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IV Seminário da Pós-Graduação em

Engenharia Mecânica – Unesp - Bauru

Estudo da dinâmica da ponta do cantilever de um Microscópio de Força

Atômica operando no modo de toques rápidos (tapping mode).

Kleber dos Santos Rodrigues

Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

Prof. Dr. José Manoel Balthazar

Orientador – Depto de Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

RESUMO

Microscopia de Força tem sido muito usada ultimamente, como forma de escannear

superfícies de amostras de tamanho micro e nano. Existem três formas de operação para tal

escanneamento, o modo intermitente (intermmitent contact), modo sem contato (non contact)

e o modo de toques rápidos (tapping mode). No primeiro, a ponta do microscópio opera

dentro da amostra, no segundo, a ponta não toca na amostra e na última, que é a mais usada, a

ponta toca eventualmente na amostra, transformando esse movimento em imagem com três

dimensões. Esse trabalho visa o estudo do movimento no modo tapping, e tenta resolver um

problema comum nesse tipo de operação, o cantilever, que é o suporte da ponta, opera muito

próximo à ressonância, o que prejudica a obtenção das imagens. Após a modelagem, espera-se

que sejam encontrados os parâmetros de ressonância, que esse movimento seja estudado, e por

fim controlado.

Palavras-chave: Microscopia de força atômica, ressonância, modo tapping.



1. INTRODUÇÃO

Microscopia de Força Atômica (AFM) surgiu inicialmente na literatura científica em 1986

Binning et al, [1] e foi descrita como meio de se obter imagens com alta resolução de

amostras através da exploração de sua superfície. Veio como desenvolvimento da microscopia

por tunelamento (STM), que usa amostras de imagem de materiais condutores no vácuo.

Diferente da STM, AFM consegue obter imagens de alta resolução no ar e em meios líquidos,

que são mais utilizados na prática. Com o uso da AFM, houve um grande desenvolvimento

nas áreas que necessitam de obtenção de imagens em alta resolução em escalas micro, nano,

entre outras.

No núcleo de um instrumento de AFM, há uma ponta (tip) afiada, montada perto da

extremidade de um braço flexível (cantilever), essa ponta percorre a superfície da amostra e

obtém imagens em alta resolução. Esse movimento pode variar dependendo da necessidade e

do tipo de material que está sendo analisado.

Essas variações incluem técnicas estáticas como o modo contato, e técnicas dinâmicas como o

modo não-contato e o modo tapping (toques rápidos).

1.2 O microscópio

Na Figura 1, temos a configuração básica de um AFM. O braço (cantilever) normalmente é

em forma de V, como mostrado, ou pode ser retangular. O cantilever tem em sua extremidade

livre uma ponta afiada, que atua como o teste de interações. Essa ponteira é mais comumente

usada sob a forma de uma pirâmide com base quadrada ou um cone cilíndrico. Alguns

exemplos de diferentes configurações de braços flexíveis (cantilevers) e ponteiras são

mostrados na Figura 2, sondas fabricadas comercialmente são feitas predominantemente de

nitreto de silício (a fórmula normalmente dada para nitretode silício é Si3N4). Normalmente a

superfície superior do cantilever, oposta à ponta, é revestida com uma fina superfície

reflexiva, geralmente de

ouro (Au) ou alumínio (Al). A sonda é trazida para dentro e fora de contato com a superfície

da amostra pelo uso de um piezocrystal. (AFM – W. Richard – cap1)[2].



Figura 1.1. Esquema de funcionamento do microscópio de força atômica,Figura retirada do

livro AFM- W. Richard – pág3 – cap1

Figura 1.2. Fotos de cantilevers e pontas usada em Microscopia de Força Atômica. Figura

retirada do livro AFM – W. Richard – pág3 – cap 1.

A – Sonda Piramidal;

B – Sonda de alta relação de aspecto cônico para imagens de alta resolução;

C- Dois cantilevers em forma de V para o modo de imagem de contato;

D- Chip com uma série de vigas de diferentes comprimentos. Neste caso, as vigas são

“tipless” para permitir a montagem das partículas de interesse para medição de força.

O cantilever no modo tapping é apoiado em um diether piezo que produz oscilações

periódicas, veja figura 3, a frequência da vibração é normalmente próxima à sua frequência de

ressonância. Além da força provocada pela aceleração no sistema, o cantilever sofre também

ação das forças de interação entre a amostra e sua ponta, pelo amortecimento intrínseco do

cantilever, e pelo amortecimento causado pelas condições do ambiente. A deflexão do

cantilever é medida através do sinal de reflexão de um laser na ponteira, que é mandado para

um foto dióide.



Figura 1.3. ilustração que esquematiza a operação da ponta (tip) num micrsoscópio de força

atômica. Figura retirada de Xiaopeng Zhao and Harry Dankowicz, Characterization of

intermittent contact in tapping mode atomic force microscopy.

2. MODELO DE ESTUDO

2.1 Modelo 1 – Sebastian et al [16]. 2001

O cantilever no modo tapping é apoiado em um diether piezo que produz oscilações

periódicas, veja figura 3, a frequência da vibração é normalmente próxima à sua frequência de

ressonância. Além da força provocada pela aceleração no sistema, o cantilever sofre também

ação das forças de interação entre a amostra e sua ponta, pelo amortecimento intrínseco do

cantilever, e pelo amortecimento causado pelas condições do ambiente. A deflexão do

cantilever é medida através do sinal de reflexão de um laser na ponteira, que é mandado para

um foto dióide.



Figura 3.

A interação ponteira-amostra é caracterizada por um longo alcance das forças de

atração e um curto alcance das forças de repulsão. Relativo à escala de tamanho do cantilever,

as forças de atração e repulsão sofrem grandes mudanças em pequenos espaços de

movimento. Em um modelo seccionado de um cantilever de AFM, Sebastian et al [16], as

forças de atração são representadas por uma mola linear de rigidez negativa, as forças de

repulsão são representadas por uma mola linear de rigidez positiva, amortecedores lineares

são introduzidos para dar conta da dissipação de energia durante a interação ponteira-amostra

(figura 5). A dinâmica do sistema é governada por suave seccionamento e é correspondente às

equações do movimento.

Conforme a figura 5, temos:



Figura 4. Modelo de modo tapping, nesse modelo a oscilação do dieter piezo é equivalente à

equação de força ( ) cos( )f t m t .

Podemos descrever o movimento do cantilever usando a equação de movimento:

200

0

cos( )

1 1cos( )

1 2cos( )

2

mx Cx kx t

x Cx kx tm m

x Cx x tm

Como γ é a aceleração do piezo, e sabendo que02

C

m

, então 1.1 fica:

2

0 02 ( , ) cos( )x x x h x x t

Sendo ( , )h x x a contribuição para a aceleração da interação ponteira-amostra.

0

( , ) ( )

( ) ( )

a a

b b a a

k ch x x x s d x

m m

k c k cx s x x s d x

m m m m

0

0

x s d

x s d

x s

A equação linear acima descreve a interação ponteira-amostra, aqui x mede a deflexão

da ponteira do cantilever em relação à sua deflexão de equilíbrio na ausência de oscilações do

suporte, 0

k

m é a frequência e ressonância,

02

c

m

é o coeficiente de amortecimento

intrínseco e do ambiente, m e representam respectivamente a amplitude de excitação e a

frequência de oscilação do diether piezo. Temos também que s representa a distância de

equilíbrio entre a ponteira do cantilever e as interações de repulsão do conjunto ponteira-

amostra. Por fim, d representa a distância entre o início das forças atrativas para o início das

forças repulsivas e reflete uma propriedade material da amostra.

Adimensionalizado, o sistema fica:

cos ( ) ( ) ( )b a b amx cx kx m t k x s c c x k x s d

cos ( ) ( ) ( )b aa b

k kc k xx x x t x s c c x s d

m m m m m

0*t t 0

xu

u 2

0

k

m 2 b

b

k

m 2 a

a

k

m

2

0

0

cB

m

0

aa

cB

m

0

bb

cB

m

2

2

0

aA

2

0 2

0

bA

0

*s

su



0

*d

du

Mudança de variáveis: ( , ) ( , *)x t u t

cos * ( , )u Bu u t H u u

0

0 * *

( , ) ( * *) 0 * *

( *) ( * *)

a

b a

u s d

H u u A u s d B u u s d

A u s B u A u s d B

* 0u u s

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

X

dX

/dt

Retrato de Fase

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-50

0

50

100

150

200

250

300

t

dis

pla

cem

ent

Colocando uma mola cúbica (duffing), temos:



3( ) cos * ( , )u Bu T u u t H u u

0

0 * *

( , ) ( * *) 0 * *

( *) ( * *)

a

b a

u s d

H u u A u s d B u u s d

A u s B u A u s d B

* 0u u s

-5 0 5 10 15 20 25-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

dX

/dt

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

t

disp

lace

men

t



Modelo 2: Sambit Misra a, Harry Dankowicz,_, Mark R. Paul[15]. 2009

De acordo com García e San Paulo[4], temos:

0 cos ( )tsmq cq m q m t F q s , onde:

m é a massa to tip,

q é o deslocamento do tip em direção à amostra,

s denota o ponto médio de separação entre a amostra e a base do tip;

om é a dureza da mola

c representa o amortecimento intrínseco do cantilever assim como as forças dissipadas no

ambiente,

γ e ω denotam a amplitude da aceleração e a freqüência angular do piezo usado para excitar o

cantilever.

( )tsF q s descreve a interação ponta amostra, e a expressão fica assim:

2

3

22

, 6

:4

* ( ) , 6 3

ts

HRz a

zF z

HRE R a z z a

z

Nesse caso, t denota o tempo, H é a constante de Hammaker para a superfície da amostra, R é

o raio da ponta do cantilever, E* representa o Módulo de Young para interações de contato, e

a é a distância intermolecular característica.

Por definição, a é descrito como:

02 2 2 2 2 2

0( )

def mA

m c



Quando existe contato de uma esfera (ponta do cantilever e uma superfície elástica (amostra),

temos:

Com R sendo o raio da esfera, de d a distância de contato da mesma com a superfície, vale a

relação, a Rd , dessa forma a força F será:

3

24

*3

F E Rd .

Onde 2 2

1 21 11

*

v v

E E E

.

Simulações:

0 cos ( )tsFcq q q t q s

m m

Onde:

2

3

22

, 6

:4

* ( ) , 6 3

ts

HRz a

zF z

HRE R a z z a

z

Os parâmetros usados são:



0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

3. Próximos passos:

Encontrar o melhor modelo;

Escolher o método de perturbação;

Implementar um programa para Lyapunov em modelos com descontinuidade;

Encontrar melhor método de controle;

4. Referências bibliografias

[1] G. Binnig, C. Gerber, C. Quate, Atomic Force Microscope, Phys. Rev. Lett. 56, 930-933,

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doi:10.1016/j.cnsns.2009.04.031

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