estrutura de uma avião - fenix.tecnico.ulisboa.pt · • perfis em t, z, i, estruturas...

• Estrutura de uma avião1. Estruturas celulares de grande rigidez sujeitas

a flexão, corte, torção e carregamentos axiais.• Fuselagem de secções mono-celulares fechadas• Asas e caudas multi-celulares

2. Estruturas cujas secções servem para aumentar a rigidez dos revestimentos finos, dos componentes celulares• Perfis em T, Z, I,

Estruturas Aeroespaciais Flexão, Torção e Corte em Vigas com Paredes Finas 1

• Estrutura de uma avião

1. Estruturas chamadas de vigas de secção aberta

2. Estruturas chamadas de vigas de secção fechada.


Flexão de vigas abertas e fechadas

• Numa viga sujeita à flexão, o valor da tensão normal num ponto depende:

– Da posição desse mesmo ponto– Do carregamento aplicado– Das propriedades geométricas da referida

secção.

• Logo desenvolve-se a teoria para uma viga de secção transversal arbitrária.


• Convenção e notação de sinais

• Momentos Flectores positivos se causam tracção no primeiro quadrante



• Decomposição de Momentos Flectores

– A) Componente Mx Positiva– B) Componente Mx Negativa



• Distribuição da tensão normal devido á flexão



s ez zE=Tensão num Ponto:

Viga é flectida com um raio de curvatura r

e xrz =

• Distribuição da tensão normal devido á flexão



Tensão num Ponto:

Momentos flectores puros

rxs E

z =

s xzA AdA dA= À× ×


• Inclinação da linha neutra relativamente a Cx é a


aax yx +=�aars yx

Ez +=�

dAxMyMA zyA zx ×× ==� ss


• Finalmente obtém-se

• ou, na forma matricial


xyyyy

xxxyx

IE

IE

M

IE

IE

M

ra

ra

ra

ra

cossin

, cossin

+=+=

M

ME I I

I Ix

y

xy xx

yy xy

ÑÒÓáâã =

ÎÐÏ

ÞàßÑÒÓ

áâãraa

sincos


• Reformulando


E I I

I I

M

Mxy xx

yy xy

x

yraa

sincosÑÒÓ

áâã =ÎÐÏ

Þàß

ÑÒÓáâã

-1

s r a az

Ex y= +( sin cos )

yIII

IMIMx

III

IMIM

xyyyxx

xyyyyx

xyyyxx

xyxxxyz ÜÜÝ

ÛÌÌÍË

--+ÜÜÝ

ÛÌÌÍË

--=

22s


• A última expressão evidencia a dependência com x e y.

• Pode-se evidenciar a dependência com Mx e My


( ) ( )y

xyyyxx

xyxxx

xyyyxx

xyyyz M

III

yIxIM

III

xIyI22 -

-+--=s


• Posição da linha neutra– Na Linha Neutra o esforço axial é nulo


LNxyyyxx

xyyyyzLN

xyyyxx

xyxxxy yIII

IMIMx

III

IMIMÜÜÝÛ

ÌÌÍË

--+ÜÜÝ

ÛÌÌÍË

--=

220

xyyyyx

xyxxxy

LN

LN

IMIM

IMIM

xy

---==atan

Uma viga com uma secção transversal como a representada na é sujeita a um momento flector de 1500 Nm num plano vertical. Calcule a tensão normal máxima devido á flexão e o respectivo ponto (x,y).




Intensidade do carregamento, relações entre momento flector e esforço transverso, caso

geral

z

SwSzwz

z

SSF y

yyyy

yy

0

0 �

�dd�� -=Ã=-+ÜÜÝ

ÛÌÌÍË +Ã=Ê



geral

Do somatório dos momentos em torno do ponto à direita fica-se com

Desprezando os termos de segunda ordem

( ) ( ) ( )0

2

=-+-ÜÝÛÌÍ

Ë + xyyx

x Mz

zwzSzz

MM

dddd��

SMzy

x= ��



geral

Pode-se combinar as expressões anteriores em uma única expressão

Do mesmo modo poder-se-ia obter:

- = =wz

Mzy

y x��

��

S

2

2

- = =wz

M

zxx y�

��

S

2

2


Deflexão devido à flexão

Da aproximação usual para a curvatura tem-se1 2

2rx= d

dz

Numa secção da viga assimétrica a deflexão normal à linha neutra é x



As componentes u e v de x estão nas direcções negativas dos eixos x e y respectivamente:

Diferenciando duas vezes em relação a z e depois substituindo xu v= - = -x a x asin cos ,

2

2

2

2 cos ,

sin

dz

vd

dz

ud -=-= ra

ra



Relembrando que:

Pode-se obter

E I I

I I

M

Mxy xx

yy xy

x

yraa

sincosÑÒÓ

áâã =ÎÐÏ

Þàß

ÑÒÓáâã

-1

u

v E

I I

I I

M

Mxy xx

yy xy

x

y

’’’’

ÑÒÓáâã =

ÎÐÏ

Þàß

ÑÒÓáâã

-1

1



Resolvendo em ordem aos momentos:

Se My=0, Mx produz deflexões nos planos xy e yz ou seja uma viga assimétrica deflecte verticalmente e horizontalmente mesmo que o carregamento seja somente vertical.

M EI u EI v

M EI u EI vx xy xx

y yy xy

= - -= - -

ÑÒÓÔ’’ ’’

’’ ’’



Determine as componentes horizontal e vertical da deflexão na ponta da viga encastrada Os segundos momentos de área da sua secção assimétrica são Ixx, Iyy, Ixy.


•A espessura t das paredes finas é assumida com sendo pequena comparada com as dimensões da secção transversal.•As tensões podem ser vistas com constantes ao longo da espessura.•Despreza-se t2, t3... nos cálculos das propriedades da secção.•Representa-se a secção através da sua linha central.

Aproximações a secções de paredes finas



X->eixo de simetria, pelo que Ixy = 0

( )[ ]I

btbth t

h txx = +Ë

ÍÌÛÝÜ +

-2

122 2

12

32

3/



Expandindo a expressão anterior:

Pode ser reduzida, desprezando os termos de segunda e terceira ordem de t

Ibt

btht

h ht

ht t

xx = +ËÍÌ

ÛÝÜ + - + -Ë

ÍÌÛÝÜ

ÎÐÏ

Þàß2

12 122 3

23

4 8

32 3 3 2

2 3

( )122

23

2 htbthI xx += Seguir-se-ia o mesmo

processo para Iyy



Ixx em relação ao eixo horizontal em torno do centróide:

( ) dsstdstyIaa

xx22/

0

2/

0

2 sin22 b×× ==I

a txx =

3 2

12sin b E pode-se

obterI

a tyy =

3 2

12cos b



O produto de inércia é dado por:

( )( )dsssttxydsIaa

xy ×× bb== 2/

0

2/

0 sin cos22

Ia t

xy =3 2

24sin b



( ) qqp

p

drrt

dstyIr

xx

××

===

02

02

cos

02 3 === xyyyxx II

trI

p

Determine a distribuição tensão normal na secção Z de paredes finas produzida por um momento flector positivo Mx




•As expressões obtidos na teoria descrita são baseadas nas hipóteses:

•A viga é uniforme•Secção transversal homogénea •Secções planas permanecem planas e perpendiculares após a flexão

•Só válida quando os momentos flectores Mx e My são constantes ao longo da viga.

Aplicação da teoria de flexão


•Nesta secção estabelece-se as equações e expressões para uma análise:

•Vigas de secção aberta com cargas de corte• Vigas de secção fechada com cargas de corte e momentos torsionais.

Expressões gerais para , , e w para vigas de secção unicelular aberta e fechada e paredes finas


•Assumir-se-á que :•Os efeitos dos constrangimentos axiais são desprezáveis;•As tensões de corte normais às superfícies das vigas são desprezáveis visto serem nulas em cada face e as paredes são finas;•Tensões de corte e normais actuando em planos normais à superfície da viga são constantes ao longo da espessura;•As vigas são de secções uniformes.



•São desprezados os termos de segunda ordem relacionados com a espessura t no cálculo das constantes das secções•O parâmetro s é a distância medida de uma origem conveniente da secção transversal.•A variação de t ao longo de s é pequena

• t é constante ao longo do comprimento ds.




•sz devido a um momento flector ou pela acção de cargas tangenciais.• tzs devido a cargas de corte ou de torção.• ss devido a pressões internas.



• fluxo de corte ( q ) , representando força de corte por unidade de comprimento

tq �= t


Equações de equilíbrio resultantes desprezando forças volúmicas;

•Segundo a direcção z

•Segundo a direcção s

0

0

=��+�

�ÃÃ=-ÜÝ

ÛÌÍË

��++-ÜÝ

ÛÌÍË

��+

zt

sq

zqzssq

qststzz

z

zz

z

sddddsddss

0=�s�+�

�s

tzq s




•vt é o deslocamento tangencial no plano xye é positivo no sentido do crescimento de s

•vn é o deslocamento normal no plano xy e épositivo no sentido de y.•w é o deslocamento axial e é positivo na sentido de z.


Das equações da elasticidade tem-se :

É possível derivar igualmente uma expressão para a extensão es em termos dos deslocamentos tangenciais e radiais bem como da curvatura 1/da parede da viga. Porém uma expressão simplificada poderá ser

zw

z ��=e

rv

sv nt

s +��=e




zv

sw

zv

sw

t

t

��+�

�=Ã+=+=

gdd

ddffg

limite no que

21



•Simplificação: Durante qualquer deslocamento a forma da secção transversal da viga é mantida por um sistema de diafragmas espaçados entre si, rígidos no seu plano mas flexíveis no plano normal. •Sendo assim não haverá resistência ao deslocamento axial w e a secção move-se como um corpo rígido no seu plano.



•Os deslocamentos em cada ponto definidos pelas translações u e v e uma rotação q



•Simplificações: • Inserem-se dentro dum contexto fora do qual não são válidas, contexto este que se insere na estrutura normal de um avião.•As estruturas de cascas finas características das aeronaves, são reforçadas por nervurasou quadros posicionados em intervalos frequentes ao longo de todo o comprimento destas.



•O deslocamento vt de qualquer ponto N na parede de qualquer tipo de perfil :

•E pode-se obter

z de apenas funções v,u, com

sincos

qyyq vupvt ++=

y+y+q=��

sincosdzdv

dzdu

dzd

pzvt

•No caso de torção pura é possivel descrever o deslocamento como uma rotação pura em torno de um ponto R(xR, yR)=Centro de Torção.

•E pode-se escrever

qrt pv =


yy cossin rrr ypxp -=-

yqyqq cossin rrt yxpv +-=

Expressões gerais para �� H�Z�para vigas de secção unicelular aberta e fechada e paredes finas

•Obtém-se uma segunda equação para

• Da igualdade das duas equações obtém-se as coordenadas do centro de rotação, centre oftwist, são:

dzd

ydzd

xdzd

pzv

RRt qyqyq

cossin +-=��

Estruturas Aeroespaciais Flexão, Torção e Corte em Vigas com Paredes Finas 45dzd

dzdu

ye

dzd

dzdv

x RR qq =-=

dzdvt

Expressões gerais para �� H�Z�para vigas de secção unicelular aberta e fechada e paredes finas

•Para que isto seja válido as cargas têm de passar por um ponto particular na secção transversal chamado centro de corte.

Solicitações de corte de vigas de secção aberta


Viga de secção aberta arbitrária, suporta esforços transversos Sxe Sy de modo a não criar torção da secção transversal da viga.



A tensão normal z para o caso de flexão pura

Então derivando obtemos:

E sabendo que

yIII

IMIMx

III

IMIM

xyyyxx

xyyyyx

xyyyxx

xyxxxyZ 22 -

-+--=s

yIII

Iz

MI

zM

xIII

Iz

MI

z

M

z xyyyxx

xyy

yyx

xyyyxx

xyx

xxy

Z22 -

ßàÞÏÐ

Î ÜÜÝÛÌÌÍ

Ë��-ÜÝ

ÛÌÍË

��

+-ßàÞÏÐ

Î ÜÝÛÌÍ

Ë��-ÜÜÝ

ÛÌÌÍË

��

=��s

zM

Sz

MS x

yy

x ��=�

�= e

Já foi deduzida a equação:

Logo

Se s=0 no ponto de abertura a secção onde q=0


0=��+�

�z

tsq zs


( ) ( )y

III

ISISx

III

ISIS

z xyyyxx

xyxyyy

xyyyxx

xyyxxxZ22 -

-+--=�

�s

dsz

tdssqs s

z× × ��-=�

�0 0

s

( ) ( )dsty

III

ISIStxds

III

ISISq

s

xyyyxx

xyxyyys

xyyyxx

xyyxxxs ×× -

-----=

02

02

Para uma secção onde Ixy=0



dstyI

Stxds

IS

qs

xx

ys

yy

xs ×× --=

00


Determine a distribuição de fluxo de corte no perfil em Z devido ao esforço transverso Sy aplicado no centro de corte da secção.


Centro de Corte

• Define-se centro de corte como o ponto da secção transversal pelo qual os esforços transversais devem passar de maneira a que não exista momento de torção.

• O centro de corte é o centro de torção para secções sujeitas à torção

• Pode-se sempre representar a carga de corte por uma carga aplicada no centro de corte e um momento torçor

• As tensões produzidas separadamente pelos movimentos de torção e de corte são somadas por sobreposição


Centro de Corte

• Deste modo torna-se muito importante a determinação do centro de corte

• Localização do centro de corte:– Sempre a viga está sujeita à torção, o centro de

corte coincide com o centro de torção– Secções com eixo de simetria – o centro de corte

está situado no eixo de simetria– Secção angulosas ou cruciformes – o centro de

corte está situado no eixo de simetria


Calcular a posição de centro de corte da secção de canal de paredes finas da. A espessura t das paredes é constante.


Centro de Corte

Solicitações de corte de vigas de secção fechada

• Na solução de uma viga de secção fechada carregada transversalmente existem duas diferenças importantes

– Os esforços transversos podem ser aplicados em pontos da secção que não o centro de corte.

– Segundo, geralmente não é possível escolher uma origem para s para o qual o fluxo de corte seja bem determinado.




• Sx e Sy são aplicados num ponto qualquer da secção transversal e causam tensões normais e fluxos de corte

0=��+�

�z

tsq zs

De uma maneira semelhante ao já estudado:( ) ( )dsty

III

ISIStxds

III

ISISds

sq s

xyyyxx

xyxyyys

xyyyxx

xyyxxxs ××× -

-----=�

�0

20

20



• q(s=0) terá um certo valor qs,0 logo

• Se qb for o fluxo de corte numa viga aberta

• qb é obtido efectuando um corte num sitio conveniente, criando-se assim uma viga aberta

( ) ( )44444444 344444444 21

corte de centroseu no carregada aberta, secção de viganuma corte de Fluxo

02

020, dsty

III

ISIStxds

III

ISISqq

s

xyyyxx

xyxyyys

xyyyxx

xyyxxxss ×× -

-----=-

osbs qqq ,+=


• Para determinar qs,0 efectua-se o balanço de momentos num ponto qualquer


Note-se que o integral é calculado ao longo do contorno de toda a secção transversal da viga

×××

+==-

pdsqdspq

pqdsSS

sb

yx

0,

00 xh

× ×× =Ã=Ãd=d ApdspdsdAspA 221

21



• Logo obtém-se

• Se o ponto utilizado coincidir com as linhas de acção de Sx e Sy:

0,00 2 sbyx AqdspqSS +=x-h ×

0,20 sb Aqdspq += ×


• Ao cortar a viga estamos a aplicar Sx e Sy no centro de corte, da viga aberta resultante, mais um momento T


qs,0 corresponde a esse momento como se verá mais tarde

Torção e empenagem de vigas de secção fechadas carregadas transversalmente

• Se os esforços não são aplicados no o centro de corte de uma secção fechada, causarão torções nas secções transversais bem como uma distorção no plano axial desta, ou seja além de rotações estas sofrem deslocamentos axiais


zv

sw

tGtq t��+�

�=== ggt que em

ÜÝÛÌÍ

Ë��+�

�=zv

sw

Gtq ts


• Utilizando a expressão já obtida anteriormente pode-se escrever

• E integrando:


y+y+q+��= sincos

dzdv

dzdu

dzd

psw

Gtqs

××××××××××

++q+��=À

Ày+y+q+��=

sssss s

sssss s

dydzdv

dxdzdu

dspdzd

dssw

dsGtq

dsdzdv

dsdzdu

dspdzd

dssw

dsGtq

00000

00000sincos


• Obter-se-á assim,

• E continuando a integração ao logo de toda a secção:

• E fazendo a substituição


( ) ( ) ( )00002 yy

dzdv

xxdzdu

dzd

AwwdsGtq

ssosss s -+-+q+-=×

×× =qÃq= dsGtq

Adzd

dzd

AdsGtq ss

21

2

( ) ( )0000 yydzdv

xxdzdu

dsGtq

AA

dsGtq

ww sssoss s

s -----=- ××


• Ou utilizando a expressão derivada para o centro de torção R:

• E se a origem coincidir com esse mesmo centro R:


( ) ( )0000 yydzd

xxxdzd

ydsGtq

AA

dsGtq

ww sRsRsoss s

s -q+-q--=- ××

×× -=- dsGtq

AA

dsGtq

ww soss ss 00


• Em secções simétricas a empenagem é nula nos pontos de intersecção do eixo de simetria com a secção

– Se a origem de S for um desse pontos w0=0• Para secções assimétricas toda a distribuição fica

definida em relação à empenagem em s=0: w0

• Determinação de w0:– Partindo do principio que a empenagem é proporcional

as tensões normais aplicadas na secção transversal ~w– Sabendo que não se estava a aplicar cargas axiais:


( )× ×××× =Ã-=À=tds

tdswwtdswwwtdstds

s

osz 000s

Centro de corte de secções fechadas

Aplica-se uma carga de corte arbitrária Sy em S, calcula-se a distribuição de fluxos de corte qsdevido a Sy e de seguida executa-se um balanço entre momentos internos e externos.


No entanto, agora, uma dificuldade aparece na determinação de qs,0 já que é impossível equacionar os momentos externos e internos (a posição de Sy é perfeitamente desconhecida)

• Contudo sabe-se que as cargas aplicadas no centro de corte não produzem torção:

• Então pode-se escrever:


× =Ã= 021

0 dsGtq

Adzd sq

( )××× × -=Ã+=À=

dsGt

dsGtq

qdsqqGt

dsGtq

b

ssbs

11

00 0,0,


Uma viga de paredes finas de secção fechada tem uma secção com um único eixo de simetria Cada parede da secção é plana a tem a mesma espessura t e módulo de elasticidade transversal G. Calcular a distância do centro de corte ao ponto 4.



Torção de vigas de secção fechada

Uma viga de secção fechada sujeita a um momento torçor puro T, não produz um sistema de tensões normais. Logo as equações do fluxo de corte:

Reduzem-se a :


0 e 0 =��+�

�=��+�

�s

tzq

zt

sq zz ss

0 e 0 =��=�

�zq

sq


• As relações anteriores só podem ser satisfeitas simultaneamente por uma constante de valor q.

• Deduz-se assim, que a aplicação de um momento torçor puro resulta num fluxo de corte constante na parede da viga.

– A tensão de corte t pode variar na secção transversal dado que a espessura da parede tpode ser função de s.


O momento torçorproduzido pelo fluxo de corte actuando no elemento ds da parede da viga é pqds.

e dado q ser constante


×= spqT d

× == AqspqT 2d fórmula de Bredt-Batho


• Se o movimento do fim do vector p segundo a tangente a qualquer ponto na direcção positiva de s conduz a uma rotação de p no sentido contrário aos ponteiros do relógio em relação á origem dos eixos, p é positivo

• A geratriz AO, rodando sobre O, irá inicialmente varrer uma área negativa visto pA ser negativo. Em B, pB é positivo visto que a área varrida mudou de sinal (no ponto onde a tangente passa por O e p = 0).



• Já foi estabelecida a relação entre q e a distorção de corte de onde se pode obter:

• Diferenciando a expressão anterior em relação a z e sabendo que q é constante


Deslocamentos associados com o fluxo de corte de Bredt-Batho

ÜÝÛÌÍ

Ë��+�

�=zv

sw

Gtq t

0

0

2

2

2

2

=��+ÜÝ

ÛÌÍË��

��

=ÜÜÝÛÌÌÍ

Ë��+��

�=��

zv

zw

s

zv

szw

Gtzq

t

t


• Na ausência de tensões normais a extensão longitudinal �w/�z (= ez) é zero logo:

• E da relação já estabelecida anteriormente obtém-se

• Para a equação anterior ser válida para qualquer valor de y :


02

2 =��

zvt

0cos 2

2

2

2

2

2 =++ yyqsin

dzvd

dzud

dzd

p

0 ,0 ,02

2

2

2

2

2 ===dz

vddz

uddzd q


• Tem-se assim:• q=Az+B • u=Cz+D• v=Ez+F

• A,B,C,D,E, e F são constantes desconhecidas. • q, u e v são funções lineares de z.



• Já se tinha encontrado a expressão que relaciona a taxa de torção e o fluxo de corte e sabendo que q é constante:

• E substituindo q da expressão que o relaciona com T:


×=Gtds

Aq

dzd

2q

×=Gtds

AT

dzd

24q


• A distribuição da empenagem produzida por um fluxo de corte variável como definido é também aplicável para o caso de fluxo de corte constante.


ÜÝÛÌÍ

Ë -=-=- × × AA

AT

Gtds

qA

AGtds

qww OsOss Oss d

dd200

×× == s

Os Gtds

Gtds

0 e dd


• O sinal do deslocamento de empenagem é influenciada pelo sinal do momento torçor aplicado T e dos sinais dos parâmetros dOs e AOs.

• Notou-se que a extensão longitudinal ez é zero numa viga de secção fechada sujeita a um momento torçor puro. Isto significa que todas as secções da viga têm de possuir distribuições de empenagens idênticas.


Determine a distribuição da empenagem na viga rectangular de secção fechada duplamente simétrica quando sujeita a um momento torçor Tpositivo (anti-horário).



Condição de empenagem nula numa secção

• Relembrando a expressão para a empenagem de uma viga fechada sujeita a torção

• A geometria da secção transversal sujeita a torção pode ser tal que não haja empenagem na secção


ÜÝÛÌÍ

Ë -=-A

AA

Tww OsOs

s ddd

20

AAOsOs =d

d

Condição de empenagem nula numa secção

• ou então

• Diferenciando anterior em relação a s dá

ou

• Uma viga de secção fechada com pRGt =constante não empena e é conhecida como a viga de Neuber


× ×=s s

R dspAGt

ds0 02

11d

Ap

GtR

21 =d constante

2 == dA

GtpR

Torção de vigas de secção uniforme

• Revisão:• Considere-se uma viga de secção uniforme sujeita

a momentos torsores iguais mas de sentidos oposto nas suas extremidades.

• Admite-se também que o momento torçor provoca apenas tensões de corte na secção transversal o que implica:


0e0 ====== zyxzyx eeesss

0=xyt

• Restantes tensões têm que satisfazer as equações de equilíbrio e compatibilidade:

Equilibrio:


00 =��Ã=�

�+��+�

�zzyxxzxzxyx ttts

00 =��Ã=�

�+��+�

�zzxyyzyzyxy ttts

00 =��+�

�Ã=��+�

�+��

yxyxzzyzxzyzxz tttts


• Compatibilidade:


ÜÜÝÛÌÌÍ

Ë��+�

�-��

��=��

�zyxyzxxyxzyzy ggge2

2

ÜÜÝÛÌÌÍ

Ë��-�

�+��

��=��

�zyxzyxxyxzyzz ggge2

2

ÜÜÝÛÌÌÍ

Ë��+�

�+��-�

�=��

zyxxzyxyxzyzx ggge2

2


• Estas últimas reduzem-se a

• Define-se uma função � �IXQção de tensão de Prandtl):

• E sabendo que


ÜÜÝÛÌÌÍ

Ë��+�

�-��=

yxxxzyz gg

0 ÜÜÝÛÌÌÍ

Ë��-�

��=

yxyxzyz gg

0

zxzy yxtjtj =�

�-=��

,

ijij Ggt =


• Obtém-se

• Ou seja é constante em qualquer secção da barra


ÔÔÓ

ÔÔÒÑ

=ÜÜÝÛ

ÌÌÍË

��+�

��-

=ÜÜÝÛ

ÌÌÍË

��+�

��

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

yxy

yxx

jj

jj

ÔÓÔÒÑ

=¶��-

=¶��

0

0

2

2

jj

y

xj2¶


• Pode-se provar que =const.=0 ao longo dos limites da superfície

• O momento torçor pode ser calculado a partir dos momentos causados pelas tensões de corte:

• e



( )( ) ( )×× ×××× ××

×× ××××��-+�

�-==�

�-��-=-=

dxdyyy

dxdydxdyxx

dxdy

ydxdyy

xdxdyx

dxdyyxT zxzy

jjjj

jjtt

( ) ( )×× =��=�

�0e0 dyy

ydxx

xjj

• A expressão do momento fica:• Considere-se agora a rotação da secção transversal

GH�YDORU� ��8P�GDGR�SRQWR�p com coordenadas r e vai ser deslocado de:

• E pode-se escrever



××= dxdyT j2

ÓÒÑ

==-=-=xrv

yru

qaqqaq

cossin

ÔÔÓÔÔÒÑ

��+=�

�+��==

��+-=�

�+��==

yw

xdzd

yw

zv

G

xw

ydzd

xw

zu

G

zyzy

zxzx

qgtqgt

• Derivando as duas últimas equações em relação a y e x respectivamente:

• Ou seja



dzd

xyGyx

wdzd

Gx

yxw

dzd

Gy zyzx

zy

zxqtt

qt

qt2

11

1

2

2

-=ÔÔÓ

ÔÔÒÑ

ãâá

ÓÒÑ

��-�

�Ã��

�+=��

��+-=�

�

dzd

Gconstdzd

Gyx

qjqjj22 2

2

2

2

2 -==¶Ã-=��+�

�

• Da teoria geral da torção, pode-se definir a relação:

• Pode-se obter



dzd

GJTq=

×××× ¶-=ÃÜÜÝÛÌÌÍ

Ë ¶-= dxdyJG

GJdxdy jjjj 2

2 42

2

• Aplicação:– Considere-se agora uma parede fina, de

espessura t. Assuma-se que a secção não varia com y, então �[��



x

y

t

s/2

s/2

CBxxdzd

Gdzd

Gdxd ++-=Ã-= 2

2

2

2qjqj

• Em que as constantes são obtidas das condições fronteira

• Da definição de

• As tensões de corte são paralelas às fronteiras



( ) ( ) ßàÞÏÐÎ --=Ã=�= 22

202/ txdzd

Gtxqjj

ÔÔÓÔÔÒÑ

=��=

=��=

xdzd

Gx

y

zy

zx

qjt

jt

2

0

• Os valores máximos das tensões de corte serão:

• Já foi visto que a constante J pode ser dado por:



JtT

dzd

Gt xyxy �=Ã�= max,max, tqt

322

4 322

2

2

2

2

2

stdxdy

txdxdyJ

s

s

t

t

=ßßàÞ

ÏÏÐÎ ÜÝ

ÛÌÍË--=¶-= ×× × ×

- -jj

• Por outro lado

• Como a secção tem dois eixos de simetria, que se cruzam na origem do referencial logo w(x=0, y=0)=0 e tira-se C=0. Finalmente :



Cdzd

xywdzd

yxw

xw

ydzd

Gzx +=Ã=�

�Ã��+-== qqqt

0

dzd

xywq=

• Uma solução aproximada para a torção de vigas de secção aberta pode ser encontrada aplicando os resultados obtidos para a torção de uma viga fina e rectangular.


Torção de vigas de secção aberta

• Tem-se então

• Sendo o seu valor máximo:

• Tem-se também

• Finalmente a taxa de variação do ângulo de torção pode ser expressa em função do momento torçor



0 ,2 == znzs dzd

Gn tqt

dzd

Gtmaxzs

qt �=,

Ê ×==secção

33

31

ou 3

dstJst

J

dzd

GJTq=

• Expressando a distribuição e o valor máximo da tensão de corte em função de T



JtT

TJn

maxzszs �== , ,2 tt

• O empeno, wt, de uma viga de secção aberta de paredes finas ao longo da sua espessura pode ser expresso por

• A secção transversal irá empenar de forma similar aquela sofrida pelas vigas de secção transversal fechada.


Empenagem da secção transversal

dzd

nswt

q=

zv

sw t

zs ��+�

�=g

• Em relação ao deslocamento tangencial vt com o centro de torção R da secção transversal, tem-se

• Substituindo na equação anterior



dzd

pzv

Rt q=�

�

dzd

psw

Rzs

qg +��= ÜÝ

ÛÌÍË +��=

dzd

psw

G Rzs

qt

• Na linha média da parede da secção tzs = 0 pelo que, da equação anterior

• Integrando esta expressão em relação a s e fazendo o limite inferior de integração coincidir com o ponto de empenagem nula obtém-se



dzd

psw

R

q-=��

×-= s

Rs dspdzd

w0

q

• A empenagem da linha média da viga conhecida por empenagem primária e é assumida constante em toda a espessura.



×-= s

Rs dspdzd

w0

qdzd

Aw Rs

q2-=

GJT

Aw Rs 2-=

• A empenagem da viga ao longo da sua espessura., é a empenagem secundária, e é muito menor que a primária e é normalmente ignorada nas secções de paredes finas.



dzd

nswt

q=

Determine a tensão de corte máxima e a distribuição da empenagem na secção mostrada quando sujeita a um momento torçor positivo de 10 Nm, com G= 25 000 N/mm2.



• Até agora vimos apenas secções abertas ou fechadas sobre diversas solicitações:

• Mas em muitos casos a secção transversal de uma viga de uma estrutura aeroespacial é constituída por secções que são vigas fechadas e outras secções que são vigas abertas:


Análise de Secções Fechadas e Abertas

• Estudemos então qual o efeito dos diversos carregamentos já estudamos em vigas com componentes abertos e fechados

FlexãoA tensão norma devido à flexão é dada pelas equações:



yIII

IMIMx

III

IMIM

xyyyxx

xyyyyx

xyyyxx

xyxxxyz ÜÜÝ

ÛÌÌÍË

--+ÜÜÝ

ÛÌÌÍË

--=

22s

( ) ( )s z

x yy xy

xx yy xy

y xx xy

xx yy xy

M I y I x

I I I

M I x I y

I I I= -

- + --2 2

Solicitações de Corte• São aplicados os métodos já estudados para as solicitações

de corte em vigas de secção aberta e fachada.• As cargas de corte são aplicadas no centro de corte da

secção combinada.• Quando esta situação não acontece o sistema é substituído

por outro com corte+momentos torçor– Ambos os casos são analisados independentemente– Assume-se que a secções transversais permanecem planas



Determine a distribuição do fluxo de corte na secção da viga quando esta está sujeita a um carregamento de corte no seu plano de simetria vertical. A espessura das paredes da secção é de 2 mm.



Torção• A componente fechada tem uma rigidez

torcional muito maior do que a componente aberta.

– Ignora-se a parte aberta nos cálculos da rigidez torcional.

– Deve-se verificar a tensões de corte na componente aberta



Determine o ângulo de torção por unidade de comprimento quando sujeita a um momento torçor de 10 kN.m. Determine ainda a tensão de corte máxima na secção. A área da célula do nariz da asa é de 20000 mm2.



• O estudo limitou-se a secções estruturais relativamente simples, que na prática podem ser construídas através de placas finas.

• No entanto as secções normalmente utilizadas terão mais o aspecto :


Idealização Estrutural

• Viga de análise complicada. Terão que ser introduzidas simplificações para a sua análise.

• O nº e natureza das simplificações determinam a precisão e o grau de complexidade da análise.

• O grau de simplificação introduzido está directamente relacionado com a situação particular de estudo.

• Secções estruturais de geometria complexa podem ser idealizadas em modelos mecânicos mais simples.



• Os banzos dos stringers e longarinas apresentam secções de dimensões transversais pequenas quando comparadas com a secção completa.

– a variação de tensão ao longo da secção de um stringer será pequena.

– É pequena diferença entre distâncias dos centróides dos stringer e da casca adjacente da asa.



• O modelo mecânico é correcto se se considerar que todas as tensões normais são canalizadas para os mass booms, enquanto que a casca está sujeita apenas a esforços de corte

• A capacidade que a casca tem de suportar tensões normais pode ser modelada aumentando a área dos booms para uma área equivalente





• Suponha-se que se quer modelar o painel a) numa combinação de booms suportando tensões normais e de uma casca suportando apenas esforços de corte b)

• Em a) as tensões normais são suportadas por uma espessura tD=t da casca. No caso b) t=0. Suponha-se igualmente que as tensões normais apresentam uma distribuição linear em a), que varia de s1 para s2.

• Como a distribuição da carga nos dois casos a) e b) tem de ser a mesma, equacionam-se os momentos em relação a um ponto qualquer com o intuito de achar as áreas dos booms, B1 e B2.



( ) ÜÜÝÛÌÌÍ

Ëss+=Ãs=s-s+s

1

211121

2

2 263

221

2bt

BbBbbtb

t DDD

ÜÜÝÛÌÌÍ

Ëss+=

2

12 2

6bt

B D

• Nas equações anteriores no caso de não se conhecer o quociente entre s1 e s2, este pode ser arbitrado.

• A distribuição de tensões aparece como resultado de uma carga axial e de um momento flector.

– No caso de existir apenas carga axial então s1/s2=1 e B1=B2=tDb/2.

– No caso de um momento flector puro s1/s2= -1 e B1=B2=tDb/6.

• Assim diferentes modelos para a mesma estrutura são necessários no caso de sistemas de cargas aplicadas diferentes.





Parte de uma secção de uma asa é da forma bicelular. onde as longarinas verticais estão ligados à casca da asa por secções angulosas todas tendo uma área de secção transversal de 300 mm2. Modelar a secção numa combinação de mass boomssuportando apenas tensões normais e de paneis suportando apenas tensões tangenciais apropriados para resistir a momentos verticais no plano vertical. Posicionar os boomsnas junções das longarinas com a casca da asa.

• A adição dos booms às vigas vai modificar as análises feitas . • Suponha-se que uma viga de qualquer tipo está sujeita a cargas

de flexão e de corte, e que a idealização havia sido modelada – A análise de secções como estas requer o conhecimento da linha neutra e

o cálculo das propriedades da secção – A posição da linha neutra pode ser calculada tendo em conta a condição

de que as tensões normais resultantes na secção transversal têm de ser nulas

• É evidente então que o centróide da secção é o centróide da áreaque suporta as tensões normais.

• As coordenadas (x,y) de pontos da secção são referentes a eixos tendo por origem o referido centróide. Igualmente as componentes do tensor de inércia são calculados apenas para essa área que suporta as tensões normais


Efeito da idealização na análise de vigas



A secção de fuselagem apresentada está sujeita a um momento flector de 100 kN.m aplicado no plano vertical de simetria. Se a secção for completamente modelada como uma combinação de booms e painéis (tendo em conta as considerações habituais), determinar a tensão normal em cada boom .

Esforços transversos em vigas de secção aberta• A distribuição de fluxo de corte na secção aberta de

uma viga é obtida a partir da equação de equilíbrio, em que espessura t refere-se à espessura da casca que suporta tensões normais, no nosso caso tD. Assim

• Em que tD=t se a casca suporta tensões normais caso contrário tD=0 caso



( ) ( )dsyt

III

ISISxdst

III

ISISq

s

Dxyyyxx

xyxyyys

Dxyyyxx

xyyxxxs ×× -

-----=

02

02

• A equação anterior, não tem em conta os efeitos de descontinuidade provocados pelos booms na casca e que assim interrompem os fluxos de corte



• Do equilíbrio do r-ésimo boom

• Sabendo que



rz

rrrz

z

Bz

qq

zqzqBBzz

��-=-Ã

Ã=-+-ÜÝÛÌÍ

Ë��+

sddsdss

12

12 0

yIII

IMIMx

III

IMIM

xyyyxx

xyyyyx

xyyyxx

xyxxxyz ÜÜÝ

ÛÌÌÍË

--+ÜÜÝ

ÛÌÌÍË

--=

22s

• Obtém-se

• A equação anterior dá a variação de fluxo de corte induzido por um boom que está ele próprio sujeito a uma carga normal (srBr).



( ) ( )ÔÔÔÓ

ÔÔÔÒ

Ñ

----

--=-

À-ßßàÞ

ÏÏÐÎ

ÜÜÝÛÌÌÍ

Ë�

�-ÜÝÛÌÍ

Ë�

�--

ßßàÞ

ÏÏÐÎ ÜÝ

ÛÌÍË

��-ÜÜÝ

ÛÌÌÍË

��

=-

rrxyyyxx

xyxyyyrr

xyyyxx

xyyxxx

rrxyyyxx

xyy

yyx

rrxyyyxx

xyx

xxy

yBIII

ISISxB

III

ISISqq

yBIII

Iz

MI

zM

xBIII

Iz

MI

z

M

qq

2212

2212

• Assim a fluxo de corte passará a ser dado por:



( )( )

ÜÜÝÛ

ÌÌÍË +-

--ÜÜÝ

ÛÌÌÍË +-

--=

Ê×Ê×

=

=n

rrr

s

Dxyyyxx

xyxyyy

n

rrr

s

Dxyyyxx

xyyxxxs

yBdsytIII

ISIS

xBxdstIII

ISISq

102

102

Calcular a distribuição do fluxo de corte na secção em canal produzido por uma carga de corte de 4.8 kN actuando no seu centro de corte. Assume-se que as paredes da secção apenas resistem a tensões de corte enquanto que os booms, cada um de área de 300 mm2, suportam todas as tensões normais.



• Uma secção de uma viga que tenha sido idealizada dá valores constantes de fluxos de corte na casca entre os booms, a distribuição real do fluxo de corte “perde-se”.



)(

coscos

1212

2

112

2

112

2

1 12

xxqdxqS

dsqSdsqS

x

xx

-==Ã=À=

××× ff

)( 1212 yyqS y -=

1212

212

21212

22 )()(

LqS

yyxxqSSS yx

�=Ã-+-=+=

• O momento Mq produzido pelo fluxo de corte q12 em qualquer ponto no plano da alma é,



× × =Ã== 2

1

2

1 121212 22 AqMdAqpdsqM qq

121212 L

A2eq

SA2

eAq2Se =Ã=À=

Esforços transversos em vigas de secção fechada• Seguindo o mesmo raciocínio podemos chegar à

equação:



( )( )

0,10

2

102

s

n

rrr

s

Dxyyyxx

xyxyyy

n

rrr

s

Dxyyyxx

xyyxxxs

qyBdsytIII

ISIS

xBxdstIII

ISISq

+ÜÜÝÛ

ÌÌÍË +-

--ÜÜÝ

ÛÌÌÍË +-

--=

Ê×Ê×

=

=



A viga unicelular de paredes finas foi modelada numa combinação de booms (tensões directas) e paredes (tensões de corte). Se a secção suporta uma carga vertical de 10 kNactuando num plano vertical que passa pelos booms 3 e 6, calcular a distribuição de fluxo de corte ao longo da secção. Áreas dos booms : B1=B8=200 mm2, B2=B7=250 mm2, B3=B6=400 mm2, B4=B5=100 mm2.

Torção de vigas de secção aberta ou fechada

• Numa viga, qualquer que seja o tipo de secção que apresente, aberto ou fechado, um momento puro de torção não provoca tensões normais a não ser que existam constrangimentos axiais. Assim a distribuição de esforços transversos não é alterada pelo aparecimento dos booms e as análises feitas na secções anteriores aplicam-se.



Deflexões de vigas de secções abertas e fechadas



estrutura de uma avião - fenix.tecnico.ulisboa.pt · • perfis em t, z, i, estruturas...

Documents