estística descritiva assunto

7/23/2019 Eststica Descritiva Assunto

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ESTATSTICA

Unidade II

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3 MEDIDAS OU PARMETROS ESTATSTICOS

O estudo que fizemos anteriormente diz respeito aoagrupamento de dados coletados e representao grfica dealguns deles. Cumpre agora estudarmos as medidas estatsticas.Esses valores nos daro a imagem sintetizada do comportamentode uma amostra, permitindo que com relativamente poucasinformaes possamos chegar a concluses sobre esta amostraestudada.

Existem basicamente dois grandes grupos de medidasestatsticas. O primeiro grupo formado pelas medidas detendncia central, tambm chamadas de medidas de posio,que informam a magnitude da amostra estudada. Essas medidasnos do uma viso global da amostra sem se ater s caractersticasindividuais de seus elementos.

No entanto, como necessrio que tenhamos ideia dasvariaes dos elementos da amostra em torno de suas medidascentrais, iremos estudar, no mdulo 2, o segundo grupo demedidas estatsticas: as medidas de disperso, tambmchamadas de medidas de variabilidade.

Medidas de posio

Objetivos do mdulo

As medidas de posio ou medidas de tendncia central, comoo prprio nome indica, preocupam-se com definir uma posiocentral da amostra, ou seja, um valor que seja representativo doque tpico da amostra. Iremos trabalhar com as trs principaismedidas deste tipo: a mdia, a mediana e a moda.


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Unidade II

3.1 Mdia

De todas as medidas de posio, a mdia , seguramente,a mais usada. So chamadas de mdias simples quando afrequncia dos diversos valores igual a 1, ou seja, cada valor

aparece uma nica vez na amostra, ou de mdias ponderadas,quando os dados so dotados de certa frequncia.

Existem vrios mtodos diferentes para se calcular as mdias.Iremos nos preocupar com a principal delas, a mdia aritmtica.As demais (geomtrica, quadrtica e harmnica), alm de seremmuito menos utilizadas, seguem os mesmos princpios da mdiaaritmtica, apenas com a utilizao de operaes matemticasdiferentes.

A mdia aritmtica o resultado da soma dos valores detodos os elementos dividido pelo nmero total de elementos, ouseja, pela frequncia total. Em outras palavras, se tivermos umconjunto de valores S ={ x

1, x

2, x

3,x

n}, a mdia aritmtica

deste conjunto ser calculada atravs das frmulas:

X x x x x

Nn=

+ + + +1 2 3 ....

Ou

X x

Ni=

Onde: X a mdia aritmtica; x1,x2,etc. os diversos valores;e N, a quantidade total de elementos da amostra.

Exemplo 1

Calcular a mdia aritmtica dos valores abaixo relacionados:

S={2;5;7;9;10;12;16;18}. Observe que so 8 elementos dediferentes valores, portanto:

X x

NX Xi= =

+ + + + + + + =

2 5 7 9 10 12 16 18

89 9,

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ESTATSTICA

Caso os valores sejam repetidos na amostra, ou seja, se elestiverem uma frequncia diferente de 1 ( x

1 com f

1; x

2 com f

2

e assim por diante), ento a frmula para o clculo da mdiaaritmtica ser:

X x ffi i

i

=

Este ltimo conceito define a mdia ponderada, sendoque, eventualmente, as frequncias podem ser substitudas porpesos que conferem a importncia diferenciada de cada valor.

O exemplo a seguir mostra o clculo para dados noagrupados em classe.

Exemplo 2

Calcular a mdia aritmtica dos valores abaixo relacionados:

Como no exemplo anterior, o clculo da mdia aritmticaconsiste na soma de todos os valores dividida pela quantidadetotal de elementos. Note, porm, que cada um dos valoresda tabela aparece certo nmero de vezes, diferente de 1; porexemplo, o valor 25 aparece 37 vezes, portanto, precisamos

somar 25 com ele mesmo 37 vezes ou, de maneira mais direta,precisamos multiplicar 25 por 37. A coluna C mostra todos osclculos deste tipo. Quando somamos essa coluna, obtemos ovalor 9.491, que corresponde soma de todos os elementos daamostra (193 elementos). Assim, a mdia :

A B C=AxB

Valor FrequnciaSimples

Valor xFrequncia

xi fi xi.fi

25 37 925

42 28 1176

57 54 3078

62 62 3844

39 12 468

ft 193 9491

X x f

fX Xi i

i

= = =

9491

19349 2,

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Unidade II

No caso de dados agrupados em classes, o processo declculo idntico ao anterior, com a diferena de que o valor aser usado o ponto mdio de classe (lembre que j definimosesse valor no mdulo anterior):

xi=pmi

O exemplo a seguir mostra-nos, passo a passo, o clculo damdia aritmtica ponderada para dados agrupados por classes:

Exemplo 3

Dada a tabela de frequncias abaixo, calcular a mdiaaritmtica:

A B C D E=(C+D)/2 F=DxE

Classe Limites de classe Frequnciasimples

Pontomdio de

classe

Frequnciax Pontomdio

li ls fi pmi fi x pmi

1,0 3,0 |------- 414,0 14 208,5 2.919,0

2,0 414,0 |------- 825,0 19 619,5 11.770,5

3,0 825,0 |------- 1.236,0 41 1.030,5 42.250,5

4,0 1.236,0 |------- 1.647,0 53 1.441,5 76.399,5

5,0 1.647,0 |------- 2.058,0 32 1.852,5 59.280,06,0 2.058,0 |------- 2.469,0 27 2.263,5 61.114,5

7,0 2.469,0 |------- 2.880,0 20 2.674,5 53.490,0

8,0 2.880,0 |------- 3.291,0 11 3.085,5 33.940,5

9,0 3.291,0 |------| 3.702,0 8 3.496,5 27.972,0

ft = 225 = 369.136,5

A tabela acima apresenta os valores e clculos necessriospara se determinar a mdia aritmtica para uma amostra queestivermos descrevendo.

As reas sombreadas da tabela mostram os clculosnecessrios para a obteno da mdia aritmtica.

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ESTATSTICA

O uso de uma tabela para estes clculos facilita as operaes declculo, bem como so mais facilmente trabalhadas em computador.

Note que acima ns somamos os valores de todos oselementos da amostra, ficando na seguinte situao: o valor da

soma dos 225 elementos da amostra 369136,5, portanto, amdia aritmtica ser de:

X x f

f X Xi i

i

= = =

369136 5

225 1640 61

,,

importante observar as seguintes propriedades das mdiasaritmticas:

a soma algbrica dos afastamentos (ou desvios ou resduos)

de um conjunto de nmeros tomados em relao mdia nula;

se multiplicarmos ou dividirmos todas as informaes poruma constante, a mdia aritmtica ficar multiplicada oudividida por essa constante;

somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos osvalores de um conjunto de informaes, a mdia aritmticaficar somada ou subtrada dessa constante;

a soma dos quadrados dos desvios tomados em relao mdia aritmtica mnima.

3.2 Mediana

Conceitualmente, definimos mediana como o valor, dentrode um conjunto de valores ordenados, que divide exatamenteesse conjunto em duas metades, com 50% dos valores superiores mediana e 50% inferiores. Evidentemente que essa definioprecisa se adaptar ao nmero N de elementos da amostra:

caso N seja um nmero mpar, a mediana ser o valor doelemento central (chamado de elemento mediano);

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Unidade II

caso N seja um nmero par, a mediana ser a mdiaaritmtica simples dos dois elementos centrais (o elementomediano passa a ser um elemento terico intermedirio).Veja no exemplo abaixo:

Exemplo 1

Dados os dois conjuntos de notas abaixo, de alunos deestatstica, calcule a mediana:

Grupo A = {6,2; 4,2; 8,7; 6,4; 2,8; 9,1; 5,0; 3,9; 7,1}

Para calcular a mediana, necessrio ordenar os dados emordem crescente:

{2,8; 3,9; 4,2; 5,0; 6,2; 6,4; 7,1; 8,7; 9,1}

Como o nmero de elementos impar (N = 9), a medianaser o valor do elemento central (o 5 elemento), ou seja, o valorda mediana ser 6,2.

Poderamos dar uma roupagem mais matemtica ao clculoutilizando as frmulas abaixo, onde E

me o elemento mediano,

e Me, a mediana:

E N

E Eme me me= +

=> = +

=> =1

2

9 1

25

O valor do 5 elemento a mediana:

Me = 6,2

Grupo B = { 8,4; 6,3; 9,2; 4,9; 6,5; 8,0}, ordenando {4,9; 6,3;

6,5; 8,0; 8,4; 9,2}

E N

E Eme me me= +

=> = +

=> =1

2

6 1

23 5,

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ESTATSTICA

Evidentemente, no existe um elemento 3,5. A mediana sera mdia aritmtica entre o valor dos 3 e 4 elementos:

Me x x

Me Me= +

=> = +

=> =3 42

6 5 8 0

27 25

, ,,

Clculo semelhante se far quando trabalhamos comdados agrupados, seja em classes ou no. Primeiro, veremosquando os dados no forem agrupados em classe. Nessecaso, o procedimento semelhante ao feito no exemplo 1,com a diferena de que precisaremos calcular a frequnciaacumulada crescente para permitir localizarmos o elementomediano. O exemplo 2 mostra o clculo em duas situaesdiferentes.

Exemplo 2

Calcular a mediana para os dados relacionados abaixo,relativos ao nmero de filhos por famlia moradora emdeterminada cidade.

Cidade A

Nmero defilhos porfamlia

Quantidade defamlias na cidade

Frequnciaacumuladacrescente

Valor Frequncia simples

xi fi fac

0 15 15

1 18 33

2 12 45

3 8 53

4 5 58

5 3 61

6 1 62

Mais do que 6 1 63Soma 63

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Unidade II

Perceba que o nmero de elementos (N = 63) mpar; logo,o elemento mediano ser o 32:

E Eme me= +

= =63 1

232

O 32 elemento tem o valor 18, isso porque, com os valoresordenados, os 15 primeiros referem-se a famlias com 0 filhos;do 16 ao 33, os valores referem-se a famlias com 1 filho, eassim por diante. Logo, a mediana ser:

Me = 18

Portanto, podemos afirmar que 50% das famlias tm um

filho ou menos, e 50% das famlias tm um filho ou mais.Observe agora esta outra bservao de frequncias relativa

cidade B

Cidade B

Nmero defilhos porfamlia

Quantidade defamlias na cidade

Frequnciaacumuladacrescente

Valor Frequncia simples

xi

fi

fac

0 15 15

1 21 36

2 16 52

3 9 61

4 6 67

5 4 71

6 1 72

Mais do que 6 0 72

Soma 72

Perceba que o nmero de elementos (N = 72) par; logo, oelemento mediano seria o 36,5, que, evidentemente, no existe.

E Eme me= +

= =72 1

236 5,

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ESTATSTICA

O 36 elemento tem o valor 1, e o 37, o valor o valor 2,portanto, o 36,5 seria um valor mdio entre esses dois valores,ou seja, a mediana ser:

E Eme me=

+= =

1 2

2 15,

Portanto, podemos afirmar que 50% das famlias tm menosde 1,5 filho, e 50% das famlias tem mais de 1,5 filho.

O clculo da mediana, quando lidamos com dadosagrupados em classes, mais trabalhoso porque conseguimosdeterminar o elemento mediano e a classe da qual o elementofaz parte, mas no o valor exato da mediana. A maneira de

contornarmos esse inconveniente utilizando os conceitos deinterpolao.

Interpolar significa achar, dentro de uma faixa devalores, aquele valor que melhor corresponde s condiesestabelecidas. No caso do clculo da mediana, o processode interpolao gera a seguinte frmula, que sempre iremosusar:

Me li

E f

f x hMeme ac ant

Me= +

Onde:

Me = Mediana

liMe

= Limite inferior da classe que contm o elementomediano (classe mediana)

Eme= Elemento medianoF

ac ant= Frequncia acumulada crescente at a classe anterior

classe mediana

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Unidade II

fMe

= Frequncia da classe mediana

h = Amplitude da classe mediana

O exemplo 3, a seguir, demonstra o clculo da mediana para

uma distribuio de vendas em R$ agrupadas por classe.

Exemplo 3

Calcular a mediana para a tabela abaixo que apresenta adistribuio de vendas de determinada empresa.

Classesnmero

Vendas mensais em R$Quantidadede meses

FrequnciaacumuladacrescenteValor Frequncia

li ls fi fac

1 R$ 50.000,00 |---- R$ 80.000,00 12 12

2 R$ 80.000,00 |---- R$ 110.000,00 18 30

3 R$ 110.000,00 |---- R$ 140.000,00 27 57

4 R$ 140.000,00 |---- R$ 170.000,00 26 83

5 R$ 170.000,00 |---- R$ 200.000,00 21 104

6 R$ 200.000,00 |---- R$ 230.000,00 18 122

7 R$ 230.000,00 |---- R$ 260.000,00 12 134

8 R$ 260.000,00 |---| R$ 290.000,00 9 143

Total 143

O elemento mediano dado por:

E Eme me= +

=> =143 1

272

O 72 elemento est na 4 classe, que chamamos de classemediana, ou seja, a mediana um valor entre R$ 140.000,00

e R$ 170.000,00. Obteremos o resultado usando a frmula dainterpolao:

Me liE f

fx h xMe

me ac ant

Me

= +

= +

140 000

72 57

2630 000. . ==> =Me 157 307 69. ,

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ESTATSTICA

Portanto, podemos afirmar que 50% das vendas mensaisdessa empresa esto acima de R$ 157.307,69, e 50%, abaixodeste mesmo valor.

3.3 Moda

O conceito de moda mais simples entre as medidasestatsticas. simplesmente o valor que mais vezes se repetenuma distribuio de frequncias, ou seja, aquele dotado demaior frequncia.

O clculo da moda para dados isolados ou para dados noagrupados em classes imediato, decorre de simples observao,como mostra o exemplo 1; j para dados agrupados necessitados,

adotam-se algumas recomendaes feitas por estatsticosrenomados. No exemplo 2, apresentamos um clculo desteltimo tipo de distribuio.

Exemplo 1

Calcular a moda para os conjuntos de dados mostradosabaixo, referentes ao consumo de rolamentos (em unidades) emvrias linhas de produo.

Linha A: {21; 22; 24; 24; 25; 25; 25; 27; 28)

A moda, evidentemente, : Mo=25.

Linha B: {8; 8; 9; 9; 9; 9; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 12; 12}

Neste conjunto, temos duas modas: Mo=9 e Mo=11.Chamamos de amostra multimodal.

Linha C: {15; 18; 25; 32; 43; 50; 61}No existe um valor que se repita mais de uma vez. Temos

uma amostra sem moda, ou seja, amodal.

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Unidade II

Linha D

Quantidadede rolamentosconsumidos

Nmero de vezesem que ocorreu

o consumo

xi

fi

Valor Frequncia

8 18

10 25

12 32

13 45

15 28

16 21

17 12

21 8

A moda o valor de maior frequncia, portanto, para a linhaD, teramos Mo=13.

Exemplo 2

Calcular a moda para a distribuio de rendas familiaresapresentada no quadro abaixo:

Classesnmero Rendas familiares mensais em R$

Quantidade demeses

Valor Frequncia

li

ls

fi

1 R$ 650,00 |---- R$ 1.100,00 16

2 R$ 1.100,00 |---- R$ 1.550,00 21

3 R$ 1.550,00 |---- R$ 2.000,00 28

4 R$ 2.000,00 |---- R$ 2.450,00 31

5 R$ 2.450,00 |---- R$ 2.900,00 18

6 R$ 2.900,00 |---- R$ 3.350,00 16

7 R$ 3.350,00 |---- R$ 3.800,00 12Total 142

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ESTATSTICA

Voc pode notar que os valores se repetem mais na classe4 (a frequncia a maior de todas); logo, a moda deve ser umvalor entre R$ 2.000,00 e R4 2.450,00. Mas exatamente qual o valor da moda?

Normalmente, esse clculo poder ser feito por trsrecomendaes diferentes: as frmulas de Czuber, King ePearson, que utilizaremos a seguir.

Recomendao de Czuber

Para utilizarmos a recomendao de Czuber, devemosinicialmente localizar a classe que tem maior frequncia, achamada classe modal. No nosso exemplo, essa classe a de

nmero 4, como j falamos. Em seguida, aplicamos a seguintefrmula:

Mo li f f

f f f f xMo

Mo ant

Mo ant Mo post

= +

+

( )

( ) ( )

Onde:

Mo = Moda

liMo= Limite inferior da classe modal

fMo

= Frequncia da classe modal

fant

= Frequncia da classe imediatamente anterior classemodal

fpost

= Frequncia da classe imediatamente posterior classemodal

h = Amplitude da classe modal

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Unidade II

No nosso exemplo, ficaria:

Mo x Mo R= + ( )( ) + ( )

=> =2 000

31 28

31 28 31 18450 2 103 85. $ . ,

Recomendao de King

Para utilizarmos a recomendao de King, devemosinicialmente localizar a classe que tem maior frequncia, achamada classe modal. No nosso exemplo, essa classe a denmero 4, como j falamos. Em seguida, aplicamos a seguintefrmula:

Mo li ff f

x hMopost

ant post

= ++

Onde:

Mo = Moda

liMo

= Limite inferior da classe modal

fant= Frequncia da classe imediatamente anterior classemodal

fpost

= Frequncia da classe imediatamente posterior classemodal

h = Amplitude da classe modal

No nosso exemplo, ficaria:

Mo x Mo R= ++

=> =2 000

18

28 18450 2 176 09. $ . ,

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ESTATSTICA

Recomendao de Pearson

No caso de Pearson, a recomendao parte de conceitodiferente das anteriores. Baseia-se no uso da mdia e damediana:

Mo=3 x Me 2 x X

Onde:

Mo = ModaMe = MedianaX = Mdia

No nosso exemplo, teramos:Me = R$ 2.094,36

X = R$ 2.123,59

Logo, a moda seria:

Mo=3 x 2.094,36 2 x 2.123,59 => Mo=R$ 2.035,88

Perceba que cada recomendao resultou em valordiferente. Isso ocorre porque so recomendaes que partemde consideraes diferentes. A experincia nos ensina qual amelhor recomendao a se utilizar em cada caso prtico.

O uso de cada uma das medidas de disperso depende dasituao prtica que se apresenta. Adriano Leal Bruni, em suaobra Estatstica aplicada gesto empresarial, apresenta umasrie de vantagens e desvantagens de cada uma delas, as quais

podem ser resumidas no quadro a seguir:

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Unidade II

Medida deposio

Vantagens Desvantagens

Mdia

de fcil compreenso,podendo ser calculadadiretamente usando-secalculadoras apropriadas.

afetada por valores extremosda srie, no representandocom preciso a distribuioem que esses valores ocorremcom frequncia acentuada.

Depende de todos os valoresda distribuio, usando todosos dados disponveis.

necessrio conhecer todosos valores da distribuio.

Evidencia bastanteestabilidade de amostra paraamostra.

A mdia no tem,necessariamente, existnciareal.

Possibilita a manipulao dedados, com clculo de mdiascombinadas.

Pode ser obtida uma mdia denmero fracionrio inexistente,por exemplo, 6,7 alunos.

Pode ser facilmente includaem equaes matemticas.

Mediana

Mesmo que alguns valores dasrie sejam modificados, elapode manter-se inalterada.

Se for determinada a medianados grupos separados, noser encontrada a mediana dogrupo.

Os valores extremos nointerferem no seu resultado;por isso indicada quandoexistem valores discrepantes.

Mesmo que os valores maisaltos ou mais baixos da srieno estejam definidos, elapode ser determinada.

Pode ser utilizada para dados

que tm a possibilidade de serordenados.

Moda

Caso algum valor da srieseja modificado, nonecessariamente a modaalterar.

A moda tem que ternecessariamente um valorreal, j que ela representadapor algum valor da srie.

Os valores extremos nointerferem no seu resultado

Quando utilizada paracalcular distribuies declasse aberta, no podeser determinada a modaempregando algumprocedimento aritmticoelementar.

Pode ser calculada emdistribuies que possuamclasse indeterminada.


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ESTATSTICA

4 MEDIDAS DE DISPERSO

Objetivos

As medidas de disperso completam a informao

contida nas medidas de posio, revelando o afastamentoou desvio dos elementos do valor central. Quanto menorfor a disperso de uma amostra, maior ser a qualidade dainformao contida na medida de posio, ou, em outraspalavras, menor a margem de erro que ser assumidoconsiderando a medida de posio como representante detoda a amostra.

Existem basicamente dois grandes grupos de medidas dedisperso:

medidas de disperso absolutas: levam em conta adisperso propriamente dita;

medidas de disperso relativas: levam em contasimultaneamente uma medida de posio e a medidade disperso correspondente. So teis para efetuarmoscomparaes entre amostras.

O objetivo deste captulo tomarmos contato com ambosos grupos.

4.1 Medidas de disperso absolutas

4.1.1 Amplitude total

A amplitude total (At) j nossa conhecida e a maiselementar das medidas de disperso. extremamente fcil deser calculada, mas de difcil interpretao, em especial quando

os dados extremos so muito grandes ou muito pequenos. Somais utilizadas, portanto, quando as distribuies apresentamcerta homogeneidade.

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Unidade II

Por exemplo, suponha que tenhamos as valorizaes mensaisdas aes de duas diferentes empresas A e B, com os seguintesvalores (em porcentagem):

Empresa A = {21,5; 18,0; 26,3; 32,4; 45,1; 18,6; 37,6}.

Empresa B = {15,3; 19,7; 23,9; 16,7; 25,9; 14,6; 18,9; 25,8}.

As amplitudes seriam, respectivamente, de 45,1 18,0 =27,1% para as aes da empresa A e de 25,9 14,6 = 11,3% paraa empresa B. Em outras palavras, as variaes mximas seriamde 27,1% para as aes da empresa A e de 11,3% para a empresaB. Logo, o risco de oscilao maior para a empresa A do quepara a empresa B.

4.1.2 Desvio mdio

definido como a mdia aritmtica do mdulo1dos desviosdos elementos em relao mdia dos mesmos. Entende-se pordesvio a diferena entre o valor de um elemento da amostrapara a mdia dessa mesma amostra:

di=xi X

Portanto, o desvio mdio ser dado pela frmula:

dmd

N

ii

n

= = 1

O exemplo abaixo deixar mais claro esse processo.

Exemplo 1

Calcular o desvio mdio da amostra {18; 21; 22; 27; 28; 29;32; 37}.

1Define-se mdulo ou valor de um nmero a distncia deste nmeropara zero, independentemente do sinal, ou seja, mdulo de um nmeropositivo e mdulo de um nmero negativo o seu simtrico, isto , o mesmonmero positivo. Para efeito do clculo do desvio mdio, consideramos onmero sempre positivo, seja qual for seu sinal.

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ESTATSTICA

O primeiro passo ser calcular a mdia aritmtica dessesvalores e, em seguida, os desvios de cada um dos valores. Depois,somaremos o mdulo desses valores dividindo-os pelo nmerototal de elementos da amostra. O quadro abaixo mostra passo apasso esses clculos:

Ordem doselementos

Valores Desvios Mdulodos desvios

di=x

i X

_|d

i=x

i X

_ |

1 18 18 - 27 = -9 9

2 21 21 - 27 = -6 6

3 22 22 - 27 = -5 5

4 27 27 - 27 = 0 0

5 28 28 - 27 = 1 1

6 29 29 - 27 = 2 2

7 33 33 - 27 = 6 6

8 38 38 - 27 = 11 11

Soma 216 0 40

Mdia ( X_ ) 216/8=27 Desvio mdio (dm) 40/8 = 5

Observe que a soma dos desvios zero, o que evidente.O prprio conceito de mdia (valor equidistante de todos oselementos da amostra) nos conduz a isso. O conceito de desviomdio s tem sentido quando utilizamos o mdulo dos desvios.

Para ficar mais claro, veja abaixo os clculos feitos, utilizando-sedas frmulas informadas:

Clculo da mdia:

X x

NX Xi= = =

216

827

Clculo do desvio mdio:

dmd

N dm dm

ii

n

= => = => == 1 40

8 5

5

10

15


20/38

58

Unidade II

Quando trabalhamos com dados agrupados em classesou no, utilizamos exatamente o mesmo processo de clculo,evidentemente que com alteraes nas frmulas de clculos,introduzindo-se o conceito de frequncia simples, como semostra a seguir:

dmd x f

f

i ii

n

ii

n= =

=

1

1

Observar que para dados agrupados em classes o clculo dosdesvios dado por:

di= p

mi- X

Os exemplos a seguir demonstram esses clculos.

Exemplo 2

Calcular o desvio mdio da amostra de distribuio abaixo,relativa ao nmero de acidentes dirios numa estrada federal.

Distribuio de acidentes por dia - estrada X

Nmero de

acidentesdirios

Dias

pesquisados

Valor x

Frequncia

Desvios Mdulo

dosdesvios

Mdulo

dosdesvios xFrequncia

Valor Frequncia

xi

fi

xi.fi di=x

i X

_|d

i=x

i X

_ | |d

i| x f

i

0 12 0 -3,6 3,6 43,5

1 15 15 -2,6 2,6 39,4

2 28 56 -1,6 1,6 45,6

4 23 92 0,4 0,4 8,6

5 19 95 1,4 1,4 26,1

6 8 48 2,4 2,4 19,08 6 48 4,4 4,4 26,2

10 4 40 6,4 6,4 25,5

11 2 22 7,4 7,4 14,7

12 1 12 8,4 8,4 8,4

Somas 118 428 257,0

Mdia 3,6 Desvio mdio 2,2

5

10


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59

ESTATSTICA

dmd x f

fdm dm

i ii

n

ii

n= => = => ==

=

1

1

257

118 2 2,

Exemplo 3

Calcular o desvio mdio da amostra de distribuio abaixo,relativa ao tempo de mo de obra gasto com a manuteno dosavies de uma empresa area.

Distribuio das horas de manuteno - aero X

Classes Limites declasses

Pontosmdios

declasse

Manutenespesquisadas

Valor xFrequncia

Desvios Mdulo dosdesvios

Mdulo dosdesvios x

Frequncia

Valor Frequncia

li ls pmi f i

pmi.fi di=x

i X

_|d

i=x

i X

_ | |d

i| x f

i

1 0 |--- 3 1,5 26 39 -4,1 4,1 106,0

2 3 |--- 6 4,5 20 90 -1,1 1,1 21,5

3 6 |--- 9 7,5 16 120 1,9 1,9 30,8

4 9 |--- 12 10,5 10 105 4,9 4,9 49,2

5 12 |--| 15 13,5 6 81 7,9 7,9 47,5

Somas 78 435 255,1

Mdia 5,6 Desvio Mdio 3,3

dmd x f

fdm dm

i ii

n

ii

n= => = => ==

=

1

1

2551

78 3 3

,,

4.1.3 Varincia

A definio de desvio mdio leva em considerao os desvios

dos elementos tomados a 1 potncia. Matematicamente,demonstra-se que os efeitos de desvio so mais bem-representados quando tomados ao quadrado. Essa consideraonos leva definio das duas mais importantes medidas de

5

10


22/38

60

Unidade II

variabilidade absolutas: a varincia e o desvio padro queveremos em seguida.

A varincia o somatrio dos desvios tomados ao quadrado,ou seja, basicamente a mesma definio do desvio mdio,

alterando-se apenas a potncia dos desvios:2

Sd

N

ii

n

22

1

1=

=

No caso em que estivermos trabalhando com dadosagrupados, a forma, naturalmente, dever incluir o conceito defrequncia simples, ou seja:

Sd x f

f

i ii

n

ii

n2

2

1

1 1

=

=

=

Os exemplos de 1 a 3 no prximo item mostram o clculo davarincia nos vrios casos possveis.

4.1.4 Desvio padro

O clculo ou a anlise da varincia tem um grandeinconveniente prtico: ela apresenta unidades ao quadradoem relao medida de tendncia central. Por exemplo,suponha que queremos descrever uma amostra de salriosde uma empresa. Poderamos afirmar que o salrio mdio daempresa de 1.340 reais, e a varincia, de 11.025 reais aoquadrado.

Observe a estranheza que causa a unidade: reais ao

quadrado. Sem falar do nmero extravagante que resultoudos clculos. Para contornar esse problema, define-se a maisutilizada das medidas de variabilidade: o desvio padro.

2Observe tambm uma alterao no denominador da frmula; aoinvs de N, N-1. Essa alterao importante quando tratarmos dos assuntosrelativos estimao estatstica (em Estatstica para Administradores). Arigor, utilizaremos a frmula acima para amostras e a mesma frmula comdenominador igual a N para populaes.

5

10

15

20


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61

ESTATSTICA

Conceitualmente, o desvio padro a raiz quadrada davarincia e simbolizado pela letra S maiscula. Dessa forma, calculado pelas frmulas

Sd

Nii

n

= =

2

11

para dados isolados e

Sd x f

f

i ii

n

ii

n=

=

=

2

1

1 1

para dados agrupados em classes ou no.

Nos exemplos de 1 a 3 a seguir, so calculados os valoresdo desvio padro e da varincia, de maneira semelhante aoque foi feito anteriormente para o desvio mdio. Observeque o clculo segue os seguintes passos em ambos oscasos:

1. Calcular a mdia da distribuio.

2. Calcular os desvios de cada elemento.

3. Calcular o quadrado dos desvios.

4. Somar o quadrado dos desvios (usando o conceito defrequncia caso sejam dados agrupados).

5. Dividir a soma obtida pelo nmero de elementos menos 1,

obtendo-se a varincia.6. Extrair a raiz quadrada, obtendo-se o desvio padro.

5

10

15

20


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62

Unidade II

Exemplo 1

Calcular a mdia e o desvio padro da amostra {18; 21; 22;27; 28; 29; 32; 37}.

Ordem doselementos

Valores Desvios Desvios aoquadrado

xi

di=x

i X

_d

i2

1 18 18 - 27 = -9 81

2 21 21 - 27 = -6 36

3 22 22 - 27 = -5 25

4 27 27 - 27 = 0 0

5 28 28 - 27 = 1 1

6 29 29 - 27 = 2 4

7 33 33 - 27 = 6 36

8 38 38 - 27 = 11 121

Soma 216 0 304

Mdia ( X_ ) 216/8=27

Varincia 304/7 = 43,4

Desvio padro 6,6

Clculo da mdia:

X x

N

X Xi= = = 216

8

27

Clculo da varincia:

Sd

N S S

ii

n

22

1 2 2

1

304

8 1 43 4=

=> =

=> ==

,

Clculo do desvio padro:

Sd

N S S S

iin

22

1

1

304

8 1 43 4 6 6=

=> =

=> = => == , ,

5


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63

ESTATSTICA

Exemplo 2

Calcular a varincia e o desvio padro da amostra dedistribuio abaixo, relativa ao nmero de acidentes diriosnuma estrada federal.

Distribuio de acidentes por dia - Estrada X

Nmero deacidentes

dirios

Diaspesquisados

Valor xFrequncia

Desvios Quadradodos

desvios

Quadradodos desvios

xFrequncia

Valor Frequncia

xi

fi

xi.fi di=x

i X

_d

i2 d

i2 x f

i

0 12 0 -3,6 13,2 157,9

1 15 15 -2,6 6,9 103,5

2 28 56 -1,6 2,6 74,1

4 23 92 0,4 0,1 3,25 19 95 1,4 1,9 35,8

6 8 48 2,4 5,6 45,0

8 6 48 4,4 19,1 114,7

10 4 40 6,4 40,6 162,5

11 2 22 7,4 54,4 108,7

12 1 12 8,4 70,1 70,1

Somas 118 428 875,6

Mdia 3,6 Varincia 7,5

Desvio Mdio 2,7

Clculo da varincia:

Sd x f

fS S

i ii

n

ii

n2

2

1

1

2 2

1

875 6

118 1 7 5=

=> =

= ==

=

,,


Sd x f

fS S S

i ii

n

ii

n=

=> =

=> = => ==

=

21

1 1

875 6

118 17 5 2 7

,, ,

5


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64

Unidade II

Exemplo 3

Calcular o desvio padro da amostra de distribuio abaixo,relativa ao tempo de mo de obra gasto com a manuteno dosavies de uma empresa area.

Distribuio das horas de manuteno - Aero X

Classes Limites declasses

Pontosmdios de

classe

Manutenespesquisadas

Valor xFrequncia

Desvios Quadradodos desvios

Quadradodos desvios xFrequncia

Valor Frequncia

li ls pmi f i

pmi.fi di=x

i X

_d

i2 d

i2 x f

i

1 0 |--- 3 1,5 26 39 -4,1 16,6 432,2

2 3 |--- 6 4,5 20 90 -1,1 1,2 23,2

3 6 |--- 9 7,5 16 120 1,9 3,7 59,2

4 9 |--- 12 10,5 10 105 4,9 24,2 242,45 12 |--| 15 13,5 6 81 7,9 62,8 376,7

Somas 78 435 1133,5

Mdia 5,6 Varincia 14,7

Desvio Padro 3,8

Clculo da varincia:

S

d x f

f S S

i ii

n

ii

n

22

1

1

2 2

1

1133 5

78 1 14 7= => = => ==

=

,

,


Sd x f

fS S S

i ii

n

ii

n=

=> =

=> = => ==

=

21

11

11335

78 114 7 3 8

,, ,

O desvio padro a mais utilizada medida de disperso,e, quando relacionada com a mdia, informa a quantidade deelementos da amostra ou da populao que se situam em tornoda mdia.

5

10


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65

ESTATSTICA

O mais comum, na estatstica, que essa relao entremdia e desvio padro seja feita pela chamada distribuionormal, qual ns voltaremos na disciplina de Estatstica paraAdministradores. Nessa relao, vlida na maior parte dos casosprticos, seguem-se os seguintes intervalos:

1. Entre a mdia maisuma vez o desvio padro e a mdiamenosuma vez o desvio padro, esto contidos 68% doselementos da amostra ou da populao.

2. Entre a mdia maisduas vezes o desvio padro e a mdiamenosduas vezes o desvio padro, esto contidos 85%dos elementos da amostra ou da populao.

3. Entre a mdia maistrs vezes o desvio padro e a mdiamenostrs vezes o desvio padro, esto contidos 99,74%dos elementos da amostra ou da populao.

4. Entre a mdia maisquatro vezes o desvio padro e a mdiamenosquatro vezes o desvio padro, esto contidos 100%dos elementos da amostra ou da populao.

Exemplo: um estudo estatstico com 4.850 alunos deAdministrao da Produode uma universidade mostrou

que a nota final mdia deles foi de 5,3 com desvio padrode 1,2. Quantos alunos tiveram mdias finais entre 4,1 e6,5?

Observe que as notas 4,1 e 6,5 correspondem exatamente mdia menos um desvio padro (5,3 1,2 = 4,1) e mdia maisum desvio padro (5,3 + 1,2 = 6,5). Portanto, 68% dos alunosesto contidos nesse intervalo, ou seja: 68% de 4.850 so 3.280alunos.

Podemos, portanto, afirmar que 3.280 alunos tiveram notasentre 4,1 e 6,5.

5

10

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25


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66

Unidade II

4.2 Medidas de disperso relativas

A maneira mais comum de se informar de maneira sinttica(resumida) dados quantitativos atravs de uma medida deposio (mdia, mediana ou moda) em conjunto com uma

medida de disperso absoluta (desvio mdio, varincia ou desviopadro). O mais comum o par de informaes: mdia - desviopadro.

Frequentemente, no entanto, interessante utilizar aschamadas medidas de disperso relativas, que analisamsimultaneamente uma medida de posio e a medida dedisperso correspondente. So especialmente interessantesessas medidas quando fazemos comparaes entre amostrasdiferentes.

A rigor, podemos obter essas medidas, costumeiramentechamadas de coeficientes de variao, dividindo uma medidade disperso por uma medida de posio; no entanto, as maiscomuns so:

1. Coeficiente de variao de Pearson: diviso do desviopadro pela mdia:

Cv SX

Cv SX

p p= = ou 100

2. Coeficiente de variao de Thorndike: diviso do desviopadro pela mediana:

Cv S

MeCv

S

Mep p= = ou 100

O exemplo a seguir mostra uma aplicao dos coeficientesde variao, num caso de ordem prtica.

5

10

15

20


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67

ESTATSTICA

Um especialista estudou, estatisticamente, dois tipos deinvestimentos, chegando s concluses do quadro abaixo. Qual o investimento que apresenta menor risco?3

Estatsticas

Aplicaes

ObservaesX Y

Retornoesperado 12% 20%

O especialista teria chegado a essasconcluses atravs de um estudo estatstico

no qual pesquisou e resumiu os retornosocorridos no passado, conforme vimos no

item 3.1

Desvio padro 9% 10% Analogamente, o especialista teria calculado odevio padro conforme vimos no item 4.1.4

Observe que se o especialista comparasse as aplicaessomente com base em seus desvios padres, ele preferiria

a aplicao X, uma vez que essa aplicao tem um desviopadro menor que Y (9% versus 10%). Essa comparaoseria baseada no fato de que, sendo mais homogneaa aplicao A, daria menos sustos. No entanto, se elecalculasse e comparasse os coeficientes de variao,chegaria a concluses diferentes:

EstatsticasAplicaes

X Y

Retorno esperado 12% 20%Desvio padro 9% 10%

Coeficiente de variaode Pearson 75% 50%

Cv Cvpa pa= =9

1275x 100=> %

Cv Cvpb pb= =1020

50x 100=> %

3 Adaptado de GITMAN, Lawrence J. Princpios de administraofinanceira. So Paulo: Harbra, 2003.

5

10


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68

Unidade II

A comparao dos coeficientes de variao das aplicaesmostra que o especialista estaria cometendo um erro sriose escolhesse a aplicao X em vez de a aplicao Y, j que adisperso relativa, ou risco, das aplicaes, conforme refletidano coeficiente de variao, menor para o ativo Y do que para

o X (50% versus75%). Evidentemente, o uso do coeficiente devariao para comparar o risco da aplicao melhor porqueeste tambm considera o tamanho relativo, ou retorno esperado,das aplicaes.

4.3 Relaes grficas entre as medidasestatsticas

Nos estudos e anlises estatsticos, interessante e

importante visualizar as informaes contidas nos dadosatravs do uso dos diversos grficos, assunto esse de quetratamos no mdulo 2.

Quando utilizamos os histogramas, facilmenteperceptvel que as frequncias dos valores mais centraistendem a ser maiores que as dos valores extremos. Essecomportamento nos permitir concluses importantes nocaptulo da estatstica indutiva, porque, via de regra, ocorrede modo repetitivo.

Observaes do padro de comportamento das distribuiesmostram que grande parte delas tende a se apresentar damaneira conhecida como distribuio normal.

A figura 1 mostra o comportamento estatstico de umadistribuio de frequncias relativa aos pesos de um grupode pessoas qualquer. Observe que os pesos prximos damdia tm maior frequncia, e o longe da mdia, menor.

Observe tambm a curva que se forma pela distribuio dascolunas.

5

10

15

20

25


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69

ESTATSTICA

Figura 1 - Pesos corporais

30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105

Peso em quilos

Frequnciasimples

40

35

30

25

20

15

10

5

0

No curso de Estatstica para Administradores, iremosretornar ao assunto, quando diremos, por exemplo, que poucoprovvel uma pessoa adulta ter peso acima de 100 kg ou abaixode 35 kg, e utilizaremos essa curva para determinar qual essa

probabilidade, se houver.

Por ora, iremos nos preocupar com a variao de formatosdesse tipo de curva, chamada de curva normal, ou curva deGauss ou, ainda, de curva do sino. Em teoria, espera-se que essacurva tenha comportamento mostrado nas curvas desenhadasem linha contnua nas figuras 2 e 3.

Mas na prtica ocorrem deformaes nessas curvas,demonstradas nas curvas pontilhadas das mesmas figuras. Essasdeformaes so chamadas, respectivamente, de assimetria(figura 2) e curtose (figura 3).

5

10


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70

Unidade II

Figura 2 - Assimetria

Mdia00

Varivel

Frequnciasimples Assimtrica positiva Assimtrica negativa

Simtrica

0

Figura 3 - Curtose

Curva platicrtica

Curva mesocrtica

Curva leptocrtica

Frequnciasimples

Mdia Varivel

4.3.1 Assimetria

A assimetria mede o quanto a distribuio se afasta damdia. Esse afastamento pode ocorrer para a direita ou paraa esquerda, gerando, respectivamente, as assimetrias positiva enegativa.

O grau de assimetria dado, frequentemente, pelo chamado1 coeficiente de Pearson:4

As X MeS

=

4Existem outras medidas de assimetria, alm do 1 coeficiente dePearson.

5


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71

ESTATSTICA

Onde:

As = Coeficiente de assimetriaX = MdiaMe = Mediana

S = Desvio padro

Caso:

As = 0, a distribuio simtrica.

As > 0, a distribuio assimtrica positiva ou direita.

As < 0, a distribuio assimtrica negativa ou esquerda.

Por esse critrio, costuma-se classificar as distribuies daseguinte maneira:

Caso As 1: assimtrica positiva forte.

4.3.2 Curtose

A curtose mede o quanto a distribuio se alonga ou seachata em relao curva terica. A curva terica chamadade mesocrtica; as mais alongadas, de leptocrtica, e as mais

achatadas, de platicrticaO grau de curtose dado, frequentemente, pelo coeficiente:5

k

d x f

f

S

i i

i=

4

4 3

5Existem outros coeficientes de curtose alm do apresentado aqui.

5

10

15

20


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72

Unidade II

Onde:

K = Coeficiente de curtosed

i= Desvios

fi= Desvio Padro

Caso:

K = 0, a distribuio mesocrtica.

K > 0, a distribuio leptocrtica.

K < 0, a distribuio platicrtica.

Exemplo:

O exemplo a seguir demonstra o clculo da assimetria e dacurtose de uma distribuio referente ao consumo de energiaeltrica entre 1.245 famlias de determinada regio.

Observando os clculos da prxima pgina, notamos que adistribuio (e a curva dela decorrente) assimtrica negativafraca, ou seja, ligeiramente deslocada para a esquerda e que platicrtica, ou seja, achatada. A curva teria a aparncia

aproximada abaixo (a curva pontilhada a do exerccio; a cheia, a padro):

Figura 4 - Assimetria e curtose

Mdia Varivel

Frequn

ciasimples

5

10

15


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73

ESTATSTICA

Classes

nmero

Consumo

mensal

porfamilia

Nmerode

famlias

Pontos

mdios

de

classe

Frequncia

acu

mulada

cre

scente

Pontos

mdiosx

Frequncias

Desvios

Desvios

ao

q

uadrado

Desvioao

quadradox

Frequncias

Desvios

aquarta

potncia

Desviosa

quartapotncia

xFrequncias

Valor

Frequncia

li

ls

fi

pmi

fac

pmixf

i

di=xiX_

di2

di2xf

i

di4

di4

xf

i

1

0

|----

50

158

25

158

3.950

-192

36.944

5.837.189

1.364.876.602

215.650.503.107

2

50

|----

100

100

75

258

7.500

-142

20.223

2.022.335

408.984.000

40.898.400.046

3

100

|----

150

112

125

370

14.000

-92

8.502

952.277

72.291.984

8.096.702.259

4

150

|----

200

164

175

534

28.700

-42

1.782

292.180

3.174.048

520.543.855

5

200

|----

250

175

225

709

39.375

8

61

10.623

3.685

644.833

6

250

|----

300

280

275

989

77.000

58

3.340

935.149

11.154.389

3.123.228.929

7

300

|----

350

84

325

1.073

27.300

108

11.619

975.991

134.999.655

11.339.970.993

8

350

|----

400

63

375

1.136

23.625

158

24.898

1.568.577

619.912.976

39.054.517.468

9

400

|----

450

56

425

1.192

23.800

208

43.177

2.417.921

1.864.267.846

104.398.999.377

10

450

|---|

500

53

475

1.245

25.175

258

66.456

3.522.183

4.416.437.760

234.071.201.262

Somatrios

1.245

270.425

18.534.426

657.154.712.129


36/38

74

Unidade II

Clculo da mdia:

X x f

fX Xi i

i

= => = => =

270 425

1245217 2

.

.,


Sd x f

fS S S

i ii

n

ii

n=

=> =

=> = => ==

=

21

11

185344261 245 1

14 899 1. ..

. 222 1,

Clculo da mediana:

- elemento mediano:

E N E Eme me me= + => = + => =1

21 245 1

2623.

- mediana:

Me=li +E -f

f x h=200+

623-534

175 x 50=>Me=Me

me ac ant

Me

2225,4

Clculo da assimetria:

As X Me

SAs As=

=> =

=> =

217 2 225 4

12210 067

, ,

,,

Clculo da curtose:

K

d x f

f

SK K

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ESTATSTICA

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