estudo dos efeitos de locaÇÃo e dispersÃo em...
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ESTUDO DOS EFEITOS DE LOCAÇÃO E
DISPERSÃO EM EXPERIMENTOS
FATORIAIS COMPLETOS NÃO
REPLICADOS E COM POUCAS
REPLICAÇÕES
Marcelo Hilário Figueira Garcia (UNINOVE)
José Carlos Curvelo Santana (UNINOVE)
O presente artigo apresenta uma estratégia para o cálculo de efeitos de
dispersão para planejamentos fatoriais não replicados e com poucas
replicações. Tal estratégia é aplicada a um experimento que avalia a
resistência de uma cepa de C. viiolaceum a sais metálicos, sendo
empregado um planejamento fatorial completo cuja resposta estudada
foi o crescimento de microorganismos (em UFC/mL) através de leitura
de absorbância a 410nm após reativação e incubação dos mesmos. Os
resultados obtidos para os efeitos de dispersão atestam a eficiência da
metodologia proposta para o caso estudado.
Palavras-chaves: efeitos de dispersão, planejamento factorial,
modelagem
XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Maturidade e desafios da Engenharia de Produção: competitividade das empresas, condições de trabalho, meio ambiente.
São Carlos, SP, Brasil, 12 a15 de outubro de 2010.
2
1. Introdução
A redução da variabilidade e a melhoria da qualidade em processsos industriais têm recebido
muita atenção nas últimas décadas (STEINBERG e BURSZTYN, 1998). No delineamento
dos parâmetros a serem utilizados nestes processos, o planejamento fatorial de experimentos
tem se destacado como uma ferramenta capaz de fornecer informações essenciais sobre os
fatores de controle que devem ser ajustados para que a performance do processo seja robusta
(BERGMAN e HYNÈN, 1997).
A abordagem clássica da técnica de planejamento experimental direciona sua análise apenas
para o valor médio da resposta, enfatizando a média e o valor-alvo (WIKLANDER e HOLM,
2003). Com o desenvolvimento da Engenharia da Qualidade, implementado por Taguchi,
verificou-se que para obter um processo robusto (processo insensível a qualquer fonte de
variação), é necessário reduzir a variabilidade ao redor do valor-alvo, e não somente ajustar o
valor médio ao mesmo. Para este fim, deve-se identificar os fatores que afetam a média
(efeitos de locação) e os fatores que afetam a variabilidade (efeitos de dispersão) da resposta
estudada (NAIR e PREGIBON, 1988).
Um fator apresenta efeito de locação ativo quando o valor esperado da resposta for diferente
nos níveis estudados para o mesmo. Já o efeito de dispersão ativo ocorre quando são
observadas variâncias diferentes nas respostas obtidas para os diferentes níveis de um fator.
Um fator pode apresentar, simultaneamente, efeito de locação e de dispersão ativos, assim
como pode não apresentar nenhum dos dois tipos de efeito (MATTOS et al., 2004).
Os efeitos de locação e de dispersão são detectados mais facilmente em experimentos com
muitas replicações, onde em cada condição experimental podem ser encontradas as médias
assim como as variâncias amostrais. Nestes casos, a identificação dos efeitos de locação pode
ser feita através de técnicas estatísticas formais, como o teste t de Student ou o teste F da
análise de variância. Em experimentos não replicados ou com poucas replicações é comum a
utilização de métodos gráficos (tais como o de Pareto e de Probabilidade Normal), pois não
existe uma estimativa confiável da variância do erro experimental, que é essencial para a
aplicação de um teste estatístico. No entanto, essas técnicas supõem normalidade e variâncias
constantes, o que não ocorre na distribuição de variâncias amostrais (MATTOS et al., 2004).
Nas indústrias químicas, a obtenção de processos robustos é um fator essencial para a
manutenção da estabilidade dos produtos obtidos. Em reações de síntese, por exemplo, onde
as características da reação em questão são conhecidas e previamente estudadas, na maioria
das vezes os fatores que afetam a média e conseqüentemente o valor-alvo são conhecidos e
controlados, o mesmo não acontecendo para os fatores que possuem efeitos de dispersão.
Nestes casos, reduzir a variabilidade é mais importante do que otimizar o valor médio em
relação ao valor-alvo da característica estudada.
Sendo assim, a valorização dos experimentos não replicados ou com poucas replicações tem
crescido nos últimos anos, uma vez que os métodos existentes para experimentos com muitas
replicações são comprovadamente eficientes apenas se forem realizadas muitas replicatas,
razão pela qual se tornam dispendiosos (BRENNEMAN e NAIR, 2001). Porém, é importante
ressaltar que embora reduzam custos, os experimentos não replicados são superficiais no
estudo da variabilidade. Para os mesmos, a avaliação da variabilidade é feita pelo erro
residual (que abrange efeitos dos fatores que não entram no modelo da média) e não pelo erro
puro, razão pela qual o desempenho dos métodos está diretamente relacionado à qualidade do
3
modelo da média (MATTOS et al., 2004).
Uma vez que nas indústrias na maioria das vezes a urgência das respostas e o elevado custo
dos experimentos impedem a realização de muitas replicações, as seguintes questões tornam-
se fundamentais:
- O que fazer quando não for possível realizar muitas ou nenhuma replicação?
- Qual é a eficiência dos métodos já propostos, que utilizam variâncias amostrais para estimar
efeitos de dispersão, quando não são usadas muitas ou nenhuma replicação?
Para suprir a deficiência apontada nas questões acima, foram desenvolvidos métodos para
detectar efeitos de dispersão em experimentos não replicados e com poucas replicações, sendo
que os mais utilizados baseiam-se em médias aritméticas ou médias geométricas entre
resíduos quadráticos (BRENNEMAN e NAIR, 2001).
O objetivo deste artigo é apresentar os métodos para cálculo de efeitos de dispersão em
experimentos não replicados e com poucas replicações e calcular os mesmos para um
planejamento fatorial do tipo 2k em duplicata, através da estratégia proposta por Brenneman e
Nair (2001).
2. Metodologia
Identificação dos Efeitos de Dispersão
A otimização de um processo através da utilização da técnica de planejamento fatorial é
realizada basicamente em duas etapas. Primeiramente são identificados os fatores que
possuem efeitos de locação e de dispersão, e em seguida os mesmos são ajustados de forma
conveniente - fatores com efeitos de locação ativos são aferidos de forma a aproximar ao
máximo a resposta média do valor-alvo e fatores com efeitos de dispersão ativos são aferidos
de forma a minimizar a variabilidade em torno desse valor-alvo. Fatores sem efeitos de
locação nem de dispersão devem ser aferidos pelo nível mais econômico (BERGMAN e
HYNÈN, 1997). É importante ressaltar que as técnicas para identificar e analisar efeitos de
locação já foram amplamente discutidas e apresentam uma teoria consagrada, o que não
ocorre para as técnicas utilizadas no estudo de efeitos de dispersão (MATTOS et al., 2004).
A identificação de fatores com efeitos de dispersão ativos não é uma tarefa simples, e apesar
de vários métodos terem sido propostos para identificar a causa da variabilidade em respostas
de experimentos, ainda hoje não existe uma teoria consagrada acerca do assunto (MATTOS et
al., 2004).
Inicialmente, os métodos propostos para identificar efeitos de dispersão foram desenvolvidos
para experimentos replicados em cada ponto experimental, com a variabilidade sendo
avaliada por meio da variância amostral em cada um destes pontos. Apesar de não
dependerem do modelo da média para o cálculo dos efeitos de dispersão, a eficiência destes
métodos é baixa para experimentos com poucas replicações. Contudo, o uso de muitas
replicações aumenta demasiadamente o custo do projeto experimental (MATTOS et al.,
2004). De um modo geral, os dados de um experimento fatorial podem ser descritos e
correlacionados de acordo com o seguinte modelo linear:
jiijiij xy ' (1)
'2
ii zg (2)
onde:
4
- i = 1 … N é o número de pontos experimentais;
- j = 1 … J é o número de replicações em cada ponto experimental;
- yij é a resposta obtida para o ponto i na replicação j;
- xij’ e zi’ são as linhas da matriz de planejamento experimental;
- i2 é a variância no ponto experimental i;
- e θ são vetores de parâmetros obtidos;
- g é uma função de ligação para a variância.
A equação (1) é conhecida como modelo da média ou de locação quando relacionada ao valor
esperado, e a equação (2) é conhecida como modelo da variância. A função g pode ser a
função identidade (modelo linear), mas é mais comum ser a logarítmica (modelo log-linear).
O cálculo de efeitos de dispersão para experimentos não replicados (J = 1) foi desenvolvido
através de métodos que se baseiam na análise dos resíduos do modelo da média, ajustado
inicialmente pelo método dos mínimos quadrados ordinários (MQO). Desta forma, a
identificação dos efeitos de dispersão apresenta o inconveniente de depender da qualidade do
modelo da média ajustado (MATTOS et al., 2004).
Seja y o valor da resposta predita pelo modelo no ponto experimental i e iy o valor obtido
experimentalmente para o mesmo (i = 1 … N). O resíduo ir em cada ponto experimental é
calculado pela equação
ii yyr (3)
A seguir são apresentados os métodos para cálculo dos efeitos de dispersão baseados nos
resíduos, e em seguida as considerações acerca de cada um deles.
Método de Box e Meyer
Considerando um modelo log-linear para a variância, cada efeito é calculado pela razão entre
médias aritméticas dos resíduos nos pontos experimentais, conforme a equação (4),
)(
2
)(
2
)( )(
22log
1loglog
2
1
ki
i
ki
i
ki ki
ii
BM
kr
r
NrrD (4)
onde:
- DkBM
= efeito de dispersão do fator k calculado pelo método de Box e Meyer;
- i(k+) e i(k-) = índices relativos aos pontos experimentais onde o fator k apresenta-se no nível
+1 e no nível -1 respectivamente;
- ri2 = resíduo quadrático calculado de acordo com a equação (3).
Método de Harvey
Também considerando um modelo log-linear para a variância, cada efeito é calculado pela
razão entre médias geométricas dos resíduos nos pontos experimentais, conforme a equação
(5),
5
)(
2
)(
2
)( )(
22log
1loglog
1
ki
i
ki
i
ki ki
ii
H
kr
r
Nrr
ND (5)
onde:
- DkH
= efeito de dispersão do fator k calculado pelo método de Harvey;
- i(k+) e i(k-) = índices relativos aos pontos experimentais onde o fator k apresenta-se no
nível +1 e no nível -1 respectivamente;
- ri2 = resíduo quadrático calculado de acordo com a equação (3).
Método de Bergman e Hynèn
Este método propõe uma modificação do método de Box e Meyer com o intuito de minimizar
o viés no cálculo dos efeitos de dispersão, calculando os resíduos sob um modelo expandido
da média. De acordo com este modelo, o cálculo do efeito de dispersão do fator k é realizado
através de uma definição de um novo conjunto de fatores, composto pelo próprio fator k,
pelos efeitos de locação ativos ajustados pelo modelo da média (obtida inicialmente por
MQO) e pela iteração entre k e estes fatores (BERGMAN e HYNÈN, 1997). Como exemplo,
seja um planejamento fatorial completo 25 com um conjunto de efeitos de locação ativos
DCBAIL ,,,, sendo I a média geral, . Para o fator E, o cálculo dos resíduos deve ser feito
a partir de um novo modelo de locação LE tal que DECEBEAEEDCBAILE ,,,,,,,,, . A
partir destes novos resíduos, calcula-se o efeito de dispersão para o fator E.
O cálculo do efeito de dispersão do fator k é dado por
)(
2
)(
2
)( )(
22log
1loglog
2
1
ki
i
ki
i
ki ki
ii
BH
kr
r
NrrD
(6)
onde:
- DkBH
= efeito de dispersão do fator k calculado pelo método de Bergman e Hynen;
- i(k+) e i(k-) = índices relativos aos pontos experimentais onde o fator k apresenta-se no nível
+1 e no nível -1 respectivamente;
- 2
ir
= resíduo quadrático calculado de acordo com o modelo expandido da média.
Método de Harvey Modificado
Assim como para a metodologia de Bergman e Hynèn (1997), descrita acima, este método
utiliza o modelo de média expandida para o cálculo dos resíduos, visando reduzir o viés no
cálculo dos efeitos de dispersão (Brenneman e Nair, 2001). Desta forma, o cálculo do efeito
de dispersão do fator k é dado por
)(
2
)(
2
)( )(
22log
1loglog
1
ki
i
ki
i
ki ki
ii
HM
kr
r
Nrr
ND
(7)
onde:
6
- DkHM
= efeito de dispersão do fator k calculado pelo método de Harvey Modificado;
- i(k+) e i(k-) = índices relativos aos pontos experimentais onde o fator k apresenta-se no nível
+1 e no nível -1 respectivamente;
- 2
ir
= resíduo quadrático calculado de acordo com o modelo expandido da média.
A identificação de efeitos de dispersão ativos é feita através da análise do gráfico de
probabilidade normal dos mesmos. Fatores e interações sem efeitos de dispersão ativos
apresentam distribuição normal, enquanto que fatores e interações com efeitos de dispersão
ativos distanciam-se da reta formada pelos demais fatores (MONTGOMERY, 1997).
Brenneman e Nair (2001) realizaram uma análise crítica dos métodos acima descritos,
baseando-se em análises teóricas e simulações. De acordo com estes autores, todos os
métodos discutidos apresentam viés de estimação oriundo da estimação dos efeitos de locação
e da utilização dos resíduos. Este viés desaparece com o aumento do número de experimentos.
Os métodos BM e BH também apresentam viés estrutural sob o modelo log-linear uma vez
que não levam em conta a estrutura do modelo de dispersão. Neste caso, o viés é grande o
suficiente para não diminuir com o aumento do número de experimentos (BRENNEMAN e
NAIR, 2001). Ainda em relação a cada um dos métodos citados, foram feitas as seguintes
considerações:
- O método de Box e Meyer (1986) apresenta viés estrutural e viés de estimação quando
existe mais do que um fator de dispersão. O viés de estimação pode ser minimizado com o
aumento do número de pontos experimentais, porém esta correção não funciona para o viés
estrutural;
- O método de Harvey (1976) apresenta viés que depende da estrutura do efeito de dispersão
ativo e da adequação do modelo ao mesmo, e da mesma forma que para o método de Box e
Meyer, este viés diminui com o aumento do número de pontos experimentais. Se, no entanto,
o conjunto dos fatores com efeito de locação (L) for fechado (um conjunto fechado é aquele
em que as interações entre seus elementos também lhe pertencem) e apresentar um número de
elementos menor do que N/2, o cálculo dos efeitos de dispersão não apresentará viés para os
fatores pertencentes ao conjunto fechado (D-L), sendo D o conjunto dos fatores com efeito de
dispersão ativos;
- O método de Bergman e Hynèn (1997) pode apresentar viés estrutural assim como o de Box
e Meyer, e a estatística proposta só apresentará uma distribuição F caso a hipótese nula
considere todos os efeitos de dispersão nulos (e não somente o efeito do fator analisado);
- O método de Harvey Modificado (BRENNEMAN e NAIR, 2001) corrige parcialmente o
viés através da utilização do modelo expandido da média, ao utilizar para o cálculo dos efeitos
de dispersão novos modelos de locação baseados no fator k analisado e na iteração do mesmo
com os efeitos de locação ativos calculados inicialmente por MQO. Porém, para fatores que
apresentem um modelo expandido da média idêntico ao modelo de locação original (LkE
= L),
o conjunto de fatores com efeito de dispersão ativo torna-se idêntico ao determinado pelo
método de Harvey , i.e., DkHM
= DkH (BRENNEMAN e NAIR, 2001).
A partir da análise crítica realizada, e Brenneman e Nair (2001) propuseram o seguinte
algoritmo para o cálculo de efeitos de locação e dispersão para experimentos fatoriais não
replicados:
1) Ajustar o modelo de locação pelo método dos mínimos quadrados ordinários (MQO),
determinando assim o conjunto L dos efeitos de locação ativos;
7
2) Se L contém um conjunto fechado L’ com N/2 ou mais elementos, deve-se aumentar o
número de ensaios, o que leva a uma alteração do projeto experimental;
3) Caso contrário, calcular os efeitos de dispersão pelo método de Harvey Modificado e
identificar os ativos por meio do gráfico de probabilidade normal. Nesta etapa é identificado o
conjunto de efeitos de dispersão ativos D0;
4) Incluir o efeito k no conjunto D0, mesmo que este fator não tenha sido identificado como
ativo, porém que corresponda à interação de dois outros efeitos, k1 e k2, identificados como
ativos, isto é, k = k1* k2, onde * indica o operador de iteração;
5) Construir uma equação para a variância com os efeitos de dispersão do novo conjunto D0
obtido na etapa anterior, usando o modelo log-linear (conforme a equação (2)), onde as
estimativas dos elementos de θ podem ser obtidas por MQO aplicado aos resíduos
quadráticos;
6) Refazer o modelo de locação usando mínimos quadrados generalizados (MQG), onde para
cada observação é atribuído um peso fornecido pelo inverso da variância predita pelo modelo
definido no passo anterior;
7) Calcular novos resíduos e novos efeitos de dispersão a partir do novo modelo de locação
obtido. Efeitos de dispersão não identificados como ativos poderão ser eliminados e as
estimativas refeitas;
8) Repetir as etapas (5), (6) e (7) até que o processo se estabilize.
3. Resultados e Discussão
O experimento utilizado foi realizado com o intuito de avaliar a resistência da cepa de
Chromobacterium violaceum a sais metálicos, conforme descrito em Sumita et al (2007). A
codificação dos fatores está apresentada na Tabela 1, a seguir:
Sulfato de Zinco Sulfato de Alumínio Sulfato de Cobre Sulfato de Manganês
-1 0 0 0 0
+1 100 g/ml 100 g/ml 100 g/ml 100 g/ml
Tabela 1 – Níveis das variáveis codificadas para o experimento
Cada condição experimental foi testada em duplicata, sendo a matriz experimental e os
resultados obtidos mostrados na Tabela 2 (a resposta analisada foi a absorbância a 410 nm
após 24 horas de reativação seguidas de 24h de incubação a 37˚C).
Exp.
Zn
(A)
Al
(B)
Cu
(C)
Mn
(D)
repl.1
repl.2
1 -1 -1 -1 -1 0,8477 0,9776
2 1 -1 -1 -1 0,0254 0,0098
8
3 -1 1 -1 -1 0,7299 0,7591
4 1 1 -1 -1 0,2864 0,0772
5 -1 -1 1 -1 0,4565 0,4410
6 1 -1 1 -1 0,0511 0,0268
7 -1 1 1 -1 0,3890 0,3573
8 1 1 1 -1 0,0961 0,0962
9 -1 -1 -1 1 0,5981 0,6010
10 1 -1 -1 1 0,0472 0,0278
11 -1 1 -1 1 0,6405 0,6342
12 1 1 -1 1 0,2660 0,0928
13 -1 -1 1 1 0,5254 0,5167
14 1 -1 1 1 0,1266 0,0848
15 -1 1 1 1 0,5703 0,5744
16 1 1 1 1 0,2437 0,1359
Tabela 2 – Matriz experimental e resultados obtidos
Graficamente, os fatores com efeitos de locação ativos podem ser identificados através da
análise dos gráficos de Pareto e de Probabilidade Normal para os efeitos padronizados,
conforme mostrado na Figura 1. A análise da variância (ANOVA) para os fatores com efeitos
significativos (ao nível de significância de 5%) é mostrada na Tabela 3. Para a análise em
questão, o valor de F crítico a um nível de 5% de probabilidade é Fcrít = 2,57 (com seis graus
de liberdade para o modelo de regressão e vinte e um graus de liberdade para o erro).
Te
rm
Standardized Effect
D
BC
B
AD
BD
AB
CD
C
AC
A
20151050
2,08Factor
D
Name
A A
B B
C C
D
Pareto Chart of the Standardized Effects(response is C9, Alpha = ,05)
(a)
9
Standardized Effect
Pe
rce
nt
50-5-10-15-20
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Factor
D
Name
A A
B B
C C
D
Effect Type
Not Significant
Significant
CD
AC
AB
C
A
Normal Probability Plot of the Standardized Effects(response is C9, Alpha = ,05)
(b)
Figura 1 – Gráficos de Pareto (a) e Probabilidade Normal (b) para os efeitos padronizados
Fonte de Variação DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Efeitos Principais 4 2,08972 2,08972 0,522429 94,43 0,000
Int. 2ª Ordem 6 0,28366 0,28366 0,047277 8,54 0,000
Erro Residual 21 0,11619 0,11619 0,005533
Ajuste 5 0,06246 0,06246 0,012492 3,72 0,020
Erro Puro 16 0,05373 0,05373 0,003358
Total 31 2,48956
Tabela 3 – Resultados do teste F para os fatores de locação do modelo da média
De acordo com a análise realizada, o cojunto dos fatores e suas interações que possuem efeito
de locação ativo é dado por L = {I, A, C, AB, AC, CD}, onde I é a média das respostas. O
modelo obtido pela análise é dado por
= 0,3535 – 0,2477*A – 0,0603*C +0,0376*AB +0,0621*AC +0,0522*CD (8)
com R2=0,9533.
Para o cálculo dos efeitos de dispersão pelo método de Harvey Modificado, inicialmente são
determinados os conjuntos dos efeitos de locação baseados no modelo expandido da média,
conforme descrito anteriormente, para cada um dos fatores e suas interações (foram
desconsideradas interações de ordem superior a dois). A Tabela 4 mostra o conjunto LE para
cada um dos efeitos e suas respectivas interações.
Fator/Interação Componentes do Modelo Expandido da Média
A I, A, C, AB, AC, CD
10
B I, A, B, C, AB, AC, BC, BD, CD
C I, A, C, AB, AC, CD
D I, A, C, D, AB, AC, AD, BD, CD
AB I, A, B, C, AB, AC, CD
AC I, A, C, AB, AC, CD
AD I, A, C, D, AB, AC, AD, BD, CD
BC I, A, B, C, AB, AC, BC, BD, CD
BD I, A, B, C, D, AB, AC, AD, BC, BD, CD
CD I, A, C, AB, AC, CD
Tabela 4 – Modelo expandido da média para cada um dos fatores e suas interações.
A probabilidade normal para os efeitos de dispersão calculados pela metodologia empregada
está mostrado na Figura 2. Pela análise do mesmo, os fatores C e D e as interações AC e CD
apresentam efeito de dispersão ativo. Sendo assim, de acordo com a etapa 4 do algoritmo
proposto, o conjunto dos efeitos de dispersão utilizados para o cálculo do modelo para a
variância é D0 = {I, A, C, D, AC, AD, CD}. A partir deste conjunto, a modelagem da variância
foi obtida pela aplicação de MQO no logaritmo natural dos resíduos quadráticos, obtendo-se o
modelo:
2=exp
(-8,705+0,574*A-1,035*C-0,051*D-0,692*AC+1,939*AD+1,276*CD) (9)
Pela equação acima, pode-se estimar a variância em cada um dos pontos experimentais. O
refinamento do modelo da média é feito pela utilização do método dos Mínimos Quadrados
Generalizados (MGQ), onde para cada ponto experimental é atribuído um peso igual ao
inverso da variância estimada, e os novos resíduos são calculados a partir de um novo modelo
baseado neste refinamento. Com este novo modelo, são calculados novamente os efeitos de
dispersão.
O modelo da média obtido nesta primeira iteração apresentou os mesmos fatores com efeitos
de locação significativos, isto é, L={A, C, AB, AC, CD}. Uma vez que os mesmos efeitos de
locação ativos foram obtidos após a primeira iteração, o conjunto dos efeitos para o modelo
expandido da média é o mesmo da tabela 4. A partir deste modelo, o cálculo dos efeitos de
dispersão confirmou os mesmos efeitos e interações obtidos anteriormente como ativos,
conforme pode ser visto pela Figura 3. Assim, o novo conjunto de efeitos de dispersão para a
estimação da variância e conseqüentemente do novo modelo de locação é dado por D1 = {I, A,
C, D, AC, AD, CD}.
A segunda iteração não alterou o conjunto dos efeitos de locação, e confirmou o conjunto de
efeitos de dispersão D2 = {I, A, C, D, AC, AD, CD} como sendo idêntico ao anterior. Verifica-
se inclusive esta confirmação pelo gráfico de probabilidade normal (Figura 4), onde os
mesmos efeitos de dispersão apresentam-se como ativos.
11
A partir do modelo de locação obtido e pela utilização do algoritmo proposto para o cálculo
dos efeitos de dispersão, o experimento analisado apresentou os fatores A e C e as interações
AB, AC e CD com efeitos de locação ativos, e os fatores C e D e as interações AC e CD com
efeito de dispersão ativo.
Effects
Pe
rce
ntu
al
210-1-2
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
CD
A
BD
BC
AD
AB
B
D
AC
C
Normal Probability Plot of Standardized Effects
Figura 2 – Gráfico de Probabilidade Normal para os efeitos de dispersão
Effects
Pe
rce
ntu
al
210-1-2
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
CD
BD
A
BC
AD
AB
B
D
AC
C
Normal Probaility Plot of Standardized Effects
Figura 3 – Gráfico de Probabilidade Normal para a 1a iteração
12
Effects
Pe
rce
ntu
al
210-1-2
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
CD
A
BD
BC
AD
AB
B
D
AC
C
Normal Probability Plot of Standardized Effects
Figura 4 – Gráfico de Probabilidade Normal para a 2a iteração
4. Conclusões
A identificação de efeitos de dispersão não é uma tarefa simples para experimentos não
replicados e com poucas replicações, e no presente artigo foi utilizada para este fim uma
estratégia proposta por Brenneman e Nair (2001). Através desta estratégia, o refinamento do
modelo de locação obtido por MQG corrige o viés gerado pelo cálculo dos efeitos de
dispersão a partir dos resíduos quadráticos, uma vez que estes últimos são diretamente ligados
ao modelo de locação ajustado. As iterações consecutivas servem para confirmar não só os
fatores com efeito de locação ativos assim como os que possuem efeitos de dispersão. Para o
experimento analisado, a segunda iteração foi suficiente para confirmar todos os efeitos (de
locação e dispersão) ativos. Sendo assim, pode-se concluir que a estratégia proposta foi
eficiente para o planejamento fatorial estudado.
Ainda de acordo com os autores (BRENNEMAN e NAIR, 2001), a estratégia proposta
também pode ser aplicada a planejamentos fatoriais fracionados, do tipo 2k-p
, tomando-se o
devido cuidado com os possíveis confundimentos gerados. Sendo assim, uma vez que tanto
os planejamentos fatoriais completos quanto os fracionados, com pouca ou nenhuma
replicação, apresentam-se como ferramentas importantes para o estudo inicial de processos de
otimização em escala industrial, torna-se cada vez mais importante a utilização dos mesmos a
fim de se estimar e minimizar a variabilidade em processos onde a redução de custos e o
ganho de tempo são fatores fundamentais para o sucesso das empresas.
Referências
BARROS NETO, B.; SCARMINIO, I.S.; BRUNS, R.E. Planejamento e otimização de experimentos. 2ed.,
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