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1 Teoria de vórtices Nos capítulos anteriores estudados duas teorias (três se considerarmos que uma terceira independente a teoria conjunta) que nos permitia de uma forma fácil e rápida calcular o desempenho do rotor, ou seja entre outras coisas a potência necessária para gerar uma determinada propulsão ou qual a potência para uma determinada situação de voo. Para estas teorias foram feitas várias aproximações, algumas grosseiras, especialmente no respeitante ao escoamento em torno das pás e na sua esteira. No entanto e comparativamente os resultados experimentais, estas teorias davam valores aceitáveis que podiam ser utilizados numa primeira fase do projecto preliminar. Vamos agora estudar mais um método de cálculo que nos permites não só calcular as potências consumidas baseado no cálculo da sustentação gerada, mas também de todo o escoamento em torno da pá e na sua esteira. Visualizando o escoamento em torno de uma pá em rotação teríamos:

Figura 1 Escoamento em torno de uma pá em rotação.

Estudando uma fotografia do escoamento perpendicular ao eixo da pá, e por isso paralela a perfil da mesma, podemos constatar que há uma circulação (vórtice) ligado, ou agarrado, ao perfil, circulação essa que permite que o bordo de fuga do perfil seja um ponto de estagnação (teorema de Kutta Jokowski). Esta circulação agarrada à pá vai acelerar o escoamento (diminuindo a pressão) na parte superior do perfil e desacelerar (aumentando a pressão) na parte inferior permitindo assim que haja uma diferença de pressões o que gera a sustentação. Para além desta circulação agarrada ao perfil existe também a circulação que é largada pelo bordo de fuga do perfil que será uma folha a todo o comprimento da pá. Estudando agora uma fotografia tirada paralelamente ao eixo

da pá o primeiro elemento que salta a vista é a geração do vórtice da ponta da pá. Este vórtice já tinha sido alvo de um estudo dado com o helicóptero a descer este pode ficar “preso” na zona do rotor, aumentado assim o esteira nesta zona, e aperiodicamente “rebentar” gerando assim grandes flutuações nas forças geradas pelo rotor. Vemos também que existe um segundo vórtice por debaixo daquele que foi recentemente formado, vórtice esse que foi gerado pela pá que vai à frente da pá em estudo. Vemos assim que a esteira é completamente diferente daquela que foi assumida até aqui.

Figura 2 Visualização do vórtice da ponta da pá em situação reais.

Para o estudo dos vórtices da ponta da pá pode-se realizar experiências controladas onde em cada instante pode-se visualizar a posição e tamanho dos vórtices e assim saber qual a sua trajectória. Esta visualização pode ser feita utilizando um gerador de fumo cuja saída seja a própria ponta da pá. Assim o fumo é injectado directamente no vórtice permitindo assim a sua visualização. Esta técnica pode ser utilizada quer um rotores fixos em túnel de vento que em modelos à escala ou modelos reais. Outra técnica de visualização é utilizando técnicas com laser. São injectadas pequenas partículas (tão pequenas que o seu peso não causa movimento nas mesmas) em todo escoamento. Estas partículas irão reflectir a luz do laser sendo possível deste modo a visualização da sua posição. Se a luz do laser for pulsada sabendo a posição da partícula em duas fotos consecutivas e o tempo entre elas (frequência do impulso) pode-se retirar qual a velocidade de cada partícula. Fica-se assim a saber o comportamento de todo o escoamento, principalmente dos vórtices da ponta da pá. O terceiro tipo de visualização tem a ver com a difracção da luz que depende da densidade local. Ora devido ao grande

gradiente de vorticidade existente nos vórtices da ponta da pá, existente também um grande gradiente de densidade. Utilizando a técnica “Shiliren” pode-se tirar fotografias ficando registado a diferença de densidade que no permite visualizar a posição dos vórtices. Existe ainda uma terceira maneira “natural” dado que pode haver condensação do vapor de água dentro dos vórtices. Assim se as condições naturais são as ideais em termos de humidade relativa, temperatura do ar e ponto de orvalho é possível visualizar a condensação do vapor de água dentro dos vórtices, sendo necessário também que as condições de luminosidade sejam também as correctas. Um exemplo desta visualização é a mostrada na figura Figura 2

1.1 Interacção pá-vórtice

Já tinha sido estudado que o encontro entre a pá em rotação com a esteira da pá que vai à frente prejudicial à geração das forças aerodinâmicas dado que causa instabilidade nesta geração. Há também que juntar a necessidade de se estudar o ruído provocado quando há este encontro. De toda a esteira que a pá da frente provoca aquela que gera uma interacção mais violenta é o vórtice da ponta da pá. Vamos por isso nesta primeira fase estudar a trajectória deste vórtice desde a sua geração até à sua convecção com a esteira. Fazemos no entanto uma aproximação que é que o vórtice não é convectado na direcção perpendicular ao rotor (posicionado no plano xy). Assim a posição do vórtice é dada pela rotação da pá, e por isso pela posição da ponta da pá, à qual se deve juntar a influência da velocidade de avanço de helicóptero que é alinhada com o eixo x. Temos uma trajectória helicoidal que será mais aberta quanto maior for a velocidade de avanço.

Figura 3 Posição do vórtice da ponta da pá para uma velocidade de avanço adimensional de 0.1



Vamos então assumir que a esteira não sofre distorção no plano x-y (contrariando assim a o que tinha sido encontrado em relação a contracção da esteira). Assim as trajectórias são trajectórias são formas epicicloidais cujas equações paramétricas são dadas por:

�� = cos �� −�� + �� = sin �� −�� 1.1

Em que �� é o ângulo azimutal da pá, medido em relação ao eixo de referência, e �� é a idade do ponto particular da esteira medida relativamente à posição da pá. A posição desse ponto relativamente ao eixo de referência é então �� −��. Ver Figura 6. De notar que dado que a esteira não sofre distorção no plano x-y a velocidade de avanço só influencia o deslocamento da direcção x.

Sabendo a trinteracções páposição azimutal da pá pontos da

Em que

verificadas quando:

Da qual só estamos interessados na parte real

Figura 6 Geração de um vórtice na ponta da pá e definição de idade da esteira

Sabendo a trajectória dos vórtices podemos calcular todos os pontos das possíveis interacções pá-vórtice (IPV) igualando todos os pontos da pá (que depende não só da posição azimutal da pá pontos da trajectória do vórtice:

Em que ∆= �� verificadas quando:

�� = asinDa qual só estamos interessados na parte real

Geração de um vórtice na ponta da pá e definição de idade da esteira

ajectória dos vórtices podemos calcular todos os pontos das possíveis vórtice (IPV) igualando todos os pontos da pá (que depende não só da

posição azimutal da pá ��, mas também da posição na pá dada pela variável r) aos trajectória do vórtice:

"# cos ��# sin ��

com $ = 1verificadas quando:

asin &''(− cos ∆ sin


��



, mas também da posição na pá dada pela variável r) aos trajectória do vórtice:

− ∆� = cos − ∆� = sin 1,2,… , -�. Podesin �� − ∆� .


�� − sin�



, mas também da posição na pá dada pela variável r) aos

cos �� − �� − ��. Pode-se demonstrar que as equações acima são

� . sin ∆/�� Da qual só estamos interessados na parte real

� �� − ∆� 0




� + �� se demonstrar que as equações acima são

/ �� − sin�

� 0 0




�se demonstrar que as equações acima são

�� − ∆�2334




1.2

se demonstrar que as equações acima são

�2334 1.3

1.4

Os valores correspondeste de # são dados por: # = sin �� −��sin �� − ∆� 1.5

e mais uma vez apenas estamos interessados em valores na pá ou seja quando # < 1. Das equações 1.4 e 1.5 podemos retirar as coordenadas x e y onde há IPV: "� = # cos �� − ∆� � = # sin �� − ∆� � 1.6

Assumindo valores de �� 0 0 e obtendo valores de �� e # pode-se determinar todos os pontos possíveis de IPV para várias velocidade adimensionais de avanço:

Figura 7 IPV para uma velocidade de avanço de 0.1



Esta IPV pode ser verificada experimentalmente. Com as técnicas de visualização explicadas anteriormente pode-se verificar qual o efeito da passagem da pá no deslocamento do vórtice (Figura 10). Se o rotor tiver apenas uma pá esta interacção acontecerá apenas quando a pá tiver rodado de 360º. Vemos que o efeito desta passagem não é muito grande dado que o vórtice teve tempo de afastar do plano do rotor. O mesmo não acontece se o rotor tiver duas pás. Aí a interacção acontece aos 180º, não dando ao vórtice tempo de se afastar do rotor e vemos que quer a velocidade de propagação na direcção perpendicular ao plano do rotor, z, que no plano do rotor, y, aumentam quando há a referida IPV.

Figura 10 Efeito da passagem da pá no deslocamento do vórtice

1.2 Aplicação da teoria de vórtices

Para poder modelar o escoamento vamos utilizar a extensão da teoria da linha sustentadora de Prandtl que é uma combinação do teorema de Kutta-Joukowski, assim como da lei de Biot-Savart aplicada a uma estrutura da esteira pré-definida ou livre quer para os vórtices da ponta da pá quer para a folha de vórtices. A maneira mais simples de aplicar esta teoria é considerando que a esteira de vórtices é rígida e tem uma posição bem definida. Assim Robin Gray propôs um modelo da esteira em 1952. Mais tarde Landgrebe generalizou o modelo de Gray com o uso de dados experimentais. A teoria de vórtices foi utilizada extensivamente nos anos 70 e 80 para o cálculo do desempenho dos rotores sendo substituído por métodos mecânica de fluidos computacional. A teoria de vórtices resolve alguns dos problemas da teoria conjunta elementos de pá momento linear com propulsões elevadas (grandes CT/s) dado que com estes valores a velocidade induzida é afectada pela contracção da esteira, podendo mesmo haver, perto da ponta, uma velocidade induzida para cima (em vez de ser para baixo) devido a esta contracção, provocando um maior carregamento na ponta o que altera a potência consumida. O teorema de Kutta-Joukowski relaciona a sustentação por unidade de comprimento e a circulação local: 67 = 8 9��:6� = ��8 9��;<=6� ⇒ <= = 2: 9��; 1.7

Como já tínhamos relacionado o coeficiente de sustentação com o coeficiente de propulsão:

6<? = -� 678@ 9�� = -� 8 9��:6�8@ 9�� = -� :#6#89�� 1.8

Da teoria dos elementos de pás vimos que para um rotor com torção ideal o coeficiente de propulsão podia ser calculado apenas com o coeficiente de sustentação local da ponta da pá: 6<? = A<=BCDEF2 #6# 1.9

Relacionando as equações anteriores 1.8 e 1.9 : #� = A<=BCDEF G9��2-� = <=BCDEF 9 � ;2 = ;HIJK 1.10

De onde se pode concluir que para o caso da pá com torção constante a circulação ao longo da pá também é constante. Sendo a circulação constante ao longo da pá o teorema de Helmholtz requer que um único vórtice com a mesma intensidade seja “largado” da ponta da pá. Fisicamente esta situação não é possível dado que a vorticidade não pode aumentar em patamares no espaço. O que acontece é que são “largados” vórtices na esteira da pá ao longo de toda a pá, formando assim a folha de vórtices identificada na figura Figura 1. A intensidade desses vórtices vai aumentado até atingir um máximo na ponta da pá .

Figura 11 Folha de córtices e Vórtice da ponta da pá

Precisamos por isso de calcular a velocidade induzida por este filamentos de vórtices, e assim calcular o escoamento total em torno do rotor. Aplicando as devidas condições de

fronteira a estas velocidades podemos calcular a intensidade dos vórtices largados, ou seja a circulação ao longo da pá. Tendo a circulação podemos obter propulsão e a potência.

A lei de Biotnum determinado ponto:

em que intensidade encontrar uma expressão analítica para a velocidade ao integrar a equação de todo o comprimento do vórtice. Por esta razão aproximasegmentos rectilíneos (ver figura menor for o comprimento mais os segmentos se aproximam da realidade e o erro introduzido por esta aproximação será menor. No entanto dado que estamos a aumentar o número de segmentos a tempo de cálculo irá aumentar b

fronteira a estas velocidades podemos calcular a intensidade dos vórtices largados, ou seja a circulação ao longo da pá. Tendo a circulação podemos obter propulsão e a potência.

1.2.1 A lei de Biot

A lei de Biot-Savartnum determinado ponto:

Figura

em que 6LM é a velocidade induzida por um filamento de vórtice de comprimento intensidade :N, num ponto distanciado de encontrar uma expressão analítica para a velocidade ao integrar a equação de todo o comprimento do vórtice. Por esta razão aproximasegmentos rectilíneos (ver figura menor for o comprimento mais os segmentos se aproximam da realidade e o erro introduzido por esta aproximação será menor. No entanto dado que estamos a aumentar o número de segmentos a tempo de cálculo irá aumentar b

fronteira a estas velocidades podemos calcular a intensidade dos vórtices largados, ou seja a circulação ao longo da pá. Tendo a circulação podemos obter propulsão e a

A lei de Biot-

Savart permite calcular a velocidade induzida por um filamento de vórtice num determinado ponto:

Figura 12 Velocidade induzida por um filamento de vórtices

é a velocidade induzida por um filamento de vórtice de comprimento , num ponto distanciado de

encontrar uma expressão analítica para a velocidade ao integrar a equação de todo o comprimento do vórtice. Por esta razão aproximasegmentos rectilíneos (ver figura menor for o comprimento mais os segmentos se aproximam da realidade e o erro introduzido por esta aproximação será menor. No entanto dado que estamos a aumentar o número de segmentos a tempo de cálculo irá aumentar b


-Savart

permite calcular a velocidade induzida por um filamento de vórtice

Velocidade induzida por um filamento de vórtices

6LM = :N4Gé a velocidade induzida por um filamento de vórtice de comprimento , num ponto distanciado de

encontrar uma expressão analítica para a velocidade ao integrar a equação de todo o comprimento do vórtice. Por esta razão aproximasegmentos rectilíneos (ver figura Figura 12menor for o comprimento mais os segmentos se aproximam da realidade e o erro introduzido por esta aproximação será menor. No entanto dado que estamos a aumentar o número de segmentos a tempo de cálculo irá aumentar b




:NG 6PMQ #M|#M|S

é a velocidade induzida por um filamento de vórtice de comprimento , num ponto distanciado de #M desse filamento. Normalmente é difícil de

encontrar uma expressão analítica para a velocidade ao integrar a equação de todo o comprimento do vórtice. Por esta razão aproxima

12) de um determinado comprimento. Quanto menor for o comprimento mais os segmentos se aproximam da realidade e o erro introduzido por esta aproximação será menor. No entanto dado que estamos a aumentar o número de segmentos a tempo de cálculo irá aumentar b




é a velocidade induzida por um filamento de vórtice de comprimento desse filamento. Normalmente é difícil de

encontrar uma expressão analítica para a velocidade ao integrar a equação de todo o comprimento do vórtice. Por esta razão aproxima-se o vórtice por pequenos

) de um determinado comprimento. Quanto menor for o comprimento mais os segmentos se aproximam da realidade e o erro introduzido por esta aproximação será menor. No entanto dado que estamos a aumentar o número de segmentos a tempo de cálculo irá aumentar bastante.




é a velocidade induzida por um filamento de vórtice de comprimento desse filamento. Normalmente é difícil de

encontrar uma expressão analítica para a velocidade ao integrar a equação 1.11se o vórtice por pequenos

) de um determinado comprimento. Quanto menor for o comprimento mais os segmentos se aproximam da realidade e o erro introduzido por esta aproximação será menor. No entanto dado que estamos a aumentar

astante.



1.11

é a velocidade induzida por um filamento de vórtice de comprimento 6PM, de desse filamento. Normalmente é difícil de

11 ao longo se o vórtice por pequenos

) de um determinado comprimento. Quanto menor for o comprimento mais os segmentos se aproximam da realidade e o erro introduzido por esta aproximação será menor. No entanto dado que estamos a aumentar

Ao aplicar a equação

Ao olhar para as expressões obtidas quer na equação imediatamente se concluí que se o que é manifestamente impossível. Precisamos pois de um modelo para o núcleo do vórtice que é aplicável

Fisicamente o que se pode observar é que a velocidade induzida pelo vórtice é inversamente proporcional á distância ao centro do vórtice acima de um determinado valor para essa distância. Abaixo dessa distância (raio do núcleo do vórtice) a velocidade vari

Figura

Ao aplicar a equação

LM = :N4G #TAo olhar para as expressões obtidas quer na equação imediatamente se concluí que se o que é manifestamente impossível. Precisamos pois de um modelo para o núcleo do vórtice que é aplicável

1.2.2 Modelação do núcleo

Fisicamente o que se pode observar é que a velocidade induzida pelo vórtice é inversamente proporcional á distância ao centro do vórtice acima de um determinado valor para essa distância. Abaixo dessa distância (raio do núcleo do vórtice) a velocidade varia linearmente com a distância (

Figura 13 Velocidade induzida por um vórtice segmento de recta

Ao aplicar a equação 1.11 a esse segmento de recta (

#�TTTM Q #�TTTM #�#�Ao olhar para as expressões obtidas quer na equação imediatamente se concluí que se o que é manifestamente impossível. Precisamos pois de um modelo para o núcleo do vórtice que é aplicável para pequenos valores de

Modelação do núcleo

Figura

Fisicamente o que se pode observar é que a velocidade induzida pelo vórtice é inversamente proporcional á distância ao centro do vórtice acima de um determinado valor para essa distância. Abaixo dessa distância (raio do núcleo do vórtice) a

a linearmente com a distância (

Velocidade induzida por um vórtice segmento de recta

a esse segmento de recta (

#� �� − #�TTTM · #�TTTMAo olhar para as expressões obtidas quer na equação imediatamente se concluí que se #M V 0 a velocidade induzida pelo vórtice tende para o que é manifestamente impossível. Precisamos pois de um modelo para o núcleo do

para pequenos valores de

Modelação do núcleo

Figura 14 Modelo para o núcleo do vórtice


a linearmente com a distância (


a esse segmento de recta (Figura

+ #�� W1 −�M�� + #X�Y#��

Ao olhar para as expressões obtidas quer na equação a velocidade induzida pelo vórtice tende para

o que é manifestamente impossível. Precisamos pois de um modelo para o núcleo do para pequenos valores de #M.

Modelo para o núcleo do vórtice


a linearmente com a distância (Figura


Figura 13) obtemos:

W #�TTTM · #�TTTM#�#� ZY � + #�� − 2 Ao olhar para as expressões obtidas quer na equação 1.11

a velocidade induzida pelo vórtice tende para o que é manifestamente impossível. Precisamos pois de um modelo para o núcleo do

Modelo para o núcleo do vórtice


Figura 14). Isto quer dizer que o núcleo


) obtemos:

#�TTTM · #�TTTM�[ que na equação

a velocidade induzida pelo vórtice tende para o que é manifestamente impossível. Precisamos pois de um modelo para o núcleo do


). Isto quer dizer que o núcleo

[ 1.12

que na equação 1.12 a velocidade induzida pelo vórtice tende para ∞,

o que é manifestamente impossível. Precisamos pois de um modelo para o núcleo do


). Isto quer dizer que o núcleo

do vórtice roda como se fosse um corpo rígido em torno do seu eixo enquanto que a região exterior pode ser modelada como um zona potencial. O raio do núcleo #] é encontrado onde a velocidade radial tem o seu valor máximo. Muitos autores adimensionalizam as distâncias com a dimensão do núcleo do vórtice: � _̂|`áb�`� ⇒ #c = ##] = 1 1.13

Baseado nesta constatação física vários autores propuseram modelos para simular a influência do vórtice num determinado ponto, ou seja para o cálculo da velocidade induzida tangencial. O modelo mais simples é o de Rankine em que o núcleo é um corpo rígido em rotação e a velocidade fora do núcleo diminui hiperbolicamente com a distância:

_̂ #c� = defW :N4G #]Z #c 0 ≤ #c ≤ 1W :N4G #]Z 1#c #c 0 1 � 1.14

Outro modelo foi obtido por Oseen-Lamb, obtido através de uma forma simplificada das equações Navier-Stokes:

_̂ #c� = W :N4G #]#c Z Y1 − h�ijck [ 1.15

Onde l é uma constante cujo valor é 1.25643. De notar que na equação 1.15 o termo dentro do primeiro parêntesis tende para ∞ quando #M V 0 mas o termo dentro do segundo parêntesis tende para zero na mesmo situação mantendo o valor total nos valores expectáveis. Newman também derivou uma solução exponencial para as três componentes da velocidade devido ao vórtice baseado numa formulação simplificada das equações de Navier-Stokes. O resultado para a velocidade tangencial é o mesmo que o de Ossen-Lamb mas Newman consegue demonstrar que a velocidade axial é:

m̂ #c� = − W@n Z Yh�ijck [ 1.16

Onde A é a constante que pode ser relacionada com a resistência aerodinâmica das superfícies geradores de sustentação. Vastitas propôs uma série de modelos para retirar a singularidade da velocidade:

_̂ #c� = W :N4G #] Z #c 1 + #c��oD 1.17

Onde I é um inteiro. De notar que só para I = 1 (chamado vórtice de Scully) e I = 2 n=2 são fisicamente aceitáveis e que para I V ∞ obtém-se o vórtice de Rankine. Podemos fazer uma comparação entre todos estes modelos de vórtices fazendo o gráfico das respectivas velocidades tangenciais em função da distância o centro do núcleo.

Figura 15 Variação da velocidade tangencial com a distância ao núcleo para vários modelos de

vórtices

Vemos que para o modelo mais simples temos descontinuidade na velocidade na periferia do núcleo, descontinuidade essa que não está presente nos outros modelos. Vemos também que apesar de haver diferenças consideráveis para as velocidades tangenciais na bordo do vórtice essas diferenças são negligenciáveis para distâncias maiores que 4 vezes o tamanho do núcleo. Esta dimensão do núcleo do vórtice é uma dimensão importante que pode ser usada para definir a estrutura e evolução dos vórtices da ponta da pá. É então importante saber qual o tamanho do núcleo e se possível a sua variação com o tempo. O raio médio do núcleo poder ser considerado como metade da distância entre os máximos da velocidade.

Figura 16 Variação da velocidade tangencial para várias idades de esteira do vórtice

A Figura 16 mostra resultados experimentais referentes à variação da velocidade tangencial para várias idades de esteira do vórtice. Podemos ver para ângulo de idade pequenos à uma variação marcada da velocidade tangencial no núcleo, variação essa que vai-se esbatendo com a idade. Vemos também que o tamanho do núcleo vai aumentando com a idade. Podemos então marcar esta variação num novo gráfico (Figura 17)

Figura 17 Variação do tamanho do núcleo com a idade da esteira.

Desta análise deste novo gráfico vemos que o raio do núcleo aumenta com o raiz quadrada da idade da esteira e que uma melhor aproximação aos resultados

experimentais é obtida quando considerarmos a idade da esteira não a partir da posição da pá mas sim a partir de uma posição anterior. Isto porque o núcleo não tem uma dimensão zero quando é gerado mas sim uma dimensão finita. Um modelo simples qualitativo do crescimento do núcleo do vórtice com o tempo pode ser obtido a partir dos resultados de Lamb’s para escoamentos laminares. Partindo do perfil para as velocidade tangenciais:

_̂ #� = W :N4G # Z p1 − h� jkqr�s 1.18

Utilizando uma mudança de variável: � = # 4tK��ok ⇒ _̂ �� = W :N4G � √4tK Z Y1 − h�bk[ 1.19

O raio do núcleo rc corresponde ao valor de r quando Vθ é máximo: _̂6� = :N2G√4tK W− 1�� + 1�� h�bk + 2h�bkZ

= :N2G �� √4tK v 1 + 2��h�bk − 1w 1.20

Cuja solução x=1.1209 implica que o núcleo cresce com: � = # 4tK��ok ⇒ #] K� = 1.1209√4tK ⇒ #] K� = √4ltK 1.21

Onde α=1.25643 a mesma constante do modelo de Lamb. Na prática, devido à geração de turbulência a difusão de vorticidade no vórtice acontece muito mais depressa. Este efeito, que é um efeito fundamental complicado, pode ser incorporado no modelo de crescimento utilizando um coeficiente médio de turbulência viscosa: #] K� = √4l z tK 1.22

1.3 Discretização da pá

Temos então na nossa posse toda a teoria que nos permite calcular a velocidade num determinado ponto induzida por um vórtice. Vimos também que estes vórtices são largados ao longo da pá de uma forma continua. Como é que podemos então aplicar as equações ao nosso caso?. Primeiro temos que simular a circulação na asa. Esta simulação é feita dividindo a pá em secções e assumir que nessa secção a circulação (intensidade do vórtice) é constante. Temos então um segmento de vórtice que está ligado à pá (posicionado a um quarto da corda) e paralelo ao eixo da pá. Do teorema de

Helmoltz sabes que a vorticidade tem que ser contínua por isso temos que estender este vórtice ao longo da esteira. Ficamos assim com um vórtice em forma de U ou de ferradura que está ligado à secção da pá e que aumenta de tamanho sempre a pá de movimenta. A intensidade do vórtice na ligação entre dois elementos será sempre igual à diferença entre as intensidades dos vórtices de cada elementos dado que o sentido da circulação é sempre oposto.

Figura 18 Aplicação da teoria de vórtices

Tendo estabelecido a discretização da pá temos então N incógnitas que são as intensidades dos N vórtices ligados ao N elementos que constituem a discretização da pá. Precisamos por isso de N equações para poder resolver o sistema. Essas N equações são obtidas estabelecendo a equação da velocidade em N pontos de controlo, em cada elemento da pá. Sabemos que neste postos de controlo sobre a pá, que é uma superfície rígida, a velocidade perpendicular à superfície de pá tem que ser zero. Podemos então estabelecer as N equações: L�{ = ^N|=�]�}�}| ��j`�=��}~m�}� �|=��N�j��]|� =��}�� á �á

+ N̂|=�]�}�}| ��j`�=��}~m�}� �|=��N�j��]|� }� |��|�j�+ ^ N|=�]�}�}| ��j`�=}|N�}� �� `�N�`|��}� �|=�]ó��|j�

= 0 1.23

Temos assim um sistema fechado de N equações a N incógnitas: �� ⋯⋮ ⋱�� ⋯ �� }| � |�~�çõ|� � � ��]ó��~�ç� ��j| � ��ç�� ç=�j � N|=�]�}�}| �~`= �7�6H 6$#h$KH6�6H 1616161616161616161616161616161616161616 1.24

Para poder estabelecer as N equações 1.24 temos que saber qual a posição de cada elemento de controlo em relação a cada elemento de vórtice (não esquecer que os filamentos de vórtice da esteira são descritizados em segmentos de recta). Esta posição relativa é imediata quando falamos dos vórtices ligados à pá, não em relação aos vórtices da esteira. Para este posicionamento podemos criar uma malha que se estende desde o bordo de fuga da pá e vai aumentando com o movimento da pá.

Figura 19 Malha de vórtices espalhada de igual modo na esteira

A criação desta malha pode ser feita de várias maneiras. A primeira é espaçar de igual modo a malha de maneira a cobrir toda a esteira da pá.

Figura 20 Malha de vórtice que enrola no estremo para criar o vórtice da ponta da pá

Outro método impõe a aglomeração de várias linhas de vórtices na ponta de maneira a simular o vórtice da ponta da pá.

Figura 21 Filamentos de vórtice de igual intensidade

Um outro ainda será a simulação utilizando linhas que unem os vórtices de igual intensidade. A disposição da esteira será feita tridimensionalmente, querendo dizer que para além da propagação da esteira feita no plano do rotor temos também que entrar em conta com a sua propagação na direcção perpendicular ao plano do rotor.

Figura 22 Propagação da esteira do rotor tendo em conta a folhas de vórtices emanada do bordo de

fuga da pá e o vórtice da ponta da pá

Experimentalmente verifica-se que a velocidade perpendicular ao plano do rotor não é constante ao longo da pá (com já tinha sido verificado no teoria dos elementos de pá).

Assim verifica-se que a folha de vórtices desce com velocidade maiores perto da ponta do que junto à raiz da pá.

1.4 Modelos de esteira rígida e esteira Livre

Podemos agora ter duas hipóteses para a malha da esteira. A primeira é assumir que a esteira é rígida ou sem distorção. Os vórtices emanados são representados por filamentos helicoidais inclinados e a posição do filamento de vórtice é definido geometricamente com base em condições de voo e da teoria de momento linear. Neste modelo não há interacções do entre filamentos nem efeitos do filamento na sua própria posição. Temos então que ter as equações de maneira a modelar a quer a folha de vórtices quer a trajectória do vórtice da ponta. Este, com o helicóptero a pairar, tem uma contracção que pode ser simulada por uma curva, em que a posição radial do vórtice da ponta da pá seria dada por: �� = @ + 1 − @�h�� 1.25

Com os valores empíricos de @ = 0.78 e � = 0.145 + 27<?. Vemos então que neste modelo a trajectória depende do carregamento do rotor. Landgrebe propôs para a velocidade de descida do vórtice da ponta da pá o seguinte modelo:

d�e�fn�� = �� 0 ≤ �� ≤ 2G-�n�� = �n�� + �� W�� − 2G-�Z �� 0 2G-�

� 1.26

onde se pode ver que a velocidade de descida é alterara aquando da passagem da pá imediatamente depois. As constantes �� e �� dependem do carregamento e são dados por: �� = −0.25 �<?A + 0.001��jçã�� ≈ −�<? − 0.01�<? ��jçã� � 1.27

Para a a folha de vórtices a descida era dada por duas equações, uma para a zona exterior junto à ponta da pá onde a velocidade de descida é maior e outra junto à raiz da pá onda a velocidade de descida é menor. Para qualquer ponto intermédio a posição é dada por interpolação linear entre os dois extremos:

• Zona exterior �n��j�� de

f �,j�� 0 ≤ �� ≤ 2G-� �,j�� W2G-�Z + �,j�� W�� − 2G-�Z �� 0 2G-� � 1.28

• Zona interior

�n��j�X �0 0 ≤ �� ≤ G2 �,j�X �� − G2� �� 0 G2 � 1.29

Onde mais uma vez se entrou em conta com a forte interacção entre o vórtice e a pá que vem a seguir. As constantes serão dadas por:

d��e��f �,j�� = −2.2¡<?2

�,j�� = −2.7¡<?2 �,j�X = ¢��jçã�128 Y0.45��jçã� + 18[£¡<?2

� 1.30

Foram apresentadas modificações para esteira rígida com outro tipo de modelos para a esteira, baseados em observações experimentais. A grande vantagem destas modificações é que com um aumento do esforço computacional, pode-se ter uma melhor representação da geometria da esteira. Outra maneira de simular a esteira rígida é por um empilhamento de anéis de vórtices (Tubos de vórtices). Neste modelo cada anel é o vórtice emanado pela pá numa rotação completa. A sua posição é definida pela teoria do momento linear. A vantagem deste modelo é que é possível encontrar uma solução analítica. O modelo de esteira rígida tem as suas vantagens e inconvenientes. As vantagens são que a posição da esteira é conhecida à priori e por isso o custo computacional é relativamente pequeno dado que não é compatibilizada a influência de um vórtice noutro. O inconveniente é que a posição da esteira foi encontrada para uma determinada condição de voo. Se for aplicada a uma condição de voo diferente os resultados serão afectados de erros que podem ser significativos. Por exemplo não se podem utilizar um modelo de esteira que foi obtido na condição de voo pairado numa condição de voo horizontal com velocidade de avanço elevada. A posição da esteira é completamente diferente num caso e noutro. Por esta razão pode-se utilizar outro modelo em que a esteira é deixada ser convectada com o escoamento. Partindo de uma posição inicial (que pode ser dada por exemplo por um dos modelos de esteira rígida) calcula-se a velocidade induzida por um vórtice num ponto de um outro vórtice e move-se esse ponto de acordo com a velocidade. A posição dos vórtices muda e por isso é necessário, por um processo iterativo, encontrar a posição final dos vórtices para a respectiva condição de voo. Este processo é mais apelativo pois pode-se aplicar a qualquer condição de voo, por outro lado dado que é necessário encontrar a posição da esteira para cada iteração é, computacionalmente, muito mais pesado. De uma maneira geral o método computacional utilizando a teoria de vórtices pode ser escrito de seguinte forma:

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De seguida apresentamvoo comparando a esteira experimental a obtida com a esteira rígida e a obtida cesteira livre. Como seria de esperar os obtidos com esteira livre aproximamresultados experimentais.

O vórtice tem uma estrutura helicoidal contínua. Esta estrutura contínua é representada por pequenos segmentos de recta, cada

um representado 15º A intensidade do vórtice é assumida como o máximo da circulação na pá.

Alguns cálculos assumem 80% do valor máximo. Assume-se que o vórtice tem um núcleo com um raio empiricamente

estabelecido, de maneira a manter a velocidade finitas. Calcular o rácio d

Biot-Savart durante as iterações seguintes. Calcular a distribuição radial de cargas. Converter estas cargas em intensidade de circulação. Calcular o máximo desta

circulação. Este é o valor da in Assumir a trajectória do vórtice. Eliminar o rácio da velocidade induzida calculada com o TEP e fazer o cálculo

utilizando a lei de Biot Repetir até se atingir a convergência. Durante cada iteração ajustar o

picada da pá se o Ccomparado com o valor fornecido.

Estes modelos removem a necessidade de modelar à partida a trajectória das estruturas de vórtices.

Os cálculos são feitos através de incremeinicial para a esteira.

Os pontos extremos de cada segmento de vórtice podem moverespaço convectados pela velocidade induzida neste pontos.

As suas posições são actualizadas no final de cada incremento de

Figura

De seguida apresentamvoo comparando a esteira experimental a obtida com a esteira rígida e a obtida cesteira livre. Como seria de esperar os obtidos com esteira livre aproximamresultados experimentais.

O vórtice tem uma estrutura helicoidal contínua.Esta estrutura contínua é representada por pequenos segmentos de recta, cada um representado 15º-30º de idade da vórtice..A intensidade do vórtice é assumida como o máximo da circulação na pá. Alguns cálculos assumem 80% do valor máximo.

se que o vórtice tem um núcleo com um raio empiricamente estabelecido, de maneira a manter a velocidade finitas. Calcular o rácio da velocidade induzida utilizando o TEP primeiro e a lei de

Savart durante as iterações seguintes. Calcular a distribuição radial de cargas. Converter estas cargas em intensidade de circulação. Calcular o máximo desta circulação. Este é o valor da inAssumir a trajectória do vórtice. Eliminar o rácio da velocidade induzida calculada com o TEP e fazer o cálculo utilizando a lei de BiotRepetir até se atingir a convergência. Durante cada iteração ajustar o picada da pá se o CT calculado é muito pequeno ou muito grande, quando comparado com o valor fornecido. Estes modelos removem a necessidade de modelar à partida a trajectória das estruturas de vórtices. Os cálculos são feitos através de incremeinicial para a esteira. Os pontos extremos de cada segmento de vórtice podem moverespaço convectados pela velocidade induzida neste pontos. As suas posições são actualizadas no final de cada incremento de

Figura 23 Aproximação dos vórtices por segmentos de linha

De seguida apresentam-se os resultados obtidos por Leishman para o mesmo caso de voo comparando a esteira experimental a obtida com a esteira rígida e a obtida cesteira livre. Como seria de esperar os obtidos com esteira livre aproximamresultados experimentais.

O vórtice tem uma estrutura helicoidal contínua.Esta estrutura contínua é representada por pequenos segmentos de recta, cada

30º de idade da vórtice..A intensidade do vórtice é assumida como o máximo da circulação na pá. Alguns cálculos assumem 80% do valor máximo.

se que o vórtice tem um núcleo com um raio empiricamente estabelecido, de maneira a manter a velocidade finitas.

a velocidade induzida utilizando o TEP primeiro e a lei de Savart durante as iterações seguintes.

Calcular a distribuição radial de cargas. Converter estas cargas em intensidade de circulação. Calcular o máximo desta circulação. Este é o valor da intensidade do vórtice da ponta da pá. Assumir a trajectória do vórtice. Eliminar o rácio da velocidade induzida calculada com o TEP e fazer o cálculo utilizando a lei de Biot-Savart. Repetir até se atingir a convergência. Durante cada iteração ajustar o

calculado é muito pequeno ou muito grande, quando comparado com o valor fornecido. Estes modelos removem a necessidade de modelar à partida a trajectória das estruturas de vórtices. Os cálculos são feitos através de increme

Os pontos extremos de cada segmento de vórtice podem moverespaço convectados pela velocidade induzida neste pontos. As suas posições são actualizadas no final de cada incremento de

Aproximação dos vórtices por segmentos de linha

se os resultados obtidos por Leishman para o mesmo caso de voo comparando a esteira experimental a obtida com a esteira rígida e a obtida cesteira livre. Como seria de esperar os obtidos com esteira livre aproximam

O vórtice tem uma estrutura helicoidal contínua.Esta estrutura contínua é representada por pequenos segmentos de recta, cada

30º de idade da vórtice.. A intensidade do vórtice é assumida como o máximo da circulação na pá. Alguns cálculos assumem 80% do valor máximo.


a velocidade induzida utilizando o TEP primeiro e a lei de Savart durante as iterações seguintes.

Calcular a distribuição radial de cargas. Converter estas cargas em intensidade de circulação. Calcular o máximo desta

tensidade do vórtice da ponta da pá.

Eliminar o rácio da velocidade induzida calculada com o TEP e fazer o cálculo

Repetir até se atingir a convergência. Durante cada iteração ajustar o calculado é muito pequeno ou muito grande, quando

comparado com o valor fornecido. Estes modelos removem a necessidade de modelar à partida a trajectória das

Os cálculos são feitos através de incrementos de tempo, com uma proposta




O vórtice tem uma estrutura helicoidal contínua. Esta estrutura contínua é representada por pequenos segmentos de recta, cada

A intensidade do vórtice é assumida como o máximo da circulação na pá. Alguns cálculos assumem 80% do valor máximo.


a velocidade induzida utilizando o TEP primeiro e a lei de

Converter estas cargas em intensidade de circulação. Calcular o máximo desta tensidade do vórtice da ponta da pá.


Repetir até se atingir a convergência. Durante cada iteração ajustar o calculado é muito pequeno ou muito grande, quando

Estes modelos removem a necessidade de modelar à partida a trajectória das

ntos de tempo, com uma proposta




Esta estrutura contínua é representada por pequenos segmentos de recta, cada

A intensidade do vórtice é assumida como o máximo da circulação na pá.

se que o vórtice tem um núcleo com um raio empiricamente


Converter estas cargas em intensidade de circulação. Calcular o máximo desta tensidade do vórtice da ponta da pá.


Repetir até se atingir a convergência. Durante cada iteração ajustar o ângulo de calculado é muito pequeno ou muito grande, quando



Os pontos extremos de cada segmento de vórtice podem mover-se livremente no espaço convectados pela velocidade induzida neste pontos. As suas posições são actualizadas no final de cada incremento de tempo.


se os resultados obtidos por Leishman para o mesmo caso de voo comparando a esteira experimental a obtida com a esteira rígida e a obtida cesteira livre. Como seria de esperar os obtidos com esteira livre aproximam-se mais dos

Esta estrutura contínua é representada por pequenos segmentos de recta, cada

A intensidade do vórtice é assumida como o máximo da circulação na pá.


Converter estas cargas em intensidade de circulação. Calcular o máximo desta


ângulo de calculado é muito pequeno ou muito grande, quando



se livremente no

tempo.

se os resultados obtidos por Leishman para o mesmo caso de voo comparando a esteira experimental a obtida com a esteira rígida e a obtida com

se mais dos

Figura 24 Comparação entre resultados experimentais e computacionais com esteira livre e rígida.

Posição radial.

Figura 25 Comparação entre resultados experimentais e computacionais com esteira livre e rígida.

Posição axial.

1 teoria de vórtices - fenix.tecnico.ulisboa.pt · figura 10 efeito da passagem da pá no...

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