Monique Nascimento dos Santos

Placas Espessas de Concreto Armado: Modelo computacional para anteprojetos e avaliação de projetos de estruturas de fundações de geradores eólicos

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Raul Rosas e Silva Coorientador: Prof. Glauco José de Oliveira Rodrigues

Rio de Janeiro Março de 2017

Monique Nascimento dos Santos

Placas Espessas de Concreto Armado: Modelo computacional para anteprojetos e avaliação de projetos de estruturas de fundações de geradores eólicos

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Prof. Raul Rosas e Silva Orientador

Departamento de Engenharia Civil e Ambiental– PUC-Rio

Prof. Glauco José de Oliveira Rodrigues Co-Orientador

Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Prof. Júlio Jerônimo Holtz Silva Filho Departamento de Engenharia Civil e Ambiental– PUC-Rio

Prof. Paulo Batista Gonçalves Departamento de Engenharia Civil e Ambiental– PUC-Rio

Prof. Márcio da Silveira Carvalho Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 16 de março de 2017.

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou

parcial do trabalho sem autorização da universidade, da autora,

e do orientador.

Monique Nascimento dos Santos

Graduou-se em Engenharia Civil pela PUC-Rio (Pontifícia

Universidade Católica do Rio de Janeiro) em 2013. Trabalhou

na empresa Audax Engenharia em 2013. Ingressou no

mestrado da PUC-Rio em março de 2014, desenvolvendo

Dissertação na linha de pesquisa de Estruturas aplicada aos

estudos computacionais de placas espessas de concreto armado

para fundações de geradores eólicos.

Ficha Catalográfica

CDD: 624

Santos, Monique Nascimento dos

Placas espessas de concreto armado: modelo computacional para anteprojetos e avaliação de projetos de estruturas de fundações de geradores eólicos / Monique Nascimento dos Santos; orientador: Raul Rosas e Silva; coorientador: Glauco José de Oliveira Rodrigues. – Rio de Janeiro, PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2017.

175 f. :il. (color.) ; 30 cm

Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2017.

Inclui referências bibliográficas.

1. Engenharia civil – Teses. 2. Concreto. 3.Aerogeradores. 4. Geradores eólicos. 5. Placas espessas. 6. Dimensionamento de lajes de fundação. I. Silva, RaulRosas e, Rodrigues, Glauco José de Oliveira. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.

Dedico esta Dissertação aos meus pais

Valter e Mônica, às minhas avós Lenice (in

memoriam) e Cecília (in memoriam),

aos meus irmãos e ao meu esposo Roberto.

Agradecimentos

Seria impossível conseguir chegar até aqui sem a ajuda e colaboração de muitas

pessoas. O trabalho de uma dissertação transcorre um longo período e, se não

temos o apoio das pessoas certas ao nosso lado, acabamos nos desmotivando,

podendo chegar até a desistir antes de conseguir concluir esta etapa. Por isso,

gostaria de agradecer imensamente a todos que contribuíram, direta ou

indiretamente, para a realização deste trabalho.

Primeiramente, agradeço a Deus, pela vida, força e superação dos obstáculos de

cada dia. Sua presença firme nos momentos bons e ruins, orientando-me segundo

à sua vontade, ajudou-me a vencer mais esta etapa em minha vida.

Aos meus pais, Valter e Mônica, agradeço por terem me gerado e dedicado suas

vidas a mim. Tudo que sou e serei devo a vocês que me desejaram e me

acolheram com amor, carinho e confiança. Aos meus irmãos, pela amizade,

companheirismo e amor.

À minha avó materna Lenice (in memoriam), pela qual fui educada dia após dia.

Ela me ensinou a amar, a ir em busca dos meus objetivos e a lutar pelo que eu

quero. Agradeço pelo imenso amor que sempre teve por mim.

Ao Roberto, meu esposo e grande amor da minha vida. Sua paciência e incentivo

me fortaleceram nos momentos difíceis e me fizeram superar meus próprios

limites.

Aos familiares e amigos, próximos e distantes, que mesmo de forma indireta,

auxiliaram na conclusão deste trabalho.

Ao meu orientador e professor Raul Rosas e Silva, por me orientar a buscar fazer

o melhor em meu trabalho, por todo o conhecimento transmitido e por me

incentivar e motivar a chegar até aqui. Agradeço imensamente por estar sempre

disposto a fazer reuniões, tirar dúvidas, dar sugestões para engrandecer a minha

pesquisa e, principalmente, por compreender as minhas dificuldades. Muito

obrigada!

Ao meu coorientador Glauco Rodrigues pela proposição do tema adotado nesta

dissertação, o qual me permitiu realizar novas descobertas, vivenciar novos

desafios e aprofundar meus conhecimentos na área estrutural.

Ao meu eterno chefe Rodrigo Figueiredo, que me ensinou realmente o que é a

engenharia na prática do dia-a-dia. Agradeço pela paciência em transmitir seus

conhecimentos, pela disponibilidade em querer sempre ajudar e pela autorização

em utilizar os programas da empresa Audax na composição dessa dissertação.

A todos os professores da graduação e pós-graduação da Engenharia Civil da

PUC-Rio pelas aulas lecionadas e pelos conhecimentos e experiências

transmitidas durante toda a minha formação.

Ao CNPq e à PUC-Rio, pelo apoio financeiro através dos auxílios concedidos

para a realização deste trabalho, sem os quais este trabalho não poderia ter sido

realizado.

Resumo

Santos, Monique Nascimento dos; Silva, Raul Rosas; Rodrigues, Glauco

José de Oliveira. Placas Espessas de Concreto Armado: Modelo

computacional para anteprojetos e avaliação de projetos de estruturas

de fundações de geradores eólicos. Rio de Janeiro, 2017. 175 p.

Dissertação de Mestrado ̶ Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia

Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Nos últimos anos, o considerável crescimento da demanda por outras fontes

de energia justifica os investimentos realizados na construção de parques eólicos,

pois a energia eólica tem se mostrado como a que traz o menor impacto ao meio

ambiente. A energia eólica é gerada a partir da ação do vento, uma fonte de

energia renovável, totalmente limpa e inesgotável. As torres eólicas são

construídas em grandes parques com uma distância definida entre elas. Quanto

mais altas são as torres eólicas, melhor é o desempenho delas, visto que temos o

aproveitamento máximo do vento, sendo mais forte e menos turbulento em

grandes alturas. Os materiais utilizados na fabricação das torres eólicas são

basicamente o aço, o concreto armado e o concreto protendido. As torres na

maioria dos casos, têm seção circular ou anular. No entanto, devemos atentar de

maneira especial para a fundação da torre eólica, que deverá ser dimensionada e

detalhada a fim de garantir a integridade da estrutura como um todo. Neste

contexto, este trabalho tem como objetivo apresentar os cálculos necessários para

projetos preliminares e a verificação do dimensionamento da estrutura de

fundação de geradores eólicos. Anteprojetos e projetos estruturais foram revisados

e avaliados para a obtenção de um maior conhecimento sobre o funcionamento de

tais elementos estruturais. Uma planilha foi criada a partir do programa Excel, na

qual se efetuam os cálculos da respectiva fundação por meio de soluções

analíticas. Para efeitos de comprovação da veracidade da planilha, alguns

exemplos serão apresentados e calculados a partir da planilha criada, assim como

verificados e comparados com a mesma através da modelagem da fundação em

questão em programa de análise em elementos finitos. Aspectos de estabilidade e

dinâmica de placas circulares também são discutidos.

Palavras-chave

Energia eólica; fundação; anteprojeto; soluções analíticas; elementos finitos;

estabilidade; vibrações; método de Rayleigh-Ritz; teoria de placas espessas.

Abstract

Santos, Monique Nascimento dos; Silva, Raul Rosas (Advisor); Rodrigues,

Glauco José de Oliveira (Co-advisor). Thick Reinforced Concrete Plates:

Computational model for preliminary design and design evaluation of

wind turbine foundations. Rio de Janeiro, 2017. 175 p. Dissertação de

Mestrado ̶ Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro.

In recent years, considerable growth in demand for alternative energy

sources justifies the investments made in the construction of wind farms, since

wind energy appears to bring the least impact on the environment. Wind energy is

generated from wind action, a source of renewable energy, totally clean and

inexhaustible. Wind towers are built in huge parks with a defined distance

between them. The higher the wind towers are, the better their performance, since

we have the maximum use of the wind which is stronger and less turbulent at

great heights. The materials used in the manufacture of wind towers are basically

steel, reinforced concrete and prestressed concrete. The towers are usuallyin most

cases, with circular or annular section. However, we should pay attention in a

special way on the foundation of the wind tower, which should be designed and

detailed to ensure the integrity of the structure as a whole. In this context, this

dissertation aims to present the calculations required for the preliminary design or

design verification of the foundation of wind turbines. Preliminary design and

design evaluations were reviewed and evaluated to obtain a better understanding

of the functioning of such structural elements. A spreadsheet was created using

the Excel program, which performs the calculations of its foundation through

analytical solutions. For the purpose of proving the accuracy of the worksheet

results, some examples are presented and calculated from the created spreadsheet,

and checked and compared to results obtained from an independent finite element

analysis program. Stability and dynamics aspects of circular plates are also

discussed.

Keywords

Wind energy; foundation; preliminary design; analytical solutions; finite

elements; stability; vibrations; Rayleigh-Ritz method; thick plate theory.

Sumário

1 Introdução ......................................................................................... 23

1.1 Considerações Iniciais 23

1.2 Relevância da Pesquisa 24

1.3 Objetivos 24

1.4 Estrutura da Pesquisa 25

2 Revisão bibliográfica ......................................................................... 26

2.1 Energia eólica no Brasil e no mundo 26

2.1.1 Energias renováveis ........................................................... 26

2.1.2 Energia eólica no mundo .................................................... 28

2.1.3 Energia eólica no Brasil ...................................................... 31

2.2 Turbinas eólicas e suas ações 33

2.2.1 Histórico das turbinas eólicas e aspectos gerais ................ 33

2.2.2 Composição de um sistema eólico ..................................... 36

2.2.3 Tipos de Torres ................................................................... 39

2.2.4 Tipos de aerogeradores ...................................................... 40

2.2.5 Fundações superficiais e profundas ................................... 41

2.3 Acidentes com torres eólicas devido a problemas de fundação 45

2.4 Benefícios e impactos socioambientais das usinas eólicas 46

3 Fundações das torres eólicas: estudo da teoria de placas e soluções analíticas para placas circulares ............................................... 50

3.1 Teoria de Placas 50

3.1.1 Breve histórico sobre placas ............................................... 50

3.1.2 Definição de placas e considerações iniciais ...................... 53

3.1.3 Placas finas......................................................................... 55

3.1.4 Placas espessas ................................................................. 57

3.1.5 Desenvolvimento da teoria para placas circulares .............. 58

3.2 Implementação de soluções analíticas para placas circulares finas 65

3.3 Implementação de soluções analíticas para placas circulares espessas 70

3.4 Variação de espessura linear da placa 76

3.5 Exemplos de validação e aplicação utilizando o software Robot Structural Analysis Professional 76

3.5.1 Etapas de modelagem da estrutura .................................... 77

3.5.2 Análise Estática .................................................................. 82

3.5.3 Análise de Vibrações .......................................................... 92

3.5.4 Análise de Instabilidade ...................................................... 94

4 Dimensionamento das fundações dos aerogeradores ...................... 96

4.1 Aspectos do Dimensionamento de Placas Circulares de Concreto Armado (Lajes) 96

4.2 Efeitos a considerar 97

4.2.1 Estudo de impacto ambiental .............................................. 97

4.2.2 Fundação direta ou indireta ................................................ 97

4.2.3 Variação de espessura ....................................................... 97

4.2.4 Disposição de armadura ..................................................... 98

4.3 Estudo de caso: Memória de Cálculo das Bases das Torres da Central Geradora Eólica União dos Ventos 99

4.3.1 Resumo do relatório de cálculo........................................... 99

4.3.2 Modelagem do estudo de caso no Robot Structural para efeitos de comparação ............................................................ 110

4.4 Implementação de planilha em programa computacional para dimensionamento de fundações de placas circulares com espessura variável 114

4.4.1 Formulação baseada na NBR 6118:2014 ......................... 115

4.4.2 Apresentação da planilha sobre fundação em placa circular com espessura variável ...................................................... 127

5 Conclusões e sugestões para trabalhos futuros ............................. 136

5.1 Conclusões 136

5.2 Sugestões para trabalhos futuros 137

6 Referências bibliográficas ............................................................... 139

A. Anexo A – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento distribuído e engastada. .................................................. 146

B. Anexo B – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento pontual e engastada ........................................................ 150

C. Anexo C – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento distribuído e apoiada ....................................................... 154

D. Anexo D – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento pontual e apoiada ............................................................ 158

E. Anexo E – Modelagem de placa circular de espessura variável, carregamento distribuído e apoiada. ...................................................... 162

F. Anexo F – Modelagem de placa circular de espessura variável, carregamento pontual e apoiada ............................................................ 166

G. Anexo G – Análise de vibrações e instabilidade ............................. 170

Lista de figuras

Figura 2.1 – Fontes naturais de energia renovável

(PORTAL ENERGIA). 27

Figura 2.2 – Processo de transformação das fontes de energia

(PORTAL ENERGIA). 27

Figura 2.3 – Capacidade eólica instalada acumulada entre 1996 e

2013. (GLOBAL WIND STATISTCS, 2013). 30

Figura 2.4 – Capacidade eólica instalada entre 1996 e 2013.

(GLOBAL WIND STATISTCS, 2013). 30

Figura 2.5 – Potencial eólico instalado no mundo em unidades de

milhares (GWEC, 2015). 31

Figura 2.6 – Potencial eólico do Brasil por região (ANEEL, 2005). 32

Figura 2.7 – Moinho de vento do tipo holândes (CLÍMACO, 2009). 33

Figura 2.8 – Turbina eólica de Charles Francis Brush em 1888

gerava 12 kW (RIGHTER, 1996). 35

Figura 2.9 – Composição da turbina de eixo horizontal (CBEE, 2000). 38

Figura 2.10 – Exemplos de turbina pequena, média e grande (da

esquerda para a direita) (CBEE). 39

Figura 2.11 – Aerogerador de eixo horizontal. (ENGENHARIA

PORTUGAL, 2011). 40

Figura 2.12 – Aerogerador de eixo vertical (SAS ENERGIA). 40

Figura 2.13 – Exemplo de seção típica de fundação circular para

aerogeradores eólicos (RODRIGUES, 2015). 41

Figura 2.14 – Base circular dos aerogeradores do parque 3 do

Complexo Eólico Cerro Chato, RS (MASSA CINZENTA, 2011). 42

Figura 2.15 – Fundação em sapata para uma torre de aço e uma torre

pré-fabricada de concreto (adaptado de HAU, 2006). 43

Figura 2.16 – Bloco de fundação (VIEIRA & JUNIOR, 2015). 44

Figura 2.17 – Acidentes com torres eólicas (MILITITSKY, 2014) 45

Figura 2.18 – Atividade agropecuária em parques eólicos

(NREL, 2001). 46

Figura 2.19 – Nível de ruído para diferentes turbinas eólicas disponíveis

em 1995 (DEWI, 1996). 47

Figura 2.20 – Parque eólico (ROSSI & OLIVEIRA, 2015). 48

Figura 2.21 – Estimativa de mortes de pássaros nos Países Baixos

(BOURILLON, 1999). 49

Figura 3.1 – Plano médio da placa. 53

Figura 3.2 − Carregamento pontual (esquerda) e carregamento

distribuído (direita), ambos os casos para placa circular. 54

Figura 3.3 – Sistema de coordenadas. 55

Figura 3.4 – Parte de uma placa espessa com superfície média

representada. 58

Figura 3.5 – Características geométricas para uma seção de placa

circular de espessura variável. 58

Figura 3.6 – Representação do estado de tensões em um elemento

infinitesimal da placa (SALAS, 2015). 60

Figura 3.7 – Representação dos momentos e cortantes em um

elemento infinitesimal da placa (SALAS, 2015). 62

Figura 3.8 – Graus de liberdade da placa circular (SALAS, 2015). 66

Figura 3.9 – Graus de liberdade da placa circular (SALAS, 2015). 71

Figura 3.10 – Relação entre coordenadas globais e coordenadas

normalizadas (SALAS, 2015). 72

Figura 3.11 – Definição do contorno da placa (esquerda) e

atribuição da espessura da placa (direita). 77

Figura 3.12 – Tipos de cargas – definição. 78

Figura 3.13 – Definição da carga pontual Pz. 78

Figura 3.14 – Definição da sobrecarga qz. 79

Figura 3.15 – Definição dos apoios dos bordos da placa –

engastada (esquerda) e simplesmente apoiada (direita). 79

Figura 3.16 – Geração da malha de elementos finitos 80

Figura 3.17 – Verificação da estrutura – análise de erros de

modelagem. 81

Figura 3.18 – Cálculo da estrutura e geração dos resultados. 81

Figura 3.19 – Escolha da apresentação dos resultados. 82

Figura 3.20 – Tabela retirada do livro de Timoshenko (1959) com os

coeficientes utilizados no cálculo dos deslocamentos e momentos

para uma placa simplesmente apoiada sujeita a carregamento

distribuído. 89

Figura 3.21 – Tabela retirada do livro de Timoshenko (1959) com os

coeficientes utilizados no cálculo dos deslocamentos e momentos

para uma placa simplesmente apoiada sujeita a carga pontual no

centro. 90

Figura 3.22 – Modos de vibração de Silva (2014) (à esquerda) e

do Autor (à direita). 93

Figura 4.1 – Tensão admissível do terreno

(FABRÍCIO e ROSSIGNOLO, 2001). 96

Figura 4.2 – Transferência de cargas para a base (fonte:

www.ebah.com.br/content/ABAAAfUzQAG/sapatas-concreto-armado). 98

Figura 4.3 – Vista do aerogerador GE 1.6-100 NAMTS

(LIMA et al., 2012). 99

Figura 4.4 – Sistema de coordenadas global (LIMA et al., 2012). 100

Figura 4.5 – Vista superior em centímetros (LIMA et al., 2012). 101

Figura 4.6 – Elevação em centímetros (corte dividindo a geometria

em 2 metades iguais) (LIMA et al., 2012). 101

Figura 4.7 – Locação das estacas em centímetros (LIMA et al., 2012). 102

Figura 4.8 – Faixas de influência e seção de cálculo

(LIMA et al., 2012). 104

Figura 4.9 – Superfícies críticas (LIMA et al., 2012). 107

Figura 4.10 – Geometria da placa. 110

Figura 4.11 – Divisão da placa em três regiões de espessuras

distintas: região interna (3,0 m), região central (1,6 m) e região

externa (1,4 m). 111

Figura 4.12 – Placa apoiada sobre estacas: modelo adotado

(à esquerda) e visualização 3D (à direita). 111

Figura 4.13 – Cargas adotadas na modelagem da placa. 112

Figura 4.14 – Momentos adotados na modelagem da placa. 112

Figura 4.15 – Malha de elementos finitos. 113

Figura 4.16 – Máxima carga de compressão e tração nas estacas

calculadas pelo programa. 113

Figura 4.17 – Fundação em placa circular (fonte:

www.lmsp.ufc.br/arquivos/graduacao/fundacao/apostila/03.pdf) 114

Figura 4.18 – Altura mínima da placa. 117

Figura 4.19 – Seção de referência S1 para o cálculo do momento

fletor. 118

Figura 4.20 – Seção de referência S2 para o cálculo de verificação

do esforço cortante. 120

Figura 4.21 – Cálculo da tensão na seção de referência S2. 121

Figura 4.22 – Superfícies críticas C e C’. 123

Figura 4.23 – Fundação submetida a momento, forças vertical e

horizontal. 126

Figura 4.24 – Mensagem gerada pelo programa para entrada de

dados inválida. 129

Figura A.1 – Carregamento distribuído, visão superior. 146

Figura A.2 – Carregamento distribuído, visão 3D. 146

Figura A.3 – Mapeamento do momento radial. 147

Figura A.4 –Momento radial em r = 4,5m. 147

Figura A.5 – Mapeamento do momento circunferencial. 148

Figura A.6 – Momento circunferencial em r = 4,5m. 148

Figura A.7 – Mapeamento do deslocamento. 149

Figura A.8 – Deslocamento transversal (destaque em r = 4,5 m). 149

Figura B.1 – Carregamento pontual, visão superior. 150

Figura B.2 – Carregamento pontual, visão 3D. 150

Figura B.3 – Mapeamento do momento radial. 151

Figura B.4 –Momento radial em r = 4,5m. 151

Figura B.5 – Mapeamento do momento circunferencial. 152

Figura B.6 – Momento circunferencial em r = 4,5m. 152

Figura B.7 – Mapeamento do deslocamento. 153

Figura B.8 – Deslocamento transversal (destaque em r = 4,5 m). 153

Figura C.1 – Carregamento distribuído, visão superior. 154

Figura C.2 – Carregamento distribuído, visão 3D. 154

Figura C.3 – Mapeamento do momento radial. 155

Figura C.4 –Momento radial em r = 4,5m. 155

Figura C.5 – Mapeamento do momento circunferencial. 156

Figura C.6 – Momento circunferencial em r = 4,5m. 156

Figura C.7 – Mapeamento do deslocamento. 157

Figura C.8 – Deslocamento transversal (destaque em r = 4,5 m). 157

Figura D.1 – Carregamento pontual, visão superior. 158

Figura D.2 – Carregamento pontual, visão 3D. 158

Figura D.3 – Mapeamento do momento radial. 159

Figura D.4 –Momento radial em r = 4,5m. 159

Figura D.5 – Mapeamento do momento circunferencial. 160

Figura D.6 – Momento circunferencial em r = 4,5m. 160

Figura D.7 – Mapeamento do deslocamento. 161

Figura D.8 – Deslocamento transversal (destaque em r = 4,5 m). 161

Figura E.1 – Carregamento distribuído, visão superior. 162

Figura E.2 – Carregamento distribuído, visão 3D. 162

Figura E.3 – Mapeamento do momento radial. 163

Figura E.4 –Momento radial em r = 4,5m. 163

Figura E.5 – Mapeamento do momento circunferencial. 164

Figura E.6 – Momento circunferencial em r = 4,5m. 164

Figura E.7 – Mapeamento do deslocamento. 165

Figura E.8 – Deslocamento transversal no centro da placa. 165

Figura F.1 – Carregamento pontual, visão superior. 166

Figura F.2 – Carregamento pontual, visão 3D. 166

Figura F.3 – Mapeamento do momento radial. 167

Figura F.4 –Momento radial em r = 4,5m. 167

Figura F.5 – Mapeamento do momento circunferencial. 168

Figura F.6 – Momento circunferencial em r = 4,5m. 168

Figura F.7 – Mapeamento do deslocamento. 169

Figura F.8 – Deslocamento transversal no centro da placa. 169

Figura G.1 – Carregamento distribuído na direção da superfície da

placa, visão superior. 170

Figura G.2 – Carregamento distribuído na direção da superfície da

placa, visão 3D. 170

Figura G.3 – 1º modo de vibração da placa. 171

Figura G.4 – 2º modo de vibração da placa. 171

Figura G.5 – 3º modo de vibração da placa. 172

Figura G.6 – 4º modo de vibração da placa. 172

Figura G.7 – 5º modo de vibração da placa. 173

Figura G.8 – 6º modo de vibração da placa. 173

Figura G.9 – 7º modo de vibração da placa. 174

Figura G.10 – 8º modo de vibração da placa. 174

Figura G.11 – 9º modo de vibração da placa. 175

Figura G.12 – 10º modo de vibração da placa. 175

Lista de tabelas

Tabela 3.1 – Comparação dos resultados de deslocamento,

momento radial e momento circunferencial de uma placa circular

de espessura uniforme submetida a um carregamento distribuído

atuando no centro da placa. 84

Tabela 3.2 – Comparação dos resultados de deslocamento,

momento radial e momento circunferencial de uma placa circular

de espessura uniforme submetida a uma carga pontual atuando

no centro da placa. 87

Tabela 3.3 – Comparação dos resultados de deslocamento,

momento radial e momento circunferencial de uma placa circular

de espessura variável submetida a dois casos de carga: um

carregamento distribuído e uma carga pontual atuando no centro

da placa. 91

Tabela 3.4 – Frequência da placa. 94

Tabela 3.5 – Coeficientes críticos de flambagem. 94

Tabela 3.6 – Comparação das cargas críticas de flambagem. 95

Tabela 4.1 – Cargas máximas sem coeficiente de segurança. 100

Tabela 4.2 – Cargas máximas com coeficiente de segurança. 100

Tabela 4.3 – Cargas médias para a velocidade nominal de vento. 101

Tabela 4.4 – Cargas máximas calculadas de compressão e tração

nas estacas. 114

Tabela 4.5 – Tabela de tensões básicas admissíveis retirada da

NBR 6122:2010. 116

Tabela 4.6 – Comprimentos de ancoragem. 117

Tabela 4.7 – Valores de taxa mínima de armadura. 119

Tabela 4.8 – Coeficiente η1. 122

Tabela 4.9 – Dados de entrada. 128

Tabela 4.10 – Dimensionamento geométrico. 129

Tabela 4.11 – Dimensionamento à flexão. 131

Tabela 4.12 – Dimensionamento ao cisalhamento. 132

Tabela 4.13 – Punção. 134

Tabela 4.14 – Estabilidade. 134

Lista de abreviaturas

ABEEólica

ANEEL

AIE

Associação Brasileira de Energia Eólica

Agência Nacional de Energia Eólica

Associação Brasileira de Energia Eólica

CBEE Centro Brasileiro de Energia Eólica

Cepel Centro de Pesquisas de Energia Elétrica

DEWI Deutsches Windenergie-Institut (Instituto Alemão de

Energia Eólica)

EWEA European Wind Energy Association (Associação Européia

de Energia Eólica)

GE General Eletric

GWEC Global Wind Energy Council (Conselho Global de Energia

Eólica)

NBR Norma Brasileira

NREL

PUC-Rio

National Renewable Energy Laboratory

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

PUC-RS Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul

“Talvez não tenha conseguido fazer o

melhor, mas lutei para que o melhor

fosse feito.

Não sou o que deveria ser, mas graças

a Deus, não sou o que era antes”.

Martin Luther King.

1 Introdução

1.1 Considerações Iniciais

A utilização da energia eólica para geração de energia elétrica em diferentes

países mostra um avanço considerável deste tipo de energia nas últimas décadas.

O nome energia eólica está relacionado à capacidade de gerar energia através do

vento. Este tipo de energia é classificado como uma energia renovável, e esse é

uns dos pontos mais importantes no atual cenário mundial.

Dentre as inúmeras vantagens do uso da energia eólica podemos destacar

que é um tipo de energia totalmente limpa, não agredindo ao meio ambiente e não

contribuindo para o aquecimento global através da emissão de gases e poluentes; e

o vento é uma fonte natural de energia inesgotável, diferentemente das fontes de

energia não renováveis que cada vez mais estão se tornando escassas no mundo,

pois sua reposição na natureza é muito lenta em comparação com a velocidade em

que estão sendo utilizadas.

O melhor desempenho da energia eólica se dá em grandes alturas, onde

temos o aproveitamento máximo do vento por ser mais forte e menos turbulento

quanto maior for à altura (GAMA, 2015). A evolução das turbinas eólicas ao

longo dos anos fez-se necessário, chegando aos dias de hoje com a capacidade de

geração de energia de 8 MW. Com isso, o tamanho dos equipamentos que

compõem a turbina (rotor, nacele, torre) também aumentou.

Os materiais utilizados na fabricação das torres eólicas são basicamente o

aço, o concreto armado e o concreto protendido e a geometria da seção é circular

cheia ou vazada. Segundo Hau (2006), a utilização do concreto para torres com

altura superior a 80 metros tem se tornado favorável. Grünberg e Göhlmann

(2013) mostram que o uso de torres com mastro de concreto protendido e topo de

seção metálica (chamadas de torres híbridas) tem se tornado nos últimos anos uma

solução mais econômica para turbinas eólicas de grande capacidade de geração de

energia.

Introdução 24

No Brasil, a principal fonte de geração de energia elétrica é a partir da

energia hidrelétrica. Embora também seja um tipo de energia renovável, sua

capacidade se limita aos níveis dos reservatórios das usinas hidrelétricas. As

turbinas são movimentadas quando o volume de água está alto, mas este volume

depende exclusivamente do ciclo natural do meio ambiente, principalmente das

chuvas (RODRIGUES, 2015). O Brasil apresenta grande potencial eólico dentro

do território nacional com ventos favoráveis para ampliação dos parques eólicos.

Contudo, a energia eólica ainda é pouco difundida e quase não existem usinas

eólicas produtoras de energia elétrica. Esse tipo de energia é mais utilizado para

bombear água na irrigação.

1.2 Relevância da Pesquisa

Há diversos aspectos da engenharia estrutural ligados ao estudo do

comportamento e projeto de geradores eólicos. Entre estes, e necessário destacar

nesta pesquisa a importância do dimensionamento estrutural de fundações de

geradores eólicos, as quais são fundamentais para o suporte das imensas torres

eólicas produtoras de energia limpa e renovável, e que de um modo geral devem

ser minunciosamente calculadas e detalhadas para garantir a completa estabilidade

da estrutura como um todo. Desta forma, este trabalho traz uma contribuição aos

contratantes de projetos pela introdução de procedimentos simplificados para

anteprojetos e avaliação de projetos. Levanta ainda alguns pontos sobre análise de

placas circulares, que podem vir a ser de interesse em estudos futuros. Não

podemos esquecer a questão socioambiental que fica evidentemente marcada

quando substituímos uma forma de energia esgotável por uma fonte energia

renovável e menos poluente.

1.3 Objetivos

Este trabalho tem por objetivos (a) motivar e informar os pesquisadores para

a área de energia eólica; (b) estudar alguns aspectos de interesse na estabilidade e

dinâmica de placas; e (c) identificar os parâmetros necessários para o

conhecimento das fundações de torres eólicas e, a partir deste conhecimento,

desenvolver um estudo simplificado utilizando um método computacional de

Introdução 25

cálculo e pré-dimensionamento estrutural destas fundações, a fim de comparar

resultados e validar simplificações, levando em conta sua enorme importância

dentro do atual contexto socioambiental para os contratantes e avaliadores de

projetos e tomadores de decisão.

1.4 Estrutura da Pesquisa

A pesquisa está dividida em cinco capítulos, referências bibliográficas e

anexos.

O primeiro capítulo apresenta a introdução deste trabalho que se encontra

subdividido em considerações iniciais, a relevância da pesquisa, os objetivos deste

trabalho e a estrutura da pesquisa.

O segundo capítulo abrange a revisão das bibliografias importantes para a

composição deste trabalho, onde são vistos a energia eólica no Brasil e no mundo,

as turbinas eólicas e suas ações e os benefícios e impactos socioambientais das

usinas eólicas.

No terceiro capítulo um enfoque maior é dado às fundações das torres

eólicas. Buscando embasar teoricamente o problema, e justificá-lo dentro da linha

de pesquisa de Instabilidade e Dinâmica de Estruturas, do Programa de

Engenharia Civil da PUC-Rio, é realizado um estudo sobre a teoria de placas e

são mostradas implementações de soluções analíticas para placas finas e espessas.

Para finalizar são modelados exemplos de validação e aplicação para efeitos de

comparação, envolvendo inclusive comportamento de placas circulares em

vibração e compressão, aspectos que serão de interesse em futuros

desenvolvimentos.

Já no capítulo quatro é desenvolvido o dimensionamento de placas

circulares espessas baseado nas normas brasileiras. É realizada a criação de uma

planilha em Excel de dimensionamento estrutural de fundações de geradores

eólicos e um exemplo é modelado para comprovar os resultados da planilha.

As conclusões deste trabalho juntamente com as sugestões para trabalhos

futuros encontram-se no quinto capítulo. Em seguida, temos as referências

bibliográficas utilizadas na composição desta dissertação.

E por fim, os resultados obtidos na modelagem das estruturas encontram-se

nos anexos de A a G.

2 Revisão bibliográfica

2.1 Energia eólica no Brasil e no mundo

2.1.1 Energias renováveis

Podemos definir energia renovável como aquela proveniente de recursos

naturais que possuem a capacidade de se renovarem, ou seja, praticamente

inesgotáveis, pois estão em constante processo de regeneração. Essas fontes

naturais tornam-se importantes devido à enorme quantidade energética que

possuem e porque podem se regenerar através de meios naturais.

As principais fontes naturais de energia renovável, como podemos

observar na figura 2.1, são:

1) Rios: energia hídrica, através das usinas hidrelétricas que produzem

eletricidade utilizando a força da água para o acionamento das turbinas;

2) Vento: energia eólica, gerada através da captação da força do vento por

aerogeradores;

3) Sol: energia solar, pela transformação da luz obtida dos raios solares em

energia;

4) Calor interno da terra: energia geotérmica, que consiste no aproveitamento

do calor da Terra por meio de águas quentes e vapores, produzindo eletricidade e

calor;

5) e 6) Mares e oceanos: energia mareomotriz, obtida através do movimento

das marés, das ondas ou da diferença de temperatura entre os níveis da água do

mar;

7) Matéria orgânica: energia de biomassa, gerada a partir da decomposição de

resíduos orgânicos, tendo como combustível o gás metano.

Revisão Bibliográfica 27

Figura 2.1 – Fontes naturais de energia renovável (PORTAL ENERGIA).

Diferentemente das fontes de energia não renováveis (como petróleo, carvão

mineral, gás natural, urânio), as fontes de energia renovável, além da enorme

vantagem de serem inesgotáveis, são consideradas energias limpas, pois não

poluem nem desmatam a natureza e são fornecidas pela própria, de forma que não

há produção de gases e matérias tóxicos ou nocivos para o meio ambiente. Além

disso, existe a possibilidade de serem implantadas em qualquer lugar do mundo. O

processo de transformação de algumas energias renováveis e não-renováveis é

esquematizado na figura 2.2.

Figura 2.2 – Processo de transformação das fontes de energia (PORTAL ENERGIA).

Segundo dados obtidos pela Global Status Report (2010), em 2008, o

consumo mundial de energia proveniente de fontes renováveis foi de cerca de

Revisão Bibliográfica 28

19%, com 13% sendo energia de biomassa, que é usada principalmente para

aquecimento, e 3,2% desse total a partir da energia hidrelétrica. As energias

renováveis de biomassa, eólica, solar e geotérmica representaram 2,7%, com

crescimento rápido deste percentual. A proporção das energias renováveis

na geração de eletricidade é de cerca de 18%, sendo 15% vindo de hidrelétricas e

3% de novas energias renováveis.

A capacidade instalada das fontes alternativas, outro nome dado às fontes

renováveis, chega a 240 GW mundialmente, segundo estudo da Renewable

Energy Network for the 21th Century e World Watch Institute Alexandre

Canazio, da Agência Canal Energia, Negócios - 28/02/2008.

2.1.2

Energia eólica no mundo

Segundo relatório disponibilizado pela Agência Internacional de Energia

(AIE), dentre as novas usinas construídas no mundo em 2014, metade do total

construído é representado por usinas de energias renováveis. Isto demonstra uma

consolidação da indústria de energia renovável e de acordo com o World Energy

Outlook 2015 é possível que até 2030 esse tipo de energia alternativa sobreponha-

se ao uso de combustíveis fósseis.

Desde o início do século XX, o mundo sofre com a poluição do ar, a

exploração de seus recursos naturais e com o uso degradável do solo. O petróleo,

que é uma fonte de energia não renovável, foi extraído tão descontroladamente

que o esgotamento de seus poços já é uma realidade não tão distante. Atualmente,

o petróleo é a principal fonte de energia existente. Contudo, além de não ser

renovável, é um dos responsáveis pelo efeito estufa. Muitos países dependem

muito do petróleo como fonte energética, por exemplo, os Estados Unidos, e,

desta forma, é provável que ele ainda seja motivo de muitas guerras e conflitos

futuros entre os países. Para evitar tais conflitos e buscar novas soluções, muitos

países do mundo estão investindo alto em projetos que utilizam as fontes de

energia alternativa como a energia solar, a energia eólica, a energia geotérmica, a

energia das marés, o biodiesel, a energia obtida através do hidrogénio, o etanol e a

biomassa, pois contribuem menos para o aquecimento global e permitem que a

dependência sobre o petróleo seja minimizada.

Revisão Bibliográfica 29

Dentre as energias renováveis citadas podemos destacar a energia eólica.

Hoje em dia ela é gerada através da força do vento captada pelos aerogeradores

(grandes turbinas em formato de cata-vento) em locais abertos e com grande

ventilação, gerando energia elétrica por meio do movimento das turbinas.

Antigamente, a energia eólica era utilizada pelo homem em embarcações e

moinhos. Em comparação com outros tipos de energia podemos dizer que a

energia eólica ainda é pouco utilizada no mundo, mas não deixa de ser muito

importante como fonte de energia, pois é classificada como limpa, sem gerar

poluição ou qualquer tipo de agressão ao meio ambiente. Na Europa, o vento é a

fonte renovável de maior sucesso, embora existam pessoas que ainda são contra a

utilização de aerogeradores devido a modificar significativamente a estética da

paisagem.

As fontes de energia utilizadas tradicionalmente entram em conflito com as

fontes renováveis, quando destacamos que as fontes não-renováveis, em constante

declínio, tornam-se verdadeiras ameaças ao meio ambiente. As fontes renováveis

são colocadas cada vez mais como centro das atenções, uma vez que são

inesgotáveis e não prejudicam o meio ambiente. No entanto, é importante notar

que a utilização de energias renováveis não faz com que abandonemos

imediatamente as outras fontes de energia, pois estas ainda se fazem necessárias

em muitos países. Já a Alemanha, por exemplo, demonstrou que é possível se

adaptar ao uso de fontes renováveis, beneficiando não só o país, mas também a

população e ao meio ambiente. Um terço de toda a energia eólica produzida no

mundo e metade da energia eólica produzida na Europa é originada da Alemanha.

De acordo com a Global Status Report (2011), a taxa de crescimento da

geração de energia eólica já atinge 30% ao ano, sendo amplamente utilizada na

Europa, Ásia e nos Estados Unidos. A geração de energia eólica no mundo

aumentou nos últimos dez anos cerca de 1000%. Em 2013, a capacidade

instalada mundialmente de energia eólica já era de 318 mil megawatts (MW). Em

2009, o investimento da China na geração de energias renováveis chegou a US$

34 bilhões, ultrapassando os investimentos realizados pelos Estados Unidos em

quase o dobro. Atualmente, a China é a líder no ranking de países que mais

investem em energias renováveis no mundo, seguida dos Estados Unidos e

Alemanha. O Brasil apareceu em 4º lugar no GWEC 2015 representando 4,3% da

capacidade instalada mundial.

Revisão Bibliográfica 30

Segundo um estudo elaborado pelo Conselho Global da Energia Eólica

(Global Wind Energy Council, GWEC), a potência eólica instalada tem

apresentado um grande crescimento nos últimos anos, conforme podemos

visualizar nas figuras 2.3 e 2.4 abaixo:

Figura 2.3 – Capacidade eólica instalada acumulada entre 1996 e 2013. (GLOBAL WIND STATISTCS, 2013).

Figura 2.4 – Capacidade eólica instalada entre 1996 e 2013. (GLOBAL WIND STATISTCS, 2013).

Embora exista todo esse investimento em energias renováveis e

especificamente em energia eólica vindo de vários países do mundo, apenas 10

países lideram cerca de 85% em investimentos para instalação de energia eólica,

mesmo existindo esse grande potencial para exploração. Segundo o relatório da

Global Wind Energy 2015, a capacidade eólica mundial instalada acumulada em

2015 foi de cerca de 432 GW (Gigawatts), mas acredita-se que no próximo

relatório esta capacidade aumente para cerca de 500 GW de energia elétrica

proveniente de usinas eólicas. As regiões que apresentam ventos com velocidade

frequente de 15 km/h são adequadas para a instalação de aerogeradores. Abaixo

temos um ranking dos países de acordo com sua capacidade de geração de energia

Revisão Bibliográfica 31

eólica. O Brasil ainda encontra-se em 10º lugar com 8,715 GW de capacidade

instalada (Global Wind Energy Council, 2015).

Figura 2.5 – Potencial eólico instalado no mundo em unidades de milhares (GWEC, 2015).

2.1.3

Energia eólica no Brasil

Embora a exploração dos recursos naturais seja um fator preocupante para a

maioria, senão todos os países, a utilização de recursos naturais renováveis para a

produção demonstra ser um ponto positivo e favorável para o meio ambiente. O

Brasil é um país com grande quantidade de riquezas naturais e a utilização de

recursos renováveis para geração de energia representa quase 90% da energia

elétrica produzida no país. A energia elétrica em sua maior parte é produzida nas

usinas hidroelétricas, utilizando a força da energia hídrica ou hidráulica.

Além disso, o país também investiu na construção de receptores solares para

produzir energia através dos raios do Sol e na produção de etanol (combustível

feito à base de cana-de-açúcar), sendo considerado o maior produtor de etanol do

Revisão Bibliográfica 32

mundo. Metade da frota automobilística do país funciona com esse combustível

renovável como fonte de energia.

Já a energia eólica no Brasil ainda é pouco difundida, pois praticamente não

existem usinas eólicas produtoras de energia elétrica. Esse tipo de energia é

bastante utilizado no bombeamento de água na irrigação. Muitos especialistas

afirmam que existem ventos favoráveis no Brasil para uma ampliação dos parques

eólicos. De acordo com o Atlas do Potencial Eólico Brasileiro mostrado na figura

2.6 elaborado pelo Cepel (Centro de Pesquisas de Energia Elétrica), as regiões do

Brasil com maior potencial eólico são Sul e Sudeste e no litoral do Nordeste.

Figura 2.6 – Potencial eólico do Brasil por região (ANEEL, 2005).

Com relação a investimentos, segundo a Associação Latino-Americana do

setor (Lewea, na sigla em inglês), dentre os países da América Latina, o Brasil é o

primeiro na liderança em investimentos em energia eólica. No país, o primeiro

projeto de geração de energia através do uso de energia eólica foi desenvolvido na

ilha de Fernando de Noronha, em Pernambuco, a fim de garantir o fornecimento

de energia para a localidade, já que antes a energia era fornecida por meio de um

gerador movido a diesel.

No ano de 2015 a energia eólica foi a energia que mais cresceu no Brasil

com 39,3%. A energia hidrelétrica cresceu 35,1% e a termelétrica 25,6%. Já em

Revisão Bibliográfica 33

março de 2016, o Brasil chegou à marca de 9,2 GW de capacidade instalada

distribuída por 369 parques eólicos.

2.2 Turbinas eólicas e suas ações

2.2.1 Histórico das turbinas eólicas e aspectos gerais

O aproveitamento da energia eólica ocorre através da conversão de energia

cinética de translação em energia cinética de rotação, por meio das turbinas

eólicas ou aerogeradores que geram eletricidade ou através de cata-ventos e

moinhos para trabalhos mecânicos como bombeamento da água (ANEEL, 2005).

Esse tipo de energia sempre foi utilizado há milhares de anos com os

mesmos objetivos: bombeamento de água, moagem de grãos e outras finalidades

que envolvessem energia mecânica. O primeiro registro de utilização do vento

através dos cata-ventos, a fim de utilizar a energia eólica para bombear água e

moer grãos vem da Pérsia, cerca de 200 A.C.. No entanto, acredita-se que a China,

por volta de 2000 A.C., e o Império Babilônico, por volta de 1700 A.C., já se

utilizavam de cata-ventos rústicos para irrigação (CLÍMACO, 2009). No século I

D.C., na Grécia, utilizavam uma roda movida pelo vento para movimentar uma

máquina. Barcos a vela utilizavam essa energia para deslocarem-se pelos mares.

Já na Idade Média, os moinhos de vento aproveitavam a energia eólica na

moagem de grãos dos cereais e no bombeamento de água para utilização da

população.

Figura 2.7 – Moinho de vento do tipo holândes (CLÍMACO, 2009).

Revisão Bibliográfica 34

Em meados do século XIX, existiam em funcionamento aproximadamente

9.000 moinhos de vento funcionando na Holanda, por volta de 3.000 na Bélgica,

10.000 na Inglaterra e 50 na França. Na segunda metade deste século os Estados

Unidos já teriam fabricado e instalado em torno de 6 milhões de cata-ventos

(CLÍMACO, 2009). Os primeiros indícios do uso da energia eólica para a geração

de eletricidade surgiram no final do século XIX. Na época da Revolução

Industrial, essa energia foi importante para gerar eletricidade em indústrias,

comércios e casas. Contudo, com o passar do tempo, a utilização da água em

máquinas a vapor foi ganhando espaço e os moinhos de vento foram caindo no

esquecimento. Somente na década de 1970, com a crise internacional do petróleo,

o interesse pela energia eólica foi resgatado e novos investimentos viabilizaram o

desenvolvimento e implantação dos equipamentos a nível comercial, de forma a

dar força ao movimento contra a utilização da energia nuclear. Padrões

internacionais foram implementados e o design dos equipamentos foi melhorado,

dando origem a modernos parques eólicos e com uma redução dos seus custos

altíssimos de aplicação, tornando-os economicamente viáveis.

O surgimento da aplicação da energia eólica para produção de energia

elétrica se deu com a construção do primeiro moinho em 1887 por James Blyth

(1839-1906), engenheiro escocês, a fim de carregar acumuladores de energia que

utilizava para iluminar a sua casa. O pioneiro na criação do primeiro protótipo de

turbina eólica com sua tecnologia baseada no moinho de vento tradicional se

chamava Charles F. Brush e sua criação foi no ano de 1888. A seguir será

apresentada uma cronologia com os pioneiros da energia eólica retirado do site

AMMONIT e da Revista CONCRETO E CONSTRUÇÕES edição 75:

- Charles F. Brush (1849-1929), um dos fundadores da indústria elétrica

norte-americana. No Inverno de 1887-88, Brush construiu uma máquina, agora

considerada a primeira turbina eólica automatizada para produção de eletricidade.

Tendo em conta as condições da época, as dimensões eram enormes: diâmetro do

rotor: 17 m (50 pés), 144 pás de rotor em madeira de cedro. A turbina funcionou

durante 20 anos e alimentava as baterias na cave da casa de Brush. Apesar das

dimensões, a turbina gerava somente 12 kW de eletricidade.

Revisão Bibliográfica 35

Figura 2.8 – Turbina eólica de Charles Francis Brush em 1888 gerava 12 kW (RIGHTER, 1996).

- Poul la Cour (1846-1908), meteorologista dinamarquês. É considerado o

pai da indústria eólica moderna. A sua primeira turbina eólica comercializável foi

instalada após a Primeira Guerra Mundial, durante um período de escassez

generalizada de combustível. Fundou o primeiro centro de investigação de energia

eólica em Jütland, onde ministrou os primeiros cursos a engenheiros eólicos.

Juntamente com as suas primeiras experiências na técnica dos túneis de vento,

publicou a primeira revista mundial sobre energia eólica.

- Albert Betz (1885-1968), físico alemão. Como diretor do Instituto de

Aerodinâmica em Göttingen, formulou a lei de Betz, demonstrando que nenhuma

turbina eólica pode converter mais do que 59.3% da energia cinética do vento em

energia mecânica no rotor. A sua teoria sobre o design das pás continua ainda hoje

a ser a base da construção dos equipamentos.

- Palmer Cosslett Putnam (1910-1986), engenheiro norte-americano,

desenvolveu a turbina eólica 1,25 MW Smith-Putnam, em 1941, que funcionou

com interregnos até 1945, devido a danos nos materiais de construção. O reduzido

período de vida útil da turbina foi encerrado devido a problemas causados por

materiais de construção inapropriados. Os materiais modernos e os padrões de

qualidade utilizados atualmente ainda não haviam sido desenvolvidos. Os

materiais e a qualidade necessários para estas dimensões ainda não existiam.

- Johannes Juul (1887-1969), engenheiro dinamarquês. Aluno de Poul la

Cour. Construiu a primeira turbina eólica do mundo (200 kW) para produção de

Revisão Bibliográfica 36

corrente alternada na Dinamarca em Vester Egesborg, entre os anos de 1956 e

1957. Esta turbina é o protótipo das turbinas eólicas modernas.

- Ulrich W Hüttner (1910-1990), engenheiro alemão. A sua turbina 100

kW StGW-34, instalada em 1957 num campo experimental nos Alpes Suábios, é

considerada um dos marcos da tecnologia de energia eólica moderna. Contribuiu

com suas pesquisas para uma redução da estrutura mecânica, através da redução

das cargas do rotor.

Com o crescimento desta forma de energia em todo o mundo, alguns países

como a Alemanha e Espanha, na Europa, e a China, na Ásia, tomaram a frente na

utilização da energia eólica para geração de energia elétrica. Muitos dos grandes

fabricantes atuais surgiram na Europa e hoje estão presentes no mundo inteiro,

como a Gamesa, a Vestas, a Enercon, a GE, a Nordex e a Siemmens.

Atualmente, no Brasil temos um grande potencial para o desenvolvimento

do mercado de energia eólica, tendo em vista a necessidade de utilizar uma forma

de energia que proponha uma menor agressão ao meio ambiente do que a energia

hidroelétrica com a construção de grandes barragens que impactam fortemente a

natureza. Para isso, basta que os investimentos sejam aumentados e que novos

parques eólicos sejam construídos.

2.2.2 Composição de um sistema eólico

Ao decorrer do desenvolvimento da utilização da energia eólica com o

passar dos anos surgiram turbinas de diversos tipos como de eixo horizontal ou

vertical, com uma, duas, três ou mais pás, com gerador de indução, gerador

síncrono, etc.

Dentre os variados tipos de turbinas eólicas existentes no mundo, os rotores

de eixo horizontal são os mais comuns e mais utilizados hoje em dia. A

configuração denominada upwind (contra o vento ou a montante) com três pás se

tornou padrão entre os diversos países. As pás podem ser de várias formas e de

diferentes materiais como madeira, alumínio ou fibra de vidro reforçada. Outras

características que se consolidaram foi o alinhamento ativo, a utilização de

gerador de indução e estrutura não flexível.

Conforme é apresentado por Gama (2015) em seu trabalho, a turbina de eixo

horizontal (figura 2.9) é composta principalmente pelos seguintes elementos:

Revisão Bibliográfica 37

Rotor: é constituído pelas pás (em geral são três) e pelo cubo do rotor,

sendo o responsável por transformar a energia cinética do vento em

energia mecânica de rotação;

Sistema de transmissão: são todas as partes rotativas da turbina eólica,

exceto o rotor. É responsável por transmitir a energia mecânica entregue

pelo eixo do rotor até a carga. Os elementos que compõem o sistema de

transmissão são: o eixo de baixa velocidade (eixo do rotor), a caixa de

engrenagem, o eixo de alta velocidade (eixo de acionamento do gerador), o

acoplamento (coupling), o freio mecânico e o gerador;

Sistema de controle: é responsável pela operação da maquinaria e a

produção de energia. É constituído por: sensores (velocidade, posição,

temperatura, voltagem, corrente, etc.), controladores (mecanismos

mecânicos e circuitos elétricos), amplificadores de potência (chaves,

amplificadores elétricos, bombas hidráulicas e válvulas), atuadores

(motores, pistões, imãs e solenoides), e componentes inteligentes

(computadores e microprocessadores);

Nacele: é a casa de máquinas da turbina eólica. Ela é formada pelo sistema

de transmissão, pelo gerador, pelo sistema de orientação direcional e pelos

sistemas de controle da turbina;

Torre e fundação: a torre é responsável por sustentar e posicionar o rotor

na altura determinada e, juntamente com a fundação, formam os

componentes estruturais da turbina eólica. As torres podem ser de

concreto, treliçadas ou de seções tubulares de aço.

Revisão Bibliográfica 38

Figura 2.9 – Composição da turbina de eixo horizontal (CBEE, 2000).

De acordo com os tamanhos e capacidade de geração de energia as turbinas

eólicas podem ser classificadas como:

- pequenas: potência nominal menor que 500 kW;

- médias: potência nominal entre 500 kW e 1000 kW;

- grandes: potência nominal maior que 1000 kW (ou 1 MW).

Na figura 2.10 podemos visualizar a classificação dada às turbinas:

Revisão Bibliográfica 39

Figura 2.10 – Exemplos de turbina pequena, média e grande (da esquerda para a direita) (CBEE).

Na década de 80, a potência gerada por um único aerogerador era inferior a

1MW. No entanto, hoje em dia já temos aerogeradores com potência que variando

de 2MW até 8MW, embora a transformação desta em energia real apresente uma

redução de até 50 %, de acordo com a intermitência do vento e a sua

transformação em energia.

2.2.3 Tipos de Torres

Quanto à instalação das torres podemos classificar em dois tipos: on-shore,

instaladas no solo, em terra firme; off-shore, instaladas no mar. O grande

diferencial é que as torres off-shore requerem maiores cuidados devido a

estabilidade sobre a água, resistência às correntes e à erosão.

Quanto ao tipo de material utilizado, existem dois tipos de torres eólicas: as

de aço e as de concreto. Segundo a ABEEólica (Associação Brasileira de Energia

Eólia), as torres metálicas são utilizadas em projetos onde os aerogeradores são

instalados a uma altura entre 60 e 100 metros do solo. As torres de concreto são de

todos os tamanhos, mas é mais usual seu emprego em instalações de 80 a 120

metros.

Revisão Bibliográfica 40

2.2.4 Tipos de aerogeradores

Os aerogeradores, ou geradores eólicos, são os equipamentos que convertem

a energia mecânica em energia elétrica. Podem ser de dois tipos, de acordo com a

posição do eixo em torno do qual giram as pás (SILVA, 2014):

Aerogerador de eixo horizontal

Figura 2.11 – Aerogerador de eixo horizontal. (ENGENHARIA PORTUGAL, 2011).

É o tipo de aerogerador mais comun e o mais utilizado em parques eólicos,

como pode ser observado na figura 2.11. Alinha-se com o vento, através de um

mecanismo eletrônico que capta a direção do vento e ajusta o rotor, tornando-o

mais eficiente em comparação ao aerogerador de eixo vertical. Apresenta custo de

instalação mais elevado devido a esse mecanismo, mas tal custo é compensado

pela sua eficiência. A turbina é elevada por uma torre e os componentes são

impulsionados pela força do vento (SILVA, 2014).

Aerogerador de eixo vertical

Figura 2.12 – Aerogerador de eixo vertical (SAS ENERGIA).

Revisão Bibliográfica 41

É um gerador fixo, ou seja, que não muda de direção em relação ao vento,

ao contrário do aerogerador de eixo horizontal, porém são de custo bem inferior

quando comparados com o outro tipo (figura 2.12). Para dar partida no sistema

elétrico é necessário um impulso. Uma grande desvantagem é possuírem o rotor

mais baixo, sendo assim menos eficiente, pois o vento apresenta velocidade

maior, é mais constante e é menos turbulento em alturas mais elevadas. Contudo,

geradores de eixo vertical são mais fáceis de serem instalados.

2.2.5 Fundações superficiais e profundas

Em qualquer tipo de estrutura construída, a fundação faz-se necessária para

transmitir as cargas provenientes da estrutura para o solo. A escolha do tipo de

fundação deve ser adequada para cada terreno, a fim de que a capacidade do

mesmo não seja ultrapassada e ocorra ruptura do solo. Por este motivo,

investigações devem ser realizadas previamente no solo para que um projeto

fundamentado seja bem elaborado e assegure a vida útil da estrutura como um

todo. Na figura 2.13 encontra-se um exemplo de fundação típica utilizada em

torres eólicas.

Figura 2.13 – Exemplo de seção típica de fundação circular para aerogeradores eólicos

(RODRIGUES, 2015).

Existem basicamente dois tipos de fundação: fundação superficial e

fundação profunda. A seguir, serão apresentados maiores detalhes de cada tipo

citado.

Revisão Bibliográfica 42

Fundação Superficial

Na fundação superficial, também denominada como fundação rasa ou direta,

a transmissão das cargas da superestrutura para o solo é feita através da base. É

escolhida em situações onde a resistência do solo é considerada alta, ou seja, o

solo é suficientemente resistente. Os tipos de fundações superficiais mais

conhecidos são: sapata, bloco e radier.

As formas das sapatas de torres eólicas podem variar em cada projeto

podendo ser circulares, anulares, retangulares ou poligonais. O momento de

tombamento da estrutura, que é resistido pelo peso de todos os elementos

estruturais (a turbina, a torre e a fundação) determina as dimensões e a massa da

sapata (HAU, 2006).

A seção circular para as sapatas (figura 2.14) é a mais comum, pois

apresenta as seguintes vantagens: a distribuição das forças é uniforme,

independendo da direção do vento; o volume de concreto e a quantidade de aço

necessários para a construção são menores, sendo, portanto, mais econômica.

Entretanto, também possuem uma desvantagem: a mão-de-obra para confeccionar

as armaduras radiais é mais cara em comparação à mão de obra necessária para

executar armaduras de outras seções, pois se necessita de mão de obra mais

qualificada (SILVA, 2014).

Figura 2.14 – Base circular dos aerogeradores do parque 3 do Complexo Eólico Cerro Chato, RS (MASSA CINZENTA, 2011).

Para torres com seção tubular de aço, a ancoragem com a fundação é feita

por um elemento denominado seção de base da torre e é ligada à armadura do

concreto da fundação, como pode ser visto na figura 2.15.

Revisão Bibliográfica 43

Figura 2.15 – Fundação em sapata para uma torre de aço e uma torre pré-fabricada de concreto (adaptado de HAU, 2006).

Fundação Profunda

Na fundação profunda, a transmissão das cargas ocorre pela base e, pela

superfície lateral dos elementos de fundação. A carga resistida pelo contato de sua

área lateral com o solo recebe o nome de resistência de fuste ou atrito lateral. Já a

carga resistida pela base é denominada resistência de ponta. Somando-se essas

duas resistências temos como resultado a carga total resistida pela fundação

profunda (CINTRA; AOKI, 2010).

Este tipo de fundação é normalmente utilizado quando o solo próximo à

superfície é pouco resistente. A classificação como “profunda” é dada a partir do

instante e que a ponta estiver assentada em uma profundidade maior que o dobro

de sua menor dimensão em planta, e possuir no mínimo três metros de

comprimento. Os tipos de fundação que atendem estes requisitos e são

classificadas como profundas são: estaca e tubulão.

A estaca e o tubulão podem ser diferenciados a partir da forma de execução

da seguinte forma: a estaca é executada inteiramente por equipamentos e

ferramentas, enquanto que o tubulão requer a descida de pessoas às escavações

durante alguma etapa de sua construção (CINTRA; AOKI, 2010).

Na fundação de torres eólicas, as estacas mais indicadas são as metálicas,

pré-moldadas (podem ser fabricadas na obra) e escavadas. Sua disposição é

arranjada com o melhor aproveitamento possível, de acordo com estudo realizado

pelo projetista, a fim de que suportem os efeitos aos qual a estrutura será

submetida. As estacas são engastadas pelo topo em um bloco de fundação,

visualizado na figura 2.16, que tem como função a transmissão das cargas do

mastro da torre para as estacas e, posteriormente, para o solo.

Revisão Bibliográfica 44

Figura 2.16 – Bloco de fundação (VIEIRA & JUNIOR, 2015).

A concretagem deve ser efetuada de forma contínua, a fim de evitar a

formação de fissuras de retração. Pode-se usar também gelo no concreto para

reduzir a temperatura de cura do bloco devido ao mesmo apresentar grandes

dimensões. O uso de um cimento de baixo calor de hidratação inicial também é

uma alternativa para evitar fissuras (VIEIRA & JUNIOR, 2015). Após a

concretagem do bloco, uma nova concretagem é necessária: o bloco é ligado ao

pedestal através do posicionamento da coroa de ancoragem dentro das armações

do pedestal e, após isso, é realizada a nova concretagem. Já a torre é ligada a esta

coroa por meio de parafusos e solda.

Os próximos passos para construção do parque eólico são a montagem do

aerogerador e a instalação elétrica.

Deve-se estar atento que após a escolha da fundação, alguns tópicos devem

ser avaliados para garantir a segurança da obra (FARIA & NORONHA, 2013):

Capacidade de suporte para a estabilidade da estrutura;

Recalques imediatos, diferenciais e de adensamento;

Rigidez da fundação;

Efeitos de deterioração no concreto por fissuramento, trincas,

ataques químicos, etc.;

Perda de capacidade de suporte ao longo do tempo, pois a fundação

será sujeita a carregamento cíclico e ao efeito de fadiga.

Revisão Bibliográfica 45

2.3 Acidentes com torres eólicas devido a problemas de fundação

A fundação de uma torre eólica deve ser bem pensada e analisada durante a

etapa de projeto, assim como na investigação do solo, na escolha do tipo de

fundação que mais se adequa ao terreno, na supervisão durante a execução e na

verificação e liberação das obras executadas. Todas estas etapas são de máxima

importância para que possam ser evitados futuros acidentes devido a problemas de

fundação, como podemos visualizar na figura 2.17 onde se apresentam 2 torres

eólicas tombadas devido a falta de estabilidade:

Figura 2.17 – Acidentes com torres eólicas (MILITITSKY, 2014)

Sabe-se que acidentes deste porte são espetaculares, ou seja, muito

incomuns. Porém, quando acontecem, eles causam um enorme prejuízo, visto que

a estrutura de uma torre eólica possui grandes proporções geométricas. É de

extrema importância conhecer bem as cargas atuantes na base das torres

decorrentes de diferentes solicitações, que por sinal são bastante elevadas, e com

isso avaliar o tipo de fundação que será utilizado de acordo com a capacidade de

carga do solo onde ficará a torre.

Deverão ser realizadas verificações quanto a segurança à ruptura com base

nas tensões admissíveis, segurança ao deslizamento e ao tombamento, segurança à

erosão, monitoramento de recalques, efeitos de carregamentos cíclicos e efeito da

água presente no subsolo, a fim de conhecer, estudar e evitar que possíveis

acidentes possam vir a ocorrer sem aviso prévio da estrutura e do solo.

Revisão Bibliográfica 46

2.4 Benefícios e impactos socioambientais das usinas eólicas

Podemos afirmar que a energia eólica é o tipo de energia mais limpo

existente no mundo, está disponível em diferentes regiões e em variadas

densidades, sendo considerada uma ótima alternativa em relação às formas de

energias não renováveis.

A utilização da energia eólica para geração de energia elétrica apresenta

pontos positivos e negativos, como qualquer outra forma de energia existente. No

entanto, seus impactos podem ser minimizados ou até mesmo eliminados através

do uso de inovações tecnológicas.

Com relação aos benefícios da energia eólica pode-se dizer que a não

emissão de CO2 na atmosfera é o mais importante deles, de forma a não contribuir

para o aquecimento global. A utilização da área do parque eólico para atividades

agropecuárias é outro importante ponto positivo a ser mencionado e pode ser visto

na figura 2.18:

Figura 2.18 – Atividade agropecuária em parques eólicos (NREL, 2001).

Outros benefícios que podemos citar é a redução da dependência de

combustíveis fósseis, melhoria da economia local e aumento do número de

empregos, fonte de geração de energia elétrica em ascensão e com grande

potencial no Brasil, velocidade na construção dos parques eólicas em comparação

às outras formas de energia e longevidade dos equipamentos, desde que realizada

a manutenção necessária.

Revisão Bibliográfica 47

Apesar dos benefícios citados anteriormente, a energia eólica não está

desprovida de causar problemas ao meio ambiente. Dentre os impactos causados

pela energia eólica podemos destacar:

Ruído: A origem do ruído das turbinas eólicas provém de duas causas:

aerodinâmica (a partir do fluxo de ar nas pás) e mecânica (pelos equipamentos

como gerador e caixa de redução). Nas décadas de 80 e 90 o problema do ruído

gerado pelas turbinas foi um dos mais importantes pontos de discussão. Com o

passar dos anos e inovação da tecnologia este problema foi minimizado e

regulamentado nas turbinas modernas. Este ruído aerodinâmico é influenciado

diretamente pela velocidade do vento que incide sobre a turbina eólica.

A seguir é apresentada na figura 2.19 o resultado de um estudo realizado

pelo DEWI (Deutsches Windenergie-Institut, traduzido como Instituto Alemão de

Energia Eólica) a respeito do nível de ruído de turbinas eólicas existentes no

mercado em 1995.

Figura 2.19 – Nível de ruído para diferentes turbinas eólicas disponíveis em 1995 (DEWI, 1996).

Interferência eletromagnética: a interferência ocorre em casos em que a

turbina eólica é instalada entre os receptores e transmissores de ondas como

sistemas de telecomunicação (rádio, televisão) e micro-ondas. A reflexão de sinais

de radiação eletromagnética pelas pás das turbinas pode causar interferência, de

tal maneira que um receptor próximo receba um sinal direto e um refletido.

Impactos visuais: parques eólicos devem ser instalados em lugares livres e

amplos, se tornando visíveis e, desta forma, impactando visualmente ao meio

ambiente devido ao enorme tamanho das turbinas. Alguns parâmetros que

Revisão Bibliográfica 48

podemos relacionar são: tamanho da turbina, design, números de pás, cor e

números de turbinas em um parque eólico. As turbinas são objetos com muita

visibilidade e interferência nas paisagens naturais; por isso podem existir

restrições à sua instalação em algumas áreas (como áreas turísticas ou áreas de

grande beleza natural) (ROSSI & OLIVEIRA, 2015).

Figura 2.20 – Parque eólico (ROSSI & OLIVEIRA, 2015).

Uso da terra: o espaçamento entre as turbinas de um parque eólico deve ser

de no mínimo entre 5 a 10 vezes a altura da torre, de forma a evitar a perturbação

causada no escoamento do vento entre uma turbina e outra. Por isso, geralmente

apenas 1% da área total do parque eólico construído é utilizado pelas fundações da

turbina e 99% da área fica disponível. Entretanto, toda essa área disponível do

parque pode ser aproveitada para produção agrícola, pois não existem evidências

de que os parques eólicos interfiram em grande proporção em atividades

agropecuárias (EWEA, 2000).

Aves: a taxa de mortalidade em parques eólicos é considerada alta e ocorre

devido às aves se chocarem com as pás das turbinas eólicas, pois não conseguem

visualizá-las quando estão em movimento. Desta forma, não recomenda-se a

instalação de parques eólicos em áreas de migração de aves, de reprodução e de

proteção ambiental. Contudo, o comportamento dos pássaros e as taxas de

mortalidade tendem a ser específicos para cada espécie e para cada lugar. Segundo

estudo realizado por Bourillon (1999) mostrado na figura abaixo, a morte de

pássaros nos Países Baixos, causada por ações diretas e indiretas do homem,

mostra que o tráfego de veículos apresenta uma taxa de mortalidade de pássaros

cem vezes maior que em comparação aos parques eólicos com turbinas de 1 GW.

Em 1989, foi encontrado um total de apenas 287 pássaros mortos na Alemanha

por turbinas eólicas (DEWI, 1996). Na Dinamarca é comum se ter nas torres das

Revisão Bibliográfica 49

turbinas eólicas um grande número de ninhos de falcões e a maioria dos pássaros

tendem a mudar sua rota de voo entre 100 a 200 m, passando por cima ou ao redor

da turbina, em distâncias seguras, tanto durante o dia quanto a noite (ELLIOT,

2000).

Figura 2.21 – Estimativa de mortes de pássaros nos Países Baixos (BOURILLON,

1999).

A energia eólica apresenta diversas vantagens e é uma das fontes renováveis

mais limpa e com um futuro bastante promissor. Mesmo apresentando algumas

desvantagens em termos de impactos ambientais, estes problemas podem ser

minimizados ao longo do tempo através de planejamento eficiente e implantação

de inovações tecnológicas.

3 Fundações das torres eólicas: estudo da teoria de placas e soluções analíticas para placas circulares

3.1 Teoria de Placas

3.1.1 Breve histórico sobre placas

No presente subcapítulo será desenvolvido o histórico da Teoria de Placas,

relatando os principais autores que abordaram, em suas pesquisas, estudos sobre

placas. Os demais subitens envolvem as considerações iniciais utilizadas neste

trabalho, as definições de placas finas e espessas e o desenvolvimento da teoria de

placas, demonstrando a formulação do problema em questão. Embora não seja

diretamente o problema principal das fundações, tais itens têm interesse para a

pesquisa em mecânica estrutural, notadamente em dinâmica e estabilidade.

Em 1776, o matemático e físico L. Euler tornou-se o pioneiro no estudo de

placas. Euler analisou problemas de vibrações livres de membranas elásticas

retangulares, triangulares e circulares utilizando dois sistemas de cordas esticadas

perpendiculares uma a outra (AMPOLINI et al., 2012). O aluno de Euler, Jacques

Bernoulli, avançou sobre os estudos de Euler e substituiu o sistema de cordas por

uma malha de vigas com rigidez à flexão. Apenas uma semelhança entre a teoria e

os experimentos foi encontrada, visto que a resistência à torção não foi incluída

nas equações diferenciais estudadas.

Pouco mais tarde, o físico e músico alemão Ernest Chladni descobriu modos

de vibrações livres através de seus experimentos. Ele distribuiu pó de modo

uniforme sobre a superfície de placas e provocou vibrações nelas. Após as placas

vibrarem, o pó foi se acumulando ao longo de linhas nodais, à medida que a

frequência das vibrações era modificada, ocorria o deslocamento das linhas

nodais. Chladni apresentou seu trabalho na Academia Francesa de Ciências em

1809, em reunião que foi assistida pelo Imperador Napoleão. O imperador,

entusiasmado com a descoberta de Chladni, promoveu um concurso na academia

Fundações das Torres Eólicas 51

para receber outros trabalhos relacionados com a vibração de placas. Foi então

que surgiu Sophie Germain, uma jovem matemática que foi a única a inscrever

seu trabalho no concurso. Ela apresentou sua pesquisa sobre a teoria de vibrações

de placas, mas os jurados do concurso não ficaram satisfeitos com seus resultados.

Abaixo podemos verificar a equação desenvolvida:

Em 1813, ela tentou mais uma vez submeter seu trabalho, mas sem sucesso,

pois ainda havia uma única pendência: definir precisamente uma constante em sua

equação. Em 1816, a correção de sua pesquisa foi terminada e então Germain

recebeu seu prêmio, embora sua constante ainda tenha sido alvo de críticas.

Contudo, o mérito da criação da primeira equação diferencial sobre vibrações

livres em placas foi dado a ela. Poisson (1781-1840) ainda tentou achar o valor

correto da constante, mas não obteve sucesso.

Enfim, o cientista e engenheiro Navier (1785-1836) conseguiu se tornar o

primeiro a desenvolver corretamente a primeira equação diferencial de placas

sujeita a carregamento lateral distribuído. Ele utilizou as hipóteses de Bernoulli e

adicionou as ações de tensões e esforços em 2 dimensões, chegando a seguinte

equação:

Onde D é a rigidez a flexão da placa.

Kirchoff (1824-1887) foi o responsável por desenvolver uma teoria

completa sobre flexões de placas. Suas pesquisas foram baseadas nas hipóteses de

Bernoulli para vigas e derivou as mesmas equações diferenciais que Navier,

porém utilizou uma aproximação diferenciada para energia. Em seguida, foi

chamado de o fundador da teoria de placas estendida, levando em consideração a

combinação de flexão e deformação.

Entre o fim do século XIX e início do século XX, os construtores navais

substituíram o material utilizado na construção de navios, deixando a madeira de

lado e optando pelo aço. Nestas condições, o estudo sobre a teoria de placas se

desenvolveu rapidamente, sendo incentivado por diversos cientistas. Neste

Fundações das Torres Eólicas 52

contexto surge Krylov (1863-1945), juntamente com seu aluno Bubnov,

contribuindo para o estudo da teoria de placas finas com rigidez à flexão e a

deformação.

Em seguida surge Stephen Timoshenko, o qual contribuiu

significativamente para a solução de placas circulares com grandes deflexões e

para problemas de estabilidade elástica. Os estudos desenvolvidos por

Timoshenko e Krieger no livro Theory of Plates and Shells (1959) serão de grande

importância na confecção e compreensão desta parte da dissertação.

Nos dias atuais, os estudos de placas circulares, espessas ou finas, vêm

aumentando gradativamente, com a finalidade de se obter cada vez mais

conhecimento nesta área. São realizados estudos envolvendo análises estáticas, de

instabilidade e de vibrações.

Hosseini-Hashemi et al. (2010) estudaram em seu artigo o cálculo dos

deslocamentos para placas circulares espessas e das frequências naturais, com

diferentes condições de contorno, baseando-se na teoria de Reddy.

Vicente (2009) analisou as tensões em placas circulares utilizando

modelagem por elementos finitos com elementos axissimétricos.

Voltando um pouco no tempo temos Blass (1968) que em sua dissertação

estudou as vibrações transversais de placas circulares com espessura uniforme e

carregamento radial. Através de seu estudo ele visou o fornecimento de elementos

para resolver os problemas de vibração transversal em discos girantes, como os

rotores de turbinas.

Mittelbach (2007) utilizou o método das diferenças finitas energéticas para

analisar dinamicamente placas circulares finas e espessas submetidas a

carregamentos axissimétricos, inclusive com variação térmica.

Wang et al. (1993) analisaram placas Mindlin circulares com suportes de

anéis concêntricos usando carregamento radial. Como solução, utilizaram a

abordagem de Rayleigh-Ritz e analisaram alguns fatores de flambagem.

Salas (2015) estudou funções especializadas do método de Rayleigh-Ritz

para analisar placas circulares finas e espessas com carregamentos aplicados no

plano e fora do plano. Além disso, variou a espessura das placas para realizar

estudos sobre os deslocamentos, tensões, vibrações e flambagem. O método

Rayleigh-Ritz (COOK et al., 2002) possui uma formulação clássica no método

dos elementos finitos. Foi criado por Rayleigh em 1870 e depois generalizado por

Fundações das Torres Eólicas 53

Ritz com um campo de aproximação de várias funções, satisfazendo as condições

cinemáticas.

3.1.2 Definição de placas e considerações iniciais

Podemos definir placas como um elemento estrutural formado por três

dimensões onde uma de suas dimensões, denominada de espessura, é muito menor

que as outras duas. Em sua configuração inicial, a curvatura do plano médio é

nula, como pode ser observado na figura 3.1. Define-se plano médio da placa

como um plano paralelo às faces da placa que a divide em 2 partes iguais ao longo

da sua espessura. Alguns exemplos de placas podem ser encontrados no dia a dia:

discos, tampas de mesas, lajes, painéis, tampas de esgoto, etc.

Figura 3.1 – Plano médio da placa.

As placas podem ser estudadas em 3 grupos:

placas finas com pequena deformação;

placas finas com grande deformação;

placas espessas.

A classificação de placas finas com pequenas deformações deve atender a 2

critérios: a razão entre a espessura e o menor comprimento da placa deve ser

menor que 1/20; os deslocamentos verticais devem ser menores que 1/5 da

espessura (VICENTE, 2009).

As forças externas que atuam na placa são divididas em forças de superfície

e forças de campo. As forças de superfície podem atuar como forças concentradas

em um único ponto ou como forças distribuídas por uma região finita. As forças

Fundações das Torres Eólicas 54

de campo atuam no volume da placa e são originadas pelos campos gravitacionais

ou magnéticos e pela inércia, em casos onde há movimentação.

O maior interesse está em conhecer a relação entre essas forças que atuam

na placa e momentos com as deformações, tensões e deslocamentos (GAMBOA,

2009).

Para o desenvolvimento deste trabalho considerou-se uma placa circular

representada na figura 3.1, onde as seguintes variáveis foram adotadas:

a = raio da placa

h = espessura da placa

q = carregamento axissimétrico

P = carregamento pontual

A placa circular está sujeita a carregamentos axissimétricos, sendo dividida

em uma abordagem de carregamento pontual centrado e outra como carregamento

distribuído uniformemente sobre a placa circular. Ambos os casos podem ser

vistos na figura abaixo:

Figura 3.2 − Carregamento pontual (esquerda) e carregamento distribuído (direita),

ambos os casos para placa circular.

Fundações das Torres Eólicas 55

De modo a facilitar os estudos realizados, como serão utilizadas somente

placas circulares para a elaboração desta pesquisa, nada mais justo que o sistema

de coordenadas cilíndricas seja usado para facilitar o cálculo das expressões. Na

figura 3.3 podemos observar o sistema de coordenadas, onde temos os eixos r e θ

descrevendo o plano médio da placa e o eixo z, perpendicular ao plano médio,

descrevendo a altura (espessura da placa). A origem das coordenadas é

coincidente com o centro da placa indeformada.

Figura 3.3 – Sistema de coordenadas.

3.1.3 Placas finas

Placa fina com pequena deflexão

As placas que apresentam espessura considerada fina, como já foi visto

anteriormente, podem apresentar pequenas ou grandes deflexões em comparação

com a sua espessura. Caso a placa seja classificada em placa fina de pequena

deflexão e, além disso, ser homogênea, isotrópica e elástica, as considerações

utilizadas pela teoria clássica ou teoria de Kirchhoff podem ser aplicadas de modo

a facilitar o cálculo das expressões da placa. Assim podemos enumerar os

pressupostos fundamentais das hipóteses de Kirchhoff, análogos à teoria de flexão

em vigas (UGURAL, 1981; Timoshenko & Krieger,1959; SZILARD, 2004):

O deslocamento vertical ou deflexão do plano médio da placa é pequeno

quando em comparação com a sua espessura. A inclinação da superfície

deformada é, portanto, muito pequena e o quadrado desta inclinação é

desprezível em relação à unidade;

O plano médio da placa permanece sem extensão durante a flexão;

Fundações das Torres Eólicas 56

Seções planas que são normais à superfície média antes da flexão

permanecem planas e normais à superfície média mesmo após a flexão,

significando que a deformação devida aos cisalhamentos verticais γxz e γyz

é desprezível. A deflexão da placa é, portanto, principalmente associada

com a deformação devido à flexão. Chega-se a conclusão que a

deformação normal εz resultante do carregamento transversal pode ser

omitida, ou seja, não há variação de espessura na placa;

A tensão normal ao plano médio, σz, é pequena em comparação as outras

componentes de tensão sendo, portanto, desprezível. Esta suposição não é

verificada nas proximidades de cargas transversais concentradas,

tornando-se falsa.

Utilizando as hipóteses de Kirchhoff citadas anteriormente podemos resumir

o problema de placa que é tridimensional para um problema bidimensional. Desta

forma, as equações de placas podem ser derivadas de forma concisa e direta

(VICENTE, 2009).

Placa fina com grande deflexão

No caso de placa fina com grande deflexão ocorre que a flexão da placa gera

uma deformação no plano médio e, neste caso, as 2 primeiras hipóteses de

Kirchhoff não são aplicáveis. Deste modo esforços adicionais devem ser levados

em conta na derivação das equações da placa, obtendo-se equações não-lineares,

dificultando a solução do problema. As condições de contorno também devem ser

analisadas neste caso, analisando se o bordo é livre ou engastado para se mover

juntamente com o plano, pois ocorre uma influência importante nos valores das

deformações verticais e dos esforços da placa.

Como se sabe, p.e. em Vicente (2009), as tensões de tração complementares

agem em oposição ao carregamento lateral determinado, devido à curvatura do

centro do plano médio deformado. O carregamento determinado é transmitido

pela rigidez á flexão e por um comportamento de membrana da placa. É possível

que as deformações verticais da placa sejam grandes sem gerar esforços de

membrana, não afetando assim o comportamento linear da teoria de flexão. Tais

esforços somente apareceriam caso as bordas fossem engastadas ou imóveis em

Fundações das Torres Eólicas 57

relação à superfície média e as deformações verticais fossem muito grandes.

Efeitos de membrana em placas finas com pequena deflexão são irrelevantes,

mesmo quando gerados por bordas imóveis na superfície média.

3.1.4 Placas espessas

Quando falamos de placas com espessura considerável, ou placas espessas,

as hipóteses vistas anteriormente são pouco confiáveis, especialmente quando

tratamos de carregamentos concentrados. Neste caso, aplicamos a teoria de placas

espessas, considerando como um problema de elasticidade tridimensional.

A obtenção e análise de esforços tornam-se mais complexa e pode ser

resolvido apenas para alguns casos particulares. As 2 últimas hipóteses de

Kirchhoff não são mais aplicáveis, pois os esforços na direção z devem der

levados em conta. As tensões de cisalhamento são importantes, assim como nos

casos de vigas curtas e, desta forma, a teoria de Reissner-Mindlin se aplica para

placas espessas.

Assim como é abordado por Salas (2015), as hipóteses de Reissner-Mindlin

são utilizadas para representar o campo de deslocamentos e de tensões de placas

com isotropia totais submetidas a ações normais à superfície média e são elas:

O plano médio é indeformável em seu plano, sendo as deformações no

plano rθ desprezadas.

As linhas retas normais ao plano médio antes da flexão da placa

permanecem retas e perpendiculares ao plano médio, mas não

necessariamente normais ao plano médio fletido. Assim, podemos calcular

os deslocamentos ur e uθ de um ponto Q da placa situado a uma distância z

do plano médio a partir dos valores das rotações φr e φθ da normal que

depois da deformação se admitiu ser reta, mas não necessariamente normal

à superfície formada pela flexão do plano médio.

Fundações das Torres Eólicas 58

Figura 3.4 – Parte de uma placa espessa com superfície média representada.

3.1.5 Desenvolvimento da teoria para placas circulares

É importante ressaltar que o conteúdo abordado neste capítulo é um resumo

do trabalho desenvolvido por Salas (2015) em sua dissertação. Suas considerações

e cálculos foram de grande importância para o desenvolvimento de parte desta

pesquisa.

Consideremos a placa circular mostrada na figura a seguir:

Figura 3.5 – Características geométricas para uma seção de placa circular de espessura

variável.

A fim de otimizar os cálculos necessários para a avaliação do problema,

utilizaremos o sistema de coordenadas cilíndricas, onde r e θ descrevem o plano

médio da placa e z, sendo o eixo perpendicular ao plano médio, descreve a sua

altura. Podemos relacionar as coordenadas cilíndricas com as cartesianas da

seguinte forma:

Fundações das Torres Eólicas 59

𝑥 = 𝑟𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 (1)

𝑦 = 𝑟𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 (2)

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 (3)

𝑡𝑔𝜃 =𝑦

𝑥 => 𝜃 = arctan (

𝑦

𝑥) (4)

Resultando em

𝑑𝑟𝑑𝑥=𝑥

𝑟= 𝑐𝑜𝑠𝜃 (5)

𝑑𝜃𝑑𝑥= −

𝑦

𝑟2= −

𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑟 (6)

𝑑𝑟𝑑𝑦=𝑦

𝑟= 𝑠𝑖𝑛𝜃 (7)

𝑑𝜃𝑑𝑦=𝑥

𝑟2=𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟 (8)

Campo de deslocamentos

O campo de deslocamentos para a placa estudada tem a seguinte forma:

- Deslocamento radial do plano médio da placa circular

𝑢𝑟(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧. 𝜑𝜃 (9)

sendo 𝜑𝜃 a rotação no plano r-z.

- Deslocamento angular

𝑢𝜃(𝑟, 𝜃, 𝑧) = −𝑧. 𝜑𝑟 (10)

sendo 𝜑𝑟 a rotação no plano θ-z.

- Deslocamento transversal

𝑢𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑤 (11)

sendo 𝜔 o deslocamento vertical ou deflexão do plano médio.

Fundações das Torres Eólicas 60

Relação deformação-deslocamento

Associando as deformações aos deslocamentos temos as seguintes

expressões:

𝜀𝑟 =𝑑𝑢𝑟𝑑𝑟

(12)

𝜀𝜃 =𝑢𝑟𝑟+1

𝑟.𝑑𝑢𝜃𝑑𝜃

(13)

𝜀𝑧 =𝑑𝑢𝑧𝑧= 0 (14)

𝛾𝑟𝜃 = 2𝜀𝑟𝜃 =𝑑𝑢𝜃𝑑𝑟

+1

𝑟(𝑑𝑢𝑟𝑑𝜃

− 𝑢𝜃) (15)

𝛾𝜃𝑧 = 2𝜀𝜃𝑧 =𝑑𝑢𝜃𝑑𝑧

+1

𝑟.𝑑𝑢𝑧𝑑𝜃

(16)

𝛾𝑟𝑧 = 2𝜀𝑟𝑧 =𝑑𝑢𝑟𝑑𝑧

+𝑑𝑢𝑧𝑑𝑟

(17)

Figura 3.6 – Representação do estado de tensões em um elemento infinitesimal da placa

(SALAS, 2015).

Relação tensão-deformação

Podemos descrever a relação tensão-deformação para uma placa elástica como:

𝜎𝑟 =𝐸

(1 − 𝜈2). (𝜀𝑟 + 𝜈𝜀𝜃) (18)

𝜎𝜃 =𝐸

(1 − 𝜈2). (𝜀𝜃 + 𝜈𝜀𝑟) (19)

𝜎𝑧 = 0 (20)

𝜎𝑟𝜃 =𝐸

2(1 + 𝜈). 𝛾𝑟𝜃 (21)

Fundações das Torres Eólicas 61

𝜎𝑟𝑧 =𝐸

2(1 + 𝜈). 𝛾𝑟𝑧 (22)

𝜎𝜃𝑧 =𝐸

2(1 + 𝜈). 𝛾𝜃𝑧 (23)

Sendo E = módulo de Young e ν = coeficiente de Poisson. Em placas finas

as tensões 𝜎𝑟𝜃 e 𝜎𝑟𝑧 são desprezadas.

Momentos

Seguindo as hipóteses teóricas, como em Salas (2015), as tensões são

proporcionais à distância z do elemento diferencial e a distribuição destas tensões

nas faces do elemento pode ser reduzida pela representação dos momentos

atuantes. No caso de uma placa fina os esforços são obtidos através das fórmulas:

- Momento fletor radial

𝑀𝑟 = −𝐷. [𝑑²𝑤

𝑑𝑟²+ 𝜈 (

1

𝑟.𝑑𝑤

𝑑𝑟+1

𝑟2𝑑²𝑤

𝑑𝜃²)] (24)

- Momento fletor circunferencial

𝑀𝜃 = −𝐷. [1

𝑟.𝑑𝑤

𝑑𝑟+1

𝑟2𝑑²𝑤

𝑑𝜃²+ 𝜈 (

𝑑²𝑤

𝑑𝑟²)] (25)

- Momento torsor

𝑀𝑟𝜃 = (1 − 𝜈).𝐷. [1

𝑟.𝑑²𝑤

𝑑𝑟𝑑𝜃−1

𝑟2𝑑𝑤

𝑑𝜃] (26)

sendo 𝐷 =𝐸ℎ³

12(1−𝜈2) .O módulo de rigidez à flexão.

Cortante

Assim como os momentos, os cortantes podem ser representados da

seguinte forma:

- Cortante radial

𝑄𝑟 = −𝐷.𝑑

𝑑𝑟. (𝛥𝑤) (27)

Fundações das Torres Eólicas 62

- Cortante circunferencial

𝑄𝜃 = −𝐷.1

𝑟.𝑑

𝑑𝜃. (𝛥𝑤) (28)

sendo

𝛥𝑤 =𝑑²𝑤

𝑑𝑟²+1

𝑟.𝑑𝑤

𝑑𝑟+1

𝑟2𝑑²𝑤

𝑑𝜃² (29)

Na figura abaixo podemos ver os momentos e cortantes atuantes em um

elemento infinitesimal:

Figura 3.7 – Representação dos momentos e cortantes em um elemento infinitesimal da

placa (SALAS, 2015).

Componentes de tensão para o estado plano ao longo da espessura

As tensões normais e cisalhante para o estado plano de tensões é

representado por:

𝜎𝑟 =12𝑀𝑟

ℎ³. 𝑧 (30)

𝜎𝜃 =12𝑀𝜃

ℎ³. 𝑧 (31)

𝜏𝑟𝜃 =12𝑀𝑟𝜃

ℎ³. 𝑧 (32)

Equação diferencial parcial de 4ª ordem para superfície defletida de

placa carregada lateralmente em coordenadas polares

A equação diferencial para o deslocamento vertical em placas em

coordenadas polares é

Fundações das Torres Eólicas 63

𝛥𝛥𝑤 = (𝑑²

𝑑𝑟²+1

𝑟.𝑑

𝑑𝑟+1

𝑟2𝑑²

𝑑𝜃²) . (

𝑑²𝑤

𝑑𝑟²+1

𝑟.𝑑𝑤

𝑑𝑟+1

𝑟2𝑑²𝑤

𝑑𝜃²) =

𝑞

𝐷 (33)

Denominando a solução da equação homogênea de wh temos:

(𝑑2

𝑑𝑟2+1

𝑟.𝑑

𝑑𝑟+1

𝑟2𝑑2

𝑑𝜃2) . (

𝑑2𝑤

𝑑𝑟2+1

𝑟.𝑑𝑤

𝑑𝑟+1

𝑟2𝑑2𝑤

𝑑𝜃2) = 0 (34)

e wp é a solução particular da equação. A solução completa é expressa como

𝑤 = 𝑤ℎ +𝑤𝑝 (35)

A solução homogênea pode ser expressa pela série

𝑤ℎ = ∑𝑓𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃

∞

𝑛=0

+∑𝑓𝑛∗ 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜃

∞

𝑛=0

(36)

onde fn e fn* são funções apenas de r. Efetuando as substituições cabíveis, duas

equações diferenciais surgem com as soluções

𝑓0 = 𝐴0 + 𝐵0𝑟³ + 𝐶0 ln 𝑟 + 𝐷0 𝑟2 ln 𝑟 (37)

𝑓1 = 𝐴1𝑟 + 𝐵1𝑟³ + 𝐶1𝑟−1 + 𝐷1𝑟 ln 𝑟 (38)

𝑓𝑛 = 𝐴𝑛𝑟𝑛 + 𝐵𝑛𝑟

−𝑛 + 𝐶𝑛𝑟𝑛+2 + 𝐷𝑛𝑟

−𝑛+2 (39)

𝑓1∗ = 𝐴1

∗𝑟 + 𝐵1∗𝑟³ + 𝐶1

∗𝑟−1 + 𝐷1∗𝑟 ln 𝑟 (40)

𝑓𝑛∗ = 𝐴𝑛

∗𝑟𝑛 + 𝐵𝑛∗𝑟−𝑛 + 𝐶𝑛

∗𝑟𝑛+2 + 𝐷𝑛∗𝑟−𝑛+2 (41)

As constantes A, B, C, D são determinadas através das condições de

contorno da placa do problema. A substituição e resolução das expressões acima

resultam na solução da equação homogênea.

Condições de Contorno

Se um carregamento uniforme estiver atuando sobre a placa, o deslocamento

w será independente de θ, levando à seguinte solução geral:

𝑤 = 𝐶1 + (𝑟

𝑎)2

. 𝐶2 + 𝑙𝑛 (𝑟

𝑎) . 𝐶3 + (

𝑟

𝑎)2

. 𝑙𝑛 (𝑟

𝑎) . 𝐶4 +

𝑞. 𝑟4

64. 𝐷𝑜 (42)

onde C1, C2, C3 e C4 são constantes de integração que podem ser obtidas através

das diferentes condições de contorno. Esta solução esta disponível dos textos

clássicos sobre placas de Timoshenko e Krieger (1959).

Fundações das Torres Eólicas 64

1) Condições de contorno para bordo engastado

(𝑤)𝑟 = 0 (𝑑𝑤

𝑑𝑟)𝑟= 0 (43)

2) Condições de contorno para bordo simplesmente apoiado

(𝑤)𝑟 = 0 (𝑀𝑟)𝑟 = 0 (44)

3) Condições de contorno para bordo livre

(𝑀𝑟𝑟)𝑟 = 0 𝑉 = (𝑄𝑟 −1

𝑟.𝑑𝑀𝑟𝜃

𝑑𝜃) (45)

Método de Rayleigh-Ritz

O Método de Rayleigh-Ritz é um método de obtenção de resultados

aproximados para problemas. Este método se assemelha ao Método de Galerkin .

A diferença entre eles é que no método de Rayleigh-Ritz a função de aproximação

é imposta após a obtenção da energia associada ao problema, dispensando

condições naturais de contorno, enquanto que no Método de Galerkin a função de

aproximação é imposta diretamente na integral ponderada do resíduo da equação

diferencial e se utilizam funções testes que atendem todas as condições de

contorno do problema em questão. O método de Rayleigh-Ritz é um dos métodos

utilizados na análise através do Método dos Elementos Finitos (REDDY, 1993).

É conhecido que a energia de deformação total do sistema V é igual à soma

da energia de deformação por flexão U de uma placa circular e a energia potencial

das cargas externas Ω:

𝑉 = 𝑈 + 𝛺 (46)

Supondo uma placa fina apoiada sobre uma base elástica, a sua energia de

deformação por flexão (desprezando o efeito das tensões no eixo z como é dito na

teoria clássica de placas) é representada segundo a expressão abaixo, em que a

primeira integral acima descreve a energia de deformação por flexão e a segunda

descreve a energia potencial armazenada nas molas, que representam o apoio

elástico da placa:

Fundações das Torres Eólicas 65

𝑈 =1

2∫ ∫ ∫ (𝜎𝑟𝑟𝜀𝑟𝑟 + 𝜎𝜃𝜃𝜀𝜃𝜃 + 𝜎𝑟𝜃𝛾𝑟𝜃 + 𝜎𝑟𝑧𝛾𝑟𝑧 + 𝜎𝜃𝑧𝛾𝜃𝑧)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧

ℎ/2

−ℎ/2

2𝜋

0

𝑎

𝑏

+1

2∫ ∫ 𝑘.𝜔. 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃

2𝜋

0

𝑎

𝑏

(47)

Em um sistema conservativo, temos que a energia potencial das cargas

externas Ω é igual ao trabalho realizado pelas cargas aplicadas quando a estrutura

está deformada. Neste caso, a energia potencial da placa sujeita a um

carregamento externo transversal qz aplicado sobre a superfície da placa é dada

pela seguinte equação:

𝛺 = −∫ ∫ 𝑞𝑧

2𝜋

0

𝑎

𝑏

. 𝜔. 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃 (48)

3.2 Implementação de soluções analíticas para placas circulares finas

O estudo sobre o desenvolvimento da teoria de placas realizado no

subcapítulo 3.1.5 é aplicado no decorrer deste subcapítulo para o caso restrito de

placas circulares finas.

Este subcapítulo baseia-se no estudo realizado por Salas (2015) em sua

dissertação, acerca do tema discutido.

Campo de deslocamentos

Considerando a placa estudada como fina temos 6 deslocamentos

generalizados em cada ponto: duas translações uzi, duas rotações em φθi e duas

rotações em φri, com i=1,2. O giro no plano r-z e no plano θ-z é representado,

respectivamente, por:

𝜑𝜃 =𝑑𝑤

𝑑𝑟 (49)

𝜑𝑟 = −1

𝑟

𝑑𝑤

𝑑𝜃 (50)

Considerando-se pequenos deslocamentos temos:

Fundações das Torres Eólicas 66

𝑢𝑟(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧 (𝑑𝑤

𝑑𝑟) (51)

𝑢𝜃(𝑟, 𝜃, 𝑧) = −𝑧 (1

𝑟

𝑑𝑤

𝑑𝑟) (52)

𝑢𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑤 (54)

Campo de deformações

De acordo com a teoria de placas finas, as deformações εzz, γθz e γrz são

desprezíveis, pois apresentam valor próximo de zero. Com isso temos:

𝜀𝑟𝑟 = −𝑧𝑑2𝑤

𝑑𝑟2 (55)

𝜀𝜃𝜃 = −𝑧(1

𝑟

𝑑𝑤

𝑑𝑟+1

𝑟2𝑑2𝑤

𝑑𝜃2) (56)

𝛾𝑟𝜃 = −𝑧 (2

𝑟

𝑑2𝑤

𝑑𝑟𝑑𝜃−1

𝑟2𝑑𝑤

𝑑𝜃) (57)

Funções descritivas e graus de liberdade

Em um elemento de placa temos os graus de liberdade de translação

perpendiculares à superfície média e os graus de liberdade de rotação da seção

transversal. Existe um campo de deslocamentos wf que é composto por um vetor

de funções básicas wbf, que tem como elementos duas translações uzi e duas

rotações φθi com i=1,2, e um vetor de funções adicionais waf, que são

aproximações das funções de interpolação polinomiais de terceiro grau.

Figura 3.8 – Graus de liberdade da placa circular (SALAS, 2015).

𝑤𝑓 = {

𝑤𝑏𝑓𝑤𝑎𝑓𝑤𝑏𝑡𝑓𝑤𝑎𝑡𝑓

} (58)

Fundações das Torres Eólicas 67

𝑤𝑏𝑓 = {

𝑁1𝑁2𝑁3𝑁4

} (59)

𝑤𝑎𝑓 = {

𝑁5::𝑁𝑁

} (60)

Onde N1 ... N4 são funções de interpolação básicas nodais e N5 ... Nn são

funções de interpolação adicionais que descrevem deslocamentos e deformações

internas.

Os vetores wbtf e watf descrevem os deslocamentos circunferenciais e

resultam da multiplicação dos vetores wbf e waf por uma função trigonométrica

(sen θ) .

𝑤𝑏𝑡𝑓 = 𝑤𝑏𝑓. 𝑠𝑒𝑛𝜃 (61)

𝑤𝑎𝑡𝑓 = 𝑤𝑎𝑓 . 𝑠𝑒𝑛𝜃 (62)

Funções Nodais

As funções de forma polinomiais de uma viga N1 ... N4, por meio dos

deslocamentos nodais, podem descrever os quatro graus de liberdade da placa

estudada através de polinômios cúbicos, que possui graus de liberdade de rotação

e translação nas extremidades correspondentes.

𝑁1 = 1 −3𝑥2

𝐿2+2𝑥3

𝐿3 (63)

𝑁2 = 𝑥 −2𝑥2

𝐿+𝑥3

𝐿2 (64)

𝑁3 =3𝑥2

𝐿2−2𝑥3

𝐿3 (65)

𝑁4 = −𝑥2

𝐿+𝑥3

𝐿2 (66)

Estas funções nodais cumprem as condições básicas de problema, tendo

translações e rotações máximas nos nós. Os valores de x e L são dados por:

𝑥 = 𝑟 − 𝑏 (67) 𝐿 = 𝑎 − 𝑏 (68)

Funções adicionais

As funções adicionais N5 ... Nn são funções que resultam em deslocamentos

e rotações nulos nas extremidades. A função básica polinomial abaixo é adotada

Fundações das Torres Eólicas 68

para a determinação das funções adicionais onde A, B, c e D são constantes que

podem ser determinadas através das condições de contorno impostas ao problema

(as funções e suas tangentes se anulam nas extremidades):

𝑁≥5 = 𝐴 + 𝐵 (𝑥

𝐿) + 𝐶 (

𝑥

𝐿)2

+ 𝐷 (𝑥

𝐿)3

+ (𝑥

𝐿)𝑛+3

(69)

Uma vez obtidos os valores das constantes e substituindo os valores de x e L

na equação, temos o seguinte resultado:

𝑁≥5 = 𝑛 (𝑟 − 𝑏

𝑎 − 𝑏)2

− (1 + 𝑛) (𝑟 − 𝑏

𝑎 − 𝑏)3

+ (𝑟 − 𝑏

𝑎 − 𝑏)𝑛+3

(70)

Onde n é o número de polinômios adicionais necessários para o refinamento

do problema.

Energia de deformação da placa fina

A energia interna da placa é conhecida por meio do campo de

deslocamentos. Substitui-se as equações do campo de formações e as tensões na

equação de energia de deformação por flexão de uma placa fina descrita no

método de Rayleigh-Ritz e integra-se com respeito de h. Simplificando o

resultado temos:

𝑈 = 𝐷𝑜∫ ∫

[ (

𝑑2𝑤

𝑑𝑟2+1

𝑟

𝑑𝑤

𝑑𝑟+1

𝑟2𝑑2𝑤

𝑑𝜃2)

2

−2(1 − 𝜈)𝑑2𝑤

𝑑𝑟2(1

𝑟

𝑑𝑤

𝑑𝑟+1

𝑟2𝑑2𝑤

𝑑𝜃2)

+2(1 − 𝜈) (1

𝑟

𝑑2𝑤

𝑑𝑟𝑑𝜃+1

𝑟2𝑑𝑤

𝑑𝜃)

]

2𝜋

0

𝑏

𝑎

𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧

+1

2∫ ∫ 𝑘.𝑤 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

2𝜋

0

𝑎

𝑏

(71)

onde k é o coeficiente da base elástica e Do é o coeficiente de rigidez da placa

descrito por:

𝐷𝑜 =𝐸ℎ3

12(1 − 𝜈2) (72)

Fundações das Torres Eólicas 69

Na equação acima υ é o coeficiente de Poisson e E é o módulo de

elasticidade do material.

Matriz de rigidez da placa fina

Como podemos observar na equação abaixo, a matriz de rigidez da placa

fina é composta pelo somatório das suas energias de deformação.

[𝐾𝐸] = ∫ ∫ 𝐷𝑜{𝑉1}{𝑉1}𝑇2𝜋

0

𝑎

𝑏

𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟 +∫ ∫ 𝐷𝑜{𝑉2}{𝑉3}𝑇2𝜋

0

𝑎

𝑏

𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟

+ ∫ ∫ 𝐷𝑜{𝑉3}{𝑉2}𝑇2𝜋

0

𝑎

𝑏

𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟

+ ∫ ∫ 𝐷𝑜{𝑉4}{𝑉4}𝑇2𝜋

0

𝑎

𝑏

𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟 (73)

As parcelas constantes nas integrais acimas são dadas a seguir:

{𝑉1} = (𝑑2𝑤

𝑑𝑟2+1

𝑟

𝑑𝑤

𝑑𝑟+1

𝑟2𝑑2𝑤

𝑑𝜃2) (74)

{𝑉2} =𝑑2𝑤

𝑑𝑟2 (75)

{𝑉3} = (1

𝑟

𝑑𝑤

𝑑𝑟+1

𝑟2𝑑2𝑤

𝑑𝜃2) (76)

{𝑉4} = (1

𝑟

𝑑2𝑤

𝑑𝑟𝑑𝜃+1

𝑟2𝑑𝑤

𝑑𝜃) (77)

Vetor de forças

Para a placa que está sendo estudada, o tipo de carregamento aplicado é o

distribuído uniforme, o qual atua perpendicularmente à superfície média da placa.

O vetor de forças é calculado segundo a energia potencial de cargas externas:

[𝑃] = −∫ ∫ 𝑞𝑧{𝑤}𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃2𝜋

0

𝑎

𝑏

(78)

Fundações das Torres Eólicas 70

Matriz de massa

Sendo ρ a massa específica do material, a matriz de massa é descrita pela

equação abaixo:

[𝐾𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎] = 𝜌∫ ∫ ∫ {𝑤}{𝑤}𝑇2𝜋

0

𝑎

𝑏

𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑧

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

+𝜌ℎ2

12∫ ∫ ∫ {𝑤},𝑟{𝑤},𝑟

𝑇2𝜋

0

𝑎

𝑏

𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑧

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

+𝜌ℎ2

12∫ ∫ ∫

1

𝑟2{𝑤},𝜃{𝑤},𝜃

𝑇2𝜋

0

𝑎

𝑏

𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑧

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

(79)

Matriz geométrica

A matriz geométrica é obtida a partir do trabalho realizado pelas forças

constantes que agem na direção axial do plano médio da placa onde é representada

pela seguinte expressão:

[𝐾𝐺] = ℎ∫ ∫ 𝜎𝑟{𝑤},𝑟{𝑤},𝑟𝑇

2𝜋

0

𝑎

𝑏

𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟

+ ℎ∫ ∫1

𝑟2𝜎𝜃{𝑤},𝜃{𝑤},𝜃

𝑇2𝜋

0

𝑎

𝑏

𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟 (80)

3.3 Implementação de soluções analíticas para placas circulares espessas

O estudo sobre o desenvolvimento da teoria de placas realizado no

subcapítulo 3.1.5 é aplicado no decorrer deste subcapítulo para o caso restrito de

placas circulares espessas.

Este subcapítulo baseia-se no estudo realizado por Salas (2015) em sua

dissertação, acerca do tema discutido.

Campo de deformações

O campo de deformações é expresso pelas seguintes expressões:

Fundações das Torres Eólicas 71

𝜀𝑟𝑟 = 𝑧 (𝑑𝜑𝜃𝑑𝑟

) (81)

𝜀𝜃𝜃 =𝑧

𝑟(𝜑𝜃 −

𝑑𝜑𝑟𝑑𝜃

) (82)

𝛾𝑟𝜃 = −𝑧 [𝑑𝜑𝑟𝑑𝑟

+1

𝑟(𝑑𝜑𝜃𝑑𝜃

− 𝜑𝑟)] (83)

𝛾𝜃𝑧 =1

𝑟

𝑑𝑤

𝑑𝜃−𝑑𝜑𝑟𝑑𝑧

(84)

𝛾𝑟𝑧 =𝑑𝜑𝜃𝑑𝑧

+𝑑𝑤

𝑑𝑟 (85)

Campo de deslocamentos

Considerando a placa estudada como espessa teremos 3 vetores que

descrevem translações uzi, rotações em φθi e rotações em φri, com i=1,2. A figura

abaixo mostra os graus de liberdade da placa e a seguir são apresentadas as

expressões utilizadas:

Figura 3.9 – Graus de liberdade da placa circular (SALAS, 2015).

𝑤𝑒 = {𝑤𝑏𝑒𝑤𝑎𝑒

} 𝜑𝑟𝑒 = {𝜑𝑟𝑏𝑒𝜑𝑟𝑎𝑒

} 𝜑𝜃𝑒 = {𝜑𝜃𝑏𝑒𝜑𝜃𝑎𝑒

} (86,87,88)

Vetores que tem como elementos N1 ... N6 polinômios básicos de

interpolação nodais, que descrevem deslocamentos e rotações nodais:

𝑤𝑏𝑒 =

{

𝑁100𝑁400 }

𝜑𝑟𝑏𝑒 =

{

0𝑁200𝑁50 }

𝜑𝜃𝑏𝑒 =

{

00𝑁300𝑁6}

(89,90,91)

Vetores que tem como elementos N7 ... Nn funções de interpolação

adicionais, que descrevem deslocamentos e rotações internas:

Fundações das Torres Eólicas 72

𝑤𝑎𝑒 = {𝑁𝑤00} 𝜑𝑟𝑎𝑒 = {

00𝑁𝜑𝑟

} 𝜑𝜃𝑎𝑒 = {00

𝑁𝜑𝜃} (92,93,94)

Onde Nw é o número de funções adicionais de translação no eixo z, Nφr é o

número de funções adicionais de rotação no eixo r e Nφθ é o número de funções

adicionais de rotação no eixo θ. Cada uma das funções adicionais descritas é

composta por uma função par e ímpar e o número de elementos total que compõe

cada função adicional é calculado por:

𝑁𝑤 = 𝑁𝜑𝑟 = 𝑁𝜑𝜃 = 2(𝑁í𝑚𝑝𝑎𝑟 + 𝑁𝑝𝑎𝑟) (95)

Funções Nodais

As funções de forma polinomiais de uma viga N1 ... N6, por meio dos

deslocamentos nodais, podem descrever os 6 graus de liberdade da placa estudada,

sendo 4 graus de liberdade de rotação e 2 de translação nas extremidades

correspondentes.

𝑁1,2,3 = 1 −𝑥

𝐿 (96) 𝑁4,5,6 =

𝑥

𝐿 (97)

Substituindo 𝑥 = 𝑟 − 𝑏 e 𝐿 = 𝑎 − 𝑏 temos:

𝑁1,2,3 = 1 −𝑟−𝑏

𝑎−𝑏 (98) 𝑁4,5,6 =

𝑟−𝑏

𝑎−𝑏 (99)

Funções adicionais

As funções adicionais N7 ... Nn, segundo é definido por Salas (2015) são

polinômios hierárquicos que não apresentam significado físico, porém ajudam na

descrição das deformações dentro do domínio da placa.

Figura 3.10 – Relação entre coordenadas globais e coordenadas normalizadas

(SALAS, 2015).

𝜉 = 𝑐𝑥 + 𝑑 (100)

Fundações das Torres Eólicas 73

Na fórmula anterior, a equação linear relaciona as coordenadas

normalizadas com as coordenadas globais. Deste modo, se faz necessário o

conhecimento das constantes c e d a partir das condições nodais abaixo:

𝑥 = 𝑏 → 𝜉 = −1𝑥 = 𝑎 → 𝜉 = 1

} 𝑐 =2

𝑎 − 𝑏; 𝑑 =

2𝑏

𝑎 − 𝑏− 1 (101)

A expressão então fica da seguinte forma:

𝜉 =2(𝑟 − 𝑏)

𝑎 − 𝑏− 1 (102)

Uma forma usual para a definição das funções adicionais é utilizar

polinômios pares e ímpares como é mostrado a seguir:

𝑁≥7 = {1 − 𝜉2𝑛 𝑛 𝑝𝑎𝑟

𝜉 − 𝜉2𝑛 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 (103)

Substituindo o valor de ξ na equação acima temos:

𝑁𝑝𝑎𝑟>7 = 1 − [2(𝑟 − 𝑏)

𝑎 − 𝑏− 1]

2𝑛

(104)

𝑁í𝑚𝑝𝑎𝑟≥7 = [2(𝑟 − 𝑏)

𝑎 − 𝑏− 1] {1− [

2(𝑟 − 𝑏)

𝑎 − 𝑏− 1]

2𝑛

} (105)

Graus de Liberdade

Para uma placa espessa são necessários 6 graus de liberdade: 2 translações

no eixo z, 2 rotações no eixo θ e 2 rotações em r. Os graus de liberdade são

descritos pelos vetores w, φr e φθ apresentados abaixo:

𝑤 =

{

𝑤100𝑤400 }

𝜑𝜃 =

{

0𝜑200𝜑50 }

𝜑𝑟 =

{

00𝜑300𝜑6}

(106,107,108)

Relação tensão deformação

A relação tensão deformação para uma placa espessa elástica é representada

pelas fórmulas abaixo:

Fundações das Torres Eólicas 74

𝜎𝑟𝑟 =𝐸𝑧

(1 − 𝜈2)[(𝑑𝜑𝜃𝑑𝑟

) +𝜈

𝑟(𝜑𝜃 −

𝑑𝜑𝑟𝑑𝜃

)] (109)

𝜎𝜃𝜃 =𝐸𝑧

(1 − 𝜈2)[1

𝑟(𝜑𝜃 −

𝑑𝜑𝑟𝑑𝜃

) + 𝜈 (𝑑𝜑𝜃𝑑𝑟

)] (110)

𝜏𝑟𝜃 = −𝐸𝑧

2(1 + 𝜈)[𝑑𝜑𝑟𝑑𝑟

+1

𝑟(𝑑𝜑𝜃𝑑𝜃

− 𝜑𝑟)] (111)

𝜏𝑟𝑧 =𝐸𝑧

2(1 + 𝜈)[𝑑𝜑𝜃𝑑𝑧

+𝑑𝑤

𝑑𝑟] (112)

𝜏𝜃𝑧 =𝐸𝑧

2(1 + 𝜈)[1

𝑟

𝑑𝑤

𝑑𝜃−𝑑𝜑𝑟𝑑𝑧

] (113)

Energia de deformação da placa espessa

A energia de deformação da placa espessa pode ser expressa uma vez que já

é conhecido o campo de deslocamentos e o campo de deformações da placa

espessa. A relação tensão deformação para uma placa espessa elástica é descrita

pelas tensões normais e cisalhantes mostradas no tópico anterior. Abaixo é

mostrada a fórmula da energia de deformação, onde a segunda parcela somada

corresponde à energia do apoio elástico da placa:

𝑈 = ∫ ∫ ∫ ⌈𝜎𝑟𝑟𝜀𝑟𝑟 + 𝜎𝜃𝜃𝜀𝜃𝜃 + 𝜏𝑟𝜃𝛾𝑟𝜃 + 𝜏𝑟𝑧𝛾𝑟𝑧 + 𝜏𝜃𝑧𝛾𝜃𝑧⌉

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

2𝜋

0

𝑎

𝑏

𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧

+1

2∫ ∫ 𝑘.𝑤 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

2𝜋

0

𝑎

𝑏

(114)

Matriz de rigidez da placa espessa

A partir do princípio da energia de deformação podemos construir a matriz

de rigidez da placa espessa. Para isso é necessário saber que a deformação pode

ser expressa como um vetor e os seus elementos são vetores coluna. Desta forma,

os módulos de elasticidade longitudinal E’ e transversal G são dados por:

𝐸′ =𝐸

(1 − 𝜈2) (115)

𝐺 =𝐸

2(1 + 𝜈) (116)

A partir dos valores acima e integrando a equações de tensões e

deformações determinada no tópico anterior, a matriz de rigidez da placa, sendo k

Fundações das Torres Eólicas 75

o coeficiente de rigidez do apoio elástico e w o vetor de funções de deformação na

direção de aplicação das molas, é descrita como:

[𝐾𝐸] = ∫ ∫ ∫ ⌈{𝜀𝑟𝑟}𝐸′{𝜀𝑟𝑟}𝑇 + {𝜀𝜃𝜃}𝐸′{𝜀𝑟𝑟}

𝑇 + {𝜀𝑟𝑟}𝐸′{𝜀𝜃𝜃}𝑇

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

2𝜋

0

𝑎

𝑏

+ {𝜀𝜃𝜃}𝐸′{𝜀𝜃𝜃}𝑇 + {𝛾𝑟𝜃}𝐺{𝛾𝑟𝜃}

𝑇 + {𝛾𝑟𝑧}𝐺{𝛾𝑟𝑧}𝑇

+ {𝛾𝜃𝑧}𝐺{𝛾𝜃𝑧}𝑇⌉ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 + ∫ ∫ 𝑘. {𝑤} 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

2𝜋

0

𝑎

𝑏

(117)

Vetor de forças

O vetor de forças é calculado utilizando-se a energia potencial de cargas

externas e, neste caso, a carga aplicada perpendicularmente à superfície média da

placa é o carregamento distribuído uniforme:

[𝑃] = −∫ ∫ 𝑞𝑧{𝑤}𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃2𝜋

0

𝑎

𝑏

(118)

Matriz de massa

A ação inercial de um elemento de placa gerada a partir das acelerações

unitárias nos graus de liberdade é guardada na matriz de massa. Esta ação é

transformada em força concentrada nos nós, onde se obtém a fórmula:

[𝐾𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎] = ∫ ∫ ∫ 𝜌({𝑢𝑟}{𝑢𝑟}𝑇 + {𝑢𝜃}{𝑢𝜃}

𝑇

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

2𝜋

0

𝑎

𝑏

+ {𝑢𝑧}{𝑢𝑧}𝑇) 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 (119)

Matriz geométrica

A matriz de rigidez geométrica da placa circular espessa pode ser obtida

através do trabalho realizado pelas forças constantes (tensões) que agem na

direção axial à superfície média da placa. Esta matriz pode ser obtida a partir da

energia de deformação das cargas externas. A expressão utilizada é mostrada

abaixo:

Fundações das Torres Eólicas 76

[𝐾𝐺] = ∫ ∫ ∫ 𝜎𝜃𝜃{𝜑𝜃}{𝜑𝜃}𝑇 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

2𝜋

0

𝑎

𝑏

+∫ ∫ ∫ 𝜎𝑟𝑟{𝜑𝑟}{𝜑𝑟}𝑇 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧

ℎ2⁄

−ℎ2⁄

2𝜋

0

𝑎

𝑏

(120)

3.4 Variação de espessura linear da placa

Quando a espessura de uma placa circular aumenta linearmente com o raio

podemos dizer que a variação de espessura da placa é linear e pode ser descrita

pela seguinte fórmula:

ℎ = (ℎ1 − ℎ0𝑎 − 𝑏

) . (𝑟 − 𝑏) + ℎ0 (121)

Na fórmula acima temos que os parâmetros utilizados equivalem a:

h0 = espessura interna

h1 = espessura externa da placa

a = raio externo da placa

b = raio interno

No caso estudado em particular nesta dissertação, onde a placa circular

espessa não apresenta furo, admitimos um raio interno b muito próximo de zero

para efetuar os cálculos na equação proposta.

3.5 Exemplos de validação e aplicação utilizando o software Robot Structural Analysis Professional

O software utilizado para a modelagem da placa foi o Robot Structural

Analysis Professional. Este é um programa que oferece aos engenheiros

estruturais recursos avançados de análise e simulação de construções para

estruturas grandes e complexas. O manuseio do software é fácil, o que possibilita

que os engenheiros realizem com mais agilidade a simulação e análise de diversas

estruturas. Neste capítulo, o programa Robot foi utilizado para efetuar a análise

estática e a análise de vibrações da placa estudada.

Fundações das Torres Eólicas 77

A placa foi considerada como elástica com módulo de elasticidade E =

20000 Mpa e coeficiente de Poisson ν = 0,3. As condições de contorno adotadas

para a placa foram: bordo engastado e bordo simplesmente apoiado. A análise do

modelo foi realizada como elemento de placa.

A seguir são apresentadas as etapas de construção da placa no programa

Robot para, posteriormente, serem efetuadas as análises.

3.5.1 Etapas de modelagem da estrutura

Geometria

A geometria da placa circular foi definida através do software considerando

o raio externo igual a 9,00 m e espessura constante de 0,20 m, no caso de análise

com placa de espessura constante. Para o caso de placa com espessura variável, a

espessura da placa no raio externo foi definida como h1 = 0,20 m e no centro

como h0 = 0,30 m.

Figura 3.11 – Definição do contorno da placa (esquerda) e atribuição da espessura

da placa (direita).

Fundações das Torres Eólicas 78

Definição dos tipos de cargas

A definição dos tipos de cargas depende da natureza das cargas que serão

aplicadas na placa circular. A carga de peso próprio já é criada automaticamente

pelo programa. A criação de outras duas novas cargas é necessária para a análise

da placa: a carga pontual P e o carregamento distribuído (ou sobrecarga) q.

Figura 3.12 – Tipos de cargas – definição.

Definição dos valores de cargas

Depois de finalizada a criação das cargas, é feita a definição dos valores

destas cargas, direção de aplicação e local onde elas atuarão. Para o caso da carga

pontual P, foi definida uma força nodal com módulo igual a 50 kN atuando na

direção negativa do eixo z, aplicada no centro da placa:

Figura 3.13 – Definição da carga pontual Pz.

Fundações das Torres Eólicas 79

Para o caso de carregamento distribuído q, foi criada uma carga planar

uniforme de 50 kN/m² atuando na direção negativa do eixo z, aplicada

uniformemente sobre toda a superfície da placa:

Figura 3.14 – Definição da sobrecarga qz.

Definição dos apoios

Como foi dito anteriormente, a placa será estudada através de duas

condições de contorno: placa engastada no bordo e placa simplesmente apoiada no

bordo. A condição engastada impede todos os movimentos de translação e rotação

da placa, enquanto que a condição simplesmente apoiada impede somente a

translação.

Figura 3.15 – Definição dos apoios dos bordos da placa – engastada (esquerda) e

simplesmente apoiada (direita).

Fundações das Torres Eólicas 80

Criação da malha de elementos finitos

Após desenhar a estrutura, aplicar as cargas que irão atuar sobre ela e

estabelecer suas condições de apoio, como a modelagem é baseada em elementos

finitos, é preciso definir uma malha específica para a estrutura que servirá como

modelo de cálculo para o programa. Quanto menor o tamanho do elemento

utilizado, maior será o refinamento da malha e mais preciso serão os resultados.

Figura 3.16 – Geração da malha de elementos finitos

Verificação da estrutura

Efetuada todas as etapas anteriores, é necessário verificar a estrutura para

saber se o modelo é consistente ou não. O programa emite o número de erros e

avisos para a estrutura desenhada. Os avisos servem como um alerta, mas não

necessariamente precisam ser levados em conta. Já os erros devem ser corrigidos,

pois podem levar a estrutura ao colapso.

Fundações das Torres Eólicas 81

Figura 3.17 – Verificação da estrutura – análise de erros de modelagem.

Cálculo da estrutura e resultados

Eliminados os erros que possivelmente possam ser detectados na estrutura,

podemos então partir para o cálculo da mesma. Neste exemplo, foi realizada uma

análise estática e a estrutura é então avaliada para cada caso de carga e

combinação previamente definida pelo usuário.

Figura 3.18 – Cálculo da estrutura e geração dos resultados.

Fundações das Torres Eólicas 82

A forma como os resultados serão apresentados é escolhido pelo usuário.

Esforços de tração, compressão, momentos, deslocamentos, tensões e outros

podem ser mostrados pelo programa em forma de mapas, valores e isolinhas

(linhas de mesmo valor). As reações de apoio também podem ser obtidas. A

direção que os resultados serão mostrados depende da escolha do usuário ou pode

ser automática (definida pelo programa).

Figura 3.19 – Escolha da apresentação dos resultados.

3.5.2 Análise Estática

Considerando uma placa circular com carregamento uniformemente

distribuído com raio 9,0 m, a diferença entre os resultados de deslocamento e

momentos analíticos e numéricos para as condições de apoio engastada e

simplesmente apoiada é mostrada nas tabelas abaixo. Para a avaliação dos

resultados tomou-se um ponto localizado com um raio de 4,5 m a partir do centro

da placa. O mesmo acontece para o caso em que uma carga pontual é aplicada no

centro. Uma comparação é realizada baseando-se nos resultados encontrados

utilizando as fórmulas baseadas em Timoshenko e os resultados encontrados por

SALAS (2015).

Fundações das Torres Eólicas 83

Os cálculos dos deslocamentos e dos momentos radial e circunferencial

unitários a partir das fórmulas de Timoshenko serão realizados abaixo, de modo a

permitir uma posterior comparação com os resultados obtidos pela modelagem da

placa no programa Robot Structural.

1º) Placa de Espessura Uniforme com Carregamento Distribuído

- Engastada

O deslocamento na posição r = 4,5m para uma placa de espessura constante

sujeita a carregamento distribuído e engastada na borda pode ser calculado a partir

da seguinte equação da superfície fletida:

𝑤 =𝑞

64𝐷∗ (𝑅2 − 𝑟2)²

Sendo:

𝐷 =𝐸ℎ³

12(1 − 𝜐3)= 20000 ∗ 106 ∗ 0,203

12(1 − 0,32)= 14,652 ∗ 106 𝑁.𝑚

𝑤 =50 ∗ 10³

64 ∗ 14,652 ∗ 106∗ (92 − 4,52)2 = 0,1968 𝑚

O momento radial na posição r = 4,5m é obtido através da expressão:

𝑀𝑟 =𝑞 ∗ [𝑅2(1 + 𝜐) − 𝑟²(3 + 𝜐)]

16

𝑀𝑟 =50 ∗ 10³ ∗ [92(1 + 0,3) − 4,5²(3 + 0,3)]

16= 12,0234 ∗ 104 𝑁.𝑚

O momento circunferencial na posição r = 4,5m é então obtido por:

𝑀𝜃 =𝑞 ∗ [𝑅2(1 + 𝜐) − 𝑟²(1 + 3𝜐)]

16

𝑀𝜃 =50 ∗ 10³ ∗ [92(1 + 0,3) − 4,5²(1 + 3 ∗ 0,3)]

16= 20,8828 ∗ 104 𝑁.𝑚

- Apoiada

O deslocamento na posição r = 4,5m para uma placa de espessura constante

sujeita a carregamento distribuído e simplesmente apoiada na borda pode ser

calculado a partir da seguinte equação da superfície fletida:

Fundações das Torres Eólicas 84

𝑤 =𝑃 (𝑅2 − 𝑟2)

64𝐷∗ [(5 + 𝜐) ∗ 𝑅²

(1 − 𝜐)− 𝑟²]

𝑤 =50 ∗ 10³ (92 − 4,5)

64 ∗ 14,652 ∗ 106∗ [(5 + 0,3) ∗ 92

(1 − 0,3)− 4,52] = 1,0041 𝑚

O momento radial na posição r = 4,5m é obtido através da expressão:

𝑀𝑟 =(3 + 𝜐) ∗ 𝑞 ∗ (𝑅2 − 𝑟2)

16

𝑀𝑟 =(3 + 0,3) ∗ 50 ∗ 10³ ∗ (92 − 4,52)

16= 62,6484 ∗ 104 𝑁.𝑚

O momento circunferencial na posição r = 4,5m é então obtido por:

𝑀𝜃 =𝑞 ∗ [(3 + 𝜐)𝑅2 − (1 + 3𝜐)𝑟²]

16

𝑀𝜃 =50 ∗ 10³ ∗ [(3 + 0,3)92 − (1 + 3 ∗ 0,3)4,5²]

16= 71,5078 ∗ 104 𝑁.𝑚

Na tabela abaixo é apresentado o resumo dos resultados e a comparação dos

valores obtidos através de Timoshenko e Salas (2015) com os valores encontrados

segundo a modelagem realizada para este trabalho:

Tabela 3.1 – Comparação dos resultados de deslocamento, momento radial e momento

circunferencial de uma placa circular de espessura uniforme submetida a um

carregamento distribuído atuando no centro da placa.

Fundações das Torres Eólicas 85

Os resultados obtidos para o estudo de uma placa de espessura constante

sujeita a carregamento distribuído tanto para a condição de contorno engastada

quanto para a condição simplesmente apoiada na borda foram satisfatórios. Para

os deslocamentos encontrados, a diferença em porcentagem entre os valores

comparados com Timoshenko e Salas (2015) variaram em torno de 16 e 32%. No

entanto, para os momentos radial e circunferencial das duas condições de

contorno as diferenças percentuais foram muito pequenas, podendo na maioria dos

casos admitir como desprezível.

Os valores de deslocamento podem ser melhorados levando-se em conta a

utilização do fator de correção de cortante utilizado por Salas (2015) de ks² =

π²/12. Utilizando deste recurso, os valores de deslocamento ficam alterados de

0,1641 para 0,1823 e de 0,6869 para 0,7632, apresentado uma redução na

diferença percentual de -16,6% para -7,4% e de -31,6% para -24,0%,

respectivamente. Fica portanto evidenciada a necessidade de um estudo mais

detalhado da questão do coeficiente de correção e do modelo do Robot.. Os

resultados de Timoshenko valem para uma placa fina, sendo desprezadas as

deformações de cisalhamento, mas são certamente bem estabelecidos e testados na

literatura.

2º) Placa de Espessura Uniforme com Carga Pontual

- Engastada

O deslocamento na posição r = 4,5m para uma placa de espessura constante

sujeita a carga pontual atuando no centro e engastada na borda pode ser calculado

a partir da seguinte equação da superfície fletida:

𝑤 =𝑃

16𝜋𝐷∗ (𝑅2 − 𝑟2 − 2 ∗ 𝑟2 ∗ ln

𝑅

𝑟)

𝑤 =50 ∗ 10³

16 ∗ 𝜋 ∗ 14,652 ∗ 106∗ (92 − 4,52 − 2 ∗ 4,52 ∗ ln

9

4,5) = 0,0022 𝑚

O momento radial na posição r = 4,5m é obtido através da expressão:

𝑀𝑟 =𝑃

4𝜋∗ [(1 + 𝜐) ∗ ln

𝑅

𝑟− 1]

Fundações das Torres Eólicas 86

𝑀𝑟 =50 ∗ 10³

4 ∗ 𝜋∗ [(1 + 0,3) ∗ ln

9

4,5− 1] = −3,9355 ∗ 102𝑁.𝑚

O momento circunferencial na posição r = 4,5m é então obtido por:

𝑀𝜃 =𝑃

4𝜋∗ [(1 + 𝜐) ∗ ln

𝑅

𝑟− 𝜐]

𝑀𝜃 =50 ∗ 10³

4 ∗ 𝜋∗ [(1 + 0,3) ∗ ln

9

4,5− 0,3] = 23,9167 ∗ 102𝑁.𝑚

-Apoiada

O deslocamento na posição r = 4,5m para uma placa de espessura constante

sujeita a carga pontual atuando no centro e simplesmente apoiada na borda pode

ser calculado a partir da seguinte equação da superfície fletida:

𝑤 =𝑃

16𝜋𝐷∗ [(3 + 𝜐)

(1 + 𝜐)∗ (𝑅2 − 𝑟2) + 2 ∗ 𝑟2 ∗ ln

𝑅

𝑟]

𝑤 =50 ∗ 10³

16 ∗ 𝜋 ∗ 14,652 ∗ 106∗ [(3 + 0,3)

(1 + 0,3)∗ (92 − 4,52) + 2 ∗ 4,52 ∗ ln

9

4,5]

= 0,00856

O momento radial na posição r = 4,5m é obtido através da expressão:

𝑀𝑟 =𝑃

4𝜋∗ (1 + 𝜐) ∗ ln

𝑅

𝑟

𝑀𝑟 =50 ∗ 10³

4 ∗ 𝜋∗ (1 + 0,3) ∗ ln

9

4,5= 35,8533 ∗ 102𝑁.𝑚

O momento circunferencial na posição r = 4,5m é então obtido por:

𝑀𝜃 =𝑃

4𝜋∗ [(1 + 𝜐) ∗ ln

𝑅

𝑟+ (1 − 𝜐)]

𝑀𝜃 =50 ∗ 10³

4 ∗ 𝜋∗ [(1 + 0,3) ∗ ln

9

4,5+ (1 − 0,3)] = 63,7054 ∗ 102𝑁.𝑚

Na tabela abaixo é apresentado o resumo dos resultados e a comparação dos

valores obtidos através de Timoshenko e Salas (2015) com os valores encontrados

segundo a modelagem realizada para este trabalho:

Fundações das Torres Eólicas 87

Tabela 3.2 – Comparação dos resultados de deslocamento, momento radial e momento

circunferencial de uma placa circular de espessura uniforme submetida a uma carga

pontual atuando no centro da placa.

Os resultados obtidos para o estudo de uma placa de espessura constante

sujeita a carga pontual atuando no centro da placa tanto para a condição de

contorno engastada quanto para a condição simplesmente apoiada na borda foram

satisfatórios. Para os deslocamentos encontrados, a diferença em porcentagem

entre os valores comparados com Timoshenko variaram em torno de 0 e 25%.

Entretanto, nos valores obtidos por Salas (2015) foram detectados erros para

ambos os deslocamentos. A variação do resultado é de uma casa decimal, embora

se isso for ajustado os valores coincidem com os valores teóricos de Timoshenko.

Tendo em vista o erro decimal nos valores, quando comparados aos obtidos nesta

dissertação, os mesmos tornam-se absurdos chegando a quase 100% de diferença

entre os resultados. Esta diferença é reportada na Tabela 3.2, apesar de ser

evidente que o resultado tão discrepante advém de um erro de transcrição de Salas

em seu trabalho.

Para os momentos radial e circunferencial das duas condições de contorno

as diferenças percentuais foram muito pequenas variando de 0,3 à 2,0%, podendo

admitir como desprezível.

Lembrando que os resultados baseados em Timoshenko são cálculos

numéricos realizados a partir de suas fómulas encontradas no seu livro. Os

resultados de Salas foram obtidos através da modelagem da placa com o método

Fundações das Torres Eólicas 88

de Rayleigh-Ritz e também com um software de elementos finitos denominado

SAP2000. Já os resultados encontrados e estudados nesta dissertação foram

modelados a partir do programa Robot Structural.

A mesma análise feita até aqui foi utilizada para uma placa de espessura

variável simplesmente apoiada com o caso de carregamento distribuído e com o

caso de carga pontual. Os cálculos realizados e os resultados obtidos podem ser

analisados abaixo.

3º) Placa de Espessura Variável Simplesmente Apoiada na Borda

- Carregamento Distribuído

O deslocamento máximo para uma placa de espessura variável sujeita a

carregamento distribuído e apoiada na borda pode ser calculado a partir da

fórmula abaixo, considerando os seguintes dados:

ℎ0 = 0,75 𝑚

ℎ1 = 0,50 𝑚

ℎ0ℎ1= 1,5

𝑎 = 𝑟𝑎𝑖𝑜 = 9,0 𝑚

A partir da tabela encontrada no livro de Timoshenko podemos obter os

valores dos coeficientes que serão utilizados nas equações de deslocamento e

momentos:

Fundações das Torres Eólicas 89

Figura 3.20 – Tabela retirada do livro de Timoshenko (1959) com os coeficientes

utilizados no cálculo dos deslocamentos e momentos para uma placa simplesmente

apoiada sujeita a carregamento distribuído.

𝛼 = 0,126, 𝛽 = 0,176, 𝛽1 = 0,173, 𝜐 = 0,25

𝑤𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝛼𝑞 ∗ 𝑎4

𝐸 ∗ ℎ𝑜3

𝑤𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 1,26 ∗50 ∗ 103 ∗ 94

20000 ∗ 106 ∗ 0,753= 0,0489

O momento radial na posição r = 4,5m é obtido através da expressão:

𝑀𝑟 = 𝛽𝑞𝑎² = 0,176 ∗ 50 ∗ 103 ∗ 92 = 71,2800 ∗ 104𝑁.𝑚

O momento circunferencial na posição r = 4,5m é então obtido por:

𝑀𝜃 = 𝛽1𝑞𝑎² = 0,173 ∗ 50 ∗ 103 ∗ 92 = 70,0650 ∗ 104𝑁.𝑚

- Carga Pontual

O deslocamento máximo para uma placa de espessura variável sujeita a

carga pontual atuando no centro e apoiada na borda pode ser calculado a partir da

fórmula abaixo, considerando os seguintes dados:

ℎ0 = 0,75 𝑚

ℎ1 = 0,50 𝑚

ℎ0ℎ1= 1,5

𝑎 = 𝑟𝑎𝑖𝑜 = 9,0 𝑚

A partir da tabela encontrada no livro de Timoshenko podemos obter os

valores dos coeficientes que serão utilizados nas equações de deslocamento e

momentos:

Fundações das Torres Eólicas 90

Figura 3.21 – Tabela retirada do livro de Timoshenko (1959) com os coeficientes

utilizados no cálculo dos deslocamentos e momentos para uma placa simplesmente

apoiada sujeita a carga pontual no centro.

𝛼 = 0,93, 𝛽 = 0,088, 𝛽1 = 0,123, 𝜐 = 0,25

𝑤𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝛼𝑃 ∗ 𝑎2

𝐸 ∗ ℎ𝑜3

𝑤𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 0,93 ∗50 ∗ 103 ∗ 92

20000 ∗ 106 ∗ 0,753= 0,0004

O momento radial na posição r = 4,5m é obtido através da expressão:

𝑀𝑟 = 𝛽𝑃 = 0,088 ∗ 50 ∗ 103 = 44,0000 ∗ 102𝑁.𝑚

O momento circunferencial na posição r = 4,5m é então obtido por:

𝑀𝜃 = 𝛽1𝑃 = 0,123 ∗ 50 ∗ 103 = 61,5000 ∗ 102𝑁.𝑚

Na tabela abaixo é apresentado o resumo dos resultados e a comparação dos

valores obtidos através de Timoshenko e Salas (2015) com os valores encontrados

segundo a modelagem realizada para este trabalho:

Fundações das Torres Eólicas 91

Tabela 3.3 – Comparação dos resultados de deslocamento, momento radial e momento

circunferencial de uma placa circular de espessura variável submetida a dois casos de

carga: um carregamento distribuído e uma carga pontual atuando no centro da placa.

Os resultados obtidos para o estudo de uma placa de espessura variável

condição de contorno apoiada submetida a carregamento distribuído e

posteriormente a carga pontual atuando no centro da placa seguiram o mesmo

padrão de análise para a placa uniforme e também foram satisfatórios. Para os

deslocamentos encontrados, a diferença em porcentagem entre os valores

comparados com Timoshenko e Salas (2015) variaram em torno de 30%.

Entretanto, nos valores obtidos por Salas (2015) para carga pontual foi detectado

um possível erro na leitura do deslocamento. A variação do resultado é de uma

casa decimal quando comparados com os resultados de Timoshenko e os

adquiridos neste estudoTendo em vista o erro decimal nos valores, quando

comparados aos obtidos nesta dissertação, os mesmos tornam-se absurdos

chegando a quase 100% de diferença entre os resultados. Novamente, esta

diferença é reportada na Tabela 3.3, apesar de ser evidente que o resultado tão

discrepante advém de um erro de transcrição de Salas em seu trabalho.

Para os momentos radial e circunferencial das duas condições de contorno

as diferenças percentuais foram muito pequenas variando de 0,1 à 0,6%, podendo

admitir como desprezível.

Fundações das Torres Eólicas 92

3.5.3 Análise de Vibrações

A placa estudada no subcapítulo anterior para obter resultados de análise

estática também foi utilizada para efetuar estudos de vibrações e instabilidade, que

serão apresentados neste subcapítulo. Para isso, foram obtidos os 10 primeiros

modos de vibração da placa a partir da modelagem de uma placa circular de

espessura uniforme, apoiada no contorno da borda e sujeita a carregamento

distribuído na direção da superfície da placa de 1 kN/m. Os resultados encontram-

se disponíveis no anexo G.

Silva (2014), em sua dissertação, testou um elemento de placa fina para

domínios com contornos irregulares para análise de vibrações livres, além de

comparar as frequências naturais obtidas pelos modelos teóricos com um

elemento implementado por método dos elementos finitos. Ele obteve bons

resultados em sua pesquisa e um de seus estudos realizados permite-nos comparar

com os resultados gerados neste trabalho.

A configuração dos 4 primeiros modos de vibração da placa fina quadrada

de Silva (2014) são apresentadas a seguir. Ao lado, é mostrada a configuração

obtida neste trabalho para os mesmos modos de vibração.

Silva (2014) Autor

1º Modo de Vibração

2º Modo de Vibração

Fundações das Torres Eólicas 93

3º Modo de Vibração

4º Modo de Vibração

Figura 3.22 – Modos de vibração de Silva (2014) (à esquerda) e do Autor (à direita).

É importante destacar que, embora a placa fina modelada por Silva (2014)

seja quadrada e a placa fina estudada nesta dissertação seja circular, as

configurações dos modos de vibração obtidos são similares.

Na tabela 3.4 temos as frequências obtidas para os 10 primeiros modos de

vibração da placa circular. Sabe-se que a frequência (f) é definida como o número

de vezes que um evento acontece em um determinado período de tempo (T).

Desta forma temos:

𝑓 =1

𝑇 𝑜𝑢 𝑇 =

1

𝑓

𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑜𝑢 𝜔 =2𝜋

𝑇

Sendo ω definido como a velocidade angular dado em rad/s. A frequência f

tem como unidade o hertz (Hz) e o período T é dado em segundos (s).

Fundações das Torres Eólicas 94

Tabela 3.4 – Frequência da placa.

3.5.4 Análise de Instabilidade

A análise de instabilidade foi realizada através da compressão radial

uniforme da placa circular fina de espessura constante e apoiada ao longo do seu

bordo, estudada nos subcapítulos anteriores. Uma carga de 1 kN/m foi aplicada

continuamente na direção radial da placa e os seguintes resultados foram obtidos:

1º Modo de Vibração

2º Modo de Vibração

3º Modo de Vibração

4º Modo de Vibração

5º Modo de Vibração

Tabela 3.5 – Coeficientes críticos de flambagem.

A partir da tabela acima podemos calcular a carga crítica de flambagem Pcr.

Sabendo-se que a carga aplicada é de -1 kN/m, o coeficiente crítico máximo

encontrado, segundo é apresentado na tabela, é -5,52 x 105 e a precisão do

resultado é de 1,29, temos que:

𝑃𝑐𝑟 = −1 𝑥(−5,52105𝑥105)𝑥1,29753

Fundações das Torres Eólicas 95

𝑃𝑐𝑟 = 7,1637 𝑥 105 𝑘𝑁/𝑚

A partir dos estudos realizados por Salas (2015) no programa SAP e pela

literatura de Timoshenko onde é possível calcular o resultado teórico, podemos

montar a seguinte tabela:

Tabela 3.6 – Comparação das cargas críticas de flambagem.

Comparando os resultados apresentados acima podemos confirmar a

qualidade dos resultados calculados a partir do programa Robot Structural, pois os

mesmos apresentam diferença desprezível em relação aos resultados modelados

por Salas (2015) no programa de elementos finitos SAP 2000 e pela literatura de

Timoshenko.

Na modelagem realizada nesta dissertação, foram utilizados quadriláteros de

4 nós para divisão da superfície e tetraedros de 4 nós para a divisão volumétrica.

A análise é realizada com elemento de placa. A malha é subdividida em elementos

de tamanho 0,25 m e o método escolhido utilizado para a criação de malha pelo

programa é o método Delaunay, onde este método apresenta alguns critérios que

otimiza o processo de geração da malha, dando origem à malhas que são

adequadas para a simulação numérica. Este método, composta de triângulos “bem

comportados”, pode ser usada em diversas aplicações, sendo largamente

empregada em elementos finitos.

4 Dimensionamento das fundações dos aerogeradores

4.1 Aspectos do Dimensionamento de Placas Circulares de Concreto Armado (Lajes)

De acordo com Fabrício e Rossignolo (2001), na maioria dos casos, como as

tensões admissíveis à compressão do concreto são muito superiores às tensões

admissíveis dos solos, as seções dos pilares ou colunas, próximas à superfície do

terreno, são alargadas, de forma que a pressão aplicada ao terreno seja compatível

com sua tensão admissível (figura 4.1), formando então a fundação da estrutura.

Figura 4.1 – Tensão admissível do terreno (FABRÍCIO e ROSSIGNOLO, 2001).

Em caso de fundações de formato quadrado, as dimensões L e B devem ser

convenientemente adotadas a fim de que o dimensionamento seja econômico. Isto

consiste em fazer com que as abas sejam iguais, resultando momentos iguais nos

quatro balanços e seção da armadura da fundação igual nos dois sentidos. Para

fundações circulares, como é o caso que estamos estudando nesta dissertação, as

abas consequentemente já são iguais e, por isso, a seção da armadura adotada será

a mesma para ambos os sentidos.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 97

4.2 Efeitos a considerar

No cálculo e dimensionamento de fundações algumas peculiaridades devem

ser levadas em conta, assim como acontece com outros elementos estruturais. Nos

próximos tópicos veremos alguns pontos importantes que foram utilizados neste

estudo.

4.2.1 Estudo de impacto ambiental

A preocupação com os impactos ambientais também está presente na

construção das fundações das torres eólicas. Segundo Azevedo & Barbosa (2013),

a localização incorreta do parque eólico pode originar impactos negativos e para

isso ser evitado cabe às entidades competentes analisar precisamente o local de

instalação do parque eólico.

Uma avaliação deverá ser realizada para se obter o licenciamento do parque

eólico passando pelo Estudo de Impacto Ambiental (EIA), que consiste em um

documento técnico onde são avaliadas as consequências que tal projeto poderá

ocasionar no meio ambiente.

4.2.2 Fundação direta ou indireta

As fundações são classificadas em diretas ou rasas, ou ainda superficiais, e

indiretas ou profundas.

O tipo de fundação que será utilizado na estrutura depende basicamente da

intensidade da carga e da profundidade da camada resistente do solo. A partir

disso, a opção escolhida é a que atende pelo menos a maior parte das seguintes

exigências: a solução mais econômica, mais viável quanto à execução, mais rápida

e que atenda as normas de segurança.

4.2.3 Variação de espessura

Durante a concepção estrutural do projeto de fundação é possível escolher

se a mesma terá espessura uniforme ou variável. Em alguns casos é escolhida a

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 98

variação da espessura do centro para as bordas, sendo a região central mais

espessa que a região das bordas.

Um dos motivos de se adotar este tipo de fundação é que a variação de

espessura da placa minimiza o volume de concreto da fundação, já que nas abas

superiores da região da borda da fundação não ocorre ação de esforços, como

pode ser verificado pelo método de bielas e tirantes e é mostrado na figura 4.2:

Figura 4.2 – Transferência de cargas para a base (fonte:

www.ebah.com.br/content/ABAAAfUzQAG/sapatas-concreto-armado).

4.2.4 Disposição de armadura

A disposição e a escolha da armadura devem atender não somente a função

estrutural, mas também às condições de execução em campo, como em relação ao

lançamento e adensamento do concreto. Segundo o item 18.2.1 da NBR, o

espaçamento entre as barras deve permitir a introdução do vibrador de modo a

impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do

elemento estrutural.

É importante ressaltar que a escolha pela armadura disposta ortogonalmente

permite garantir a resistência do bloco de forma mais equivalente para todas as

direções de incidência das cargas, dos momentos e da ação do vento. A armadura

escolhida tem como principal função resistir aos esforços e tensões na fundação e

diminuir as deformações.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 99

4.3 Estudo de caso: Memória de Cálculo das Bases das Torres da Central Geradora Eólica União dos Ventos

4.3.1 Resumo do relatório de cálculo

Um estudo foi realizado baseado no relatório da empresa Portante

Engenharia de Projetos, na qual a mesma teve como objetivo descrever toda a

memória de cálculo e as considerações feitas no projeto das bases dos

aerogeradores da Central Eólica União dos Ventos, realizado em maio de 2012,

que seria implantado no município de Enxú Queimado, Rio Grande do Norte. A

seguir, será apresentado um resumo deste estudo.

O programa SAP 2000 foi utilizado para a análise estrutural do modelo

numérico da base estudada. As verificações e dimensionamento dos estados

limites foram realizados com base na norma brasileira de concreto armado vigente

da época: a NBR 6118/2007.

Quanto as informações referentes ao projeto, o concreto utilizado no

dimensionamento da fundação foi fck = 30Mpa. O modelo do aerogerador foi o

GE 1.6-100 NAMTS with 79,9 m HH 60 Hz SW, da General Eletric – GE, como

pode ser visto na figura 4.3:

Figura 4.3 – Vista do aerogerador GE 1.6-100 NAMTS (LIMA et al., 2012).

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 100

As cargas máximas na fundação foram fornecidas pela fabricante GE e já

estão inclusas a inércia, a massa, as forças aerodinâmicas que atuam sobre o motor

e na torre, as forças causadas por acelerações e outras ações dinâmicas. Além

disso, também foram levadas em consideração as cargas de peso próprio e

reaterro. O sistema de coordenadas utilizado é apresentado na figura 4.4 abaixo:

Figura 4.4 – Sistema de coordenadas global (LIMA et al., 2012).

A seguir são apresentadas as tabelas com os casos de carga mais adequados

e todos os esforços ocorrendo ao mesmo tempo, com e sem coeficiente de

segurança. Todos os valores já estão prontos para serem utilizados no cálculo da

fundação. O valor do coeficiente de segurança é representado por γ.

Tabela 4.1 – Cargas máximas sem coeficiente de segurança.

Tabela 4.2 – Cargas máximas com coeficiente de segurança.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 101

Tabela 4.3 – Cargas médias para a velocidade nominal de vento.

A geometria da fundação pode ser visualizada nas figuras 4.5 e 4.6 abaixo:

Figura 4.5 – Vista superior em centímetros (LIMA et al., 2012).

Figura 4.6 – Elevação em centímetros (corte dividindo a geometria em 2 metades iguais)

(LIMA et al., 2012).

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 102

A fundação foi modelada no programa de elementos finitos SAP 2000 como

placa espessa, que possui graus de liberdade translacional e rotacional e suporta

forças e momentos, levando em conta também deformação por cortante. A

fundação foi dividida em três regiões para se levar em conta a variação de

espessura e altura adotada é igual à espessura média da região, sendo a parte

central com 3 metros de altura, a parte intermediária com 1,6 metros e a parte

externa com espessura média de 1,4 metros. A malha foi gerada com dimensão

máxima de 0,35 cm.

A placa é apoiada sobre 20 estacas espaçadas radialmente a 18 graus e

foram modeladas como elementos de barras. Possuem um engaste fictício a 4

metros de profundidade e estão inclinadas a 5º com a vertical.

Figura 4.7 – Locação das estacas em centímetros (LIMA et al., 2012).

Quanto ao dimensionamento estrutural da fundação, os cálculos foram

realizados baseados na NBR 6118/2007, que era a norma vigente na época da

confecção do relatório. Os seguintes dados dos materiais foram adotados:

Coeficientes

Coeficiente de minoração da resistência do aço: γs =1,15

Coeficiente de minoração da resistência do concreto: γc = 1,40

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 103

Requisitos Para a Garantia da Durabilidade

Classe de Agressividade: III

Relação água/cimento em massa: Rac <= 0.55

Classe do concreto: C >= 30 MPa

Limite de fissuração: Wk_lim = 0.3 mm

Cobrimento nominal: Cnom = 5.0 cm

Diâmetro máximo do agregado graúdo = 1.2 x Cnom = 6.0 cm

Aço

fyk = 500 MPa (Aço CA50A)

fyd = 43.48 kN/cm²

Es = 210000 MPa

Concreto

γconc = 25 kN/m³

fck =30 MPa (Classe C30)

fcd = 2,14 kN/cm²

Eci = 30672.46 Mpa

Ecs = 26071.59 MPa

O volume total da fundação é de 260,12 m³ e a área de forma é 80,6 m². O

peso da placa e do reaterro sobre a placa é de 6502,93 kN. Todos esses valores

encontram-se calculados na memória de cálculo da Portante Engenharia e podem

ser vistos abaixo:

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 104

Dimensionamento à flexão

O dimensionamento à flexão foi efetuado em faixas de influência, como

pode ser verificado na figura abaixo. Uma seção foi definida onde será admitido o

cálculo da armadura para toda a fundação. É importante ressaltar que a armadura

será disposta ortogonalmente a fim de garantir a resistência do bloco de forma

mais equivalente para todas as direções de incidência do vento.

Figura 4.8 – Faixas de influência e seção de cálculo (LIMA et al., 2012).

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 105

Para cada faixa foram calculadas a armadura superior e inferior e suas

respectivas ancoragens e abertura de fissuras. De modo a facilitar a montagem da

armadura na obra, é usual que o projetista distribua uniformemente a armadura

calculada e, por isso, foi feita uma padronização das armaduras calculadas por

faixa, sendo adotado o máximo valor encontrado para toda a fundação:

Armadura Inferior: ϕ 25 mm c/ 15 cm (camada dupla)

Ancoragem Inferior: 120 cm

Abertura de Fissuras Inferior: wk = 0,21 mm < wk_lim = 0,3 mm

Armadura Superior: ϕ 20 mm c/ 10 cm (camada simples)

Ancoragem Superior: 100 cm

Abertura de Fissuras Inferior: wk = 0,01 mm < wk_lim = 0,3 mm

Os valores encontrados acima podem ser vistos abaixo:

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 106

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 107

Verificação à punção

Quanto a verificação à punção, esta foi avaliada em três superfícies (C, C’ e

C”) representadas na figura a seguir:

Figura 4.9 – Superfícies críticas (LIMA et al., 2012).

Foram calculadas as tensões solicitantes de cálculo e as tensões resistentes.

As verificações foram efetuadas para cada superfície crítica e concluiu-se que a

superfície crítica C não necessita de reforço por punção, já nas superfícies críticas

C’ e C” foi necessário adotar armadura de punção, segundo avaliado nos cálculos

realizados.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 108

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 109

Verificação ao cisalhamento

O cálculo do estribo próximo aos chumbadores foi efetuado considerando

que esses formassem uma viga curva de 100 cm de largura. A verificação da

resistência do concreto foi satisfeita e a área de aço de cisalhamento encontrada

foi de 41,178 cm²m. A armadura adotada foi ϕ 12,5 mm c/ 15 cm considerando

estribo com 6 pernas.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 110

Este relatório apresentou o dimensionamento estrutural de uma fundação

composta por uma placa espessa apoiada em 20 estacas tipo raiz baseada na

norma brasileira de concreto armado vigente na época NBR 6118/2007. Os

cálculos de dimensionamento e as verificações efetuadas foram satisfatoriamente

atendidos segundo a norma adotada.

4.3.2 Modelagem do estudo de caso no Robot Structural para efeitos de comparação

O caso estudado no tópico anterior foi modelado no programa de elementos

finitos Robot Structural como uma placa espessa circular para ser comparado com

os resultados encontrados no relatório de cálculo da empresa Portante Engenharia

e, de certa forma validá-los.

Os materiais, o diâmetro da placa, as regiões de espessuras distintas e o

mesmo caso de carga foram utilizados.

Figura 4.10 – Geometria da placa.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 111

Quanto à geometria da placa, esta foi dividida em três regiões para facilitar

a sua modelagem, variando a espessura com base na altura média de cada região.

Figura 4.11 – Divisão da placa em três regiões de espessuras distintas: região interna

(3,0 m), região central (1,6 m) e região externa (1,4 m).

A placa foi apoiada sobre 20 estacas de 41 cm de diâmetro e um engaste

fictício foi considerado na ponta de cada estaca a uma profundidade de 4 m

simulando uma conexão de nó rígido no bloco, como pode ser observado na figura

4.12. As estacas foram modeladas por elementos de barra, onde este elemento

utiliza uma formulação tridimendional de vigas e colunas (elementos de pórtico),

incluindo efeitos de flexão, torção, deformação axial e deformações biaxiais

causadas por cortante nos eixos locais de sua seção. Todas estas considerações

foram com utilizadas no projeto calculado pela Portante Engenharia.

Figura 4.12 – Placa apoiada sobre estacas: modelo adotado (à esquerda) e visualização

3D (à direita).

Quanto às cargas e momentos adotados, podemos verificá-los a seguir. Uma

combinação foi feita com todos os casos de carga mencionados acima para a

avaliação do comportamento da estrutura.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 112

Figura 4.13 – Cargas adotadas na modelagem da placa.

Figura 4.14 – Momentos adotados na modelagem da placa.

O refinamento da malha de elementos finitos adotada também seguiu o

especificado no relatório da Portante Engenharia. A malha foi gerada

automaticamente pelo programa com uma dimensão máxima do elemento de 0,35

cm. A topologia da malha pode ser vista abaixo:

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 113

Figura 4.15 – Malha de elementos finitos.

Após a modelagem completa da placa, os cálculos do programa foram

realizados e os resultados gerados. A combinação forneceu o seguinte resultado:

Figura 4.16 – Máxima carga de compressão e tração nas estacas calculadas pelo

programa.

A carga máxima de compressão na estaca calculada pelo programa foi

1055,03 kN e a carga máxima de tração na estaca foi de –778,97 kN. Devemos

lembrar que o peso próprio da placa de concreto e o peso do aterro acima da placa

não foram incluídos dentre os casos de carga calculados pelo programa. Desta

forma, estes valores deverão ser incluídos nos resultados acima encontrados:

Peso próprio da placa de concreto = 6502,93 kN

Peso do aterro = 3714,2 kN

𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 = 6502,93 + 3714,2

20= 510,85 𝑘𝑁

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 114

Logo, os valores encontrados para carga máxima de compressão e tração na

estaca ficam alterados para:

Carga máxima de compressão = 1055,03 + 510,85 = 1565,88 kN

Carga máxima de tração = -778,97 + 510,85 = -268,12 kN

Tabela 4.4 – Cargas máximas calculadas de compressão e tração nas estacas.

4.4 Implementação de planilha em programa computacional para dimensionamento de fundações de placas circulares com espessura variável

Com base nos estudos realizados ao longo deste capítulo, foi possível criar

uma planilha em Excel para o cálculo e dimensionamento de fundações de placas

circulares com espessura variável. Este tipo de fundação se assemelha no cálculo

de fundações em sapata circular, como veremos a seguir.

Figura 4.17 – Fundação em placa circular (fonte:

www.lmsp.ufc.br/arquivos/graduacao/fundacao/apostila/03.pdf)

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 115

4.4.1 Formulação baseada na NBR 6118:2014

A planilha que será apresentada posteriormente foi formulada com base na

norma brasileira de concreto NBR 6118:2014, Projeto de estruturas de concreto –

Procedimento. Os itens estudados para a sua implementação são apresentados a

seguir, um a um, assim como as fórmulas e os critérios adotados.

1) Dados de entrada

- Dimensões da torre eólica

Diâmetro da base db

- Esforços nominais

Força vertical nominal Nk

Força horizontal nominal Hk

Momento nominal Mk

Coeficiente de majoração dos esforços γcargas

- Tensão admissível do solo σsolo,adm

Peso específico do solo γsolo

- Resistência característica do concreto fck

Coeficiente de majoração do concreto γc

Peso específico do concreto γconc

- Resistência característica do aço fyk

Coeficiente de majoração do aço γs

2) Determinação das dimensões da fundação

- Cálculo da Área da base:

A determinação da área da base da fundação é realizada através do cálculo

em função do carregamento vertical majorado em 10% e da tensão admissível do

solo:

𝐴 =1,10. 𝑁𝑘

𝜎𝑠𝑜𝑙𝑜,𝑎𝑑𝑚 − (1,10.𝑀𝑘

𝑊 )

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 116

Tabela 4.5 – Tabela de tensões básicas admissíveis retirada da NBR 6122:2010.

Como, neste caso, é uma placa circular:

𝐴 = 𝜋. 𝑟2

Resolvendo a equação acima achamos o raio mínimo que deverá ser adotado

para a placa.

- Verificação da tensão máxima de compressão

Devemos verificar se a força normal encontra-se dentro do núcleo central

verificando a excentricidade e assim confirmando se não há tensões de tração na

sapata:

𝑒 =𝑀𝐾

𝑁𝐾<𝐷

6

Calculamos o módulo de resistência à flexão para seção circular por:

𝑊 =𝜋.𝐷3

32

E com isso a tensão máxima de compressão é calculada por:

𝜎𝑚á𝑥,𝑐𝑜𝑚𝑝 =1,10. 𝑁𝑘

𝐴+𝑀𝐾

𝑊

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 117

- Cálculo da altura:

De modo a garantir a rigidez, a altura mínima da placa, de acordo com a

NBR 6118:2014, deve ser:

ℎ𝑐𝑝,𝑚í𝑛 ≥(𝐷 − 𝑑𝑏)

3

Figura 4.18 – Altura mínima da placa.

- Ancoragem da armadura de flexão

Segundo a NBR 6118:2014, as barras tracionadas podem ser ancoradas ao

longo de um comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura em sua

extremidade, de acordo com as seguintes condições:

a) obrigatoriamente com gancho para barras lisas;

b) sem gancho nas que tenham alternância de solicitação, de tração e

compressão;

c) com ou sem gancho nos demais casos, não sendo recomendado o gancho

para barras deφ > 32 mm ou para feixes de barras.

As barras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos.

É necessário que a altura seja suficiente para garantir a ancoragem das

barras da armadura da fundação e para que a transmissão de forças seja efetuada

de maneira correta. A tabela abaixo apresenta os comprimentos de ancoragem em

função do diâmetro para barras classificadas com boa e má aderência, aço CA-50,

para diferentes resistências à compressão característica do concreto e podendo

apresentar ganchos ou não:

Tabela 4.6 – Comprimentos de ancoragem.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 118

3) Dimensionamento à flexão - armaduras longitudinais

Para a determinação dos momentos fletores é necessário criar uma seção de

referência para cálculo que estará posicionada em LD (figura 4.19):

Figura 4.19 – Seção de referência S1 para o cálculo do momento fletor.

𝐿𝐷 = 𝐿 + 0,15. 𝑑𝑏

As tensões máxima e mínima são calculadas pela seguinte expressão:

𝜎𝑚á𝑥 =𝑁𝑑𝐴+𝑀𝑑

𝑊

𝜎𝑚í𝑛 =𝑁𝑑𝐴−𝑀𝑑

𝑊

𝑝𝑚á𝑥 = 𝜎𝑚á𝑥. 𝐷

𝑝𝑚í𝑛 = 𝜎𝑚í𝑛. 𝐷

Utilizando geometria, através de semelhança de triângulos, encontramos o

carregamento na seção de referência S1 (𝑝𝑆1). Com isso podemos calcular o

momento fletor na seção:

𝑀𝑆1 =𝑝𝑆1. 𝐿𝐷

2

2+(𝑝𝑚á𝑥−𝑝𝑆1)

2. 𝐿𝐷 .

2

3. 𝐿𝐷

𝑝𝑆1 = [𝑝𝑚á𝑥 − 𝑝𝑚í𝑛

𝐷∗ (𝐷 − 𝐿𝐷)] + 𝑝𝑚í𝑛

Calculado então o momento fletor na seção de referência, será utilizada a

seguinte expressão no cálculo das armaduras longitudinais, onde d é a altura útil

da seção:

𝐴𝑠 =𝑀𝑆1

0,8. 𝑑. 𝑓𝑦𝑑

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 119

A armadura adotada acima não pode ser menor que a armadura mínima

estipulada pela NBR 6118:2014 e, por isso, é necessário verificar:

𝐴𝑠,𝑚í𝑛 =0,67. 𝜌𝑚í𝑛100

. ℎ𝑐. 𝑏𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎

Sendo bfaixa a largura da faixa de cálculo considerada como 1,0 m e ρmín

retirado da tabela 4.7 abaixo:

Tabela 4.7 – Valores de taxa mínima de armadura.

Se a armadura mínima encontrada for maior que a armadura calculada,

então esta será adotada. Caso contrário, a armadura calculada prevalecerá.

O número de barras (n) é calculado após a escolha da bitola do ferro (ϕ) que

será utilizada, pela seguinte expressão:

𝑛 =𝐴𝑠𝐴𝑓

A avaliação do espaçamento entre barras é dada por:

𝑠 =𝐷 − 2. 𝑐

𝑛 − 1

Com isso, temos o dimensionamento da armadura à flexão da fundação em

questão.

4) Dimensionamento ao cisalhamento - armaduras transversais

Para efetuar o dimensionamento ao cisalhamento é necessário efetuar

algumas verificações básicas como a verificação da ruptura por compressão

diagonal, a verificação do esforço cortante e a verificação das tensões de

aderência.

- Verificação da ruptura por compressão diagonal

Na verificação da ruptura por compressão diagonal, a tensão resistente é

calculada da seguinte forma:

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 120

𝜏𝑅𝑑2 = 0,27. 𝛼𝑉. 𝑓𝑐𝑑

𝛼𝑉 = 1 −𝑓𝑐𝑘250

𝑓𝑐𝑑 =𝑓𝑐𝑘𝛾𝑐

A tensão solicitante é calculada por:

𝜏𝑆𝑑 =𝐹𝑠𝑑𝑢. 𝑑

sendo u o perímetro da base da fundação.

A verificação à ruptura é satisfeita quando 𝜏𝑆𝑑 ≤ 𝜏𝑅𝑑2.

- Verificação de esforço cortante

A verificação do esforço cortante é obtida através do cálculo em uma seção

de referência S2 cuja distância da face da base da torre é d/2 (figura 4.20).

Figura 4.20 – Seção de referência S2 para o cálculo de verificação do esforço cortante.

𝐿2 =𝐷 − 𝑑𝑏2

−𝑑

2

Por semelhança de triângulos é possível calcular a altura útil da seção de

referência S2 dS2 a partir da altura útil do centro d e da altura útil da borda db:

𝑑 − 𝑑𝑏

𝐿2 +𝑑2⁄=𝑑𝑆2 − 𝑑𝑏𝐿2

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 121

A tensão na seção de referência S2 é obtida através das tensões máxima e

mínima na base da fundação através de relação geométrica (figura 4.21).

Figura 4.21 – Cálculo da tensão na seção de referência S2.

A força cortante solicitante de cálculo é expressa pela fórmula abaixo:

𝑉𝑆𝑑 = (𝑝𝑆2 + 𝑝𝑚á𝑥

2) . 𝐿2

Se a força cortante solicitante de cálculo VSd for menor que a resistência de

projeto ao cisalhamento VRd1, a armadura transversal pode ser dispensada. A

resistência de projeto ao cisalhamento é definida como:

𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1

𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑. 𝑘. (1,2 + 40. 𝜌1). 𝐷. 𝑑𝑆2

𝜏𝑅𝑑 = 0,0375. 𝑓𝑐𝑘2 3⁄

𝑘 = |1,6 − 𝑑𝑆2|

𝜌1 =𝐴𝑠

𝐷. 𝑑𝑆2

- Verificação das tensões de aderência

Para não haver escorregamento das barras efetuamos a verificação da

aderência, considerando a armadura paralela ao lado definida para o cálculo das

armaduras longitudinais, na seção de referência S1:

𝑉𝑆𝑑,1 = (𝑝𝑚á𝑥 + 𝑝𝑆1

2) . 𝐿𝐷

𝜏𝑏𝑑 =𝑉𝑆𝑑,1

0,9. 𝑑. (𝑛. 𝜋. 𝜙)

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 122

A tensão de aderência atuante não deve ser maior que a resistência de

aderência de cálculo fbd, segundo consta na NBR 6118:2014:

𝜏𝑏𝑑 ≤ 𝑓𝑏𝑑

𝑓𝑏𝑑 = 𝜂1. 𝜂2. 𝜂3. 𝑓𝑐𝑡𝑑

𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,15. 𝑓𝑐𝑘2 3⁄ (𝑀𝑃𝑎)

onde η1, η2, η3 são os coeficientes para cálculo da tensão de aderência da

armadura passiva. O coeficiente η1 refere-se ao tipo de superfície da barra:

Tabela 4.8 – Coeficiente η1.

O coeficiente η2 refere-se à condição de aderência da barra. Segundo a NBR

6118:2014, ocorre boa situação quanto à aderência nos trechos das barras que se

encontram em uma das posições seguintes:

a) com inclinação maior que 45° sobre a horizontal;

b) horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde

que:

— para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30

cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais

próxima;

— para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30

cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais

próxima.

Os trechos das barras em outras posições, e quando do uso de formas

deslizantes, devem ser considerados em má situação quanto à aderência. Os

valores abaixo são adotados para efeito de cálculo. Neste trabalho, as barras serão

consideradas sempre horizontais e, portanto, o coeficiente η2 tem seu valor igual a

1,0.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 123

O coeficiente η3 é determinado a partir da bitola escolhida para a armadura

calculada:

5) Punção

Podemos realizar a verificação à punção da fundação através do item 19.5

da NBR 6118:2014 – “Dimensionamento de lajes à punção”. O cálculo

corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas

definidas no entorno de forças concentradas.

O contorno C corresponde à primeira superfície crítica onde deve ser

verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto por meio da

tensão de cisalhamento.

O contorno C’ refere-se à segunda superfície crítica afastada 2d da base da

torre, onde verifica-se a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à

tração diagonal. Caso necessite de ligação, a mesma deverá ser reforçada com

armadura transversal.

Figura 4.22 – Superfícies críticas C e C’.

No contorno C” somente haverá verificação caso haja necessidade de

colocar armadura transversal. O contorno C” é distanciado 2d do contorno C’.

- Tensão solicitante nas superfícies críticas C, C’ e C”

No caso em que temos força aplicada e efeito de momento, o efeito de

assimetria deve ser considerado e o cálculo é efetuado pela expressão:

𝜏𝑆𝑑 =𝐹𝑆𝑑𝑢. 𝑑

+𝐾.𝑀𝑆𝑑𝑊𝑝. 𝑑

𝜏𝑆𝑑′ =𝐹𝑆𝑑𝑢′. 𝑑

+𝐾.𝑀𝑆𝑑𝑊𝑝. 𝑑

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 124

𝜏𝑆𝑑" =𝐹𝑆𝑑𝑢". 𝑑

+𝐾.𝑀𝑆𝑑𝑊𝑝. 𝑑

onde

u é o perímetro do contorno crítico C;

u’ é o perímetro do contorno crítico C’;

u” é o perímetro do contorno crítico C”;

d é a altura útil da placa ao longo do contorno C’;

u.d é a área da superfície crítica;

FSd é a força ou a reação concentrada de cálculo;

MSd é o momento fletor de cálculo;

K é o coeficiente que fornece a parcela de MSd transmitida ao pilar por

cisalhamento, que depende da relação C1/C2 tabelada. No caso de seção circular,

deve ser adotado K=0,6.

O valor de Wp é calculado por:

𝑊𝑝 = (𝑑𝑏 + 4𝑑)²

- Tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica

C

A verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na

superfície crítica C deve ser:

𝜏𝑆𝑑 ≤ 𝜏𝑅𝑑2 = 0,27. 𝛼𝑉. 𝑓𝑐𝑑

𝛼𝑉 = (1 −𝑓𝑐𝑘

250⁄ ) 𝑀𝑃𝑎

- Tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica

C’ – sem armadura de punção

𝜏𝑆𝑑′ ≤ 𝜏𝑅𝑑1 = 0,13. (1 + √20 𝑑⁄ ) . (100. 𝜌. 𝑓𝑐𝑘)1 3⁄ + 0,10. 𝜎𝑐𝑝

onde

d é a altura útil da placa ao longo do contorno C a área de aplicação da força

em centímetros;

ρ é a taxa geométrica de armadura de flexão aderente

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 125

Se 𝜏𝑆𝑑′ > 𝜏𝑅𝑑1, então a fundação precisa de reforço por punção.

- Tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica

C’ – com armadura de punção

𝜏𝑆𝑑′ ≤ 𝜏𝑅𝑑3

𝜏𝑅𝑑3 = 0,10. (1 + √20 𝑑⁄ ) . (100. 𝜌. 𝑓𝑐𝑘)1 3⁄ + 0,10. 𝜎𝑐𝑝

+ 1,5.𝑑

𝑠𝑟.𝐴𝑠𝑤′. 𝑓𝑦𝑤𝑑 . 𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑢. 𝑑

𝐴𝑠𝑤′ = 𝑠𝑟. [(𝜏𝑆𝑑′ − 0,75. 𝜏𝑅𝑑1). 𝑢′

1,5. 𝑓𝑦𝑤𝑑 . sin 𝛼]

onde

sr é o espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, não maior do

que 0,75d;

Asw’ é a área da armadura de punção em um contorno completo paralelo a

C’;

α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da

laje;

u é o perímetro crítico ou perímetro crítico reduzido no caso de pilares de

borda ou canto.

fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior do que

300 MPa para conectores ou 250 MPa para estribos (de aço CA-50 ou CA-60).

Para lajes com espessura maior que 15 cm, esses valores podem ser aumentados

conforme estabelece o item 19.4.2 da NBR 6118:2014.

Se 𝜏𝑆𝑑′ ≤ 𝜏𝑅𝑑3, então a armadura de punção adotada está ok!

- Tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica

C” – sem armadura de punção

𝜏𝑆𝑑" ≤ 𝜏𝑅𝑑1

Se 𝜏𝑆𝑑" > 𝜏𝑅𝑑1 ,então a fundação precisa de reforço por punção.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 126

- Tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica

C” – com armadura de punção

𝜏𝑆𝑑" ≤ 𝜏𝑅𝑑3"

𝜏𝑅𝑑3" = 0,10. (1 + √20 𝑑⁄ ) . (100. 𝜌. 𝑓𝑐𝑘)1 3⁄ + 0,10. 𝜎𝑐𝑝

+ 1,5.𝑑

𝑠𝑟.𝐴𝑠𝑤". 𝑓𝑦𝑤𝑑 . 𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑢". 𝑑

𝐴𝑠𝑤" = 𝑠𝑟. [(𝜏𝑆𝑑" − 0,75. 𝜏𝑅𝑑1). 𝑢"

1,5. 𝑓𝑦𝑤𝑑 . sin 𝛼]

Se 𝜏𝑆𝑑" ≤ 𝜏𝑅𝑑3",então a armadura de punção adotada está ok!

6) Estabilidade

De modo a evitar que a fundação esteja sujeita a movimentos de

tombamento e deslizamento, é necessário realizar a verificação de estabilidade e

garantir sua segurança.

- Verificação ao tombamento

Como podemos encontrar em Montoya (1973), a verificação ao tombamento

deve ser realizada em fundações sujeitas a momentos ou forças horizontais. O

momento de tombamento intensificado por um coeficiente de segurança deve ser

menor que o momento das forças que se opõem ao tombamento:

(𝑀 + 𝐹ℎ. ℎ1). 𝛾1 ≤ (𝐹𝑉 + 𝑃𝑃).𝐷

2

Figura 4.23 – Fundação submetida a momento, forças vertical e horizontal.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 127

- Verificação ao deslizamento

Para fundações isoladas com ação de força horizontal devemos realizar a

verificação ao deslizamento. O atrito entre a base da fundação e o terreno ou a

coesão do terreno evitam o deslizamento. Neste caso, o empuxo passivo devido à

superfície lateral da fundação em contato com o solo é desprezada, visto que não é

garantida a sua ação permanente, pois o solo pode ser retirado em obras futuras.

A condição de verificação consiste em:

Forças de resistência ao deslizamento

Força de atrito:

𝐹𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 = (𝐹𝑉 + 𝑃𝑃). 𝜇𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜

𝜇𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 é o coeficiente de atrito do solo

Forças de deslizamento

Força horizontal (exemplo: vento):

𝐹𝐻

Segurança ao deslizamento

𝜇𝑑𝑒𝑠𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =𝐹𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜𝐹𝐻

4.4.2 Apresentação da planilha sobre fundação em placa circular com espessura variável

Para efetuar o dimensionamento da fundação através da planilha é

necessário entrar com os dados referentes ao projeto nas células com borda

vermelha. Esta borda indica que esta é uma célula onde o usuário irá alterar de

acordo com os dados contidos no projeto.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 128

PLACA CIRCULAR ESPESSA

Fundação em Placa Circular de Espessura Variável

DADOS DE ENTRADA

Torre Eólica

Descrição Sigla Valor Unidade

Diâmetro do pedestal de apoio da base da

torre db 5 m

Esforços Nominais Torre Eólica

Descrição Sigla Valor Unidade

Força Vertical nominal Fvk 2271 kN

Força Horizontal nominal FHk 671,2 kN

Momento nominal Mk 51146,9 kN.m

Coeficiente de majoração das cargas γcargas 1,10 -

Armadura

Descrição Sigla Valor Unidade

Resistência característica do concreto fck 30 Mpa

Coeficiente de majoração do concreto γc 1,4 -

Peso específico do concreto γconc 25 kN/m³

Resistência característica do aço fyk 500 MPa

Coeficiente de majoração do aço γs 1,15 -

Cobrimento nominal adotado c 5 cm

Terreno

Descrição Sigla Valor Unidade

Tensão admissível do solo σsolo,adm 200 kN/m²

Coeficiente de atrito do solo μatrito 0,3 -

Peso específico do solo γsolo 18 kN/m³

Tabela 4.9 – Dados de entrada.

A partir da segunda tabela os cálculos já vão sendo realizados

automaticamente através das fórmulas contidas em cada célula. Em alguns pontos

específicos é necessário que o usuário faça escolhas com base nos parâmetros

calculados. Caso a escolha seja inválida, uma mensagem é gerada pelo programa,

como podemos ver a seguir:

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 129

Figura 4.24 – Mensagem gerada pelo programa para entrada de dados

inválida.

PLACA CIRCULAR ESPESSA

Fundação em Placa Circular de Espessura Variável

DIMENSIONAMENTO GEOMÉTRICO

Cálculo da Área da Base

Descrição Sigla Valor Unidade

Área da base Abase 109,23 m²

Raio mínimo rmín 5,90 m

Raio adotado r 6,85 m

Área da base adotada Abase_adot 147,41 m²

Área da seção do pedestal Apedestal 19,63 m²

Diâmetro adotado D 13,7 m

Cálculo da Altura da Base

Descrição Sigla Valor Unidade

Altura mínima centro + pedestal hcpmín 2,90 m

Altura adotada centro + pedestal hcp 3 m

Altura pedestal hpe 1,3 m

Altura adotada centro hc 1,7 m

Altura mínima borda hbmín 0,35 m

Altura adotada borda hb 1,3 m

Área da forma Af 82,66 m²

Área de concreto Ac 249,70 m²

Volume de concreto Vc 250,57 m³

Peso próprio da fundação PP 6264,24 kN

Verificação da Tensão máxima de compressão

Descrição Sigla Valor Unidade

Excentricidade da carga e 22,52 m

Aumentar raio adotado: Tensões de Tração!

Módulo de resistência à flexão W 252,44 m³

Tensão máxima de compressão σmáx, comp 266,30 kN/m²

Aumentar raio adotado: Tensão máxima de compressão > Tensão

admissível! Tabela 4.10 – Dimensionamento geométrico.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 130

Algumas linhas da tabela estão com grafia vermelha para estabelecer uma

comunicação com o usuário sobre o que está acontecendo com os cálculos do

programa. Esta interação permite que o usuário tome conhecimento do local exato

onde pode estar ocorrendo problema de dimensionamento estrutural.

As mensagens informando que existem tensões de tração na fundação a qual

foram atribuídas as características da projetista permite entender o motivo pelo

qual a empresa optou em usar fundação profunda neste caso. As tensões são muito

elevadas e aumentar as dimensões da fundação seria inviável, pois esta já possui

grandes dimensões e aumentá-las ocasionaria também um aumento do volume de

concreto e da quantidade de aço utilizada para a sua confecção, impactando no

custo.

Na memória de cálculo da Portante Engenharia, o dimensionamento à flexão

foi efetuado em faixas de influência. Como já foi abordado anteriormente, uma

seção foi definida onde será admitido o cálculo da armadura para toda a fundação.

É importante ressaltar que, em ambos os casos, a armadura será disposta

ortogonalmente a fim de garantir a resistência do bloco de forma mais equivalente

para todas as direções de incidência do vento. Os valores de armadura encontrados

através dos cálculos da planilha coincidem com o obtido pela Portante

Engenharia, tanto para armadura superior quanto para a inferior.

PLACA CIRCULAR ESPESSA

Fundação em Placa Circular de Espessura Variável

DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO

Tensões na Base

Descrição Sigla Valor Unidade

Tensão máxima σmáx 364,71 kN/m²

Aumentar raio adotado: Tensão Máxima maior que a Tensão Admissível!

Tensão mínima σmín -202,59 kN/m²

Tensão Mínima provocando esforços de tração na fundação!

Carregamento máximo pmáx 4996,57 kN/m

Carregamento mínimo pmín -2775,49 kN/m

Carregamento na seção de cálculo S1 pS1 2103,32 kN/m

Armadura Inferior

Descrição Sigla Valor Unidade

Distância da seção de cálculo S1 da borda do 0,15.db 0,75 m

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 131

pedestal

Distância da aba da fundação L 4,35 m

Distância da seção de cálculo S1 da borda da base LD 5,1 m

Altura útil no centro d 2,950 m

Momento fletor na seção de cálculo S1 MS1 94737,45 kN.m

Armadura longitudinal calculada As 923,29 cm²

Taxa geométrica de armadura mínima ρmín 0,345 -

Armadura longitudinal mínima As,

mín 69,35 cm²

Armadura longitudinal adotada

As,

adot 923,29 cm²

Taxa geométrica de armadura ρ 0,11 -

Diâmetro do ferro escolhido φ 25,0 mm

Número de barras n 189 barras

Espaçamento simples entre barras s 7,2 cm

Utilizar camada dupla!

Espaçamento com camada dupla sduplo 15 cm

Armadura Superior

Descrição Sigla Valor Unidade

Carregamento na seção de cálculo S1' pS1' 117,76 kN/m

Distância da seção de cálculo S1' da borda do

pedestal 0,15.db 0,75 m

Distância da aba da fundação L 4,35 m

Distância da seção de cálculo S1' da borda da base LD 5,1 m

Altura útil no centro d 2,950 m

Distância do ponto de interseção da seção de

cálculo x 0,23 m

Momento fletor na seção de cálculo S1' MS1' 29428,93 kN.m

Armadura longitudinal calculada As' 286,81 cm²

Taxa geométrica de armadura mínima ρ'mín 0,345 -

Armadura longitudinal mínima As',

mín 69,35 cm²

Armadura longitudinal adotada

As',

adot 286,81 cm²

Taxa geométrica de armadura ρ' 0,03 -

Diâmetro do ferro escolhido φ 20,0 mm

Número de barras n 92 barras

Espaçamento simples entre barras s 15,0 cm

Espaçamento simples OK!

Espaçamento com camada dupla sduplo - cm Tabela 4.11 – Dimensionamento à flexão.

Os valores de armadura encontrados foram:

Armadura Inferior: ϕ 25 mm c/ 15 cm (camada dupla)

Armadura Superior: ϕ 20 mm c/ 10 cm (camada simples)

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 132

Dando continuação ao dimensionamento passamos para a verificação a

cerca do cisalhamento. A força cortante solicitante encontrada é bem menor que a

resistência de projeto ao cisalhamento e, por isso, não há necessidade de utilizar

armadura transversal.

PLACA CIRCULAR ESPESSA Fundação em Placa Circular de Espessura Variável

DIMENSIONAMENTO AO CISALHAMENTO

Verificação da Ruptura por Compressão

Diagonal

Descrição Sigla Valor Unidade

Tensão resistente τRd2 5091,43 kN/m²

Tensão solicitante τSd 94,11 kN/m²

OK!

Verificação de Esforço Cortante

Descrição Sigla Valor Unidade

Distância da seção de cálculo S2 da borda da base L2 2,88 m

Altura útil da seção de cálculo S2 dS2 3,65 m

Carregamento na seção de cálculo S2 pS2 3365,57 kN/m

Força cortante solicitante VSd 12020,58 kN

Resistência de projeto ao cisalhamento VRd1 47106,66 kN

OK: armadura transversal pode ser dispensada!

Verificação das Tensões de Aderência

Descrição Sigla Valor Unidade

Força de aderência VSd,1 18104,71 kN

Tensão de aderência atuante τbd,2 459,38 kN/m²

Escolha do tipo de barra: lisa, entalhada ou

nervurada? nervurada

Coeficiente ƞ1 ƞ1 2,25 -

Coeficiente ƞ2 - boa aderência ƞ2 0,70 -

Coeficiente ƞ3 ƞ3 1,00 -

Resistência de aderência de cálculo fbd 2280,97 kN/m²

OK!

Ancoragem

Descrição Sigla Valor Unidade

Comprimento de ancoragem básico lb 119,13 cm

Comprimento de ancoragem necessário lb,nec 83,39 cm

Comprimento de ancoragem mínimo

lb,

mín 35,74 cm

Comprimento de ancoragem adotado lb,

adot 120,00 cm

Diâmetro interno da curvatura dos ganchos Dcurv 20 cm Tabela 4.12 – Dimensionamento ao cisalhamento.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 133

Quanto à verificação à punção, esta foi avaliada em três superfícies (C, C’ e

C”). Foram calculadas as tensões solicitantes de cálculo e as tensões resistentes.

As verificações foram efetuadas para cada superfície crítica e concluiu-se que a

superfície crítica C não necessita de reforço por punção e já nas superfícies

críticas C’ e C” foi necessário adotar armadura de punção, segundo avaliado nos

cálculos realizados. As respectivas mensagens sobre a necessidade ou não de

armadura de punção são geradas pela planilha.

PLACA CIRCULAR ESPESSA Fundação em Placa Circular de Espessura Variável

PUNÇÃO

Perímetro crítico

Descrição Sigla Valor Unidade

Perímetro crítico da superfície crítica C u 15,71 m

Perímetro crítico da superfície crítica C' u' 41,47 m

Perímetro crítico da superfície crítica C" u" 67,23 m

Altura média d_med 1,40 m

Cobrimento estrutural d' 10,00 cm

Tensão Solicitante

Descrição Sigla Valor Unidade

Tensão solicitante na superfície crítica C τSd 898,14 kN/m²

Tensão solicitante na superfície crítica C' τSd' 526,84 kN/m²

Tensão solicitante na superfície crítica C" τSd" 440,09 kN/m²

Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na

Superfície C Descrição Sigla Valor Unidade

Tensão resistente na superfície crítica C τRd2 5091,43 kN/m²

Verificação: τSd/τRd2 < 1 OK! SIM

Não precisa de armadura de punção!

Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na

Superfície C' - sem armadura de punção Descrição Sigla Valor Unidade

Tensão resistente na superfície crítica C' τRd1 510,17 kN/m²

Verificação: τSd'/τRd1 < 1 ok? NÃO

Precisa de armadura de punção!

Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na

Superfície C' - com armadura de punção Descrição Sigla Valor Unidade

Armadura de punção na seção crítica C' Asw' 133,96 cm²

Tensão resistente na superfície crítica C' τRd3 536,65 kN/m²

Verificação: τSd'/τRd3 < 1 ok? SIM

Armadura de punção adotada OK!

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 134

Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na

Superfície C" - sem armadura de punção Descrição Sigla Valor Unidade

Tensão resistente na superfície crítica C" τRd1 510,17 kN/m²

Verificação: τSd"/τRd1 < 1 ok? SIM

Não precisa de armadura de punção!

Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na

Superfície C" - com armadura de punção Descrição Sigla Valor Unidade

Armadura de punção na seção crítica C' Asw' - m²

Tensão resistente na superfície crítica C" τRd3" - kN/m²

Verificação: τSd"/τRd3 < 1 ok? - -

- Tabela 4.13 – Punção.

De modo a evitar que a fundação esteja sujeita a movimentos de

tombamento e deslizamento, deve-se realizar a verificação de estabilidade e

garantir sua segurança. Este passo é executado pela próxima tabela:

PLACA CIRCULAR ESPESSA Fundação em Placa Circular de Espessura Variável

ESTABILIDADE

Forças e Momentos Atuantes

Descrição Sigla Valor Unidade

Força Vertical nominal Fvk 2271,00 kN

Força Horizontal nominal FHk 671,20 kN

Peso Próprio da fundação PP 6264,24 kN

Força de atrito Fatrito 2560,57 kN

Momento nominal Mk 51146,9 kN.m

Verificação ao Tombamento Descrição Sigla Valor Unidade

Momento de tombamento Mt 53160,50 kN.m

Momento resistente ao tombamento Mr 58466,38 kN.m

Segurança ao tombamento γtomb 1,10 -

Verificação: Mr/Mt >1 OK!

Verificação ao Deslizamento Descrição Sigla Valor Unidade

Força de deslizamento Fd 671,20 kN

força de resistência ao deslizamento Fr 2560,57 kN

Segurança ao deslizamento γdesl 3,81 -

Verificação: Fr/Fd >1 OK! Tabela 4.14 – Estabilidade.

Dimensionamento das Fundações de Placas Circulares Espessas 135

Em alguns pontos apresentados, os valores encontrados nos cálculos

efetuados pelas tabelas não coincidem exatamente com os calculados pela

Portante Engenharia, mas são bem próximos. Isto deve-se ao fato de a geometria

da fundação ser um pouco diferente nos dois casos: na memória de cálculo da

projetista a placa espessa é formada por um polígono de 8 lados iguais; já a

fundação calculada nesta dissertação é uma placa espessa circular, que mantém o

mesmo diâmetro e altura (mesma geometria) da placa da projetista.

Executados e finalizados todos os passos constantes nas tabelas e, estes

estando de acordo com os valores previstos em norma, a fundação está

dimensionada e pronta para ser detalhada e, posteriormente, executada em campo.

5 Conclusões e sugestões para trabalhos futuros

5.1 Conclusões

O estudo realizado permite compreender melhor as etapas de

dimensionamento estrutural da fundação de uma torre eólica. Esta torre apresenta

esforços consideráveis atuando diretamente sobre sua fundação e, desta forma, o

cálculo deve ser rigorosamente executado, garantindo seu desempenho ótimo para

o qual foi projetada.

O capítulo 2 permitiu um aprofundamento sobre a importância e conceitos

de um parque eólico, composto de torres de aerogeradores, as quais suas

fundações seriam o foco desta dissertação. No capítulo 3 foi possível conhecer a

definição de placa fina e espessa, entender o desenvolvimento da teoria de placas

e realizar estudos comparativos de análise estática, de vibrações e de instabilidade,

com base na bibliografia de Timoshenko e nos estudos realizados por Salas (2015)

em sua dissertação. Em alguns casos, foram verificadas algumas discrepâncias nos

deslocamentos calculados nesses estudos e nos obtidos pelo modelo de elementos

finitos usado neste trabalho. No tocante aos esforços, houve boa concordância

entre os resultados.

Já no capítulo 4 realizou-se um estudo de caso com base na memória de

cálculo desenvolvida pela empresa Portante Engenharia e, a partir dos resultados

obtidos por ela, foi modelada uma estrutura compatível no programa Robot

Strucutural, um programa de elementos finitos diferente do utilizado pela

empresa, mas com as mesmas características (SAP 2000). Com isso, pode-se

efetuar uma comparação entre os dois programas utilizados e concluir a

veracidade dos resultados obtidos para a fundação em placa espessa nos dois

casos. Dando prosseguimento ao estudo realizado neste capítulo foi então

programada uma planilha em Excel para efetuar o pré-dimensionamento de uma

fundação em placa com espessura variável sujeita a cargas e momentos, baseada

Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 137

na NBR 6118:2014. Os dados de entrada utilizados para calcular o relatório da

Central Geradora Eólica União dos Ventos foram os mesmos utilizados para

carregar a planilha. Isto permitiu efetuar mais uma vez uma comparação entre os

resultados obtidos, sendo estes valores satisfatórios e dentro do esperado.

Assim, podemos concluir que, com base na memória de cálculo apresentada

pela empresa Portante Engenharia, as cargas e momentos utilizados pela empresa

para o dimensionamento da fundação estavam corretos, pois os resultados

encontrados pela modelagem da placa circular espessa equivalente no programa

de elementos finitos Robot Structural foram compatíveis com as cargas e

momentos gerados pela Portante através do programa SAP2000. Da mesma forma

que as verificações realizadas pela planilha, que foi programada e desenvolvida

em Excel neste trabalho, coincidiram com os resultados executados pela empresa

no relatório de cálculo, onde a mesma efetuou algumas destas verificações, não

sendo idênticos, mas com uma diferença mínima de variação entre os dois

resultados apresentados, já que as geometrias estudadas também constavam de

pequenas variações entre si. Todos os valores encontrados foram calculados e

embasados segundo a NBR 6118:2014.

Portanto, o presente trabalho traz uma contribuição ao apresentar um

procedimento expedito de verificação preliminar de projetos utilizando uma

ferramenta de anteprojeto. Não foi objetivo apresentar uma ferramenta prática

para uso imediato, mas mostrar a viabilidade da combinação da planilha com o

cálculo semianalítico.

5.2 Sugestões para trabalhos futuros

Como sugestões para continuidade dessa pesquisa sugerem-se:

i. Efetuar estudos com uma placa circular que não seja composta

exclusivamente de concreto, como, por exemplo, um tipo de material

compósito;

ii. Comparar se os efeitos mudam para placa circular anular.

iii. Analisar os efeitos quando as condições de contorno mudam em

relação às apresentadas neste trabalho;

Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 138

iv. Realizar análise dinâmica da placa, considerando efeito de

amortecimento;

v. Utilizar carregamentos diferentes dos impostos neste estudo;

vi. vi. Analisar com mais detalhe as razões para discrepâncias ocorridas,

em alguns casos, entre deslocamentos calculados no ROBOT e

aqueles obtidos por Salas (2015) e pelas expressões analíticas de

Timoshenko e Woinowski-Krieger (1959).

vii. Avaliar mais precisamente a interação solo-estrutura, levando em

conta que pode gerar alteração de frequência natural de flexão na

torre;

viii. Efetuar estudos a respeito do carregamento de vento atuante durante

a construção das torres, verificando necessidade de protensão;

ix. Avaliar o momento variável no tempo (momento de tombamento e

depois dimensionamento).

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TIMOSHENKO, S.; GOODIER, J. N. Theory of Elasticity. New York:

McGraw-Hill, 1934.

UGURAL. A. C. Stresses in Plates and Shells. McGraw-Hill, New York,

1981, 317 p.

VICENTE, W. M. Análise de Tensões em Placas Circulares Utilizando

Elementos Finitos Axissimétricos. Dissertação de Mestrado.

Universidade Federal de Itajubá, 2009.

VIEIRA, M.; JUNIOR, C. B. A Engenharia das Usinas Eólicas. Blog da

Engenharia Civil, 2015.

WANG, C. M. et al. Axisymmetric Buckling of Circular Mindlin Plates

With Ring Supports. Journal of Structural Engineering, v. 119, p. 782-

793, 1993.

A.Anexo A – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento distribuído e engastada.

As figuras desse anexo apresentam os resultados obtidos através da modelagem

de uma placa circular de espessura uniforme, engastada no contorno da borda e

sujeita a carregamento distribuído na superfície da placa de 50 kN/m².

Figura A.1 – Carregamento distribuído, visão superior.

Figura A.2 – Carregamento distribuído, visão 3D.

Anexo A – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento 147 distribuído e engastada

Momento Radial – Mr

Figura A.3 – Mapeamento do momento radial.

Figura A.4 –Momento radial em r = 4,5m.

Anexo A – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento 148 distribuído e engastada

Momento Circunferencial – Mθ

Figura A.5 – Mapeamento do momento circunferencial.

Figura A.6 – Momento circunferencial em r = 4,5m.

Anexo A – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento 149 distribuído e engastada

Deslocamento

Figura A.7 – Mapeamento do deslocamento.

Figura A.8 – Deslocamento transversal (destaque em r = 4,5 m).

B.Anexo B – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento pontual e engastada

As figuras desse anexo apresentam os resultados obtidos através da modelagem

de uma placa circular de espessura uniforme, engastada no contorno da borda e

sujeita a carregamento pontual na direção normal à superfície da placa de 50 kN.

Figura B.1 – Carregamento pontual, visão superior.

Figura B.2 – Carregamento pontual, visão 3D.

Anexo B – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento 151 pontual e engastada

Momento Radial – Mr

Figura B.3 – Mapeamento do momento radial.

Figura B.4 –Momento radial em r = 4,5m.

Anexo B – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento 152 pontual e engastada

Momento Circunferencial – Mθ

Figura B.5 – Mapeamento do momento circunferencial.

Figura B.6 – Momento circunferencial em r = 4,5m.

Anexo B – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento 153 pontual e engastada

Deslocamento

Figura B.7 – Mapeamento do deslocamento.

Figura B.8 – Deslocamento transversal (destaque em r = 4,5 m).

C.Anexo C – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento distribuído e apoiada

As figuras desse anexo apresentam os resultados obtidos através da modelagem

de uma placa circular de espessura uniforme, apoiada no contorno da borda e

sujeita a carregamento distribuído na superfície da placa de 50 kN/m².

Figura C.1 – Carregamento distribuído, visão superior.

Figura C.2 – Carregamento distribuído, visão 3D.

Anexo C – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento 155 distribuído e apoiada

Momento Radial – Mr

Figura C.3 – Mapeamento do momento radial.

Figura C.4 –Momento radial em r = 4,5m.

Anexo C – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento 156 distribuído e apoiada

Momento Circunferencial – Mθ

Figura C.5 – Mapeamento do momento circunferencial.

Figura C.6 – Momento circunferencial em r = 4,5m.

Anexo C – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento 157 distribuído e apoiada

Deslocamento

Figura C.7 – Mapeamento do deslocamento.

Figura C.8 – Deslocamento transversal (destaque em r = 4,5 m).

D.Anexo D – Modelagem de placa circular de espessura

uniforme, carregamento pontual e apoiada

As figuras desse anexo apresentam os resultados obtidos através da modelagem

de uma placa circular de espessura uniforme, apoiada no contorno da borda e

sujeita a carregamento pontual na direção normal à superfície da placa de 50 kN.

Figura D.1 – Carregamento pontual, visão superior.

Figura D.2 – Carregamento pontual, visão 3D.

Anexo D – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento 159 pontual e apoiada

Momento Radial – Mr

Figura D.3 – Mapeamento do momento radial.

Figura D.4 –Momento radial em r = 4,5m.

Anexo D – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento 160 pontual e apoiada

Momento Circunferencial – Mθ

Figura D.5 – Mapeamento do momento circunferencial.

Figura D.6 – Momento circunferencial em r = 4,5m.

Anexo D – Modelagem de placa circular de espessura uniforme, carregamento 161 pontual e apoiada

Deslocamento

Figura D.7 – Mapeamento do deslocamento.

Figura D.8 – Deslocamento transversal (destaque em r = 4,5 m).

E.Anexo E – Modelagem de placa circular de espessura variável, carregamento distribuído e apoiada.

As figuras desse anexo apresentam os resultados obtidos através da modelagem

de uma placa circular de espessura variável, apoiada no contorno da borda e

sujeita a carregamento distribuído na superfície da placa de 50 kN/m².

Figura E.1 – Carregamento distribuído, visão superior.

Figura E.2 – Carregamento distribuído, visão 3D.

Anexo E – Modelagem de placa circular de espessura variável, carregamento 163 distribuído e apoiada

Momento Radial – Mr

Figura E.3 – Mapeamento do momento radial.

Figura E.4 –Momento radial em r = 4,5m.

Anexo E – Modelagem de placa circular de espessura variável, carregamento 164 distribuído e apoiada

Momento Circunferencial – Mθ

Figura E.5 – Mapeamento do momento circunferencial.

Figura E.6 – Momento circunferencial em r = 4,5m.

Anexo E – Modelagem de placa circular de espessura variável, carregamento 165 distribuído e apoiada

Deslocamento

Figura E.7 – Mapeamento do deslocamento.

Figura E.8 – Deslocamento transversal no centro da placa.

F. Anexo F – Modelagem de placa circular de espessura variável, carregamento pontual e apoiada

As figuras desse anexo apresentam os resultados obtidos através da modelagem

de uma placa circular de espessura variável, apoiada no contorno da borda e

sujeita a carregamento pontual na direção normal à superfície da placa de 50 kN.

Figura F.1 – Carregamento pontual, visão superior.

Figura F.2 – Carregamento pontual, visão 3D.

Anexo F – Modelagem de placa circular de espessura variável, carregamento 167 pontual e apoiada

Momento Radial – Mr

Figura F.3 – Mapeamento do momento radial.

Figura F.4 –Momento radial em r = 4,5m.

Anexo F – Modelagem de placa circular de espessura variável, carregamento 168 pontual e apoiada

Momento Circunferencial – Mθ

Figura F.5 – Mapeamento do momento circunferencial.

Figura F.6 – Momento circunferencial em r = 4,5m.

Anexo F – Modelagem de placa circular de espessura variável, carregamento 169 pontual e apoiada

Deslocamento

Figura F.7 – Mapeamento do deslocamento.

Figura F.8 – Deslocamento transversal no centro da placa.

G. Anexo G – Análise de vibrações e instabilidade

As figuras desse anexo apresentam os resultados obtidos para os 10 primeiros

modos de vibração da placa a partir da modelagem de uma placa circular de

espessura uniforme, apoiada no contorno da borda e sujeita a carregamento

distribuído na direção da superfície da placa de 1 kN.

Figura G.1 – Carregamento distribuído na direção da superfície da placa, visão superior.

Figura G.2 – Carregamento distribuído na direção da superfície da placa,

visão 3D.

Anexo G – Análise de vibrações e instabilidade 171

Modo 1

Figura G.3 – 1º modo de vibração da placa.

Modo 2

Figura G.4 – 2º modo de vibração da placa.

Anexo G – Análise de vibrações e instabilidade 172

Modo 3

Figura G.5 – 3º modo de vibração da placa.

Modo 4

Figura G.6 – 4º modo de vibração da placa.

Anexo G – Análise de vibrações e instabilidade 173

Modo 5

Figura G.7 – 5º modo de vibração da placa.

Modo 6

Figura G.8 – 6º modo de vibração da placa.

Anexo G – Análise de vibrações e instabilidade 174

Modo 7

Figura G.9 – 7º modo de vibração da placa.

Modo 8

Figura G.10 – 8º modo de vibração da placa.

Anexo G – Análise de vibrações e instabilidade 175

Modo 9

Figura G.11 – 9º modo de vibração da placa.

Modo 10

Figura G.12 – 10º modo de vibração da placa.