estudo para a comparaÇÃo entre os modelos de filas … · conceito das filas segundo tôrres...

ESTUDO PARA A COMPARAÇÃO

ENTRE OS MODELOS DE FILAS M/M/C

E M/EK/C APLICADA EM UMA

PANIFICADORA

IGOR MICHEL SANTOS LEITE (UNAMA)

[email protected]

Jorge Luiz Okabe Auad (UNAMA)

[email protected]

Sadraque Araujo da Silva Junior (UNAMA)

[email protected]

ROMULO JOSE PINHEIRO DA SILVA (UEPA)

[email protected]

Yvelyne Bianca Iunes Santos (UNAMA)

[email protected]

Este artigo buscou estudar a comparação entre dois modelos de filas, o

M/M/c, com chegada por modelo de Poisson e atendimento por

Exponencial Negativa,e o modelo M/Ek/c, com chegado por Poisson e

atendimento por Erlang de grau k, em uma filla formada em uma

panificado de pequeno porte, visando encontrar aquela cujo os

resultadosmais se adequaram a realidade. Porém conclui-se que os

dois modelos são muitos proximos quando o parâmetro k = 1, não

obtendo nenhum resultado com diferença sensível, para o parâmetro

utilizado pode-se dizer que M/M/c e M/E1/c são idênticos. Contudo em

uma situação simulada, fazendo com que os picos no tempo de

atendimento fossem mais centralizados, o modelo M/Ek/c obteve um

melhor desempenho (Erlang a grau 3) quando comparado ao M/M/c.

Palavras-chaves: Filas, Modelo deErlang, Exponencial Negativa,

Distribuição

XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no

Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.



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1. Introdução

As filas estão distribuídas em todos os seguimentos da sociedade, seja em um supermercado,

ou em uma ligação telefônica, ou em ambientes produtivos. Em certas situações elas podem

ser abstratas, mas não abdicando de possuir uma grandiosa importância.

A formação de uma fila é aleatória e se não estiver bem dimensionada pode causar grandes

transtornos, tanto para os clientes como para o estabelecimento, tais como:

congestionamentos, desperdício financeiros, dentre outros.

Por uma fila ser concebida de maneira aleatória seu estudo é feito através de processos

matemáticos estatísticos (processo estocástico) buscando um equilíbrio entre o custo do

atendimento e a satisfação daqueles que fazem parte desse sistema.

Dentro do contexto apresentado, o presente trabalho tem como objetivo comparar modelos de

atendimento (Exponencial Negativa e Erlang), geradas no acesso ao balcão de atendimento de

uma padaria, identificando o modelo que mais se adéqua a realidade.

2. Conceito das filas

Segundo Tôrres (2010), a fila é formada quando um determinado posto de serviço não pode

atender prontamente um grupo de clientes, ocasionando então a espera para dispor dos

serviços oferecidos pelo posto, tendo sua formação caracterizada basicamente pelos seguintes

elementos:

O regime de chegada: onde cada unidade (cliente) ocupa um lugar de acordo com o

momento.

O regime de serviço: que depende da disponibilidade de atendimento variando de

acordo com o seu intervalo de tempo, pois em alguns lugares o serviço é sempre

disponível.

Capacidade do sistema: de acordo com o número de clientes que podem ser atendidos

simultaneamente. Observando-se a duração do tempo de serviço.

Disciplina de Atendimento: representa a ordem na qual os clientes são atendidos,

sendo normalmente empregada a disciplina FIFO (First in First out),

3. Descrição do Sistema

O local onde foram feitos o estudo e a coleta de dados trata-se de uma panificadora que dispõe

de dois atendentes (caixa).

Tanto o atendimento do pedido quanto a função de caixa é feito por ambos os atendentes,

existindo apenas uma fila para os dois funcionários, onde os clientes aguardam a sua vez de

acordo com a ordem de sua chegada.

Sendo que o sistema operacional da panificadora não é informatizado. O pagamento do

produto é feito somente em dinheiro.

4. Modelagem Analítica do Sistema

A partir da coleta feita e da observação embasadas nos dados referentes às chegadas dos

clientes, ao número de caixas dispostos no local e também ao tempo usado para cada

atendimento, foi definida a modelagem analítica do sistema.



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Segundo Shamblin (1979), grifo dos autores, no modelo M/M/2 tanto a chegada como o

atendimento podem ser marcovianos, seguindo a Distribuição de Poisson (recomendado

para a chegada) ou a Distribuição Exponencial Negativa (recomendado para o processo de

atendimento), entretanto, não foram consideradas apenas as equações referentes às sugestões

dos artífices citados, visto que neste trabalho também será avaliada a utilização da

distribuição de Erlang no processo de atendimento do público.

Para Bolch (1998), “a Notação de Kendall é usada para descrever os sistemas de filas

elementares.”. O sistema observado no estabelecimento é testado no modelo M/M/2 e no

modelo M/Ek/2, onde existe uma única fila para dois atendentes.

Para ambos os processos (chegada e atendimento) se faz necessário o cálculo de:

, seja a taxa média de chegada ao sistema, calculada por:

Onde:

D – Quantidade de Pessoas que chegaram à fila em um intervalo de tempo;

– Ritmo de chegada;

, seja a taxa média de atendimento, calculada por:

Onde:

e – São os tempos de cada intervalo utilizado para o atendimento;

– Frequência Observada para o respectivo intervalo;

Para Hillier (1988) e Bolch (1998), é necessário que o sistema fique em “equilíbrio”, para que

a teoria de filas seja aplicada, considerando sempre ou , fazendo com que o

sistema sempre consiga atender a todos os clientes, pois caso contrário haverá teoricamente a

tendência a formação de uma fila infinita.

A taxa de utilização do sistema pode ser definida como:

4.1 Distribuição de Poisson

A Distribuição de Poisson consiste em uma curva matemática usada na estatística e na

simulação de resultados para representar a probabilidade de que determinado evento ocorraem

um intervalo especificado, sendo antes a probabilidade média conhecida. Na aplicação em

filas é utilizada pelo fato da chegada de pessoas acontecer independe e aleatoriamente no

tempo.

Segundo Prado (2009), a equação de Poisson pode ser escrita na seguinte fórmula:

4.2 Distribuição Exponecial Negativa



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Segundo Moreira (2010) e Prado (2009), a distribuição exponencial negativa é a

correspondente da distribuição de Poisson, porque também se baseia em função de

probabilidade em torno de uma média conhecida. Pode-se dizer que um fenômeno segue as

duas distribuições ao mesmo tempo, Poisson e Exponencial Negativa.

Pelo fato da distribuição estar feita em um intervalo de tempo o resultado calculado através da

integração da equação exponencial negativa, tendo como resultado:

4.3 Distribuição de Erlang

Para Hillier (1998), “a distribuição de tempo de serviço exponencial supõe um grau muito

elevado de variabilidade...”, enquanto a função de Erlang gera uma menor incerteza pelo fato

de encontrar-se em um campo intermediário de variação, onde está localizada a maioria de

serviços reais, ou seja, entre a variação zero e a variação da distribuição exponencial

encontrasse a Distribuição de Erlang.

Ferreira (1998) indica a fórmula da distribuição de Erlang:

Contudo, como a mesma está sendo usada em intervalo de tempo, a equação deve ser utilizada

como a média do intervalo. A utilização da equação desta forma (tempo como média do

intervalo) foi resultado da análise dos autores, sendo esta a que melhor se adequou.

4.4 Teste do Chi-Quadrado

Chi-Quadrado, simbolizado por , é um teste de hipóteses que tem como objetivo, encontrar

um valor da dispersão para duas variáveis nominais, e avaliar a associação existente entre

variáveis quantitativas. O princípio básico deste método é comparar as possíveis divergências

entre as frequências observadas e esperadas para certo evento. Pode-se dizer que dois grupos

se comportam de forma semelhante se as divergências entre as frequências observadas e as

esperadas em cada categoria forem muito próximas à zero. Utiliza-se o teste para verificar se

a frequência com que um determinado acontecimento observado em uma amostra varia

significativamente ou não da frequência com que ele é esperado.

Abaixo segue fórmula do teste Chi-quadrado:

Onde:

o = frequência observada para cada classe

e = frequência esperada para aquela classe

Com o resultado de , calcula-se o grau de liberdade e de posse destes dois valores,

determina-se o máximo erro admissível, que neste trabalho será considerado 5%. Utilizando

os 3 valores ( , G.L. e 5%) encontra-se o valor tabelado, que representa o valor máximo que

pode assumir para o respectivo erro. Caso o resultado seja abaixo do da tabela, a

distribuição é aderente a realidade com erro inferior a 5%.

5. Coleta de dados

5.1 Chegada de clientes

http://www.ufpa.br/dicas/biome/biodavar.htm%20/%20ordinal%20/%20direita



5

Os dados de chegada foram coletados entre 6:20h e 7:30h da manhã, desconsiderando 5

observações, de maneira que foram observadas quantos clientes chegava a fila em intervalos

fixos e consecutivos de 1 min, obtendo-se assim a frequência de chegada na fila para cada

minuto, os resultados destas anotações podem ser visualizadas e analisadas na tabela abaixo:

Tabela 1: Frequências Observadas para a chegada de clientes na fila

A partir da Tabela 1 é feito o cálculo da Frequência Calculada, que são os resultados obtidos a

partir da distribuição de Poisson para = 0,92307 .

Tabela 2: Frequências calculadas pela distribuição de Poisson (chegada)

Observado o valor do erro pode-se concluir que o resultado é satisfatório, pois o resultado foi

abaixo do mínimo recomendado para distribuição com grau de liberdade 4 a 5% de

significância, que seria um erro de 9,488. Ou seja, o teste revela que a distribuição de Poisson

para = 0,92307 clientes/min é válido.

Partindo dessa validação o gráfico foi traçado e como resultado obteve-se:

Figura 1: Sobreposição dos dados reais de chegada e a distibuição de Poisson



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O Figura 1 mostra que a distribuição de Poisson se adequa com satisfação a realidade

dapanificadora.

5.2 Atendimento de clientes

Para o atendimento os seus respectivos dados foram obtidos através da cronometragem dos

tempos que cada funcionário gastava para atender um pedido. Como os tempos foram muito

variados, os mesmo foram distribuidos em invervalos de tempo igualmente espaçados.

Para que fossem testadas as distribuições para atendimento, o mesmo foi considerado em

intervalos de tempo de 0min a 7min, dividos em 7classes, onde foram obtidas as frequências

para todos os intervalos, conforme apresenta-se na Tabela 3.

Considerando que OP I (Operador I) e OP II (Operador II).

Tabela 3: Frequência observada e relativa para o atendimento

Com os resultados de e foi feita a comparação entre a taxa de chegada média e a taxa

de atendimento média, usando para isso o resultado multiplicado por 2 (número de

atendentes), bem como o cálculo da taxa de utilização:

Observando que a taxa de utilização do sistema é de 65,3%, ou seja, o sistema encontra-se

estável.

5.2.1 Aplicação da distribuição exponencial negativa

Apartir da tabela 3 foi aplicada à equação da distribuição exponencial negativa para ambos os

funcionarios utilizando suas respectivas taxas de atendimento, gerando como resultado atabela

a seguir.



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Tabela 4: Frequências calculadas pela distribuição Exponencial Negativa (atendimento)

Analisando o resultado do teste do Chi-quadrado e comparando, com os resultados para grau

de liberdade 5 a 5% de significância, obtêm-se o erro máximo admissível de 11,07. Portanto

os erros foram inferiores aos recomendados confirmando a aderência da função à realidade,

para ambos os operadores.

Graficamente, tem-se:

Operador I

Operador II

Figura 2: Sobreposição dos dados reais deatendimento e a distibuição Exponencial Negativa

5.2.2 Aplicação da distribuição de Erlang1

A partir da Tabela 3 foi aplicada à distribuição de Erlang1. Como o modelo proposto neste

tópico adimite vários valores para o fator “k” que modela o formato da curva criada foi

utilizado o valor de k = 1, pois para valores superiores a este, os resultados estavam

desproporcionais a realidade, para ambos os funcionários utilizando suas respectivas taxas de

atendimento, gerando como resultado a seguinte tabela.



8

Tabela 5: Sobreposição dos dados reais de atendimento e a distibuição de Erlang1

Analisando o resultado do teste do Chi-quadrado e comparando, com os resultados para grau

de liberdade 3 a 5% de significância, obtêm-se o erro máximo admissível de 11,07. Portanto

como os erros foram inferiores aos recomendados a função adere com satisfação à realidade,

para ambos os operadores, resultados estes iguais ao anterior.

Graficamente, tem-se:

Operador I

Operador II

Figura 3: Sobreposição dos dados reais de atendimento e a distibuição Erlang1

5.3 Simulação com picos de atendimento diferentes

Como parte deste estudo, foi feita a comparação das duas distribuições citadas em situações

onde os picos de atendimento não estão nos intervalos iniciais, mas sim, em faixas

intermediarias de intervalo.

Na tabela abaixo pode ser observada as alterações para a simulação de novos picos de

atendimento, onde o momento de pico de 19 anotações entre 0 e 1 min foi alterado para o

intervalo de 1 a 2 min, mudando os resultados obtidos, para:



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Tabela 6: Frequências

Observadas para a simulação

Desenvolvendo a mesma ideia da tabela 4, distribuição exponencial negativa, porém com os

valores da simulação, tem-se:

Tabela 7: Frequências calculadas pela

Distribuição Exponencial Negativa para a

simulação

Observando o resultado do

teste de aderência conclui-se

que a mesma distribuição

não é mais viável para representa a realidade idealizada, já que o erro é consideravelmente

superior ao valor do erro limite para a significância de 5%. No gráfico é notável a diferença

existente.

Operador I



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Operador II

Figura 4: Sobreposição dos dados reais de atendimento e a Distr. Expo. Negativa para os dados fictícios

Fazendo o cálculo para Erlang k, obteve-se varios tipos de curvas, pelo fato de que cada valor

de k possuir uma curva diferente, e aquela que melhor se adequou aos dados foi Erlang 3, na

qual abaixo encontrasse os resultados:

Tabela 8: Frequências

calculadas pela Distribuição Erlang 3

para a simulação

Comparando os resultados do Chi-

Quadrado da tabela 7 com a tabela 8, é

possível observar a diferença nos

erros, sendo que na distribuição de

Erlang 3 o erro do operrador II é

causado principalmente pelo último intervalo e se caso o mesmo fosse reduzido a 0 o erro

total seria de apenas de 3,3755 e para o operrador I o maior erro gerado foi no penúltimo

intervalo e caso fosse reduzido a zero, semelhante a comparação anterior, o erro total seria de

5,6159. Abaixo segue os respectivos gráficos da distribuição de Erlang 3:

Operador I



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Operador II

Figura 5: Sobreposição dos dados reais de atendimento e a Distr.Erlang 3 para o dado fictícios

6. Análise

Observando os gráficos é possível concluir que a distribuição de Erlang com grau 1 é muito

semelhante à distribuição Exponencial negativa, demonstrando a proximidade dos dois

modelos, para situações com picos de distribuição se concentrando nos primeiros intervalos

de tempo.

Contudo, analisando os gráficos do modelo simulado, conclui-se que a curva de Erlang

melhor se adequou a situação fictícia, mesmo tendo se assemelhado a exponencial negativa

quando . Isso ocorre devido a possibilidade de mutação em sua função pelo fato da

mesma ter o fato de mutação em sua função geratriz, viabilizando a mobilidade (no sentido de

mudança de aspecto) da curva. Sempre tornando-a ajustável a uma situação, dependendo do

grau adotado.

7. Conclusão

Este trabalho foi de grande importância para o aprofundamento sobre as possibilidades que a

Teoria de filas nos proporciona. A modelagem matemática usada neste conteúdo determina a

confiabilidade do estudo, portanto se faz necessário uma boa modelagem para que os

resultados sejam o mais próximo possível da realidade.

A comparação final entre o modelo M/M/c, com chegada pelo modelo de Poisson e

atendimento por Exponecial Negativa, e o modelo M/E1/c, com chegado por Poisson e

atendimento por Erlang de grau 1 (valores superiores para o parâmetro k fazia com que a

curva ficasse altamente discrepante com a realidade, onde quanto maior o valor de k mais a

equação de Erlang tende a uma distribuição normal)mostrou que os modelos são praticamente

idênticos, não havendo diferenças significativas entre os mesmos.

Porém, na simulação, onde mudou-se a taxa de atendimento,fazendo o pico das distribuições

se encontra em intervalos de tempo intermediários, entre 1 e2 min,o modelo M/Ek/c obteve

um melhor desempenho (Erlang a grau 3) quando comparado ao M/M/c. Ou seja, a curva de

Erlang é mais abrangente quando comparada a exponencial negativa, recomendando a sua

utilização para a maioria das situações de atendimento.

Porém, se faz necessário o aprofundamento nas equações de desenpenho de Erlang, visto que

a mesma é dificilmente sitada por autores, na maioria dos casos os mesmo fazem menção a

Erlang para apenas 1 atendente, o que dificulta o aprofundamento no assunto.

Referências



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BOLCH, Gunter / GREINER, Stefan / MEER, Hermann de / TRIVEDI, Kishor S. Queueing Networks and

Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications. New York: Wiley-

Interscience, 1998.

FERREIRA, J. O. Simulação de Filas G1/G/m e verificação de aproximações desdás por filas Ph/Ph/m. São

José dos Campos: INPE, 1998.

HILLIER, Frederick S. / LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional. Tradução de Helena L.

Lemos – Rio de Janeiro: Editora Campus / São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 1988.

MOREIRA, Daniel Augusto. Pesquisa Operacional: Curso Introdutório. 2º Ed. Rev. e Atu. São Paulo: Cengage

Learning. 2010

PRADO, Darci Santos do. Teoria das Filas e da Simulação. Série Pesquisa Operacional – Volume 2. 4º Ed.

Nova Lima: INDG Tecnologia e Serviços Ltda. 2009.

SHAMBLIN, James E. / STEVENS, G.T. JR. Pesquisa Operacional: Uma Abordagem Básica.3º Ed. São

Paulo: Editora Atlas S.A. 1979.

TÔRRES, Oswaldo Fadigas. Elementos da Teoria das Filas. Disponível em:

<http://www16.fgv.br/rae/artigos/2525.pdf>. Acessado em: 10/11/2010.

http://www16.fgv.br/rae/artigos/2525.pdf

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