ESTRUTURAS DISCRETAS - PROF: Carlos Augusto Ribeiro

UNIDADE IV – NOÇÕES DE CONJUNTO

4.1. INTRODUÇÃO

Intuitivamente, sob a designação de conjunto entenderemos toda coleção bem definida de objetos, que são os seus elementos.

4.2. NOTAÇÃO

Um conjunto designa-se geralmente por uma letra maiúscula e seus elementos por letras latinas minúsculas. Assim, um conjunto A cujos elementos são a, b, c, d ... representa-se pela notação: A = { a, b, c, d ...}.

4.3. PERTINÊNCIA

Para indicar que o elemento a pertence ao conjunto A, escreve-se: a A que se

lê: “ a pertence a A” ou “ a é elemento de A”. Para indicar o contrário, escreve-se a A.

4.4. DETERMINAÇÃO DE UM CONJUNTO

Há dois métodos usuais para determinar um conjunto: método por extensão e o método por compreensão.

a) Extensão ou Enumeração ou Determinação Analítica: Consiste em listar (ou listar parcialmente) seus elementos.

Ex: A = { 2, 4, 6 , 8} ; B = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

b) Compreensão ou Determinação Sintética : Consiste em enunciar uma propriedade característica ( ou sistema de propriedades características) dos elementos do conjunto. O conjunto A dos elementos x que possuem a propriedade P(x) indica-se pela notação: A ={x / P(x)}

Ex: A = { x / x é número natural par e menor que 9} ; B = { x / x é número natural primo}

4.5. RELAÇÃO DE INCLUSÃO ( SUBCONJUNTOS)

Diz-se que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B ou que “A é parte de B” se, e somente se, todo elemento de A também é elemento de B. Escreve-se: A

ou B ⊃ A que se lê: “A está contido em B” ou “B contém A” .

Exemplo: Os conjuntos A = { 1. 3, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} são tais que A

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Para exprimir a não- inclusão de A em B, escreve-se A⊄B que se lê “A não está contido em B”. Nesse caso, existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B.

OBSERVAÇÕES:

1ª) Qualquer que seja o conjunto A, temos

2ª) Propriedades da Inclusão:

a) Reflexiva : Sendo A um conjunto qualquer, tem-se A

b) Transitiva : Se A e B então A

C

A B

c) Anti-simétrica: Se A e B então A = B

4.6. CONJUNTO DAS PARTES

Dado um conjunto A, chama-se CONJUNTO DAS PARTES DE A e indica-se por P(A) o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de A.

Exemplos:

a) A = {a} P(A) = {

b) A = {a, b} P(A) = {

c) A = {a, b, c} P(A) = {

OBS:

1ª) P( = {

2ª) È possível mostrar ( veremos em Análise Combinatória) que se um conjunto A tem n elementos, então ele tem 2n subconjuntos.(observe os exemplos acima)

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4.7. CONJUNTO COMPLEMENTAR

Seja A um subconjunto de um conjunto B. Chama-se Complementar de A em relação a B o conjunto dos elementos de B que não pertencem a A. Representa-se por

. Portanto, simbolicamente:

= B

A

Exemplo: Sendo A = {1, 3, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} então = {2, 4, 6}

OBS:

Conjunto Universo: Quando os conjuntos relacionados em determinada teoria são todos subconjuntos de um mesmo conjunto fixo, este recebe o nome de Conjunto Universo (U). Nesse caso, sendo A um subconjunto de U, o complementar de A em U é

indicado por , isto é, =

U

A

4.8. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

4.8.1. UNIÃO

A união (ou reunião) de dois conjuntos A e B, que indica-se por A B é o

conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelos menos um dos conjuntos A e B. Simbolicamente, temos:

A B =

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Em diagramas:

A B

4.8.2. INTERSECÇÃO

A intersecção de dois conjuntos A e B, que indica-se por A é o conjunto

formado pelos elementos que são comuns a A e B. Simbolicamente, temos:

A =

Em diagramas:

A B

4.8.2. DIFERENÇA

A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, que indica-se por A – B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.

A – B =

Em diagramas:

A B

Exemplo: Sendo os conjuntos A = { x / x é número natural divisor de 6} e B = {x / x é número primo e 0 < x < 12}, determine:

a) A B b) A c) A – B d) B – A

4.8.3. IDENTIDADES BÁSICAS ENVOLVENDO CONJUNTOS

1a. A B = B A 1b. A = B (comutatividade)

2a. (A B) C = A B C) 2b. (A B) C = A B C) (associatividade)

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3a. A B C) = (A B) (A C) 3b. A B C) = (A B) (A C) (distribut.)

4a. A = A 4b. A = A (elemento neutro)

5a. A 5b. A = (complementar)

4.9. PROBLEMAS SOBRE QUANTIDADE DE ELEMENTOS DE CONJUNTOS FINITOS.

Exemplos:

01. Num grupo de 150 pessoas, 60% fumam cigarros CANCEREX e 20% fumam EFISEMOL. Sabendo-se que 10 fumam CANCEREX e EFISEMOl , determine a quantidade dos que não fumam essas marcas.

02. Uma prova era constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

03. Um grupo de estudantes está planejando encomendar pizzas. Se 13 comem lingüiça calabresa, 10 comem salame italiano, 12 comem queijo extra, 4 comem tanto calabresa quanto salame, 5 comem tanto salame quanto queijo extra, 7 comem tanto calabresa quanto queijo extra e 3 comem de tudo, quantos estudantes tem o grupo?

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04. Os 36 alunos de uma classe fizeram uma prova de 3 questões. Sabendo que 4 erraram todas as questões, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira e 7 acertaram a segunda e a terceira, determine quantos acertaram as três questões.

4.10. CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS

a) Conjunto dos números naturais: Designa-se pela letra N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,...}

OBS:

1ª) Alguns subconjuntos de N:

{x N/ x = 2n, com n N} = {0,2,4,6,8, ...} Números naturais pares

{xN/ x = 2n +1, com n N} ={1,3,5,7, ...} Números naturais ímpares

{x N/ x = 3n, com n N} = {0, 3, 6, 9, ...} Números naturais múltiplos de 3

2ª) O conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e multiplicação, isto é, a soma ou o produto de dois números naturais é um número natural.

b) Conjunto dos números Inteiros: Designa-se pela letra Z:

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

OBS:

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1ª) Alguns subconjuntos de Z :

Z* = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}

Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, ... } Inteiros não negativos

Z - = {..., -3, -2, -1, 0 } Inteiros não positivos

= { 1, 2, 3, 4, ...} Inteiros positivos

{x Z / x = 2n + 1 , com n Z} = {..., -3, -1, 1, 3, ...} Inteiros ímpares

2ª) Todo número natural é inteiro, isto é, N

3ª) O conjunto Z é fechado em relação à adição, subtração e multiplicação

c) Conjunto dos números Racionais: Designa-se pela letra Q, sendo seus elementos os

números da forma , em que p e q são inteiros quaisquer e q ≠ 0.

Q =

Exemplos:

OBS:

1ª) Todo número inteiro x é racional, pois pode ser escrito na forma

2ª) Os números racionais têm representação finita ( ou exata) ou infinita periódica

3ª) O conjunto Q é fechado em relação as quatro operações fundamentais.

4ª) Entre dois números racionais distintos sempre existe outro número racional.

d) Conjunto do números Irracionais: Designa-se por R – Q ou :

{ x / x é dízima não-periódica}

Exemplos:

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e) Conjunto dos números Reais: Designa-se pela letra R, sendo seus elementos todos os números racionais e irracionais.

OBS:

1ª)

2ª) N Z Q R

3ª) Alguns subconjuntos de R :

R+ = { x R / x 0

R - = { xR / x 0 }

R* = {xR / x 0}

{ x R / x > 0 }

{ x R / x < 0 }

4.11. EXERCÍCIOS

01. . Dado o conjunto A = {{1), 5, {1, 2}, 6}, classificar em verdadeira(V) ou falsa(F) cada uma das afirmativas abaixo:

a) n(A) = 5 b) A c) 1 A d) {1}⊂ A e) {5}⊂ A f) 2 A g) {6} ⊂ A h){1, 2}⊂A02. Considere os seguintes conjuntos:

P = {x ; A = { x ; B = { x

C = { x

Calcule o número de subconjuntos de (A - B) ∩ C.

03. Dados os intervalos A = ] 1, 4] , B = ] 2, 8 [ e C = [ 3, + [ , pede-se:

a) A b) A c) A d)

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04. Coloque o número n = 1 + + na forma de fração

irredutível.

05. Numa cidade com 30 000 domicílios, 10000 domicílios recebem regularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmente o jornal do supermercado Y e metade do número de domicílios não recebe nenhum dos dois jornais. Calcule o número de domicílios que recebem o jornal da loja de eletrodomésticos X e não recebem o jornal do supermercado Y.

06. Em um teste caíram apenas duas questões e sabe-se que:

I) 60 alunos acertaram as duas questões II) 160 alunos acertaram a primeira questão III) 190 acertaram apenas uma das questões IV) 50 alunos erraram as duas questões

Calcule o percentual de alunos que acertaram as duas questões.

07. Você faz um levantamento entre os 100 assinantes de seu boletim informativo, preparando-se para lançar seu novo programa de computador. Os resultados de seu levantamento revelam que 60 assinantes têm um sistema baseado no Windows em suas máquinas, 45 têm disponível um sistema Unix e 35 têm acesso a um Mac. Além disso, 15 têm acesso a ambos Windows e Unix, 10 têm acesso a ambos Unix e Mac, e 20 podem usar tanto Windows quanto Mac. Quantos de seus assinantes têm acesso a todos os três tipos de sistema?

08. Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de determinado produto, apresentou os seguintes resultados: A:48% ; B:45% ; C:50%;A e B:18%; B e C:25% ;A e C:15% ; Nenhuma das três : 5% Qual o percentual dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C?

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