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  • APOSTILA DE CLCULO NUMRICO

    Professor: William Wagner Matos Lira Monitor: Ricardo Albuquerque Fernandes

  • 1 ERROS

    1.1 Introduo

    1.1.1 Modelagem e Resoluo A utilizao de simuladores numricos para determinao da soluo de um problema requer a execuo da seguinte seqncia de etapas: Etapa 1: Definir o problema real a ser resolvido Etapa 2: Observar fenmenos, levantar efeitos dominantes e fazer referncia a conhecimentos prvios fsicos e matemticos Etapa 3: Criar modelo matemtico Etapa 4: Resolver o problema matemtico Modelagem: Fase de obteno de um modelo matemtico que descreve um problema fsico em questo. Resoluo: Fase de obteno da soluo do modelo matemtico atravs da obteno da soluo analtica ou numrica.

  • 1.1.2 Clculo Numrico O clculo numrico compreende: A anlise dos processos que resolvem problemas matemticos por meio de operaes

    aritmticas; O desenvolvimento de uma seqncia de operaes aritmticas que levem s

    respostas numricas desejadas (Desenvolvimento de algoritmos); O uso de computadores para obteno das respostas numricas, o que implica em

    escrever o mtodo numrico como um programa de computador Espera-se, com isso, obter respostas confiveis para problemas matemticos. No entanto, no raro acontecer que os resultados obtidos estejam distantes do que se esperaria obter.

    1.1.3 Fontes de erros Suponha que voc est diante do seguinte problema: voc est em cima de um edifcio que no sabe a altura, mas precisa determin-la. Tudo que tem em mos uma bola de metal e um cronmetro. O que fazer? Conhecemos tambm a equao

    onde:

    s a posio final; s0 a posio inicial; v0 a velocidade inicial; t o tempo percorrido; g a acelerao gravitacional.

    A bolinha foi solta do topo do edifcio e marcou-se no cronmetro que ela levou 2 segundos para atingir o solo. Com isso podemos conclui a partir da equao acima que a altura do edifcio de 19,6 metros. Essa resposta confivel? Onde esto os erros? Erros de modelagem: Resistncia do ar, Velocidade do vento, Forma do objeto, etc. Estes erros esto associados, em geral, simplificao do modelo matemtico.

  • Erros de resoluo: Preciso dos dados de entrada (Ex. Preciso na leitura do cronmetro. p/ t = 2,3 segundos, h = 25,92 metros, gravidade); Forma como os dados so armazenados; Operaes numricas efetuadas; Erro de truncamento (troca de uma srie infinita por uma srie finita). 1.2 Representao numrica Motivao: Exemplo 1: Calcular a rea de uma circunferncia de raio 100 metros. a) 31140 m2 b) 31416 m2 c) 31415,92654 m2

    Exemplo 2: Calcular = 30001 ixS para 5.0=ix e para 11.0=ix

    S para 5.0=ix S para 11.0=ix Calculadora 15000 3300 Computador 15000 3299,99691

    Por que das diferenas? No caso do Exemplo 1 foram admitidos trs valores diferentes para o nmero : a) =3,14 b) =3,1416 c) =3,141592654 Dependncia da aproximao escolhida para . Aumentando-se o nmero de dgitos aumentamos a preciso. Nunca conseguiremos um valor exato. No caso do Exemplo 2 as diferenas podem ter ocorrido em funo da base utilizada, da forma como os nmeros so armazenados, ou em virtude dos erros cometidos nas operaes aritmticas. O conjunto dos nmeros representveis em qualquer mquina finito, e portanto, discreto, ou seja no possvel representar em uma mquina todos os nmeros de um dado intervalo [a,b]. A representao de um nmero depende da BASE escolhida e do nmero mximo de dgitos usados na sua representao.

  • Qual a base utilizada no nosso dia-a-dia? Base decimal (Utiliza-se os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Existem outras bases: 8 (base octal), 12, 60, porm, a base utilizada pela maioria dos computadores a base binria, onde se utiliza os algarismos 0 e 1. Os computadores recebem a informao numrica na base decimal, fazem a converso para sua base (a base binria) e fazem nova converso para exibir os resultados na base decimal para o usurio. Exemplos: (100110)2 = (38)10 (11001)2 = (25)10

    1.2.1 Representao de um nmero inteiro Em princpio, representao de um nmero inteiro no computador no apresenta qualquer dificuldade. Qualquer computador trabalha internamente com uma base fixa , onde um inteiro 2 ; e escolhido como uma potncia de 2. Assim dado um nmero inteiro 0x , ele possui uma nica representao,

    )...()...( 001

    11

    10121 dddddddddx nnnnnn ++++== onde id um dgito da base em questo, no caso de uma base binria 1=nd e 01,...,ddn so iguais a 1 ou 0 que so os dgitos da base binria. Exemplos: a) Como seria a representao do nmero 1100 numa base 2=

    01232 20202121)1100( +++=

    Portanto 22 )1100()1100( = . b) Como seria a representao do nmero 1997 em uma base 10= ?

    0123 1071091091011997 +++= Logo, 1997 = 10)1997( .

  • 1.2.2 Representao de um nmero real Se o nmero real x tem parte inteira ix , sua parte fracionria xf = x - xi pode ser escrita como uma soma de fraes binrias:

    )...()...( )1(12

    21

    10121n

    nn

    nnnf ddbbbbbbbx ++++==

    Assim o nmero real ser representado juntando as partes inteiras e fracionrias, ou seja,

    onde, x possui n+1 algarismos na parte inteira e m+1 algarismos na parte fracionria. Exemplo: a) Como seria a representao do nmero 39,28 em uma base decimal?

    )108102()109103()28,39( 210110 +++=

    1010 )28,39()28,39( =

    b) Como seria a representao do nmero 210 (?))375,14( = em uma base binria?

    210 )011,1110()375,14( =

    Precisamos saber fazer a converso de bases que o tpico seguinte.

    1.3 Converso entre as bases Conforme dito anteriormente, a maioria dos computadores trabalha na base , onde um inteiro 2 ; normalmente escolhido como uma potncia de 2. 1.3.1 Binria para Decimal Exemplos: a) 10

    01232 )13(104821202121)1101( =+++=+++=

    b) 1001234

    2 )25(1008162120202121)11001( =++++=++++= 1.3.2 Decimal para Binria Na converso de um nmero escrito em base decimal para uma base binria so utilizados: o mtodo das divises sucessivas para a parte inteira e o mtodo das multiplicaes sucessivas para converso da parte fracionria do nmero em questo.

  • - Mtodo das divises sucessivas (parte inteira do nmero) a) Divide-se o nmero (inteiro) por 2; b) Divide-se por 2, o quociente da diviso anterior; c) Repete-se o processo at o ltimo quociente ser igual a 1. O nmero binrio ento formado pela concatenao do ltimo quociente com os restos das divises, lidos em sentido inverso. - Mtodo das multiplicaes sucessivas (parte fracionria do nmero) a) Multiplica-se o nmero (fracionrio) por 2; b) Do resultado, a parte inteira ser o primeiro dgito do nmero na base binria e a parte fracionria novamente multiplicada por 2; c) O processo repetido at que a parte fracionria do ltimo produto seja igual a zero Exemplos: a) 210 (?))13( =

    Quociente Resto 13/2 6 1 6/2 3 0 3/2 1 1

    Resultado: 210 )1101()13( = b) 210 (?))25( =

    Quociente Resto 25/2 12 1 12/2 6 0 6/2 3 0 3/2 1 1

    Resultado: 210 )11001()25( = c) 210 (?))375,0( =

    0,375x 2

    0,750

    0,750x 2

    1,500

    0,500x 2

    1,000(0,375)10=(0,011)2

  • c) 210 (?))25,13( = Converte-se inicialmente a parte inteira do nmero:

    Quociente Resto 13/2 6 1 7/2 3 0 3/2 1 1

    ... em seguida converte-se a parte fracionria:

    210 )01,0()25,0( =

    Resultado: 210 )01,1101()25,13( = Ateno: Nem todo nmero real na base decimal possui uma representao finita na base binria. Tente fazer a converso de 10)1,0( . Esta situao ilustra bem o caso de erro de arredondamento nos dados.

    1.3.3 Exerccios Propostos Faa as converses indicadas abaixo: a) 102 (?))100110( = b) 102 (?))1100101( = c) 210 (?))28,40( = d) 102 (?))01,110( = e) 210 (?))8,3( =

    1.4 Arrredondamento e aritmtica de ponto flutuante Um nmero representado, internamente, num computador ou mquina de calcular atravs de uma seqncia de impulsos eltricos que indicam dois estados: 0 ou 1, ou seja, os nmeros so representados na base binria.

    0,25 0,50 x 2 x 2

    0,50 1,0

  • De uma maneira geral, um nmero x representado na base por:

    ettddddx ....3

    3221

    ++++=

    onde: id - so nmeros inteiros contidos no intervalo tidi ,..,2,1;10 = ;

    e - representa o expoente de e assume valores entre SeI onde SI , - so, respectivamente, limite inferior e superior para a variao do expoente;

    ++++ ttdddd ...3

    3221 a chamada mantissa e a parte do nmero que representa

    seus dgitos significativos e t o nmero de dgitos significativos do sistema de representao, comumente chamado de preciso da mquina. Um nmero real x no sistema de aritmtica de ponto flutuante pode ser escrito tambm na forma:

    etddddx )....,0( 321=

    com 01 d , pois o primeiro algarismo significativo de x. Exemplos: a) Escrever os nmeros reais 35.01 =x , 172.52 =x , 0123.02 =x , 0003.04 =x , e 3.53915 =x onde esto todos na base 10= em notao de um sistema de aritmtica de ponto flutuante. Soluo: 0021 1035.010)105103(35.0 =+= x

    114321 105172.010)102107101105(172.5 =+++= 11321 10123.010)103102101(0123.0 =++=

    4454321 1053913.010)103101109103105(3.5391 =++++= 331 103.010)103(0003.0 ==

    b) Considerando agora que estamos diante de uma mquina que utilize apenas trs dgitos significativos e que tenha como limite inferior e superior para o expoente, respectivamente, -2 e 2, como seriam representados nesta mquina os nmeros do exemplo a)? Soluo: Temos ento para esta mquina 3=t , 2=I e 2=S . Desta forma

    22 e . Sendo assim temos:

  • 010350.035.0 =

    110517.0172.5 = 110123.00123.0 =

    41053913.03.5391 = No pode ser