos, seja 1 2

3z cis

.

93.1. Sem recorrer à calculadora, verifique que 3

1 2z

i

é um imaginário puro.

93.2. No plano complexo, a imagem geométrica de 1z é um dos cinco vértices do pentágono

regular representado na figura. Este pentágono está inscrito numa circunferência centrada

na origem do referencial.

Defina, por meio de uma condição em , a região sombreada, excluindo a fronteira.



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94. Seja z yi , com \ 0y , um número complexo (i designa a unidade imaginária).

Qual dos quatro pontos representados na figura junta (A, B, C ou D) pode ser a imagem

geométrica de 4z ?

(A) O ponto A (B) O ponto B (C) O ponto C (D) O ponto D

matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2001

95. Em , conjunto dos números complexos, considere 1 7 24z i (i designa a unidade

imaginária).

95.1. Um certo ponto P é a imagem geométrica, no plano complexo, de uma das raízes quadradas

de 1z . Sabendo que o ponto P tem abcissa 4, determine a sua ordenada.

95.2. Seja 2z cis com

3,

4

.

Indique, justificando, em que quadrante se situa a imagem geométrica de 1 2z z .

matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2001

96. Qual das seguintes condições define uma reta no plano complexo?

(A) 1 4z (B) arg

2z

(C) 3 2 0z i (D) 1z z i



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97. Seja o conjunto dos números complexos, e sejam 1z

e 2z dois elementos de .

Sabe-se que:

1z tem argumento

6

;

4

2 1z z ;

1A e

2A são as imagens geométricas de 1z e

2z ,

respetivamente.

97.1. Justifique que o ângulo 1 2AOA é reto (O designa a origem do referencial).

97.2. Considere, no plano complexo, a circunferência C definida pela condição 1z z .

Sabendo que o perímetro de C é 4 , represente, na forma algébrica, o número complexo

1z .


98. Seja z um número complexo de argumento 5

.

Qual poderá ser um argumento do simétrico de z?

(A) 5

(B)

5

(C)

5

(D) 2

5


99. Considere, no plano complexo, o quadrado [ABCD].

Os pontos A e C pertencem ao eixo imaginário, e os pontos B

e D pertencem ao eixo real.

Estes quatro pontos encontram-se à distância de uma unidade

da origem do referencial.

99.1. Seja 1w i e 3

22

z cis

.

Sem recorrer à calculadora, mostre que as raízes quartas do

complexo 2w

z têm por imagens geométricas os pontos A, B,

C e D.

99.2. Defina, por meio de uma condição em , a circunferência inscrita no quadrado [ABCD].



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100. Na figura está representado um hexágono

cujos vértices são as imagens geométricas,

no plano complexo, das raízes de índice 6 de

um certo número complexo.

O vértice C é a imagem geométrica do

número complexo 3

24

cis

.

Qual dos seguintes números complexos tem

por imagem geométrica o vértice D?

(A) 7

26

cis

(B) 13

212

cis

(C) 6 72

6cis

(D) 6 13

212

cis


101. Seja A o conjunto dos números complexos cuja imagem, no plano complexo, é o interior do

círculo de centro na origem do referencial e raio 1.

101.1. Define, por meio de uma condição em , a parte de A contida no segundo quadrante

(excluindo os eixos do referencial).

101.2. Sem recorrer à calculadora, mostre que o número complexo 1 3

46

i

cis

pertence ao conjunto

A.


Bom trabalho!!


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Principais soluções

1. (C)

2. 10

3. (D)

4. 6

cis

, 3

cis

, 5

6cis

, 4

3cis

5. (C)

6. 3

4

e

7

4

7. (D)

8.

8.1. Pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

8.2. 2cos .2

w cis

9. (C)

10.

10.1.

9

2AOB

A

10.2. z cis z cis

11. (D)

12.

12.1. 8

e

5

8

12.2.

13. (D)

14. (C)

15. 15.1.

15.2. 64

16. (C)

17. (A)

18. 18.1. 6n

18.2.

19. (C)

20. (A)

21. 21.1. 1w

21.2. 3

2

22. (D)

23. (B)

24.

24.1. 11 23

2 ; 224 24

cis cis

35 472 ; 2

24 24cis cis

24.2.

25. (D)

26. (B)

27.

27.1. 1 13

2 10cis

27.2.

28. (A)

29. (C)

30.

30.1. 2 0z cis , 2

23

z cis

42

3z cis

30.2.

31. (B)

32. (C)

33. 33.1. 8z

33.2. IV

34. (B)

35. (C)

36. 36.1. 3b

36.2.

37. (B)

38. (B)

39.

39.1. 1 0cis ; 4 42

i cis

;

4 42

i cis

39.2. 30n

40. (B)

41. (A)

42.

42.1. 4 24

w cis

42.2. 3 5z

43. (D)

44. (B)

45.

45.1. 24

w cis

45.2.

46. (C)

47. (A)

48. 11 1

4 4z i


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41 / 42

49. 24 . .ABC

A u a

50. (C)

51. (C)

52.

52.1. 1

2

2 4z cis

52.2. 3n

53. (D)

54. (A)

55.

55.1. 4 2

5 5i

55.2. 5

24

cis

56. (B)

57. (B)

58. 58.1.

58.2. 4AB

59. (A)

60.

60.1. 2

3Arg

2z

60.2. 2 48 12z i

61. (D)

62. 62.1.

62.2. 6

63. (A)

64.

64.1. 157

cis

64.2. 3z i

65. (D)

66.

66.1. 24

cis

66.2. 3

. .16

A u a

67. (A)

68.

68.1. 3

13

i

68.2.

69. (C)

70.

70.1. 2

2 4cis

70.2.

71. (B)

72. 72.1. 12 11i

72.2. 52

cis

73. (C)

74. 5

2 24

cis

75. 76. (C)

77.

77.1. 4 4 72 ; 2 ;

12 12cis cis

4 413 192 ; 2

12 12cis cis

77.2. 2 4i

78. (B)

79. 79.1. 3i

79.2.

80. (A)

81. 81.1. 2i

81.2. 1 1 3z z z z

82. (B)

83. 83.1. 2 2b c

83.2. 5

4

84. (B)

85. 85.1.

85.2. 2 2 3 2z i

86. (A)

87. 87.1. 4

87.2. 2 2 2P

88. (A)

89. 89.1. 6 8i

89.2. Não.

90. (D)

91. 91.1. 4 ; 3 ; 3i

91.2. 2z i

92. (B)


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93. 93.1.

93.2. 11

2 arg3 15

z z

94. (A)

95. 95.1. Ordenada é 3.

95.2. Terceiro quadrante.

96. (D)

97. 97.1.

97.2. 1 3z i

98. (B)

99. 99.1.

99.2. 2

2z

100. (B)

101.

101.1. 1 Re 0 Im 0z z z

101.2.


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