estudo e caracterização dos fenómenos térmicos limitativos ... · temperatura numa máquina...
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Estudo e caracterização dos fenómenos térmicos
limitativos em geradores eléctricos de baixa velocidade
para aproveitamento das energias renováveis
Mariana Sofia Barreira Cavique Santos
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Orientadores: Prof. Doutor Paulo José da Costa Branco
Engenheiro Bruno Paínho
Júri
Presidente: Profª Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro
Orientador: Prof. Doutor Paulo José da Costa Branco
Vogal: Prof. Doutor Duarte de Mesquita e Sousa
Outubro de 2014
2
Agradecimentos
Agradeço a todos que, de alguma forma, contribuíram para a realização do presente trabalho.
Em especial:
Ao meu orientador, Professor Paulo Branco, pela disponibilidade constante, competência,
confiança, pelos seus ensinamentos e pelas discussões sempre válidas.
Ao Engenheiro João Fernandes, pela sua disponibilidade constante, espírito crítico e pela ajuda
incansável a encontrar soluções aos problemas impostos.
Ao meu co-orientador, Engenheiro Bruno Paínho, e à empresa RESUL - Equipamentos de
Energia S.A pelo apoio logístico e cedência de dados.
Aos meus pais e à minha irmã, pela educação, ajuda e incentivo que me deram ao longo da
minha vida.
Ao meu colega e namorado André Matias, pelo apoio ao longo destes cinco anos de curso.
3
Resumo
O aquecimento proveniente das perdas em geradores eléctricos de magnetos permanentes de
baixa velocidade pode ser particularmente nocivo às partes mais sensíveis da máquina,
nomeadamente no isolamento elétrico e nos magnetos permanentes. O conhecimento da
temperatura numa máquina eléctrica é pois importante na medida em que permite estimar o
respectivo tempo de vida útil.
Actualmente, com a crescente necessidade de máquinas com menor peso e volume, maior
eficiência e menor custo, impondo a exploração de novas topologias e materiais, é necessário
o estabelecimento de um modelo térmico para melhorar o projeto de geradores eléctricos no
sentido de reduzir a sua temperatura.
Neste trabalho propõe-se um modelo térmico de parâmetros concentrados desenvolvido para a
previsão da temperatura ao longo das diferentes partes construtivas de um gerador eléctrico de
baixa velocidade de 50kW com topologia radial. É dada especial atenção ao cálculo das perdas
no ferro, estimadas com base num modelo numérico da máquina com recurso ao método de
elementos finitos para a simulação do campo electromagnético, e às perdas no cobre. Os
resultados obtidos pelo modelo de parâmetros concentrados construído são comparados com
aqueles obtidos da análise térmica numérica. Por fim, a potência de perdas do gerador de fluxo
radial é comparada com a potência de perdas de um gerador de fluxo transversal de igual
potência.
Palavras_Chave: Gerador síncrono, modelo térmico, potência de perdas, análise pelo método
de elementos finitos, modelo térmico de parâmetros concentrados.
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Abstract
The heating caused by losses in low-speed power PM generators can be harmful to the
sensitive parts of electrical equipment, such as electrical insulation and permanent magnets.
The prediction of the temperature of low-speed generators is important in order to estimate its
lifetime.
Due to the fact of increasing requirements such as energy efficiency, cost reduction, or
exploitation of new topologies and materials, a thermal model becomes necessary for
improvements on generator design to reduce temperatures.
This work gives an approach of an analytical thermal model based on lumped-parameters
developed for the prediction of the temperature of a low-speed 50 kW generator with radial
topology. Particular attention is given to the calculation of iron losses, by Finite Element
Analysis (FEA), and copper losses. The results obtained by lumped-parameter thermal analysis
are compared with Finite Element Thermal Analysis. In addition, the power losses of two 50kW
generators with different topologies are compared.
Keywords: Synchronous generator, thermal model, power losses, finite-element analysis
(FEA), lumped-parameter thermal analysis
5
Índice
Agradecimentos............................................................................................................................. 2
Resumo ......................................................................................................................................... 3
Abstract ......................................................................................................................................... 4
Lista de Figuras ............................................................................................................................. 7
Lista de Tabelas ............................................................................................................................ 9
Lista de Símbolos ........................................................................................................................ 10
Lista de Abreviaturas ................................................................................................................... 13
1. Introdução ............................................................................................................................ 14
2. Conceitos teóricos sobre transferência de calor aplicados aos geradores eléctricos de
baixa velocidade .......................................................................................................................... 15
2.1. Tipos de transferência de calor em máquinas eléctricas ............................................. 15
2.2. Modelo térmico a parâmetros concentrados aplicados a máquinas eléctricas ............ 15
2.2.1. Cálculo das capacidades térmicas ...................................................................... 17
2.2.2. Cálculo das resistências térmicas ....................................................................... 18
2.2.2.1. Transferência de calor por condução .............................................................. 18
2.2.2.1.1. Condução numa placa plana ..................................................................... 20
2.2.2.1.2. Condução em geometrias cilíndricas......................................................... 21
2.2.2.2. Transferência de calor por convecção ............................................................ 23
2.2.3. Cálculo das perdas .............................................................................................. 25
2.2.3.1. Perdas no cobre .............................................................................................. 25
2.2.3.2. Perdas no ferro ................................................................................................ 26
2.2.3.3. Perdas nos magnetos permanentes ............................................................... 31
2.3. Características e modelos comportamentais dos materiais mais comuns em máquinas
eléctricas .................................................................................................................................. 32
2.3.1. Condutividade térmica dos materiais mais comuns em máquinas eléctricas ........... 32
2.3.2. Característica térmica e magnética dos magnetos permanentes ............................. 34
2.3.3. Características magnéticas das chapas .................................................................... 35
3. Análise electromagnética de um gerador síncrono de magnetos permanentes de fluxo
radial ............................................................................................................................................ 37
3.1. Descrição do gerador e respectivas características construtivas .................................... 37
3.2. Modelo em elementos finitos do gerador: 2D ................................................................... 39
3.3. Distribuição da densidade de fluxo magnético no entreferro em vazio ........................ 40
3.4. Modelo em elementos finitos do gerador: 3D ............................................................... 42
3.5. Cálculo das perdas no ferro do gerador em vazio à velocidade nominal ..................... 44
3.5.1. Perdas no estator ................................................................................................ 44
6
3.5.1.1. Perdas no estator através do método de elementos finitos usando elementos
2D 46
3.5.1.2. Perdas no estator através do método de elementos finitos usando elementos
3D 48
3.5.2. Perdas no rotor .................................................................................................... 50
3.6. Disposição dos enrolamentos e força electromotriz induzida ...................................... 52
3.7. Cálculo das perdas no cobre ........................................................................................ 55
3.7.1. Modelo em parâmetros concentrados da máquina síncrona: Resistência elétrica
e indutância síncrona por fase do gerador .......................................................................... 55
3.7.2. Corrente na fase .................................................................................................. 58
3.7.3. Perdas no Cobre ................................................................................................. 60
3.8. Cálculo das perdas no ferro em carga à velocidade nominal....................................... 61
3.8.1. Perdas no estator ................................................................................................ 61
3.8.2. Perdas no rotor .................................................................................................... 67
4. Modelo térmico do gerador síncrono de magnetos permanentes em regime estacionário 68
4.1. Modelo térmico em parâmetros concentrados: modelo em camadas cilíndricas para o
circuito térmico ......................................................................................................................... 68
4.1.1. Cálculo do coeficiente de transferência de calor por convecção .............................. 69
4.1.2. Variação da condutividade térmica dos materiais com a temperatura ...................... 73
4.2. Modelo térmico pelo método de elementos finitos ........................................................... 75
4.3. Comparação dos dois modelos: alteração do modelo de parâmetros concentrados .. 76
5. Conclusões........................................................................................................................... 78
6. Trabalhos futuros ................................................................................................................. 79
7. Referência Bibliográficas ..................................................................................................... 79
8. Anexos ................................................................................................................................. 81
Anexo 1- Característica BH do material M250-50A................................................................. 81
Anexo2- Processo de cálculo do coeficiente de transferência de calor por convecção, h ..... 82
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Lista de Figuras
Figura 1- Transformação da estrutura do estator: (a) Estrutura do estator. Retirado de [2]; (b)
Modelo em camadas cilíndricas. ................................................................................................. 16 Figura 2- Esquema eléctrico equivalente do modelo térmico em regime permanente............... 17 Figura 3- Balanço energético num elemento de volume onde existe transferência de calor por
condução. .................................................................................................................................... 19 Figura 4- Ilustração da Lei de Fourier para o caso de um processo unidimensional,
estacionário, através de uma placa plana com condutividade térmica constante. ..................... 20 Figura 5- Representação de resistências térmicas em série. ..................................................... 21 Figura 6- Camada de material isotrópico e com geometria cilíndrica. ........................................ 21 Figura 7- Ilustração da Lei de Newton do arrefecimento. ........................................................... 24 Figura 8- Ciclo de Histerese. Figura adaptada de [9]. ................................................................ 27 Figura 9- Áreas no ciclo de histerese proporcionais à quantidade de energia envolvida no
processo.(a) Energia consumida na alternância positiva (b) Energia devolvida na alternância
positiva (c) Energia de perdas na alternância positiva .(d) Energia consumida na alternância
negativa (e) Energia devolvida na alternância negativa (f) Energia de perdas na alternância
negativa. Figura adaptada de [10]. ............................................................................................. 28 Figura 10- Lâmina de um núcleo ferromagnético: (a) Caminho percorrido pelas correntes de
Foucault; (b)Secção da placa do material ferromagnético. Adaptada de [10]. ........................... 29 Figura 11-Dimensões do magneto permanente. Representação das grandezas em estudo. ... 32 Figura 12- Variação da condutividade térmica do cobre, alumínio e ferro com a temperatura. . 33 Figura 13- Variação da condutividade térmica do ar com a temperatura. .................................. 33 Figura 14- Curvas de desmagnetização do magneto NdFeB N35. Retirado de [15]. ................ 34 Figura 15- Característica BH do material M250-50A. Retirado de [1]. ....................................... 35 Figura 16- Gerador síncrono de 50kW estudado: (a) Fotografia do gerador; (b) Desenho do
gerador. Retirado de [16]. ........................................................................................................... 37 Figura 17- Dimensões gerais do gerador (saliências e magnetos permanentes). ..................... 38 Figura 18- Visão de aproximadamente um quarto do modelo 2D do gerador, implementado em
parâmetros distribuídos através de um modelo de elementos finitos. ........................................ 39 Figura 19-(a) Saliências posicionadas entre dois magnetos; (b) Saliências alinhadas com
magnetos. .................................................................................................................................... 40 Figura 20 –Componente radial da densidade de fluxo magnético no entreferro ao longo dos
360º do gerador. .......................................................................................................................... 40 Figura 21- Componente tangencial da densidade de fluxo magnético no entreferro ao longo dos
360º do gerador. .......................................................................................................................... 41 Figura 22- Norma da densidade de fluxo magnético no entreferro ao longo dos 360º do gerador.
..................................................................................................................................................... 41 Figura 23- Densidade de fluxo magnético num quarto da circunferência no entreferro, ou seja,
ao longo dos seus 90º mecânicos. .............................................................................................. 42 Figura 24- Linha de medição da densidade de fluxo magnético na saliência. ........................... 43 Figura 25- Esquema da saliência do estator em profundidade. Profundidades em foi medida a
densidade de fluxo magnético. .................................................................................................... 43 Figura 26- Densidade de fluxo magnético em função do tempo em várias profundidades do
estator. ......................................................................................................................................... 44 Figura 27- Percentagem fluxo total em relação à posição central da máquina nas várias
profundidades. ............................................................................................................................. 44 Figura 28- Superfície de interpolação dos dados do fabricante do material M250-50A. ............ 45 Figura 29- Divisão de cada saliência do estator em 4 regiões. .................................................. 46 Figura 30- Representação das linhas de medição da grandeza B nas saliências do estator. ... 47 Figura 31- Superfícies transversais de medição do B na saliência do estator. .......................... 49 Figura 32- Pontos de medição da evolução temporal da indução magnética no rotor............... 50
8
Figura 33- Superfície de medição da evolução temporal da indução magnética no magneto. .. 51 Figura 34- FFT da densidade de fluxo magnético no magneto quando o gerador se encontra
em vazio. ..................................................................................................................................... 51 Figura 35- Colocação do enrolamento a constituir uma das bobinas do estator. Retirado de [16].
..................................................................................................................................................... 52 Figura 36- Disposição dos enrolamentos no estator dividido em quatro secções. Retirado de
[16]. .............................................................................................................................................. 53 Figura 37- Fluxos magnéticos ligados com cada uma das 5 saliências onde assentam as cinco
bobines consecutivas de uma das fases em função do ângulo do rotor. ................................... 53 Figura 38- Força electromotriz induzida em cada uma das 5 bobinas consecutivas e que fazem
parte de uma das fases do gerador. ........................................................................................... 54 Figura 39- Tensões nas fases A-B-C do gerador. ...................................................................... 55 Figura 40- Circuito equivalente da máquina em regime síncrono. ............................................. 55 Figura 41- Ensaios experimentais aplicados ao gerador com dois tipos de carga: uma carga
resistiva e uma carga RC paralela. Retirado de [16]. ................................................................. 56 Figura 42- Diagrama fasorial de um gerador síncrono alimentando uma carga puramente
resistiva. ...................................................................................................................................... 57 Figura 43- Carga RC paralela aplicada ao gerador por fase. ..................................................... 58 Figura 44- Diagrama fasorial de um gerador síncrono alimentando uma carga RC paralelo. ... 59 Figura 45- Corrente de fase em função da velocidade da máquina para diferentes condições de
carga. ........................................................................................................................................... 60 Figura 46- Corrente de fase em função da potência de saída para diferentes condições de
carga. ........................................................................................................................................... 60 Figura 47- Perdas no cobre em função da potência de saída para diferentes condições de
carga. ........................................................................................................................................... 61 Figura 48- Disposição dos enrolamentos trifásicos nas quatro secções do estator ao longo do
gerador. Adaptado de [16]. .......................................................................................................... 62 Figura 49- Direcções das grandezas electromagnéticas no fenómeno de indução magnética.
Densidade de fluxo magnético (vermelho), tensão induzida (verde) e corrente eléctrica (azul).62 Figura 50- Ponto de medição da densidade de fluxo magnético na saliência quando o gerador
está em carga. ............................................................................................................................. 63 Figura 51- Densidade de fluxo magnético radial com origem no magneto e na corrente
alternada. ..................................................................................................................................... 64 Figura 52- Densidade de fluxo magnético radial em saliências onde assentam bobines
consecutivas. ............................................................................................................................... 64 Figura 53- FFT da densidade de fluxo magnético no magneto quando o gerador se encontra
em carga. ..................................................................................................................................... 67 Figura 54- Secção do estator modelado por camadas cilíndricas. ............................................. 68 Figura 55- Circuito em parâmetros concentrados do modelo considerado na Figura 54. .......... 69 Figura 56- Representação do circuito térmico. Ponto 1-Temperatura na extremidade da
saliência. Ponto 2- Temperatura na superfície da máquina. ...................................................... 71 Figura 57- Perdas no cobre em função da respectiva potência de saída. ................................. 72 Figura 58- Temperatura no magneto para condutividades do ferro desde 27ºC a 527ºC.......... 73 Figura 59- Temperatura no magneto para condutividades do cobre desde 27ºC a 527ºC. ....... 74 Figura 60- Temperatura no magneto para condutividades do ar desde 27ºC a 527ºC. ............. 74 Figura 61- Modelo Comsol Multiphysics. Fronteira com o exterior (azul). Ranhuras onde
assentam os enrolamentos (verde). ............................................................................................ 75 Figura 62- Distribuição de temperatura no gerador na condição nominal. ................................. 76 Figura 63- Comparação da temperatura em 4 locais da máquina estimada nos dois modelos. 76 Figura 64- Secção do estator modelado por camadas cilíndricas, considerando os
enrolamentos numa única camada. ............................................................................................ 77 Figura 65- Comparação da temperatura em 4 locais da máquina estimada nos dois modelos. 77
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Lista de Tabelas
Tabela 1- Analogia entre o modelo térmico e a teoria dos circuitos eléctricos.
Tabela 2- Calor específico e densidade mássica para materiais típicos em máquinas eléctricas.
Tabela 3- Matriz de perdas específicas do material M250-50A. Retirado de [1].
Tabela 4- Dimensões do gerador de fluxo radial.
Tabela 5- Amplitude das harmónicas contidas na componente radial e tangencial da densidade de fluxo
magnético em cada uma das regiões consideradas na Figura 29.
Tabela 6- Perdas específicas causadas pelas componentes radial e tangencial da densidade de fluxo
magnético em cada uma das regiões consideradas na Figura 29. Simulação 2D.
Tabela 7- Perdas nas saliências totais quando o gerador funciona em vazio e à velocidade nominal.
Tabela 8- Amplitude das harmónicas contidas na componente radial e tangencial da densidade de fluxo
magnético e respectivas perdas específicas na culaça do gerador.
Tabela 9- Amplitude das harmónicas contidas na componente radial e tangencial da densidade de fluxo
magnético em cada uma das regiões consideradas na Figura 29. Simulação 2D e 3D.
Tabela 10- Comparação de perdas obtidas por simulação 2D e 3D nas regiões consideradas na Figura
29.
Tabela 11- Valores da densidade de fluxo magnético no centro de cada saliência do estator e respectivas
perdas específicas e perdas totais.
Tabela 12- Aumento de temperatura medida em vazio e a cerca de 32kW. Retirado de [16].
Tabela 13- Interpolação das perdas no ferro e nos magnetos para o gerador a 32kW.
Tabela 14- Dimensões gerais dos componentes da máquina de fluxo transversal.
Tabela 15- Comparação de volume e peso entre a máquina de fluxo radial e transversal.
Tabela 16- Amplitude das componentes , e e respectivas densidades de perdas específicas em
cada uma das regiões consideradas na Figura 74.
Tabela 17- Perdas no ferro nas várias regiões consideradas na Figura 74 com o gerador em vazio.
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Lista de Símbolos
Símbolo Designação Unidade Área da superfície fronteira de convecção
Área da janela de cobre Área das superfícies da placa plana
Constante de Temperatura Campo de indução magnética
Amplitude da densidade de fluxo magnético
Norma da densidade de fluxo magnético
Componente radial da densidade de fluxo magnético Componente tangencial da densidade de fluxo magnético
Constante de temperatura
Capacidade eléctrica Capacidade térmica
Calor específico do material Diâmetro da máquina Diâmetro da secção do fio de cobre
Diâmetro exterior do estator
Diâmetro exterior do rotor Diâmetro interior do estator
Diâmetro interior do rotor
Diâmetro da superfície onde assentam os magnetos
Profundidade da ranhura Campo eléctrico
Frequência eléctrica
Frequência mecânica Espessura do entreferro
Campo magnético
Coercividade do material
Coeficiente de transferência de calor por convecção Altura do magneto Altura do rotor
Altura da peça de perfil E
Altura da peça de perfil I
Corrente eléctrica na fase a
Corrente eléctrica na fase b
Corrente eléctrica na fase c Corrente suportada por um condutor
Corrente eléctrica eficaz na fase da máquina
Densidade de corrente Constante de correntes de Foucault
Constante de histerese
Condutividade térmica do material Condutividade térmica do ar
Condutividade térmica média dos materiais do enrolamento
Condutividade térmica do cobre Condutividade térmica do isolamento Comprimento da máquina/cilindro horizontal
Distância entre superfícies da placa plana
Comprimento do estator
Comprimento do enrolamento da bobine
Comprimento do magneto Comprimento de uma volta condutora
Número de voltas por bobine
Número de bobines
Número de condutores em paralelo por volta
11
Número de espiras
Número de magnetos
Número de fases de uma máquina eléctrica
Número de ranhuras
Número de peças de perfil E
Número de peças de perfil I
Expoente de histerese
Número de par de polos
Potência térmica Potência eléctrica activa
Potência de perdas na culaça
Potência térmica transferida por condução
Potência térmica transferida por convecção Potência de perdas no cobre
Potência térmica com origem externa
Potência de perdas no extremo da saliência
Potência de perdas no ferro
Perdas por histerese
Potência de perdas no magneto
Potência térmica com origem própria Potência de perdas na saliência
Fluxo de calor transferido do exterior Fluxo de calor transferido do exterior Perdas específicas por correntes de Foucault
Perdas específicas no ferro
Perdas especificas por histerese
Densidade de potência térmica com origem interna Metade da espessura da lâmina
Resistência eléctrica
Resistência térmica de convecção Resistência térmica externa de condução no ar do entreferro
Resistência térmica externa de condução na culaça
Resistência térmica externa de condução
Resistência térmica externa de condução no cobre
Resistência térmica externa de condução na extremidade da saliência
Resistência térmica externa de condução no isolamento
Resistência térmica externa de condução na saliência
Resistência térmica externa
Resistência térmica própria de condução na culaça
Resistência térmica própria de condução
Resistência térmica própria de condução no cobre
Resistência térmica própria de condução na extremidade da saliência
Resistência térmica própria de condução no magneto
Resistência térmica própria de condução na saliência
Resistência térmica própria
Resistência eléctrica da fase da máquina
Resistência térmica de condução da placa
Resistência térmica de condução ou convecção
Coordenada cilíndrica
Raio interior da camada cilíndrica Raio exterior da camada cilíndrica
Raio médio do estator
Potência eléctrica complexa Área da secção da bobine
Área da secção transversal de um condutor de cobre Temperatura Temperatura na superfície 1
12
Temperatura na superfície 2
Temperatura do cobre
Temperatura do cobre inicial
Temperatura na superfície interna do estator
Temperatura exterior à máquina
Tempo Amplitude da tensão induzida na fase a
Amplitude da tensão induzida na fase b
Amplitude da tensão induzida na fase c
Tensão eléctrica simples e eficaz na fase da máquina
Amplitude da tensão total induzida numa fase
Volume do material Velocidade da máquina Largura do magneto
Largura superior da ranhura
Largura da peça de perfil E
Largura da peça de perfil I
Largura inferior da saliência
Reactância síncrona do gerador
Coordenada cartesiana
Admitância
Coordenada cartesiana
Impedância
Coordenada cartesiana
Constante
Coeficiente de temperatura do cobre
Constante
Diferença de temperatura
Diferença entre a temperatura à superfície da máquina e a temperatura da máquina quando a potência de saída é cerca de 32kW
Diferença entre a temperatura à superfície da máquina e a temperatura da máquina quando a máquina se encontra em vazio
Variação de energia interna Angulo de Torque rad
Força electromotriz induzida na fase a Força electromotriz induzida na fase b
Força electromotriz induzida na fase c
Força electromotriz induzida na bobine i Força electromotriz induzida numa fase
Força electromotriz induzida numa fase em vazio
Coeficiente de Steinmetz
Densidade mássica do material Condutividade eléctrica do material Condutividade eléctrica do cobre
Condutividade eléctrica do magneto
Espessura da lâmina
Fluxo magnético na bobine i
Fluxo magnético
Angulo de Carga rad
Fluxo magnético total Frequência eléctrica ângular
Velocidade mecânica da máquina Velocidade mecânica da máquina em vazio Gradiente local de temperatura
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Símbolos do Anexo 2
Raio interior do entreferro
Área de transferência por convecção Raio exterior do entreferro
Calor específico do material Aceleração da gravidade Número de Grashof
Coeficiente de transferência de calor por convecção Condutividade térmica do material Comprimento característico
Número de Prandl
Número de Reynolds
Raio médio do entreferro
Número de Taylor
Velocidade livre Viscosidade cinemática Coeficiente de dilatação térmica Viscosidade dinâmica Densidade do fluido
velocidade angular
Lista de Abreviaturas
f.e.m.- força electromotriz
14
1. Introdução
Os geradores eléctricos com magnetos permanentes de baixa velocidade tal como qualquer
máquina eléctrica apresentam perdas de diferentes origens. O interesse em estudar e
identificar a distribuição da temperatura neste tipo de geradores encontra-se directamente
relacionado com a redução da vida útil das máquinas eléctricas, uma vez que as perdas podem
criar condições de aquecimento particularmente nocivas às partes mais sensíveis do gerador,
nomeadamente no isolamento elétrico e nos magnetos permanentes.
O estabelecimento de um modelo térmico para o dimensionamento de geradores de energia de
baixa velocidade tem sido alvo de maior interesse devido à globalização dos mercados e à
crescente necessidade de geradores mais eficientes, com menor custo e menor volume. Se as
restrições térmicas forem levadas em conta numa fase precoce do processo de optimização do
desenho da máquina, é possível conseguir uma distribuição de temperatura mais homogénea e
evitar pontos quentes na máquina. A informação proveniente de um modelo térmico pode então
ser útil para melhorar o desenho geral da máquina em termos de eficiência e exigências de
arrefecimento. Através do conhecimento da temperatura real da máquina será assim possível
projetar sem ter que recorrer a grandes margens de segurança dispensáveis.
Justifica-se, assim, a necessidade de se obter um modelo térmico que seja não apenas
adequado aos materiais e à geometria da máquina, mas também às suas condições de
funcionamento de forma a prever o seu comportamento térmico e assim as suas limitações.
O estudo da transferência de calor pode ser realizado numa primeira análise, através de uma
representação por parâmetros concentrados que contabiliza de uma forma global os diversos
processos térmicos através de elementos ideais.
Neste trabalho propõe-se um modelo térmico de parâmetros concentrados, por forma a
identificar as variações de temperatura nas diferentes regiões do gerador, que posteriormente é
comparado com um modelo numérico capaz de lidar com geometrias mais complexas.
15
2. Conceitos teóricos sobre transferência de calor aplicados aos geradores eléctricos de baixa velocidade
2.1. Tipos de transferência de calor em máquinas eléctricas
As máquinas eléctricas são a sede de muitas fontes de calor. O processo associado ao trânsito
de energia térmica (calor) chama-se transferência de calor. A literatura geralmente reconhece
três modos distintos de transferência de calor: condução, convecção e radiação.
No caso em estudo, o processo de radiação não irá ser abordado visto a quantidade de calor
transferida por este processo ser desprezável dada a baixa ordem de grandeza da temperatura
da máquina eléctrica (centenas de graus Celsius).
2.2. Modelo térmico a parâmetros concentrados aplicados a
máquinas eléctricas
Os modelos térmicos elaborados a parâmetros concentrados são descritos através de um
circuito térmico equivalente, o qual é formado por resistências (representam o processo de
condução ou convecção de energia térmica), capacidades (representam o processo de
acumulação de energia térmica), além de fontes de corrente (representam as diferentes
fontes de potência térmica, fontes de calor). Em regime estacionário as capacidades podem ser
ignoradas. Os nós do circuito são geralmente escolhidos para possuir um significado físico
claro. Como será mostrado a seguir, a perda de energia em cada parte da máquina é injetada
como "corrente" equivalente nos nós adequados e os potenciais resultantes em cada nó
equivalem às temperaturas. Na Tabela 1 apresenta-se a analogia entre o modelo térmico e a
teoria de circuitos eléctricos.
Propriedade Térmica Unidade Propriedade Eléctrica Unidade
Resistência térmica ºC/W Resistência eléctrica V/A
Capacidade térmica W sec/ºC Capacidade eléctrica A sec/V
Temperatura ºC Tensão eléctrica V
Quantidade de calor W Corrente eléctrica A
Tabela 1- Analogia entre o modelo térmico e a teoria dos circuitos eléctricos.
Para ilustrar o comportamento térmico de uma máquina eléctrica em termos de circuito
equivalente, apenas as perdas no cobre e no ferro do estator serão consideradas como fontes
de calor. O pressuposto básico é que a direcção do fluxo de calor é principalmente radial.
Neste processo, a estrutura geométrica do estator transforma-se numa estrutura equivalente
simplificada. A máquina eléctrica é modelizada por cilindros concêntricos representando os
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seus diferentes materiais e cada um com um volume equivalente ao volume real de material
correspondente. A Figura 1 mostra uma parte do modelo simplificado do estator.
(a) (b)
Figura 1- Transformação da estrutura do estator: (a) Estrutura do estator. Retirado de [2]; (b) Modelo em
camadas cilíndricas.
Cada camada pode ser caracterizada por apresentar uma resistência térmica que deve ser
associada à potência térmica com origem externa à respectiva camada. Por outro lado,
quando ocorre produção de potência térmica na própria camada (por exemplo: perdas no
ferro , perdas no cobre ) deve-se também considerar uma segunda resistência térmica da
camada agora relativa ao próprio fluxo de calor, .
Neste caso, a diferença de temperatura entre a superfície interior e a superfície exterior
de uma camada é obtida conforme indicado na equação (1) pela soma de duas quedas de
temperatura. A primeira é devido à resistência térmica atravessada pelo fluxo de calor
gerado na camada em si. A segunda queda de tensão é o resultado da passagem de um fluxo
de calor com origem externa através da camada em questão.
(1)
Relembrando que , a equação (1) pode ser reescrita como (2) de modo a
estabelecer a temperatura .
(2)
A partir dos incrementos de temperatura calculados e do valor da temperatura do ar ambiente,
o valor médio da temperatura em cada material pode ser por fim determinado.
17
A troca de calor entre as diferentes partes do estator por um lado, e entre a máquina e o ar
ambiente por outro, são descritos usando uma representação em termos de circuitos. Um
esquema eléctrico representativo do modelo térmico simplificado do estator apresentado na
Figura 1 é dado na Figura 2. Obtém-se um circuito eléctrico com 8 nós associados a
temperaturas chave do estator, entre outras, ou seja, as temperaturas nas interfaces das
camadas consideradas. A temperatura em cada nó será pois determinada a partir da
temperatura ambiente e dos fluxos de calor considerados através da equação (2).
Cada material é representado por uma resistência entre dois nós do circuito, representando
dois níveis de temperatura. No circuito da Figura 2 o nó situa-se sobre a superfície interna
do estator. A temperatura diminui de seguida em função do raio e tende, naturalmente, para a
temperatura exterior à máquina .
Figura 2- Esquema eléctrico equivalente do modelo térmico em regime permanente.
2.2.1. Cálculo das capacidades térmicas
Quando um corpo recebe energia sob a forma de calor, admitindo-se que este não troca
energia com o exterior (apenas acumula a energia), existe uma relação proporcional entre a
potência térmica recebida (ou variação de energia interna por unidade de tempo) e a taxa de
variação do aumento de temperatura resultante.
(3)
Onde é a potência térmica recebida [W], é o calor específico do material , é a
densidade mássica do material e o volume do material . O termo em (3)
é usualmente designado por capacidade térmica do corpo e representa o processo de
acumulação de energia no mesmo. A capacidade térmica de um corpo estabelece pois a
relação entre a sua variação de energia interna e a respectiva variação de temperatura do
mesmo (4).
18
(4)
Propriedades térmicas típicas para uma gama de materiais comumente utilizados em máquinas
eléctricas são dadas na Tabela 2, obtidas nas referências [3], [4], [5] e [6].
Calor específico
Densidade
Ar (20ºC) 1005 1,205
Ferro 450 7850
Cobre 390 8950
Isolante eléctrico classe B 1170 2300
Magneto NdFeB 350-500 7400-7500
Tabela 2- Calor específico e densidade mássica para materiais típicos em máquinas eléctricas.
2.2.2. Cálculo das resistências térmicas
2.2.2.1. Transferência de calor por condução
A transferência de calor por condução é o modo predominante encontrado nas partes materiais
da máquina: nas partes em ferro que constituem o estator e o rotor da máquina, bem como
predominante nos seus enrolamentos.
Pela Lei de Fourier [7] o fluxo de energia térmica transferido do exterior por condução,
, num material isotrópico é formalizado pela equação (5).
(5)
Nesta, é a condutividade térmica do material , o gradiente local de
temperatura na mesma direcção do fluxo de calor, e o sinal negativo traduz o facto de que a
transferência de calor se faz do corpo quente para o corpo frio.
No caso das ligas ferro-silício empregues nas chapas construtivas da maioria das máquinas
eléctricas, a condutividade térmica pouco aumenta com a temperatura podendo ser
considerada constante. Para o mesmo intervalo de temperatura, o valor da condutividade
térmica das ligas de cobre usadas nos enrolamentos também apresenta um aumento pouco
significativo, logo tomando-se como um valor constante.
19
No caso de materiais anisótropos, a condutividade térmica é geralmente expressa por um
tensor com três componentes. Nas máquinas elétricas, esta situação ocorre nas partes da
máquina constituídas por chapas ferromagnéticas empilhadas e isoladas entre si, assim como
nos enrolamentos. Verifica-se, por exemplo, que o valor da condutividade térmica equivalente
nos enrolamentos (cobre + isolamento) é muito maior no sentido axial do que no sentido radial
(pode suceder uma razão de 1 para 400). Contrariamente aos enrolamentos, a condutividade
térmica equivalente do conjunto de chapas empilhadas é maior radialmente que axialmente. No
entanto, neste estudo irá considerar-se a condutividade térmica como isotrópica.
Considere-se um elemento de volume de um material onde existe transferência de calor por
condução. O balanço energético estabelecido é descrito como:
Figura 3- Balanço energético num elemento de volume onde existe transferência de calor por condução.
A formulação matemática do balanço energético é dada por (6), onde é o calor
específico do material, é a densidade de massa do material , é o fluxo de
calor de origem externa e a produção de densidade de potência térmica com origem
interna no elemento de volume sejam, por exemplo, perdas no cobre ou perdas no ferro.
(6)
Usando a expressão da lei de Fourier (5) em (6) permite escrever para um meio isótropo e
homogéneo, a equação do calor (7).
(7)
A densidade de potência térmica gerada no elemento de volume, , pode ser devida, no caso
específico de máquinas eléctricas, às perdas por efeito Joule (no cobre) ou perdas de ferro
(nas chapas de ferro silício ou magnetos permanentes).
Para ilustrar a expressão (7) e se compreender o significado físico da resistência térmica,
mostram-se os cálculos para o caso de propagação de um fluxo de calor por condução numa
20
placa plana. De seguida é abordada a propagação de um fluxo de calor por condução em
geometrias cilíndricas, por se tratar do caso mais apropriado para a modelização da troca de
calor em máquinas eléctricas que apresentam simetria cilíndrica.
2.2.2.1.1. Condução numa placa plana
Para se compreender o significado físico da resistência térmica considere-se o processo de
condução unidimensional, estacionária, através de uma placa plana com condutividade térmica
constante, como se ilustra na Figura 4. Neste processo as trocas de energia ocorrem através
das superfícies e , caracterizadas respectivamente pelas temperaturas e , sendo
a área das superfícies , a distância entre elas e é a condutividade térmica do
material. Nestas condições, (5) pode ser aproximada pela relação (8). Neste sistema considera-
se ainda que não há geração de perdas no seu interior, não há acumulação de energia e a
potência térmica tem um valor constante.
(8)
Figura 4- Ilustração da Lei de Fourier para o caso de um processo unidimensional, estacionário, através de uma placa plana com condutividade térmica constante.
O elemento designado por resistência térmica estabelece uma relação entre duas variáveis
globais: a variação de temperatura e e a potência térmica transferida (9).
(9)
A passagem de potência térmica por dois materiais diferentes é representada por duas
resistências, como se encontra ilustrado na Figura 5.
21
Figura 5- Representação de resistências térmicas em série.
2.2.2.1.2. Condução em geometrias cilíndricas
Condução em geometrias cilíndricas sem produção térmica própria
No caso particular de um fluxo de calor radial, através de uma camada de material isotrópico e
com geometria cilíndrica (Figura 6), podendo-se ainda admitir que a sua condutividade térmica
é independente da temperatura, a expressão (7) toma a forma (10).
(10)
Em regime estacionário e sem haver geração de calor interno na camada de material, a
expressão (10) é dada por (11).
(11)
Figura 6- Camada de material isotrópico e com geometria cilíndrica.
A solução geral da equação (11) assume a forma (12) onde as constantes e são obtidas a
partir do conjunto de condições de fronteira particulares ao problema. A expressão (12)
representa assim a temperatura em regime estacionário através de um cilindro.
22
(12)
Em seguida, descrevem-se as condições de fronteira empregues na determinação das
constantes e .
Considere-se que haja um fluxo de calor a atravessar a superfície cilíndrica em
(Condição de fronteira tipo Neumann), enquanto a temperatura à superfície (em )
apresenta uma temperatura igual a (Condição de fronteira tipo Dirichlet). Assim, em
tem-se a relação (13) que, substituída em (12), permite obter a constante
.
(13)
De forma similar, a segunda constante é determinada a partir da segunda condição de
fronteira,
. A expressão (12) fica então definida por (14).
(14)
Considera-se que o fluxo de calor é positivo quando o mesmo ocorre na direcção do exterior
do cilindro. Neste caso, visto que
é sempre positivo, tem-se que a temperatura será
maior que a temperatura , dada pela expressão (15).
(15)
A resistência térmica de condução numa geometria cilíndrica sem produção interna de calor
fica definida por (16), tendo em conta que a potência total transferida através da superfície
cilíndrica é dada por .
(16)
As máquinas elétricas apresentam não apenas perdas no cobre como no ferro. Assim, a
obtenção de um modelo térmico sem considerar aquela produção interna de calor somente
será válida em algumas partes da máquina. É pois necessário considerar um modelo de
condução térmica com produção própria de calor.
23
Condução em geometrias cilíndricas com produção própria de calor
No caso de uma propagação de calor puramente radial, em regime estacionário, numa camada
cilíndrica de material isotrópico e com dissipação de calor uniforme, a equação (10) fica
expressa por (17).
(17)
A integração de (17) ao longo da camada cilíndrica e o uso das condições de fronteira
expressas em (18) permite calcular em particular, a diferença de temperatura máxima na
camada em questão dada pela expressão (19) [2].
(18)
(19)
A potência de perdas total produzida no interior da camada cilíndrica é expressa por (20).
(20)
A resistência térmica de condução numa geometria cilíndrica agora com produção interna de
calor fica expressa por (21).
(21)
2.2.2.2. Transferência de calor por convecção
A transferência de calor por convecção decorre no ar contido no interior de uma máquina
eléctrica, como por exemplo no entreferro de ar entre o estator e o rotor, e no seu exterior
através do estator. Pela Lei do Arrefecimento de Newton a potência térmica transferida por
convecção é dada pela equação (22) [7].
(22)
onde é o coeficiente de transferência por convecção e é a área da superfície
fronteira . O processo encontra-se ilustrado na Figura 7.
24
Figura 7- Ilustração da Lei de Newton do arrefecimento.
Experiências mostram que é dependente de um grande número de factores incluindo o tipo
de escoamento (natural, forçado, laminar ou turbulento), sobre que geometria se dá o
escoamento (plana, cilíndrica ou esférica) e também das propriedades físicas do fluído
(densidade de massa, viscosidade, velocidade, condutividade térmica, etc.). Na prática o
coeficiente de transferência por convecção é usualmente determinado através de correlações
de dados experimentais. No estudo e análise do processo de convecção é comum reduzir o
número total de variáveis envolvidas formando grupos adimensionais que expressam as
propriedades termofísicas relevantes, geometria e condições de escoamento. [7]
No anexo 2 encontra-se o processo de cálculo do coeficiente de transferência de calor por
convecção através dos grupos adimensionais.
Convecção natural
O coeficiente de transferência por convecção natural de uma máquina eléctrica cilíndrica com
alhetas e de diâmetro , instalado na horizontal, apresenta segundo [8] um valor de
aproximado pela relação (23).
(23)
Por exemplo, para uma máquina com e para um aumento de temperatura de
, o valor coeficiente de transferência por convecção natural toma um valor igual a
para um fluxo de potência térmica igual a
.
Convecção forçada
Quando ocorre um fluxo de ar forçado sobre uma determinada superfície da máquina, o
coeficiente de transferência por convecção apresenta um aumento pela raiz quadrada da
velocidade do ar , ocorrendo valores típicos perto de cinco vezes maiores que a convecção
natural estimados pela relação (24).
25
(24)
Por exemplo, para um fluxo de ar com velocidade sobre uma máquina eléctrica de
comprimento igual e para um aumento de temperatura de , o valor
coeficiente de transferência por convecção forçada toma um valor igual a
para um fluxo de potência térmica igual a
.
Tal como a resistência térmica de condução, a resistência térmica de convecção é dada pela
relação entre a variação de temperatura e e a potência térmica transferida (25).
(25)
2.2.3. Cálculo das perdas
Numa máquina eléctrica, as perdas no ferro, as perdas no cobre e a forma como estas são
removidas determinam o aumento da temperatura. O conhecimento da corrente eléctrica a
circular nos enrolamentos de cobre permite obter as perdas por efeito Joule, no sentido
clássico das perdas óhmicas. No entanto, as perdas no ferro são mais difíceis de obter dada a
forma de onda e frequências envolvidas da densidade de fluxo magnético.
2.2.3.1. Perdas no cobre
As perdas no cobre do enrolamento (26) são dependentes da corrente de carga, , da
resistência eléctrica de fase, e do número de fases da máquina, .
(26)
Para calcular as perdas começa-se por determinar a resistência eléctrica de uma fase em
função do tamanho dos condutores utilizados e da condutividade do cobre.
Numa máquina com enrolamentos por fase ligados em série de secção cada e
comprimento , a resistência de uma fase fica então dada pela expressão (27). Nesta, a
condutividade eléctrica do cobre, será função da sua temperatura conforme a relação
(28).
(27)
26
(28)
Como se verifica pelas expressões (27) e (28) a resistência aumenta com a temperatura de
forma linear. Na expressão empírica para a condutividade eléctrica em função da temperatura
é o coeficiente de temperatura que depende do material, é a temperatura do cobre e
a temperatura do cobre inicial.
2.2.3.2. Perdas no ferro
As perdas que ocorrem no ferro e que se traduzem em aquecimento do material têm duas
origens: as perdas devidas ao fenómeno de histerese; e as perdas produzidas por correntes
induzidas originadas pela variação de fluxo magnético no material ferromagnético,
denominadas correntes de Foucault.
Perdas por histerese
O fenómeno conhecido por histerese é o resultado da tendência do material para reter
magnetismo ou opor-se à mudança de magnetismo. A Figura 8 representa o ciclo de histerese
que revela a energia posta em jogo durante o processo de magnetização do material
ferromagnético.
Um material ferromagnético que nunca tenha sido magnetizado ou que tenha sofrido
desmagnetização irá seguir a curva a tracejado da Figura 8. À medida que o campo magnético
aumenta maior é a indução magnética B. No ponto “a” quase todos os domínios magnéticos
estão alinhados e o aumento da intensidade do campo magnético irá provocar muito pouco (ou
nenhum) aumento da densidade de fluxo magnético. O material atingiu o ponto de saturação
magnética. Durante esta fase é consumida, por unidade volume do material, uma quantidade
de energia proporcional à área “g-a-h-b-g” do gráfico.
Após um material ferromagnético atingir a saturação, se se remover o campo magnético ao
qual o material está sujeito, ou seja, a intensidade do campo passar a ser nula, o material em
causa permanecerá com uma indução magnética. A esta indução dá-se o nome de indução
residual, representada pelo ponto “b”. O que significa que alguns domínios magnéticos
permaneceram alinhados mas outros encontram-se numa direcção aleatória. Durante esta fase
é negativo e a energia é devolvida numa quantidade proporcional à área “b-a-h-b”.
A energia absorvida é maior que a energia devolvida, e a diferença de energia corresponde à
energia perdida sobre a forma de calor proporcional à área “g-a-b-g”.
27
Figura 8- Ciclo de Histerese. Figura adaptada de [9].
Quando o campo magnético é aplicado com sentido oposto ao inicial a curva move-se para o
ponto “c”, onde o fluxo magnético é zero. Este ponto é chamado o ponto de coercividade da
curva. A coercividade de um material ferromagnético é a intensidade do campo magnético
necessário para reduzir a sua magnetização a zero.
À medida que a intensidade do campo é aumentada no sentido negativo o material irá tornar-se
outra vez magneticamente saturado. Reduzindo a zero leva a curva para o ponto “e”. O
material terá um nível de magnetismo residual igual ao atingido na direcção oposta.
Aumentando na direcção positiva, irá voltar a zero. É de notar que a curva não volta à
origem do gráfico pois é necessária uma força para remover o magnetismo residual. A curva irá
completar o ciclo através de um caminho diferente.
Na Figura 9 são representadas áreas a sombreado proporcionais às energias postas em jogo
durante o ciclo de histerese na alternância positiva, na Figura 9 a), b) e c), e negativa, d),e) e f).
A área a sombreado representada (a) e (d) são uma medida da energia absorvida. Enquanto
que (b) e (e) representam a área proporcional à energia devolvida. A diferença entre a energia
absorvida e devolvida é representada (c) e (f) sendo proporcional à área do ciclo de histerese.
28
Figura 9- Áreas no ciclo de histerese proporcionais à quantidade de energia envolvida no processo.(a)
Energia consumida na alternância positiva (b) Energia devolvida na alternância positiva (c) Energia de perdas na alternância positiva .(d) Energia consumida na alternância negativa (e) Energia devolvida na
alternância negativa (f) Energia de perdas na alternância negativa. Figura adaptada de [10].
Durante um ciclo de magnetização uma quantidade de energia proporcional à área do ciclo
histerético não é devolvida, sendo gasta no trabalho de orientação dos domínios magnéticos.
Esta energia é dissipada sob a forma de calor, constituindo as chamadas perdas por histerese.
Com base em resultados experimentais de diferentes materiais ferromagnéticos, e obtendo a
área dos ciclos de histerese respectivos, Charles Steinmetz propôs uma fórmula empírica que
relaciona a energia de perdas por ciclo e o valor máximo da densidade de fluxo magnético,
na amostra. Sendo o campo magnético sinusoidal com uma frequência f, existem f
ciclos de magnetização por segundo e como consequência teremos uma dissipação de energia
por histerese f vezes superior à dissipada num só ciclo. A potência de perdas por histerese
para um dado volume de material, , sujeito a magnetização alternada à frequência f[Hz] é
então dada pela expressão (29) [11].
(29)
Em que é o coeficiente de Steinmetz do material e n é um expoente com valores entre 1,6 e
2.
Perdas por correntes de Foucault
As perdas por correntes de Foucault surgem quando na presença de campos magnéticos
alternados, são induzidas forças electromotrizes no material ferromagnético (condutor eléctrico)
29
que por sua vez originam correntes eléctricas. Este fenómeno é traduzido pela lei de indução
de Faraday:
(30)
Onde “a-b-c-d-a” é o caminho que limita a área atravessada pelo fluxo representado
na Figura 10. Quando o meio é condutor isso implica, necessariamente, que as correntes
elétricas circulem através deste caminho.
Para ilustrar as condições típicas que ocorrem no núcleo ferromagnético, considera-se uma
lâmina metálica percorrida por um fluxo magnético variável no tempo. A Figura 10 ilustra uma
lâmina com espessura [m], altura e comprimento unitários. É assumida uma distribuição
uniforme da densidade de fluxo magnético cuja amplitude é variável no tempo B(t). O
pressuposto de que a densidade de fluxo magnético é uniforme significa que o efeito das
correntes induzidas no material ferromagnético não influencia significativamente a distribuição
da densidade de fluxo magnético e que os caminhos de corrente como o “a-b-c-d-a” são
simétricos em relação à linha central.
(a) (b)
Figura 10- Lâmina de um núcleo ferromagnético: (a) Caminho percorrido pelas correntes de Foucault;
(b)Secção da placa do material ferromagnético. Adaptada de [10].
30
O integral de superfície avaliado sobre o plano “a-b-c-d” considerando-se a altura
unitária é . Visto que a altura é consideravelmente maior que a sua espessura, , os dois
lados da Figura 10 paralelos ao eixo do caminho não contribuem para o integral de linha.
(31)
A densidade de corrente, , relaciona-se com o campo eléctrico, através da condutividade
eléctrica do material, . A expressão resultante para a distribuição da densidade de corrente
fica expressa por (32), pois apenas se considera a densidade de corrente segundo já que a
altura é consideravelmente maior que a sua a espessura, .
(32)
Visto que x não é uma função de t, a potência instantânea por unidade de volume é dada por
(33).
(33)
A potência de perdas instantânea no volume da placa, tendo comprimento e altura unitária e
espessura é dada por (34).
(34)
A potência de perdas por correntes de Foucault instantânea por unidade de volume de material
laminado com perfeito isolamento entre as placas é dado por (35)
(35)
A equação (35) traduz a potência de perdas instantânea resultante da densidade de fluxo
magnético variável no tempo expressa por (36).
(36)
O quadrado da sua derivada é dado então por (37).
(37)
31
Substituindo a expressão (37) em (35), obtém-se a potência instantânea por unidade de
volume expressa em (38).
(38)
Visto que o valor médio de uma função seno quadrado é metade do seu valor máximo, a
potência de perdas média por unidade de volume, quando a densidade de fluxo varia
sinusoidalmente com frequência f[Hz] é dada por (39). [12]
(39)
Num circuito magnético contendo um volume de material ferromagnético sujeito às mesmas
condições que a unidade de volume anterior, a potência média de perdas por correntes de
Foucault é dada por (40).
(40)
Perdas totais no material ferromagnético
Num material ferromagnético sujeito a magnetização alternada variável no tempo, a potência
de perdas específicas [W/kg], que resulta em aquecimento do material, é dada pela soma da
potência de perdas específicas por histerese e por correntes de Foucault.
(41)
Em que Kh e Ke dependem da densidade e condutividade eléctrica do material, coeficiente de
Steinmetz e da espessura da placa.
2.2.3.3. Perdas nos magnetos permanentes
As perdas nos magnetos permanentes são, tal como nas perdas do ferro, devidas à presença
de correntes parasitas. A dedução feita no ponto 2.2.3.2. é válida para as perdas nos
magnetos, considerando-se como objecto do problema, em vez da lâmina (chapa metálica), um
magneto permanente com geometria rectangular. A Figura 11 representa a direcção das
grandezas do problema tal como as dimensões do magneto.
32
Figura 11-Dimensões do magneto permanente. Representação das grandezas em estudo.
A altura da lâmina é substituída pelo comprimento do magneto, , e a espessura da lâmina, ,
é substituída pela largura do magneto, . A expressão (40) toma a forma da expressão (42).
(42)
2.3. Características e modelos comportamentais dos materiais
mais comuns em máquinas eléctricas
2.3.1. Condutividade térmica dos materiais mais comuns em máquinas
eléctricas
A condutividade térmica quantifica a propensão dos materiais de transferir energia térmica,
ou seja, calor. Materiais de alta condutividade térmica transferem a energia térmica de forma
mais rápida e eficiente e funcionam como dissipadores térmicos, como é o caso do cobre,
alumínio ou ferro. No que diz respeito a materiais com baixa condutividade térmica, estes
funcionam como isoladores térmicos e contribuem para a acumulação de calor na máquina,
como é o caso do ar e do isolante eléctrico. Os valores numéricos de variam
dependendo da constituição química, estado físico e temperatura dos materiais.
Com base em dados obtidos através da referência [13] foi construído o gráfico da Figura 12
que representa a variação da condutividade térmica entre os 27ºC e os 527ºC dos metais mais
usados em máquinas eléctricas (alumínio, ferro e cobre).
33
Figura 12- Variação da condutividade térmica do cobre, alumínio e ferro com a temperatura.
A variação da condutividade destes materiais com a temperatura é pouco significativa e como
será verificado em capítulos posteriores, a sua pequena variabilidade tem pouco impacto no
modelo térmico e na previsão da temperatura final da máquina. Por essa razão, os valores de
condutividade térmica adoptados no modelo térmico são os tabelados para a temperatura
27ºC.
A variação da condutividade do ar (componente presente nas máquinas eléctricas,
nomeadamente no entreferro) com a temperatura é mais significativa que os metais como
revela o gráfico da Figura 13 construído com dados da referência [14]. Em capítulos
posteriores, irá ser analisado o seu impacto no modelo térmico e na previsão da temperatura
final da máquina.
Figura 13- Variação da condutividade térmica do ar com a temperatura.
34
2.3.2. Característica térmica e magnética dos magnetos permanentes A temperatura a que o magneto permanente está sujeito tem impacto na sua característica
magnética, o que justifica a importância de estudar o comportamento dos magnetos
permanentes através das respectivas curvas de desmagnetização e correspondente alteração
com a temperatura.
Na Figura 14 encontram-se curvas de magnetização para diferentes temperaturas de um
magneto neodímio-ferro-boro com nome comercial N35 produzido pela Arnold Magnetic
Technologies [15].
Figura 14- Curvas de desmagnetização do magneto NdFeB N35. Retirado de [15].
A respectiva temperatura de Curie, temperatura limite onde um material perde as suas
propriedades magnéticas, é 310ºC. A sua temperatura máxima de funcionamento sem
preocupação de desmagnetização é de 80ºC, que é sempre inferior à temperatura de Curie.
O valor da densidade de fluxo magnético residual tende a diminuir com o aumento da
temperatura. Comportamento idêntico é registado para a coercividade do magneto,
caracterizada pelo aparecimento de um decaimento “joelho” como mostra a curva do magneto.
As variações registadas são provenientes das mudanças na orientação das estruturas
cristalinas do material.
Para garantir que o magneto não é desmagnetizado, o ponto de operação deverá intersectar as
curvas de desmagnetização num ponto sempre acima do “joelho”. Caso contrário, o magneto
iria sofrer uma desmagnetização comprometendo assim o seu desempenho e obviamente o da
aplicação no qual estaria inserido.
35
2.3.3. Características magnéticas das chapas
Em projectos de máquinas eléctricas tem sido mais utilizadas, como material constituinte do
núcleo ferromagnético, diversas ligas tal como o aço-silício, em detrimento do ferro puro.
Este tipo de material surge num conjunto de chapas laminadas em vez de um material
compacto. As chapas laminadas de aço-silício são prensadas de modo a que fiquem paralelas
às linhas de campo magnético, reduzindo o caminho eléctrico das correntes de Foucault.
Assim, a intensidade das correntes induzidas é reduzida resultando numa menor densidade de
perdas para o núcleo ferromagnético.
Neste tipo de liga existem dois tipos de soluções disponíveis no mercado. O material laminado
não-orientado e o material laminado de grão-orientado. O primeiro é um material isotrópico, ou
seja, apresenta as mesmas propriedades magnéticas de uma forma quase uniforme para todas
as direcções. No caso do material de grão-orientado, este possui uma disposição cristalina
orientada numa determinada direcção. O material não orientado é o mais comum para
aplicações de máquinas eléctricas rotativas.
Na Figura 15 encontra-se a curva BH do material de nome comercial M250-50A, liga de aço
com silício não orientado com laminação de espessura 0,5mm. Os valores da curva BH podem
ser encontrados em forma de tabela no Anexo 1.
Figura 15- Característica BH do material M250-50A. Retirado de [1].
Na Tabela 3 encontram-se as perdas específicas do mesmo material fornecidas pelo fabricante
para frequências entre os 50Hz e os 2500Hz, e para valores de indução magnética entre 0,1T e
1,8T.
36
Perdas (W/kg)
B(T) f=50Hz f=100Hz f=200Hz f=400Hz f=1000Hz f=2500Hz
0,1 0,02 0,04 0,1 0,28 1,38 5,71
0,2 0,07 0,16 0,42 1,15 4,91 19,8
0,3 0,13 0,34 0,88 2,41 10 41,4
0,4 0,22 0,57 1,47 4,03 16,8 71,8
0,5 0,31 0,83 2,17 6,03 25,6 113
0,6 0,43 1,13 3 8,47 36,6 169
0,7 0,55 1,47 3,95 11,3 50,3 243
0,8 0,7 1,85 5,05 14,7 67,2 338
0,9 0,86 2,28 6,3 18,7 87,8 461
1 1,02 2,75 7,73 23,4 113 617
1,1 1,21 3,28 9,36 28,8 143
1,2 1,42 3,89 11,2 35,2
1,3 1,67 4,61 13,4 42,4
1,4 2,02 5,51 15,9 50,9
1,5 2,38 6,51 18,9 60,7
1,6 2,71
1,7 2,96
1,8 3,18
Tabela 3- Matriz de perdas específicas do material M250-50A. Retirado de [1].
37
3. Análise electromagnética de um gerador síncrono de magnetos permanentes de fluxo radial
3.1. Descrição do gerador e respectivas características
construtivas
De modo a analisar as perdas por efeito Joule inerentes a uma máquina eléctrica (perdas no
ferro e perdas no cobre) e o consequente desenvolvimento do respectivo modelo térmico,
procedeu-se à simulação de um gerador síncrono de magnetos permanentes dito clássico
(fluxo radial) com aplicação às turbinas eólicas, descrito em [16], tendo sido escalonado de
uma potência nominal de 3MW para 50kW, cuja foto é apresentada na Figura 16.
Devido à área de aplicação prevista no seu projeto (energia eólica), o gerador terá uma
velocidade de rotação baixa (51,7 r.p.m.) apresentando, por isso, um elevado número de polos
(116 polos). Conforme mostra o esquema da Figura 16 (b), a máquina elétrica é de fluxo radial
onde os magnetos permanentes estão localizados no rotor, enquanto o induzido apresenta
conjuntos de enrolamentos concentrados dispostos numa camada. Os magnetos permanentes
com geometria rectângular usados nesta aplicação são magnetos de Neodímio-Ferro-Boro, de
nome comercial N35. Quanto ao material constituinte do núcleo foi utilizado o material M250-
50A, liga de aço com silício não orientado com laminação de espessura 0,5mm. Construção
patenteada por Smart Motor AS.
(a) (b)
Figura 16- Gerador síncrono de 50kW estudado: (a) Fotografia do gerador; (b) Desenho do gerador. Retirado de [16].
38
Trata-se de uma máquina com geometria cilíndrica de diâmetro 1777mm e profundidade
100mm. Encontram-se 60 enrolamentos concentrados dispostos no estator, cada um
constituído por 19 voltas com 36 condutores em paralelo de diâmetro 1,2mm. As dimensões
gerais dos componentes da máquina encontram-se indicados na Figura 17, enquanto os seus
valores são listados na Tabela 4.
Figura 17- Dimensões gerais do gerador (saliências e magnetos permanentes).
Estator Rotor
Diâmetro exterior [mm] 1777 Diâmetro exterior [mm] 1547
Diâmetro interior [mm] 1557 Diâmetro da superfície onde assentam os magnetos [mm] 1507
Profundidade da ranhura [mm] 80 Diâmetro interior [mm] 1450
Largura superior da ranhura [mm] 22,3 Altura do magneto [mm] 20
Largura inferior da saliência[mm] 18,5 Largura do magneto [mm] 33
Número de ranhuras 120 Número de magnetos 116
Comprimento [mm] 100 Comprimento [mm] 100
Espessura do entreferro [mm] 5 Espessura do entreferro [mm] 5
Bobines Número de bobines 60 Número de voltas por bobine 19
Diâmetro da secção do fio de cobre [mm]
1,2 Número de condutores em paralelo por volta
36
Tabela 4- Dimensões do gerador de fluxo radial.
39
3.2. Modelo em elementos finitos do gerador: 2D
Com base nas dimensões e características dos materiais do gerador, elaborou-se um modelo
em parâmetros distribuídos usando um programa de simulação multi-física com recurso ao
método de elementos finitos (COMSOL Multiphysics 4.3), através do qual foram realizadas
simulações do gerador eléctrico a funcionar em regime permanente.
A Figura 18 mostra aproximadamente um quarto do gerador numa simulação em regime
permanente. Apesar de se mostrar apenas um quarto da máquina de modo a tornar mais
visível as saliências e os magnetos da máquina, a simulação foi realizada com a máquina
completa. A figura mostra a distribuição da densidade de fluxo magnético para o gerador em
vazio, ou seja, quando todo o campo magnético existente tem origem apenas nos magnetos
permanentes.
Figura 18- Visão de aproximadamente um quarto do modelo 2D do gerador, implementado em
parâmetros distribuídos através de um modelo de elementos finitos.
Conforme indicado na Tabela 4, este gerador tem 120 saliências no estator e 116 magnetos
dispostos de forma simétrica ao longo do rotor. Esta configuração implica assim que a posição
relativa entre uma saliência e um magneto varie ao longo da máquina. Na Figura 19 (a) pode
observar-se uma região da máquina onde as saliências estão posicionadas entre dois
magnetos, enquanto a Figura 19 (b) mostra uma outra região do gerador em que as saliências
se encontram alinhadas com os magnetos. A periodicidade na posição relativa entre uma
saliência e o magneto é de 90º mecânicos, ou seja, uma saliência encontra-se sempre alinhada
com o magneto de 90º em 90º na máquina.
As linhas de cor preta correspondem às linhas do potencial magnético, o qual é perpendicular
ao plano da imagem. Dado que magnetos adjacentes têm polaridades inversas, as linhas de
força tendem a fechar-se pelos magnetos adjacentes mais próximos.
40
(a) (b)
Figura 19-(a) Saliências posicionadas entre dois magnetos; (b) Saliências alinhadas com magnetos.
3.3. Distribuição da densidade de fluxo magnético no
entreferro em vazio
Nas Figuras 20 e 21 encontra-se respectivamente a distribuição da densidade de fluxo
magnético nas suas componentes radial, e tangencial, no entreferro do gerador ao longo
de 360º mecânicos.
Figura 20 –Componente radial da densidade de fluxo magnético no entreferro ao longo dos 360º do
gerador.
-150 -100 -50 0 50 100 150-1
-0.5
0
0.5
1
Br-
De
nsid
ad
e d
e f
luxo
ma
gné
tico
ra
dia
l(T
)
Ângulo(º)
41
Figura 21- Componente tangencial da densidade de fluxo magnético no entreferro ao longo dos 360º do
gerador.
Visto que a posição relativa entre as saliências e magnetos varia ao longo da máquina com
uma periodicidade de 90º mecânicos, o andamento da densidade de fluxo magnético variará ao
longo do entreferro também com um período de 90º mecânicos como mostram as Figuras 20 e
21.
Na Figura 22 pode ser igualmente verificada essa periodicidade na componente normal da
densidade de fluxo magnético, , definida pela equação (43).
(43)
Figura 22- Norma da densidade de fluxo magnético no entreferro ao longo dos 360º do gerador.
A Figuras 23 mostra, por outro lado, a distribuição da densidade de fluxo magnético no
entreferro durante os primeiros 90º, correspondentes a ¼ do gerador.
-150 -100 -50 0 50 100 150-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Bt-
De
nsid
ad
e d
e f
luxo
ma
gné
tico
ta
nge
ncia
l(T
)
Ângulo(º)
-150 -100 -50 0 50 100 1500.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Bn
- N
orm
a d
a d
ensid
ad
e d
e f
luxo
ma
gné
tico
(T)
Ângulo(º)
42
Figura 23- Densidade de fluxo magnético num quarto da circunferência no entreferro, ou seja, ao longo
dos seus 90º mecânicos.
A frequência de variação da densidade de fluxo magnético normal é maior quando as
saliências se encontram posicionados entre dois magnetos, e menor quando as saliências se
encontram alinhados com os magnetos.
3.4. Modelo em elementos finitos do gerador: 3D
A simulação do gerador eléctrico através de um modelo em 2D pressupõe que a distribuição e
valores do campo de indução magnética se mantêm uniformes ao longo da dimensão
relacionada com a profundidade da máquina. Visto de outra forma, os resultados da
distribuição do campo obtidos de uma simulação 2D equivalem à distribuição que se obtém ao
longo do plano de simetria do dispositivo 3D. Com o objectivo de verificar eventuais efeitos de
borda sobre a densidade de fluxo magnético não contabilizados nos resultados da secção
anterior, elaborou-se um modelo electromagnético 3D do gerador síncrono.
Para verificar se a densidade de fluxo magnético é constante em profundidade, registou-se o
seu valor médio na linha representada na Figura 24 ao longo do tempo (com o gerador em
rotação), para várias profundidades da máquina, como se indica na Figura 25.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Bn
- N
orm
a d
a d
ensid
ad
e d
e f
luxo
ma
gné
tico
(T)
Ângulo(º)
43
Figura 24- Linha de medição da densidade de fluxo magnético na saliência.
Figura 25- Esquema da saliência do estator em profundidade. Profundidades em foi medida a densidade
de fluxo magnético.
A Figura 26 representa o valor médio da densidade de fluxo magnético ao longo do tempo
para as 3 profundidades medidas. O valor de B vai diminuindo em posições mais próximas do
extremo devido aos efeitos da dispersão do campo, designados frequentemente por efeitos de
borda.
44
Figura 26- Densidade de fluxo magnético em função do tempo em várias profundidades do estator.
As curvas representadas na Figura 26 permitem obter uma discretização da distribuição do
campo ao longo da profundidade da máquina (100 mm), efectuando-se o integral ao longo do
tempo das curvas em cada uma das profundidades. A Figura 27 representa a percentagem
contabilizada do fluxo total em relação à posição central da máquina. Os resultados apontam
assim para uma perda de fluxo magnético em aproximadamente 16% devido ao efeito de borda
da máquina, relativamente ao valor anteriormente obtido pelo modelo 2D.
Figura 27- Percentagem fluxo total em relação à posição central da máquina nas várias profundidades.
3.5. Cálculo das perdas no ferro do gerador em vazio à
velocidade nominal
3.5.1. Perdas no estator
Neste capítulo são calculadas as perdas no ferro do estator com o gerador em vazio, ou seja,
quando todo o campo magnético existente na máquina é produzido apenas pelos magnetos
permanentes no rotor.
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo(s)
De
nsid
ad
e d
e F
luxo
Ma
gné
tico
(T)
50 mm
75 mm
93.75mm
45
Conforme referido no capítulo 2.2.3.2. podem identificar-se duas parcelas principais no cálculo
das perdas específicas no ferro expressas em (41): as perdas por histerese magnética e as
perdas por correntes de Foucault. Segundo [17] , obtendo-se a expressão (44) através da
qual se verifica a dependência das perdas no ferro com a frequência do campo de
indução magnética (alternado sinusoidal) e com o valor máximo de densidade de fluxo
magnético, . Para a obtenção dos valores das constantes e usam-se os dados
fornecidos pelo fabricante relativamente às perdas específica do material
ferromagnético usado para diferentes densidades de fluxo magnético e diferentes frequências
(Tabela 3) . Com o valor destas constantes é pois possível extrapolar a densidade de perdas
para os valores de frequência e de densidade de fluxo magnético pretendidos, fazendo uso das
expressões (44).
(44)
O material constitutivo do estator do gerador em estudo é uma liga de aço-silício laminado,
M250-50A, comercializada pela Cogent Power Ltd. As perdas específicas e os dados relativos
às características B-H do material encontram-se representados no capítulo 2.3.3 e foram
retirados dos catálogos disponibilizados pela empresa referida [1].
Por forma a obter-se os valores das constantes e , foi utilizada a ferramenta Surface
Fitting Tool do programa MATLAB. Nesta ferramenta foi inserida a matriz das perdas
específicas representada na Tabela 3, assim como a função expressa pela equação (44),
obtendo-se os valores e .
Na Figura 28 mostra-se a superfície de interpolação dos dados do fabricante estabelecida
através da ferramenta Surface Fitting Tool do programa MATLAB.
Figura 28- Superfície de interpolação dos dados do fabricante do material M250-50A.
46
Para o cálculo das perdas no ferro do estator consideram-se 4 regiões distintas em cada
saliência constituinte do estator, como se mostra na Figura 29. Esta divisão deve-se ao facto
de na extremidade da saliência (regiões 1, 2 e 3) se atingirem maiores valores de B, chegando
até 1,75T. Comparando este valor com a curva BH do material ferromagnético mostrada
anteriormente, verifica-se que na extremidade da saliência o material atinge a saturação
magnética e, por isso, maior é o conteúdo harmónico na indução magnética nessas regiões.
Figura 29- Divisão de cada saliência do estator em 4 regiões.
3.5.1.1. Perdas no estator através do método de elementos finitos usando
elementos 2D
Através da simulação com recurso ao método de elementos finitos, é possível obter o conteúdo
harmónico da componente radial e componente tangencial da densidade de fluxo magnético
em cada uma das 4 regiões. A Tabela 5 apresenta o conteúdo harmónico de cada componente
com o gerador em vazio e à velocidade nominal de 51,7 r.p.m. O conteúdo harmónico da tabela
foi obtido com base no andamento ao longo do tempo do valor médio de B numa linha
pertencente a cada uma das regiões, que se encontram representadas na Figura 30.
47
Figura 30- Representação das linhas de medição da grandeza B nas saliências do estator.
Amplitude harmónicas (T) Região 1 Região 2 Região 3 Região 4
1ª harmónica (50 Hz) 1,35 0,99 1,35 1,02
3ª harmónica (150 Hz) 0,11 0,07 0,11 -
1ª harmónica (50 Hz) 1,32 1,09 1,32 -
3ª harmónica (150 Hz) 0,13 0,04 0,13 -
5ª harmónica (250 Hz) 0,02 0,03 0,02 -
Tabela 5- Amplitude das harmónicas contidas na componente radial e tangencial da densidade de fluxo
magnético em cada uma das regiões consideradas na Figura 29.
Com os dados da Tabela 5 e fazendo uso da expressão (44), obtiveram-se as perdas
especificas presentes na Tabela 6 para cada região e cada uma das componentes.
Perdas específicas (W/kg) Região 1 Região 2 Região 3 Região 4
1ª harmónica (50 Hz) 3,227 1,723 3,227 1,825
3ª harmónica (150 Hz) 0,081 0,029 0,081 -
1ª harmónica (50 Hz) 3,102 2,100 3,102 -
3ª harmónica (150 Hz) 0,104 0,009 0,104 -
5ª harmónica (250 Hz) 0,003 0,008 0,003 -
Tabela 6- Perdas específicas causadas pelas componentes radial e tangencial da densidade de fluxo
magnético em cada uma das regiões consideradas na Figura 29. Simulação 2D.
Obtêm-se as perdas totais de uma dada região somando as perdas específicas das várias
componentes harmónicas e posteriormente multiplicando pela massa da região respectiva
(produto do volume de cada região pela densidade do ferro, ). As perdas
totais numa saliência são dadas pela soma das perdas das regiões demarcadas.
48
A Tabela 7 mostra que embora as regiões 1, 2 e 3 apresentem valores superiores de B e
contenham maior conteúdo harmónico, a região 4 é aquela que apresenta mais perdas por
representar um maior volume de material. O gerador em vazio e à velocidade nominal
apresenta perdas nas 120 saliências de aproximadamente 310W, 0,62 % da respectiva
potência nominal.
Região 1 Região 2 Região 3 Região 4
Perdas Totais (W) 0,15 0,18 0,15 2,10
Perdas Totais na saliência (W) 2,58
Perdas Totais nas 120 saliências (W) 309,85
Tabela 7- Perdas nas saliências totais quando o gerador funciona em vazio e à velocidade nominal.
Para proceder ao cálculo das perdas totais no estator, às perdas totais nas saliências devem
ser somadas as perdas na culaça do gerador. A Tabela 8 apresenta o conteúdo harmónico
nesta zona do gerador e as respectivas perdas específicas para cada componente fazendo uso
da expressão (44).
Amplitude harmónicas (T) Perdas específicas 10
-4 (W/kg)
1ª harmónica (50 Hz) 0,221 864
3ª harmónica (150 Hz) 0,008 4
5ª harmónica (250 Hz) 0,011 14
1ª harmónica (50 Hz) 0,034 20
3ª harmónica (150 Hz) 0,006 2
5ª harmónica (250 Hz) 0,003 1 Tabela 8- Amplitude das harmónicas contidas na componente radial e tangencial da densidade de fluxo
magnético e respectivas perdas específicas na culaça do gerador.
Admitindo-se que a culaça corresponde ao volume de material acima das saliências
(0,0164m3), as perdas totais resultantes em vazio e à velocidade nominal são 11W nesta zona.
As perdas totais no estator somam então 321W, correspondentes a 0,64 % da respectiva
potência nominal.
3.5.1.2. Perdas no estator através do método de elementos finitos usando
elementos 3D
Como na simulação 2D se assume que a distribuição da densidade de campo magnético é
constante e uniforme em profundidade, a simulação em 3D tem por objectivo detectar
eventuais efeitos de borda sobre a sua magnitude e consequente influência no cálculo de
perdas. Para tal, na simulação em 3D, os valores de B considerados para o cálculo de perdas
foram o seu valor médio na superfície transversal da saliência do estator (ver Figura 31), ou
seja o seu valor médio em profundidade para cada uma das 4 regiões consideradas.
49
Figura 31- Superfícies transversais de medição do B na saliência do estator.
Na Tabela 9 é comparado o conteúdo harmónico de cada componente com o gerador em vazio
e à velocidade nominal de 51,7 r.p.m, na simulação em 2D e 3D.
Amplitude harmónicas (T) Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4
Frequência (Hz) 3D 2D 3D 2D 3D 2D 3D 2D
1ª harmónica (50 Hz) 1,09 1,35 1,03 0,99 1,11 1,35 0,97 1,02
3ª harmónica (150 Hz) 0,16 0,11 0,06 0,07 0,15 0,11 - -
5ª harmónica (250 Hz) 0,02 - - - 0,02 - - -
1ª harmónica (50 Hz) 1,15 1,32 1,21 1,09 1,17 1,32 - -
3ª harmónica (150 Hz) 0,16 0,13 0,13 0,04 0,15 0,13 - -
5ª harmónica (250 Hz) 0,02 0,02 0,04 0,03 0,02 0,02 - -
Tabela 9- Amplitude das harmónicas contidas na componente radial e tangencial da densidade de fluxo
magnético em cada uma das regiões consideradas na Figura 29. Simulação 2D e 3D.
A partir dos dados da Tabela 9 foram obtidas as perdas totais em cada região pela mesma
metodologia usada na secção anterior. A Tabela 10 compara as perdas totais em cada região
para uma dada saliência através da simulação em 2D e 3D.
Região 1 Região 2 Região 3 Região 4
Perdas na saliência por simulação 2D (W) 0,15 0,18 0,15 2,10
Perdas na saliência por simulação 3D (W) 0,11 0,21 0,11 1,92
Tabela 10- Comparação de perdas obtidas por simulação 2D e 3D nas regiões consideradas na Figura
29.
50
Nas regiões 1, 3 e 4 verifica-se uma diminuição das perdas pelo método em 3D devido ao facto
de se ter observado um valor de B menor. Através da simulação 3D obtém-se perdas totais em
todas as saliências de 284W, 9% abaixo das perdas obtidas por simulação em 2D.
3.5.2. Perdas no rotor
O rotor é constituído por uma estrutura de ferro onde assentam os magnetos permanentes.
Dado que os componentes do rotor são constituídos por materiais ferromagnéticos as perdas
nesta peça são devidas ao fenómeno de histerese e às correntes de Foucault, como descrito
no capítulo 2.2.3.
O material assumido para a estrutura de ferro onde assentam os magnetos é o mesmo do
núcleo ferromagnético do estator (M250-50A), e por isso as perdas nesta estrutura são obtidas
pela equação (44) com os valores de e obtidos na secção anterior.
Por forma a calcular as perdas no rotor, à semelhança do método utilizado para o cálculo das
perdas no estator, foi obtido o conteúdo harmónico da componente radial e componente
tangencial da densidade de fluxo magnético no rotor através da simulação com recurso ao
método de elementos finitos. A Figura 32 representa os pontos de medição da evolução
temporal da indução magnética na estrutura de ferro.
Figura 32- Pontos de medição da evolução temporal da indução magnética no rotor.
Nos pontos 1 e 2 da estrutura onde assentam os magnetos, verificou-se que a variação da
indução magnética é muito reduzida, assim como as perdas associadas (inferiores a 1W). O
campo magnético estacionário nestes pontos é coerente na medida em que os magnetos estão
assentes na estrutura e por isso a sua rotação não impõe um campo magnético variável.
51
Como visto no capitulo 2.2.3. as perdas nos magnetos permanentes ocorrem devido à
presença de correntes eléctricas induzidas pela variação temporal da densidade de fluxo
magnético. A potência de perdas no magneto é estimada fazendo uso da equação (45) que
expressa a dependência das perdas nos magnetos em relação às suas dimensões (largura,
e volume, que podem ser consultados na Tabela 4), à sua condutividade eléctrica
( ) e à frequência e amplitude do campo de indução magnética
alternado sinusoidal.
(45)
A densidade de fluxo magnético, é aproximadamente uniforme em todo o magneto e como
tal a evolução desta grandeza ao longo do tempo foi medida na superfície total do magneto
representada na Figura 33. Sendo que o valor médio de na superfície anda em torno de
0,95T.
Figura 33- Superfície de medição da evolução temporal da indução magnética no magneto.
Quando o gerador se encontra em vazio e à velocidade nominal, verifica-se para além da
componente DC de indução magnética com o valor de 0,95T a existência de uma harmónica
em 100Hz e com amplitude aproximadamente 0,025T (ver Figura 34).
Figura 34- FFT da densidade de fluxo magnético no magneto quando o gerador se encontra em vazio.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Frequência (Hz)
Am
plitu
de (
T)
52
Esta variação da densidade de fluxo magnético origina segundo (45) perdas de 43W, 0,09%
da respectiva potência nominal.
3.6. Disposição dos enrolamentos e força electromotriz
induzida O cálculo do fluxo magnético com recurso ao método de elementos finitos é, não só a base
para o cálculo das perdas no ferro, como também para a obtenção da f.e.m. induzida por
bobina. A metodologia empregue para obter o fluxo magnético ligado em função da posição
angular do rotor consistiu na integração da densidade de fluxo magnético sobre uma secção
transversal da saliência (Figura 31) para cada ângulo do rotor ao longo de um ciclo eléctrico.
A f.e.m induzida em cada bobina constitutiva de uma fase do gerador dependerá da variação
do fluxo ligado com a mesma e, por isso, é necessário conhecer a disposição de cada conjunto
de bobinas constitutivas da fase do estator. Como referido na Tabela 4, o número de ranhuras
do gerador é 120, permitindo a disposição de um total de 60 bobines como a ilustrada na
Figura 35.
Figura 35- Colocação do enrolamento a constituir uma das bobinas do estator. Retirado de [16].
A Figura 36 mostra que o estator é dividido em quatro secções onde se encontra cada quarta
parte de cada uma das três fases. Cada secção de cada uma das fases é constituída por 5
bobines em série como representado na Figura 36. As quatro secções são pois ligadas em
série, constituindo uma fase do gerador.
53
Figura 36- Disposição dos enrolamentos no estator dividido em quatro secções. Retirado de [16].
Como já foi referido, o gerador é constituído por 120 saliências (dentes) e 116 magnetos, o que
implica que a posição relativa entre cada saliência e um magneto varie ao longo da máquina.
Como tal, os fluxos magnéticos que atravessam duas saliências adjacentes serão desfasados.
Na Figura 37 mostra-se o fluxo magnético que atravessa cada uma das cinco saliências onde
assentam as cinco bobines constitutivas de uma das secções da fase A para um total de 3
ciclos eléctricos.
Figura 37- Fluxos magnéticos ligados com cada uma das 5 saliências onde assentam as cinco bobines
consecutivas de uma das fases em função do ângulo do rotor.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-3
Ângulo(º)
Flu
xo
Ma
gné
tico
(Wb
)
saliencia1
saliencia2
saliencia3
saliencia4
saliencia5
54
A f.e.m. induzida em cada uma das bobines, , é obtida através da derivada temporal de cada
uma das curvas da Figura 37, multiplicada pelo número de voltas da bobine respectiva.
(46)
Assim, com o gerador a rodar à velocidade nominal de 51,7 r.p.m, o fluxo magnético (e a sua
derivada) serão caracterizados por uma frequência elétrica de 50Hz (Figura 38).
Figura 38- Força electromotriz induzida em cada uma das 5 bobinas consecutivas e que fazem parte de
uma das fases do gerador.
Em cada secção da fase, as 5 bobines encontram-se em série. Logo, a f.e.m. resultante
corresponde à soma das f.e.m’s nas 5 bobines. Visto que a posição relativa entre as saliências
e magnetos se altera ao longo da máquina com uma periodicidade de 90º, o fluxo magnético
ligado total (e f.e.m. induzida) das quatro secções das fases (A1-A2-A3-A4; B1-B2-B3-B4; e
C1-C2-C3-C4) irá ter o mesmo andamento. Como, tal a f.e.m induzida resultante nas três fases
A-B-C fica estabelecida por (47), (48) e (49), respectivamente.
(47)
(48)
(49)
Para a velocidade nominal de 51,7 r.p.m obtém-se então um sistema trifásico de tensões
alternado sinusoidal equilibrado de amplitude 245V, com frequência 50Hz e com desfasamento
de 120º entre elas, como mostra a Figura 39.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-15
-10
-5
0
5
10
15
Tempo(s)
Forç
a e
lectr
om
otr
iz induzid
a (
V)
saliencia1
saliencia2
saliencia3
saliencia4
saliencia5
55
Figura 39- Tensões nas fases A-B-C do gerador.
3.7. Cálculo das perdas no cobre
3.7.1. Modelo em parâmetros concentrados da máquina síncrona:
Resistência elétrica e indutância síncrona por fase do gerador
O enrolamento do estator é constituído por bobinas, alojadas em cavas, que cobrem toda a sua
superfície interior, sendo os condutores longitudinais e paralelos ao veio da máquina. Na
superfície do rotor estão dispostos magnetos permanentes que dão origem a um fluxo
magnético que se fecha através do entreferro e do estator. De acordo com a lei de Faraday, o
fluxo magnético ligado com a bobina ao apresentar uma variação no tempo induz uma força
electromotriz na mesma, a qual dá origem a uma corrente elétrica num circuito exterior ligado
entre os respectivos terminais. Devido à forma construtiva da máquina, a distribuição espacial
da indução magnética é aproximadamente sinusoidal, como se verifica na Figura 37.
A máquina síncrona em regime síncrono directo e equilibrado é representada pelo circuito
monofásico equivalente da Figura 40. O circuito equivalente por fase inclui uma f.e.m.,
representativa da força electromotriz induzida na(s) bobine(s) de uma fase, em série com a
resistência eléctrica do enrolamento e uma reactância em série, reactância síncrona, .
Figura 40- Circuito equivalente da máquina em regime síncrono.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
Tensão induzid
a(V
)
Ângulo eléctrico(º)
a
b
c
56
De seguida, caracterizam-se os parâmetros eléctricos para o gerador em estudo: resistência de
fase e o valor da indutância não saturada.
A referência [16] indica como valores de resistência e indutância por fase do gerador a uma
frequência de 50Hz os seguintes valores e . Neste capítulo
pretende-se confirmar estes valores a partir dos resultados relativamente aos ensaios em carga
efectuados com o gerador e descritos no gráfico da Figura 41 [16].
A Figura 41 ilustra ensaios experimentais aplicados ao gerador com o objectivo de investigar o
tipo de carga que permite atingir a potência nominal. Utilizaram-se dois tipos de carga no
gerador: uma carga resistiva e uma carga RC paralela. As curvas pretas a tracejado definem
uma determinada resistência fixa, os seus valores são por ordem decrescente: 26,2Ω; 20,3Ω;
11,7Ω; 5,6Ω; 4,5Ω; 3,7Ω; 2,8Ω e 2,1Ω. As curvas a cor verde, azul, vermelho e amarelo
correspondem cada uma a um valor definido de capacidade por fase, respectivamente,
, , e . Cada ponto marcado no gráfico corresponde assim a
um valor de resistência e capacidade diferentes.
Os resultados exibidos na Figura 41 mostram que com uma carga puramente resistiva não é
possível atingir 50kW, atingindo-se um máximo de potência de saída de 28,5kW. No entanto,
com uma carga capacitiva em paralelo, a potência de saída aumenta, conseguindo-se um valor
perto de 50kW com uma capacidade de .
Figura 41- Ensaios experimentais aplicados ao gerador com dois tipos de carga: uma carga resistiva e uma carga RC paralela. Retirado de [16].
57
A resistência e indutância por fase do gerador são estimadas a partir dos valores do
ensaio com carga resistiva (curva verde da Figura 41). Começa-se então por representar na
Figura 42 o diagrama fasorial de um gerador síncrono alimentando uma carga puramente
resistiva.
Assume-se que no ensaio em carga resistiva a velocidade do gerador é mantida constante e
por isso a força electromotriz, , e a frequência angular, , também. Logo, admite-se que a
f.e.m. induzida em vazio com valor 180V não decai ao longo da curva e a sua frequência
eléctrica se mantém igualmente constante com valor .
Figura 42- Diagrama fasorial de um gerador síncrono alimentando uma carga puramente resistiva.
A partir do diagrama fasorial da Figura 42 estabelece-se a relação (50) onde é o valor eficaz
da força electromotriz induzida em cada fase do gerador, é a tensão eficaz aos terminais
da fase, é a corrente eléctrica na fase e a frequência angular eléctrica.
(50)
Aplicando a equação (50) a duas situações de cargas resistivas diferentes (dois pontos da
curva verde na Figura 41) permite obter um sistema de duas equações (51) e (52) com duas
incógnitas ( e ), o que irá permitir a resolução do sistema de equações.
(51)
(52)
58
A corrente eléctrica para cada situação foi obtida como
para , onde os
valores e foram retirados a partir do gráfico da Figura 41: , ,
e . Resolvendo o sistema de equações (51)-(52) obtêm-se os
valores de resistência e indutância por fase do gerador: Ω e .
3.7.2. Corrente na fase
A carga utilizada nos ensaios experimentais cujos resultados se encontram na Figura 41 foi
uma resistência e um condensador em paralelo como ilustra a Figura 43.
Figura 43- Carga RC paralela aplicada ao gerador por fase.
Para o cálculo da corrente na fase é necessário recorrer à definição de potência complexa,
, cuja relação com a corrente é dada por (53). Sendo que para a carga em questão
e , substituindo em (53), tem-se a relação (54).
(53)
(54)
Contudo a potência cujos valores estão presentes no gráfico da Figura 41 é a potência activa, a
qual pode ser obtida através das relações (55) ou (56).
(55)
59
(56)
Os dados da tensão de fase, , potência activa, e capacidade da carga, , são retirados
da Figura 41. A resistência da carga, , é determinada através da expressão (56). Por fim, a
corrente é obtida através da expressão (57) baseada na relação (55).
(57)
A Figura 44 representa o diagrama fasorial de um gerador síncrono alimentando por uma carga
RC. A partir do diagrama fasorial estabelece-se a relação (58).
Figura 44- Diagrama fasorial de um gerador síncrono alimentando uma carga RC paralelo.
(58)
A partir da equação (58) obtém-se a força electromotriz induzida para cada condição de carga,
com este valor a velocidade da máquina pode ser obtida por (59).
(59)
A velocidade da máquina é obtida através das expressões (58) e (59). Na Figura 45
encontram-se os valores de corrente na fase para cada condição de carga, em função da
velocidade do rotor que se mantém aproximadamente constante em torno do valor 51,7 r.p.m.
60
Figura 45- Corrente de fase em função da velocidade da máquina para diferentes condições de carga.
A potência de saída do gerador alcança o valor nominal de 50kW para uma carga com
capacidade (curva amarela na Figura 41), obtendo-se uma corrente na fase igual a
. Nos resultados da Figura 46, este valor diz respeito ao último ponto da curva cor-
de-rosa.
Figura 46- Corrente de fase em função da potência de saída para diferentes condições de carga.
3.7.3. Perdas no Cobre
Conforme referido no capitulo 2.2.3.1. a potência de perdas no cobre é expressa por (60).
(60)
30 35 40 45 50 55 60 65 700
20
40
60
80
100
velocidade da maquina(r.p.m.)
Co
rren
te(A
)
Carga Resistiva
C=440uF
C=850uF
C=960uF
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 104
0
20
40
60
80
100
Potência de saída(W)
Co
rren
te(A
)
Carga Resistiva
C=440uF
C=850uF
C=960uF
61
Com base nos dados da corrente de fase apresentados na Figura 46, foram obtidas as perdas
no cobre para cada condição de carga (Figura 47). Na condição nominal de funcionamento do
gerador, o valor das perdas no cobre obtidas foi de 3955 W, 8% da potência nominal.
Figura 47- Perdas no cobre em função da potência de saída para diferentes condições de carga.
3.8. Cálculo das perdas no ferro em carga à velocidade
nominal
3.8.1. Perdas no estator
Para a análise das perdas no ferro do estator em vazio, foi apenas analisada a evolução da
densidade de fluxo magnético numa das saliências do estator pois a evolução é equivalente
nas restantes saliências. Embora as saliências não tenham a mesma posição relativamente ao
magneto, e por isso a evolução da densidade de fluxo magnético esteja desfasada entre
saliências adjacentes, a densidade de fluxo magnético atinge o valor máximo de 1,02T em
todas as saliências quando estas estão alinhadas com um magneto.
Quando o gerador está em carga, a densidade de fluxo magnético presente no estator
apresenta duas origens: os magnetos permanentes e a corrente a circular nos enrolamentos do
gerador. Neste caso, a amplitude da densidade de fluxo magnético não será igual em todas as
saliências devido à soma destas duas componentes.
Como foi visto no capítulo 3.6 e novamente ilustrado aqui na Figura 48, o estator do gerador
síncrono é dividido em quatro secções onde se encontra ¼ do enrolamento que constitui cada
uma das três fases ABC. Cada ¼ do enrolamento de uma fase é constituído por 5 bobines
concentradas e ligadas em série como representado na Figura 48. Por fim, as quatro secções
são ligadas em série para formar o enrolamento completo de uma fase do gerador.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 104
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Potência de saída(W)
Pe
rda
s n
o C
ob
re(W
)
Carga resistiva
C=440uF
C=850uF
C=960uF
62
Figura 48- Disposição dos enrolamentos trifásicos nas quatro secções do estator ao longo do gerador.
Adaptado de [16].
Assumindo-se que sob a saliência 2 (numerada na Figura 48) está colocado um magneto com
polaridade inversa, a Figura 49 representa a vermelho a direcção da densidade de fluxo com
origem nesse magneto. Segundo a lei de indução magnética, devido à variação do fluxo ligado
causada pela rotação dos magnetos irá ser induzida uma força electromotriz no enrolamento
disposto na saliência 2 com o sinal indicado a verde na Figura 49. Quando ligado a uma carga,
o enrolamento será percorrido por uma corrente que induzirá um campo magnético na mesma
direcção que o magneto.
Figura 49- Direcções das grandezas electromagnéticas no fenómeno de indução magnética. Densidade
de fluxo magnético (vermelho), tensão induzida (verde) e corrente eléctrica (azul).
63
O estudo das perdas no ferro em carga foi feito para a condição de operação nominal, 51,7
r.p.m. Através do capítulo 3.7 concluiu-se que a potência nominal de 50kW é atingida com uma
carga capacitiva com ( ) originando uma corrente na fase com
amplitude de 99A. As correntes nas fases serão dadas pelas relações (61), (62) e (63).
(61)
(62)
(63)
À semelhança das perdas em vazio a amplitude da densidade de fluxo magnético foi estimada
através de simulação com recurso ao método de elementos finitos. Neste caso a indução
magnética foi medida num ponto central da saliência, representado na Figura 50.
Figura 50- Ponto de medição da densidade de fluxo magnético na saliência quando o gerador está em
carga.
A Figura 51 exemplifica um período da densidade de fluxo magnético com origem apenas no
magneto nas saliências 2, 4, 6, 8 e 10 (numerados na Figura 48), além da densidade de fluxo
magnético proveniente da corrente alternada que percorre os enrolamentos dispostos nessas
saliências.
Como se pode verificar pelas curvas a densidade de fluxo magnético proveniente do magneto
na saliência 10 encontra-se mais desfasada da densidade de fluxo magnético proveniente da
corrente alternada do que na saliência 2. O que leva a que a amplitude da densidade de fluxo
64
magnético na saliência 10 seja menor que na saliência 2 como se verifica na Tabela 11 e na
Figura 52.
Figura 51- Densidade de fluxo magnético radial com origem no magneto e na corrente alternada.
A Figura 52 representa a densidade de fluxo magnético radial devida a ambas as origens
(magneto e corrente alternada) em saliências onde assentam bobines consecutivas.
Figura 52- Densidade de fluxo magnético radial em saliências onde assentam bobines consecutivas.
Através de simulação numérica pelo método de elementos finitos obtiveram-se os valores das
amplitudes da densidade fluxo magnético radial em cada uma das saliências listadas na Tabela
11 quando submetidas a correntes descritas pelas equações (61), (62) e (63). Visto que a
geometria da máquina se repete de 90 em 90 graus mecânicos, foi analisado apenas um
quarto da máquina. Através do software e método utilizado não foi conseguida uma solução
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo(s)
Br(
T)
Saliência 2 (Br do Magneto)
Saliência 4 (Br do Magneto)
Saliência 6 (Br do Magneto)
Saliência 8 (Br do Magneto)
Saliência 10 (Br do Magneto)
Br da Corrente Alternada
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo(s)
Br(
T)
Saliência 2
Saliência 4
Saliência 6
Saliência 8
Saliência 10
65
que convergisse na saliência 11 e 21, e por isso a amplitude considerada nos cálculos foi a
máxima observada nas restantes saliências de 1,3784T.
As perdas específicas no ferro em carga foram obtidas tal como as perdas especificas em
vazio através da equação (64), onde , e .
(64)
As perdas específicas terão de ser multiplicadas pela densidade do ferro e
pelo volume da saliência, obtendo-se as perdas totais em cada saliência mostradas na Tabela
11. As letras A, B e C na tabela representam a forma da corrente (equações (61), (62) e (63)
respectivamente) que contribui com indução magnética para aquela saliência.
66
Fase
Saliência 1 A e C 1,2618 2,83 3,25
Saliência 2 C 1,3726 3,35 3,85
Saliência 3 C 1,3232 3,11 3,58
Saliência 4 C 1,2928 2,97 3,41
Saliência 5 C 1,2734 2,88 3,31
Saliência 6 C 1,2175 2,63 3,03
Saliência 7 C 1,2026 2,57 2,95
Saliência 8 C 1,1402 2,31 2,66
Saliência 9 C 1,1179 2,22 2,55
Saliência 10 C 1,0633 2,01 2,31
Saliência 11 C e B 1,3784 3,37 3,88
Saliência 12 B 1,3462 3,22 3,70
Saliência 13 B 1,2971 2,99 3,44
Saliência 14 B 1,2616 2,83 3,25
Saliência 15 B 1,2409 2,73 3,15
Saliência 16 B 1,1822 2,48 2,86
Saliência 17 B 1,1652 2,41 2,77
Saliência 18 B 1,1009 2,15 2,48
Saliência 19 B 1,0774 2,06 2,37
Saliência 20 B 1,0179 1,84 2,12
Saliência 21 B e A 1,3784 3,37 3,88
Saliência 22 A 1,3784 3,37 3,88
Saliência 23 A 1,3256 3,12 3,59
Saliência 24 A 1,2987 2,99 3,45
Saliência 25 A 1,2756 2,89 3,32
Saliência 26 A 1,2216 2,65 3,05
Saliência 27 A 1,2038 2,57 2,96
Saliência 28 A 1,1435 2,32 2,67
Saliência 29 A 1,1182 2,22 2,55
Saliência 30 A 1,0643 2,01 2,31
Total de perdas nas saliências em 1/4 da máquina 92,60
Tabela 11- Valores da densidade de fluxo magnético no centro de cada saliência do estator e respectivas
perdas específicas e perdas totais.
67
Da Tabela 11 conclui-se que as perdas nas saliências em ¼ da máquina na condição nominal
são aproximadamente 92W e, por isso, as perdas totais nas saliências do ferro da máquina em
carga serão cerca de 370W.
Para completar as perdas no ferro resta contabilizar as perdas na extremidade da saliência e
na culaça do gerador. No capítulo relativo às perdas em vazio, as perdas nas extremidades das
saliências e na culaça constituíam 28% das perdas no restante volume das saliências. Visto
que a nova distribuição de campo permite manter as mesmas regiões definidas na Figura 29,
considerou-se a mesma percentagem no cálculo das perdas em carga. As perdas no ferro do
estator em carga dão um total de 472W, 0,9% da potência nominal.
3.8.2. Perdas no rotor
As perdas no rotor em carga foram obtidas pela mesma metodologia que as perdas em vazio.
Visto a densidade de fluxo magnético, ser aproximadamente uniforme em todo o magneto, a
medição desta grandeza foi medida na superfície total do magneto representada na Figura 33.
Neste caso, o campo magnético existente é produzido não só pelos magnetos permanentes
mas também pela corrente alternada que percorre os enrolamentos do estator. O caso
estudado foi para a condição nominal, com corrente 99A. A densidade de fluxo magnético do
magneto foi analisada nos casos em que o enrolamento é percorrido pela fase a, b e c
obtendo-se componentes harmónicas da indução magnética muito semelhantes. Para além da
componente DC com o valor de 0,97T verifica-se uma harmónica em 100Hz e com amplitude
aproximadamente 0,035T.
Figura 53- FFT da densidade de fluxo magnético no magneto quando o gerador se encontra em carga.
Esta variação da densidade de fluxo magnético origina segundo (45) perdas de 76W, 0,15% da
potência nominal.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Frequência (Hz)
Am
plitu
de (
T)
68
4. Modelo térmico do gerador síncrono de magnetos permanentes em regime estacionário
4.1. Modelo térmico em parâmetros concentrados: modelo em
camadas cilíndricas para o circuito térmico
Como primeira aproximação do modelo térmico de parâmetros concentrados para o gerador,
considera-se uma representação em camadas cilíndricas. Como referido no capítulo 2, esta é a
representação mais apropriada para a modelização da troca de calor em máquinas eléctricas
que apresentam simetria cilíndrica. Cada camada representará os diferentes materiais
constitutivos da máquina eléctrica em termos do seu volume equivalente e das suas
propriedades térmicas, assim como representará também a produção interna de fluxo de calor
nos materiais que apresentam perdas.
Neste caso, a estrutura geométrica do gerador torna-se uma estrutura equivalente simplificada,
como se mostra na Figura 54, onde a primeira camada representa os magnetos permanentes
assentes no rotor, a segunda camada consiste no entreferro de ar equivalente do gerador, a
terceira e quarta representam as saliências do núcleo ferromagnético estatórico, a quinta, sexta
e setima representam os enrolamentos dispostos no estator constituídos por isolante eléctrico e
cobre, e por fim, a camada mais exterior representa o restante volume de núcleo
ferromagnético estatórico.
Figura 54- Secção do estator modelado por camadas cilíndricas.
69
Com o gerador em carga, a origem do fluxo de calor provém das perdas nos magnetos, no
cobre e no núcleo ferromagnético estatórico, as quais são difundidas para o exterior,
radialmente por condução através do estator. O calor depois de difundido radialmente pelo
estator é transferido por convecção através do ar da superfície da máquina para o ambiente. A
Figura 55 mostra o circuito térmico equivalente dos fluxos de calor considerados.
No circuito térmico considerado, as fontes de calor referem-se à potência de perdas na
condição nominal (50kW) em cada uma das camadas. Considera-se que a temperatura
ambiente é 25ºC imposta no circuito pela fonte de temperatura, . As resistências no circuito
traduzem os processos de transferência de calor na camada por condução e convecção e são
representadas no circuito com as cores das camadas respectivas.
Figura 55- Circuito em parâmetros concentrados do modelo considerado na Figura 54.
Como referido e deduzido no capitulo 2, nas camadas onde ocorre produção interna de calor a
transferência de calor por condução é traduzida por uma resistência própria, dada pela
equação (21) no capitulo 2, enquanto que a transferência de calor com origem externa numa
dada camada é traduzida por uma resistência externa, dada pela equação (16) no capitulo
2. Através das equações (16), (21) e (25) conclui-se que as resistências de condução e
convecção dependem para além da geometria do gerador, da condutividade térmica dos
materiais, k, no caso da condução e do coeficiente de transferência de calor por convecção, h.
Nos subsequentes subcapítulos vai ser apresentado o método de cálculo de h, assim como, os
valores de condutividade térmica considerados e a sua variação com a temperatura.
4.1.1. Cálculo do coeficiente de transferência de calor por convecção
Como visto no capitulo 2 a resistência de convecção que traduz a convecção no ar exterior à
máquina depende para além da superfície de transferência de calor (área lateral da máquina),
do coeficiente de transferência de calor por convecção.
70
O coeficiente de transferência de calor por convecção natural de uma máquina eléctrica
cilíndrica, instalada na horizontal, apresenta como visto no capítulo 2 um valor de aproximado
pela relação (65).
(65)
em que é a diferença entre a superfície exterior da máquina e a temperatura ambiente, α e
β são valores dependentes das condições de fluxo e geometria.
Pelo facto da convecção térmica ser um fenómeno complexo que não pode ser resolvido por
abordagens puramente matemáticas e a fim de se obter resultados mais precisos, foram
usados dados empíricos do gerador em estudo para calibrar a correlação (65).
A correlação (65) pode ser escrita na forma logarítmica:
(66)
Os valores de e são obtidos a partir de uma regressão linear da expressão (66) com
valores experimentais e valores estimados de .
Os dados experimentais do gerador estão presentes na Tabela 12, obtidos a partir de [16]. Os
dados mostram o aumento de temperatura medida em 5 zonas da máquina quando o gerador
se encontra em vazio e a cerca de 32kW.
Aumento de
Temperatura (ºC) Em vazio
A cerca de
32kW
Superfície do
estator - 33,8ºC
Entreferro 10,6ºC 40ºC
Centro do
enrolamento 14ºC 69,2ºC
Fundo da cavidade 15ºC 51,9ºC
Extremidade da
saliência 15,7ºC 57,6ºC
Tabela 12- Aumento de temperatura medida em vazio e a cerca de 32kW. Retirado de [16].
71
A diferença de temperatura presente nas relações (65) e (66) corresponde à variação da
temperatura na superfície da máquina. Na condição em que a máquina se encontra a 32kW,
é obtido directamente da tabela, . Para a condição da máquina em vazio não
existem dados experimentais do aumento da temperatura na superfície da máquina e por isso
a temperatura à superfície da máquina neste caso é estimada com base no aumento da
temperatura na extremidade da saliência (ponto 1 da Figura 56, 15,7ºC) subtraída do aumento
de temperatura entre a extremidade da saliência (ponto 1 da Figura 56) e a superfície da
máquina (ponto 2 da Figura 56). Esta variação de temperatura entre o ponto 1 e 2 é estimada
com base nas perdas em vazio e resistências calculadas nos capítulos anteriores. Obtendo-se
Figura 56- Representação do circuito térmico. Ponto 1-Temperatura na extremidade da saliência. Ponto
2- Temperatura na superfície da máquina.
A definição da resistência térmica permite encontrar os valores de h (67) para o
correspondente aumento de temperatura e .
(67)
Sendo a potência de perdas totais da máquina (perdas no ferro, cobre e magnetos), D o
diâmetro da máquina e L o comprimento da máquina.
A potência de perdas do gerador foi estimada quando este se encontra em vazio (365W) e na
condição nominal (4504W). A potência de perdas do gerador a cerca de 32kW foi interpolada
com base nas perdas nas duas condições estudadas (vazio e na condição nominal, 50kW)
Relativamente ao valor das perdas no ferro e nos magnetos para a condição do gerador a
cerca de 32kW, este foi interpolado linearmente. A Tabela 13 representa as perdas das três
situações em estudo: a condição em vazio (corrente nula); a condição nominal (corrente de
fase 99A) e o ponto interpolado (corrente de fase 63A), obtendo-se 481W de perdas no ferro e
nos magnetos.
72
Condição do gerador Corrente de fase (A) Perdas no Ferro e nos
magnetos (W)
Vazio 0 365
Gerador a 32kW 63 481
Condição nominal (50kW) 99 548
Tabela 13- Interpolação das perdas no ferro e nos magnetos para o gerador a 32kW.
As perdas no cobre foram obtidas no capítulo 3 para diferentes condições de carga. Com base
nos valores obtidos, a situação em que o gerador se encontra a 32kW pode ser interpolada. A
Figura 57 representa os valores das perdas no cobre e a respectiva potência de saída.
Figura 57- Perdas no cobre em função da respectiva potência de saída.
O polinómio que mais se adequa aos dados é um polinómio de terceiro grau. Com base nesta
função foi obtido o valor das perdas para 32kW, 1736W.
Os valores de e são obtidos a partir de uma regressão linear da expressão (66) com os
valores experimentais e os valores estimados de , obtendo-se a correlação:
(68)
Para a potência de perdas na condição nominal obtém-se um , verificando-se
uma temperatura à superfície da máquina de 89,3ºC.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 104
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Potência de saída(W)
Pe
rda
s n
o c
ob
re(W
)
dados
curva ajustada
73
4.1.2. Variação da condutividade térmica dos materiais com a temperatura
A condutividade térmica é uma característica específica de cada material, e depende
fortemente da própria temperatura na qual o material se encontra como pode ser visto nos
gráficos 12 e 13 do capítulo 2. Neste capítulo pretende-se ver o impacto da condutividade
térmica adoptada para o ferro, cobre e ar no modelo, na temperatura final no interior da
máquina na condição nominal.
A Figura 58 representa a temperatura no magneto ( no circuito da Figura 55) para várias
condutividades tabeladas do ferro desde 27ºC a 527ºC e mantendo as condutividades dos
restantes materiais constantes e para uma temperatura de 27ºC.
Figura 58- Temperatura no magneto para condutividades do ferro desde 27ºC a 527ºC
Visto que a máquina atinge temperaturas na ordem dos 200ºC a condutividade do ferro a
adoptar seria . No entanto, a alteração desta condutividade não provoca
grande alteração na temperatura (variação de menos 1%), pelo que a condutividade adoptada
no modelo foi .
A Figura 59 representa a temperatura no magneto ( no circuito da Figura 55) para várias
condutividades tabeladas do cobre desde 27ºC a 527ºC e mantendo as condutividades dos
restantes materiais constantes e para uma temperatura de 27ºC.
74
Figura 59- Temperatura no magneto para condutividades do cobre desde 27ºC a 527ºC.
Visto que a máquina atinge temperaturas na ordem dos 200ºC a condutividade do cobre a
adoptar seria . No entanto, a alteração desta condutividade não provoca
grande alteração na temperatura (variação de menos 1%), pelo que a condutividade adoptada
no modelo foi .
A Figura 60 representa a temperatura no magneto ( no circuito da Figura 55) para várias
condutividades tabeladas do ar desde 27ºC a 527ºC e mantendo as condutividades dos
restantes materiais constantes e para uma temperatura de 27ºC.
Figura 60- Temperatura no magneto para condutividades do ar desde 27ºC a 527ºC.
75
Visto que a máquina atinge temperaturas na ordem dos 200ºC a condutividade do ferro a
adoptar seria . Neste caso, a alteração desta condutividade induz uma
alteração significativa na temperatura estimada (variação na ordem dos 5%).
Conclui-se que a alteração da condutividade térmica do cobre e do ferro não afectam a
temperatura estimada no modelo, enquanto que a variação da condutividade térmica do ar tem
um efeito mais apreciável na temperatura estimada. Para um maior precisão do modelo
considera-se então , sendo que a temperatura estimada no magneto
( ) é 172,7ºC.
4.2. Modelo térmico pelo método de elementos finitos
Com base nas dimensões do gerador descritas no capítulo 2 foi construído um modelo da
máquina com recurso a software. Utilizou-se um programa com recurso ao método de
elementos finitos, de nome COMSOL Multiphysics 4.3, onde foram efectuadas simulações em
regime estacionário descritas de seguida. O método de elementos finitos (FEM) é baseado no
conceito de dividir a geometria pretendida em partes triangulares menores, onde um conjunto
de equações são resolvidas para cada elemento, formando uma rede. Neste capítulo foi usado
o módulo Heat Transfer- Joule Heating.
Em cada um dos domínios foram definidas as perdas respectivas na condição nominal do
gerador (50kW). Tal como no modelo em parâmetros concentrados, admite-se que no interior
do gerador o processo de transferência de calor é a condução. A condutividade térmica no
núcleo ferromagnético, magnetos permanentes e entreferro (ar) foram as mesmas
consideradas no modelo anterior. A representação dos enrolamentos do estator é feita
assumindo-se um material com condutividade térmica dada pela junção da condutividade
térmica do cobre, isolante e ar, na respectiva proporção ao seu volume (69) na ranhura
ilustrada a verde na Figura 61.
(69)
Figura 61- Modelo Comsol Multiphysics. Fronteira com o exterior (azul). Ranhuras onde assentam os
enrolamentos (verde).
76
A convecção térmica é apenas admitida no exterior da máquina. Na fronteira entre a superfície
lateral do gerador e o ar exterior (representada a azul na Figura 61) é definido o coeficiente de
transferência de calor por convecção com o valor considerado no modelo de parâmetros
concentrados, .
Na Figura 62 encontra-se a distribuição de temperatura no gerador na condição nominal.
Figura 62- Distribuição de temperatura no gerador na condição nominal.
4.3. Comparação dos dois modelos: alteração do modelo de
parâmetros concentrados
A Figura 63 compara a temperatura estimada nos dois modelos em 4 locais da máquina. A
temperatura no interior da máquina (nos magnetos permanentes) entre os dois modelos difere
em 33,3%.
Figura 63- Comparação da temperatura em 4 locais da máquina estimada nos dois modelos.
77
Visto que no modelo baseado no método de elementos finitos os enrolamentos são
representados como um material com condutividade mista optou-se por alterar o modelo de
parâmetros concentrados e representar os enrolamentos por uma única camada com
condutividade . A Figura 64 representa a nova modelização.
Figura 64- Secção do estator modelado por camadas cilíndricas, considerando os enrolamentos numa
única camada.
Com esta alteração a temperatura estimada no magneto é de 112,4ºC, diferindo do modelo
baseado no método de elementos finitos em 2,4%. Como pode ser observado pelo gráfico da
Figura 65 este modelo de parâmetros concentrados aproxima-se do modelo em elementos
finitos.
Figura 65- Comparação da temperatura em 4 locais da máquina estimada nos dois modelos.
78
5. Conclusões
Com este estudo concluiu-se que as perdas dominantes em geradores síncronos de magnetos
permanentes para aplicações de baixas velocidades ocorrem no cobre. No gerador analisado,
as perdas no cobre foram obtidas com base em dados experimentais para diferentes condições
de carga, atingindo na condição nominal 8% da potência nominal.
As perdas no ferro do gerador foram estimadas usando um modelo numérico com recurso ao
método de elementos finitos para o cálculo do campo electromagnético. A maior parte das
perdas no ferro ocorrem no estator, atingindo na 0,9% da potência nominal, nomeadamente
nas suas saliências onde se localizam valores superiores de densidade de fluxo magnético. As
perdas no ferro localizadas no rotor podem ser divididas nas perdas presentes nos magnetos,
com valor 0,2% da potência nominal, e as perdas na estrutura ferromagnética onde assentam
os magnetos, que verificou perdas associadas desprezáveis devido à variação da indução
magnética muito reduzida. O campo magnético estacionário nestes pontos é coerente na
medida em que os magnetos estão assentes na estrutura e por isso a sua rotação não impõe
um campo magnético variável.
Da comparação em termos de potência de perdas no ferro e no cobre entre os geradores
síncronos com magnetos permanentes mas com topologias diferentes (radial e transversal),
verificou-se que, embora a máquina de fluxo transversal apresente perdas ligeiramente
menores, as duas máquinas são equivalentes em termos de perdas e logo, no respectivo
rendimento.
Os fenómenos térmicos que ocorrem nas máquinas eléctricas, especialmente o fenómeno da
convecção térmica, apresentam uma complexidade elevada tornando por vezes impossível
estudá-los por abordagens puramente analíticas. Por essa razão, no gerador em análise, foram
usados dados experimentais existentes do gerador eléctrico de fluxo radial para ajustar o
modelo térmico analítico com o objectivo de obterem-se resultados mais rigorosos. Neste
sentido, desenvolveu-se um modelo térmico para o gerador em parâmetros concentrados, o
qual apresentou um erro de 2% em relação à análise numérica com recurso a elementos
finitos.
Através dos resultados obtidos pelos modelos propostos, prevê-se temperaturas no
enrolamento eléctrico abaixo dos 100ºC. Esta temperatura permite a utilização de um
isolamento eléctrico de qualquer classe, visto que a classe que suporta menores temperaturas
(classe A) permite uma temperatura no isolante de 105ºC (para um tempo de vida médio de 2
anos e meio). Nos magnetos permanentes (N35) prevê-se temperaturas de 115ºC. A esta
temperatura o ponto de operação do magneto encontra-se na zona linear da curva de
magnetização por isso não se preveem problemas quanto à sua desmagnetização.
79
6. Trabalhos futuros
Com a produção em larga escala de máquinas síncronas de magnetos permanentes de baixa
potência contendo um número elevado de pares de polos, a solução de geração em que se
utiliza uma máquina síncrona gerando correntes alternadas e conversão electrónica tem sido
cada vez mais uma opção para os sistemas de micro-geração de baixa velocidade (com
especial ênfase para os sistemas de eólicos). Por essa razão, um estudo a servir como
trabalho futuro será a caracterização das respectivas perdas do gerador neste sistema.
O estudo comparativo entre dois geradores de geometrias diferentes com a mesma potência
em termos de perdas energéticas poderá ser completado, desenvolvendo-se o modelo térmico
aplicado ao gerador de fluxo transversal.
7. Referência Bibliográficas
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14 Novembro 2014].
81
8. Anexos
Anexo 1- Característica BH do material M250-50A
H(A/m) B(T)
30,6 0,1
40,7 0,2
47,9 0,3
54,5 0,4
61,3 0,5
69 0,6
77,8 0,7
88,6 0,8
102 0,9
120 1
145 1,1
186 1,2
278 1,3
584 1,4
1600 1,5
3680 1,6
6890 1,7
11600 1,8
Tabela 1- Característica BH do material M250-50A
82
Anexo2- Processo de cálculo do coeficiente de transferência de
calor por convecção, h
Neste capítulo irão ser examinados os métodos de cálculo da transferência de calor por
convecção, em particular, as formas de prever o valor do coeficiente de transferência por
convecção, h.
De seguida são apresentados os grupos adimensionais mais relevantes no cálculo de h.
Número de Reynolds
O número de Reynolds é a razão entre as forças inerciais e as forças viscosas e permite avaliar
se o escoamento é laminar ou turbulento. Este parâmetro é usado em casos de convecção
forçada (convecção causada por um agente externo) em que o fluído se encontra com uma
velocidade livre .
(1)
Sendo o comprimento característico e a viscosidade dinâmica
No regime laminar o fluido move-se de forma regular em camadas sem que haja disrupção com
as camadas adjacentes. As partículas movem-se de forma ordenada, mantendo sempre a
mesma posição relativa. Este tipo de escoamento ocorre tipicamente para velocidades do fluido
reduzidas.
O regime turbulento é aquele que não segue uma linha de fluxo, aquele no qual as partículas
apresentam movimento caótico macroscópico, isto é, descrevem trajetórias com variações de
pressão e velocidade no espaço e no tempo. Este tipo de regime ocorre normalmente para
velocidades elevadas do fluido.
Para números de Reynolds grandes as forças inerciais são predominantes e por isso o
escoamento é turbulento. Para números de Reynolds pequenos as forças viscosas são
predominantes e por isso o escoamento é laminar.
Número de Grashof
O número de Grashof é aplicado em casos de convecção natural e tem um papel similar ao do
número de Reynolds na convecção forçada, sendo a variável usada como critério para a
transição entre o escoamento laminar e turbulento.
A convecção natural é resultado do movimento do fluido devido a diferenças de densidade
provocados por um gradiente de temperaturas. As forças responsáveis por este movimento são
as forças de flutuação, causadas por um gradiente de densidades e que não estariam
presentes se não existisse uma força externa como a gravidade.
83
O ar presente no entreferro da máquina é actuado pela força centrifuga e por isso poderá
experienciar correntes de convecção natural se uma das superfícies de contacto do fluido for
aquecida.
O número de Grashof expressa a relação entre a sustentação/flutuação de um fluido e a
viscosidade.
(2)
Sendo o comprimento característico , a aceleração da gravidade e o
coeficiente de dilatação térmica .
A flutuação resulta numa força que age sobre o fluido e acelerá-lo-ia continuamente se não
existissem forças viscosas. As forças viscosas opõem-se às forças de flutuação e levam o
fluido a mover-se com uma distribuição de velocidade que cria um equilíbrio entre as forças de
flutuação e as forças viscosas.
Para números de Grashof grandes as forças de flutuação são predominantes e por isso o
escoamento é turbulento. Para números de Grashof pequenos as forças viscosas são
predominantes e por isso o escoamento é laminar.
Número de Taylor
O número de Taylor caracteriza a importância das forças centrífugas (forças inerciais devido à
rotação de um fluído em relação a um eixo), relativamente às forças viscosas.
O contexto típico deste número é na caracterização do tipo de escoamento (laminar ou
turbulento) entre cilindros concêntricos rotativos.
O número de Taylor é definido por:
(3)
Sendo o raio interior do entreferro e b o exterior, a velocidade angular, a viscosidade
cinemática e
.
Número de Prandtl
O número de Prandtl expressa a relação entre a difusão de quantidade de movimento e a
difusão de quantidade de calor dentro do próprio fluido. O número de Prandtl pode ser visto
como o rácio entre a taxa com que as forças viscosas penetram no material e a taxa de energia
térmica que penetra no material.
84
(4)
Para valores pequenos de , significa que o calor se difunde muito facilmente comparado à
velocidade do fluido (momento), o que se verifica em metais líquidos. Para valores grandes de
significa que o calor se difunde muito devagar relativamente à velocidade, o que se verifica
em óleos viscosos.
Número de Nusselt
O número de Nusselt é dado pela razão entre a quantidade de calor transferida por convecção
e a quantidade de calor transferida por condução.
(5)
Quanto maior o número de Nusselt, mais predominante será o processo de convecção.
Quando o processo de transferência de calor é puramente de condução. O número de
Nusselt pode ser considerado como o coeficiente de transferência de calor por convecção
adimensional, pois é a partir deste parâmetro que se obtém .
A transferência de calor é quantificável por correlações do tipo na convecção
forçada e do tipo na convecção natural.
Na Figura 1 encontra-se o resumo do processo de cálculo do coeficiente de transferência de
calor por convecção, .
85
Figura 1 -Resumo do procedimento de cálculo do coeficiente de transferência de calor por
convecção
Especificar fluído em estudo e as suas propriedades físicas
Especificar geometria e se o fluído é interno ou externo.
Definir temperatura inicial do fluído
Geometria Fixa Geometria Rotativa
Convecção Forçada
Convecção Natural
Escoamento Laminar
Valores de e pequenos.
Escoamento Turbulento
Valores de e grandes.
Cilindros e Esferas concêntricas
em rotação
Escolha da correlação empírica de
Cálculo do coeficiente de transferência por convecção,
Modificação
da
temperatura
86
Aplicação do cálculo de h a geometrias particulares
Visto que o gerador em estudo neste trabalho tem uma geometria cilíndrica os casos
particulares que se irão dar mais foco são em primeiro lugar a convecção sobre a superfície de
um cilindro horizontal, pretendendo modelar a convecção na superfície da máquina e em
segundo lugar a convecção no entreferro.
Convecção natural sobre a superfície de um cilindro horizontal
No caso da convecção natural a correlação empírica do parâmetro é obtida a partir da gama
de valores de . Segundo a referência [7] as correlações de para a gama de
valores para um cilindro horizontal são as representadas na Tabela 1.
Gama de
0-10-5
10-5
-104
104-10
9
109-10
12
>1012
Tabela 2- Correlações empíricas de para uma geometria de cilindro horizontal
Como foi visto anteriormente o parâmetro é dado por:
(6)
Sendo que o comprimento característico do cilindro é igual ao seu diâmetro . Quando
escolhida a correlação de adequada, obtém-se a partir da equação (6).
Entreferro
Como ilustrado na Figura 2 o ar no entreferro escoa entre duas superfícies paralelas em
movimento relativo, a superfície do estator e do rotor. Se o módulo da velocidade relativa é
pequeno o fluido é separado em camadas paralelas (escoamento laminar). Quando um fluido
escoa paralelamente a uma superfície, as partículas do fluido em contacto com a superfície
aderem à própria superfície, ou seja, a velocidade relativa fluido-superfície é zero. Assim a
87
camada adjacente à superfície móvel move-se com ela, devido à viscosidade a camada
seguinte move-se com uma velocidade de módulo um pouco menor e assim sucessivamente
até à camada adjacente à placa imóvel com velocidade nula.
Figura 2- Escoamento laminar no entreferro. Retirado de [22].
O procedimento aqui descrito para o cálculo do valor de h para uma máquina de geometria
cilíndrica é baseado na referência [18].
Segundo a referência [18] o valor do número de Nusselt dependerá do valor do número de
Taylor definido pela equação (3).
Sendo que é o factor geométrico:
(7)
E sendo S dado por:
(8)
Para
, o escoamento é laminar e a transferência de calor deve-se maioritariamente
à condução. Nu é dado por (9) sendo que :
(9)
Para
o escoamento encontra-se num regime transitório entre o regime
laminar e turbulento e Nu é dado por:
(10)
88
Para
o escoamento é turbulento e Nu é dado por:
(11)
Visto que a máquina em estudo se trata de um gerador de baixa velocidade, espera-se um
valor baixo do número de Taylor, e portanto um regime de escoamento laminar.
A fórmula de Nusselt a aplicar é por isso a equação (9) donde se obtém o valor de h.