EstructuraEstructura del del nnúúcleocleo

Víctor VelázquezFacultad de Ciencias UNAM

EstructuraEstructura del del nnúúcleocleo

PARTE IPARTE IModelosModelos Nucleares.Nucleares.El El modelomodelo de de capascapasPARTE IIPARTE IICCóódigodigo AntoineAntoineEjemplosEjemplos

IntroducciIntroduccióónn

En En sussus iniciosinicios, la , la teorteorííaa nuclear nuclear solo solo considerabaconsideraba al al nnúúcleocleo comocomoun un conjuntoconjunto de de protonesprotones y y neutronesneutrones en un en un volumenvolumen muymuypequepequeññoo dentrodentro del del áátomotomo. La . La investigaciinvestigacióónn de de sussuspropiedadespropiedades nosnos ha ha llevadollevado a a muchosmuchos experimentosexperimentos y y modelosmodelos parapara establecerestablecer susuestructuraestructura y y dindináámicamica. .

EstructuraEstructura NuclearNuclear

ModeloModelo de la de la gotagota de de llííquidoquido..ModeloModelo de de partpartíículacula independienteindependiente..ModeloModelo de de capascapas..ModeloModelo de de bosonesbosones interactuantesinteractuantes..TeorTeorííaa de de HartreeHartree--FockFockModelosModelos colectivoscolectivos

Fórmula de la energía de amarre.

Maria GoeppertMaria Goeppert--Mayer, the Mayer, the Nuclear Shell Model, and Magic Nuclear Shell Model, and Magic

NumbersNumbers

PotencialPotencial promediopromedioConstruido a partir de un potencial promedio de oscilador armónicomás términos que toman en cuenta el acoplamiento órbita-órbita yEspín-órbita

La La solucisolucióónn del del HamiltonianoHamiltoniano de de partpartíículacula independienteindependiente::

donde

Las funciones propias están dadas como la función productode la parte radial y la parte angular:

Para el caso del oscilador armónico, los valores propios son:

Tomando en cuenta el acoplamiento espín-órbita la solución es:

donde la funcion de onda de acoplamiento de espín orbital es:

Las energías correspondientes son:

con

ModeloModelo de Nilssonde Nilsson

Un Hamiltoniano con términos de uno y dos cuerpos tiene la forma:

El término de dos cuerpos puede ser reemplazado por uno de un cuerpo

Para una partícula independiente, en el potencial:

Para un sistema de A partículas independientes:

cuyas funciones propias son

… y valores propios

PartPartíículasculas ididéénticasnticas

Para un sistema de partículas identicas, es necesario tomar en cuenta que las partículas son indistinguibles.

La función de onda total es antisimétrica ante el intercambiode dos partículas.

Existen dos posibles estados finales, pero asociados a un estadoFísico individual.Con la medida no es posible distinguir los dos procesos.

Postulado de simetrización:

Para un sistema de partículas idénticas solamente algunas funcionespropias describen estados físicos: estas son antisimétricas parafermiones y simétricas para bosones.

Si |u> es un ket físico, entonces P|u> , también es un ket físico.

Para fermiones los kets físicos son aquellos obtenidos porantisimetrización

Ejemplo para dos partículas:

Por el principio de exclusión de Pauli:

Para tres partículas:

Para el caso de dos partículas:

Un determinante de Slater.

Para el caso de tres partículas:

En un sistema de A partículas:

La fase global está determinada por el orden de los índices

El formalismo de los números de ocupación simplifica enormementela notación:

Solamente números de ocupación de órbitas de partícula independienteson necesarios.

SegundaSegunda CuantizaciCuantizacióónnOperadores de creación y aniquilación:

El vacío es tal que

Para fermiones, la antisimetría está dada por las reglas de anticonmutación

El operador de un cuerpo queda definido como:

los operadores multipolares:

Los operadores de dos cuerpos:

CorrelacionesCorrelaciones en en loslos nnúúcleoscleos..

Para la descripción del núcleo, el campo promedio sólo es el puntode partida

La interacción residual de dos cuerpos (correlaciones) son responsables de la estructura detallada del núcleo.

Particularmente, las correlaciones pueden inducir coherencia, esdecir movimientos colectivos

El movimiento coherente de particulas independientes, está generadopor las correlaciones de dos cuerpos.

El éxito del modelo de partícula independiente de N partículas puedaser simplificada en el medio nuclear (regularización). Para un númerodado de protones y neutrones los orbitales de campo promedio puedenSer agrupados en tres bloques:

-Carozo inerte

-Valencia: órbitales que contienen los grados de libertad físicosrelevantes para una propiedad dada. La distribución de las partículas devalencia entre estos orbitales, está gobernada por la interacción.

-Espacio externo

Comenzando con una interacción regularizada, la solución exacta del problema en el espacio de Hilbert (infinito) construido con los orbitalesde campo promedio, es aproximadamente la solución de la ecuación de Schrodinger en el espacio de valencia utilizando una interaccionefectiva, tal que:

En general, operadores efectivos, también deben introducirsepara tomar en cuenta restriciones en el espacio de Hilbert:

ModeloModelo de de capascapas

Un modelo de capas necesita los siguientes ingredientes:

° Un espacio de valencia

°Una interacción efectiva

°Un códico que construya y diagonalice la matriz secular.

Los dos últimos puntos limitan el espacio de valencia

EspacioEspacio de de valenciavalencia

La selección del espacio de valencia

Para los núcleos ligeros, el oscilador armónico determina lasclausuras del espacio de valencia.

CapapCohen/Kuratah

Capasd, Brown/Wildenthal

Capa pf deformada

Para núcleos pesados: el acoplamiento jj debido al término espín-órbita controla las clausuras, por ejemplo

La La interacciinteraccióónn en en segundasegundacuantizacicuantizacióónn

El Hamiltoniano puede ser escrito como:

Y en segunda cuantización:

Introduciendo un campo promedio:

El Hamiltoniano puede ser reescrito como:

Los estados base son vectores propios del campo promedio, y el Hamiltoniano de dos cuerpos es diagonzalizado en esta base.

El Hamiltoniano desacoplado:

El Hamiltoniano acoplado

Introduciendo los operadores: Y definiendo el

Tensor de acoplamiento como:

obtenemos

EjemplosEjemplos: : espacioespacio de de valenciavalencia, , interacciinteraccióónn y y ccóódigodigo

Wigner decía que la sustitución de una matriz realista por unainteracción aleatoria con el mínimo de propiedades reales(simetrías) deberia arrojar como resultado, propiedades básicasdel sistema a estudiar.

Valores B(E2)

Estructura nuclear Estructura nuclear (laboratorio computacional)(laboratorio computacional)

Víctor VelázquezFacultad de Ciencias UNAM

Los Los trestres pilarespilares del del modelomodelo de de capascapas

•• El El espacioespacio de de valenciavalencia•• La La interacciinteraccióónn•• Un Un ccóódigodigo corriendocorriendo en en unauna computadoracomputadora

lo lo suficientementesuficientemente rráápidapida

El El esquemaesquema MM

•• Las Las simetrsimetrííasas del del HamiltonianoHamiltoniano no son no son explexplíícitascitas..

•• La base La base estestáá construidaconstruida porpor determinantesdeterminantesde Slater a de Slater a partirpartir de de loslos orbitalesorbitales de de valenciavalencia..

•• AsAsíí loslos estadosestados ffíísicossicos provienenprovienen de la de la diagonalizacidiagonalizacióónn de la de la matrizmatriz HamiltonianaHamiltoniana::

•• Los Los elementoselementos de de matrizmatriz son son ffáácilesciles de de calcularcalcular. . TomemosTomemos el el ejemploejemplo del Ca en del Ca en la la capacapa p.p.

•• RepresentamosRepresentamos un un determinantedeterminante de Slater de Slater porpor unauna palabrapalabra de de mmááquinaquina dondedonde cadacadaestadoestado eses un bit.un bit.

•• En el En el ejemploejemplo, el , el determinantedeterminante de Slater de Slater ocupaocupa unauna palabrapalabra de 12 bits.de 12 bits.

12

•• La La acciaccióónn del del HamiltonianoHamiltoniano en en esteeste objetoobjetoeses muymuy simple.simple.

•• Sea |I> Sea |I> unauna funcifuncióónn base. La base. La acciaccióónn de un de un ttéérminormino de dos de dos cuerposcuerpos nosnos llevalleva a:a:

••UnaUna amplitudamplitud

••SiSi K, l K, l estestáánn ocupadosocupados e e i,ji,j estestáánn vacvacííosos, , de de otraotra maneramanera dichasdichas amplitudes son amplitudes son igualigual a ceroa cero

•• SiSi el el resultadoresultado no no eses cero, cero, estoesto nosnos llevalleva a a otrootro estadoestado |J>.|J>.

•• La La aplicaciaplicacióónn del del operadoroperador::

•• En la En la prpráácticactica::•• todastodas laslas palabraspalabras de de mmááquinaquina

correspondientescorrespondientes a a todostodos loslos estadosestados de la de la base son base son generadosgenerados: {|I>} I=1,: {|I>} I=1,……,N ,N

•• e e iteracionesiteraciones son son hechashechas sobresobre todostodos loslosoperadoresoperadores de dos de dos cuerposcuerpos..

•• Los Los estadosestados |J> |J> resultantesresultantes se se clasificanclasifican( o se ( o se identificanidentifican) ) dentrodentro de la de la listalista de de

determinantesdeterminantes de Slater, de Slater, quedandoquedando el el elementoelemento de de matrizmatriz

•• EjemploEjemplo::

Con la acción de

y fase

DiagonalizaciDiagonalizacióónn del del HamiltonianoHamiltoniano

Resulta imposible almacenar la Matriz Hamiltoniana,Pero aún es posible calcular HΨ.

Es posible utilizar un algoritmo iterativo para diagonalizar.

El El mméétodotodo de de LanczosLanczos

•• El El mméétodotodo de de LanczosLanczos consisteconsiste en la en la construcciconstruccióónn de de unauna base base ortonormalortonormal porporla la ortogonalizaciortogonalizacióónn de de loslos estadosestados

ObtenidaObtenida porpor la la acciaccióónn repetidarepetida del del HamiltonianoHamiltoniano sobresobre un un estadoestado pivotepivote |1>|1>

De De esteeste procedimientoprocedimiento resultaresulta unauna matrizmatriztridiagonaltridiagonal..

•• En el primer En el primer pasopaso::

DondeDonde E11 E11 eses el valor el valor esperadoesperado de H en el de H en el estadoestado |1>.|1>.

•• E12 E12 eses ontenidoontenido porpor normalizacinormalizacióónn

En el segundo paso

Ya que H es Hermitiano

•• E23 E23 eses obtenidoobtenido porpor normalizacinormalizacióónn

En el paso N

•• ASiASi obtenemosobtenemos unauna matrizmatriz tridiagonaltridiagonal

CONVERGENCIA

La La interacciinteraccióónn

•• La La informaciinformacióónn relativarelativa a la a la interacciinteraccióónnestestáá completamentecompletamente contenidacontenida enen

Las simetrias del Hamiltoniano tiene la siguientes consecuencias

•• A A valoresvalores fijosfijos de J(T), de J(T), losloscorrespondientescorrespondientes valoresvalores de de M(M_zM(M_z) son ) son

todostodos igualesiguales..Los Los elementoselementos de de matrizmatriz entreentre valoresvalores de de

diferentediferente J(T), son cero.J(T), son cero.

InteracciInteraccióónn realistarealista efectivaefectiva

DescomposiciDescomposicióónn multipolarmultipolar

•• ParteParte monopolarmonopolar y y multipolarmultipolar

•• Las matrices Las matrices obtenidasobtenidas de de informaciinformacióónnexperimental experimental tienentienen dos dos caractercaracteríísticassticas::

•• La La parteparte multipolarmultipolar funcionafunciona bienbien•• La La parteparte monoparmonopar funcionafunciona mal.mal.

DescomposicionDescomposicion multipolarmultipolar

•• En el En el espacioespacio de de particulaparticula--particulaparticula

•• En el En el espacioespacio partpartíículacula agujeroagujero

•• DescomposiciDescomposicióónn multipolarmultipolar

•• DifrentesDifrentes multipolosmultipolos

AlgunosAlgunos resultadosresultados

•• BackbendingBackbending en Cr 48.en Cr 48.

•• B8 B8 parapara J=3J=3

•• Na23 Na23 parapara J=3J=3