estudo numerico-experimental de propriedades … · a todos os professores, fam lia, funcion arios...

Universidade Federal de Juiz de Fora

Faculdade de Engenharia

Bacharelado em Engenharia Civil

ESTUDO NUMERICO-EXPERIMENTALDE PROPRIEDADES MECANICAS

HOMOGENEIZADAS DO CONCRETO

JOAO MARCOS GUIMARAES RABELO

JUIZ DE FORA

NOVEMBRO, 2012

ESTUDO NUMERICO-EXPERIMENTALDE PROPRIEDADES MECANICAS

HOMOGENEIZADAS DO CONCRETO

JOAO MARCOS GUIMARAES RABELO

Universidade Federal de Juiz de Fora

Faculdade de Engenharia

Mecanica Aplicada e Computacional

Bacharelado em Engenharia Civil

Orientadora: Michele Cristina Resende Farage

Co-orientador: Pedro Kopschitz Xavier Bastos

JUIZ DE FORA

NOVEMBRO, 2012

A todos os professores, famılia, funcionarios

e pessoas que contribuıram para

a minha formacao.

Resumo

Os materiais compositos sao hoje empregados nos mais diversos campos da Enge-nharia — como na industria aeronautica, automotiva e equipamentos esportivos — devidoa apresentarem uma relacao custo-benefıcio atraente e atenderem a requisitos tanto desolicitacoes mecanicas como aos princıpios de sustentabilidade.

Na Engenharia Civil, algumas formulacoes do concreto sao ja consideradas con-vencionais. Sabe-se que em materiais multifasicos as caracterısticas de cada componenteafetam o comportamento global do meio.

Neste Trabalho Final de Curso, tecnicas numericas de homogeneizacao serao em-pregadas para estimar as propriedades mecanicas do concreto. Tais propriedades seraomedidas em laboratorio, por ensaios nao destrutivos em corpos de prova de concreto comdiferentes fracoes volumetricas de agregados, de modo a identificar a influencia do volumede agregado graudo sobre as propriedades mecanicas do material. Serao comparadosresultados de analises numericas com valores experimentais medidos.

Ao longo do trabalho serao abordadas as principais caracterısticas do concreto,a tecnica da Homogeneizacao por Expansao Assintotica utilizada para a determinacaodas propriedades efetivas deste material, a determinacao do Modulo de Elasticidade pelometodo Dinamico e o processo de geracao de malhas de Elementos Finitos para as analisescomputacionais.

Palavras-chave: Concreto, Homogeneizacao por Expansao Assintotica, Modulo de Elas-ticidade.

Agradecimentos

Agradeco a Deus pelos dons que me foram dados, pelas oportunidades colocadas

em meu caminho, pelas vitorias conquistadas e pelas batalhas que ainda virao.

Agradeco aos meus pais e a minha irma pelo carinho, amor e apoio incondicionais.

Famılia e tudo.

Agradeco a professora Michele por toda paciencia, conhecimento e incalculaveis

contribuicoes a mim concedidos durante estes anos de iniciacao cientıfica e durante a

producao deste trabalho. Com certeza aprendi muito gracas a este grande exemplo que

voce foi e sempre sera.

Agradeco ao professor Pedro pela contribuicao, ajuda e ensinamento a mim de-

dicados no decorrer da producao deste Trabalho.

A todos os professores que contribuıram para a minha formacao transmitindo

conhecimento, sendo sempre dedicados e atenciosos durante esses anos de faculdade. Voces

sao meus herois.

A todos os funcionarios que de alguma forma contribuıram para o meu bem estar

e conforto neste ambiente tao especial que e a Universidade.

Aos meus colegas de faculdade, que alem de amigos foram a famılia que aqui

construı. Em especial aos amigos Renan, Rodrigo, Tayan e Walter .

Agradeco aos orgaos de fomento que financiaram artigos produzidos que deram

origem a este Trabalho, FAPEMIG, CNPq e tambem a contribuicao da Empresa Pedra

Sul Mineracao Ltda.

A Universidade Federal de Juiz de Fora pela grande oportunidade de estar con-

cluindo uma excelente graduacao em Engenharia Civil.

“ Seja voce quem for, seja qual for a

posicao social que voce tenha na vida, a

mais alta ou a mais baixa, tenha sem-

pre como meta muita forca, muita deter-

minacao e sempre faca tudo com muito

amor e com muita fe em Deus, que um

dia voce chega la. De alguma maneira

voce chega la ”.

Ayrton Senna da Silva

Sumario

Lista de Figuras 7

Lista de Tabelas 9

Lista de Abreviacoes 10

1 Introducao 111.1 Motivacao e objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Organizacao do Trabalho e Escopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 O Concreto 152.1 Microestrutura do Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2 Argamassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.3 Agregados Graudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Durabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Dosagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Estabilidade Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.1 Metodos para obtencao do Modulo de Elasticidade . . . . . . . . . 232.5.1.1 Estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5.1.2 Dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.1.3 Fatores que afetam o Modulo de Elasticidade . . . . . . . 25

2.6 Consideracoes sobre as propriedades em estudo . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 A Homogeneizacao por Expansao Assintotica 273.1 Descricao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 A Homogeneizacao Aplicada a Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Condicoes de Contorno Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Formulacao de Elementos Finitos para a HEA . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 Consideracoes sobre a aplicacao da HEA ao Concreto . . . . . . . . . . . . 42

4 Programa Experimental 434.1 Descricao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Metodo nao destrutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.1 Determinacao do Modulo Elasticidade pelo Metodo Ultrassonico . . 454.3 Determinacao da Massa Especıfica dos Materiais . . . . . . . . . . . . . . . 464.4 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Programa Numerico 495.1 O programa HEA2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.1 Entrada de dados do programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.2 Etapas do Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 O programa HEA3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2.1 Organizacao e divisao do programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.1.1 Imposicao das Condicoes de Contorno Periodicas . . . . . 535.2.1.2 Resolucao do Sistema de Equacoes . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.2 Calculo do Tensor de Propriedades Homogeneizadas . . . . . . . . . 545.3 Geracao de Malhas de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3.1 Descricao do Programa Gmsh R© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3.1.1 Criacao da Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3.1.2 Criacao da Malha de Elementos Finitos . . . . . . . . . . 585.3.1.3 Refinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4 Analises Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4.1 Resultados Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5 Resultados e Discussoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Consideracoes Finais 66

Referencias Bibliograficas 67

Lista de Figuras

1.1 Edifıcio Burj Dubai, Emirados Arabes Unidos (a), Hidreletrica Tres Gar-gantas, China (b) e Ponte Juscelino Kubitschek, Brasil (c), (Jonathan K,2008; Traveling Point, 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Alvenaria de tijolos macicos apresentando estrutura periodica ou repetitiva. 13

2.1 Alto de Santa Rita no Rio Grande do Norte, a maior estatua religiosa domundo feita em concreto com 56 metros de altura (Itambe, 2012). . . . . . 15

2.2 Grafico tensao-deformacao do concreto em funcao do tempo de carrega-mento (Mehta e Monteiro, 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Diferentes tipos de modulos de elasticidade determinados a partir do graficotensao-deformacao do concreto (Mehta e Monteiro, 2012). . . . . . . . . . . 24

2.4 Diversos parametros que influenciam no modulo de elasticidade do concreto(Mehta e Monteiro, 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Representacao de um meio heterogeneo com microestrutura periodica. . . . 283.2 Variacao do parametro ε quando o numero de celulas tende a infinito. . . . 283.3 Periodicidade no Volume Elementar Representativo . . . . . . . . . . . . . 313.4 Aplicacoes de elementos finitos: (a) construcao; (b) carro; (c) trator; (d)

onibus escolar; (e) fuselagem de aviao (Fish e Belytschko, 2009). . . . . . . 323.5 O elemento tetraedro linear e seus graus de liberdade (Vaz, 2012). . . . . . 35

4.1 Corpos de prova de concreto estudados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Determinacao do Modulo de Elasticidade Ultrassonico de um CP e de uma

amostra da mesma rocha da brita usada na producao dos concretos. . . . . 464.3 Determinacao da massa especıfica de uma amostra de rocha segundo a

norma brasileira NBR 12766:1992, (ABNT, 1992). . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1 Representacao do elemento triangular de 6 nos e seus respectivos desloca-mentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 Representacao da imposicao das condicoes de contorno periodicas (Quin-tela, 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 Representacao esquematica da estrutura do programa HEA3D (Quintela,2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4 Esquema da associacao dos nos periodicos nas fronteiras do volume ele-mentar representativo (Quintela, 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.5 Aspecto de uma malha de elementos finitos empregada na simulacao de ummodelo de esmalte dentario (Cunha et al, 2012). . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.6 Criacao da Geometria de uma malha de Elementos Finitos representativade um meio com inclusao cilındrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.7 Arquivos de saıda do programa Gmsh R©, extensoes .geo e .msh. . . . . . . 585.8 Geracao das malhas a partir da geometria definida na secao 5.3.1.1. . . . . 585.9 Representacao da Periodicidade de uma Malha. . . . . . . . . . . . . . . . 595.10 Geometria e malha de Elementos Finitos bidimensional representativa de

inclusao circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.11 Malha de Elementos Finitos representativa de inclusao esferica. . . . . . . . 61

5.12 Malha de Elementos Finitos criada a partir de uma geometria com inclusaocubica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.13 Grafico da convergencia do resultado de Eh de acordo com o grau de refi-namento da malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.14 Grafico da convergencia do resultado de Eh em maior destaque para repre-sentar que o valores de Eh podem ser mais otimizados. . . . . . . . . . . . 64

Lista de Tabelas

4.1 Resultados das medicoes experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2 Resultados medios adotados para as medicoes experimentais . . . . . . . . 48

5.1 Resultados das analises numericas e experimentais . . . . . . . . . . . . . . 64

Lista de Abreviacoes

CP Corpo de Prova

HEA Homogeneizacao por Expansao Assintotica

MEF Metodo dos Elementos Finitos

MPCG Metodo dos Gradientes Conjugados Pre-Condicionado

VER Volume Elementar Representativo

11

1 Introducao

As estruturas de concreto em geral e as construcoes de grande porte, como pon-

tes, edifıcios e barragens, sao objeto de pesquisa e de atencao de diversos profissionais,

visando principalmente as questoes de seguranca, economicas e de durabilidade, (Figura

1.1). Diante disso, o sucesso de qualquer empreendimento esta intimamente ligado aos

estudos das propriedades mecanicas dos materiais, da viabilidade economica e no acom-

panhamento do projeto e da execucao. Tal cuidado se deve aplicar de forma a garantir

um controle de qualidade do concreto e dos outros materiais da obra, atendendo sempre

aos requisitos visados pelo projeto.

Figura 1.1: Edifıcio Burj Dubai, Emirados Arabes Unidos (a), Hidreletrica Tres Gargan-tas, China (b) e Ponte Juscelino Kubitschek, Brasil (c), (Jonathan K, 2008; TravelingPoint, 2012).

O concreto, por ser o material mais empregado nas obras de construcao civil, e sem

1 Introducao 12

duvida, o material composito de maior interesse e o qual demanda maiores estudos sobre as

suas propriedades mecanicas e sobre o modo como estas influenciam o seu comportamento.

Formado basicamente por duas fases — argamassa e agregado graudo — o concreto pode

ser considerado de maneira aproximada como um material composito bifasico e cujas pro-

priedades mecanicas estruturais sao altamente influenciadas pela relacao existente entre

estas fases.

Para materiais compositos como o concreto, o comportamento macroestrutural

pode ser afetado por caracterısticas microestruturais, nesses casos, e conveniente consi-

derar as caracterısticas da microescala para simular os efeitos da macroescala na mo-

delagem desses materiais, (Quintela, 2011). Entretanto, simular corretamente os efeitos

da microescala em materiais heterogeneos nem sempre e uma tarefa simples e em al-

guns casos torna-se um problema complexo e de grande demanda computacional. Uma

alternativa e o emprego de tecnicas de homogeneizacao cujo objetivo e determinar pro-

priedades efetivas homogeneizadas capazes de representar um material heterogeneo, ou

seja, conhecendo-se de antemao as propriedades mecanicas e a relacao volumetrica de

cada componente, determinam-se as propriedades mecanicas homogeneizadas do produto

resultante da misturas desses componentes.

Dentre as tecnicas de homogeneizacao existentes na literatura, cita-se neste tra-

balho a tecnica da homogeneizacao por expansao assintotica (HEA), que e aplicada a

meios que possuam estrutura periodica ou repetitiva, conforme a Figura 1.2. Nestes e

em outros casos semelhantes e possıvel aproximar o meio heterogeneo por um meio ho-

mogeneo equivalente baseado na obtencao de propriedades homogeneizadas calculadas

a partir de celulas elementares representativas do meio heterogeneo. Desta forma, as

analises em ambito macroscopico podem ser realizadas considerando o meio equivalente

homogeneizado, o que reduz consideravelmente a dimensao do problema (Quintela, 2011).

O detalhamento da tecnica assim como as consideracoes a serem feitas em seu emprego,

alem da aplicacao do metodo dos elementos finitos no calculo das propriedades efetivas

serao abordados mais adiante neste trabalho.

1.1 Motivacao e objetivos 13

Figura 1.2: Alvenaria de tijolos macicos apresentando estrutura periodica ou repetitiva.

1.1 Motivacao e objetivos

A confeccao de compositos, assim como a do concreto, objetiva sempre atender

a uma determinada condicao de uso ou de contorno. O que se quer na verdade e pro-

duzir um material com uma determinada propriedade mecanica capaz de satisfazer o seu

emprego no menor custo possıvel, alem do produto final resistir a acoes previstas pelo

meio ambiente em que este esta inserido. Para tanto, geralmente se dispoem de dois ou

mais materiais distintos que, unidos segundo uma fracao volumetrica, atingem as carac-

terısticas necessarias e ideais para o seu uso. Tais caracterısticas podem ser, por exemplo,

resistencia mecanica, resistencia a abrasao, isolamento acustico e termico, ausencia de

condutividade eletrica e termica, rigidez ou flexibilidade, dureza, criacao de materiais

inertes quimicamente, dentre outras.

Diante disso, pode-se empregar a HEA para estimar a fracao volumetrica de cada

componente, uma vez conhecida as propriedades de cada componente e a propriedade final

que se deseja obter (pode-se fazer aqui, uma analogia ao estudo da dosagem realizado no

concreto), ou ainda, obter a propriedade final de um composito uma vez conhecida a

fracao volumetrica e a propriedade de cada componente.

Este trabalho consiste no emprego de metodos computacionais para estimar as

propriedades mecanicas do concreto. Foram empregados programas de Elementos Finitos

em que a tecnica da Homogeneizacao por Expansao Assintotica foi implementada para

analisar problemas 2D e 3D. Para validar os resultados obtidos, foi tambem realizado um

1.2 Organizacao do Trabalho e Escopo 14

programa experimental.

1.2 Organizacao do Trabalho e Escopo

Este trabalho final de curso sera organizado da seguinte forma:

O Capıtulo 2 apresenta uma breve revisao bibliografica sobre as principais pro-

priedades e caracterısticas do concreto.

O Capıtulo 3 apresenta a formulacao da HEA aplicada a problemas de Elasti-

cidade, alem de descrever a implementacao da HEA via metodo dos elementos finitos

(MEF).

O Capıtulo 4 descreve o programa experimental realizado para a validacao da

tecnica da HEA, assim como os resultados medidos experimentalmente.

O Capıtulo 5 descreve os programas utilizados e as analises computacionais rea-

lizadas e apresenta os resultados numericos e discussoes .

Por fim, o Capıtulo 6 traz a conclusao com as consideracoes finais sobre o trabalho.

15

2 O Concreto

O concreto e um material composito formado basicamente pela mistura de agre-

gados com o cimento Portland (aglomerante), agua e, eventualmente, aditivos e adicoes.

Sendo um dos materiais mais empregados na construcao civil, o concreto possui como prin-

cipal vantagem a capacidade de ser moldado nas mais diversas concepcoes arquitetonicas

e de resistir as varias solicitacoes que lhe sao impostas.

Nas ultimas decadas o consumo de concreto aumentou exponencialmente devido

ao fato do ser humano estar cada vez mais investindo em obras de infraestrutura. Outro

grande fator e que embora o concreto convencional nao seja tao resistente quanto o aco,

ele possui propriedades que lhe conferem um uso muito abrangente, como por exemplo, a

grande capacidade de enfrentar a agua sem grande deterioracao, a facilidade com a qual

elementos estruturais de concreto podem ser obtidos atraves de uma variedade de formas

e tamanhos, o baixo custo relativo somado a grande disponibilidade do material para uma

obra e a melhor resistencia a exposicao ao fogo.

Figura 2.1: Alto de Santa Rita no Rio Grande do Norte, a maior estatua religiosa domundo feita em concreto com 56 metros de altura (Itambe, 2012).

2 O Concreto 16

Conforme a Figura 2.1, pode-se ver, que o concreto e um material que apresenta

como vantagem a capacidade de se adaptar a geometrias as mais variadas.

As principais fracoes/componentes do concreto sao (Mehta e Monteiro, 2012):

a. o agregado graudo; material granular usado como meio cimentıcio;

b. argamassa; mistura de areia, cimento e agua;

c. cimento; material seco que por si so nao e um aglomerante, mas desenvolve essa

propriedade como resultado do processo de hidratacao, isto e, de reacoes quımicas

entre o cimento e a agua;

d. aditivos e adicoes; elementos adicionados a mistura para modifica-la ou adicionar

nela outras caracterısticas.

Algumas consideracoes que favorecem a escolha do concreto quando comparado

a outros materiais da construcao civil dizem respeito, segundo Mehta e Monteiro (2012),

a manutencao, a resistencia ao fogo e a resistencia ao carregamento cıclico.

Na escolha de um material de construcao outro quesito importante e a capaci-

dade do material de suportar uma devida forca aplicada, propriedade esta denominada

resistencia. A resistencia dos materiais, segundo Hibbeler (2012), e um ramo da mecanica

que estuda as relacoes entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformavel e a in-

tensidade das forcas internas que agem no interior do corpo. Uma vez que a resistencia

do concreto e funcao do processo de hidratacao do cimento, os ensaios para a resistencia

do concreto se baseiam em corpos-de-provas (CPs) curados sob condicoes padroes de

temperatura e umidade. Na maioria das vezes, a resistencia a tracao e a flexao equiva-

lem a 10% e 15%, respectivamente, da resistencia a compressao. Isso pode ser atribuıdo

a heterogeneidade e a complexidade da microestrutura do concreto (Mehta e Monteiro,

2012).

O concreto e um material composito. Todavia, a grande maioria das suas pro-

priedades nao seguem a regra das misturas (Mehta e Monteiro, 2012), a qual fornece

dois limites, um inferior e outro superior para a variacao de propriedades, de acordo com

a composicao da mistura (Jones, 1999). Por exemplo, sob tensoes de compressao a re-

sistencia da argamassa e do agregado graudo testados separadamente, podem ser, tanto

2 O Concreto 17

uma como a outra, maiores que a resistencia do concreto (Mehta e Monteiro, 2012). Esta

anomalia no comportamento estrutural deste composito pode ser explicada pelo estudo

da sua microestrutura, que sera abordada na secao 2.1 deste capıtulo.

Para alguns materiais, a relacao tensao-deformacao independe do tempo de car-

regamento, entretanto no caso do concreto o carregamento exerce grande influencia sobre

a curva de resistencia caracterıstica, (Figura 2.2, secao 2.2). Por exemplo, uma viga de

concreto armado mantida sob um longo perıodo em sua vida util a um carregamento

constante apresentara deformacao plastica, que e o fenomeno do aumento gradativo de

deformacoes com carregamento constante, tambem conhecido como fluencia. Em casos

onde a fluencia e restringida, havera um decrescimo da tensao com o tempo, fenomeno da

relaxacao (Mehta e Monteiro, 2012).

Outro fator muito importante na avaliacao do concreto como material de cons-

trucao esta intimamente ligado a sua durabilidade, definida como a expectativa de vida

do material sob determinadas condicoes ambientais e de carregamento.

O concreto ainda apresenta como dificuldade a determinacao precisa de suas

propriedades mecanicas, pois e um material heterogeneo cujas caracterısticas macroes-

truturais sao fortemente influenciadas pela composicao microestrutural. Sua resistencia

e durabilidade estao associadas a permeabilidade e a porosidade do material. Isto se da

pelo estudo da dosagem dos materiais constituintes na mistura e controle do preparo da

mesma, alem destas propriedades sofrerem com a influencia dos ciclos de temperaturas e

umidades ambientais.

Sua estrutura por ser porosa esta sujeita a ser comprometida pela atuacao de

agentes agressivos que podem, por exemplo, penetrar em seus poros e reagir com ıons

livres na mistura formando patologias como a reacao alcali-agregado. Nessas e outras

condicoes, como exposicao prolongada ao fogo, as dificuldades para descrever e prever o

comportamento sao grandes pelo fato do concreto ser resultado de reacoes quımicas que

se encontram em constante evolucao (Barbosa, 2011).

2.1 Microestrutura do Concreto 18

2.1 Microestrutura do Concreto

Segundo Mehta e Monteiro (2012), entende-se por microestrutura o tipo, o ta-

manho, a forma e a distribuicao das partıculas e das fases em um solido, sendo estes

elementos passıveis de serem visualizados somente com o uso de um microscopico. O

estudo sobre elementos da microestrutura e necessario para se analisar o comportamento

mecanico destes materiais.

Em um ambito macroscopico, pode-se distinguir duas fases distintas no concreto

— a da argamassa, aqui denominada matriz, composta da mistura de agua, cimento e

areia (agregado miudo) — e a do agregado graudo (inclusao), que sao as partıculas maiores

dispersas na argamassa. Porem, em um ambito microscopico, esta distribuicao se torna

muito mais complexa, sendo que o meio considerado anteriormente como bifasico ja nao

e mais capaz representar a estrutura. Alem disso, a estrutura do concreto torna-se ainda

mais heterogenea uma vez que em algumas regioes a pasta de cimento hidratada esta mais

concentrada, enquanto que em outras, a mesma esta mais porosa.

Como se ve, esta natureza altamente heterogenea do concreto exige um estudo

mais aprofundado sobre os modelos teoricos de relacao microestrutura-propriedade. Logo,

um conhecimento mais aprofundado das 3 fases citadas a seguir — argamassa, agregado

e interface — e recomendado para se compreender e controlar as propriedades mecanicas

deste material.

2.1.1 Interface

Fazendo uma analogia ao elo mais fraco da corrente, a zona de transicao entre

agregado e matriz (interface) e, em muitos casos, a fase limitante da resistencia do concreto

segundo Mehta e Monteiro (2012), onde em alguns casos a ruptura do concreto se da em

um nıvel de tensao consideravelmente mais baixo do que a resistencia de qualquer um

dos componentes principais quando testados separadamente. Em nıveis altos de tensao,

acima de 70% da carga de ruptura do material sob esforcos de compressao, as fissuras na

matriz se espalham gradualmente ate se juntarem as fissuras pre-existentes na interface.

Quando estas fissuras se unem em um nıvel contınuo ocorre a ruptura fragil do material.

Uma alta quantidade de energia e demandada para a formacao e extensao de fissuras sob

2.1 Microestrutura do Concreto 19

esforcos de compressao, enquanto que, sob esforcos de tracao, as fissuras se propagam

muito rapidamente e em um nıvel de tensao bem menor, o que explica a ruptura fragil no

concreto sob esforcos de tracao e a ruptura ligeiramente ductil sob esforcos de compressao

(Mehta e Monteiro, 2012).

Essa zona de transicao e determinada pela aderencia existente entre a matriz

argamassa e a fase agregado que, segundo Wu (1982), e o estado no qual duas fases

mantem-se unidas por contato interfacial, de forma que forcas mecanicas ou trabalho

possam ser transferidos atraves da interface. Este contato interfacial e regido pelas forcas

de Van der Waals, ligacoes quımicas e ou atracao eletrostatica.

2.1.2 Argamassa

A argamassa e resultante do processo de hidratacao do Cimento Portland mis-

turado com o agregado miudo, e a fase responsavel por formar o meio aglomerante da

mistura sofrendo alta influencia em sua estrutura pela relacao agua/cimento, que e a

principal responsavel na determinacao da propriedade de resistencia. O volume de vazios

capilares na pasta de cimento hidratada fica, entao, em funcao do grau de hidratacao

da mistura e da quantidade de agua presente, influenciando desta forma a resistencia do

meio. Alem disso, a pasta de cimento hidratada possui ıons livres em sua composicao, o

que merece destaque em estudos sobre a interacao do material com meios agressivos no

ambiente em que se insere o mesmo.

Dadas estas condicoes a impermeabilidade ou estanqueidade torna-se um fator

preponderante no que diz respeito a durabilidade deste material, o que pode-se observar

que resistencia e permeabilidade sao duas propriedades influenciadas por esta porosidade

capilar ou volume de vazios (Mehta e Monteiro, 2012).

2.1.3 Agregados Graudos

Os agregados graudos podem-se tornar os principais responsaveis pelas carac-

terısticas estruturais do concreto de acordo com suas propriedades fısico-quımicas, influ-

enciando diretamente na estabilidade dimensional e no modulo de elasticidade.

Sua forma variando desde alongada a um formato cubico influencia na formacao

2.2 Resistencia 20

de um filme de agua junto a superfıcie, criando desta forma uma zona de transicao enfra-

quecida na interface agregado-matriz (Mehta e Monteiro, 2012). Em geral, quanto maior

a area de superfıcie do agregado, maior a zona de interface e, portanto, menor a resistencia

do material.

2.2 Resistencia

A resistencia a compressao do concreto e a propriedade mais importante deste

material, pois e a mais utilizada nos calculos estruturais de projetistas e engenheiros. E

definida como a capacidade de um material resistir a determinado valor de tensao sem

sofrer falhas. E inversamente proporcional a porosidade do material e sofre influencias de

caracterısticas como a relacao agua/cimento e da zona de transicao na interface, ambas

ja citadas, o formato e condicoes mineralogicas do agregado, as condicoes de cura e de

adensamento do concreto, as condicoes de umidade, velocidade do carregamento, entre

outras, (Mehta e Monteiro, 2012).

Os principais fatores responsaveis na avaliacao desta propriedade sao (Mehta e

Monteiro, 2012):

a. Caracterısticas e proporcoes dos materiais

b. Parametros de ensaio

c. Condicoes de cura.

Um estudo fundamental na determinacao da resistencia e o estudo da dosagem,

primordial na determinacao e na avaliacao da resistencia do material, pois determina a

relacao agua/cimento, na porosidade do material e principalmente na zona de interface.

Fatores que envolvem os processos de hidratacao do cimento como o tempo, tem-

peratura e umidade imediatamente e apos o lancamento do concreto na estrutura, tambem

merecem destaque na avaliacao desta propriedade. Alem de parametros de ensaio como

tamanho e geometria do corpo-de-prova, condicoes de umidade e de carregamento tambem

afetam o valor estimado caracterıstico de resistencia.

2.3 Durabilidade 21

A Figura 2.2 a seguir mostra o efeito da velocidade do carregamento na avaliacao

da resistencia do concreto.

Figura 2.2: Grafico tensao-deformacao do concreto em funcao do tempo de carregamento(Mehta e Monteiro, 2012).

2.3 Durabilidade

De acordo com o ACI Committee 201 (Mehta e Monteiro, 2012), a durabilidade

do concreto e definida como a sua capacidade de resistir a acao de intemperies, ataque

quımico, abrasao, ou qualquer outro processo de deterioracao. Conforme afirmado por

Mehta e Monteiro (2012) nenhum material e propriamente duravel, ou seja, devido aos

processos de interacoes ambientais ou exposicao a agentes agressivos, suas propriedades

mudam com o tempo. O estudo da durabilidade assume vital importancia devido as im-

plicacoes socios-economicas, pois os custos de reformas e de substituicoes de componentes

geram um quantitativo no orcamento que merece destaque no mercado de construcao civil

atual.

A agua e um dos principais fatores para a maioria dos problemas de durabilidade

do concreto. Este, por ser um material extremamente alcalino, sofre com a exposicao a

aguas acidas. A permeabilidade do concreto a agua depende principalmente da relacao

agua/cimento e da dimensao dos agregados que influenciam as microfissuras na regiao

2.4 Dosagem 22

da interface. A agua, por ser um ingrediente necessario para as reacoes de hidratacao

do cimento, e atuante como agente facilitador na trabalhabilidade do concreto, ela esta

intimadamente ligada a composicao quımica deste material e dependendo das condicoes

ambientais exerce influencia sobre a permeabilidade do concreto devido a evaporacao da

mesma. Este fato e de extrema relevancia e merece cuidado, pois o que se procura evitar,

e uma grande perda desta agua por evaporacao, evitando assim a presenca de fissuras e

o aumento dos vazios na mistura (Mehta e Monteiro, 2012).

Outras principais causas da deterioracao do concreto sao: o desgaste superficial

devido a abrasao e acao de intemperies e a fissuracao devido a exposicao a variacoes de

temperatura e umidade, a exposicao a temperaturas extremas como congelamento e fogo,

e a carregamentos estruturais.

2.4 Dosagem

Para se obter um concreto capaz de atender a determinadas caracterısticas, sejam

elas de resistencia ou de durabilidade, um dos primeiros passos e o estudo da dosagem dos

materiais que irao compor o produto final. Segundo Mehta e Monteiro (2012) a dosagem

do concreto e a combinacao correta de cimento, agregados, agua, aditivos e adicoes, para

produzir o concreto de acordo com as especificacoes.

Os requisitos mais importantes a serem levados em conta sao a trabalhabilidade

do concreto no estado fresco, a durabilidade e a sua resistencia no estado endurecido em

uma idade especıfica. Estes requisitos estao relacionados a facilidade com que o concreto e

lancado e adensado e a sua capacidade de receber as solicitacoes para que o produto (obra)

e designado. Em alguns casos, sobre condicoes severas de carregamento e de exposicao

este estudo deve receber um atencao especial (Mehta e Monteiro, 2012).

Um outro objetivo do estudo de dosagem e obter uma combinacao que gere o

menor custo possıvel satisfazendo os requisitos, envolvendo a selecao e a composicao dos

materiais. Estes materiais devem ser tecnicamente aceitaveis e devem apresentar custos

atrativos. A dosagem se complica pelo fato de que certas propriedades desejaveis podem

ser afetadas pela alteracao de uma variavel especıfica, isso envolve casos como, por exem-

plo, a adicao de agua a uma mistura de concreto acarreta uma melhor fluidez do mesmo,

2.5 Estabilidade Dimensional 23

no entanto, isto reduz a sua resistencia quando no estado endurecido. Sendo assim, o pro-

cesso de dosagem e o responsavel por equilibrar os diversos requisitos no uso do concreto

(Mehta e Monteiro, 2012).

2.5 Estabilidade Dimensional

As deformacoes ocorrentes no concreto que comumente levam a fissuracao sao

resultantes da reacao do material as diversas solicitacoes do ambiente e de carregamentos

externos. Estas deformacoes podem ser de natureza elastica no inıcio do carregamento e

inelastica durante a fase final de carregamento.

Apesar do comportamento nao-linear do concreto, e necessario estimar o modulo

de Elasticidade deste material para se determinar as tensoes induzidas pelas deformacoes

originadas por fatores ambientais e para se calcularem as tensoes de projeto sob carga em

elementos estruturais (Mehta e Monteiro, 2012).

Materiais compositos complexos como o concreto possuem propriedades que nao

sao iguais a soma das propriedades de seus constituintes. Fato este que comprova a

nao-linearidade do grafico tensao-deformacao deste material, Figura 2.2, secao 2.2.

2.5.1 Metodos para obtencao do Modulo de Elasticidade

O modulo de elasticidade de um material e a propriedade que relaciona a variacao

de deformacoes ao longo do acrescimo de tensoes geradas pelo carregamento, em outras

palavras, e uma das propriedades que determinam os valores do tensor de rigidez do

material. Pode ser afetado pela fracao volumetrica, pela densidade e pelas caracterısticas

da zona de transicao na interface entres os materiais distintos.

2.5.1.1 Estaticos

Para o concreto, existem tres metodos que determinam o modulo de elasticidade

estatico devido ao fato do material nao obedecer a rigor a lei de Hooke. O que se faz,

portanto, e considerar uma aproximacao da curva σ − ε obtida em ensaio por uma reta,

segundo o metodo estatico adotado.

2.5 Estabilidade Dimensional 24

Sao eles: o modulo tangente, o modulo secante e o modulo cordal. Informacoes

mais detalhadas sobre a avaliacao destes metodos podem ser encontradas na referencia

Mehta e Monteiro (2012).

A Figura 2.3 a seguir ilustra os tipos de metodos na avaliacao do modulo elastico

deste material.

Figura 2.3: Diferentes tipos de modulos de elasticidade determinados a partir do graficotensao-deformacao do concreto (Mehta e Monteiro, 2012).

Onde (Mehta e Monteiro, 2012)

a. Modulo Secante - Determinado pela declividade da linha correspondente a tensao

S0.

b. Modulo Cordal - Determinado pela declividade da linha correspondente a tensao

SC.

c. Modulo Tangente - Determinado pela declividade da linha TT’ tracada de forma

tangente a qualquer ponto da curva σ − ε.

d. Modulo Dinamico — correspondente ao Modulo Tangente Inicial - Decli-

vidade da linha OD da origem, ver proximo item 2.5.1.2.

2.6 Consideracoes sobre as propriedades em estudo 25

2.5.1.2 Dinamico

O modulo dinamico corresponde a uma deformacao instantanea muito pequena,

que e aproximadamente aquela calculada pelo metodo do modulo tangente inicial, isto e,

a tangente para uma linha tracada na origem (Mehta e Monteiro, 2012). Muito utilizado

na avaliacao de estruturas submetidas a carga de impacto ou terremotos.

Ao longo deste trabalho sera dada uma maior enfase nesta analise, que foi a

adotada nos ensaios experimentais.

2.5.1.3 Fatores que afetam o Modulo de Elasticidade

Em materiais heterogeneos como o concreto, a relacao direta entre densidade

e modulo de elasticidade que e mantida em materiais homogeneos nao e determinante,

sendo necessario considerar outras propriedades como a fracao volumetrica, a densidade,

as caracterısticas da zona de transicao na interface e o modulo dos principais componentes.

Agregados densos que possuem um alto modulo de elasticidade, como a pedra brita,

influenciam no aumento do modulo de elasticidade do concreto. Para a matriz da pasta

de cimento o modulo de elasticidade e determinado por sua porosidade.

Parametros de ensaio, como condicoes de umidade e de cura, velocidade do

carregamento, tempo de exposicao a cargas, dimensoes do corpo-de-prova tambem sao

responsaveis por influenciarem os valores experimentais na determinacao do modulo de

Elasticidade. A Figura 2.4, extraıda da referencia Mehta e Monteiro (2012), fornece um

resumo dos fatores que afetam o modulo de elasticidade do concreto.

2.6 Consideracoes sobre as propriedades em estudo

Cabe notar que, devido a heterogeneidade do material, em muitos casos e conve-

niente que se disponha de formas realistas para previsao das propriedades mecanicas de

um concreto a ser confeccionado. Para este fim, alem de experimentos em laboratorio,

podem ser empregadas expressoes analıticas — como a regra das misturas — assim como

tecnicas de homogeneizacao numericas.

Neste trabalho, e empregada para este fim a tecnica numerica da HEA, da qual

2.6 Consideracoes sobre as propriedades em estudo 26

Figura 2.4: Diversos parametros que influenciam no modulo de elasticidade do concreto(Mehta e Monteiro, 2012).

trata o Capıtulo 3.

27

3 A Homogeneizacao por Expansao

Assintotica

A Homogeneizacao por Expansao Assintotica (HEA) e uma tecnica que permite

determinar propriedades efetivas de um meio heterogeneo a partir das informacoes relati-

vas a cada um de seus componentes. Trata-se de uma metodologia que modela fenomenos

fısicos em meios que possuem microestrutura periodica ou repetitiva (Oliveira et al, 2009).

O objetivo desta metodologia de modelagem multiescala e a transferencia de

informacoes obtidas a partir de uma escala pequena representativa de um meio local,

para uma escala grande que representa um meio global — esta transferencia de escala

(upscaling) permite uma descricao do problema com informacoes refinadas numa escala

micro, para simular os efeitos numa escala macro, empregando malhas de elementos finitos

menores e mais grosseiras (Quintela, 2011).

3.1 Descricao Geral

A homogeneizacao por expansao assintotica (HEA) e uma tecnica numerica fun-

damentada na aproximacao de um corpo global, que apresente estrutura periodica ou

repetitiva em sua composicao, por um corpo local, denominado volume elementar repre-

sentativo (VER) ou celula periodica, que seja capaz de representar o meio heterogeneo

em questao. A Figura 3.1 ilustra o pressuposto.

O principal objetivo desta tecnica e, dada uma celula periodica que represente um

material heterogeneo, conhecendo-se as propriedades mecanicas de cada fase, determinar

as propriedades homogeneizadas capazes de representar o corpo multifasico. Tal tecnica

se baseia na resolucao de equacoes diferenciais parciais homogeneizadas que descrevem

processos fısicos que ocorrem em meios heterogeneos (Quintela, 2011).

As premissas basicas da HEA sao:

1. Relacao entre as escalas.

3.1 Descricao Geral 28

Figura 3.1: Representacao de um meio heterogeneo com microestrutura periodica.

Admite-se aqui a existencia de duas escalas distintas, visto que em alguns casos

mais especıficos e necessaria a adotacao de mais escalas, representativas de um meio

global e de um meio local derivado deste meio global. Conforme a Figura 3.1, o meio

global e representando por uma escala X enquanto que, o meio local e representado

por uma escala Y. A relacao entre os sistemas de coordenadas global e local e

representado por um parametro de escala definido ε, onde ε =x

y. Assume-se entao,

que para que a homogeneizacao seja valida, o parametro ε tende a zero e dessa forma

as propriedades do meio local homogeneizado tendem para as propriedades do meio

global heterogeneo (Sanches-Palencia, 1980). A Figura 3.2 ilustra a relacao entre as

escalas quando o numero de celulas tende a infinito.

Figura 3.2: Variacao do parametro ε quando o numero de celulas tende a infinito.

2. Expansao assintotica.

3.2 A Homogeneizacao Aplicada a Elasticidade 29

A segunda premissa da HEA e a expansao assintotica da variavel central do problema

em torno de ε. No nosso caso, em que temos pequenas deformacoes no regime linear

elastico, a variavel de campo e o deslocamento. Que pode ser expressa como:

uεi(xε) = u

(0)i (x, y) + εu

(1)i (x, y) + ε2u

(2)i (x, y) + ε3u

(3)i (x, y) + ..... (3.1)

onde ε e o parametro de escala, u e o deslocamento, (.)(0) e a escala macroscopica e

(.)(1), (.)(2), (.)(3), ... sao as escalas microscopicas.

3.2 A Homogeneizacao Aplicada a Elasticidade

De acordo com Chung et al (2001), considerando um material heterogeneo que

apresente uma estrutura repetitiva em sua composicao, as propriedades periodicas do

material serao definidas pela seguinte relacao entre as escalas:

Dεijkl = Dijkl

(xε

)(3.2)

onde Dεijkl representa a estrutura heterogenea e a funcao Dijkl reproduz as variacoes

de propriedades do material na microestrutura. Isto significa dizer que o volume esta

representado no sistema de coordenadas xεi e as variacoes que ocorrem na microestrutura

sao modeladas por Dεijkl (Quintela, 2011).

O problema elastico-linear aqui tratado e modelado com um conjunto de equacoes

visto a seguir. Onde 3.3 e a Equacao de equilıbrio, as equacoes 3.4 e 3.5 sao as condicoes

de contorno, e as equacoes 3.6 e 3.7 sao a relacao deformacao-deslocamento e relacao

constitutiva respectivamente:

3.3 Condicoes de Contorno Periodicas 30

∂σεij∂xεj

+ f = 0 em Ω; (3.3)

uεi = 0 em ∂1Ω; (3.4)

σεijnj = Fi em ∂2Ω; (3.5)

εij(uε) =

1

2

(∂uεi∂xεj

+∂uεj∂xεi

); (3.6)

σεij = Dεijklεkl(u

ε) (3.7)

em que o parametro de escala ε identifica os valores relacionados ao comportamento do

material heterogeneo original; σεij e o termo ij do tensor de tensoes internas e fi e a forca

de volume no domınio Ω; uεi e o deslocamento na direcao i; nj e o vetor normal ao contorno

∂2Ω; Fi e a forca por unidade de area no contorno ∂2Ω e εij e o termo ij do tensor de

deformacoes.

Neste contexto, a resolucao do problema de elasticidade consiste na determinacao

do campo de deslocamento correspondendo a resolucao da variavel u pertencente ao

domınio Ω do problema. Empregando a regra da cadeia 3.8:

∂

∂xεi=

∂

∂xi+

1

ε

∂

∂yi(3.8)

A equacao diferencial que e resolvida atraves do MEF, na forma fraca e:

∫V ER

viDijkl∂u

(1)k

∂yldy = −∂u

(0)k

∂xl

∫V ER

vi∂Dijkl

∂yjdy (3.9)

maiores informacoes sobre a formulacao da HEA podem ser encontradas nas referencias

Chung et al (2001); Sanches-Palencia (1980); Oliveira et al (2009).

3.3 Condicoes de Contorno Periodicas

Para a resolucao dessas equacoes, uma hipotese importante deve ser levada em

conta na resolucao do problema de homogeneizacao que e a suposicao de que a variavel de

campo, ou seja, o deslocamento e periodico ao longo das fronteiras do VER. Isto significa

3.4 Formulacao de Elementos Finitos para a HEA 31

dizer que o meio e periodico. Portanto, uma vez que existem tres componentes (x,y,z)

para o vetor de deslocamento, cada coordenada nodal em um no localizado em uma das

fronteiras do VER deve ser correspondente a mesma coordenada na fronteira oposta,

(Sanches-Palencia, 1980). Isto e ilustrado na Figura 3.3.

Figura 3.3: Periodicidade no Volume Elementar Representativo

Ou em outras palavras, sendo ~u = ( ~u1, ~u2, ~u3);

~u(x1 = 0, y1, z1) = ~u(x1 = 1, y1, z1); u e periodico na direcao x.

~u(x1, y1 = 0, z1) = ~u(x1, y1 = 1, z1); u e periodico na direcao y.

~u(x1, y1, z1 = 0) = ~u(x1, y1, z1 = 1); u e periodico na direcao z. (3.10)

Para a obtencao de propriedades homogeneizadas emprega-se a tecnica da HEA

atraves de uma formulacao em Elementos Finitos, vista na secao 3.4 a seguir.

3.4 Formulacao de Elementos Finitos para a HEA

Muitos problemas em engenharia podem ser descritos por meios de equacoes

diferenciais, o que torna a solucao destes problemas praticamente impossıvel por meio

de solucoes analıticas. O metodos dos elementos finitos (MEF) e um metodo numerico

empregado na aproximacao de equacoes diferenciais. Sendo assim, o MEF e um metodo

para resolver problemas por simulacoes de computador sejam eles analise de tensoes,

transferencia de calor, escoamento de fluidos, eletro-magnetismo, etc (Fish e Belytschko,

2009).


A ideia basica do MEF e dividir um corpo em partes menores denominadas ele-

mentos finitos e obter um domınio discretizado como mostra a Figura 3.4. Na verdade,

o que se quer e dividir uma geometria que represente um corpo em pequenas partes, pro-

cesso denominado como discretizacao. Posteriormente, a este domınio serao aplicadas as

condicoes de contorno e as solicitacoes, para a resolucao do problema.

Figura 3.4: Aplicacoes de elementos finitos: (a) construcao; (b) carro; (c) trator; (d)onibus escolar; (e) fuselagem de aviao (Fish e Belytschko, 2009).

Para a formulacao de elementos finitos da HEA o primeiro passo e obter a equacao

3.11:

∫V ER

viDijkl∂u

(1)k

∂yldy = −∂u

(0)k

∂xl

∫V ER

vi∂Dijkl

∂yjdy (3.11)

Aplicando o teorema da divergencia de Gauss, tem-se:

∫V ER

∂vi∂yj

Dijkl∂u

(1)k

∂yldy = −∂u

(0)k

∂xl

∫V ER

∂vi∂yj

Dijkl

∂yjdy (3.12)

Usando a simetria da lei de Hooke, nos podemos reescrever a equacao anterior

em termos de uma deformacao virtual eij, onde eij = ∂vi∂yj

:

∫V ER

eijDijkl∂u

(1)k

∂yldy = −∂u

(0)k

∂xl

∫V ER

eijDijkl

∂yjdy (3.13)

Reescrevendo a equacao anterior na forma matricial:


∫V ER

e1 e2 e3 e4 e5 e6

[D]

ε11

ε12

ε13

ε14

ε15

ε16

= −∫V ER

e1 e2 e3 e4 e5 e6

[D]

ε01

ε02

ε03

ε04

ε05

ε06

onde:

[D] =

D11 D12 D13 D14 D15 D16

D22 D23 D24 D25 D26

D33 D34 D35 D36

D44 D45 D46

D55 D56

D66

(3.14)

Cabe destacar que embora a ε0i seja desconhecida, esta e constante ao longo do

VER (BME, 2012; Sanches-Palencia, 1980).

Agora, pode-se escrever o vetor global de deformacao ε0i como uma combinacao

linear com seis vetores unitarios. Isto equivale a multiplicar o vetor ε0i pela matriz iden-

tidade (BME, 2012).

ε01

ε02

ε03

ε04

ε05

ε06

=

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

ε01

ε02

ε03

ε04

ε05

ε06

(3.15)

Uma vez reescrita a matriz global sequencialmente por seis vetores unitarios obter-


se-a seis deformacoes caracterısticas ε∗. Estas deformacoes podem ser comparadas com

ensaios experimentais na determinacao das propriedades efetivas. Por exemplo, nestes

ensaios aplica-se uma deformacao uniforme prescrita em um corpo de prova e mede-se a

forca resultante. Atraves da aplicacao de 6 deformacoes uniformes, constroi-se a matriz

de rigidez caracterıstica do material. Usando o princıpio da superposicao linear, tem-se

uma analogia numerica a estes testes experimentais. Neste caso em que ha seis equacoes,

havera uma para cada coluna do tensor de tensoes. Abaixo, como exemplo, a primeira

equacao e descrita (BME, 2012):

∫V ER

e1 e2 e3 e4 e5 e6

[D]

ε∗1

ε∗2

ε∗3

ε∗4

ε∗5

ε∗6

dVV ER =

−∫V ER

e1 e2 e3 e4 e5 e6

[D]

1

0

0

0

0

0

dVV ER (3.16)

Nota-se aqui que o lado direito da equacao e igual a primeira coluna da matriz

de rigidez do material.

Para representar implementacao em elementos finitos da equacao 3.16, utiliza-se

aqui o elemento tetraedro linear de 4 nos que pode ser visualizado na Figura 3.5:

Os deslocamentos no interior do elemento sao descritos por polinomios lineares

em x, y e z, ou seja (Vaz, 2012):


Figura 3.5: O elemento tetraedro linear e seus graus de liberdade (Vaz, 2012).

u(x, y, z) = a1 + a2x+ a3y + a4z;

v(x, y, z) = a5 + a6x+ a7y + a8z;

w(x, y, z) = a9 + a10x+ a11y + a12z; (3.17)

passando para a forma matricial,


u(x, y, z)

v(x, y, z)

w(x, y, z)

=

1 x y z 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 x y z 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 x y z

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a12

(3.18)

que pode ser reescrita da seguinte forma compacta:

u(x, y, z) = [G(x, y, z)]a; (3.19)

A adocao de polinomios lineares de 4 termos com 12 coeficientes incognitos ai

pode ser justificada pelas 12 condicoes de contorno seguintes (Vaz, 2012):

u(xn, yn, zn) = un

v(xn, yn, zn) = vn

w(xn, yn, zn) = wn (3.20)

onde n e o numero do no e n = 1, 2, 3 e 4.

Que podem ser reescritas utilizando a expressao 3.17 como:


u1

v1

w1

u2

v2

w2

u3

v3

w3

u4

v4

w4

=

1 x1 y1 z1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 x1 y1 z1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 x1 y1 z1

1 x2 y2 z2 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 x2 y2 z2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 x2 y2 z2

1 x3 y3 z3 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 x3 y3 z3 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 x3 y3 z3

1 x4 y4 z4 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 x4 y4 z4 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 x4 y4 z4

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a12

(3.21)

ou, de maneira simplificada:

d = [A]a; (3.22)

ou ainda,

a = [A−1]d; (3.23)

onde d e o vetor de deslocamentos nodais. Substituindo a expressao obtida 3.23 em 3.19,

tem-se:

u(x, y, z) = [G(x, y, z)][A−1]d; (3.24)

Fazendo [N(x, y, z)] = [G(x, y, z)][A−1] obtem-se:


u(x, y, z) = [N(x, y, z)]d; (3.25)

Onde a matriz [N(x,y,z)] assume a seguinte forma:

[N(x, y, z)] =

N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0

0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0

0 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4

(3.26)

Lembrando que [Nn] = [Nn(x, y, z)] e n=1,2,3 e 4.

Pela definicao, a expressao geral para a matriz de rigidez de um elemento finito

para este problema e dada pela expressao:

[K] =

∫v

[B]T [D][B]dv (3.27)

Onde [B] e a matriz de compatibilidade cinematica ou matriz deslocamento-

deformacao, que transforma deslocamentos nodais em deformacoes no interior do ele-

mento (ε = [B]d) e [D] e a matriz constitutiva que relaciona tensoes σ com suas

respectivas deformacoes ε para materiais de comportamento elastico (Vaz, 2012).

Em problemas tridimensionais, as componentes de deformacao εi sao relacionadas

com os respectivos deslocamentos dados pela expressao 3.28 abaixo:

ε6x1 = L6x3u3x1; (3.28)

onde a matriz [L] e a matriz operadora de derivacao (Vaz, 2012). Substituindo-se 3.25

em 3.28 chega-se a:


ε6x1 = L6x3N3x12d12x1 (3.29)

Como ε = [B]d, isso permite concluir que:

B6x12 = L6x3N3x12; (3.30)

Que e a forma da matriz [B]. Substituindo [B] na expressao 3.27 e expandindo a

integral, tem-se a expressao 3.31, onde ja se adota o sistema de coordenadas naturais do

elemento:

[Ke] =

∫ 1

−1

∫ 1

−1

∫ 1

−1

[B]T12x6[D]6x6[B]6x12|J |ds1ds2ds3 (3.31)

onde [Ke] e a matriz de rigidez de um elemento tetraedrico linear e |J | e a matriz jacobiana.

Voltando ao lado direito da forma fraca, nota-se que ha uma deformacao virtual

vezes uma tensao constante. Atraves da interpolacao da deformacao utilizando a matriz

[B], pode-se reescrever o lado direito da equacao como:

f e =

∫ 1

−1

∫ 1

−1

∫ 1

−1

[B]T12x6D6x1|J |ds1ds2ds3 (3.32)

A implementacao em elementos finitos da equacao do equilıbrio microscopico

homogeneizada local fica:

[Ke]uk = f e; k = 1, 2, 3, 4, 5 e 6. (3.33)

Uma vez resolvida a equacao 3.33, pode-se calcular a deformacao total, utilizando

o vetor de deformacao hierarquico:


eεij ≈ e0ij + e1ij = e06x1 − [e∗1e∗2e∗3e∗4e∗5e∗6]u06x1 (3.34)

Atraves da definicao de uma matriz de estrutura local [M] dada por:

[M ]6x6 = [I]6x6 − [e∗1e∗2e∗3e∗4e∗5e∗6] (3.35)

onde [I] e a matriz de identidade, pode-se escrever a deformacao total como:

eε6x1 = [M ]6x6e06x1 (3.36)

Para o problema de equilıbrio global, a forma fraca e escrita como:

∫G

e1 e2 e3 e4 e5 e6

1

VV RE

∫VV RE

[D]

e01

e02

e03

e04

e05

e06

+

e11

e12

e13

e14

e15

e16

dVV ERdVG =

∫G

v1 v1 v1

f1

f2

f3

dVG +

∫Sg

v1 v1 v1

t1

t2

t3

dVSg (3.37)

Examinando o lado esquerdo da equacao, nota-se que o vetor e0i + e1i e o vetor de

deformacao total no ambito microestrutural. Pode-se assim substituı-lo com a definicao do

vetor de deformacao total ja visto anteriormente. Alem disso, uma vez que a deformacao

e0i e constante ao longo do VER podemos retira-la da integral, isso nos deixa com a

equacao da seguinte forma:


[Deff ] =1

|VV ER|

∫VV RE

[D][M ]dVV ER (3.38)

onde [M ] assume a seguinte forma:

[M ] =

M11 M12 M13 M14 M15 M16

M21 M22 M23 M24 M25 M26

M31 M32 M33 M34 M35 M36

M41 M42 M43 M44 M45 M46

M51 M52 M53 M54 M55 M56

M61 M62 M63 M64 M65 M66

(3.39)

Pode-se ver aqui que Deff representa uma rigidez efetiva. Deste modo, a equacao

acima fornece uma relacao matematica funcao-estrutura. Observa-se ainda que e possıvel

separar a integral sobre o VER em integrais sobre os volumes dos materiais locais e depois

somar estas integrais. Fazendo isto a rigidez microestrutural local e entao constante ao

longo da integral local e pode-se escrever que:

[Deff ] =nmat∑i=1

[D]n1

|VV ER|

∫V nV RE

[M ]dV nV ER (3.40)

Introduzindo as propriedades efetivas no problema de equilıbrio global, chega-se

a mesma forma da equacao de elasticidade no regime de pequenas deformacoes:

[K(Deff )]u = f(3.41)

onde a matriz de rigidez e o vetor de cargas dependem de uma malha de elementos

finitos criada a partir da estrutura global e da rigidez efetiva derivada das analises locais

realizadas no VER.

3.5 Consideracoes sobre a aplicacao da HEA ao Concreto 42

3.5 Consideracoes sobre a aplicacao da HEA ao Con-

creto

Neste trabalho, de cunho academico, a HEA foi empregada para estimar o tensor

de rigidez efetiva (Deff ) de concretos com diferentes composicoes. Os resultados foram

comparados a medidas experimentais, que sao o tema do Capıtulo 4.

43

4 Programa Experimental

O programa experimental realizado objetivou validar atraves de ensaios expe-

rimentais os resultados numericos obtidos com as analises realizadas pelos programas

HEA2D e HEA3D, secao 5.1 e 5.2. Para tanto, variou-se em 2 fracoes o volume total de

pedra britada, de modo que se teve dois concretos com tracos diferentes e com diferentes

modulos de elasticidade. Foram produzidos 15 corpos de prova (CPs) com idades iguais e

que foram submetidos a determinacao do modulo de elasticidade pelo metodo ultrassonico,

secao 4.2. Alem disso, determinou-se tambem, utilizando o mesmo princıpio, o modulo

de elasticidade da rocha gnaisse utilizada na forma britada para confeccao dos CPs.

4.1 Descricao Geral

Foram confeccionados corpos de prova cilındricos, com 10 cm de diametro e 20

cm de altura, feitos com 3 tipos de material classificados, de acordo com o volume de

agregados graudos empregados, em:

a. - argamassa: 0% de agregado graudo, traco em volume igual a 1:3:0:0.73;

b. - concreto com 16,3% de agregado graudo em relacao ao volume total da amos-

tra, correspondendo a 25% do volume total de agregados, traco em volume igual a

1:3:1:0.73, e;

c. - concreto com 36,9% de agregado graudo em relacao ao volume total da amos-

tra, correspondendo a 50% do volume total de agregados, traco em volume igual a

1:3:3:0.73.

Os experimentos tiveram por objetivos:

a. obter as propriedades mecanicas da argamassa e da rocha empregadas que serviram

como entrada de dados para as analises numericas descritas nas secoes 5.1.1 e 5.2 .

4.2 Metodo nao destrutivo 44

b. comparar os resultados do Modulo de Elasticidade obtidos experimentalmente para

os dois tipos de concreto estudados com o Modulo de Elasticidade Homogeneizado

obtido numericamente.

Na composicao dos corpos de prova, utilizou-se brita 1, cimento CP IV-32 e areia

de britagem. Ao todo foram moldados 15 corpos de prova, sendo 5 de argamassa, 5 de

concreto com 16,3% de inclusao e 5 com 36,9%. As propriedades da rocha foram extraıdas

de 5 amostras com dimensoes semelhantes as de um corpo de prova de concreto. A Figura

4.1 mostra os corpos de prova estudados.

Figura 4.1: Corpos de prova de concreto estudados.

4.2 Metodo nao destrutivo

Devido ao grande impacto economico previsto na recuperacao de muitas estrutu-

ras na engenharia, tem-se evoluıdo para o uso de ensaios nao destrutivos e aperfeicoados

os metodos existentes para suas analises. Motivo pelo qual tais ensaios podem ser realiza-

dos em condicoes in situ, nao necessitando a retirada de testemunhos e nem a confeccao

de CPs. Segundo Mehta e Monteiro (2012), o modo como uma onda se reflete e refrata

atraves de um material solido pode fornecer informacoes vitais sobre a heterogeneidade

interna deste material. Alem de possibilitar a determinacao de camadas com modulos de

elasticidade diferentes dentro do material, essas ondas podem fornecer informacoes sobre

resultados de ma fabricacao do material ou sobre a exposicao a agentes agressivos.

4.2 Metodo nao destrutivo 45

4.2.1 Determinacao do Modulo Elasticidade pelo Metodo Ul-

trassonico

Um dos metodos existentes na literatura e estudados neste trabalho, foi o metodo

da propagacao da velocidade do pulso ultra-sonico. O qual consiste em medir o tempo

(em microssegundos) de percurso que uma onda longitudinal de pulso ultra-sonica leva

para atravessar um corpo. Estas ondas longitudinais que normalmente sao usadas possuem

frequencias que variam de 20kHz a 150Hz (Mehta e Monteiro, 2012). O tempo de percurso

por sua vez e computado pelo aparelho. Uma vez fornecido ao aparelho a distancia entre

os transdutores, com a diferenca de tempo, calcula-se a velocidade media da onda de

propagacao que atravessou o corpo de prova.

Os transdutores devem ser bem acoplados as superfıcies dos corpos de prova de

modo a garantir medidas confiaveis, podem ser colocados em faces opostas (como o caso

em questao) originando uma medicao direta, ou na mesma face originando uma medicao

indireta (Mehta e Monteiro, 2012).

O Modulo de Elasticidade dos materiais foi obtido atraves do ensaio descrito pela

norma brasileira NBR 15630:2008 (versao corrigida 2009), (ABNT, 2009). Trata-se de

um metodo nao destrutivo, em que o modulo de elasticidade e obtido por meio de pulsos

ultrassonicos, segundo a expressao:

Ed =ρV 2(1 + ν)(1− 2ν)

(1− ν)(4.1)

onde :

Ed - modulo de elasticidade dinamico (GPa);

ρ - massa especıfica do corpo-de-prova (Kg/m3);

V - velocidade de pulso (Km/s);

ν - coeficiente de Poisson.

Para tanto, foi utilizado o equipamento de ultrassom da marca TICO (PROCEQ,

1998). A Figura 4.2 mostra o esquema dos ensaios para medicao nos CPs de concreto e

nas amostras de rocha gnaisse.

4.3 Determinacao da Massa Especıfica dos Materiais 46

Figura 4.2: Determinacao do Modulo de Elasticidade Ultrassonico de um CP e de umaamostra da mesma rocha da brita usada na producao dos concretos.

4.3 Determinacao da Massa Especıfica dos Materiais

Para o calculo da massa especıfica dos 15 corpos de prova de concreto realizou-

se a medicao de massa dos mesmos mediante a utilizacao de uma balanca com precisao

de decigrama, sendo o volume calculado para uma forma com diametro de 10 cm na

base e altura de 20 cm. Para a determinacao do volume da amostra da rocha gnaisse,

utilizou-se uma balanca hidrostatica segundo o princıpio de Arquimedes, o qual pode

ser enunciado: — “Todo corpo mergulhado total ou parcialmente em um fluido sofre uma

impulsao vertical, dirigida de baixo para cima, igual ao peso do volume do fluido deslocado,

e aplicado no centro de impulsao” (Pierre, 2012). Diante disso, realizou-se a pesagem da

amostra de rocha com a superfıcie seca, e posteriormente pesou-se a amostra imersa em

agua. A diferenca entre as massas, uma vez conhecida a massa especıfica da agua, fornece

o volume da amostra (Mazali, 2012). A Figura 4.3 a seguir ilustra o ensaio.

Conhecidos entao a massa e o volume da amostra seca, determinou-se o valor da

massa especıfica da rocha.

4.4 Resultados Experimentais

A Tabela 4.1 a seguir traz os valores experimentais obtidos para Ed nos ensaios

dos CPs utilizando o equipamento da Figura 4.2.

Para fins de comparacao dos resultados com os valores obtidos numericamente,

4.4 Resultados Experimentais 47

Figura 4.3: Determinacao da massa especıfica de uma amostra de rocha segundo a normabrasileira NBR 12766:1992, (ABNT, 1992).

foi empregada a media aritmetica para cada material. Para tanto, foram descartados,

em todos os casos, o maior e o menor valores medidos. A Tabela 4.2 a seguir traz os

valores calculados e considerados nas analises numericas na comparacao dos resultados

experimentais e numericos.

4.4 Resultados Experimentais 48

Tabela 4.1: Resultados das medicoes experimentaisCP Peso L t ρ v ν Ed

(kg) (m) (ms) (kN/m3) (km/s) (GPa)

Argamassa1 3,4429 0,195 48,0 21,50 4,1 0,3 76,4322 3,4133 0,195 48,2 21,32 4,0 0,3 75,1473 3,4206 0,195 46,9 21,36 4,2 0,3 79,5414 3,4087 0,195 47,0 21,29 4,1 0,3 78,9275 3,4262 0,195 49,0 21,40 4,0 0,3 72,988

16,3% de inclusao1 3,5634 0,195 46,9 22,25 4,2 0,3 82,8612 3,5549 0,195 45,6 22,20 4,3 0,3 87,4443 3,5513 0,195 46,5 22,18 4,2 0,3 84,0074 3,5741 0,195 43,9 22,32 4,4 0,3 94,8575 3,5701 0,195 45,1 22,30 4,3 0,3 89,776

36,9% de inclusao1 3,6631 0,195 43,8 22,88 4,5 0,3 97,6642 3,6634 0,195 43,9 22,88 4,4 0,3 97,2273 3,6778 0,195 43,2 22,97 4,5 0,3 100,7984 3,6820 0,195 44,2 22,99 4,4 0,3 96,3995 3,6630 0,195 43,3 22,88 4,5 0,3 99,930

Pedra Gnaisse1 2,7508 0,153 27,6 27,03 5,5 0,3 178,8792 2,7508 0,203 30,5 27,03 6,7 0,3 257,8623 2,7508 0,196 28,5 27,03 6,9 0,3 275,3074 2,7508 0,188 27,5 27,03 6,8 0,3 272,0485 2,7508 0,206 35,7 27,03 5,8 0,3 193,817

Tabela 4.2: Resultados medios adotados para as medicoes experimentaisComposito/Material Ed (GPa)

Argamassa 76,84Concreto com 16,3% de inclusao 87,08Concreto com 36,9% de inclusao 98,27

Rocha Gnaisse 241,24

49

5 Programa Numerico

As analises computacionais aqui apresentadas foram realizadas a partir de duas

versoes numericas disponıveis da HEA: — uma versao bidimensional criada no ambiente de

processamento algebrico Matlab R© (Mathworks, 2012) e outra desenvolvida em linguagem

Fortran R©, ambas as versoes objetivam o calculo de propriedades homogeneizadas a partir

de celulas periodicas criadas com o software Gmsh R©, (secao 5.3).

As aplicacoes computacionais visaram o calculo de propriedades homogeneizadas

do concreto para posterior comparacao com resultados experimentais obtidos em CPs, no

Capıtulo 4.

5.1 O programa HEA2D

O objetivo do programa HEA2D e a determinacao de propriedades efetivas ho-

mogeneizadas a partir de celulas periodicas planas utilizando elementos triangulares de 6

nos, Figura 5.1. Como entrada de dados no programa, deve-se fornecer as propriedades

mecanicas dos materiais utilizados na analise e as caracterısticas da celula periodica como

o numero de nos e as coordenadas nodais dos elementos finitos, numero de elementos e os

nos que compoem estes elementos. As malhas de elementos finitos utilizadas devem ser

capazes de aceitar a imposicao de condicoes de contorno periodicas nos nos localizados nas

arestas, conforme abordado na secao 5.1.2 , e possuırem domınio retangular (Quintela,

2011).

5.1.1 Entrada de dados do programa

Devem ser informados como entrada:

a. - Nome do arquivo de saıda do Gmsh R©, de extensao .msh que contem os dados da

malha de elementos finitos.

b. - Numero do grupo fısico definido no Gmsh R© para o material correspondente a

5.1 O programa HEA2D 50

Figura 5.1: Representacao do elemento triangular de 6 nos e seus respectivos deslocamen-tos.

inclusao.

c. - Propriedades mecanicas das fases que compoe a celula periodica, E e ν, conside-

rando aqui que os materiais assumem comportamento isotropico.

5.1.2 Etapas do Programa

1. Montagem da matriz de rigidez

A partir da equacao 3.32 da secao 3.4, a matriz de rigidez do sistema e

determinada como:

[K] =nelm∑i=1

[B]T [D][B]|J | (5.1)

onde nelm e o numero de elementos da malha que discretiza a celula periodica, [B]

e o operador diferencial ou matriz de compatibilidade cinematica, [D] e o tensor de

propriedades elasticas do elemento e |J | e o determinante da matriz jacobiana que

relaciona o sistema de coordenadas com a representacao parametrica da geometria.

2. Imposicao das Condicoes de Contorno Periodicas

A imposicao das condicoes de contorno periodicas e feita a partir da es-

trategia da reducao da ordem do sistema de equacoes a ser resolvido. Primeira-

mente, os nos do contorno sao associados atraves da numeracao das equacoes globais


e entao, os graus de liberdade (GLs) dos nos correspondentes em arestas opostas

recebem a mesma numeracao, para maiores informacoes ver a referencia Quintela

(2011). Veja a Figura 5.2 a seguir:

Figura 5.2: Representacao da imposicao das condicoes de contorno periodicas (Quintela,2011).

3. Solucao do Sistema de Equacoes

Nesta etapa e realizado o calculo do sistema de equacoes definido na secao

3.2, onde sao resolvidas as equacoes algebricas lineares e e realizada a montagem da

matriz de rigidez global do sistema.

4. Calculo do Tensor de Propriedades Homogeneizadas

A partir da resolucao do sistema de equacoes, o tensor de propriedades

homogeneizadas Deff e calculado pela equacao 3.40.

5.2 O programa HEA3D

O programa HEA3D foi desenvolvido no programa de Pos-Graduacao em Mo-

delagem Computacional da Universidade Federal de Juiz de Fora por Quintela (2011) e

objetivou a implementacao da tecnica da HEA no espaco tridimensional, alem de realizar

o calculo de propriedades efetivas homogeneizadas. Para tanto, os dados de entrada toma-

dos foram celulas periodicas esfericas utilizando elementos tetraedricos de 4 nos, Figura

3.5. Como entrada de dados no programa, deve-se fornecer as propriedades mecanicas dos

materiais utilizados na analise e as caracterısticas da malha de elementos finitos periodica

criada a partir do VER. Utilizando o programa Gmsh R© para esta funcao. Para isto

criou-se um algoritmo em Matlab R© cuja funcao era transcrever o arquivo de saıda .msh


do Gmsh R© para um arquivo de entrada .dat no formato necessario para ser utilizado

como dado de entrada no HEA3D. Assim como a versao em 2D, foi necessario para a uti-

lizacao desta versao a criacao de malhas periodicas, mantendo neste caso a periodicidade

ao longo das faces do volume elementar representativo, veja a secao 5.3.

A seguir uma parte do algoritmo criado para modificar o formato para a entrada

de dados no HEA3D:

1 %DADOS DE ENTRADA

2 Einclusao =241.242;

3 Poisson_inclusao =0.2;

4 Ematriz =76.835;

5 Poisson_matriz =0.2;

6 prop_inclusao =53; %numero do physical groups correspondente a

inclusao

7 ...

8 fid=fopen(’cubica.msh’); %abre o arquivo de saida do Gmesh

9 saida=fopen(’cubica.dat’,’w’); %cria o arquivo de saida ".dat"

10 % PROGRAMA %

11 for i=1:5

12 nnos = fgetl(fid); %recebe o numero de nos

13 end

14 ...

15 for i=1: nnos %monta a matriz de coordenadas nodais

16 nnoscarac = fgetl(fid);

17 aux = str2num(nnoscarac);

18 coord_nos(i,1) = i;

19 coord_nos(i,2:4) = aux (2:4);

20 end

21 for i=1:3

22 nel = fgetl(fid); %recebe o numero de elementos

23 end

24 ...

25 for i=1:nel %monta a matriz de elementos

26 elmcarac = fgetl(fid);

27 carac(i,:) = str2num(elmcarac);

28 nos_el(i,1) = i;

29 nos_el(i ,2:5) = carac(i ,6:9);

30 i f carac(i,4)== prop_inclusao

31 nos_el1(cont ,1:5) = nos_el(i ,1:5);

32 cont=cont +1;

33 e l se34 nos_el2(cont1 ,1:5) = nos_el(i ,1:5);

35 cont1=cont1 +1;

36 end

37 end

38 prop_mat=zeros(nel ,2);

39 for i=1:nel % associa cada elemento ao seu respectivo material

40 i f carac(i,4)== prop_inclusao

41 prop_mat(i,1)=Einclusao;


42 prop_mat(i,2)=Poisson_inclusao;

43 e l se44 prop_mat(i,1)=Ematriz;

45 prop_mat(i,2)=Poisson_matriz;

46 end

47 end

48 fprintf(saida ,’%s\n’,’Exemplo ’);

49 fprintf(saida ,’ %d %d %d %d’,nnos ,length(nos_el1),nel ,2);

50 ...

51 fprintf(saida ,’ %d %E %E %E\n’,coord_nos ’);

52 ...

53 fprintf(saida ,’ %d %d %d %d %d\n’,nos_el1 ’);

54 ...

55 fprintf(saida ,’ %d %d %d %d %d\n’,nos_el2 ’);

5.2.1 Organizacao e divisao do programa

O programa HEA3D foi dividido em rotinas organizadas segundo as caracterısticas

da tecnica da HEA. A Figura 5.3 a seguir foi extraıda da referencia Quintela (2011) e mos-

tra as rotinas do programa e em asterisco as de maior relevancia.

Na rotina “IOMNGR”e fornecido o nome do arquivo de entrada, ou seja, a saıda

do algoritmo desenvolvido em Matlab R© e o nome do arquivo de saıda do programa

HEA3D com o resultado da analise computacional em formato .lis, aonde constam os

deslocamentos nodais e a matriz de rigidez elastica homogeneizada.

5.2.1.1 Imposicao das Condicoes de Contorno Periodicas

As condicoes de contorno periodicas foram impostas segundo uma estrategica na

qual a partir das coordenadas dos nos das faces, estes sao associados de forma que um

deles e escolhido como “mestre”e o no correspondente na face oposta e definido como

“escravo”. A Figura 5.4 mostra a associacao dos nos periodicos de forma esquematica.

Para os vertices (Figura 5.4(a)), define-se um como “mestre”e os outros 7 como seus

respectivos “escravos”. Para os nos localizados nas arestas, a associacao e feita definindo

um no como mestre e os outros 3 como “escravos”, Figura 5.4(b). Para os demais nos,

cada no definido como “mestre”possuira um no na face oposta “escravo”, Figura 5.4(c)

(Quintela, 2011).


Figura 5.3: Representacao esquematica da estrutura do programa HEA3D (Quintela,2011).

5.2.1.2 Resolucao do Sistema de Equacoes

A resolucao do sistema de equacoes lineares utiliza o metodo dos Gradientes

Conjugados Pre-Condicionado (MPCG) implementado segundo uma estrategia elemento

por elemento, o que dispensa a montagem e a fatoracao da matriz de rigidez global. A

rotina responsavel por este processo e a “PCGDIAG”que utiliza o MPCG e considera as

condicoes periodicas nos calculos, alem dos calculos sobre as matrizes serem realizados

por blocos, o que permite a execucao paralela do algoritmo (Quintela, 2011).

5.2.2 Calculo do Tensor de Propriedades Homogeneizadas

O calculo do tensor de propriedades homogeneizadas dado pela equacao 3.40 e

feito pela rotina “MEDIA HEA”que realiza a operacao de media utilizando os veto-

res resultantes da resolucao do sistema pela rotina “PCCDIAG”, para maiores detalhes

5.3 Geracao de Malhas de Elementos Finitos 55

Figura 5.4: Esquema da associacao dos nos periodicos nas fronteiras do volume elementarrepresentativo (Quintela, 2011).

Consultar a referencia Quintela (2011).

5.3 Geracao de Malhas de Elementos Finitos

Diversos problemas em engenharia sao descritos por meio de equacoes diferen-

ciais que possuem solucao analıtica complexa e de difıcil resolucao. Devido a este fato,

empregam-se ferramentas de modelagem computacional que visam encontrar um solucao

aproximada capaz de satisfazer o resultado esperado com um grande ganho de tempo e

apresentando uma margem de erro aceitavel. Para o uso destas ferramentas de modela-

gem, uma das formas mais consagradas implementadas e o Metodo dos Elementos Finitos

(MEF) ja descrito na secao 3.4. Para o emprego deste metodo, necessita-se do emprego

de malhas de elementos finitos responsaveis por discretizar o domınio no qual se dara a

resolucao do problema.

O processo de geracao de malhas consiste em decompor um domınio geometrico

qualquer em partes menores de domınio finito e, portanto, denominadas elementos finitos

(Rocha et al, 2008). Ou seja, uma malha de elementos finitos consiste em um mosaico

de um dado subconjunto do espaco tridimensional formado por elementos geometricos de

varios formatos e com suas respectivas geometrias (barras, triangulos, quadrados, tetrae-

dros, prismas, hexaedros, etc.), dispostos de tal maneira que, se dois ou mais se cruzam,

eles possuirao uma regiao no espaco em comum, seja esta uma aresta, um no ou uma


face (Geuzaine e Remacle, 2012). Tal tarefa nem sempre e de simples resolucao devido

as caracterısticas geometricas e fısicas do domınio que se esta trabalhando, alem da pre-

cisao que se deseja obter com o resultado. A Figura 5.5 a seguir, ilustra uma malha que

representa um modelo de esmalte prismatico, o qual possui uma geometria complexa e

cuja geracao de uma malha de elementos finitos representativa nao e tao simples.

Figura 5.5: Aspecto de uma malha de elementos finitos empregada na simulacao de ummodelo de esmalte dentario (Cunha et al, 2012).

Neste trabalho, para a criacao de malhas de elementos finitos foi utilizado o

Gmsh R© disponıvel na referencia Geuzaine e Remacle (2012), dirigido para aplicacoes em

analises de pre e pos-processamento utilizando malhas de elementos finitos criadas a partir

de sua interface.

5.3.1 Descricao do Programa Gmsh R©

O Gmsh R© e um gerador de malhas de elementos finitos dirigido para aplicacoes

de cunho academico cuja distribuicao e livre. Sua principal aplicacao e a criacao de

malhas de elementos finitos de modo simples. Com o auxılio deste software, e possıvel

definir domınios geometricos a partir de pontos, linhas, superfıcies e volumes, alem de

caracteriza-los em diversos grupos fısicos.

De um modo geral, o Gmsh R© consiste em quatro modulos: geometria, malha,

solver e pos-processamento que sao modulados de modo iterativo, atraves da interface de

usuario grafica (GUI) ou atraves de arquivos de dados ACII (Rocha et al, 2008).


As malhas de elementos finitos produzidas com o Gmsh R© sao consideradas como

“nao estruturadas”, mesmo se elas forem geradas de forma “estruturada”(por exemplo,

por extrusao). Isto implica que os elementos geometricos sao definidos apenas por uma

lista ordenada de seus nos, mas que nenhuma relacao de ordem predefinida e assumida

entre quaisquer dois elementos (Geuzaine e Remacle, 2012).

5.3.1.1 Criacao da Geometria

A geometria do espaco onde se dara o problema de Elementos Finitos analisado

e criada a partir da insercao de pontos que posteriormente serao conectados por curvas

e, em seguida, atraves do agrupamento das devidas curvas serao criadas as superfıcies

(problemas bidimensionais) e/ou, se necessario, posteriormente, os volumes (problemas

tridimensionais) pelo agrupamento das superfıcies. Feito isso, o proximo passo e a carac-

terizacao dos diversos volumes ou superfıcies em grupos fısicos que serao agrupados na

resposta do programa como elementos de mesmo material. A Figura 5.6 a seguir mostra

uma das geometrias criadas para as analises empregadas neste trabalho.

Figura 5.6: Criacao da Geometria de uma malha de Elementos Finitos representativa deum meio com inclusao cilındrica.

Dentre os arquivos de saıda do Gmsh R© dois arquivos sao de grande interesse para

este trabalho, um arquivo com extensao .geo correspondente a geometria representativa

com o processo de criacao ja descrito anteriormente e um arquivo com extensao .msh que

corresponde aos valores referentes a malha de elementos finitos. A Figura 5.7 ilustra os

arquivos de saıda citados.


Figura 5.7: Arquivos de saıda do programa Gmsh R©, extensoes .geo e .msh.

5.3.1.2 Criacao da Malha de Elementos Finitos

Uma vez criada a geometria e agrupada as regioes de mesmo material, procede-se

a criacao da malha de elementos finitos. A malha de elementos finitos e gerada a partir

da divisao da geometria em sub volumes que obedecem a seguinte regra — primeiramente

sao criados os elementos unidimensionais; posteriormente, os bidimensionais e finalmente

os tridimensionais — feito isso e gerado o arquivo de saıda (arquivo .msh), Figura 5.8.

Figura 5.8: Geracao das malhas a partir da geometria definida na secao 5.3.1.1.

Para este trabalho, devido a tecnica utilizada descrita no capıtulo 3, as malhas

geradas necessitam de apresentar estrutura periodica, ou seja, conforme explıcito no item

3.3, as coordenadas nodais em um plano correspondente a uma face da geometria tem

que ser obrigatoriamente iguais as coordenadas nodais no plano da face oposta do mesmo


volume, de tal maneira que, quando sobrepostas estas faces, todos os nos possuirao as

mesmas coordenadas no plano. A Figura 5.9 ilustra o pressuposto.

Figura 5.9: Representacao da Periodicidade de uma Malha.

Essa periodicidade e realizada no programa atraves do controle da distribuicao

dos elementos ao longo das faces da geometria. Tal controle e garantido usando comandos

especıficos do programa.

5.3.1.3 Refinamento

Conforme ja comentado, sabe-se que a qualidade de precisao em uma analise via

o MEF e dependente do grau de refinamento do domınio, ou seja, ao grau de refinamento

da malha. Em alguns problemas, como o da Figura 5.5, pode ser necessario um maior

grau de refinamento da malha para atender a um bom resultado. Outros casos, como no

estudo da interface entre dois materiais, pode ser necessario o refinamento de uma regiao

especıfica e nao de toda a geometria. Alem disso, o tipo de elemento adotado tambem

deve ser levado em conta, pois este e funcao do numero de graus de liberdade da malha e,

por sua vez, e funcao do resultado na analise numerica. Conforme demonstrado na Figura

3.5, o tipo de elemento adotado foi o tetraedro linear de 4 nos para o caso tridimensional

e o elemento triangular de 6 nos para o caso bidimensional, Figura 5.1.

5.4 Analises Computacionais 60

5.4 Analises Computacionais

Para a analise numerica foi empregado o programa HEA2D descrito no item 5.1

e o programa HEA3D descrito no item 5.2. Conforme descrito nestes itens, ambos os

programa fazem uso como arquivo de entrada de malhas de elementos finitos criadas pelo

programa Gmsh R©, secao 5.3. A Figura 5.10 a seguir ilustra o aspecto tıpico da geometria

e das malhas de elementos finitos empregadas no modelo em 2D para representar o que

seria o comportamento do concreto em um estado plano de deformacoes. Este aspecto

tıpico foi modelado de acordo com a inclusao adotada, onde a relacao existente entre a area

do cırculo e a do quadrado correspondem a fracao volumetrica da inclusao. A geometria

adotada para a celula periodica caracteriza materiais de comportamento isotropico.

Figura 5.10: Geometria e malha de Elementos Finitos bidimensional representativa deinclusao circular.

Para o caso tridimensional a Figura 5.11 ilustra o aspecto da malha de elementos

finitos em perspectiva e em corte, onde a relacao entre o volume da esferica e do cubo

representa a porcentagem de inclusao empregada nas analises, neste caso a esfera busca

representar o que seria a inclusao da brita no concreto.

Para fins de comparacao e buscando obter melhores resultados, foi analisada

tambem uma malha de geometria com inclusao cubica no caso tridimensional conforme

a Figura 5.12 a seguir. A partir desta malha realizou-se um estudo da convergencia do

modulo de elasticidade segundo o grau de refinamento, Figura 5.13.

Como dados de entrada para ambos os programas utilizou-se os dados da Ta-

bela 4.2, adotando 76,84 GPa para a argamassa (matriz) e 241,42 GPa para a rocha


Figura 5.11: Malha de Elementos Finitos representativa de inclusao esferica.

Figura 5.12: Malha de Elementos Finitos criada a partir de uma geometria com inclusaocubica.

gnaisse(inclusao). Adotou-se para as duas fases o coeficiente de Poisson (ν) igual a 0,30,

uma vez que, segundo Kliszczewicz e Ajdukiewicz (2003), esta propriedade nao exerce in-

fluencia importante sobre o modulo de Elasticidade efetivo e, em geral, os valores medidos

e empregados na literatura para concretos com diversas composicoes variam entre 0,20

a 0,30 (Kliszczewicz e Ajdukiewicz, 2003; Nadeau, 2003). Porem, cabe ressaltar que a

tecnica numerica adotada permite obter o valor de ν homogeneizado quando de interesse.

5.4.1 Resultados Numericos

A determinacao do modulo de elasticidade homogeneizado (Eh) foi calculada pela

equacao 5.2 abaixo:


Eh =1

Sh(i, i)(5.2)

onde Sh(i, i) e a inversa da matriz Dh e (i, i) e o termo no qual se deseja calcular o modulo

de elasticidade de acordo com o eixo referencial, ressaltando que neste caso se trata de um

material isotropico e, portanto, o modulo de elasticidade e igual em todas as direcoes. O

resultado da analise realizada em 2D para o concreto com inclusao de 16,3% e dado pelo

tensor abaixo. Para tanto, utilizou-se uma malha de elementos finitos com 9184 elementos

e 18513 nos, semelhante a da Figura 5.10.

Dh =

98.2668 29.1775 0.0000

29.1775 98.26684 0.0000

−0.0000 0.0000 33.9271

(5.3)

Para a analise em 3D, utilizando uma malha equivalente a da Figura 5.11, con-

siderando a inclusao de 16,3%, o resultado obtido com um VER que possuıa 3613 nos e

20981 elementos foi:

Dh =

102.0582 24.8752 24.8773 0.0024 0.0001 0.0000

24.8752 102.0632 24.8780 0.0002 0.0005 0.0028

24.8773 24.8773 102.0658 −0.0005 0.0024 0.0024

0.0024 0.0002 −0.0005 37.7325 0.0018 −0.0013

−0.0001 0.0005 −0.0015 0.0018 37.7327 −0.0013

0.0000 0.0028 0.0014 −0.0013 −0.0013 37.7326

(5.4)

Os tensores obtidos para a inclusao de 36,9% apresentam o mesmo aspecto e os

valores calculados para o modulo de Elasticidade sao apresentados na proxima secao 5.5,

na Tabela 5.1.

Em uma analise numerica realizada utilizando a malha de inclusao cubica da

Figura 5.12 e o programa HEA3D, tracou-se um grafico que mostra a convergencia do

resultado do modulo de elasticidade homogeneizado de acordo com o grau de refinamento


da malha, foram geradas malhas com 5 graus de refinamento distintos e plotou-se os

resultados de acordo com o grafico a seguir, Figura 5.13 e 5.14:

Figura 5.13: Grafico da convergencia do resultado de Eh de acordo com o grau de refina-mento da malha.

onde a Figura 5.14, em maior destaque, mostra que o resultado ainda nao atingiu a

estabilidade e pode ser melhorado atraves do refinamento da malha. Entretanto, devido

a limitacoes computacionais o resultado nao pode ser melhorado.

5.5 Resultados e Discussoes 64

Figura 5.14: Grafico da convergencia do resultado de Eh em maior destaque para repre-sentar que o valores de Eh podem ser mais otimizados.

5.5 Resultados e Discussoes

A Tabela 5.1 a seguir mostra a sıntese dos resultados analisados e obtidos neste

trabalho. Os resultados foram obtidos pelas analises descritas na secoes 4.4 e 4.2.

Tabela 5.1: Resultados das analises numericas e experimentais

Resultados 2D

(%) de inclusao Ed(GPa) Eh(GPa) Elementos Variacao (%)16,3 87,08 89,60 9184 2,8936,9 98,27 111,60 17952 13,50

Resultados 3D

(%) de inclusao Ed(GPa) Eh(GPa) Elementos Variacao (%)16,3 87,08 92,31 20981 6,0036,9 98,27 118.59 15992 20,68

onde a variacao foi calculada pela equacao 5.5:

V ariacao(%) =

(Eh− Ed

Ed

)· 100 (5.5)

Observa-se que para os casos analisados nao ha vantagem em se empregar a versao

5.5 Resultados e Discussoes 65

espacial do programa, uma vez que os resultados obtidos com o HEA2D aproximaram-se

mais dos valores experimentais. Isso se da pelo fato de que o modelo em 2D demanda um

menor grau de refinamento da malha de elementos finitos do que o modelo em 3D, para

que se tenha um bom resultado. A versao HEA3D, portanto, deve ser empregada para

casos em que a representacao do problema em estado plano nao seja possıvel — como em

compositos com geometrias e propriedades mais complexas do que as aqui adotadas.

Outro aspecto importante e que o valor calculado de Eh para o concreto com

16,3% de inclusao apresenta um diferenca relativamente pequena, o que indica uma otima

concordancia. Porem, para o concreto com 36,9% de inclusao a diferenca foi consideravel.

Este fato pode denotar a necessidade de se aprimorar o modelo da celula periodica. Outro

fato que pode ter gerado uma maior discrepancia foi que, para o concreto com maior

inclusao de agregados, a regiao de interface entre os dois materiais e maior, e uma vez que

a mesma nao foi discretizada na analise numerica, isso pode ter acarretado o aumento do

erro percentual. Segundo Mehta e Monteiro (2012), para o caso em que ha maior volume

de agregados, a zona de transicao da interface tem uma influencia significativa sobre o

comportamento mecanico deste material.

Observa-se que para os casos analisados nao ha vantagem em se empregar a versao

espacial do programa, uma vez que os resultados obtidos com o HEA2D aproximam-se

mais dos valores experimentais.

A versao HEA3D, portanto, deve ser empregada para casos em que a repre-

sentacao do problema em estado plano nao seja possıvel — como em compositos com

geometrias e propriedades mais complexas do que as aqui adotadas.

66

6 Consideracoes Finais

O concreto e um material composito de caracterısticas peculiares, o que acaba

demandando um estudo mais aprofundado sobre o seu comportamento, tanto em nıvel

macroestrutural como em nıvel microestrutural. Na modelagem de materiais deste tipo,

e fundamental a consideracao dos efeitos em uma microescala, para entao posteriormente

serem analisados os efeitos na macroescala.

Neste trabalho, a tecnica implementada em elementos finitos da HEA foi em-

pregada para estimar o modulo de elasticidade homogeneizado de dois concretos dis-

tintos e posterior comparacao com os resultados experimentais, realizados pelo metodo

ultrassonico. A comparacao entre os resultados numericos e experimentais mostrou uma

otima concordancia entre os resultados para o concreto com a porcentagem menor de

inclusao. Todavia, para o concreto com uma maior porcentagem de inclusao essa con-

cordancia nao foi boa, o que pode denotar uma necessidade de se aprimorar o modelo da

celula periodica considerando os efeitos da zona da interface entre o agregado graudo e a

argamassa.

Cabe ressaltar o carater preliminar das analises aqui apresentadas: — os re-

sultados obtidos, principalmente aqueles relativos ao concreto com 16,3% de agregados,

encorajam o desenvolvimento de novas aplicacoes, adotando-se modelos mais sofisticados

para representar o material. Alem disso, mostrou-se o ganho de resultados quando se

trabalha com malhas mais refinadas, o que confirma a eficiencia do programa Gmsh R© no

trabalho realizado da criacao de malhas.

Pretende-se realizar novos experimentos numericos empregando celulas trifasicas,

onde seja representada a zona de transicao da interface argamassa-agregados.

67

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