exame nacional do ensino secundÁrio · de dois números complexos dd ... questões onde existam...
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V.S.F.F.435.V1/1
PROVA 435/11 Págs.
EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO
12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto)Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa ajustado
Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE2002 2.ª CHAMADA VERSÃO 1
PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA____________________________________________________________________________
VERSÃO 1
Na sua folha de respostas, indiqueclaramente a versão da prova.
A ausência desta indicação implicará aanulação de todo o GRUPO I.
435.V1/2
A prova é constituída por dois Grupos, I e II.
• O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla.
• O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, algumasdelas subdivididas em alíneas, num total de onze.
Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que,para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto daprova, em conjunto com esta folha.
V.S.F.F.435.V1/3
Grupo I
• As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.
• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionarpara cada questão.
• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendose a letra transcrita for ilegível.
• Não apresente cálculos.
1. De uma função , de domínio , sabe-se que:0 ‘
• 0 Ð & Ñ œ !
• é uma função par0
Seja a função, de domínio , definida por .1 1ÐBÑœ0ÐB�$Ñ‘
Qual dos seguintes pode ser o conjunto dos zeros de ?1
(A) (B) (C) (D) Ö!ß$× Ö$ß&× Ö � ) ß # × Ö#ß)×
2. Na figura estão representados, em referencialo. n. , o círculo trigonométrico e umBSCtriângulo .ÒSEFÓ
Os pontos e pertencem àE Fcircunferência.
O segmento é perpendicular aoÒEFÓsemieixo positivo .SB
O ponto é o ponto de intersecção daGcircunferência com o semieixo positivo .SB
Seja a amplitude do ângulo . ! !GSE − ! ߊ ‹ Ó Ò1#
Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo , em função de ?ÒSEFÓ !
(A) (B) sen! !Þ costg! !Þ cos
#
(C) (D) tg sen! !Þtg sen! !Þ
#
435.V1/4
3. De uma função , de domínio , sabe-se que a recta de equação é assimptota2 C œ #‘�
do seu gráfico.
Qual é o valor de ?limBÄ�_
2ÐBÑ/B
(A) (B) (C) (D) � _ � _ ! #
4. Na figura está representado, em referencial o. n.
SBCD, um cilindro de revolução.
Tem-se que:
• a altura do cilindro é $
• uma das bases está contida no plano ,BSC
sendo o seu centro o ponto e o seuÐ!ß"ß!Ñ
raio igual a "
Seja e seja a função que, a cada, − Ó!ß#Ò 0
valor de , faz corresponder o perímetro da,
secção produzida no cilindro pelo plano de equação
C œ , .
Qual é o máximo da função ?0
(A) (B) (C) (D) * "! "#""
5. Na figura estão representados os gráficos
de duas distribuições normais.
Uma das distribuições tem valor médio +
e desvio padrão .,
A outra distribuição tem valor médio e-
desvio padrão ..
Os gráficos são simétricos em relação à
mesma recta .< Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) (B) + œ - , � . + œ - , � . e e
(C) (D) + � - , œ . + � - , œ . e e
V.S.F.F.435.V1/5
6. O João utiliza, por vezes, o autocarro para ir de casa para a escola. Seja o acontecimento: «O João vai de autocarro para a escola».E
Seja o acontecimento: «O João chega atrasado à escola».F
Uma das igualdades abaixo indicadas traduz a seguinte afirmação: «Metade dos dias em
que vai de autocarro para a escola, o João chega atrasado».
Qual é essa igualdade?
(A) (B) T Ð E � F Ñ œ ! & T Ð E � F Ñ œ ! &, ,
(C) (D) TÐElFÑœ!& TÐFlEÑœ!&, ,
7. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do
conjunto ?ÖD− À l D � " l œ l D � 3 l • #ŸM7ÐDÑŸ% ׂ
(A) (B)
(C) (D)
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Grupo II
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculosque tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-sesempre o valor exacto.
1. De dois números complexos e sabe-se que:D D" #
• um argumento de é D"1$
• o módulo de é D# %
1.1. Seja A œ� " � 3
3 Justifique que é diferente deA e de D D" #
1.2. D D D" # e s .ão duas das raízes quartas de um certo número complexo
Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de pertence ao segundoD#
quadrante, determine na forma algébrica.D#
2. O de um som, medido em decibéis, é função da sua , medida emnível intensidade R M
watt por metro quadrado, de acordo com a igualdade
, para R œ " ! "! M M � !log"!a b"#
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes.
2.1. Verifique que Rœ"#! � "! Mlog"!
2.2. Admita que o nível de ruído de um avião a jacto, ouvido por uma pessoa que se
encontra na varanda de um aeroporto, é de decibéis."%!
Determine a intensidade desse som, em watt por metro quadrado.
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3. De uma função , de domínio , sabe-se que a sua está definida0 Ò � ß Ó1 1 derivada 0 w
igualmente no intervalo eé dada por Ò � ß Ó1 1
0 ÐBÑœB � # Bw cos
3.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes:
3.1.1. Determine o valor de limBÄ!
0ÐBÑ�0Ð!ÑB
3.1.2. Estude a função quanto às concavidades do seu gráfico e determine as0
abcissas dos pontos de inflexão.
3.2. O gráfico de contém um único ponto onde a recta tangente é paralela ao eixo0
SB. R determine um valor arredondado às centésimasecorrendo à sua calculadora,
para a abcissa desse ponto.
Explique como procedeu.
4. Seja uma função contínua, de domínio e contradomínio .0 Ò!ß&Ó Ò$ß%Ó
Seja a função, de domínio , definida por .1 Ò!ß&Ó 1ÐBÑœ0ÐBÑ�B
Prove que a função tem, pelo menos, um zero.1
435.V1/8
5. Considere todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos
de 1 a 9.
5.1. Escolhe-se, ao acaso, um desses números.
5.1.1. Determine a probabilidade de o número escolhido ter exactamente dois
algarismos iguais a 1. Apresente o resultado na forma de percentagem,
arredondado às unidades.
5.1.2. Determine a probabilidade de o número escolhido ter os algarismos todos
diferentes e ser maior do que . Apresente o resultado na forma de*)!!
dízima, com três casas decimais.
5.2. Considere o seguinte problema:
«De todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos
de 1 a 9, alguns deles cumprem as três condições seguintes:
• começam por 9;
• têm os algarismos todos diferentes;
• a soma dos quatro algarismos é par.
Quantos são esses números?»
Uma resposta correcta a este problema é $ ‚ % ‚ E � E% %# $
Numa pequena composição, com cerca de vinte linhas, explique porquê.
FIM
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COTAÇÕES
Grupo I 63................................................................................................................
Cada resposta certa ..................................................................... +9 Cada resposta errada.................................................................... - 3 Cada questão não respondida ou anulada ...................................... 0
Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.
Grupo II 137 .............................................................................................................
1. ................................................................................................ 21 1.1. ..........................................................................10 1.2. ..........................................................................11
2. ................................................................................................ 28 2.1. ..........................................................................13 2.2. ..........................................................................15
3. ................................................................................................ 41 3.1. ......................................................................... 26
3.1.1. ...............................................10 3.1.2. ...............................................16
3.2. ..........................................................................15
4. ................................................................................................ 15
5. ................................................................................................ 32 5.1. ..........................................................................16
5.1.1. .................................................8 5.1.2. .................................................8
5.2. ..........................................................................16
TOTAL 200 ..............................................................................................................
435.V1/10
435.V1/11
FormulárioÁreas de figuras planas
Losango: H3+198+67+39<‚H3+198+67/89<
#
Trapézio: F+=/7+39<�F+=/7/89<# ‚E6>?<+
Polígono regular: Semiperímetro Apótema‚
Círculo: 1 ( )< <# �<+39
Áreas de superfíciesÁrea lateral de um cone: 1 < 1( )< 1� �raio da base geratriz;
Área de uma superfície esférica: % <1 #
( )< � raio
VolumesPrisma: Área da base Altura‚
Cilindro: Área da base Altura‚
Pirâmide: "$ ‚ Área da base Altura‚
Cone: "$ ‚ Área da base Altura‚
Esfera: % $$ 1 ( )< < � raio
Trigonometriasen sen cos sen cosÐ + � , Ñ œ + Þ , � , Þ +
cos cos cos sen senÐ + � , Ñ œ + Þ , � + Þ ,
tg Ð + � , Ñ œtg tg
tg tg+ � ,
"� + Þ ,
Complexosa b ˆ ‰ ˆ ‰3 ) 3 ) 3 3 ) )-3= Þ -3= œ -3= �w w w w
3 ) 33 ) 3
-3=-3=w w wœ -3= �ˆ ‰) ) w
a b3 ) 3 )-3= œ -3=Ð8 Ñ8 8
È È8 83 ) 3-3= œ -3= ß 5 − Ö ! ß Þ Þ Þ ß 8 � " ×) 1�#5
8
Progressões
Soma dos primeiros termos de uma8
Prog. Aritmética: ? � ?
#" 8 ‚ 8
Prog. Geométrica: ? ‚"" � <" � <
8
Regras de derivação
Ð?�@Ñ œ ? � @w w w
Ð?Þ@Ñ œ ? Þ @ � ? Þ @w w w
ˆ ‰? ? Þ @ � ? Þ @@ @
wœ
w w
#
Ð? Ñ œ 8 Þ ? Þ ? Ð8 − Ñ8 w 8�" w ‘
Ð ?Ñ œ ? Þ ?sen cosw w
Ð ?Ñ œ � ? Þ ?cos senw w
Ð ?Ñ œtg w ??
w
#cos
Ð Ñ œ ? Þ/ /? w w ?
Ð Ñ œ ? Þ Þ + Ð+ − ÏÖ"×Ñ+ +? w w ? �ln ‘
Ð ?Ñ œln w ??
w
Ð ?Ñ œ Ð+ − ÏÖ"×Ñlog +w �?
?Þ +
w
ln ‘
Limites notáveis
limBÄ!
senBB œ "
limBÄ!
/ �"B
Bœ "
limBÄ!
lnÐB�"ÑB œ "
limB�_
/B
B: œ � _ Ð: − Ñ ‘
435.V1/12
V.S.F.F.435/C/1
PROVA 435/C/13 Págs.
EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO
12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto)Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos - Programa ajustado
Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE2002 2.ª CHAMADA
PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA_____________________________________________________________________________
COTAÇÕES
Grupo I 63................................................................................................................
Cada resposta certa ................................................................. +9 Cada resposta errada................................................................ - 3 Cada questão não respondida ou anulada ............................... 0
Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.
Grupo II 137 .............................................................................................................
1. ................................................................................................ 21 1.1. .........................................................................10 1.2. .........................................................................11
2. ................................................................................................ 28 2.1. .........................................................................13 2.2. .........................................................................15
3. ................................................................................................ 41 3.1. ........................................................................ 26
3.1.1. ..............................................10 3.1.2. ..............................................16
3.2. .........................................................................15
4. ................................................................................................ 15
5. ................................................................................................ 32 5.1. .........................................................................16
5.1.1. ................................................8 5.1.2. ................................................8
5.2. .........................................................................16
TOTAL 200 ..............................................................................................................
435/C/2
CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO
Grupo I
Deverão ser anuladas todas as questões com resposta de leitura ambígua (letra
confusa, por exemplo) e todas as questões em que o examinando dê mais do que uma
resposta.
Pode acontecer que o examinando não respeite a indicação, expressa no
enunciado, de que deverá escrever apenas a letra correspondente à alternativa
seleccionada. Por exemplo: pode acontecer que ele apresente cálculos; pode
acontecer que escreva, para além da letra, a resposta que lhe corresponde; pode
acontecer que se esqueça de escrever a letra e escreva apenas a resposta; etc.
Deverão ser consideradas (como certas ou como erradas) todas as questões em que
não haja qualquer dúvida sobre a alternativa que o examinando seleccionou, mesmo
que, formalmente, desrespeitem a referida indicação. Deverão ser anuladas todas as
questões onde existam dúvidas sobre a alternativa seleccionada.
As respostas certas são as seguintes:
Questões 1 2 3 4 5 6 7Versão 1Versão 2
C A A B B D BC B B D D B A
Na tabela seguinte indicam-se os pontos a atribuir, no primeiro grupo, em função
do número de respostas certas e do número de respostas erradas.
Resp. erradas 0 1 2 3 4 5 6 7Resp. certas
012345
0 0 0 0 0 0 0 0 9 6 3 0 0 0 0 18 15 12 9 6 3 27 24 21 18 15 36 33 30 27 45 42 39 54 51 63
67
V.S.F.F.435/C/3
Grupo II
Critérios gerais
1. A cotação a atribuir a cada alínea deverá ser sempre um número inteiro, não negativo,de pontos.
2. Se, numa alínea em que a respectiva resolução exija cálculos e/ou justificações, oexaminando se limitar a apresentar o resultado final, deverão ser atribuídos zeropontos a essa alínea.
3. Algumas questões da prova podem ser correctamente resolvidas por mais do que umprocesso. Sempre que um examinando utilizar um processo de resolução nãocontemplado nestes critérios, caberá ao professor classificador adoptar um critério dedistribuição da cotação que julgue adequado e utilizá-lo em situações idênticas.
4. Existem alíneas cuja cotação está subdividida pelas etapas que o examinando devepercorrer para as resolver.
• Em cada etapa, a cotação indicada é a máxima a atribuir.
• Caso a resolução da etapa esteja incompleta, ou contenha incorrecções, cabe aoclassificador decidir a cotação a atribuir a essa etapa, tendo em conta o grau deincompletude e/ou a gravidade dos erros cometidos. Por exemplo:- erros de contas ocasionais devem ser penalizados em um ponto;- erros graves, que revelem desconhecimento de conceitos, regras ou propriedades,
devem ser penalizados em, pelo menos, metade da cotação da etapa.
• No caso de o examinando cometer um erro numa das etapas, as etapassubsequentes devem merecer a respectiva cotação, desde que o grau de dificuldadenão tenha diminuído, e o examinando as execute correctamente, de acordo com oerro que cometeu.
• Caso o examinando cometa, numa etapa, um erro que diminua o grau de dificuldadedas etapas subsequentes, cabe ao classificador decidir a cotação máxima a atribuir acada uma destas etapas. Em particular, se, devido a um erro cometido peloexaminando, o grau de dificuldade das etapas seguintes diminuir significativamente,a cotação máxima a atribuir a cada uma delas não deverá exceder metade dacotação indicada.
• Pode acontecer que o examinando, ao resolver uma questão, não percorraexplicitamente todas as etapas previstas nos critérios. Todos os passos nãoexpressos pelo examinando, mas cuja utilização e/ou conhecimento estejam implícitosna resolução da questão, devem receber a cotação indicada.
5. Existem alíneas em que estão previstos alguns erros que o examinando pode cometer.Para cada caso, é indicada a cotação a atribuir. O examinando pode, contudo, utilizarum processo não contemplado nos critérios e/ou cometer um erro não previsto. Cabeao classificador adaptar as referências dadas a todas as situações não previstas.
6. Se, na resolução de uma alínea, o examinando utilizar simbologia inequivocamenteincorrecta (por exemplo, se escrever o símbolo de igualdade onde deveria estar osímbolo de equivalência), tal deve ser penalizado em um ponto, na cotação total aatribuir a essa alínea.
435/C/4
Critérios específicos
1.1. .....................................................................................................................................10
Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos:
1.º Processo
�" � 33 œ
œÈ#-3=
-3=
$%
#
1
1 ...................................................................................6 (3+3)
œ È#-3= 1% ...........................................................................................2
Conclusão ....................................................................................................2
2.º Processo
�" � 33 œ " � 3 .................................................................................3
lAl œ È# ....................................................................................................2
Um argumento de é A 1% ......................................................................3
Conclusão ....................................................................................................2
1.2. .....................................................................................................................................11
Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos:
1.º Processo
Um argumento de é D#1 1$ #� .......................................................5
D# œ%-3= &'1 ........................................................................................2
D# œ � # $ � # 3È ..................................................................................4
V.S.F.F.435/C/5
2.º Processo
D" œ%-3= 1$ ...........................................................................................2
D œ %-3=Š ‹1$
%....................................................................................1
D œ % -3=% %$1 .......................................................................................1
È% D œ%-3= ß 5 œ !ß"ß#ß$
%$1 � # 5
%1
...........................................1
D# œ%-3= &'1 ........................................................................................2
D# œ � # $ � # 3È .................................................................................4
2.1. .....................................................................................................................................13
Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos:
1.º Processo
R œ " ! "! � M’ “log log"! "!a b"# ............................................................. 6
R œ " ! " # � Mˆ ‰log"! .............................................................................. 6
R œ " # ! � " ! Mlog"! ................................................................................. 1
2.º Processo
R œ "! Mlog"!ˆ ‰"# "!
................................................................................. 1
R œ "! Mlog"!ˆ ‰"#! "! ................................................................................ 1
R œ "! � Mlog log"! "!ˆ ‰ ˆ ‰"#! "! ............................................................ 6
R œ " # ! � " ! Mlog"! ................................................................................. 5
435/C/6
2.2. .....................................................................................................................................15
Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, três processos:
1.º Processo
Equacionar o problema: "%!œ"#!�"! Mlog"! .....................................5
log"! M œ # .................................................................................................4
Mœ"!! ........................................................................................................6
2.º Processo
Equacionar o problema: "%!œ"! "! Mlog"!a b"# ..................................5
log"!a b"! M œ"%"# ...................................................................................1
"! M œ "!"# "% ............................................................................................6
Mœ"!! ........................................................................................................3
3.º Processo
Equacionar o problema: "%!œ"! "! Mlog"!a b"# ..................................5
"%!œ "! Mlog"!ˆ ‰"# "!
..............................................................................2
"! M œ"!"#! "! "%! ......................................................................................6
M œ"!"! #! ..................................................................................................1
Mœ"!! ........................................................................................................1
3.1.1. ..................................................................................................................................10
limBÄ!
w0ÐBÑ�0Ð!ÑB œ 0 Ð!Ñ......................................................................7
0 Ð ! Ñ œ #w ....................................................................................................3
V.S.F.F.435/C/7
3.1.2. ..................................................................................................................................16
0 Ð B Ñ œ " � # Bww sen (ver nota 1) ...............................................................3
0 Ð B Ñ œ ! Íww
Í B œsen "# ......................................................................................2
Í B œ ” B œ1 1' '
& ...................................................................3 (1+2)
Análise do sinal de 0 ww ....................................................3 (ver notas 2 e 3)
Concluir que o gráfico de tem a concavidade voltada para0
cima em e em e tem a concavidade’ “ ” •� ß1 1ß1 1' '
&
voltada para baixo em ..............................3 ” •1 1' '
&ß (ver notas 2 e 4)
Concluir que o gráfico de tem dois pontos de inflexão,0
de abcissas e ......................................................2 1 1' '
& (ver nota 2)
Notas:
1. Se existir evidência de que o examinando pretende determinar aexpressão de , a cotação mínima a atribuir a esta etapa é de 10 ww
ponto.
2. A e as duas conclusões podem análise do sinal de 0 ww ser apresentadasatravés de um quadro.
3. Se, no quadro, o examinando não indicar correctamente o domínio dafunção, deverá ser penalizado em 1 ponto.
4. Se o examinando apresentar os intervalos abertos, não deverá serpenalizado examinando não necessita sequer. É ainda de salientar que o de explicitar os intervalos ., tal como se depreende da nota 2
3.2. .....................................................................................................................................15
Equacionar o problema: ....................................... 8 0 Ð B Ñ œ !w (ver nota 1)
Explicação do método utilizado para resolver a equação (ver nota2).................................................................................................................. 3
Indicação do valor da abcissa pedida .......................................4 (ver nota 3)
435/C/8
Notas:
1. O examinando poderá não escrever explicitamente esta equação. Seexistir evidência da procura do zero de 0 w , estes 8 pontos deverão seratribuídos.
2. A explicação do método utilizado deve ser cotada de acordo com oseguinte critério:
O examinando apresenta o gráfico da função 0 w eassinala correctamente o seu zero.
ouO examinando não apresenta qualquer gráfico, masrefere a utilização de ferramentas da calculadora,evidenciando a procura do referido zero ...........................3
O examinando não apresenta qualquer gráfico nemqualquer explicação, ou limita-se a apresentar umareferência do tipo «Vi na calculadora»..................................0
3. A escrita da abcissa do ponto pedido deve ser cotada,independentemente de o examinando ter, ou não, explicado o métodoutilizado, de acordo com o seguinte critério:
(apresentação do resultado arredondado às centésimas, de1.º Casoacordo com o enunciado):
Resposta .............................................................. 4 �"!$,
Resposta ou ........................................ 2 � " ! # �"!%, ,
Resposta ou ......................................... 1 � " ! " �"!&, ,
Outros resultados ................................................................0
(apresentação do resultado com aproximação superior às2.º Caso
centésimas):
Valor no intervalo ............................ 3 Ò � " ! $ " �"!#*Ó, ,à
Valor fora do intervalo anterior, mas pertencente aointervalo ...........................................2 Ò � " ! % ! �"!#!Ó, ,à
Outros resultados ................................................................0
(apresentação do resultado arredondado às unidades ou às3.º Caso
décimas):
Valor igual a (ou ) ........................................ 1 � " � " !,
Outros resultados ................................................................0
V.S.F.F.435/C/9
4. ........................................................................................................................................15
Justificar que é contínua (por ser a diferença de duas funções1contínuas) ...............................................................................2 (ver nota 1)
Justificar que 1Ð!Ñ�!( )1Ð!Ñœ0Ð!Ñ 0Ð!Ñ−Ò$ß%Óe ..............................................5 (ver nota 2)
Justificar que 1Ð&Ñ�!( )1Ð&Ñœ0Ð&Ñ�& 0Ð&Ñ−Ò$ß%Óe ......................................6 (ver nota 3)
Evocar o Teorema de Bolzano (ou o seu corolário), para concluiro pretendido .................................................................................................2
Notas:1. Se o examinando se limitar a referir a continuidade de , sem justificar,1
deverá ser atribuída, nesta etapa, a cotação de 1 ponto, dos 2previstos.
2. Se o examinando escrever , deverá ser atribuída, nesta0 Ð ! Ñ œ $etapa, a cotação de 0 pontos.
3. Se o examinando escrever , deverá ser atribuída, nesta0 Ð & Ñ œ %etapa, a cotação de 0 pontos.
5.1.1. ....................................................................................................................................8
Escrita da fracção .......................... 7 %
#%
G
*
‚ )#
(ver notas 1, 2, 3, 4 e 5)
Probabilidade pedida .......................................................................1 ¸ '%
Notas:
1. O examinando pode começar por indicar o número de casos possíveis eo número de casos favoráveis e só depois escrever a fracção.
No entanto, se não o fizer, isto é, se escrever directamente a fracção,não deverá ser penalizado.
2. Indicam-se a seguir possíveis respostas do examinando, no querespeita à escrita da fracção, com a respectiva cotação a atribuir.
%#
% %
G
* *'‚ ) ‚ )
# # ou (fracção correcta)...................................7
% )# #
%
G E
*
‚ ..................................................................................4
)#
* *'
% % ou ....................................................................................3
435/C/10
3. Se o examinando indicar o número de casos possíveis e o número decasos favoráveis, mas não escrever a fracção, deverá ser atribuído àsua resposta menos 1 ponto do que nas situações atrás referidas.
4. Se o examinando indicar (correctamente) apenas o número de casospossíveis, deverá ser atribuído 1 ponto à sua resposta.
5. Se o examinando indicar (correctamente) apenas o número de casosfavoráveis, deverão ser atribuídos 4 pontos à sua resposta.
5.1.2. ....................................................................................................................................8
Escrita da fracção ................................... 7 (
#%
E
* (ver notas 1, 2, 3, 4 e 5)
Probabilidade pedida ...................................................................1 ¸!!!',
Notas:
1. O examinando pode começar por indicar o número de casos possíveis eo número de casos favoráveis e só depois escrever a fracção.
No entanto, se não o fizer, isto é, se escrever directamente a fracção,não deverá ser penalizado.
2. Indicam-se a seguir possíveis respostas do examinando, no querespeita à escrita da fracção, com a respectiva cotação a atribuir.
(#
% %
E
* *(‚' ou (fracção correcta)................................................7
(#
* % ..................................................................................................5
*‚)* % ................................................................................................4
*#
* % ..................................................................................................3
3. Se o examinando indicar o número de casos possíveis e o número decasos favoráveis, mas não escrever a fracção, deverá ser atribuído àsua resposta menos 1 ponto do que nas situações atrás referidas.
4. Se o examinando indicar (correctamente) apenas o número de casospossíveis, deverá ser atribuído 1 ponto à sua resposta.
5. Se o examinando indicar (correctamente) apenas o número de casosfavoráveis, deverão ser atribuídos 4 pontos à sua resposta.
V.S.F.F.435/C/11
5.2. ...................................................................................................................................16
Apresenta-se a seguir um exemplo de resposta:
Pretende-se saber quantos números da forma 9 _ _ _ existem, com algarismos
todos diferentes (escolhidos de entre os algarismos de 1 a 9) e tal que a soma
dos seus quatro algarismos seja par.
Ora, para que a soma dos quatro algarismos seja par, é necessário que a soma
dos três últimos seja ímpar.
Para que a soma destes três algarismos seja ímpar, dois casos se podem dar: ou
são todos ímpares, ou dois deles são pares e o outro é ímpar.
No primeiro caso, temos de escolher ordenadamente três de quatro algarismos
ímpares (1, 3, 5 e 7), o que pode ser feito de maneiras diferentes.%$E
No segundo caso, temos de começar por escolher a posição do algarismo ímpar,
o que pode ser feito de maneiras diferentes. Para cada uma destas, existem $ %
maneiras de escolher esse algarismo ímpar (1, 3, 5 ou 7). Para cada posição do
algarismo ímpar e para cada valor deste, existem maneiras diferentes de%#E
escolher ordenadamente dois de quatro algarismos pares (2, 4, 6 e 8) Assim,Þ
neste segundo caso, existem números diferentes, nas condições$ ‚ % ‚ E%#
requeridas.
Logo, o número pedido é $ ‚ % ‚ E � E% %# $
Tal como o exemplo acima ilustra, o examinando deverá:
• referir que a soma dos três últimos algarismos tem de ser ímpar;
• referir que, para que isso aconteça, dois casos se podem dar: ou os trêsalgarismos referidos são ímpares, ou dois deles são pares e o terceiro éímpar;
• explicar correctamente o valor %$E (número de maneiras de escolher
ordenadamente três de quatro algarismos ímpares);
• explicar correctamente o valor $ (número de maneiras de escolher aposição do algarismo ímpar);
• explicar correctamente o valor % (número de maneiras de escolher um dequatro algarismos ímpares);
• explicar correctamente o valor %#E (número de maneiras de escolher
ordenadamente dois de quatro algarismos pares).
435/C/12
Na tabela seguinte, indica-se como deve ser atribuída a cotação destaalínea.
FormaConteúdo
Nível 1 Nível 2 Nível 3 ( ) ( ) ( )
O examinando refere os seis pontos ‡ ‡‡ ‡‡‡
16 14 12O examinando refere cinco pontos 12 10 8O examinando refere quatro pontos 8 7 6O examinando refere três pontos 6 5 4O examinando refere dois pontos 4 3 2O examinando refere um ponto 2 1 1
( ) - Redacção clara, bem estruturada e sem erros (de sintaxe,‡ Nível 1de pontuação e de ortografia).
( ) - Redacção satisfatória, em termos de clareza, razoavelmente‡‡ Nível 2estruturada, com alguns erros cuja gravidade não afecte ainteligibilidade.
( ) - Redacção confusa, sem estruturação aparente, presença de‡‡‡ Nível 3 erros graves, com perturbação frequente da inteligibilidade.
Pode acontecer que uma composição não se enquadre completamente num
dos três níveis descritos e/ou contenha características presentes em mais do
que um deles. Nesse caso, deverá ser atribuída uma pontuação intermédia,
desde que respeite a indicação, dada nos critérios gerais, de que a cotação a
atribuir a cada alínea deverá ser sempre um número inteiro de pontos.