Exames Nacionais

1. Seja W o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos (A ƒ W e B ƒ W) .

Sabe ‑se que:

•A e B são acontecimentos independentes;

•P (A) = 710

;

•P (A ∂ B) = 34

.

Qual é o valor de P (B) ?

(A) 514

(B) 914

(C) 920

(D) 1120

2. Para assistirem a um espetáculo, o João, a Margarida e cinco amigos sentam ‑se, ao acaso, numa fila com sete lugares.

Qual é a probabilidade de o João e a Margarida não ficarem sentados um ao lado do outro?

(A) 2 * 5!7!

(B) 5!7!

(C) 27

(D) 57

Prova Escrita de Matemática A12.° Ano de Escolaridade

Prova 635/1.ª Fase

Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos

2012

Decreto ‑Lei n.° 74/2004, de 26 de março

ExAME nAcionAl do Ensino sEcundÁrio

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta.

Escreva, na folha de resposta:

• o número do item;

• a letra que identifica a única opção escolhida.

Não apresente cálculos, nem justificações.

Grupo I

Cotações5

5

1.a Fase – 2012

3. Numa caixa com 12 compartimentos, pretende ‑se arrumar 10 copos, com tamanho e forma iguais: sete brancos, um verde, um azul e um roxo. Em cada compartimento pode ser arrumado apenas um copo.

De quantas maneiras diferentes se podem arrumar os 10 copos nessa caixa?

(A) 12A7 * 3! (B) 12A7 * 5C3 (C) 12C7 * 5A3 (D) 12C7 * 12A3

4. Seja f uma função de domínio R , definida por f (x) = ex ‑ 3 .

Em qual dos intervalos seguintes o Teorema de Bolzano permite afirmar que a equação

f (x) = ‑ x ‑ 32

tem, pelo menos, uma solução?

(A) d 0 , 15c (B) d 1

5 , 1

4c (C) d 1

4 , 1

3c (D) d1

3 , 1 c

5. Na figura 1, está representada, num referencial o. n. xOy , parte do gráfico de uma função g , de

domínio 3a , + ? 3 , com a < ‑ 13

.

Para esse valor de a , a função f , contínua em R , é definida por:

f (x) = { log3 a‑ x ‑ 13b se x < a

g (x) se x ≥ a

Qual é o valor de a ?

(A) ‑ 283

(B) ‑ 253

(C) ‑ 193

(D) ‑ 83

6. Na figura 2, está representada, num referencial o. n. xOy , parte do gráfico de uma função f , de domínio R .

Sejam f' e f'' , de domínio R , a primeira derivada e a segunda derivada de f , respetivamente.

Qual dos valores seguintes pode ser positivo?

(A) f' (1) (B) f' ( ‑ 3) (C) f'' ( ‑ 3) (D) f'' (1)

x

g

a

2

y

O

Figura 1

x

f

2

-2

-2-3-4-5

1

-1

-1 1 2

y

O

Figura 2

5

5

5

5

Exames Nacionais

7. Na figura 3, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos: w , z1 , z2 , z3 e z4 .

Qual é o número complexo que pode ser igual a w3i

?

(A) z1

(B) z2

(C) z3

(D) z4

8. Na figura 4, está representada, a sombreado, no plano complexo, parte de uma coroa circular.

Sabe ‑se que:

•O é a origem do referencial;

•opontoQ é a imagem geométrica do complexo ‑ 1 + i ;

•aretaPQ é paralela ao eixo real;

•ascircunferênciastêmcentronaorigem;

•osraiosdascircunferênciassãoiguaisa3ea6.

Considere como arg (z) a determinação que pertence ao intervalo [ ‑ p , p[ .

Qual das condições seguintes pode definir, em C , conjunto dos números complexos, a região a sombreado, incluindo a fronteira?

(A) 3 ≤ | z | ≤6‹ ‑ p ≤ arg (z ‑ 1 + i) ≤ 3p4

(B) 9 ≤ | z | ≤36‹ ‑ p ≤ arg (z + 1 ‑ i) ≤ 3p4

(C) 3 ≤ | z | ≤6‹ ‑ p ≤ arg (z + 1 ‑ i) ≤ 3p4

(D) 9 ≤ | z | ≤36‹ ‑ p ≤ arg (z ‑ 1 + i) ≤ 3p4

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

Grupo II

1. Em C, conjunto dos números complexos, considere z1 = (‑ 2 + i)3 e z2 =1 + 28i

2 + i .

1.1. Resolva a equação z3 + z1 = z2 , sem recorrer à calculadora.

Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

1.2. Seja w um número complexo não nulo.

Mostre que, se w e 1w são raízes de índice n de um mesmo número complexo z , então

z = 1 ou z = ‑ 1 .

O

Im (z)

w

z4

z1

z2

z3

Re (z)

O

R

P Q

Im (z)

Re (z)

Figura 3

Figura 4

5

5

15

15

1.a Fase – 2012

2. Numa escola, realizou ‑se um estudo sobre os hábitos alimentares dos alunos. No âmbito desse estudo, analisou ‑se o peso de todos os alunos.

Sabe ‑se que:

•55%dosalunossãoraparigas;

•30%dasraparigastêmexcessodepeso;

•40%dosrapazesnãotêmexcessodepeso.

2.1. Escolhe ‑se, ao acaso, um aluno dessa escola.

Determine a probabilidade de o aluno escolhido ser rapaz, sabendo que tem excesso de peso.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

2.2. Considere agora que a escola onde o estudo foi realizado tem 200 alunos.

Pretende ‑se escolher, ao acaso, três alunos para representarem a escola num concurso.

Determine a probabilidade de serem escolhidos duas raparigas e um rapaz.

Apresente o resultado com arredondamento às centésimas.

3. Num saco estão cinco bolas, indistinguíveis ao tato, cada uma delas numerada com um número diferente: ‑ 2 , ‑ 1 , 0 , 1 e 2 .

Extraem ‑se, ao acaso e em simultâneo, quatro bolas do saco.

Seja X a variável aleatória “Produto dos números inscritos nas bolas extraídas”.

A tabela de distribuição de probabilidades da variável X é a seguinte.

xi 0 4

P (X = xi)45

15

Elabore uma composição na qual:

•expliqueosvaloresdavariávelX ;

•justifiquecadaumadasprobabilidades.

4. Considere a função f , de domínio R , e a função g , de domínio 4 0 , + ? 3 , definidas por:

f (x) = ex‑2 ‑ 4e‑x + 4e2 e g (x) = ‑ In (x) + 4 .

4.1. Mostre que In (2 + 2"2) é o único zero da função f , recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

4.2. Considere, num referencial o. n. xOy , os gráficos das funções f e g e o triângulo [OAB] .

Sabe ‑se que:

•O é a origem do referencial;

•A e B são pontos do gráfico de f ;

•aabcissadopontoA é o zero da função f ;

•opontoB é o ponto de interseção do gráfico da função f com o gráfico da função g .

15

10

15

15

15

Exames Nacionais

Determine a área do triângulo [OAB] , recorrendo à calculadora gráfica.

Na sua resposta, deve:

•reproduzirosgráficosdasfunçõesf e g , devidamente identificados, incluindo o referencial;

•assinalarospontosA e B ;

•indicar a abcissa do ponto A e as coordenadas do ponto B com arredondamento às centésimas;

•apresentarovalordaáreapedidacomarredondamentoàsdécimas.

5. Considere a função f , de domínio R , definida por:

f (x) = {x In (x + 1) ‑ x In(x) + 3x se x > 0xe1‑x se x ≤ 0

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

5.1. Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

5.2. Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa x = ‑ 1 .

6. Na figura 5, está representado um trapézio retângulo [ABCD] .

Sabe ‑se que:

•BC = 1 ;

•CD = 1 ;

•a é a amplitude, em radianos, do ângulo ADC ;

•a å d p2

, p c .

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

6.1. Mostre que o perímetro do trapézio [ABCD] é dado, em função de a , por:

P (a) = 3 + 1 ‑ cos asin a

6.2. Para um certo número real q , tem ‑se que tg q = ‑ "8 , com p2< q < p .

Determine o valor exato de P' (q) .

Comece por mostrar que P'(a) = 1 ‑ cos asin2 a

.

FIM

A B

CD

Figura 5

15

15

15

15

Sugestão de resoluçãoC

PEN

_MA

12©

Port

o Ed

itora

Grupo I

1. Se A e B são acontecimentos independentes, então P (A © B) = P (A) * P (B)

Se P (A) = 710

, então P (A) = 1 ‑ 710

= 310

; P (A ∂ B) = 34

Substituindo estes valores na expressão P (A ∂ B) = P (A) + P (B) ‑ P (A © B) , temos:

34= 3

10+ P (B) ‑ P (A) * P (B) § 3

4‑ 3

10= P (B) ‑ 3

10* P (B)

§ 920

= 710

* P (B) § P (B) = 920

* 107

§ P (B) = 914

Resposta: (B)

2. Número de casos possíveis: P7 = 7!

Número de casos favoráveis ao acontecimento contrário:

2! * 5! * 6

Número de posições que o par formado pelo João e pela Margarida pode ocupar (no início da fila, no fim, ou entre os cinco amigos).

Número de maneiras de ordenar os cinco amigos.

Pode ficar João – Margarida ou Margarida – João

Probabilidade pedida:

P = 1 ‑ 2! * 5! * 67!

= 1 ‑ 27= 5

7

Resposta: (D)

3. 12C7 * 5A3

Número de maneiras de, nos restantes cinco compartimentos, arrumar os três copos de cores diferentes.

Número de maneiras de, nos 12 compartimentos disponíveis, escolher sete lugares para os copos brancos

Resposta: (C)

4. f (x) = ‑ x ‑ 32

§ ex ‑ 3 = ‑ x ‑ 32

§ ex ‑ 3 + x + 32= 0 § ex + x ‑ 3

2= 0

Seja h a função definida em R por h (x) = ex + x ‑ 32

.

h é contínua em R . Logo, h é contínua em qualquer intervalo de números reais.

h (0) = e0 + 0 ‑ 32= ‑ 0,5 ; h a1

5b = e

15 + 1

5‑ 3

2) ‑ 0,08 ; h a1

4b = e

14 + 1

4‑ 3

2) 0,03

h é contínua em c15

, 14d e h a1

5b * h a1

4b < 0 . Logo, pelo Teorema de Bolzano, h admite pelo menos um zero

no intervalo d 15

, 14c , ou seja, a equação f (x) = ‑ x ‑ 3

2 admite pelo menos uma solução nesse intervalo.

Resposta: (B)

Sugestão de resolução

CPEN

_MA

12©Porto Editora

5. Se f é contínua em R então f é contínua no ponto a . Logo, limx " a ‑

f (x) = limx " a +

f (x) = f (a) .

limx " a ‑

f (x) = limx " a +

f (x) § limx " a ‑

clog3 a‑ x ‑ 13bd = 2 § log3 a‑ a ‑ 1

3b = 2 § ‑ a ‑ 1

3= 32 § a = ‑ 28

3

Resposta: (A)

6. Por análise do gráfico da função f verifica ‑se que ‑ 3 pertence a um intervalo onde a concavidade pode ser vol‑tada para cima. Logo, f '' ( ‑ 3) pode ser um número real positivo.

Resposta: (C)

7. Seja w = r cis q .

z = w3i

= r cis q

3 cis p2

= r3

cis aq ‑ p2b

O módulo de w3i

é a terça parte do módulo de w e se q é um argumento de w ,

q ‑ p2

é um argumento de w3i

.

Entre os números complexos cujas imagens se apresentam, apenas z1 pode ser igual a w3i

.

Resposta: (A)

8. A região sombreada pode ser definida pela seguinte condição em C :

3 ≤ | z | ≤ 6 ‹ ‑ p ≤ arg (z ‑ (‑ 1 + i)) ≤ 3p4

§ 3 ≤ | z | ≤ 6 ‹ ‑ p ≤ arg (z + 1 ‑ i) ≤ 3p4

Resposta: (C)

Grupo II

1. z1 = (‑ 2 + i)3 ; z2 =1 + 28i

2 + i

1.1. z1 = (‑ 2 + i)3 = (‑ 2 + i)2 * (‑ 2 + i) = (4 ‑ 4i + i2) * (‑ 2 + i) = (4 ‑ 4i ‑ 1) * (‑ 2 + i) =

= (3 ‑ 4i) * (‑ 2 + i) = ‑ 6 + 3i + 8i ‑ 4i2 = ‑ 6 + 11i + 4 = ‑ 2 + 11i

z2 =1 + 28i

2 + i =

(1 + 28i) (2 ‑ i)(2 + i) (2 ‑ i)

= 2 ‑ i + 56i ‑ 28i2

22 ‑ i2 = 2 ‑ i + 56i + 284 + 1

= 30 + 55i5

= 6 + 11i

z3 + z1 = z2 § z3 ‑ 2 + 11i = 6 + 11i § z3 = 8 § z = "3 8 § z = "3 8 cis 0 §

§ z = "3 8 cis 0 + 2kp3

, k å {0 , 1 , 2} § z = 2 cis 2kp3

, k å {0 , 1 , 2} §

§ z = 2 cis 0 › z = 2 cis 2p3

› z = 2 cis 4p3

1.2. Se w e 1w são raízes de índice n do mesmo número complexo z , então w n = a 1

wbn

= z .

wn = a 1wb

n

§ w n = 1w n

w n 0 0

§ (w n)2 = 1 § w n = 1 › w n = ‑ 1

Dado que w n = z , temos z = 1 › z = ‑ 1 .

w

O

p2-

Im (z)

z1

Re (z)

CPE

N_M

A12

©Po

rto

Edito

ra

1.a Fase – 2012

2. Sejam os acontecimentos:

F : “O aluno escolhido é rapariga”

G : “O aluno escolhido tem excesso de peso”

É dado que: P (F) = 0,55 ; P (G | F ) = 0,3 ; P (G | F ) = 0,4

2.1. Pretende ‑se determinar P (F | G) = P (F © G)P (G)

.

P (F ) = 1 ‑ 0,55 = 0,45

P (G | F ) = 1 ‑ 0,4 = 0,6

P (F © G) = P (F ) * P (G | F ) = 0,45 * 0,6 = 0,27

P (G) = P (F © G) + P (F © G) = P (F) * P (G | F ) + P (F ) * P (G | F ) = = 0,55 * 0,3 + 0,45 * 0,6 = 0,435

Logo, P (F | G) = P (F © G)P (G)

= 0,270,435

= 1829

.

2.2. Número de alunos: 200

Número de raparigas: 0,55 * 200 = 110

Número de rapazes: 200 ‑ 110 = 90

Número de casos possíveis: 200C3

Número de casos favoráveis: 110C2 * 90C1 = 110C2 * 90

Probabilidade pedida: P =110C2 * 90

200C3

) 0,41

3. Ao serem extraídas quatro das cinco bolas que estão no saco apenas se pode verificar uma das seguintes situações:

•umadasquatrobolasextraídastemonúmero0e,nestecaso,oprodutodosnúmerosinscritosnasbolasextraídasé igual a 0 ;

•asquatrobolastêm,respetivamente,osnúmeros ‑ 2 , ‑ 1 , 1 e 2 pelo que o produto dos números inscritos nas bolas extraídas é igual a 4 ;

Logo, a variável aleatória X apenas pode tomar os valores 0 ou 4 .

Nesta experiência aleatória o número de casos possíveis é igual a 5C4 = 5 (número de maneiras de nas cinco bolas escolher quatro).

Para o cálculo da probabilidade de X tomar o valor 0 , o número de casos favoráveis é igual a 4C3 = 4 (número de maneiras de escolher três bolas entre as quatro que têm números diferentes de zero).

Logo, P (X = 0) =4C35C4

= 45

.

O número de casos favoráveis para que a variável X tome o valor 4 é igual a 4C4 = 1 (número de maneiras de esco‑lher quatro bolas entre as quatro que têm números diferentes de zero).

Portanto, P (X = 4) =4C45C4

= 15

.

G

F

0,3

G

0,4

0,60,45

0,55

F–

G–

G–

Sugestão de resolução

CPEN

_MA

12©Porto Editora

4. f (x) = ex‑2 ‑ 4e‑x + 4e2 ; g (x) = ‑ In (x) + 4

4.1. f (x) = 0 § ex‑2 ‑ 4e‑x + 4e2 = 0 § e2 * ex‑2 ‑ 4e‑x ‑ 4 = 0 § ex ‑ 4e‑x ‑ 4 = 0 §

§ ex ‑ 4ex ‑ 4 = 0 § (ex)2 ‑ 4 * ex ‑ 4 = 0 § ex = 4 ¿ "(‑ 4)2 ‑ 4 * (‑ 4)

2 §

§ ex = 4 ¿ "322

§ ex = 4 ¿ 4"22

§ ex = 2 ‑ 2"2 › ex = 2 + 2"2 §

§ x å O › x = In (2 + 2"2) § x = In (2 + 2"2)

4.2. Recorrendo à calculadora gráfica determinaram ‑se as coordenadas do ponto B , interseção dos gráficos de f e g . Com aproximação às centésimas as coordenadas de B são (3,22 ; 2,83).

A abcissa do ponto A é o zero de f . Logo, a abcissa de A é In (2 + 2"2) ) 1,57 .

Tomando para base do triângulo [OAB] o lado [OA] tem ‑se OA ) 1,57 e, neste caso, a altura do triângulo é a ordenada do ponto B , ou seja, aproximadamente igual a 2,83 . Portanto, área do triângulo [OAB] é, com aproximação às décimas, igual a

1,57 * 2,83

2) 2,2 .

5. f (x) = {x In (x + 1) ‑ x In (x) + 3x se x > 0x e1‑x se x ≤ 0

; Df = R

5.1. Quando x " - ? :

Seja y = mx + b uma equação da assintota do gráfico de f quando x " ‑ ? , caso exista.

m = limx " ‑?

f (x)x = lim

x " ‑?

xe1‑x

x = limx " ‑?

e1‑x = e+? = + ?

Como m ∫ R , o gráfico de f não tem assintota quando x " ‑ ? .

Quando x " + ? :

Seja y = mx + b uma equação da assintota do gráfico de f quando x " + ? , caso exista.

m = limx " +?

f (x)x = lim

x " +?

x In(x + 1) ‑ x In (x) + 3xx = lim

x " +?(In (x + 1) ‑ In (x) + 3) =

= limx " +?

cIn ax + 1x bd + 3 = lim

x " +? cIn a1 + 1

x bd + 3 = In (1 + 0) + 3 = 0 + 3 = 3

b = limx " +?

3f (x) ‑ mx4 = limx " +?

3x In (x + 1) ‑ x In (x) + 3x ‑ 3x4 =

= limx " +?

3x (In (x + 1) ‑ In (x))4 = limx " +?

cx In ax + 1x bd = lim

x " +?

In a1x + 1b1x

Fazendo y = 1x , se x " + ? então y " 0 e lim

x " +?

In a1x + 1b1x

= limy" 0

In (y + 1)y = 1 .

A reta de equação y = 3x + 1 é assintota do gráfico de f quando x " + ? .

y

O A

B

g

2,83

3,22

f

x

ex > 0 , Ax å R

¡

CPE

N_M

A12

©Po

rto

Edito

ra

1.a Fase – 2012

5.2. Seja y = mx + b uma equação da reta t , tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa ‑ 1 .

Ponto de tangência: (‑ 1 , ‑ e2) (f (‑ 1) = ‑ 1 * e1+1 = ‑ e2)

Declive da reta t :

Para x < 0 temos:

f ' (x) = (x e1‑x)' = x' e1‑x + x (e1‑x)' = e1‑x + x (‑ e1‑x) = e1‑x (1 ‑ x)

m = f ' (‑ 1) = e1+1 (1 + 1) = 2e2

Substituindo o valor de m e as coordenadas do ponto de tangência na equação y = mx + b , vem:

‑ e2 = 2e2 * (‑ 1) + b § b = e2

y = 2e2 x + e2 é uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa ‑ 1 .

6.

6.1. Consideremos, no trapézio [ABCD] , o ponto E , pertencente ao lado [AB] , tal que DE é perpendicular a AB . Temos então que o triângulo [AED] é retângulo em E , DE = BC = 1 e EB = DC = 1 .

•AEDE

= tg aa ‑ p2b § AE

1=

sin aa ‑ p2b

cos aa ‑ p2b

§ AE =‑ sin ap

2‑ ab

cos ap2‑ ab

§ AE = ‑ cos asin a

•DEDA

= cos aa ‑ p2b § 1

DA= cos ap

2‑ ab § 1

DA= sin a § DA = 1

sin a

O perímetro do trapézio [ABCD] é dado por:

AB + BC + CD + DA = AE + 1 + 1 + 1 + DA = 3 + DA + AE

Portanto, P (a) = 3 + 1sin a

+ ‑ cos asin a

§ P (a) = 3 + 1 ‑ cos asin a

.

6.2. P ' (a) = a3 + 1 ‑ cos asin a

b' = 0 + (1 ‑ cos a)' sin a ‑ (1 ‑ cos a) (sin a)'

sin2 a =

= sin a sin a ‑ (1 ‑ cos a) cos a

sin2 a = sin2 a ‑ cos a + cos2 a

sin2 a =

= (sin2 a + cos2 a) ‑ cos a

sin2 a = 1 ‑ cos a

sin2 a

tg q = ‑ "8 e p2< q < p .

Dado que 1 + tg2 q = 1cos2 q

, temos:

1 + (‑ "8 )2= 1

cos2 q § 9 = 1

cos2 q § cos2 q = 1

9

Atendendo a que p2< q < p vem cos q = ‑ 1

3 .

Por outro lado, sin2 q = 1 ‑ cos2 q = 1 ‑ 19= 8

9 .

Com P '(a) = 1 ‑ cos asin2 a

, vem P '(q) = 1 ‑ cos qsin2 q

=1 ‑ a‑ 1

3b

89

=

4389

= 32

.

A BE

C1

1

1 1

D

p2-a