ESTUDO DE FORMULAES ANALTICAS PARA DETERMINAO DAS

FREQUNCIAS NATURAIS DE DUTOS SUBMARINOS EM VOS LIVRES

Jos Francisco Angelo Pedrosa Filho

Dissertao de Mestrado apresentada ao

Programa de Ps-Graduao em Engenharia

Ocenica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessrios obteno do ttulo de Mestre em

Engenharia Ocenica.

Orientador: Murilo Augusto Vaz

Rio de Janeiro

Setembro de 2011

iii

Pedrosa Filho, Jos Francisco Angelo

Estudo de Formulaes Analticas para Determinao das

Frequncias Naturais de Dutos Submarinos em Vos Livres/

Jos Francisco Angelo Pedrosa Filho. Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPE, 2011

XIII, 65 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Murilo Augusto Vaz

Dissertao (mestrado) UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Ocenica, 2011.

Referncias Bibliogrficas: p. 64-65.

1. Vos livres. 2. Dutos submarinos. 3. Frequncia

Natural. I. Vaz, Murilo Augusto. II. Universidade Federal do

Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Ocenica.

III. Ttulo.

iv

DEDICATRIA

Esta dissertao dedicada minha

filha Marina e minha esposa Natalia.

v

AGRADECIMENTOS

empresa Subsea 7 pelo suporte e flexibilizao da carga horria.

Ao orientador Prof. Murilo Augusto Vaz pelo estmulo.

Aos colegas pela colaborao e incentivo.

vi

Resumo da Dissertao apresentada COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessrios para a obteno do grau de Mestre em Cincias (M.Sc.)

ESTUDO DE FORMULAES ANALTICAS PARA DETERMINAO DAS

FREQUNCIAS NATURAIS DE DUTOS SUBMARINOS EM VOS LIVRES

Jos Francisco Angelo Pedrosa Filho

Setembro/2011

Orientador: Murilo Augusto Vaz

Programa: Engenharia Ocenica

Vos livres em dutos submarinos ocorrem em pontos de cruzamento de linhas,

imperfeies locais e, principalmente, em solo irregular. Um dos principais problemas

dos vos livres a falha por fadiga devida vibrao induzida por vrtices (VIV). A

principal referncia utilizada pela indstria para a anlise de vos livres a

Recommended Practice DNV-RP-F105, que define critrios, fatores de segurana e

mtodos para o clculo da frequncia de vibrao e, assim, estabelece o comprimento

mnimo aceitvel de um vo livre. Como alternativa s simulaes por elementos finitos

para investigao inicial dos vos livres ao longo da rota, a DNV-RP-F105 prope a

formulao de frequncia natural simplificada, baseada em teoria de vigas e restrita a

vos curtos. Vos longos apresentam comportamento dinmico similar ao de cabos,

bem mais elaborado que o de vigas curtas. Diversos modos de vibrao podem ser

excitados simultaneamente e, devido combinao de deflexo e efeitos axiais, a

frequncia de vibrao mais baixa pode corresponder ao primeiro modo anti-simtrico

(crossover). O objetivo deste trabalho apresentar outras formulaes analticas para o

clculo da frequncia natural de vigas curtas e longas considerando os efeitos de trao,

deflexo inicial e extensibilidade axial para, ento, compar-las ao modelo aproximado

da DNV-RP-F105.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfilment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

STUDY OF ANALYTICAL FORMULATIONS FOR THE DETERMINATION

OF NATURAL FREQUENCIES OF FREE SPANNING PIPELINES

Jos Francisco Angelo Pedrosa Filho

September/2011

Advisor: Murilo Augusto Vaz

Department: Ocean Engineering

Free spanning pipelines occur due to crossing lines, local imperfections and mainly

due to uneven seabed. One of the main issues related to free spans is the fatigue failure

due to vortex induced vibrations (VIV). The main reference used by industry for

analysis of free spans is the Recommended Practice DNV-RP-F105, which defines

criteria, safety factors and methods to calculate the vibration frequency and establishes

the minimum allowed free span length. As an alternative to finite elements simulations

for the initial screening of free spans along the route, the DNV-RP-F105 proposes the

approximate natural frequency formulation, based on beam theories and restricted to

short spans. Long spans present dynamic response similar to cables, much more

elaborated than short length beams. Several vibration modes can be excited

simultaneously and, due to the combination of sagging and axial effects, the lowest

vibration frequency may correspond to the first anti-symmetric mode (crossover). This

work aims to present other analytical formulations to calculate the natural frequency of

short and long beams considering the effects of tension, initial deflection and axial

extensibility in order to compare them to the DNV-RP-F105 approximate response

quantities.

viii

SUMRIO

1. INTRODUO........................................................................................................ 1

1.1 Consideraes Iniciais ....................................................................................... 1

1.2 Vos Livres ........................................................................................................ 1

1.3 Histrico............................................................................................................. 3

1.4 Motivao e Proposta......................................................................................... 4

1.5 Apresentao dos Captulos............................................................................... 5

2. ANLISE DE VOS LIVRES SEGUNDO A DNV-RP-F105 .............................. 6

2.1 Terminologia de Vos livres.............................................................................. 6

2.2 Filosofia e Premissas Adotadas pela DNV-RP-F105 ........................................ 6

2.3 Classificao dos Vos Livres ........................................................................... 7

2.3.1 Classificao Morfolgica.......................................................................... 7

2.3.2 Classificao por Resposta ......................................................................... 8

2.3.3 Classificao por Comportamento.............................................................. 9

2.4 Apresentao dos Critrios de Projeto e Modos de Falha ............................... 10

2.4.1 Critrio de Varredura de Fadiga (Screening) ........................................... 11

2.4.2 Critrio de Fadiga (FLS) .......................................................................... 11

2.4.3 Critrio de Estado Limite (ULS) .............................................................. 12

2.4.4 Fatores de Segurana ................................................................................ 12

2.5 Condies Ambientais ..................................................................................... 12

2.6 Vibrao Induzida por Vrtices (VIV) ............................................................ 14

2.7 Modelo de Reposta .......................................................................................... 17

2.8 Modelo Estrutural ............................................................................................ 20

2.8.1 Frequncia Natural ................................................................................... 20

2.8.2 Comprimento Efetivo ............................................................................... 22

2.8.3 Deflexo Esttica...................................................................................... 23

2.8.4 Amplitude Unitria de Tenses ................................................................ 24

2.9 Reposta Multi-modal ....................................................................................... 24

ix

3. RESPOSTA ESTRUTURAL ................................................................................. 27

3.1 Clculo de Frequncia Natural ........................................................................ 27

3.1.1 Corda Vibrante ......................................................................................... 27

3.1.2 Viga com Carga Axial .............................................................................. 28

3.1.3 Cabos Extensveis com Pequenas Deflexes Estticas ............................ 30

3.1.4 Efeito de Rigidez Flexo no Crossover ................................................. 33

3.1.5 Clculo Analtico de Deflexo de Viga com Trao ou Compresso ...... 35

3.1.6 Efeito da Deflexo Esttica e Trao ....................................................... 38

3.2 Amplitude Unitria de Tenso ......................................................................... 43

4. ESTUDO DE CASOS ............................................................................................ 44

4.1 Frequncia Natural Bi-Apoiada .................................................................... 47

4.1.1 Bi-Apoiado com Trao Efetiva 500kN................................................... 47

4.1.2 Bi-Apoiada com Trao Efetiva 100kN ................................................... 51

4.1.3 Bi-Apoiada com Trao Efetiva -0,5Pcr ................................................... 53

4.2 Frequncia Natural Bi-Engastada ................................................................. 54

4.2.1 Bi-Engastada com Trao Efetiva 500kN ................................................ 55

4.2.2 Bi-Engastada com Trao Efetiva 100kN ................................................ 56

4.3 Avaliao dos Parmetros de Cabo e de Viga no Ponto de Crossover............ 57

4.4 Avaliao de Cabos Extensveis com Pequena Deflexo usando o Orcaflex.. 59

5. CONCLUSES E SUGESTES PARA TRABALHOS FUTUROS................... 62

6. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................... 64

x

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Fluxograma de Projeto de Dutos Submarinos [1] ........................................... 2

Figura 2 Terminologia Utilizada em Vos Livres. ........................................................ 6

Figura 3 - Classificao Morfolgica [1] ......................................................................... 8

Figura 4 - Fluxograma das Etapas de Verificao [1] .................................................... 10

Figura 5 - Zonas Interna e Externa de Corrente [1]........................................................ 13

Figura 6 Caminho do Fluxo em Torno de um Duto [6]............................................... 14

Figura 7 - Aspecto do Desprendimento de Vrtices em Funo de Re [6] .................... 15

Figura 8 - Nmero de Strouhal (St) em funo de Re [6]............................................... 16

Figura 9 - Definio das Vibraes Cross-flow e In-line [6] ........................................ 16

Figura 10 - Regio de Lock-in (Encapsulamento) [6] .................................................... 17

Figura 11 - Modelo de Resposta In-line [1] ................................................................... 19

Figura 12 - Modelo de Resposta Cross-flow [1] ............................................................ 19

Figura 13 - Modelo Fsico do Vo Livre [1] .................................................................. 20

Figura 14 - Comparao entre Leff/L [1]......................................................................... 23

Figura 15 - Fluxograma para Clculo de Resposta Multi-modal [1].............................. 25

Figura 16 - Frequncia de Vibrao Cross-flow de n Modos por / [12]..................... 32

Figura 17 - Evoluo do Modo de Vibrao passando pelo Ponto de Crossover [12].. 33

Figura 18 - Viga com Deflexo Inicial, Vibrao Transversal w(x,t) e Axial p(x,t) [11]34

Figura 19 Frequncias Normalizadas como Funo de e / [11] ........................... 35

Figura 20 - Fator de Amplificao por Efeito de Carga Axial Compressiva ................. 37

Figura 21- Fator Aproximado de Amplificao/Reduo para Efeito de Carga Axial .. 38

Figura 22 Modelo de Viga com Deflexo Inicial e Carga Axial [15] ......................... 38

Figura 23 - Modelo em Orcaflex de Vo Livre Bi-apoiado ........................................... 45

Figura 24 6 Bi-Apoiado com Trao Efetiva 500kN................................................. 48

Figura 25 - 12" Bi-Apoiado com Trao Efetiva 500kN ............................................... 49

Figura 26 - 18" Bi-Apoiado com Trao Efetiva 500kN ............................................... 49

Figura 27 - 24" Bi-Apoiado com Trao Efetiva 500kN ............................................... 50

Figura 28 - 6" Bi-Apoiado com Trao Efetiva 100kN ................................................. 51

Figura 29 - 12" Bi-Apoiado com Trao Efetiva 100kN ............................................... 51

Figura 30 -18" Bi-Apoiado com Trao Efetiva 100kN ................................................ 52

Figura 31 - 24" Bi-Apoiado com Trao Efetiva 100kN ............................................... 52

xi

Figura 32 - 6" Bi-Apoiado com Compresso 0,5Pcr ....................................................... 53

Figura 33 - 12" Bi-Apoiado com Compresso 0,5Pcr ..................................................... 53

Figura 34 - 18" Bi-Apoiado com Compresso 0,5Pcr ..................................................... 54

Figura 35 - 24" Bi-Apoiado com Compresso 0,5Pcr ..................................................... 54

Figura 36 - 6" Bi-Engastado com Trao Efetiva 500kN............................................... 55

Figura 37 - 24" Bi-Engastado com Trao Efetiva 500kN............................................. 56

Figura 38 - 6" Bi-Engastado com Trao Efetiva 100kN............................................... 56

Figura 39 - 24" Bi-Engastado com Trao Efetiva 100kN............................................. 57

Figura 40 - Comparao de Crossover em Cabos Extensveis - Analtico x Orcaflex .. 59

Figura 41 Modos de Vibrao no Crossover de Cabos Extensveis............................ 60

Figura 42 Frequncias de Cross-flow obtidas com Orcaflex em funo de em /. 60

Figura 43 Modos de Vibrao Cross-Flow ................................................................. 61

xii

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Descrio dos Comportamentos de um Vo Livre [1] .................................... 9

Tabela 2 - Coeficientes de Condies de Contorno [2].................................................. 21

Tabela 3 - Parmetros de Condio de Contorno [13] ................................................... 29

Tabela 4 Dados Tpicos dos Dutos Utilizados no Estudo de Casos ............................ 44

Tabela 5 - Parmetros de Cabo (/) e de Viga () para o Crossover dos Vos Bi-

Apoiados......................................................................................................................... 57

Tabela 6 Valores de Frequncia Natural dos Trs Primeiros Modos de Vibrao (12

100kN)............................................................................................................................ 58

xiii

NOMENCLATURA

Razo de velocidade de fluxo

Deflexo esttica no meio do vo livre

Parmetro de viga

Parmetro de cabo

a Amplitude de oscilao dinmica

C1-C6 Coeficientes de condio de contorno

CF Cross-flow

CSF Concrete Stiffness Factor (fator de rigidez do concreto)

D Dimetro externo do duto, considerando revestimento

EA Rigidez axial

EI Rigidez flexo

FLS Fatigue Limit State (estado limite de fadiga)

fn Frequncia natural associada ao modo n

GL Guideline (Guia)

IL In-line

KC Nmero de Keulegan-Carpenter

L Comprimento do vo

Leff Comprimento efetivo

m Massa por unidade de comprimento

MEF Mtodo dos Elementos Finitos

n Modo de vibrao

Pcr Carga crtica de flambagem

Re Nmero de Reynolds

RP Recommended Practice DNV-RP-F105

S Trao efetiva no vo

St Nmero de Strouhal

Uc Velocidade de corrente

ULS Ultimate Limit State (estado limite final)

Uw Velocidade da partcula de onda

VIV Vibrao induzida por vrtices

VR Velocidade reduzida

1

1. INTRODUO

1.1 Consideraes Iniciais

Um grande nmero de dutos rgidos submarinos vem sendo instalado na costa brasileira,

principalmente nas Bacias de Campos e Santos. Alguns dutos de exportao de leo e

gs com comprimento total de centenas de quilmetros podem interligar unidades de

produo offshore em lminas dgua de aproximadamente 2000m at estruturas

prximas costa em profundidades de 20m.

Por ocuparem um longo trecho do leito marinho, o duto est sujeito a diferentes

condies ambientais como corrente, diferentes tipos de solo, batimetria, declividade,

presena de corais e cruzamentos com outras linhas ou equipamentos submarinos.

O projeto de um duto submarino envolve a seleo do material e o dimensionamento da

parede do duto em funo das condies de temperatura e presso do fluido de

operao. Ainda na fase conceitual do projeto feita a seleo da rota do duto, seguida

por verificaes de flambagem global, estabilidade no fundo e vo livres.

1.2 Vos Livres

Os vo livres em dutos submarinos surgem por efeito de eroso, por imperfeies locais

(obstculos / cruzamentos) ou quando o solo da rota irregular. A configurao do vo

depende basicamente do prprio duto (peso e rigidez), trao residual no duto (funo

da condio de lanamento, presso e temperatura) e rigidez do solo.

A verificao dos vos livre uma importante etapa do processo de dimensionamento

de um duto submarino, assim como flambagem global por expanso trmica ou

estabilidade no fundo. O fluxograma da Figura 1 indica que aps definio de espessura

do duto (wall thickness design), se o duto no for enterrado (trench), devem ser feitas as

verificaes de estabilidade lateral (stability), expanso trmica (expansion) e de vos

livres (free span).

2

Figura 1 Fluxograma de Projeto de Dutos Submarinos [1]

A principal referncia utilizada pela indstria para dimensionamento de vos livres a

Recommended Practice DNV-RP-F105 [1], que define critrios, fatores de segurana e

mtodos para calcular as frequncias de vibrao e, assim, estabelecer o comprimento

mnimo aceitvel de um vo livre.

A vibrao induzida por vrtices durante toda a vida operacional do duto o principal

problema relacionado aos vos livres. importante abordar o problema dos vos livres

de forma detalhada para se evitar conservadorismos, uma vez que as intervenes para

mitigao constituem custos significativos. Apesar de pouco comum no Brasil, h

tambm o risco do vo livre ser danificado por uma modalidade de pesca em que se

arrasta uma espcie de rede pelo leito marinho para capturar peixes que vivem prximo

ao fundo ou na prpria areia [2].

Alm da considervel quantidade de trabalho relacionado determinao de dados de

solos, de batimetria e da melhor rota, a resposta dinmica dos vos livres demanda

grande esforo de engenharia. Durante a fase operacional (25 anos em mdia) ainda

precisam ser periodicamente monitorados. Os vos livres so mitigados atravs de

3

suportes intermedirios que reduzem o comprimento, que constitui o principal fator de

resposta dinmica. Podem ser utilizados sacos com cimento (grout bags) para alturas

menores, suportes mecnicos para alturas maiores, preenchimento do vo com rochas

(rock dumping) ou enterramento.

Segundo a DNV, h diversas formas de se classificar os vos livres: quanto forma,

resposta e comportamento. A seo 2.3 apresenta uma descrio detalhada de cada

forma e de cada critrio de classificao.

A classificao quanto forma define se um vo isolado (single span) ou interage com

vos vizinhos (multi-span). A classificao quanto resposta determina se um nico

modo (single mode) ou mltiplos modos (multi-mode) so excitados simultaneamente.

A classificao quanto ao comportamento indica se a resposta dinmica do vo se

aproxima tipicamente de viga ou de cabo.

Os vos livres podem estar submetidos a regimes de fluxo devido a ondas (oscilatrio) e

correntes (permanente). De acordo com a RP-F105, a razo de velocidade de fluxo

=Uc/(Uc+Uw), onde Uc a velocidade da corrente e Uw a velocidade horizontal da

partcula de onda, define o fluxo dominante. Como na maioria dos casos prticos os

vos esto em profundidades onde no h efeito de onda, este trabalho considera apenas

o efeito de corrente, portanto =1.

1.3 Histrico

Motivado pelo desenvolvimento da indstria de leo e gs em condies ambientais

cada vez mais severas e aspectos relacionados a custos, houve um significativo

desenvolvimento dos mtodos para tratamento de vos livres contra falhas. O breve

histrico abaixo [3] mostra a evoluo das normas utilizadas:

Antes dos anos 70: Mximo comprimento aceitvel baseado em experincia

ou em critrios de no-vibrao. No havia fatores de segurana.

4

Anos 70 (DNV1977): Vibraes de baixa amplitude so permitidas. Critrio

de fadiga para in-line e no vibrao para cross-flow.

Anos 90 (DNV81, DNV1991): Critrios mais acurados para incio de

vibrao cross-flow (mas ainda no permitido) e uso de fatores de segurana.

Anos 2000 (GL14 1998, DNV-RP-F105 2002): O critrio de no vibrao

substitudo pelo modelo de reposta e critrio de fadiga.

2005 (Reviso da DNV-RP-F105): Mltiplos vos e mltiplos modos.

1.4 Motivao e Proposta

A avaliao de vos livres envolve diversas disciplinas relativas engenharia de dutos

submarinos, como resposta dinmica de vigas, interao do duto com solo, mecnica

dos slidos, fadiga, hidrodinmica e anlise por elementos finitos.

A Recommended Practice da DNV, DNV-RP-F105, fornece orientaes para

avaliao de vos livres e, atualmente, a principal referncia utilizada pela indstria.

Na emisso de fevereiro de 2006, passou a incluir procedimentos computacionais para

anlises multimodais, seleo dos modos de vibrao e combinaes de tenses, o que

permitiu comprimentos mnimos aceitveis maiores.

Os vos livres apresentam comportamento dinmico bastante rico. Para vos

relativamente curtos, tem-se um comportamento tpico de vigas elsticas que pode ser

consideravelmente afetado pelo nvel de deflexo esttica. Para vos mais longos,

ocorrem fenmenos tpicos de cabos. A frequncia mais baixa pode corresponder ao

primeiro modo anti-simtrico (crossover) e ainda ocorre a vibrao simultnea de vrios

modos (vibrao multi-modal).

A RP-F105 recomenda que os clculos de frequncia natural e de tenses associadas aos

modos de vibrao sejam realizados utilizando anlises de elementos finitos no-

lineares. Entretanto, valores aproximados podem ser obtidos atravs de formulao

analtica respeitando-se certas limitaes.

5

O objetivo principal deste trabalho apresentar o desenvolvimento de formulaes

analticas para clculo de frequncia natural de vigas considerando o efeito de trao,

deflexo inicial e extensibilidade axial e, atravs da avaliao de diversos casos, fazer

comparaes com os resultados e limitaes do modelo aproximado da DNV-RP-F105.

Para compreenso geral da anlise de vos livres, so apresentados a filosofia, a

metodologia e os critrios para determinao de vos admissveis segundo a DNV,

assim como a teoria sobre vibraes induzidas por desprendimento de vrtices.

1.5 Apresentao dos Captulos

O Captulo 2 reproduz a abordagem utilizada pela DNV-RP-F105 [1] para tratamento de

vos livres. So apresentados e discutidos os critrios de projeto e recomendaes para

determinao da resposta estrutural dos vos baseados em modelos de reposta de

vibraes induzidas por vrtices (VIV).

O Captulo 3 apresenta o desenvolvimento de formulaes analticas para clculo de

frequncia natural de vigas e cabos e compara com a reposta aproximada da DNV-RP-

F105. Assim, so explicitados os coeficientes propostos pela DNV para clculo de

frequncias naturais, deflexo esttica, amplitude de tenses e momento fletor.

O Captulo 4 analisa os resultados de diversos casos de vos livres, com diferentes

geometrias, propriedades de dutos e condies de contorno, e compara os resultados de

frequncia das formulaes apresentadas no Captulo 3, da reposta aproximada da

DNV-RP-F105 e dos resultados numricos obtidos com o software Orcaflex [4]. So

indicadas as condies de carregamento e configurao nas quais h crossover e

validao da faixa de aplicabilidade do modelo apresentado pela DNV.

O Captulo 5 apresenta as concluses sobre a comparao dos resultados analticos com

os numricos e indica sob quais condies as formulaes so limitadas. Tambm

apresenta sugestes de trabalhos futuros que teriam como objetivo complementar alguns

tpicos observados durante o desenvolvimento desta dissertao.

6

2. ANLISE DE VOS LIVRES SEGUNDO A DNV-RP-F105

2.1 Terminologia de Vos livres

A Figura 2 apresenta a terminologia dos principais parmetros que definem um vo

livre. Os ombros so as regies do solo onde o duto est apoiado. O comprimento deve

ser considerado como a distncia horizontal visual/aparente do vo. A altura (gap) entre

o vo e o solo definida como sendo o valor mdio do trecho central do vo.

Figura 2 Terminologia Utilizada em Vos Livres.

O trecho em vo-livre est sujeito ao carregamento distribudo do peso prprio do duto,

cargas axiais de trao ou compresso e foras hidrodinmicas devidas a correntes e

ondas. A vibrao induzida por vrtices (VIV) no plano horizontal chamada de in-

line, e a vibrao no plano vertical chamada de cross-flow.

2.2 Filosofia e Premissas Adotadas pela DNV-RP-F105

A DNV-RP-F105 aplicvel anlise de vos livres de dutos submarinos de ao com

seo circular. Os princpios bsicos podem ser aplicveis a outras sees como

bundles, dutos flexveis e umbilicais. No h restries quanto ao comprimento do vo

livre. Tanto vos isolados (single spans) quanto vos que interagem (multi-spans)

podem ser analisados quanto a vibraes de um nico modo (single mode) ou mltiplos

modos simultaneamente (multi-mode).

recomendado que os clculos de frequncia natural e de tenses associadas aos modos

de vibrao sejam realizados utilizando anlises de elementos finitos no-lineares.

ALTURA (GAP)

COMPRIMENTO

OMBROS(SHOULDERS)

OMBROS(SHOULDERS)

7

Entretanto, valores aproximados podem ser obtidos atravs de formulao analtica

respeitando-se certas limitaes.

Quando a vibrao induzida por vrtices (VIV), utiliza-se o modelo de amplitude de

resposta, que um modelo emprico que fornece a mxima amplitude de resposta

devido VIV que, como detalhado na seo 2.7, depende de vrios fatores

hidrodinmicos. O principal a velocidade reduzida VR, definido na equao abaixo.

= +

.(2.1)

onde,

Uc velocidade de corrente,

Uc velocidade de partcula de onda,

fn a frequncia de um dado modo de vibrao e

D dimetro externo do duto.

A filosofia de segurana adotada na RP-F105 est de acordo com a da norma DNV-OS-

F101 [5] para dimensionamento de dutos submarinos. A confiabilidade contra falhas

garantida considerando fatores de projeto no carregamento e na resistncia.

2.3 Classificao dos Vos Livres

2.3.1 Classificao Morfolgica

No caso de dois ou mais vo consecutivos, se cada um dos vos tem sua resposta

dinmica independente dos demais, estes so classificados como isolados (ou seja,

single spans). Quando a dinmica dos vos afetada pela dos vos vizinhos, estes so

interativos (ou multi-spans).

Esta classificao dependente do tipo de solo, do comprimento dos vo (L), do

comprimento dos ombros (Lsh) e do comprimento do vo adjacente (La). A Figura 3

apresenta curvas que determinam esta classificao do vo para diferentes condies de

solo. Pontos definidos em funo das razes Lsh/L e La/L que estejam acima da curva

8

indicam que os vos interagem (interacting) para aquele tipo de solo. Pontos abaixo da

curva indicam que os vos so isolados (isolated ou single span).

Figura 3 - Classificao Morfolgica [1]

Observando as diferentes curvas de solo, pode-se concluir que os solos mais macios

como a argila (very soft clay) favorecem a interao entre os vos e que solos mais

rgidos como a areia (sand) favorecem o comportamento isolado.

2.3.2 Classificao por Resposta

possvel que vrios modos de vibrao sejam excitados simultaneamente por uma

dada condio de corrente; neste caso a resposta multi-modal do vo deve ser

considerada. Como os vos possuem comportamentos diferentes para in-line ) e

cross-flow ( ), as duas direes devem ser avaliadas. O critrio simplificado

proposto abaixo identifica as frequncias que podem ser excitadas. O valor de VRd

obtido multiplicando-se a velocidade reduzida da equao (2.1) por um fator de

segurana.

, > 2 e , > 1 (2.2)

9

2.3.3 Classificao por Comportamento

A Tabela 1, reproduzida da referncia [1], apresenta a descrio do comportamento de

um vo livre em funo da razo L/D, onde L o comprimento do vo e D o dimetro

externo do duto. Este um dos principais parmetros para caracterizao do

comportamento de um vo livre. Vos curtos (L/D200) passam a ter

o comportamento similar ao de cabos (cable behaviour).

Tabela 1 - Descrio dos Comportamentos de um Vo Livre [1]

L/D Descrio de RespostaL/D < 30 1) Pouca amplificao dinmica.

Normalmente no necessrio fazer uma verificaode fadiga abrangente. Esperada resposta dinmicainsignificante para cargas ambientais. Improvvel deocorrer VIV.

30 < L/D < 100 Resposta dominada por comportamento de viga.Comprimento de vo tpico para condiesoperacionais. Frequncias naturais sensveis scondies de contorno (e fora axial efetiva).

100 < L/D < 200 Resposta dominada por comportamentocombinado de viga de cabo.Relevante para vos livres em solo irregular emcondies temporrias. Frequncias naturaissensveis s condies de contorno, fora axialefetiva (incluindo deflexo inicial, rigidezgeomtrica) e ao quanto de duto alimenta o vo.

L/D > 200 Resposta dominada por comportamento de cabo.Relevante para dutos de pequeno dimetro emcondies temporrias. Frequncias naturaisgovernadas pela forma defletida e pela fora axialefetiva.

1) Para dutos aquecidos (resposta dominada pela fora axial efetiva)ou sob condies extremas de corrente (Uc>1.0 2.0m/s) este L/Dpode no ser vlido.

O comportamento dinmico de vos curtos predominantemente sensvel s condies

de contorno e de cargas axiais. Os vos longos tm seu comportamento governado pela

configurao esttica e cargas axiais. Vos na regio de transio 100

10

2.4 Apresentao dos Critrios de Projeto e Modos de Falha

Para todos os vos livres, temporrios (condio aps instalao) ou permanentes

(condio de operao), a verificao da integridade referente fadiga (FLS fatigue

limit state) e flambagem localizada (ULS ultimate limit state) deve ser realizada. A

fadiga decorrente de VIV ou pela ao de ondas permitida, contanto que dentro de

limites aceitveis. A verificao de integridade (ULS) verifica os nveis de tenso e

possibilidade de flambagem localizada devido flexo excessiva por peso prprio ou

ao direta de corrente.

A Figura 4, extrada da referncia [1], apresenta o fluxograma das verificaes que

devem ser realizadas nos vos livre. As caractersticas dos vos (free span data &

characteristics) so obtidas atravs da anlise da linha sobre o solo marinho.

necessrio utilizar as condies adequadas de trao, densidade do contedo, rigidez e

batimetria do solo. As sees a seguir detalham as demais etapas de verificao.

Figura 4 - Fluxograma das Etapas de Verificao [1]

11

2.4.1 Critrio de Varredura de Fadiga (Screening)

usual que um grande nmero de vos seja detectado durante anlises preliminares da

rota. O critrio de varredura (ou screening) empregado para identificar quais destes

vos so crticos de forma simples e conservativa. O critrio de varredura identifica os

vos que no tero oscilao, pois as mximas velocidades reduzidas so menores que

as velocidades de incio de vibrao in-line e cross-flow. Esta verificao considera vida

fadiga superior a 50 anos e aplicvel aos vos com resposta dominada pelo 1 modo

simtrico.

2.4.2 Critrio de Fadiga (FLS)

A formulao do critrio de fadiga considera que o tempo para a falha deve ser maior

que o tempo que o vo livre estar exposto, seja sob condies temporrias ou

permanentes.

. (2.3)

onde,

fator de consumo de fadiga admissvel,

Tlife capacidade total de vida fadiga e

Texposure tempo total de exposio ao carregamento de fadiga.

O dano baseado em curvas S-N que so funo do material, do tipo de solda e do

ambiente corrosivo. O valor de amplitude de tenso (S) determinado pelo modelo de

resposta apresentado na seo 2.7 para cada valor de velocidade de corrente

perpendicular ao duto. O nmero de ciclos (n) calculado em funo da frequncia

natural do duto e do tempo de exposio.

Segundo a lei de a Palmgren-Miner, o dano final acumulado obtido atravs da soma

do valor de dano para cada condio de corrente (velocidade e incidncia relativa),

condio de trao e densidade do contedo do duto.

12

2.4.3 Critrio de Estado Limite (ULS)

O critrio de estado limite (ULS ultimate limit state) deve ser verificado quanto a

carregamentos estticos (flexo vertical por peso prprio ou lateral por corrente), efeitos

diretos de ondas ou carregamentos de VIV em que as velocidades de escoamento

causam excessivas amplificaes. Embora o critrio de flambagem localizada seja o

mais relevante, todos os carregamentos, como trao e presso, devem ser considerados.

2.4.4 Fatores de Segurana

O conceito de confiabilidade fadiga da RP-F105 utiliza classes de segurana que

consideram as consequncias da falha. Alm disso, os vos so categorizados quanto ao

grau de definio das mais importantes caractersticas:

- No bem definidos: importantes caractersticas no so bem definidas, como por

exemplo, vos com solo erosivo, condies ambientais no bem definidas e avaliao

dos vos em estgios preliminares do projeto.

- Bem definidos: comprimento, altura (gap) e trao efetiva foram bem determinados ou

medidos. Condies de onda, corrente e solo so especficos da locao.

- Muito bem definidos: principais caractersticas medidas com alto grau de preciso.

Condies ambientais e de solo bem conhecidas ao longo de toda rota. As diferentes

condies operacionais devem ser avaliadas em detalhe e a resposta estrutural avaliada

por anlises de elementos finitos.

2.5 Condies Ambientais

O fluxo devido corrente e onda no nvel do duto governam a resposta dos vos livres.

Neste trabalho, ser considerado apenas o efeito de correntes, pois simplifica o estudo e,

ainda assim, cobre uma significativa parte dos vos livres que se encontram em

profundidades onde o efeito de onda desprezvel.

13

Pela definio, em guas profundas, ondas de gravidade no so dependentes da

profundidade, e isso ocorre quando a razo entre a profundidade d e o comprimento da

onda Londa superior a 0,5. Isso significa que em profundidades d maiores que metade

do comprimento de onda Londa, as velocidades de partcula da onda so desprezveis.

Considerando que pela teoria linear de ondas em guas profundas o comprimento da

onda pode ser aproximado por Londa=1,56.T (onde T o perodo da onda), tem-se que

para uma onda com perodo T=10s, as velocidades de partcula de onda j so

desprezveis em profundidades superiores a 78m. Para ondas mais longas com T=20s, a

definio de ondas profundas ocorre para lminas de gua superiores a 312m.

Conforme apresentado pela Figura 5, o fluxo pode ser dividido em duas zonas:

- Zona externa: distante do solo. A velocidade mdia de corrente e a turbulncia variam

marginalmente apenas na direo horizontal.

- Zona interna: prxima ao solo. A velocidade mdia de corrente e a turbulncia variam

significativamente na direo horizontal e so funo da rugosidade do solo.

Figura 5 - Zonas Interna e Externa de Corrente [1]

O perfil de velocidade de corrente na zona interna pode ser aproximado por uma funo

logartmica partindo da velocidade na zona externa. Esta funo til para determinar o

perfil de corrente na regio do vo quando os dados de corrente disponveis esto

distantes do solo marinho.

() = .()( () (()

( () (()(2.4)

14

onde,

Rc fator de reduo =sen(rel) (seno do ngulo relativo entre o fluxo e o duto),

z elevao acima do solo,

zr altura da medio de referncia na zona externa e

z0 rugosidade do solo.

A intensidade de turbulncia Ic definida como a razo entre o desvio padro da

oscilao de velocidade e a velocidade mdia. Na falta de disponibilidade de

informaes detalhadas, pode ser tomada como 5%, o que corresponde a nveis

medianos de turbulncia. Quanto maior a intensidade de turbulncia menor a amplitude

de vibrao do trecho do duto em vo livre.

2.6 Vibrao Induzida por Vrtices (VIV)

O regime de fluxo em torno de um cilindro circular dependente do nmero de

Reynolds, Re [6]. Para valores de Re baixos no h separao da camada limite

(boundary layer), que s passa a ocorrer para valores Re>5. At Re igual 40 a separao

da camada limite laminar formando um par de vrtices fixos na regio da esteira

(wake region). Estas regies esto apresentadas na Figura 6.

Figura 6 Caminho do Fluxo em Torno de um Duto [6]

Para valores de Re entre 40 e 200 a regio da esteira fica instvel e passa a haver o

desprendimento dos vrtices (vortex shedding) ainda de maneira laminar. Quando o

valor de Re superior a 200, o desprendimento passa a ser turbulento e assume

15

diferentes regimes at valores da ordem de 4x106. A Figura 7 mostra o aspecto do

vortex shedding para alguns valores de Re.

.

Figura 7 - Aspecto do Desprendimento de Vrtices em Funo de Re [6]

A frequncia com que ocorre o desprendimento dos vrtices fv, que funo do

dimetro externo D e da velocidade de fluxo U, determinada pelo nmero de Strouhal

(St):

=.

(2.5)

16

A Figura 8 mostra que o valor de St permanece praticamente constante em

aproximadamente 0,2 para uma ampla faixa de Re.

Figura 8 - Nmero de Strouhal (St) em funo de Re [6]

Como resultado do desprendimento peridico de vrtices, a distribuio de presso em

torno do duto passa a variar periodicamente e, consequentemente, tambm as

componentes de foras, o que resulta em vibraes cross-flow ou in-line, conforme

ilustrado na Figura 9. Uma relevante caracterstica que as foras de arrasto que atuam

no plano horizontal (in-line) variam com o dobro da frequncia de desprendimento de

vrtices e que as foras de levantamento (lift) que atuam no plano vertical (cross-flow)

variam com a mesma frequncia de desprendimento de vrtices.

Figura 9 - Definio das Vibraes Cross-flow e In-line [6]

17

Partindo-se de um valor de velocidade nulo, de acordo com a equao (2.5), para

valores maiores de velocidade de fluxo U, a frequncia fv aumenta at alcanar o valor

de frequncia de vibrao do duto fn. A Figura 10 indica que dentro de certa faixa de

velocidade reduzida Vr, a frequncia de desprendimento (vortex-shed) acompanha a

frequncia de vibrao da estrutura. Este fenmeno chamado de lock-in, ou

encapsulamento e est acompanhado de aumento na amplitude de oscilao.

Figura 10 - Regio de Lock-in (Encapsulamento) [6]

2.7 Modelo de Reposta

Os modelos de reposta devido VIV so empricos e estabelecem a relao entre a

velocidade reduzida VR e a amplitude adimensional A/D, onde A a amplitude de

oscilao e D o dimetro externo [7]. A amplitude ainda dependente de outros

parmetros hidrodinmicos como [1]:

KC nmero de Keulegan-Carpenter,

razo de velocidade de fluxo (ver seo 1.2),

Ic intensidade de turbulncia (ver seo 2.5),

rel ngulo relativo entre o fluxo e o duto e

Ks parmetro de estabilidade (relacionado ao amortecimento do modo de vibrao)

Nos casos em que o duto est exposto a fluxos oscilatrios, como o causado por ondas,

o nmero de Keulegan-Carpenter, juntamente com Re, definem a amplitude de

18

oscilao. O nmero KC funo da mxima velocidade de oscilao Uw, do perodo de

oscilao (ou da onda) Tw e do dimetro externo D.

= .

(2.6)

Considerando que a amplitude de oscilao de fluxo senoidal, pode ser definido

como o produto a, onde a a amplitude e a frequncia angular do movimento

oscilatrio. Portanto, KC pode ser re-escrito da forma abaixo.

=.2

(2.7)

O significado fsico no nmero de KC est relacionado ao caminho orbital da partcula

de fluido a. Valores baixos de KC indicam que o movimento de partcula pequeno

comparado ao dimetro externo do duto e que, por isso, pode no haver separao da

camada limite. Valores altos indicam o oposto, resultando em separao e

provavelmente desprendimento de vrtices [6].

Valores de amplitude de oscilao que tendem ao infinito se aproximam do caso de

fluxo constante em torno do duto. Portanto, quando o efeito oscilatrio de ondas

desprezado em funo da profundidade, pode-se considerar que o KC tende ao infinito.

Os grficos com os modelos de resposta utilizados pela DNV-RP-105 so apresentados

a seguir. H um grfico de modelo de resposta para cada tipo de vibrao. O grfico in-

line, mostrado na Figura 11, comea a apresentar amplificaes (onset) para VR>1,0 e

depende fundamentalmente do parmetro de instabilidade Ks,

=.4 .

(2.8)

onde m e so, respectivamente, a massa linear do duto (incluindo fluido interno e

massa adicionada) e a densidade da gua do mar. Os valores de Ksd apresentados no

grfico de in-line so obtidos multiplicando Ks por um fator de segurana. O

amortecimento total, definido como e apresentado na equao (2.8), contempla os

amortecimentos estrutural, do solo e hidrodinmico (que na faixa de lock-in

normalmente assumido como zero).

19

Figura 11 - Modelo de Resposta In-line [1]

O modelo de resposta para cross-flow, mostrado na Figura 12, comea a apresentar

amplificaes (onset) para VR>2 e funo dos valores de KC e . Para fluxos

dominados por corrente, tem-se que =1 e KC. A mxima amplitude de cross-flow

de 1,3D ocorre apenas quando a modo de vibrao duto corresponde ao primeiro modo

simtrico (meio-seno) com fluxos em regime permanente (apenas corrente). Conforme

indicado pela referncia [1], para todos os demais casos ainda dominados por corrente, a

mxima amplitude 0,9D.

Figura 12 - Modelo de Resposta Cross-flow [1]

20

2.8 Modelo Estrutural

O modelo estrutural do vo livre deve levar em considerao propriedades do duto, do

solo e eventuais suportes artificiais. As condies de contorno tm importante papel no

comportamento do vo.

A Figura 13 apresenta um modelo estrutural do vo livre. A trao/compresso efetiva

no duto Seff funo da trao de lanamento (negativa se compresso) e das presses

interna e externa. A rigidez elstica do solo dada por K. A massa efetiva do duto,

considerando a densidade do contedo e a massa adicional contemplada por me. A

rigidez flexo do duto dada pelo produto EI.

Figura 13 - Modelo Fsico do Vo Livre [1]

A configurao esttica do vo livre, incluindo a deflexo inicial , importante para

avaliao da resposta dinmica e deve ser calculada para todas as condies s quais o

vo estiver submetido. Aps a instalao, o duto normalmente est vazio, sem presso

interna e com trao residual. Durante a fase operacional deve-se considerar o fluido

interno, presso interna e possivelmente compresso efetiva.

2.8.1 Frequncia Natural

O objetivo da anlise modal determinar os valores das frequncias naturais e os nveis

de tenso (stress) associados aos modos de vibrao. Devido complexidade do

sistema, a RP-F105 recomenda que esta avaliao seja feita atravs de anlises de

elementos finitos no-lineares. Entretanto, sob certas limitaes pode-se utilizar uma

avaliao aproximada conforme formulao proposta pela DNV-RP-F105:

L

21

= 1 +

1 +

+

(2.9)

onde, alm dos parmetros j definidos, tem-se que:

C1 - C6 coeficientes de condio de contorno, conforme Tabela 2,

CSF fator de amplificao de rigidez do revestimento de concreto (concretestiffness factor). Quando no h revestimento de concreto CSF=0,

Leff comprimento efetivo, conforme seo 2.8.2,

Pcr carga crtica de flambagem de Euler, Pcr=C2..EI/Leff (valor positivo),

mxima deflexo esttica, normalmente ignorada se in-line.

Tabela 2 - Coeficientes de Condies de Contorno [2]

Pinado-Pinado 2)

Fixo-Fixo 3)

Vo isolado no solo

C1 1,57 3,56 3,56

C2 1,0 4,0 4,0

C3 0,81) 0,2 1) 0,4 1)

C4 4,93 14,1 Ombros: 14,1(L/Leff)Meio-vo: 8,6

C5 1/8 1/12 Ombros:4)

1

18/ 6

Meio-vo: 1/24

C6 5/384 1/384 1/384

1) Note que C3 = 0 normalmente assumido para in-line se correnteconstante no levada em conta.

2) Para condio de contorno pinado-pinado Leff deve ser substitudo porL na expresso acima tambm para Pcr.

3) Para condio de contorno fixo-fixo, Leff/L = 1 por definio.4) C5 deve ser calculado usando a rigidez esttica do solo no clculo de

Leff/L.

Esta formulao vlida desde que o vo esteja num solo relativamente horizontal, que

a flambagem no influencie o comportamento dinmico, (Seff/Pcr>-0,5) e que a resposta

seja dominada pelo primeiro modos simtricos (L/DS

22

primeiro modo anti-simtrico (seno). A RP-105 destaca que estes no so limites

absolutos e, se houver possibilidade de crossover, a anlise modal deve ser realizada

utilizando mtodo de elementos finitos (MEF).

A mesma formulao da equao (2.9) valida para in-line e cross-flow, entretanto, o

termo de deflexo desconsiderado para in-line se no houver efeitos de corrente que

causem deflexo no plano horizontal. Portanto, para in-line, a frequncia ser menor

quanto maior for o comprimento efetivo Leff. Este comportamento pode no ocorrer para

o cross-flow j que a deflexo esttica aumenta para vos mais longos.

2.8.2 Comprimento Efetivo

O conceito de comprimento efetivo significa que a frequncia natural de um vo livre

com comprimento L apoiado sobre suportes elsticos (como o da Figura 13) a mesma

de uma viga bi-engastada com comprimento efetivo Leff. O clculo da frequncia para

viga apoiada por suportes elsticos baseado na formulao proposta por Hobbs, que

despreza o efeito axial, segundo apresentado na referncia [8].

A comparao dos resultados da formulao de Hobbs com resultados de elementos

finitos (FE results) feita no grfico da Figura 14, que apresenta a curva de Leff/L em

funo do parmetro de solo .

= .

(2.10)

Este parmetro estabelece uma relao entre o comprimento L, a rigidez flexo do

duto EI e a rigidez vertical do solo K. Valores altos de (106) indicam maior rigidez de

solo, se aproximando do modelo de apoio bi-engastado j que a razo Leff/L est

prxima da unidade.

Para avaliar o efeito de trao na determinao do comprimento efetivo, uma segunda

equivalncia foi feita, agora considerando que uma viga bi-engastada com comprimento

Leff possui a mesma carga crtica de flambagem de uma viga sobre apoios elsticos

calculada segundo formulao de Hetenyi, apresentada na referncia [9]. O resultado da

comparao mostra boa correlao entre os resultados de elementos finitos e das

23

formulaes de Hobbs e Hetenyi. importante destacar que os modelos de viga bi-

engastada em elementos finitos utilizaram comprimento efetivo Leff segundo a

equivalncia de frequncia de vibrao (Hobbs). Ainda assim, apresentou resultados

prximos dos obtidos segundo a comparao por carga crtica de flambagem (Hetenyi).

Figura 14 - Comparao entre Leff/L [1]

Portanto, considerando as condies de contorno apresentadas na Tabela 2, o conceito

de comprimento efetivo deve ser utilizado para os vos isolados no solo (single span on

seabed). Para as condies bi-apoiada (pinned-pinned) e bi-engastada (fixed-fixed) usa-

se o prprio comprimento L.

2.8.3 Deflexo Esttica

O valor de deflexo esttica de grande importncia para o clculo da frequncia

natural de cross-flow. Para in-line, a deflexo esttica deve ser considerada apenas se

houver considervel efeito de corrente. A deflexo depende da trao/compresso

aplicada e da condio de contorno. A DNV-RP-F105 [1] prope a estimativa abaixo

caso no haja medio direta do vo atravs de sondagem do leito marinho,

= .

1

1 +

(2.11)

onde q definido como o peso distribudo ao longo do comprimento.

24

2.8.4 Amplitude Unitria de Tenses

A amplitude unitria de tenses (unit diameter stress amplitude) definida como o nvel

de tenses quando a deflexo corresponde a um dimetro D. As equaes abaixo

apresentam a formulao geral definida pelo modo de vibrao e a formulao para o

valor mximo referente ao 1 modo simtrico que depende da condio de contorno C4,

apresentada na Tabela 2.

/ = (1 + (1

2) (

1 +

/

(2.12)

/ = (1 + () (

(2.13)

onde E o mdulo de elasticidade de material, representa o modo de vibrao e Ds e t

so respectivamente, o dimetro externo e a espessura do duto de ao (sem

revestimentos).

O valor da variao de tenso SIL/CF referente amplitude de VIV obtido

multiplicando-se o valor de AIL/CF pela amplitude adimensional Ay/D ou Az/D do modelo

de resposta (ver seo 2.7). Em seguida, multiplicada por dois para se obter a variao

total. Tambm so considerados fatores de segurana FS e correo s.

/ = /..2/

. . (2.14)

2.9 Reposta Multi-modal

No caso de vrios modos de vibrao serem excitados simultaneamente a uma mesma

velocidade de escoamento (sobreposio de lock-in), deve ser utilizado o modelo de

resposta multi-modal [9]. Vos mltiplos (multi-spans) devem ser sempre tratados como

multimodais, pois o trecho de solo que separa os vos representa um n.

A RP-F105 dedica um apndice inteiro ao tratamento de resposta multi-modal. A Figura

15 apresenta um fluxograma para este clculo. Para o caso multi-modal, as frequncias

naturais devem necessariamente ser calculadas por anlise de elementos finitos.

25

Figura 15 - Fluxograma para Clculo de Resposta Multi-modal [1]

No caso de vibraes cross-flow, considera-se que os modos contribuintes so aqueles

em que a amplitude A/D pelo menos 10% da amplitude do modo dominante (o de

maior amplitude). A mxima variao de tenso (stress range) ao longo do vo

definida tambm pela equao (2.12).

Para cada um dos modos fracos (weak) contribuintes, exceto o dominante, considera-

se metade da variao de tenso (stress range) do modo dominante. A variao de

tenso combinada ao longo do vo () obtida atravs da soma quadrtica de

cada um dos modos, onde n o nmero de modos cross-flow presentes.

26

,() = ,()

(2.15)

Tipicamente, o nmero de modos ativos maior no caso in-line, que considera o mesmo

princpio j apresentado dos modos contribuintes. Para cada ponto ao longo do vo, a

determinao dos modos contribuintes a mesma apresentada para cross-flow.

Para in-line, dois modos adjacentes podem competir se as frequncias estiverem

prximas, ou podem agir de forma independente se as frequncias estiverem distantes.

O critrio definido pela RP-F105 que modos competem se a razo entre as frequncias

menor que 2.

< 2 (2.16)

Entre modos adjacentes, considera-se que apenas o vencedor da competio pode ter

mxima amplificao, enquanto a do perdedor reduzida metade. Para modos que

no competem, no h reduo. Este processo deve ser feito para todos os modos, ou

seja: modo 1 contra modo 2, modo 2 contra modo 3, e assim por diante. Ao final, os

fatores de reduo de cada modo em cada competio devem ser aplicados.

27

3. RESPOSTA ESTRUTURAL

Neste captulo, so apresentados os modelos utilizados para clculo de frequncias

naturais de vigas, clculo de deflexo esttica e amplitude de tenso de oscilao para

posterior discusso e comparao com a formulao aproximada da DNV-RP-F105.

Deste modo, permite-se o entendimento racional do uso da norma.

3.1 Clculo de Frequncia Natural

Partindo-se do caso de corda vibrante, so acrescentados os efeitos de rigidez flexo

(viga), de rigidez axial (extensibilidade) e de deflexo inicial esttica, que acrescenta

rigidez estrutura para vibraes neste mesmo plano. Cabos e vigas extensveis com

deflexo esttica apresentam comportamento dinmico no usual, caracterizado pelo

crossover, causado pelo acoplamento de vibraes transversais e axiais [11] e [12]. O

efeito de grandes amplitudes de oscilao na frequncia de vibrao abordado de

maneira anloga ao da deflexo esttica.

A rigidez geomtrica depende da carga aplicada e da forma assumida pela estrutura.

Isso se torna bem aparente no caso de um cabo tracionado, onde a rigidez tranversal

aumenta com a carga axial aplicada. O exemplo oposto de uma barra comprimida com

uma carga prxima ao valor de flambagem, onde a rigidez transversal muito baixa.

3.1.1 Corda Vibrante

A equao de movimento transversal (ou equao da onda) de um cabo com massa por

unidade de comprimento m, tracionado por uma fora axial S, inextensvel e sem

deflexo inicial dada pela seguinte equao diferencial parcial de segunda ordem [13]:

,))

=,))

(3.1)

onde w(x,t) o deslocamento transversal em funo do instante t e da posio x ao

longo da corda.

28

A equao de vibrao livre obtida atravs da soluo da equao (3.1) pelo mtodo

de separao de variveis [13]. Aplicando-se condies de contorno para um cabo de

comprimento L com as extremidades fixas, tem se que a frequncia natural n para os n

modos de vibrao dada por:

=

= 1, 2, (3.2)

e os modos de vibrao wn(x) dados por

() = sin

= 1, 2, (3.3)

3.1.2 Viga com Carga Axial

A equao do movimento transversal w de uma viga com rigidez flexo EI, massa

linear m sujeita a uma carga axial S (positiva de trao ou negativa se compresso)

dada por:

(,) +

(,)

(,) = 0 (3.4)

Como envolve derivada de quarta ordem para deslocamento e de segunda ordem para

tempo so necessrias quatro condies de contorno e duas condies iniciais. As

condies iniciais so obtidas definindo-se deslocamento e velocidade ao longo da viga

para o instante t=0. As quatro condies de contorno so definidas nas extremidades

para qualquer instante t.

No foram considerados os termos de inrcia de rotao e deformao cisalhante (viga

de Timoshenko), pois as dimenses da seo transversal so pequenas comparadas ao

comprimento da viga.

A soluo de vibrao livre obtida utilizando o mtodo de separao de variveis [13].

Caso a carga axial seja compressiva, S deve ser negativo. Considerando que a carga de

flambagem para a condio bi-apoiada , a soluo da equao (3.4)

pode ser reescrita da seguinte forma:

29

=

+

= 1, 2, (3.5)

O parmetro n leva em conta as condies de contorno utilizadas nas extremidades.

Para o caso de extremidades bi-apoiadas, deflexo e momento fletor so nulos. Para o

caso bi-engastado deflexo e rotao so nulos. A Tabela 3 apresenta os valores de n

em funo do modo de vibrao n e do comprimento do vo L.

Tabela 3 - Parmetros de Condio de Contorno [13]

nValor de nL

Bi-apoiada Bi-engastada

1 4,730

2 2 7,853

3 3 10,996

4 4 14,137

Portanto, para o primeiro modo de vibrao (n=1), as frequncias naturais para as

condies bi-apoiada e bi-engastada so reduzidas s equaes (3.6) e (3.7).

=

1 +

(3.6)

= 4,730

1 +

4 (3.7)

Se a rigidez flexo EI nula, o valor de frequncia retorna ao da corda vibrante,

equao (3.2). Desprezando-se a fora axial, as equaes para frequncia natural se

reduzem s de vigas sob flexo pura.

=

= 1, 2, (3.8)

Utilizando os mesmos parmetros de condio de contorno e tomando n=1, obtm-se as

frequncias naturais para as condies bi-apoiada e bi-engastada, respectivamente:

30

=

=

4,730

(3.9)

Para estabelecer uma comparao direta com equao aproximada (2.9) da DNV-RP-

F105, as equaes (3.6) e (3.7) podem ser re-escritas. Considerando que Pcr=EI/L,

tem-se que:

=2

=

2

1 +

(3.10)

=2

= 4,73

2

1 +

4 (3.11)

V-se que estas equaes correspondem equao (2.9) apresentada pela DNV, exceto

pelo termo que inclui a deflexo esttica que no foi considerado, portanto, idnticas

para o caso de vibrao in-line. Os termos fora da raiz correspondem aos coeficientes C1

para cada condio de contorno. Na equao (3.11), para condio bi-engastada, o valor

de Pcr multiplicado por 4 corresponde ao coeficiente C2.

Portanto, exceto pelo termo de deflexo, a formulao aproximada apresentada pela

DNV-RP-F105 corresponde formulao clssica de frequncia natural de vibrao de

uma viga elstica submetida trao.

3.1.3 Cabos Extensveis com Pequenas Deflexes Estticas

Considere um cabo elstico de comprimento L, massa e peso por unidade de

comprimento respectivamente m e mg, com rigidez axial EA, trao constante S,

suspenso por dois apoios fixos. A deflexo esttica apresentada no plano vertical

assume a forma de catenria.

O caso particular de cabos com pequenas deflexes estticas, da ordem de 1/8 da

distncia entre os suportes, possui teoria linear bem estabelecida [12]. A linearizao

31

obtida considerando que a trao S e a curvatura k (dada por k=mg/S) so constantes ao

longo do comprimento. A equao resultante para direo transversal w :

,))

()

= ,))

(3.12)

Como no h curvatura no plano horizontal da catenria (in-line), a frequncia e os

modos de vibrao correspondem ao da corda vibrante com a mesma trao S como

apresentado na seo 3.1.1. A vibrao no plano vertical (cross-flow) obtida

resolvendo o problema de autovalor associado equao (3.12). Desta soluo, surgem

as classes de modos anti-simtrios e simtricos.

Para os modos anti-simtricos, o segundo termo da equao (3.12) some, pois a integral

da funo w(x) zero. Fisicamente, isso significa que no h acoplamento entres os

movimentos transversais e axiais do cabo. Portanto, a equao de movimento dos

modos anti-simtricos cross-flow a mesma dos modos anti-simtricos in-line, como

apresentado na seo 3.1.1. Os modos simtricos (n=1,3,5,...) apresentam acoplamento

entre os movimentos axiais e transversais e so dados por [12]:

= sin2

sin2

) ( = 1,3,5, (3.13)

onde Cn uma constante arbitrria e n corresponde frequncia natural que satisfaz a

equao transcendental:

tan

2 =

1

2

/ = 1,3,5, (3.14)

onde, ct, cl e so dados, respectivamente por:

=

(3.15)

=

(3.16)

=

() =

(3.17)

32

Os parmetros ct e cl representam respectivamente as velocidades de propagao de

onda transversal da corda vibrante e de onda longitudinal em uma barra rgida. O valor

de conhecido como parmetro de cabo e representa a razo entre a rigidez devida

trao (associada a ct) e a rigidez da elasticidade (associada a cl). Este parmetro,

normalmente apresentado na forma /, capaz de caracterizar a vibrao do cabo.

Valores baixos de / descrevem o comportamento de corda vibrante conforme seo

3.1.1 (valor de S muito superior ao peso linear mgL, sem deflexo) e valores altos de /

descrevem o comportamento de cabos inextensveis (valor de rigidez axial EA muito

alto) com deflexo inicial. A transio entre estes modelos apresentada na Figura 16.

Figura 16 - Frequncia de Vibrao Cross-flow de n Modos por / [12]

As frequncias naturais n para os n modos de vibrao no plano (in-plane frequency)

esto normalizadas pela frequncia fundamental da corda vibrante (portanto /=0) e

so apresentadas como funo do parmetro de cabos /. Nota-se que as frequncias

dos modos anti-simtricos (n=2,4,6,...) independem do parmetro de cabo. Entretanto, a

frequncia dos modos simtricos (n=1,3,5,...) aumenta para valores mais altos de /.

_

33

Seguindo a curva de frequncia natural de n=1, observa-se que em /=2 o valor de

frequncia se iguala ao do modo n=2. Este ponto chamado crossover e tambm ocorre

nos modos n=4,6,8... para valores de parmetros de cabo /=n. A Figura 17 apresenta a

evoluo do primeiro modo de vibrao simtrico, seguindo a curva de n=1 desde

/=0, passando pelo ponto de crossover em /=2 at /=4.

Figura 17 - Evoluo do Modo de Vibrao passando pelo Ponto de Crossover [12]

3.1.4 Efeito de Rigidez Flexo no Crossover

Hover e Triantafyllou descrevem em [11] que cabos com pequenas deflexes

apresentam uma variedade de comportamentos no usuais causados pelo acoplamento

entre vibraes transversais e axiais devido curvatura esttica e que o parmetro , j

apresentado na equao (3.20), central para anlise destes casos.

A incluso de rigidez flexo ao problema acima permite a avaliao dos casos de

vigas com deflexo inicial, aproximada tambm por curvatura constante. O mesmo

comportamento dinmico observado, porm o crossover ocorre para valores mais altos

de . Juntamente com , um segundo parmetro governa o comportamento dinmico

de vigas elsticas.

Comprimento (S/L)

34

=

(3.18)

A Figura 18 apresenta o modelo de uma viga elstica submetida a uma trao mdia S

com deflexo esttica .- Oscilaes transversais w(x,t) de baixa amplitude, em

torno desta configurao esttica com pequena deflexo, tambm so regidas pela

equao (3.4).

Figura 18 - Viga com Deflexo Inicial, Vibrao Transversal w(x,t) e Axial p(x,t) [11]

Para se obter curvatura constante k=mg/S ao longo do comprimento, o desenvolvimento

apresentado em [11] considera apoios bi-engastados com ngulo de sada das

extremidades coincidente com a forma da configurao esttica.

Assim como no caso de cabos extensveis com deflexo esttica apresentado na seo

3.1.3, a soluo deste modelo para estas condies de contorno com curvatura

constante, tambm leva s duas classes de modo simtrico (n=1,3,5,...) e anti-simtrico

(n=2,4,6,...) para vibrao no plano (cross-flow).

O efeito da rigidez, contemplado pelo parmetro , apresentado na Figura 19. Da

mesma maneira que na Figura 16, so apresentados os valores normalizados de

frequncia natural. Os simtricos, com linhas contnuas, ainda so dependentes do

parmetro /. Os anti-simtricos, com linhas tracejadas, no dependem de /.

Entretanto, a frequncia de ambos varia com o parmetro .

Valores baixos de (=10-4) correspondem ao caso de cabo extensvel com deflexo

esttica mostrado na seo 3.1.3. Observa-se que para log()=-4, o crossover ocorre

exatamente para valores /=n , (n=2,4,6,...). A curva contnua do modo n=1 apresenta

S Sx

w(x,t)

p(x,t)

-w(x)

35

o mesmo valor de frequncia da curva tracejada do modo n=2 em /=2. Valores

elevados de (=102) correspondem ao caso de viga elstica, onde no h mais

crossover e dependncia do parmetro de cabo.

Figura 19 Frequncias Normalizadas como Funo de e / [11]

Para valores intermedirios de , a frequncia dos modos simtricos substancialmente

elevada e o crossover ocorre para valores bem mais elevados de /. Por exemplo, para

log()0,3, o crossover do modo n=1 ocorre para /=32.

3.1.5 Clculo Analtico de Deflexo de Viga com Trao ou Compresso

O valor de deflexo esttica de grande importncia para o clculo da frequncia de

cross-flow e depende das trao/compresso no vo e das condies de contorno. Tem-

se da teoria elementar de vigas que tenses e deflexes so proporcionais s cargas

aplicadas, contanto que a alterao da forma viga no afete a aplicao das foras.

Timoshenko mostra em [14] que nos casos de vigas submetidas a cargas axiais

36

compressivas e transversais (vigas-coluna), mesmo pequenas excentricidades na

aplicao da carga axial afetam significativamente o momento fletor, as tenses e as

deflexes. Para o caso de uma viga-coluna bi-apoiada com carga transversal constante q

e compresso S, Timoshenko [14] apresenta que a mxima deflexo no meio do vo

dada por:

=5

384..

(). (3.19)

onde,

() =12(2 sec 2 (

5, =

2

(3.20)

O primeiro fator da equao (3.19) representa o efeito isolado do carregamento

transversal q. O segundo fator (u), chamado fator de amplificao, leva em conta o

efeito da carga axial, que foi considerada sempre como positiva no seu

desenvolvimento. A Figura 20 apresenta o comportamento de (u) em funo de u para

permitir que nmeros complexos sejam visualizados no grfico. Quando a carga S

zero, (0)1, retornando ao caso de carga transversal isolada. Quando a carga S tende

carga crtica de flambagem Pcr= EI/L para vigas bi-apoiadas, o parmetro de carga

axial u tende a /2 e, ento, (/2)=(1.57), indicando instabilidade. No grfico da

Figura 20, este valor corresponde a 2,47=(/2).

Os casos de vos com trao tambm podem ser avaliados por esta equao

considerando S com sinal negativo, com isso, u assume valores complexos. Valores de u

complexos tendendo a zero, fazem com que (u)1. Valores de u complexos elevados

fazem com que (u)0, indicando que pela elevada trao a deflexo esttica tende a

zero a despeito da carga distribuda, comprimento ou rigidez flexo da viga.

37

Figura 20 - Fator de Amplificao por Efeito de Carga Axial Compressiva

O fator de amplificao pode ser aproximado pela expresso:

1

1 +

(3.21)

Com esta forma da equao (3.21), considera-se que a carga axial S positiva para

trao e negativa para compresso. A Figura 21 mostra o comportamento do fator em

funo da razo entre a carga axial e a carga crtica de flambagem (=S/Pcr). Fica mais

evidente que para o caso sem trao, =0 e =1. Para cargas trativas, >0 logo 0.

Para cargas compressivas, 0

38

Figura 21- Fator Aproximado de Amplificao/Reduo para Efeito de Carga Axial

Pode-se observar que esta a mesma formulao apresentada pela DNV-RP-F105 para

deflexo, onde o primeiro termo corresponde ao coeficiente C6 para a condio bi-

apoiada.

3.1.6 Efeito da Deflexo Esttica e Trao

Neste modelo proposto por Nielsen et al. [15], avaliado se efeitos restauradores no-

lineares devidos trao e deflexo afetam a dinmica da vibrao transversal. A

deflexo inicial esttica (static) , e a amplitude de vibrao a se sobrepe

configurao esttica [15].

Figura 22 Modelo de Viga com Deflexo Inicial e Carga Axial [15]

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

Efeito de Carga Axial

Razo entre Carga Axial e Carga de Flambagem

Fat

or

de

Am

pli

fica

o

ou

Red

u

o

( )

a

39

Por simplificao, assumido que a configurao inicial esttica w0(x) assume a forma

senoidal, que uma aproximao para condio bi-apoiada.

() = . sin

(3.23)

A oscilao dinmica adicionada configurao esttica tambm assumida como

senoidal e dada por wn(x), onde n corresponde aos modos de vibrao.

() = sin

= 1,2, (3.24)

O modelo apresentado na Figura 22 leva em conta uma mola axial k em cada

extremidade que contempla a rigidez axial do solo na regio dos ombros e a rigidez

axial referente a meio comprimento de vo (EA/2L). Observa-se que existe uma

deformao axial u em cada um dos apoios associada amplitude de oscilao dinmica

a. A referncia [15] mostra que a rigidez geomtrica Kn, dependente do modo de

vibrao, dada por:

=

2+

2+

8 +

3

2 +

1

2 = 1 (3.25)

=

2+

2+

16 > 1 (3.26)

O primeiro termo das equaes (3.25) e (3.26) representa a rigidez elstica flexo. O

segundo termo se refere ao efeito de trao axial (corda vibrante). O terceiro termo

devido combinao do efeito de rigidez axial k, deflexo esttica e dinmica an.

Para se determinar a frequncia natural (n=1) de cross-flow, necessrio considerar a

massa de meio comprimento do vo para ser consistente com a rigidez axial k utilizada

no modelo, portanto:

=

+ 1 +

4 +

3

2 +

1

2

(3.27)

40

Se for considerado que a amplitude de vibrao a muito menor que a amplitude

esttica , e re-arranjando a equao (3.27), chega-se forma anloga da formulao

apresentada na DNV-RP-F105 em (2.9).

=2

=

2

1 +

+

4 (3.28)

Comparando-se a equao (3.28) com a formulao da DNV-RP-F105 apresentada pela

equao em (2.9), observa-se que nos dois casos so contemplados os efeitos de rigidez

devido flexo, trao e deflexo esttica . Nesta formulao apresentada por

Nielsen et al., a parcela de deflexo esttica est explicitamente relacionada rigidez

axial k, enquanto na da DNV, funo do dimetro externo (incluindo revestimento).

Entretanto, como indicado na equao (3.29), ambas ainda so funo do quadrado da

deflexo esttica:

0,8

4(3.29)

Outra formulao, apresentada por Bruschi e Vitali na referncia [16], tambm trata do

acoplamento dinmico no-linear entre rigidez axial e flexo que ocorre quando as

extremidades das vigas tm o movimento axial restrito.

As duas principais causas de no-linearidades na resposta estrutural (mesmo com

material linear elstico) so: (i) a restrio ao movimento axial que introduz

deformaes axiais medida que a viga flexiona em torno da configurao inicial

efeito membrana e (ii) a rotao da seo que invalida a considerao de pequenos

deslocamentos.

Entretanto, em condies prticas no esperado que estas duas no-linearidades

ocorram simultaneamente, pois vos com extremidades restritas apresentam

considervel alongamento axial, porm pequenos deslocamentos dentro do regime

elstico do material. Para que os vos apresentem grandes deslocamentos, acaba sendo

necessrio permitir movimento axial nas extremidades e, consequentemente, no h

alongamento axial considervel.

41

O modelo proposto em [16] apresentado na equao (3.30) e considera uma viga com

deflexo esttica w0(x) que submetida a oscilaes dinmicas w(x,t) e carregamento

transversal por unidade de comprimento pz(x,t):

+

+

(,) = 0 (3.30)

A carga axial S qual a viga est submetida, apresentada na equao (3.31), funo da

trao esttica S0 aplicada sobre a viga e da trao resultante da restrio axial das

extremidades como consequncia da deflexo esttica e das amplitudes de oscilao.

= +

2 )

)

(3.31)

Assim como no modelo apresentado por Nielsen, o valor da rigidez axial depende do

comprimento da linha e das condies das extremidades. O valor de rigidez

tratado como molas em srie atravs da rea equivalente apresentada na equao

(3.32). Considera-se a rea A da seo do duto e as rigidezes axiais K1 e K2 de cada

uma das extremidades.

=1

1 +

11 +

12

(3.32)

Para se quantificar o efeito da deflexo inicial no clculo de frequncia natural de viga

tracionada (f0), aplicado o mtodo de Galerkin, que utiliza a coordenada generalizada

g e baseado no modo de vibrao senoidal para condio bi-apoiada. Com isso, tem-se

[16]:

+ 2)) ) + +(2 3 + = 0 (3.33)

A soluo desta equao tambm resolvida pelo mtodo de Galerkin considerando o

modo de vibrao (a sint); tem se que, para oscilaes simtricas em torno da

configurao esttica, a frequncia dada por:

42

2) ) = 2) ) + 2 +

3

4 (3.34)

Onde f0 a equao clssica de uma viga elstica submetida trao/compresso como

apresentado na seo 3.1.2 e aqui re-definido por:

=

4 (3.35)

Aps algumas manipulaes, a frequncia f pode ser apresentada na forma abaixo, que

deixa evidente os termos de rigidez elstica do material EI, efeito de trao/compresso

axial S, deflexo inicial esttica e amplitude de oscilao a. Nota-se que, assim como

nas demais equaes de frequncia apresentadas anteriormente, os termos de rigidez so

independentes e basta som-los para que seus efeitos sejam sobrepostos.

=

4

+

4+

8

+

3

16

(3.36)

=

2

1 +

+.

2+

.3

4 (3.37)

Os termos de deflexo e trao da equao (3.37) so comparveis aos da equao

(3.28) como apresentado por Nielsen et al. e tambm da DNV em (2.9).

interessante notar que novamente os termos de deflexo esttica e amplitude de

oscilao so funes quadrticas de seus valores e da rigidez axial do sistema.

43

3.2 Amplitude Unitria de Tenso

A amplitude de tenso calculada segundo a DNV-RP-F105 pelas equaes

apresentadas na seo 2. estabelecido o conceito de Amplitude Unitria de Tenso,

que corresponde amplitude de tenso quando a deflexo corresponde ao dimetro

externo.

No 1 modo de vibrao na condio bi-apoiada, a deflexo dada por:

() = . sin

(3.38)

onde A a amplitude de vibrao, assumindo pequenas deflexes, a curvatura obtida

com a derivada segunda:

() =

. sin

(3.39)

Dentro do regime elstico, o valor de tenso axial no meio da espessura da parede de

um duto pode ser apresentado como funo da curvatura:

() = =. . .()) (

2= .

. sin

.

) (

2(3.40)

Considerando que no meio do vo a amplitude equivale ao dimetro externo D, tem-se

que o mximo valor de amplitude de tenso unitria ocorre no meio do vo e :

2= .

.) (

2=

2

.) .(

(3.41)

Levando em conta que o termo ) ) corresponde ao coeficiente C4 para condio bi-

apoiada, pode-se observar que a equao deduzida acima corresponde exatamente

formulao da DNV-RP-F105, tanto para in-line quanto para cross-flow. Pode-se

desenvolver o mesmo raciocnio para a condio bi-engastada, e da mesma forma

considerando a amplitude D no meio do vo. Entretanto, o mximo valor de amplitude

de tenso ocorrer nos ombros do vo.

44

4. ESTUDO DE CASOS

Utilizando as formulaes analticas apresentadas no Captulo 3, foram realizados os

clculos da frequncia natural do primeiro modo simtrico (frequncia fundamental)

para vos livres curtos e longos de diferentes dutos. Foram consideradas condies de

contorno bi-apoiada e bi-engastada para dutos rgidos de quatro dimetros (6, 12, 18

e 24) e espessuras normalizadas pela indstria. O duto de 6 utilizou uma parede fina e

o de 24 parede espessa. Os dutos de 12 e 18 utilizaram espessuras mdias. Com isso,

foi coberta uma grande faixa de dimenses de dutos.

A Tabela 4 apresenta os dados dos dutos utilizados nos estudos de caso tratados neste

captulo. O valor de massa equivalente utilizado me j incorpora a massa adicional

(Ca=1). Os comprimentos dos vos variaram de L/D=20 at valores de L/D=400, bem

alm do limite L/D

45

Figura 23 - Modelo em Orcaflex de Vo Livre Bi-apoiado

Como todos os resultados de frequncia a serem utilizados no modelo de frequncia

natural aproximada da DNV correspondem ao primeiro modo simtrico, a regio de

interesse est antes do ponto de crossover. Os resultados mostram que o ponto de

crossover depende da relao entre deflexo e trao, que em alguns casos ficou

bastante distante do limite L/D

46

ocorrem em funo de presso interna e expanso trmica. Apesar da possibilidade de

haver flambagem global, espera-se que na regio do vo, a compresso seja menor, pois

normalmente so criados gatilhos (triggers) longe desta regio que favorecem a

flambagem de maneira controlada e, portanto, reduzem a carga compressiva nos demais

trechos da linha. Todas as configuraes estticas das anlises numricas possuem valor

de tenso equivalente de von Mises inferior ao limite de escoamento de 450MPa, tpico

de um duto rgido submarino.

Nos mesmos grficos, so apresentadas as duas curvas do parmetro /D para valores

de deflexes analticas e numricas. Estas curvas so teis para avaliao do erro da

formulao analtica, para avaliao do efeito do erro da deflexo analtica no clculo de

frequncia e para comparao com a faixa de validade da norma DNV e com o ponto de

crossover.

As sries apresentadas nos grficos esto descritas a seguir:

Viga+Trao: Modelo de viga elstica com trao sem deflexo inicial esttica,

como apresentado nas equaes (3.10) e (3.11). Sempre comparvel ao caso de

vibrao in-line.

DNV: Modelo de resposta aproximado proposto pela DNV como apresentado na

equao (2.9). Considera rigidez elstica, trao/compresso e deflexo esttica.

Adequada para clculo de vibrao in-line e cross-flow.

Nielsen: Modelo de viga elstica proposto por Nielsen et al. com trao, deflexo

inicial esttica e rigidez axial, como apresentado na equao (3.28). Adequada para

clculo de vibrao in-line e cross-flow.

Bruschi: Modelo de viga elstica proposto por Bruschi e Vitalli com trao, deflexo

inicial esttica e rigidez axial, como apresentado na equao (3.37). Adequada para

clculo de vibrao in-line e cross-flow. A parcela de deflexo esttica dependente

do dimetro externo.

ORC/InLine: Resultados na direo in-line da anlise modal do modelo de viga feita

pelo Orcaflex utilizando mesmas condies dimensionais, de rigidez e de contorno.

47

ORC/CrossFlow: Resultados na direo cross-flow da anlise modal do modelo de

viga feita pelo Orcaflex utilizando mesmas condies dimensionais, de rigidez e de

contorno.

/D DNV: Fator de deflexo esttica sobre dimetro externo D utilizando a

formulao analtica proposta pela DNV conforme equao (2.11).

/D ORC: Fator de deflexo esttica sobre dimetro externo D utilizando o

Orcaflex.

4.1 Frequncia Natural Bi-Apoiada

O clculo analtico de frequncia natural com a condio de contorno bi-apoiado

considerado conservativo, pois fornece valores de frequncia mais baixos que a

condio bi-engastada e que o single-span utilizando o conceito de comprimento

efetivo. Entretanto, aproxima-se bastante do caso real quando os vos precisam ser

calados/suportados. Por exemplo, se um vo possui comprimento maior que o aceitvel

e precisa de dois suportes, o vo central possui comportamento de viga-coluna bi-

apoiada.

4.1.1 Bi-Apoiado com Trao Efetiva 500kN

O grfico da Figura 24 indica que, como este duto de 6 leve, com pouca rigidez

flexo e a trao bastante alta, o efeito de deflexo no clculo da frequncia no

relevante. Observa-se que os resultados de Viga+Corda coincidem com as demais

curvas, mesmo no plano vertical. Outra indicao que as curvas apresentam um

comportamento assinttico para zero pois no h acrscimo significativo na rigidez

devido deflexo.

As curvas /D indicam que a resultado de deflexo analtico foi bem prximo do

numrico mesmo para vos bem longos com L/D=400. Pela observao dos modos de

vibrao da anlise numrica, o crossover ocorreu para o caso com L/D=360 (bem alm

da limitao da DNV) e /D2,6 (este sim, prximo ao limite da DNV).

48

Figura 24 6 Bi-Apoiado com Trao Efetiva 500kN

A Figura 25 mostra que, para o mesmo valor de trao, o duto tpico de 12 comea a

apresentar diferenas entre in-line e cross-flow pelo efeito da deflexo esttica. As

frequncias cross-flow (DNV, Norsk, Bruschi e ORC/CrossFLow) permanecem

praticamente constantes para altos valores de L/D devido ao aumento da deflexo ,

enquanto as frequncias in-line, independentes da deflexo, tendem a valores cada vez

menores. A formulao analtica de Bruschi apresenta-se consistentemente coincidente

com os resultados numricos. O ponto de cross-flow manteve-se prximo de /D=2,5,

mas caiu bastante para L/D=180. O valor da deflexo analtica subiu consideravelmente

e, ainda assim, continua prximo do numrico.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

20 60 100 140 180 220 260 300 340 380

/D

Fre

qu

nci

aN

atu

ral

(Hz)

L/D

Frequncia NaturalBi-Apoiado - 500kN - 6"

Viga+Trao

DNV

Nielsen

Bruschi

ORC/InLine

ORC/CrossFlow

/D DNV

/D ORC

Crossover

49

Figura 25 - 12" Bi-Apoiado com Trao Efetiva 500kN

A Figura 26 mostra que, para um duto de 18, o efeito de deflexo ainda mais

evidente. A formulao de Bruschi continua coincidindo com os valores numricos

mesmo para grandes valores de deflexo (mais de 40 vezes o dimetro). O valor de

frequncia agora passa a aumentar depois de certo comprimento devido ao crescimento

da rigidez geomtrica. O ponto de crossover deste caso coincide exatamente com o

limite da norma.

Figura 26 - 18" Bi-Apoiado com Trao Efetiva 500kN

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

5

10

15

20

25

20 60 100 140 180 220 260 300 340 380

/D

Fre

qu

nci

aN

atu

ral

(Hz)

L/D

Frequncia NaturalBi-Apoiado - 500kN - 12"

Viga+Trao

DNV

Nielsen

Bruschi

ORC/InLine

ORC/CrossFlow

/D DNV

/D ORC

Crossover

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20 60 100 140 180 220 260 300 340 380

/D

Fre

qu

nci

aN

atu

ral

(Hz)

L/D

Frequncia NaturalBi-Apoiado - 500kN - 18"

Viga+Trao

DNV

Nielsen

Bruschi

ORC/InLine

ORC/CrossFlow

/D DNV

/D ORC

Crossover

50

Este ltimo caso apresentado na Figura 27 segue o comportamento dos anteriores, sendo

ainda mais evidente o efeito de deflexo. O crossover ainda corresponde a valores

prximos a /D=2,5, mas agora com L/D=120, o que refora que este no um limite

absoluto e que necessita ser confirmado caso haja suspeita de crossover.

Interessante notar que a formulao de Bruschi comea a descolar dos resultados

numricos para L/D=280 e /D=45, mesma condio em que as formulaes de

deflexo analtica e numrica tambm passam a divergir. Entretanto, no se pode

atribuir a diferena no valor de frequncia utilizao de uma deflexo com erro, j que

a deflexo analtica menor deveria resultar em frequncia analtica menor, o que no

ocorre. Pode-se atribuir esta diferena configurao que, com este valor elevado de

deflexo, que pode invalidar a premissa do modo de vibrao segundo a funo seno

para a viga bi-apoiada.

Consistentemente, o valor de frequncia aproximado da DNV mostrou-se abaixo dos

resultados numricos. Isso significa que a velocidade reduzida (Vr) ser maior, o que faz

a amplitude de tenso ser maior, aumentando o dano.

Figura 27 - 24" Bi-Apoiado com Trao Efetiva 500kN

0

20

40

60

80

100

120

0

2

4

6

8

10

12

14

20 60 100 140 180 220 260 300 340 380

/D

Fre

qu

nci

aN

atu

ral

(Hz)

L/D

Frequncia NaturalBi-Apoiado - 500kN - 24"

Viga+Trao

DNV

Nielsen

Bruschi

ORC/InLine

ORC/CrossFlow

/D DNV

/D ORC

Crossover

51

4.1.2 Bi-Apoiada com Trao Efetiva 100kN

Esta seo apresenta os mesmos casos com valor de trao 100kN. Comparando com os

respectivos casos da seo anterior, menor trao significa maiores deflexes estticas.

Com isso, para vos com maiores comprimentos, o valor de frequcia natural cross-flow

se distanciou ainda mais do valor in-line. A formulao proposta por Bruschi ainda

apresenta valores coincidentes com os do Orcalfex. As formulaes de Nielsen e da

DNV apresentam resultados semelhantes e inferiores aos numricos. O crossflow foi

observado que o crossflow ocorre para valores mais baixos de L/D, mas ainda prximos

do limite /D

52

Figura 30 -18" Bi-Apoiado com Trao Efetiva 100kN

Para o duto de 24 com trao de 100kN, as anlises com o Orcaflex foram at

L/D=240 pois o valor de tenso de von Mises ultrapassa o valor de escoamento,

assumido uma material tpico de dutos rgidos submarinos com 450MPa.

Figura 31 - 24" Bi-Apoiado com Trao Efetiva 100kN

possvel observar que para todos os casos apresentados, o valor de frequncia in-line

coincidiu com os valores numricos a despeito do valor de deflexo esttica.

0

50

100

150

200

250

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20 60 100 140 180 220 260 300 340 380

/D

Fre

qu

nci

aN

atu

ral

(Hz)

L/D

Frequncia NaturalBi-Apoiado - 100kN - 18"

Viga+Trao

DNV

Nielsen

Bruschi

ORC/InLine

ORC/CrossFlow

/D DNV

/D ORC

Crossover

0

50

100

150

200

250

300

350

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

20 60 100 140 180 220 260 300 340 380

/D

Fre

qu

nci

aN

atu

ral

(Hz)

L/D

Frequncia NaturalBi-Apoiado - 100kN - 24"

Viga+Trao

DNV

Nielsen

Bruschi

ORC/InLine

ORC/CrossFlow

/D DNV

/D ORC