considerações acerca da configuração -...

Placas

Placas e Cascas (10377/10397)

2018

Pedro V. Gamboa Departamento de Ciências Aeroespaciais

Faculdade de Engenharia

Universidade da Beira Interior

Placas e Cascas – 2008-2018

Departamento de Ciências Aeroespaciais

Pedro V. Gamboa 2

1. Teoria de flexão de placas

• Uma placa é um corpo tridimensional com:

– uma das suas dimensões muito menor do que as outras duas

– a curvatura da sua superfície média na configuração de referência é nula

• Exemplos de placas:

– Tampos de mesas

– Tampas de esgoto

– Painéis laterais e telhados de edifícios

– Discos de turbinas

– Fundos de tanques

– Chão de cabinas de aeronaves

superfície média





Pedro V. Gamboa 3

1. Teoria de flexão de placas 1.1. Introdução

• As placas podem classificar-se em 3 grupos:

– Placas finas com deflexões pequenas

– Placas finas com deflexões grandes

– Placas espessas

• Consideram-se placas finas quando a razão da espessura pelo

lado menor é inferior a 1/20

• Interesse em conhecer a relação entre forças e momentos

externos e deformações, tensões e deslocamentos:

– Forças de superfície:

• Forças concentradas quando atuam num ponto

• Forças distribuídas arbitrariamente por uma área finita

– Forças do corpo:

• Forças que atuam nos elementos volumétricos da placa

• Resultam de campos gravíticos ou magnéticos e, no caso de haver movimento,

da inércia da placa





Pedro V. Gamboa 4

1. Teoria de flexão de placas 1.1. Introdução

• O primeiro estudo significativo das placas deu-se no anos de

1800

• Desde então, foram resolvidos muitos problemas de flexão de

placas:

– A teoria fundamental:

• Kirchhoff

• Reissner-Mindlin

• Navier

• Lévy

– Resoluções numéricas:

• Galerkin

• Wahl





Pedro V. Gamboa 5

1. Teoria de flexão de placas 1.2. Comportamento geral de placas

Considere uma placa não carregada onde o plano xy coincide

com o plano médio sendo, assim, a deflexão em z igual a zero.

As componentes do deslocamento num ponto nas direções x, y e

z são u, v e w, respetivamente.

Quando, devido a carregamentos laterais/transversais, existe

deformação, a superfície média num ponto qualquer (xa,ya) tem

deflexão w.

Os pressupostos fundamentais da teoria de flexão com deflexões

pequenas (teoria clássica de placas isotrópicas, homogéneas e

finas) baseia-se na geometria das deformações.





Pedro V. Gamboa 6






Pedro V. Gamboa 7


Hipóteses de Kirchhoff (pressupostos fundamentais):

1. A deflexão da superfície média é pequena comparada com a

espessura da placa. O declive da superfície defletida é, portanto,

muito pequeno e o quadrado do declive é desprezável comparado

com a unidade;

2. O plano médio permanece sem extensão após a flexão;

3. Secções planas inicialmente normais à superfície média

permanecem planas e normais à superfície após a flexão. Isto

indica que as extensões de corte verticais, gxz e gyz, são

desprezáveis. A deflexão da placa está, assim, principalmente

associada às extensões de flexão. Conclui-se que a extensão normal

ez resultante do carregamento transversal pode ser omitido;

4. A tensão normal ao plano médio, sz, é pequena comparada com as

outras componentes e pode ser desprezada. Esta suposição torna-se

irrealista na proximidade de cargas concentradas elevadas.





Pedro V. Gamboa 8

1. Teoria de flexão de placas 1.3. Relações extensão-curvatura

Por forma a perceber o problema de flexão da placa considere-

se a geometria de deformação.

Como consequência do pressuposto (3), as relações de extensão-

deslocamento são

onde gyx=gxy, gzx=gxz e gzy=gyz.

Integrando a equação de ez, tem-se

indicando que a deflexão lateral não varia na espessura da

placa.

0;;

z

w

y

v

x

uzyx eee

0;0;

z

v

y

w

z

u

x

w

x

v

y

uyzxzxy ggg

yxww ,





Pedro V. Gamboa 9


Da mesma forma, integrando as expressões de gxz e gyz tem-se

Torna-se claro que u0(x,y) e v0(x,y) representam,

respetivamente, os valores de u e de v na superfície média.

Com base no pressuposto (2) conclui-se que u0=v0=0. Assim,

Estas equações estão de acordo com o pressuposto (3).

Substituindo estas equações nas equações das extensões obtém-

se

yxvy

wzvyxu

x

wzu ,;, 00

y

wzv

x

wzu

;

yx

wz

y

wz

x

wz xyyx

2

2

2

2

2

2;; gee





Pedro V. Gamboa 10


A curvatura de uma curva plana é definida como a taxa de

variação do ângulo do declive da curva em relação à distância ao

longo da curva.

Devido ao pressuposto (1), o quadrado dum declive pode ser

considerado desprezável e as derivadas parciais das equações

anteriores representam as curvaturas da placa.

Assim, as curvaturas k na superfície média em planos paralelos

ao plano xz, yz e xy são, respectivamente,

onde kxy=kyx.

A última expressão também é conhecida como a torção do plano

médio em relação aos eixos x e y.

xy

xy

y

y

x

x y

w

xry

w

yrx

w

xrkkk

1;

1;

1





Pedro V. Gamboa 11


Assim, as relações extensão-curvatura da placa podem

representar-se na seguinte forma

xyxyyyxx zzz kgkeke 2;;





Pedro V. Gamboa 12

1. Teoria de flexão de placas 1.4. Tensões e resultantes de tensões

No caso de um estado de tensão tridimensional, as tensões e as

extensões estão relacionadas pela lei de Hook generalizada,

válida para um material isotrópico homogéneo:

onde tyx=txy, tzx=txz e tzy=tyz.

E é o módulo elástico longitudinal, n é o coeficiente de Poisson e

G é o módulo elástico transversal dado por

yxzzzxyyzyxxEEE

ssnsessnsessnse 1

;1

;1

GGG

yz

yzxz

xz

xy

xy

tg

tg

tg ;;

n

12

EG





Pedro V. Gamboa 13


Substituindo ez=gyz=gxz=0, obtêm-se as relações tensão-extensão

da placa fina:

Introduzindo as curvaturas da placa, estas expressões ficam com

a forma seguinte

xyxyxyyyxx GEE

gtneen

sneen

s

;1

;1 22

2

2

2

2

22 11 y

w

x

wEzEzyxx n

nnkk

ns

2

2

2

2

22 11 x

w

y

wEzEzxyy n

nnkk

ns

yx

wEzEzxyxy

2

11 nk

nt





Pedro V. Gamboa 14


Pode ver-se que a tensão desaparece na superfície média e varia

linearmente ao longo da espessura da placa.

As tensões distribuídas pela espessura da placa produzem

momentos fletores, momentos torsores e forças de corte

verticais.

Estes momentos e forças por unidade de comprimento são

conhecidas por resultantes de tensões.





Pedro V. Gamboa 15


Da figura anterior, para a tensão sx, tem-se

Da mesma forma, para as outras tensões obtêm-se as seguintes

resultantes de tensão:

onde Mxy=Myx.

dyMdzzdydydzz x

t

tx

t

tx

2

2

2

2ss

2

2

t

t

xy

y

x

xy

y

x

zdz

M

M

M

t

s

s





Pedro V. Gamboa 16


Para as forças de corte por unidade de comprimento, tem-se

É importante notar que apesar da teoria de placas finas omitir o

efeito das deformações gxz=txz/G e gyz=tyz/G na flexão, as forças

verticais Qx e Qy não são desprezáveis.

Substituindo as equações das tensões em função dos

deslocamentos nas equações dos momentos podemos derivar as

fórmulas dos momentos fletores e torsores em função das

curvaturas e deflexões:

2

2

t

tyz

xz

y

xdz

Q

Q

t

t





Pedro V. Gamboa 17


onde D é a rigidez de flexão dada por

As forças de corte verticais Qx e Qy serão obtidas mais tarde.

2

3

112 n

EtD

2

2

2

2

y

w

x

wDDM yxx nnkk

2

2

2

2

x

w

y

wDDM xyy nnkk

yx

wDDM xyxy

2

11 nkn





Pedro V. Gamboa 18


Substituindo as equações dos momentos nas equações das

tensões pode obter-se as tensões em função dos momentos

A tensão máxima ocorre nas superfícies superior e inferior (em

z=±t/2) da placa.

Desta análise pode observar-se que existe uma correspondência

direta entre os momentos e as tensões.

Daqui se conclui que as equações de transformação das tensões

e dos momentos são análogas.

A análise do círculo de Mohr e todas as conclusões sobre as

tensões também se aplicam aos momentos.

333

12;

12;

12

t

zM

t

zM

t

zM xy

xy

y

yx

x tss





Pedro V. Gamboa 19


A determinação das tensões sz, txz e tyz através da lei de Hook

não é possível porque não se relacionam com as extensões.

As equações diferenciais de equilíbrio de um elemento de placa

sujeito a um estado de tensão genérico podem ser usadas para

obter as tensões de corte.

As equações de equilíbrio são

0

0

0

yxz

zxy

zyx

yzxzz

yzxyy

xzxyx

tts

tts

tts





Pedro V. Gamboa 20


Das duas primeiras equações as tensões de corte txz e tyz são,

depois de integrar,

Pode observar-se que as distribuições de txz e tyz na espessura da

placa variam de acordo com uma lei parabólica.

A componente sz pode calcular-se usando a terceira equação de

equilíbrio, substituindo para txz e tyz e integrando.

2

2

2

22

2

2

2

412 y

w

x

w

xz

tEdz

yx

t

z

xyxxz

n

tst

2

2

2

22

2

2

2

412 y

w

x

w

yz

tEdz

xy

t

z

xyxyz

n

tst





Pedro V. Gamboa 21


A tensão normal sz varia na forma de uma equação cúbica ao

longo da espessura da placa.

Esta tensão é desprezável de acordo com o pressuposto (4).

As tensões de corte na direção z também são consideradas muito

pequenas quando comparadas com as outras tensões.

2

2

2

2

2

2

2

2323

2 341212 y

w

x

w

yx

zzttEz

ns





Pedro V. Gamboa 22

1. Teoria de flexão de placas 1.5. Variação da tensão dentro da placa

As componentes da tensão (e consequentemente as resultantes

de tensão) variam, geralmente, de ponto para ponto numa placa

carregada.

Estas variações são governadas pelas condições de equilíbrio da

estática.

O cumprimento destas condições estabelece certas relações

conhecidas por equações de equilíbrio.

Considere um elemento dxdy da placa sujeito a um

carregamento por unidade de área uniformemente distribuído,

p.





Pedro V. Gamboa 23


Assume-se que a inclusão do peso da placa, sendo um valor

pequeno, no carregamento p não afeta a precisão do resultado.





Pedro V. Gamboa 24


Uma vez que o elemento da placa é muito pequeno, por

simplicidade, assume-se que as componentes de força e de

momento estão distribuídas uniformemente em cada uma das

faces.

Na figura elas estão representadas por um vetor único aplicado

no centro de cada face, representando os valores médios.

Com uma mudança de posição, por exemplo da face esquerda

para a face direita, a componente do momento Mx que atua na

face negativa de x varia em valor relativamente à face positiva

de x. Esta variação pode ser representada por uma série de

Taylor truncada na primeira derivada

dxx

MM x

x





Pedro V. Gamboa 25


Usa-se a derivada parcial pois Mx é função de x e y.

Truntando todas as componentes de forma similar, obtém-se o

estado das resultantes de tensão a partir da figura.

Como o somatório das forças na direcção z tem que ser zero

obtém-se

ou seja

0

pdxdydxdy

y

Qdxdy

x

Q yx

0

p

y

Q

x

Q yx





Pedro V. Gamboa 26


O equilíbrio dos momentos em torno de x é governado por

ou

Os produtos dos termos infinitesimais, como o momento de p,

foram omitidos.

Da mesma forma, do equilíbrio dos momentos em torno de y

tem-se

0

dxdyQdxdy

y

Mdxdy

x

My

yxy

0

y

yxyQ

y

M

x

M

0

x

xxyQ

x

M

y

M





Pedro V. Gamboa 27


Finalmente, resolvendo as equações do equilíbrio dos momentos

em ordem às forças por unidade de comprimento e substituíndo

os resultados na equação do equilíbrio da força anterior resulta

em

Esta é a equação diferencial de equilíbrio para a flexão de

placas finas.

py

M

yx

M

x

M yxyx

2

22

2

2

2





Pedro V. Gamboa 28


Agora podem escrever-se expressões para as forças de corte

verticais Qx e Qy em função da deflexão w, usando as equações

acima para Qx e Qy juntamente com o resultado dos momentos

da secção 1.4:

onde

é o operador de Laplace.

wx

Dy

w

x

w

xDQx

2

2

2

2

2

wy

Dx

w

y

w

yDQy

2

2

2

2

2

2

2

2

22

yx





Pedro V. Gamboa 29


Uma vez que a equação diferencial de equilíbrio da flexão de

placas contém 3 incógnitas, Mx, My e Mxy, não é possível obter

uma solução diretamente.

Os problemas de placas são, internamente, estaticamente

indeterminados.

Para reduzir o problema a uma incógnita é necessário usar as

relações momento-deslocamento.





Pedro V. Gamboa 30

1. Teoria de flexão de placas 1.6. A equação da placa

A equação diferencial básica para a deflexão de placas pode ser

facilmente derivada com base nos resultados obtidos

anteriormente.

Introduzindo na equação diferencial de equilíbrio as expressões

para Mx, My e Mxy tem-se

Agrupando os termos

px

w

y

w

yD

yx

w

yxD

y

w

x

w

xD

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

12 nnn

D

p

yx

w

yx

w

yx

w

y

w

yx

w

x

w

22

4

22

4

22

4

4

4

22

4

4

4

22 n

0





Pedro V. Gamboa 31


e, finalmente

Esta equação, que foi derivada pela primeira vez por Lagrange

em 1811, pode ser escrita numa forma compacta

onde

Esta equação é a equação diferencial para a deflexão de placas

finas.

D

p

y

w

yx

w

x

w

4

4

22

4

4

4

2

D

pw 4

22224





Pedro V. Gamboa 32


Para determinar w, é necessário integrar esta equação com as

constantes de integração dependentes das condições de

fronteira apropriadas (ver secção seguinte).

Esta equação também pode ser escrita em função das

curvaturas:

Quando não existe carregamento lateral na placa a equação

reduz para

ou

D

p

yyxx

yxyx

2

22

2

2

2kkk

024

4

22

4

4

4

y

w

yx

w

x

w

04 w





Pedro V. Gamboa 33


Substituindo as equações das forças de corte verticais e a

equação diferencial da deflexão nas equações das tensões tzx, tyx

e sz obtém-se para estas tensões

A tensão de corte máxima, à semelhança de uma viga com

secção retangular, ocorre em z=0.

2

3

22

2

21

2

3112

412 t

z

t

Q

Et

Qz

tE xxxz

n

nt

2

3

22

2

21

2

3112

412 t

z

t

Q

Et

Qz

tE yy

yz

n

nt

3

3

2323

2

2

3

12

3

2

4

3112

341212 t

z

t

zp

Et

pzzttEz

n

ns





Pedro V. Gamboa 34


Esta pode ser representada pelas equações

Assim, a chave para determinar as componentes da tensão,

usando as fórmulas derivadas, é a solução da equação diferencial

da deflexão para w.

Outra forma de obter a equação diferencial da deflexão, é

igualar a tensão normal à placa ao carregamento superfical por

unidade de superfície na superfície superior da placa.

Assim, com z=t/2 e sz=-p, e usando a equação de sz tem-se

t

Q

t

Q y

yzx

xz2

3;

2

3max,max, tt

pw

Et

4

2

3

112 n





Pedro V. Gamboa 35


É significativo notar que a soma das componentes do momento

fletor é invariante.

Isto é

Definindo M, a função momento ou a soma do momento, por

as expressões para as forças de corte podem ser reescritas na

seguinte forma

wDy

w

x

wDMM yx

2

2

2

2

2

11

nn

wDMM

Myx 2

1

n

y

MQ

x

MQ yx

;





Pedro V. Gamboa 36


Asim, pode escrever-se a equação da placa em duas equações.

A primeira, usando a equação do equilíbrio das forças verticais e

a função momento, é

A segunda, usando a definição de função momento, é

Assim, reduz-se a equação da placa a duas equações diferenciais

parciais de segunda ordem que é por vezes preferível,

dependendo do método de solução usado.

py

M

x

M

2

2

2

2

D

M

y

w

x

w

2

2

2

2





Pedro V. Gamboa 37


Sabendo o carregamento e as condições de fronteira, pode

obter-se M da primeira equação e depois a segunda equação

fornece w.

Pode ser demonstrado que as equações acima têm a mesma

forma que as equações que descrevem a deflexão de uma

membrana esticada uniformemente e carregada lateralmente.

Desta forma, existe uma analogia entre a flexão de uma placa e

problemas de membrana, o que permite derivar inúmeras

técnicas experimentais e técnicas numéricas aproximadas.





Pedro V. Gamboa 38

1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira

A equação diferencial de equilíbrio derivada anteriormente tem

que ser satisfeita dentro da placa.

A distribuição de tensão na placa também tem que ser tal que

acomode as condições de equilíbrio em relação às forças ou

deslocamentos impostos na fronteira.

A solução da equação da placa requer que duas condições de

fronteira sejam satisfeitas em cada extremidade.

Estas podem ser uma dada deflexão e declive, ou força e

momento, ou uma combinação.

A diferença básica entre as condições de fronteira aplicadas na

placa e as das vigas é a existência de momentos torsores ao

longo das extremidades da placa.

Estes momentos podem ser substituídos por forças equivalentes.





Pedro V. Gamboa 39


Vamos considerar as condições

de fronteira de uma placa

retangular com extremidades a

e b paralelas aos eixos x e y,

respetivamente.

Considerando dois

comprimentos elementares

sucessivos dy na extremidade

x=a, pode ver-se que, no

elemento do lado direito atua

um momento de torção Mxydy,

enquanto que no do lado

esquerdo atua um momento

. dydyyMM xyxy





Pedro V. Gamboa 40


Na figura, os momentos estão representados como binários de

forças estaticamente equivalentes.

Assim, numa região infinitesimal da extremidade dentro da linha

a traço interrompido, pode ver-se a força para cima Mxy e a

força para baixo .

A soma algébrica destas forças pode ser adicionada à força de

corte Qx para produzir uma força transversal efetiva, por

unidade de comprimento, para uma extremidade paralela ao

eixo y, Vx.

Assim

dyyMM xyxy

2

3

3

3

2yx

w

x

wD

y

MQV

xy

xx n





Pedro V. Gamboa 41


De forma similar, pode obter-se, para uma extremidade paralela

ao eixo x, que

As equações acima devem-se a Kirchhoff: uma distribuição de

Mxy ao longo de uma extremidade é estaticamente equivalente a

uma distribuição de forças de corte.

Para além destas forças nas extremidades, também podem

existir forças concentradas, Fc, produzidas nos cantos.

yx

w

y

wD

x

MQV

xy

yy 2

3

3

3

2 n





Pedro V. Gamboa 42


Considerando, por exemplo, o caso de uma placa retangular com

carregamento uniforme e com apoios simples nas extremidades,

a ação dos momentos torsores no canto (a,b) é, sabendo que

Mxy=Myx,

O sinal negativo indica o sentido para cima.

Devido à simetria do carregamento uniforme, esta força tem que

ter a mesma magnitude e sentido em todos os cantos da placa.

Assim, se estes não forem fixos, os cantos da placa descrita

tendem a levantar.

yx

wDMF xyc

2

122 n





Pedro V. Gamboa 43


As forças adicionais dos cantos para placas com diferentes

condições nas extremidades podem ser obtidas de maneira

similar; por exemplo, quando duas extremidades adjacentes

estão fixas ou livres, tem-se Fc=0, pois ao longo destas

extremidades não existe momento torsor.

Agora, pode formular-se uma variedade de situações

normalmente encontradas.

As condições de fronteira ao longo da extremidade x=a de uma

placa retangular com extremidades paralelas aos eixos x e y são

descritas em seguida.





Pedro V. Gamboa 44


Extremidade embutida ou encastrada:

Neste caso, tanto a deflexão como o declive desaparecem na

extremidade considerada, isto é

axx

ww

;0;0





Pedro V. Gamboa 45


Extremidade com apoio simples:

Neste caso, tem-se deflexão e momento fletor igual a zero na

extremidade em questão. Assim

A primeira destas equações implica que ao

longo da extremidade x=a

Desta forma as condições de fronteira podem

ter a forma equivalente

0;02

2

y

w

y

w

axx

ww

;0;0

2

2

axy

w

x

wMw x

;0;0

2

2

2

2

n





Pedro V. Gamboa 46


Extremidade livre:

Neste caso, tem-se momento fletor e força de corte vertical

igual a zero na extremidade em questão. Isto é

axyx

w

x

w

y

w

x

w

;02;0

2

3

3

3

2

2

2

2

nn





Pedro V. Gamboa 47


Extremidade deslisante:

Neste caso, a extremidade é livre de se mover verticalmente,

mas a rotação não é permitida. O apoio não é capaz de resistir a

qualquer força de corte. Logo

Esta condição é equivalente a uma condição

de simetria.

axyx

w

x

w

x

w

;02;0

2

3

3

3

n





Pedro V. Gamboa 48


Outros tipos de condições de fronteira podem ser analisados de

forma idêntica.

Pode observar-se que as condições de fronteira podem ser de

dois tipos básicos:

– Uma condição de fronteira geométrica ou cinemática descreve

constrangimentos das extremidades relacionados com deflexão

ou declive;

– Uma condição de fronteira estática iguala as forças internas (ou

momentos) nas extremidades da placa às forças de corte

externas (ou momentos) dadas.

Desta forma, numa extremidade encastrada as duas condições

são cinemáticas; numa extremidade livre as duas condições são

estáticas; nas extremidades de apoio simples e deslizante as

consições são mistas.





Pedro V. Gamboa 49


Em vez de especificar condições de fronteira homogéneas, é

possível especificar outros valores de corte, momento, rotação

ou deslocamento.

Nestes casos, condições de fronteira não homogénias são

representadas substituindo os zeros das condições acima por

valores especificados.





Pedro V. Gamboa 50

1. Teoria de flexão de placas 1.8. Solução da deflexão de placas

Com a equação fundamental da placa obtêm-se deflexões de

placas mas com dificuldade considerável.

É comum obter uma solução usando o método inverso. Neste

método, parte-se de uma solução assumida para w que satisfaça

a equação fundamental e as condições de fronteira.

Podem ser analisados alguns casos com a utilização de

polinómios para w em x e y com coeficientes indeterminados.

Normalmente, não é trivial escolher séries com uma forma

aceitável.

O método deste tipo mais comum é o das séries de Fourier, em

que, tendo obtido uma solução para o carregamento sinusoidal,

qualquer outro carregamento pode ser analisado através de

séries infinitas.





Pedro V. Gamboa 51


Este método apresenta uma vantagem importante que consiste

no facto de uma única expressão ser aplicada em toda a

superfície da placa.

Os métodos de energia devem ser usados na análise de casos

gerais.

Estes dois métodos têm duas funções:

– Podem fornecer soluções “exatas” quando as configurações do

carregamento e geoemtria são simples;

– Podem ser usadas como base para técnicas aproximadas através

da análise numérica aplicada a problemas mais reais.

Outro método usado para resolver a equação da placa é o

método das diferenças finitas. Neste caso as equações são

substituídas por expressões de diferenças finitas que relacionam

w (e M) em nós distanciados por um comprimento finito.





Pedro V. Gamboa 52


As equações, neste caso, só podem ser resolvidas

numericamente.





Pedro V. Gamboa 53


Exemplo 1.01: Determine a deflexão e a tensão numa placa

retangular muito comprida e estreita (a>>b) que tem apoios

simples nas extremidades y=0 e y=b nas seguintes condições:

a) A placa suporta um carregamento não uniforme dado por

onde a constante p0 representa a intensidade do carregamento

ao longo da linha y=b/2, paralela ao eixo x

b) A placa suporta um carregamento uniforme de p0.

b

ypyp

sin0





Pedro V. Gamboa 54


Exemplo 1.02: Uma placa retangular de um poço de elevador

está sujeita a momentos fletores uniformemente distribuídos

Mx=Mb e My=Ma, aplicados ao longo das suas extremidades ,

conforme mostrado na figura.

Derive a equação que governa a deflexão da superfície nos

seguintes casos:

a) Ma≠Mb;

b) Ma=-Mb.





Pedro V. Gamboa 55

1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão

Como alternativa aos métodos de equilíbrio, a análise da

deformação e da tensão num corpo elástico pode ser feita

através de métodos de energia.

Estas duas técnicas são, respetivamente, análises newtoniana e

lagrangiana da mecânica.

Esta última, é estimada devido ao facto de que a equação

fundamental de um corpo elástico pode ser derivada através da

minimização da energia associada à deformação e ao

carregamento.

Os métodos de energia são úteis em situações que envolvem

formas irregulares, carregamentos não uniformes, secções

transversais variáveis e materiais anisotrópicos.

Vamos começar por ver as técnicas de energia através do caso

de placas finas.





Pedro V. Gamboa 56


A energia de extensão guardada dentro de um corpo elástico,

para um estado de tensão genérico, é dada por

A integração extende-se a todo o volume do corpo.

Com base nos pressupostos da secção 1.2, para placas finas sz,

gxz e gyz podem ser omitidos.

Assim, introduzindo a lei de Hook, a expressão acima reduz à

seguinte forma, que envolve apenas tensões e constantes

elásticas,

ou

V

yzyzxzxzxyxyzzyyxx dxdydzU gtgtgteseses2

1

V

xy

xyxyyyxx dxdydzGEE

Ut

tnsssnsss11

2

1





Pedro V. Gamboa 57


Para uma placa com espessura constante, esta equação pode ser

escrita em termos da deflexão w com a ajuda das equações que

relacionam a tensão com a deflexão. Assim, com dV=dxdydz,

Integrando em z desde –t/2 a t/2 obtém-se

onde A representa a área da superfície da placa.

V

xyxyxx dxdydzGE

U 222

2

12

2

1tssnss

V

dVzyx

w

y

w

y

w

x

w

x

wEU 2

222

2

2

2

2

2

22

2

2

2122

12

1nn

n

A

dxdyyx

w

y

w

x

w

y

w

x

wDU

22

2

2

2

22

2

22

2

2

1222

1nn





Pedro V. Gamboa 58


Alternativamente, a equação da energia pode ser escrita na

forma

O segundo termo desta equação é conhecido como a curvatura

gaussiana.

Pode observar-se que a energia de extensão é uma função não

linear (quadrática) da deformação ou tensão.

Desta forma, o princípio da sobreposição não é válido para a

energia de extensão.

Estas equações são úteis na formulação de várias técnicas de

energia e de vários métodos de elementos finitos.

A

dxdyyx

w

y

w

x

w

y

w

x

wDU

22

2

2

2

22

2

2

2

2

122

1n





Pedro V. Gamboa 59


Em seguida vamos ver alguns métodos comuns de energia de

extensão baseados na energia potencial e na variação da

deformação de um corpo elástico.





Pedro V. Gamboa 60


Princípio do trabalho virtual

Suponha-se que um corpo elástico sofre um deslocamento

incremental arbitrário, ou seja, um deslocamento virtual.

Este deslocamento não precisa de existir nem tão pouco de ser

infinitesimal.

Quando se considera o deslocamento infinitesimal, como é

prática comum, é razoável considerar que o sistema de forças

que atua no corpo é constante.

O trabalho virtual realizado pelas forças de superfície T por

unidade de área no corpo no processo de levar o corpo do seu

estado inicial para o estado de equilíbrio é

A

zyx dAwTvTuTW





Pedro V. Gamboa 61


Aqui A é a área limite da superfície e u, v e w são os

deslocamentos virtuais nas direções x, y e z, respetivamente.

A notação indica uma variação de um parâmetro.

A energia de extensão U adquirida por um corpo de volume V

como resultado da extensão virtual

O trabalho total realizado durante o deslocamento virtual é

zero, ou

Assim, o princípio do trabalho virtual de um corpo elástico é

V

yzyzxzxzxyxyzzyyxx dVU gtgtgteseses2

1

0 WU

WU





Pedro V. Gamboa 62


Princípio da energia potencial mínima

Desde que os deslocamentos virtuais não alterem a forma do

corpo e que as forças de superfície sejam consideradas

constantes a equação anterior pode ser escrita na seguinte

forma:

Nesta expressão

representa a energia potencial do corpo.

A primeira equação representa a condição de energia potencial

estacionária do sistema.

Para um equilíbrio estável a energia potencial tem que ser

mínima.

0 WU

WU





Pedro V. Gamboa 63


Para todos os deslocamentos que satisfaçam as condições de

fronteira e as condições de equilíbrio, a energia potencial

assume um valor mínimo.

Este princípio chame-se o princípio da energia potencial mínima.

A energia potencial guardada numa placa sujeita a um

carregamento transversal distribuído p(x,y) é

No caso da placa ter uma espessura constante, esta equação

pode ser escrita

Pode explicar-se fisicamente os termos de U na expressão acima.

V A

xyxyyyxx dxdypwdxdydzgteses2

1

AA

xyxyyyxx dxdypwdxdyMMM kkk2

1





Pedro V. Gamboa 64


Como 2w/x2=kx representa a curvatura da placa no plano xy, o

ângulo que corresponde ao momento Mxdy é igual a –

(2w/x2)dx.

A energia de extensão ou o trabalho realizado pelo momento Mx

é então -0.5Mxkxdxdy.

A energia de extensão resultante dos momentos Mydx e Mxydy

são interpretados da mesma forma.

O princípio da energia potencial é expressa na seguinte forma:

AA

xyxyyyxx dxdywpdxdyMMM kkk2

1





Pedro V. Gamboa 65


Método de Ritz

O método de Ritz é um procedimento conveniente para

determinar soluções com o princípio da energia potencial

mínima.

Este método é descrito para o caso da flexão elástica de placas.

Primeiro escolhe-se uma solução para a deflexão w na forma de

uma série que contém os parâmetros indeterminados amn

(m,n=1,2,...).

A deflexão escolhida tem que satisfazer as condições de

fronteira geométricas.

As condições de fronteira estáticas não precisam de ser

respeitadas.





Pedro V. Gamboa 66


Obviamente, uma escolha apropriada para a expressão da

deflexão é importante para que se obtenha uma solução precisa.

Por isso, é desejável assumir uma expressão para w que seja

quase idêntica à verdadeira superfície defletida da placa.

Depois, usando a solução selecionada, determina-se a energia

potencial em termos de amn.

Para que a energia potencial seja mínima no equilíbrio tem que

se ter

Desta forma tem-se um sistema de equações algébricas que são

resolvidas para os parâmetros amn.

0,,011

mnaa





Pedro V. Gamboa 67


Depois, introduzindo os valores obtidos na expressão assumida

para a deflexão, obtém-se a solução para um dado problema.

Geralmente, amn inclui um número finito de parâmetros e, por

isso, os resultados finais são apenas aproximados.

Obviamente, se o w assumido for “exato”, a solução também

será “exata”.

As vantagens do método de Ritz prendem-se com o facto de ser

relativamente fácil tratar problemas com diferentes condições

de fronteira nas extremidades da placa.

Este método, é assim, um dos mais simples para resolver

deflexões de placas e cascas através de uma calculadora.

A aplicação das técnicas de energia de extensão em problemas

de flexão em placas serão apresentadas mais tarde.





Pedro V. Gamboa 68

2. Placas retangulares 2.1. Introdução

• Neste capítulo vão considerar-se as tensões e deflexões em

placas retangulares finas

• Como visto no capítulo anterior, o elemento de placa

retangular é um modelo excelente para desenvolver relações

básicas em coordenadas cartesianas

• Por outro lado, vamos ver que placas sujeitas à flexão levam

frequentemente a soluções na forma de séries que não são

viáveis para cálculos manuais de valores numéricos

• Isto é, as deflexões e momentos são, muitas vezes, descritos

por séries infinitas complicadas

• Estes cálculos são, obviamente, realizados com facilidade por

um computador





Pedro V. Gamboa 69

2. Placas retangulares 2.1. Introdução

• As placas retangulares são, geralmente, classificadas de

acordo com o tipo de apoios usados:

– Placas com apoios simples

– Placas encastradas ou embutidas

– Pacas com mistura de condições de apoio

– Placas em fundações elásticas

– Placas contínuas:

• Estas placas consistem, normalmente, em placas isoladas suportadas

por vigas ou colunas intermédias





Pedro V. Gamboa 70

2. Placas retangulares 2.2. Solução de Navier (placa retangular com apoios simples)

Considere uma placa retangular de lados a e b com apoios

simples em todas as extremidades e sujeita a um carregamento

p(x,y).

A origem das coordenadas é colocada no canto superior esquerdo

como mostra a figura.





Pedro V. Gamboa 71


Em geral, a solução do problema de flexão faz uso das séries de

Fourier seguintes para a carga e deflexão:

onde pmn e amn representam os coeficientes a determinar.

Este método foi introduzido por Navier em 1820.

As deflexões têm que satisfazer a equação diferencial para a

deflexão de placas com as seguintes condições de fronteira

1 1

sinsin,m n

mnb

yn

a

xmpyxp

1 1

sinsin,m n

mnb

yn

a

xmayxw

byyy

wwaxx

x

ww

,000;,000

2

2

2

2





Pedro V. Gamboa 72


Pode, facilmente, constatar-se que a equação da deflexão

cumpre estes constrangimentos e que os coeficientes amn têm

que satisfazer a equação diferencial da deflexão.

A solução correspondente ao carregamento p(x,y) requer, assim,

que se determine pmn e amn.

Para perceber melhor a equação de w considere que a superfície

defletida verdadeira da placa é uma sobreposição de curvas

sinusoidais de m e n configurações diferentes nas direções x e y,

respetivamente.

Os coeficientes amn da série são as coordenadas centrais

máximas das curvas seno e os m’s e os n’s indicam o número de

meias curvas seno nas direções x e y, respetivamente.

Por exemplo, o termo a12sin(x/a)sin(2y/b) está ilustrado na

figura anterior.





Pedro V. Gamboa 73


Aumentando o número de termos na série aumenta-se a precisão

do resultado.

Para um caso de carregamento genérico procede-se da seguinte

forma.

Para determinar os coeficientes pmn, cada lado da equação do

carregamento é multiplicado por

e integrado entre os limites 0,a e 0,b:

dxdyb

yn

a

xm sinsin

1 10 0

0 0

sinsinsinsin

sinsin,

m n

b a

mn

b a

dxdyb

yn

a

xm

b

yn

a

xmp

dxdyb

yn

a

xmyxp





Pedro V. Gamboa 74


Pode mostrar-se por integração direta que

Então, os coeficientes da expansão de Fourier dupla são

O cálculo de amn na equação de w requer que se substituam as

equações de p e de w na equação diferencial de deflexão da

placa.

nn

nn

bdy

b

yn

b

yn

mm

mm

adx

a

xm

a

xm

b

a

2

0sinsin

2

0sinsin

0

0

b a

mn dxdyb

yn

a

xmyxp

abp

0 0sinsin,

4





Pedro V. Gamboa 75


Assim, obtém-se

Esta equação tem que ser válida para todos os x e y.

Então conclui-se que

ou

1 1

4224

0sinsin2m n

mnmn

b

yn

a

xm

D

p

b

n

b

n

a

m

a

ma

02

4224

4

D

p

b

n

b

n

a

m

a

ma mn

mn

0

222

4

D

p

b

n

a

ma mn

mn





Pedro V. Gamboa 76


Daqui, resolvendo em ordem a amn, tem-se

Finalmente, substituindo este resultado na equação do w,

obtém-se a equação da superfície de deflexão da placa:

onde pmn já foi obtido anteriormente.

222

4

b

n

a

mD

pa mn

mn

1 1

2224sinsin

1

m n

mn

b

yn

a

xm

b

n

a

m

p

Dw





Pedro V. Gamboa 77


Pode observar-se que, sendo |sin(mx/a)|≤1 e |sin(ny/b)|≤1

para todos os x e y e m e n, a série é convergente.

Desta forma, esta equação é uma solução válida para a flexão de

placas retangulares com apoios simples sujeita a vários tipos de

carregamento

Na próxima secção serão apresentadas várias aplicações do

método de Navier para casos particulares.





Pedro V. Gamboa 78

2. Placas retangulares 2.3. Solução de Navier (vários carregamentos)

Quando uma placa retangular está sujeita a um carregamento

uniformemente distribuído, p(x,y)=p0, os resultados da secção

anterior são um pouco simplificados.

A equação do pmn depois da integração dá

ou

ou ainda

nmmn

ppmn cos1cos1

42

0

nm

mnmn

pp 1111

42

0

,3,1,16

2

0 nmmn

ppmn





Pedro V. Gamboa 79


Como pmn=0 para valores pares de m e n, estes só tomam valores

ímpares.

Substituindo pmn na equação de amn, obtém-se

Em termos físicos, a placa carregada uniformemente tem que

defletir numa forma simétrica.

Esta configuração resulta quando m e n são ímpares.

,3,1,sinsin116

2226

0

nmb

yn

a

xm

b

n

a

mmn

D

pw

m n





Pedro V. Gamboa 80


A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=b/2) e o

seu valor é

ou

As componentes do momento obtêm-se substituindo a equação

acima nas equações dos momentos.

m n

nm

b

n

a

mmn

D

pw

2sin

2sin

1162226

0

m n

nm

b

n

a

mmn

D

pw

222

2

1

2

1

6

0 1116





Pedro V. Gamboa 81


Assim

m n

xb

yn

a

xm

b

n

a

mmn

b

n

a

m

pM

n

sinsin

16222

22

4

0

m n

yb

yn

a

xm

b

n

a

mmn

b

n

a

m

pM

n

sinsin

16222

22

4

0

m n

xyb

yn

a

xm

b

n

a

mabM

ncoscos

11162224





Pedro V. Gamboa 82


Pode observar-se que os momentos fletores Mx e My são zero em

(x=0,x=a) e (y=0,y=b), respetivamente.

No entanto, o momento torsor Mxy não desaparece nas

extremidades nem nos cantos da placa.

A presença de Mxy causa uma alteração da distribuição das

reações nos suportes.

Lembremos, no entanto, que o princípio de St. Venant permite

considerar a distribuição de tensão inalterada em secções

distantes das extremidades e cantos.





Pedro V. Gamboa 83


Exemplo 2.01: Um painel de parede quadrado, sujeito a um

diferencial de pressão p0, pode considerar-se que tem apoios

simples em todas as suas extremidades.

Determine:

a) A deflexão máxima;

b) O momento máximo;

c) A tensão máxima.





Pedro V. Gamboa 84


Exemplo 2.02: Um painel do chão de

um armazém, com lados a e b, tem

apoios simples em todas as

extremidades.

Determine as reações nos apoios

assumindo que o material do armazém

está distribuído pelo chão todo por

forma a criar o seguinte carregamento

onde p0 representa a intensidade da

carga no centro da placa, como

mostra a figura.

b

y

a

xpyxp

sinsin, 0





Pedro V. Gamboa 85


Exemplo 2.03: Determine as equações da superfície elástica de

uma placa retangular com apoios simples em duas situações:

a) A placa está sujeita a uma carga P distribuída uniformemente

numa área 4cd;

b) A placa suporta uma carga pontual em x=x1,y=y1.





Pedro V. Gamboa 86

2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)

Na secção anterior viu-se que o cálculo dos momentos fletores

com o método de Navier tem um convergência lenta com o

aumento do número de termos da série.

Um método importante que resolve este problema foi

desenvolvido por Lévy em 1900.

Outra vantagem da solução de Lévy é que em vez de usar uma

série dupla usa uma série única.

Em geral, é mais fácil realizar cálculos numéricos com séries

únicas do que com séries duplas.





Pedro V. Gamboa 87


O método de Lévy é aplicável à flexão de placas retangulares

com condições de fronteira particulares em duas axtremidades

opostas (por exemplo, x=0 e x=a) e condições de fronteira

arbitrárias nas restantes extremidades (y=±b/2).





Pedro V. Gamboa 88


A solução total consiste na solução homogénia wh da equação

e da solução particular wp da equação

com a seguinte forma

024

4

22

4

4

4

y

w

yx

w

x

w

D

p

y

w

yx

w

x

w

4

4

22

4

4

4

2

ph www





Pedro V. Gamboa 89


Uma vez que

é independente do carregamento, pode derivar-se uma única

expressão para wh que seja válida para placas retangulares com

duas condições de fronteira particulares em dois lados opostos.

Obviamente, para cada carga específica p(x,y) tem que se obter

uma solução para wp.

A solução homogénea é escolhida com a forma geral seguinte

onde fm(y) tem que ser obtida de forma a satisfazer as condições

nos apoios em y=±b/2 e satisfazer a equação acima

04 hw

1 cos

sin

m

mh

a

xma

xm

yfw





Pedro V. Gamboa 90


Vamos descrever o método assumindo

que os lados opostos da placa

retangular em x=0 e x=a têm apoios

simples como mostra a figura.

Neste caso a equação anterior fica

Esta equação cumpre as condições de

fronteira para apoios simples ao longo

das extremidades de x.

1

sinm

mha

xmyfw





Pedro V. Gamboa 91


Para completar a solução, temos que aplicar as condições de

fronteira nos dois lados arbitrários com y=±b/2.

Substituíndo a equação de wh em 4w=0, tem-se

Para que esta equação seja válida em todos os x é preciso que

A solução geral desta equação é

0sin2,3,1

4

2

22

4

4

m

mmm

a

xmf

a

m

dy

fd

a

m

dy

fd

02

4

2

22

4

4

m

mm fa

m

dy

fd

a

m

dy

fd

a

ym

ma

ym

ma

ym

ma

ym

mm yeDyeCeBeAf





Pedro V. Gamboa 92


Ou usando identidades hiperbólicas

A solução homogénea fica, assim,

Onde Am, Bm, Cm e Dm são constantes que serão determinadas

mais tarde para casos especificados.

a

ymyD

a

ymyC

a

ymB

a

ymAf mmmmm

coshsinhcoshsinh

1

sincoshsinhcoshsinhm

mmmmha

xm

a

ymyD

a

ymyC

a

ymB

a

ymAw





Pedro V. Gamboa 93


Pode observar-se que as condições de fronteira para apoios

simples são respeitados nas extremidades x=0 e x=a se a solução

particular for expressa com a série de Fourier única

onde km(y) são funções de y apenas.

Vamos expandir p(x,y) também com um série de Fourier

onde

1

sinm

mpa

xmykw

1

sin,m

ma

xmypyxp

a

m dxa

xmyxp

ayp

0sin,

2





Pedro V. Gamboa 94


Substituindo para wp e p(x,y) na equação 4w=p(x,y)/D e

notando a validade da expressão resultante para todos os valores

de x entre 0 e a, obtém-se

Depois de determinar uma solução particular, km, desta equação

diferencial ordinária, pode calcular-se wp.

O método é ilustrado com o seguinte exemplo típico.

D

pk

a

m

dy

kd

a

m

dy

kd mm

mm

4

2

22

4

4

2





Pedro V. Gamboa 95


Placa retangular com apoios simples e carregamento uniforme

Neste caso p(x,y)=p0 pelo que a equação de pm(y) fica

Logo, a equação de km fica

A solução particular desta equação é

,3,14 0 mm

ppm

Dm

pk

a

m

dy

kd

a

m

dy

kdm

mm

0

4

2

22

4

4 42

Dm

apkm 55

4

04





Pedro V. Gamboa 96


A solução para wp fica, então,

Esta solução representa a deflexão de uma tira com

carregamento uniforme com apoios simples e paralela ao eixo x.

Também pode ser escrita na seguinte forma

A condição que diz que a deflexão da placa tem que ser

simétrica em relação ao eixo x (tem que ter os mesmos valores

para –y e +y) é satisfeita pela equação de wh se Am=Dm=0.

1

55

4

0 sin14

m

pa

xm

mD

apw

xaaxxD

pwp

3340 224





Pedro V. Gamboa 97


Depois, adicionando a contribuição de wp tem-se

Esta equação satisfaz a equação fundamental da flexão de

placas e as condições de apoios simples em x=0 e x=a.

As condições de fronteira em falta são

,3,155

4

0 sin4

sinhcoshm

mma

xm

Dm

ap

a

ymyC

a

ymBw

200

2

2 by

y

ww





Pedro V. Gamboa 98


Se aplicarmos estas condições à equação de w obtém-se duas

expressões, que serão satisfeitas para todos os x se

onde

04

sinh2

cosh55

4

0 Dm

apbCB mmmm

0sinhcosh2

mmmmm

mm CCb

B

a

bmm

2





Pedro V. Gamboa 99


A solução destas equações dá as seguintes constantes

A deflexão da superfície da placa pode, desta forma, ser escrita

m

mm

Dm

bapmapB

cosh

tanh455

3

0

4

0

m

mDm

apC

cosh

244

3

0

,3,15

5

4

0

sin2

sinhcosh2

12cosh

cosh2

2tanh1

1

4

m

m

m

m

m

mm

a

xm

b

y

a

ym

b

y

m

D

apw





Pedro V. Gamboa 100


A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=0),

tomando o valor de

Uma vez que

a deflexão máxima da placa fica com a forma seguinte

O primeiro termo representa a deflexão máxima wmax do meio de

uma tira com apoios simples e carregamento uniforme.

,3,15

2

1

5

4

0max

cosh2

2tanh1

14

m m

mm

m

mD

apw

32

519

5

,3,15

2

1

m

m

m

,3,15

2

1

5

4

0

4

0max

cosh2

2tanh14

384

5

m m

mm

m

mD

ap

D

apw





Pedro V. Gamboa 101


O segundo termo é uma série de convergência rápida.

Por exemplo, no caso de uma placa quadrada (a=b e m=m/2),

a deflexão máxima é

Pode ver-se que, mesmo mantendo apenas o primeiro termo da

série, a solução obtida é precisa até ao terceiro algarismo

significativo.

Introduzindo a notação na equação da deflexão máxima

D

ap

D

ap

D

apw

4

0

5

4

0

4

0max 00406.000025.068562.0

4

384

5

,3,15

2

1

51cosh2

2tanh14

384

5

m m

mm

m

m





Pedro V. Gamboa 102


Pode escrevere-se

De uma forma idêntica à secção anterior podem derivar-se

expressões para os momentos, forças de corte e tensões da

placa.

Os momentos máximos na placa também podem escrever-se na

forma

0,

2

4

01max y

ax

D

apw

0,

2

2

03max,

2

02max, ya

xapMapM yx





Pedro V. Gamboa 103


Valores numéricos para os coeficientes 1, 2 e 3 são mostrados

na tabela abaixo para várias razões de aspecto b/a. Pode ver-se

que, à medida que b/a aumenta, wmax e Mx,max aumentam

enquanto My,max diminui.





Pedro V. Gamboa 104


Exemplo 2.04: Uma janela de um prédio alto, é aproximada por

uma placa retangular com 3 extremidades com apoios simples e

1 encastrada. A placa está sujeita a um carregamento uniforme

devido ao vento com intensidade p0.

Derive uma expressão para a deflexão da superfície.





Pedro V. Gamboa 105


Exemplo 2.05: Um carregamento uniforme p0 atua numa varanda

retangular com apoios simples nos lados opostos x=0 e x=a, com

o lado y=b livre e a extremidade y=0 encastrada.

Descreva a derivação da expressão para a deflexão w.





Pedro V. Gamboa 106


Exemplo 2.06: Derive uma expressão para a superfície defletida

de um painel de chão muito longo e estreito sujeito a um

carregamento uniforme p0.

Assumir que x=0, x=a e y=0 têm apoios simples.





Pedro V. Gamboa 107

2. Placas retangulares 2.5. Solução de Lévy (carregamentos não uniformes)

Vamos aplicar o método de Lévy a casos de placas retangulares

com carregamentos não uniformes que são apenas função de x.

Assumindo que as extremidades x=0 e x=a têm apoios simples, o

carregamento é expresso com a série de Fourier

onde

Usando o procedimento da secção 2.4 obtém-se

,2,1

sinm

ma

xmpxp

a

m dxa

xmxp

ap

0sin

2

,2,1

44

4

sinm

mp

a

xm

m

p

D

aw





Pedro V. Gamboa 108


Esta expressão representa a deflexão de uma tira sujeita a um

carregamento p(x) e satisfaz a equação 4w=p(x)/D bem como

as condições de fronteira de apoios simples em x=0 e x=a.

Assumindo que as duas extremidades arbitrárias y=±b/2 também

têm apoios simples.

A expressão total da deflexão fica

onde as constantes Bm e Cm são determinadas com as condições

em y=±b/2: w=0 e ∂2w/∂y2=0.

Assim

,2,144

4

sinsinhcoshm

mmm

a

xm

Dm

ap

a

ymyC

a

ymBw

,2,144

4

sinsinhcosh2

1cosh

cosh2

2tanh1

m mm

mmm

a

xm

a

ym

a

ym

a

ym

m

p

D

aw





Pedro V. Gamboa 109


onde m=mb/2a, como

anteriormente.

Introduzindo uma dada

distribuição de p(x) pode obter-

se pm e depois calcular-se w.

Os momentos e tensões são

determinadas pela forma usual.

Valores de pm para alguns casos

de distribução de p(x) estão

mostrados na figura.





Pedro V. Gamboa 110


Por exemplo, considere-se a flexão de uma placa carregada

hidrostaticamente:

Esta equação juntamente com a anterior representa a deflexão.

Considerando uma placa quadrada (a=b), a deflexão no centro

da placa (x=a/2,y=0) é

Este resultado é metade da deflexão de uma placa retangular

com apoios simples sujeita a um carrgamento uniforme.

,2,112

sin2 10

0

0

mm

pdx

a

xm

a

xp

ap

ma

m

D

apw

4

000203.0





Pedro V. Gamboa 111

2. Placas retangulares 2.6. Momentos distribuídos nas arestas

Vamos considerar uma placa

retangular com apoios simples

em todas as extremidades

sujeita a momentos distribuídos

simétricos em y=±b/2.

Vamos descrever os momentos

pela série de Fourier

2sin

1

by

a

xmMxf

m

m





Pedro V. Gamboa 112


Nesta expressão, Mm representa os coeficientes a determinar

As condições de fronteira são

a

m dxa

xmxf

aM

0sin

2

2

20

,000

2

2

2

2

byxf

y

wD

byw

axxx

ww





Pedro V. Gamboa 113


Para se obter a solução deste problema é necessário assumir que

a superficie de deformação tem a forma já obtida anteriormente

Com p0=0 e m=1,2,3,..., tem-se

Esta equação cumpre a equação 4w=p/D e as primeiras

condições de fronteira, como já foi visto.

As segundas condições de fronteira são satisfeitas quando w=0.

,3,155

4

0 sin4

sinhcoshm

mma

xm

Dm

ap

a

ymyC

a

ymBw

1

sinsinhcoshm

mma

xm

a

ymyC

a

ymBw





Pedro V. Gamboa 114


Colocando m=mb/2a, como anteriormente, tem-se

de onde se tira

Agora, a equação da deflexão fica

0sinh2

cosh mmmm

bCB

mmm

bCB tanh

2

1

sincoshtanh2

sinhm

mma

xm

a

ymb

a

ymyCw





Pedro V. Gamboa 115


Substituindo esta equação, juntamente com a definição de f(x),

na terceira condição de fronteira tem-se

Daqui obtém-se

A deflexão fica, então,

11

sinsincosh2m

m

m

mma

xmM

a

xmC

a

mD

m

mm

Dm

aMC

cosh2

1

sinhcoshtanh2cosh

sin

2 m

mm

m a

ymy

a

ymbM

m

axm

D

aw





Pedro V. Gamboa 116


Os momentos e as tensões são obtidas a partir desta expressão.

No caso de termos momentos uniformemente distribuídos

f(x)=M0, obtém-se

Substituindo esta equação, juntamente com a definição de f(x),

na terceira condição de fronteira tem-se

Para o caso de uma placa quadrada (a=b), a deflexão e

momentos no centro da placa são

m

MMm

04

12

0 sinhcoshtanh2cosh

sin2

m

m

m a

ymy

a

ymb

m

axm

D

aMw

00

2

0 256.0394.00368.0 MMMMD

aMw yx





Pedro V. Gamboa 117


A deflexão ao longo do eixo de simetria é dada por

Quando a››b, pode colocar-se tanhm≈m e coshm≈1, e a

expressão acima reduz a

É curioso que este resultado seja igual ao da deflexão no centro

de uma tira de comprimento b sujeita a dois momentos iguais e

opostos nas extremidades.

No caso de uma placa com momentos anti-simétricos, (My)y=b/2=-

(My)y=-b/2, pode derivar-se a expressão da deflexão de forma

idêntica modificando a terceira condição de fronteira.

0sincosh

tanh1

122

0

ya

xm

mD

abMw

m m

m

D

bM

a

xm

mD

bMw

m

2

0

,3,1

2

0

2

1sin

1

2





Pedro V. Gamboa 118


Nesse caso tem-se

O caso genérico pode ser derivado como uma combinação de

situações simétricas e anti-simétricas.

As soluções com momentos distribuídos simétricos e anti-

simétricos são úteis para resolver problemas com variadas

condições de fronteira nas extremidades.

2/

2/

2

2

2/

2/

2

2

byy

by

byy

by

My

wDM

y

wD





Pedro V. Gamboa 119

2. Placas retangulares 2.7. Método da sobreposição

A deflexão e a tensão numa placa retangular com qualquer

condição nas extremidades e carregamento arbitrário podem ser

determinadas pelo método da sobreposição.

De acordo com este método, um problema complexo pode ser

primeiro substituído por várias situações mais simples em que

cada uma pode ser resolvida pelo método de Navier ou pelo

método de Lévy.

As deflexões obtidas por cada caso simplificado são, depois,

adicionadas de forma a que a equação fundamental 4w=p/D e

as condições de fronteira sejam satisfeitas no problema

original.





Pedro V. Gamboa 120


Considere-se, por exemplo, a flexão de

uma placa sujeita a um carregamento

lateral com uma extremidade encastrada

e as outras com apoios simples.

A solução começa com o pressuposto de

que todas as extremidades têm apoios

simples.

Depois, um momento fletor ao longo da

aresta y=0 é aplicado com uma magnitude

adequada para eliminar as rotações

devido ao carregamento lateral.

O exemplo seguinte é usado para ilustrar

o método.





Pedro V. Gamboa 121


Exemplo 2.07: Uma placa retangular tem as arestas opostas x=0

e x=a com apoios simples e as outras duas y=±b/2 encastradas.

A placa está sujeita a uma carga uniformemente distribuída com

intensidade p0.

Derive uma expressão para a superfície defletida e para os

momentos.





Pedro V. Gamboa 122

2. Placas retangulares 2.8. Método de Ritz

A energia de extensão U associada à flexão de uma placa é dada

por

O trabalho realizado pela força transversal na superfície p(x,y)

pode ser representado por

onde A é a área da superfície da placa.

A

dxdyyx

w

y

w

x

w

y

w

x

wDU

22

2

2

2

22

2

2

2

2

122

1n

A

wpdxdyW





Pedro V. Gamboa 123


A energia potencial =U-W fica, então,

A aplicação deste método pode ser ilustrado através da flexão

de uma placa retangular com lados a e b encastrada em todas

as extremidades e sujeita a um carregamento uniforme p0.

A

dxdywpDyx

w

y

w

x

w

y

w

x

wD 212

2

22

2

2

2

22

2

2

2

2

n





Pedro V. Gamboa 124


As condições de fronteira são

Integrando por partes o último termo da equação da energia de

extensão obtém-se

byyy

ww

axxx

ww

,000

,000

AS

A

dxdyyx

w

x

wdx

x

w

yx

wdxdy

yx

w

yx

w2

3222

ASS

A

dxdyy

w

x

wdy

y

w

x

wdx

x

w

yx

wdxdy

yx

w

yx

w2

2

2

2

2

2222





Pedro V. Gamboa 125


De acordo com as condições de fronteira, os dois primeiros

integrais são idênticos.

Assim

Desta forma, a energia de extensão da flexão fica

Assumindo que a deflexão tem a seguinte forma

as condições de fronteira são cumpridas.

0

22

2

2

2

2

A

dxdyyx

w

y

w

x

w

A

dxdyy

w

x

wDU

2

2

2

2

2

2

b

yn

a

xmaw

m n

mn

2cos1

2cos1

1 1





Pedro V. Gamboa 126


Substituindo este resultado na equação da energia obtém-se

de onde

que é válida para r≠s.

b a

m n

mnb

yn

a

xm

a

ma

DU

0 01 1

2

22 2

cos12

cos42

dxdya

xm

b

yn

b

n2

2

2 2cos1

2cos

1 1

2

2244

4 2332m n

mnab

n

a

m

b

n

a

mabDU

1 1 1

4

1 1 1

4

22r s n

snrn

m r s

msmr aab

naa

a

m





Pedro V. Gamboa 127


O trabalho realizado por p0 é

ou

Das condições de minimização /amn=0, tem-se

que é válida para r≠n e r≠m.

dxdyb

yn

a

xmapW

b a

m n

mn

0 0

1 1

0

2cos1

2cos1

1 1

0

m n

mnaabpW

1

4

1

42244

4 222334r

rn

r

mrmn ab

na

a

ma

b

n

a

m

b

n

a

mabD

00 abp





Pedro V. Gamboa 128


Retirando todos os termos excepto o primeiro a11, esta equação

dá

No caso de uma placa quadrada (a=b), a11=p0a4/(324D).

A deflexão máxima ocorre no centro da placa e é obtida através

da substituição de a11 na equação da deflexão.

Este resultado é cerca de 1.5% maior do que o valor obtido

usando o método da Secção 2.7 para uma placa encastrada, que

é mais elaborado.

244

4

011

233

1

4

b

a

b

aD

apa

D

apw

4

0max 00128.0





Pedro V. Gamboa 129


É de notar que o resultado é muito preciso, tendo em conta que

só foi usado um termo da série.

De um modo geral, a utilização de tão poucos termos não

resulta numa precisão tão grande no método de Ritz.

Calculando a deflexão da placa considerando sete parâmetros

a11, a12, a21, a22, a13, a31 e a33 obtém-se o seguinte sistema de

equações:





Pedro V. Gamboa 130






Pedro V. Gamboa 131


A solução deste sistema de equações lineares para uma placa

quadrada (a=b) dá

Substituindo estes valores na equação da deflexão, a deflexão

máxima é obtida no centro da placa com o valor

Este valor é exatamente igual ao que seria obtido com o método

da Secção 2.7.

4

4

033

4

4

031134

4

022

4

4

021124

4

011

400020.0

400268.0

400189.0

401184.0

411774.0

D

apa

D

apaa

D

apa

D

apaa

D

apa

D

apw

4

0max 00126.0





Pedro V. Gamboa 132


Exemplo 2.08: Uma porção retangular (a×b) do chão de uma

oficina tem as suas extremidades encastradas e suporta uma

carga P aplicada na posição x=x1, y=y1.

Determinar a deflexão máxima da placa.





Pedro V. Gamboa 133

3. Métodos numéricos 3.1. Introdução

• Nos capítulos anteriores foram usados métodos de equilíbrio e

de energia para problemas de flexão de placas

• Nalguns casos, estas soluções analíticas não são possíveis e é

necessário recorrer a métodos numéricos aproximados

• Estes métodos numéricos permitem ao engenheiro resolver

problemas práticos, com formas e carregamentos reais

• Os métodos numéricos mais importantes são:

– O método das diferenças finitas

– O método dos elementos finitos





Pedro V. Gamboa 134

3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas

O método das diferenças finitas substitui a equação diferencial

da placa e as expressões que definem as condições de fronteira

com equações de diferenças equivalentes.

A solução de um problema de flexão reduz-se, assim, à solução

simultânea de um conjunto de equações algébricas escritas para

todos os nós definidos dentro da placa.





Pedro V. Gamboa 135


As expressões das diferenças finitas podem ser obtidas a partir

da definição da primeira derivada da função y=f(x) com respeito

a x:

O índice n representa um ponto arbitrário na curva.

Num intervalo Dx=h esta expressão representa uma aproximação

à derivada

Dyn é a primeira diferença avançada de y no ponto xn,

x

yy

dx

dy nn

xn D

D

1

0lim

h

yy

h

y

dx

dy nnn

n

D

1

n

nnndx

dyhyyy

D 1





Pedro V. Gamboa 136


A primeira diferença atrasada em n é

As diferenças centrais contêm nós colocados simetricamente em

relação a xn.

Assim, a primeira diferença central é

Um procedimento idêntico a este pode ser usado para se

obterem as derivadas de ordem superior.

Vamos, daqui para a frente, considerar apenas as diferencças

centrais.

n

nnndx

dyhyyy

1

n

nnndx

dyhyyy

11

2

1





Pedro V. Gamboa 137


A segunda derivada pode ser escrita usando a representação de

diferença da primeira derivada:

A segunda diferença central em xn, depois de substituir os

resultados das primeiras diferenças na expressão acima, é

A terceira diferença central é

nnn

n

yyydx

ydh 2

2

22 DD

n

nnnnnnnnnndx

ydhyyyyyyyyyy

DD 2

22

11111

2 2

1111

23 22 nnnnnnnn yyyyyyyy

21122112 222

1

2

1

2

1 nnnnnnnnnn yyyyyyyyyy





Pedro V. Gamboa 138


ou

e a quarta diferença central é

n

nnnnndx

ydhyyyyy

3

33

2112

3 222

1

1

22

1

2

11

2224 22 nnnnnnnn yyyyyyyy

211112 2222 nnnnnnnnn yyyyyyyyy

n

nnnnndx

ydhyyyyy

4

44

2112 464





Pedro V. Gamboa 139


Vamos ver o caso da função de deflexão w(x,y) de duas

variáveis.

Considerando uma placa retangular e colocando Dx=Dy=h,

divide-se a placa numa malha quadrada.

Aqui, os índices x e y indicam a direção em que as diferenças são

calculadas.





Pedro V. Gamboa 140


As primeiras e segundas derivadas parciais serão

Com base na definição de derivada parcial, as expressões acima

podem escrever-se para um ponto 0 da seguinte forma

why

ww

hx

wyx

11

y

w

hyx

ww

hy

ww

hx

wxyx

2

22

22

22

22

2 111

312

1,,

2

1ww

hyhxwyhxw

hx

w

422

1,,

2

1ww

hhyxwhyxw

hy

w





Pedro V. Gamboa 141


e

301222

2

21

,,2,1

wwwh

yhxwyxwyhxwhx

w

402222

2

21

,,2,1

wwwh

hyxwyxwhyxwhy

w

876524222

2

4

1

2

11wwww

hww

hw

hyx

wxxyx





Pedro V. Gamboa 142


As derivadas mistas são

40234023

2

32

3

21

211

wwwh

wwwh

whyx

wxxxxyx

783165322

2

1wwwwww

h

7842653

2

32

3

222

11wwwwww

hw

hyx

wxy

402

2

4

22

422

4

211

wwwh

whyx

wxyx

432108765424

1wwwwwwwww

h





Pedro V. Gamboa 143


Tendo à disposição as várias derivadas na forma de

aproximações de diferenças finitas, pode facilmente obter-se as

equações de diferenças finitas equivalentes às equações da

placa.

Para referência, alguns operadores de diferenças finitas estão

representados em esquema na figura seguinte.

O ponto central em cada esquema é o ponto de referência de

cada operador.





Pedro V. Gamboa 144






Pedro V. Gamboa 145


Podem derivar-se fórmulas similares quando os nós não estão es

paçados uniformemente.

No caso de uma malha retangular com Dx=h e Dy=k, pode

substituir-se o h por k nas derivadas de w em relação a y

anteriores.

Por exemplo,

42312

1

2

1ww

ky

www

hx

w

40222

2

30122

2

21

21

wwwky

wwww

hx

w

876542

2

4

1

2

111wwww

hkww

hkw

khyx

wxxyx





Pedro V. Gamboa 146


O operador 2w fica

A menos que seja especificado, daqui para a frente serão

considerados apenas nós equidistantes (Dx=Dy=h).

Os operadores de diferenças em coordenadas cartesianas x e y

estão bem adaptadas para resolver problemas com domínios

retangulares.

Quando a placa tem contornos irregulares são necessários

operadores especiais junto à fronteira.

Uma das malhas não cartesianas para estas condições é a malha

triangular.

40223012

2 21

21

wwwk

wwwh

w





Pedro V. Gamboa 147


Se a placa tiver a forma de um paralelogramo, é conveniente e

mais preciso usar coordenadas paralelas às arestas da placa.

A malha polar é usada em situações em que existem formas axi-

simétricas.

Os operadores de diferenças finitas em qualquer sistema

coordenado são obtidos através da transformação das equações

que relacionam as coordenadas x e y nesse sistema.

Em todos os casos, o procedimento para determinar as deflexões

e os momentos é o mostrado a seguir.





Pedro V. Gamboa 148

3. Métodos numéricos 3.3. Solução das equações (diferenças finitas)

Podemos, agora, transformar a

equação diferencial da placa

fletida numa equação algébrica.

Vamos escrever esta equação

para um nó interior; o ponto 0

por exemplo.

Referindo ao operador 4, a

equação de diferenças finitas

correspondente à equação

fundamental da placa é

D

p

hwwwwwwwwwwwww 0

40432187651211109

12082





Pedro V. Gamboa 149


Expressões idênticas são escritas para todos os nós dentro da

placa.

Ao mesmo tempo, as condições de fronteira têm que ser

convertidas para a forma de diferenças finitas.

O conjunto de equações de diferenças finitas é, depois, resolvido

para se obterem as deflexões.

Como método alternativo ao problema da flexão da placa, a

equação fundamental da placa pode ser substituída por duas

equações de segunda ordem, como já foi visto anteriormente.

A aplicação do operador 2 a estas equações no ponto 0 dá

0204321

14 p

hMMMMM

D

M

hwwwww 0

204321

14





Pedro V. Gamboa 150


Outras equações idênticas são escritas para o resto dos nós dentro

da placa.

A solução do problema requer que se determine os valores de M e

w de forma a satisfazer as equações algébricas e as condições de

fronteira.

No caso de uma placa com apoios simples em todas as arestas, M e

w são zero nessas arestas e, por isso, pode resolver-se o primeiro

grupo de equações independentemente do segundo para

determinar todos os valores de M dentro da fronteira.

O segundo conjunto é resolvido depois.

Para placas com outras condições de fronteira (encastramento,

livre, combinações, etc.) é necessário resolver todas as equações

em simultâneo.





Pedro V. Gamboa 151


Em placas com condições de fronteira mistas os valores de M

podem ser diferentes nas arestas.

A deflexão w, neste caso, obtém-se mais facilmente através do

primeiro método.

Tendo os valores de M e w disponíveis nos nós, podem derivar-se

as expressões dos momentos e forças de corte.

No ponto 0, estes são

420310222 wwwwww

h

DM x n

310420222 wwwwww

h

DM y n

876524

1wwww

h

DM xy

n





Pedro V. Gamboa 152


e

As tensões são facilmente obtidas como anteriormente.

O método das diferenças finitas é melhor compreendido através de

alguns exemplos numéricos.

312

1MM

hQx

422

1MM

hQy





Pedro V. Gamboa 153


Exemplo 2.04: Uma janela de um prédio alto, é aproximada por

uma placa retangular com 3 extremidades com apoios simples e 1

encastrada. A placa está sujeita a um carregamento uniforme

devido ao vento com intensidade p0.





Pedro V. Gamboa 154


Exemplo 2.05: Determine a deflexão e os momentos em vários

pontos de uma placa quadrada de lado a com todas as arestas

encastradas sujeita a um carregamento uniformemente distribuído

p0. Considere h=a/4 e utilize duas formas de solução:

a) Aplicação das duas equações de segunda ordem;

b) Aplicação da equação fundamental.





Pedro V. Gamboa 155


Exemplo 2.06: Um chão, em que metade do mesmo suporta um

carregamento uniforme, é representado por uma placa contínua

com as arestas opostas (y=±a/2) encastradas e as outras

(x=0,x=2a) com apoios simples. O meio da placa (x=a) também

tem um apoio simples. Obter as deflexões nos pontos 1, 2 e 3.





Pedro V. Gamboa 156


Exemplo 2.07: Considere o caso de uma placa retangular

carregada uniformemente com duas arestas contíguas com apoios

simples, a terceira livre e a quarta encastrada. Use o método das

diferenças finitas com h=a/4 para determinar w em vários pontos.





Pedro V. Gamboa 157


Exemplo 2.07:





Pedro V. Gamboa 158


Exemplo 2.07:





Pedro V. Gamboa 159

3. Métodos numéricos 3.4. Propriedades do elemento finito

O método dos elementos finitos tem-se desenvolvido em

simultâneo com os computadores digitais e o aumento do interesse

nos métodos numéricos.

Este método permite a estimativa das tensões e deflexões numa

placa com um grau de facilidade e de precisão nunca antes

possível.

No método dos elementos finitos, a placa é discretizada num

número finito de elementos (normalmente com forma triangular

ou retangular) ligados nos nós e em fronteiras inter-elemento

hipotéticas.

Assim, o equilíbrio e a compatibilidade têm que ser verificadas em

cada nó e ao longo das fronteiras entre elementos.

Existem vários métodos de elementos finitos.





Pedro V. Gamboa 160


Vamos, apenas, ver o método comum de deslocamentos finitos

onde o conjunto das equações algébricas fundamentais é expresso

em termos dos deslocamentos nodais indeterminados.

Vamos, primeiro, definir uma série de parâmetros relevantes para

um elemento finito de uma placa isotrópica.

As derivações baseiam-se no pressuposto da teoria de pequenas

deflexões.

Em geral, a placa pode ter qualquer forma e qualquer

carregamento.

Considere-se uma placa fina que é substituída por um conjunto de

elementos finitos triangulares.

As propriedades de um elemento discreto vão designar-se de e.





Pedro V. Gamboa 161






Pedro V. Gamboa 162


Matriz de deslocamentos

Os deslocamentos nodais {}e estão relacionados com os

deslocamentos dentro do elemento através da função de

deslocamento {w}e dada por

onde a matriz [P] é uma função da posição a determinar

posteriormente para um elemento específico.

Esta matriz é, muitas vezes, referida como a função de forma.

É conveniente que a função de forma seja escolhida de modo a

que o campo de deslocamentos reais seja representado com a

maior precisão possível.

ee Pw





Pedro V. Gamboa 163


Matrizes de extensão, de tensão e de elasticidade

Fazendo uso da definição de extensão, define-se a matriz de

extensão generalizada-deformação da seguinte forma

ou

onde a matriz [B] terá que ser calculada.

T

exy

y

x

yx

w

y

w

x

w

2

2

2

2

2

2

g

e

e

ee B e





Pedro V. Gamboa 164


A relação tensão-extensão generalizada, das relações de Hook, é

ou

Os momentos estão relacionados com as tensões da seguinte

forma,

exy

x

x

exy

y

xEz

g

e

e

n

n

n

nt

s

s

2100

01

01

1 2

ee Dz es *

2

2

t

t

xy

y

x

dzz

M

M

M

s





Pedro V. Gamboa 165


Substituíndo o resultado da tensão nesta expressão tem-se a

relação momento-extensão generalizada

ou

A matriz de elasticidade para uma placa isotrópica é, então,

As relações tensão-extensão e, consequentemente, a matriz de

elasticidade são diferentes para materiais ortotrópicos ou

anisotrópicos.

e

t

te dzDzM e

2

2

*2

ee DM e

2100

01

01

112*

12 2

33

n

n

n

n

EtD

tD





Pedro V. Gamboa 166


Devido a variadas causas (contração, variações de temperatura,

etc.) podem existir extensões iniciais dentro da placa.

No caso de uma placa com carregamento transversal e aquecida as

matrizes de tensão e momento ficam, respetivamente

e

onde {e0}e é a matriz de extensão térmica.

ee D 0

* ees

ee DM 0ee





Pedro V. Gamboa 167

3. Métodos numéricos 3.5. Método dos elementos finitos

Uma forma conveniente de derivar as expressões que governam o

elemento finito e as suas caraterísticas baseia-se no princípio da

energia potencial.

A variação da energia potencial D da placa completa é

onde n é o número de elementos de espessura uniforme que

constitúem a placa, A é a área da superfície de um elemento e p a

carga lateral por unidade de área.

Esta expressão pode reescrever-se na seguinte forma

011

DDDDD n

A

n

A

xyxyyyxx dxdywpdxdyMMM gee

01

DDn

A

e

T

e dxdywpMe





Pedro V. Gamboa 168


ou, recorrendo à equação de {M}e e de {e}e, na forma

ou ainda

Colocando a matriz de rigidez do elemento como

e a matriz das forças nodais do elemento devido à carga

transversal como

01

DDn

A

ee

TT

e dxdyPpBDB

01

Dn

A

T

e

TT

e dxdypPBDB

A

T

e dxdyBDBK

A

T

e pdxdyPQ





Pedro V. Gamboa 169


ou, se considerarmos extensões iniciais,

a equação fica

Uma vez que as mudanças em {}e são independentes e arbitrárias,

esta equação pode reduzir-se a

para o equilíbrio de forças nodais do elemento.

Para a placa completa é necessário juntar todas as contribuições

dos elementos e obtém-se

A

T

A

T

e pdxdyPdxdyDBQ 0e

01

Dn

A

eee

T

e dxdyQK

eee QK





Pedro V. Gamboa 170


Para a placa completa é necessário juntar todas as contribuições

dos elementos e obtém-se

Esta equação tem que ser válida para todos os {D}.

Daqui, as equações que governam a placa completa são

onde

0D QKT

QK

n

eKK1

n

eQQ1





Pedro V. Gamboa 171


Pode ver-se que a matriz de rigidez da placa [K] e o vetor das

forças nodais {Q} são obtidos pela sobreposição de todas a

matrizes de rigidez e vetores de forças nodais do elemento,

respetivamente.





Pedro V. Gamboa 172


O procedimento genérico para resolver o problema de flexão da

placa com o método dos elementos finitos é:

1. Determinar [K]e para cada elemento de acordo com as suas

propriedades. Gerar a matriz global [K].

2. Determinar {Q}e para cada elemento de acordo com a carga

aplicada. Gerar a matriz global {Q}.

3. Determinar os deslocamentos nodais satisfazendo as condições

de fronteira:

{}=[K]-1{Q}.

4. Determinar as extensões no elemento:

{e}e=[B]{}e.

5. Determinar os momentos e as tensões no elemento:

{M}e=[D]{e}e ; {s}e=z[D*]{e} e.





Pedro V. Gamboa 173


O procedimento fica mais claro quando as características de um

dado elemento forem derivadas.

Os elementos mais comuns na flexão de placas, cada um

necessitando de tipos diferentes de função de deslocamento, são

apresentados em seguida.





Pedro V. Gamboa 174

3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular

O elemento triangular pode

facilmente acomodar fronteiras

irregulares.

Também pode ter dimensão variável

para permitir elementos pequenos em

regiões com concentração de tensão.

Por isso, ele é usado extensivamente

no método dos elementos finitos.

Considere-se um elemento da placa

triangular ijm coincidente com o

plano xy.

Os nós são numerados no sentido

anti-horário.





Pedro V. Gamboa 175


Cada deslocamento nodal do elemento tem três componentes:

- uma deflexão na direção z (w);

- uma rotação em torno do eixo x (qx);

- uma rotação em torno do eixo y (qy).

As rotações estão relacionadas com as derivadas da deflexão da

seguinte forma

O sentido positivo das rotações é determinado pela regra da mão

direita.

x

w

y

wyx

qq





Pedro V. Gamboa 176


Função de deslocamento

A matriz de deslocamento nodal para um elemento é

A função de deslocamento, que define o deslocamento em

qualquer ponto dentro do elemento ijm, é escolhida como sendo

um polinómio do terceiro grau modificado com a seguinte forma

o que permite um tratamento teórico relativamente simples.

Tymxmmyjxjjyixii

m

j

i

e www qqqqqq

3

9

22

8

3

7

2

65

2

4321 yaxyyxaxayaxyaxayaxaawe





Pedro V. Gamboa 177


O número de termos é igual ao número de deslocamentos nodais do

elemento.

Esta função mantém continuidade dos deslocamentos mas não das

derivadas.

No entanto, para casos práticos de engenharia a solução com base

nesta função é aceitável na maior parte dos casos.

Uma função de deslocamento de décima oitava ordem,

correspondente a um triângulo de 6 nós, permite melhores

resultados, mas a análise é mais extensa.

Quando os coeficientes a são conhecidos, a função dá o

deslocamento em todas as posições da placa.





Pedro V. Gamboa 178


Os deslocamentos nodais podem escrever-se:

ou

Daqui, a solução para as constantes a é

aCe

eCa 1





Pedro V. Gamboa 179


Pode ver-se que a matriz [C] depende do valor das coordenadas dos

pontos nodais.

A função de deslocamento pode, agora, escrever-se

onde

Substituindo a função de deslocamento nas extensões tem-se

eee CLPaLw 1

322322 ,,,,,,,,1 yxyyxxyxyxyxL

9

2

1

040020000

620200000

026002000

a

a

a

yx

yx

yx

e e





Pedro V. Gamboa 180


ou

A matriz extensão-deslocamento generalizada fica

sendo que

aHe e

eee CHB e1

1 CHB





Pedro V. Gamboa 181


Matriz de rigidez

Substituindo a matriz [B] na equação de [K]e obtém-se

onde as matrizes [H], [D] e [C] já são conhecidas.

Depois de multiplicar as matrizes dentro do integral, calcula-se o

integral para obter a matriz de rigidez do elemento.

11

CdxdyHDHCK

A

TT

e





Pedro V. Gamboa 182


Forças nodais externas

As forças nodais resultantes do carregamento transversal na

superfície podem ser obtidas da expressão para {Q}e ou usando

intuição física.

A matriz das forças nodais do elemento é

onde Qz, Qqx e Qqy representam a força lateral na direção z, o

momento por unidade de comprimento em torno de x e o momento

por unidade de comprimento em torno de y, respetivamente.

Tymxmzmyjxjzjyixizi

m

j

i

e QQQQQQQQQ

Q

Q

Q

Q qqqqqq





Pedro V. Gamboa 183


A determinação das forças nodais do elemento é demonstrada no

exemplo seguinte.





Pedro V. Gamboa 184


Exemplo 2.08: O elemento 123 representa uma porção de uma

placa elástica fina sujeita a uma carga uniforme de intensidade p0.

Determine o vetor de forças nodais.

Assuma que o peso do elemento é desprezável.





Pedro V. Gamboa 185


Exemplo 2.08:





Pedro V. Gamboa 186

3. Métodos numéricos 3.7. Elemento finito retangular

Vamos ver agora o elemento retangular.

Para garantir, pelo menos, o cumprimento aproximado da

continuidade das derivadas, são usadas três componentes do

deslocamento nodal como anteriormente.





Pedro V. Gamboa 187


Função de deslocamento

A matriz de deslocamento nodal para um elemento é

A função de deslocamento, que define o deslocamento em

qualquer ponto dentro do elemento ijmn, é escolhida como sendo

um polinómio do terceiro grau com a seguinte forma

Tynxnnymxmmyjxjjyixii

n

m

j

i

e wwww qqqqqqqq

3

12

3

11

3

10

2

9

2

8

3

7

2

65

2

4321

xyayxayaxya

yxaxayaxyaxayaxaawe





Pedro V. Gamboa 188


Os deslocamentos nodais são dados por

onde [C], uma matriz de 12 x 12, depende das coordenadas nodais

e é obtida da mesma forma que para o elemento triangular.

Daqui, a solução para as constantes a é

A função de deslocamento pode, como anteriormente, escrever-se

onde, agora,

aCe

eCa 1

eee CLPw 1

33322322 ,,,,,,,,,,,1 xyyxyxyyxxyxyxyxL





Pedro V. Gamboa 189


Substituindo a função de deslocamento nas extensões tem-se

ou

A matriz extensão generalizada-deslocamento fica

com

12

2

1

22 660440020000

606200200000

060026002000

a

a

a

yxyx

xyyx

xyyx

e e

aHe e

eee CHB e1

1 CHB





Pedro V. Gamboa 190


Matriz de rigidez

Substituindo a matriz [B] na equação de [K]e obtém-se

onde as matrizes [H], [D] e [C] já são conhecidas.

Depois de multiplicar as matrizes dentro do integral, calcula-se o

integral para obter a matriz de rigidez do elemento.

No caso de os lados a’ e b’ do elemento serem paralelos aos eixos x

e y, respetivamente, o integral pode ser calculado diretamente,

pois os limites de integração são independentes.

Assim, tem-se

11

CdxdyHDHCK

A

TT

e

RkkkkRba

EtK e

43212

3

2

1

1''180

nn

n





Pedro V. Gamboa 191


Os coeficientes [k1], [k2], [k3] e [k4] e a matriz [R] são:

Corrigir Matrizes





Pedro V. Gamboa 192


Forças nodais externas

As forças nodais resultantes do carregamento transversal na

superfície podem ser obtidas da expressão para {Q}e.

A matriz das forças nodais do elemento é

onde Q = {Qz, Qqx, Qqy} representam a força lateral na direcção z, o

momento por unidade de comprimento em torno de x e o momento

por unidade de comprimento em torno de y, respetivamente.

Os deslocamentos, as extensões e as tensões são obtidas usando o

procedimento descrito em 3.4.

n

m

j

i

e

Q

Q

Q

Q

Q





Pedro V. Gamboa 193


Exemplo 2.09: Considere uma placa quadrada de lado a com duas

arestas opostas (y=0 e y=a) com apoios simples e as outras duas

arestas encastradas.

Determine o valor máximo de w sabendo que a placa está sujeita a

um carregamento uniforme de intensidade p0. Considere a=2m e

n=0,3.

considerações acerca da configuração -...

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