7/26/2019 Exerccio lgebra Linear Fabiano Pablo

1/3

Universidade Federal do Maranhao

Centro de Ciencias Exatas e Tecnologia

Departamento de Matematica

Curso de Fsica

Disciplina: Algebra Linear Professor: Fabiano Pablo

PRIEMEIRA LISTA DE EXERCICIOS

1. Mostre que (x + iy)n (x iy)n = x2 + y2n; como aplicacao escreva a forma binonica (par orde-nado) o numero complexo

1 i1 + i

30

.

2. Demonstre que

|+ |2 + | |2 = 2 ||2 + 2 ||2 ,

quaisquer que sejam os numeros complexos e .

3. Reduza os numeros complexosz1e z2abaixo a forma trigonometrica e determine as representacoes

trigonometricas de z1z2 e z1

z2.

a) z1=

3 + 3i, z2=3 i3

2

b) z1= 1 i, z2 =1 + i

3

4. Prove que tres numeros complexos sao os vertices de um triangulo equilatero inscrito em um

crculo unitario de centro na origem se, e somente se sao de modulo 1 e a sua soma e zero.

5. Calcule as razes abaixo e represente graficamente.

a)4;

b) 3i;

c)

1 + 2i

6.

6. Determine um valor de arg(z) quando:

a) z = 21 i3 ;

7/26/2019 Exerccio lgebra Linear Fabiano Pablo

2/3

b) z= i

2 2i ;

c) z =

3 i6 .7. Mostre que (1 + i)7 =8 (1 + i) . (sugestao: use a forma polar.)

8. Encontre todas as razes da equacao z4 + 4 = 0.

9. Seja V =R2 . Definamos:

(x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 2y1,x1+ y1)a(x, y) = (3ay, ax)

Com essas operacoes definidas sobre V, perguntamos se este conjunto e um espaco vetorial sobre

R.

10. Mostre que os seguintes conjuntos de R4 sao subespacos

a) W =

(x, y , z , t)R4| x + y= 0 e z t= 0b) U=

(x, y , z , t)R4| 2x + y t= 0 e z= 0

11. Responda se os subconjuntos abaixo sao subespacos de M(2, 2). Em caso afirmativo exiba gera-

dores.

a) V = a b

c d

com a,b, c, dR e b= c

b) W =

a b

c d

com a, b, c, dR e b= c + 1

12. Seja V =R2, e seja Wum subespaco gerado por (2, 1). Seja Uum subespaco gerado por (0, 1).

Mostre que V e soma direta de W e U.

13. Verifique se os vetores sao L.I ou L.D.

a) (1, 1, 1) e (0, 1,2)b) (1, 1, 0) e (0, 1, 2)

c) (1, 1, 0), (1, 1, 1, ), e (0, 1,1)

d) (0, 1, 1, ), (0, 2, 1) e (1, 5, 3).

14. Expresse o vetor X como combinacao linear dos vetores A, B e C, onde

X= (1, 1, 1), A= (0, 1,1), B = (1, 1, 0), C= (1, 0, 2)

15. Sejam (a, b) e (c, d) dois vetores no plano. Se ad bc = 0, mostre que os vetores sao L.Ds. Sead bc= 0, mostre que os vetores sao L.Is.

2

7/26/2019 Exerccio lgebra Linear Fabiano Pablo

3/3

16. No espaco vetorial R3 considere a seguinte base B ={(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (1,1, 1)} .Determine ovetor coordenada devR3 em relacao a base B se:

a) v= (2,3, 4)

b) v= (3, 5, 6)

c) v= (1,

1, 1)

17. Seja A={3, 2x,x2} uma base de P2. Determine o vetor coordenada de v = 6 4x+ 3x2 emrelacao a base A.

18. Determinar a dimensao e uma base para cada um dos seguintes espacos vetoriais:

a){(x, y , z)R3| y= 3x}

b){(x, y , z)R3| y = 5x e z = 0}

c){(x, y)R2| x + y= 0}

d){(x, y , z)R3| 2x y+ 3z= 0}

e)

a b

c d

; b= a + c e d= c

f)

a b

c d

; c= a 3b e d= 0

g)

a b

c d

; a + d= b + c19. Seja V =R4. Verifique se S={(x, x + y,y, 2x + 3y); x, yR} e um subespaco de V.

20. Seja S= [(1, 2,1), (3, 0, 1)] e W = [(1, 1, 0), (2, 1, 3)] subespacos do R3. Ache um vetor naonulo pertencente a SW.

21. Ache as coordenadas do vetor v= (2, 3) do R2 relativas a base e1= (1,1) e e2= (3, 5).

3