ESTRUTURAS DISCRETAS - PROF: Carlos Augusto Ribeiro

EXERCÍCIOS – LISTA I

01. Perguntado sobre quantos alunos havia em sua classe, um professor escreveu: “ 1212 alunos, dos quais 220 são homens e 222 são mulheres” . Inicialmente a resposta nos parece estranha, mas logo compreendemos que o professor não empregou o sistema decimal. Quantos homens e quantas mulheres havia na classe?

02. Determinar a base do sistema no qual (346) 7 se escreve 91.

03. Determine os inteiros positivos que divididos por 8 deixam resto igual ao dobro do quociente.

04. Considere todos os números inteiros n que divididos por 29 deixam resto igual ao quociente. Se 0 < n < 120, quantos valores n pode assumir?

05. Na divisão de dois inteiros positivos o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Achar os dois inteiros, sabendo que a sua soma é 341.

06. Achar os inteiros positivos menores que 150 e que divididos por 39 deixam um resto igual ao quociente.

07. Mostrar que o produto de dois inteiros ímpares é um inteiro ímpar.

08. Na divisão de 392 por 45, determinar:

a) o maior inteiro que se pode somar ao dividendo sem alterar o quociente;

b) o maior inteiro que se pode subtrair do dividendo sem alterar o quociente.

Nos exercícios de 9 a 15, use indução matemática para provar que as proposições dadas são verdadeiras para todo inteiro positivo n.

09. 10. 2 + 6 + 10 + ... + (4n – 2) = 2n2

10. +

11. 2 + 6 + 18 + ... + =

12. 3n - 1 é par

13. é divisível por 3

14. é divisível por 7

15. é divisível por 5

16. Denotando 10 e 11 por a e b, escrever (a3b)12 no sistema de base 7.

17. Escreve-se, à esquerda de um inteiro com dois algarismos, o dobro desse inteiro. Mostrar que o novo inteiro que assim se obtém é divisível por 67.

18.Qual o menor número que se deve somar a 4312 para que resulte um número divisível por 3?

19. Considere um número natural N e multiplique seus algarismos. Repita o processo até que o resultado seja um único algarismo. Chame esse algarismo de "resíduo" do número N.Por exemplo, o "resíduo" de 714 é 6, porque 7.1.4 = 28 2.8 = 16 1.6 = 6a) Qual é o resíduo de 7381?b) Analise cada afirmação a seguir,

classificando-a como verdadeira (V) ou falsa (F):( ) Em um número de dois algarismos cujo algarismo da unidade é 1, o resíduo é o algarismo de sua dezena.( ) O resíduo de um número par é

sempre par.( ) Os resíduos de números formados apenas pelo algarismo 3 são sempre ímpares.

c) Qual é o maior número formado por quatro algarismos diferentes cujo resíduo é ímpar? Justifique sua resposta.

20. Um número natural deixa resto 3, quando dividido por 7, e resto 5, quando dividido por 6. Qual o resto da divisão desse número por 42? Justifique.

21. Dois números positivos, a e b, têm produto igual a 525. Sabendo que a divisão de a por x tem quociente 4 e resto 1 e que a divisão de b por x + 1 tem também quociente 4 e resto 1, calcule o valor de a + b.

22. Um número inteiro positivo de três algarismos termina em 7. Se este último algarismo for colocado antes dos outros dois, o novo número assim formado excede de 21 o dobro do número original. Qual é o número inicial? Justifique sua resposta.

23. Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemática, Física e Química. Sabendo que:- o numero de alunos que cursam

Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam as três disciplinas;

- existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física;- existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática;- o numero de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas e 150;- o numero de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas e 190.Quantos alunos cursam as três disciplinas?

24. Um trem viajava com 242 passageiros, dos quais:- 96 eram brasileiros,- 64 eram homens,- 47 eram fumantes,- 51 eram homens brasileiros,- 25 eram homens fumantes,

- 36 eram brasileiros fumantes,- 20 eram homens brasileiros fumantes.Calcule:a) o número de mulheres brasileiras não fumantes;b) o número de homens fumantes não brasileiros;c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes. 25. Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 150 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos B ou C. Sabendo que 95 dessas pessoas não usam o produto C e 25 não usam o produto B, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos B e C?

26. Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que frequentam, pelo menos, uma das três livrarias, A, B e C. Foram obtidos os seguintes dados:- das 90 pessoas que frequentam a Livraria A, 28 não frequentam as demais;- das 84 pessoas que frequentam a Livraria B, 26 não frequentam as demais;- das 86 pessoas que frequentam a Livraria C, 24 não frequentam as demais;- oito pessoas frequentam as três livrarias.

a) Determine o número de pessoas que frequentam apenas uma das livrarias.b) Determine o número de pessoas que frequentam, pelo menos, duas livrarias.c) Determine o número total de pessoas ouvidas nessa pesquisa.

27. Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis.

Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação?

28. Se , mostre que x é inteiro e negativo.

29. Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas. a) -2,0313131.... b) 1,2494949...

30. Um motorista, em velocidade constante por uma estrada, passa num determinado instante por um marco, onde há dois algarismos. Uma hora mais tarde, ele passa por outro marco, onde há os dois mesmos algarismos do primeiro marco, porém em ordem inversa. Uma hora mais tarde, passa por um terceiro marco, onde há os dois algarismos do primeiro, na mesma ordem, separados por um zero. Calcule a distância percorrida entre o 1º e 0 3º marco.

31. Em uma divisão de números naturais, o divisor excede de 5 o quociente que, por sua vez, excede o resto também em 5. Sabendo-se que o dividendo é 1075, determine o divisor.

32. Qual o menor número que se deve somar a 4312 para que resulte um número divisível por 3?

33. Qual o valor de x para que 50x2x seja divisível simultaneamente por 2, 3 e 11 ?

34. Dado o número 57a3b, substituir a e b por algarismos que tornem esse número divisível por 5 e 9 ao mesmo tempo.

35. Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, prove as “ leis de De Morgan” :

a) b)

GABARITO:

01. 26 mulheres e 24 homens 02. 20

03. 10, 20 e 30 04. 3 05. 322 e 19

06. 40, 80 e 120 08. a) 12 b) 32 16. (4223)7 18. 2

19. a) 6 b) V - V - F c) 9751. 20. 17 21. 46 22. 357 23. 22

24. a) 29 b) 5 c) 127 25. 30

26. a) 78 pessoas b) 87 pessoas c) 165 pessoas

27. 23 28. -2

29. a) -2011/990 b) 1237/990

30. 90 km 31. 35 32. 2 33. x = 4

34. a = 3 e b = 0 ou a = 7 e b = 5