estrutural sob incertezas consequências de falha€¦ · thaÍs gomes pedrosa otimizaÇÃo...

UNIVERSIDADEDESÃOPAULO

ESCOLADEENGENHARIADESÃOCARLOS

DEPARTAMENTODEENGENHARIADEESTRUTURAS

THAÍSGOMESPEDROSA

OtimizaçãoEstruturalsobIncertezas

considerandoConsequênciasdeFalha

VersãocorrigidaAversãooriginalencontra‐senaEscoladeEngenhariadeSãoCarlos

SÃOCARLOS

2015

THAÍSGOMESPEDROSA

OTIMIZAÇÃOESTRUTURALSOB

INCERTEZASCONSIDERANDO

CONSEQUÊNCIASDEFALHA

Dissertação apresentada ao Departamento de

Engenharia de Estruturas da Escola de

Engenharia de São Carlos – USP como parte

dos requisitos necessários para obtenção do

título de Mestre em Ciências, Programa de

EngenhariaCivil(Estruturas).

Orientador:Prof.AndréTeófiloBeck,Ph.D.

SãoCarlos

2015

AUTORIZO A REPRODUQAO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRONICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

Dedico este trabalho àqueles que planejam se

aventurarnoramodaotimizaçãoedaconfiabilidade.

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, Túlio e Eliana, pelo exímio apoio financeiro dedicado a todo o meu

crescimentoacadêmicoepessoaleàminhairmã,Luciana,pelacompanhia.

Aos meus padrinhos a minha mais profunda gratidão: Lillian pelo acolhimento

emocional constante e Junior pelos sábios conselhos de um experiente mentor

universitário.TambémàminhaprimaSílvia,peloexemploaseguir.

Aosmeus familiares,Evandro,Nereide,Egberto,Marcos,Camila, famíliaeamigospelo

constante incentivo e pela compreensão de que o aprendizado é obtido a partir de

algunssacrifícioscomoadistânciaeafastamentodomercadodetrabalho.

Aomeu eterno amigoMiguel pela companhia, paciente nosmomentos de desânimo e

inquietanasocasiõesdedistraçãonecessárias.

Ao meu orientador Prof. André Beck, que soube lidar com a minha personalidade,

acalmarminhasangustiasemeapontaromelhorrumo.

À Escola de Engenharia de São Carlos, pela oportunidade de realização do curso de

mestrado.

AoConselhoNacionaldeDesenvolvimentoCientíficoeTecnológico,pela concessãoda

bolsademestradoepeloapoiofinanceiroparaarealizaçãodestapesquisa.

Ao Departamento de Engenharia de Estruturas pela convivência e experiências

adquiridasnesteperíodo.

Ao corpo docente de Engenharia Civil da Universidade Federal de São Carlos, pela

contribuiçãoemminhaformação.

“Assim como aquele que busca o projeto ótimo de uma

estrutura, a evolução de um indivíduo deve ser

determinada,entreoutrosaspectos,peloconhecimentodas

consequênciasdesuasfalhas.”

Aautora

RESUMO

PEDROSA,T.G.Otimizaçãoestruturalsob incertezasconsiderandoconsequências

de falha. 2015. 102 f. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos,

UniversidadedeSãoPaulo,SãoCarlos,2015.

Enfrentar situações de falha é o principal desafio do engenheiro estrutural. Parece

paradoxal,masa fimdeobterumprojetobemsucedido,oengenheiroestruturaldeve

estudareexaminartodosospossíveismodosdefalhadeumaestrutura.Naotimização

estruturalnãoédiferente.Assim,naotimizaçãoestruturaldeve‐seconsideraroscustos

esperados de falha. No projeto de engenharia estrutural, economia e segurança são

aparentementeobjetivosconflitantes.Noentanto,quandocustosesperadosdefalhasão

considerados, nota‐se que investimentos em segurança são necessários a fim de não

arcar com os custos esperados de falha. O ponto ideal de compromisso pode ser

encontradoporumaotimizaçãoderisco,ondea funçãoobjetivo inclui todososcustos

ao longo do ciclo de vida da estrutura: construção, operação, manutenção inspeção,

descarteeasconsequênciasdefalhaesperadas.Esteúltimoéumremanescentequenão

pode ser desconsiderado dosmodos de falha contra os quais a estrutura precisa ser

projetada.

Esta dissertação aborda a otimização de sistemas estruturais simples, considerando o

equilíbrio entremodos de falha concorrentes, tais como escoamento (esmagamento),

flambagem e snap‐through. O estudo mostra como os diferentes modos de falha,

associados a diferentes custos de falha, levam a diferentes projetos ótimos. Uma

estrutura de treliça plana é estudada como exemplo de aplicação. A forma (posições

nodais) e tamanho dos elementos são consideradas como variáveis de projeto.

Resultadosmostramqueprojetosótimossuficientementediferentessãoobtidosquando

oequilíbrioentremodosdefalhaconcorrenteséalterado.

Palavras‐chave:ConfiabilidadeEstrutural,OtimizaçãoEstrutural,Análisenãolinear.

ABSTRACT

PEDROSA, T. G. Structural optimization under uncertainties considering

consequencesof failure.2015.102 f.Dissertação(Mestrado)–EscoladeEngenharia

deSãoCarlos,UniversidadedeSãoPaulo,SãoCarlos,2015.

Defyingfailureistheprimarychallengeofthestructuralengineer.Itsoundsparadoxical,

butinordertoachieveasuccessfuldesign,thestructuralengineermustthinkaboutand

account forallpossible failuremodesof a structure.This isnotdifferent in structural

optimization.Hence,instructuraloptimizationonehastoconsidertheexpectedcostsof

failure.Instructuralengineeringdesign,economyandsafetyareapparentlyconflicting

goals. However, when expected costs of failure are considered, one notes that

investmentsinsafetyarenecessaryinordernottopayfortheexpectedcostsoffailure.

The optimum point of compromise can be found by a risk optimization, where the

objective function includes all costs over the life‐cycle of the structure: construction,

operation, inspectionmaintenance,disposal,andtheexpectedconsequencesof failure.

Thelatterareanundeletableremainderofthefailuremodesthatthestructureneedsto

bedesignedagainst.

This paper addresses the optimization of simple structural systems, considering the

balance between competing failuremodes such as yielding (squashing), buckling and

snap‐through.Thestudyshowshowdifferentfailuremodes,associatedtodifferentcosts

of failure, lead to different optimal designs. A plane truss structure is studied as

application example. The shape (nodal positions) andmember size are considered as

designvariables.Results show thatquitedifferentoptimaldesignsareobtainedwhen

thebalancebetweencompetingfailuremodesischanged.

Keywords:Structure–Reliability. Structure–Optimization. Structure–Safety.Failure

Modes.

LISTADESIGLAS

CET CustoEsperadoTotal

EEL EquaçãodeEstadoLimite

FDA FunçãodeDistribuiçãoAcumuladadeProbabilidades

FDP FunçãoDensidadedeProbabilidade

FORM First Order ReliabilityMethod ‐ método de aproximação de primeira

ordem

MEF MétododosElementosFinitos

RBDO Reliability‐based Design Optimization – Otimização baseada em

confiabilidade

SMCI SimulaçãodeMonteCarlocomamostragemporImportância

SMCS SimulaçãodeMonteCarloSimples

SORM SecondOrderReliabilityMethod ‐métodode aproximaçãode segunda

ordem

StRAnD StructuralReliabilityAnalysisandDesign–Programadeconfiabilidade

estrutural

VA VariávelAleatória

LISTADESÍMBOLOS

A áreadaseçãotransversal

c.o.v. coeficientedevariação

E módulodeelasticidadedomaterial

g(x) equaçãodeestadolimitedoproblema

I momentodeinérciadaseçãotransversal

probabilidadedefalha

x vetordasvariáveisaleatórias

d vetordasvariáveisdeprojeto

X variávelaleatória,definidaporsuaFDPeporseusmomentos

índicedeconfiabilidade

valormédiodavariávelaleatóriaX

desvio‐padrãodavariávelaleatória

tensãonoelementoestrutural

tensãodeescoamentodomaterial

constantedenãolinearidadefísica

MatrizdeRigideztangente

Cargaaplicada

Cargalimite(ForçaPcalculadaem : deslocamentolimite)

NormalcríticadeEuler

Deslocamentooupontonoqualocorreamaiornormaldecompressão

Deslocamentocorrespondenteaomenorvalordadiferença

Custoinicial

Custodereferência

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO................................................................................................23

1.1 COMENTÁRIOSINICIAIS..............................................................................................23

1.2 OBJETIVOS..........................................................................................................................28

1.3 METODOLOGIA................................................................................................................29

1.4 ORGANIZAÇÃODOCONTEÚDO.................................................................................29

2. REVISÃOBIBLIOGRÁFICA.........................................................................31

2.1 CONFIABILIDADEESTRUTURAL..............................................................................31

2.2 OTIMIZAÇÃOESTRUTURAL.......................................................................................32

2.2.1 Otimizaçãoestruturaldeterminística.................................................................................32

2.2.2 Otimizaçãoderisco....................................................................................................................32

2.3 COMPORTAMENTOESTRUTURAL...........................................................................38

2.3.1 Teoriadaelasticidadenão‐linear.........................................................................................38

2.3.2 Aspectosdenão‐linearidade..................................................................................................39

2.3.3 Comportamentospóscriticos................................................................................................40

2.3.4 Estadoslimitesemodosdefalha.........................................................................................42

3. EXEMPLOANALÍTICODEAPLICAÇÃO:TRELIÇAPLANA................45

3.1 CONSIDERAÇÕESINICIAIS..........................................................................................45

3.2 FORMULAÇÃO:NÃOLINEARIDADEGEOMÉTRICA..........................................46

3.3 FORMULAÇÃO:NÃOLINEARIDADEFÍSICA.........................................................49

3.4 ANÁLISENÃOLINEARDAESTRUTURA................................................................50

3.4.1 Definiçãodascaracterísticasgeométricasedomaterial...........................................50

3.4.2 ResoluçãoemprogramacomercialANSYS......................................................................51

3.4.3 Definiçãodamatrizderigideztangentealgebricamente..........................................53

3.4.4 Definiçãododeslocamentofinaldaestrutura................................................................54

3.4.5 Estudocomparativodoscomportamentosnãolineares............................................56

4. EQUAÇÕESDEESTADOLIMITE...............................................................61

4.1 ESTUDODAFALHAPORSNAP‐THROUGH............................................................61

4.1.1 AnáliseemprogramacomercialANSYS............................................................................62

4.1.2 Cálculoanalíticodopontolimite..........................................................................................63

4.1.3 Equaçãodeestadolimite.........................................................................................................66

4.2 ESTUDODAFALHAPORFLAMBAGEM..................................................................67


4.3 ESTUDODAFALHAPORESMAGAMENTOEESCOAMENTO.........................74


4.4 COMENTÁRIOSGERAIS.................................................................................................77

5. OTIMIZAÇÃODERISCOCOMCONSEQUÊNCIASDEFALHA.............79

5.1 FUNÇÃOOBJETIVO..........................................................................................................79

5.2 VARIÁVEISALEATÓRIASEDEPROJETO...............................................................80

5.3 PROBABILIDADESDEFALHA.....................................................................................81

5.3.1 Falhaporsnap‐through............................................................................................................82

5.3.2 Falhaporflambagem.................................................................................................................82

5.3.3 Falhaporesmagamento/escoamento...............................................................................82

5.4 OTIMIZAÇÃODERISCO.................................................................................................83

5.4.1 Resultadosparamodosdefalhaconcorrentes..............................................................83

5.4.2 Alteraçãodaconstantedenãolinearidade......................................................................87

5.4.3 Variaçãomultiparamétrica....................................................................................................88

6. COMPARAÇÃOCOMAOTIMIZAÇÃODETERMINÍSTICA..................93

6.1 CONFIGURAÇÃODECOMPARAÇÃO.........................................................................93

6.2 RESOLUÇÃODETERMINÍSTICAELINEARDEFOX...........................................94

6.3 OTIMIZAÇÃODERISCOPARAMESMACONFIGURAÇAO................................94

6.3.1 Consideraçãodelinearidadefísica......................................................................................95

6.3.2 Consideraçãodeambasnãolinearidades........................................................................96

6.3.3 Comparaçãodosresultados...................................................................................................96

7. CONSIDERAÇÕESFINAIS............................................................................99

7.1 OBSERVAÇÕESGERAIS.................................................................................................99

7.2 SUGESTÕESDEPESQUISASFUTURAS.................................................................100

Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 23

1. INTRODUÇÃO

1.1 COMENTÁRIOSINICIAIS

Aotimizaçãoestruturaltemporobjetivocumprirdeterminadafunçãoestruturalcomo

menor uso de recursos possível. No entanto, já é conhecido que esta otimização,

realizadadeformadeterminísticanãoérobustaemrelaçãoàsincertezasdesolicitaçãoe

resistência.Essafaltaderobustezestáassociadaàconversãodascondiçõesdefalhada

estruturaemrestriçõesdeprojetoeàconsideração indiretadas incertezasatravésde

valorescaracterísticosecoeficientesdesegurança.Taisconsiderações têmherançana

metodologiadeprojetobaseadaemnormastécnicas,quepornaturezanãoéótima,pois

talcálculogeralmenteexigeaproximaçõesfeitassempreemfavordasegurança.

Poroutrolado,oprojetoótimoresultantedeumaotimizaçãodeterminística,emvirtude

dadiminuiçãodasseçõesedamudançadeforma,temmaismodosdefalhaprojetados

“contrao limite”quandocomparadoaumprojetoconvencional “denorma”,noquala

estrutura tem mais alternativas para resistir à solicitação. Portanto, a estrutura

resultante da otimização determinística pode ter sua segurança comprometida em

comparaçãoàestruturaoriginalounão‐otimizada.

Comoexemplo,considereaestruturailustradanaFigura1.1.Todosospontosmateriais

da estrutura ótima resultante estão projetados contra o limite, chamado fully‐stressed

design;logo,nãohácaminhosalternativosparaasolicitação,eaestruturaótimatorna‐

se mais propensa ao colapso. Nesta estrutura, qualquer perturbação como inclusões,

defeitosdemicro‐estrutura,trincas,defeitosdecorrosão,ouumapequenavariaçãono

carregamentopoderia,teoricamente,levaraocolapsodaestrutura.

Figura1.1–ProblemaClássicodeotimizaçãotopológicadeterminística.

Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha

Apercepçãodequeaotimizaçãoestruturaldeveserrobustaemrelaçãoàs incertezas

emresistênciasesolicitaçãolevouaodesenvolvimentodediferentesmetodologias:

a. Otimizaçãorobusta(Beyer;Sendhoff,2006;Schueller;Jensen,2008);

b. Otimização(ouprogramação)fuzzy(Zimmermann,1992);

c. Otimização baseada em confiabilidade (RBDO) ‐ Reliability‐Based Design

Optimization‐(Cheng;Xu;Liang,2006).

Objetivos típicos da otimização robusta são amaximização da performancemédia do

sistemaeaminimizaçãodavariância.Emgeral,trata‐sedeumproblemadeotimização

multi‐objetivo (Sanchis et al., 2008; Ritto et al., 2010), cuja solução envolve soma

ponderada (Das e Dennis, 1997), pontos de compromisso (frente de Pareto) entre

objetivos(Chenetal.,1999)eagregaçãopreferencial(DaieMourelatos,2003).

Na otimização robusta, uma vertente da otimização estocástica, incertezas são

representadas como variáveis aleatórias ou processos estocásticos. Já na otimização

fuzzy,asincertezassãorepresentadasatravésdenúmerosfuzzy.Enquantoaotimização

estocástica tem uma abordagem probabilística, a otimização fuzzy apresenta uma

abordagempossibilística.Emgeral,aquantidadedeinformaçãodisponíveldeterminaa

abordagemapropriada(Bastin,2004).

Na RBDO busca‐se a minimização de uma função objetivo envolvendo volume de

materiais, custo (de manufatura) ou performance do sistema estrutural, sujeito à

restrições probabilísticas envolvendo as condições de falha da estrutura. A RBDO

endereça explicitamente as incertezas em ações e resistências, modeladas

probabilisticamente, e usa, como restrições de projeto, probabilidades de falha

admissíveisassociadasaospossíveismodosdefalha.Portanto,estaformulaçãogarante

que a segurança da estrutura ótima encontrada não será comprometida. A Figura 1.2

ilustraumexemploprático,ondeaestruturaàesquerdaéresultadodeumprocessode

otimizaçãodeterminista, e aestruturaàdireitaé resultadodaotimizaçãobaseadaem

confiabilidade.


Figura1.2–Comparaçãoentreresultadodeotimizaçãotopológicadeterminística(a)eotimizaçãobaseadaemconfiabilidade(b).(Fonte:Silvaetal.,2010)

Na otimização determinística, a robustez dos elementos é determinada pelos

coeficientesdesegurançautilizadoscomorestriçãodeprojeto.NaRBDO,arobustezdos

elementos é determinada pelas probabilidades de falha utilizadas como restrições. A

diferençaentreestasrestriçõesé latentenosresultadosdaFigura1.2.Considerandoa

otimização robusta e a RBDO, pode‐se dizer que a consideração de incertezas na

otimizaçãoestruturalnãoéumanovidade.Noentanto,umarevisãodaliteraturamostra

quenamaioriadosartigosclássicosdeRBDO(DueChen,2004;Tu,ChoiePark,1999;

Cheng,XueJiang,2006;YouneChoi,2004;Agarwaletal.,2007;Yi,ChengeJiang,2008;

AoueseChateauneuf,2010;ValdebenitoeSchueller,2010), as consequênciasde falha

sãodesconsideradasoudescartadas.

Uma função objetivo utilizada com frequência é a minimização da energia de

deformação(compliance)daestrutura.Funçõesobjetivoenvolvendocustostambémsão

encontradas, entretanto tais custos se referemao volumedemateriais ou a custosde

manufatura. Um termo de custo frequentemente desprezado na formulação de

problemasdeotimizaçãoestruturaléocustoesperadodefalha.Custoesperadodefalha

éoprodutodeumcustodefalhaporumaprobabilidadedefalha.Estadefiniçãocoincide

comadefiniçãoderisco1:logo,ocustoesperadodefalhapodeserentendidocomorisco

associadoacadamododefalhadaestrutura.Ocustoesperadototaléasomadoscustos

esperados de falha, para cada um dos possíveis modos de falha, somado aos custos

iniciaisdeconstrução,demanutençãoeoperaçãodaestrutura.Ocustoesperadototalde

um sistema estrutural é diretamente afetado pelo risco que a estrutura oferece a

usuários,empregados,aopúblicoemgeraleaomeioambiente.

1Definiçãode“risco”associadoaumevento:produtodaconsequênciadoeventopelaprobabilidadedeocorrênciadomesmo.


À otimização estrutural que leva em conta as incertezas juntamente com as

consequências de falha através da minimização dos custos esperados totais dá‐se o

nomedeOtimizaçãodeRisco‐RiskOptimization(RO)‐.Tratada,entreoutros,emBecke

Verzenhassi (2008) e Beck e Gomes (2012), a formulação permite equacionar o

compromissoentresegurançaecustodeumaestrutura.Comoconfirmadonotrabalho

de Beck, Gomes e Bazán (2012), que discute como a consideração de incertezas

epistêmicas2afetaarobustezdoprojetoótimo.Nestetrabalho,conclui‐sequeresultados

da otimização robusta mostram‐se mais conservadores e caros, porém menos

susceptíveisataisincertezasemcomparaçãoaotimizaçõesnão‐robustas.

A Figura 1.3 compara o escopo da otimização de risco com o escopo das otimizações

determinísticaeRBDO.

Figura1.3–Comparaçãodoescopodeformulaçõesdeotimizaçãodeterminística,RBDO,eotimizaçãoderisco.

2Incertezasepistêmicasestãorelacionadasaoníveldeconhecimentodoproblema,podendoserdotipoestatística,dedecisão,de

modeloefenomenológica.Tais incertezaspodemserreduzidasoueliminadasatravésdacoletademaisdadossobreosprocessos

envolvidosouatravésdemelhorconhecimentodoproblema(Becketal.,2012).


Por outro lado, métodos de confiabilidade e otimização estrutural são usados em

conjuntocommétodosnuméricosderesoluçãomecânicadaestrutura..Nãoobstante,a

crescente busca por economia e aplicação otimizada dematerial gera a concepção de

estruturasextremamenteflexíveis.Comoconsequência,aanálisedeequilíbrionaforma

não‐deslocadanãoémaisaceitávelparagrandepartedasaplicações.Ainclusãodeum

modelodecomportamentomecânicocomrespostanãolineargeométricaedomaterial

visa,destaforma,representarcommelhorprecisãoocomportamentodessasestruturas,

sendofundamentalpararepresentarfalhasporinstabilidade.

O estudo de não linearidades nométodo dos elementos finitos (MEF ou FEM –Finite

elementmethod‐) foi abordado porCrisfield (1991,1997) e Pimenta (1988 e 1996), que

tratamdanão linearidadegeométrica. Jáoestudodasnão linearidadesfísicas fixou‐se

na utilização de materiais elásticos não lineares através da teoria da elasticidade. A

diferença entre as análises linear e não linear geométrica e física pode ser vista na

Figura1.4,quemostraaposiçãodeslocadaapósaplicaçãodeumacargadecompressão

deumamesmatreliçacomalturasdistintas.

Figura1.4–Posiçãodeslocadadeumatreliçaemanálisesmecânicaslinearenão‐linear.

Diferentesmodosde falha têmconsequênciasdistintasediferentes custosassociados.

Modos de falha frágeis ou súbitos, que ocorrem sem aviso prévio, têm consequências

maisgravesdoquemodosdefalhadúcteis.Modosdefalhaditosdeserviço,quelevamà

suspensão(temporária)dousodaestrutura,têmcustosmenoresdoquemodosdefalha

ditosúltimos,que levamaocolapsodaestrutura. Oestudodarelaçãoentre formada

estruturaeconsequênciasdefalhaérelevanteporque,alémdomaterial,aformade

umaestruturadeterminaquaisosmodosdefalhamaisprováveis. Jáasproporçõesda

estrutura,demodogeral,determinamquãoprováveisestesmodosserão.


Quando o custo dos diferentesmodos de falha é levado em consideração, o resultado

depende dos parâmetros do problema, em particular dos diferentes custos de

falha.Maisainda,asoluçãoseriaumcompromissoentreoscustosdosdiferentesmodos

defalha.Paraaconfiguraçãodaesquerda,naFigura1.4,osmecanismosrelevantessão

snap‐through3 e instabilidade das barras comprimidas. Para a estrutura da direita, o

problema de snap‐through foi eliminado e o modo de falha mais relevante (mais

provável)éa instabilidadedasbarrascomprimidas.Emambososcasostambémpode

ocorrerrupturadasbarrastracionadasouesmagamentodasbarrascomprimidas.

AFigura1.4ilustraumproblemaclássicoemqueexisteumarelaçãodecompromisso

entre diferentes modos de falha. Cada configuração possível favorece alguns e

desfavorece outros modos de falha. Encontrar o ponto ótimo de compromisso entre

estes modos de falha requer a quantificação das consequências de falha. Estas são

multiplicadas pela probabilidade de ocorrência de cadamodo de falha, obtendo‐se os

custosesperadosdefalhaparacadamodo.Oscustosesperadosdefalhasãoincluídosna

função objetivo, de forma a obter‐se a configuração ótima como aquela que leva ao

menorcustoesperadototal.Emcontrapartida,quandoosdiferentesmodosdefalhasão

considerados como restrições de projeto (otimização determinística ou RBDO), a

soluçãodoproblemapassaaserdeterminadaporestasrestrições.

1.2 OBJETIVOS

O objetivo principal desta dissertação é otimizar uma estrutura sob incertezas

considerando o custo esperado de falhas. Três falhas serão consideradas: falhas por

instabilidadedepontolimiteedebifurcação(flambagem)edetensãoadmissível.Asnão

linearidadesfísicasegeométricaspodemterumpapelimportantenaocorrênciadessas

falhaseserãoincluídasnesseestudo.Espera‐secompreendercomoaquantificaçãodas

consequênciasde falhaafetaa formaótimadesistemasestruturais,obterarelaçãode

compromissoentrediferentesmodosdefalhabemcomoamargemdesegurançaótima

emrelaçãoacadamodo.

3 A falha por snap‐through, que ocorre devido à mudança brusca da configuração de equilíbrio, seráexplicadaemdetalhesnoitem4.1.


1.3 METODOLOGIA

Asanálisessãofeitasemumatreliçadeduasbarrasutilizandoomodelomecânicocom

nãolinearidadegeométricaefísica.Asvariáveisdesolicitação,resistênciaedemódulo

de elasticidade são consideradas comdistribuições probabilísticas. O equacionamento

das equações de estado limite é feito com falhas por tensão (esmagamento e

escoamento) e falhas por instabilidades (bifurcação e ponto limite). O cálculo das

probabilidadesdefalhaéfeitoatravésdoprogramaStrandcomautilizaçãodoFORM.A

funçãoobjetivoéentãomontadasomando‐seasparcelasdecustosesperadasde falha

paracadamodoeocustoinicial.Talcustoinicialédependentedasvariáveisdeprojeto

quesãodeforma(alturaecomprimentodovão)edetamanho(característicasdaseção

transversal: diâmetro e espessura). A otimização estrutural é feita através daprocura

exaustiva do ponto de mínimo para cada cenário de consequências de falha. Os

resultados são comparados entre os diferentes cenários e entre a otimização

determinísticaeaindacomaalteraçãodaconstantedenãolinearidadefísica.

1.4 ORGANIZAÇÃODOCONTEÚDO

O capítulo 1 traz uma introdução à dissertação abordando os principais conceitos a

serem trabalhados e também uma justificativa ao trabalho. Os objetivos principais e

secundários,incluindoametodologiautilizadanotrabalhotambémestãoinclusosneste

item.

O capítulo 2 apresenta a revisão bibliográfica, na qual são abordados os tópicos de

confiabilidade estrutural, otimização estrutural determinística e de risco, bem como

comportamentoestruturalnãolinear,estadoslimitesemodosdefalha.

No capítulo3 faz‐se amodelagemda estruturaproposta considerandoos aspectosde

análisenãolineargeométricaefísica.

Ocapítulo4estudaasprincipaisfalhasassociadasàestruturadefinindoasequaçõesde

estado limite para osmodos de falha de snap‐through, flambagem e falha por tensão

admissível.

Nocapítulo5éaplicadaaotimizaçãoderisco,noqualédefinidaa funçãoobjetivodo

problema,asvariáveisaleatóriasedeprojetoerealizadoocálculodasprobabilidadesde


falha.Porfim,oscustosesperadostotaissãoapresentadosemanálisesemfunçãodeum

edoisparâmetrosediscutidosdeacordocomavariaçãodoscustosdefalha.

O capítulo 6 realiza uma comparação entre a otimização determinística e a de risco

desenvolvida.

Por fim, o capítulo 7 traz as conclusões observadas e sugestões para continuação do

trabalho.


2. REVISÃOBIBLIOGRÁFICA

2.1 CONFIABILIDADEESTRUTURAL

SejamXeddoisvetoresdeparâmetrosdeumsistemaestrutural.OvetorXrepresenta

todasasvariáveisaleatóriasdoproblema,comodimensões,propriedadesderesistência

de materiais e de membros estruturais, e solicitações. Alguns destes parâmetros são

variáveisaleatóriaspornatureza,outrosnãopodemserdefinidosdeterministicamente

devidoadiversasfontesdeincerteza.

Tipicamente, variáveis de resistência são representadas como variáveis aleatórias e

açõessãorepresentadascomovariáveisaleatóriasouprocessosestocásticos.Ovetord

contémasvariáveisdeprojetodosistema,ouvariáveisdeotimização,comocoeficientes

parciais de segurança, dimensões, coordenadas nodais e mesmo alguns parâmetros

(determinísticos)dosmodelosdedistribuiçãodeprobabilidadedasvariáveisX.

A existência de incertezas e de comportamento aleatório implica em riscos, isto é, na

possibilidade de respostas estruturais indesejadas. A fronteira entre respostas

estruturais desejadas e indesejadas é formulada através de equações de estado limite

, 0detalformaque:

| , 0 é odomíniodefalha.(2.1)

| , 0 é odomíniodesobrevivência.

Cadafunçãodeestadolimitedescreveummododefalhapossívelparaaestrutura,em

termosdeperformance(estadolimitedeserviço)ouemtermosdecapacidadeúltimada

estrutura.Aprobabilidadedeumarespostaindesejada,ouprobabilidadedefalha,para

cadamododefalha,édadapor:

∈ (2.2)

onde representa a função de densidade de probabilidades conjunta do vetor

aleatório oe . representaprobabilidade.Probabilidadesdefalhaparacadafunção

deestadolimitebemcomoparafalhadosistemasãocalculadasatravésdetécnicasde

confiabilidadeestruturalcomoométododeaproximaçãodeprimeiraordem(FORM)‐


FirstOrderReliabilityMethod‐, o de segunda ordem (SORM) ‐SecondOrderReliability

Method‐ousimulaçãodeMonteCarlo(Melchers,1999;AngeTang,2007).

2.2 OTIMIZAÇÃOESTRUTURAL

2.2.1 Otimizaçãoestruturaldeterminística

Umproblemadeotimizaçãoestruturaldeterminísticapodeserpostocomo:

∗ : ∈ (2.3)

ondeCéafunçãoobjetivo, sãoasvariáveisdeprojeto(coordenadasnodais,áreados

elementos, densidade dos elementos) e 0, 1 é o espaço de

projeto admissível formado pelas restrições do problema de otimização. Na

otimizaçãodeterminista,asrestrições correspondemàsequaçõesdeestadolimiteda

Eq. (2.1). No entanto, as variáveis aleatórias são substituídas por valores

característicos ou nominais das resistências e ações, ponderadas por coeficientes

parciaisdesegurança,todosvaloresdeterminísticos.

Funçõesobjetivousuaisemotimizaçãodetopologiasãoocusto,volumeouenergiade

deformaçãoelástica(compliance)deumaestrutura.Asrestriçõesgeralmenteutilizadas

são:rigidezmínima,volumemáximoouaindatensãoadmissível.

2.2.2 Otimizaçãoderisco

Aotimizaçãoderiscosedistinguedeoutras formulaçõesdeotimizaçãoestruturalpor

levaremconsideraçãooefeitodeincertezasemtermosdeprobabilidadeseoscustosde

falha.

O custo total esperado ( ) de um sistema estrutural em um problema de

otimizaçãoderiscoéformadopelosomatóriodosseguintescustos:

1. :custoinicialoudeconstruçãodaestrutura;

2. çã :custodeoperação;

3. çã çã :custosdeinspeções,manutenção,reparoesubstituição;

4. :custodedescarte.


Somadosaoscustosesperadosdefalha,quevemaserprodutodoscustosdefalhapelas

respectivasprobabilidadesdefalha(BeckeGomes,2012):

(2.4)

Custos de falha incluem custos de reparo ou de substituição dos componentes

danificados,custodereconstruçãocompletadosistema,custodeindenizaçõespagasa

funcionárioseaterceirosemdecorrênciadefalhaacidental,eoutros.Paradeterminaro

custoesperadodefalhaénecessárioquantificarocustodefalhaemtermosmonetários,

bem como determinar a probabilidade de falha. A probabilidade de falha é avaliada

utilizando‐seateoriadeconfiabilidadeestrutural,definidasegundoaEq.(2.4).

Para cada modo de falha do sistema ou de componentes do mesmo haverá um

componentedecustoesperadodefalha.Ocustoesperadototaldosistemaédadopela

somadetodosostermosparciaisdecusto:

çã çã çã

(2.5)

Ocustoinicialaumentadiretamentecomoníveldecontroleoudesegurançaplanejados

emprojeto.Oscustosdeinspeção,manutenção,reparoesubstituiçãovariamconformea

política adotada. Em geral, gastos com estas ações tem impacto na probabilidade de

falhadosistema,e, consequentementenoscustosesperadosde falha.Portanto,gastos

com inspeção,manutenção, reparo e substituição aumentam a terceira parcela da Eq.

(2.5), mas tendem a diminuir a parcela dos custos esperados de falha. Maiores

investimentos em inspeção, manutenção, reparo e substituição têm um efeito

aproximadamente linearnoscustosdiretos,C çã çã ,daEq. (2.5)),masum

efeitonão‐linearnasprobabilidadesdefalha,conformeilustradonaFigura2.1.Segundo

Beck e Gomes (2012), isto ocorre porque, a partir de um determinado nível de

investimentonestasações,aprobabilidadedefalhajánãoémaisafetadapelasmesmas.

A quantidade ideal de recursos a investir em políticas de inspeção e manutenção é

aquelaque levaaomínimocustoesperadototal.Estaquantidadepodeserencontrada


atravésdasoluçãodo seguinteproblemadeotimizaçãode risco, também ilustradona

Figura2.1.

∗ : ∈ (2.6)

Figura2.1‐Composiçãodocustoesperadototaldeumsistemaestruturalhipotético.(Fonte:Beck,2009)

onde é o espaço de projeto admissível e e são os

limites inferiores e superioresdas variáveisdeprojeto (coordenadasnodais, áreados

elementos,densidadedoselementos).É importanteobservarquenesta formulaçãoas

restrições correspondentes às equaçõesde estado limite foram incorporadas à função

objetivo. Nas otimizações determinística e baseada em confiabilidade (RBDO), as

equaçõesdeestadolimiterepresentamrestriçõesdeprojeto,enquantonaotimizaçãode

riscooproblemaestá livre: logo, estaúltima formulaçãopermite encontrar obalanço

adequadoentreosmodosdefalha,ouasmargensdesegurançaapropriadasemrelação

acadamododefalha.Estaformulaçãoétambémchamadadeotimizaçãodecustossobre

o ciclo de vida. No entanto, os custos de ciclo de vida não precisam estar

necessariamenteenvolvidos,istoé,pode‐seresolveroproblemadeotimizaçãoderisco

envolvendosomenteaprimeiraparcela, ,eaúltima,referenteaocustoesperado

defalha,doladodireitodaEq.(2.5).


Aotimizaçãoderiscopodeserrealizadaatravésdocontroledasprobabilidadesdefalha

e/oudoscustosdefalha.Noentanto,amitigaçãoderiscoatravésdepreparo,educação,

treinamentoeoutrosestão foradoescopodesta investigação.Embora custosde falha

sejam constantes, é importante notar que esta formulação permite um balanço entre

modosdefalhaconflitantescomcustosdefalhadistintos.Consequentemente,osestados

limites últimos e de serviço, com seus diferentes custos de falha intrínsecos, são

facilmenterepresentadosnaformulaçãodeotimizaçãoderisco(GomeseBeck,2013).

Deve‐seressaltarqueaotimizaçãoderiscoacimaébastantediferentedaRBDO.Embora

estaseparaçãonãosejasempreclaranaliteratura,artigosclássicosdeRBDO,comoode

QueHaftka(2004),referem‐seaoseguinteproblema:

∗ : ∈ (2.7)

onde é o custo inicial ou de produção, que pode incluir custo de materiais

(calculadosapartirdovolume)ecustosdemão‐de‐obraeí

éarestriçãoem

termosdeumaprobabilidadedefalhaadmissível.Oespaçodeprojetodoproblemade

otimização torna‐se í, 1 , onde cada equação de

estado limite dá origem a uma restrição em termos de probabilidades de falha

admissível.

EmproblemasconvencionaisdeRBDO,as incertezassobreosvaloresdosparâmetros

deprojetosãomodeladoscomovariáveisaleatórias.Ummétodoeficientederesoluçãoé

considerar as médias destas variáveis aleatórias como variáveis de projeto, assim a

funçãoobjetivotorna‐seumafunçãodeterminística.Jánasrestriçõesconsidera‐sequea

probabilidadedarestriçãonãosersatisfeitadeveser inferioracertaprobabilidadede

falha admissível, escolhida apriori pelo projetista. Portanto, formulações clássicas de

RBDOnãoincluemcustosdefalhanafunçãoobjetivo.Istogeradiferençassignificativas

nasestruturasótimasencontradas,comoevidenciadoporBeckeGomes(2012).

Na otimização de risco, as análises de confiabilidade são repetidas centenas de vezes.

Portanto,oalgoritmousadoparaanálisesdeconfiabilidadedevesermuitoeficiente.O

FORM é razoavelmente preciso e bastante eficiente para problemas de alta e baixa

probabilidadedefalha.


NoFORM,aEq.(2.2).éresolvida,segundoMelchers(1999),atravésdomapeamentodo

espaço de variáveis aleatórias do espaço original para o assim chamado espaço

Gaussianopadrão.

, , (2.8)

onde representa um vetor4 cujos componentes são variáveis aleatórias Gaussianas

padrão independentes e identicamente distribuídas. Este mapeamento pode ser

realizadopelatransformaçãodeNatafoudeRosenblatt(MELCHERS,1999).Noespaço

Gaussiano padrão, a função conjunta de probabilidades é rotacionalmente

simétrica e, portanto, o ponto ∗ na função de estado limite , 0 que émais

próximo à origem representa o ponto de maior probabilidade de falha, também

conhecidocomopontodeprojeto.Essacaracterísticatambémpermitequeabuscapelo

pontodeprojetosejafeitaporumproblemadeotimizaçãocomrestrição:

∗ ‖ ‖ , 0

(2.9)

Da Eq. (2.9), ‖ ∗‖é o índice de confiabilidade deHasofer‐Lind, que vem a ser a

distancia entre ∗ e a origem do espaço padrão. O FORM, portanto, consiste em

encontraropontodeprojeto ∗eaproximarafunçãodeestadolimiteoriginal por

um hiper‐plano tangente no ponto de projeto. A aproximação de primeira ordem da

probabilidadedefalhaédadapor:

, 0 ≃ (2.10)

ondeΦ é a função de distribuição cumulativa de probabilidades de uma distribuição

normal com média nula e desvio‐padrão unitário, chamada de distribuição normal

padrão.

Ocálculodasprobabilidadesdefalhapodevariardeacordocomométodousadoparaa

sua determinação. Sendo possível utilizar simulações de Monte Carlo para avaliar a

probabilidade de falha. A probabilidade de falha, via Monte Carlo simples (SMCS), é

4 A letra em negrito se refere a um vetor do espaço Gaussiano padrão e não tem relação com osdeslocamentos utilizadosaolongodestetrabalho.


obtida integrando‐se sobre todo domínio o produto da função indicadora, , pela

função de densidade de probabilidade conjunta , por definição, esta expressão

representaovaloresperado5dafunçãoindiciadora, .

(2.11)

Já a amostragem por importância (SMCI) procura deslocar os pontos de amostragem

para regiões importantes do domínio de falha utilizando uma função de amostragem

. Uma das várias estratégias para a determinação da função de amostragem é

centra‐lanopontodeprojeto.AEq.(5.5)mostraaalteraçãoemrelaçãoaoSMCS:

(2.12)

Problemas de otimização de risco e RBDO envolvem análises de otimização internas

quandoaprobabilidadedefalhaéavaliadapeloFORM(Eq.(2.8)).Estaéumadificuldade

importante,umavezqueanálisesdeotimizaçãoenvolvemarealizaçãodecentenasde

respostasestruturais.Portanto,ocustocomputacionalderesolveromodelo(viaMEF)é

composto, pois o modelo deve ser resolvido centenas ou milhares de vezes. Muitos

atalhos foram desenvolvidos para problemas de RBDO, tais como a utilização

programaçãosequencial,fatordeprobabilidadeeoutros.Noentanto,essesatalhosnão

servemparaproblemasdeotimizaçãoderiscosendo,portanto,problemasderesolução

maistrabalhosa.Alémdisso,foiobservadoqueaformulaçãodaEq.(2.5),porincluiras

"restrições" de projeto na função objetivo, dá origem a problemas de otimização com

múltiplosmínimoslocais(BeckeGomes,2012).

5Nãoconfundiraexpressãodevaloresperadocomomódulodeelasticidadedomaterialdeestudo.


2.3 COMPORTAMENTOESTRUTURAL

2.3.1 Teoriadaelasticidadenão‐linear

Ousodomodelo elásticonão linearabandonaahipótesedepequenasdeformações e

obriga a usar um tensor deformação não‐linear e não‐infinitesimal, dando maior

complexidadeàleiconstitutivas.Alémdisso,asequaçõesresultantesdaanulaçãodesta

hipótese incluemfenômenosdenão‐linearidadegeométrica(flambagem,abaulamento,

snap‐through,...).

Considerandoomaterialcomoummeioderespostaelástico‐linear,aLeideHookecom

resume a relação constitutiva, sendo expressa, no caso unidimensional, pela seguinte

relaçãotensão‐deformação:

(2.13)

NestaEq.(2.13),omódulodeelasticidadeoumódeulodeYoung, ,éentendidocomo

umaconstantedeproporcionalidadeentreasduasgrandezas:tensão( )edeformação

( ).

Emboraexistamna literaturaváriasmedidasdedeformação,amedidadedeformação

quadrática ou de Green dada pela Eq. (2.14) será adotada, dando origem a seguinte

relaçãodecompatibilidade:

12

(2.14)

onde é a razão entre o comprimento final e inicial do elemento. A Eq. (2.14) será

escrita, na sequencia, em função dos comprimentos, como é possível ver naEq. (3.3).

Restaadefiniçãodaleiconstitutivaqueprescrevaavariaçãodomódulodeelasticidade

com o deslocamento. Admitindo‐se a seguinte lei de variação, que ilustra tal

dependência,tem‐se:

1 c/ 0 0 0 á (2.15)

Aleiadotada,emborailustrativa,érepresentativadeumcasodeelasticidadenão‐linear,

sendo á uma limitação que garante a restrição domodelo ao regime de pequenas

deformações e uma constante positiva limitada pelo inverso de á para que não

resultemvaloresnegativosdomódulodeelasticidade.


2.3.2 Aspectosdenão‐linearidade

Uma estrutura tem seu comportamento dito linear quando as relações de equilíbrio

tomam como referencia a configuração inicial da estrutura. Adotando hipóteses

consistentescomessateoria,variaçõeslineareseangularesassociadasàsdeformações

são descritas adotando‐se simplificações de natureza geométrica. Além disso, outras

restrições são necessárias para reproduzir uma resposta estrutural linear, como a

adoçãodeumarelaçãodeproporcionalidadeentretensõesedeformaçõeseinvariância

dascondiçõesdecontornoduranteoprocessodedeformação.

O regime de comportamento não linear de uma estrutura pode ser obtido através da

retiradadequalquerumadessashipóteses.Anãolinearidadefísicasurgedaadmissão

denãoproporcionalidadeentretensãoedeformação;anão linearidadegeométricada

retirada das restrições nas descrições das mudanças de geometria. A variação das

condições de contorno, por sua vez, determina a não linearidade de contato, que não

seráestudadanestetrabalho.

Dopontodevistamaisgeral,podeocorrermaisdeumfatorindutordecomportamento

não linear, razãopelasquaisambasasnão linearidades físicaegeométrica serãoalvo

deste estudo. A ocorrência de uma não linearidade tem, no entanto, influencia sobre

outra,razãopelaqualestudosdenãolinearidadesúnicasnãopodemsersobrepostos.

Na não linearidade física, procura‐se considerar a resposta de certo meio além dos

limites do regime elástico linear idealizado. Quando há uma relação constitutiva não

linear surgemmudanças na resposta física dosmateriais (distribuição das tensões ao

longo da extensão de uma barra, bem como ao longo dos eixos e das faces das suas

própriasseções).Avariaçãodasleisconstitutivasquegovernamocomportamentonão

linearmaterialtemcomoinconvenienteofatodasequaçõesdeequilíbrioteremqueser

determinadasparaestruturascujaspropriedadesfísicasdependemdatensão,existindo

oproblemadenãopoderemserconhecidasantecipadamente.

A não linearidade geométrica, também conhecida como “efeito de segunda ordem”,

surgedevidoàmodificaçãodageometriadereferênciadaanáliseaolongodoprocesso

de deformação do corpo. Pode ocorrer devido a grandes deformações, grandes

deslocamentos e rotações da configuração de referência, ou dos dois juntos. A estas

alteraçõessomam‐seacréscimosnosesforços, resultadodiretodasnovase sucessivas


excentricidades criadas pelos movimentos próprios da estrutura em deformação

acompanhadosdealteraçõesdarigidezdaestruturageradapelosignificativovalorque

as forças internas venham a assumir. A descrição geral da condição de equilíbrio na

posiçãodeslocadaé feitaatravésdoprincípiodos trabalhosvirtuais (PaulaeProença,

2008).

Aconsideraçãogeraldegrandesdeslocamentosepequenasdeformaçõesou,demodo

maisgeral,grandesdeformaçõesdeveserusadacomcautela,umavezqueemsituações

particulares, como a de estruturas esbeltas abatidas, mesmo com pequenos

deslocamentos linearese regimedepequenasdeformaçõespodemocorrer fenômenos

de instabilidade estrutural, o que só é convenientemente representado através da

corretadescriçãodasrotaçõesglobais(MartinseGreco,2013).

2.3.3 Comportamentospóscriticos

Ilustram‐se nesta seção alguns dos processos de deformação não linear que uma

estrutura pode sofrer em comportamento pós‐crítico, devendo ainda em certos casos

falar‐sedeinstabilidade,desdequeemqualquermomentotenhaexistidoumaperdade

equilíbrio caracterizada por um valor mínimo da rigidez da estrutura numa fase

intermediáriadoprocesso.AFigura2.2mostraascurvasdecargaversusdeslocamentos

paraocasonormaledecomportamentopós‐críticos.

Figura2.2‐Casonormal(esquerda)ecasodebifurcaçãodoequilíbrio(direita).(Fonte:MartinseGreco,2013)

Ocasonormalécaracterizadoporalgumaperdanarigidezenoaumentomoderadoda

deformação.Nestecasoexisteumarelaçãounivocidadeentrecargasedeslocamentos,

isto é, existe uma única deformação associada a uma dada carga. Além disso, as

deformações não necessariamente comprometem a utilização no regime plástico. A

bifurcaçãodeequilíbrioécaracterizadaporumcomportamentoessencialmentelinear,


até atingir um ponto a partir do qual entra‐se em ampla não linearidade. O nome

bifurcaçãosurgeaqui, ligadoàpossibilidadedeexistiremduas trajetóriasquepassem

pelo mesmo estado de equilíbrio, a partir do qual estas se tornam instáveis. É uma

situação em que deixa de haver univocidade entre a carga e o deslocamento no seu

pontodeaplicação.

Ospróximoscomportamentos,mostradosnaFigura2.3,dizemrespeitoàsinstabilidades

causadasporinflexão.Emambososcasos,amudançaentreasfasesdeperdaeganhode

rigidezécaracterizadaporumpontodeinflexão,daíadesignaçãodoprópriofenômeno.

Figura 2.3‐ Caso de inflexão da trajetória de equilíbrio: sem descontinuidade (esquerda); comdescontinuidade do tipo “snap‐through” (direita acima) e com descontinuidade tipo “snap‐back” (direitaabaixo).(Fonte:MartinseGreco,2013)

Nocasodeinflexãonatrajetóriasemdescontinuidade,arigidezdaestruturaapresenta

um valor mínimo numa fase intermediaria do processo. Na situação particular com

descontinuidade,chamada“snap‐through”,osefeitosdenãolinearidade,acompanhados

de uma diminuição da rigidez, vão‐se acentuando com o aumento de carga,

prosseguindoatéqueatrajetóriaalcançaumpontodemáximo,ondearigidezseanulae

aestruturasetornainstável.Éentãoprocuradaumanovaconfiguraçãodeestabilidade

e a estrutura vê o seu equilíbrio restituído, após o aumento brusco de deformação. A

energia potencial assim libertada está associada a um fenômeno fortementedinâmico

queacompanhaavariaçãoprofundadageometriadaestrutura.Umcasoanálogo,mas

em que se verifica adicionalmente uma diminuição transitória em termos de

deslocamentoédesignadopor“snap‐back”.


Comonoçãoteóricamuitoimportante,nuncaseráovalorabsolutodestacarga‐tipoque

farávariaroaspectodacurvacarga‐deslocamento.Ovalordessaaçãosódeterminará

quão longo vai ser a extensão total da linha representativa da relação carga

versusdeslocamento,jamaisasuaforma.SegundoMartinseGreco(2013),aaparência

datrajetóriaestáintimamenteligadaàspropriedadesgeométricasefísicasdassecções

dos elementos. Uma variação da inércia destas seções, por sua vez, pode determinar

maioroumenorconcavidadeeconvexidadedopercurso(emque,noextremo, tem‐se

umasituaçãodeinstabilidadeporinversãodeequilíbrio).

Assim, nota‐se que o grau de comportamento não linear de uma estrutura, para uma

mesma geometria global, varia decisivamente com a rigidez dos seusmembros.

Secundariamente o valor da carga‐tipo assume importância fundamental, sendo esta

maisrelevantequandosuadimensãocolocaaestruturajápertodocolapsogeométrico,

ouseja,naiminênciadabifurcaçãodeequilíbrio.

2.3.4 Estadoslimitesemodosdefalha

Aformulaçãodasrestriçõesdoproblemadeotimizaçãoéfeitaatravésdasequaçõesde

estadolimite.Cadamododefalhadáorigemaumestadolimitequecorrespondeaum

estadoindesejáveldaestruturapornãoatendimentodeumrequisitodeserviçooude

segurança. Para ajudar a definir fronteiras entre estados desejável e indesejável são

usadas, em termos matemáticos, funções de estados limites. Os modos de falha e os

estados limites correspondentes representam modelos idealizados da falha de

estruturas.

Os estados limites podem ser divididos emúltimos e de serviço.Os últimos levamao

colapso ou dano grave e permanente da estrutura, correspondendo aos requisitos de

segurançaqueenvolveacapacidademáximadecargaoudedeformaçãodaestrutura.Os

deserviçocorrespondemaosrequisitosdeserviçodaestruturaeacondiçõesnormais

deuso,quepodemserreversíveisouirreversíveis.Comoestesúltimossócaracterizam

falha após um período prolongado de tempo ou de uma sucessão de ocorrências não

serãoutilizadosnesteestudo.

Existe, no entanto, a probabilidade de que o sistema estrutural atinja um ou mais

estadoslimites.Essaprobabilidadeéocasionadapelaexistênciadeparâmetrosquesão


variáveis aleatórias por natureza e de outros que não podem ser definidos

deterministicamente devido a fontes diversas de incerteza. Os resultados produzidos

quandoummododefalhaocorresãodeterminadoscomoconsequênciasdefalha.

Oconhecimentodarelaçãoentreaformadeumaestruturaeaocorrênciadosmodosde

falha inerentes à mesma permite auxiliar nos aspectos de segurança, aumentando o

níveldeconfiabilidadedaestrutura.Paradeterminaroquãocríticoéummododefalha,

pode‐se multiplicar a probabilidade de ocorrência deste modo pela quantificação

monetáriadasconsequênciasdafalhaenglobandotantoabrangênciadoimpactoquanto

gravidadedosefeitos.


3. EXEMPLOANALÍTICODEAPLICAÇÃO:TRELIÇAPLANA

3.1 CONSIDERAÇÕESINICIAIS

Treliças são estruturas nas quais as forças nas barras são transmitidas ao longo do

comprimento dos elementos, sendo as forças aplicadas somente nos nós de modo

concentrado. No caso do elemento finito de treliça (barra), tem‐se como graus de

liberdade as posições finais dos dois nós extremos. A configuração inicial ou

indeformadaépresentadapelascoordenadascartesianaseaatualoudeformadapode

ser representadapela somados deslocamentos aplicados às coordenadas iniciais (ver

Figura3.1).

Figura3.1–Elementodebarranoestadodeformadoeindeformado.Abarraemlinhatraçajadarepresentaoestado indeformado dado pelas coordenadas , , . Após a aplicação de deslocamentoshorizontais e verticais as coordenadas iniciais e finais que definem o comprimento da barradeformada sofrem os acréscimos de deslocamento , . O comprimentofinaldabarrapassaentãoaseruma funçãoemtermodosdeslocamentossofridos,omesmoocorreparaoângulo deinclinação.

AtreliçadeVonMisses,aserestudadanestetrabalho,écaracterizadaporumsistema

mecânicocomduasbarras.Suaanáliseseráfeitaconsiderandonãolinearidadesfísicae

geométrica. A carga será aplicada no ponto de junção das barras produzindo uma

deformação simétrica.Tal aplicaçãode cargapodeproduzir instabilidadesadepender

doânguloentreasbarras.Umainstabilidadenãomuitoabordadaéainstabilidadepor

ponto limite, chamada fenômeno do snap‐through. Nesta falha, a carga crítica de

compressãofazcomqueaestruturaassumaumaformadeequilíbrioreversademodo

repentino,porisso,adesignaçãosnap‐through(movimentosúbitodeumladoaoutro)

Portanto, é possível afirmar que a treliça de Von Misses possui comportamento


biestável.Comadiminuiçãodoânguloentreasbarras,eportanto,aumentodaesbeltez

dasbarras, aumenta‐se aprobabilidadedeocorrênciade instabilidadeporbifurcação,

caracterizadapela flambagemdo elementoestrutural.Tais instabilidades são tratadas

como falhas da estrutura sendo calculada uma probabilidade de falha a cada modo.

Trata‐se ainda da falha por tensão admissível que é descrita por esmagamento ou

escoamentodasbarrasadependerdasolicitação.

Paramodelaroproblema,será feitaumasoluçãoanalíticaque trateocomportamento

não linear físico através de uma lei constitutiva de variação para o módulo de

elasticidade,comodeslocamentoeocomportamentonãolineargeométricoatravésda

incorporaçãodaposiçãodeslocadanaequaçãodeequilíbriodoproblema.

3.2 FORMULAÇÃO:NÃOLINEARIDADEGEOMÉTRICA

Aformulaçãodoproblemacomaconsideraçãodenãolinearidadegeométricadepende

daconsideraçãodaposiçãodeformadadaestrutura,istoé,aposiçãofinaldaestruturaé

dada em função dos deslocamentos sofridos a cada passo de carga. A princípio, na

configuração(posição)inicial,asbarrasformam,comahorizontal,umângulo como

indicado na Figura 3.2. Com aplicação de uma carga, a configuração da estrutura é

alteradaeaposiçãodeslocadaécalculadaapartirdoequilíbriodonócentral,oqualé

feitosegundoobalançodeforçasnasdireçõesverticalehorizontal.

Figura3.2–Treliçadeduasbarrasemposiçãodeformada.Adireçãodeaplicaçãodaforçafoitomadacomopositivaafimdeminimizardesgastesdecálculoscomdeslocamentosnegativos.Emcasosdecompressãoomódulodaforçaedosdeslocamentosdevesertomadocomonegativo.Osvalorescomíndice representamposição indeformadaou inicial,os índices representamposiçõesdeslocadas após aplicaçãodepassosdecarga.

Paraobteroequilíbriodonó central faz‐seodetalhamentodas forçasatuantesnonó

segundo a Figura 3.3 à direita, na qual é considerada a representação simétrica da

estrutura.


Figura3.3–Treliçasimplesemrepresentaçãocomsimetria.Oapoioquecorretamenterepresentaocomportamentodonócentraléaquelequerestringemovimentoshorizontaiseliberadeslocamentosverticais,objetivodoestudo.

Considerando a condição de equilíbrio de forças no ponto na direção vertical e

admitindo‐sequeoângulo émuitopequeno,tem‐se:

(3.1)

onde éacargaverticalaplicada, éoesforçonormalnabarraeosenodoângulo é

dado na posição deslocada, considerando o comprimento final da barra e o

deslocamentovertical .

O cálculo do esforço de compressão normal na barra representada na Figura 3.3

tambéméfeitoatravésdosesforçosinternos,ondeanormalédadapelatensãoaplicada

emumadeterminadaárea;taltensãoédadapelaleideHooke(deformaçãopormódulo

deelasticidade).

(3.2)

Dentreoutrasmedidasdedeformação,emprega‐seamedidaquadráticaoumedidade

Greendefinidapor:

12

(3.3)

Considerando‐seageometria,oscomprimentosenvolvidossãoescritoscomo:

(3.4)

Sendoassim:


12 1

22 (3.5)

Sendoassim,deformasucintaoesforçonormalnasbarrasédadopor:

(3.6)

onde representaaáreanominal,ouinicial,daseçãotransversal.Nãoéconsideradoo

efeitodePoisson;portantoasáreasinicialefinalsãoequivalentes.

Emtermosdenãolinearidadegeométrica,acargaPescritaemfunçãododeslocamento

édadapor:

32

12

(3.7)

ou

32

12

(3.8)

ArepresentaçãográficadasEqs.(3.8)e(3.7),ilustradanaFigura3.4,mostraclaramente

umcomportamentonãolinear.Observa‐seque,seasbarrasforemcarregadascomuma

força crescente , no ponto A, não seria possível acompanhar a trajetória real, e

poderia ocorrer um salto brusco para uma configuração referente ao ponto C. A este

salto se associam efeitos dinâmicos não desprezíveis. Em situações como esta, faz‐se

necessárioousodeestratégiasadequadasàconstruçãodatrajetóriadeequilíbrio,tais

como métodos iterativos capazes de representar as soluções em cada ponto dessa

trajetória.

Figura3.4‐Diagramacarga‐deslocamentoparatreliçadeduasbarras.(Fonte:Crisfield,1991)


SegundoCrisfield (1991), a construçãoda curva comcomportamentonão linearpode

ser feitaatravésdoconhecimentoda inclinação tangentedamesmaemváriospontos.

Estatangenteéaderivadadaforça emrelaçãoaodeslocamento .Assim,tem‐se:

332

(3.9)

ou

1 332

(3.10)

onde échamadadematrizderigideztangente.Naconfiguraçãoinicial,aindasemo

conhecimentododeslocamento ,amatrizderigideztangenteéequivalenteàmatrizde

rigidez elástica linear, que depende somente da configuração geométrica inicial da

estrutura.Nasconfiguraçõesseguintes,amatrizderigideztangenteéasomadamatriz

derigidezelásticaedamatrizderigidezgeométrica.

3.3 FORMULAÇÃO:NÃOLINEARIDADEFÍSICA

Adotando‐se a validadedomodelo para pequenasdeformações descrito naEq. (2.15)

com 100, tem‐se á 1⁄ 0,01. A relação tensão‐deformação para definir a

respostaconstitutivasãodadospelaigualdade:

1 (3.11)

NaEq.(3.11),aconstantedenãolinearidadefísica temopapelderegerainflênciada

não linearidade física no comportamento do material. A Figura 3.5 ilustra o gráfico

obtido após a adoção de valores arbitrários de deformação para obter a tensão

respectiva.


Figura3.5–Comportamentodomaterialelásticonãolinearidealizado.

Os pares positivos de tensão‐deformação gerados na Figura 3.5, no entanto, não

representam o problema de aplicação de forças de compressão. No problema em

questão,asdeformaçõesgeradasnasbarrassãonegativas,sendoocomportamentoda

tensãorepresentadopelaparábolacomconcavidadeinversa.Paramanteromódulode

elasticidade positivo, tendo em vista deformações negativas emvirtude da orientação

dosdeslocamentos,usa‐seaEq.(3.11)comsinalpositivo.

3.4 ANÁLISENÃOLINEARDAESTRUTURA

A análise não linear da estrutura pode ser feita de diversas formas. Primeiramente,

procurou‐se resolver o problema variando a altura da treliça em software comercial

ANSYS.Emseguida,estratégiasdoprogramacomercial,comoousodocomprimentode

arcoedosincrementosdecarga,foramimplementadasemumalgoritmo.

3.4.1 Definiçãodascaracterísticasgeométricasedomaterial

A estrutura a ser analisada consiste emuma treliça simples de duas barras sob força

concentradaaplicadanonócentralecommaterialderespostaelásticonão‐linear.Como

propriedadesgeométricasiniciais,adota‐seumvãounitário,com1metro.Porsetratar

deumaestruturasimétrica,cadasemi‐vãotem50cm.Aalturainicialadotadaéiguala5

cm,umavezqueestruturasabatidasapresentaminstabilidadeporpontolimite.

A forçaaplicada 50 foideterminadademodoa ter intensidadesuficientepara

causar os modos de falha a serem estudados, direção vertical e sentido negativo e é


aplicada no nó central da estrutura. O módulo de elasticidade inicial vale

20500 / ,asbarrastemseçãocircularcomdiâmetrode2,54 eáreadeseção

transversaliguala5,07 ,constanteaolongodocomprimentodasbarras.Opesoda

barraé3,98 / eomomentodeinérciaaflexãoé 64⁄ 2,043 .

3.4.2 ResoluçãoemprogramacomercialANSYS

NesteprimeiroestudoforamfeitassucessivasanálisesnoANSYScomvariaçãonaaltura

datreliça.Considerou‐sematerialnãolinearelástico,regimedegrandesdeslocamentos

eosdadosgeométricosdoitemanterior.ATabela3.1resumeosdadosdedeslocamento

e força normal em dois pontos da trajetória de equilíbrio e a Figura 3.6 mostra tal

variaçãoemfunçãodaaltura.

Tabela3.1–DadosobtidosdaanálisenãolinearnoANSYS.

Altura CargaLimite

2,0 ‐6,997 251,3 ‐0,968 ‐90,258 ‐2,4

3,0 ‐8,246 239,6 ‐1,291 ‐158,389 ‐7,6

3,5 ‐8,931 231,5 ‐1,383 ‐218,413 ‐11,5

3,8 ‐9,355 226,4 ‐1,488 ‐238,931 ‐14,2

4,0 ‐9,645 222,9 ‐1,578 ‐249,104 ‐16,2

4,5 ‐10,403 213,2 ‐1,689 ‐253,437 ‐21,6

5,0 ‐11,217 203,0 ‐1,717 ‐259,835 ‐27,5

5,2 ‐11,535 198,9 ‐1,753 ‐259,135 ‐30,0

5,5 ‐12,037 192,8 ‐1,948 ‐258,765 ‐33,1

6,0 ‐12,901 182,8 ‐1,917 ‐259,247 ‐39,7

6,5 ‐13,785 173,4 ‐1,825 ‐259,439 ‐46,5

6,6 ‐13,963 171,6 ‐1,779 ‐258,414 ‐47,9

6,7 ‐14,143 169,8 ‐1,746 ‐235,850 ‐49,2

6,8 ‐1,556 ‐239,7 ‐1,556 ‐185,076 ‐50,0

7,0 ‐1,170 ‐215,8 ‐1,170 ‐156,882 ‐50,0

8,0 ‐0,711 ‐173,3 ‐0,711 ‐136,870 ‐50,0

9,0 ‐0,516 ‐149,5 ‐0,516 ‐122,768 ‐50,0

10 ‐0,398 ‐132,6 ‐0,398 ‐111,606 ‐50,0

11 ‐0,321 ‐119,7 ‐0,321 ‐90,258 ‐50,0

12 ‐0,267 ‐109,4 ‐0,267 ‐158,389 ‐50,0


Os valores e representam o deslocamento total da estrutura e força

normaldaestruturaapósaplicaçãototaldacarga,considerandograndesdeslocamentos

com comprimento de arco. Os valores que seguem são referentes ao ponto limite, ou

seja, o deslocamento imediatamente anterior à inflexãodas barras , a normal

nasbarrasnestedadomomento earespectivacargaaplicadanaestrutura.

Na Tabela 3.1, é possível ver que a partir da altura igual a 6,8 já não se observa o

fenômeno do snap‐through, sendo o deslocamento no ponto limite igual ao

deslocamento total e a carga neste ponto igual ao carregamento total. Nesta

configuração,aestruturajánãoapresentaumaformatãoabatida.

SegundoLimaeVenâncioFilho(1992),quandoaelevação ésuficientementepequena,

ouseja,talqueoângulodeinclinaçãoinicialdasbarrasdatreliçasejainferiora5graus,

as deformações permanecem pequenas para todo o carregamento, verificando‐se,

portanto6, ≅ 1.Assim,asmedidasdedeformaçãoseconfundem.

Para treliças com inclinações superiores a cincograus,os resultadosdedeslocamento

são coincidentes enquanto as deformações são ainda pequenas. Assim, tomar ‘a

priori’ ≅ 1 pode constituir uma aproximação significativa, particularmente quanto à

determinaçãoda carga limite.Vale observarque, para essas inclinações, podeocorrer

bifurcaçãodoequilíbrioantesdeatingiropontolimite.

A Figura 3.6 mostra a variação dos deslocamentos ao final do carregamento e

imediatamenteantesdainflexão emfunçãodaaltura.

Figura3.6–Variaçãododeslocamento totale limiteem funçãodamudançadaalturada treliça.Pontosdedeslocamentolimitecoincidentessereferemaconfiguraçõesquenãosofreraminflexão.

6 foidefinidoanteriormentenoitem2.3.1comoarazãoentreocomprimentofinaleinicialdoelemento.


É preciso lembrar que os deslocamentos limites são calculados com porcentagens

parciaisdocarregamentototal.Airregularidadedacurvade podeserexplicada

pelo comportamento damatriz de rigidez tangente com relação a cada configuração,

comoserávistonaFigura3.9.

3.4.3 Definiçãodamatrizderigideztangentealgebricamente

A definição da não‐linearidade do material permite expressar na Eq. (3.12) a força

normal nas barras em função dos deslocamentos. Tal equação é fundamental para a

resoluçãonumérica,umavezqueamatrizderigideztangentedependedasuaderivada

parcialemfunçãodosdeslocamentos.

112

24

2 (3.12)

Utilizando o procedimento incremental iterativo de Newton‐Raphson, que pode

empregar tanto força quanto deslocamento como parâmetro controlador, o resíduo

dado pela equação de equilíbrio na posição deslocada deve ser nulo. Assim, tem‐se o

resíduodadopor:

2 (3.13)

Impondoanulaçãodesteresíduoem ∆ :

∆ 0 (3.14)

ExpandindoaEq.(3.14)emsériedeTayloratéaprimeiraordemtem‐se:

∆ | ∆ (3.15)

Ondeaderivadaparcialdorestoemrelaçãoaodeslocamentoéconhecidacomomatriz

derigideztangente( e,portanto:

∆ 0 (3.16)

Considerando(3.13)em(3.14)

2 ∆ 2 ∆∆

0 (3.17)

AplicandoaexpansãoemsériedeTayloratéaprimeiraordemdotermoN u ∆ :


2 | ∆ 2 | ∆∆

0 (3.18)

Aderivadade emrelaçãoaodeslocamento é:

| ∆ 2 ∆ (3.19)

Assim,substituindoostermos(3.19)em(3.18):

2 2 2 ∆ 2∆

2∆

0

(3.20)

Nesta etapa, as parcelas de segunda ordem são desconsideradas, uma vez que ∆ é

desprezível.Separandoasparcelasemfunçãode∆ :

2 2 21

∆ 0 (3.21)

Agora, tomando a relação (3.16), termos em função de formam o e termos

múltiplosde∆ sãodenominadoscomponentesdamatrizderigideztangente:

2

2 2

(3.22)

Assim,ocálculoiterativode édadopor:

(3.23)

ondeamatrizderigideztangente( )édadaemfunçãode , , , :

, , , 4 4 3 2 6 1 4 20 5 2 2 6 3

2 (3.24)

3.4.4 Definiçãododeslocamentofinaldaestrutura

Para encontrar a equaçãododeslocamento em funçãoda carga aplicada, é necessário

resolveraequação:

0 (3.25)

Substituindo naEq.(3.25)tem‐se:


2 2

42

20 (3.26)

onde utilizou‐se valores característicos do módulo de elasticidade (E ) e da carga

aplicada ( ) visto que a introdução de variáveis aleatórias inviabiliza o cálculo das

raízes.

Como é um polinômio de quinto grau, a solução é iterativa e dada, usando o

softwareMathematica,pelaseguintefórmula:

→ 2 4 2 4 4 0 #1

6 6 0 4 #1

2 2 0 8 #1 5 #1 #1 &,

(3.27)

Cadaraizrealcorrespondeaumpontocríticodatrajetóriadeequilíbrio.Combasena

modelagem do problema, determinou‐se a correlação das raízes aos deslocamentos:

total e limite. A variação do índice das raízes é dada pela alteração das raízes de

imaginárias para reais, basicamente o deslocamento procurado é sempre aquele

valorrealmaispróximoàorigem.Logo,aescolhadaraizédadapelomenorvalorem

móduloentreasraízesreais.ATabela3.2mostraocomportamentodafunçãoparatrês

configurações cuja trajetória de equilíbrio apresenta mudanças significativas: a)

configuração de falha por instabilidade limite, b) configuração intermediária e c)

configuraçãosemfalha.

Tabela3.2–RaízesdaequaçãoP(u)‐Pqueexprimearespostaiterativadoproblema.

Parah/2b=0,05 Parah/2b=0,07 Parah/2b=0,1

→ . ,→ . . ,→ . . ,→ . . ,→ . .

→ 14.4987 ,→ 2.14233 ,→ 1.17959 ,

→ 8.58969 3.5156 ,→ 8.58969 3.5156

→ 20.2763 ,→ 16.2678 ,→ 10.7015 ,→ 2.35551 ,→ 0.398863

5 -10 -5 5u

-200

-100

100

200kN

-15 -10 -5 5u

-200

-100

100

200kN

-25 -20 -15 -10 -5 5u

-200

-100

100

200kN


3.4.5 Estudocomparativodoscomportamentosnãolineares

Embuscadeanalisarosefeitosdocomportamentonãolinearfísico,aFigura3.7mostra

a comparação entre comportamento de um material com não linearidade física e

geométrica e de outro material considerando apenas não linearidade geométrica. A

comparaçãoéfeitaparatrêsconfiguraçõesrepresentativas:a)sobfalha,b)intermediária

ec)semfalha.

Figura3.7‐Gráficosdedeslocamentoemfunçãodacarga,parah/2b={5,5%,7,0%,10,0%}.

Observa‐se que a desconsideração da não linearidade física do material altera o

comportamentodatrajetóriadeequilíbriodaestrutura.Consequentemente,ocálculodo

deslocamentofinalequivalentea100%dacargaaplicada( 50 )éalterado,como

épossívelobservarcomclarezanaconfiguraçãosob falha(Figura3.7a).Empequenos

deslocamentos,adiferençaentreoscomportamentosnãolinearesédesprezível.

AFigura3.8mostraocomportamentodatrajetóriadeequilíbrioobtidaviaANSYSpara

amesmaestrutura,porémcomconsideraçõesdiferentesdematerialecomportamento.

É possível observar que a análise em pequenos deslocamentos com não linearidade

física não apresentou falha por snap‐through. Tal falha só é visualizada com

consideração de não linearidade geométrica, ou seja, em análise com grandes

deslocamentos. Nesta análise, um material linear (módulo de elasticidade constante)

captou falha comuma carga limitemaior, aproximadamente 39kN contra os 27kNda

análisecomnãolinearidadesfísicaegeométrica.


Figura3.8–Variaçãodatrajetóriadeequilíbriodeacordocomasnãolinearidadeadotadasparaconfiguraçãoh/2b=0,05. O eixo dos deslocamentos é representado em seu valor absoluto uma vez que todos osdeslocamentoslistadossãocontráriosaosistemadecoordenadasadotado.

Claramente, a consideração diferenciada de não linearidades altera o comportamento

geométrico da estrutura e consequentemente sua configuração final (deslocamento

total). A carga limite da estrutura, no entanto, diminui cerca de 30% quando a não

linearidadefísicaéconsideradanaanáliseemgrandesdeslocamentos.

Pode‐se concluir que, naquelas configurações onde se observa falha, verifica‐se uma

diminuição da rigidez global da estrutura e, portanto, a iminência de falha na

estruturaaumentacomaconsideraçãodeambasasnãolinearidades.AFigura3.9

mostra a trajetória de equilíbrio de uma estrutura de treliça de altura (h/2b=0,05

e 50 ) em um gráfico de força versus deslocamento e a matriz de rigidez

tangente,paracadaumadasanálisesnãolinearesindividuaiseemconjunto.


Figura 3.9– Trajetória de equilíbrio e matriz de rigidez tangente para configuração h=5cm com trêsconsideraçõesdeanálisenãolinear.

Observa‐seque,defato,arigidezdaestruturacomambasasnãolinearidadesémenor,

emmódulo,queemcomparaçãocomaanálisenãolineargeométrica.Acomparaçãocom

aanálisenão linear físicanãoconsideraaposiçãodeslocadadaestrutura,e,portanto,

nãoécapazderepresentarointervalodefalhadaestrutura.

Ocálculoanalíticoda rigidez tangentemostraas relaçõesentreasdiferentesanálises,

atentando‐seàsparcelasquesemantemcomrelaçãoàanáliseindividualeconjunta.

Tabela3.3–ComportamentodeKI(u)comnãolinearidades.

Tipodeanálisenãolinear Rigideztangente

Geométrica2

2

Física2 1 2

Física+Geométrica2 1 2

Écabívelsalientarqueadiferençaentrea comnãolinearidadegeométricaecom

ambasnãolinearidadesnãocorrespondeàmatrizderigideztangentecomconsideração

danãolinearidadefísica,umavezqueocálculodarigidezéfeitoanulando‐seorestoem

funçãodosdeslocamentos.

Porsuavez,anãolinearidadefísicapodeserestudadaatravésdavariaçãodaconstante

denão linearidade domaterial.A Figura3.10mostra a trajetóriade equilíbriopara


uma dada configuração h/2b= 0,09, sob três valores de (1,40 e 100) e sem

consideraçãodenãolinearidadefísica.Nesteúltimocaso,osefeitosdanãolinearidade

geométricapurasãoobservados,eequivalema 0nacurvasituada imediatamente

próximadacurva 1.Sendoassim,aformulaçãoutilizando 1permitemodelaro

comportamento não linear geométrico puro. Ao passo que o aumento de modela

maiores influências da não linearidade física associada à geométrica, na qual são

observadas mais regiões de instabilidade redução da carga limite, ou seja, maior

iminênciadefalha.

Figura3.10–Alteraçãodaconstantedenãolinearidadefísica.

Tendofrisadoaimportânciadaconsideraçãodasnão‐linearidadesfísicasegeométrica

nadescriçãoanalíticadoproblemae,consequentemente,nadescriçãodafalhaporsnap‐

through,passa‐seagoraàdefiniçãodasequaçõesdeestadolimite.


4. EQUAÇÕESDEESTADOLIMITE

Asequaçõesdeestadolimitedefinidasaquiparaostrêsmodosdefalhaestudados:snap‐

through, flambagem e falha por tensão admissível serão utilizadas para o cálculo das

probabilidades de falha e custos esperados de falha ao longo de todo o estudo. Tais

modos de falha serão analisados separadamente, devido ao objetivo de se mostrar o

efeitodasdiferentesconsequênciasdefalhanaotimizaçãoestrutural.

4.1 ESTUDODAFALHAPORSNAP‐THROUGH

O fenômeno do snap‐through pode ser destacado na trajetória de equilíbrio de uma

treliçacomprimida,conformeaFigura4.1:

Figura4.1–Trajetórianão‐lineardeequilíbriodeumatreliçasimples.

Oponto [a], indicadona figura, determina a força limite, isto é, a forçamáximaque a

estruturasuportariaemregimeestáveldeequilíbrioestático.Noentanto,nesteponto,

se a resposta estrutural for dada pelo processo de força controlada e não de

deslocamento controlado, um pequeno incremento na intensidade da força aplicada

provocaummovimentodinâmicoviolentodonó.Estemovimentocausaa inversãoda

inclinaçãodasbarraseprossegueatéorestabelecimentodoequilíbriocorrespondente

aodeslocamentonoponto[b].

Omovimentode[a]para[b]échamado“snap‐through”,ondeotrechotracejadoreúne

configurações de equilíbrio instável: uma pequena perturbação sobre qualquer delas

leva,porsnap‐through,àbuscadeconfiguraçõesestáveisemcorrespondênciaaomesmo

nível de força equilibrada. O ponto [a] é então, um ponto crítico, que caracteriza a

chamadainstabilidadeporpontolimite.


Essepontocrítico,ondearigidezdaestruturadiminui,podeserusadoparadeterminar

aforçalimiteemqueaestruturasuportaoregimeestáveldeequilíbrioestáticoatravés

daimposição 0,substituindoovalordestaraiznaequaçãode tem‐seacarga

limite .

4.1.1 AnáliseemprogramacomercialANSYS

Comobjetivodeverificaro comportamentodaestruturanestemodode falha foi feita

umaanálisenosoftwareANSYS.Omaterialtemcomportamentomultilinearelásticoea

análise de grandes deslocamentos foi realizada com a estratégia do comprimento de

arco.Avisualizaçãodaconfiguraçãofinaldaestrutura,Figura4.2,apósaaplicaçãototal

de50kNdeforça,mostraodeslocamentomáximoiguala11,217cm,superioràaltura

inicialde5cm,representandoumasituaçãodeequilíbrioopostaàconfiguraçãoinicial.

Figura4.2–Estruturadeslocadaeindeformada.

A adoção do método do comprimento de arco permite a visualização correta da

trajetória de equilíbrio com ambos os equilíbrios estável e instável. A Figura 3.8, que

analisou a diferença entre a adoção de uma ou mais não‐linearidades, mostra o

comportamento deste problema, identificado pela curva escura (de ambas não

linearidades). Sabendo que o ponto limite é atingido com aproximadamente 55% do

carregamento total, tem‐seo correspondente valorda carga limite edodeslocamento

limite.

0,55248 27,624 → 1,77331 . (4.1)

Portanto, cargas inferiores a esta não provocam falha. Tal carga corresponde a um

deslocamentoverticalqueémenorqueaaltura ;portanto,autilizaçãodaequaçãode

estado limite (EEL) simplória, por exemplo: , , não descreve

perfeitamenteofenômeno,alémdesercontraasegurança.

AstrajetóriasdeequilíbriodaFigura4.3demonstramocomportamentodopontolimite.

Nas configurações em que não se observa falha, somente o equilíbrio estável é


observadoeocomportamentodaestrutura(pequenosdeslocamentos)seassemelhaao

linear.

Figura4.3–Trajetóriasdeequilíbrioparadiferentesconfiguraçõesde , ; , ; , ; , ; , cm.Comoaumentodaalturadaestrutura,opontolimiteseaproximadopassodecargacompleto.

4.1.2 Cálculoanalíticodopontolimite

Ovalor dodeslocamento limite pode ser calculandoutilizando‐sedepropriedades do

cálculo diferencial. Para isso, é necessário formular adequadamente a equação que

descreveatrajetóriadeequilíbrio,ouseja,aequaçãode emfunçãodosdeslocamentos

.SubstituindoafunçãoN(u)dadapelaEq.(3.12)nacondiçãodeequilíbrioemEq.(3.1),

semaconsideraçãodasimetria,tem‐se:

212

24

2 (4.2)

No entanto, a utilização do valor de comprimento atualizado, , aumenta a

complexidade7 dos cálculos, por ser dependente de , sendo assim será usado o

7 A consideração do comprimento final atualizado aumenta o esforço computacional, além de aumentar o número de raízesimaginárias (não possuem sentido físico). Conforme será visto, a consideração do comprimento inicial retrata o problema de

maneirasatisfatória.


comprimento sem detrimento da resposta final por se tratar de pequenas

deformações.

Com a equação de força em função dos deslocamentos impõe‐se ⁄ 0 para

calcularospontoscríticosdatrajetóriadeequilíbrio.Talimposiçãoresultanamatrizde

rigidez tangenteobtidanaEq. (3.24)dadaporuma funçãopolinomial dequarto grau

quetêmquatroraízesnegativas,sendoduasimagináriaseduasreais.

4 4 3 2 6 1 4 20 5 2 2 6 3

2 / (4.3)

Anulando‐seaEq.(4.3)encontram‐seasseguintesraízes:

5 √5 3 3 9 8 4

5

(4.4)

Adotando‐seosvaloresinicialmenteadotadosparaoproblema,asrespostasnuméricas

sãoiguaisa:

→ 8.33805 , → 5. 3.38269 , → 5. 3.38269 , → 1.66195 (4.5)

Asraízesnegativasreaiscorrespondemaospontoscríticos,oudeinflexão,datrajetória

de equilíbrio e às raízes da matriz de rigidez tangente. A Figura 4.4 confirma a

equivalênciadamatrizderigideztangentecomaprimeiraderivadavariacionaldaforça

emfunçãodosdeslocamentos.

Figura4.4– oumatrizderigideztangenteemfunçãodosdeslocamentosederivadaparcialde paravaloresdefinidos inicialmenteparaoestudocomh=5cm.Ospontosemqueascurvascruzamoeixoxsãopontoscríticosdatrajetóriadeequilíbrio.

Por se tratar de uma força de compressão, a carga limite é dada pela primeira raiz

negativa desta equação, isto é, o valor de deslocamento causado por carga de

dPdu

Ktu

-10 -8 -6 -4 -2ucm

-10

10

20

30

40

FkN


compressãomaispróximodoeixo,ouqueocorreprimeiro.Emboraacomparaçãodas

raízesexijavaloresnuméricosparadeterminarqualraizcorrespondeaopontolimitede

interesse,asraízesexplicitadaspodemsercomparadascomosvaloresencontradosno

ANSYS.Estacomparaçãopermiteverificaravalidezdocálculoparaointervalode em

estudo 2 15

Figura 4.5– Comparação dos pontos críticos encontrados analiticamente com resultados numéricos deprogramacomercial.OspontoscheioscorrespondemadeslocamentostotaiselimitesencontradosnoANSYS.Jáospontosem sãoraizesdaprimeiraderivadadaforçacomrelaçãoaosdeslocamentos.

As raízes 1,2,3 e 4 representadas na Figura 4.5 foram escolhidas de acordo com a

nomenclaturaaseguir8:

√5 √ , √5 √ ,

√5 √ , √5 √

(4.6)

A não ocorrência das raízes 1 e 4 para valores de 7,14 se deve à valores

imaginários.Conclui‐sequearaizquerepresentaodeslocamentolimiteéaraiz2.

Assimovalorde emfunçãode , e ,jáconsiderandoosinal,édadopor:

8AsvariáveisA,BeCrepresentampolinômiosdescritosnaEq.(4.4).Ofocoédadonossinaisquedistinguemcadaumadasraízes.


5 √5 3 3 3 9 18 8 9 8 4

5(4.7)

Comodeslocamentodoponto limitedefinido,pode‐secalcular, atravésdaEq. (4.2),o

valorcorrespondedeforçaaplicada, imaginando‐seasituaçãoemqueaforçaaplicada

provocacompressãonasbarrasdatreliça.

4.1.3 Equaçãodeestadolimite

Aocorrênciadefalhaporinstabilidadeporpontolimitepoderia,então,serdefinidade

umamaneirasimplóriapeladiferençaentreovalordedeslocamentolimitedaEq.(4.7)

eovalordedeslocamentoaofinaldaaplicaçãodocarregamentodescritonaEq.(3.27),

conformeEq.(4.8):

, , (4.8)

No entanto, como independe da carga aplicada, essa diferença, que exprime a

distância entre os dois deslocamentos (ver Figura 4.5), se mantém constante para

configuraçõesquenãoapresentamfalha.Paramelhorrepresentaraocorrênciadafalha

porsnap‐throughutiliza‐seumEELemforça,descritaaseguir.

, , (4.9)

Nestecaso,aEELcomparaaforçalimite ,calculadapelasubstituiçãode naEq.

(4.2),comaforçatotalaplicada.AFigura4.6mostraosvaloresdeambasasEELparaos

dados do exemplo. Conforme dito, segundo a definição, valores negativos da EEL

indicam valores pertencente ao domínio de falha e valores positivos indicam valores

pertencenteaodomíniodesobrevivência.


Figura4.6–Equaçõesdeestadolimiteemforçaedeslocamento,paravalorescaracterísticosdasVAenvolvidas.

AEq.(4.9)emforçaémaisrepresentativa,poisaEELassumevaloresnegativos(dentro

do domínio de falha) quando a estrutura está mais abatida (menores alturas) e que

diminuem à medida que as alturas aumentam. Em seguida, a EEL apresenta valores

positivos (dentro do domínio de sobrevivência) cada vez maiores em virtude do

afastamentodaconfiguraçãoabatida.

4.2 ESTUDODAFALHAPORFLAMBAGEM

Para a consideração da instabilidade de barras comprimidas ou instabilidade por

bifurcaçãonaanálisedatreliçaéimportanteressaltarqueasbarrassãobiarticuladase

submetidasexclusivamenteàsolicitaçãoporforçanormal.Nessasituaçãoidealizada,de

força normal perfeitamente centrada, e ainda considerando‐se as barras livres de

defeitosdenaturezageométricaedematerial,paracadaumadelas,isoladamente,pode‐

sedeterminarumasolicitaçãocríticadeflambagemdadapelarelaçãodeEuler:

1 (4.10)

ondeocomprimentodeflambagemcoincidecomocomprimentoinicialdabarra,parao

casodebarrabiarticulada.


ParaadeterminaçãodaEELdomododefalhadeflambagemseráusadacomparaçãodas

forças normais atuantes e críticas. Verificando a Figura 4.7 é possível ver que a força


normal atinge um limite máximo de compressão. Para encontrar os valores de

deslocamentocorrespondentesàsforçasnormaismáximasdevem‐secalcularospontos

críticosdacurva anulandoasuaderivada.

AderivadadeNemrelaçãoaosdeslocamentos édadapor:

2 (4.11)

Sendo uma equação de terceiro grau, têm‐se três raízes. A depender das constantes

utilizadas, duas dessas raízes podem ser imaginárias fazendo com que a máxima

compressãosejaencontradaem .Nosdemaiscasos,araiz determinaum

valor de máxima tração local e as outras são simétricas e determinam um valor de

máximacompressão.

, 1 (4.12)

Comoaprimeiraocorrênciadamáximacompressãoéamaisimportante,temos:

1 (4.13)

Anormaldeveaindaseranalisadanodeslocamentomáximosofridopelaestruturaapós

aplicaçãototaldocarregamento,istoé,quando .Pode‐se,então,definirquea

máxima compressão pode ocorrer em três pontos, , , , devendo‐se

escolhermáximovaloremmódulodanormalnessespontos.

Apesardovalordanormalem ( )sermáximo,nãoépossívelafirmarcom

certezaqueadiferençaentreas forçasnormais(atuanteecrítica)sejaamáxima,uma

vez que a normal crítica não é constante. A Figura 4.7 mostra o comportamento da

normalatuante,danormalcríticaedasuadiferençaduranteocarregamentodediversas

configuraçõesiniciaisdaestrutura.


Figura4.7–ComparaçãoentreNeNcrparah/2b={4,6,7,8,10}%.OmínimoobservadonacurvaN‐Ncrcorrespondeamaiordistânciaentreasnormais.

O cálculo da EEL como amáxima distância entre essas normais é mais preciso. Para

obterovalordodeslocamentocorrespondenteàesseponto,toma‐searaizdaderivada

parcialemfunçãodeudadiferença igualadaàzero,daqualtemos:

11

0 (4.14)

0 20 (4.15)

Istoresultaemtrêsraízes:

→ , →2 4 4

2 (4.16)

Define‐secomopontocríticoaraizquecorrespondeaoprimeirodeslocamentosofrido,

ouseja,odemenormódulo.

-10 -5 5u

-300

-200

-100

100

200kN

-5 5u

-300

-200

-100

100

200kN

-5 5u

-300

-200

-100

100

200kN

-10 -5 5u

-300

-200

-100

100

200kN

-10 -5 5u

-300

-200

-100

100

200kN

4% 6%

7% 8% 10%

NcruNuN-Ncr

‐h‐h

ucomp

min

ucomp

min


2 4 4

2 (4.17)

Naprática,adiferenciaçãoentre nãotrazmudançasaocálculo(verFigura

4.9). Para definir a EEL, deve se ter em mente que a normal nas barras não deve

ultrapassaranormalcrítica,istoé,afalhaocorrese ,emmódulo.Porémcomo

setratadeforçasdecompressão, ,istoé:

, , (4.18)

ondeocálculodaforçanormalatuanteédadopelasubstituiçãodeunaEq.(3.12).Cada

comparaçãodeveserfeitacomparandonormais(críticaeatuante)nomesmoponto.

AFigura4.8ilustraoscomportamentosdosdeslocamentoscalculadosatéagoracoma

variaçãodaconfiguração inicialdaestrutura.Talcomportamentodelineiaaanálisede

deslocamentos feita na definição das equações de estado limite que se seguem

(flambagemetensãoadmissível).

Figura4.8–Comportamentodosdeslocamentosdospontosextremosemfunçãodasconfiguraçõesiniciaisadotadasde2a15%deh/2b.

Primeiramente, tem‐se a variação do deslocamento para as diferentes

configurações.Odeslocamento ,comoonomeserefere,éoúltimodeslocamento

sofrido pela estrutura diante da aplicação total do carregamento. Neste sentido,

deslocamentos de intensidade maior não pertencem à trajetória de equilíbrio da

estruturae,portantonãodevemserlevadosemcontanoscálculosdaEEL.


Emsegundolugar,ospontosonde sãonulosnaFigura4.8,correspondem

às raízes imaginárias. Nestas configurações, a curva de possui somente uma

concavidadeparabaixo,comonaconfiguração /2 4%daFigura4.7.Nestecaso,os

dadossãocalculadossomenteem ,aúnicaraizreal.

A força normal nos pontos ressaltados, calculada através do equilíbrio dos esforços

internos,émostradanaFigura4.9paraasdiversasconfigurações iniciais. Acurvado

esforçonormalaofinaldocarregamento( )mostraamudançadecomportamento

súbita da normal devido à mudança da configuração de equilíbrio. A inflexão da

estruturafazcomqueaforçanormalaofinaldocarregamentosejadetraçãoenãode

compressão.Comoconclusão,osvaloresdenormaldaFigura4.9devemserusadosem

conjuntocomocomportamentodosdeslocamentosdaFigura4.8devidoàdelimitação

docálculodasnormaisdeacordocomodeslocamentoconsiderado.

Figura4.9–Comportamentodoesforçointernonormalcalculadonospontosextremosparacadaumadasconfiguraçõesiniciaisadotadas.

Aseguir,aFigura4.10mostraocomportamentodanormalcrítica,calculadaapartirda

Eq. (4.10), nosmesmospontos.Nesta figura verifica‐seumadiferença significativa no

valordanormalcríticacalculadanasraízes indicandoumapreferênciaà

utilizaçãodaraiz porapresentarvalorescríticosmenores.


Figura4.10–Comportamentodanormalcríticanospontosressaltadosparacadaumadasconfiguraçõesiniciaisadotadas.

Aregrautilizadaparadefinirasequaçõesdeestadolimitequedefinemoproblemaé:

, , ,, ,, ,

,

, , ,

, ,

; (4.19)

ondeocomando avaliacadateste(análisedosdeslocamentos)eretornaovalor

de emcasoverdadeiro.Destaforma,escolhe‐seomenorvalorda nodecorrer

datrajetóriadeequilíbriodaestrutura,inclusiveduranteosnap‐through.

NaFigura4.11épossívelobservaracorrespondênciadaEELqueregeoproblemacom

asEELindividuaisanalisadasemcadaponto.Nasconfiguraçõesiniciais,comfalhapor

snap‐through, aEELéavaliadaem .Nasconfigurações intermediárias,a é

calculadaem . Jáemregimedepequenasdeformações,utiliza‐seocálculoem

.


Figura4.11–ComportamentodaEELquedefineoproblema.

A seguir, a EEL é extrapolada para configurações esbeltas. Nestas, o aumento do

comprimentodeflambagemocasionadecrescimentodosvaloresdaEEL,caracterizando

falhaporflambagem.

Figura4.12–VariaçãodaEELparatreliçasdeconfiguraçãoesbelta.


4.3 ESTUDODAFALHAPORESMAGAMENTOEESCOAMENTO

Materiaisdúcteiscomooaço,cobre,alumínioapresentamescoamento, istoé,atingido

um valor crítico de tensão , omaterial sofre uma grande deformação plástica com

mínimoaumentodacargaaplicada.Essadeformaçãodesproporcionalaocarregamento

fazcomqueaseçãotransversalsejaalteradadevidoàperdaderesistêncialocal.Aesse

fenômeno é dado o nome de estricção. A tensão correspondente à carga máxima

aplicada ao material é conhecida como tensão limite de resistência e a tensão

correspondenteaopontoderupturaéchamadatensãoderuptura.

Figura4.13–DiagramaTensãoxDeformaçãoedefiniçãodaTensãoadmissível.

No projeto de um elemento estrutural, a carga limite deve ser menor que o

carregamento admissível, de trabalho ou de projeto. Nesta situação, a capacidade do

materialéreservadaparagarantircondiçõesdeutilizaçãosegura.Geralmente,atensão

admissível é mantida na região de deformação elástica, em outros casos, visando

principalmenteàreduçãodopesodeconstruçãoelapodeestarnaregiãodedeformação

plástica.


Para a análise de esmagamento basta comparar a tensão nas barras com a tensão

admissíveldomaterial.Assim,a tensãonasbarrasédadapor em funçãodanormal

obtidadaEq.(3.1)conforme:


, ,

2(4.20)

Paradeterminarosvaloresdedeslocamentoparaosquaisa forçanormalatinge seus

valores extremos, plotou‐seo gráficodaFigura4.14quemostrao comportamentoda

normalparadiferentesconfigurações.

Figura4.14–Comportamentodaforçanormalparadiferentesconfigurações.Aslinhastracejadasmostramovalordanormalaofinaldocarregamento(Tabela3.1).

Conforme se observa na Figura 4.14, para 2⁄ 4%, a máxima compressão é

encontrada em e a máxima tração em . Já a segunda configuração,

igual a 6,5%, apresenta máxima compressão em e máxima tração em

.Aterceiraconfiguraçãojánãoapresentasnap‐throughparaacargaaplicada,

obtendosomentemáximacompressãoem .

Sendo assim, a máxima compressão pode ocorrer em três pontos, a saber,

, , .Paraamáximaforçadecompressão,escolhe‐seovalormínimo

(máximoemmódulo).

, , , , , (4.21)

Jáamáximatraçãopodeocorrerem , .Porsetratardeforçaspositivas,o

valormáximoéescolhido.

, , , (4.22)

No entanto, faz‐senecessidadedeuma comparaçãodosdeslocamentos válidospara a

definição damáxima força de compressão e de tração e utilização de condições se e

senão,representadaspor[T]–Truee[F]–FalsenasEq.(4.23)e(4.24).


Nocasodacompressão:

, , ,→ , , , ,

→ , (4.23)

eparatração:

,→ , , 0 ,

→ 0, , , , (4.24)

ondeosvaloresdenormal são calculados substituindo‐seovalordedeslocamentona

Eq.(4.20).Portanto,aEELdeesmagamentoouescoamentoédadapor:

, , . , (4.25)

ou,emfunçãodasnormaisdecompressãoetraçãotalcomo:

, , , (4.26)

AEELédadaemforça, tal comonosdemaismodosde falhae e estãoem

funçãodacargaaplicadaàestrutura.AFigura4.15mostraaescolhadovalordaEELem

função do máximo esforço na estrutura (compressão e tração) que ocasionam,

respectivamente,asfalhasdeesmagamentoeescoamento.

Figura4.15–ComportamentodaEELquedefineoproblemaemcomparaçãocomasEELsdecompressãoetração.


4.4 COMENTÁRIOSGERAIS

Deslocamentos críticos como: e foram calculados de maneira a efetuar o

cálculo das equações de estado limite somente em situações específicas. Quando

efetuadonessas situações, probabilidades de falhamáximas são obtidas, nãohavendo

necessidadedeefetuaromesmocálculoparatodosospontosdodomíniodatrajetória

deequilíbrio.

No entanto, para a maioria dos casos se desconhece a equação da força normal e o

comportamento da trajetória de equilíbrio. A definição da equação de estado limite

nesses casos pode depender da avaliação de esforços normais e de deslocamentos ao

decorrer do carregamento, ou seja, ao final de cada avaliação doMEF para um dado

passodecarga.

Paraomododefalhadesnap‐through,deve‐secompararacargaaplicadaàcargalimite,

quedeveserdeterminadacomumaverificaçãodenulidadedamatrizderigidez.Paraa

flambagem, o procedimento mais adequado é analisar a diferença entre o esforço

normaleanormalcríticaacadapasso,umavezqueambasvariamcomodeslocamento.

Já no esmagamento/escoamento é feita a comparação com os esforços normais das

barras,multiplicando‐ospelaáreadaseçãotransversaldabarraanalisadacomatensão

admissível.Nestecaso,aprobabilidadedefalhaestáassociadaaosvaloresextremosde

tensãonasbarras,umavezqueatensãodeescoamentoéumaconstantedefinidapelo

usuário.

AFigura4.16resumedemaneirasimplificadaocálculodasEELparacadamododefalha

tratadoanteriormente.

Assim, tomando a análise de um programa de MEF para estruturas de barras, um

elemento é definido pelas coordenadas (x,y) do seu nó inicial e final, a sua seção

(constante) ematerial sãoentãodefinidas.Emseguidaatravésdaaplicaçãode cargas

nos nós anteriormente definidos e da imposição dos deslocamentos em cada direção

paracadanó,écalculadooesforçonormalparacadabarra(constante).


Figura4.16–Fluxogramapararesoluçãogeral.

Cada configuração inicial é analisada através de um processo de controle de

carregamento. A cada passo de carga, um conjunto de esforços normais, reações

externas e carregamento aplicado são gerados e analisados pelas equações de estado

limite. Posteriormente, as EEL são enviadas ao programade análise de confiabilidade

paraocálculodasprobabilidadesdefalha.

Por fim, comosdadosgeradosépossível formarumgráfico comos custosesperados

totaisemfunçãodavariaçãodecadavariáveldeprojeto.Aescolhadopontoótimovem

da análise destes custos totais, mas também pode ser feita baseada na escolha da

configuraçãocommenoresprobabilidadesdefalha,aindaqueocustoesperadodefalha

totalnãosejaomínimo,maspróximodeste.

Escoamentoouesmagamento

CalcularaTensãoMáximanasbarras

Flambagem

Calcularasolicitaçãonormalenormalcrítica

Snap‐Through

Calcularaforçalimite.Ktdevesernula

Estruturas–TreliçasPlanas

Modosdefalha

Paratodososdeslocamentosdatrajetóriadeequilíbrio

Ouparacadadeslocamentoobtidopelospassosdecarga

Gxrecebemínimovalorentreforçalimiteeforçaaplicada.

Gxrecebeomínimovalorentrenormale

normalcrítica

Gxrecebeomínimovalorentreastensõesmáximaseadmissíveis


5. OTIMIZAÇÃODERISCOCOMCONSEQUÊNCIASDEFALHA

5.1 FUNÇÃOOBJETIVO

Aotimizaçãoderiscosedistinguedeoutras formulaçõesdeotimizaçãoestruturalpor

levaremconsideraçãooefeitode incertezasemtermosdeprobabilidadesecustosde

falha. Para determinar o custo esperado de falha é necessário quantificar o custo de

falhaem termosmonetários,bemcomodeterminaraprobabilidadede falha.Assim,o

custoesperadodefalhaparacadamododefalhaédadopor:

(5.1)

É de conhecimento geral que cada falha está associada a um custo distinto. Falhas

frágeis,queocorremsemaviso, têmconsequênciasmaisseverasque falhasdeorigem

dúctil. Falhas por limite de serviço podem levar a suspensão temporária de uso, que

geralmente representam custos menores que o colapso (falha por limite último). Tal

custo pode ser calculado em função da gravidade da falha englobando demais custos

comoodereparo,retiradadematerialdanificado,etc.

A treliça simples de duas barras, aqui considerada, poderia ter diferentes aplicações,

portanto,oscustosde falhanãosão irrelevantes.Paranão limitaroestudoasomente

umapossívelaplicação,oscustosdefalhasãodados,demaneiragenérica,proporcionais

aocustoinicial.

Supondoqueafalhaporsnap‐throughtenhacusto:

(5.2)

queafalhaporinstabilidadedebarrascomprimidastenhacomocusto:

(5.3)

equeafalhaportensãoadmissíveltenhacusto:

.(5.4)

onde , sãofatoresdecustosdefalhaaseremexploradosnasequência.


Para cada modo de falha do sistema ou de componentes do mesmo haverá um

componentedecustoesperadodefalha.Ocustoesperadototaldosistemaédadopela

somadetodosostermosparciaisdecusto:

(5.5)

Assim,afunçãoobjetivoaserminimizadapodeserdadapor:

. ã

1 ã (5.6)

2 1000 (5.7)

onde éumvalordereferênciaparacustos,dadopor2000 . édadoem e

aárea em ².Ocustoinicialpodeserdefinidopelovolumedematerialmultiplicado

pelasuamassavolumétrica 7,86 / ³ epelopreçounitário 3,50 $⁄ .Ovolume

dematerial é 2 . O custo inicial é, demaneira clara, função das variáveis de

projeto.

5.2 VARIÁVEISALEATÓRIASEDEPROJETO

As variáveis aleatórias, três no total, e seus parâmetros sãomostrados na Tabela 5.1.

Portanto,ovetordevariáveisaleatórias édadopor: , , .

Tabela5.1–Variáveisaleatóriaseseusparâmetrosusadosnoexemplo.

Variável Distribuição Média( c.o.v. Desvio‐padrão )

E* Log‐Normal 20500kN/cm² 0,05 1025kN/cm²

* Log‐Normal 50kN/cm² 0,05 2,5kN/cm²

Normal 50kN 0,10 5kN

Ovetordevariáveisdeprojeto édadopor: , , , .Para realizar o cálculodos

deslocamentos utilizam‐se variáveis de projeto (altura, diâmetro, espessura, vão) e

variáveisfísicasoudecomportamentodomaterial(módulodeelasticidadeeconstante

denão linearidade física).Outrasvariáveisusadas,comoaárea, inérciasãocalculadas

emfunçãodasvariáveisdeprojeto(diâmetroeespessura).Já,oscálculosdosesforços

normais e críticos são função, além das variáveis de projeto, das variáveis aleatórias

(carga aplicada, tensão de escoamento emódulo de elasticidade). As tabelas a seguir


definemasvariáveisdeprojeto(Tabela5.2)eocálculodosparâmetrosgeométricosda

seção(Tabela5.3).

O custo inicial, que depende do volume de material, também é obtido através das

variáveis de projeto. Por sua vez, o custo de referência é calculado utilizando a

densidadedomaterialeseucustounitárioporpesodematerial.Ocustofinalédadoem

reais.ATabela5.4resumeasconstantesdecustoadotadas.

Tabela5.2–Variáveisdeprojeto

Variável Valor

Altura(cm) 10.7

Diâmetroexterno(cm) 3.34

Espessura(cm) 0.34

Larguratotaldovão(cm)=2b 2 100

Tabela5.3‐Valorescalculadosapartirdasvariáveisdeprojeto.

Variável Valor

Diâmetrointerno 2

Áreadaseçãocircular 4⁄

Momentodeinércia 64⁄

Tabela5.4–Valoresparacálculodoscustosiniciaiseesperadosdefalha

Variável Valor

Densidadedomaterial 8.304 ( ⁄

Custounitárioporgrama 3.5 ∗ 10 $⁄

5.3 PROBABILIDADESDEFALHA

Ocálculodasprobabilidadesdefalhafoiefetuadosegundoastécnicasdeconfiabilidade

estruturaldescritasnarevisãobibliográfica.OmétododesimulaçãoSMCnãomostrou

diferenças significativas quando comparado ao FORM,mesmo após a inclusão da não

linearidadenaEEL.Comoconclusão, autilizaçãodoFORMé suficienteparaa solução

desteproblemadeotimizaçãoderisco.


5.3.1 Falhaporsnap‐through

CombasenaEELdaEq. (4.9) efetua‐seo cálculodaprobabilidadede falhavia FORM

tendoemvistaasvariáveisaleatóriasedeprojeto.Acurvadeprobabilidadesde falha

em função da razão de configuração apresenta valores intermediários entre 0 e 1 de

formacontínuaesuave.Talvariaçãosedeveaosvalorespróximosdezerodafunçãode

estadolimiteemtornodaalturacorrespondenteaodeslocamentolimite.

5.3.2 Falhaporflambagem

Avariaçãodasprobabilidadesdefalhadevidoàflambagem,porsuavezédiscreta,não

possuindo valores intermediários. Em configurações abatidas, a flambagem ocorre,

principalmente,devidoà forçade compressãogeradadurantea inflexãodaestrutura.

Além disso, tanto a normal crítica quanto a de compressão dependem da posição

deslocada da estrutura, sendo fundamental o conhecimento do comportamento da

trajetória de equilíbrio da estrutura. Conforme a esbeltez da estrutura aumenta, o

comprimentodeflambagempassaaserfatordecisivo.

5.3.3 Falhaporesmagamento/escoamento

Asprobabilidadesdefalhacausadasporesmagamentoou/eescoamentosãoanalisadas

em conjunto considerando tensões de tração e compressão. Sendo assim, existem

intervalos de predominância de cada falha. A Figura 5.1mostra o comportamento da

tensão normal para quatro configurações iniciais diferentes, representadas pelas

diferentes curvas nomeadas. As razões 3% e 5% representam estruturas que sofrem

inflexão,enquantoqueacurva7%serefereaumasituaçãointermediáriaeade9%a

umaestruturadeconfiguraçãopadrão.Assetasindicam:1)pontodemáximatraçãoem

na curva 3%; 2) máxima compressão em na curva 5%; 3) máxima

compressãoem nacurva7%;4)máximacompressãoem nacurva9%.

Assimcomonaflambagem,ocorrefalhaporesmagamentoconformeasforçasnormais

decompressãoaumentamemfunçãodaesbeltez.


Figura5.1–Comportamentodatensãonormalparaquatroconfiguraçõesiniciaish/2b={3,5,7,9}%.

5.4 OTIMIZAÇÃODERISCO

Tendo definidas as probabilidades de falha para cada modo de falha e seus custos

associados, é possível realizar o cálculo dos custos esperadosde falha.À somadestes

custos se dá o nome de custo esperado total (CET). Neste capítulo serão analisados

problemas de minimização de custo esperado total para uma série de propriedades

físicasegeométricas.Ointuitoémostrarocomportamentodacurvaesuarelaçãocom

diferentescustosdefalhaassociados.

5.4.1 Resultadosparamodosdefalhaconcorrentes

Para diversas configurações do problema, um (ou dois) modo(s) de falha é (são)

dominante(s) em relação aos demais. Dentro dos objetivos do presente trabalho, é

interessante trabalhar com uma configuração em torno da qual ocorra uma disputa

entre os diferentes modos de falha. Estudos preliminares, não apresentados aqui,

mostraramqueaconfiguraçãodescritanaTabela5.2comconstantedenãolinearidade

física 100levaamodosdefalhaconcorrentes.

Para que os modos de falha sejam concorrentes é necessário que a variação das

probabilidades de falhas esteja num intervalo próximo de configurações. Para isso,

considerou‐se seção circular vazada de diâmetro externo 3,34 e espessura igual

3,4 e demais características físicas expressas na Tabela 5.1. Tais características

conferemumaárea30%menoreinércia80%maiorquandocomparadasàseçãosólida

deumapolegada.


AvariaçãodasprobabilidadesdefalhaeacomposiçãodoCETsãomostradasnaFigura

5.2.Nestecaso,consideraram‐secustosdefalhaunitários( 1).

Figura5.2–ProbabilidadedefalhaeCustoesperadodefalhaparamodosdefalhareunidos.

Como decorrência desta concorrência, o ponto de ótimo apresenta reservas de falha

mínimas.Opontodeótimoéencontrado,porbuscaexaustivaem 2⁄ 10,7%etem

CET igual a 9,56 . Um dimensionamento abaixo do ponto ótimo pode significar

falhadetodososmodos.

Para demonstrar a influência dos diferentes custos de falhas associados, três

composições de custo diferentes são comparadas com a versão unitária. Em cada

composição foi adotadoumcustodezvezesmaiorpara cada falha separadamente.Os

resultadossãomostradosnaFigura5.3.

Figura5.3–Custoesperadototalparaquatrodiferentesconsideraçõesdecustodefalha.

æææææææææææææææææææææææææææææææ

àààààààààààà

ààààààààààààààààààà

ìììììììììììì

ì

ìììììììììììììììììì

æ Snap-Through

à Flambagem

ì Esmagamento

8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Config . h2b %

Pf

æææææææææææææææææææææææææææææææ

àà à à à à à à à à à à

à à à à à à à à à à à à à à à à à à à

ìììììììììììì

ììììììììììììììììììì

ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò

ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô

ôô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô ô

æ Cesp Snap-Through

à Cesp Flambagem

ì Cesp Esmagamento

ò C inicial

ô CET A=B=C=1

8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Config. h2b %

Cet

C ref

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ ææ æà

à

à

à àà

à

à

à

à

à

à

à

ì

ìì ì

ìì

ì

ì

ì

ì

ìò

ò

ò

ò òò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

òô

ôô ô

ô

ô

ô

ô

æ C inicial

à A=B=C=1

ì A=10, B=C=1

ò B=10, A=C=1

ô C=10, A=B=110.2 10.4 10.6 10.8 11.0 11.2 11.4

0.1638

0.1639

0.1640

0.1641

0.1642

0.1643

0.1644

Config . Ratio h2b %

Cet

C ref


Como é possível observar, a composição de 10 vezes o custo de snap‐through e de

escoamento, tiveramalteração significativano customínimoemrelaçãoaoobservado

para a curva unitária ( 1). A curva com custo maior de flambagem, no

entanto,nãosofreualteração,estandosobrepostaà curvadecustounitária.Conforme

esperado, a curva de custo com o modo de falha por escoamento predominante

apresentoumaioralteraçãonopontoótimo 2⁄ 11%, ⁄ 0,1642 devidoà

quedamenosacentuadadasprobabilidadesdefalha.

A Figura 5.4 mostra a função objetivo de CET em termos da razão de configuração

(h/2b) da estrutura (acima), do diâmetro (centro) e da espessura (abaixo) para

diferentes cenários de custos de falha. Para cada gráfico, as variáveis de projeto

restantes (não visualizadas no gráfico) são fixadas em 3,34 , 3,4 ,

50 10,7 ,queéaalturaótimanaconfiguraçãodereferência.Paraocenário

de custos de falha unitários ( 1), ⁄ 0,1639. e os índices de

confiabilidade são: 4,03, ∞ e ã 3,29. Os valores de custo são

dadosemfunçãodocustodereferência.

Conforme visto na Figura 5.4, as mudanças no custo de falha de snap‐through e

esmagamento afetam a função objetivo. Tais mudanças não são discrepantes, mas

mostram que diferentes pontos de equilíbrio são obtidos entre modos de falha

concorrentes.

A Tabela 5.5mostra as diferenças obtidas com relação a cada variável de projeto. Os

valoresmáximosobservadossãode:4,67%para ;7,74%para e9,68%para .


Figura5.4–CETparadiferentescenáriosdecustosdefalhaemtermosdasvariáveisdeprojeto{h,d,t}.

Tabela5.5–Variaçãodosvaloresmínimosdecadavariáveldeprojeto.

/ % % %

1 1 1 0,107 ‐ 3,10 ‐ 0,31 ‐

10 1 1 0,107 0 3,14 1,29 0,31 0

1 10 1 0,107 0 3,10 0 0,32 3,23

1 1 10 0,110 2,80 3,26 5,16 0,33 6,45

5 10 20 0,111 3,74 3,30 6,45 0,34 9,68

20 10 5 0,109 1,87 3,26 5,16 0,33 6,45

30 30 30 0,112 4,67 3,34 7,74 0,34 9,68


5.4.2 Alteraçãodaconstantedenãolinearidade

Emalusãoaoitem“3.4.5‐Estudocomparativodoscomportamentosnãolineares”foram

estudadosdiferentesvaloresde afimdeverificarasdiferençasdocomportamentonão

lineardomaterialnaconfiguraçãoótimaeseurespectivocusto.ATabela5.6sintetizaos

resultadosobtidosparacustosdefalhaunitários( 1)evariaçãoparamétrica

darazãodeconfiguração.

Tabela5.6–Variaçãodarazãodeconfiguraçãoemvirtudedaalteraçãodanãolinearidadedomaterial.

Valordaconstantedenãolinearidade

Razãodeconfiguraçãoh/2bótima(%)

/

1 10,5 0,1638

40 10,5 0,1638

100 10,7 0,1639

120 11,7 0,1647

Como se espera, o aumento da não linearidade domaterial resulta em configurações

ótimasmais altas. Porém, o aumento excessivo da constante de não linearidade afeta

negativamente a falha por flambagem e tensão admissível que têm seu intervalo de

ocorrência aumentado resultando em configurações ótimas ainda mais esbeltas. A

influência no custo esperado total no ponto de ótimo é ínfima uma vez que as

probabilidadesdefalhasãopequenaseforamtomadoscustosunitáriosdefalha.

Nestecaso,relatadonaTabela5.6,oCETestádiretamenterelacionadoaocustoinicial

ou volume dematerial. No entanto, caso o objetivo fosse definir uma estrutura ótima

com uma probabilidade de falha definida (e, portanto, maior que a do ponto ótimo),

teríamosaumentodoscustosesperadosdefalha.Talaumentoserefletiriaemmaiores

variações na razão de configuração ótima, principalmente se levássemos em conta

valoresdecustodefalhanãounitários.


5.4.3 Variaçãomultiparamétrica

Comavariaçãomulti‐paramétrica,oproblemadeotimizaçãoserátridimensional.Desta

forma,ocustoesperadototalmínimoseráobtidoemfunçãodetrêsvariáveisdeprojeto,

, , . O comprimento do vão e os parâmetros das variáveis aleatórias se mantem

inalterados. Tendo por base a configuração que gera modos de falha concorrentes,

determinou‐se os intervalos: 2⁄ 0,08; 0. 12 , 3,1; 3,5 0,25; 0,43 . A

constantedenãolinearidadeusadaé 100.

Primeiramenteérealizadoocálculodoscustosiniciaisdaestrutura,talfunçãodecusto

édependentedasvariáveisdeprojeto,devendosercalculadaacadanovaconfiguração.

A Figura 5.5 mostra a representação tridimensional do custo inicial versus altura e

diâmetro, sendo a variação das espessuras visível através das diferentes superfícies

geradas.

Figura5.5‐Custoinicialdaestruturapara . , . , . e .

Os custos iniciais são diretamente proporcionais ao volume de material. Assim, o

aumentodaespessurarefletenoaumentodocusto.Oaumentododiâmetro,porsuavez,

pode ser observado na leve inclinação positiva ao fundo da superfície, em direção a

diâmetrosmaiores.Taiscomportamentossãocompatíveis,umavezqueosaumentosde

espessura, e do diâmetro interferem proporcionalmente no cálculo da área da seção

transversal.Avariaçãodaaltura,porsuavez, temmenor influência,umavezqueestá

relacionadaindiretamenteatravésdocomprimentodabarra.

Ocustoinicialsefaznecessárioparaadefiniçãodoscustosesperadosdefalhaparacada

modo,dispostosnaFigura5.6.Nestafigura,observa‐senãosóavariaçãodoscustosem

,

,

,


função da razão de configuração (descrita no item 5.3), mas também em função do

diâmetroedaespessura.

Figura5.6‐Custoesperadodefalhaparasnap‐through(acima),flambagem(centro)eesmagamento/escoamento(abaixo)

Observa‐sequeo aumentoda espessura, alémda sua influênciano aumentodo custo

inicial, desloca e aumenta o intervalo de probabilidades de falha intermediárias,

produzindoinclinaçõesmaissuaves.Comrelaçãoaodiâmetro,quandomantidaaaltura

⁄

Diâmetro(cm)

⁄

⁄

RazãodeConfig.h/2b(%)


constante,seuaumentodeterminacustosdefalhamenoresemfunçãodaprobabilidade

defalha.

A seguir, os custos inicial e esperado de falha serão somados para a constituição dos

custosesperados totais,necessáriosparaadefiniçãodaconfiguraçãoótima.NaFigura

5.7, fixou‐seodiâmetro 3,34 .Épossívelobservar,queavariaçãodasvariáveis

de projeto altera a concorrência entre os modos. Razão pela qual a configuração

escolhidacomoreferência(Tabela5.2)nãoéaqueladecustomínimoglobaldointervalo

analisado. Para este diâmetro ⁄ 0,157 e demais variáveis de projeto são

/2 0,12; 0,25.

Figura5.7–CustosesperadosdefalhaeCETdereferência.

Em uma análise com diversas espessuras, a configuração de menor CET unitário

observado no intervalo analisado corresponde a /2 0,12; 3,5; 0,25; cujo

custo é ⁄ 0,139. A Figura 5.8 mostra as curvas de nível da função CET em

funçãododiâmetroedarazãodeconfiguração.Ocomportamentodaregiãodemínimo

custopodeservistoparacadaespessura.

⁄


Figura5.8–Curvadeníveldoscustostotaisparacadaespessura.

Para a espessura utilizada como configuração de referência ( 0,34 ), o custo

mínimoencontradoé ⁄ 0,151correspondenteaconfiguraçãocomvariáveisde

projeto /2 0,115; 3,1.AFigura5.8mostra,ainda,ocomportamentodaregião

demínimo e a distância dopontodemínimo local ao custo referência à configuração

escolhidadaTabela5.2,cujocustoéde ⁄ 0,164.

A seguir, a Figura 5.9 mostra o comportamento da curva de custos esperados totais

termosdarazãodeconfiguraçãoversusdiâmetro(acima),razãodeconfiguraçãoversus

espessura(centro)edodiâmetroversusespessura(abaixo)paradiferentescenáriosde

custo de falha. Para cada gráfico, a variável de projeto restante (não visualizada no

gráfico)foimantidaem 3,34 , 3,4 , /2 0,107.

Em comparação à Figura 5.4, esta análise tridimensional dos custos esperados totais

permite visualizar o comportamento em função de duas variáveis de projeto do

problema. O intervalo utilizado mostra, principalmente, no gráfico diâmetro versus

espessura(abaixo)quesetratadeumafunçãoconvexacompontodemínimo.


Figura5.9‐CETparadiferentescenáriosdecustosdefalha.

⁄

h/2b(%)

⁄

⁄

Espessura(cm)


6. COMPARAÇÃOCOMAOTIMIZAÇÃODETERMINÍSTICA

6.1 CONFIGURAÇÃODECOMPARAÇÃO

EmFox(1971)considera‐seumatreliçaplanadeduasbarrassemelhanteaoproblema

analisado neste trabalho. As constantes usadas em Fox (1971) são usadas como

referêncianestacomparação,esãoapresentadasnaTabela7.1.

Tabela6.1–VariáveisadotadasporFox(1971).

Variável Valor Unidade ValornoSGI

P(cargaaplicada) 2x33 kips 293,58kN

2b(vãototal) 2x30 in 152,4cm

t(espessura) 0,1 in 0,254cm

(Tensão) 100 ksi 68,95kN/cm

E(módulodeElast.) 3x10 ksi 20684,27kN/cm

(densidade) 0,3 Lb/in 8,304 g/cm

O problema resolvido por Fox, no entanto, considera material linear e pequenos

deslocamentos,sendoatensãonasbarrasiguala:

4

4 2

/

(6.1)

AtensãocríticadeEulerparaflambagemécalculadapor:

16 8

(6.2)

AfunçãoobjetivodoproblemadeFoxédadaemfunçãodopesodaestrutura:

2 2 ⁄ (6.3)


6.2 RESOLUÇÃODETERMINÍSTICAELINEARDEFOX

Para o critério de máxima tensão admissível, a treliça otimizada é obtida com um

conjunto de valores candidatos.Desses valoresmínimos ótimos,mostradosnaTabela

6.2,somentealgunsestãoacimadatensãocríticadeEuler.

Tabela6.2–Valorescandidatosapontoótimo.

Diâmetro(cm) Altura(cm) Peso(kg)

3,81 76,20 5,44

4,44 58,42 5,95

5,08 48,26 6,07

5,71 40,64 6,54

6,35 35,56 7,08

Osvalores riscadosnaTabela7.2 correspondema configuraçõesque levama tensões

superioresàtensãocríticadeEulere,portanto,representamconfiguraçõesinviáveis.A

configuração ótima, na solução determinística de Fox (1971), corresponde à terceira

linhadaTabela7.2,com 5,08 e 48,26 ,cujopesototaléiguala6,07kg.

Utilizando o custo unitário de 3,510 $⁄ . A configuração ótima de Fox tem custo

iguala:

6,07kg 3,50 $⁄ 21,25 reais. (6.4)

6.3 OTIMIZAÇÃODERISCOPARAMESMACONFIGURAÇAO

Para a otimização de risco serão utilizando os dados de entrada da Tabela 7.1 e o

diâmetroótimoencontradoporFox(1971).Paraodiâmetrocabeumaressalva,umavez

queFoxadotadiâmetromédioiguala5,08 .Nestetrabalhoseráutilizadoodiâmetro

externo calculado por: 5,334 , onde a espessura é mantida em

2,54 .Asmédiasedesviospadrãodasvariáveistomadascomoaleatóriassãodadas

naTabela6.3.Os valoresda largura total do vão (152,4 ), densidadedomaterial e

custounitáriosãomantidosconformeFox.

Tabela6.3–Parâmetrosdasvariáveisaleatórias

Variável Distribuição Média( c.o.v. Desvio‐padrão )

E Log‐Normal 20684kN/cm 0,05 1124kN/cm²


Log‐Normal 68,95kN/cm 0,05 3,4kN/cm²

Normal 293,6kN 0,10 ‐29,4kN

6.3.1 Consideraçãodelinearidadefísica

Primeiramente, é feitaumaotimizaçãode risco comvariaçãodoparâmetrode altura,

tendo em vista que será utilizado o diâmetro ótimo encontrado por Fox (1971). Para

destacar os efeitos da não linearidade geométrica no problema, a constante de não

linearidade física é reduzida a 1. Como a consideração da posição deslocada

ocasionaomododefalhaporsnap‐through,omesmoseráconsideradoadicionalmente

aoproblemadeFox (1971).OcomportamentodacurvadeCETémostradonaFigura

6.1.

Figura6.1–Visualizaçãodoscustosparciaisetotaispara .

Observa‐se que a configuração ótima da otimização de risco é regida pela falha por

tensãoadmissível.Ocustoesperadototal,segundoaFigura6.1,apresentouummínimo

globalem 59,43 comcustode24,29 .Seconsiderarmosafalhaportensão

admissível satisfatória aos 48,26 cm, que equivale a ≅ 46%e ã ≅ 0,09

obteríamos um custo de 31 . Tal custo tem cerca de 30%de custo esperado de

falha.


6.3.2 Consideraçãodeambasnãolinearidades

Naanálisecomambasnãolinearidades,utilizou‐seconstantedenãolinearidadeiguala

100. Tal valor provoca comportamento altamente não linear da estrutura, sendo

observada 1 para flambagem no domínio analisado. Sendo assim, decidiu‐se

diminuiraconstantedenãolinearidadeem60%.Talvalorpermitiuaobservaçãodeum

mínimo global sem alterar diretamente as características materiais e geométricas da

estrutura. O ponto de mínimo global, caracterizado por probabilidades de falha

aceitáveis em todos os modos considerados, pode ser observado na curva de custo

esperadototaldaFigura6.2.

Figura6.2–Visualizaçãodoscustosparciaisetotaispara .

Nestecaso,omínimocustoesperadototalfoiencontradoem 59,43 comcustode

24,31 .Dentreoutrasdiferenças,apósdiminuiçãodaconstantedenãolinearidade,

destaca‐seo comportamentoda curvade flambagemquepassaa exibir sobrevivência

emconfiguraçõesmaiores

6.3.3 Comparaçãodosresultados

De forma geral, a mudança do comportamento não linear do material idealizado

modificaosintervalosdeocorrênciadecadafalha.NaTabela6.4,dispõe‐seumquadro


comparativo da otimização de risco para as diferentes constantes de não linearidade

físicaadotadas.

Tabela6.4–Comparaçãodasconfiguraçõesótimascomrelaçãoàsdiferentesconstantesdenãolinearidadefísicaadotadasparadiâmetroexternoiguala5,08cm.

hotim.derisco

CustoMínimo

Custoprojetadoparahotim.deFox(1971)

100 ‐ ‐ 89,5

40 59,43 24,31 54,5

1 59,43 24,29 31,5

Fox(1971) 48,26 21,25 ‐

Os custos projetados para a altura ótima encontrada na otimização determinística

evidenciamadiferençaentreasotimizaçõesadotadas.Taldiferençaestarelacionadaà

funçãoobjetivodaotimizaçãoderisco,quelevaemcontanãosóaminimizaçãodocusto

emfunçãodovolume,mastambémoscustosassociadosacadamododefalha.Portanto,

os custos projetados são claramente maiores que o custo ótimo determinístico

(21,25 ) por incluírem custos esperados de falha. Por sua vez, as configurações

ótimas encontradas na otimização de risco são mais robustas devido à restrições de

falhaeconsideraçãodasincertezasnasequaçõesdeestadolimitedoproblema.Ocusto

mínimo,noentanto,éafetadobasicamentepelocustoinicialoudematerial.


7. CONSIDERAÇÕESFINAIS

Estetrabalhotratadaotimizaçãonãolineardeumaestruturadetreliçaconsiderandoos

efeitos dos custos esperados de falha. Omodelomecânico considera não linearidades

físicas e geométricas. Em termos de falha considerou‐se falhas por tensão de tração

(escoamento) e por tensão de compressão (esmagamento), além de falhas por

instabilidades,sendoadebifurcaçãoconhecidacomoflambagemeadepontodelimite

ouchamadadesnap‐through.Aseleçãodoproblema,edesuasvariáveisaleatóriasede

projeto, objetivou expor a concorrência entre osmodosde falha, para custos de falha

diferentes.Asdiferençasentreasconfiguraçõesótimasobservadassãosutis;entretanto,

demonstramcomoaconcorrênciaentremodosdefalhadecustodistintopodeafetara

configuraçãoestruturalótima.

7.1 OBSERVAÇÕESGERAIS

Com relação aos modos de falha, é possível afirmar que a falha por snap‐through

determina amudança de comportamento dos demaismodos de falha, uma vez que a

configuração deslocada é levada em conta nas equações de estado limite, através da

consideraçãodanãolinearidadegeométrica.

A comparação da otimização de risco com a otimização determinística chegou a

configurações com maior uso de material. Porém, com menor custo esperado total,

quandocomparadoaocustodeFox(1971).AotimizaçãodeterminísticadeFox(1971)

não levou em conta a posição deslocada (análise não‐linear) nem falhas relacionadas

comestecomportamento.Talresultadomostraainfluênciadaconsideraçãodoscustos

defalhanaotimização,propiciandonãosóresultadosdepesomínimo(umavezqueo

custoédadoemfunçãodopeso),comotambémmaissegurospelaconsideraçãodemais

modosdefalhaeincertezas.


7.2 SUGESTÕESDEPESQUISASFUTURAS

Comodesenvolvimentofuturodapresentepesquisacita‐seasuaaplicaçãoàotimização

topológicadeestruturas redundantesplanase tridimensionais,bemcomoautilização

dealgoritmosinteligentesparaescolhadosmodosdefalhadominantes.

Com relação aomodelomecânico, extensão paramateriais de comportamento elasto‐

plástico,mantendoainclusãodasanálisesnãolinearesgeométricas.

Com relação à solução de problemas de otimização, cita‐se o desenvolvimento de

ferramental (software) para otimização topológica de estruturas planas e

tridimensionais, considerando quantificação de incertezas e consequências de falha.

Sugere‐se considerarmodos de falha tradicionais, como falha dúctil/frágil por sobre‐

tensão, falha por excesso de deformações; bem como falha por instabilidade elasto‐

plástica, para problemas envolvendo estruturas de barras (treliças e vigas) e para

problemasenvolvendoelasticidadeplana.


REFERÊNCIASBIBLIOGRÁFICAS

AGARWAL, H.; MOZUMDER, C.K.; RENAUD, J.E.; WATSON, L.T., (2007). An inverse‐measure‐based unilevel architecture for reliability‐based design. Structural andMultidisciplinaryOptimization.v.33,p.217–227.

AOUES,Y.; CHATEAUNEUF,A.; (2010):Benchmark studyof numericalmethods for reliability‐baseddesignoptimization.StructMultidiscOptim,v.41,p.277–294.

ANG, A. H‐S; TANG, W. H. (2007). Probability Concepts in Engineering: Emphasis onApplicationstoCivilandEnvironmentalEngineering.2.ed.JohnWiley&Sons.

BASTIN, F., (2004). Trust‐region algorithms for nonlinear stochastic programming andmixedlogitmodels.Thesis(PhD).FacultesUniversitairesNotre‐DamedelaPaixNamur.

BECK, A.T., (2007) Desenvolvimento de Programa Computacional para Análise deConfiabilidadedeEstruturas,projetodepesquisaFAPESP,2007/00154‐4.

BECK, A. T. (2009) Curso de Confiabilidade Estrutural, Programa de Pós‐graduação emEngenhariadeEstruturas,EscoladeEngenhariadeSãoCarlos,USP.

BECK, A. T.; GOMES, W. J. S.; BAZÁN, F.A.V., (2012): On the Robustness of Structural RiskOptimization with Respect to Epistemic Uncertainties. International Journal forUncertaintyQuantification.,v.2,p.1‐20.

BECK, A. T.; GOMES, W. J., (2012): A comparison of deterministic, reliability‐based and risk‐based structural optimization under uncertainty. Probabilistic Engineering Mechanicsv.28,p.18‐29.

BEYER,H‐G.; SENDHOFF,B., (2006):Robustoptimization–a comprehensive revie.ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering.v.196,p.3190‐3218

CHEN, W.; WIECEK, M.M.; ZHANG, J., (1999). Quality utility: a compromise programmingapproachtorobustdesign,ASMEJornalofMechanicalDesign,121(2),179–187.

CHENG, G.D., XU, L.; JIANG, L., (2006). Sequential approximate programming strategy forreliability‐basedoptimization,ComputerandStructures,84(21),1353–1367.

CRISFIELD, M.A. (1991). Non‐linear finite element analysis of solids and structures:Essentials.NewYork,JohnWiley.v.1.

CRISFIELD, M.A. (1997). Non‐linear finite element analysis of solids and structures:AdvancedTopics.NewYork,JohnWiley.v.2.

DAS, I.; DENNIS, J.E. (1997). A closer look at drawbacks of minimizing weighted sums ofobjectives for Pareto set generation in multi‐criteria optimization problems, StructuralOptimization.v.14,p.63–69.

DAI, Z.;MOURELATOS, Z. P., (2003).Robustdesignusingpreference aggregationmethods. In:ASME2003DesignEngineeringTechnicalConferencesandComputerandInformationinEngineeringConference,Chicago.

DU, X.; CHEN, W. (2004): Sequential Optimization and Reliability Assessment method forEfficientProbabilisticDesign.ASMEJ.Mech.Des.,v.126(2),p.225–233.

FOX,R.L.(1971)OptimizationMethodsforengineeringDesign.Addison‐WesleyPublishingCompany.

GOMES, W.J.; BECK. A. T. (2013) Global structural optimization considering expectedconsequencesoffailureandusingANNsurrogates.ComputersandStructures.v.126,p.56‐68


MARTINS, T. V.; GRECO, M. (2013) Otimização paramétrica de estruturas treliçadas, emcomportamentopós‐crítico,viaAlgoritmosgenéticos.MostraPROOPEEs,UFMG.29e30deAbrilde2013

MELCHERS,R.E.(1999).StructuralReliabilityAnalysisandPrediction,2.ed..NewYork:JohnWileyandSons.

PAULA, C. F.; PROENÇA, S. P. B. (2008) Contribuição ao estudo das respostas numéricas não‐lineares estáticaedinâmicadeestruturas reticuladasplanas.CadernosdeEngenhariadeEstruturas,SãoCarlos,v.10,n.42,p.35‐50,2008

PIMENTA, P. M. (1988) Análise não‐linear de treliças espaciais. Anais Epusp, São Paulo1(1a):461–486

PIMENTA,P.M. (1996)Geometrically exact analysisof InitiallyCurvedRods. In:Advances inComputationalTechniquesforStructuralEngineering,Edinburgh,UK,v.1,p.99–108

QU,X.;HAFTKA,R.T.(2004)Reliability‐baseddesignoptimizationusingprobabilisticsufficiencyfactor.StructuralandMultidisciplinaryOptimization.v.27p.314–325

RITTO,T.;LOPEZ,R.H.;SAMPAIO,R.;CURSIE.S.(2011):Robustoptimizationofaflexiblerotor‐bearingsystemusingtheCampbelldiagram.EngineeringOptimization.v.43,p.77‐96.

SANCHIS, J.; MARTINEZ, M.; BLASCO, X., (2008). Multi‐objective engineering design usingpreferences,EngineeringOptimization.v.40(3),p.253‐269.

SCHUЁLLER, G. I.; JENSEN H.A. (2008) Computational methods in optimization consideringuncertainties‐Anoverview.ComputerMethods inAppliedMechanicsandEngineering.v.198(1),p.2‐13.

SILVA, M.; TORTORELLI, D.; NORATO, J.; HA, C.; BAE, H., (2010). Component and systemreliability‐based topology optimization using a single‐loop method. Structural andMultidisciplinaryOptimization,v.41,p.87–106.

LIMA,V.M.S.;VENÂNCIOFILHO,F.(1992)Consideraçõessobreanãolinearidadegeométricade estruturas reticuladas. In: ESCOLA DE MATEMÁTICA APLICADA, 3., Laboratório deComputaçãoCientífica(CNPq),RiodeJaneiro,p.1‐38.

TU,J.;CHOI,K.K.;PARK,Y.H.,(1999):ANewStudyonReliability‐BasedDesignOptimization,J.Mech.Des.,v.121(4),p.557‐565.

VALDEBENITO, M.A., SCHUELLER, G.I., (2010): A survey on approaches for reliability‐basedoptimization,StructMultidiscOptim.v.42,p.645‐663.

VERZENHASSI, C., (2008): Otimização de Risco Estrutural Baseada em Confiabilidade,dissertaçãodemestrado,EngenhariadeEstruturas,EESC,USP.

YI, P.; CHENG, G.D.; JIANG, L., (2008): A Sequential approximate programming strategy forperformancemeasurebasedprobabilisticstructuraldesignoptimization.StructuralSafety,v.30,p.91–109.

ZIMMERMANN,H. J. (1992).FuzzySetTheoryand ItsApplications. SecondRevisedEdition.Kluweracademicpublishers.

estrutural sob incertezas consequências de falha€¦ · thaÍs gomes pedrosa otimizaÇÃo...

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