calc numerico erros ufcg

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  • Atelier de Computao e Cultura da UFCG Marcelo Alves de Barros, Bruno C. N. Queiroz, J. Anto B. Moura

    Jos Eustquio R. de Queiroz, Ulrich Schiel, Marcus Salerno

    Clculo Numrico

    Erros Em Clculo Numrico

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Absoluto

    Relativo

    Quanto menor for o erro, mais preciso

    ser o resultado da operao

    Truncamento

    Arredondamento

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Erro Absoluto = Valor Exato Valor Aproximado

    EAx = x

    Erro Relativo = Erro Absoluto / Valor Aproximado

    ERx = (x ) /

    Obs.: Erro Porcentualx = ERx x 100

    x

    xx

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Em geral, no possvel obter EAx, pois no se conhece x.

    A soluo obter um limitante superior ou uma

    estimativa do erro absoluto. |EAx| = |x - | < limitante superior

    EX. 01: Para (3.14 ,3.15)

    |EA | = | | < 0.01

    x

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Ex. 04: Para = 2112,9 com |EAx| < 0.1

    temos x (2112,8, 2113),

    Para = 5.3 com |EAx| < 0.1

    temos y (5.2,5.4)

    Temos mesmos limitantes superiores. Pode-se

    afirmar que x e y so representados com a mesma

    preciso?

    preciso comparar a ordem de grandeza de x e y.

    x

    y

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Dependendo da ordem de grandeza o erro

    absoluto no suficiente para descrever a

    preciso de um clculo.

    Erro Relativo

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Ainda, no Ex. 04:

    Para = 2112,9 com |EAx| < 0.1

    |ERx| = |x - | / | | = 0.1/2112.9 4.7 x 10-5

    Para = 5.3 com |EAx| < 0.1

    |ERy| = |y - | / | | = 0.1/5.3 0.02

    Mostramos que X representado com maior preciso que y

    x

    y

    yy

    xx

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Ex. 05: Seja: calcular em uma mquina digital

    No existe uma forma de representar um nmero

    irrracional com um nmero finito de algarismos.

    Portanto, o nmero apresentado pela

    calculadora uma aproximao do valor real de

    = 1,4142136 (ao invs de 1,41421356....). O erro

    introduzido chamado erro de arredondamento

    2

    2

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Ex. 06: Seja: calcular o valor de .

    Sabemos que a exponencial uma funo que

    pode ser representada por uma srie infinita,

    .....4!

    x

    3!

    x

    2!

    xx1e

    432x

    xe

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    na prtica, impossvel calcular seu valor

    exato. Tem que se fazer uma aproximao, que

    levar a um erro no resultado final de ex. O erro

    introduzido chamado erro de truncamento.

    .....4!

    x

    3!

    x

    2!

    xx1e

    432x

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dgitos, na base 10.

    Erro de truncamento (e=dgitos inteiros):

    e

    Erro de arredondamento:

    e

    te

    x 10EA 1t

    x 10ER

    1t

    x 102

    1ER

    te

    x 102

    1EA

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Demonstrao: Erros de Arredondamento e de truncamento

    Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dgitos, na base 10,

    Seja: x = fx x10e + gx x10

    e-t onde 0.1fx 1 e 0.1gx1

    Ex.:Para t = 4 e x = 234.57, ento

    x = 0.2345 x 103 + 0.7 x 10-1,

    temos fx = 0.2345 e gx = 0.7

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    No truncamento gx x10e-t desprezado e

    Temos:

    visto que gx

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    No arredondamento tipo simtrico (forma mais utilizada):

    se, (gx desprezado)

    se, (soma 1 ao ltimo dgito de fx)

    tee

    x

    e

    x

    1010f

    10f

    x

    2

    1g x

    2

    1g x

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Se , teremos

    2

    1g x

    1t

    e

    te

    e

    x

    te

    xx

    x 102

    1

    100.1

    105.0

    10f

    10gEAER

    x

    tete

    xx 102

    110gxxEA

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Erros Arredondamento

    Se

    e

    2

    1g x

    teextexexx 1010f10g10fxxEA

    1t

    e

    te

    e

    te

    e

    x

    tex

    x 102

    1

    101.0

    102/1

    10fx

    102/1

    1010f

    102/1

    x

    EAER

    te

    tetetexx 102

    1te101gx1010gEA

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Cenrio: sistema de aritmtica de ponto flutuante

    de 4 dgitos, preciso dupla.

    Ex. 07: Seja x = 0.937 x 104 e y = 0.1272 x 102 .

    Calcular x + y.

    Geralmente, o resultado exato de uma operao (OP) normalizado e arredondado ou truncado para t dgitos - (OP)

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Alinhar os pontos decimais antes da soma (A

    adio aritmtica de PF requer o alinhamento dos

    pontos decimais dos dois nmeros)

    x = 0.937 x 104 e y = 0.001272 x 104,

    x+y = 0.938272 x 104

    Resultado com 4 dgitos

    Arredondamento : (X+Y)a = 0.9383 x 104

    Truncamento: (X+Y)a = 0.9382 x 104

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Arredondamento : (X.Y)a = 0.1192 x106

    Truncamento: (X.Y)a = 0.1191 x106

    Mesmo que as parcelas ou fatores de uma operao

    possam ser representados exatamente no sistema, no

    se pode esperar que o resultado armazenado seja

    exato. No exemplo, x e y tinham representao exata,

    mas o resultado x+y teve representao aproximada

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Propagao

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Ex. 08: Seja: calcular o valor de - e3

    (erro de arredondamento)

    e3 (erro de truncamento)

    Os erros nos valores de e e3

    se propagam para o resultado de - e3

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Ao se resolver um problema numericamente, a cada etapa e

    a cada operao realizada, devem surgir diferentes tipos de

    erros gerados das mais variadas maneiras, e estes erros se

    propagam e determinam o erro no resultado final obtido.

    Conhecer os efeitos da propagao de erros muito

    importante pois, alm de determinar o erro final de uma

    operao numrica, pode-se conhecer a sensibilidade de

    um determinado problema ou mtodo numrico.

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Ex.09: Dados a = 50 3 e b = 21 1 ,

    Calcular: a + b, a b e a x b

    a pode variar de 47 a 53

    b pode variar de 20 a 22.

    O menor valor da soma seria 47 + 20 = 67 e o maior valor seria 53 + 22 = 75.

    Logo, a + b = (50 + 21) 4 = 71 4, variando de 67 a 75.

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Ex.09: Dados a = 50 3 e b = 21 1 ,

    a pode variar de 47 a 53

    b pode variar de 20 a 22.

    O menor valor da subtrao seria 47 22 = 25 e o

    maior valor da subtrao seria 53 20 = 33. Logo, a b = (50 21) 4 = 29 4 , variando de 25 a 33.

    Observe que na subtrao, os erros absolutos se somam, pois

    sempre se admite o pior caso; nunca se subtraem erros, contando

    com a sorte; prev-se, sempre, o caso mais desfavorvel

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Ex.09: Dados a = 50 3 e b = 21 1 ,

    a pode variar de 47 a 53

    b pode variar de 20 a 22.

    O menor valor do produto seria 47 x 20 = 940 e o maior valor do produto seria 53 x 22 = 1166.

    Logo, a x b = (50 3) x (21 1) 1050 (3 x 21 + 50 x 1) 1050 113. Despreza-se o produto 3 x 1, por ser muito pequeno diante de (3 x 21 + 50 x 1 ) = 113. Assim, o produto ficaria entre 937 e 1163,

    ligeiramente diferente do verdadeiro intervalo, exatamente pelo abandono do produto 1 x 3, considerado desprezvel

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Anlise de Erros nas Operaes Aritmticas de

    Ponto Flutuante

    O erro total em uma operao aritmtica

    composto pelo erro das parcelas ou fatores e

    pelo erro no resultado da operao.

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Operaes Aritmticas em PF Erros Absolutos

    yxyx EAEAyxEAyEAxyx

    yyx EAEAyxEAyEAxyx x

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Operaes Aritmticas em PF Erros Absolutos

    yxyxyx EAx.EAEAxEA.yy.xEAy.EAxy.x

    yxyx EAxEA.yy.xEAy.EAxy.x

    muito pequeno

  • Clculo Numrico

    Estudo de Erros

    Operaes Aritmticas em PF Erros Absolutos

    y

    EA1

    1.

    y

    EAx

    EAy

    EAx

    y

    x

    y

    x

    y

    x

    2

    yx

    2

    x

    y

    EAyEA.y

    y

    EAyx

    y

    EA

    y

    x

    y

    x

    .