est 15 – estruturas aeroespaciais i estruturas aeroespaciais i prof. mauricio v. donadon ita-iea
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EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
ESTRUTURASAEROESPACIAIS I
Prof. Mauricio V. Donadon
ITA-IEA
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Bibliografia Bibliografia
1. Donadon M.V.,“Estruturas Aeroespaciais I”, Notas de Aula, Instituto Tecnológico de Aeronáutica-ITA, 2013.
2. Rizzi, P.,“Estabilidade de Estruturas Aeronáuticas”, Apostila do Curso em Análise Estrutural, Instituto Tecnológico de Aeronáutica-ITA, 2007.
Obs: O material didático completo encontra-se disponível no site do departamento de aeronáutica, ftp://161.24.15.247/Donadon/EST-15
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Capítulo 1Capítulo 1
Teoria de Placas
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
HipótesesHipóteses
• o material é homogêneo e isotrópico
• a placa é fina; isto é, as suas dimensões laterais são muito maiores do que a espessura
• a placa está sujeita a um estado plano de tensões (z = xz = yz = 0)
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
HipótesesHipóteses
• todos os deslocamentos são pequenos comparados com a espessura da placa (|u|, |v|, |w| << h)
• os deslocamentos são contínuos em toda a placa (não há descolamento das camadas)
• os deslocamentos no plano (u, v) variam linearmente ao longo da espessura (u e v, deslocamentos ao longo de x e y, respectivamente, são funções lineares de z)
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
HipótesesHipóteses
• as deformações de cisalhamento transversal são negligenciáveis (xz, yz 0) – isso implica que retas normais à seção transversal continuam normais à seção transversal após a deformação
• as relações tensão-deformação e deslocamentos-deformação são lineares
• a deformação normal z é negligenciável (comparado com x ou y)
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações cinemáticasRelações cinemáticas
x
z
y
DC
BA
x
z
yzb D´
C´
B´A´
w
u0
ubx
xzb
plano médio (xy) ou
plano de referência
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
• a partir das hipóteses formuladas, é possível escrever os deslocamentos de um ponto qualquer na placa em função dos deslocamento do plano médio
• os deslocamentos do plano médio são de dois tipos:
a) deslocamentos de translação (u, v e w)
b) deslocamentos de rotação (x e y)
Deslocamentos do plano médioRelações cinemáticasRelações cinemáticas
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações cinemáticasRelações cinemáticas
• os deslocamentos do plano médio são medidos a partir do plano médio (ou plano de referência)
• os deslocamentos do plano médio dependem apenas das coordenadas x e y (z = 0 no plano médio)
),(),(),(
00
00
00
yxwwyxvvyxuu
Deslocamentos do plano médio
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações cinemáticasRelações cinemáticas
• as rotações do plano médio são medidas a partir do plano médio (ou plano de referência)
• as rotações do plano médio dependem apenas das coordenadas x e y (z = 0 no plano médio)
),(),(
yxyx
yy
xx
Deslocamentos do plano médio
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações cinemáticasRelações cinemáticas
• as rotações do plano médio dependem dos deslocamentos fora do plano w:
yyxwyx
xyxwyx
yy
xx
),(),(
),(),(
0
0
w(x)
x w0
x
Deslocamentos do plano médio
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações cinemáticasRelações cinemáticasDeslocamentos do plano médio
• das hipóteses básicas, os deslocamentos no plano, u e v, variam linearmente ao longo da espessura
• os deslocamentos nas direções x e y de um ponto arbitrário podem ser calculados a partir dos deslocamentos do plano médio
• a função resultante é linear em z
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações cinemáticasRelações cinemáticas
),(),(),,( 0 yxzyxuzyxu xbb
DC
BA
x
z
yzb D´
C´
B´A´
w
u0
ubx
xzb
da figura:
analogamente: ),(),(),,( 0 yxzyxvzyxv ybb
Deslocamentos do plano médio
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações cinemáticasRelações cinemáticas
yyxwzyxvzyxv
xyxwzyxuzyxu
),(),(),,(
),(),(),,(
00
00
• os deslocamentos nas direções x e y de um ponto arbitrário podem então ser calculados a partir dos deslocamentos do plano médio:
),(),,( 0 yxwzyxw também:
Deslocamentos do plano médio
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
• uma vez que os deslocamentos de um ponto arbitrário podem ser escritos em função dos deslocamentos do plano médio, as deformações e tensões num ponto arbitrário também podem ser escritos em função dos deslocamentos do plano médio
• dessa forma o problema que era originalmente tri-dimensional (coordenadas x, y e z) passa a ser bi-dimensional (coordenadas x e y apenas)
Deslocamentos do plano médioRelações cinemáticasRelações cinemáticas
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações deformações-deslocamentosRelações deformações-deslocamentos
• as deformações no plano são dadas por:
xv
yu
yvxu
xy
y
x
yxyxwz
xyxv
yyxuzyx
yyxwz
yyxvzyx
xyxwz
xyxuzyx
xy
y
x
),(2),(),(),,(
),(),(),,(
),(),(),,(
02
00
20
20
20
20
Deslocamentos do plano médio
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações deformações-deslocamentosRelações deformações-deslocamentos
Deslocamentos do plano médio
• as deformações fora do plano são nulas devido às hipóteses básicas consideradas:
0
0
0
yw
yw
zv
xw
xw
zuzw
yyz
xxz
z
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações deformações-deslocamentosRelações deformações-deslocamentos
• agora pode-se definir:
a) deformações no plano ou de membrana
b) curvaturas do plano médio
• as deformações na placa podem ser escritas como uma combinação desses fatores
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações deformações-deslocamentosRelações deformações-deslocamentos
• deformações no plano ou de membrana são deformações do plano médio e portanto só dependem das coordenadas x e y:
xyxv
yyxuyx
yyxvyx
xyxuyx
xy
y
x
),(),(),(
),(),(
),(),(
000
00
00
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações deformações-deslocamentosRelações deformações-deslocamentos
• as curvaturas do plano médio também só dependem das coordenadas x e y:
yxyxwyx
yyxwyx
xyxwyx
xy
y
x
),(2),(
),(),(
),(),(
02
20
2
20
2
• x e y representam o inverso do raio de curvatura do plano médio da placa no ponto (x,y);
• xy representa a torção do plano médio da placa no
ponto (x,y);
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações deformações-deslocamentosRelações deformações-deslocamentos
• usando as definições de deformações e curvaturas do plano médio, as deformações ficam:
),(),(),,(
),(),(),,(
),(),(),,(
0
0
0
yxzyxzyx
yxzyxzyx
yxzyxzyx
xyxyxy
yyy
xxx
yxwz
xv
yu
ywz
yv
xwz
xu
xy
y
x
02
00
20
20
20
20
2
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações deformações-deslocamentosRelações deformações-deslocamentos
• portanto, uma importante conseqüência das hipóteses consideradas é que as deformações variam linearmente ao longo da espessura
),(),(),,(
),(),(),,(
),(),(),,(
0
0
0
yxzyxzyx
yxzyxzyx
yxzyxzyx
xyxyxy
yyy
xxx
z 0forma matricial:
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Relações deformações-deslocamentosRelações deformações-deslocamentos
• as curvaturas do plano médio multiplicadas por z fornecem deformações devido à flexão/torção da placa
• portanto, a mudança de coordenadas do tensor de curvaturas segue o mesmo procedimento usado para deformações
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• uma vez obtidas as deformações pode-se calcular as tensões a partir das relações tensão-deformação
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
x
z
y
zk
plano de referência
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• a relação tensão-deformação na placa é dada por:
xy
y
x
22
22
xy
y
x
12E00
01
E1
E
01
Eν1
E
A
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• substituindo a expressão obtida para as deformações:
A
z 0 AzA 0
• note que todas as tensões acima são calculadas no sistema de referência (xyz)
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• as tensões variam linearmente com z
x
z
distribuição de deformações
z
distribuição de tensões
z
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• os deslocamentos num ponto arbitrário foram escritos em termos de deslocamentos do plano médio
• as deformações num ponto arbitrário foram escritas em termos de deformações e curvaturas do plano médio
• as deformações e curvaturas do plano médio foram escritos em termos de deslocamentos do plano médio
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• as tensões foram escritas em termos da relação tensão-deformação do material e das deformações e curvaturas do plano médio
• portanto, todas as grandezas envolvidas podem ser calculadas a partir dos deslocamentos do plano médio
• o problema foi reduzido de tri-dimensional para bi-dimensional
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• as expressões obtidas para as tensões na espessura da placa
• é necessário definir as “tensões da placa” que devem ser bi-dimensionais
• essas tensões da placa devem poder ser expressas em termos das deformações e curvaturas do plano médio
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
• uma distribuição arbitrária de forças pode ser substituída por uma força e um momento equivalente
• analogamente, uma distribuição arbitrária de tensões pode ser substituída por esforços resultantes (esforços no plano e momentos)
• esses esforços resultantes são grandezas bi-dimensionais
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• os esforços resultantes são equivalentes à distribuição de tensões
x
z
esforços resultantes
Mx
Nx
distribuição de tensões
z
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• Nx é a força resultante equivalente à distribuição de tensões
• Nx tem unidade de força por unidade de comprimento
2/
2/
),,(),(t
txx dzzyxyxN
esforços resultantes
Nx
tt
distribuição de tensões
z
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• Mx é o momento resultante equivalente à distribuição de tensões
• Mx tem unidade de momento por unidade de comprimento
2/
2/
),,(),(t
txx dzzyxzyxM
esforços resultantes
Mx
tt
distribuição de tensões
z
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• a direção positiva de Mx corresponde à direção do momento resultante de uma força xdz positiva para z positivo
z dzdxzxdz
direção positiva
de Mx
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• definição dos esforços resultantes no plano (Nx, Ny e Nxy = Ns):
2/
2/
2/
2/
2/
2/
),,(),(),(
),,(),(
),,(),(
t
tssxy
t
tyy
t
txx
dzzyxyxNyxN
dzzyxyxN
dzzyxyxN
2/
2/
),,(),(t
t
dzzyxyxN
em forma matricial:
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• definição dos momentos resultantes (Mx, My e Mxy = Ms):
2/
2/
2/
2/
2/
2/
),,(),(),(
),,(),(
),,(),(
t
tssxy
t
tyy
t
txx
dzzyxzyxMyxM
dzzyxzyxM
dzzyxzyxM
2/
2/
),,(),(t
t
dzzyxzyxM
em forma matricial:
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
• direção positiva dos esforços resultantes
y
z
x
NsNs Ny
My
Nx
Mx
Ms Ms
t/2
t/2
t = espessura da placa
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
Nomenclatura:• Nx, Ny = esforços resultantes normais por unidade de comprimento
• Nxy = Ns = esforços resultantes de cisalhamento por unidade de comprimento
• Mx, My = momentos resultantes de flexão por unidade de comprimento
• Mxy = Ms = momentos resultantes de torção por unidade de comprimento
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas
nomenclatura:• z = coordenada ao longo da espessura da placa
• t = espessura total da placa
s
y
x
NNN
N
s
y
x
MMM
Mvetor de esfor-
ços resultantes no plano
vetor de momentos
resultantes
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
esforços resultantes na placa:
2/
2/
),,(),(t
t
dzzyxyxN
AzA 0
2
2
0 /t
/t
dzAzAN
tensões na placa :
substituindo:
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
2
2
02
2
0 /t
/t
/t
/t
dzzAdzAzAN
• como a matriz [A] é constante:
• dividindo a integral em duas parcelas:
k
k
k
k
h
h
h
h
dzzdzAN11
0
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
• como {}0 e {} são funções apenas de x e y e independem de z:
2
2
2
2
02
2
2
2
0 /t
/t
/t
/t
/t
/t
/t
/t
dzzdzAdzzdzAN
• calculando as integrais:
220
2221
22 ttttAN
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
• portanto:
0 AtN
220
2221
22 ttttAN
onde t[A] é a matriz de rigidez extensional da placa
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
• a equação acima relaciona os esforços resultantes no plano com as deformações e as curvaturas do plano médio
• a matriz [A] depende somente das propriedades elásticas do material da placa
0 AtN
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
• esforços no plano
0 AtN
0
22
22
1200
011
011
xy
y
x
xy
y
x
E
EE
EE
tNNN
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
• esforços no plano
xyxy
yxy
yxx
EtN
EtN
EtN
12
1
100
2
002
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
os momentos resultantes na placa podem ser calculados de forma análoga:
2/
2/
),,(),(t
t
dzzyxzyxM
2
2
202
2
0 /t
/t
/t
/t
dzAzAzzdzAzAM
tensões na placa:
substituindo: AzA 0
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
k
k
h
h
/t
/t
dzzzAdzAzAzM1
202
2
20
• como a matriz [A] é constante
• dividindo a integral em duas parcelas:
2
2
22
2
0 /t
/t
/t
/t
dzzdzzAM
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
• como {}0 e {} são funções apenas de x e y e independem de z:
2
2
22
2
02
2
22
2
0 /t
/t
/t
/t
/t
/t
/t
/t
dzzdzzAdzzdzzAM
• calculando as integrais:
33220
2231
2221 ttttAM
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
• portanto:
• resultando:
33220
2231
2221 ttttAM
AttttAM 223
1223
1 3333
AtAtM 12
81
81
3
33
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
• a equação relaciona os momentos resultantes com as deformações e as curvaturas do plano médio
• a matriz [D] depende das propriedades elásticas do material e da espessura da placa
AtM12
3
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
• esforços de flexão
xy
y
x
xy
y
x
E
EE
EE
t
MMM
1200
011
011
12 22
22
3
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
• esforços de flexão
xyxy
yxy
yxx
EtM
EtM
EtM
124
112
112
3
2
3
2
3
xyxy
yxy
yxx
DM
DM
DM
21
2
3
112
EtD
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
yxyxwyx
yyxwyx
xyxwyx
xy
y
x
),(2),(
),(),(
),(),(
02
20
2
20
2
• lembrando as definições das curvaturas do plano médio
xyxy
yxy
yxx
DM
DM
DM
21
yx
wDM
yw
xwDM
yw
xwDM
xy
y
x
02
20
2
20
2
20
2
20
2
1
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Rigidez de PlacasRigidez de Placas
• resumindo, as relações entre esforços e momentos resultantes e deformações e curvaturas do plano médio são:
AtM
AtN
12
3
0
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ExemploExemplo
• exemplo: tensões na parede de um cilindro de parede fina de raio r e espessura t sujeito a um carregamento hidrostático
P
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ExemploExemplo
• o carregamento eqüivale ao de um cilindro infinito sujeito a uma pressão interna
• os esforços resultan-tes que agem na parede de um segmento de comprimento l são:
N
N
P
l
lNPDlF
2
r PPDN 2
0sx
NN
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
ExemploExemplo
• como não há flexão as tensões são constantes ao longo da espessura:
010
1trP
NNN
ts
x
s
x
tPr
0 sx
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
ExemploExemplo
• como não há deformações de flexão:
010
1200
011
011
22
22
rP
E
EE
EE
tNNN
s
x
s
x
01
010
1200
01
01
tErP
E
EE
EE
trP
s
x
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
y
z
x
dxx
MM xx
dxx
MM xy
xy
dxx
QQ xx
xyMxQxM
dyy
MM y
y
dyy
QQ y
y
dy
yM
M xyxy
xyMyQ
yM
q
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• equilíbrio de forças na direção z:
0
qdxdydyQdxdyy
QQdyQdydx
xQ
Q yy
yxx
x
0
qdxdydxdy
yQ
dxdyx
Q yx 0
q
yQ
xQ yx
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• equilíbrio de momentos na direção x:
0222
dyqdxdydydyQdydydxx
QQdxdydyy
dxMdydxx
MMdxMdxdy
yM
M
xx
xy
y
xyxy
xyyy
y
022
222
dyqdxdydxx
Qdydxy
Q
dxdyQdxdyx
Mdxdy
yM
xy
yxyy
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• eliminando os infinitésimos de ordem superior:
0
dxdyQdxdy
xM
dxdyy
My
xyy
0
y
xyy Qx
My
M
• simplificando:
yxyy Q
xM
yM
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• equilíbrio de momentos na direção y:
0222
dxqdxdydxdxQdxdxdyy
QQdydxdx
xQQ
dyMdydxx
MMdxMdxdyy
MM
yy
yx
x
xx
xxyxy
xy
022
222
dydxqdydxy
Qdydx
xQ
dxdyQdxdyx
Mdxdyy
M
yx
xxxy
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• eliminando os infinitésimos de ordem superior:
0
xxxy Q
xM
yM
• simplificando:
xxyx Q
yM
xM
0
dxdyQdxdyx
Mdxdyy
Mx
xxy
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• equações de eqüilíbrio:
0
q
yQ
xQ yx
yxyy Q
xM
yM
xxyx Q
yM
xM
• substituindo a segunda e a terceira equações na primeira:
02
222
2
2
q
yM
yxM
yxM
xM yxyxyx
qyM
yxM
xM yxyx
2
22
2
2
2
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• equação de eqüilíbrio da placa:
qyM
yxM
xM yxyx
2
22
2
2
2
yx
wDM
yw
xwDM
yw
xwDM
xy
y
x
02
20
2
20
2
20
2
20
2
1
• equação dos momentos em função dos deslocamentos:
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• substituindo:
qyM
yxM
xM yxyx
2
22
2
2
2
qyw
yxwD
yxwD
yxw
xwD
40
4
220
4
220
4
220
4
40
4
12
Dq
yw
yxw
yxw
yxw
xw
40
4
220
4
220
4
220
4
40
4
12
Dq
yw
yxw
xw
40
4
220
4
40
4
2
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• cálculo dos esforços de cisalhamento:
yyxy
xxyx
Qy
Mx
M
Qy
Mx
M
yx
wDM
yw
xwDM
yw
xwDM
xy
y
x
02
20
2
20
2
20
2
20
2
1
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• cálculo dos esforços de cisalhamento:
20
2
20
20
2
02
20
2
20
2
1
1
yw
xw
xD
yxw
xDQ
yxw
yD
yw
xw
xDQ
y
x
30
3
20
3
20
3
20
3
20
3
30
3
1
1
yw
yxw
yxwDQ
yxw
yxw
xwDQ
y
x
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• cálculo dos esforços de cisalhamento:
20
2
20
2
30
3
20
3
20
2
20
2
20
3
30
3
yw
xw
yD
yw
yxwDQ
yw
xw
xD
yxw
xwDQ
y
x
• todos os esforços resultantes (Mx, My, Mxy, Qx e Qy) podem ser calculados a partir de w0(x,y).
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
y
z
x
a b
• condições de contorno:
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• condições de contorno:
• placa simplesmente apoiada em x = 0:
00 y,w
000
2
2
2
2
x
x yw
xwDy,M
1)
2)
00
2
2
0
xx yw
yw
00
2
2
xxw
• resumindo: 00 y,w 00
2
2
xxwe
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• condições de contorno:
• placa engastada em x = 0:
00 y,w1)
2) 00
xxw
• resumindo: 00 y,w 00
xxwe
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura
• condições de contorno:
• placa livre em x = 0:
1)
2)
• as condições de contorno para arestas livres são obtidas a partir de análise variacional
000
2
2
2
2
x
x yw
xwDy,M 0
02
2
2
2
xyw
xw
00
x
xyx y
MQ 02
02
3
3
3
xyxw
xw
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão Pura – Sol. NavierPlacas submetidas a Flexão Pura – Sol. Navier
• solução pelo método de Navier: D
y,xqyw
yxw
xw
40
4
220
4
40
4
2
• condições de contorno (placa simplesmente apoiada em x = 0, x = a, y = 0 e y = b): 00 y,w 0y,aw 00 ,xw 0b,xw
00
2
2
xxw 02
2
axxw 0
02
2
yyw
02
2
byyw
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão Pura – Sol. NavierPlacas submetidas a Flexão Pura – Sol. Navier
• metodologia:
1) assumir solução do tipo:
2) expandir o carregamento de pressão como:
• solução pelo método de Navier:
bynsin
axmsinAy,xw
m nmn
1 1
bynsin
axmsinay,xq
m nmn
1 1
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão Pura – Sol. NavierPlacas submetidas a Flexão Pura – Sol. Navier
3) calcular os valores de amn
4) substituir a expressão assumida para w(x,y) na equação diferencial e obter Amn
• solução pelo método de Navier:
NOTA: a expressão assumida para w(x,y) obedece todas as condições de contorno do problema
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão Pura – Sol. NavierPlacas submetidas a Flexão Pura – Sol. Navier
• solução pelo método de Navier:• para o cálculo de amn usa-se as seguintes relações:
mma
mmdx
axmsin
axmsin
a
se 2
se 0
0
nnb
nndy
bxnsin
bxnsin
b
se 2
se 0
0
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão Pura – Sol. NavierPlacas submetidas a Flexão Pura – Sol. Navier
• solução pelo método de Navier:
• da equação acima:
bynsin
axmsinay,xq
m nmn
1 1
dxdyb
ynsinb
ynsina
xmsina
xmsinadxdyb
ynsina
xmsiny,xqm n
a b
mn
a b
1 1 0 00 0
1 1 000 0 m n
ba
mn
a b
dyb
ynsinb
ynsindxa
xmsina
xmsinadxdyb
ynsina
xmsiny,xq
4220 0
ababaadxdyb
ynsina
xmsiny,xq nmnm
a b
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão Pura – Sol. NavierPlacas submetidas a Flexão Pura – Sol. Navier
• solução pelo método de Navier:
• a equação acima permite calcular os coeficientes da expansão de q(x,y)
40 0
abadxdyb
ynsina
xmsiny,xq nm
a b
dxdyb
ynsina
xmsiny,xqab
aa b
nm
0 0
4
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão Pura – Sol. NavierPlacas submetidas a Flexão Pura – Sol. Navier
• solução pelo método de Navier:• substituindo as expressões de w(x,y) e q(x,y) na equação diferencial de eqüilíbrio:
bynsin
axmsinay,xq
m nmn
1 1
bynsin
axmsinAy,xw
m nmn
1 1
D
y,xqyw
yxw
xw
40
4
220
4
40
4
2
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão Pura – Sol. NavierPlacas submetidas a Flexão Pura – Sol. Navier
• solução pelo método de Navier:
• o resultado da substituição fornece:
021 1
4224
bynsin
axmsin
Da
bn
bn
am
amA
m n
mnmn
• a equação acima é válida para qualquer x e y:
024224
Da
bn
bn
am
amA mn
mn
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão Pura – Sol. NavierPlacas submetidas a Flexão Pura – Sol. Navier
• solução pelo método de Navier:
• simplificando:
024224
Da
bn
bn
am
amA mn
mn
Da
bn
amA mn
mn
222 2224
1
bn
am
aD
A mnmn
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
Placas submetidas a Flexão Pura – Sol. NavierPlacas submetidas a Flexão Pura – Sol. Navier
• solução pelo método de Navier:
• a solução final é:
2224
1
bn
am
aD
A mnmn
bynsin
axmsin
bn
am
aD
y,xwm n
mn 1 1
2224
1
EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I
• solução pelo método de Navier:
• na equação anterior, amn é calculado como:
dxdyb
ynsina
xmsiny,xqab
aa b
mn
0 0
4
• é importante ressaltar que a solução encontrada só é aplicável a placas uniformes simplesmente apoiadas em todas as arestas
Placas submetidas a Flexão Pura – Sol. NavierPlacas submetidas a Flexão Pura – Sol. Navier