estudos preliminares sobre ejecção de vórtices em torno de um

Mestrado Integrado em Engenharia Química

Estudos preliminares sobre ejecção de vórtices em torno de um cilindro no regime turbulento

com separação laminar

Tese de Mestrado

de

Maria Alexandra Cabral da Silva Azevedo

Desenvolvida no âmbito da disciplina de Dissertação

realizada na

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Orientadores na FEUP: Prof. Fernando Tavares de Pinho

Prof. Paulo Martins Coelho

Prof. Manuel Moreira Alves

Departamento de Engenharia Química

Fevereiro de 2011

“Quem tem um porquê,

enfrenta qualquer como.”

Viktor Frankl

Agradecimentos

Depois de ter chegado ao final da minha tese senti que deveria expressar os meus sinceros

agradecimentos a algumas pessoas que, com o seu saber, me permitiram elaborar este trabalho.

Assim, ao Professor Fernando Pinho pela sua orientação e total disponibilidade. Ao Professor Paulo

Coelho pela sua colaboração na realização do trabalho experimental. Ao Professor Manuel Alves pela sua

colaboração no projecto.

Também queria agradecer ao Dr. Adélio Cavadas, pela disponibilidade e apoio demonstrada ao longo de

todo trabalho.

Resumo

Este trabalho está inserido num projecto de investigação que visa o estudo experimental e numérico de

uma nova técnica para melhorar o tratamento de águas residuais por radiação ultravioleta, através da

supressão de ejecção de vórtices na esteira de von Kármán. A técnica consiste na colocação de um

cilindro de controlo (fio) na esteira a jusante da lâmpada de ultravioleta.

Numa primeira fase realizaram-se ensaios experimentais preliminares de visualização do escoamento,

através da técnica de injecção de tinta, colocando o cilindro de controlo em diferentes posições radiais e

angulares relativamente ao cilindro principal, que representa a lâmpada de ultravioleta. Os resultados

mostram que a colocação do cilindro de controlo a 80º relativamente ao ponto de estagnação frontal

permitia uma redução da frequência de ejecção de vórtices. Contudo, este estudo experimental ainda não

está concluído e é necessário estudar posições na esteira.

Iniciou-se o estudo numérico por uma série de exercícios de validação, para o escoamento laminar

estacionário e transiente em torno de um cilindro de modo a averiguar o impacto sobre os resultados do

refinamento da malha e dos métodos de discretização utilizados. Ainda na fase de validação efectuou-se

um estudo numérico do escoamento em torno de um cilindro principal, em regime laminar, na presença

de um cilindro de controlo colocado na esteira do primeiro cilindro. Verificou-se que a supressão de

vórtices ocorre quando se utiliza uma razão entre o diâmetro dos cilindros de controlo e principal, D2/D1,

igual a 1/10 e quando o cilindro de controlo está colocado a uma distância de 2D1 na direcção horizontal e

D1 na direcção vertical, para um número de Reynolds de 60 e 100. Todos estes casos compararam bem

com os resultados da literatura que serviram de referência. Como o escoamento real nos sistemas de

desinfecção ocorrem a números de Reynolds da ordem de 10 000, os estudos seguintes foram efectuados

no regime de escoamento turbulento. Aqui, pretendeu-se avaliar a capacidade preditiva de diversos

modelos de turbulência de duas equações para as equações governativas de Reynolds, nomeadamente

modelos k-ε e modelos k-ω, disponíveis no software Fluent v6.3. Sendo a principal característica deste

tipo de escoamentos, a formação e/ou desprendimento de vórtices, que levam a flutuações significativas

do campo de pressões, surge a necessidade de verificar se os modelos de turbulência conseguem

reproduzir correctamente a frequência e a magnitude dessas flutuações. Começou-se por estudar o

desempenho dos modelos de turbulência nos escoamentos de Poiseuille entre placas planas no qual se

verificaram boas previsões desde que os modelos sejam correctamente aplicados (por exemplo, o

primeiro nó tinha que estar situado na zona inercial quando usando o modelo k-ε). Seguidamente estudou-

se o escoamento em torno de um cilindro de secção quadrada onde a separação do escoamento ocorre em

posições fixas e os resultados estão em concordância com a literatura.

Finalmente simularam-se os escoamentos em torno de cilindros de secção circular para números de

Reynolds de 10 000, 27 400 e 10-6 que permitiram concluir que os modelos k-ε são os que apresentam

maior fragilidade quando sujeitos a elevados gradientes de pressão adversos. Os resultados obtidos

através do k-ω padrão e k- ω SST, que são modelos modificados que permitem o cálculo na região

viscosa, são os que melhor se aproximam da literatura.

Abstract

This work is part of a research project aimed at experimentally and numerically investigating the possible

benefits of a new technique for the treatment of wastewater by ultraviolet radiation, through the

suppression of wake vortex formation. The technique consists of placing a small control cylinder (wire) at

the wake behind the ultraviolet lamp.

The work started with some preliminary flow visualizations of the flow around a cylinder in the presence

of a control cylinder using dye injection. The control cylinder was placed at various radial and azimuthal

positions around the main cylinder, which represents the ultraviolet lamp. The results showed that placing

the control cylinder at 80° from the frontal stagnation point, reduced the vortex shedding frequency.

However, these experiments need to be completed including the situation where the control cylinder is

placed behind the main cylinder.

The numerical study began with a series of validation tests for steady and unsteady laminar flow around a

circular cylinder to assess the effects of mesh refinement and discretization methods used. The validation

included the laminar flow around a cylinder in the presence of a second control cylinder, placed in the

wake of the main cylinder. The vortex was suppressed when the ratio between the diameters of the

control and main cylinders, D2/D1, was 1/10 and the control cylinder was placed at a distance of 2D1 and

D1 in the horizontal and vertical directions, respectively, for a Reynolds number of 60 and 100. All cases

compared well with the benchmark results from the literature.

As the actual flow in disinfection systems occurs at Reynolds numbers of about 10000, the subsequent

numerical studies were carried out in turbulent flow. At this stage of the project and in this thesis the aim

was to evaluate the ability of several 2 equations RANS turbulence models available in the used

commercial code, Fluent v6.3, namely several k-ε and k-ω closures. As the main feature of these flows is

the appearance of vortex shedding in the cylinder wake, leading to significant fluctuations of the pressure

field, it is necessary to check whether the turbulence models can correctly reproduce the frequency and

magnitude of these fluctuations. Initially, the performance of the turbulence models was assessed in fully-

developed channel flow, where predictions were good provided the models where correctly applied (for

instance, for the k-ε model the first node should be located in the region of validity of the log-law). Then,

the turbulent flow around a square cylinder was investigated. Here, the point of flow separation is fixed

and the results were in good agreement with the literature.

Finally, the flows around a single cylinder were carried out at Reynolds numbers of 10 000, 27 400 and

10-6 and the results showed that the k-ε models were less robust in these flows with large adverse pressure

gradients and that the standard k-ω and k- ω SST models, which are modified models to allow for

calculations within the viscous region are in fairly good agreement with the literature.

Estudos preliminares sobre ejecção de vórtices em torno de um cilindro no regime turbulento com separação laminar

i

Índice Índice .............................................................................................................................................................. i

Capítulo 1 Introdução ................................................................................................................................... 1

1.1 Enquadramento e apresentação do Projecto .................................................................................... 1

1.2 Organização da tese ........................................................................................................................... 2

Capítulo 2 Escoamento em torno de corpos imersos: Fundamentos teóricos ............................................ 5

2.1 Conceitos Fundamentais .................................................................................................................... 5

2.2 Conceitos de força de arrasto e força de sustentação ....................................................................... 6

2.3 Conceito de camada limite e separação do escoamento................................................................... 8

2.3.1 Placa Plana ................................................................................................................................... 8

2.3.2 Cilindro ........................................................................................................................................ 9

2.4 Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices ................................................................ 14

2.5 Estado da Arte .................................................................................................................................. 16

2.6 Conclusões ........................................................................................................................................ 20

Capítulo 3 Ensaios Experimentais............................................................................................................... 21

3.1 Instalação ......................................................................................................................................... 21

3.2 Resultados ........................................................................................................................................ 23

3.3 Conclusões ........................................................................................................................................ 27

Capítulo 4 Equações Fundamentais ........................................................................................................... 29

4.1 Equações Governativas .................................................................................................................... 30

4.1.1 Conservação da Massa – equação da continuidade ................................................................. 30

4.1.2 Equação de quantidade de Movimento .................................................................................... 30

4.2 Equações de Reynolds ...................................................................................................................... 31

4.3 Variáveis características de turbulência ........................................................................................... 33

4.4 Modelos de Turbulência ................................................................................................................... 35

4.4.1 Modelos lineares de viscosidade turbulenta de duas equações ............................................... 36

4.4.1.1 Modelo k-ε padrão ................................................................................................................. 36

4.4.1.2 Modelo k-ε RNG (renormalizado) ........................................................................................... 37

4.4.1.3 Modelo k-ω padrão ............................................................................................................... 38

4.4.1.4 Modelo k-ω SST ..................................................................................................................... 40

4.5 Influência da parede no escoamento turbulento ............................................................................ 42

4.6 Método Numérico para Resolução das Equações Governativas ..................................................... 45

4.7 Conclusões ........................................................................................................................................ 45


ii

Capítulo 5 Metodologia Numérica e Validação .......................................................................................... 47

5.1 Geração da malha ............................................................................................................................. 47

5.2 Método Numérico ............................................................................................................................ 49

5.3 Critério de Convergência .................................................................................................................. 50

5.4 Validação .......................................................................................................................................... 50

5.4.1 Escoamento laminar estacionário em torno de um cilindro circular ........................................ 50

5.4.2 Escoamento laminar transiente em torno de um cilindro circular ........................................... 53

5.4.3 Escoamento laminar transiente em torno de dois cilindros circulares ..................................... 55

5.4.4 Escoamento turbulento em regime turbulento entre duas placas ........................................... 58

5.4.5 Escoamento turbulento transiente em torno de um cilindro quadrado .................................. 61

5.5 Conclusões ........................................................................................................................................ 63

Capítulo 6 Resultados Numéricos .............................................................................................................. 65

6.1 Escoamento turbulento em torno de um cilindro circular ............................................................... 65

6.1.1 Resultados para Re 27 400 ........................................................................................................ 65

6.1.2 - Resultados para valores Re 10 000 ......................................................................................... 69

6.1.3 Resultados para valores Re 106 ................................................................................................. 71

6.1.4 Comparação de resultados ........................................................................................................ 73

6.2 Conclusões ........................................................................................................................................ 74

Capítulo 7 Conclusões ................................................................................................................................ 75

7.1 Principais Conclusões ....................................................................................................................... 75

7.2 Sugestão para Trabalho Futuro ........................................................................................................ 76

Bibliografia.................................................................................................................................................. 77


iii

Índice de Figuras Figura 1 - Força de pressão e viscosidade a actuar num corpo bi-dimensional e a resultante da força de

sustentação e arrasto (adaptado de Çengel e Simbala, 2006). .................................................................... 6

Figura 2 – Conceito de camada limite (adaptado de Munson et al, 2004). ................................................. 9

Figura 3 – Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda: (a) escoamento com Re

baixo, laminar; (b) escoamento com Re alto (adaptado de White et al., 1986). ....................................... 10

Figura 4 - Características do escoamento em torno de um cilindro: escoamento com número de reynolds

(a) baixo, (b) moderado e (c) alto, (adaptado de Munson et al., 2004) ..................................................... 11

Figura 5 - Escoamento em torno de um cilindro: (a) separação laminar; (b) Separação turbulenta; (c)

Distribuição de pressões na superfície (adaptado de Munson et al., 2004). ............................................. 13

Figura 6 – Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices segundo Gerrard (1966): a) antes do

desprendimento do vórtice A, o vórtice B está a formar-se na estira; b) antes do desprendimento do

vortice B, o vórtice C está a formar-se na esteira (de, Sumer, 1997). ....................................................... 14

Figura 7 – Curva do número de Strouhal em função do número de Reynolds para a faixa de: 47< Re <

2x105 (adaptado de Fey et. al., 1998). ........................................................................................................ 15

Figura 8 – Esquema do canal de água: localização da montagem experimental, posicionamento do c

cilindro principal do cilindro de controlo e da agulha de injecção. ........................................................... 22

Figura 9 – Esquema da instalação experimental: posicionamento do cilindro de controlo relativamente

ao cilindro principal. ................................................................................................................................... 23

Figura 10 – Instalação experimental: posicionamento do cilindro de controlo relativamente ao cilindro

principal e da agulha de injecção. .............................................................................................................. 24

Figura 11 – Visualizações efectuadas com o cilindro de controlo na posição 1 e a 60⁰ e 120⁰

relativamente à horizontal. ........................................................................................................................ 24

Figura 12 – Número de Strouhal do desprendimento dos vórtices para as posições 1, 1 vedada, 2 e 3 em

função do ângulo relativamente à horizontal. ........................................................................................... 26

Figura 13 - Variação do número de Strouhal em função da posição angular do cilindro de controlo. ..... 27

Figura 14 – Evolução temporal de uma variável em regime turbulento: a decomposição de Reynolds. .. 31

Figura 15 - Perfil transversal da velocidade média local em regime turbulento: comparação do perfil de

velocidades descrito pela lei da parede e pela lei logarítmica com os resultados experimentais, para o

escoamento num tubo (adaptado de Çengle e Cimbala, 2006). ................................................................ 43

Figura 16 – Métodos de cálculo efectuados junto a paredes pelo FLUENT: a) aproximação por funções de

parede (“Wall Function approach”) e b) por modelação junto da parede (“near-wall Model Approach”).

.................................................................................................................................................................... 44

Figura 17 - Domínio de cálculo utilizado nas simulações em torno de um cilindro. .................................. 48

Figura 18 - Influência do refinamento da malha no coeficiente de arrasto e no comprimento de

separação. .................................................................................................................................................. 52

Figura 19 - Influência do refinamento da malha no coeficiente de arrasto para um número de Reynolds

de 40. .......................................................................................................................................................... 53

Figura 20 – Influência do tempo de integração temporal e do refinamento da malha no número de

Strouhal e no coeficiente de arrasto nas simulações efectuadas a Re=80. ............................................... 55


iv

Figura 21 – Domínio de cálculo utilizado nas simulações em torno do cilindro principal e do cilindro de

controlo. ..................................................................................................................................................... 56

Figura 22 - Representação gráfica do coeficiente de sustentação em função do tempo para a simulação

de D1/D2=1/7. ............................................................................................................................................. 57

Figura 23 – Campo de velocidade axial para o escoamento em torno de um cilindro de principal e um

cilindro de controlo: a) supressão do desprendimento de vórtices a Re=60, b) desprendimento de

vórtices a Re=200. ...................................................................................................................................... 58

Figura 24 – Domínio de cálculo utilizado nas simulações em regime turbulento para placas planas. ...... 58

Figura 25 - Influência da distância normalizada da primeira célula à parede para simulações entre placas

paralelas. .................................................................................................................................................... 59

Figura 26 - Influência do refinamento da malha na simulação entre placas planas. ................................. 60

Figura 27 - Influência dos modelos de turbulência na simulação entre placas planas. ............................. 61

Figura 28 - Domínio de cálculo utilizado na simulação em torno de um cilindro quadrado. .................... 62

Figura 29 - Linhas de corrente instantâneas na simulação do escoamento turbulento em torno de um

cilindro quadrado para Re=20 000. ............................................................................................................ 63

Figura 30 - Dominio de cálculo utilizado nas simulações em torno de um cilindro em regime turbulento.

.................................................................................................................................................................... 65

Figura 31 – Variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro para as simulações

efectuadas com a malha M2 para Re=10 000. ........................................................................................... 70


efectuadas com a malha M3, Re=10 00. .................................................................................................... 71


efectuadas com a malha M3 para Re=10-6. ................................................................................................ 72

Figura 34 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds (adaptado de SUMER,

1997)........................................................................................................................................................... 73

Figura 35 - Variação do número de Strouhal em função do número de Reynolds (adaptado de SUMER,

1997)........................................................................................................................................................... 74

Índice de tabelas Tabela 1 – Regimes de escoamento em redor de um cilindro liso em função do número de Reynolds

(adaptado de Sumer, 1997). ....................................................................................................................... 12

Tabela 2 - Coeficientes �� ∗ e � para os vários intervalos de Reynolds. �� ∗é o erro estimado da recta

de aproximação línea. ................................................................................................................................ 15

Tabela 3 – Resultados experimentais do número de Strouhal em função da posição ocupada pelo

cilindro de controlo. ................................................................................................................................... 25

Tabela 4 – Características das malhas utilizadas nas simulações a Re=40. ................................................ 51

Tabela 5 - Comparação dos resultados obtidos com os valores da literatura, Re=40. .............................. 51

Tabela 6 - Resultados da simulação a Re 40 utilizando 3 malhas com diferentes refinamentos e resíduos

de 1E-4 a 1E-9. .............................................................................................................................................. 52

Tabela 7 - Características da malha utilizada na simulação para um número de Reynolds de 80. ........... 53

Tabela 8 -Influência tempo de integração e do refinamento da malha na direcção radial no número de

Strouhal e no coeficiente de arrasto. ......................................................................................................... 54


v

Tabela 9 - Características da malha utilizada na simulação com 2 cilindros. ............................................. 55

Tabela 10 - Resultados das simulações efectuadas para cilindro com uma razão entre diâmetros de

D1/D2=1/7. .................................................................................................................................................. 56

Tabela 11 - Resultados da Simulação para D1/D2=1/10. ............................................................................ 57

Tabela 12 - Características das malhas utilizadas na simulação entre duas placas paralelas. ................... 60

Tabela 13 - Características da malha utilizada nas simulações em torno de um cilindro de secção

quadrada a Re= 20 000. .............................................................................................................................. 62

Tabela 14 - Resultados da simulação em torno de um cilindro quadrado, em regime turbulento Re 20

000. ............................................................................................................................................................. 63

Tabela 15 - Características da malha utilizada nas simulações em torno de um cilindro de secção circular.

.................................................................................................................................................................... 66

Tabela 16 - Resultados das simulações em que de estudou a influência da distância entre a parede do

cilindro e a primeira célula da malha. ........................................................................................................ 67

Tabela 17 - Estudo da influência no refinamento da malha nas simulações em torno de um cilindro para

regime turbulento. ..................................................................................................................................... 68

Tabela 18 - Estudo da influência do tempo de integração temporal nas simulações em torno de um

cilindro para regime turbulento utilizando uma malha com y+=10 para a primeira célula. ...................... 68

Tabela 19 - Estudo da influência dos modelos de turbulência nas simulações em torno de um cilindro

para regime turbulento utilizando uma malha com y+=10 para a primeira célula e ∆t/t=1/1000. ............ 69

Tabela 20 - Resultados das simulações para Re=10 000 e comparação com os resultados da literatura. 70

Tabela 21 - Resultados das simulações para Re=10-6 e comparação com os resultados da literatura. ..... 72


vi


vii

Notação e Glossário

Símbolos latinos

A área do cilindro frontal ao escoamento m2

AP área planiforme m2

CD coeficiente de arrasto

CD’ amplitude do coeficiente de arrasto

CD, fricção coeficiente de arrasto de fricção

CD, pressão coeficiente de arrasto de pressão

CL coeficiente de sustentação

CL’ amplitude do coeficiente de sustentação

Cp coeficiente de pressão

��, ��, µ parâmetros do modelo de turbulência

��, ��, �� parâmetros do modelo de turbulência

Г�,Г� difusibilidade efectiva de � e ω respectivamente

D, D1 diâmetro do cilindro m

D2 diâmetro do cilindro de controlo

ƒ frequência de ejecção de vórtices s-1

ƒa factor de fricção

FD força de arrasto N

FL força de sustentação N

g aceleração gravítica m/s2

��, ��, �� produção da viscosidade turbulenta

�� produção da taxa de dissipação especifica

� intensidade da turbulência %

� energia cinética turbulenta J/Kg

L comprimento do cilindro m

�ƒ comprimento característico da zona de formação m

�� comprimento característico de difusão m

Nr número de nodos radiais

Nθ número de nodos na direcção tangencia

P pressão do fluido Pa

P∞ pressão medida sobre a superfície do corpo Pa

� raio do cilindro m


viii

Re número de Reynolds

� termo fonte das equações na forma discreta

St número de Strouhal

��, � velocidade média m/s

�′ flutuação da velocidade m/s

�� velocidade em coordenadas de parede

�� velocidade de fricção m/s

�, �, � componentes cartesianas da velocidade m/s

� !�"!###### tensor da tensão de Reynolds rad/s

w frequência angular

Y + distância normal em coordenadas de parede

$� termo de destruição da viscosidade turbulenta

$% contribuição da flutuação da dilatação na turbulência

$�, $� dissipação turbulenta de � e ω respectivamente

&, ', ( coordenadas cartesianas

Letras gregas

ε taxa de dissipação turbulenta m2/s3

µ viscosidade dinâmica kg/(m.s)

ν viscosidade cinemática m2/s

ντ viscosidade cinemática turbulenta m2/s

θ ângulo de separação da camada limite do cilindro º

)( comprimento da onda m

ρ massa volúmica kg/m3

δ tensor unitário

τ tensão de corte N/m2

ω taxa de dissipação específica s-1

*� gradiente do vector velocidade

∆nc/D distância do centro da primeira célula à parede, normalizada pelo diâmetro do cilindro

∆, �⁄ variação da dimensão radial das células adimensionalizadas pelo raio do cilindro

∆t tempo de integração temporal s

∆t/t tempo de integração temporal adimensionalizado pelo tempo de um ciclo

∆θ variação angular de cada célula relativamente ao centro do cilindro º


ix

Abreviaturas

CFD Dinâmica de fluidos computacional (Computacional Fluid Dynamics)

DNS Simulação numérica directa (Direct Numerical Simulation)

DSN Modelo de tensões diferenciais

LES Simulação das grandes escalas (Large Eddy Simulation)

QUICK Esquema das diferenças a montante de 3ª ordem (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics)

MDF Método das diferenças finitas

MEF Método dos elementos finitos

MVF Método dos volumes finitos

MLSFD Método de diferenças finitas com b)ase em minimos quadrados (Least Square-based Finite Difference Method

MUSCL Esquema monótono centrado a montante para leis de conservação (Monotone Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws)

PISO Método de pressão implícita com separação de operador (Pressure-Implicit with Splitting of Operators)

RANS Equações de Navier-Stokes com média de Reynolds (Reynolds Averaged Navier-Stokes Equation)

r.m.s desvio padrão (root mean square)

RSM Modelo de tensões de Reynolds (Reynolds Stress Model)

SIMPLE Método Semi-Implícito para equações ligadas (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations)

UDS Esquema de diferenças de montante de 1ª ordem (Upwind Differencing Scheme)


x


1

Capítulo 1

Introdução

1.1 Enquadramento e apresentação do Projecto

Numa Estação de Tratamento de Águas Residuais (ETAR) as águas residuais passam por vários

processos de tratamento com o objectivo de diminuir a quantidade da matéria poluente antes de serem

encaminhadas para o mar ou rio. A água residual que chega à ETAR passa por um tratamento preliminar

que consiste na separação dos sólidos mais grosseiros. Aqui a água residual passa primeiro através de

grades, que retêm os materiais sólidos de grandes dimensões. No tratamento primário, as substâncias

sólidas em suspensão vão depositar-se no fundo dos decantadores. Neste tratamento é feita também uma

operação de desengorduramento que consiste em remover as gorduras e óleos presentes na água residual.

A água resultante destes processos passa depois por um tanque de arejamento que combina a agitação

com a injecção de ar. No tratamento secundário a água passa por um tanque com bactérias as quais vão

eliminar a matéria orgânica dissolvida e em suspensão. A eficiência de um tratamento secundário pode

chegar a 95%. No entanto, para a remoção de organismos patogênicos ou, em casos especiais, a remoção

de determinados nutrientes, como o nitrogénio (azoto) e o fósforo, que podem potenciar, isoladamente

e/ou em conjunto, a eutrofização das águas receptoras efectua-se um terceiro tratamento que consiste

numa desinfecção. No tratamento terciário a água passa por um tanque onde é desinfectada com cloro ou

ozono ou através de raios ultravioletas. As estações de tratamento de águas residuais presentemente

implementadas na cidade do Porto (Sobreiras e Freixo) efectuam a desinfecção por radiação ultravioleta.

Neste processo a água a tratar circula através de um banco de lâmpadas de radiação ultravioleta sendo

submetida à acção da radiação ultra-violeta.

É comum o uso de radiação ultravioleta na desinfecção de água em modernas ETAR, mas pouco se

conhece da eficiência desses sistemas, especialmente no que diz respeito aos efeitos da ejecção de

vórtices sobre o tempo de exposição das partículas de fluido e a consequente dose de radiação. As fontes

de UV são frequentemente cilindros de secção circular colocados perpendicularmente ao escoamento e

pensa-se que os microorganismos contidos no interior de vórtices ficam expostos a quantidades de

radiação muito diferente dos que não são capturados nestas estruturas, afectando a eficiência global do

sistema.


2

Este trabalho está inserido num projecto que visa estudar experimental e numéricamente uma nova

técnica para melhorar o tratamento de águas residuais por radiação ultravioleta através da supressão de

ejecção de vórtices que constitui a esteira de von Kármán. Esta tese cobre as primeiras fases deste

projecto a três anos.

Assim, desenvolveu-se uma instalação constituída por um cilindro de 40 mm de diâmetro, apetrechado de

um segundo cilindro de controlo de 3 mm ou 4 mm de diâmetro o qual pode ser colocado em várias

posições radiais ou angulares e que permite estudar algumas configurações onde ocorre essa supressão/

atenuação de ejecção de vórtices. Nesta situação efectuaram-se visualizações do escoamento em torno dos

cilindros, tendo-se variado a posição radial do cilindro de controlo de 20º a 120º, a partir do ponto de

estagnação frontal e de 3 mm, 6 mm e 9 mm na posição vertical, para averiguar o impacto sobre a ejecção

de vórtices, sobretudo em termos de frequência de ejecção. De notar que este conjunto de ensaios

experimentais não foi conduzido exaustivamente sendo ainda necessário efectuar medições nas posições

posteriores ao cilindro e usando uma nova técnica mais precisa.

De modo a estudar a eficiência da desinfecção por radiação é necessária uma correcta previsão numérica

do escoamento turbulento a um número de Reynolds que se situam entre 10 000 e 20 000. Contudo, a

previsão das características hidrodinâmicas de um escoamento em regime turbulento baseia-se no uso de

modelos de turbulência e estes nem sempre apresentam bons desempenhos, isto é, nem sempre estes

prevêem correctamente as características hidrodinâmicas do escoamento. Assim, efectuou-se um estudo

numérico comparativo das capacidades preditivas dos modelos de turbulência implementados no código

FLUENT, na perspectiva da previsão do escoamento em torno de um cilindro. O recurso a este código

comercial deriva de facto deste possuir a capacidade de realizar estudos de exposição à radiação,

característica essencial para alcançar os objectivos do projecto.

Este trabalho insere-se pois no projecto de investigação e contribuindo para a concretização de duas das

fases iniciais do trabalho, não sendo por isso ainda conclusivo em termos do projecto. No essencial este

trabalho contribui para a montagem e testes preliminares da instalação experimental, preparando as fases

seguintes do trabalho experimental, e na vertente numérica ele averigua da capacidade preditiva dos

vários modelos de turbulência disponíveis no código comercial em relação ao escoamento turbulento em

torno de um cilindro por forma a ajudar à escolha do modelo que será posteriormente utilizado para os

cálculos mais complexos. Como parte inicial deste estudo do escoamento em torno de um cilindro no

regime turbulento decorreu um trabalho de simulação numérico de previsão de escoamentos laminar e em

torno de um cilindro para vários números de Reynolds, que visa averiguar o impacto sobre os resultados

do tipo de malha, do seu refinamento e dos métodos numéricos de discretização utilizados.

1.2 Organização da tese

Após esta introdução, é feita no capítulo 2, uma breve revisão do conhecimento actual relativo ao

escoamento em torno de cilindros, com o intuito de procurar fundamentar o trabalho aqui realizado,

seguindo-se no capítulo 3 a descrição da instalação experimental e os resultados dos testes preliminares já


3

realizados. O capítulo 4 apresenta as equações fundamentais para a solução numérica deste escoamento,

incluindo o conjunto de modelos de turbulência disponível no código de mecânica de fluidos

computacional FLUENT. O capítulo 5, apresenta alguns aspectos que relacionam a simulação numérica e

as opções tomadas aquando da utilização do código FLUENT e do gerador de malhas GAMBIT, e

procede-se ao cálculo numérico de um conjunto de casos para averiguar aspectos como a convergência

iterativa, incertezas dos resultados e sua dependência do grau de refinamento da malha. Estes cálculos em

regime laminar e turbulento referem-se a casos bem documentados na literatura que servem assim como

base de comparação para um exercício de validação. No capítulo 6, apresentam-se e discutem-se então os

resultados do estudo numérico do escoamento turbulento em tono de um cilindro circular. A tese termina

no capítulo 7, onde se apresentam as principais conclusões do trabalho e se fazem várias sugestões

relevantes para a continuação do projecto de investigação, quer na vertente experimental quer numérica.


4


5

Capítulo 2

Escoamento em torno de corpos imersos:

Fundamentos teóricos

2.1 Conceitos Fundamentais

Escoamentos em torno de corpos ocorrem frequentemente na prática, e são responsáveis por inúmeros

fenómenos físicos tais como a força de arrasto que actua nos automóveis, a força de sustentação

desenvolvida pelas asas dos aviões ou a energia gerada pela passagem do vento nas turbinas eólicas, entre

outros.

Portanto, desenvolver uma boa compreensão do escoamento externo é importante na construção de

muitos sistemas de engenharia tais como em projecto de aeronaves, edifícios, barcos e todo o tipo de

turbinas. Estas noções são convenientemente analisadas fixando o sistema de referência no corpo e estes

escoamentos são designados por escoamentos exteriores em torno de corpos. O escoamento pode ser

classificado como estacionário ou transiente, dependendo esta classificação em parte do referencial

seleccionado. Para uma aeronave, por exemplo, o escoamento é sempre transiente em relação à referência

solo mas, perspectiva Eulariana, mas é estacionário quando a referência se desloca juntamente com o

avião, perspectiva Lagrangiana. O campo de escoamento e a geometria para muitos problemas de

escoamentos exteriores são demasiado complicados para serem resolvidos analiticamente, e é necessário

ou confiar em correlações baseadas em resultados experimentais ou proceder a simulações numéricas do

escoamento, o que nalguns casos pode ainda necessitar do recurso a modelos como acontece quando o

escoamento decorre no regime turbulento.

A velocidade do fluido que se aproxima do corpo é chamada de velocidade de corrente livre (free-stream

velocity) e designa-se por .∞. A gama de velocidade varia de zero na superfície (condição de não

deslizamento) até ao valor da corrente livre distante da superfície e o índice ∞ serve para relembrar que

este valor é obtido a uma distância onde a presença do corpo não é sentida.

A geometria do corpo tem influência no escoamento em torno do corpo e no campo de velocidade. Diz-se

que o escoamento em torno de um corpo é bi-dimensional quando um corpo é suficientemente longo na

direcção neutra e é de secção constante nessa direcção sendo ainda o escoamento perpendicular ao corpo.


6

A idealização das duas dimensões é apropriada quando o corpo é suficientemente longo, os efeitos nos

topos são insignificantes e o escoamento não perturbado é uniforme. O escoamento sobre corpos que não

podem ser modelados como bi-dimensionais, como por exemplo um carro, são designados por tri-

dimensionais.

2.2 Conceitos de força de arrasto e força de sustentação

É uma experiência comum que um corpo ofereça alguma resistência quando é forçado a mover-se através

de um fluido. O fluido exerce forças e momentos no corpo em várias direcções. A força que o fluido em

escoamento exerce num corpo na direcção do escoamento é designada por força de arrasto, FD. Na

ausência de escoamento, hidrostática, um fluido só exerce forças normais de pressão na superfície do

corpo imersa no fluido. Um fluido em movimento, contudo, exerce também forças tangenciais de corte

(tangencial shear forces) na superfície do corpo por causa da condição de não deslizamento causada pelos

efeitos viscosos, bem como forças normais associadas à tensão viscosa, mas que são significativamente

inferiores às forças de pressão. Nos corpos bidimensionais todas as forças, em geral têm componentes nas

direcção tangencial e normal ao escoamento, e assim a força de arrasto é uma combinação dos efeitos da

pressão e das tensões de corte (wall shear forces) na direcção do escoamento. A componente da pressão e

da tensão de corte na direcção normal ao escoamento tendem a mover o corpo nessa direcção, e esta

resultante é designada por força de sustentação, FL. A representação gráfica destas forças está ilustrada

na figura 1.

Para um escoamento tri-dimensional, existe também uma componente lateral da força na terceira direcção

(que aqui vamos considerar ser a direcção z) que tende a movimentar o corpo nessa direcção. As forças

do fluido também podem gerar momentos e causar a rotação do corpo. O momento sobre a direcção do

escoamento é designado por momento de rolamento, o movimento na direcção de sustentação é designado

por momento de rotação lateral e o momento da força lateral é designado por momento de inclinação. A

força de arrasto (FD) e de sustentação total (FL) que actuam num corpo podem ser determinadas a partir

das distribuições de pressão (P) e tensão de corte (τw) usando as equações:

Figura 1 - Força de pressão e viscosidade a actuar num corpo bi-dimensional e a resultante da força de

sustentação e arrasto (adaptado de Çengel e Simbala, 2006).


7

/0 = 2 3/0 = 2 4−6 789: + <=9>?:@3ABB (2.1)

/C = 2 3/C = − 2 46 9>? : + <= 789:@3ABB (2.2)

O ângulo θ é o ângulo da normal do elemento de área dA relativamente à direcção do escoamento e

medido a partir do ponto de estagnação frontal. A força de arrasto e a força de sustentação dependem da

massa volúmica do fluido ρ, da velocidada corrente livre a montante, do tamanho, forma e orientação do

corpo. Uma vez que não é prático apresentar estas forças para uma variedade de situações utilizam-se

números adimensionais que representam as forças de arrasto e de sustentação do corpo. Estes números

são o coeficiente de arrasto 4D0) e o coeficiente de sustentação 4DC@ que estão definidos por:

D0 = EFGHIJHK (2.3)

DC = ELGHIJHK , (2.4)

onde A é a área frontal (área projectada na direcção normal do escoamento). No caso do cilindro de

diâmetro D e comprimento L a área frontal é definida por A=LD. Os coeficientes de arrasto e de

sustentação são também função do número de Reynolds e da rugosidade da superfície.

Como mencionado atrás a força de arrasto resulta das forças exercidas pelo fluido num corpo na direcção

do escoamento devido ao efeito combinado da tensão na parede e da força de pressão. Por vezes é mais

esclarecedor separar os dois efeitos e estudá-los em separado. A parte do arrasto que é devido à tensão de

corte na parede é designada por coeficiente de arrasto de fricção, D0,MNOPçãS, desde que isso seja causado

pelos efeitos de fricção, e a parte que é devida à pressão é designada por coeficiente de arrasto de

pressão D0,TNUVVãS, (também designada por arrasto de forma devido à sua forte dependência da geometria

do corpo). Estes coeficientes estão definidos por:

D0,MNOPçãS = EF,WXYZçã[GHIJHK (2.5)

D0,TNUVVãS = EF,\X]^^ã[GHIJHK . (2.6)

O coeficiente total de arrasto é determinado pela adição dos termos anteriores:

D0 = D0,MNOPçãS + D0,TNUVVãS (2.7)


8

O coeficiente de arrasto de fricção é a componente da força de corte na parede na direcção do

escoamento, e assim é dependente da orientação do corpo e também da magnitude da tensão de corte na

parede, τw. O coeficiente de arrasto de pressão é proporcional à área frontal e às diferenças de pressão que

actuam na parte frontal e posterior do corpo. O coeficiente de arrasto de pressão torna-se mais

significativo quando a velocidade do fluido é demasiado alta para que o fluido seja capaz de seguir a

curvatura do corpo, e nesse caso o escoamento separa-se do corpo criando uma zona de baixas pressões

na região posterior do corpo. O coeficiente de arrasto de pressão é neste caso devido a elevadas diferenças

de pressão entre a parte frontal e posterior do corpo.

2.3 Conceito de camada limite e separação do escoamento

Num fluido em escoamento sobre um objecto sólido desenvolve de tensões de corte na camada de fluido

adjacente ao objecto. Sobre a superfície, a tensão de corte é máxima, e a velocidade tangencial do fluido é

nula, a chamada condição de não deslizamento. Ao longo da direcção normal à superfície, a tensão de

corte diminui e a velocidade tende para a velocidade do fluido antes de ser perturbado pela presença do

objecto. Estabelece-se assim um perfil de velocidades na camada adjacente ao objecto. À zona onde este

perfil se desenvolve dá-se o nome de camada limite de quantidade de movimento. O perfil de

velocidade e a espessura desta camada limite vão depender de vários factores, sendo os mais importantes

a geometria, a orientação do objecto e o número de Reynolds.

2.3.1 Placa Plana

Considere-se um fluido em escoamento não confinado, com um perfil de velocidade uniforme _∞, como

se ilustra na Figura 2. No seu trajecto, o fluido vai encontrar uma placa plana de comprimento infinito

colocada paralelamente à direcção do escoamento. Quando o fluido encontra a placa, esta exerce uma

força de corte tangencial sobre o elemento de fluido. Este elemento de fluido não desliza, pára, e passa a

exercer uma força de corte tangencial sobre o elemento de fluido mais próximo, retardando-o. Por sua

vez, este elemento vai retardar outro elemento de fluido adjacente e assim sucessivamente. Este retardar

dos elementos de fluido propaga-se, com uma intensidade cada vez mais atenuada, até que a alguma

distância da placa, δ, na direcção normal, a acção das forças de corte deixa de se fazer sentir. A partir

dessa distância, a velocidade do fluido volta a ser .∞. A toda a zona em que o fluido é retardado pela

presença da placa chama-se camada limite de quantidade de movimento. A figura 2 representa a

transição entre a zona de fluido retardado e a zona onde a velocidade do fluido deverá ser naturalmente,

igual à do escoamento ou seja, .∞. Para um dado valor de a > 0, a transição entre estas duas zonas é

efectuada ao longo da coordenada y, através de um perfil de velocidade 0 ≤ e4f@ ≤ .∞. Para valores de y

superiores a um dado limite, designado por δ, o perfil de velocidade encontra-se já ajustado e passa a ser

uniforme ao longo daquela coordenada (e = .∞).


Figura 2 – Conceito de camada limite

Em 1904, Prandtl salientou pela primeira vez que a espessura da camada limite era função da razão

as forças de inércia e as forças viscosas qu

onde ρ é a massa volúmica e µ a viscosidade do fluido.

de placa plana x é o comprimento da placa)

Reynolds, Re, traduz a importância

baixo de Re corresponde um predomínio

forças de inércia, isto é, maior será a espessura da camada limite, tal como se po

Situação bem diferente é a que conduz a um elevado valor de

e o efeito viscoso apenas se faz sentir na vizinhança imediata da supe

menor quanto maior o valor de Re

lugar geométrico dos pontos onde a velocidade

2.3.2 Cilindro

O escoamento em torno do cilindro, quando comparado com o escoamento sobre uma placa plana,

um comportamento diferente. No caso do cilindro verifica

ordem 5 o escoamento se separa do objecto, isto é as linh

objecto em toda a sua superfície, mas a dada altura o fluido segue em frente separando

formando uma bolha de recirculação

elevados forma-se uma esteira. A formação desta esteira caracteriza

movimento e pela presença de pressões relativamente baixas que geram uma força paralela ao eixo

se opõe ao movimento do fluido, conhecida por arrasto de pressão. A figura

corrente para o caso ideal onde as

velocidade são ambos simétricos, não ocorrendo portanto a separação.

corrente para o caso real de escoamento em redor do cilindro onde ocorre a separação do escoamento.


9

Conceito de camada limite (adaptado de Munson et al, 2004).

Em 1904, Prandtl salientou pela primeira vez que a espessura da camada limite era função da razão

as forças de inércia e as forças viscosas que actuam no fluido, isto é do número de Reynolds,

g> = MSNçhV OiUNPOhOV

MSNçhV jOVPSVhV1

Ik∞l

µ

a viscosidade do fluido. a e .∞ são o comprimento característico

é o comprimento da placa) e a velocidade da corrente livre do escoamento.

traduz a importância relativa dos efeitos de inércia e viscosos. Assim, a um valor muito

corresponde um predomínio das forças viscosas comparativamente com a intensidade das

maior será a espessura da camada limite, tal como se pode visualizar na figura 3.

Situação bem diferente é a que conduz a um elevado valor de Re, as forças de inércia são preponderantes

e o efeito viscoso apenas se faz sentir na vizinhança imediata da superfície sólida, numa extensão tanto

Re. Por convenção definiu-se a espessura da camada limite como sendo o

lugar geométrico dos pontos onde a velocidade u paralela à placa atinge 99% da velocidade externa U.

O escoamento em torno do cilindro, quando comparado com o escoamento sobre uma placa plana,

. No caso do cilindro verifica-se que a partir de um número de Reynolds da

o escoamento se separa do objecto, isto é as linhas de corrente do escoamento não contornam o

objecto em toda a sua superfície, mas a dada altura o fluido segue em frente separando

bolha de recirculação atrás do corpo para 5 n g> n 40, e para números de

. A formação desta esteira caracteriza-se por um défice de quantidade de

movimento e pela presença de pressões relativamente baixas que geram uma força paralela ao eixo

movimento do fluido, conhecida por arrasto de pressão. A figura 4

corrente para o caso ideal onde as tensões de corte são inexistentes e os campos de pressão e de

velocidade são ambos simétricos, não ocorrendo portanto a separação. A figura


Linha de Corrente

Camada Limite


Em 1904, Prandtl salientou pela primeira vez que a espessura da camada limite era função da razão entre

mero de Reynolds,

(2.8)

o comprimento característico (no caso

do escoamento. O número de

. Assim, a um valor muito

comparativamente com a intensidade das

de visualizar na figura 3.

, as forças de inércia são preponderantes

rfície sólida, numa extensão tanto

se a espessura da camada limite como sendo o

paralela à placa atinge 99% da velocidade externa U.

O escoamento em torno do cilindro, quando comparado com o escoamento sobre uma placa plana, exibe

a partir de um número de Reynolds da

as de corrente do escoamento não contornam o

objecto em toda a sua superfície, mas a dada altura o fluido segue em frente separando-se da superfície e

números de Reynolds mais

se por um défice de quantidade de

movimento e pela presença de pressões relativamente baixas que geram uma força paralela ao eixo x, que

4-a) ilustra as linhas de

corte são inexistentes e os campos de pressão e de

A figura 4-b) ilustra as linhas de


Superfície de controlo


Figura 3 – Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda: (a) escoamento com

laminar; (b) escoamento com Re alto (

Figura 4 – Escoamento em redor de um cilindro circular estacionário: a) caso ideal, b) caso real com separação

do escoamento (adaptado de Munson et al., 2004)

Diversos factores podem modificar as características da esteira a jusante de cilindros

quais se destaca o número de Reynolds.

predominam sobre as forças de inércia

contornam suavemente o corpo sólido, sem des

quer na parte frontal quer na parte posterior

Este comportamento é similar

simetria posterior devido ao crescimento do

Fina Camada Limite


10

Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda: (a) escoamento com

com Re alto (adaptado de White et al., 1986).

Escoamento em redor de um cilindro circular estacionário: a) caso ideal, b) caso real com separação

Munson et al., 2004).

tores podem modificar as características da esteira a jusante de cilindros

o número de Reynolds. A baixos números de Reynolds (Re < 1), as forças viscosas

inam sobre as forças de inércia em todo o domínio do escoamento. As

contornam suavemente o corpo sólido, sem descolamento da camada limite, apresentando

na parte posterior do cilindro, situação que está representada na Figura 5

ao descrito para o caso do escoamento ideal

devido ao crescimento do Cl ao longo do cilindro. Com o aumento do número de

Fina Camada Limite

frontal

Escoamento exterior perturbado pelo amplo fluxo de separação e esteira

Camada Limite ideal e estreita


Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda: (a) escoamento com Re baixo,

Escoamento em redor de um cilindro circular estacionário: a) caso ideal, b) caso real com separação

tores podem modificar as características da esteira a jusante de cilindros circulares, dentre os

< 1), as forças viscosas

em todo o domínio do escoamento. As linhas de corrente

apresentando-se simétricas

situação que está representada na Figura 5-a).

excepto que não existe

Com o aumento do número de


Reynolds a zona onde as forças viscosas são importantes torna

importância. À medida que o tamanho da

velocidade, quer porque as velocidades do escoamento poderão ser mais elevadas

a dimensão transversal da zona viscosa diminui de espessura, aumentando em consequência as tensões de

corte viscosas junto ao cilindro.

contornar o corpo, pois não possuem energia para resistir ao gradiente adverso

separação do escoamento, na parte posterior do cilindro, situ

Aumentando ainda mais o número de Reynolds do escoamento, a região dominada pelas forças viscosas

diminui ainda mais de espessura tor

instabilidades na região da esteira que se estende a jusante do cilindro

Neste regime, formam-se grandes estruturas turbilhonares

ambos os lados do cilindro, originan

Figura 4 - Características do escoamento em torno de um cilindro: escoamento com número de reynolds (a)

baixo, (b) moderado e (c) alto, (adaptado

A formação e a extinção dos vórtices

laminar, de transição ou turbulento. Com base no número de Reynolds,

padrões de escoamento na esteira de um cilindro circular

observa na Tabela 1.

A teoria da camada limite pode prever

precisão a distribuição de pressões (em geral baixas) na região de

camada limite não é valida. A figura 6 ilustra o efeito significativo do escoamento separado

distribuição de pressões.

Efeitos viscosos

não importantes

Forças viscosas importantes

Viscosidade não

importante

Camada


11

a zona onde as forças viscosas são importantes torna-se pequena e as forças de inércia ganham

o tamanho da zona viscosa se reduz dá-se um aumento dos gradientes de

velocidade, quer porque as velocidades do escoamento poderão ser mais elevadas


O atrito do escoamento é tal que as linhas de corrente já não conseguem

, pois não possuem energia para resistir ao gradiente adverso

na parte posterior do cilindro, situação que está representada na Figura 5


diminui ainda mais de espessura tornando-se fina formando uma camada limite

região da esteira que se estende a jusante do cilindro, caso representado na figura 5

se grandes estruturas turbilhonares que podem desprender

, originando a chamada esteira de von Kármán.

Características do escoamento em torno de um cilindro: escoamento com número de reynolds (a)

adaptado de Munson et al., 2004)

extinção dos vórtices na esteira são afectados pelo regime de esc

ou turbulento. Com base no número de Reynolds, Sumer

amento na esteira de um cilindro circular em escoamento estacionário, conforme

A teoria da camada limite pode prever a existência do ponto de separação, mas não pode avaliar com

precisão a distribuição de pressões (em geral baixas) na região de escoamento separado pois aí a teoria da

. A figura 6 ilustra o efeito significativo do escoamento separado

Região Separação

Efeitos viscosos

importantes

Bolha de Separação

Efeitos viscosos

importantes

Efeitos viscosos

importantes

Forças viscosas importantes

Viscosidade não

importanteSeparação da

camada limite

Camada limite Região da esteira


se pequena e as forças de inércia ganham

se um aumento dos gradientes de

velocidade, quer porque as velocidades do escoamento poderão ser mais elevadas, mas sobretudo porque


do escoamento é tal que as linhas de corrente já não conseguem

, pois não possuem energia para resistir ao gradiente adverso e nessa altura dá-se a

ação que está representada na Figura 5-b).


camada limite inercial e surgem

, caso representado na figura 5-c).

desprender-se periodicamente de

Características do escoamento em torno de um cilindro: escoamento com número de reynolds (a)

regime de escoamento, que pode ser

Sumer (1997) identifica nove

stacionário, conforme se

o ponto de separação, mas não pode avaliar com

escoamento separado pois aí a teoria da

. A figura 6 ilustra o efeito significativo do escoamento separado sobre a


12

Tabela 1 – Regimes de escoamento em redor de um cilindro liso em função do número de Reynolds (adaptado

de Sumer, 1997).

A curva teórica para fluidos sem viscosidade está marcada a tracejado, na figura 6-c. A figura representa a

variação do coeficiente de pressão CP que se descreve como:

Dp = pqrpGHIkqH (2.9)

Vórtices

laminares

Transição para

turbulência na esteira

Esteira completamente turbulenta

A: Separação da camada limite laminar

Sub Crítico

A: Separação da camada limite laminar

B: Separação da camada limite turbulenta:

nas camada limite laminar Crítico

Super Critico

Transição superior

Transcritico C: Camada limite completamente

turbulenta nos dois lados

C: Camada limite completamente

turbulenta num lado

B: Separação da camada limite turbulenta:

Camada limite parcialmente laminar e

parcialmente turbulenta

Um par fixo de vórtices simétricos

Sem separação. Fluxo definido


onde 6� e .� são a pressão e a velocidade da corrente livre, respectivamente.

pressão da camada limite laminar e turbulenta são

inviscida, esta situação está ilustrada na figura 6

Figura 5 - Escoamento em torno de um cilindro: (a) separação laminar; (b) Separação turbulenta; (c) Distribuição

de pressões na superfície (adaptado de Munson

O escoamento laminar é muito vulnerável ao gradiente adverso de pressão na traseira do cilindro e a

separação ocorre em θ s82º. A esteira larga

um coeficiente de arrasto da ordem de

resistente devido à energização da cama

fora para dentro da camada limite e assim esta resiste um

separação é retardada até θ s120º, ocasionando uma esteira

um coeficiente arrasto 75% menor,

transição de regime de escoamento

Os fenómenos de deslocamento, formação da

existência de viscosidade e ao aparecimento de um gradiente positivo de pressões junto à parede do

obstáculo (gradiente de pressão adverso), correspondente ao escoamento exterior à camada limite. Ora,

quanto maior for a curvatura das paredes, maior será o gradiente de pressões e portanto mais inten

todos estes fenómenos.


13

são a pressão e a velocidade da corrente livre, respectivamente. As distribui

limite laminar e turbulenta são naturalmente diferentes das previstas pela teoria

, esta situação está ilustrada na figura 6-c.

Escoamento em torno de um cilindro: (a) separação laminar; (b) Separação turbulenta; (c) Distribuição

superfície (adaptado de Munson et al., 2004).


. A esteira larga e a pressão muito baixa na região de separação laminar causa

coeficiente de arrasto da ordem de CD=1.2. A camada limite turbulenta na figura 6

devido à energização da camada limite provocada pela turbulência, que transporta energia de

fora para dentro da camada limite e assim esta resiste um pouco mais ao gradiente de pressão adverso,

120º, ocasionando uma esteira mais estreita, uma pressão a jusante maior e

arrasto 75% menor, CD=0.3. Isto explica a queda brusca do coeficiente de

de regime de escoamento.

Os fenómenos de deslocamento, formação da estrada de vórtices, estão normalmente associados

ao aparecimento de um gradiente positivo de pressões junto à parede do

ente de pressão adverso), correspondente ao escoamento exterior à camada limite. Ora,

quanto maior for a curvatura das paredes, maior será o gradiente de pressões e portanto mais inten

Esteira

larga

Esteira

estreita

Separação Separação

Laminar

Turbulento

Teoria

Inviscida


As distribuições reais de

diferentes das previstas pela teoria

Escoamento em torno de um cilindro: (a) separação laminar; (b) Separação turbulenta; (c) Distribuição


e a pressão muito baixa na região de separação laminar causa

turbulenta na figura 6 – b) é mais

que transporta energia de

pouco mais ao gradiente de pressão adverso, e a

, uma pressão a jusante maior e

coeficiente de arrasto na

de vórtices, estão normalmente associados à

ao aparecimento de um gradiente positivo de pressões junto à parede do

ente de pressão adverso), correspondente ao escoamento exterior à camada limite. Ora,

quanto maior for a curvatura das paredes, maior será o gradiente de pressões e portanto mais intensos


2.4 Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices

A característica mais importante do escoamento em torno de cilindros é o fenómeno de desprendimento

de vórtice que ocorre para Reynolds superiores a 40

do cilindro devido ao gradiente de pressão adverso imposto pela divergente geometria do escoamento a

jusante do cilindro e pela consequente perda de quantidade de movimento.

Gerrard (1966), analisou os mecanismos físicos envolvidos no

escoamento ao redor de um cilindro

maior do que o outro vórtice B

figura 7-a)), cuja vorticidade tem direc

horário o outro terá no sentido anti

cortar o fornecimento da vorticida

limite e é libertado na corrente. Imediatamente inicia

as mesmas características do primeiro, enquanto o

primeiro foi libertado, vórtice A,

forçando a sua própria separação. Este processo continua sempre que um vórtice for liber

alternada entre os lados do cilindro. A esteira de vórtices forma

de corte interagem entre si.

Figura 6 – Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices segundo Gerrard

desprendimento do vórtice A, o vórtice B está a formar

vórtice C está a formar-se na esteira (de, Sumer, 1997).

A frequência de desprendimento de vórtices

O número de Strouhal �� é um número adimension


14

de formação e desprendimento de vórtices


de vórtice que ocorre para Reynolds superiores a 40-47. A camada limite laminar

o devido ao gradiente de pressão adverso imposto pela divergente geometria do escoamento a

jusante do cilindro e pela consequente perda de quantidade de movimento.

Gerrard (1966), analisou os mecanismos físicos envolvidos no fenómeno de formação de

amento ao redor de um cilindro. Devido à instabilidade, um vórtice (vórtice

e é suficientemente forte para atrair o vórtice oposto

, cuja vorticidade tem direcção inversa à do maior, ou seja, se um tem vorticidade no

erá no sentido anti-horário. A aproximação do vórtice B, com vorticidade oposta, vai

rtar o fornecimento da vorticidade do vórtice A. Nesse momento o vórtice A

Imediatamente inicia-se a formação de um terceiro vórtice

as mesmas características do primeiro, enquanto o vórtice B cresce. Daí, da mesma maneira que o

, vórtice A, o segundo também será, vórtice B. O vórtice B irá atrair o vórtice C

separação. Este processo continua sempre que um vórtice for liber

alternada entre os lados do cilindro. A esteira de vórtices forma-se assim apenas quando as duas camadas

Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices segundo Gerrard

desprendimento do vórtice A, o vórtice B está a formar-se na estira; b) antes do desprendimento do vortice B, o

se na esteira (de, Sumer, 1997).

ência de desprendimento de vórtices f está directamente relacionada com o número de

um número adimensional, definido por:

�� = M 0

k


de formação e desprendimento de vórtices


laminar separa-se da superfície

o devido ao gradiente de pressão adverso imposto pela divergente geometria do escoamento a

de formação de vórtices no

órtice A, figura 7-a)) torna-se

forte para atrair o vórtice oposto, menor (vórtice B,

maior, ou seja, se um tem vorticidade no sentido

B, com vorticidade oposta, vai

desprende-se da camada

se a formação de um terceiro vórtice, vórtice C, com

Daí, da mesma maneira que o

vórtice B irá atrair o vórtice C,

separação. Este processo continua sempre que um vórtice for libertado de maneira

quando as duas camadas

Mecanismo de formação e desprendimento de vórtices segundo Gerrard (1966): a) antes do

do desprendimento do vortice B, o

tamente relacionada com o número de Strouhal.

(2.10)


15

onde t é a frequência de desprendimento de vórtices de Von Kármán, D é a dimensão característica e . é

a velocidade da corrente livre. O número de Strouhal depende do número de Reynolds, essa dependência

foi estudada e está documentada por Fey (1998). Baseando-se em dados experimentais desenvolveu-se

uma nova lei que descreve a dependência entre o número de Strouhal e o número de Reynolds descrita

por �� = ��∗ + �/√g>. Esta formula, com coeficientes diferentes, aplica-se desde o início da formação

dos vórtices a Re = 47 até Re < 2 × 10z tal como se pode visualizar no figura 8.

Figura 7 – Curva do número de Strouhal em função do número de Reynolds para a faixa de: 47< Re < 2x105

(adaptado de Fey et. al., 1998).

Os coeficientes ��∗ e � foram obtidos por ajuste para várias gamas de número de Reynolds e estão

apresentados na tabela 2.

Tabela 2 - Coeficientes �{∗ e % para os vários intervalos de Reynolds. |�{∗é o erro estimado da recta de

aproximação línea.

Gama de Re �{∗ % |�{∗ 47 < Re < 180 0.2684 -1.0356 0.0010

180 < Re < 230 0.2437 -0.8607 0.0015

230 < Re <2 40 0.4291 -3.6735 0.0015

240 < Re < 360 Depende das condições nos topo do cilindro

360 < Re < 1300 0.2257 -0.4402 0.0015

1300 < Re < 5000 0.2040 0.3364 0.0015

5000< Re < � × �}~ 0.1776 2.2023 0.003

Regime

subcrítico

Vórtices

na

camada

de corte

Transição

da esteira

Transição tardia da esteira

Desprendimento laminar

paralelo de vórtices

Modo B de

desprendimento

Bi – transição

(crise de arrasto)


16

2.5 Estado da Arte

O escoamento externo em torno de corpos representa uma importante área da dinâmica de fluidos com

um elevado número de aplicações em muitas áreas da engenharia. Os resultados obtidos têm dado grandes

contribuições para compreender muitas situações do quotidiano. O pioneiro nestes estudos foi Von

Kármán e de seguida surgiram inúmeros trabalhos sobre este tema, quer ao nível experimental, quer

numérico em geometrias genéricas como, o cilindro circular e esfera.

No presente trabalho, estuda-se o escoamento em torno de um cilindro circular infinito não rugoso. Em

escoamento laminar têm-se feito muitos estudos que permitiram um bom entendimento dos fenómenos

físicos do escoamento. Park et al. (1998) efectuou simulações para número de Reynolds inferiores a 160

utilizando um método de elevada resolução e uma malha de 641 × 241 células. Os seus resultados

apresentaram boa concordância com os resultados experimentais e numéricos de outros autores,

relativamente às seguintes variáveis: número de Strouhal, coeficiente de arrasto e de sustentação, ângulo e

o comprimento de separação.

Os melhoramentos na capacidade computacional levaram, nos últimos anos, a estudos para elevados

números de Reynolds que têm permitido compreender os fenómenos relacionados com a turbulência

nomeadamente o aparecimento de instabilidades que acabam por originar os chamados vórtices na

camada de corte e até mesmo o fenómeno de desprendimento de vórtices. O estudo de escoamentos

turbulentos pode ser feito por diferentes abordagens, sendo as principais, a Simulação Numérica Directa

(DNS), a Simulação de Grandes Escalas (LES) e a resolução das equações de Reynolds Averaged Navier-

Stokes (RANS). Alguns são descritos de seguida.

Celik e Shaffer (1995) utilizaram o modelo k-ε padrão e efectuaram simulações 2-D para estudar

escoamentos na gama (10� < g> < 10�) numa malha de 100 × 150 células. Para o escoamento

subcrítico, g> = 1 × 10z, verificou-se uma boa concordância com resultados experimentais antes da

separação laminar e na previsão do ponto de separação, a 80º. Após o ponto de separação, o modelo não

foi capaz de prever a formação/desprendimento de vórtices. No escoamento em regime supercrítico,

g> = 3.6 × 10�, verificou-se que a distribuição de pressões e o ponto de separação, a 118º, estavam em

concordância com as medições experimentais. No entanto a tensão de corte na parede estava sobre-

estimada, com valores excessivamente elevados, que ocorrera devido à existência de vórtices turbulentos

na camada limite. Concluiu-se que os resultados eram influenciados pela distribuição da malha na camada

limite.

Kravchenko e Moin (1999), efectuaram estudos numéricos no regime sub-crítico, para g> = 3900

utilizando a técnica LES e o modelo de escala de submalha dinâmica que é usado para considerar as

escalas de turbulência tridimensionais que não são resolvidas pela malha. Na proximidade do cilindro e

na região da esteira verificou-se que os resultados estavam em concordância com os resultados

computacionais e experimentais. Neste estudo mostrou-se que os efeitos da terceira dimensão são

importantes na previsão do escoamento. Concluiu-se que uma resolução inadequada da malha pode


17

causar uma antecipação da separação da camada limite, o que leva à imprecisão do cálculo dos

parâmetros do escoamento, como o coeficiente de arrasto e de sustentação.

Catalano e tal. (2003) avaliou a viabilidade e a concordância do método LES acoplado a um modelo de

parede para escoamentos turbulentos no regime super-crítico (5 × 10z < g> < 10�) no qual a camada

limite se torna turbulenta antes da separação. Os resultados foram comparados com os obtidos através dos

modelos RANS, k-ε padrão, e com resultados experimentais. Verificou-se que os resultados prevêem

correctamente o atraso na separação da camada limite, a redução do coeficiente de arrasto e a distribuição

média de pressões para g> = 0.5 × 10� e g> = 1 × 10�. Os autores encontraram também pouca

sensibilidade em captar a variação do coeficiente de arrasto com o número Reynolds em especial para

números de Reynolds mais elevados (g> = 2 × 10�), uma vez que os resultados obtidos não seguiam os

resultados de Achenbach (1968) que previam um aumento do coeficiente de arrasto com o aumento do

número de Reynolds, o que segundo o autor, se pode dever ao facto da malha ser grosseira,

particularmente antes da separação.

Dong e Karniadakis (2005) apresentam os resultados de simulações 3-D efectuadas pelo método de

simulação numérica directa (DNS) acompanhado pelo algoritmo tipo multinível paralelo com um

elemento espectral que diminui os custos computacionais, para um número de Reynolds de 10 000. A

principal vantagem deste algoritmo paralelo é a redução de muitos processos que estão envolvidos em

cada comunicação com um nível único. O coeficiente de arrasto, o coeficiente de pressão e o número de

Strouhal obtidos para as simulações, apresentam boa concordância com os resultados experimentais. Este

facto indicou que estes parâmetros não são sensíveis à resolução da malha. Por outro lado o coeficiente de

sustentação, calculado demonstrou ser muito sensível.

Younis e Przulj (2005), refere-se à previsão de um escoamento com fluxo cruzado sobre cilindros lisos a

um elevado número de Reynolds (2 × 10� < g> < 3.5 × 10�@, considerando os cilindros circulares e

também os de secção quadrada, em 2-D. O autor salientou a dificuldade de previsão deste tipo de

escoamento, devido à esteira de vórtices de Von Kármán que se forma e que provoca flutuações

significativas nas pressões à superfície. Neste trabalho, o autor argumenta que a organização de

flutuações no campo médio do escoamento introduz um fluxo de energia para os movimentos turbulentos

aleatórios com uma frequência que corresponde exactamente à frequência de desprendimento e que torna

necessário ter em conta no fecho da turbulência aquando da modificação resultante do processo de

transferência espectral. Por isso mesmo, e para eliminar essas flutuações, o autor, propôs um modelo

RNG modificado, alterando os coeficientes de turbulência. Devido a essas alterações, as incertezas nas

previsões devido a erros de discretização numérica são sistematicamente minimizados. Os resultados para

o cilindro de secção quadrada estão de acordo com os dados experimentais e com os resultados de outros

autores efectuados pelo método LES e pelo DSM (Modelo de Tensões Diferencial). No caso do cilindro

de secção circular comparam-se os resultados obtidos com o modelo RNG e com o modelo RNG

modificado, que se apresentam coerentes entre si, nomeadamente na frequência de ejecção de vórtices, no

coeficiente de arrasto e de sustentação e no ângulo de separação. Verificou-se, no caso do cilindro

circular que a captação do desprendimento dos vórtices é muito sensível à localização das células na


18

proximidade da parede e à posição de separação não se nos afigura correcta pois está localizada para

ângulos superiores aos que são característicos do regime de separação laminar, pelo menos para os

números de Reynolds no limite inferior da gama de estudo.

Reichel e Strohmeier (2008) demonstraram que os modelos de turbulência baseados nas equações de

Reynolds Averaged Navier-Stokes (modelo k-ω padrão e k-ω SST) não prevêem correctamente o

escoamento, quando existem regiões parcialmente ou totalmente laminares, como no caso da camada

limite que se forma a partir do ponto de estagnação frontal, para simulações efectuadas em 2-D.

Verificou-se que o coeficiente de arrasto e de sustentação apresentavam valores superiores ao previsto

experimentalmente para a gama de Reynolds de transição. Para tornar estes modelos mais eficientes, é

necessário que a modelação tenha em conta o processo de transição das regiões laminar para turbulento

ou utilizar modelos de ordem superior.

Um campo bastante explorado e também de suma importância nesta área, é o estudo da possibilidade de

controlar a formação e desprendimento de vórtices. O controlo dos vórtices leva à redução das forças não

estacionárias que actuam no corpo e podem reduzir significativamente as suas vibrações. O controlo do

escoamento é acompanhado pelo controlo da separação da camada limite e/ou da estrutura da camada de

corte na esteira. Zdravkovich (1981) apresentou, de um modo geral, os vários meios de supressão de

vórtices, que podem ser classificados em duas categorias: métodos passivos e métodos activos de

controlo. Os métodos activos aplicam forças rotacionais oscilatórias e electromagnéticas. Os métodos

passivos consistem na aplicação de modificações na superfície dos corpos, tais como alteração na

rugosidade, aplicação de um arame helicoidal e aplicação de um pequeno cilindro de controlo secundário,

sendo este o método que se pretende estudar neste trabalho.

Mittal e Raghuvanshi (2001) demonstram, numericamente, que o desprendimento de vórtices podia ser

alterado ou até mesmo suprimido, no regime de escoamento laminar (g> = 60, 70, 80, 100@, pela

colocação de um segundo cilindro, cujo diâmetro (D2) era de 1/7 o diâmetro do cilindro principal (D1), na

esteira do cilindro principal. O vórtice foi suprimido para um número de g>f?8�39 = 60 quando a

distância entre o centro dos dois cilindros era de P=2D1 na direcção do escoamento e T=D1 na direcção

perpendicular ao escoamento, relativamente ao diâmetro do cilindro principal. Quando a distância entre o

centro dos dois cilindros era de P=2D1 na direcção paralela ao escoamento e T=0.8D1 na direcção

perpendicular, o vórtice foi suprimido para número de g>f?8�39 = 80. Nos casos onde o vórtice é

suprimido, observa-se que o cilindro de controlo proporciona um gradiente de pressões favorável na

região da esteira, deste modo estabiliza a tensão de corte localmente.

Dalton e Xu (2001) apresentam resultados experimentais e numéricos, utilizando o modelo LES em 2D,

da supressão ou redução de vórtices pela colocação de um cilindro de controlo na camada de corte do

cilindro principal, cujo diâmetro era de 1/10 do diâmetro do cilindro principal, para números de

Reynolds de 100, 1000 e 3000. Neste trabalho, os cilindros têm uma distância entre os seus centros de

R/D1=1.2, 1.3, 1.4e 1.6, relativamente ao diâmetro do cilindro principal (D1), e fez-se mudar o ângulo de

ataque de 15º, 20º, 25º, 30º. No caso de Re=100, a supressão de vórtices ocorreu para um ângulo de

ataque de 25º e 30º e para uma distância entre os centros de R/D1=1.4 provocando uma diminuição de 33


19

% no valor do coeficiente de arrasto. No caso de Re=1 000, a supressão ocorreu para um ângulo de 25º e

para uma distância entre os centros dos cilindros de R/D1=1.2. No caso de Re=3 000 a supressão dos

vórtices ocorreu para 20º e para uma distância entre os centros dos cilindros de R/D1=1.2, com uma

diminuição do coeficiente de arrasto de 25%. Neste trabalho demonstrou-se que a supressão de vórtices

pela colocação de um cilindro de controlo, era muito sensível ao ângulo de ataque e ao espaço entre os

dois cilindros.

Dipankar et al. (2006), comprovou numericamente o trabalho desenvolvido por Stroykowski e

Sreenivasan (1990) resolvendo as equações de Navier-Stokes utilizando funções corrente de vorticidade.

Estudaram-se duas situações, no caso A, a razão entre os diâmetros era de 1/7 e a distância entre eles era

de P=1.75D1e T=D1 para um número de Reynolds de 150. No caso B, a razão entre os diâmetros era de

1/10 e a distância entre eles era de P=1.2D1e T=0.95D1 para números de Reynolds de 63 e 79. Os

resultados obtidos estavam de acordo com os resultados experimentais. Neste trabalho conclui-se que a

presença do cilindro de controlo deflectia e alongava a esteira e, portanto, o escoamento tornava-se

instável a uma distância superior do cilindro, causando o enfraquecimento dos vórtices.

Yildirim e tal. (2009), investigou numericamente o efeito da colocação de um cilindro de controlo muito

fino, nas propriedades da esteira do cilindro principal para um número de Reynolds de 100. A razão entre

o diâmetro do cilindro principal e do cilindro de controlo é de 1/50 e como tal não ocorre formação de

vórtices no cilindro de controlo. No entanto a vorticidade introduzida, pelo cilindro de controlo na

proximidade da camada de corte superior do cilindro principal, afecta a dinâmica de flutuação de vórtices

na região da sua formação no cilindro principal. Verificou-se que o efeito da posição horizontal em que se

coloca o cilindro de controlo, tem um menor efeito na frequência dos vórtices quando comparado com o

efeito da posição vertical. A posição óptima do cilindro de controlo para controlar a esteira encontra-se

dentro da fronteira de uma região elíptica fechada que se estende na região do escoamento e se restringe a

uma pequena área para razões entre diâmetros elevadas e para um determinado número de Reynolds. A

máxima redução das flutuações ocorre quando o cilindro de controlo está posicionado a T/D1=0.875 na

direcção vertical e a P/D1=0.75 na direcção horizontal. Outro dos efeitos detectado, está relacionado com

a cinética dos vórtices que leva à modificação do arranjo destes e à diferença na força entre os vórtices na

parte superior e inferior que provoca a deflexão descendente da esteira.

Dessa forma, têm-se vindo a mostrar que para uma determinada faixa de frequência e amplitude de

oscilação do escoamento, é possível garantir um certo controlo sobre os mecanismos de instabilidade que

induzem a ocorrência do fenómeno de geração e desprendimento de vórtices. Assim, este trabalho

procura examinar estes efeitos para um número de Reynolds de 10 000, bastante superior ao encontrado

na literatura, e encontrar a relação entre a posição do cilindro de controlo e a frequência de

desprendimento, analisando as variações nos coeficientes de arrasto e sustentação para os diferentes testes

realizados.


20

2.6 Conclusões

Neste capítulo apresentaram-se os conceitos fundamentais de escoamentos externos em torno de corpos,

nomeadamente o conceito de força de arrasto, força de sustentação, coeficiente de arrasto, de sustentação

e de pressão.

Explicou-se detalhadamente o conceito de camada limite para o caso da placa plana e do cilindro.

Apresentaram-se os regimes de escoamento para o caso do escoamento em redor de um cilindro em

função do número de Reynolds e explicou-se o mecanismo de formação e desprendimento de vórtices.

Da revisão bibliográfica efectuada, é de notar que já se fizeram grandes avanços no estudo do

escoamento turbulento, utilizando como método de cálculo o DNS, LES e os modelos RANS, casos este

que vão servir como referência para o estudo do escoamento turbulento em torno de um cilindro. Os

estudos apresentados na literatura relativos ao controlo da formação de vórtices para escoamentos em

torno de cilindros contemplam escoamento para números de Reynolds até 3 0000. Este trabalho visa o

estudo do efeito de um cilindro de controlo para um número de Reynolds de 10 000, regime próximo do

usado na desinfecção das águas residuais por lâmpadas de luz ultravioleta. Note-se que este regime de

escoamento é o mais difícil de prever. Um vez que existem regiões do domínio onde o escoamento é

laminar e outros onde é turbulento, pelo que os modelos têm de ser algo sofisticados para serem capazes

de lidar com esta dualidade.


21

Capítulo 3 Ensaios

Experimentais

Neste capítulo apresentam-se os resultados experimentais do estudo preliminar relativo ao controlo das

instabilidades que induzem a ocorrência do fenómeno de geração e desprendimento de vórtices realizados

para um número de Reynolds de 10 000. Os ensaios foram realizados no canal aberto instalado no

Laboratório de Hidráulica e no qual foi colocada a montagem experimental constituída por um cilindro

principal de 40 mm de diâmetro e cilindros de controlo de 3 mm e 4 mm de diâmetro. O cilindro de

controlo foi colocado em 3 posições radiais que correspondentes a 3 mm, 6 mm e 9 mm relativamente ao

cilindro principal. Foi simultaneamente movimentado angularmente entre 0º a 180º relativamente à

horizontal para cada uma das posições radiais e a partir do ponto de estagnação frontal.

Os resultados apresentados são parcialmente quantitativos, uma vez o canal só esteve disponível durante

um mês para a realização de todo o trabalho experimental e a técnica usada, visualização com tinta não

permite quantificar bem a intensidade dos vórtices.

3.1 Instalação

O presente trabalho, foi realizado no Laboratório de Hidráulica no canal de água que funciona em circuito

fechado. O canal de água utilizado possui 17 metros de comprimento, e uma secção transversal de 0.404

m de largura por 0.06 mm de altura. Possui duas secções de teste, de 3 m de comprimento cada, com

paredes em vidro. O sistema completo de recirculação possui dois reservatórios subterrâneos, quatro

bombas com 150 L/s de capacidade de bombeamento, e um reservatório superior de estabilização do

escoamento. O medidor de caudal magnético MAG-XE, com precisão nominal de 0,5% está colocado na

tubagem de alimentação do canal e permite o controlo do valor instantâneo do caudal. As condições

experimentais adoptadas foram um caudal de 32,22 L/s e uma altura de água de 0,327m. A velocidade da

corrente livre no interior do caudal é calculada pela seguinte expressão

. = �B (3.1)

na qual Q é o caudal e A é a área transversal do canal secção de testes, imediatamente a montante da

posição em que o cilindro se encontra instalado.

A montagem experimental é constituída por um cilindro principal de 40 mm de diâmetro e um cilindro de

controlo sendo o cilindro principal suportado em 2 placas planas de acrílico de 11 mm de espessura, que


22

encostam às paredes do canal. A montagem foi instalada a 6 metros da entrada do canal visto que, em

trabalhos realizados anteriormente neste canal se verificou que nesta localização as velocidades se

mantinham constantes, apresentando um desvio padrão de 0.0011. O cilindro de controlo é colocado entre

duas placas de todo circulares, de pequena dimensão, que vão permitir que a camada limite seja de

pequena espessura quanto atinge o cilindro. Na figura seguinte pode visualizar-se uma representação

esquemática do canal de água utilizado.

Para os ensaios de visualização utilizou-se a técnicas de visualização por injecção de traçadores líquidos.

Os vórtices, tornam-se visíveis, com grande nitidez e clareza, com o emprego de um traçador injectado na

corrente livre a montante do cilindro.

A injecção de traçadores líquidos tem sido utilizada no estudo de diversos tipos de escoamento, devido

sobretudo, à facilidade de implementação e ao baixo custo operacional que caracteriza esta técnica. O

processo de injecção é efectuado com o auxílio de uma agulha posicionada no interior do escoamento. A

injecção de tinta deve ocorrer de forma a introduzir a menor perturbação possível no escoamento. Assim,

a velocidade e a pressão de injecção devem ser controladas e mantidas em valores próximos àqueles

encontrados no escoamento, a fim de que o filamento de tinta se mantenha nítido e estável.

No presente trabalho, utilizou-se como traçador uma solução aquosa de permanganato de potássio. O

dispositivo de injecção, é constituído por um reservatório ligado por intermédio de uma mangueira

flexível a uma agulha dobrada em forma de cotovelo. Uma válvula, operada manualmente, faz o controlo

do caudal de tinta, gerado por gravidade, para dentro do escoamento principal. A agulha de injecção é

introduzida no interior da secção de testes a montante da instalação.

O cilindro de controlo pode ser colocado em 30 posições na radial, as quais estão espaçadas em intervalos

de 3 mm entre cada uma. O cilindro de controlo pode ser movimentado angularmente entre 0º a 180º

relativamente à horizontal, medido a partir do ponto de estagnação frontal. Utilizaram-se dois cilindros de

��

6 m

17 m

Agulha de injecção

de Traçadores

Cilindro Principal

Cilindro de Controlo

Placas Planas Placa de topo

Figura 8 – Esquema do canal de água: localização da montagem experimental, posicionamento do c cilindro

principal do cilindro de controlo e da agulha de injecção.


23

controlo com 3 mm e 4 mm de diâmetro. Na figura 10 está representada uma placa de topo e o esquema

do posicionamento do cilindro de controlo.

Utilizou-se uma câmara de filmar, colocada perpendicularmente ao canal de água com o auxílio de um

tripé, para registar o comportamento do escoamento em torno do cilindro principal para cada uma das

posições do cilindro de controlo em estudo. Do lado oposto à câmara de filmar instalou-se um projector

de luz para melhorar a luminosidade e aumentar o contraste de cor do traçador.

As visualizações registadas com a câmara de filmar foram posteriormente processadas num programa de

edição de imagem, o Roxio Creator Pro 2010 que permite a visualização lenta das imagens e apresenta o

tempo no decorrer das imagens, o que permite determinar a frequência de ejecção dos vórtices em torno

do cilindro principal.

3.2 Resultados

Os ensaios de visualização do escoamento mediante a injecção de tinta foram realizados

utilizando um cilindro de controlo de 3 mm e um de 4 mm para as 3 posições mais próximas do

cilindro principal, na direcção radial. Efectuaram-se também visualizações na posição 1 mas neste

caso, vedando o espaço entre o cilindro principal e o cilindro de controlo. Estes ensaios foram efectuados

variando, para cada posição radial, a posição angular de modo a que o cilindro de controlo fizesse um

ângulo de 20º, 40º, 60º, 80º, 90º, 100º e 120º relativamente à horizontal, medido a partir do ponto

de estagnação frontal.

Figura 9 – Esquema da instalação experimental: posicionamento do cilindro de controlo relativamente ao

cilindro principal.


24

Da análise visual dos ensaios realizados verificou-se que o comportamento do escoamento, para o caso do

cilindro de controlo de 3 mm e de 4 mm, não diferia. Verificou-se que no caso da posição 1, 2 e 3 o

corante passa predominantemente entre os dois cilindros, enquanto que no caso em que o espaço entre os

cilindros está vedado o corante é forçado a passar por cima do cilindro de controlo.

Na figura 11 podem visualizar-se imagens do escoamento para o caso do cilindro de controlo colocado na

posição 1 a 60º e 120º relativamente à horizontal utilizando um cilindro de controlo de 4 mm.

a) Posição 1 - 60⁰ b) Posição 1 - 120⁰

De modo a compreender o efeito do cilindro de controlo nas diferentes posições, determinou-se a

frequência de ejecção de vórtices e comparou-se o resultado obtido com o caso em que não estava

presente o cilindro de controlo. A frequência foi calculada pela visualização das imagens utilizando o

programa de edição de imagens que permite visualizar frame a frame o desprendimento do vórtice do

cilindro principal. Efectuou-se a contagem do número de vórtices para um período de 30 segundos, em

três amostras diferentes. Os resultados experimentais estão apresentados na forma adimensionaltendo e o

desvio padrão obtido para os ensaios é inferior a 1.5 × 10�.

Agulha de

injecção de

traçadores

Cilindro

Principal

�� Cilindro

Controlo

Figura 11 – Visualizações efectuadas com o cilindro de controlo na posição 1 e a 60⁰ e 120⁰ relativamente à

horizontal.

Figura 10 – Instalação experimental: posicionamento do cilindro de controlo relativamente ao cilindro principal

e da agulha de injecção.


25

Tabela 3 – Resultados experimentais do número de Strouhal em função da posição ocupada pelo cilindro de

controlo.

Na figura 13 está uma representação gráfica da variação do número de Strouhal em função do ângulo que

o cilindro de controlo faz com a horizontal, medido a partir do ponto de estagnação frontal.

Nestes gráficos faz-se a comparação entre os resultados dos ensaios efectuados com o cilindro de

controlo de 3 mm com o de 4 mm. Da análise dos gráficos verifica-se que os resultados obtidos com o

cilindro de controlo de 3 mm e com o de 4 mm são similares. De um modo geral, ocorre uma diminuição

do número de Strouhal, relativamente ao obtido para o cilindro sem a presença do cilindro de controlo,

quando o cilindro de controlo está posicionado a montante do cilindro principal sendo o valor mais baixo

obtido a 80º relativamente à horizontal. Verifica-se também que nos ensaios realizados com o cilindro de

controlo na posição 1 vedada, o número de Strouhal mínimo é atingido para um ângulo menor, de 60º.

Quando o cilindro de controlo está posicionado a jusante do cilindro principal o número de Strouhal

aumenta para o valor do número de Strouhal obtido na ausência do cilindro de controlo.

Na figura 13 pode visualizar-se a variação do número de Strouhal em função da posição do cilindro de

controlo. Verifica-se que o número de Strouhal é menor quando o cilindro de controlo está mais próximo

do cilindro principal, atingindo o valor mais baixo quando está na posição 1 vedada e a 60º relativamente

há horizontal. Este comportamento é verificado simultaneamente para o caso do cilindro de controlo de

3mm e de 4 mm.

Cilindro Controlo

Posição angular

Nº de Strouhal

Posição 1 - vedado Posição 1 Posição 2 Posição 3

3 mm

20 0.243 0.228 0.231 0.250

40 0.258 0.237 0.236 0.226

60 0.187 0.246 0.233 0.221

80 0.187 0.216 0.195 0.212

90 0.192 0.206 0.211 0.219

100 0.194 0.221 0.220 0.217

120 0.233 0.231 0.231 0.215

4 mm

20 0.254 0.261 0.231 0.245

40 0.260 0.255 0.240 0.224

60 0.179 0.220 0.257 0.222

80 0.181 0.194 0.202 0.197

90 0.180 0.192 0.211 0.195

100 0.184 0.213 0.220 0.212

120 0.214 0.241 0.236 0.214

Sem Cilindro de Controlo 0.233


26

Figura 12 – Número de Strouhal do desprendimento dos vórtices para as posições 1, 1 vedada, 2 e 3 em função do ângulo relativamente à horizontal.

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0 20 40 60 80 100 120

Nº

de S

trou

hal

Posição angular do cilindro de Control, graus

Posição 1 vedado, 3 mm

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0 20 40 60 80 100 120

Nº

de S

trou

hal

Posição angular do Cilindro de Controlo, graus

Posição 1, 3 mmCilindro 4 mm

Cilindro 3 mm

Sem Cilindro de Control

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0 20 40 60 80 100 120

Nº

de S

trou

hal

Posição angular do cilindro de controlo, graus

Posição 2, 6 mm

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0 20 40 60 80 100 120

Nº

de S

trou

hal

Posição angular do cilindro de controlo, graus

Posição 3, 9 mm


27

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 20 40 60 80 100 120

Nº

Str

ou

ha

l

Posição angular do Cilindro de Controlo, graus

Cilindro de Controlo de 4 mm

Posição1 vedado - 3 mm

Posição 1 - 3 mm

Posição 2 - 6 mm

Posição 3 - 9 mm

Sem Cilindro de Control

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 20 40 60 80 100 120

Nº

Str

ou

ha

l

Posição angular do cilindro de Controlo, graus

Cilindro de Controlo de 3 mm

Figura 13 - Variação do número de Strouhal em função da posição angular do cilindro de controlo.

3.3 Conclusões

Dos resultados experimentais pode concluir-se que a presença do cilindro de controlo faz diminuir a

frequência de ejecção de vórtices sempre que o cilindro esteja posicionado a montante do cilindro

principal, fazendo um ângulo com a horizontal de 60º e 80º. À medida que o cilindro de controlo se afasta

do cilindro principal, na direcção radial, menor é o efeito sentido na ejecção de vórtices e a sua frequência

aproxima-se da frequência obtida sem a presença do cilindro de controlo.

Uma vez que ainda não se conseguiu suprimir a formação e desprendimento de vórtices na esteira é

necessário dar continuidade ao trabalho experimental para testar outras posições que possam ser mais

favoráveis ao controlo dos vórtices, nomeadamente o posicionamento do cilindro de controlo a jusante do

cilindro principal onde os estudos da literatura sugerem efeitos mais intensos, e utilizar técnicas que

permitam quantificar a intensidade dos vórtices. Para esse efeito está em preparação uma nova série de

medições que utilizará um sistema de anemometria Laser-Doppler e, numa outra fase, a velocimetria por

imagem de partículas.


28


29

Capítulo 4

Equações Fundamentais

Para descrever o comportamento de um fluido sob condições específicas é necessário o conhecimento, em

todo o domínio visado, da distribuição de um certo número de variáveis dependentes. Tipicamente, as

incógnitas envolvidas neste processo são cinco: três componentes do vector velocidade e duas

termodinâmicas (pressão e temperatura, por exemplo). Para este fim dispõe-se de três equações

governativas, uma das quais é vectorial e se desdobra em três componentes, logo num total de cinco

equações.

- Lei da conservação da massa (equação de continuidade);

- Lei da quantidade de movimento (segunda lei de Newton);

- Lei de conservação de energia (primeira lei da termodinâmica).

A formulação matemática do problema considera-se completa se no seu conjunto, envolver tantas

equações quantas as incógnitas a determinar e se, para a integração de cada equação diferencial, for

possível especificar um conjunto de condições-limite em número igual à ordem da equação.

O fenómeno da turbulência é um estado de permanente instabilidade, em que o fluido apresenta um

comportamento irregular de natureza aparentemente aleatória. Tais estruturas, que designamos por

turbilhões, envolvem uma gama vasta de escalas de comprimento e frequência.

A caracterização do escoamento turbulento implica a resolução de problemas tridimensionais e

dependentes do tempo o que exige o recurso a capacidades computacionais que, na maioria dos casos,

excedem as actualmente disponíveis. Em alternativa, é usual o recurso à via estatística, com a formulação

de médias para um conjunto de quantidades relevantes na caracterização do escoamento turbulento.

Poderá entender-se assim, como “escoamento médio” aquele onde os fenómenos de pequena escala não

são directamente representados, mas cuja influência sobre os fenómenos de maiores escalas é tomada em

consideração. As equações de Reynolds recorrem ao conceito de média temporal, a que se sobrepõe uma

flutuação para obter o campo instantâneo.

Neste sentido, as componentes médias da velocidade satisfazem as equações do movimento para regime

turbulento, desde que às tensões laminares sejam acrescentadas as “tensões” adicionais, conhecidas por

tensões de Reynolds. Com a introdução das tensões de Reynolds, o número de incógnitas presentes na


30

modelação teórica de um escoamento, em regime turbulento, excede o das equações disponíveis. O

problema de fecho matemático é resolvido por recurso aos modelos de turbulência, cuja função consiste

em completar o sistema de equações em falta. De origem frequentemente empírica e, portanto de valor e

generalidade necessariamente questionáveis, modelos desse tipo poderão revelar-se, ainda assim

indispensáveis ao fecho matemático do problema.

Neste capítulo apresentam-se as equações necessárias para a formulação matemática do escoamento em

estudo. Apresentam-se os modelos de turbulência para as equações governativas do tipo equações médias

de Reynolds com base nas equações de Navier-Stokes (RANS), que vão ser alvo de estudo no presente

trabalho: k-ε padrao, k-ε RNG, k-ε Realizável, k-ω padrão e k-ω SST.

4.1 Equações Governativas

4.1.1 Conservação da Massa – equação da continuidade

A equação da continuidade é a forma matemática da conservação da massa, aplicada a uma partícula de

fluido num escoamento, sendo descrita pela equação seguinte

�I�� + �

�l� 4� .O@ = 0 (4.1)

em que ρ é a massa volúmica e Ui a velocidade. A eq. 4.1 é a forma compressível da equação da

conservação da massa e é válida em qualquer ponto no domínio do escoamento. No caso em estudo, que

trata de um fluido incompressível, a massa volúmica não é uma função do tempo ou do espaço, assim

sendo, �� ⁄ ≅ 0 na eq. 4.1. Assim, expandindo e usando um sistema de coordenadas cartesianas, a eq.

4.1 assume a forma,

��l + �j

�� + �=�� = 0 (4.2)

4.1.2 Equação de quantidade de Movimento

A segunda lei de Newton, escrita para uma partícula de fluido (na forma diferencial), relaciona o conjunto

de forças externas com as grandezas de massa e de aceleração do seu movimento �# = �_#/��. Ao

substituir o tensor das tensões viscosas pela relação constitutiva entre a tensão e a taxa de deformação

para fluidos Newtonianos e isotrópicos (propriedades físicas independentes da direcção considerada)

obtém-se, a equação de Navier-Stokes para um fluido de viscosidade µ:

�� 4�.O@ + �

�l� ��.O.�� = − �p�l� + µ

�Hk��l��l� (4.3)

Expandindo a eq. 4.3 assume a forma,


31

Componente x:

ρ �� + e ��

�l + � �� + � ��

�� = − �p�l + ρ�� + μ � H�

lH + H� ¡H + H�

�H� (4.4)

Componente y:

ρ ��j�� + e �j

�l + � �j�� + � �j

�� = − �p�� + ρ�¡ + μ � Hj

lH + Hj ¡H + Hj

�H� (4.5)

Componente z:

ρ ��=�� + e �=

�l + � �=�� + � �=

�� = − �p�� + ρ�¢ + μ � H=

lH + H= ¡H + H=

�H � (4.6)

Esta equação é válida em qualquer escoamento de fluido Newtoniano e traduz um balanço entre o produto

da massa pela correspondente aceleração (ou seja a taxa de variação da quantidade de movimento), por

um lado e o conjunto das forças (gravíticas, de pressão e de atrito viscoso) a que a mesma se encontra

sujeita, por outro.

4.2 Equações de Reynolds

A natureza aleatória do fenómeno “turbulência “ torna a sua descrição rigorosa (no tempo e no espaço)

praticamente inviável excepto em casos muito simples em que as equações anteriores são tratadas. Porém

dado o interesse prático, e apesar de todas as limitações, têm surgido tentativas de descrição teórica e

experimental do fenómeno de turbulência. Na figura seguinte encontra-se representada a evolução

temporal da componente da velocidade u, num ponto fixo do espaço, para um caso típico de regime

turbulento com condições limite estacionárias. Vemos que a velocidade oscila em cada instante, em torno

de um valor médio e# que não depende do tempo. As flutuações, u , correspondem à existência de

turbilhões no seio do escoamento, a que se encontram associadas frequências de oscilação e dimensões

próprias.

Figura 14 – Evolução temporal de uma variável em regime turbulento: a decomposição de Reynolds.


32

Nestas condições, e apesar de permanecerem válidas em regime turbulento, as equações de Navier-Stokes

são de integração directa praticamente inviável (embora se registem actualmente avanços nesse sentido,

por via numérica, em particular no domínio da meteorologia) (Oliveira e Lopes, 2010). Como alternativa

de abordagem teórica, Reynolds sugeriu a seguinte decomposição, aplicável a cada variável dependente

do problema: Valor instantâneo= Valor médio + flutuação, ou seja para uma quantidade física £,

∅ = ∅¥ + ∅` onde ∅ ≡ e, �, �, ¬, (4.7)

e em que,

∅¥ = lim∆�→� ²∆� 2 ∅ 3��∆�

� (4.8)

designando ∆� um tempo muito inferior ao tempo característico das flutuações. Esta decomposição é

aplicada às equações de conservação de massa e de quantidade de movimento dando origem às equações

de Reynolds ou equações RANS (do inglês Reynolds Averaged Navier-Stokes). Estas equações (eq. 4.9 a,

4.10) são análogas às correspondentes equações de Navier-Stokes, à excepção dos termos que

representam a acção que as flutuações turbulentas exercem no escoamento médio e fazem, no seu

conjunto, intervir no problema seis incógnitas adicionais (embora o tensor das tensões de Reynolds tenha

nove componentes, a simetria do tensor implica que só haja realmente seis componentes desconhecidas).

As equações de Reynolds escritas em coordenadas cartesianas são as seguintes:

Conservação de massa

�� + �

�l� 4�.O@ = 0 (4.9)

Quantidade de movimento

�� 4�.O@ + �

�l� ��.O.�� = − �p�l� + µ

�Hk��l��l� 4−�e³′e´′######@ (4.10)

O lado esquerdo da eq. 4.10 representa a variação da quantidade de movimento média do fluido, que é

devido à acção de várias forças a saber, à variação da pressão, à variação de tensões viscosas e ainda às

variações de tensão aparente 4−�e³′e³′######@ devido ao campo de velocidade flutuante, geralmente referidas

como as tensões de Reynolds. Uma vez que o número de incógnitas ultrapassa o de equações para as

determinar, recorre-se a expressões com forte carga empírica, destinadas a relacionar as novas incógnitas,

designadas por “tensões” de Reynolds, com variáveis do escoamento médio. Tais relações são conhecidas

por modelos de turbulência.

Existem hoje em dia muitos modelos de turbulência, incluindo algébricos, de uma equação, duas

equações e o modelo de tensões de Reynolds de segunda ordem.


33

4.3 Variáveis características de turbulência

A introdução de equações de transporte adicionais (duas no caso dos modelos de duas equações) que

devem ser resolvidas utilizando os modelos de turbulência faz com que seja necessário especificar

condições fronteira adicionais para as propriedades turbulentas na entrada e na saída. Por exemplo, para o

modelo k-ε é necessário especificar a energia cinética turbulenta, k, e a taxa de dissipação turbulenta, ε, e

para o modelo k-ω é necessário especificar para além de k a taxa de dissipação específica, ω. Contudo

estes valores nem sempre

são conhecidos e neste caso a solução mais útil é a especificação da intensidade de turbulência ou o

comprimento escalar de turbulência. De seguida apresentamos alguns conceitos úteis sobre turbulência e

que adicionalmente são usados para especificar condições de fronteira.

Intensidade da turbulência

A intensidade da turbulência, I, é definida como a razão do desvio quadrático médio da flutuação da

velocidade, e′, com a velocidade média do escoamento, u. Normalmente, é considerado um valor de 1%

ou menos para valores da intensidade da turbulência baixos e nos casos de intensidade de turbulência

elevada, valores superiores a 10%. Neste trabalho, foram usados valores para a intensidade da turbulência

de 4%.

¶ = e′ .· (4.11)

Comprimento característico de turbulento

O comprimento característico de turbulência, l, é uma quantidade física que descreve o tamanho dos

grandes vórtices que contêm energia em escoamento turbulento. Uma vez que o comprimento turbulento

é uma quantidade que é intuitivamente fácil de se relacionar com o tamanho físico do problema é fácil

estimar um valor razoável para a escala de comprimento da turbulência. O comprimento característico da

turbulencia normalmente não deve ser maior que a dimensão geométrica do problema, pois isso

significaria que os vórtices turbulentos seriam maiores que o domínio do escoamento. No modelo k-ε o

comprimento turbulento escalar é calculado por:

� = D ¹º H·» (4.12)

onde D é uma constante do modelo que, no caso do modelo k-ε padrão é de 0.09. A relação entre as

grandezas l, u´e ε resulta de argumentos invísidos sobre transferência de energia cinética da turbulência

na cascata de turbulência:

¼ ≈ kH� ≈ kH

¾ k· ≈ kº¾ ≈ ¹º H·

¾ (4.13)

¼ = ¹º H·¾ → � = ¹º H·

» (4.14)


34

É comum definir a escala de comprimento turbulento como uma determinada percentagem de uma

dimensão típica do problema. No caso do escoamento dentro de um tubo, o comprimento de escala é

estimado através do diâmetro hidráulico, dh (se o tubo for circular, o diâmetro hidráulico é igual ao

diâmetro do tubo: l= 0.07 dh. Quando o escoamento é delimitado por paredes com camadas limite

turbulenta, a escala de comprimento da turbulência pode ser estimada (aproximadamente) da espessura da

camada limite de entrada. Define-se l como sendo metade da espessura da camada limite na entrada.

Energia cinética turbulenta

A relação entre a energia cinética turbulenta, k, e a intensidade da turbulência, I, partindo de I, como,

e′ = ¿13 �ea′ 2 + ef′ 2 + eÀ′ 2� = ¿2

3 Á (4.15)

então fica, em ordem a k

Á = ÂÃ 4. × ¶@Ã (4.16)

Taxa de dissipação turbulenta

Sabendo o valor da energia cinética turbulenta k, e o valor da viscosidade cinemática turbulenta �Ä , calcula-se a taxa de dissipação turbulenta, Å

Å = DµÁÃ �Ä Æ (4.17)

Onde, Dµ é uma constante empírica especificada no modelo de turbulência, que torna o valor de

aproximadamente 0.09.

Taxa de dissipação específica

Sabendo o valor da energia cinética turbulenta, k e da taxa de dissipação turbulenta, Å e também sendo

conhecido o valor da constante empírica Dµ , pode-se determinar a taxa de dissipação específica Ç pela

relação:

Ç = Å DµÁ· (4.18)

Viscosidade cinemática turbulenta

A viscosidade cinemática turbulenta não é uma constante e para aplicar os modelos de turbulência é

necessário conhecer como varia �Ä através de todo o domínio de escoamento. Uma forma de contornar

essa dificuldade passa por exprimir �Ä com base nas variáveis características de turbulência, por

exemplo: a energia cinética turbulenta, k, a taxa de dissipação turbulenta, ε. Um exemplo desta aplicação


35

é o modelo k-ε. Assim, partindo do valor da intensidade da turbulência e relacionando-o com a

viscosidade cinemática, � e o número de Reynolds, temos o valor da viscosidade cinemática turbulenta.

Sabendo que

µ� = �Dµ¹HÈ (4.19)

e que

µ� = �� (4.20)

Chega-se à equação da viscosidade turbulenta

�Ä = 0,22 � ¶ g> (4.21)

4.4 Modelos de Turbulência

A solução exacta de escoamentos turbulentos pode ser feita com base nas equações apresentadas na

secção 4.1, através dos chamados métodos de simulação directa (DNS). A simulação numérica directa é

uma simulação de dinâmica de fluidos computacional na qual as equações de Navier-Stokes são

resolvidas numericamente, sem qualquer modelo de turbulência, isso significa que toda a gama de escalas

temporais e espaciais da turbulência devem ser resolvidas. O custo computacional de DNS é muito

elevado, mesmo quando os escoamentos são de baixo número de Reynolds.

No entanto, a vastíssima gama de escalas espaciais e temporais, impede a aplicação dos métodos directos

à maior parte dos casos. Actualmente, o cálculo numérico dos escoamentos turbulentos é em geral, feito

recorrendo a modelos de turbulência, os quais se baseiam no tratamento estatístico dos campos de

variáveis, como o métodos LES (Large Eddy Simulation) e RANS (Reynolds Average Navier-Stokes

equations).

A simulação LES é uma técnica que tem como condição fundamental, que os grandes vórtices são

dependentes da geometria, enquanto os vórtices de escala menor são universais, isto é, as grandes escalas

dos vórtices turbulentos são resolvidos, enquanto os vórtices turbulentos dissipativos de pequena escala

são modelados. O LES não necessita de recursos computacionais tão grandes como o DNS porque é

eliminada a necessidade de resolver os vórtices menores do campo de escoamento, mas pode apesar de

tudo exigir recursos significativos, dependendo da percentagem de energia cinética da turbulência que é

resolvida. De facto, e à semelhança do RANS, o LES necessita também do uso de funções de parede de

base também semi-empírica.

Na modelação RANS não se pretende à partida resolver todas as escalas de turbulência, sendo que

normalmente todas as escalas são modeladas como uma única que é representativa da turbulência. Nestes

modelos de turbulência, o objectivo é calcular as tensões de Reynolds, havendo que distinguir três

grandes famílias de modelos:

- modelos lineares de viscosidade turbulenta,

- modelos não-lineares de viscosidade turbulenta (“tal como o v2-f model”)


36

- modelos de tensões de Reynolds (RSM).

Os modelos lineares são modelos de turbulência, em que as tensões de Reynolds, obtidas a partir da

média de Reynolds das equações de Navier-Stokes, são modeladas por uma relação constitutiva linear,

relação essa entre eÉ!eÊ!###### e tensores cinemáticos do escoamento médio, como o tensor identidade SO� = ²

Ã Ì�k��l� + �k�

�l� Í isto é, por analogia com o transporte molecular, o que introduz o conceito de

viscosidade turbulenta. Esta relação linear é conhecida por “Boussinesq hypothesis”. Existem

subcategorias dos modelos lineares de viscosidade turbulenta, dependendo do número de equações de

transporte que têm de ser resolvidas para determinar o coeficiente de viscosidade turbulento: modelos

algébricos, modelos de uma equação e modelos de duas equações.

Os modelos não-lineares, são os modelos de turbulência para as equações RANS em que o coeficiente de

viscosidade turbulenta é utilizado para relacionar o campo de turbulência média com o campo de

velocidade média, no entanto, numa relação não-linear.

O RSM é um modelo de turbulência mais elaborado, o qual não utiliza a abordagem de viscosidade

turbulenta e as tensões de Reynolds são directamente calculadas.

Hoje em dia, os modelos de turbulência RANS mais aplicados são os modelos lineares de viscosidade

turbulenta de duas equações. Nestes modelos, resolvem-se as equações de transporte da quantidade de

movimento, da energia cinética de turbulência e da dissipação de energia cinética de turbulência (modelo

k-ε) ou da dissipação específica (modelo k-ω). Na secção seguinte apresenta-se de forma

pormenorizadamente estes modelos.

4.4.1 Modelos lineares de viscosidade turbulenta de duas equações

Nestes modelos as tensões de Reynolds são então dadas pela equação:

�−�e³′e´′######� = 2Î�S³´ − 23 �Á�³´ (4.22)

onde �O� é o tensor identidade. Os vários modelos de duas equações têm como objectivo determinar esta

viscosidade turbulenta (μÏ@ e diferem precisamente na forma de o obter.

4.4.1.1 Modelo k-ε padrão

O modelo k-ε padrão (ou em inglês designado por standard) é um dos modelos de turbulência mais

comuns. É um modelo de duas equações, ou seja, para determinar a viscosidade turbulenta que permite

determinar as tensões de Reynolds, é necessário resolver duas equações de transporte adicionais para

representar as propriedades turbulentas do escoamento e com isso determinam a viscosidade turbulenta.

Isto permite que num modelo de duas equações a viscosidade turbulenta seja afectada por efeitos como


37

convecção, difusão de energia turbulenta e sua dissipação. A primeira variável transportada é a energia

cinética turbulenta (determina a energia da turbulência) e a segunda variável neste caso, é a dissipação

turbulenta (determina a escala da turbulência). Há duas formulações principais no modelo k-ε ,

normalmente chamado de modelo k-ε padrão (e de modelo k-ε RNG. O ímpeto original para o modelo

k-ε padrão, foi o de encontrar uma alternativa para a prescrição algébrica da escala de comprimento

turbulenta de escoamentos, de moderada a alta complexidade. O modelo k-ε padrão insere-se nesta

classe de modelo de turbulência, possuindo robustez, economia e razoável precisão para uma ampla gama

de escoamentos turbulentos. A viscosidade turbulenta neste modelo é dada por:

µ� = �DÑ ¹HÈ (4.23)

As equações de transporte de onde é obtida a energia cinética turbulenta, k, e a taxa de dissipação, ε, são:

�� 4�Á@ + �

�l� 4�Á.O@ = ��l� Ò�µ + ÑÓ

ÔÕ� �¹�l�Ö + ×¹ − �Å − ØÙ + �¹ (4.24)

e

�� 4�Å@ + �

�l� 4�Å.O@ = ��l� Ò�µ + ÑÓ

ÔÚ� �È�l�Ö + D²È È

¹ 4×¹@ − DÃÈ� ÈH¹ + �È (4.25)

onde a produção de k:

×¹ = − �e³′e′###### �k��l� (4.26)

×¹ = µ��Ã (4.27)

onde S é o módulo do tensor de deformação médio, definido por:

� ≡ Û2�O��O� (4.28)

Os vários parâmetros do modelo tomam os seguintes valores: D²È = 1,44 , DÃÈ = 1,92 , DÑ = 0,09 , Ü¹ = 1,0 , ÜÈ = 1,3

4.4.1.2 Modelo k-εεεε RNG (renormalizado)

As alterações efectuadas no modelo k-ε padrão com o objectivo de melhorar os pontos fracos deste

modelo, deu origem ao modelo k-ε RNG. O modelo k-ε RNG foi desenvolvido utilizando uma técnica

estatística rigorosa, o método de renormalização, que como o nome indica, renormaliza as equações de

Navier-Stokes, para explicar os efeitos da menor escala do movimento. A abordagem RNG, que

é uma técnica matemática que pode ser usado para gerar um modelo de turbulência semelhante

ao k-ε padrão, resulta de uma forma modificada da equação ε, que tenta explicar as diferentes escalas de

movimento através de alterações ao termo de produção. Logo, em teoria o modelo k-ε RNG é mais


38

preciso e confiável, para uma classe mais ampla de escoamentos comparativamente ao modelo k-ε

padrão. Como veremos mais adiante, o modelo k-ε RNG apresenta também deficiências apesar de ser

teoricamente mais avançado. O modelo k-ε RNG é muito semelhante ao nível de forma das equações de

transporte do modelo k-ε padrão. As equações de transporte estão escritas de seguida:

�� 4�Á@ + �

�l� 4�ÁeO@ = ��l� Ý�µ + ÑÓ

ÔÕ � �¹�l�Þ + ×¹ − �Å (4.29)

e

�� 4�Å@ + �

�l� 4�ÅeO@ = ��l� Ý�µ + ÑÓ

ÔÚ � �È�l�Þ + D²È È

¹ ×¹ − DÃÈ∗� ÈH¹ (4.30)

onde,

DÃÈ∗ = DÃÈ + ßàáº4²rá áâ⁄ @²�ãáº (4.31)

e

ä = �Á Å⁄ (4.32)

� ≡ Û2�O��O� (4.33)

onde a viscosidade turbulenta é calculada de maneira idêntica à do modelo k-ε padrão. Os vários

parâmetros do modelo tomam os seguintes valores:

D²È = 1,42 , DÃÈ = 1,68 , DÑ = 0,0845 , Ü¹ = 0,7194 ,

ÜÈ = 0,7194 , äå = 4,38

A diferença principal entre o k-ε padrão e o k-ε RNG reside no termo adicional na equação de ε, que é

dado por

gÈ = ßàIáº4²rá áâ⁄ @²�ãáº

ÈH¹ (4.34)

onde, ä = æ¹È , ç = 0,012.

4.4.1.3 Modelo k-ωωωω padrão

O modelo k-ω padrão implementado no código comercial FLUENT, baseia-se no modelo k-ω do Wilcox

(1998), que agrega modificações para efeitos de baixo número de Reynolds, compressão e fluxos de

difusão. O modelo de Wilcox antevê escoamentos com taxas de difusão livre que estão em concordância

com as medições para esteiras distantes, camadas planas, redondas e jactos radiais, portanto, aplicável a

escoamentos delimitados por paredes e escoamentos livre. A viscosidade turbulenta neste modelo é dada

por:


39

µ� = è∗ I¹é (4.35)

sendo o coeficiente è∗ dado pela expressão

è∗ = è�∗ �êâ∗ �ëUÓ ëÕ⁄²�ëUÓ ëÕ⁄ � (4.36)

onde, g>� = I¹Ñé, g¹ = 6, èå∗ = ã�

Â , e çO = 0,072

A energia cinética turbulenta, k e a taxa de dissipação específica, ω são obtidas através das seguintes

equações de transporte:

�� 4�Á@ + �

�l� 4�ÁeO@ = ��l� ÌГ¹ �¹

�l�Í + ×¹ + Ø¹ + �¹ (4.37)

e

�� 4�Ç@ + �

�l� 4�ÇeO@ = ��l� ÌГé �é

�l�Í + ×é − Øé + �é (4.38)

onde, ×¹ representa a geração de energia cinética turbulenta, ×é representa a geração de Ç , Г¹ e Гé

representam a difusividade efectiva de k e Ç, respectivamente. Ø¹ e Øé representam a dissipação de k e Ç

devido à turbulência, sendo �¹ e �é termos definidos pelo utilizador. As difusividades efectivas são

dadas por

Г¹ = µ + ÑÓÔÕ (4.39)

Гé = µ + ÑÓÔí , (4.40)

onde Ü¹ e Üé são números de Prandtl turbulentos para k e Ç, respectivamente. A produção de k e ω são

×¹ = µ��Ã (4.41)

×é = è é¹ ×¹ (4.42)

sendo o coeficiente è dado pela expressão seguinte, onde gé = 2,95

è = êqê∗ �êâ�ëUÓ ëí⁄

²�ëUÓ ëí⁄ �, (4.43)

Os vários parâmetros do modelo tomam os seguintes valores:

è�∗ = 1, è� = 0.52, èå = 1 9· , ç�∗ = 0.09, çO = 0.072, g ãîï

g¹î = 6, gé = 2.95, Ü¹ = 2, Üé = 2


40

4.4.1.4 Modelo k-ωωωω SST

O modelo k-ω SST foi desenvolvido por Menter para efectivamente misturar a formulação robusta e

precisa do modelo de k-ω na região próxima da parede com a independência de fluxo livre do modelo k-ε

na região mais distante. Para alcançar este objectivo, o modelo k-ε foi primeiro convertido na formulação

do k-ω e depois combinado com o modelo k-ω . O modelo k-ω SST é semelhante ao modelo k-ω padrão,

mas inclui as seguintes especificações:

- o modelo k-ω padrão e o modelo k-ε transformado são ambos multiplicados por uma função de combinação e ambos os modelos são somados. A função de combinação foi concebida para ser um na região próxima da parede, que activa o modelo padrão de k-w, e zero distante da superfície, o que activa o modelo k-ε transformado.

- modelo SST incorpora um termo de difusão transversal amortecida na equação de ω;

- definição da viscosidade turbulenta é modificada para ter em conta o transporte da tensão de corte turbulenta na parede;

Estas especificações tornam o modelo k-ω SST mais preciso para uma classe mais ampla de escoamentos

que o modelo k-ω padrão. Outras modificações incluem a adição de um termo de difusão cruzada na

equação ω e uma função de mistura para garantir que as equações do modelo se comportam

adequadamente em ambas as zonas da parede. A difusividade efectiva é dada por

Г¹ = µ + µÓÔÕ (4.44)

Гé = µ + µÓÔí , (4.45)

onde Ü¹ e Üé são números de Prandtl turbulentos para k e Ç, respectivamente. A viscosidade turbulenta

µ� neste modelo é dada por

µ� = I¹é ²

ðñ�ò Gó°;õöH÷Gøù , (4.46)

onde S é a magnitude taxa de tensão e,

Ü¹ = ²öGúÕ,G�4²rûG@/ÔÕ,H

(4.47)

Üé = ²öGúí,G�4²rûG@/Ôí,H

. (4.48)

O coeficiente è∗ dado pela expressão 4.36, e as funções de combinação F1 e F2 são dadas por:

/² = tanh 4Φ²�) (4.49)


41

Φ² = min Òmax � √�

å.å� ω¡ , zååµρ¡Hω� , �ρ�

σω,H�ω�¡HÖ (4.50)

�é� = ��a Ò2� ²Ôí,H

²é

�¹�l�

�é�l� , 10r²åÖ (4.51)

/Ã = tanh 4ΦÃÃ@ (4.52)

ΦÃ = max Ò2 √�

å.å� ω¡ , zååµρ¡HωÖ (4.53)

onde y é a distância até à superfície e �é� é a parte positiva do termo de difusão cruzada. A energia

cinética turbulenta, k e a taxa de dissipação específica, ω são obtidas através das seguintes equações de

transporte

�� 4�Á@ + �

�l� 4�ÁeO@ = ��l� ÌГ¹ �¹

�l�Í + ×¹ − Ø¹ + �¹ (4.54)

e

�� 4�Ç@ + �

�l� 4�ÇeO@ = ��l� ÌГé �é

�l�Í + ×é − Øé + �é + �é (4.55)

onde ×¹ representa a geração de energia cinética turbulenta, ×é representa a geração de Ç. Ø¹ e Øé

representam a dissipação de k e Ç devido à turbulência, �é representa o termo da difusão cruzada, sendo

�¹ e �é termos definidos pelo utilizador. O termo ×¹ que representa a produção é definido da mesma

forma que no modelo k-ω padrão, e está definido pela equação 4.41. O termo de produção de ω é

definido por:

×é = è é�Ó ×¹ , (4.56)

sendo o coeficiente è dado pela seguinte expressão, onde gé = 2,95:

è = ê∞ê∗ �êâ�ëUÓ ëí⁄

²�ëUÓ ëí⁄ � (4.57)

A diferença entre este modelo e o k-ω padrão reside também na forma de determinar o è∞. No modelo k-ω padrão este termo é uma constante, mas neste modelo é definido por

è∞ = /²è∞,² + 41 − /²@è∞,Ã (4.58)

onde

è∞,² = ã�,Gã∞∗ − ¹H

Ôí,GÛã∞∗ (4.59)

è∞,Ã = ã�,Hã∞∗ − ¹H

Ôí,HÛã∞∗ . (4.60)


42

Os parâmetros do modelo tomam os seguintes valores:

Á = 0.41, Ü¹,² = 1.176, é,² = 2, Ü¹,Ã = 1.0, Üé,Ã = 1.168

è² = 0.31, çO,² = 0.075, çO,Ã = 0.0828

Todas as constantes adicionais têm o mesmo valor das constantes do modelo k-ω padrão.

4.5 Influência da parede no escoamento turbulento

O escoamento turbulento é fortemente afectado pela presença de paredes. Muito perto da parede as forças

viscosas reduzem as flutuações na velocidade tangencial, enquanto que as forças de inércia reduzem as

flutuações normais. Na direcção perpendicular à parede, no entanto a turbulência aumenta rapidamente

pela produção de energia cinética turbulenta devido a elevados gradientes na velocidade média. Por este

factor, a simulação perto da parede tem impacto significativo na fiabilidade das soluções numéricas, na

medida em que as paredes são a principal fonte de vorticidade e turbulência. Afinal, é na região da parede

que os campos das variáveis estão sujeitos a grandes gradientes e momentos e outros transportes escalares

ocorrem mais vigorosamente. Portanto representações exactas dos fluxos físicos na região da parede

determinam previsões bem sucedidas de escoamentos turbulentos. O modelo k-ε é válido principalmente

para escoamentos turbulentos na parte central, ou seja o escoamento um pouco longe das paredes. O

modelo k-ω foi concebido para ser aplicado em toda a camada limite, desde que a resolução da malha

perto da parede seja suficiente.

O escoamento turbulento sobre uma placa plana pode ser dividido em quatro regiões, caracterizadas pela

distância da parede. A camada mais interna onde os efeitos viscosos são dominantes é chamada de

subcamada viscosa (viscous ou wall sublayer). O perfil de velocidades nesta camada é quase linear. A

seguir à subcamada viscosa encontra-se a camada tampão (buffer layer), na qual os efeitos turbulentos se

tornam significativos, mas o escoamento é ainda dominado pelos efeitos viscosos. Acima desta camada

está a camada de transição (overlap ou transition layer), também denominada por subcamada inercial

(inertial sublayer), na qual os efeitos turbulentos dominam, a proximidade à parede é igualmente

importante. Acima desta está a camada externa (outer ou turbulent layer) na parte restante do escoamento

na qual os efeitos turbulentos dominam sobre os efeitos de difusão molecular (efeitos viscosos) e a

distância à parede torna-se irrelevante. O perfil de velocidades, na figura 16, ilustra essas regiões numa

camada limite em coordenas de parede ( u+ versus y+) e escala semi-logarítmica. Para cada uma das zonas

identificadas existem leis, de tipo semi empírico, que representam o escoamento médio com grande

simplicidade e grau de precisão muito satisfatório. Estas leis, designadas por leis de parede, foram

propostas com base em técnicas simples como a análise adimensional e ajustadas de modo a respeitar


todo o conjunto de medições experimentais

destacam-se três: lei do efeito da parede, a lei logarítmica e a lei de potência.

Figura 15 - Perfil transversal da velocidade

velocidades descrito pela lei da parede e pela

escoamento num tubo (adaptado de Çengle e Cimbala,

Na subcamada viscosa a equação de ajuste é denominada

parede de 0 d fe� �⁄ d 5

sendo uτ a velocidade de fricção, y

nas camadas limite é conveniente trabalhar com distância e velocidades adimensionais, que são definidas

por: f� 1��

� e e� 1

�

� . Assim, a lei da parede

Na zona da “overlap layer” verifica

recta quando colocados num gráfico em coordenadas logarítmicas relativamente à distância à parede. A

análise dimensional mostrou que a velocidade nesta zona

expressa pela Lei Logarítmica:

ou na forma adimensional,

A lei logarítmica representa satisfatoriamente os dados experimentais para toda a região de escoamento,

excepto para as regiões muito perto da parede e próximas do centro do tubo, como


43

todo o conjunto de medições experimentais e modelos de turbulência semi

: lei do efeito da parede, a lei logarítmica e a lei de potência.

velocidade média local em regime turbulento: comparação do perfil de

velocidades descrito pela lei da parede e pela lei logarítmica com os resultados experimentais, para o

(adaptado de Çengle e Cimbala, 2006).

Na subcamada viscosa a equação de ajuste é denominada Lei da parede e é aplicada para distâncias à

�

�1

��

y a distância à parede e ν a viscosidade cinemática do fluido.


Assim, a lei da parede na subcamada viscosa torna

e� 1 f�

Na zona da “overlap layer” verifica-se que os valores experimentais da velocidade seguem uma linha


análise dimensional mostrou que a velocidade nesta zona é proporcional ao logaritmo da distância e é

�

�1 2.5 �?

��

; 5.5

e� 1 2.5 �?f� ; 5.5

representa satisfatoriamente os dados experimentais para toda a região de escoamento,

excepto para as regiões muito perto da parede e próximas do centro do tubo, como

u ;1u/uτ

y ;1y uτ/ �

Eq. 4.61

Eq. 4.64

Dados Experimentais

Camada

externa

Subcamada

Viscosa

Camada de

Transição

Camada

Tampão


e modelos de turbulência semi-empíricos. Destas leis

em regime turbulento: comparação do perfil de

experimentais, para o

e é aplicada para distâncias à

(4.61)

a viscosidade cinemática do fluido. Um vez que


torna-se simplesmente:

(4.62)

se que os valores experimentais da velocidade seguem uma linha


é proporcional ao logaritmo da distância e é

(4.63)

(4.64)

representa satisfatoriamente os dados experimentais para toda a região de escoamento,

excepto para as regiões muito perto da parede e próximas do centro do tubo, como mostra a figura 16, e


44

isto é visto como um perfil de velocidades universal para o escoamento turbulento em tubos e sobre

superfícies. De notar na figura o perfil de velocidades da lei logarítmica com precisão para f� > 30 mas

não é preciso na camada tampão ( bufer layer), ou seja, na região 5 < f� < 30.

De notar, que a subcamada viscosa aparece muito espessa e isso acontece porque se utiliza uma escala

logarítmica para a distância da parede. Esta abordagem decorre do facto de junto à parede haver alguma

universalidade da lei de parede. Claro está que há situações onde a lei logaritmica não é totalmente valida,

mas esta metodologia elimina a necessidade de uma malha muito refinada junto à parede.

Na zona de turbulência existem vários perfis de velocidade empíricos, de entre os quais se destaca a Lei

da potência que foi ajustada para escoamento dentro de tubos e que permite substituir as duas equações

anteriores por uma única equação, o que tem vantagens em determinados estudos de natureza analítica.

Em simulação numérica existem duas abordagens para efectuar os cálculos na região perto da parede.

Na abordagem, denominada de aproximação por função de parede (Wall Function Approach) na qual

as regiões afectadas pela viscosidade interna (subcamada viscosa e camada tampão) não são calculadas.

Em vez disso, são usadas fórmulas chamadas "funções de parede'', para ligar a região viscosa à região

turbulenta. O uso de funções de parede elimina a necessidade de modificar os modelos de turbulência

para dar conta da presença da parede como é o caso dos modelos k-ε.

Para um cálculo mais rigoroso, a abordagem consiste em utilizar modelos de turbulência modificados

para permitir que a região afectada pela viscosidade possa ser resolvida com uma malha desde a parede e

que inclua a subcamada viscosa. Esta abordagem denomina-se por modelação junto da parede (Near-

wall modeling) como é o caso dos modelos k-ω. Estas duas abordagens estão representadas

esquematicamente na figura seguinte.

Figura 16 – Métodos de cálculo efectuados junto a paredes pelo FLUENT: a) aproximação por funções de parede

(“Wall Function approach”) e b) por modelação junto da parede (“near-wall Model Approach”).

Na maioria dos escoamentos de elevado Reynolds, a abordagem da aproximação por função de parede

economiza recursos computacionais, pois na região viscosa afectada pela proximidade da parede, nas

quais a solução muda mais rapidamente, não precisam de ser resolvidas. Esta abordagem é popular

porque é económica, robusta e razoavelmente precisa, no entanto, é inadequada em situações em que os

efeitos de baixo número de Reynolds, são difundidos no domínio do escoamento em questão, e as

hipóteses subjacentes às funções da parede deixam de ser válidas. Estas situações requerem modelos que

sejam válidos na região afectada pela viscosidade e, portanto, integráveis em todo o caminho até a parede.

O Fluent possui ambos, abordagem à função de parede e modelos que efectuam os cálculos junto da

parede.

a) b)


45

4.6 Método Numérico para Resolução das Equações Governativas

Existem vários métodos numéricos de resolução das equações governativas, como o método das

diferenças finitas (MDF), o método dos elementos finitos (MEF) e o método dos volumes finitos (MVF).

O método dos volumes finitos, é o método utilizado pelo FLUENT e é uma técnica frequentemente

utilizada em Mecânica dos Fluidos Computacional.

O método dos volumes finitos divide o domínio num número de volumes de controlo (células) onde a

variável de interesse está localizado no centróide do volume de controlo. De seguida integra a forma

diferencial das equações governativas ao longo de cada volume de controlo invocando para o efeito o

Teorema de Gauss. Na equação resultante, as derivadas e os fluxos são determinados segundo formas de

interpolação assumidas, vindo a resultar uma equação que envolve as variáveis nos centróides das células.

Essa equação é chamada de equação de discretização, desta forma, a equação de discretização expressa a

lei governativa para a variável dentro do volume de controlo.

Não é objectivo deste capítulo analisar em detalhe o método numérico de cálculo, no entanto voltar-se-á a

falar dos métodos numéricos utilizados no FLUENT na secção 5.2.

4.7 Conclusões

Neste capítulo apresentam-se as equações necessárias para a formulação matemática do escoamento em

regime turbulento quando este é resolvido pelas equações médias de Reynolds (RANS). Apresentam-se as

equações da continuidade, da conservação da quantidade de movimento e os modelos de turbulência que

permitem o fecho matemático dos problemas de turbulência. Os modelos de turbulência apresentados e

que vão ser alvo de estudo são os de duas equações: k-ε padrão, k-ε RNG, k-ε Realizável, k-ω padrão e k-

ω SST.

Para completar a caracterização do fenómeno da turbulência é ainda necessário o conhecimento de outras

variáveis nomeadamente: energia cinética turbulenta, intensidade de turbulência, viscosidade cinemática

turbulenta, que são também explicadas detalhadamente.

Para finalizar, explica-se a influência das paredes no escoamento turbulento e os métodos que permitem

minimizar esses efeitos (aproximação por função de parede e modelação junto da parede).


46


47

Capítulo 5 Metodologia Numérica

e Validação

Dada a complexidade do escoamento em regime turbulento e a necessidade de se prever bem o

escoamento transiente em torno do cilindro no regime turbulento iniciou-se este trabalho pela realização

de um conjunto de simulações do escoamento em regime estacionário e transiente que permitem definir

aspectos relacionados com a malha e com os métodos de descretização das equações. Existem na

literatura resultados numéricos bem como resultados experimentais para estas condições, e que permitem

avaliar o desempenho do método de cálculo. Neste capítulo apresentam-se simulações efectuadas em

malhas de diferentes refinamentos, para os seguintes casos:

- Escoamento laminar (estacionário) em torno de um cilindro circular, para um Re=40

- Escoamento laminar (transiente) em torno de um cilindro circular, para um Re=80

- Escoamento laminar (transiente) em torno de dois cilindros circulares, para Re=40, 60,100, 200.

- Escoamento em regime turbulento (transiente) entre duas placas, para Re =10 000

- Escoamento em regime turbulento (transiente) em torno de um cilindro de secção quadrada, para Re =

20 000

5.1 Geração da malha

Domínio de cálculo

O primeiro passo para uma solução em CFD é a geração de uma malha que define as células nas quais as

variáveis são calculadas por todo o domínio de cálculo. A malha foi gerada através do software GAMBIT

versão 2.3. O domínio de cálculo, ilustrado na figura 18, está estruturado por dois blocos. A entrada e

saída do domínio tem uma largura 20 diâmetros do cilindro. A secção de entrada está a 10 diâmetros do

centro do cilindro e a secção de saída a 30 diâmetros.

Na definição do domínio de cálculo um dos factores mais importantes é a estrutura da malha. Utilizando

malhas estruturadas são geradas menos células do que com uma malha não estruturada e se as células

estiverem bem orientadas com as linhas de corrente expectáveis, minimizam-se os erros. Nas camadas


48

limite, onde as variáveis de escoamento mudam rapidamente na direcção normal à parede, as malhas

estruturadas permitem uma resolução mais refinada que as malhas não estruturadas para o mesmo número

de células. Outros factores que afectam a qualidade da malha, são as variações bruscas no tamanho da

célula que podem levar a dificuldades de convergência ou numéricas. Utilizou-se uma malha estruturada,

formada por células planas com quatro arestas (2-D) que são quadriláteros.

Figura 17 - Domínio de cálculo utilizado nas simulações em torno de um cilindro.

Condições de Fronteira

O tipo de escoamento que vai ser modelado é determinado pelas condições fronteiras impostas. Existem

várias opções de fronteiras de entrada do fluido no domínio de cálculo e de saída do domínio. As

condições de fronteiras estão classificadas como condições de velocidade ou de pressão. Para a fronteira

de entrada utilizou-se a condição de velocidade, na qual se definiu a velocidade média aplicada ao longo

de toda a fronteira de entrada. Na fronteira de saída utilizou-se a condição de “outflow” o que faz com que

não estejam especificadas, à priori, as condições de saída (pressão o velocidade) e essa informação é

extrapolado do interior. No cilindro aplicou-se a condição de fronteira de parede dita “wall” a qual

estabelece que todas as componentes de velocidade numa superfície são nulas relativamente à superfície

(no caso em teste a superfície não está em movimento. Na face superior e inferior aplicou-se uma

condição de fronteira de simetria que força as variáveis do escoamento a serem imagens espelhadas em

relação ao plano de simetria.

Propriedades do Fluido

As propriedades da água aplicadas estão definidas na base de dados do FLUENT para uma temperatura

de 298K (massa volúmica 998,2 kg/m3e viscosidade 0.001003 kg/ms-1).

10 D

30 D

20

D

20 D

Simetria

Sa

ída

En

tra

da

Parede


49

5.2 Método Numérico

O Fluent resolve as equações governativas do capítulo anterior, que foram transformadas em equações

algébricas pelo método dos volumes finitos e para resolver numericamente este sistema de equações o

método de resolução (“solver”) pode ser de dois tipos:

- resolução baseada na pressão (“pressure-based”)

- resolução baseada na massa volúmica (“density-based”)

Os dois métodos empregam processos similares de discretização (volumes-finitos) mas a abordagem

utilizada para linearizar e resolver as equações de discretização é diferente. Em ambos os métodos o

campo de velocidades é obtido das equações de quantidade de movimento. No método “density-based”, a

equação de continuidade é utilizada para obter o campo de massa volumica enquanto que o campo de

pressões é determinado pela equação de estado termodinamica. Estes são métodos adequados para tratar

escoamentos de fluidos compressíveis. Por outro lado, no método “pressure-based” o campo de pressões é

extraído resolvendo a pressão ou uma equação de correcção da pressão obtidas por manipulação da

equação da continuidade. Estes métodos são adequados para tratar escoamentos de fluidos

incompressíveis.

Neste trabalho utilizou-se o método “pressure-based” o qual emprega um algoritmo que pertence à classe

geral dos métodos de projecção. No método de projecção, a restrição da conservação de massa

(continuidade) do campo de velocidade é calculada resolvendo a equação de pressão. A equação de

pressão deriva das equações da continuidade e da quantidade de movimento de tal modo que o campo de

velocidade, relacionado pela pressão, satisfaz a continuidade. Uma vez que as equações governativas são

não-lineares e acopladas, o processo de solução envolve iterações em que todo o conjunto de equações é

resolvido repetidamente e sequencialmente até que a solução convirga por forma a contemplar as não

linearidades e minimizando os resíduos das equações.

As equações governativas do escoamento têm de ser discretizadas, tanto no espaço como no tempo, para

o caso de escoamento em regime transiente. O Fluent dispõe de diversos esquemas de discretização. Na

discretização espacial utilizou-se o esquema QUICK (Quadratic Upwind Differencing Scheme) de modo

a reduzir ao máximo a difusão numérica. Este é um esquema de terceira ordem no espaço se as malhas

forem uniformes, mas de segunda-ordem para malhas não uniformes, o caso mais corrente.

A discretização temporal envolve a integração de todos os termos das equações diferenciais durante um

intervalo de tempo. Utilizou-se um método de integração temporal implícito de segunda ordem que

apresenta a vantagem de ser estável em relação a cada intervalo de tempo.

Os métodos SIMPLE e PISO utilizaram-se como métodos de acoplamento da velocidade e da pressão de

forma a evitar o aparecimento de oscilações nos perfis calculados. O algoritmo SIMPLE é utilizado para

cálculos em estado estacionário e o PISO para cálculos em estado transiente e também para cálculos de

escoamentos estacionários e transientes com malhas muito distorcidas. Os dois algoritmos são baseados

na avaliação de soluções iniciais e de seguida fazem a sua correcção. No método SIMPLE faz-se uma


50

correcção em cada iteração, enquanto no PISO são efectuadas mais do que uma, mas normalmente nunca

mais de quatro. O esquema de acoplamento de velocidade e pressão PISO, que faz parte da família de

algoritmos SIMPLE, baseia-se no grau mais elevado da relação aproximada entre as correcções de

pressão e velocidade. Uma das limitações do SIMPLE é que novas velocidades e fluxos correspondentes

não satisfazem a quantidade de movimento após a equação de correcção de pressão estar resolvida. Como

resultado, o cálculo deve ser repetido até que o equilíbrio simultâneo da massa e da quantidade de

movimento esteja assegurado o que exige um maior número de iterações. Para melhorar a eficiência deste

cálculo, o algoritmo PISO realiza duas correcções adicionais: correcção na vizinhança e correcção de

assimetria. Tendo em conta as características de cada um dos métodos, utilizou-se o método PISO para as

simulações em estado estacionário, transiente e turbulento.

5.3 Critério de Convergência

Durante o processo de simulação é possível monitorizar a convergência do cálculo através da verificação

dos resíduos. No final de cada iteração, a soma dos resíduos das variáveis conservativas é calculada e

armazenada, e assim é gravado um histórico de convergência. O resíduo diminui para um valor muito

pequeno e a partir daí pára de mudar. Trabalhando em dupla precisão os resíduos podem baixar até cerca

de 10r²Ã. O indicador de convergência mais apropriado para a maioria dos problemas é o resíduo escalar.

Definiu-se que os resíduos escalares das equações da quantidade de movimento e da continuidade deveria

descer pelo menos até 10-6 para considerarmos o cálculo convergido, após alguns testes descritos na

secção seguinte.

5.4 Validação

Para validar as ferramentas de cálculo numérico de escoamentos CFD efectuaram-se testes em geometrias

e condições de referência. O estudo recaiu sobre o escoamento 2-D em torno de um cilindro de secção

circular para regime laminar e transiente e no estudo do escoamento entre duas placas e em torno de um

cilindro de secção quadrada para o regime turbulento.

5.4.1 Escoamento laminar estacionário em torno de um cilindro circular

O primeiro caso em estudo é o do escoamento laminar em torno de um cilindro circular, para um número

de Reynolds de 40. Nestas condições a esteira é formada por uma região estacionária de dois vórtices

simétricos localizados atrás do cilindro. Pretende-se aqui averiguar o coeficiente de arrasto médio (CD,

medio), e o comprimento de separação adimensionalizado pelo diâmetro do cilindro (Lsep/D), comparando

estes valores com os da literatura, artigo de Ding (2004). Foram feitas sete malhas, M1 a M6, utilizando o

domínio definido na Fig.18. As características das malhas utilizadas estão apresentadas na Tabela 4 sendo


51

∆θº a variação angular de cada célula relativamente ao centro do cilindro, ∆� g⁄ a variação da dimensão

radial das células adimensionalizadas pelo raio do cilindro. O refinamento foi efectuado em todas as

direcções.

Tabela 4 – Características das malhas utilizadas nas simulações a Re=40.

Nθ - Número de nodos na direcção tangencial; Nr – Número de nodos radiais

Os resultados apresentam-se expostos na tabela seguinte, sendo os valores dos autores referidos retirados

do artigo de Ding (2004). Os resultados de Ding (2004) foram efectuados em 2D utilizando um método

de aproximação híbrido, que combina o esquema convencional de diferenças finitas com um método de

malha livre de diferenças finitas de base quadrada (MLSFD). O domínio de cálculo é idêntico ao utilizado

neste trabalho.

Tabela 5 - Comparação dos resultados obtidos com os valores da literatura, Re=40.

CD,médio Erro relativo,%

CD,medio L sep/D

Erro relativo,% L sep

M1 1.682 4.44 2.433 8.81 M2 1.615 0.27 2.319 3.71 M3 1.614 0.21 2.284 2.15 M4 1.612 0.13 2.277 1.82 M5 1.611 0.05 2.239 0.15 M6 1.610 0.01 2.238 0.09

Valor extrapolado 1.609 ---- 2.236 ----

Dennis (1970)1 1,522 ---- 2,350 ----

Takami (1969) 1 1,536 ---- 2,320 ----

Tuann (1978) 1 1,675 ---- 2,100 ----

Fornberg(1980)1 1,498 ---- 2,240 ----

Ding (2004) 1,713 ---- 2,200 ---- 1 Os resultados de Dennis (1970), Takami (1969), Tuann (1978), Fornberg (1980) estão citados no artigo de Ding (2004).

Pode perceber-se que o coeficiente de arrasto diminui à medida que se utiliza uma malha mais refinada.

Os resultados obtidos para a malha 2, a 6 apresentam valores de CD, médio que diferem do valor extrapolado

menos de 1%, parecendo ser estas as malhas recomendadas para os estudos seguintes. O comprimento de

Malha N.º total de células Nθθθθ �θº Nr ∆,�

M1 9600 160 2.25 50 0.69

M2 38 400 320 1.12 100 0.34

M3 15 3600 640 0.75 200 0.17

M4 345 600 960 0.56 300 0.11

M5 61 4400 1280 0.38 400 0.09

M6 960 000 1600 0.28 500 0.07

Ding (2004) 5 716 - 10 148 ----- ----- ----- ----


52

separação calculado nas malhas M1 e M2 difere significativamente das restantes. Os resultados das

simulações efectuadas com as malhas M3 a M6 aproximam-se dos resultados obtidos por Forberg (1980)

e Ding (2004). Na figura 19 está uma representação gráfica em coordenadas logarítimicas do coeficiente

de arrasto e do comprimento de separação adimensionalizado pelo diametro (Lsep/D) em função do

tamanho das células na direcção radial, ∆r, adimensionalizado pelo raio do cilindro, R. Verifica-se que os

resultados não diferem significativamente, pelo que não será necessário utilizar malhas muito refinadas,

sendo a malha M3 satisfatória. Os valores de CD,médio obtidos estão de acordo com os valores citados na

literatura Ding (2004).

Figura 18 - Influência do refinamento da malha no coeficiente de arrasto e no comprimento de separação.

Procedeu-se á realização de um teste para avaliar a influência do valor dos resíduos, escolhido no critério

de convergência, nos resultados finais do coeficiente de arrasto médio.

Tabela 6 - Resultados da simulação a Re 40 utilizando 3 malhas com diferentes refinamentos e resíduos de 1E-4

a

1E-9

.

Resíduo N.º total de células Nθθθθ �θº Nr

∆,� CD, médio

10-04

24000 160 2.25 120 0.29 1.6067

72000 480 0.75 120 0.29 1.6104

288000 960 0.37 240 0.14 1.616

10-06

24000 160 2.25 120 0.29 1.6170

72000 480 0.75 120 0.29 1.6103

288000 960 0.37 240 0.14 1.6139

10-07

24000 160 2.25 120 0.29 1.6171

72000 480 0.75 120 0.29 1.6149

288000 960 0.37 240 0.14 1.6143

10-09

24000 160 2.25 120 0.29 1.6171

72000 480 0.75 120 0.29 1.6149

288000 960 0.37 240 0.14 1.6139

Nθ - Número de nodos na direcção tangencia, Nr – Número de nodos radiais

1,00

10,00

0,010,101,00

CD

, m

éd

io

∆r/R

Influência da malha no CD

1

10

0,010,101,00

L se

p/

D

∆r/R

Influência da malha no Lsep/D


53

Para este teste utilizaram-se malhas com diferentes refinamentos junto ao cilindro, na zona radial e para

resíduos de10-4, 10-6, e 10-7 e 10-9. Na tabela 6, estas registadas as características das malhas e os

resultados obtidos.

Da análise da figura 20 verifica-se que o valor do CD med para resíduos inferiores a 10-6 começa a

estabilizar. Mas como o tempo de cálculo aumenta com a redução do resíduo e tendo em conta o

compromisso entre tempo de cálculo e a incerteza do cálculo, optou-se por utilizar como critério de

convergência um resíduo de 10-6.

Figura 19 - Influência do refinamento da malha no coeficiente de arrasto para um número de Reynolds de 40.

5.4.2 Escoamento laminar transiente em torno de um cilindro circular

O segundo caso de validação e verificação em estudo é o do escoamento laminar transiente em torno de

um cilindro, para um número de Reynolds de 80 de modo a estudar o comportamento cíclico de criação e

desprendimento de vórtices a jusante do cilindro. Comparativamente com o caso anterior neste regime a

zona da recirculação fortalece e amplifica. As oscilações da esteira são periódicas e formam-se vórtices

paralelamente ao eixo central do cilindro.

Pretende-se neste caso averiguar o efeito do passo de integração temporal no coeficiente de arrasto e no

número de Strouhal. Utilizaram-se duas malhas, M1 e M2 com o mesmo domínio da figura 18, sendo a

malha M2 mais refinada na zona radial.

Tabela 7 - Características da malha utilizada na simulação para um número de Reynolds de 80.

Malha N.º total de células Nθθθθ �θº Nr

∆,�

M1 72 000 480 0.75 120 0.29

M2 110 400 480 0.75 200 0.17

Mittal (2001) 4 060 ----- ---- ---- ----


1,55

1,60

1,65

1,0E-081,0E-071,0E-061,0E-051,0E-04

CD

, m

éd

io

Resíduo

Influência do resíduo no CD, médio

M1 - 24000 células

M2 - 72000 células

M3 - 288000 células


54

As simulações foram efectuadas para um resíduo de 10-06 e utilizando 20 iterações por passo no tempo.

Para obter uma estimativa do tempo de integração utilizou-se uma expressão que relaciona o número de

Strouhal com o número de Reynolds, �� = 40,2684 – 1,0356@ / 4g>å,z@, disponível em Fey (1998).

Com base nesse valor calculou-se a frequência do processo cíclico de desprendimento dos vórtices é

t = �� ./� ou seja cada ciclo completo tem a duração � = 1/t. Para que seja possível prever com

precisão o processo transiente é necessário que o tempo de integração temporal (passo no tempo), ∆t, seja

no mínimo 1/30 relativamente ao tempo total de cada ciclo. Após a simulação calculou-se a frequência de

desprendimento dos vórtices através da flutuação do coeficiente de sustentação (CL) e utilizaram-se as

transformadas de Fourier (FFT) para extrair as frequências principais. Na tabela seguinte estão os

resultados das simulações efectuadas para diferentes malhas e diversos tempos de integração.

Verifica-se que o St se aproxima dos valores de Une Fey´s (1998), à medida que diminui o passo de

integração temporal. O coeficiente de arrasto, de um modo geral é ligeiramente inferior ao valor da

literatura no qual o CD médio varia entre: 1.48 < CD médio < 1.49 (Mittal, 2001). O refinamento da malha na

zona radial faz com que o St e o CD médio sejam inferiores relativamente aos obtidos para a malha menos

refinada na zona radial. No entanto à medida que diminui o tempo de integração temporal os resultados

tendem para um mesmo valor, sendo satisfatório a utilização de um tempo de integração de 1/80 vezes o

tempo de um ciclo.

Tabela 8 -Influência tempo de integração e do refinamento da malha na direcção radial no número de Strouhal e

no coeficiente de arrasto.

Malha ∆∆∆∆t/t St Erro relativo,%

St CD, médio

Erro relativo,% CD med

M1

1/30 0.139 10.69 1.363 4.09

1/50 0.150 4.16 1.397 1.64

1/60 0.153 1.76 1.407 0.97

1/80 0.156 0.10 1.417 0.29

1/90 0.156 0.15 1.421 0.07

Valor extrapolado 0.156 1.420

M2

1/30 0.135 13.78 1.325 7.31

1/50 0.144 8.21 1.360 4.84

1/60 0.146 6.88 1.373 3.95

1/80 0.154 1.55 1.399 2.10

1/90 0.156 0.29 1.419 0.73

Valor extrapolado ----- 0.157 ----- 1.429 -----

Fey´s (1998) ----- 0.152 ----- ----- -----

Mittal (2001) ----- 0.158 ----- 1.48< CD <1.49 -----


55

Figura 20 – Influência do tempo de integração temporal e do refinamento da malha no número de Strouhal e no

coeficiente de arrasto nas simulações efectuadas a Re=80.

5.4.3 Escoamento laminar transiente em torno de dois cilindros circulares

O terceiro caso tem por finalidade o estudo do controlo das características dinâmicas do escoamento em

torno de um cilindro por recurso a um segundo cilindro (cilindro de controlo), de menores dimensões, e

colocado na região de corte ou esteira do primeiro cilindro. O domínio de cálculo está ilustrado na figura

22, e está de acordo com o definido por Mittal (2001). Definiu-se D1 como sendo o diâmetro do cilindro

principal e D2 o diâmetro do cilindro de controlo. A zona de entrada está a 8 D1 relativamente ao cilindro

principal e a região de saída a 22.5 D1. A parte superior e inferior são consideradas como zonas de

simetria. A localização do cilindro de controlo corresponde a P=2 D1 e T=D1.

As simulações foram efectuadas para Re 60 e 80 e para uma razão entre diâmetros D1/D2=1/7 (razão entre

o diâmetro do cilindro principal, D1, e o diâmetro do cilindro de controlo, D2) de modo a comparar os

resultados com os de Mittal (2001). Posteriormente efectuaram-se simulações para as dimensões dos

cilindros que são alvo de estudo do presente trabalho. A razão entre diâmetros é de D1/D2=1/10 sendo de

40 mm o diâmetro do cilindro principal e de 4 mm o diâmetro do cilindro de controlo.

Na tabela 9 estão descritas as características da malha utilizada. As simulações foram efectuadas

considerando um resíduo de 10-6, 20 integrações por passo no tempo e um tempo de integração de 1/80

tempo de um ciclo.

Tabela 9 - Características da malha utilizada na simulação com 2 cilindros.

Malha

N.º total de células

Nθθθθ Cprincipal

�θº Cprincipal

Nr Cprincipal

∆,�

Cprincipal

Nθθθθ Ccontrolo

Nr Ccontrolo

M1 480 036 400 0.90 45 0.38 128 15

Mittal, (2001)

9 816 ---- ---- ---- ---- ---- ----


0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

1/30 1/50 1/60 1/80 1/90

St

∆t/t

M1 - 72000 células


Fey,1990

Mital, 2001

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

1/30 1/50 1/60 1/80 1/90

CD

,m

éd

io

∆t/t

M1 - 72000 células



56

Na tabela 10 estão representados os resultados para a simulação D1/D2 =1/7, sendo D1 de 35 mm e D2 de 5

mm. Os valores obtidos estão de acordo com os valores de Mittal (2001). Nessa simulação a Re=60 foi

detectada oscilação do CL, que se mantêm constante a partir de 3 500 segundos, tendo-se calculado uma

frequência de ejecção de vórtices de 0.0065 s-1, tal como se pode verificar na figura 23. No trabalho de

Mittal (2001) a oscilação do CL desaparece ao fim de um tempo de integração de 300 s tendo sido a

duração total da simulação de 480. Tal facto pode explicar-se pelo uso, neste trabalho, de uma malha mais

refinada. De salientar que no artigo o coeficiente de arrasto do cilindro de controlo foi calculado

utilizando a área do cilindro principal.

Tabela 10 - Resultados das simulações efectuadas para cilindro com uma razão entre diâmetros de D1/D2=1/7.

Malha Re St Cil.principal CD, médio

Cil. principal

CD, médio

Cil. controlo

CD, médio

Cil. controlo

(calculado utilizando a área do cilindro principal)

M1

60

0.1327 1.396 3.048 0.435

Une Fey´s 0.1347 ----- ----- -----

S. Mittal ----- 1.542 ----- 0.426

M1

80

0.1499 1.323 2.796 0.399

Une Fey´s 0.1528 ----- ----- -----

S. Mittal 0.1580 1.44 < CD < 1.42 ----- 0.38 < CD < 0.43

16 D1

22.5 D1 8 D1

8 D1

P = 2 D1

T = D1

Figura 21 – Domínio de cálculo utilizado nas simulações em torno do cilindro principal e do cilindro de controlo.


57

Na figura seguinte está representado o coeficiente de sustentação obtido para a simulação efectuada a Re

60.

Posteriormente efectuaram-se simulações para as dimensões dos cilindros que são alvo de estudo do

presente trabalho. A razão entre diâmetros é de D1/D2=1/10 sendo de 40 mm o diâmetro do cilindro

principal e de 4 mm o diâmetro do cilindro de controlo. As simulações foram efectuadas considerando um

resíduo de 1E-6, 20 integrações por time step e um tempo de integração de 1/80 tempo de um ciclo. Na

tabela seguinte estão representados os resultados das simulações efectuadas para um Reynolds de 60,100,

200.

Tabela 11 - Resultados da Simulação para D1/D2=1/10.

Demonstrou-se, numericamente, que o desprendimento de vórtices podia ser alterado ou até mesmo

suprimido, para uma gama de Reynolds de 60 a 100, pela colocação de um segundo cilindro, cujo

diâmetro era de 1/10 o diâmetro do cilindro principal, na esteira do cilindro principal.

Verifica-se que só a partir de Re=200 a esteira é composta por vórtices de sinais oposto que se

desprendem alternadamente do lado superior e inferior do cilindro, tal como se pode visualizar na figura

seguinte.

-0,35

-0,30

-0,25

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500

CL

t, s

Re=60

Ciindrol principal

Cilindro de controlo

Malha Re St

( Une Fey´s) St

Cil. principal CD, médio

Cil. principal CD, médio

Cil. controlo

CD,médio

Cil. controlo (calculado utilizando a área

do cilindro principal)

M1

60 0.135 ------- 1.413 3.221 0.460

100 0.165 ------- 1.544 2.671 0.382

200 0.183 0.0024 1.416 2.101 0.300

Figura 22 - Representação gráfica do coeficiente de sustentação em função do tempo para a simulação de

D1/D2=1/7.


58

Re=200

Re=60

5.4.4 Escoamento turbulento em regime turbulento entre duas placas

O quarto caso tem por finalidade estudar a influência da distância da parede à primeira célula da malha,

do refinamento da malha, do passo no tempo e dos modelos de turbulência (k-ε padrão, k-ε RNG, k-ε

Realizável, k-ω padrão e k-ω SST) no escoamento em regime turbulento para placa plana para um

número de Reynolds de 10 000. O domínio de cálculo utilizado está ilustrado na figura seguinte sendo a

altura entre placas, 2h, de 0.05 m e o comprimento de 2 m.

Influência do y+ (distancia à parede da primeira célula)

O campo de velocidade médio em escoamento turbulento é afectado pela condição de não deslizamento

que tem de ser satisfeita na parede. De modo a estudar a influência das restrições dos modelos de

turbulência ao efectuar os cálculos na região viscosa perto da parede efectuaram-se simulações nas quais

2h

2 m

Figura 24 – Domínio de cálculo utilizado nas simulações em regime turbulento para placas planas.

Figura 23 – Campo de velocidade axial para o escoamento em torno de um cilindro de principal e um cilindro de

controlo: a) supressão do desprendimento de vórtices a Re=60, b) desprendimento de vórtices a Re=200.


59

0

5

10

15

20

25

30

1 10 100 1000 10000

u+

y+

Influência do y+

y+=5 y+=10 y+=30

y+=50 y+=100 Lei da Parede

Lei Logaritmica Mansour, et al., 1988

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

1 10 100 1000 10000

k+

y+

se variou a distância entre a parede e a primeira célula da malha. Através da equação de Prandtl para

placas não rugosas estimou-se o factor de atrito.

²ÛM÷ = 2 × �8��g> Ût � − 0.8 (5.1)

O factor de atrito th = ï�øI�H permitiu estimar a tensão de corte (τw) e posteriormente a velocidade de

fricção e� = ¿�øI que é utilizada no cálculo da distância da parede à primeira célula (y). A distância à

parede normalizada está definida f� = � �

, a velocidade por e� = �

� e a energia cinética por Á� = ¹

� ,

sendo ν a viscosidade cinemática. As simulações foram efectuadas para as seguintes distâncias

normalizadas: y+ = 5, 10, 30, 50 e 100. Considerou-se 4% a intensidade de turbulência e um resíduo de

10E-6 e utilizou-se o modelo de turbulência k-ε padrão e a função de aproximação da parede reforçada

que permite cálculos na subcamada viscosa. Na figura seguinte estão representados os resultados do perfil

de velocidades e da variação da energia cinética, k+.

Verificou-se que apesar de se utilizar uma função de aproximação à parede esta não se mostrou capaz de

efectuar correctamente o cálculo quando a primeira célula está colocada para um y+<10 uma vez que o

perfil de velocidades se afasta do previsto pela lei logarítmica. Relativamente à energia cinética verifica-

se que os valores se aproximam dos estipulados por Mansour (1988) quando o ponto inicial da malha se

localiza a y+=5 e 10 mas quando y+=30 e 50 a energia cinética detectada é inferior.

Figura 25 - Influência da distância normalizada da primeira célula à parede para simulações entre placas

paralelas.


60

0

5

10

15

20

25

30

1 10 100 1000 10000

u+

y+

Influência do refinamento da malha

Malha M1 Malha M2 Malha M3

Lei da Parede Lei Logaritmica Mansour,et al., 1988

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

1 10 100 1000 10000

k+

y+

À medida que a distância á parede aumenta os pontos deslocam-se para a direita relativamente aos

resultados de Mansour (1988), isto é a mesma energia cinética é detectada a uma distância superior da

parede. Uma vez que a distância à parede teve influência nos resultados, definiu-se que nas simulações

seguintes se iria utilizar malhas com um y+ de 30.


De modo a avaliar a influência do refinamento da malha criaram-se três malhas, cuja distância

normalizada da parede à primeira célula era de y+=3, com as seguintes características:

Tabela 12 - Características das malhas utilizadas na simulação entre duas placas paralelas.

Malha Nº nodos na vertical Nº nodos na horizontal

M1 20 2200

M2 40 4800

M3 80 9600

Para as simulações considerou-se 4% a intensidade de turbulência e um resíduo de 10E-6, utilizou-se o

modelo de turbulência k-ε padrão e a função de aproximação da parede reforçada. Na figura seguinte

estão representados os resultados os perfil de velocidades e a energia cinética.

Figura 26 - Influência do refinamento da malha na simulação entre placas planas.


61

0

5

10

15

20

25

30

1 10 100 1000 10000

u+

y+

Influência do Modelo de Turbulência

k-ε Padrão k-ε RNG k-ε Realizable

k-ω Padrão k-ω SST Lei da Parede

Lei Logaritmica Mansour,et al., 1988

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

1 10 100 1000 10000

k+

y+

Verifica-se que o perfil de velocidades da malha M3,a mais refinada, é o que melhor se ajusta à lei

logarítmica. A energia cinética apresenta o mesmo comportamento para as três malhas, com excepção do

segundo ponto da malha M1 no qual a energia cinética é superior.

Modelos de Turbulência

Pretende-se também comparar os resultados dos modelos de turbulência disponibilizados pelo FLUENT:

k-ε padrão, k-ε RNG, k-ε Realizável e k-w padrão. Considerou-se 4% a intensidade de turbulência e um

resíduo de 10E-6 e utilizou-se a função de aproximação da parede reforçada. Na figura seguinte estão

representados os resultados do perfil de velocidade e de energia cinética.

Figura 27 - Influência dos modelos de turbulência na simulação entre placas planas.

Da análise da figura 28 verifica-se que o modelo k-ω padrão e k-ω SST são os que seguem melhor Lei

logarítmica. Relativamente à energia cinética os modelos apresentam o mesmo comportamento.

5.4.5 Escoamento turbulento transiente em torno de um cilindro quadrado

O quinto caso tem por finalidade estudar o escoamento em torno de um cilindro de secção quadrada em

regime turbulento, para g> = 20 000. Este escoamento tem a vantagem em relação ao escoamento em

torno de um cilindro de secção circular de apresentar arestas vivas onde vai ocorrer a separação do

escoamento, o que em larga medida vai determinar as restantes caracteristicas do escoamento. Já no

escoamento em torno de um cilindro circular não há uma característica geométrica que fixe o ponto de


62

separação e os resultados podem por isso ser mais varáveis pois a separação depende do regime de

escoamento na camada limite.

Pretende-se no caso, calcular o coeficiente de arrasto médio, o número de Strouhal, a amplitude do

coeficiente de arrasto CD’ e a amplitude do coeficiente de sustentação CL’ de modo a comparar todos os

valores obtidos com os do artigo de Younis (2006). Na figura seguinte está representado o domínio de

cálculo utilizado.

Foi feita uma malha, M1, de acordo com os parâmetros definidos na figura 29 para um cilindro quadrado

com uma altura H de 0,05 m. Neste caso, partiu-se de uma malha muito semelhante à malha D1

desenvolvida por Younis e Przulj (2006), cujas características estão expostas na Tabela 13.

Tabela 13 - Características da malha utilizada nas simulações em torno de um cilindro de secção quadrada a Re=

20 000.

Malha N.º total de células Nº nodos no cilindro ∆nc / H

M1 16 504 96 0,014

D1 Younis e Przulj (2006)

16958 96 0,014

As linhas da malha estão concentradas perto da parede do cilindro, com 24 células em contacto com cada

lado. A distância, desde o centro da célula à parede, ∆nc, normalizada pela altura do cilindro, H, é de

Δ?7 /� = 0,014 . As linhas da malha estão a expandir-se para fora do cilindro com uma razão de

expansão de 7,5% em cada direcção. As simulações foram efectuadas utilizando uma intensidade de

turbulência de 1% e um tempo de integração ∆� = 0.95 × 10rÂ 9.

De seguida, foram calculados o número de Strouhal (St), o coeficiente de arrasto médio (CD), a amplitude

do coeficiente de arrasto (CD´) e a amplitude do coeficiente de sustentação o (CL´) de modo a poder-se

comparar com os valores da literatura.

Figura 28 - Domínio de cálculo utilizado na simulação em torno de um cilindro quadrado.


63

Tabela 14 - Resultados da simulação em torno de um cilindro quadrado, em regime turbulento Re 20 000.

Modelo St CD , médio CD´ CL´

K-ε RNG 0.147 2.190 0.112 1.424

k-ε RNG, Younis e Przulj (2006) 0,139 2,064 0,092 1,369

Modelo Modificado, Younis e Przulj (2006)

0.141 2.199 0.186 1.386

Após análise da tabela 14 verifica-se que os resultados obtidos para o escoamento turbulento em torno de

um cilindro quadrado, para Re=20 000, estão em concordância cos resultados atingidos por Yonis e Przulj

(2006) para o modelo k-ε RNG e com o modelo modificado de Younis e Przulj (2006). Contudo há

diferenças ao nível da intensidade das flutuações, com as previsões dos modelos originais e terem

menores amplitudes. Pode concluir-se que o modelo de turbulência do FLUENT é adequado para este

estudo se o objectivo for essencialmente a determinação das quantidades médias, mas também não é claro

que a intensidade das flutuações previstas por Yonis e Przulj serão as correctas. Para uma melhor

compreensão do escoamento turbulento para um Reynolds de 20 000 em torno de um cilindro quadrado,

estão expostas na figura seguinte as linhas de corrente.

Figura 29 - Linhas de corrente instantâneas na simulação do escoamento turbulento em torno de um cilindro

quadrado para Re=20 000.

5.5 Conclusões

Após a análise dos resultados pode afirmar-se que é necessário utilizar uma malha refinada tanto em torno

do cilindro com na zona radial e um resíduo de pelo menos 10-6 para obter resultados do coeficiente de

arrasto e do comprimento de separação com um erro relativo inferior a 1%.

Verificou-se também que é necessário um tempo de integração que seja 1/80 o tempo de um ciclo para

que se consigam valores concordantes com os da literatura para o número de Strouhal e para o coeficiente

de sustentação.

Em relação aos testes efectuados para a supressão de vórtices verificou-se que é necessário utilizar uma

razão entre os diâmetros dos cilindros de D1/D2=1/10 e que o cilindro de controlo esteja afastado do

cilindro principal, na direcção horizontal 2D1 e na direcção vertical D1, para Re=60 e 100.


64

Da análise dos resultados em regime turbulento entre duas placas planas verificou-se que o perfil de

velocidades segue a lei logarítmica quando a primeira célula está colocada para um y+=30. A energia

cinética é influência pela colocação do primeiro ponto da malha, sendo que para y+=30 e 50 a energia

cinética detectada é inferior à estimada por Mansour (1988). Para y+ superiores a 50 detectou-se o mesmo

valor de energia cinética mas a uma distância maior da parede relativamente aos resultados de Mansour

(1988). O refinamento da malha influenciou o perfil de velocidades, sendo a mais refinada a que melhor

se ajusta à lei Logarítmica. Relativamente aos modelos de turbulência verifica-se que o modelo k-ω

padrão e k-ω SST são os que seguem melhor Lei Logarítmica. A energia cinética apresentou o mesmo

comportamento para as três malhas e para os modelos de turbulência testados.

Os resultados da simulação efectuada para o cilindro de secção quadrada estão em concordância com os

resultados da literatura.


65

Capítulo 6 Resultados

Numéricos

Neste capítulo apresentam-se os resultados das simulações de escoamento turbulento e transiente em

torno de um cilindro circular nas quais se pretende estudar a influência da distância da primeira célula à

parede (y+), o efeito do refinamento da malha e só depois se estuda o comportamento comparativo dos

modelos de turbulência disponíveis no FLUENT. Efectuaram-se os seguintes estudos:

- Escoamento em regime turbulento em torno de um cilindro circular, para Re = 27 400, 10 000 e 106

6.1 Escoamento turbulento em torno de um cilindro circular

6.1.1 Resultados para Re 27 400

Esta secção tem por objectivo estudar a influência da distância da parede à primeira célula da malha, do

refinamento da malha, do passo no tempo e dos modelos de turbulência (k-ε padrão, k-ε RNG, k-ε

Realizável, k-ω padrão e k-ω SST) no escoamento em torno de um cilindro circular para Re=27 400.

Pretende-se calcular o coeficiente de arrasto, o coeficiente de sustentação, o número de Strouhal, as

amplitudes das oscilações dos coeficientes de arrasto e sustentação, CD’ e CL’ respectivamente e o ângulo

de separação de modo a comparar esses valores com os apresentados no artigo de Younis e Przulj (2006).

O domínio de cálculo utilizado está ilustrado na figura seguinte:

Lado Inferior

Lado Superior

Sa

ída

En

tra

da

25D

7.5 D

3D

20 D

Figura 30 - Dominio de cálculo utilizado nas simulações em torno de um cilindro em regime turbulento.


66

O cilindro tem um diâmetro de 40 mm. A zona de entrada está a 7.5 vezes o diâmetro do cilindro e a

região de saída a 20 vezes o diâmetro do cilindro. A largura do domínio de cálculo é de 25 vezes o

diâmetro do cilindro. De modo a facilitar a geração da malha, criou-se um quadrado com 3 vezes o

diâmetro do cilindro à volta do cilindro. O quadrado está dividido em 4 partes como se pode ver na figura

32. A parte superior e inferior são consideradas como zonas de simetria. Na tabela seguinte apresentam-se

as características da malha, sendo ∆θº a variação angular de cada célula relativamente ao centro do

cilindro, ∆� g⁄ a variação da dimensão radial das células adimensionalizadas pelo raio do cilindro e a

∆nc/D a distância do centro da primeira célula à parede, normalizada pelo diâmetro do cilindro.

Tabela 15 - Características da malha utilizada nas simulações em torno de um cilindro de secção circular.

Malha N.º total células Nθθθθ �θº Nr ∆,� ∆nc / D

M1 16 800 80 4.5 20 0.16 3E-3

Younis e Przulj (2006) 14 000 160 2.25 ----- ----- 5.75E-3


As simulações foram efectuadas para um resíduo de 10-06, utilizando 20 iterações por cada tempo de

integração e o modelo de turbulência k-ε RNG. Considerou-se 4% a intensidade de turbulência e um

resíduo de 10-6 e utilizou-se a função de aproximação da parede reforçada. Para obter uma estimativa do

tempo de integração utilizou-se uma expressão que relaciona o número de Strouhal com o número de

Reynolds, �� = 0.1776 + 2.2023 / 4g>å,z@, disponível no artigo de Fey (1998). Com base nesse valor

calculou-se a frequência do processo cíclico de desprendimento dos vórtices t = �� ./� ou seja cada

ciclo completo tem a duração � = 1/t. Para que seja possível prever o processo turbulento utilizou-se um

tempo de integração temporal (passo no tempo) de 1/100 relativamente ao tempo total de cada ciclo. Após

a simulação calculou-se a frequência de desprendimento dos vórtices através das flutuações do coeficiente

de sustentação (CL).

Influência do y+ (distancia normalizada da parede à primeira célula)

De modo a estudar a influência das restrições dos modelos de turbulência nos cálculos na região viscosa

perto da parede efectuaram-se malhas com 80 células em torno do cilindro e 16 800 células totais nas

quais se variou a distância entre a parede e a primeira célula da malha. Essa distância foi calculada pela

fórmula seguinte utilizando um factor de refinamento de 1, sugerida em FLUENT (2007):

��{�,� �ª �é�� = ��{�, ,��%��{� ò $� × �},��~×�},��~},�� ×�},��~ × },��~ù (6.1)

De modo a poder comparar as características das malhas, calculou-se a distância do centro das células à

parede, normalizada pelo diâmetro do cilindro, ∆nc/D. Na tabela seguinte, estão expostos os resultados do


67

nº de Strouhal, coeficiente de arrasto médio, a amplitude do coeficiente de arrasto, a amplitude do

coeficiente de sustentação, e o ângulo de separação.

Tabela 16 - Resultados das simulações em que de estudou a influência da distância entre a parede do cilindro e a

primeira célula da malha.

Simulação y+ �nc/D St CD, médio C´L θθθθsº

S1 5 2E-3 0.230 0.566 0.290 103.5

S2 10 3E-3 0.228 0.740 0.470 108

S3 20 7E-3 0.282 0.390 0.105 130

S4 30 1E-2 ---- 0.323 ---- 135

Younis e Przulj (2006)

Modelo modificado

5.75E-3 0.290 1.171 1.016 126.7

k-ε RNG 5.75E-3 0.297 0.967 0.926 125.1

Da análise da tabela 16 verifica-se que as simulações são muito sensíveis à localização da primeira célula

da malha. A utilização de uma malha cuja primeira célula tenha uma distância à parede do cilindro de 30

não permite detectar a formação de vórtices. Nas outras simulações verifica-se que o coeficiente de

arrasto é muito inferior aos obtidos por de Younis e Przulj (2006). Em relação ao ângulo de separação

verifica-se que mas malhas em que a primeira célula está mais próxima do cilindro, y+=5 e y+=10, o

ângulo de separação é inferior ao obtido por Younis e Przulj (2006) e nos restantes casos é superior,

y+=20 e y+=30.O número de Strouhal é similar em todos os casos apresentados. De salientar que para

Re=27 400 estamos ainda nas condições em que a esteira é turbulenta e a separação do escoamento dá-se

numa camada limite laminar. Ora, nestes casos a separação ocorre para ângulos bem inferiores aos

valores calculados por Younis e Przulj (2006) que são típicos de uma separação turbulenta. Em

conclusão, as simulações de Younis e Przulj (2006) não são necessariamente de referência, como se

constatará na próxima secção onde os cálculos a Re=10 000 são também na mesma gama de condições.


Para estudar a dependência da malha nos resultados efectuaram-se três malhas com diferente graus de

refinamento, sendo que em torno do cilindro se utilizaram 40, 80 e 160 células respectivamente,

mantendo a distância normalizada entre a parede e a primeira célula da malha,y+, de 10. Utilizou-se um

tempo de integração temporal de 1/100 relativamente ao tempo total de cada ciclo. Na tabela 17 estão

expostos os resultados obtidos. Verifica-se que a utilização da malha menos refinada M1 não permite a

captação dos vórtices. As malhas M2 e M3 apresentam resultados semelhantes entre si mas o coeficiente

de arrasto e o ângulo de separação é novamente significativamente inferior aos obtidos por Younis e

Przulj (2006).


68

Influência do tempo de integração temporal

De modo a estudar a influência do tempo de integração temporal fizeram-se simulações para passos no

tempo de 1/100, 1/1 000 e 1/3 000 relativamente ao período de um ciclo completo (t). Utilizou-se uma

malha com 80 células em torno do cilindro e 16 800 células totais e com uma distância normalizada entre

a parede e a primeira célula da malha, y+, de 10. Na tabela 18 estão expostos os resultados obtidos.

Tabela 17 - Estudo da influência no refinamento da malha nas simulações em torno de um cilindro para regime

turbulento.

Malha Nº. total de células

Nº células torno do cilindro St CD, médio C´L θθθθsº

M1 4 400 40 --- 0.573 --- 108

M2 16 800 80 0.228 0.740 0.469 108

M3 67 200 160 0.259 0.673 0.212 99


Modelo modificado

27 400 160 0.290 1.171 1.016 126.7

k-ε RNG 27 400 160 0.297 0.967 0.926 125.1

Tabela 18 - Estudo da influência do tempo de integração temporal nas simulações em torno de um cilindro para

regime turbulento utilizando uma malha com y+=10 para a primeira célula.

Simulação ∆∆∆∆t/t St CD, médio C´L θθθθsº

S1 1/100 0.228 0.740 0.469 99

S2 1/1000 0.227 0.724 0.453 108

S3 1/3000 0.227 0.724 0.441 103


Modelo modificado

1/600 0.290 1.171 1.016 126.7

k-ε RNG 1/600 0.297 0.967 0.926 125.1

Verifica-se que o tempo de integração temporal não afectou os resultados das simulações quando

∆t/t<1/100.

Modelos de Turbulência

Pretende-se também comparar os resultados obtidos através dos vários modelos de turbulência

disponibilizados pelo FLUENT: k-ε Padrão, k-ε RNG, k-ε Realizável, k-ω Padrão, k-ω SST.

Utilizou-se uma malha M2, com 80 células em torno do cilindro e 16 800 células totais, e com uma

distância normalizada entre a parede e a primeira célula da malha, y+ = 10. As simulações efectuaram-se

para um tempo de integração temporal de 1/1000.

Da análise da tabela 19 verifica-se que os resultados obtidos utilizando os modelos k-ω-padrão e o k-ω

SST são os que mais se aproximam dos resultados de Younis e Przulj (2006), mas como referido


69

anteriormente há discrepâncias que não podem ser totalmente atribuídas aos modelos de turbulência do

Fluent, já que estamos no regime de separação com camada limite laminar onde se espera que o ângulo de

separação θs esteja mais próximo dos nossos valores do que dos de Younis e Przulj (2006) mais típicos de

uma separação numa camada limite turbulenta.

Tabela 19 - Estudo da influência dos modelos de turbulência nas simulações em torno de um cilindro para

regime turbulento utilizando uma malha com y+=10 para a primeira célula e ∆∆∆∆t/t=1/1000.

Simulação Modelo de turbulência St CD, médio C´D C´L θθθθsº

S1 k-ε padrão 0.199 0.795 0.003 0.279 103.5

S2 k-ε RNG 0.228 0.740 0.007 0.469 108.0

S3 k-ε Realizável 0.225 0.687 0.005 0.353 99.0

S4 k-ω padrão 0.185 1.026 0.0004 0.344 103.5

S4 k-ω SST 0.230 1.053 0.044 0.274 112.5


Modelo modificado 0.290 1.171 0.134 1.016 126.7

k-ε RNG 0.297 0.967 0.094 0.926 125.1

6.1.2 - Resultados para valores Re 10 000

No estudo anterior analisou-se a influência da distância da parede à primeira célula da malha, do

refinamento da malha, do passo no tempo e dos modelos de turbulência para um Reynolds igual a 27 400

e verificou-se que os modelos de turbulência eram o parâmetro de maior influencia nos resultados. Além

disso havia discrepâncias em relação à literatura que devem ser esclarecidas. Para um número de

Reynolds de 10 000 a literatura é mais abundante e esta secção trata precisamente destas comparações.

Assim, prende-se agora analisar o comportamento dos modelos de turbulência para um Reynolds de

10 000, utilizando a malha M2 e M3, com uma distância normalizada entre a parede e a primeira célula da

malha, de y+ = 10. Na tabela 20 estão expostos os resultados obtidos e os resultados da literatura, obtido

pelo método DNS em 3D e experimentais. Os resultados de Dong (2005) estão apresentados para duas

malhas que apenas diferem no número de células, A3 é constituída por 6272 elementos triangulares e B3

por 9272.

Da análise dos resultados verifica-se que o coeficiente de arrasto obtido pelos modelos k-ε é inferior ao

apresentados na literatura enquanto que o os modelos k-ω apresentam um valor ligeiramente superior. O

número de Strouhal e o ângulo de separação estão em concordância com os restantes casos apresentados.

Nas figuras seguintes está representada a variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro

obtida pela simulação efectuada com a malha M2 e com a malha M3 para os diferentes modelos de

turbulência. Nestas figuras estão também representados os resultados da literatura, os resultados

experimentais de Norberg (1992) e os numéricos de Dong (2005) obtidos utilizando malhas de diferentes

refinamentos.


70

Tabela 20 - Resultados das simulações para Re=10 000 e comparação com os resultados da literatura.

Malha Modelo de turbulência St CD, médio C´L θθθθsº

k-ε padrão 0.195 0.812 0.255 94.50

k-ε RNG 0.213 0.735 0.281 94.50

M2 k-ε Realizável 0.216 0.724 0.287 90.00

k-ω padrão 0.171 1.469 0.492 94.50

k-ω SST 0.218 1.560 1.176 103.50

k-ε padrão 0.204 0.816 0.143 94.50

k-ε RNG 0.227 0.700 0.149 92.30

M3 k-ε Realizável 0.215 0.697 0.287 94.50

k-ω padrão 0.175 1.398 0.496 92.30

k-ω SST 0.242 1.526 1.108 90.00

Dong (2005) DNS; 3D; malha A3 0.205 1.128 ---- 105

Dong (2005) DNS; 3D; malha B3 0.203 1.143 ---- 91.4

Wieselsberger (1921) Experimental ---- 1.143 ---- ----

Bishop and Hassan (1964) Experimental 0.201 ---- ---- ----

Gopalkrishanan (1993) Experimental 0.193 1.186 ---- ----

Norberg (2003) Experimental 0.202 ---- ---- ----

Figura 31 – Variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro para as simulações efectuadas com a

malha M2 para Re=10 000.

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Cp

θ, graus

Variação do coeficiente de pressão - Malha M1

k-ε padrão

k-ε RNG

k-ε Realizable

k-ω padrão

k-ω SST

Norberg (1992), Re=8000

Dong (2005) - malha B3

Dong(2005) - malha A3


71


malha M3, Re=10 00.

Da análise da variação do coeficiente de pressão na superfície superior do cilindro verifica-se que é

necessário utilizar uma malha mais refinada para que resultados dos modelos de turbulência sejam mais

concordantes, tal como foi verificado por Dong (2005).

Deste conjunto de figuras e tabelas para Re=10 000, também no regime de separação com camada limite

laminar e esteira turbulenta e sem comparação com os correspondentes dados para Re=27 400 conclui-se

que para Re=10 000 a comparação com a literatura é francamente melhor e positiva sendo que a literatura

neste caso diz respeito a resultados experimentais e de DNS, enquanto que para Re=27 400 a literatura

reporta dados obtidos com modelos de turbulência. Parece assim demonstrar-se o que vínhamos dizendo,

nomeadamente que os valores de Younis e Przulj (2006) não parecem correctos porque não estão

consistentes com o regime de escoamento a que corresponde esse número de Reynolds e sendo mais

típico de uma situação com esteira turbulenta e separação da camada limite também no regime turbulento.

6.1.3 Resultados para valores Re 106

Pretende-se agora analisar o comportamento dos modelos de turbulência para um número de Reynolds

francamente superior aos estudados anteriormente e onde a separação da camada limite é turbulenta. O

caso testado corresponde a Re=106 e idealmente o Reynolds deveria ser superior pois como se constata

da tabela 1 ainda há camada limite laminar significativamente extensa. Neste teste utilizou-se a malha

mais refinada, M3, com uma distância normalizada entre a parede e a primeira célula da malha, y+ = 10.

Na tabela seguinte estão expostos os resultados obtidos e os resultados da literatura: os resultados

experimentais de Shih (1993) e Zdravkovich, (1997) e os numéricos de Pietro (2003) obtidos utilizando

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Cp

θ, graus

Variação do coeficiente de pressão - Malha M2

k-ε padrão

k-ε RNG

k-εRealizable

k-ω padrão

k-ω SST

Norberg (1992), Re=8000

Dong (2005) - malha B3

Dong(2005) - malha A3


72

uma malha 3D. A figura 34 ilustra a variação do coeficiente de pressão na face superior do cilindro para

os diferentes modelos de turbulência.

Tabela 21 - Resultados das simulações para Re=10-6

e comparação com os resultados da literatura.

Malha Modelo de turbulência St CD, médio C´L θθθθsº

k-ε padrão 0.216 0.568 0.001 137.3

k-ε RNG 0.377 0.281 0.052 135

M3 k-ε Realizável 0.360 0.249 0.022 135

k-ω padrão 0.200 0.761 0.010 123.8

k-ω SST 0.390 0.188 0.001 135

Pietro (2003) LES, 3D 0.350 0.310 ---- 131

RANS, 3D --- 0.390 ---- 118

URANS, 3D 0.310 0.400 ---- 117


Modelo modificado 0.266 0.792 0.776 115.9

k-ε RNG 0.270 0.650 0.687 119.6

Shih (1993)1 Experimental 0.220 0.240 ---- ----

Zdravkovich, (1997)1 Experimental 0.18-0.5 0.17-0.4 ---- 127 1 Os resultados de Shih (2003) e Zdravkovich, (1997) estão citados no artigo de Pietro (2003).


malha M3 para Re=10-6.

Da análise da tabela 21 verifica-se em primeiro lugar os modelos RANS agora já prevêem a separação

tardia como é típico da separação turbulenta, e em contraste com os casos anteriores. Por outro lado há

algumas discrepâncias com a literatura sobretudo de natureza numérica, nomeadamente na determinação

do coeficiente de arrasto. O ângulo de separação experimental é o mais próximo do que foi calculado por

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Cp

θ, graus

Variação do coeficiente de Pressão - Malha M3k-ε padrão

k-ε RNG

k-ε Realizable

k-ω padrão

k-ω SST

Pietro (2003) - LES

Pietro (2003) - URANS

Pietro (2003) - RANS

Falchsbart (in Zdravkovich

1997) - experimental


73

nós. Já nos cálculos numéricos todos recorrem a modelos de turbulência variados e embora bastante

consistentes no valor do ângulo de separação, apresentam discrepâncias também em relação ao

experimental. Relativamente ao coeficiente de pressão verifica-se que todos os modelos foram capazes de

o prever correctamente à excepção do modelo k-ω padrão.

6.1.4 Comparação de resultados

Para finalizar esta secção pretende-se comparar os valores do coeficiente de arrasto e do número de

Strouhal obtidos para os modelos de turbulência utilizados com os valores da literatura para a gama de

Reynolds em estudo. Na figura 35 apresenta-se a variação do coeficiente de arrasto em função do número

de Reynolds e na figura 36 a variação do número e Strouhal em função do número de Reynolds. Os

resultados teóricos foram retirados de Sumer (1997).

Figura 34 - Variação do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds (adaptado de SUMER, 1997).

Da análise do gráfico da variação do coeficiente de arrasto e do número de Strouhal verifica-se que os

modelos de turbulência acompanham os resultados teóricos. Os resultados para Re=10-6 são os que

apresentam diferenças mais significativas entre os modelos. O modelo k-ω padrão e k-ω SST são os que

melhor se aproximam do valor da literatura no caso do coeficiente de arrasto, enquanto que para o

número de Strouhal é o modelo k-ε padrão.

A variação nos resultados pode dever-se ao facto de se estarem a fazer simulações em 2D não têm em

conta o efeito da terceira dimensão a qual pode ser mais significativa para números de Reynolds

superiores.

0,1

1

10

100

1,E-01 1,E+01 1,E+03 1,E+05 1,E+07

CD

Re

Oseen - Lamb relation

Tritton (1959)

wieselsberger (1979)

keller & Takami (1966)

Braza et al (1990)

k-ε padrão

k-ε RNG

k-ε Realizable

k-ω padrão

k-ω SST


74

Figura 35 - Variação do número de Strouhal em função do número de Reynolds (adaptado de SUMER, 1997).

6.2 Conclusões

Após a análise dos resultados pode afirmar-se que é necessário utilizar uma malha bastante refinada e

com uma distância normalizada entre a parede e a primeira célula da malha, y+ = 10 para se detectar a

formação de vórtices e para que os resultados sejam concordantes. O tempo de integração temporal não

influenciou os resultados, sendo apenas necessário um tempo de integração de 1/100 vezes o tempo de um

ciclo. Da análise comparativa dos modelos de turbulência verificou-se que o uso dos modelos em

situações onde o escoamento está sujeito a elevados gradientes de pressões, como no caso presente do

escoamento em torno de um cilindro circular, e a qualidade das previsões fica comprometida. Os modelos

k-ε são os que apresentam maior fragilidade, pelo facto de ser necessário recorrer a funções de parede

para que seja possível o cálculo na região viscosa. Os resultados obtidos através do k-ω padrão e k-ω

SST, que são modelos modificados que permitem cálculo na região viscosa, são os que melhor se

aproximam do valor da literatura.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07

St

Re

Williamson (1989)

Roshko (1961)

Braza et al (1990)

Braza et al (1992)

k-ε padrão

k-ε RNG

k-ε Realizable

k-ω padrão

k-ω SST


75

Capítulo 7

Conclusões

Este capítulo encerra a tese, onde serão apresentadas as principais conclusões deste trabalho exposto nos capítulos anteriores e algumas sugestões para trabalho futuro.

7.1 Principais Conclusões

Esta tese apresenta os resultados de um conjunto de ensaios experimentais e estudos numéricos

efectuados para estudar o controlo da ejecção de vórtices sobre um cilindro por recurso a um seguindo

cilindro de controlo. No caso dos estudos numéricos estes reportam a comparação para escoamento

laminar e turbulento, em regime estacionário e transiente usando o código comercial Fluent.

Através dos resultados experimentais conclui-se que é necessário a colocação do cilindro de controlo a

80º relativamente à horizontal e medido a partir do ponto de estagnação frontal, para que ocorra uma

redução da frequência de ejecção de vórtices. Não foi possível a total supressão dos vórtices para as

posições testadas, no entanto estes teste são preparativos dado que o canal de água apenas esteve

disponível durante um mês para a realização de todo o trabalho experimental.

O estudo numérico iniciou-se por uma série de trabalhos “preliminares’’ de validação, em escoamento em

torno de um cilindro em regime estacionário e transiente. Deste estudo conclui-se que é necessário utilizar

uma malha refinada tanto em torno do cilindro e um resíduo de pelo menos 10-6 para obter resultados do

coeficiente de arrasto e do comprimento de separação com um erro relativo inferior a 1%. Verificou-se

também que é necessário um tempo de integração de 1/80 vezes o tempo de um ciclo para que se

consigam valores concordantes com os da literatura para o número de Strouhal e para o coeficiente de

sustentação.

Posteriormente efectuou-se um estudo numérico prévio da colocação de um cilindro de controlo na estira

do cilindro principal. Verificou-se a supressão de vórtices ocorre quando se utiliza uma razão entre os

diâmetros dos cilindros de D1/D2=1/10 e quando o cilindro de controlo está colocado a jusante do cilindro

a uma distância de 2D1 na direcção horizontal e D1 na direcção vertical, para um número de Reynolds de

Re=60 e 100.

O estudo em regime turbulento pretendeu avaliar a capacidade predictiva de diversos modelos de

turbulência do tipo RANS: modelos k-ε e modelos k-ω, disponíveis no software Fluent 6.3. Em relação à

simulação do escoamento turbulento entre placas planas verificou-se que o perfil de velocidades segue a


76

lei logarítmica quando a primeira célula está colocada para um y+=30. O refinamento da malha

influenciou o perfil de velocidades, sendo a mais refinada a que melhor se ajusta à lei Logarítmica.

Relativamente aos modelos de turbulência verifica-se que o modelo k-ω padrão e k-ω SST são os que

seguem melhor Lei Logarítmica. A energia cinética é influência pela colocação do primeiro ponto da

malha mas apresentou o mesmo comportamento para as três malhas e para os modelos de turbulência

testados.

Os resultados da simulação efectuada em torno de um cilindro de secção quadrada estão em concordância

com os resultados da literatura. Este escoamento tem a vantagem em relação ao escoamento em torno de

um cilindro de secção circular de apresentar arestas vivas onde ocorrer a separação do escoamento, o que

em larga medida vai determinar as restantes caracteristicas do escoamento.

Os resultados das simulações em torno de um cilindro circular para Re= 10 000, 27 400 e 10-6 permitiram

concluir que os modelos k-ε são os que apresentam maior fragilidade quando sujeitos a elevados

gradientes de pressão, pelo facto de ser necessário recorrer a funções de parede para que seja possível o

cálculo na região viscosa. Os resultados obtidos através do k-ω padrão e k-ω SST, que são modelos

modificados que permitem cálculo na região viscosa, são os que melhor se aproximam do valor da

literatura.

Tendo em considerando o objectivo do projecto e que os escoamentos em tanques de tratamento de água

com radiação UV ocorrem para números de Reynolds da ordem de 10 000, o modelo de turbulência mais

adequado a esta situação são os modelos k-ω SST.

7.2 Sugestão para Trabalho Futuro

Esta tese insere-se num trabalho de investigação que irá ter continuidade ao longo deste ano. Uma vez

que ainda não se conseguiu suprimir a formação e desprendimento de vórtices na esteira é necessário dar

continuidade ao trabalho experimental para testar outras posições de colocação do cilindro de controlo

que possam ser mais favoráveis ao controlo dos vórtices, nomeadamente o posicionamento a jusante do

cilindro principal na zona da esteira. De modo a quantificar a frequência das flutuações ir-se-á utilizar-se

a anemometria lase dopler LDA e numa fase posterior utilizar-se-á a velocimetria por imagem de

partículas (PIV).

Relativamente ao estudo numérico iniciar-se-ão as simulações com radiação para um só cilindro em

regime laminar e turbulento e posteriormente colocando o cilindro de controlo numa região em que

atenue/elimine a ejecção de vórtices. Posteriormente serão efectuadas simulações com radiação mas em

regime turbulento em torno do cilindro principal com o cilindro de controlo para comparação com os

resultados experimentais.

Será efectuado o estudo paramétrico para o caso em que se utiliza o cilindro principal e o cilindro de

controlo.

Numa fase final efectuar-se-ão simulações para um banco de tubos sem e com cilindro de controlo

aplicando a radiação UV para avaliar a eficiência do tratamento.


77

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