exercÍcios de estÁtica das estruturas souza, joão carlos
TRANSCRIPT
ILA
EXERCÍCIOS DE ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS
Souza, João Carlos Antunes de Oliveira e
UNIVERSI DADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
ESTÁTIC A EXERCÍCIOS Dt
DA S ES TRUTURAS
ENG.0 JOÃO CARLOS ANTUNES DE O. E SOUZA
ENG.• HELENA M. C. CARMO ANTUNES
SÃO CARLOS
OUTUBR O DE 1971
0-01
INTROD UÇÃO
Esta publicação tem a finalidade de apresentar uma sêrie de pr~
blemas resolvidos relativos ao assunto tratado du rante o semestre
ohrígatõrio da disciplina "Estática das Estruturas" na Escola de
Engenharia de são Carlos.
Sao apresentados problemas relativos aó cálculo de deslocamen
tos e~ e s t ruturas isoscâticas, ao cálculo de estruturas hiperestã
ticas , e ao traçado de linhas de influência de esforços em estrutu
ras isostâticas.
Na pa r te relativa ao cálculo de estruturas hiperestáticas foram
resolvidos alguns dos tipos de estruturas l ine ares mais frequentes
pe los processos dos esforços,' dos deslocamentos e pelo processo de
Cross.
As Últimas páginas da publicação são constituÍdas por tabelas u
tilizadas na solução dos ~ . exerc1.c1.os.
f N D I C E
EXERCÍCIO 1 - Deslocamentos em Estruturas Isostiticas -
Treliça Isostitica
EXERCiCIO 2 - Deslocamentos em Estruturas Isostiticas -
• P6rtico Triarticulado
EXERCÍCIO 3 - Processo dos Esforços -' Treliça Hiperestíitica
EXERCÍCIO 4 - Processo dos Esforços - Viga Contrnua
EXERCÍCIO 5 - Processo dos Esforços - PÓrtico Hiperestíitico
EXERCÍCIO 6 - Processo dos Esforços .- Grêlha
EXERCÍCIO 7 - Processo dos Esforços - Viga Balcão
EXERCl'CIO 8 - Processo dos Esforços - Viga Atirantada
EXERCl'CIO 9 - Arco Atirantado - Propriedades Geomitricas
Dadas em Diversas Seç~es
EXERCÍCIO 10 - Arco Atirantado - Jcosa • Constante, Eixo Para
b6lico
EXERCÍCIO 11 - Arco Atirantado - Eixo Circular e J • Constante
EXERCICIO 12 - Arco Atirantado - Formado por Trechos Retos
EXERCÍCIO 13 - Arco Biengastado - Propriedades Geomitricas
Dadas em Diversas Seç~es
EXERCÍCIO 14 - Arco Bicngastado - Jcosa • Constante, Eixo Par_u
bôl.ico
EXERCÍCIO 15 - Arco Biengastado - Eixo Circular e J • Constant•
EXERCíCIO 16 - Arco. llTengasfadO ·- l!'Oi·tiúidó poi'fi'eclfiiS RetOs
EXERCÍCIO 17 - Hêtodo de Cross ·- Viga Contínua
EXERC{CIO 18 - Hêtodo de Cross - PÓrtico Indeslocâvel
EXERCÍCIO 19 - Hêtodo de Cross - PÔrtíco Deslocâve1
EXERCÍCIO· 20 - Hêtodo de Cross - Viga Vierendel1
llXERCÍCIO 21 - Hétodo de Cross - l'Ôrtico Des1ocâve1
llXIlRCÍCIO 22 - Hétodo de Cross - PÓrtico com Grau de Dealocabi
lidada Negativo
EXERClCIO 23 - Processo dos Deslocamentos - Treliça Hiperestitica
EX!!HCÍCIO 24 - Processo dos Deslocamentos - Viga Continua
0-03
EXERCfCIO 25 - Processo dos Deslocamentos - PÓrtico Hiperestâ
tico
EXERCfCIO 26 - Processo dos Deslocamentos - Grilha
EXERCfCIO 27 - Linhas de Influincia de Estruturas Isostâticas -
Viga Gerber
EXERCÍCIO 28 - Linhas de Influincia de Estruturas Isostâticas -
Treliça
EXERCfCIO 29 - Linhas de Influincia de Estruturas Isostâticas -
Arco Triarticulado
EXERCfCIO 30 - Linhas de Influin6ia de Estruturas Isostâticas -
PÓrtico Triarticulado,
0-04
REFER~NCIAS BIBLIOGRÁFICAS
,,
1 - M.C·. STAMATO- "Deslocamentos em Estruturas Lineares"- EESC-,, a ' -USP - 1970 - 1. ed1çao
2 -F. SCIIIEL- "Introdução ã Resistência dos Materiais"- 3 fas-.,. a • ..... c1culos - EESC-USP- 1969- 1, ed1çao
3- M.C. STAMATO- "Introdução ao Processo de Cross"- EESC-USP-a , -1971 - 3, ed1çao.
1-01
e as do banzo inferior têm secção terial. As barras verticais
versal com área de 10 cm 2 ~ 2 e as restantes, area de 5 em ,
4,00 m j. 4,00 m
l,ara o carregamento da figura calcular:
E = 2100 t/cm2
a = 10- 59C-I
a) O deslocamento vertical (flecha) do nô 6, para baixo
-h) -0 des-lo-c-amen-to re-1-a-ti-vü---en·tre------us--nô·-s-- --3---e·-----s-------no -t.--eh-tid·o -d-e a·p-r.~
ximar os dois nós
c) O giro da barra 2-3 no sentido horário
d) O giro relativo entre as barras 1-2 e 2-3 no sentido de se
ter convex~dade para baixo
Calcular tnml>~m o deslocamento vertical do no 6, para baixo,dcv!
do a:
e) Acriscimo de temperatura de A8 • 309C nas barras do banzo su
perior
f) Um defeito de fabricação supondo que a barra 4-5 tenha sido
construfda com 4,05 nt e a barra 3-·6 com 3,02 m
2 - Problema(o) -Estado de deslocamentos correspondente ao car
reganlcn_t_O_ ---da(fo
-2-1 - Cargas na estrutura e numeraçao dos campos
c
4 401
401
d
b
• 10 I
9
h
l-U~
2-2 - Plano Cremona
13 33
d o ~
In e
o ~
byf to u c 40,0 L 1 1
2-3 - Esforços N • ( t) 01
13 33 o 3
o
-13 33 4 6
3 - Problema (1) - Esforços no estado de carragnmento convani~~
te para cálculo de deslocamento vertical do nõ 6
3-1- Cargas na estrutura e numaraçao dos.campos c lo.
..;: 2,66 11
d
":1S2:CSJ ~ Q !1
3-2 - Plano Cremona
3-3 - Esforços Nli
I
o o
-266 4
3-4 - Deslocamento do ftem(a)
Pelo PTV: . N . !. "' Ol. l. l.ôv6 • L: Nli' --- • i Ei 8 i
R. ___;C::....__,, 2
E S [ c c
.t. E S l. c.cN N
----·----·~· J •••
.e, E. S. Ol ll c .l l
Da t1bela 1, coluna 18
ôv6 • 0,019•380,95 • 7,23 em
/
1-03
4 - Problema(2) - Estado de carregamento conveniente para cilcu
lo do deslocamento relativo entre os n~s 3 e 5
4-1 - Cargas na estrutura e numeraçao dos campos
a/t
CS:I><J a /, b
4-2 - Plano Cremona~
b~----------~~
J Q80 r 4-3 - Esforços N2 i
o
o o o IJ)
o I
o ~0.80 4 5 6
4-4 - Deslocamento do Item (b)
Pelo PTV:
l.Ô • N , ,e •
= ~N .. ,_. ___ o1 1
·Lc 21 E. S. i 1 1
Da tabela 1, coluna 19
ô = 0,019•65,75 = 1,25 em 3-s
R.. E S 1 c c ----·----·----·N .. N. .................... -·-··· ...... ··01 21
f_ E. S. c 1 l
5 - Problema (3) - Estado de carregamento conveniente para cil-
culo do gir~ horirio da barra 2-3
5-l -Carga (unidades: te em) e numeraçio dos campos
d lo.oo25 c 1 1
0,00331 3 .,.
b e Í+)
0,0033,. 4 5 6
a
S-2 - Plano Cremona
1 1 5-J - Esforços N3i
o
o
I()
"' o o o I
1-04
3
4 6 5-4 - Deslocamento do ftem(c)
Pelo PTV:
2: N , .t.
= N .- 01 1 3i
E. S. 1 1 i
!In tabelri 1, coluna 20:
.e = --;--~· ~
c c 1
~ 2 _ 3 = 0,019·0,459 = 0,00875 rd
.t, E S --~·---c __ , ___ c_~•N •N
.e E. S. oi 3i c l 1
6 - Problema (4) - Estado de carregamento conveniente para câlcu
lo do giro relativo entre as barras 1-2 e 2-3
6-1 -Cargas (unidades: te em) e numcraçao dos campos
d f
a
~-2 - Plano Cremona
+-.- 000 3 li<:::--·-----Jb'----1'-
CSQ
6-3 - Esforços N4 i
-0,0033
o
o
I()
"' o o o
1-05
6··4 - Deslocamento do ftem(d)
Pelo PTV: N ' ~. 1 • t/> Q " N , • ~--_1 __
I - 2 I 2 - 3 L 4l , E. S, 1 1 1
Da tabela 1, coluna 21:
~ c = --·-·---·
E S c c
t/> I = 0,019·0,061 = 0,00115 rd 1-2 2-3
~
7 - Problema (5) - Estado de deslocamentos correspondente a varia
ção de temperatura definida no ftem(e)
7-1 - Acriscimo de comprimento nas barras (em)
M = 1\l = ~ •et·liO = -5 400.10 ,30 = 0,12 em
I 2 2 3 I 2
7-2 - Deslocamento do ftem(e)
Pelo PTV:
1 • 8 se = LN1i·M5i i
Da tabela 1, coluna 22:
.15 60 = 0,16 em
8 - Problema (6) - Estado de deslocamento correspondente ao defei
to de fabricação definido no ltem(f)
8-1 - Acr~sci1nos nos comprimentos das barras (em)
Al • 41l5 - 400 • 5 em I ,,
R-2 - Deslocamento do ltem(f)
Pelo PTV:
1 ' 0 6d =2.Nli•M6i i
Da tabela 1, coluna 23:
"r,d = ·· 13,33 em
A~ = 302 - 300 = 2 em 3 6
TABELA l ---
' 1 2 3 4 5 6 7 8 '
I '
" u ... -... : ~ I "" "-< "" "' "" -- -- -- @ N . N1i "' ...... u '-' o~
~ "-< I :::.:: "' ! i .ô .
I I í 13,331 I "- 1.2 1 l 2 2 1,33
"' i "' í
I lo I . '
-" 2. 3 l I 1 2 I 2 o
. í
I ""' 4.5 l I 1 1 i l -40,00 -2,66 ::: I I ..... . 5.6 l 1 - I l i l -13)33 -1,33 I -" I I
I '
I I 1.4 0,75 1 1 ! 0,75 o o i .
'"' '
I ' ::: 2.5 0,75 1 1 ' o , i 5 -20,00 -1,00
o I E
3. 6 I i
0,75 1 1 1 0,75 -10,00 o ~ '
. '
i 33,331 CC 1.5 1,25 1 2 2,50 1,66
" .... -::l 2. 6 1, 25 1 2 I 2,50 16,66 1,66
2 ~----- -- --· ---
9 I
10 I
11
N2i N3i N4. ·~
o 0,00331-0,0033
-0,8 o o
o 1-0,00331 o
-0,8 -0,0033 0,0033
o o o
-0,6 o -0,0025
-0,61-0,0025 0,0025
o o 0,0042
1,0 0,0042 -0,0042
12
..... "' "-<
<
0,12
0,12 I o I o I o
o I
o I
o I
o
13
. .... "' "-<
<
o
o
5
o
o
o
2
o
o
I l
I
I
I -o
""
TABELA 1
' 1 2 14 15 I 16 17
I .,..; -~ I . ., . ..,
"' ..-< N I M _,. ... :z: :z: :z: z ... . . . . "' .,.; ... .., .... .c o o~ o~ o
z :z:' z :z:
"'-I !
1.2 17,65 1 o I 0,044 1
-0,044 " I .
2.3 o I ci I o I o .c I
' I
106,00 1 ' I .
4.5 o 1 o,133 o """' I c I ! . ..,
16,651 o ,044 . 5.6 17,65 i -0,044 ~ I
I I i
1.4 o c I o I o .
I 1~,00 r o ...
20, o o 1
1 c 2.5 ' 0,050 I o I 5
I ~,,oojo,025 ' 3.6 o 1-0,025
. I I I ""
1.5 55,40 I o I o 0,140
" ; ....
21, 6o I ' "O 2.6 lEi,66 i 0,070 -0,070
' , I
~ -------
400 .e. c = em 2
= .:. = 2100 t/cm -c 2 s = 10 em
::
(continuação)
18 :~ 9 20 21
~ © ..-< ® ê . . . .
@ @ @ @
I '
1-0,088 35,30 I o 0,088 I '
o I o o o
I 'o 0,133 1 106,00 o '
17,65 I fo ,65 I 0,044 -0,044
o I o o I o
15,00 ' 9, 00 o 0,037
o ' 4 50 ' , 0,019 -0,019
138,00 ' o I o 0,350
69,00 ~ 1. 60 1 0,175 -0,175
380,95 I
65.7 5 1 I 0,459 o,o6r
.e. 400 crr:./t
c = 0,019 = !:. s 2100·10
c c
22
© . @
0,16
o
o
o
o
o
o
o
o
0,16
I 23
(;) .
I @
o
o
1-13,33
I o I I
I o
'
I o
I o
I o
o
1-13,33
.... I
o .....
,,
2-01
!·~!'_!'~RCÍ _ _g_r_o__2_- Deslocamento em Estruturas Tnostiiticas
1 -Enunciado e dados
A estrutura isostitica da figura i executada em aço:
AOO m
J = 40 000 em~ I
J = 20 000 em~ 2
J = 60 000 em~ 3
J = 60 000 em'' ~
E = 2 100 tI em 2
Calcular:
a) O deslocamento vertical, para baixo, do ponto C
b) O giro relativo, no sentido de produzir convexidade e• baixo,
entre as extremidades das duas barras que concorrem na articulaçio C
c) O giro horiirio do nó B
2 - Prohlema(o) - Estado de deslocamento correspondente ao carre
gamento dado
?.-1 - Cargas na est::rttturn
P' f,O 1/m
LLu:fu_u
~
t 6,63
~
f f,37
2-02
2-2 - Momentos f1etorcs M (tm) o
3 - Comprimentos fict[cios l'
l' =
J = c
E = c
E J ___ <:_ __ ~_ ·l
E J
120 000 cm 4
2 100 t/cm 2
e o o !(l
1600m
E
8 o ~
4 - Prob1ema(l) - Estado de carregamento conveniente para cil
culo do deslocamento vertical do n6 C
4-1 - Cargas na estrutura
0,8 -4-2 - Momentos fletores M (m)
I
0,8 -t 0,5
2-03
5 - Problema(2) - Estado de carregamento conveniente para c;lcu
lo do giro relativo em C,
5-l - Cargas na estrutura
0,2 -5-2 - Momentos fletores M
2
6 - Problema(3) - Estado de carreaamento conveniente para cilcu
lo do airo hor~rio do n6 8,
6~1 - Caraas na estrutura
--1 O,t
0,0625
õ,1l 0,0625
6-2 - Momentos fletores M 3
0,5
- 0,5
7 - c;lculo dos deslocamentos
7-1 - Express~o geral para o problema:
ô i j = ll! i -~t;~ = -E~---1 -~~-~-1:'--Mi. M j d s = _Jf!_J-1 ~~i M j d s I
ti , , ., ~ 8
tJ .t 1~1 H d 8 1 p: r: t: ~~a o n t r o c h os k c: n: i d :; : d os , lJ ~ lk jk .
k o
?.-04
sendo essas integrais de produtos de funç~es calculadas com a tabe
la Al do anexo.
7-2 - Des1ocamerito vertical do ponto C·
E J 'ô ~L '-Nok Nlkds' f·" k
C C I O
k o 1 1 E J ô = 15,0.---.4,0·10,95 +
3 48,0·---·4,0-10,95 + 16,0•
3 C C I O
1 1 1 ·.--.4,0·20,95 - 16,0.---.4,0.8,0 + 10,0.--.4,0·
. 3 3 3
·20,95 = 1474
1474 1474 ó =
·-4 2100·12(lp(J0.10
- = = 0,0585 m I O 25200
7-3 - Giro relativo em C
f' E J 8 =L L ;~ok H2kds I c c 20
k o 1 1 E J o = 15,0·---·1,0·10,95
3 + 48,0·---·1,0·10,95 + 16,0•
2
ô
E
E
c c 20
2 o
c
c
1 2 1 . ---- ol • o . 2 o • 9 5 - 1 6 • o -----ol • o • 8 • o + 1 o • o • ---. 2 o ' 9 5 •
2 3 3
469,5 = ---- = O ,01862 rd
25200
Giro horârip do nó B f I .
3 c ô30 =L f~i;ok H3kd 81
k o 1
J ô = 15,0.---·0,5·10,95 c 3 o 3
1
•1,0 a 469,5
1 -. 48,0···-·0,5·10,95 +
3 1 1
16 • o.
·---.o,s.zo,95- 16,0·---·0,s.s,o + lO,ú·---·0,5· 3 3 3
.20,95 = 9,3
9 • 3 ô = = 0,000369 rd
30 25200
I I
I )
3 .. o l
EXERCÍCIO 3 - Processo dos c~nforços
1 - Enunciado e dados
Determinar os esforços na treliça dn figura, submetida ao carr~
gamento dado. As barras dcsenhadan em traço duplo tom irca do so
çio transversal igual a 30 cm2
c ns demais 5 cm 2 • T~das as l1arras
sao do mesmo material
1 o. 20t
~"f==~~
.. 2 .1 mm rHm JTITI/
+-. ,.5.0"'Q_m __ ~,."OO'L!!m'---I--'5,QQ_n~~~5,0.Qm ___ J-.
2 ~ Verificaç~o do grau de indetorminaç~o geomitrica e estitica
n<? de haYfas: h " 20
n<? do nos: n ~ 9
• • • . b > 2n h e:: 2n + r ; r ~ 2
A estrutura tem erau de hipercstaticidode 2,
3 - Esque~a de soluçio
Retirando tantos v{nculon qt1antos necessirios para transformar
a estrutura dada numa estrutura isost~tica e substitttirido-on pelos
esforços inc6gnitos c~rrespondentes (escolher ;sses esforços cuida
dosamentc no J;>Cntido de se oht:er uma e~trutura hllsicn t:.Jo simples .. ) qunnto ponr;tvcl temoc:
( r )
111
p di O r r d20 o
~~t~ .. ~~- --=-~r -·
(o )
7?717
+
Ói2
+ Xl •
+ X2
•
~-uz
(r) = (o) + Xl· (1) + X2(2)
Ó2
~ - Equa~es~e compatibilidade de deslocamentos
o =o + Xl•o + X2•Ô =O 1 r I O 1 I I 2
Ózr ~ ó20
+ Xl·ô21
+ X2·o22
=O
( 1 )
( 2 )
5 - Problema(o) - Estado de deslocamentos correspondentes as
cargas externas,
'j - I Cargas npli.cndas -P nurue:caçao dos cttmpon
20
b b d
10 10
5-2 - Plano Cremona
b --. - . b---b -·· --
o o
d- c ---- -
"
5-3 - Esforços N • 01
3-03
6 - Problema (1) - Estado de deslocamento (ou de carregamento)
correspondente a um esf~rço unitirio aplicado na direçio da inc~gn!
ta Xl.
6-1 - Cargas aplicadas e numeraçao dos campos
l\~ a ~···-r~~ ~;f . a I
.0,868 O,S68 o, 434 0,434
6-2 - Plano Cremona
t 0.5 t 0,5
t c
6-3 - Esforços Nli
7 - Probl~ma (2) - Estado de deslocamento (ou de carregamento)
correspondente a um esf~rço unitário aplicado na direçio da inc~r,n!
ta X2. Por simetria em relação ao problema (1) temos:
7-1 - Esforços N2 i
8 - cálculo dos deslocamentos
8-1 - Rxpressio geral para o problema
Sendo j correspondente ao estado do carregamento com esf~rço uni
târio aplicado na direção da incÓgnita Xj, e k correspondente ao
problema (k),
j = 1 '2
k = 0,1,2
temos, pelo PTV:
c
E S c c
.e, S E 1 c c ----•----•----•N .. •N .
.e_ S, E. J1 k1 c 1 1 i
8-2- Val~res numéricos dos deslocamentos.
na tabela 3, colunas 14, 15, 16, 17 temos, respectivamente:
9 -
E S c c ô =-24,55
I O .e c
E S c c
.e c
E S
ô
__ .<:_ __ c_ o .e
c
E s c c li -~----~-
.e c
Solução
= - 28,87 2 o
E S c c
I I .e c
R s c c
= ------I 2 .e
c
do sistema de
o 2 2
= - 0,62
o 7 '7 9 = 2 I
equaçoen
Multiplicando tôdas as equaç~cs do
tulndo os valÔres do ftem 8-2 temos:
rtem ,, por
7,79.Xl - 0,62.X2 = 24,55
-0,62.Xl + 7,79.X2 a 28,87
cuja solução ê: X1 = 3,1,7 t
X2 = 3,98 t
10- Superposição de efeitos:
Nri • Noi + Xl.N1i + X2.N2i
347
116
398
379
E S c c ---:r- e substi-
c
( t )
1 1 2 3 I
.t. c " l. c. "' r .... ,_ .u "' c
-"'
. 4 -5 1 c.
" " s -st 1 . .::;; 5'-4t 1
1 -2 1 . ""' 2 -3 1 :: .... 3 -2' 1
.::;; 2' -1' 1
:!. -4 1
4 -2 1
2 -5 1 "'' .... 5 -3 1 "' " c 3 -5' 1 e:: "' : 5 '-2' 1 .... -o
2'-4' 1
.k'-1' ' "
E
TABELA 3
4 5 6 7 i
8 I '.9 lO ll 12 13 I I '
s E e i Nl. I N2.
(2) ® ® @ c c e N . . . . .
s . E. OJ. 1 I ·. l. e e @) @) l. l. 8 I
I I
1 1 1 1 o 1,00 o o o o 1, 00
1 1 I 1 - 5,78 0,50 ol,5o -2 ,89 - 2,89 o ,250 f o ,25
1 1 1 1 o o 1, 00 o o o I o !
1 1 3 2,89\-o,5o I
lo, 25 3 . o -1,45 o o
3 1 I 3 5,78J-0,75 -o·, 25 -4,33 - 1,45 0,188J0,56
3 1 3 5,78 0,25 o,,75l 1,45 - 4,33 0,188 0,06
3 1 1 3 5, 7 sj o -o '.,5o o - 2,89 o o I
1 1 1 1 - 5,78' 1,00 o -5,781 o o 1,00
1 1 l- 5,78 i-1,00 'O 5,78 o o 1,00
1 1 1 -11,56 -o,5o i o;5o 5 '7 8 - 5,78 -0,250 0,25
3 1 3 o I o,5o -o '•· 50 o o -0,250 0,25
3 1 3 o 1-o ,5o o;5o o o ;-O ,250 0,25
1 l 1 -11,56 0,50 -0,50 -5,7 8 5,78 -0,250 0,25
1 1 1 1 1 -1;oo -11,56 o o 11,56 o o I
1 1 1 1 1 -11,561 o 1 ; o o o -11,56 o o
'
2 f· = 500 em -c s = 30
c c~
14 15 I 16 17
~ ª ~ Ç) . . .
@ @ @ @
•
·, o o o 1,00
- 2,89 - 2, 89 0,250 0,25
o o o o .
- 4,33 o o 0,75
-13·, 00 - 4,33 0,565 1,60
4,, 33 -13,00 0,565 0,19
o - 8,65 o o I
- 5,78 o o 1,00
5,, 7 8 o o 1,00
5';, 7 8 - 5,78 -0,250 0,25 , _____
.o o -0,750 0,75
', o o -0,750 0,75
-5',78! ·- I
5,78 -0,250 o, 25
I . o 11,56 o o I
•, o -11,56 o I o
-24,551-28,37j-o,62 \7,79
= = constante
18 l ·-< ~
z . ~
X
3,47
1,73
o
1-1,73
1-2,60
1-0,86
o
3,47
1-3,47
1-1,73
1,73
1-1,73
1,73
o
o
19
·-< N
z . "' X
o
1,99
3,98
o -1,00
2,99
-1,99
o o
1,99
-1,99
1,99
-1,99
-3,98
3,98
20
N . rl.
3,47 -·--
- 2,06
3, 98
1,16
2,18
1,93
3,79
- 2,31
- 9,25
-11,30
- 0,26
0,26
-11,82
-15,54
- 7,58
w I
o
"'
q~u J.
EXERC!CIO 4 - Processo dos esforços
1 - Enunciado. e dados
Na viga continua da figura, constru[da com tr;s trechos de per
fil metálico 118 11 x 6 11 x 0,629, cada um com 10 metros de comprime!!_
to, ligados por cobrejuntas, calculnr:
a) O efeito de falta de ajuste, supondo que a cohrejunta A te
nha sido constru[da com o seguinte defeito:
<l>
"
E1 E2
El,E2 - alinhamento previsto para os
rebites
b) O efeito de uma variaçio de temperatura tal que faça com que
o banzo superior esteja com ót = 209C a mais de temperatura do que
o banzo inferior.
Características do perfil I 18 11 x 6" x 0,629
h ~ L, 57 , 2 mm
J ~ 36 500 cm 4
W = 1 600 cm 3
Características do aço
E = 2100 t/cm 2
2 - Esquema de soluçio
( r l
(o l
I I
( 1 l
111
+ XI
Ól'-. ---- -·
+ X2
4-02
(r) = (o) + Xl• (1) + X2· (2)
3 - Equaç~es de compatibilidade de deslocamentos
olr =alo + Xl·oll + X2·ol2
o 2 • o + Xl•o + X2•Ô r. 2 o 2 1 2 2
4 - Esforços nos estados de carregamento (1) e (2) convenientes
para determinar os deslocamentos nas direç~es das inc6gnitas Xl e
X2, respectivamente, quando a êles são impostos os deslocamentos
dos problemas (o), (1) e (2)
4-1 - Problema(l) - Esforços
~~ 4-2 - Problema(2) - Esforços
5 - Problema(r) - Estado de deslocamentos
S-1 - Item(a) - Falta de ajuste'
oa = -~ = -0,01 rd lr
ôa = O 2r
5-2 - Item(b) - Temperatura
ôb = o lr
/ih ~ o 2r
6 Problema(o) - Estado de deslocamentos
6-1 - Item(a) - Falta de ajuste
óa ~ O l o
o8 = o 2 o
6-2 - Item(b) - Temperatura
4 I
A estrutura bisica consiste de três vigas hiapoiadas em suas ex
tremidades, Para se calcular ôb e ôb basta compor convenientemen-1 0 1 2 0
te os giros de extremidade dessas vigas,
6-2-1 - Estado de deslocamentos na viga biapoiada
f+ Â f
~.1--~,....--~:t =+h +-----"e-~--~+
r-Ot Âf ds d s I.
t---""'---~lJ
D<:Af ds d'(' " h
4-03
6-2-2 Estado de carregamento conveniente para calcular o giro
da extremidade A
1
c;------,.A A B
s 'l = 1 -
6-2-3 - Cálculo do giro
Impondo os deslocamentos do Ítem 6-2-1 ao estado de carregarne~
to do ftem 6-2-2 ternos:
ô = f Hd~ = ((1 ·-i-) estr o
al'lt
h
6-2-4 - Deslocamentos segundo as direçÕes de Xl e X2 no probl~
ma(o) -s -10 ·20•10 =-2·o=-2 ----- =
-3 - = -4,36·10 rd
2h 0,4572
- 3 - -2·o - -4,36·10 rd
7 - Prohlema(l) - Estado de deslocamentos
o = I I J H 1 .~:L_d~---EJ estr
1 1 2 ·---~-·10·--·1 ,0 2
EJ 3
6,66 = ---=
7665
RJ = 2100•36500 • 7,665•10 7 tcm 2 • 7665 tm 2
1 1 ô " ---~-· 1 o.--· 1 J o 2 - 0,22•10
2 I EJ 6
8 - Prohlema(2) - Estado de deslocamentos
o - o ·- 3 = 0,22·10 rd I 2 2 I
- 3 o =o = 0,87•10 rd
2 2 I I
9 - Solução do sistema de equaçÕes de compatibilidade:
9-1 - Item(a) - Falta de ajuste
-3 -3 -0,01 =O+ Xl•0,87·10 + X2•0,22•10
- 3 - 3 O= O+ Xl•0,22•10 + X2•0,1l7•10
que tem como solução:
-3 0,87•10 rd
3 rd
4-.04
X1 .. -12,26 tm
X2 • 3,11 tm
9-2 - Item(b) .- .. Temperatura
-3 -3 -3 O • -4,36•10 + X1•0,87•10 + X2•0,22•10
-3 -3 -3 O • -4,36•10 + Xl•0,22•10 + X2•0,87•10
que tem como solução:
Xl • X2 • 4,0 tm
10 - Superposição de efeitos; momentos fletores
10-1 - Item(a) - Falta de ajuste
.. 1~:-~ .................................. 4 ..
,~ 2 '~i
10-2 - Item(b) - Temperatura
5-01
EXERC_Í_CI_O _5 - Processo dos esforços
1 - Enunciado e dados
Determinar os diagramas de momento f1etor para o p6rtico da fi-
gura:
?P' 0,24 t/m
c
E
o v
L '1>0 "'- ___ '!.QQ_m_:=----+
g ~ 2100 t/cm 2
J1
~ 10000 cm 4
J 2 = 15000 cm 4
4 J
3 = 20000 em ,
seny ~ 0,6
cosy = O,ll
2 - Verificação da determinação geométrica e estática
n9 de chapas: c= 1
n9 de barras: b = 5
... b > 3c ; b a 3c + r ; r = 2
A estrutura tem grau de hiperestaticidade 2
3 - gsquema de solução:.
Retirando 2 vínculos para transformar a estrutura dada em uma e~
trutura isost;tica e substituindo pelos esforços correspondentes,
temos:
rP lp Xt X2 rP
~ ~ X2
~ ~ ~
o f\l -;;- "' ,; '<> + - "' - + • + + li <!!. 11 O!l
( ' ) ( r ) ( o)
+ Xt. + X2 ,
( t ) ( 2 )
I
I
I
5-02
(r) = (o) + Xl. (1) + X2, (2)
4 - EquaçÕes de compatibilidade de des1ocame,ntos
ô 1 r = ô10
+ X1.ô11
+ X2.o12
= O
ô 2 r = ô20
+ X1.ô21
+ X2.ô22
=O
5 - Comprimentos fi~tfcios ~
.e• =.e E J
c c
E J
E = constante = 2100 t/cm 2 c
J c 4 = 60000 em
16,0 m
., 6- Esforços (momentos f1etores) nos problemas(o),(l)e(2); tm:
7 - Ci1cu1o dos deslocamentos
7-1 - Expressão geral
ô .. = H. _J ___ = 1 H, ds
1J 1 . estr EJ
1
E .J c c
c c -----H. H, ds 1 E J
E J 1 J stl:
1 = ---
E J c c J!LH.ds'
1 J
es tr
f .e I
ô,, =I ~1.k~l.kds' para todos os trechos k, considerados, 1] k o 1 .1
7-2 - Utilizando a tabela Al do anexo, correspondente ;s inte-
grais de produtos de fUnçÕes temos:
E J ó c c I O
1 = 3 o' o. -1-2'". ( 3. 1 '7 5 + 1 'o) . 1 '9 2 = 30 'o /
E J ô c c 2 o
1 = -30,0·-4-·1,42·1,92 =- 20,5
5-03
E C J C Ô 1 1 = 3 O , O '+' (1 , O 2
+ 1 , 7 52
+ 1 , O • 1 , 7 5) + 16 , O, ··~i-- .1 , O 2 a
= 63,113
E J ô 1 1 = -3o,o·-r··l,42(2-1,7s + l,oo)+ 16,o.-6-.l,O·l,o .. c c 2 1
.. -29,30
E J ô 1 2 1 2 1 2 = 3 o 'o • -y-. 1 ' 4 2 + 16 ' o • 3-··. 1 ' o + 1 fl 'o • --3-·. 1 'o ~ c c 22
= 31,5
E J ô = E J ô pelo Teorema da Reciprocidade CC!2 CC21
8 - Soluçio do sistema de equaç~es
Multiplicando t~das as equaç~es do ftem
substituindo os va1~res do Item (7) temos:
63,43·Xl ·- 29,3·X2 • -30,0
-29,3·X1 + 31,5·X2 • 20,5
cuja soluçio é:
Xl • -0,305
X2 = 0,370
9 - Surerposiçio de efeitos
M =H + Xi·M ~ X2•M r ·• o 1 2
(4) pelo fator E J e c c
Convencionando positivos os momentos que provocam trnç~o no lado
de fora do p6rticot
1\n 11 BA =MBC MC B =H c D
(1) 1. 7 50 1 '000 o 1---·-·-- --·- .. ·--~~,-"
(2) -1,1,?() o 1,000 ",_,,,_,,~··-
(o) 1 '9 2 o o o
Xl.(l) -0,51.1 -·0,.105 o --------X2.(2) -·0,525 o 0,370
(r) 0,862 -0,305 0,370
10 - DiaRrama de momentos fletores (tm)
{
(i .. o 1
~XERCfCIO 6 - Processo do• Esforços
1 - Enunciado e dados
Doterminar o diaBrrtma de rll0111Cl1t:O rletor nn grêlhrt da. figurn. Ad
rnitir CJUC ns vinculnç~cs tarttcJ cxtcrtlllR co1no internas dos clnmentos
retilfncos da estruttira s5 tr:tnsr~itan1 csfarço vertical
f.tOtlit'HtOH de i n(~rei_n dns lougarinas:
.f 1
4 111
r.fotrlont:oH df~ i.nél~eln das tr.ansversiüus
~ Varificnç~o do grft\t cln cletorntinilÇ~o cst~tica da ustrt1tura
ti o n t I' o ti 1111 h I p o t: n • eu f 0 i t· H s p n r n 8 • t: c p r o h 1 e nt n •
t1 iil'fl li UIIIH r·c1~ra para det:e.r
m!nttr n grnu do hJp(1 f'entnt:teidudc; i.nolc·sü as vi.ga~J, ou chapas,
enmJJnnontcn do outrut11rn. C11dn tlttll>
Ntllf1 eltt!_pun,
ft\Ofl on t ílo r
1 , 2 e ,, ,) t~ i\ s
c dois víncu~-
i: r ;1 n s v e t s i 11 as IJ , B, C, 'L't~-
c:nntnn<lo os vfnculon externos nttnl nr,oio como correspondenclo uma
hnrrn a cnda chnpn qtte converge n ~sso npolo, temos:
h ru 15
h > ~ (J h"?.e+lc r m 3
' A tlt:Jtruturn ê tr~u vêzcH hi.porostâti_ca
3 - Esquema de solução
(o )
( 2 )
4 - Comprimentos fictfcios
E J .1'' = .e _<:__5__
E J
E = constante c
J = o,ot~sm'' c
6-02
( r )
+ Xl •
~Om /
( 1 )
LONG. 1
AI 81 C 1 DI EI
t' I
I i I I i l 3~ m
I I
í I I 32m
I I ~
' I i I o
I I I
I I
<Mo l
I
I I . IC3,0 1 r2.0 . rl,o ~ M 1 } 1-, I - . I
1- I I I lr.o i 4,o r2.o I
' ' l \'!2 '
·. :, i
LON;G. 2 LONG. 3 TRAN$_ 8 TRANS. C TRANS. O
A2 B2 ; C2 02 E2 A3 ~3 C3 03 ~3 1?1 fl2 63 C1 C2 C3 01 02 03
I i,~g. '._/ J
8,01 '>-I jlt-i'4,0
' I 11 I ' •
l I
I J~sp
. I
I -+---;--~3.2Lm 4
'
---- -,,2.0 :
1
(2P ::1
i r 1,0 I
(2,0 : r3.0
I I ""
I 30m 3L
1~ I 10m
I 10m
I •r2.5
~ o
I o
'
o r2.5 o I ~ [jjV I
I o o ,2.5 J
~
·.n
I
"' :.::. ,__, o "<
"" o "' c :.::
-:;
" o :::;"
>-'
" 3
"' "' ~
o ~ o - I
::: ~ c. .... ~ -~
"' ~ -~
w ~
,..
6-04
6 - Cilculo de deslocamentos
Utilizando a tabela A2 do anexo
E .J o = 0,306•12,0•3,0•32,0 c c I O
E .J ô = 0,333·12,0•4,0•32,0 c c 2 o E .J o = o' 306.3' o. 12 'o. 32 'o c c 3 o E .J o = 32,0·0,333(2·3,02 + c c I I
+ 0,333·3,0·6,0·32,0 = 51•4
+ 0,306·6,0·4,0•32,0 = 746
+ 0,259•3,0·6,0·32,0 = 501
6,0 2 )+ 30,0·2,5.2,5·0,333 =
= 638,5
E .J o = 32,0•0,306·3,0·4,0.(2,0 + 2·2,0) = 705 c c 2 I
E .J o = 32,0•0,259·3,0·3,0· (2,0 + 2·2,0) = 448 c c 3 I
E J o = E J o = 705 c c I 2 c c 2 I
E J <I = 32,0·0,333· (2·4,0 2 + 8, o2 ) + 30,0·2,5·2,5·0,333 c c 2 2 =
= 1085,5
E .J ô = E J o = 705 c c 3 2 c c I 2
E .J o = E J o = ,,,, 8 c c I 3 c c 3 I
E J õ = E J ô = 705 c c 2 3 c c 3 2
E J o = E J o = 638,5 c c 3 3 c c I I
7 - EquaçÕes de compatihi lidade de deslocamento
0 lr ô + xl·o + X2·o + X3 •Ô = I O I I I 2 1 3
02r
,, + X 1 • ô + X2·Ô + X3 • o = 2 o 2 I 2 2 2 3
I' 3 r :;;;: " + Xl· Õ + X2·o + X3·Õ =
3 o 3 I 3 2 3 3
8- Soluçao do sistema de equaçÕes:
Multiplicando as equaçÕes do ftem (7) por
os vAI~res do ftem (fi) temos o sistema:
638,S·Xl + 705,0·X2 + 448,0·X3 = -544
705,0·Xl +l085,5·X2 + 705,0·X3 = -746
44R,O·Xl + 705,0·X2 + 63R,S·X3 -501
cuja solução e
Xl = -0,324
x2 = -n,t,o9
X3 = -0,105
o
o
o
E J c c
e substituindo
~{
LONG. I
AI 6 I CI DI El I
I '
I I I
I I i I I
I I
I
I Mo o
I
i ,0,972 -E.:_648 f:.324 :dflt' j J. I 1! XI. M1
I I
(2M2 ~~ ,
1
1~,818 \ ll 1636 r•o,S18
C3 M3 ~ i . 1 I ~
i1o105 1'loo1o il0315 I • r;. ! I
1,
V. r
( 1,695 (2,494 l1,457
A2 LONG.3 TRANS. 8 LONG.1 2
62 02 E2 A3 !l3 C3 03 E3 1 82 E
o
I~-, l_(::,s48 ~- .! lil, 1,2°9"6 i i!, 944! I 1'>, :I I
I ,0,630i
'
o
i . I i
I I I I I~ ..-r1'f' ::;r-,.,. i
1'0,972
10,648 1(0,3241
I I i I I ·i
,.,, I '·"' I',. j o
, __ o_
'(0,105 j1..0,21 o lla315
i (10,1051 (13,506[,6,54~1!
I li ~-
) I I i ! IJ I
0,810
I
,0,81 o i \'h.._.
3
TRAN S. C
c1 c> -
o
o
I I~ I
i l1,022
I I i o
C3
'
I
I~!
TRANS. O
p1 02 o
I o
I I
i i o I
i I
I . ' ' I
~~~· I ]0,262: I I . I I, I .
I_ I i I I
i~l
"' 3 ;o:
'"' "' = 11 ~
" - "' o -;;: o
+ (/) ..... X ""' ~ "' . o ~
o.
" + (!)
X .., N " . ..... ~ "'
"' o "' +
X w r. . :::.""
w
7-01
_F0ERCÍCIO ~ - Processo dos Esforços
1 - Enunciado c dados
Dete"rminar o diagrama de momento fletor e momento torçor para o
carregamento da figura.
seçdo transversal constante
1P,21
~A----------38~~
h
/__3P9J!l_ /
E= 210 t/cm 2 (m6dulo de elasticidade)
V = 0,10 (coeficiente de Poisson)
2 - Caracteristicas da seç~o
2-1 - M6dulo de elasticidade transversal
E 210 = ------------- = 95 > 5 t/CP!
2
2(1 +v) 2(1 + 0,1)
2-2 - Homento de inércia do -seçao
b h 3 22.50 3
J = ---- = ------- = 230000 cm 4
12 12
2-3 - Homento de Inércia contra a torçao
(v. r<'f.2 -· pr, 230)
n = = 0,44 j = 0,239 h
J = jb 3 h • 0,239·22 3 ·50 • 127 000 em' t
3 - Esquema de soluç~o
b' 22cm
h= 50crn
l~ctirando tantos vfnculos quantos forem necessirios para trans
formar a estrutura numa estrt1tura isostitica (no caso, seccionando
a estrutura imediatamente i direito de B) e substituindo pelos es
forços correspondentes (no caso seriam 6 êsscs esforços, mas devi
elo ao fato da estrutura ser plana, com carregamentos pcrpcndicula
rr''i ~ ~~~;c nlnno, 1 cl~sscs esforços s~o nulos) tem-se:
( r )
4 -
5 -5-l
7··0?.
. . :t·
=:!
~p + XI•
~ I
t)(;l.
%1-~··1, (o) ( I ) ( 2 ) ( 3 )
(r) = (o) + Xl•(l) + X2 • ( 2) + X3 • (3)
EquaçÕes de compatibilidade de deslocamentos
ôlr = ô + Xl • ô + X2·ô + X3·ô = o I O I I I 2 I 3
0 2r = ô + Xl·Ô + x2.o + X3·ô = o 2 o 2 I 2 2 2 3
0 3r = ô + X 1· Ô + X2·ô + x3.ô = o 3 o 3 I 3 2 3 3
Esforços nos problemas (o) ' (1)' (2) e (3)
- Convenção:
Hornento fletor (Hf) ·é positivo se provocá ttáÇiiO en\ baixo
Momento torçor (Mt) ;; positivo quando o vetor que o represen
ta penetra a seçao considerada.
5-?. - Momentos (tm)
(o)
( I )
Mt
( 2)
( 3)
A B B o c c ~--------~ ~------~~
-~S,O :l,QOm r~ -r---~4.()0m r -r--·· 3fXJrn... t lilllBTDJJn~ Q ·~~..,:' ._1l I ··--·-·-··0_, .... ----
o
I 1,0 I itrrm 1 FJIIIIIIIIID
I . rtríJRn Dnnn~
o
I o I _I ___ y_ ___ .l .................
Erii:l,O ~1 111 li I I I!LI[]][LlJIIID
lm·~ 111111 :~ ITIIIWillU
I o I
fll]l I~
o
~ 1111111 IlfllTfiliüJJ]
I jQ I ""'"'=UI.ITiflTI]jíú
4,<)-l
ITTIJifnilHI1TITl1~i
6 - C~lculo dos deslocamentos
6~1 - Expressio geral
7 . () 3
O deslocamento ô,,, na direção da incÓgnita X., no problema j 1 J 1
node ser co1culado, utilizando o P.T.V. (v.ref.l) como se segue:
1 H f. '] <~ •• = f! f. ·-·c·---· ds +
1 J . 1 ' estr h J f Nt.
11 • • -- -~1-- d s + t1 GJ
estr t
+
f cQ. o . - J . . i .
cs es fr
L:~··-:~-- ds
ds +·
Como nno temos esforços normais nessa estrutura e como os des
locamentos devidos aos esforços cortantes sio desprezfvcis:
ô .. = lJ f 1-1 • • H f-i
ft E J estr
ds +
Como E, J, G e Jt sao constantes nesse problema, podemos ter:
ô .• ::: lJ
onde:
k =
1
F. J
E J
G J t
210,0•230000 = -------------·
95,5.127000
6-2 - Valôres dos deslocamentos
Recorrendo ~ tabela Al do anexo:
f 1·1 • 1-1 • d" ] t 1 tJ
estr
E J Ô = - .}2--- • 6 , O • 1 , O • 3 , O + 0 = -9 , 0
I O
r:Jo = o + o = o 2 o
r:Jo 3 o
= 'l () .. 1._,6 0.3 o+ o = 18,0 " ' - 3 ' '
EJô I I
EJ0.' 2 I
= o + o = o
E.Jó 3 I
= -2···}-·3,0.1,0.3,0 +o= -9,0
lU<~ = E.TI\ I 2 2 I
E.JI\ = lo,0-1,0 2 + lo,0(2·l,0 2 .3,0)= 28,0 2 2
EJ<\32
= ~ •• t,,o.4,o + t,,o(3,0·4,0·1,o)= S6,o
r:.J<I = EJii I 3 3 I
EJó = llJ<~ 2 3 3 2
E J li 2 • 3 , O • - 13-- • 3 , O 2 + 4 , O • - ·}· • l, , O 2 + l, , O (3 , O • l, , O 2
) = 2 3 1 , 3 3 3
,,
7 - Soluç~o do sistema de eqoooçoes de compatibilidade
~tultiplicando tôdas as equnçÕcs do ftem 4 pelo fator EJ e subs
tituitl<lo os val~res num~ricos do ftem 6-2 temos o sistema:
22,0 Xl + O X2 - 9,0 X3 = 9,0
O Xl
-9,0 X1
+ 28,0
+ 56,0
X2 + 56,0 X3 = O
X2 + 231,3 X3 = -18,0
cuja solução ê:
..............
' .....
Xl = 0,358
X2 = 0,248
X3 = -0,124
8 - Superposiç~o de efeitos
8-1 - ftomento fletor
(o) . ,"::,.J. ":·: '
X 1 (1) 0,358 0,358
HBC
o·············· ----~~--·
o
--HCB HCD NllC
i .....
o o o ·- . ----~--~--
o -0,358 -0,358 ------·--· -- ·----·--· -------- . ·- ... _. __ .
X2 ( 2) o o 0,248 -· . ..
X3(3) 0,372 o o --·· --~- .. -- -.
(r) -5,270 0,358 0,248
8-2 - Homento torçor
t·f All HBA HllC ...•. "-·--
(o) o o o -------- -~-""----
X 1 (l) o () 0,358 1---- - -- ----- ----·-- 1·-·-·-·
X2 ( 2) -0,2lo8 --0,248 o ---- ----------
.
X3(3) .. o . - ..... () -u . ........ ,_ ...........
(r) .. 0,248 -0,21,8 O,'JSil -----~-----~-- ~---
8-3 - Diagrnonos finnis (to11)
Bllli" 270
. . 0,358 lllllh,~~~ ( r )
0,248 o o ----·
-o ,1,9r, o -0,372 . _,. _________
-0,248 -0,358 -0,730 --'---........
---~"-
HCil HCD NDC ------~------ -----
_t_ ................... . ----- ·----~ .. --~-------
o o () ·-·---
0,358 o o 0,21,8
----
-~-·-· 0- . . ----·
0,2loll
o -0,1,96 -o, 4% ---------- -----·- ---
o ' 158 .. 0,2/oB 0,2fo8 -------
c
0,730 0,358 ···rrru· ~11 ciirnrmnm J]
0,248
Mt
0,248 R11TJTIDTTIJTTO!l 0,358
Ó:ÍJlWJJUlllLWJIO d.illriiiTJQI]l[fiTI!ID
n -- rn
~:_x_E~c_tc_T_~____c'l_ - r r o c c s s o dos Esforços
1 - Enunciado e dados
Determinar o diagrama de momento f1etor na viga da figura e tam
b~n1 os esforços normais nos montantes e tirantes
J = 30000 em~ =
s = 2 ~ ~ 2 5 em = 5·10 m
E = 2100 t/cm 2 = constante
2 - Verificaç~o do grau de hipcrestaticidade
n9 de chapas: c • 1
n9 de barras: b = 10
n9 de nos n = 3
b > 3c + 2n ; h = 3c + 2n + r ; r = 1
A estrutura ~ uma vez hiperest~ticn.
3 - Esquema de soluç~o:
p
X I [J]TI:ÁII[""DJ f ..__ ---··--blr:z o1--
XI
( r )
111
H·-02
111
(o)
+.
XI
1
~nt= !1 ·-x
( I ) rmm
4 - Esforços no Problema(o) - Momentos fletores e esforços axiais
o o o o o.
00
5 - Esforços no Prohlema(l) - l!omentos fletores e esforços axiaio.
0,833 0,833
0,833 0,833
-lp
6 - Equoç~o de compatibilidade de deslocamentos
ti =ô +Xl•Ô =O l r 1 o 1 1
7 - C~lculo de deslocamentos
7-1 - Exprcss~o geral
1 N.ds f N.ds li i j = ~I i . "-··L-"__ + N i . ___ .L__ +
estr EJ estr ES
r 'cQ.ds
Jest~i ·---~~~--
Desprezando os deslocamentos devidos a csf~rço cortante, bem cc>-
1'1l' os devidos a esfÔrço normal na viea, temos:
ais
E Ô .. =f li. 1 J • 1
v1ga
H. ___ J_ ds
J
7-2 - Val;rcs num6ricos
1
+ 1 N. barra~
l
N. "_J_ ds
s
E o 1 o
1 ~- -----=-4-· (2·8,0··---·'•B,O·'•,o -,s .. 3 .t,.2/,)+0 = -o,ot,:•r,
3·10 3
E ,\ 1 1
l l 2 --_-c,.-, ·-. ( 2 • 8 ' o . ----- "• ' o ) + 3·10 3
l ------::·~· -( 1 'o 2 • 3 'o
5.10 l
.0,833 2 ·10,0 + 2·0,833 2 -15,0 + 2·1,0 2 ·9,0··---)= 5
= 0,00284 + 0,00083 - 0,00367
Soluç~o da equaçao de compatibilidade do ltem(6)
8 E ,, 0,04260 Xl = ___ LL. = ··-- I o. :c:; t:~ 11 '6 o t ,, E ti 0,00367
1 1 1 1
+ 2·
q - SttJJCrposiç~o de efeitos - tlomcntos flotores e esforços nxi
9,65 t 9,65 t 9,651 9,65 t
-11,60 t -11,601
11,60 t
!'
EXERCÍCIO 9 - Arco atirantado
1 - Enunciado e dados
Determinar os diagramas de M, N, Q para o arco da figura. As ca
racterfsticas geomitricas do arco sio dadas na tabela 9-1, por pon
tos, As integrais devem ser calculadas numericamente, pela regra do
trapizio, com intervalos Ax • 3,00 m P• 10,0 t
/~----,..:::~
~lúl
~- -::;::::::::::::Jic;;::~;::;;
'----·~----+-------~~
E arco
E • = E = 2100 t/cm 2 t1rantc 2
S • = S = 10 cm 2 =~ 10- 3 ·m 2
t1rantc t
J • 0,209 m4 • 0,209·10° cm 4 c
TABELA 9-1
3,0 9,09 0,0668 0,9978 1,1
6,0 1 9,60 0,1339 0,9912 1,4 --- ---------·-----~·-i--~-~-~~--------~------
9,0 9,10 0,1965 0,9805 1,9 1-------··---
12 1 o 8,40 0,2588 0,9659 2,6 1------1--------l-~----- -~---------+-------
15 1 o 7,50 0,3173 0,9483 3,5 1------1------~- -------~- --~--------j ------1
18,0 6,40 0,3719 0,9283 4,6 1-------· -----~·------f-----------+------
21,0 5,10 0,4239 0,9057 5,9 --- --1------ ~-- ----- -~----+------
21t. o 3,60 0,4699 0,8821 7 1 4 -- ----~----1-----~
27,0 1,90 0,5150 0,8572 9 1 1 ---·---- ~------1 ------ -~--~--- -------
30,0 0,00 0,5544 0,0321 11. • o
9 ··O 2
2 - Esquema de solução
p
_?/ lt--4, + XI. ,
(r) ~ (o) + Xl• (1) + X2· (2)
~lO (o)
3 - Equação de compatibilidade de deslocamentos
olr = o1o + Xl·o11 =o
4 - ConvençÕes
H > o se provoca tração interna
N > o traçao
Q > o horário sÔb r e -a seçao
5 - Esforços s~bre o arco no problema(o)
N ~ n o Q = Q o
6 - Esforços s;bre o arco no problema(!)
7 - Cálculo de deslocamentos
f H. ds
1 N. ds
o .. ~ H. • J "'~-~ ·-}- N .. J
lJ 1 EJ 1 ES
estr estr
+
Desprezando, como sempre, os deslocamentos devidos a esf~rço cor
tante e desprezando taml,6nl os causndos pelo esf~rço normAl nn ~ren
(nno no tirante), temos:
H. ds o ..
lJ EJ + f N. ds
N 1' • __ ...1...__s ·E
tirante t t
8 - cilculo da inc~gnita llipcrestitica, num caso geral.
Chamando:
temos:
X 1 c -
dy
o 1 o
ds = -EJ
~-
'
9 - Cálculo da incÓgnita
Xl ~
já que:
f arco
f y~dy +
arco
ds dy = --·--- = E J 1
9-03
ltiperest~tica no ca~o particular:
f. 6 o ?r;o Y • ·- ~--- • - !_c . d x
0 cosa J
t
l J
__ . __ c_, dx J c os ct
!Ja tabela 9-2, colunas 11 e 12, temos:
3·5017,8 15053,4 X 1 = ----------,c-o-o----~=c-7"---- .. = -------1::1 4, 81') l
210 0,209 3•623,70 + 2100.
10- 3 ·60,0 1871,1 + 12511 .~
lO - Superposiçio de efeitos; Tal>ela 9-2, colunas 16, 17 e 18.
N =lf/-Xl•y r
N =i/-Xl•cosa r
Q r = Q - X 1 ·se na
11 - Diagramas finais
-30
M, (fm)
N, (I}
( I}
N I
"'
co
....----.,
~~
o "'
co "'
o F
"l
<I)
<I)
co co
M
N
I()
lf)
C)
CJ
I()
()
H)
C>
~
.. o c'l
,....._ ~-·1
tfl r·,"
o> NNM\"l~·~·._;:;·-...:f
N
l/"1 O
0
\ M
r'--·
\O
N
O'
r~!
C)
0\
1~~
"' C
• I
f'-. N
I(
)
f"'• ...::t
(}'\ (Y
) \0
\.()
....:j• (<
) , __ ,
~
ri
.-f
I I
I r--1
(J
CJ
I I
I o I
C)
o I
I ()
I
'" o
C")
"' '""' N
O('..tf"lN
O
NfT
)(Y
)...:flf\\.0
o o ()
' )
o "'
()
o o
'"' "' o co (()
(')
C>
tq
0\
i" -..:;;·
...:j·
o
f' I
"' Cü ( >
Ir) O
O
C
) C
J C
.> lf\
0 1
1)
I'"! I'·
N
/"~ ()
N
M
-..:t ·~-
~
,.,,. m
co
'-O
...:j· N
N
Nl'·
I
N
r--. tt~
O
C:)
(1\
-..:} (1
, (l)
()\
~s
\O
t-. ,,)
, ......
C.JOO~iN
I
"' I "' I
o o
00
N
,.,
V)
(')
f<
)
I I
H)
'" I C>
'" (()
l[J
I
O'l
"'
I I
"' C
'l
N
co C::>
1"'-"' N
o (J
\ 0
'1
lf'l ~, .... )o
~
m ~ ~
"' ~
N
·•
.~
~
;>,! "
, I
,. .. ~ r-
I ~"'"/
<'-! ,~-,
'ZI~ I[)
I .. ....,
(f\
r·l
'""'
(;}
o <)
.....
M
N
('<')
o: r o
1--~·1-C
> o
rol "
,-,~ lfl
<X) O
co
m
o o
"' "'
0\
{')
\0
<"4 ...:.;-
...:r
o o
~
o 0
\ \.(_.)
C)
f')
oJ I
,, I<>~ I ("
)
o
I
~2 ~!. ~; (}
\ U
I
"I ('l
r l
co '"
0)
1,_()
lfl 0
\ <"J
r··l
(') o
"' ~J; ,. (il
(,)
!
Cl
;! I
a. I wl J ~'
:;: ~i f~ li ~::j O
0
O
C)
I'
(•)
((j
"' "'
.,, I <nl co I f'> I <h I o> (•I
,n 1 (•)
r-~ , .. ,
f'l
(~\I tf)
•. I ~""""-
' t
,. :I {"} ('<
) '"
'
(_)
(:_)
I o I
o I o I
,., ~"'--1
o I
C)
u I
N
f')
f··· C
'l if'l
(f) (()
((}
o o
o ·-'1
lfl ..;j
~-·1 L
I) I()
lf)
o o
I I
J>, El ~
o ~
M ~
w ~
w
m
m
m
o m
m
m
0
0 ~ ~
"'
M ~
o ··"
O ~ ~ ~
00
~
N
m ~
M
O
M ~
m
N
M
N
N
N
rl
rl
rl
rl
I I
I I
_L
lf)
00
r~l
._.;j·
,~·1 r·l
N
<'l
- -·---',' 10 ll ' 12.
® '
i! I 1®-@ ®-@ ® I
I I
....
I 0,000 0,00 ! 0,0 '
!
0,244 i o' 46 1, 8 I '
0,552 I 1,99 8,3 i
' 0,932 4,75 21,0 'I '' 1,500 9,60 ' 45,0
I
2,262 I
16,93 i 84, 8 :I 3,350 28,10 l 150,8 '
4' 885 I 44,40 256,5 I '
6,920 I 66,40 415,5 :I 9,010 I 89 '20 607,5 !I '
I 1 o' o o.o 1 1oo,oo I 750,0 ! I '
~9, o 1 o !
89,20 743,0 i
,, I
I 6,920 I 66,40 622,5 ',
' 4' 885 ! 44,40 476,3 :I I I '
' 3,350 I 28,10 352,0 '·I
I 2,262 I 16,95 255,·:J I
1,500 9,60 135, n ,I,
0,932 4,75 62,9
0,552 1,99 24,8
0,244 I 0,46 5,4 I I I 0,000.~ ... 0,00 0,0 I
I 623,70 5017,8 I ,.I I
TABELA - 9-2 (continuação)
13 14 15
-Xl· ® I -XI· C0 -Xl· 0 I
- 0,0 -4,008 -2,6~0
- 9,1 I 4,127 -2,4p I -17,3 I -4,246 -2,295 I -24,5 ' -4,362 2,045 I -30,8 I -4,469 -1,793
'
-36,1 i
4,565 -1,530 I I
-40,4 ,,
-4,652 I 1,250
-43,8 i
-4,720 o ,91r7 I . -46,2 I -4,772 I -0,61;6 I I '
4 7 , 6 -4,810 ' -0,3~2 '
-48,1 -4,815 o,oqo 47,6 -4,810 I 0,322 I I
-46,2 -4,772 I 0,6lt6 i I '
-43,8 -4,720 ' 0,91!7 I
-40,4 -4,652 I
1,250 '
-36,1 I -4,565 '
1,530 !
-30,8 I -4,469 ' l, 7SI3 !
'
-24,5 -4,362 I
2, 0 lf5
-17,3 -4,246 I 2,265 I
- 9,1 -4,127 I 2, 4~5
- 0,0 I -4,008 ' 2,670 I ' ·---
16 i
I M· r
I
0,0
-1,6
-2,3
2,0
-0,8
1,4 I
4,6
8,7
13,8
19,9 I
26,9
34,9
43,8
53' 7'
64,6
76,4 I 59,2
43,0
27,7
13,4
0,0
..; v
17
N r
-5,393
-5,412
-5,421
5,422
-5,398
-5,358
-5,299
5,212
-5,107
-4,977
-4,815
-4,643
-4,437
4,228
-4,005
3' 77 z -6 94 5
-7,259
7,542
-7,766
-7,987
-8,168
18
Qr
.-0,590
-0,340
-0,050
0,220
o, 527
0,840
1,165
1,503
1,829
2,168
2,500
2,812
3, 121
3,39 7
3,665
3. 9 o o -5 590
-5,177
-4,755
-4,355
-3,950
-3,570
-~
"' I o
'"'
10-01
EXERC1CIO 10 - Arco atirantado
1 - Enunciado e dados
No arco atirantado da figura, onde a variação de momentos de i
,,;rcia i tal que Jcosa • constante, determinar o diagrama de mome>> to fletor.
O eixo do arco i uma parabola de 29 grau em x.
E,J
y
X
B
~f~----lm5u.OOI.Lmm_ _____ ,LJ ____ J];,OOJ!L ____ r E = 210 t/cm 2
Jcosa Q constante ~ 0,100 ' 2 -3
st c 10 em = 10 m2
E = 2100 t/cm 2 t
,, m
2 - Calculo da inc6gnita hiperestatica (conforme esquema e co''
vunç~cs desenvolvidas no exercicio 9)
2-1 - Express~o geral
X l c
X l ~
f 7Tlydy ar_c~~o __________ ~-----
J y2dy + arco
f mydx arco
t
-- ------- --------~~~----,--EJcosa .tt
Il s t t
~rco 7J7.y
f y2 arco
2-2 - Funç~cs de x envolvidas no problema
y
dx EJcos«
,.
.,
10-02
2-3 - C&lculo das integrais necess;rias para o cilculo de XI.
Utili~ando a tabela Al, do anexo:
f 171. ydx arco
5 ~ 30,0·----•56,25•6,00 +
12
8 30,0·-·6,00 2
15 .. 576,0
2-4 - Esfôrço no tirante
. X1 " 6581,2
------,2 1 ó 576,0 + 2100 0,100 ·30,0
10- 3
J -_Sup_erposição de efeitos:
Mr
( lm)
11,19
7 15,0•----•56,25•6,00 D
15 m 6581,2
6581,2 .. 7,51 t
576,0 + 300,0
15P
ll-0 1
EXERCÍCIO 11 - Arco atirantado
1 - Enunciado e dados
No arco atirantado da figura, determinar o diagrama de momento
fletor.
O arco é semicircular e tem momento de inércia constante,
E = 210 t/cm 2
J • 0,60•10 6 crn 4
st D 3 cm 2
Et a 2100 t/cm 2
p, 10 f
2 - C~lculo da inc~gnita hiperestitica (conforme esquema e con
vençÕes desenvolvidas no exercício 9)
2-1 - Expressão geral
I 17/.ydy arco X 1 =
Xl D
j 1flyds a r co
~
t
Et st
EJ - -;;--•f.
E S t t t
L co nzy ds
EJ
I y2 ds
+ F.J
arco
2-2 - FunçÕes de s envolvidas no problema
p ~ ---·R(l - cos8)
2
'lliBLilliHJl .. . '
l!. S.?· .
E t st
ll
p/ o < o < 2
11-02
y • RsenO
2-3 - Cálculo das integrais necessárias para o cãleulo de Xl
f rrzyds 111'/2 p
"2• -2-·R•(l - cosO)•RsenO•RdO •
arco
......... --- -L y2ds arco
o
.. r2 PR 3 [ senO dO
o
= PR3[J-cos01: -1-
PR 3 .. 2
= 2 I~~ 2 s en 2 0 ·R~O o
e sen20 = 2R 3
•
2 4
2-4 - Esfôrço no tirante
Xl = c p.
+
4 EJ 4 210 f = ~=-<= • ··~,===~"·~·='·-·· =
R2 E t st 10 6 2100
1 Xl = 10,0·--·~--· = 3,105 ,t
1T + 0,08
3- Superposição de efeitos.
r~ senO cosO dO ] • o
1
4
o
rk J cos20 0
•
1T +
2
1
4 EJ --. _-=:;~-
E S t t
0,6•10 6
.. 0,08 3
Hr = 711- Xl•y
p =-•R•(1
2 - cosO) - 3,105•R•sen0
Hr = 5000 - SOOO•cosB - 3105 senO (t em)
1 a p •----
1T + f
11-03
M, ( t em)
870
.,
12-01
EXERCÍCIO 12 - Arco atirontado
1 - Enunciado e dados
No arco (p6rtico) atirantodo da fig~ra, determinar o diagrama do momento fletor.
O momento de inircia e
rm'lm
l 1
J 1 = 40 000 .cm 4
J2 = 80 000 em'-
J3 = 60 000 em'
E = E = 2100 t/crn 2 t
-s- --!:::! 3,0 -cm-2 t
constante por !o' 5t
y
'
7, 50m
trecho.
2 - C~lculo da inc6gnita hiperest~tica (conforme esquema e con
vençÕes desenvolvidas no exercício 9)
2-1 - Express~o geral
Xl =
X 1 =
f 177 ydy arco
)_ ~~Ly ds 1
k o _:::.__ E'
~ L y2 ds' + --------------------- -k- -o--
E J c c E s r -- t
2-2 -Comprimentos fict[cios, .e•
.e I = E J
c c .e
.et
1 E J
c c
1 E J
c c
• para
lU l------- 45,00 m
E = E c
E o o o 10
J = 240 000 em' c
f a r co
f y2 arco
todos os
de
E o
2
k trechos
J = c te.
12-02
2-3 - FunçÕes de s envolvidas no problema
'lrl. ( tm)
y
(m)
20,00\
\__ 28,70
(i) o
2-4 - cilculo das somat;rias de integrais.
Utilizando a tabela Al do anexo:
.e· j71ly ds' = o k
1 30,0·--·5,0·20,0
3
1 + 45,0·---·5,0•28,7 +
2 1
+ 22,5.--·5,0•20,0 = .5360,0 2
1 1 30,0·--·5,0 2
3 + 45,0·5,0 2 + 20 0·--·5 o2
" ' '
2-5 - EsfÔrço no tirante
Xl = 5360,0
1543,0 + 2100 2100
-3 -=.2..!., _:4..:.· _:::1.::0-,-_, 15 ' o
-~ 3,0.10
2-6 - Superposiçio de efeitos
H = rrz- Xl·y r
3
= 1.543,0
5360,0 ---------- =
1543 + 120,0
= 3,225 t
( t "' )
13-01
E~ERCÍS~I.Q_J_l - Arco bl.engastado
1 - Enunciado e dados
Determinar os diagramas de M, N, Q para o arco biengastado da f! gura. As caracterfsticas geom;tricas do arco sio dadas na tabela
13-1, por pontos. As integrais devem ser calculadas numiricamente
(por exemplo, utilizando a"regra do trapézio"), com intervalos /lx ~
" 3,00 m
P' 1,0 1/m
+----~3,.,0-,0"'-0"-"m'-------t 3 O 00 m 1 =~ -=c=-"c"'"'-"cc"Lcc-~c=-
E = 210 t/cm 2 arco
J = O 5 m4 c '
TABELA 13-1
±u v /seno:! jcoso: j J/J c
0,0 10,0 0,0000 1,0000 1 'o ------------ --·-
3,0 9,9 0,0668 0,9978 1 ,1 ~-----
6,0 9 ' 6 0,1339 0,9912 1 ' '• ' 9~,0 9,1~ 0,1965· 0,9805 ~ 1 ;9-
_____ , __ ·-~ -~---
12 'o 8,4 0,2588 0,9659 2 '6
15 'o 7 '5 0,3173 0,9lt83 3,5 ----- -- -----~ .. ·--·-
18,0 6 '4 o ,3719 0,9283 4,6 ~
2 1 'o 5' 1 o ,lt239 0,9057 5 '9
2 4 'ó 3' 6 0,4699 0,8821 7 '4
2 7 'o 1 '9 0,5150 0,8572 9 '1
30,0 o,o 0,5544 0,8323 11 'o
13-02
2 - Esquema de soluç~o
2-1 - Centro elistico - Admitamos a exist~ncia de um ponto C,
chamado de centro elistico, cujas coordenadas sao definidas por
f vdy f udy
arco v = --------- e u
c
f dy c arco = ·-----"-----------
f dy = O por simetria
· arco arco
onde \
ds dy =
EJ
2-2 - Estrutura equivalente
R fiei! admitir que as duas estruturas desenhadas abaixo -sao ab-
solutamente equivalentes, desde que se admit~ que o tre~ho 2-C-3 te
nhn rigidez inf~nita, isto ~' E·J + oo
2 3
I -------+-----")#'
(o )
2-3 - Desenvolvimento pelo processo dos esforç'os
Sendo essa estrutura tr~s v~zes ltipcrest~tica, deve-se retirar
tr~s vfnculos e sul1stituf-los pelos respectivos esforços. Sejam ~s-
- ~ '] -1 scs trcs v1ncu .os aque es que ~ estrutura dn figu-
ra (b) do [tem 2-2 no ponto C. Assim:
rruímrrw p
ITllillJ:ÍILIJ
+X2 •
13-0J
rr-11 .,., I "! le-r-! l..-l "li "J l-,-,11 p
---~~-------~-- --
+ Xl.
(o) ( I )
-------- ___ __, __
+ X3 • li!~' ~13
~33 ( 2 ) ( 3 )
(r)= (o)+ Xl•(l) + X2·(2) + X3·(3)
2-4- Eauaç;esde compatibilidade de deslocamentos
0 1r = ~ + X 1 ·ri + X2·ô + X3·0 = o 1 o 1 1 1 2 1 3
ô = ô + X 1 · ô + X?.•Ô + X3·Ô = o 2r 2 o 2 1 2 2 2 3
0 3r ,, + Xl·Ô + X2 ·<I + XJ·o - o
3 o 3 1 3 2 3 3
2-5 - Convcn~Ao .• d (~ 6 in al
}fot~Cilto fletor e positivo se provoca traçao no intrndorso.
E~.;fÕrr;o norma] ê pos.í ti vo quAndo fôr de comprcs~ão.
Esfôrço
rârjo.
cortante~ ,,ositivo se percorrer a seçio no sentido lto-
O ânr,ulo n é medido no sentido anti.horârio, dn horizontal para
a tangente ao arco no ponto considerado.
2-6 - Sistemas de refcr~ncia
Al~m do iistema ''• v, qualquer, ao qual i inicialmente referi~~
o eixo do arco, utilizamos o sistema x, y, com origePl no centro e
l~stico C e tal que o eixo y coincida com o eixo de simetria do ar
co
J
2-7 - Esforços nos problemas (o), (l), (2), (3)
'l'IIBELII 13-2
~ H N Q .
(o) m 77. Q !---------- ---
(1) -y cosa -sena ---~ - -
( 2) -x -sena -cosa -----
(3) -1 o o
2-8- cilculo dos deslocamentos, considerando apenas os cattsaclos
nor momento fletor.
ô =--jrrzydy 1 o
n.rco
O = - f 1/1.. X dy 2 o
arco
8 3 o
f y2dy ô = 1 1
nrco
f x 2dy ô = 2 2
nrco
/) = 3 3 f dy
i! CCO
f, c ô -- 1 xydy = o por simetria da estrutnra 2 1 1 2
ar co
ô = ô = f ydy = f (v - v ) dy = f vdy - v I dy~
3 1 1 3 c c
arco arco arco arco
o' .~ tem propriedades definidas no Ítem 2-1 = J a que v
c
ó = " = i xdy = () por simetria da estrutura o 3 2 2 3
nrco
"
13-05
2-9 - Soluç~o do sistema de cquaçoes de compatibilidade
Com o artif[cio utilizado, conforme se verificou no ftcm 2-8, o
sistema de equaç;esdo [tem 2-4 se torna totalmente diaeonalizado. Assim:
que
ô 1 r = o + Xl •Ô 1 o 1 1
ô 2r = ô + X2 •Ô 2 o 2 2
ô = ô + X3 • o 3r 3 o 3 3
tem como soluç~o:
-ô XI = 1 o -
ô 1 1
-ô X2 = ----~-º---
ô 2 2
··Ô
=
=
-ô 1 o 1 y2dy
arco -ô
_______ g __ o __ _
f x2 dy arco
-ô X 3 = _3_0_ --- _li_
... ····- &- ---· _"'_j-- --dy ........... -- .. -- ... -. --·· . -- --3 3
arco
No caso de se estudar apenas o efeito de careas
X 1 =
X3 =
f '"lydy arco ------------! y2dy arco
J 1ll.xdy arco
f x2dy arco
'f dy arco
2-10 - Reformulaç~o do esquema do [tem 2-3 em funç~o das propri!
dadas observadas nos ftens seguintes.
+XI.
+ X3.
p
WILI1JJ(mTD
(r)
( I)
~ /~(----)-~~, ( l\ ~
•:n ( 3 )
l 3 .. () 6
+ X2 •
3 - C~lculo das coordenadas do centro
u -c v dx
vdy f _" ____________ _
v = c I dy
arco
R r co
J arco
EJcosa
dx EJ coso:
Da tabela 13-3, colunas (6) e (7)
v c
r
LWJJ.JJ~IITIJ
( 2)
elástico
r-0_-T~v-~-::.:a- dx
-30 ,) c = - ·---- ------ -------------------
/
30 jl -~ dx
·---~i' --- c os ct -30 c
4 - C~lculo dns inc6gnitas hiperest~ticas
4-1 - C~lculo de Xl
f m. ydy
X 1 = arco
...
I
,,
13-07
Do tabela 13-3, colunas (10) e (13)
3,0·773,35·2 X 1 = ·--·----- ·----·--- --· -~-- - c 37,60 t
4-2 - Cilculo de X2
X2 A '~ =~·,Jaqueo carrer,amento e simétri.co
4-3 - C~lculo de X3
X3
f rT/_dy arco
c ------------
13 o___T_7!]______ d x
--J-- COSCI.
= _::_3_()__ __ c-----------
Ircody !30 -:r~lCOSCI. dx
.. 30 c
Da tabela 13-3, colunas (6) c (12)
-3,0·269,24·2 X3 -------------·-- = -65,30 tm
--- - --- -·······
5 - Supcrposiç~o de efeitos
5-l - 1~xprcss8o ~era]
Da tabcli'l 13-2
ll = J77. - Xl•y r - X2•x -- X3 = 7rl- Xl·y- X3
N = 11 + Xl cosa. - X2 sena. r t- + Xl·cos<Y.
() Q - Xl SCHCI. - X2 COS(Y, r - Xl•senCI.
s--2 Diagrntll3 Je l!tOIIIClttus Eletores
Da ta_hela 13-t,, coluna (12)
Mr
( tm )
13··0 8
S-3 - Diagrama de esfarço normal
Da tabela 13-4, coluna (13)
Nr ( t )
39,62-~
r-
(!}
/37,60
• --S-4 - Dia~rama de esfarço cortante
Da tabela 13-4, coluna (14)
O r ( t )
e
•
(!} ~39,62
--....8,37
1
-seçao
'"'
7
f. l
2
v
= l
2
3
c os 0:
f o +I
i=l
L;
2
f. + l
1 f
5
... . '
~·-~FI...'~ "!.. ;-3
6 7
){<
--. . . . -~ . t~ ~ 3 "2
r-~
o 1098•7554
·= <:.
8 .I 9 10 ll 12 13
l ::: !i r! _ _,' ,..;•__.
'-"'
o "'
1 2 3 I 4 I 5
-I 11
i Q seçao -u 771. I
I
n,o I n,ooo I o o , ('' -
I (),()00
' 1 3,0 - 4,s 1 o,2or 2,996
2 6 , r - • ~ n i n gnt; i 5 o4· I lv,, I ~,,_·o I ,/ ~
- 4o,s 1 1,768 I 3 a " B,325 - ' ~
L; 12,0 - 72,0 13,10'" ju,sgo
5 15,0 -112,514,760 114,220 I
6 18,0 -157,5 I 5 ,5BO 113,930
7 21,0 -202,5 6,360 ! 13,580 I
s 24,0 -247,51 7,050 i' o ?3. ~.:...,..~,._ .J
9 2 7 'o -292,5 7,730 '12,860
lO 30,0 -337,5 8,320 12,480
TABELA 13-4
6 7 I 8 9 I 10
I
i y se nO'. i
I cosa -Xl·y Jxlcosa
I
1,59 I
0,000011,0000 -59,70 37,60
1 ' 4:; o ,06681 o ,9978 -55,60137,55
1 1 a -' ~ ...' 1 o, 1339
1
o ,9912 -44;70 37,30
0,69 ! i
jO,l965 \0,9805 -25 '9 0 36 '9 5
-0,01 lo.z5ss1o,9659
' . I 0,40136,35
-0,91 I o,3l73!o,9483 ! i
34,20135,65
-2,01 i, o ,3719 'o ,9283 r :
75,60 \ 34,90
-3,31 10,42391
0,9057 124,50134,10 I
-4~81 jo,4699\o,ssz1 181,00 i 33,15 I
-6,51 1 o ···n'o 8·72 ).)l.)u: , :::> 244,so 132,25 '
--8,41 0,5544i0,8323 !
316,20131,30
ll
rX1sena
- o, 00
- 2,51
- 5,03
1- 7 '39
- 9,74
-11,92
-13,97
-15,93
1-17,65
1-19,35
1-20,85
12 I 13 I 14
I I
:·r ~ I o r r I 'r
5,60137,681 0,00
5,20,37,751 0,49
2,60 138,10 1 o, 92.
- 1,10 38,72 1 1,44
- 6,30 39,45! I
1, 35
-13,~0 140,41 1 2,30
-15,60 40,48 I -o ,04 '
-12,701 40,46,-2,35
' I - 1,20 I 40,20 I -4,41
17,60 39,9s I -6,49 !
44,00 39,52,-8,37
'-' I ...
o
,,
llo·-01
EXERC!CIO 14 - Arco biengastado
1 - Enunciado e dados
O arco biengastado, simitrico, da figura tem um eixo parab~li
co de 29 grau. A variaçio de momentos de inircia i tal que
(P' 1,0 t/m Jcosa = constante. '""'I I~~ ~~ ~TI-rJ'_"CII-.---L,-Ll.-IJ,.,
~-:::;:::===j==::::::::::·~~--~-----------·--E -
I g
t"" ":" -------::--'>111" (l) '• ~A-------- ~----------- I I
J ____ __2S),QJl.I!L ___ _ I
·t·-----2.0,00 m
a = E = 210 t/cm 2
Jcosa • 0,05 m4 • 5•10 6 cm 4
E Jcosa = 1,05·10 9 tcm 2 • 1,05·10 5 tm 2
De te rm i na r _ -~----~~-~-~JlE_~~~--~ de momentos f 1 __ ~ -~-~-r~-~----~ _Q_~ _ Q_ _ _!_y__g r~--º---~- __ ç_::u> __ Q_? _
Rbaixo enumerados:
a) Para o carregamento da figura
b) Recalque horiKontal de 5 em do apoio B para a direita
c) Recalque vertical de 3 CJD do apoio D para baixo
d) Giro no sentido horirio, • • O,OOSrd do ap6io B
e) Variaçio uniforme de temperatura de AO • 309C
2 - Cilculo do centro elistico C
2-1 - lliagramo da funçio v, ordenada do eixo do arco
0,0
-tY-- í f\
2-2 - Cilculo das coordenadas de C,
u c
• O por simetria
f arco v
ds lU
u e v c c
f v dx EJcosa
20
f v dx ·- 2 o
v c ds
lU
. ir co -~;-_-= arco EJcosa
= ·--z 2 ():;~-- -
-20
Utilizando a tahela_Al do anexo:
v c
14-·lJL
2 = 40,0•---··8,0·1,0 = 213,33
3
= 5,33 m
3 - Esquema geral de solução ~ . Com o mesmo esquema de cilculo do exerc1c1o 13, [tens 2-1 a 2-10,
pode-se tratar o efeito de uma ação externa qualquer (deslocamentos
impostos de extremidade, cargas, variação de temperatura, etc,) num
arco biengastado simitrico pela superposição de diversos problemas,
como se segue: (aço o e< terna aplicada) (aço a e<terno opllcodo)
---r--__ .............. ,,
' 'y
( r ) (O)
( 2 ) '"l + X2
+ X3.
2 X, 1 1~ ' conf·orme o 1~tem 2-9 do exerci-Onde Xl,. X e J sno ca cu ave1s,
cio 13, pelas expressÕes:
-o X 1 = __ _l __ o__
<l l l
-8 X2 = __ 2__9 __
ó 2 2
-o X 3 = ·-·-.LO ....
c\ 3 3
+
+'
•I
onde o , o I I 2 2 5 independem da aç~o externa aplicada i estrutu-
3 3 ra, dependendo apenas das cnractcrísticas geométricas e elásticas do arco.
4 - Diagrama de x e de y
x ( m)
I I ·------ +
5 - Fatôres que independem do carregamento
5-l - Cálculo de ó I I
o = f y2 dy = I I
--------- ---------------a r-c-o---------------- f ds
~2-_E--J-_ - = a-rco
Utilizando a tabela Al do anexo:
õ = -----1----·['•0,0·~-·8,00 2 + 11 EJcosa 15
1 = _ _;_ __
2 40,0•5,33 2
- 2•40,0·--·8,0· 3
.5,33]= 1
------· 229 = 1,05•10 5
- 3 2,180·10 m
5-2 - Cálculo de o 2 2
20 20
f j x2 f ds dx 1 f X2<b o = x 2 dy = x2 __ = = -2 2 EJ EJcosa EJcosa arco arco -20 -20
Utilizando a tabela A1 do anexo:
o = --
1--·[2·20,0·--
1-·20,0 2J =
22 EJcosa 3
1 -3
------·5333 =50,75·10 "' 1,05·10 5
S-3 - Câlculo de õ 3 3
o 3 3
f dy = arco J
ds
arco EJ
20 f dx
_20
EJcosa
1 120
dx--,/ '
-20 EJcosa
1 ô = -------
33 1,05-10 5 • 40,0 = 0,381·10-
3
14 -o 1,
6 - Caso(a) - Efeito das cargas dadas
6-1 - Deslocamentos no problema(o)
6-1-1 - Diagrama de momentos fletores
I
200,0 ......---' . nz(tm) ~-50,0 ~
~~8LLLkUULL~~~1--------~o~----~• s A
6-1-2 - cálculo dos deslocamentos
Conforme f tem 2-8 do - 13 o excrc1cio 20
J 1
J7l2ydx ô = - 77(ydy = - -------· l o EJcoso: arco -20
Utilizando a tabela Al do anexo
o l o
= - l [ 2 1 J - ------:---. -2 o 'o . ··---. 2 o o 'o . 8' o+ 2 o 'o • --. 5 ' 3 3 • 2 o o = EJcosa 15 3
1 -3 =- ------·---·281,0 = -27,07·10
1,05·10 5 m
o 2 o J Tf/.xdy
l 20 f 71Zxdx
EJcosa a r· co -20
Utilizando a tabela AI do anexo
ô 2 o
=- _ _2 __ ·[20,0·-1__·200,0•20,0]= EJ eoso: 4
ô = 3 o
f 17l dy 1 ~~;)
= - -·~--------- dx EJcosa
arco • 2 o Utilizando a tabela Al do anexo
1 ----•20000,0. =
1,05·10 5
.s = - ----1--[-zo o._.!_, 200 ,o ·1] = 30 EJcosa '3
1 ---·----·-· 1333 3 = 1,05-105 '
-3 = 12,69•10 rd
6-2 - Câ1culo
·-ô X 1 = --
1-º--o
l l
das incÓgnitas
27,07·10- 3
t::l ------------
2,180·10- 3
hiperestâticas
= 12,410 t
.,
-cl X2 = _2_o_
cl 2 2
= --·---50,75-10-3
= 3,755t
-o X 3 = __ _L!)__ =
-12,69.10- 3
o 3 3
o 381•10- 3 '
~ - 3 3, 3 trn
6-3 - Superposição de efeitos
Utilizando a tabela 13-2, Ítem 2-7 do excrcfcio 13
Hr = 7l2- 12,410 y- 3,755 X+ 33,3
Mr ( t m)
--- 24,/l
7 - Caso(h) - Recalque ~orizontal do apoio 8 de 5 em para a di-
r-e Í--ta-
7-1 - Deslocamentos no prohlema(o)
- 3 = 5 em= 50·10 m l o
ô = o 2 o
ô = o 3 o
7-2 - C~lculo dos inc6gnitas hiperest~ticas
-ô Xl = ___ j_o_
X2 = O
X3 = O
ô ··n
-50·10 -3
= --------;;--2,180. 10:
3
7-3 - Superposição de efeitos
= -22,930 t
Utilizando a tabela 13-2, Ítem 2-7 do exerclcio 13
H = 22,930 y r
122,2,___
M,.
8 - Caso(c) - Recalque vertical de 3 em do apoio D para baixo
8-1 - Deslocamentos no problema(o)
A B
ô = o 1 o
ô - 3
= 3 em= 30•10 m 2 o
ô = o 3 o
8-2 - Cilculo das inc6gnitas hiporestiticas
X 1 = O -o
X 2 = _ __u____ = o
X3 = O 22
·-30•10-3
50,75·10-3
8-3 - Superposição de efeitos
= -0,591 t
Utilizando a tabela 1.3-2, ftem 2-7 do excrcfcio 13
H = 0, 591 X r
( tm)
~11,82
9 - Caso(d) - Giro no sentido hor~rio, $ = 0,005 rd, do .apoio. I\
9-1 - nes1ocamentos do problema(o)
o l o
o 2 o
- v ·• c
= -a •$
= 5,33•0,0~5 = 26,65·10-3
m
-3 = ~20,0·0,005 = -100·10 m
-3 ô = -$ = -0,005 = -5•10 rd
3 o 9-2 - C~1culo das inc6gnitas l1iperest~ticas
-ô X 1 = ___ .LL.
ô 1 I
-26,65·10 -3
= -----·----- = -1 2 '2 2 t -3
2,180·10
-ô X2 = - 2-º-- =
c\ 2 2
-ô X 3 = ____ :LQ_ =
100·10- 3
50 75•10- 3
'
ô 0,381·10- 3
3 3
lll-07
= 1,97 t
= 13,12 tm
9-3 - Supejposiçio de efeitos
Utilizando a tabela 13-2; Item 2-7, do exercício 13
M =12,22 y - 1,97 x- 13,12 r
I
( tm ) r--117,72 24,45:\::
38,92 ~
A~DL~~~Tr-n.rrlTu+Drd~LUUJ~L4a
10 - Caso(e) - Variação uniforme de temperatura, 60 m +309C
--1-0--1 --- Desl-oc-amentos -do -pr-ob-1-ema{o}
5 -3 Al • l·a·AO • 40,0·10- •30 • 12,00·10 m
ô -3 = -12 ,00·10 m
1 o
= o 2 o
o o ·, 30
10-2 - C~1culo das inc~gnitas hiperestiticas
___ --:Ôto __ _ ----- 12,0·1 0-3
Xl= -= __ 3-=S,St
X2 = O
X3 = O
1 1 2,180·10
-10-3 - Superposiçio de efeitos
Utilizando a tabela 13-2, Ítem 2-7, do exercício 13
H • -5 SO•y r •
15-01
EXERCÍCIO 15 - Arco biengastado
1 - Enunciado e dados
No arco biengastado da figura, de eixo semicircular e momento de
in~rcia J • constante, determinar o diagrama de momentos fletores,
10,0 f
R• 20,00 m
E J = constante
2 - C~lculo das coordenadas do centro el~stico C
u - o c
v c j dy
arco
v c
• 12,73 m
3 - Esquema de soluç~o
f are
f arco
11
vds fRsenO•RdO o --"""
ds f11Rd0
o
R2 J-cos0 1: - -R I o 111
o
2 • --•R
11
O esquema de soluç~o, bem como as convençoes de sinal e orienta
ção de eixos de referência, é absolutamente idêntico ao desenvolvi
do no exercfcio 13, {tens 2-1 a 2-10. As lnc~gnltas hlperest;ticas
são dadas
X 1 •
X2 =
pelas fÓrmulas:
lrco 7'2ydy
f y 2 dy
arco
15-02
X3 a
lrco 77l dy
1 dy
arco
4 - Cálculo das incÓgnitas hiperestâticas
4-1 - Funç~es envolvidas no problema (t, m)
p p 11
772 a - --·u a - Rcose 2 2
p/ o < e < 2
2 y a v - v a Rsene - R c
11
X a Rcose
4-2 - Cálculo de Xl
X 1 = J
IY/z
2 (-o ;R cos9)(Rsene- 2 R)Rd(l --
11
··· 2 f 1{ Rsen.e - 2 R}2 Rdo
o 11
}7/Jz (- 1 sene cose + - 1- cosO) d(l -2- 11
a p •-~0~-----,4-----.---~~
f%(sen 2 0 - -- sene + - 4-) dG 11 112
o
I + 81 1 lorr;,
cos20 + -- senO a p ' -'.---,,--"-----,,...,------"11._,~--:.::;c_- --;---c::;
I e sen20 4
11
42
(li/Y
0
V• ~ - 4 + --
11- cos·o +
1 1 -- - ~.-a p 1T -- a 11 +
6 -4- --
7f
Xl = 10,0·--------- a 0,2533 t 9,870 + 24
4-J - Cálculo de X2
X2 • O por simetria de carregamento
15-03
4-4 - Cálculo de X3 r· [r co 71Zdy PR r; ..
2 (- -2- cos8)Rd8 PR (-cos8)d8
X3 = o o = = --· =
L co
dy r· 2 rl/2 dO 2 RdO o o
I I IT;j,
-senO = ---·---------0~-
PR PR 10,0•20,0 a - a - = - 63,6 tm
2 71 71
5 - Superposição de efeitos
Da tabela 13-2, do exercício 13
Do Ítem 4-1
PR 2 cosO- Xl·(RsenO- R) - X3 =
2 71
10·20,0 = - cosO - 0,2533(20,0 senO - 12,73) + 63,60 •
2
71
= - 100,0 cosO - 5,066 senO + 66,83 p/O < e < 2
Diagrama
M, ( I m)
--- 33,17
J.v-vJ.
EXERC!CIO 16 - Arco biungastado
1 - Enunciado e dados
No arco biengastado (pÓrtico simétrico biengastado) da figura de
terminar o diagrama de momentos fl.ctores
P' 1,0 1/m
[[QJIDiiiTIJJJJ I _..,
--·------~--"'·---
0'1,01 ~ "" J4 ~ ------.. ··---- ----~
J3
~ P=2.0t J2 -..:::::
' Jl
'\Y
""ivr- . 8~0 m ___ J 4,0m
- -- -- -- - - ----------
g c constante
J l Q 60 000 cm 4
J2 = 20 000 cm 4
J3 = 30 000 em~
J4 = 40 000 cm 4
2 - Comprimentos fictÍcios, .e•
E J .e ' = ___ c_.s:__' .e E.J
.J = 120 000 em~ c
E • E • constante ........... - c
E o o. N
;k I I
,.v.
. 4,01Tl_J "~' '"'
8,0 m +-
E o I
E o "' E o \O
16-02
3 - Esquema de solução
O esquema de solução, as convenç~es de sinal e orientação dos ei
xos de referência são idênticos aos desenvolvidos no exercfcio 13,
ítens 2-1 a 2-10.
As inc~gnitas hiperest;ticas sao dadas pela~ f~rmulas
Xl =
X2 =
X3 =
lrco 17lydy
f y2dy arco
[r co 1Jixdy
J x2dy arco
lrco 'lr/,dY
dy
4 - câlculo das inc~gnitas hiperest;tícas
4-1 - Momentos fletores na estrutura bâsica isostâtica
'
4-2 - Diagrama de v
6,0
(I m )
( m)
16-03
4-3 - Ci1cu1o do centro c1istico C
para
u c
v c
c o
= -f vdy arco '--'---
! dy
arco
E J c c EJ
tÔdas as barras k de mesmo momento
2 .e· 2•[12,0·+·6,0 j \ds 1 = +
k o 1
ds
de
.e• k f vds'
o
inércia.
1 49,5.--(6,0 + 8,0)
2
1
+
·--(8,0 + 11 'o) + 12,36 ·--.(11 ,o + 1 2 'o) 2 2
~ r~~ 2[12,0 12,36 ]~ o ds' c + '• 9 '5 + 12,0 + 171,72
k
1277,60 ----_v c --~- ---~----_ ~----------~----~-----
171,72 .,. __ _7__ ~ __ 4_5 ___ m ___ _
4-4 - Diagrama de x
m.
4-5 - Diagrama de y
1,45
t E
"' ... ... -" o >
I ----
12 'o.
J ~ 1.277'.
16-0ll
4-6 - Cálculo de Xl
f iTlY dy
Xl nrco .. .. L co
y2dy
f E J 'tlzy c c ds -EJ--
arco .. L co
y2 E J __ c __ c_ ds
EJ
o
para todos os trechoskdemesmo momento de inircia.
Utilizando a tabela Al do anexo
4-7
2 k
5756,00 X 1 m
1125,60
.. { 12,0·+l95,0(2·7,45 + 1,45) + 77,0(7,45 +
+ 2·1,45)] + 49,5·+[77,0(2·1,115- 0,55) +
1 + 11 'o (1 ' 4 5 - 2 . o ' 55) ] + 4 9 '5 • -3-. 8' o (- 1 ' 4 5 +
+ 0,55) +
-12,0·+·[ 11,0(2·0,55 + 3,55) + 8,0(0,55 + 2•
·3,55)] - 12,36·--h--·<'·'·" • 4,55)·•.o}-m 5756,00
{
. 1 .. 2 12,0·--3-·(7,45 2
1 ·---(1,45 2 + o,55 2 -
3
+ 1,45 2 + 7,45·1,45)+ 49,5·
. 1 1,45·0,55) + 12,0·--(0,55 2 +
3 1
+ 3, 5 5 2 + O, 55 · 3, 55) + 12 , 3 G . ·-·--- ( 3, 55 2 + 4, 55 2 ,.
3
+ 3,55•4,55)} .. 1125,60
=5,115t
- cálculo de X2
1 f E J
fl?xdy ?llx c c ds EJ
X2 arco arco .. = E
f x 2 dy f x2 J c c ds EJ
arco arco
para todos os trechos k de mesmo momento de . ~ . 1.nerc1a.
16-05
k o
={ 12,0·+(95,0 + 77,0)•12,0 + 49,5·-~[77,0(2• .12,0 + 4,0) + 11,0(12,0 + 2·4,0)'] +
1 1 -49,5·---·8,0(12,0 + 4,0) + 12,0·---(8,0 + 11,0)·
2 k
·4,0 • :2,36.+···0.4,0}· ,.,,:
t•''•' -+2,0ol2,o' • 49,S·+(l2,o' • 4,o' • '•,0·12,0)
• 12,H,o' • 12,·36·+···''}- 10'32,0
30lo23,0 X2 = = 2 '820 t
10832,0
f dy a r co
--------7·--------~ Ec Jc ~-8 ---~-Jk;~s~ arco __ ~E~E~~~~----- = ---~~,~~~------
[rco cEJc ds ~ kdsl
----------------------- -----'•-8---- -Gá-1-c-u-lo--de --X-3
Irco171dy
X3 =
o
para todos os trechos k de momento de in~rcia constante.
2 ~~!( ds 1
k
1 -12,0·---(95,0 +
1 77,0)-49,5·---(77,0 +
2 1.1,0) +
o 2 + '+9)5.--.s,o-
3
.8,0 = ·-3089,0
2- rkdS I • 2[12,0 + 4~,5 k o
-3089,00 X3 = = -18,00 tm
171,72
5 - Superposiç~o de efeitos
5-1 - Momento flctor
1 12,0·--(11,0 + 8,0)-·12,36·
2
+ 12,0 + 12,36]- 171,72
~ . Da tabela 13-2, Ítem 2-7, do cxerctcto 13, tem-se:
M • m- Xl·y - X2•x - X3 r
M m- 5,115y - 2,820x + 18,00 r
1
16-06
Mr ( t m)
'-.....5,10 '-- 22,30
I
17-01
EXERCÍCIO 17 - Mitodo de Cross
1 - Enunciado e dados
Determinar os diagramas de M e Q na viga continua da figura
2 -
A
Coeficientes
s =
J = c
A 8
j
J ou
J .e c
0,07_50
de rigidez B
J 0,75.
J .e c
~ o~ 0,0875 A
o-c> ~ ~,1667
c D
3 - Coeficientes de distribuiç~o ~
A 0,344 0,656
A, D
0,625 0,3Z:~------x·
·1f + (; 4 - Coeficientes de propagaçao a
op 0,5 0,5 05 ~~o A E + A + B 'Tf =--"'
E
5 - Momentos de engastamcnto perfeito
O momento externo de +4,0 tm aplicado ao no D n~o entra no cil
ct!lo dolf m-ori1entosde engastamento perfeito das barras DE e DC, j;
que,
nô D
• ~ ••• J ~ ~ J'l nessa sttuaçao tntcta., o no Desta hloquendo. Ao .tJcrar o
entretanto n~o se deve esquecer de computar ~sse momenl:o no
cilculo do momento n~o equilibrado em D.
M = -BA
1,5. 2,0'2
2 = - 3,0 tm
Para que se verifique o equillbrio do no B
MBC = - MBA = 3,0 tm
Utilizando a tabela AS do anexo: MCB = -1,5·10,0 2
----------+0,5•3,0 = 8
=- 17,25 tm
onde a 2~ das parcelas corresponde à propagaçao do momento MBC •
• 3,0 tm, igual a a 8c·M 8c = O,S·Mnc
c
Utilizando n tabela A3 do anexo: MDE • -MED • = 6,75 tltl
12
17-02
No balanço à direita temos:
MFG • 2,0•3,0 • 6,0 tm
Para que se verifique o equilfbrio do no F
MFE = -MFG • -6,0 tm
Utilizando a tabela A4
5,0•4,00·5,00
2
9,00 + 5,00
9,00 2 - 0,5•6,0 m 5,65 tm
onde a 2~ parcela corresponde à propagaçao do momento MFE • -6,0 tm,
igual a aFE.MFE • O,S·MFE
6 - Compensação de momentos
Os nós foram liberados na ordem:
C, D, E, C, D, E etc
Para se trabalhar ~
com numeros inteiros, com boa precisão, cal eu-
lou~se no caso com a unidade tem.
B "0:51 [ ___ L_~ oc- I o,o I o,5
05 ~1 0,5 0,0 - 1 o,4GI o,t>39 1 1 o,344 0:656 I o,c2s o,3 75 F
-300 t 300 1 i25 +675 -675 +565
o + ~195 + 930' +465 ---·· ---
-265 ___ :: .. ~~º :1Q!Q_ - 505 r 192 r 304 + 231 o ----· ----
o +122 +143 +71
-45 -91 -172 ·-86 -
+27 + 54 + 32 o ~·~~~, ·--~~-
o + 2 1 + 24 +12
-·r -13 - 26 ---Jj --+4 +8 +5 o ---
o +3 +4 +2 ~ .. ~·~ ,~ .... - .. ~~
-1 -2 - 4 -2 --· ---
o o +1 + 1 ... t 1 +1 ~-
,, __ ~-"""""
o
o - 1 --- =
-300 +300 -784 + 784 - 86 -314 -834 +834 -600 t· 600
7 - Diagrama de momentos fletores (tem)
834
(M) 784 ---;~'-1125
G
17-03
8 - Ação dos ~
nos sÔbre as barras (t)
9 - Diagrama de esforços cortantes (t) ,,
(o ) 7,016
7,984
18-01
EXERCÍCIO 18 - Mitodo de Cross
1 - Enunciado e dados
Determinar os diagramas de M, N, Q na estrutura da figura
0,8 t /m
LW 1 1 1 VttL LO 1 I I I 1 UILLLIJTIJ - ,, ' '-- J Jz o
(1,0 t/m
n l I LLTj_l _j__l__j LLLJLLJJJJ ccccqiTILJ '/•·---------------....,"' O E
JG ,n-{ 2,00m --f ---~-""OOm
J 1
= 2 O O 00 O em 4
J 2 = 50 000 em''
E = constante
Q.f77H 1 I
·----}--300_m_~ -~O()_trl_-+-
2 - Coeficientes de rigidez B
s =
J c
J ou o '7 5
J ,f, c
~ 50 000 cm 4
, -
o f ~, IÇ
J --~~-
J .e e
0,300
0,400
H
3 - Coeficientes de distribuiçio ~
(/) O>
o Q
o
"
E o o
" \
18-02
4 - Coeficientes de propagaçao a
o
.,A o
lO o
H
B
5 - Momentos de engastamento perfeito
0,8·3,0 2
MBC = +. -----2
~ + 3,60 tm
c
~'
Para que se verifique o equilÍbrio do no B
MBA • -MBC • -3,60 tm
Utilizando a tabela A4 do anexo
--o,8·---lo;o 2 - -------
- 0,5•3,60 • 8,20 tm 8
a onde a 2. parcela corresponde a propagaçao do momento MBA' igual
a aBAMBA•+0,5•MBA'
1,0·2,02
M ~ -ED 2,00 tm
2
O momento MED • -2,oo tm, nio entra no c~lculo dos momentos do
engastamento perfeito das barras EA, EF e EG, ji que nessa situa
çio inicial o n5 E esti bloqueado. Ao se liberar pela prittleirl4 v
o nc; E não s0 dPV(' Pn;tr~t~nto esquecer (~sse momento no ciilculo d(~
momento n~o equilibrado em E.
Utilizando a tabe.la A3.do_ anexo:
HFI • -M • . IP
1,0.10,0 2
12
12
• +8,31, tm
• +0,75 tm
Conv~m observar que no cilculo dos momentos de engastamento PD!
feito MFI e MIF da barra FI, com carga inclinada em relaçio ao ei·
xo da barra, s~o usadas as mesmas f~rmulas que constam da tabelo A3
onde a carga considerada i a componente da carga dada na dircç~o ••n• mal ao eixo da barra. I interessante notar, conforme mostra a figura,
que 0 mesmo resultado i obtido se considerarmos a carga dada atuando
s6bre uma viga cujo comprimento i o comprimento da projeç~o da viga
na direção da carga.
18-03
p seno:. cos ct ou eritão:
e
6 - Compensação de momentos
Utilizou~se no caso como unidade tem
-200
o
-374 --::<)5
42 -9
4 -1
--=43·;
-·-=-~
-=--=T56-
433
-190 --2T _:.LO_
2 -2
-=374"
G
[Eii] [E;or-· 831 -834 189 2?~
-304 -152 38 76
-28 -14 --4- __ e_
-3 -I --··- I
730 ::-537 tl
95 19
2 116=
12
o2 . P•<-P
12
2 p • (R. cosa)
12
a c -360 360 =-= ~~.-=
-360 360
3 3os-
-75 95 19
2 =;n·
I I i
i
18-04
7 - Diagrama de momentos fletores (tem)
8 - Ação dos nos sôbre as barras (t)
1.14,ooo 4,ooo\..• 1o.oD. 2•400
(0,73)
0193 - --- ô;000"\:---1' ._ --,0,690
(1,93)
9 - Diagrama de esforços cortantes (t)
10 - Diagrama de esforços normais de tração (t)
Rsse diairama i obtido isolando os n~s, um por vez, e impondo as
condiç~es de equilrhrio.
"' ,._ o
" I
(!)
"' N
::: I
-2020 o
+ 1 630
I
EXERCÍCIO 19 - Mitodo de Cross
1 - Enunciado e dados
Determinar os diagramas de M, N, Q para o p6rtico da figura
1,5 i !2
e I _f!.QQm
E = constante
2 - Verificação do grau de dcslocabilidade
Rsse problema e equivalente ao de verificar a determinação geomc
trica da posiçao dos n6s da treliça originadado p6rtico pela articu
lação de todos os n6s.
n9 de barras: b = 8
n9 de nós: n = 5
b < 2n = 10 b = 2n - r r = 2
portanto, a estrutura e duas vezes des locâve l.
3 - Esquema de solução
\~-\ m:r:~~r~r:~l]JJ ITLLlll I I I I ----+ -- -~ ··~ "'"
X2rl I X2o I I
I I
s~z:, mTrLrnLdJ c:u rTrn:crn:r:::J
xl,i{~]-.
~~ I
""
I > I • LULLU.LLLI [UllJILilllLIJ
~""-------
X1o +
"f;' f!
'
' '
+
,,
r
X211\ I'
At 1\ I\
~ I I
o • Xtt I I I I I I, I 1/ li I/
li I I' I
( i )
onde:
a 1 [11 = 81r
a2 [12 = ô 2r
[11 ' [12 arbitrários
(r) = (o) + a . (l) + a • ( 2) 1 2
4 - EquaçÕes de compatibilidade
xlr = X 1 o + a ·X + a ·X 1 1 1 2 1 2
''K2t ,_.,,_xz o_,_+ '~ I''XTT_,+ -aT·X 2 2
5 - Coeficientes de rigidez B
s = J J r ou
c
J = j c
o' 7 5 J
J c
P'
+ 02 •
de esforços
= o
o
0 0,28G ~OJ_2Jl0 O
C D E o o
t "' N N
l G
G -- Coeficientes de di-st~ibuLçio.}J
7 - Coeficientes de propagaçao a
"l O;l o
"l o
"' ô
0,5
05
"' o
05 ~ 0,5
o o
0,5
lO o
o o
~l H
( 2 )
8 - l'roblema(o)
8-1 - Momentos de engastamcnto perfeito
UJ I i li li 4 I ,____----.-f A B
F H
Utilizando a tabela A3
MAB -HBA 0,8•7 o2
= = 12 = 3,27 tm
1 6•7 0 2
MCD = -MDC = ' ' 12 = 6,54 tm
HDE -HED = 0,8•8,0 2
12 = 4,27 tm
= -2 2 ' 3 ' 3 ' 4 ·~l~ = - 1 , 7 O t m
5 0 2
' 2,3·3,4·1,6 2
= 0,80 tm 5 0 2
' 8-2 - Compensaçio de .momentos(tcm)
Ordem de liberaç~o dos n6s: C, B, E, A, D;
F
-113 lO
I -1 02
G
C, ll, E, A, D; ..•. etc.
H
BO
,,
9 - Problcma(l)
9-l - Momentos de engastamento perfeito
\
~c~-----------4-~'~o~------------~@E
Utilizando as tabelas A3 e AS
6·E•l,S•j•t:.1
5 0 2 ,
= -(6•E•j·t:. )•0,0815 =-163 I
.... +16(; = 3•E·l,5·j •t:. 1
5 0 2 ,
'! ='l = 'Ell 1 IIE
Sendo t:.1
arbitrário, foi assumido
9-2 - Compensaçio de momentos
(6·E·j·t:.) = 2000 1
Ordem de liberaç~o dos n&s: A, B, E, D, C; A, B, E, D, C; •.•• eL•
!\
__ Ql) __
0,500 -163
81 --1--14
=:L ~96'-
0,5 0,500
82 30
-15 -1
= 9G
1 g:~~.~o1c"==::-.L: -IG~
4 O "O'.Jc5"-,-,-l -3 t-I --:? 0,3_4.'1.
2 120 =i 31 -4
3
119
F
05 0,500
' 1 61 -7
_..:}_ -I
91
-163 30
~ -1
2 -I
B
()2__ 0,500
-163 61 13
_:!L 1
= -91
0,0 0,215
60 .2Q_
I --a~-
G
-22 23 -3
I =-::=
-i
H
80 -1 ti -2 t)O
19-05
10 - Problcma(2)
10-1 - Momentos de cngastamcnto perfeito
r ,
' c o E
F G
Utilizando a tabela A3 temos:
= (6•E•J' ·A ) •0,0815 = 163 2 '
Como 62
é arbitrârío, foi assumido
10-2 - Compensação de momentos
(6•E•j•A) = 2000 2
Ordem de liberação dos nós: A, B, C, D, E; A, B, C, D, E; ••.. etc.
E8
Õ~5--~-"
0,500 i63 -81 -20
25
g~~J 163
- G 1 ·-:Ts-·
1 8"7 88
E~~-~c ~~~~d~.L~~ 163 ~---L=~-'----' -20 -27 ------·
"40 _Q,S___ -15 -31 0,5 o o 3 - 40 0,344 1 -::r· (J273 O 215 -1
12 -4·3 . ·- --1 ··:·54 -52 163 ·24 1 -30 -24
-42 ..:.lL
-25
96 -I
ToT
F G
-21 ._.-21-
-13 7
-6 •
E
.i~4~~] 6
6
1.9-06
11 - C~lculo dos Xlj
11-1 - Express~o ~eral para os x1
j neste problema
1 - 1 H = H = em
1 2 350
1 -1 H = " = H = em
3 ' 5 500
Pelo PTV:
= o
xl. = s~o~< L N colunas inferiores).]
riores)- T cargas
11-2 - Cálculo de X X X
X 1 o
1 o 1 1 1 2
1 (-1Q2 - 201 + 12 + 211 + 93)-500
+ NBD + NDB) - Tcargn•
1 ( L ~~ c o 1 unas s u r •
3.50
1 350 (-272 - 261 +
+ 117 + 209)- 2,3·0,68 = -0,947
X = -~-1---(119 + 119 + 81 + 60 + 39)- --1-(-131 - 96 - 107 +
500 350 1 1
X = 1 2
- 91) = 2,050
1 -(-21 - 42 - 24 + 3 + 6)-500
12 - C~lculo dos X2 j
1 350 (96 + 87 + 101 + 88)=
= -1,221
12-1 - Expressao geral para os x2 j neste problema.
1 wl = w2 = 350
Pelo PTV:
T = T. = O ext 1nt
- 1 em
1';)-V/
1 = ·---( 2_ H colunas superiores) - T 350 cargas
12-2- cálculo de x20' x21' x22
~!o (-272 - 261 + 209 + 117) m -0,590
1 =
350--·(-131 - 96 - 91 - 107) = -1,21s
1 350 (96 + 87 + 88 + 101) = 1,062
13 - Soluç~o do sistema de equaç;es de compatibilidade de esforços
Substituindo os val;res dos X .. obtidos nos [tens 11 e 12, nas elJ
quaç~es do [tem 4, tem-se o sistema:
2,050.a1
- 1 22l·a ' 2
-1,2l5.a1
+ 1,062·a 2 = 0,590
cuja soluç~o ê: a
1 = 2,502
a2
= 3,410
19-08
14 - Superposiç~o de efeitos - Momentos f1etores - Convenç~o de
Crinter
-261 -241
297 -205
-272 -328
328 =-27i
........
-
A ~~~· """'-~- -~·
261 241
-2 97
2õ5
c
-201 298
-144
I c
-47
-102 298 -72 124-
473 30
-I 84 319
B .. --209 209 228 -228
-300 300 -201 281
r-- D
1--733 67 117 12
-178 -2613 204 -82
-844 345
134 194
------- ------
-&2.
15 - Diagrama de momento fletor(tcm) 490
604 -3
-85 516
... ------ --- -- .. - -----
~:~80-~,~-::--~-171
f:~ "" 319'- ----r ~~Th~----r-------4/·rt1272 nunJ?A'f'''l , . ~~4 ·"Cr:crrrrniiJ
-124
16 - Açio dos n~s sabre as barras(t)
\0
/2.800 . 2,800\.
.-----t-1--·--:-c-=-:----+-h -·- V I ( - 0,76 )
1.360_,.., -;:: ,___ "' ,..
1,360 "' 0380 _.~5,600 5,600 \ - / ' 00 "2000,3:0~
lt "J tl/3'2 "''t
--. í (· 5,25) ;,---r I (3,06) I 1 o, 75o 0,750 l
... "' --
0,?.00 ....
--
-
E -=93 ~
-- ---- -----------
/1,200
- .. '-1 560 '
N O}
IÔ
-"'--' 0,.14 o \..- 1,200
··97 ~rr -20 20
-210 --210
.......... J.:H 211 151
10 372
19-09
17 - Diagrama de esforços cortantes(t)
o, 160 0,200 :c --1,940
18 - Diagrama de esforços axiais de tração(t)
Rsses esforços são obtidos isolando os n6s e impondo as condiç~cs
de equilÍbrio.
-1 360 c---
o
"' o (f)
"' ,.; N
' I
+ 1,520 • o 360
o o o " -- "'! N
~) N "' ,__. '
N-
I I
c. ->- '-
20-0l
F X F I~ C f r. In ~O
Enunei:1do e dndos
DPtennino1r os dinr~ral'l:JS de H, N e 0 nnrn n vtea Vierc·ndP11 d:1 fi
~:ur~l. I p, 3,0 I
."'-· y fl=----------,~ . E! li 3j -~!· 3j í0'2PI
gi h 2j !4J
"''I li i iio 4 j ft :cE ___ 4.:_J -----F~.-
- } -- ~ "'·'·~ "},
l ~f..w 1 , "' -~- 3,0Q_m_ 7/r i __ _ G,OO 111 ____________ _§,QO_m ___ j-.,
Verificaç~o do gratl cld dcslocallilidade
f~ssc prohlerna e ecttiivalente ao ele verificar a dctcrJninaç~o gcon1c
tricn da posiç~o dos n6s da treliça originada do p&rtico.pcln nrti
ct!]~c~o de t()<los os nos
.i 'c.
n '·) cl e 1) n r r as : b = 1 O
n9 de nos: n = 6
b < 2n a 12 ; b a 2n - r r a ?.
portanto a estrutura~ duas v~zes dcsloc5vel.
1 - Esf]tlr>mn dP soluç~Ío
..-.=:.-. -"'"- - - - - . -,- ·-- -- - -:.;:.~·-""-~~
+ O] • + oz.
(I )
(ltld(':
n = <1 1 /11 I r I
11 2 = 8 2r/A 2
4- l!qunç~csdc compntlhilidodo da esforços
X1
~ X + n •X + a ·X ru O r I O I I 2 I 2
x2
D x + a ·X + n ·X C! o r 20 21 2 22
5 - Coeficientes de riRidcz, A
(l =
J c
J
J t c
j
ou 0,75 J
J .e c
o 500 0500
'<> •• ,..,
c'
... I<)
~~~~6~6~7-------~-E~-~~-9o_o ____ ~o~,6~6~7 _______ ~~~ooo ~ - Coeficientes Je distribuiç~o, JJ
7 ·- Coeficientes d (~ proJJ.ngaçao, o.
A 5 B 0,5 0,5
"' " ô o
"' c0
cS ____ 0,5 cS
()L Qó ,. 0,5 c
•) ~)rol_, 1 eJ!1r!.(o)
8-·1 - r!or.1cntns de T)crfcito
8
lJtiliznndo n tallclo A1 do anexo, temos
}íBA= -.
2 3,0·3,0·3,0
3,fl·3,0 2 ·3,0
(, ' o 2
~2,25tm
=-2,?.5 tm
"' o
20··03
8-2 - Compensoçio de momcntos(t em)
Ordem de libe~açio dos. n6s:
A,B,D,A,E,C,D,B,F,A,E,C,O,II,F,A,C
05 05 05
05 0,273 o 300 0300
225 - 225 0~00 76 _-61 -30 103
-5 38 76 ·-11 7
_..:.lli_ --9 _]Q -=2 11 4 __ 8_ ·2 _ __ 2
-=lL --=-1.... -2 2 78 2 1 2 102' -2 • 1
-180 -184 Ts4''
------------------------ --- ------ • --- • E-----------------
EH33l iõtl l%W 23
·5 5
-1
-27
-11 11
---2-___ 2_
27
9 - Problema(l)
""f3 tQ.}m -21 -21 51 --4-
--6- _:22 -5 --5 5 1
--, -5 -1 1
-· -J_ ·1 -22 -7
9~1 - ~fomentos de ettgastamento perfeito
6·E·4j•l:J NCF
1 HAO = H <.<: = HFC = IJA
.e_2
6·E·2j·ó 1
k 50 HBE ~ HEB ru = = .e. 2
onde k e arbitririo ji que l:J i qualquer. 1
9-2 - Compensação de momentos
Ordem de liberaçio dos n6s:
A, C, D, F, B, E; A, C, D, F, B, E;
2k
-0,5 J .Sl.z?J 38 ·28
-10 --8---4--9
-3 2 --~-
_c1~ ·2 29 --=29-·
-2 =·-~2~
·-3 3
- 100
. et:c.
o 727 100 -73
-22 __ l'l
-2 __ 2_ --24"
0,273 -27
--=4 7
---=1 I
-24-~"'
-13 _:::_]__
4 -2
-~ya·
50 .:lº-.
-4 36
--13 - 7 -4-
-2 = -18
-4 _ _L_
.. l
~---·-24
o~O 0,~~
~~~li------------~~~r-~:i~~~~li--------------1().5--tFi.~ ~~~
-2
-28
10 - Prohlema(2)
10-1 - Momentos de encastnmento perfeito A B
--.:-:_-.:-- - - --- - T -----------:.:::- . ----
D
_15.__
~·IA n = ,,
--NBC = -·-N = "liA CB = 3k I = 7 5
M = l\:n = --:!EF - ·nE = -- i·l F E =
_f2
Ó·E·I,j./1 ______ 2__ = 4k' 100
_('2
011dc k' e nrl>itrado, j5 que A -pode ser (f\tal~uer. 2
10-2 - Compcnsoçio de momentos
Ordem de lil1craçio dos n6s: A,CtD,F,H,E; A,c,n,F,B,E;
75 -lO
3
68 -I
~3
- 42
9
-~2-
. etc.
05-l -~m
55 24
-IT
~ -2
(r3-
'
-0~5~ [0;5 @_6Q7 D
-27 ~-0-5--~--------~~--r---!~l~~~-,--------------r~~~
O GG7
F i27
~ i-9
-49
9 -6
I _·_I_ -=··r3
-3
73
100 -12 ---=-i-::::-.=:::=~
87 3
-73
~ ·-I I
~~-73
20--0S
11-- C5lculo dos X1
. J
ll-1 - Express~o geral
\•/ I
1 :::: -- -·-·--
300
para
-1 CT!l
X l' - J nêste problema
Pelo PTV:
T ext
X lj
xlj
X 1 . . _]
= T. = n liit
1 + T - ~< 1 (fi,D + H11 ,)- 1<2
(HllE- + ti ) -- "' (t-1 H! ) •d) cargas J\ L\ _ EH 3 CF FC 1
= -JÓO-(N1\D + Nll/\ + NBE + HE!l + HCF + MFC) -,Tcnrgas
---3--01-0---0: H co 1 unos)- T
cargas
- -11::2 - -- cãTc\iTü de x x x lO 11 12
X I O
X
- "3~0 - . (- 1 81, + 1 o 2 -- 2 9 -- 2 7 + 2·9 + 3 ) - 2 ' o . 1 u -- 2 ' 3 5 3
1 = -'300--· (21, + J6 + 21, + 211 + 38 + 28) = o, 591,
1 I
= _l_ --. (- 6 3 + o + 6 3 - 7 3 + o + 7 3) = o 300
X I 2
12 - C~lculo dos
12-1 Expressão x2j geral
h' "" \1 3 '•
1
1\00
-I em
nêstc problema
X2 .. 1 + T .. "' (H + N , ) -,., (N + Hl'll) + '"3 (l!llC + NC!l) + -J cargas 1 i\Jl Jl/\ 2 DE -
x2. -J
x2. -J
l
1 = --- ---(J::t-1
600 vigas da esquerda)-
1
1 --( 2)1
600 ta)--
+ N ) - T FE cargas
vigas da di rei--
T cargns
20--0(,
12··2 - Calculo dos X , X , X 20 21 22
X 2 o
l ~ ···--- -- ( l 8/1
600
1 - 1 8 o + 2 7 -- 7) - ----- ---. (7 8
600 +29-·2?.-3)+
1
1
-- 3,0·-------- =- 1,597 2 1
-----(-18 600
X 2 1
X 2 2
~ -- .. -- (- 2 t, - 1 8 - 2 8 - 1 9 ) -óOO
l c ------(63
600
l + 6 8 + 7 3 + 8 7 ) - -------- (- 6 8
600
·- 24 - 19 - 28)• o
- 63 - 87 - 73) •
c 0,970
13 - So1uç~o do sistema de equaç~es de compatibilidade de esfor-
Ç OB •
Sttbstituindo os val~res dos X., obtidos nos ftens 11 e 12, nas (• lj
' 1 unçÕes do Ítem 4, tem--se o sistema:
a ·0,594 + a ·O 1 2
= 2 '353
a ·O + a ·0,970 = 1,597 1 2
cuja solução e:
a = 3,960
a = 1 ,(li,() 2
14 - Supcrposiç~o de efeitos - Momentos fletores - Couvenç~o de
Grinter
M uM + 3,9(,0·M + 1,646·M r o 1 2
B ~
-1~4 -·100 71l 29 - 2') ·71 102 -71 -9 5 -9!) 95 95 I 04 11 2 142 -112 -104
·104 193 --~n~f- o ::-ro5 ~no-104
-~ 19:~ 244 170
20··07
15 - DinRrnmn de momentos fletores (tem)
240../
16 - Ação dos ~
nos ( t) sÔbre ns barras
o,o:o.,.. \.-jH!-..I-1,_5oo---:-( o,.-,.,.54-clc--1-,5-o_o_"-_-t!-+lj_:o,~~ Jo, 459
~L \.1,410 '1..1,346
Ú) "' " N N - <i
o N ..,-'
0,763~11<·--· ·_·~_· Al-k-o-,-16-2---:(-::o-:,9cc7-:l-----;l:r{J:: ~''"" -~-0-,7-)lé ''~ 0,162 .
17 - DiaRrama de esforços cortantes (t)
,...........1,590 0,459
A ... ''\;, --O, 763
0,162
20--08
18 - Dia~rama de esforços normnis de trnç~o(t)
Rsses esforços s~o obtidos isolando os n~s c importdo as condiç~cs
de cquilfhrio,
A -o 763 B o 647 c
"' o "' Ol
Ol ô "' "l '<t I
I o I
D 2, 756 E 1,346 F ~--------~~~----------~~------~~~----------~~~b'
,,
"
21-01
EXERCICIO 21 - Mitodo de Cross
1 ~ Enunciado e dados
Determinar os diaeramas de M, N e Q para o piírtico da figura:
J2 c E 2100 t/cm
'2 ~
e o e .,.
J3 "'
10000 ,, -I, ,,
Jl ~ em a 1,0.10 11\
J2 15000 4 -4 4 = em ~ 1,5.10 m
J3 2()000 4 -4 4 = em = 2,0,10 m
o seny = 0,6
_ --~,QO_m__ -~ ___ 4,0Qm_--t-cosy = 0,8
- -················------------------··· --- --- --- ------- ----------
do grau de deslocabilidade 2 - Vcrificnção
f,sse problema ê
mitrica da posição
ticu1oção de todos
equivalente ao de verificar a determinaç~o gco
dos niís da treliça originada do piírtico pela ar ~
os nos:
nR ~P hnrrn~= ~ • 3 n<.l df-l niís: n "' 2
h ~ 2n = 4; h "' 2n -
RRFERR~R A AR~fRFHrR ~ H~R
Q
r; r = 1 • ' !
------------- ~IQ
t ~~
191 ' ·'
?.l.-0?.
lo - EqunçÍÍo do coropntibi lidndc de .Cn·fo.r.9o,s, .·,,
5 Cocfi.cient:cs de r:i.gidcz, (l
J ,)
(l = ·- -· -----~ ~ ou o '7 5 --~~~-~·-
J c.t J c.e .) = 5000
!, c em
A
D
fi - Coeficientes de distribuiçio, 11
0,600 g ~-
7 - Coeficientes de propagaçao, a
8 - Problemn(o)
R-1 - Momentos de
05
enr,astamento
~/ perfeito
c
o
. •. :····.
·. '·. I>'
lR, [tp~ ~. podp-se ut~li- ·
~nr n ~Al!Pln A3 PArA Pl!~cnç~R rtP MAQ e MQA
n,:l4 ~ ~ .. n~
..
8-2 - ComJlensuç~o de momentos
Para se trabalhar com n~_:~ inteiros e pnra se obter boa precinão
traballJou-se com n uni<ladc kg.m
Ordem de lil>eroç~o:
R,C; R,C;
+ 320 56
5 o
9- Problema(!)
.etc .
-1 46
( kg. m)
9·,1 - ~fomentos de cn~astarncilto perfeito
/1.
" = ___ _! ____
~ o , l. 6 7 1\ 3 6,00 1
'I\
= I = o, 188 !I " ~--·--·----
2 5,33 1
"' 6,67
"' = 2 = 0,250 1\ 1 I 5,00
/\AB = 5,00.11 1,250 1\ 1 I
111\C = t,,nn."' = 0,750 1\ ?. 1
11 cn = 1\ 1
o
/
/ /
/
n
E
- ®. 2. ~ [fi t:'---t·---- -_.--· A . ·C·"-·---~L- - -- BC
o' 1
! : \_-h\1 I ~ "" I I
I I li
--11 ""3 I I I
o:m
E o o <f)
-4 (,,E.l,O.J.O .1,250.!1
~~-----~-~ ------·· _;__ _________ __!_ = 5 'o 2
-4 0,300,10 .E.ll
I a 300
-4 lí.E.l,5.10 .0,750.6
- _____________________ I __ = -4 -0,421.10 .ILII
. I lo , O 2
-4 3.E.2,0.10 .11
--~---·-----·-----L- = -4 0,167.10 .E.ll = 167
6 '02 I
Como li c qualquer arbitrou-se I
-4 (10 .E.ll ) = 1000
9-2 - Compcnsoç~o de momentos
Ordem de 1iheraç~o:
C,B; r.,r.; . etc.
16
1 -= 317
A 300
8 o
308
10 - Cilculo dos x1 j
B
I
76 152 29 15 -- -9 -4
3 I == -1 -317 ~
-263
J.0-1 - Expressão p,erol para x1 • neste problema .J
A
c
00 0,400
167 .J..QL
-6 o
263
21-05
Aproveitando resultados do ftem 9-l, com ~ • l, tem-se:
H • 0,250 I
~~·. 0,188 2
H • 0,167 3
Pelo PTV:
10-2 Câlculo de X e X I O I I
I
1' carga
X • 0,250(381- 197) + 0,167.(-46) - 0,188(197 + 46)- 4,0• I O 1
.240.---.1,0.- 487,3 2
X • 0,250(309 + 317) + 0,167(263)- 0,188(-317 - 263)• 308,2 I I
11 - Soluç~o da equaçio de compatibilidade
Substituindo na equaç~o do ftcm 4 os val~res do {tem 10-2, ten1··st·
-a equaçao:
-487,3 + 308,2.a • O 1
cuja solução c:
a • 1,582 I
12 - Superposiçio de efeitos - momentos de extremidade -
Convcnç~o de Grinter(kg m)
'3ii\ 487 868
-1 97 502 305
197 -502 -305
46--416 -46 -3 7Õ- ..1JJL
370
13 - Diagrama de Momentos F1etores (kgm)
-M"fl-~370
14 - Ação dos ~
nos s Ôb r. e as barras (kg)
..-169
235 _..,.62 384'l
' ,..., " 384~ ----'- o
' 235_; ., r-"'
15 - Dlagrnmn de esforços cortantes (kg)
I 16 - Diagrama de esforços normais de traçao (kg)
Rsses esforços foram obtidos isolando-se os n~s e impondo as
condiçÕes de equilÍbrio
-162
..
?.2·-01
EXERCfCIO 22 - M~todo de Cross
1 - Enunciado e dados
ncterminnr os diaeramns de M, N e Q para o p6rtico da figura:
E g constante 400m
s,j
8 c=
_ __,4..,0Q.m __ + 2 - Verificaç~o do grau de doslocabilidade da estrutura
Rsse problema i equivalente ao de verificar a determinaçio geo
m~trica da poslçio dos n6s da treliça originada do p6rtico pela ar
tlculaçio de todos os nos,
n9 de barras: h • 3
n<."' de nôn n • 1
h > 2n ; h • 2n _+_.r ; r ~ 1
Essn e::~trtttltrH tom n posi.~;flo dos nos super determinnda, portnn-·
to H e s t r u t: u r n o r { g l n H 1 t (~Ir! g ;· ü u d e d e s 1 o e H h i. 1 i d a d e n 0 g n ti v o i. g u <l l
a 1. 3 ·-· T\s<JII(•mn dn solução
4 - Equaçio de compatibilidade de deslocamentos
o •Ô +Xl"l =O 1 r I O I I
5 - Coeficientes de rigidez, S
J J :e: ou 0,75 J
J l c c
J = j c
6 - Coeficientes de distribuição, ~
7 - Coeficientes de propagaçao, a
8 - Problema(o)
8-1 - Momentos de engastamento perfeito
Utilizando a tabela A3 do anexo:
8-2 -Compensação de momentos(t em)
A
208 45
2 53
~:f~~~T -208 74
89 ~=í'H 74
o
8-3 - Diagrama de momentos fletores(t em)
c
c
22-03
8-4 - Ação dos ~
nos sôbre as barros ( t)
8-5 - Diagrama de esforços cortantes (t)
O o
/
8-6 - Diagrama de esforços normais de tração (t)
o
' o
A B c
9 - Problema(!)
Os Gnicos esforços internos no problema(!) eorrespondem ao esfar
c;o normfll.
DiagraMa de esforços normnis ele trnç~o
A
10 - C~lculo de deslocamentos
10-1 - Expressão neral
ô •• lJ
= J H i ,,_N,i_ds. + estr E .J f o . -~-Qj_d~~ -
.i estr G S J
N ds + N. , ___ c __ ' l
estr E S Como no problema(l) s6 existe esfôrço normal, tem-se
I~ • R • c) l j s {'
"
2~·~()1,
10-2 - C~1culo de &1o e 611
F • c • · = ", • 'l • (- 1 , f1 'lO) • ( -O , f\ 3 1 ) + 5 , O • ('· 2 , l 1 O) • ( -O , ll 3 3) = 4 , 3 O + I O
+ ?.,89 = 13,19
E· s · 8 - 2·5,0·0,833 2 + 3,0·1,0 2 = 9,04 J 1
ll - Soluç~o da equaç~o de compntlbili<lade de deslocamentos
'!ultipllcando todos os têrmos da equação do Ítem 1, pelo fator E•s,
~~ ~sthsti tuindo Os vnlôres do Ítem 10·-2, tem·-se:
13,19 + :\1·~.')4 =o
X =- 1,325 t 1
12 - Superposição de efeitos
ns dia~rnmns finais de momento fletor e esf~rço cortante sao idin
ti cos aos do problema (o), que constam dos Ítens fl-3 e fl-5, li desneces'
s~rio repPtÍ-lns.
(1 diaJ~r;ti!Jn de esf~rço normal, de traçao, sera:
Nr ( I )
A
D
H
'I o~
c
EXERC:í'ClO t.:J Procosso dos Deslocamentos
1 - Enunciado e dados
Determinar os esforços nor1nais de traçao na treliça da figura,
onde t~das as barras sio do mesmo material,
f o
P• 10 t !!i'
A 'UI
s
E
2 - NGmero de deslocamentos possfveis dos nos
Apenas o n6 E pode se deslocar, e iste pode ter dois deslocamen
tos independentes, por dxemplo, uma translaçio vertical e outra ho
rizontal.
+· L\q •
I I I I 1//.r
r~'~. L ; L\' Ec Se
(I )
7í. + deslocamento
Xzo
•.
+ Llz .
J
x,z X22
6 ~ deslocamento ampliado, tal que, A ~ E
+
(o )
•--· --l- I ~-~· E1: Se ' Â' I
( 2 )
s li c c
I J
2 3-02
4 - Ângulos e comprimentos
5 - Equação de compatibilidade de esforços
xlr .. XIO + 6 •X + 62 •XI2 I I I .. o
x2r a x2o + 61 • x2 1 + 6 2 • x2 2 • o
6 - Esforços no problema(o)
X I o a -P • -10,0 t
x2o - o
7 - Esforços no problema(!)
7-1 - Alongamento das barras
I I
Ll.e ~E co• ru
E m E m constante c
s , ID S c
6 --ES-c c
1 "-··rrs-c c
= -
6 .eBE .. - llcos56,3'? .. -
AlCE .. - llcos36,9'? .. -
llfDE Q - llcos26,6'? • -
7-2 - lisforços
N = ES .-Ai ·
nas barras E S,
= --if~ s c
portanto: N = -AE
j íi que 6 A 1
~E__:::1..,s-. o • o o o c c
1 E~-8--· o, 555
c c 1
-E-S-• O, 799 c c
E c
1 s
c
E S Al c c --z--
23-03
NBE .. - 1 • 2 • 0,555 - • -0,307 3,61
NCE .. - 1 • 3 • 0,799 - n -0,479 5,00
NDE .. - 1 • 4. 0,894 6, 7 2
.. -0,532
7-3- Cálculo de X 11 e X21
X11 • 0 + 0,307•0,555 + 0,479•0,799 + 0,532•0,894 • 11029
X21 .. - o 7 0,307•0,832 - 0,479•0,600- 0,532·0,447 • -0,781
8 - Esforços no problema(2)
8-1 - Alongamento das barras
T I I I I /
.... /
.... /
.... - . -- - - ...... _, -- ----------~---------
8~2
E m E .. c
s " B c
K 11 " E
c s
I I I
constante
1 .. !i:-s-c c c
.. ~ Ja
1 f...f_AE • lí. • s en90, 09 rn
~~E-s--
c c
f..!BE Ó•sen56,39 1 • • ··-E--S--c c
li!CE Ó•sen36,99 1 • m E s
c c
f...f_Dll Ó·sen26,6Q 1 .. • E s c c
- Esforços nas barras
lll ll s E s c c N • ES·-r " --·--· .e. E s
c c portanto
NAE .. 1·1. 1, 00()_ • 0,333 3,00
que f.. .. 1
1,000
. 0,832
. 0,600
• 0,447
b.l
23-04
0,600 NCE ~ 1'3•---=+"-7--" 0,359 5,00
NDE • l•4•~~L_ • 0,266 6 '7 2
8-3 - cálculo de X e X I 2 2 2
·x,2
• -0,333:0 - 0,461·0,555 - 0,359·0,799 - 0,266·0,894 •
• -0,781
X22
• o,333·l,ooo + 0,461·0,832 + o,359·0,600 + 0,266·0,447 •
• 1 • o 50
9 - Solução do sistema de equaçoes
Substituindo os valÔres dos Ítens 6, 7 e 8 no sistema do Ítem 5,
tem-se:
-10,0 + 6, ·1,029 - 62•0,781 • o
O- 61
·0,781 + l\2
•1,050 u O
que tem como solução
li, • 22,35
{\2 • 16,63
10 - Superposição de efeitos
Como (r) • (o) + 61
• (1) + 6 2 • (2)
+ 16,63·0,333 - 5,54 t
NBE • O - 22,35•0,307 + 16,63·0,461 • 0,80 t
NCE • O- 22,35•0,479 + 16,63•0,359 • -4,73 t
NnR • 0 - 22,35•0,532 + 16,63•0,266 • -7,46 t
B c D
Nr ( t )
I!
· ''r~ c 'f r~ T n ~ lt - P r o c c s !> o do n .n c~ s l o c ame n tos
1 - Enunciado c dados
1'('tcrmi n;Jr o dínr,ramn de momento.s fletores na vip;a contfnua da
firura
_Lp= 1,0 t/m
lllirr-,-,. rrl'1 U I I I I I I I ~ ~... 3) ~ ~ s F
r= 5,0 t Tf p ~ 1,0 t/m
' I I. 2m 9 m ' 3m , f ?m
2 - Esf!uena de solução
LLLITL1 fÍ ~ I I I I I x l P x2, LU I I I I l?1 I I I 11
~ :a: - - =6?f :::.:e- >- fEJ c:c~ I' A=-'-ApA=Atl Ã:-1-. A2;A=t.2 . EA Ec{ !
( r l
.. . t ........ - -f- Til _L_ - -- -, I . {P cP UJ I I I I'LriJ I I li x iP x 11 I li 111 I ll I 11
10 20
~--- --- ~~ --- -:.;;;:.-'i) ~- -----~ I I + ! !
(o ,
( I l
K
X12 _
ri)-------- ( 2 ,
onde:
K + deslocamento
A + deslocaMento ampliado tal que A • E J K c c 3 - Equaçoes de compatibilidade
X + A •X + A •X = O 10 11 2 12
X + A ·X + A ·X = Cl 2 O 1 2 I 2 2 2
f
4 - ~fomc11tos tle Engastnrncnto perfeito <levi<!os n cleslocamcntos
~1111plíndos utlit5rios.
~1~1s tnhelas A1, Al, c J\5 elo nnexo pode-se compor:
TABELA 24
ESQUEMA f (f l f ( 'f l f('/•1) TAB
A B MAs MaA MAB MsA MAB Ma A
A3 ~ + _?EJ if 4 EJ if 2 EJ 'f + 4EJ'f 2 4 + + +eo +-r e e e Ec Jc e Ec Jc
-~ ~
'I A4 ~ 3 E J if 3 EJ f 3 - e - - - --v -
€ Ec Jc
r-~-~
~~ ~r-----~
A5 + 3 EJf 3 EJ 'f 3 - - +--~ - +-r e e E c Jc
E .J ~- (;o,nrrinteJlto!; cqtiivalentes, f' c c f
E E = constante E J c
J c .i
c o E A A
A 8
I t
3,00 m ~!O,OOm T ----~,00 m l 6 - ~fomentos nas ~>xtremidades das barras nos problemas (o), (1)
e ( 2) , -~
na conV0IlÇno ti(~ Grintcr, em trn
Utilizando as tal>elas A1, A4 e A5 e taml>~m a tabela 24, tem-se:
.---,.-----~.::2~~?~ ,fS;3,_3..,5'--------'3"'-' 1~5'--J;zj;;> 12.L~--~---~~-~---· B c o
A 8
A B
.,
-100 -040 A' c
-020
c
7 ·- Determi11aç~o dos esforços X .. 1)
·- 040
D
-060
----.Ã (O)
E
(I)
E
( 2) E
7-1- Expressão geral para X .. , na direçÃo i, no problema j. X. 1 J
I)
MuqÇ~ --~~)M~•I
Pelo P'l'V, d1r
T r-'f', c{) ext Jnt
v + ~1 + /1 . I:: o "ij esq d1r
X • . c - (1! + tf d • ) lJ esq 1r
; ... - '
7-2 - Val~res num~ricos
X ~ -·(-9,15 I O
·l· 7 '3 5) m 1 ' 8 o
X 2 o
= -(··3,15 + 12 '50) ~ ··9 '3 5
X = -(··1,00 I I
-· o '4 o) = 1 ',,o
X = -(-0,20 + 0,00) = o' 20 2 I
X = --(0,00 I 2
- 0,20) = 0,20
X 2 2
= -tO, t,o - 0,600) = 1,00
R - Soluçio do sistema de equaç~cs de compatihiliddde.
Substituindo os val&res do [tem 7-2 nas equaç~es do [tem 3, tem
· se:
1,80 + 11 -1,40 + 11 ·0,20 '"o I 2
-9,35 + 11 ·0,20 + 11 ·1,00 =o I 2
uc tem como solução:
--- ---- ----f"l --=--~2--,--7-0---- -------------------- ------ ------- --1
11 = 9,88 2
9 - Superposiçio de efeitos - Momentos de extremidade (tm)
;zs;= A A -9,t5 7,35 ~ 3,15 12,50
2,70 1PS 0,54
-1,90 • 3,96 -5,93
---· -···-- ------6,45 6,45 -6,57 6,57
lO - Diagrama de momento fletor(tm)
12,50
E
25-01
EXERC!CIO 25 - Processo doa Deslocamentos
1 - Enunciado e dados
Para a estrutura da figura determinar o diagrama de momentosfle
tores.
0,4)
4 J
E • constante
2 - Esquema de solução
/ PI nf!JJ ITIDIUT ,
E o N
"'
+ .Ói.
~ Xu~
+ .Ó.2.
~ X32
( 2 )
onde: a • E J a +deslocamento &lnpliado . e c
3 - Equaç~ea de compatibilidade de esforços
xlr - X I o +a • x + a2 'X + a •X ru o I I I I 2 3 I 3
x2r - x2o +a •X + a2 ·X + a3 .x - o I 2 1 2 2 2 3
x3r = X 3 o +a •X + a2 •X + /1.3 'X - o I 3 1 3 2 3 3
JSi ( 1
\
+
25-02
4 - Momentos de engastamento perfeito devidos a deslocamentos am
pliados unitirios nas extremidades.
Utilizando as tabelas A3, A4 e AS podemos compor:
TABELA 25
ESQUEMA f ( Ã) f (A) f(A•t)
TAB
A B MAB MeA MAB MBA MAB MBA
~là 6EJ à 6EJ à 6 EJA 6 EJA 6 6 + e i + ez + 2 + 2 i· Ti' +Ti' f Ec Jc t Ec Jc
A3
~'I + 2EJ;;- 4 EJt 2 EH 4EH 2 4 ;.-· +-- + + +r +--
t e e Ec Jc t EcJc t'
~~Ã 3 EJÃ 3EJ Á 3
+ ell -- + t' EcJc -- +--.;; --
A4 ~ ~
3 EJ of 3 EJf 3 - -- - e E c Jc -- --e·- --e
---3-Er.o:-- -- ------ ------ ------------------- ----- ------------
--~iA -- + ez A5
~'I 3EJ if -- + e .
5 - Comprimentos equivalentes, l' a
E m E a constante c
Jc c O,l,j
---- ------- -------- ----nJ"A ___ -- + t• Ec Jc
+ 3 EJ 'i' -- f E c Jc
J E c c ·l EJ
t--__ _?,Q f!L ___ [ _I ,O m _ _
t-----'----9j
3 ~ +TF
3 -- +-y
6 -Momentos na~ extremidades das barras, (Convençio de Grinter),
nos problemas (o), \{1), (2) e (3), em tm \
-2 500 -2000 2,500 1,250
\ -f,OOO 5S -3POO
N
'"' N
?· (o ) f f ) -<>--
' ' 0.600
lO 0,600 ·1,200
~ o I lO
•2.000 ~ 0,600 ·1,000
( 2 ) ·3,000 ~>- t-o-;-soo -1,200 - -
( 3)
7 - Determinação dos esfovços
7-l - Esforços Xlj
Pelo PTV:
Xlj + MBA + MBE + MBC • O
xlj a -I MBi i
X'' lJ
Substituindo os valôres numéricos correspondentes:
X1 o • 2,500 - 1,250 • 1,250
X11
= 2,000 + 3,000 + 1,250 • 6,250
xl2 m 0,625
X13
= -o,6oo + 1,200 • 0,600
7-2 - Esforços Xzj
Com procedimento anilogo ao do [tem 7-l podemos concluir que
Xzj = -2:. ME i l
Substit6indo os valôres nbmericos correspondentes:
X.- _ 8:1 O ' o
x21 rn 0,625
X11
• 2,000 + 1,250 + 3,000 • 6,250
X23
• -o,6oo + 1,200 • o,6oo
7-3 - Esforços X3 j
wl a
w2 g
Pelo PTV:
Text • Tint • 0
1 w3 - 5,00
1 w, • 2,50
0,2 -I - m
0,4 -I
• m
.,
25-04
Subs~ituindo os val~res ~um;ricos correspondentes:
X • 0,2(2,500 - 2,500)- 0,4(l,25)-(5,0ol,2.~-~21 •1 + ?.,S>l,6· 3 o
X 3 I
a 0,2(-1,000 - 2,000)- 0,4(-3,00)- O w 0,600
x32
• 0,2(-l,ooo - 2,ooo)- 0,4(-3,00)- o ~ o,6oo
x,, • 0,2(0,600 + 0,600 + 0,600 + 0,600)- 0,4(-1,200 - 1,200)+
8 - Solução do. sistema de equaçoes
Substituindo os valÔres numéricos do Ítem 7 nas equaçÕes do
6,250·~ 1 + 0,625·~ 2 + 0,600·~ 3 n -1,250
0,625·~1 + 6,250·~2 + 0,600·~, • o
0,600·~1 + 0,600·~2 + 1,440·~, - 5,500
cuja solução ; :
~I • -0,569
~2 - -0,347
9 - Superposiç~o de efeitos - Momentos de extremidade (tm)
10 -
~~ w.-.. ~~--=--:·~~-.------""'''B ,_ ...=~~-2,500 -2,500 r:::;--· 1,250 0,569 1,138 O I, 707 o o 0,710 o 2,520 2,520 0,217 -5,040 = ::.::_ .. ~ =-~
5,589 1,158 0,927 -2.083
fº= --·=--- .. -... ·r=c-=c ç; . =--o o ~ o o o o o 0;347 0,690 0,356 lf)40 3_,~20 ~,52()_ 0,434 -5,()<12_
2,8\67 3,210 o·-- -4,000 0,790
F
Diagrama de-mon~ntos fletores (tm)
5,589~~- J:~50 c A -cr~r-nolrn~rM~rn~nT2r,n06"3TP~~o
2,867"'-~[!ITITnD, D
0,79,l) E F c·~rtTTT[!JlTJ . mrrrm
4r
0o(-J"(··,
\ 210------ - J_UJ;..-~, I
~
1tern
26-01
EXERCTCIO 26 - Process9 dos Deslocamentos
1 - Enunciado e dados
Determinar o diagrama de momentos fletores para a grelha da figura, Admitir que o vfnculo em A e B só transmita esfÔrço verti
cal
o
E • constante
2 - Esquema de solução
( r )
+ i\1•
( 1 )
3 - EquaçÕes de compatibilidade de esforços
Xlr a XIO + /:J.l,XII + /:J.2 •X12 = O
X a X + /:J. •X + /:J. •X a O 2r 20 1 21 2 22
·I
(o)
( 2 )
26-02
4 - Comprimentos fictlcios, l' •
E0
• E • constante
J • j c
E J c c
EJ l
-5 -Momentos nas extremidades das barras, convençao de Grinter,
nos problemas (o), (1) e (2), em tm
Observação:
A convenção de Grinter ; vilida exclusivamente para momentos
f-1-e-t-o-r-e-s----p e-r-pe-nd-i-c u-1--u-r-e-s-----ao --p-1-a n o---q u e--'-a o n-té m---u ma-- e-s-t-r-u-t-u-r-a--p-1-a n-a-~---
Neste caso para que ela seja vilida convencionar-se-i que a barra
DB seja vista no sentido de A para B e a barra ABC seja vista no
sentido de B para D
A ( I )
A ---....
~ ( 2)
Para o problema (o) foi utilizada a tabela A4, e para os probl.e-
mas (1) e (2) a tabe 1 a 2 5. !tem /1 do exerci cio 25.
26-03
6 - Determinação dos esforços x .. lJ
6-1 - Esforços xlj
D c 1
0,333 -I w a .. m
I 3,0
1 o ;200 w .. w .. .. m 2 3 5 , o
Pelo PTV:
T " Ti " O ext nt
X1j + Tcargas- w, (MDB) - w2(MBA) + w3(MBC + MCB) • 0
Xij • 0,333(M08 ) + 0,200(MBA) - 0,200(MBC + MCB) - Tcargas
1 x,o • 0,333(1,125) + o- o - 3,0·---·1·1,0 - -1,125
2
-I
x,, .. 0,333(0,667) + 0,200(0,120) - 0,200(-0,240-0,240)- o •
• 0,342
x,2 .. 0,333(0) + 0,200(0,600) - 0,200(0,800 + 0,400) - o m
.. -0,120
6-2 - Esforços X2j
Dll
Pelo PTV:
x2j - MBC - MBA • o
x2j .. MBC + MBA
x2o • o
x2• • -0,240 + 0,120 .. -0,120
x22 .. o' 800 + 0,600 .. 1,400
26-04
7 - Solução do sistema de equaçÕes
Substituindo os val;res do [tem6 ~ara as equaçÕbs .do [tem 3 tem:
-se:
cuja solução e
8 - Superposição de efeitos
--- -- -----1";-tz5 _______ --
2,260
_<J_.~~ 3, 385
- Momentos de extremidade (tm)
0,174
0,581
/.!-______ / ___ ... o, o o 0---
-0,000 -o 814
0,233 -0,581
-0,814 o, 116
-0,698
9- Diagrama de momentos'fletores (tm)
0,698
D
27-01
EXERCfCIO 27 - Linhas de Influência de Estruturas Isostãticas
1 - Enunciado e dados
Na viga 11Gerber 11 da figura determinar as linhas de influência
das ~eaç~es em A,(RA)' em B,(RB)' doa momentos fletores em m~Mm), em A,(MA)' em B,(MB), em C,(MC)' dos esforços cortantes em m,(Qm)'
i esquerda de B,(QBesq), i direita de B,(QBdir)' i direita de C,
(Qcdir)' . Convencionar como positivos:
a) Reaç~es orientadas para cima
b) Esforços Cortantes horários sôbre as seçoes
c) Momentos fletores que provocam tração embaixo
B li c o
4m ;;;;;
l 5m t 3m
2 - Linha de Influência de RA
3 - Linha de influência de R8
1,0 li
4 - Linha·de influência de Mm
A c
4,0m
,,
27-02
5 - Linha de Influincia de MA
c
6 - Linha de lnfluincia de MB
A ~·o a n ~
7 - Linha de Influincia de Me
9
A
nha de Influ c ia de Qa
~ ~~
~ ~~
~ -A
------- Linha de Influincia de Q
Besq
10- Linha de Influincia de Q111 • < 1 r
A
11 - L in h a de In f 1 u ê n ci a de Qc 1 • < 1. r
~r3m c o
c
28-01
EXERC!CIO 28 - Linhas de Influincia de Estruturas Isostiticas
1 - Enunciado e dados
Determinar as linltas de inf1uincla para os esforços normais do
tração nas barras 2-3; 3-4; /-8; 5-6; 3-6; 4-6; 5-7 e 6-7 da t:re··
!iça da figura, para carga percorrendo o banzo inferior.
As dimens~es sio dadas em metros
o o ,.,
2 - Linha de Influincia de F2
_3
4
2
2-1 - C~lculo de x aplicando carga unitiria ao no 1 e verificao
do o valor de F2
_ 3 pelo equillbrio do n~ 2.
sena = 0,6
cosa = O,B
tga = 0,75
0,5 0,5 X=----"·----= 0,1JJ1
sena 0,6
,,
28-02
2-2 - Cálculo de x pelo deslocamento do nõ 2 calculado através
do giro da barra 2-4
w • 1 r
1 X • --•h
r
r • S,OO•sen2a • 5,00·2·0,8•0,6 • 4,80 ro
X • 4,00 4,80 • 0,833
2-3 - Cálculo de x pelo deslocamento do n~ 2, sabendo que o no 2 --- ------- - -- -- ----------------.----- ------------ s-~- desl-oca -na perpendicular ã barra 2-4
Tf c os(-- - 2a) 2 sen2a
3 - Linha de IJlfluincia de F3_4
~~ 4s <n,ml
"~ ® 3
(l,n)s2
1 " 1,042
2•0,8•0,6
28-03
3-1 - Cálculo de x aplicando carga unitária ao n~ 1 e verificao
do o valor de r 2_ 3 pela imposiçio das condiç~es de equilíbrio.
EquilÍbrio do nô 2: Equilíbrio do nô 4:
Pela igualdade dos dois triângulos de fÔrças: X a r
3_
4 a 1
3-2 - Cálculo de X pelo movimento da barra 2-4, que e um movi
mento de translaçio. A componente vertical do deslocamento do po~
to 2 e igual ã do ponto 1 j_r_ -.~'~' ---· .'·
t-~ 2
Portanto:
X • 1
4 - Linha de Influência de F7
_8
Pelo equil[brio do nô 8 tem-se que r7
_8
• O qualquer que seja a
poaiçio da carga no banzo inferior.
5 - Linha de Influência de F 5··6
6 - Linha de Influincia de F3
_6
4 4'
r D 5,0 Sen2a m 5,0•2•0,8•0,6 m 4,8 fi
Pode-se calcular então o giro relativo entre as chapas 1 e 2:
1 1 - 1 w • --"' • 0,208m
12 r 4,8
7 - Linha de Influincia de F4_6
r • 5,0 sen2a • 4,8 m
w1 a w .. 1 2
1 r
1 4, 8
""
~08,0,833
,ti,!!), ...
28-05
8 - Linha de Influincia de F 5-7
4
2
O giro relativo entre as chapas 1 e 2 ê
1 r
1 3,00 - 0,333
- 1 m
9 - Linha de Influincia de F6
_7
4
2
-- --
(I!)
4'
-12P. 0,333
4'
i'
mm (li)
O deslocamento relativo entre os ~
nos 6 e 7 e vertical
ô -v
1
seno:
1 = ·~1,667
0,6
29--01
' EXERCfCI0'-29 - Linhas de Influé'nda de Estruturas Isoat.iidcas
1 - Enunciado e dados
Determinar aa linhas de lnflu;ncia para os esforços abaixo espe
cificados no arco trlarticulado de eixo circular da figura, para
carga vertical.
8
I I I
"
~, __ _,_,R_:•:_,IO,_m,__ R: 10 m
Esforços:
,,,n _,,,,,-R -"VA' HA
2 - Linha de Influincia da reaçao vertical em A, RVA(>O para cimo)
®
_ ,_~ ______ l(,:l,Qm _,----~--t
IPOO 0634
Jffi]]]J[iJ~~ -- >--
29-02
3 - Linha de Influinc{a da Reaçio Horizontal em A, RHA(>o para
dentro)
o 5} .-" o
( 1 l
I
a " 10,00 + 10,00coa609 " 15,01>
1 -- .. r 1
15 • o .. 0,0667 -I
m
4 - Linha de Influincia do Esf~rço Normal no Ponto a, Na, (>O de
tração)
b' 13,65 0,865
I I I ___ )
deslocamento relativo
em a
\!=>
senf3 " 0,500
pela "lei dos senos"
no triingulo(I,II),A,ll
sen759 a " ~v· 10. o
sen309
a • 27,3 m
b • 27,3 sen309 • 13,6·
.I 'I
i'
5- Linha de Influincia do EsfSrço Normal no ponto B,N8 ,(>0 <lc
tração)
a • 10,0 - 10tgl59 "' 7' 3 2 !11
1 1 w 1 2
.. -- .. .. 0,1368 m a 7,32
•· I
6 - Linha de Influincia do Esf~rço Cortante no ponto m, Qm(>O se
horário)
desJ.ocamento relati.vo
em a
li) ' cosf3 .. 0,865
<-----------'-"'"-------_+. \ -~ +---~l,o.,o.,_o ____ +----Iª,Eili___
p,865
0,86~ ~
7- Linha de Influência do Esfôrço Cortante no ponto B,QB'(>O ue hprãrio)
o o l r
a
t 159 R
g 10,0
a
a • lO,O a 37,30 m 0,268
1 • 0,0366 m 27,30
(I' !I) -+-------='"'""~+--...;::- - - - - - - - - - - - - - - -- - ;:::;----
(li)
(I) 8165 -- -- ~------;... ;;:;'
. f 0,366 - - - - - - - - - - - "5í 1----. ,.-,;;:m------ I -----
-nrrrrrrTI 1:::1111 · - -- -----------'
1 ,366 '-l lllf]JlllDJP'" - - - - .J.:l'( o, 634 ------
8- Linha de Influência do Momento Fletor no ponto a,Ma,(>O se
provocar traçao embaixo)
a(cos309 + cos609) • 5,00
a m 5,00 • 3,66 m 1,365
t m 3,66 cos609 - 1,83 m
I,
30··01
EXERCICIO 30 - Linhaa de Inflnincia de Estruturas Isostiticas
1 - Enunciado e dados
Determinar as linhas de influincia para os esforços abaixo espe
ciflcados no p6rtico isostitico da figura, para carga vertical pe~
corvendo o banzo superior.
"1 __ j:~ 4 --P e ..
E .. A --t--
___ ---~-m ____ j_ _____ 3m _______ l ____ .3m---------~--2-m---- -----1 ---,----------t----m=t
Serio traçadas as linl1as de influincia dos esforços:
RVA' RIIA' Ma' MP' My' Na, NB' NB' Qa' QB' QB
2 - Linha de Influincia da reaçio vertical em A,RVA(>O para cima)
\ \ c (ill)
' \ \
\ \
~Cil- -- -~ --- --- ---- - ~ ~Cnl A ' I H·
I I I . I ~ llJUITIWJI1IIll~ -- --- --
1,0
30-02
3 - Linha de Influência da reação horizontal em A(>O para a di
reita)
-+~~~ (ll)
-~vY2 I \ I \ I \ I \ I \ I
®
-~- .... ~ (I,IT}
~CD 1 ""
(I)
<n,m)
\
\ ® \ \
\ \
( Jll)
I r • 12,0 m
1 -- .. r
1 12,0
• 0,0833 - I
m
4 - Linha de Influência do momento fletor em a,H , (>O se provo~· (X
ca tração embaixo)
8 1,5
(j) 4 ~ --
3
t ( tg<j>l
1). 1,50 + tg<j>2
' ·lPOm 1,50 l a • 0,3 m
4 + 1
I'
' •I
I ·::
30-03
5- Linha de Influincia do momento fletor em B,M8
,(>0 se prov~
ca traçao no lado interno)
E N
E (j)
\ \
\ \
\ \
\
6- Linha de Influincia do ~omento fletor em y,My,(>O se prov~
ca traçio embaixo)
(TI) 4m
Js;~.~7 i\ \ I I \ ) I \ I\ 1 I I ' 1 1 I \
__ oJ!l' ~/ ® ''>-(xr·!!:!l--.----~-~~ ® I \ ' t~'\ \\ I \ \
Q) I I \ I I I I
I \ I I 1 I
/"'..r; \ I
0- -- -am OOOm
(Jll)
4 0,333 - 1 wl ..
1:2 .. m
8 0,667 -· I w2 m
1:2 R m
30-04
7 - Linha de Influ~ncia do esf~rço normal em m(>O se de traçio)
,- __ j,Q_~~ .{ oO
I . 11,ti,ll
I I I ' I "'2 --!--( \ \ 1 I 1 I I \ I I I \ I I \ \ \ I I ~ \ ll DI)
I \ @ \ I I ', I I \ GD I I \ \ I \
I \
\ CD \ \ (DI)
I \ ,b,,
I I \ \
...r..A~ \ 1 \ I
(!l __ __\
'~
1 -- m
12 0,0833
-I m
8- Linha de Influência do esf~rço normal em S,NS,(>O se de traçio)
(JI,JJI) ,, \
\
\ \
\
'<i
30-05
9 - Linha de Influincia do esf~rço normal em B,N8 (>0 se de traçio)
B
®
1 wl2 m --6- m 0,167
-I m
10 - Linha de Influincia da f~rça cortante em a,Q (>O se horirio) a
(! '!!) -"--~
30-06
11 Linha de Influência de esfÔrço cortante em ~.Q~,(>O se horá
rio)
I \
\ I I (l \
\ \ \ I I \ I (i) \ \ \ \ \
"'í..-\- \ I
(I~ ..... Ll~_j
(l,ll) l <>O
<n,ml
\ \
\ \
\ ' (DI)
I
I~ [WJW"' ~ '<lJllJlRJ
l -- .. 12
w .. w .. I 2
0,0833 -I
m
12 - Linha de Influência do esfÔrço cortante em B,Q 8 ,(>0 ae horá
rio)
(1)
/ /
/ /
/ /
/ /
/ . - 1 "'O,llllm
I
ANEXO - 01
TABELA Al
por. quod.
"r·-
o I a 2 15 r !-L O( a
5
IV v - - I
1-!·•r !..L~ a 4
2 I ·t b<" ......... ü·bt(X_-•_2p) _ __ 11b!_ ...... _ ... tb:b_" - -------1-------+------- -----·--- --. ----
' 3 o [IJ]IlJIIm b 1ft2otb)O< l-Í;·[ot 2CH{l) J-k-( o •b)í' ~~~(3o+b)C:X
' ,, b (C< ... 2fl)]
1--+-~~---+-------·1-----·-· -------- --------·-- --------~
4 o ' . ~-p ob.quod. Jioa ;3 L toa I t·•<>' 1-- ~,-,.-
5 por.~b Jtba 1 tk bC< I /z·bttx t 3{!) ti- b r I j0 ba.
s •DJ-~od ... -~-~:~~I li~~~--- -~~~-ot5~; ~~:· ----~--~--~-r---1----! fo•a - -·- - - ., -- f·... . i· ····- ....... .. . .. " "'"
7
8
9
lO
-it
12
por,b 1 ; bO< 1·;\--bc~
"- ~--M-~'""~~=--,-~
por. quod.
tlfD~ lfca< t+ca - _,...,.~----·~ ... ~
c '<lj]JIÍJP' 1TcO< l...L.ca
4 .
~ l26~c« +eq.
14-ca
-------- --- !------·--·-
·[IV"'- • !toa J.L o O< por.c~bico
. 5
--' '-;rq] por.cublco b !f bOI liabG<
J 1~ b(3CH5f1)
,-~~-~~-~~·~-~-"'~~·-
J-~·c(at(l)
ti· c( a til)
1-~c [t2 -b:)« +(lt l;)il]
--------
J.l.a(4CH/l) 20
1io b(C1'+4/I)
t-1~-br c•oc~-~
1-j~-c r JLcO< 5
~-+----~ ~~~~ .... ~~-~>-J~' -
tffcy !.ificO<
2
ti +~li.cr
-·
1-/5•1
lffibr ~ ou : ""=17 : o ponto &IQnlflco que a tongenlo 'o curvo· J horlxontol
·-·-·· .. ·-:---··- - -··--~---··------ ~~--,,·---·~--..., l
M= /N. - ae • Distâ~cia do pico INT3GaF.L JO PRODUTO DE DUAS FúliÇÕES IS '0 S:.
"" à extremidade o ... - ', e o "' l al · !J r :ml: dx • K mm.t .... _,.; mais próxima "" a! E . e J o o I t ~ ~
-.::! ., o I I o -o -.-1
a =1/2\ a =1/3 '·
a=l/5 • a = 2/51 a= l/6 ., a! "" I .... -o a all/4 o .... o ::: E "' I I
A tabela fornece os valores de K «O <I>
0,333 i 0,3191 ! I o,328 I o,289 .., S:. "' ã = l/2 c: .., E 0~306 1 0,296 .,., >< ..... ,q ., >< ' I
• 0~329 1 o,322 " a= 1/3 0,319 i 0,333 0,331 0,317 ~
~ = 2/3 i
o,l275 J 0,265 "' cr, 319 i 0,292 o, 304 0,258 -
ã = 1/4 o, 306 i 0,329 o,l333 I o,331 0,321 0,328
"' "' o <
< o ..:> X :.:-:.: ~ "' z < < E-<
a= 3/4 I
o,l,259 o, 288
! o, 306 I 0,275 0,249 0,243
I
0,296·1 o,l331 X r ã = 1/5 0,322 0,333 0,313 0,332
M=~ ~ i
a = 2/5 o, 328 1 o,l321 I o, 313 o, 333 1 o, 306 '
\ 0,331
"' ã = 3/5 0,328 I 0,304 o,l288 0,278 0,315 0,27l ~ fTI I
\ ae a = 4/5 0,296 0,265 0,1249 I 0,240 o, 278 o, 233 l t l a !
~~ ã = 1/6 I I I \ I 0,289 0,317 o,l328 1 o,332 , o,3o6 1 o,333
ã = 5/6 o, 289 1 0,258 o,l243 I 0,233 1 o,2n 0,227 a= 1/3 a= 1/4} = l/5j a= 2/5 a= 1/6
' 0,426 I I 'I ' I o, 507 I.
I a = 1/3 ' 0,383 J 0,556 0,604 i o, 626 I O, 639 X 'h; r 0,417 I 0,1403 0,392 0,423
ã = 1/4 I
0,456 I 0,428 'i\ 0,604 I 0,667 I . I i I 0,458 0,453 0,\4.44 I 0,435 0,697 1 0,548 I o, 713
"' a ;= l/5 0,473 o,470 o, 1,464 1
0,458 I 0,472 0,452 \! o,627 o,697 , 0,733 J 0,567 I o, 754 ' I
ã = 2/5 0,394 o,38l o,~65 0,354 o,389 1 0,346 ~ 0,507 0,548 10,567 1 Q,4-ó7 0,577
.~~ ~ = l/6 j 0,482 . 0,479 2Jh75 2471 _o,481~~_'467 ! o_,_639J o, 713 -lo, 754 I 0,577 \o, 778 I~
•, \
r '
~ I '
ANI:Xll ·· ;i l
TABELA 113
MOMI~N'l'OS DE ENGASTAMEN'i'O Pi':ltl''Kl'l'O EM llAlUL\S l'lllS).fÁ'l'l CAS ( J N OOUH t.)
r ~
Convn••gio de Grintor
1 a vio da barra
t--0 -J.---.. b __ i I ' I 11--------=---+---~~ ----~~"----+------------ I i
~ M
=) f---.\L_} b
A
~ { B
lLl2 (31> 21) f2 . - - )!!!:. • (2/ - 3n) .f'!.
·~---------f------~-------------------_j - ----------------------- ---------------- ------------------ ------ ------- ------ ---- -- ---------------------------- -- ----- - -
I !IDIITn3~P ~ i f---"-+--~·-1 I A B I I
p
I ~TnTfcuTrli~:; j ~ ~ i "
J--"-· -----o--1-----------------------------------ll
1 .çer::crnJnrtp A B
~
; tô ~ -
+ +
'I
- ..J!.i.. · (õf - 4n) 2of2
p2 -~
20
1) 1) ) ~~
u 11--------=----+--_;:__,_ _______ +------------------
~ 2 EJ-+ _lt.
!1--A _______ a -+---~----~-f----------------------1
~~ ~=I ===~==fi~·~- h + g,J <X I 1\1 - I~.J {)(' 111 .1 u-· 1 + l\ 1 ~ f h I;
! A ~-~--~-~--~-=-_, 8~=-,,,._ -~~L-..-----~-->•~-=~--- ~----· -----·-----=•c'•--·~j
I
I
- --"
- -
ANEXO - 04
TABI\LA Al1
I --
Ip"·~=T ~
l + b lll _fi
t----L-{ ~pr o
A
i1 M
~ ') 7\ M I t:y j2, l o l . k -+ ~~2
• \31,~ - J
A 8 -·· ...
"A p
fiT1rrn 2 .. Oh ~--. (21- a)2 'r-~--+-~k~f sf12
A B
-
I arrT11 ,P --:l:l. pa2 J_2 j, 2) } .... 9--J_ __ b_+ ~--·1! ( 40 - 45 . a + 12 a
120 i -A 8
~p + p 1'2 .. ~WJII!IÓTfmJ 8
~ -~
A B
1...-a-rrrrrmm1i 7 pj2 +
120
A 8
···-~·
~1Ã 3 F.J 1l +-
f2 B
--;~ 3 BJ f - .f ~ '
,)~-.. ·- ..... :.-'?\
Ll
Á B
F=' l=fh + 1.Jllii. . OI I ll t 2 h
~ t .. L\1
A B
- -- -
I ' I ' I
I I i' .I li I! " !
j
I
ANEXO - 05
TABELA A5
MOMENTOS DE ENGASTAMNN1:'0 PmU'fii'f'O EM llAIUt.i\S CAS (J • conet.)
"
i !'i l + '' 1 l ~ •..
" b Jl2 A 8
.
~ ~ I·"' {i' 2
• b ~· ' 3~-·'')
À
2nnru w
~ .Jl!'.::
-~~~r
+ o ~ i { ., p2 2)
_o_ 4 sf 2 ' .,w.!.. ~ " ,, 8
~L.~~~ (5f2 .,
!:i - ~===--""' - 3u~) }__~_j____b - J ::l0f2 A !l
p
~IJJI[[[~ -l,_f: ·i Q
í ' " A 8
--~---~. --~-~-·
~cn:r:rrOTf]I~ tp pJl2 I --
15
A 8
~-""'--~--
~==rtà 3 EJ" li
--- - +;2 B
-~-_,.,_,_
f/\' -~ \ 3 E. r p
·-------~~-+ -r --· L>. . .
A 8
I iJh. 3EJ l\._ t ·o- D.t - --O<,l\1 ;: I r.! h A ll
- - - -- ---- ------·-- ,_ .. , . ----- - .. -··· -- --"-"'·---·-·"'·~--- .. .. ·- ----·