Exercícios de Análise de Sinal

FEUP – DEEC

Setembro 2008

recolha de problemas de diversos autores

edição feita por:

H. Miranda, J. Barbosa (2000)

M.I. Carvalho, A. Matos (2003, 2006, 2008)

Conteudo

1 Complexos 3

2 Sinais 5

3 Sistemas 10

4 Sistemas lineares e invariantes em tempo discreto 12

5 Sistemas lineares e invariantes em tempo contınuo 15

6 Serie de Fourier em tempo contınuo 18

7 Transformada de Fourier em tempo contınuo 20

8 Analise de Fourier de SLITs contınuos 23

9 Serie de Fourier em tempo discreto 25

10 Transformada de Fourier em tempo discreto 27

11 Analise de Fourier de SLITs discretos 30

12 Transformada de Laplace 33

13 Transformada Z 35

14 Amostragem 36

Anexo 1 – Decomposicao em Fraccoes Simples 38

2

Folha 1

Complexos

1 Para o numero complexo z = x + jy = rejθ, exprima:

(a) r e θ em funcao de x e y

(b) x e y em funcao de r e θ

2 Usando a equacao de Euler, prove as seguintes relacoes:

(a) cos θ = 12(ejθ + e−jθ)

(b) sin θ = 12j (e

jθ − e−jθ)

(c) cos2 θ = 12(1 + cos 2θ)

3 Seja z0 um numero complexo de coordenadas polares (r0,θ0) e coordenadas cartesianas(x0,y0). Determine as expressoes das coordenadas cartesianas dos numeros complexosrepresentados a seguir. Represente ainda z0, z1, z2 e z3 no plano complexo quando r0 = 2e θ0 = π

4 .

(a) z1 = r0e−jθ0

(b) z2 = r0

(c) z3 = r0ej(θ0+π)

4 Sendo o numero complexo z = x + jy = rejθ, o numero complexo conjugado, representadopor z∗, e definido por: z∗ = x − jy = re−jθ. Mostre que as seguintes relacoes sao validas:

(a) zz∗ = r2

(b) zz∗ = e2jθ

(c) z + z∗ = 2<ez(d) z − z∗ = 2j =mz

5 Exprima cada um dos seguintes numeros complexos em coordenadas rectangulares e po-lares e represente-o no plano complexo:

(a) 3+4j1−2j

(b) 2j (1+j)2

(3−j)

3

(c) je1+j π2

(d) (1 − j)9

(e)√

2ejπ/4 − 1+2j3−j

(f) (1+√

3j)6

3+4j

6 Represente graficamente o modulo e a fase de cada uma das seguintes funcoes complexasde variavel real:

(a) f(x) = cos(x)

(b) g(x) = cos(x)e−jx

(c) h(t) = sin(2t) ejt

(d) S(ω) = (1 + cos(2ω)) e−j3ω

7 Prove a validade das seguintes expressoes:

(a)

N−1∑

n=0

αn =

N , α = 11−αN

1−α , α 6= 1

(b)∞

∑

n=0

αn =1

1 − α, |α| < 1

(c)∞

∑

n=0

nαn =α

(1 − α)2, |α| < 1

(d)∞

∑

n=k

αn =αk

1 − α, |α| < 1

8 Determine o valor de:

(a)∞

∑

n=0

(

1 − j

2

)n

(b)∞

∑

n=6

(

1 + j

2

)n

(c)∞

∑

n=0

n

(

1 + j

2

)n

(d)20

∑

n=6

(1 − j)n

4

Folha 2

Sinais

1 Considere os sinais x(t) e y(t) da figura

1

1 2 3 4−1

x(t)

t

1

−1

1 2 3−1−2

y(t)

t

Determine e esboce os sinais

(a) 2x(t)

(b) x(t) − 2y(t)

(c) x(t)y(t)

(d) x(t − 2) + 2y(t)

(e) ty(t)

(f) y(t)u(t)

(g) 3x(2t)u(t − 1)

2 Considere o sinal x(t) representado a seguir.

t

x(t)

−1 1 2 3

1

2

−1

(a) Represente x(t − 2).

(b) Represente x(1 − t).

5

3 O sinal h(t) esta representado na seguinte figura.

−1 1

1

2−2

h(t)

t

(a) Represente h(2 − 2t).

(b) Calcule a energia de h(t).

4 Considere o sinal z(t) representado na figura seguinte.

1

2

1 2 3 4−1−2−3−4

z(t)

t

(a) Represente o sinal z(

2 − t2

)

.

(b) Calcule a energia de z(t).

5 x[n] e um sinal discreto ilustrado a seguir.

−1 1

1

2−2

x[n]

−3 3 4 5 6 n

(a) Represente x[n − 2].

(b) Represente x[2n].

(c) Represente x[2 − 2n].

(d) Calcule a energia de x[n].

6 Considere o sinal x[n] representado na seguinte figura.

6

−1

2 3 4

2

x[n]

1

1

−2

n5 6

−6 −5 −4 −3 −2 −1

Represente x[n + 1](u[n + 3] − u[−n]) em que u[n] e o degrau unitario discreto.

7 Faca a decomposicao em parte par e parte ımpar dos seguintes sinais:

(a)

−1 1

1

−2 t

x(t)

(b)

−1 1

1

2−2−3 3 4

2

3

x[n]

n5 6−4

(c)

1

2

−1

1 2 3−1

z(t)

t

8 Conhecendo a parte par de x[n], xP [n], e sabendo que x[n] = 0 para n < 0, determine x[n].

7

−1 1 2−2−3 3 4 5−4

xp[n]

1

1

81

16

−5 n

1

4

9 Conhecendo a parte par de x(t), xP (t), e sabendo a forma de x(t + 1)u(−t − 1), deter-mine x(t).

−1 1

1

t

xp(t)

−1

1

x(t + 1)u(−t − 1)

−2 t

10 Conhecendo a parte ımpar de x[n], xi[n], e sabendo a forma de x[−n+1]u[n−1], determinex[n].

1

2

−1

−2

xi[n]

n

1

2

−1

−2

x[−n + 1]u[n − 1]

n

11 Calcule, para o sinal periodico v(t) representado a seguir:

t

A

v(t)

1−1

(a) o valor medio: 〈v(t)〉;(b) a potencia: 〈v2(t)〉;(c) o valor eficaz: vRMS ;

(d) a componente alternada: vAC(t).

8

12 Determine o valor medio, a potencia, o valor eficaz e a componente alternada dos seguintessinais periodicos:

(a) v1(t) = sin(t)

(b)

t

A

v2(t)

T

−A

(c)

1

−1

1 2 3 4

v3(t)

t

9

Folha 3

Sistemas

1 Considere um sistema S com entrada x[n] e saıda y[n], que e constituıdo pela ligacaoem serie de um subsistema S1 seguido por um subsistema S2. Estes dois subsistemascaracterizam-se pelas seguintes relacoes entrada-saıda:

S1 : y1[n] = x1[n] + 2x1[n + 1]

S2 : y2[n] = x2[n − 3] − 4x2[n − 1]

(a) Determine a relacao entrada-saıda para o sistema composto S.

(b) Esta relacao sera alterada se a ordem dos dois subsistemas em serie for modificada?

2 Considere um sistema S composto por tres subsistema como indica a figura.

S1

S2

S3

x(t) y(t)

As relacoes entrada-saıda dos tres subsistemas sao, respectivamente:

S1 : y1(t) = tx1(t)

S2 : y2(t) = x2(t − 1)

S3 : y3(t) = x3(−2t).

(a) Determine a relacao entrada-saıda do sistema composto.

(b) Determine e esboce a saıda y(t) quando x(t) = u(t) − u(t − 1).

3 Considere o sistema S de entrada x(t) e saıda y(t) caracterizado por

y(t) =

∫ t

−∞x(s)ds.

Determine e esboce y(t) quando a entrada do sistema e

(a) x(t) = δ(t + 1) − 2δ(t − 1)

(b) x(t) = u(t + 2) − u(t − 1)

10

(c) x(t) = tu(t)u(1 − t)

4 Classifique os sistemas seguintes relativamente as qualidades de ter ou nao memoria, in-variancia no tempo, linearidade, causalidade e estabilidade.

(a) y(t) = ex(t)

(b) y[n] = x[n]x[n − 1]

(c) y(t) = x(t − 1) − x(1 − t)

(d) y[n] = x[2n]

5 Classifique cada um dos seguintes sistemas com entrada x e saıda y quanto a linearidadee invariancia no tempo

(a) y(t) = t2 x(t − 1)

(b) y[n] = x2[n − 2]

(c) y[n] = x[n + 1] − x[n − 1]

(d) y(t) = xi(t), onde xi(t) e a parte ımpar de x(t).

6 Considere um sistema em tempo contınuo de entrada x(t) e saıda y(t) = xp(t) (parte parde x(t)). Verifique quais as propriedades que este sistema possui.

7 Em cada caso identifique um sistema com as propriedades indicadas. Caso nao sejapossıvel, indique a razao.

(a) linear, em tempo discreto, estavel, com memoria e causal;

(b) nao causal e sem memoria;

(c) linear, instavel e sem memoria;

(d) nao linear, nao causal e invariante.

11

Folha 4

Sistemas lineares e invariantes em

tempo discreto

1 Considere um sistema linear e invariante no tempo para o qual a resposta ao sinal x[n] eo sinal y[n].

1

−1

x[n]

n−1 1

2 3

4

1

−1

y[n]

n−1

1 2

3 4

Determine a resposta deste sistema as entradas x1[n] e x2[n].

1

−1

x1[n]

n−3 −2 −1 1

2 3

4

1

2

−1

x2[n]

n−1 1

2 3 4 5

6

2 (a) Exprima o sinal da figura a custa de δ[n] e suas copias deslocadas.

1

2

−1

w[n]

n−2 −1

1 2

3

12

(b) Sabendo que a resposta de um sistema LTI a entrada δ[n] e um sinal h[n], determinea resposta z[n] deste sistema a entrada w[n].

(c) Sendo h[n] o sinal da figura, esboce z[n].

1

−1

h[n]

n−2

−1

1

2

3

3 Sabendo que a resposta de um SLIT a entrada δ[n] e(

12

)nu[n], determine a resposta do

sistema a entrada u[n].

4 Sabendo que a resposta de um SLIT a entrada u[n] e s[n] =(

13

)nu[n], determine a resposta

impulsional do sistema.

5 Calcule a convolucao y[n] entre os sinais x[n] e h[n] representados a seguir:

(a)

1

1 2 3 4−1

x[n]

n

1

−11 2 3−1−2

h[n]

n

(b)

−1 1

1

2−2−3 3

2

−4 n

x[n]

−1 1

1

2−2 3 4 5 6 n

h[n]

(c)

13

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12−1

x[n]

n

1

1 2 3−1

h[n]

n

6 Calcule (αnu[n]) ∗ (βnu[n]).

7 Considere um sistema linear e invariante em tempo discreto com resposta impulsionalh[n] =

(

12

)nu[n].

(a) O sistema e estavel? E tem memoria?

(b) Calcule a saıda do sistema quando a sua entrada e o sinal x[n] = u[n + 2]− u[n− 3].

8 Considere o sinal x[n] = 0.8nu[n] aplicado a entrada de um SLIT com resposta impulsionalh[n] = u[n + 1] − u[n − 2].

(a) Indique se este sistema e ou nao causal e estavel.

(b) Calcule o sinal de saıda do sistema.

14

Folha 5

Sistemas lineares e invariantes em

tempo contınuo

1 Considere um sistema linear e invariante no tempo para o qual a resposta ao sinal x(t) eo sinal y(t).

1

21 t

x(t)

1

21

y(t)

t

2

3 4

Calcule as respostas do sistema aos sinais x1(t) e x2(t).

1

t21

−1

3 4

x1(t)

21 t

2

1

−1

x2(t)

2 Em cada um dos casos, determine a convolucao entre os sinais indicados.

(a)

1

1−1

x(t)

t

1

1

h(t)

t

(b)

15

1−1

−1

v1(t)

t

21

2

t

v2(t)

3

1

3

(c)

1

1−1

x(t)

t

1

1

h(t)

t

(d)

1−1

1

v1(t)

t 1−1

v2(t)

t

1

2 3

3 Em cada caso determine y(t) = x(t) ∗ h(t):

(a) x(t) = e−2tu(t), h(t) = 3u(t).

(b) x(t) = e−2tu(t), h(t) = e−3tu(t).

(c) x(t) = e−2tu(t)u(4 − t), h(t) = u(t)u(3 − t).

(d) x(t) = cos(πt)u(t)u(1 − t), h(t) = u(t + 1)u(1 − t).

(e) x(t) = h(t) = sin(t)u(t).

4 Considere um sistema contınuo LTI, de entrada x(t), saıda y(t) e com resposta impulsionalh(t) = u(t) − u(t − 4).

(a) Este sistema e causal? E tem memoria? Justifique as respostas.

(b) Sabendo que x(t) = e−2tu(t) determine y(t).

5 Dois sistemas contınuos LTI, S1 e S2, com respostas impulsionais, respectivamente, h1(t)e h2(t) representadas na figura, sao ligados em serie para formar um sistema composto.

1

−1

1−1

h1(t)

t

1

1 2

h2(t)

t

(a) Determine e represente graficamente a resposta impulsional h(t) do sistema composto.

16

(b) Indique se o sistema composto e:

i. causal;

ii. estavel.

17

Folha 6

Serie de Fourier em tempo contınuo

1 Calcule os coeficientes da serie de Fourier dos seguintes sinais.

(a)

1

2

1 2 3 4 5−1−2−3

x(t)

t

(b)

1

−1

1 2 3 4−1−2

x(t)

t

2 Considere o sinal x(t) de perıodo 3, tal que x(t) = et, t ∈ [0, 3].

(a) Esboce x(t).

(b) Determine a expressao geral dos coeficientes da serie de Fourier de x(t).

3 Determine os coeficientes da serie de Fourier dos sinais

(a) x(t) = sin(2πt/T );

(b) y(t) = cos(2πt/T ).

4 Calcule os coeficientes da serie de Fourier do sinal v(t) =∣

∣sin(

2πT t

)∣

∣.

5 Os coeficientes da serie de Fourier de um sinal periodico x(t) com perıodo 4 sao

ak =

j k, |k| < 3

0, outros casos

18

Determine x(t).

6 Calcule a serie de Fourier do sinal v(t), representado a seguir.

t

1

v(t)

T−T T2

−T2

7 (a) Mostre que o sinal v(t)

v(t)

T1−T1 t

1

−T0

2T0

2T0−T0

tem como serie de Fourier v(t) =2T1

T0+

+∞∑

k=1

2 sin(kω0T1)

kπcos(kω0t), ω0 =

2π

T0.

(b) Atendendo a serie de Fourier de v(t), determine a serie de Fourier de:

i.

tT1−T1

v1(t)12−T0

2T0

2

−T0 T0

− 12

ii.

T1−T1 t−T0

2T0

2T0−T0

v2(t)

T1

2−T1

2

1

2

8 Determine os sinais x(t) que satisfazem simultaneamente as seguintes condicoes:

(a) x(t) e um sinal real;

(b) x(t) tem perıodo 4, e coeficientes da serie de Fourier ak;

(c) ak = 0, |k| > 1;

(d) o sinal y(t) com coeficientes de Fourier bk = e−jkπ/2a−k e real e ımpar;

(e) 14

∫ 40 |x(t)|2dt = 1

2 .

19

Folha 7

Transformada de Fourier em tempo

contınuo

1 Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais:

(a) x(t) = δ(t − 4).

(b)

1

1 2−1−2

x(t)

t

(c)f(t)

−T t

1

(d) f(t) = A

(e) f(t) = ejω0t

(f) f(t) = u(t)

(g) f(t) = u(t − 1) − u(t − 3)

(h) f(t) = cos(

2πT t

)

[u(t + T ) − u(t − T )]

(i) f(t) e periodico (perıodo T0)f(t)

−T1

1

tT0−T0 T1

(j)f(t)

1

−2 −1 t1

20

2 Sendo X(ω) a transformada de Fourier de x(t), exprima em funcao de X(ω) as transfor-madas dos seguintes sinais:

(a) x0(t) = x(2t)

(b) x1(t) = x(3t − 6)

(c) x2(t) = x(−3t − 6)

(d) x3(t) = d2

dt2x(t − 1)

(e) x4(t) = 2 d2x(t)dt2

+ 3 dx(t)dt − 5x(t)

(f) x5(t) = ej2tx(t)

(g) x6(t) = cos(3t)x(t)

(h) x7(t) = ej3tx(2t + 1)

3 O sinal f(t) tem a transformada de Fourier da figura.

ω1

∠F (ω)

1

2|F (ω)|

ω0−ω0

1

ω

Obtenha f(t) recorrendo as propriedades da transformada de Fourier.

4 Diga, com base na respectiva transformada de Fourier, se os sinais seguintes sao reais epares:

(a) X1(ω) = u(ω) − u(ω − 2)

(b) X2(ω) = A(ω)ejB(ω), em que A(ω) = sin(2ω)ω e B(ω) = 2ω + π

2

5 Sabendo que X(ω) = 21+ω2 e a transformada de Fourier do sinal x(t) = e−|t|, calcule a

transformada de Fourier do sinal te−|t|.

6 Determine a fase da transformada de Fourier do sinal representado na figura.

x(t)

t− 1

2

1

2

− 3

2

1

−1

7 Determine a parte imaginaria da transformada de Fourier do sinal da figura. (Sugestao:utilize as propriedades da transformada de Fourier.)

21

1

2

1 2 3 4−1−2−3−4

x(t)

t

8 Determine a transformada de Fourier de

(a) x(t) = e−|t|;

(b) y(t) = 21+t2

.

22

Folha 8

Analise de Fourier de SLITs

contınuos

1 Considere os SLITs caracterizados pelas seguintes respostas em frequencia. Determine,em cada caso, a saıda do sistema quando a entrada e o sinal x(t) = cos(t) + cos(

√3t).

(a) H(ω) = 1jω+1 ;

(b) H(ω) = 1jω ;

(c) H(ω) = jω;

(d) sistema passa baixo ideal com frequencia de corte ωc = 1.5;

(e) sistema passa alto ideal com frequencia de corte ωc = 2.

2 Considere o sinal periodico representado na figura.

1

2

1 2 3 4 5 6−1−2−3

x(t)

t

(a) Determine a expressao geral dos coeficientes ak do desenvolvimento em serie deFourier de x(t).

(b) Considere agora que x(t) e a entrada de um filtro passa-baixo ideal com frequenciade corte ωc = 2. Determine o sinal de saıda y(t) deste filtro.

3 Um dado sistema e caracterizado pela equacao diferencial

d2y(t)

dt2+ 4

dy(t)

dt+ 3y(t) =

dx(t)

dt+ x(t)

onde x(t) e a entrada do sistema e y(t) a saıda. Determine

(a) a resposta em frequencia do sistema;

(b) a resposta impulsional do sistema;

(c) a saıda do sistema quando x(t) = e−2t u(t).

23

4 Dois sistemas contınuos LTI, com respostas impulsionais h1(t) = e−2tu(t) e h2(t) =e−3tu(t), sao ligados em serie para constituırem um sistema composto, de resposta im-pulsional h(t).

(a) Determine a resposta impulsional h(t).

(b) O sistema composto pode ser descrito por uma equacao diferencial linear de coefi-cientes constantes. Determine-a.

(c) Determine o sinal de saıda do sistema composto quando o sinal de entrada e x(t) =e−2tu(t).

5 Considere um sistema contınuo LTI com resposta em frequencia

H(ω) =1

(jω)2 + 2√

2(jω) + 1+

1

(2 + jω)2.

(a) Determine a resposta impulsional do sistema.

(b) Determine um equacao diferencial linear de coeficientes constantes que relaciona aentrada x(t) e a saıda y(t) deste sistema.

6 Considere a associacao em serie de dois sistemas lineares e invariantes em tempo contınuo

S1 e S2, com entrada x(t) e saıda z(t). A resposta em frequencia de S1 e H1(ω) = 3+jω2+jω e

a resposta impulsional de S2 e h2(t) = e−3tu(t). Determine:

(a) a resposta em frequencia da serie dos dois sistemas;

(b) a equacao diferencial que relaciona a entrada x(t) e a saıda z(t);

(c) a saıda z(t) quando x(t) = e−3tu(t).

7 Considere o SLIT constituıdo pela seguinte associacao dos sub-sistemas S1, S2 e S3, car-acterizados, respectivamente por h1(t) = e−3tu(t), h2(t) = h1(t), H3(ω) = 2

jω+1 .

S1

S2

S3

x(t) y(t)

(a) Determine a resposta em frequencia, H(ω), do sistema global.

(b) Obtenha uma equacao diferencial que relaciona os sinais de entrada, x(t), e de saıda,y(t), do sistema global.

(c) Determine a resposta impulsional, h(t), do sistema global.

24

Folha 9

Serie de Fourier em tempo discreto

1 Determine os coeficiente da serie de Fourier dos seguintes sinais:

(a) x[n] = sin(

2πn5

)

;

(b) x[n] = δN [n] =∑+∞

m=−∞ δ[n − mN ];

(c) x[n] = 4δ4[n] + 8δ4[n − 1] =∑+∞

m=−∞ (4δ[n − 4m] + 8δ[n − 1 − 4m]).

2 Considere o sinal periodico representado na figura.

1

−1

x[n]

n

−4

−3 −2

−1

1

2

3 4

5

6 7

(a) Calcule os coeficientes da serie de Fourier do sinal.

(b) A partir destes coeficientes, determine a expressao temporal do sinal.

3 Considere um sinal x[n] real e ımpar de perıodo N = 7. Sabendo que os coeficientes deFourier a15, a16, a17 tem os seguintes valores:

a15 = j; a16 = 2j; a17 = 3j

Determine os coeficientes a0, a−1, a−2 e a−3.

4 Seja x[n] um sinal real e par, de perıodo N = 6 e com valor medio 1. Deste sinal saoconhecidos os seguintes coeficientes da sua expansao em serie de Fourier: a7 = −1, a4 = 0e a9 = 2.

(a) Determine a0, a1, a2, a3 e a5.

(b) Determine e represente o sinal x[n].

5 Considere o sinal x[n], que e real e par e tem perıodo 4. Este sinal tem x[0] = A, x[1] = Be x[2] = C.

25

(a) Supondo que A = 4, B = 2 e C = 0, determine

i. os coeficientes ak da sua serie de Fourier;

ii. a expressao do sinal.

(b) Admitindo agora que a11 = 1 e a10 = −1 e que 〈x[n]〉 = 0, determine A, B e C eesboce o sinal.

6 Determine o sinal x[n] que verifica simultaneamente as seguintes condicoes:

(a) x[n] e real e par e tem perıodo 6;

(b)∑5

n=0 x[n] = 2;

(c)∑7

n=2(−1)nx[n] = 1;

(d) x[0] = 5/2;

(e) a1 = 0.

26

Folha 10

Transformada de Fourier em tempo

discreto

1 Considere o sinal discreto da figura.

1

−1

x[n]

n−2 −1 1

2

3

(a) X(Ω).

(b) Represente graficamente |X(Ω)| e ∠X(Ω).

(c) Obtenha x[n] a partir de X(Ω).

2 Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais:

(a) x1[n] = δ[n − 1] + δ[n + 1]

(b) x2[n] =(

12

)n−1u[n − 1]

(c) x3[n] = a|n|, |a| < 1

(d) x4[n] =

1, |n| ≤ M

0, |n| > M

(e) x5[n] = cos(2πn/5)

(f) x6[n] = δN [n] =∑+∞

l=−∞ δ[n − lN ]

3 Calcule a transformada de Fourier do sinal da seguinte figura:

−1 1

1

2−2

x[n]

−3 3 4 5 6 n

27

4 Calcule a transformada de Fourier do sinal da figura e represente-a em modulo e fase.

−1 1

1

2−2

x[n]

3 4 5 6 n

5 Considere o sinal s[n] da figura.

1

−1

−2

s[n]

n−2 −1

1

2 3 4

(a) Determine S(Ω).

(b) Represente o modulo e a fase de S(Ω).

(c) Considere o sinal z[n] que e constituıdo pela repeticao de s[n] com perıodo N = 12.Determine o valor do coeficiente a15 da sua expansao em serie de Fourier.

6 Considere o sinal da figura.

1

2

x[n]

n−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

(a) Determine X(Ω).

(b) Considere o sinal y[n], com coeficientes de Fourier ak, o qual e obtido por repeticaode x[n] com perıodo N = 8.

i. determine a relacao entre a1 e a7, sem calcular estes valores;

ii. obtenha ak;

iii. determine e esboce Y (Ω).

7 Calcule a transformada inversa de X(Ω):

X(Ω) =

2j , 0 < Ω ≤ π−2j , −π < Ω ≤ 0

28

8 Sabendo que x[n] tem como transformada de Fourier X(Ω), calcule as transformadas dosseguintes sinais em funcao de X(Ω):

(a) x1[n] = x[1 − n] + x[−1 − n]

(b) x2[n] = (n − 1)2x[n]

29

Folha 11

Analise de Fourier de SLITs

discretos

1 Um SLIT de entrada x[n] e saıda y[n] e descrito pela equacao y[n] − 0.25y[n − 1] = x[n].Determine os coeficientes da serie de Fourier do sinal de saıda e a sua expressao quando aentrada e:

(a) x[n] = sin(

3πn4

)

;

(b) x[n] = cos(

πn4

)

+ 2 cos(

πn2

)

;

2 Considere os SLITs caracterizados pelas seguintes respostas em frequencia. Determine emcada caso a saıda do sistema quando a entrada e o sinal x[n] = cos

(

πn5

)

+ cos(

2πn5

)

.

(a) sistema passa baixo ideal com frequencia de corte π/3;

(b) sistema passa alto ideal com frequencia de corte π/2.

3 Repita a alınea (a) do exercıcio anterior, considerando agora o sinal de entrada da figura.Esboce o sinal de saıda.

1

x[n]

n−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

4 Um sistema discreto LTI e caracterizado pela equacao

8y[n] − 6y[n − 1] + y[n − 2] = 3x[n] − x[n − 1]

onde x[n] e a entrada do sistema e y[n] a saıda. Determine

(a) a resposta em frequencia do sistema;

(b) a resposta impulsional do sistema;

(c) a saıda do sistema quando a entrada e x[n] =(

13

)nu[n].

30

5 Considere os sinais

1

−1

−2

s[n]

n−2 −1

1

2 3 4

1

2

1 2 3 4 5−1

x[n]

n

(a) Sabendo que s[n] e a resposta indicial de um sistema discreto LTI, determine a suaresposta impulsional.

(b) Admitindo que x[n] e a entrada do referido sistema, determine a sua saıda.

6 A resposta em frequencia de um sistema discreto LTI e

H(Ω) =6

(

5 − 2e−jΩ)

e−j2Ω − 5e−jΩ + 6.

Determine

(a) uma equacao as diferencas que relacione a entrada e a saıda do sistema;

(b) a resposta impulsional do sistema;

(c) a resposta indicial do sistema;

(d) a saıda y[n] quando a entrada e x[n] =(

14

)nu[n].

7 Considere um sistema discreto descrito pela seguinte equacao as diferencas:

y[n] = x[n] − x[n − 8]

Represente graficamente a sua resposta em frequencia.

8 Considere um sistema S obtido como a associacao em paralelo dos sub-sistemas S1 e S2.O sistema S e caracterizado pela resposta em frequencia

H(Ω) =19e−j2Ω − 7

6e−jΩ + 2(

19e−j2Ω − 2

3e−jΩ + 1) (

1 − 12e−jΩ

) ,

e a resposta impulsional de S1 e h1[n] =(

12

)nu[n].

(a) Determine a reposta em frequencia de S2.

(b) Obtenha a resposta impulsional de S2.

(c) Sabendo que a entrada do sistema S e o sinal x[n] =(

12

)nu[n], determine as saıdas

dos subsistemas S1 e S2, bem como a saıda do sistema S.

9 Considere a associacao em serie de dois sistemas lineares e invariantes em tempo discretoS1 e S2, como se mostra na figura.

1S 2S x[n] y[n] z[n]

31

A entrada e a saıda do sistema S1 estao relacionadas por y[n] + 0.5y[n − 1] = x[n], e aresposta em frequencia do sistema S2 e

H2(Ω) =1 + 0.5e−jΩ

1 − 0.25e−jΩ.

(a) Determine as respostas impulsionais dos sistemas S1 e S2.

(b) Obtenha uma equacao as diferencas que relacione x[n] com z[n].

(c) Determine z[n] quando x[n] =(

13

)nu[n].

32

Folha 12

Transformada de Laplace

1 Diga qual e a regiao de convergencia da transformada de Laplace dos seguintes sinais:

(a) x1(t) = e−5tu(t)

(b) x2(t) = e−5tu(−t)

(c) x3(t) = e−5t[u(t + 5) − u(t − 5)]

(d) x4(t) = e−5t

(e) x5(t) = e−5|t|

(f) x6(t) = e−5|t|u(−t)

2 Considere o sinal x(t) = e−5tu(t) + e−βtu(t) que tem a transformada de Laplace X(s).Quais deverao ser as restricoes impostas a parte real e a parte imaginaria de β para que aregiao de convergencia de X(s) seja <es > −3?

3 Quantos sinais tem uma transformada de Laplace que pode ser expressa por:

X(s) =s − 1

(s + 2)(s + 3)(s2 + s + 1)?

4 Considere a seguinte transformada de Laplace do sinal h(t):

H(s) =2s + 5

s2 + 5s + 6<es > −2.

(a) Determine h(t).

(b) Sendo h(t) a resposta impulsional de um SLIT, determine a equacao diferencial queo caracteriza.

(c) A que e igual a transformada de Laplace do sinal s(t) =∫ t−∞ h(τ)dτ?

5 Um SLIT contınuo tem uma funcao de sistema (transformada de Laplace da respostaimpulsional) com expressao funcional dada por

X(s) =s2 + 5s + 4

(s2 + 4s + 5)(s − 1).

(a) Represente o diagrama de polos e zeros da funcao de sistema.

33

(b) Qual deve ser a regiao de convergencia de X(s) para que o sistema tenha resposta emfrequencia definida (isto e, exista a transformada de Fourier da resposta impulsional)?

(c) Determine o valor do modulo da resposta em frequencia, para ω = 1, a partir dodiagrama de polos e zeros de X(s).

6 O sinal f(t) =

t2, |t| ≤ 1

0, |t| > 1tem transformada de Laplace dada por

F (s) =s2 + 2

s3

(

es − e−s)

− 2

s2

(

es + e−s)

.

(a) Qual e a regiao de convergencia?

(b) Qual e a transformada de Laplace do sinal y(t) =∫ t−∞ f(2τ)dτ?

34

Folha 13

Transformada Z

1 Calcule a transformada Z do seguinte sinal:

x[n] =

(

1

5

)n

u[n − 3].

2 Considere a seguinte transformada Z:

X(z) =1 − 1

4z−2

(

1 + 14z−2

) (

1 + 54z−1 + 3

8z−2) .

Represente os polos e os zeros no plano z e diga quantas regioes de convergencia se podemdefinir.

3 Considere o sinal x[n] com a seguinte transformada Z

X(z) =z

4z2 − 5z + 1, |z| > 1.

(a) Determine x[n].

(b) Determine a transformada Z do sinal y[n] =∑n

k=−∞ x[k − 1].

4 Um SLIT discreto e caracterizado pela seguinte equacao as diferencas:

y[n] + 2.5y[n − 1] + y[n − 2] = x[n] − x[n − 1].

(a) Determine a funcao de transferencia do sistema, H(z).

(b) Represente o diagrama de polos e zeros de H(z).

(c) Que regiao de convergencia se deve associar a H(z), sabendo que h[n] tem transfor-mada de Fourier?

35

Folha 14

Amostragem

1 Considere o sinal x(t) com espectro X(ω) = u(ω + ω0) − u(ω − ω0), o qual e amostrado afrequencia ωs. Esboce o espectro do sinal amostrado quando

(a) ωs = 3ω0;

(b) ωs = 1.5ω0.

2 Considere um sinal x(t) com frequencia de Nyquist ωN . Indique a frequencia de Nyquistdos seguintes sinais:

(a) 3x(t)

(b) x(t − 3)

(c) x(3t)

(d) x(2t + 1)

(e) x(t) ∗ x(t) ∗ x(t)

(f) x3(t)

(g) x(t) sin(2ωN t)

3 Determine a frequencia de Nyquist para os seguintes sinais

(a) cos(20πt)

(b) 1 + sin(30πt) + 3 cos(50πt)

(c) cos2(100πt)

(d) sinc(50t)

(e) sinc(20t) sin(50πt)

(f) sinc2(20t)

(g) sinc(t/4) ∗ δ20(t)

(h) sinc(t)δ0.1(t)

4 Considere o sinal x(t) = 10 cos(20πt).

(a) Suponha que este sinal e amostrado a frequencia angular ωs = 50π.

i. Determine o espectro do sinal amostrado.

36

ii. Obtenha a expressao temporal e o perıodo do sinal em tempo discreto formadopelas amostras de x(t).

iii. Determine o sinal que se obtem passando o sinal amostrado por um filtro passabaixo ideal com ganho unitario e frequencia de corte igual a metade da frequenciade amostragem.

(b) Repita a alınea anterior considerando agora uma frequencia (angular) de amostragemde 30π.

37

Anexo 1

Decomposicao em Fraccoes Simples

Dada uma funcao G(x), fraccao propria de dois polinomios, e supondo que o denominador temraızes ρ1, ρ2, . . ., ρr, distintas, e de multiplicidade σ1, σ2, . . ., σr, respectivamente, ou seja,

G(x) =P (x)

(x − ρ1)σ1(x − ρ2)σ2 · · · (x − ρr)σr,

e possıvel escreve-la como uma soma de fraccoes, na forma

G(x) =r

∑

i=1

σi∑

k=1

Ai,k

(x − ρi)k,

isto e,

G(x) =A1,1

x − ρ1+

A1,2

(x − ρ1)2+ · · · + A1,σ1

(x − ρ1)σ1+

+A2,1

x − ρ2+

A2,2

(x − ρ2)2+ · · · + A2,σ2

(x − ρ2)σ2+

+ · · ·+Ar,1

x − ρr+

Ar,2

(x − ρr)2+ · · · + Ar,σr

(x − ρr)σr,

sendo os coeficientes Ai,k determinados pela expressao

Ai,k =1

(σi − k)!

[

dσi−k

dxσi−k[(x − ρi)

σi G(x)]

]

∣

∣

x=ρi

.

1 Decomponha as seguintes funcoes em fraccoes simples.

(a) H(x) = x(x−2)(x−3)

(b) F (x) = x+1x2−5x+4

(c) F (x) = 1(x−3)2(x−1)

(d) G(x) = 1(x−1)3(x+2)

(e) H(x) = x(1−3x)(1−2x)

(f) H(x) = 2x−5(1−3x)2(1−2x)

38