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ESTIMULANDO A CURIOSIDADE DOS ALUNOS POR MEIO DA RESOLUÇÃO
DE PROBLEMAS
Autor: Aparecida Dias de Souza1
Orientador: João Cesar Guirado2
Resumo O documento das Diretrizes Curriculares de Educação Básica do Estado do Paraná cita como um dos encaminhamentos metodológicos a Resolução de Problemas. Essa metodologia vem sendo estudada ao longo dos últimos anos, por vários educadores matemáticos e é muito comum no cotidiano de sala de aula, mas de modo geral, continuam sendo trabalhados como exercícios repetitivos para fixar conteúdos que acabaram de ser estudados. Nesse trabalho, procurou-se fundamentar a importância da resolução de problemas para o ensino da matemática, como um recurso valioso, sem deixar os aspectos importantes relativos à leitura, interpretação e compreensão da linguagem matemática. Nesse sentido, o objetivo deste artigo é mostrar o resultado do projeto de pesquisa e relatar a experiência da implementação de uma Unidade Didática com sugestões de problemas selecionados e adaptados com abordagem nas operações fundamentais. A aplicação desta metodologia em sala de aula ocorreu em uma turma de 6º ano do Colégio Estadual Rodrigues Alves, em Maringá-PR, a fim de contribuir para a melhoria do ensino-aprendizagem de matemática da rede pública estadual, permitindo, assim, promover o desempenho e o desenvolvimento da capacidade de pensar e compreender os conceitos matemáticos pertinentes às operações fundamentais, visando tornar as aulas de matemática mais dinâmicas, interessantes e criativas. Dessa forma, ao trabalhar com esta metodologia, o aluno terá a oportunidade de desenvolver e sistematizar os conhecimentos matemáticos, dando significação aos conteúdos, pois estará desafiado a utilizar o raciocínio, a lógica, a concentração, a atenção, o cálculo mental e a estimativa. Palavras-chave: Resolução de Problemas; Operações Fundamentais; Números; Raciocínio Matemático.
1 Especialista em Fundamentos e Teorias da Educação — Unipar/PR e Educação Especial — IPE/PR —Professora
de Matemática da Rede Pública Estadual. 2 Mestre em Matemática — Unicamp —Professor Adjunto D — Departamento de Matemática da Universidade
Estadual de Maringá — UEM/PR.
1 Introdução
Este artigo mostra o resultado de uma pesquisa, como parte de finalização
das atividades do Programa de Desenvolvimento Educacional PDE - turma 2010.
O PDE — Programa de Desenvolvimento Educacional — desenvolvido pela
Secretaria de Educação do Paraná, em convênio com as universidades
paranaenses e Secretaria de Estado da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior, visa
mudanças qualitativas na prática da Educação Pública do Estado do Paraná e
constitui-se em um programa de Formação Continuada, tendo por objetivo
proporcionar aos professores da rede pública subsídios teóricos e metodológicos
para o desenvolvimento de ações educacionais sistematizadas e que resultem em
redimensionamento de sua prática.
Nesse sentido, se fez necessário uma pesquisa tendo em vista da
constatação da enorme defasagem apresentada pelos alunos da Educação Básica
na compreensão dos conceitos e aplicações das operações fundamentais: adição,
subtração, multiplicação e divisão, pois a maioria deles chega no 6º ano sem o
domínio dos algoritmos, sem a compreensão do Sistema de Numeração Decimal e
sem habilidades de raciocínio. Essa dificuldade tem sido revelada no desempenho
dos alunos em olimpíadas, concursos, Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM,
como também em sala de aula, nas atividades do dia a dia e nas avaliações a que
são submetidos.
De fato, o aluno que apresenta essas dificuldades se encontra em posição de
fragilidade, não consegue relacionar as operações matemáticas para a devida
solução de uma situação-problema e, em consequência, sente-se desestimulado e
acaba desistindo de tentar resolver a situação-problema, esperando a resolução
pelo professor no quadro de giz e, muitas vezes, copiando a solução do colega.
Diante dessa situação, objetivou-se, nesse estudo, mostrar ao educador a
importância de propor metodologias para o ensino da Matemática, com base nas
atuais tendências da Educação Matemática, que possibilitam aos alunos uma
aprendizagem mais fácil e mais compreensível dos conteúdos matemáticos. Nesse
sentido, cabe mencionar que
A aprendizagem da Matemática não consiste apenas no desenvolvimento
de habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela
memorização ou listas de exercícios, mas visa à criação de estratégias que
possibilitem ao aluno construir significados quanto às ideias matemáticas,
de modo a tornar capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir
e criar. Uma das possíveis metodologias que permitem a consecução
desses objetivos é a inserção da Resolução de Problemas no ambiente
escolar (GUIRADO et al., 2010, p. 10).
E de acordo com as Diretrizes Curriculares de Educação Básica do Estado do
Paraná, os conteúdos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas
da Educação Matemática que fundamentam a prática docente, e uma das
alternativas metodológicas é a Resolução de Problemas. Por meio desta
metodologia, o processo de ensino aprendizagem torna-se mais dinâmico, pois as
diferentes formas de resolução de problemas oportunizam o estabelecimento de
conexões tanto de matemática como de comunicação, propiciando assim uma
melhoria para o ensino nas escolas da Rede Pública de Educação Básica do Estado
do Paraná.
Sendo assim, é necessário ressaltar que resolução de problemas e resolução
de exercícios são metodologias distintas. Na resolução de problemas, os alunos se
depararam com uma situação imprevisível, diante de um obstáculo a ser superado
com maior ou menor complexidade, com isto, terão que analisar, fazer
questionamentos, levantar hipóteses e verificá-las, e, dependendo dos
conhecimentos prévios de cada estudante, o problema torna-se difícil para alguns e
fácil para outros. Já na resolução de exercícios, os alunos simplesmente buscam
colocar em prática os mecanismos resolutivos aprendidos sendo meros executores,
chegando à solução de forma imediata.
Segundo Shoenfeld apud Krulik e Reys (1997), o professor deve fazer uso de
práticas metodológicas para a resolução de problemas, pois isso torna as aulas de
matemática mais dinâmicas, interessantes e motivadoras e não restringe o ensino
da Matemática a modelos clássicos, como exposição oral e resolução de exercícios.
Ainda de acordo com Shoenfeld, a resolução de problemas possibilita
compreender os raciocínios matemáticos e ajuda a vê-los como um conhecimento
possível de ser compreendido pelos estudantes no processo de ensino e
aprendizagem.
Toda pesquisa teve como objetivo a produção de sugestões de problemas,
adaptados e selecionados, partindo dos mais simples até os mais complexos, de
modo a propiciar ao aluno a assimilação dos conceitos matemáticos pertinentes às
operações fundamentais, com o intuito de apresentar situações-problema de forma
inovadora, aos alunos do 6º ano do Colégio Estadual Rodrigues Alves Ensino
Fundamental Médio e EJA, Maringá-PR.
Ressalta-se que os problemas selecionados foram acompanhados de
comentários relativos à(s) solução(ões) e isso possibilita que outros professores
possam utilizá-los em suas aulas para enriquecimento da atividade docente,
permitindo-lhes, também, o entendimento de que é possível planejar e organizar um
encaminhamento metodológico para a Resolução de Problemas no Ensino da
Matemática, pois esse é um instrumento valioso e perfeitamente viável a qualquer
conteúdo trabalhado. Nessa perspectiva, é importante que o docente faça uso de
metodologias no processo ensino-aprendizagem, e que venham ao encontro das
expectativas do aluno.
Ante ao exposto, ensinar matemática por meio de Resolução de Problemas é
uma abordagem consistente com as recomendações do National Council of
Theachers of Mathematics (NCTM) e das Diretrizes Curriculares do estado do
Paraná-Matemática, pois conceitos e habilidades matemáticas são aprendidos no
contexto de resolução de problema.
2 Fundamentação Teórica
Os números estão presentes na vida do homem desde os tempos ―remotos
como os do começo da idade da pedra, o paleolítico‖ (STRUIK, 1997, p. 29).
Assim como os números, a resolução de problemas aparece na história por
meio de documentos antigos como é o caso do Papiro de Rhind (ou Ahmes), datado
de 1650 a.C, e também em outros registros efetuados pelos egípcios, chineses e
gregos. Eves (2004, p.75) relata que ―muitos desses problemas decorrem de
fórmulas de mensuração necessárias para o cálculo de áreas de terras e volumes de
grãos‖. É importante mencionar que embora estes problemas apresentem instruções
para a resolução, não há qualquer demonstração ou justificativa a respeito de como
ela teria sido descoberta.
É bem provável que resolver problemas já fazia parte da natureza humana
desde o homem primitivo.
Resolver problema é da própria natureza humana. Podemos caracterizar o
homem como ―animal que resolve problemas‖; seus dias são preenchidos
com aspirações não imediatamente alcançáveis. A maior parte de nosso
pensamento consciente é sobre problemas; quando não nos entregamos à
simples contemplação, ou devaneios, nossos pensamentos estão voltados
para algum fim. (POLYA, apud KRULIK; REYS, 1997, p.2).
Até meados do século XX, a Resolução de Problemas consistia simplesmente
em resolver problemas, mas não como uma metodologia de Ensino e Aprendizagem
em Matemática. Assim, houve avanços e recuos em relação à adoção da
Resolução de Problemas em todo mundo, mas a sua essência sempre foi mantida,
ou seja, ensinar o estudante a resolver problema.
Em 1980, foi publicado pelo National Council of Theachers of Mathematics
(NCTM) a Agenda for Action: recommendations for school mathematics of the 1980’s
algumas recomendações para o ensino da matemática. A primeira das
recomendações dizia que ―resolver problema deve ser o tema central da
Matemática, durante a década de 80‖. No final desta década, a resolução de
problemas começa a ter uma nova dimensão, despontando como uma metodologia
de ensino.
Em 1988, o National Council of Supervisors of Mathematics – NCSM
identificou doze áreas de competências que os alunos devem apresentar em
Matemática e uma delas é a Resolução de Problemas.
Para o NCSM, a resolução de problemas é um ―processo de aplicação de
conhecimentos previamente adquiridos a novas e não familiares situações‖. As
estratégias envolvem propor: a apresentação de questões; a análise de situações; a
transferências de resultados; a ilustração de resultados; o traçado de diagramas; o
uso da técnica de ensaio e erro.
Em termos históricos, Polya, educador matemático húngaro, foi um grande
incentivador da resolução de problemas. Isso ocorreu na metade do século XX. Sua
proposta era tornar os estudantes de matemática em bons solucionadores de
problemas e em uma de suas obras ele faz uma citação esplêndida sobre a
Resolução de Problemas:
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre
uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O
problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em
jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios
experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências
tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e
deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter (POLYA, 2006,
p. v).
Polya é considerado como referência no assunto, pois suas ideias
representam uma grande inovação em relação às existentes até então, suas obras
servem de alicerce para o trabalho desenvolvido por outros pesquisadores
contemporâneos nesta área, como Alan H. Schoenfeld e Nicholas A. Branca.
É importante compreendermos que os problemas não se tratam de
conteúdos, mas sim uma forma de trabalhar os conteúdos.
Os conteúdos básicos devem ser trabalhados a partir de problemas, e esses
devem ser utilizados como um desafio à reflexão dos alunos, evitando-se o uso de
problemas-modelo, uma vez que resolver problema implica no domínio que o aluno
possui dos conteúdos adquiridos e do raciocínio lógico.
O ensino da Matemática tem sido visto como algo complexo e desestimulante
para muitos alunos. Isso pode ser justificado pelo próprio modo de como os
professores veem a Matemática, como ciência pronta, que reúne axiomas, teoremas
e fórmulas, que muitas vezes causam desinteresse aos alunos. Dessa forma, o
ensino passa a ser mecanicista e pouco do que é ensinado é realmente retido pelo
aluno. Assim, muitos não são capazes de aplicar os conceitos e habilidades no seu
cotidiano e isso ocorre porque não chegam à compreensão desses conhecimentos.
De modo geral, os conteúdos são fixados por meio de problemas,
caracterizando-se como meros exercícios repetitivos, não permitindo aos alunos a
identificação de importantes características que se repetem no processo de
resolução, criando, desta forma, procedimentos padronizados a serem repetidos em
situações similares. Essa forma de abordar os problemas não contribui para um
aproveitamento eficaz por parte do aluno. Nesse sentido, cabe mencionar que
[...] só há problema se o aluno percebe uma dificuldade; uma determinada
situação ―provoca problema‖ para um determinado aluno pode ser resolvida
imediatamente por outro (e então não será percebida por este último como
sendo um problema). Há então, uma idéia de obstáculo a ser superado. Por
fim, o meio é um elemento do problema, particularmente as condições
didáticas da resolução (organização da aula, intercâmbio, expectativas
explícitas ou implícitas do professor (CHARNAY, 1996, p.46).
Diante disso, para amenizar essa situação que está inserida na sociedade e,
ao mesmo tempo, modificar o que já se instalou durante décadas, é preciso muito
esforço, criatividade e responsabilidade. Não se pode ensinar matemática sem a
aquisição do significado da disciplina e sem o domínio dos conceitos fundamentais a
esta compreensão.
Compete à escola a tarefa de informar, porém não só no sentido cumulativo e
sim na formação integral do sujeito envolvido nesse processo. Nesse sentido, cabe
mencionar que
Os anos escolares são, no todo, o período ótimo para o aprendizado de
operações que exigem consciência e controle deliberado; o aprendizado
dessas operações favorece enormemente o desenvolvimento das funções
psicológicas superiores enquanto ainda estão em fase de amadurecimento.
Isso se aplica também ao desenvolvimento dos conceitos científicos que o
aprendizado escolar apresenta à criança (VYGOTSKY, 1989, p. 90).
De acordo com as Diretrizes Curriculares de Educação Básica de Matemática
do Estado de Paraná (2008, p.48), ―[...], almejam-se um ensino que possibilite aos
estudantes análises, discussões, conjecturas de conceitos e formulação de idéias‖.
Nestas diretrizes, um dos encaminhamentos metodológicos para o Ensino da
Matemática é que os conteúdos propostos devem ser abordados por meio de
tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática
docente, das quais destacamos a Resolução de Problemas. Portanto, um dos
desafios para o ensino da Matemática na Rede Pública Estadual do Paraná é a
abordagem de conteúdos por meio da Resolução de Problemas como Metodologia
de Ensino. Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de
aplicar conhecimentos previamente adquiridos, na sala de aula, em situações novas
e desconhecidas.
Segundo Branca (apud Krulik; Reys, 1997, p. 10) ―resolver problemas de
livros didáticos é uma maneira de resolver problemas, mas os alunos também
deveriam se defrontar com problemas de outras fontes‖. É importante que o
professor proponha problemas que vão além da sala de aula, que despertem e
desafiem a curiosidade. O problema sendo provocativo certamente vai estimular e
despertar o interesse do aluno a descobrir o prazer na busca da solução, pois
quando ele é desafiado, seu entusiasmo pela solução é despertado; mas isso não é
suficiente, pois deve-se, também, selecionar e/ou elaborar e propor problemas
matemáticos que agucem o interesse dos alunos em querer resolvê-los. Essas
considerações são apontadas por Polya:
O aluno precisa compreender o problema, mas não só isto; deve também
desejar resolvê-lo. Se lhe faltar compreensão e interesse, isto nem sempre
será culpa sua. O problema deve ser bem escolhido, nem muito difícil nem
muito fácil, natural e interessante (POLYA, 2006, p.5).
É a partir da resolução de problemas simples que o aluno avança em sua
aprendizagem, podendo despertar o gosto pelo trabalho mental, desafiar a
curiosidade e descobrir o prazer na busca da solução e deixar, por toda a vida, a sua
marca na mente e no caráter. Polya ressalta ainda que os problemas precisam estar
adequados ao nível dos alunos, devem ser bem escolhidos, isto é, nem muito
difíceis para que não desanimem frente às dificuldades encontradas e nem muito
fáceis para que não percam o interesse por julgarem que são fáceis demais.
No ensino fundamental, é importante o domínio dos conceitos e
procedimentos aritméticos básicos, pois é a partir desse domínio que se constroem
outros conhecimentos matemáticos mais complexos e elaborados. A resolução de
problemas é essencial ao desenvolvimento da Matemática e tem papel importante
em todos os níveis de escolaridade.
Ao aprender matemática por meio da Resolução de Problemas, o aluno
adquiri maneiras de pensar, hábitos de persistência e curiosidade, bem como
confiança em situações não familiares que o ajudarão, no seu dia a dia, a resolver
problemas do cotidiano, pessoais, sociais e científicos.
Segundo Polya, é interessante observar a relação que ele faz com a
resolução de problemas e a habilidade de nadar. Para esse autor, resolver
problema é uma atividade prática, assim como nadar, que pode ser aprendido por
meio de imitação e prática, pois quando queremos nadar precisamos entrar na água
e para tornarmo-nos bons solucionadores de problemas, temos que resolvê-los.
Ensinar Matemática utilizando a metodologia Resolução de Problemas não
significa simplesmente apresentar um problema e esperar um simples toque de
mágica para que isso aconteça. Pelo contrário, é necessária uma formação sólida
por parte do professor, uma vez que é impossível ensinar algo que não se tenha
nenhum conhecimento.
Ao resolver um problema em sala de aula, o professor deve dramatizar um
pouco suas ideias, e questionar a si mesmo o que questionaria ao seu aluno com o
objetivo de ajudá-lo. Esse tipo de orientação ajuda o aluno a descobrir o uso correto
do questionamento, e ao conseguir chegar a esse questionamento e fazê-lo, obterá
algo valioso mais do que um simples conhecimento matemático.
Ao ajudar o aluno, a postura do professor deve ser a mais natural possível.
Muitas vezes, deve se colocar no lugar do aluno, procurando perceber o que se
passa com esse aluno.
Utilizar uma linguagem ilustrada, com a qual o aluno possa registrar as
informações, é uma alternativa que pode ser abordada na fase inicial do ensino de
Resolução de Problemas. Este tipo de linguagem incentiva os alunos a passar as
informações do problema para o papel, registrando-as nas formas que acharem
mais úteis e fáceis, de acordo com o seu entendimento. Portanto, tendo o aluno
apropriado de bons hábitos no processamento das informações, podemos então
propor cada vez mais problemas sofisticados, e à medida que o aluno for
avançando, introduzir a linguagem simbólica.
Os símbolos e gramática da matemática constituem uma linguagem não
familiar, e os alunos diferem na rapidez e facilidade com que conseguem
compreendê-los. Quando a linguagem das expressões numéricas não lhes
é familiar, os alunos precisam se empenhar para compreender o enunciado
do problema, escrito numa linguagem estranha para ele, em vez de se
concentrar no problema propriamente dito (SCHNEIDER; SANDERS, apud
KRULIK; REYS, 1997, p. 88).
Polya foi um dos matemáticos contemporâneo mais importante do século XX,
por apresentar uma heurística de resolução de problemas específica para a
matemática. Ele organizou o processo de resolução de problemas, enfatizando que
elas não necessitam ser percorridas uma depois da outra, como uma receita, mas
sim, estimulando a criatividade do aluno, apresentando a Resolução de Problemas
como uma metodologia de Ensino de Matemática e não apenas como forma de
exercitar conteúdo.
Para resolver e encaminhar a solução de um problema, segundo Polya,
quatro fases principais podem ser empregadas.
1ª Fase – Compreender o Problema
Nessa fase, o primeiro passo é compreender o problema, para isso é
importante que o aluno questione e responda diversas variáveis que são partes
importantes de um problema como: Qual é a incógnita? Quais são os dados e as
condições do problema? É possível satisfazer as condições? Essas condições são
suficientes ou não para determinar a incógnita? Existem condições insuficientes,
redundantes ou contraditórias?
Construir uma linguagem ilustrada em forma de figuras para esquematizar a
situação no problema proposto pode ser viável, desde que registre sua notação de
forma adequada.
Nesta etapa, vale ressaltar que é importante o professor orientar seu aluno
quanto à leitura, direcionando-se a uma leitura interpretativa para facilitar a
compreensão, de modo que consigam estabelecer as possíveis estratégias de
resolução.
2ª Fase – Estabelecer um Plano
Esta etapa tem por fim encontrar conexões entre os dados e a incógnita. Se
não puder encontrar uma conexão de forma imediata, é propício buscar ajuda em
problemas auxiliares. Nesta etapa também é importante fazer alguns
questionamentos como: Você conhece um problema igual que pode ajudá-lo a
resolver este? Você tem conhecimentos de outras informações que possam ajudá-lo
a resolver o problema como fórmulas ou teoremas? Você consegue reformular o
problema de outra maneira?
Sugere-se que o problema seja resolvido por partes.
Após os questionamentos e reflexões, caso o aluno não tenha conseguido
sistematizar o caminho para a solução do problema, cabe ao professor, neste
momento, propiciar ao aluno, por meio de sugestões e indagações, mesmo que
discretamente, uma ideia que o leve a estabelecer estratégias como: ―observe com
atenção para a incógnita e tente encontrar um problema similar e que tenha uma
incógnita igual‖.
Nessa fase, é preciso que sejam observados como os diversos itens estão
relacionados, para que se tenha uma ideia da resolução e, finalmente, com, ou sem
a colaboração do professor, o aluno estabelecerá um plano para resolver
corretamente o problema proposto, devendo perceber qual é o melhor caminho para
chegar à solução, ou seja, por meio de uma tabela, ou um gráfico, ou equações, ou
por tentativa e erro, ou um desenho ou um diagrama, ou dramatizando a situação,
ou usando as operações matemáticas.
3ª Fase – Executar o Plano Escolhido
O aluno deve estar convicto de que seu plano alcançou os objetivos. Dessa
forma, deve examinar cada passo e executar o plano traçado. Este é o momento da
efetivação de todas as estratégias adequadas e pensadas para a resolução do
problema. Caso o aluno não tenha elaborado uma estratégia que não seja
adequada, provavelmente terá grandes dificuldades em executar o plano e encontrar
a solução. O importante é que o professor acompanhe todos os passos,
questionando o aluno ao executar o plano traçado.
4ª Fase – Fazer um Retrospecto da Resolução
Nesta etapa, o aluno deve examinar a solução obtida, verificando os
resultados e os argumentos utilizados que o levou a encontrar a solução do
problema. Para isso, vale algumas indagações: É possível verificar o resultado e o
argumento? Você pode obter o resultado por um caminho diferente? Você consegue
utilizar o resultado, ou método, em algum outro problema?
Esta última fase é considerada importante e instrutiva do problema, pois o
propósito nesta fase é o de analisar os procedimentos utilizados, procurando
simplificá-los ou buscar outras maneiras de resolver o problema de forma mais
simples, repassando-se todo o problema e, finalmente, refletir sobre o processo
realizado procurando descobrir a essência do problema e da estratégia empregada
para resolvê-lo, de modo a favorecer uma transposição do aprendizado adquirido
neste trabalho para a resolução de outras situações-problema.
O que se percebe é que até mesmo os bons alunos, uma vez encontrada a
solução do problema, simplesmente passam para o próximo sem ao menos
comentar ou analisar seu resultado final, perdendo assim, uma fase valiosa, pois
esta fase propicia o entendimento dos conceitos abstratos estudados.
No entanto, podemos entender que todas as etapas mencionadas são
importantes, mas se a primeira não acontecer, provavelmente nenhuma outra
poderá chegar ao objetivo final que é o entendimento e a resolução do problema,
pois para que haja um bom entendimento por parte dos alunos, o enunciado verbal
do problema precisa ficar bem entendido.
Portanto, o papel do professor, como educador, é acompanhar e questionar o
aluno, para saber se houve entendimento, auxiliando-o, diante das dificuldades
apresentadas.
3 Percurso Metodológico
Os passos que foram seguidos até a produção deste artigo foram: elaboração
do Projeto de Intervenção Pedagógica juntamente com as pesquisas e leituras, a
elaboração da Produção Didático-Pedagógica, a elaboração e a realização do Grupo
de Trabalho em Rede - GTR e a implementação da Produção Didático-Pedagógica
na escola.
Para a realização desse trabalho elaborou-se um rol de sugestões de
problemas interessantes e curiosos para ensinar Matemática com enfoque nas
operações fundamentais. O material produzido foi viável e aplicado com alunos do 6º
ano do Ensino Fundamental no Colégio Estadual Rodrigues Alves Ensino
Fundamental Médio e EJA.
O material foi produzido, tendo por pressuposto a compreensão e a
construção dos conceitos elementares das operações fundamentais, o
desenvolvimento do raciocínio lógico, a curiosidade e o interesse pela descoberta da
solução, sem deixar de considerar o desenvolvimento da criatividade, da
concentração, da atenção e da paciência.
Esse trabalho possibilitou aos alunos o entendimento de relações entre ideias
matemáticas e a importância da utilização dos números e das operações aritméticas,
contribuindo assim para o reconhecimento e a valorização social e cultural da
matemática, pois registrar, calcular e realizar operações aritméticas são
manifestações que tiveram origem desde a antiguidade, na história da humanidade,
sendo considerada como uma alavanca para o desenvolvimento e o progresso das
civilizações.
4 Desenvolvimento da Implementação
A primeira etapa iniciou-se com a apresentação do Projeto de Intervenção na
Escola e a Produção do Material Didático para a equipe pedagógica e direção da
escola mencionada, bem como aos alunos participantes dessa pesquisa.
Inicialmente, viabilizou-se uma reunião com a Equipe Pedagógica da escola,
com o objetivo de explicar a proposta de trabalho a ser desenvolvido com os alunos.
Nessa oportunidade, foi entregue uma cópia do material elaborado, ou seja,
Projeto de Intervenção Pedagógica e o Material Didático (Unidade Didática). Durante
a apresentação, foram mencionados a justificativa e os objetivos propostos em
relação à aplicação do material. A equipe pedagógica e a direção colocaram-se à
disposição no que fosse necessário no decorrer da implementação do material, a fim
de que os resultados fossem positivos, buscando garantir o interesse e a
participação dos alunos.
Nesta etapa, foram apresentados aos alunos o projeto de intervenção e os
conteúdos a serem trabalhados na Unidade Didática, que seria desenvolvida durante
aquele período (4º bimestre).
Foi feito um breve comentário a respeito da metodologia a ser utilizada e os
alunos ficaram entusiasmados com o projeto e a aceitação foi ótima.
A implementação foi dividida em três momentos:
4.1 Levantamentos das concepções cotidianas dos alunos a respeito dos
números e sua utilização
Nessa atividade, a intenção foi de exercitar oralmente os conhecimentos
prévios adquiridos sobre os Números e sua importância no nosso cotidiano, isto é,
fazendo um breve histórico dos números, desde a sua origem até os dias atuais.
Estabeleceu-se uma discussão e comentários sobre o assunto exposto, com
levantamento de perguntas e respostas, com questionamentos abordando os
conhecimentos matemáticos ao longo da história da humanidade e relembrando os
principais fatos pertinentes à história dos números. A discussão foi bastante
relevante, uma vez que foi discutido e socializado por todos, com o intuito de
aprofundar conceitos e os conhecimentos matemáticos.
4.2 Levantamentos dos conhecimentos prévios dos alunos sobre
resolução de problemas
Leitura e estudo do texto sobre as quatro etapas sugeridas por Polya para
resolver um problema.
A leitura deste texto teve por objetivo facilitar a compreensão de como
resolver um problema seguindo esse procedimento, e também possibilitar o
conhecimento do conceito de problemas. Os alunos foram divididos em grupos e
receberam o material, para exercitar a concentração e a atenção. A leitura foi feita
em voz alta, com o acompanhamento de todos silenciosamente, uma etapa de cada
vez.
Em seguida, após a leitura de cada etapa, houve discussões, comentários e
reflexões acerca do entendimento sobre resolução de problemas, seguindo as
quatro etapas. Foram levantados alguns questionamentos como: há quanto tempo já
se resolvem problemas? Como eram registrados esses problemas?
4.3 Desenvolvimentos dos problemas sugeridos
Os alunos resolveram os problemas sugeridos, sendo todos desenvolvidos
em sala de aula. Os problemas sugeridos foram digitados e impressos, de modo que
cada aluno recebeu seu material contendo quatro atividades de cada vez, mas a
regra era que fosse resolvido um problema de cada vez, para depois ir para o
próximo problema. Os alunos tinham a liberdade de resolver individualmente ou em
grupos de dois ou três alunos, no máximo, entendo que atividades em grupo
possibilitam ao aluno maiores condições de resolução de problemas, uma vez em
que terá a oportunidade para a problematização, o entrosamento entre os colegas, a
reflexão, a troca de ideias, com discussões enriquecedoras, visto que os argumentos
de cada um podem contribuir para encontrar as melhores estratégias do problema
proposto. Acompanhando as etapas sugeridas por Polya, os alunos foram instruídos
para que lessem o problema, se necessário, mais de uma vez, de modo que
procurassem entender, analisar e pensar sobre os dados, ou seja, qual a questão
proposta pelo problema, uma vez a leitura é imprescindível para a apropriação e o
entendimento dos conceitos matemáticos, ao invés de simplesmente resolver os
cálculos. Porém, nesse artigo, apresentaremos apenas alguns problemas
trabalhados com os alunos, um breve relato com as discussões, reflexões e
conclusões relativas a cada um deles.
1 Festa Junina – colocação das bandeirinhas
A professora, com a ajuda de seus alunos, quer enfeitar a sala de aula
para a festa junina, utilizando bandeirinhas que eles mesmos confeccionaram.
Conseguiram fazer 64 bandeirinhas que serão colocadas em fileiras da
seguinte maneira: na primeira fila, uma bandeirinha e, nas demais, sempre
duas bandeirinhas a mais do que a quantidade de bandeirinhas da fila anterior.
Diga quantas fileiras serão necessárias para que a professora enfeite sua sala.
Aluno A
Aluno B
A maioria dos alunos percebeu que a melhor forma para achar o resultado
desse problema foi fazer uma tabela registrando os dados de acordo com o
enunciado, ficando mais fácil notar que as quantidades das próximas fileiras é obtida
sempre somando duas à quantidade anterior, mas alguns alunos chegaram à
solução do problema utilizando o desenho, representando a quantidade de
bandeirinhas em cada fileira.
2 Balas de coco
A professora Dalila fez uma encomenda de balas de coco e deseja
distribuir a mesma quantidade de balas em cada saquinho, para presentear
seus 31 alunos. Quando foi contar as balas, percebeu que só restavam 237
balas, pois seu filho havia comido algumas. No mínimo, quantas balas ela terá
que encomendar a mais para que todos os alunos recebam a mesma
quantidade de balas?
Ao ler este problema a maioria dos alunos entendeu que se tratava de uma
divisão, mas para encontrar a solução não bastava apenas efetuar a divisão, pois
esse problema exigia mais do que uma simples divisão: uma interpretação e o
significado da expressão ―no mínimo‖. Ao perceber essa dificuldade, foi feita uma
discussão sobre o significado da palavra mínimo e os alunos foram alertados para a
questão proposta pelo enunciado do problema. Nesse momento, a professora PDE,
seguindo as etapas sugeridas por Polya, questionou aos alunos: Qual é a
incógnita? O que o problema nos pede?
Eles reponderam que seria encontrar, no mínimo, quantas balas Dalila terá
que encomendar a mais para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de
balas. Após as discussões e comentários, a maioria dos alunos conseguiu chegar à
solução do problema.
Este problema permitiu analisar o desempenho dos alunos na resolução de
problemas envolvendo divisão e uma subtração, e principalmente na importância da
leitura de forma compreensiva. Com esses dados obtidos, foi possível identificar as
dificuldades relacionadas para a passagem do enunciado verbal do problema para a
linguagem matemática.
Apresentamos a solução dada por um dos alunos, a qual se repetiu para
todos os que acertaram esse problema.
3 Roupas no varal
Uma lavanderia, para diminuir o espaço e economizar pregadores, ao
pendurar as roupas no varal, prende as pontas de duas roupas com o mesmo
pregador. Assim, para pendurar 5 peças de roupa, ela usa apenas 6
pregadores. Logo, para pendurar 70 peças de roupa, quantos pregadores
serão necessários?
Neste problema, muitos dos alunos perceberam que se tratava de um
problema de raciocínio lógico, pois ele não fornece outros dados. O aluno para
resolver este problema deve se mostrar hábil em fazer suposições, como foi o caso
do aluno A, que representando apenas as cinco roupas no varal, conseguiu
descobrir a totalidade de pregadores para as 70 peças; já o aluno B, para chegar à
solução, necessitou fazer a representação de todas as peças e seus respectivos
pregadores.
Aluno
Aluno B
4 O segredo das caixas
Em um armazém havia 10 caixas, cada caixa contém 10 sacos, e cada
saco contém 10 chaves. Quantas chaves há no total?
Aluno A
Aluno B
É interessante observar que, por se tratar de um problema de raciocínio
multiplicativo, o aluno pode buscar uma solução diferente para o seu problema.
Neste caso, o aluno A recorreu em fazer a ilustração para um melhor entendimento
do seu enunciado, mas embora seu raciocínio seja coerente, não demonstra a
mesma compreensão do aluno B, que simplesmente usou uma multiplicação para
encontrar a solução.
5 Cor da fita
Marília foi convidada para a festa de 15 anos de sua amiga Bibi. Como são
muito amigas, Marília, ao comprar o presente, embrulhou a caixa com uma fita
colorida bem longa, cujas cores são, azul, amarelo, azul, amarelo, azul,
amarelo e assim sucessivamente, conforme essa ordem de cores. Qual é a cor
da 108ª parte dessa fita? E a cor da 197ª parte?
Aluno A
Aluno B
O aluno A fez a representação gráfica, risquinho por risquinho, até chegar
encontrar a 108ª cor e a 197ª cor, não percebendo que se tratava de uma sequência
dos números naturais em que a parte da fita amarela é par e a parte da fita azul é
impar, conforme percebeu o aluno B.
6 Montanha-russa
Em um parque de diversões há uma fila de 28 crianças para a montanha-
russa, incluindo os dois irmãos que ficaram separados, Vinicius e Joana. Há 10
crianças atrás de Vinicius e 7 na frente de Joana. Quantas crianças separam os
dois irmãos?
Nesse problema os alunos não apresentaram dificuldade, mas recorreram à
representação gráfica da situação para encontrar a resposta, conforme a solução de
um dos alunos da turma.
7 A matemática de Mirele
Mirele, uma estudante aplicada e dedicada aos seus estudos, tem
preferência por cálculos matemáticos e, logicamente, gosta de resolver
problemas. Certo dia recebeu de seu pai a seguinte proposta: “A cada
problema resolvido corretamente, você receberá R$ 10,00 e a cada problema
resolvido erroneamente deverá pagará uma multa de R$ 7,00”. Mirele aceitou a
proposta e, após resolver 20 problemas, recebeu R$ 132,00. Quantos
problemas ela acertou e quantos ela errou?
Aluno A
Aluno B
Aluno C
Neste caso, ao ler o problema os alunos puderam perceber que se tratava de
um problema mais complexo envolvendo mais de uma operação, exigindo muita
atenção ao executar cada passo que foi planejado para chegar à solução do
problema. Este problema despertou muito a curiosidade dos alunos colocando em
jogo as ações investigativas, causando discussões e comentários para estabelecer
estratégias e qual das operações será utilizada para solucioná-lo. Foi excelente a
participação dos alunos na resolução desse problema. É interessante ressaltar que,
por se tratar de um problema mais complexo, o aluno C não demonstra o mesmo
entendimento de compreensão dos alunos A e B.
5 Considerações Finais
Essa pesquisa foi significante, curiosa e importante, pois a motivação desse
estudo possibilitou grandes descobertas e profundos conhecimentos, pois houve um
aprofundamento em relação à fundamentação teórica sobre o tema. As sugestões
de problemas, adaptados e selecionados, acompanhados de comentários relativos
às soluções, foram elaboradas pelos autores desse artigo. Apresentaremos, a
seguir, algumas manifestações retiradas do trabalho desenvolvido com os
professores participantes do GTR.
―Gostei muito das fases de resolução de problemas, segundo Geoge Polya.
Diante dos alunos que recebemos na 5ª série, precisamos trabalhar muito
bem essas fases para conseguirmos os resultados almejados por todos nós
professores de matemática, que nossos alunos sejam capazes de resolver
problemas diferentes‖ (Professor A – GTR).
―Após a leitura da produção didático-pedagógica, verificamos que a
fundamentação teórica está muito boa, foi feita uma revisão desde o
princípio da história da matemática passando até os dias atuais, viajando
pela evolução histórica e trazendo novas formas de abordagem da
resolução de problemas‖ (Professora B – GTR).
―Fazendo a leitura da sua produção Didática, observei que você abordou
diversos tipos de problemas, como: reais, interessantes, desafiadores, e
curiosos. Portanto está claríssimo que o seu objetivo é demonstrar que é
possível e é um meio muito interessante para introduzir conceitos e
aprimorar o que muitas vezes é abstrato para o aluno, talvez sem sentido.
Gostei das sugestões apresentadas por você, por exemplo, no problema
‗Segredos das caixas‘ você coloca a importância da utilização da
representação num desenho. Acho legal porque o aluno de 5ª série ainda
gosta muito de desenho, assim ficará mais fácil para a compreensão e
como recurso didático em oposição aos exercícios tradicionalmente‖
(Professora C – GTR).
―A sua produção foi muito bem elaborada, essa metodologia de ensino
desperta a criatividade do aluno. Gostei muito dos problemas, muito bem
elaborados, de forma clara os enunciados dando condições para ele
identificar as partes principais do problema. Muitas vezes, a dificuldade dos
nossos alunos está na interpretação, mas quando você dramatiza na sua
leitura, este fica de forma mais clara. Essa prática deveria estar presente
em nosso cotidiano‖ (Professor D – GTR).
―Achei excelente a sua Produção Didática. Os problemas apresentados
nesse documento, todos serão aplicados nas séries em que trabalho. É
como você comenta em todos os blocos sugeridos: são simples, mas que
exigem do aluno o raciocínio lógico. Para resolvê-los o aluno deve se
mostrar hábil em buscar suposições, checar situações e até mesmo fazer
figuras ilustrando a situação do problema envolvido, pois ele não fornece
outros dados. Todos envolvem desafios! Assim os alunos gostam!‖
(Professora E– GTR).
―Esse trabalho constata que, através da resolução dos problemas
propostos, trabalhados de forma diversificada como a que se apresentou
nessa proposta, o aluno é levado a experimentar a descoberta de
informações matemáticas. Quando essa descoberta acontece, o aluno
adquire confiança nas suas habilidades e automaticamente cria argumentos
matemáticos para apoiar ou refutar hipóteses e compreendem a
necessidade de partilhar esses argumentos‖ (Professora F– GTR).
Ao aplicar esse material, pode-se observar o quanto a estratégia de
Resolução de Problemas pode contribuir para o trabalho em sala de aula, pois,
quando uma situação problema é solucionada passa a ter um maior sentido para os
alunos, motivando-os a participar ativamente das questões surgidas durante a aula.
Na realização desse trabalho, percebeu-se certa expectativa, por parte dos
alunos, ficando claro o interesse e o comprometimento, tendo em vista que eles
foram escolhidos em participar dessa proposta e que, após a realização,
manifestaram grande satisfação, uma vez que os problemas propostos foram
apresentados de forma inovadora. Os trabalhos realizados em grupo tiveram
excelentes resultados, possibilitando uma melhor interação entre os alunos e uma
aprendizagem significativa e duradoura, pois os participantes foram motivados a
trocar ideias, a resolver e apresentar soluções. A partir de alguns problemas, foi
possível retomar estudos pertinentes às operações fundamentais com a utilização
dessa metodologia, pois em outra situação seria necessário um número maior de
aulas.
Porém, desenvolver a habilidade para resolver problemas é uma tarefa que
requer um longo prazo, assim não espere que o aluno demonstre, nos primeiros
trabalhos, a sua capacidade de argumentar e questionar diversas variáveis e,
portanto, cabe ao educador compreender que resolução de problemas é uma
habilidade que devemos desenvolver nos alunos. Assim, é recomendável que o uso
dessa metodologia seja constante e não praticada esporadicamente, ou seja, deve
ser uma prática presente durante todo o processo de escolaridade.
Pode-se concluir, a partir dos resultados obtidos, que problemas bem
elaborados podem melhorar o interesse, a participação, a motivação dos alunos, e
estudar esse tema foi gratificante.
Esperamos que esse trabalho seja fonte de motivação para outros
professores, para que possam desenvolver outros temas importantes, buscando a
melhoria do ensino da matemática em nossas escolas.
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Perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999.
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