Mecânica e Ondas 2015 · Eng. Aeroespacial · Instituto Superior Técnico 1

Estudo da mecânica de uma esfera que rola com

deslizamento

Considere uma esfera que é lançada com velocidade inicial v0 e sem rotação – por exemplo,

uma bola de bowling lançada na pista. A pista tem um coeficiente de atrito cinético µ, de

modo que existe uma força de atrito transversal 𝐹! = 𝜇𝑃, em que 𝑃 = 𝑚𝑔 é o peso da esfera.

A esfera desliza durante uma certa distância Δx, ao fim da qual o movimento se torna de

rotação sem deslizar. O objectivo é calcular o valor de Δx.

Vamos considerar a situação inicial (movimento de translação sem rotação) e a situação final

(movimento de rotação sem deslizar). A figura em baixo ilustra as forças relevantes e

velocidades em cada situação (esquerda e direita, respectivamente). Repare que na situação

em que a esfera desliza a força de atrito tem sentido contrário à velocidade.

Considerações:

• A esfera está sujeita a uma aceleração constante de módulo 𝑎 = 𝜇𝑔

• Está também sujeita a uma aceleração angular constante de módulo (positivo) α, que

pode ser calculada a partir de (no eixo definido pelo centro de massa)

𝑁 = 𝑟×𝐹! = 𝐼𝛼 → 𝑅𝜇𝑚𝑔 −𝑒! ⇒ 𝐼𝛼 −𝑒!

• Quando a esfera roda sem deslizar, tem-se a situação caracterizada por 𝑣! = 𝜔𝑅

Considere-se o eixo situado no ponto O, que é o ponto em que a esfera toca no solo e o

movimento se inicia (ver figura seguinte). Uma vez que a força de atrito Fa é central em

relação a esse ponto (ou está situada nele, ou aponta para ele), existe conservação de

momento angular. Vamos pois calcular o módulo do momento angular nas duas situações

(representadas pelos pontos O e O’ na figura, tal que Δ𝑥 = 𝑂𝑂′) em relação a O:

Situação inicial (só translação): 𝐿 = 𝑚 𝑟×𝑣 = 𝑚𝑅𝑣!

Situação final (translação e rotação): 𝐿 = 𝑚 𝑟×𝑣 + 𝐼𝜔 = 𝑚𝑟′𝑣!𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝐼𝜔 = 𝑚𝑅𝑣! + 𝐼!!!

v0

FaR

O

vf

!

R

O’

v0

r"

r’

O

vf

!

O’

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Igualando as duas obtém-se a relação entre as velocidades: 𝑣! = 𝑏𝑣!

em que por conveniência se define o parâmetro 𝑏 = 1 + !!!!

!!.

Sabendo a relação entre velocidades, podemos calcular o espaço percorrido de duas formas:

1. Equações da cinemática

Escrevemos para a posição / instante em que se atinge a rotação sem deslizar

Δ𝑥 = 𝑣!𝑡 − !!𝑎𝑡

! 𝑣! = 𝑣! − 𝑎𝑡

Calculando o tempo: 𝑡 = !!!!!!

= !!!1 − 𝑏

Calculando a distância: Δ𝑥 = !!!

!!1 − 𝑏! = !!!

!!"1 − 𝑏!

Para o caso da esfera vem 𝑏 = 1 + !!

!!= !

!

Assim  Δ𝑥 = !"!"

!!!

!"

2. Trabalho da força de atrito

Escrevemos a equação para o trabalho realizado por Fa e igualamos à variação de energia

cinética de translação:

𝑊! = 𝐹!𝑑𝑥 =!!𝑚 𝑣!! − 𝑣!!

Como a força é constante, e usando a relação anterior para as velocidades:

𝜇𝑚𝑔Δ𝑥 = !!𝑚𝑣!! 𝑏! − 1 → Δ𝑥 =

𝑣!!

2𝜇𝑔1 − 𝑏!

que é a relação anterior.

v0

FaR

O

vf

!

R

O’

v0

r"

r’

O

vf

!

O’